title: Démonstration des lois de Kepler

text: En notant formula_30 la position du point M à l'instant t, l'aire balayée par le rayon vecteur formula_20 pendant le temps t est l'aire du domaine délimité par la trajectoire du point M pendant cette même durée, cette aire vaut d'après la formule de Green-Riemann, formula_32. (La contribution des autres courbes délimitant le domaine sont bien évidemment nulles, il s'agit d'un segment de l'axe (Ox) et d'une droite passant par l'origine.


title: Démonstration des lois de Kepler

text: En remarquant que: formula_33, il vient:


Démonstration des lois de Kepler


title: Démonstration des lois de Kepler

text: En posant: formula_35, il vient alors: formula_36.


title: Démonstration des lois de Kepler

text: Or, dans le cas d'un mouvement à force centrale: formula_37, d'où finalement: formula_21.


title: Démonstration des lois de Kepler

text: Dans un référentiel immobile par rapport au Soleil, la trajectoire d'une planète est elliptique, un foyer étant le Soleil. Le Soleil n'est un des foyers qu'approximativement, du fait que sa masse "M" est très supérieure à celle de la masse "m" de la planète. Pour être exact, il faudrait se placer au centre de gravité du système Soleil-planète.Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :


title: Démonstration des lois de Kepler

text: Le théorème précédent se réécrit après multiplication vectorielle par formula_53 et simplifications :


title: Démonstration des lois de Kepler

text: ce qui est la définition focale d'une conique en coordonnées polaires, d'excentricité formula_61 et de paramètre formula_62, d'angle polaire ayant pour origine le périhélie, comme il est usuel de le faire.


title: Démonstration des lois de Kepler

text: Si l'on prend l'aphélie comme origine : formula_63.


title: Démonstration des lois de Kepler

text: Le carré de la période formula_64 varie comme le cube du demi-grand axe formula_65 : formula_66


title: Démonstration des lois de Kepler

text: formula_67 s'appelle la constante gravitationnelle de Gauss : elle est connue avec une extraordinaire précision, dix chiffres significatifs et vaut formula_68 (alors que G n'est connue qu'avec 5 chiffres significatifs).


title: Démonstration des lois de Kepler

text: Démonstration :Par conséquent, toutes les ellipses de même grand axe, quelle que soit leur excentricité formula_72, ont la même période de révolution jusqu'à la circulaire où formula_73.


title: Higüey

text: Higüey est une ville de la République dominicaine, capitale de la province de La Altagracia, située à environ à l'est de la capitale, Saint Domingue.


title: Higüey

text: Higüey désigne une (ancienne) chefferie de l'est de l'île. Selon certains auteurs, "Guey" ou "huiou" signifie "soleil" en taino, ce qui peut correspondre à sa situation à la pointe orientale de l'île, dans la région qui reçoit d'abord les rayons du soleil.


title: Higüey

text: Lorsque les colons espagnols arrivent, la partie orientale de l'île dépend du royaume des Indiens Caíçimu-Higüey Taino, de langue taïno. Le territoire de l'actuelle Higüey est un des derniers à être conquis par Juan de Esquivel, chef désigné à cet effet en 1503 par Nicolas de Ovando, le gouverneur de la colonie.


title: Higüey

text: L'occupation espagnole s'intensifie après plusieurs incidents liés à Saona, avec attaques croisées et harcèlements réciproques. En réponse, Nicolás de Ovando, gouverneur de la colonie, expédie un détachement de 300 hommes, dont Bartolomé de Las Casas, sous le commandement de Juan de Esquivel.


title: Higüey

text: Les Espagnols remportent le conflit en imposant au chef Cotubano la signature d'un accord de paix, et en construisant un petit fort occupé par un petit détachement de neuf soldats sous le commandement du capitaine Villaman. La trêve est de courte durée, huit des neuf soldats sont tués. Un second conflit débute, et dure huit ou neuf mois, car les Indiens ont une plus grande connaissance de la jungle. Las Casas combat à Higüey sous le commandement du capitaine Diego Velázquez de Cuéllar, et reçoit une parcelle dans la ville de La Vega, qu'il administre jusqu'à 1506. Enfin, après de nombreuses victimes des deux côtés, les Espagnols découvrent la cache de Cotubano sur l'île de Saona, l'arrêtent, et Nicolas de Ovando le condamne à mort. Les Tainos, révoltés, puis défaits, sont réduits en esclavage pour les tâches les plus difficiles dans les plantations. Leur population diminue en conséquence, ce qui "motive" l'importation dans l'île d'esclaves africains.


title: Higüey

text: Le , la colonie de Higüey obtient une plus grande autonomie par l'octroi d'un privilège royal pour afficher un blason, dans le cadre de la paroisse et du comté d'El Seibo. Pendant la période coloniale, malgré son éloignement de Saint-Domingue, la ville bénéficie d'une activité agricole majeure avec la canne à sucre, le gingembre et le cacao. Après quelques décennies, en raison de son éloignement de la côte. cette activité agricole a finalement été réorientée vers l'élevage extensif.


title: Higüey

text: Dans le cadre du traité de Bâle (22 juillet 1795), la colonie espagnole de Saint-Domingue passe sous contrôle des Français. En 1804, les esclaves de la partie occidentale de l'île (Haïti) déclarent leur indépendance après des batailles sanglantes. La partie espagnole ou orientale demeure aux mains des Espagnols en fait, malgré le traité, juste parce que le seul contingent français disponible se compose en majorité de Noirs et de mulâtres. En outre, la Colombie ne reconnaît pas le transfert, arguant qu'il viole les anciennes dispositions du traité d'Utrecht. Tout ceci conduit à l'invasion de la zone espagnole par l'armée haïtienne, ce qui provoque une menace pour leur indépendance nouvellement acquise. Les Français, dirigés par le frère de Napoléon en droit, le général Charles-Victor-Emmanuel Leclerc, repoussent les Haïtiens en 1802. Pendant la domination française, Higüey est un département du district d'Ozama. En 1809, redevenue espagnole, Higüey est réintégrée au district d'El Seibo.


title: Higüey

text: En 1821 et 1822, une éphémère indépendance est très mouvementée, avec deux guerres, avec Haïti et pour l'indépendance. Higüey est ainsi occupée en 1822 par les forces haïtiennes, sous le commandement de Jean-Pierre Boyer. En conséquence, l'économie locale périclite sous l'occupation et les expropriations militaires. C'est cependant l'époque où l'esclavage est enfin aboli, sous le contrôle du temps d'Haïti et par l'application par la marine britannique dans les politiques anti-esclavagistes des Caraïbes préconisées par William Wilberforce.


title: Higüey

text: En 1844, après la proclamation de l'indépendance de la République dominicaine, la nouvelle équipe dirigeante centrale remet Higüey sous l'administration de la province d'El Seibo. La ville prend part aux divers événements de l'histoire dominicaine, occupation anti-américaine de Saint Domingue (1916-1924 et 1965-1966), et connaît les mêmes périodes de relative prospérité ou de misère.


title: Higüey

text: Au cours des dernières décennies, la ville a connu une croissance économique stable et rapide grâce au développement d'une importante industrie touristique. La réussite du lancement de ce secteur tient à divers atouts : excellentes conditions naturelles de la région, beauté, qualité climatique, et importants investissements d'entreprises étrangères. En conséquence, Higüey connaît une forte croissance démographique en 2010, dépassant 170.000 d'habitants. Une partie de cette population est composée de travailleurs de grands complexes hôteliers de Punta Cana, distante d'environ 50 km. En outre, la croissance rapide de la population explique le nombre important de la population en immigration interne, originaire de différentes régions du pays, en particulier la plaine côtière de l'Est (Saint-Domingue, La Romana, San Pedro de Macoris).


title: Higüey

text: Higüey, désormais rattachée à la province de La Altagracia, connaît un décollage économique remarquable. Dans les années 1970, grâce à la hausse du prix de vente du sucre. Au début des années 80, l'exploitation touristique (espagnol, puis autre) s'amorce. Le principal atout réside dans les plages de l'extrémité orientale de l'île, en particulier Punta Cana et Bavaro.


title: Higüey

text: La zone urbaine de la ville comporte principalement deux monuments, la basilique de Notre-Dame d'Altagracia et l'église de San Dionisio . L'économie de Higüey est basée sur


title: Higüey

text: La patronne en est la Vierge d'Altagracia, reprenant un tableau apporté dans l'île par les missionnaires espagnols, toujours exposé dans le Sanctuaire de Notre-Dame de La Altagracia. Chaque année, le jour de sa fête, le , des milliers de Dominicains se rassemblent pour vénérer l'image miraculeuse de ce qui pourrait être le plus ancien sanctuaire marial des Amériques. La Bibliothèque nationale d'Espagne à Madrid conserve une lettre en espagnol du Can. Lic. Luis Jerónimo de Alcocer, qui mentionne cette vénération. En 1650, l'église actuelle a été construite en l'honneur de cette image.


title: Higüey

text: La basilique de Notre-Dame d'Altagracia, inaugurée le , est nommée d'après le saint patron du peuple dominicain. Elle a été conçue par les architectes français A. Dunover de Segonzac et Pierre Dupré, pour remplacer l'ancien sanctuaire de 1572.


title: Higüey

text: Elle a été déclarée, le , monument national. Le , le Pape Paul IV l'a déclarée Basilique Mineure. Cette basilique comporte une grande sculpture grise de croix latine. La passerelle en bronze plaquée or a été bénie par le pape Jean-Paul II à Rome. Le bâtiment dispose d'un clocher de 45 cloches en bronze. C'est un monument visité par des milliers de pèlerins chaque année, qui viennent demander des faveurs et remercier la patronne du peuple dominicain.


title: Higüey

text: Higüey dispose de deux grandes universités qui enseignent en permanence. L'une est publique et libre, l'autre est privée, dépendant de l'évêché Notre-Dame d'Altagracia," Universidad Autónoma de Santo Domingo Recinto Higüey".


title: Higüey

text: L'université publique a été créée le , par l'Honorable Conseil de l'Université de l'Université Autonome de Saint-Domingue (UASD). Le siège est situé à Higüey, province Altagracia en ½ mile de la route Higüey-Yuma. Sa zone d'influence représente les provinces de La Altagracia, El Seibo, La Romana et San Pedro de Macoris.


title: Higüey

text: Les opérations commencent en 1970 à San Pedro de Macoris, mais rencontrent quelques difficultés. Enfin, en 1978, le Centre Régional de l'Université de l'Est (CURE) propose de l'installer rue du Château Remigio, près de l'angle Duverge, sous le nom actuel de l'Université autonome de Saint Domingue (UASD) - Centre de Higüey .


title: Île de la Rose (micronation)

text: Pendant une courte période, la République espérantiste de l'Île de la Rose (en espéranto : ") a existé en tant que micronation au large de la côte de la province italienne de Forlì, dans la mer Adriatique.


title: Île de la Rose (micronation)

text: L'affaire débute en 1964, quand un ingénieur italien, nommé Giorgio Rosa, reçoit la permission de tester une nouvelle technique pour la construction d'une grande plateforme de dans la mer Adriatique, à quelques kilomètres de la côte italienne. Cette île artificielle est soutenue par des colonnes fortifiées s'appuyant sur le fond de la mer.


title: Île de la Rose (micronation)

text: Le , l'île artificielle déclare son statut d'État indépendant. L'évolution de la plateforme et ses utilisations scientifiques sont restées mal connues, mais il semble qu'il y a eu un restaurant, une boîte de nuit, un magasin de souvenirs et un bureau de poste, ainsi que, peut-être, une station de radio enfreignant les lois italiennes. Il semble aussi qu'un petit groupe d'individus avait racheté l'île à Giorgio Rosa.


title: Île de la Rose (micronation)

text: La souveraineté de l'île est marquée par la frappe d'une monnaie, d'un timbre postal, et la création d'un nouveau drapeau (le drapeau est de couleur orange, avec en son centre un bouclier blanc orné de trois roses). Le nom officiel du nouveau pays est ", en espéranto, qui est la langue officielle, afin de montrer le caractère international de l'île. Le nom est par ailleurs choisi en référence au patronyme de Giorgio Rosa, qui signifie « Rose » en italien (le nom en espéranto utilise toutefois le pluriel, "rozoj", de même que pour la traduction italienne, "rose").


title: Île de la Rose (micronation)

text: Le gouvernement italien, cependant, n'apprécie pas la constitution de ce nouveau pays, situé à seulement 12 km des côtes de Rimini, dans les eaux internationales et à 500 m au-delà des eaux italiennes. Le , des représentants officiels du gouvernement italien viennent sur la plateforme et en prennent le contrôle. Le , et contrairement à la volonté des propriétaires, la plateforme est détruite.


title: Île de la Rose (micronation)

text: La plateforme Netflix annonce la production de "L'Incroyable Histoire de l'Île de la Rose" ("L'incredibile storia dell'Isola delle Rose"), un film en italien, sur l'aventure de l"Insulo de la Rozoj". Le tournage commence en et le film sort en .


title: Sismogramme

text: Un sismogramme est un enregistrement en fonction du temps des ondes sismiques qui se propagent lors d'un séisme, généralement réalisé au moyen d'un sismographe.


title: Sismogramme

text: L'abscisse du graphique représente le temps alors que l'ordonnée représente l'amplitude du déplacement, de la vitesse ou de l'accélération de l'onde sismique selon un ou des axes donnés (x, y, ou z). Dans le cas d'un enregistrement en accélération, on parle plus spécifiquement d'accélérogramme.


title: Sismogramme

text: La forme générale de la courbe est celle d'un oscillateur harmonique amorti. En effet le sismogramme matérialise le déplacement, la vitesse ou l'accélération d'une particule du terrain soumise à la traversée de l'onde sismique sinusoïdale.


title: Clepsydre

text: À l'origine, la clepsydre est un instrument à eau qui permet de définir la durée d'un événement, la durée d'un discours par exemple. On contraint la durée de l’événement au temps de vidage d'un récipient contenant de l'eau qui s'écoule par un petit orifice. Dans les domaines oratoire et judiciaire, l'orateur doit s'arrêter de parler quand le récipient a fini de se vider. La durée visualisée par ce moyen est indépendante d'un débit régulier du liquide ; le récipient peut avoir n'importe quelle forme. L'instrument n'est donc pas une horloge hydraulique.


title: Clepsydre

text: Le mot "clepsydre" provient du grec κλεψύδρα (klepsúdra), repris par le latin "clepsydra".  Ce nom est formé des éléments grecs (kléptein), « voler », et υδρο (hydro), « eau ».


title: Clepsydre

text: Il est associé à deux sources grecques:


title: Clepsydre

text: La plus ancienne clepsydre que l'on connaisse a été découverte à Karnak en 1904. Datée du règne d’Aménophis III, vers -1400, elle se trouve aujourd'hui exposée au musée égyptien du Caire. Elle est constituée d'un simple bol conique pourvu d'un orifice à la base, servant à l'écoulement de l'eau. La mesure du temps se faisait sur des graduations lisibles à l'intérieur du bol. On estime que les premières clepsydres ont été créées en Égypte vers -1600. Ce type de clepsydre à remplissage unique offrait .


title: Clepsydre

text: Le principe de la clepsydre a également été utilisé par les Amérindiens.


title: Clepsydre

text: Ce sont les Grecs qui améliorèrent la précision de la clepsydre vers 270 av. J.-C. En raison de la baisse du niveau de l'eau, la pression à la sortie du bol se réduisait et le débit avec elle. Cela occasionnait une perte de précision. Les Égyptiens remédièrent à cela en graduant en conséquence les bols en fonction du niveau. Ils avaient également utilisé des bols en forme de cône, pour atténuer le problème de la pression. Mais la précision n'était toujours pas assez bonne. Pour maintenir la précision, il faut que le débit en sortie soit constant. Plusieurs solutions techniques ont été inventées : l'inventeur grec Ctésibios imagina un système utilisant le principe des vases communicants et de la soupape, il y a aussi une méthode consistant à réduire progressivement la surface de la clepsydre (en pyramide inversée par exemple) pour avoir un profil de débit constant, une troisième méthode est l'utilisation d'un vase de Mariotte. Ces méthodes permettent d'obtenir un débit constant et ainsi augmenter la précision de cette horloge à eau.


title: Clepsydre

text: Les clepsydres les plus perfectionnées ont été celles réalisées par les Perses et les Chinois. En 807, le calife de Bagdad Haroun ar-Rachid offrit à Charlemagne une clepsydre mettant en branle des automates. Ce genre de clepsydre avait une vocation décorative plus qu'utilitaire. Et en 1088, l'ingénieur Su Song fit construire une clepsydre de plus de de haut à Kaifeng, Chine. La clepsydre fut utilisée pour mesurer de courtes périodes, comme :


title: Clepsydre

text: La clepsydre fut aussi utilisée pour mesurer le temps lorsqu’il faisait nuit, ou lorsque les conditions météorologiques ne permettaient pas l’utilisation des cadrans solaires.


title: Clepsydre

text: La clepsydre fonctionne sur le même principe que le sablier. C'est l'écoulement d'une quantité d'eau qui fixe la durée écoulée.


title: Clepsydre

text: Les premières clepsydres se présentent sous la forme d'un bol, avec un trou à leur point le plus bas, permettant l'écoulement de l'eau. C'est à l'aide des graduations à l'intérieur du bol que le temps écoulé est déterminé. La mise en équation des clepsydres utilise la mécanique des fluides classique et plus particulièrement la formule de Torricelli.


title: Clepsydre

text: Le problème est qu'au fur et à mesure que le bol se vide, le débit de l'écoulement devient plus faible, ce qui résulte d'un phénomène assez simple. La pression engendrée par une hauteur d'eau diminue en même temps que le récipient se vide. La quantité d'eau écoulée pour une même durée est donc différente lorsque le bol est plein et lorsqu'il est presque vide, ce qui pose des problèmes d'exactitude. Les Égyptiens ont en partie remédié à cela en utilisant des bols en forme de cône et en modifiant les graduations, en conséquence.  Ce problème dans la constance du débit est dû au fait que la pression de l'eau au fond du bol diminue, celle-ci étant directement liée à la hauteur d'eau sus-jacente. Pour maintenir la même pression, Ctésibios eut l'idée de maintenir le niveau d'eau constant. Pour cela il utilisa trois réservoirs (A, B et C). Le réservoir A contient une importante quantité d'eau et son but est de toujours alimenter en eau le réservoir B. Le niveau de B est maintenu grâce à un trou près de son sommet, qui est chargé de vider le trop-plein d'eau (c'est une soupape). L'eau de B s'écoule normalement par un petit trou à sa base. L'écoulement par ce trou est constant, car le niveau d'eau dans B ne varie pas, la pression à la sortie reste donc elle aussi constante. L'eau de B s'écoulant par le trou à la base, va dans le réservoir C, qui, lui, est gradué. C'est en observant le niveau de remplissage de C que l'on détermine le temps écoulé.


title: Clepsydre

text: Malgré cette amélioration notable, de telles horloges restent peu précises. Plusieurs facteurs peuvent influer sur la durée mesurée, comme : De plus, la fabrication d'une clepsydre demande une grande précision, notamment sur la réalisation du réservoir.


title: Vink

text: Vink, de son vrai nom NGUYỄN PHƯỚC Vĩnh Khoa, (né à Đà Nẵng, dans le centre du Viêt Nam, le ) est un auteur belge de bande dessinée. Il vit à Liège depuis 1969. Principalement connu pour sa série "Le Moine fou" / "Les Voyages de He Pao", c'est un coloriste hors pair et l'un « des plus talentueux dessinateurs réalistes de bande dessinée. ». Il a reçu le Grand Prix Saint-Michel en 1985 pour le second volume du "Moine fou".


title: Vink

text: Né à Tourane au Viêt Nam, Vinh Khoa effectue sa scolarité au collège français, qui devient le lycée Blaise Pascal en 1963 lorsque la ville prend le nom de Đà Nẵng. Après le lycée, il effectue un an de journalisme à l'université bouddhique de Saïgon (1968-1969), puis s'installe à Liège où il étudie la médecine durant un an. Il étudie cinq ans à l'Université de Liège et obtient une licence et une agrégation en sciences de l'éducation, avant de s'inscrire à l'Académie royale de beaux-arts de Liège en 1975.


title: Vink

text: Après avoir réalisé quelques illustrations professionnelles, Vinh Khoa, qui a pris le pseudonyme Vink, entre à "Tintin" où il publie des contes viêtnamiens adaptés en bande dessinée de 1979 à 1983. Un recueil de ces histoires est publié aux éditions du Lombard en 1983. En 1980, il réalise sur des textes de Michel Dusart la bande dessinée historique "Liège, terre d'éveil", en vue des célébrations du millénaire de la cité. À la suite d'une défection du commanditaire, l'album n'est cependant publié qu'en 1984 par l'évêché de Liège sous le titre "Pays de Liège. Vie d'une église".


title: Vink

text: En , le début d'une nouvelle histoire, "Le Moine fou", est publié le numéro 21 de "Charlie Mensuel". Son personnage principal est He Pao, une jeune européenne élevée en Chine ancienne qui part en quête d'un moine qui posséderait la connaissance ultime des arts martiaux. Depuis lors, c'est principalement cette série à succès qui l'occupe. Après dix albums, "Le Moine fou" prend le nom "Les Voyages de He Pao". En 2011, cinq albums de ce second cycle étaient parus.


title: Vink

text: En parallèle, Vink a réalisé ponctuellement d'autres récits : "Une Luciole dans la ville", sa seule incursion dans le monde contemporain, en 1989 ; "Le Passager", bande dessinée fantastique qui surprend les lecteurs par son dessin caricatural et que Dargaud arrête faute de succès, en 2003-2004 et "Sur la route de Banlung", récit tiré d'une mission onusienne de 1993 au Cambodge pour lequel Vink change une nouvelle fois de technique picturale, en 2011. Vink réalise également de nombreux tableaux et aquarelles.


title: Mouvement à force centrale

text: En mécanique du point, un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel soumis uniquement à une force centrale, c'est-à-dire une force toujours dirigée vers le même point noté appelé "centre de force".


title: Mouvement à force centrale

text: Ce type de mouvement est une modélisation de certains phénomènes physiques : il n'est pas rigoureusement présent dans la nature, mais certains mouvements s'en rapprochent. Par exemple, on peut considérer que la Terre est soumise à une force centrale de la part du Soleil. Par ailleurs, lorsqu'on utilise une description classique de l'atome, on peut considérer que le mouvement des électrons est à force centrale autour du noyau.


title: Mouvement à force centrale

text: L'étude mathématique de ce type de mouvements permet d'obtenir quelques résultats généraux. On peut montrer par exemple que la trajectoire est contenue dans un plan, que la vitesse aréolaire est constante, etc.


title: Mouvement à force centrale

text: Le problème du mouvement à force centrale fut résolu en premier par Isaac Newton en 1687. Newton démontre en particulier que la trajectoire est contenue dans un plan passant par le centre de force et perpendiculaire au moment cinétique, qui est alors constant. C'est d'ailleurs initialement dans le sens inverse que Newton l'a démontré : le moment cinétique étant démontré constant, cela implique que la trajectoire est plane. Cette trajectoire est décrite selon la seconde loi de Kepler dite aussi "lois des aires" : "des aires égales sont balayées dans des temps égaux".


title: Mouvement à force centrale

text: Robert Hooke a résolu le cas particulier dit « de Hooke », où la force centrale est proportionnelle à la distance séparant le centre de force du point en mouvement (voir ellipse de Hooke).


title: Mouvement à force centrale

text: Jacques Binet exprima, au travers de ses formules, la vitesse et l'accélération d'un point animé d'un mouvement à force centrale. Ces formules permettent, par exemple, d'obtenir les trajectoires elliptiques des planètes, redémontrant ainsi la première loi de Kepler.


title: Mouvement à force centrale

text: Quelques cas particuliers ont été étudiés mathématiquement :


title: Mouvement à force centrale

text: Un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel soumis à une force formula_1 passant par un point fixe formula_2.


title: Mouvement à force centrale

text: La trajectoire est plane (voir plus loin): deux coordonnées suffisent à décrire le mouvement dans ce plan. La conservation de l'énergie permet de réduire le mouvement à une quadrature près. Le théorème du moment cinétique appliqué au centre de force dans un référentiel galiléen énonce que la dérivée du moment cinétique formula_3 au point est le produit vectoriel du "rayon vecteur" formula_4 et de la force formula_5 : formula_6, puisque les deux vecteurs sont colinéaires.


title: Mouvement à force centrale

text: Par conséquent, le moment cinétique est constant au cours du mouvement.


title: Mouvement à force centrale

text: Par définition du moment cinétique, cela signifie que formula_7 est constant, donc que le vecteur position formula_8 et la quantité de mouvement formula_9 du point "M" sont à tout instant perpendiculaires au vecteur formula_3 de direction constante. La trajectoire est donc plane : elle est entièrement contenue dans le plan contenant le centre attracteur , et orthogonal au moment cinétique formula_11.


title: Mouvement à force centrale

text: On vient de voir que la trajectoire de la particule restait dans un plan fixe d'origine . En passant aux coordonnées polaires et , dans ce plan, on peut écrire


title: Mouvement à force centrale

text: De cette dernière relation, on tire la valeur de la norme, constante, du moment cinétique : formula_19. Or, l'aire balayée par le rayon vecteur formula_20, pendant un temps infinitésimal est formula_21.


title: Mouvement à force centrale

text: Cette loi, sous la forme formula_22, qui exprime que la "vitesse aréolaire" est constante, est appelée loi des aires. Énoncée comme constatation empirique en 1609 par Johannes Kepler au sujet du mouvement des planètes autour du Soleil (voir lois de Kepler), c'est donc en réalité une propriété générale de tout mouvement à force centrale.


title: Mouvement à force centrale

text: La loi des aires implique notamment que formula_23 garde un signe constant, i.e que le point matériel tourne toujours dans le même sens. En particulier est fonction strictement monotone du temps. Il existe donc une fonction réciproque . C'est-à-dire qu'il est possible de déterminer le temps mis par le solide pour tourner d'un angle donné autour du point central. Effectuer cette inversion fut un travail de Legendre, puis Cauchy (résolution de l'équation de Kepler).


title: Mouvement à force centrale

text: En coordonnées polaires l'accélération a pour expression :


Mouvement à force centrale


title: Mouvement à force centrale

text: où formula_25 et formula_14 forment une base tournante, c'est-à-dire formula_27 et formula_28 et où formula_29 et formula_30 forment une base orthonormée cartésienne fixe du plan de la trajectoire.


title: Mouvement à force centrale

text: Du fait que l'accélération est radiale, la projection de formula_31 sur formula_32 est nulle, on a donc formula_33. En notant que formula_34, et donc que formula_35, on conclut que le paramètre formula_36 est bien constant, ce qui justifie son appellation de constante des aires.


title: Mouvement à force centrale

text: L'énergie cinétique du point matériel "M" se décompose en deux termes (Leibniz, 1695) :


title: Mouvement à force centrale

text: D'après la loi de conservation de l'énergie, l'énergie totale est une constante. Compte tenu de l'expression précédente de l'énergie cinétique, cette énergie totale se met sous la forme :


title: Mouvement à force centrale

text: Le phénomène est donc analogue à un mouvement unidimensionnel d'une particule "fictive" de masse "m" dans un potentiel . Ce potentiel fait apparaître, en plus de "V", l"'effet centrifuge" introduit plus haut. Cela correspond donc à une compétition entre deux forces : par exemple, dans le cas du mouvement d'une planète, il y a compétition entre l'attraction vers le soleil, et l'effet centrifuge.


title: Mouvement à force centrale

text: Dans le cas d'un champ "attractif", le potentiel effectif présente un puits de potentiel : il est fortement répulsif à courte distance d'après la "barrière centrifuge", et attractif à longue distance. Et comme est toujours positif, on a nécessairement l'inégalité suivante : où est la valeur minimale prise par le potentiel effectif (à la distance ).


title: Mouvement à force centrale

text: Le mouvement est alors différent selon les valeurs de .


title: Mouvement à force centrale

text: Le mouvement à force centrale "conservative" possède, dans le plan, deux degrés de liberté : les coordonnées "r" et dans le plan du mouvement. De plus il existe deux constantes du mouvement : le moment cinétique formula_45 et l'énergie mécanique formula_46. Le problème est dit résoluble à une quadrature près.


title: Mouvement à force centrale

text: La solution peut s'écrire, soit par une "équation horaire" ("r"("t")), soit par une "équation polaire" ("r"("θ")). En effet, la loi des aires vue plus haut montre qu'il est possible d'interchanger "t" et "θ". On étudie brièvement ces deux possibilités :


title: Mouvement à force centrale

text: Ces expressions intégrales peuvent être résolubles ou non. Enfin dans certains cas, notamment celui du problème à deux corps, des techniques de résolutions plus simples que celle de l'évaluation explicite de l'intégrale peuvent être utilisées.


title: Mouvement à force centrale

text: Dans le cas d'un mouvement borné, le mouvement "radial" ("r"("t")) est périodique, de période "T". D'après le paragraphe précédent, l'équation horaire donne l'expression suivante : où et sont les rayons minimum et maximum accessibles.


title: Mouvement à force centrale

text: Cela ne signifie pas que le mouvement global est périodique, donc que la trajectoire est une courbe "fermée". En effet il faudrait pour cela qu'au bout d'un nombre entier "n" de périodes radiales "T", l'angle "θ" ait effectué un nombre entier "p" de tours complets. On dit aussi que la "période angulaire" "T" doit être commensurable avec la "période radiale" "T".


title: Mouvement à force centrale

text: Or la variation formula_50 de l'angle polaire "θ" pendant la période radiale "T" s'exprime par : D'après ce qui précède, la trajectoire sera fermée, pour toutes conditions initiales, si et seulement si on a formula_52. Ceci n'est vérifié, pour les champs conservatifs, que par deux types de forces centrales : la force en 1/"r" (de type newtonien) et la force de Hooke (-k.r) : (ce résultat constitue le théorème de Bertrand).


title: Wombat

text: Les wombats (Vombatidae) forment une famille de mammifères marsupiaux fouisseurs, jadis appelés phascolomes. Ils vivent dans les forêts montagneuses d’Australie, où ils creusent de vastes terriers. Les wombats pèsent entre , mais des espèces bien plus grandes et lourdes, comme le "Diprotodon" (), ont existé dans le passé.


title: Wombat

text: Il existe trois espèces : le wombat commun, le wombat à nez poilu du Nord et le wombat à nez poilu du Sud.


title: Wombat

text: Les wombats, selon leur nom aborigène, ressemblent à de petits oursons bruns, à courtes pattes, à large tête, mesurant environ de long sur de hauteur. La couleur du pelage des wombats peut être beige, brune, noire ou grise.


title: Wombat

text: Comme tous les marsupiaux, ils possèdent une poche ventrale, qui ne comporte chez le wombat qu'une seule paire de mamelles. Sa poche s'ouvre vers l'arrière, de sorte que la terre n'y pénètre pas lorsqu'il creuse.


title: Wombat

text: Le wombat est doté d'un « bouclier » : plaque cartilagineuse très dure située sous la peau de son arrière-train. Lorsqu'un prédateur le poursuit, il peut boucher l'entrée de son terrier avec ce bouclier avant de contre-attaquer par de violentes ruades de ses fortes pattes postérieures.


title: Wombat

text: La formule dentaire des Vombatidae est la suivante : (dans l'ordre incisives, canines, prémolaires et molaires).


title: Wombat

text: Le wombat est herbivore, se nourrissant d’herbe, de racines, de champignons et d’écorces d’arbres. Ses dents ont une croissance continue, contrairement aux autres marsupiaux. Il a un métabolisme lent, la digestion complète de sa nourriture s'effectuant en deux semaines, ce qui l'aide à survivre dans les environnements arides.


title: Wombat

text: Le wombat a la particularité de produire des crottes de forme plus ou moins cubique, qu'il empile pour marquer son territoire. Le , lors de la assemblée annuelle de la division de la dynamique des fluides de la Société américaine de physique, Patricia Yang (qui avait reçu un Prix Ig-Nobel en 2015 pour avoir démontré que la durée de la miction ne varie pas avec la taille corporelle) dévoile que l'intestin du wombat n'est pas uniformément élastique mais comporte des sections moins souples, plus serrées dans sa dernière section, où les selles liquides sont transformées en « cubes » solides de 4 cm de long. Elle déclare : . Les parois intestinales exerçant des contraintes physiques différentes selon les endroits permet ainsi au wombat de produire de si caractéristiques fèces, plus faciles à empiler que des crottes rondes.


title: Wombat

text: Le wombat est un animal plutôt solitaire et ne se sociabilise que pendant la période de reproduction afin de trouver un ou une partenaire. La femelle a une gestation de et ne donnera naissance qu'à un petit, ou dans de très rares cas à deux. À la naissance, le bébé wombat, appelé « joey », ne mesure que trois centimètres et ne pèse qu'environ deux grammes. Il restera de dans la poche de sa mère avant de s'ouvrir au monde extérieur. Durant cette période, il se nourrit uniquement du lait de sa mère. Le jeune est sevré au bout de , et sexuellement mature à l'âge de . Généralement, les femelles restent plus de temps avec leur mère que les mâles.


title: Wombat

text: Les wombats occupent des territoires centrés sur leurs terriers et qu'ils défendent contre les intrus ; chez le wombat commun, ce territoire peut couvrir jusqu'à , quand il ne fait que chez les deux autres espèces. Menacé, il peut atteindre la vitesse de et la maintenir pendant .


title: Wombat

text: Les wombats présentent la particularité de produire des excréments de forme cubique. Cette  caractéristique serait due à la configuration spécifique de leur intestin. D'après des scientifiques australiens, les wombats utilisent ces crottes cubiques pour marquer leur territoire. Cette particularité n'avait pas été détectée auparavant, car les wombats n'avaient jusqu'alors été étudiés qu'en captivité, et ils ne présentent ce comportement qu'en liberté.


title: Wombat

text: Les wombats communs vivent au Sud-Est de l'Australie et en Tasmanie, les wombats à nez poilu du Nord vivent du côté du Queensland et les wombats à nez poilu du Sud vivent en Australie méridionale.


title: Wombat

text: La famille des Vombatidae comprend deux genres actuels, mais d'autres, fossiles, ont été décrits :


title: Wombat

text: Selon , , , ,


title: Wombat

text: Selon :


title: Wombat

text: Le wombat n'est pas farouche et, son endurance à la course étant réduite, il privilégie la défense sur place à la fuite. Sur le bord des routes australiennes, en s'arrêtant, on peut parfois en approcher certains pour quelques caresses. Toutefois, leur absence de peur peut les conduire à des actes d'agression s'ils se sentent menacés, ou même simplement s'ils sont de mauvaise humeur. Leur poids leur permet de faire tomber un humain de corpulence moyenne et leur mâchoire puissante peut entraîner de graves blessures : le naturaliste Harry Frauca a été mordu à une profondeur de à la jambe à travers une botte en caoutchouc, une jambe de pantalon et une chaussette de laine épaisse.


title: Wombat

text: On en trouve dans de nombreux parcs, zoos et autres sites touristiques de toute l'Australie où ils sont très populaires. Il existe même des exemples de domestication : s'ils sont bien cajolés et caressés, les wombats deviennent conviviaux, cependant en prenant de l'âge, ils ont tendance à devenir grognons.


title: Wombat

text: Autrefois chassés par les Aborigènes d'Australie pour l'alimentation, puis par les colons blancs pour leur épaisse fourrure, les wombats sont toujours chassés par certains fermiers, mais ce sont surtout les véhicules qui en tuent chaque jour des dizaines sur le bord des routes. Par ailleurs, les troupeaux de moutons et de bovins appauvrissent l'alimentation des wombats.


title: Wombat

text: Des réserves visant à les protéger ont été créées.


title: Wombat

text: Un astéroïde, (6827) Wombat, a été nommé en référence à ces animaux.


title: George Dance le Jeune

text: George Dance dit « le jeune » est un architecte et peintre britannique né dans la Cité de Londres le et mort le . Son père, George Dance dit « l’aîné », était également architecte. Dance s’illustra notamment dans la construction du bâtiment de la Boydell Shakespeare Gallery à Pall Mall. Il était également le frère de Nathaniel Dance-Holland, portraitiste et homme politique.


title: George Dance le Jeune

text: Il passa six ans en Italie, où il étudia les gravures de Piranèse et Clérisseau.


title: George Dance le Jeune

text: Il construisit la prison de Newgate : architecture parlante, la forme identifie la fonction, concept fondamental dans le néoclassicisme. L'absence de décor jointe à la massivité de l'édifice doivent inspirer l’effroi.


title: George Dance le Jeune

text: Il fut l'un des fondateurs de la Royal Academy en 1768.


title: George Dance le Jeune

text: La maison où il mourut, Nº 91 Gower Street, est marquée avec un blue plaque.


title: Pierre Élie Ferrier

text: Pierre Élie Ferrier, dit Pef, est un auteur-illustrateur de littérature d'enfance et de jeunesse français, né le à Saint-Jean-des-Vignes (Saône-et-Loire).


title: Pierre Élie Ferrier

text: Fils d'un instituteur qui, détaché auprès de la Ligue de l'enseignement devint responsable national de l'UFOLEA (Union Française des Œuvres Laïques d'Education Artistique (et à ce titre le créateur de la salle de spectacle du théâtre Récamier) et d'une maîtresse d’école, Pierre Élie Ferrier a vécu toute son enfance dans les cours de récréation. Extrêmement marqué par la Seconde Guerre mondiale, et par la Libération de 1945, il gardera en mémoire ces événements toute sa vie, et les retranscrira à travers plusieurs œuvres et illustrations.  Pendant ses vacances à Saint-Gengoux-le-National, dans le Chalonnais, il se délecte des parties de pêche à la ligne dans la Grosne avec son père. Au lycée, il dessine en cours de philo et gagne le prix d’un concours organisé par le journal "L'Éducation".


title: Pierre Élie Ferrier

text: Au début de sa carrière de journaliste, il publie des dessins de presse dans "Arts" avec un autre débutant, Roland Topor. Il devient dessinateur et rédacteur du magazine bimensuel puis mensuel pour les enfants de 8 à 12 ans "Franc-jeux", sous l'égide de la Ligue de l'enseignement (de 1963 à 1983?), il réalise des centaines de reportages et des bandes dessinées. Il dessine aussi pour l’industrie pharmaceutique, automobile, et imagine des méthodes de vente de cosmétiques. Il devient en 1976 rédacteur en chef de la revue "Francs-jeux" qui prend le titre de "Virgule" à partir de 1979. Il dessine pour l'hebdomadaire d'obédience communiste "L'Humanité Dimanche" vers 1964, puis dans les années 1980.


title: Pierre Élie Ferrier

text: En 1975, il rencontre la chanteuse Anne Sylvestre avec qui il réalise des disques pour les petits, ce qui lui vaut d’être remarqué par les éditeurs des livres pour enfants.


title: Pierre Élie Ferrier

text: Avec Alain Serres, il réalise pour la télévision la série pour enfants des "Pastagums", dont les épisodes de 13 minutes sont repris en petits volumes illustrés (Gallimard jeunesse).


title: Pierre Élie Ferrier

text: Pef accompagne ses parents notamment dans les stages d'été organisés par son père pour les animateurs de la Ligue de l'enseignement. Nourri de leur militantisme culturel (qui s'ajoutait à leur militantisme au PCF), acteur précoce de l’Éducation populaire, il n’a jamais cessé d’être à l’écoute des enfants, passant autant de temps avec eux, en rencontres et en discussions, qu’à sa table de travail.


title: Pierre Élie Ferrier

text: Avant d’être un auteur à succès, Pef est un écrivain et un dessinateur militant (dessin satirique de presse). Et parmi les artistes s’intéressant à l’enfance, il est l’un de ceux qui ont le mieux compris que la bataille contre l’illettrisme était à mener par des actions parallèles à l’enseignement. Il parcourt le monde, va en Finlande, au Québec, au Sénégal, en Guyane, en Nouvelle-Calédonie et y rencontre des enfants de tous les pays.


title: Pierre Élie Ferrier

text: Il publie pour les enfants une centaine d'albums illustrés, dont la tonalité varie souvent d'un grotesque aimable ("Barbanouille") à un humour très tendre ("Moi, ma grand-mère"), en passant par la bouffonnerie et l'esprit d'enfance ("Aux fous les pompiers"), l'absurde ("Histoire de l'éléphant qui voulait se marier avec une bicyclette"), l'autodérision et la verve ("Les amours de Frisolo, le remarquable taureau du Charolais") etc. Sa femme, l'artiste peintre Geneviève Ferrier, les met le plus souvent en couleur. L'un de ses grands succès est lié à la figure du Prince de Motordu dont les plaisantes aventures avant tout langagières mais retranscrites par des dessins inventifs sont déclinées en de nombreux volumes, le premier étant devenu un classique de l'enfance ("La Belle Lisse Poire du prince de Motordu").


title: Pierre Élie Ferrier

text: "Le Prince de Motordu" a fait l'objet de plusieurs adaptations théâtrales en France, notamment au théâtre Charles Dullin au Grand Quevilly en 2011, au théâtre Michel Galabru en 2011 et aux Bouffes-Parisiens en 2012


title: Pierre Élie Ferrier

text: 1991 : "Mention" Prix critique en herbe, Foire du livre de jeunesse de Bologne (Italie) pour son ouvrage jeunesse " Histoire de l'éléphant qui voulait se marier avec une bicyclette"


title: Pierre Élie Ferrier

text: 2013: Après consultation de la population de Saint-Ouen-sur-Seine, il a été décidé de nommer l'école primaire de la rue Albert Dhalenne école Pef. La rue attenante a aussi été baptisée rue du Prince de Motordu.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: En mécanique classique, le vecteur de Runge-Lenz ou invariant de Runge-Lenz est un vecteur utilisé principalement pour décrire la forme et l'orientation de l'orbite d'un corps astronomique autour d'un autre, comme dans le cas d'une planète autour d'une étoile.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Pour deux corps en interaction gravitationnelle, le vecteur de Runge-Lenz est une constante du mouvement, ce qui signifie qu'il prend la même valeur en n'importe quel point de l'orbite ; de manière équivalente on dit que le vecteur de Runge-Lenz se conserve. Plus généralement le vecteur de Runge-Lenz est conservé pour n'importe quel problème à deux corps interagissant par le biais d'une force centrale variant comme l'inverse du carré de la distance entre eux. De tels problèmes sont appelés « problèmes de Kepler ».


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: L'atome d'hydrogène est un problème de Kepler puisqu'il comprend deux charges en interaction électrostatique, une autre force centrale en carré inverse de la distance. Le vecteur de Runge-Lenz fut essentiel dans les premières descriptions quantiques du spectre d'émission de l'atome d'hydrogène après le développement de l'équation de Schrödinger. Cependant cette approche est aujourd'hui très peu utilisée. En mécaniques classique et quantique, les grandeurs conservées correspondent généralement à une symétrie du problème. La conservation du vecteur de Runge-Lenz est associée à une symétrie inhabituelle : le problème de Kepler est mathématiquement équivalent à une particule se déplaçant librement sur une 3-sphère, ce qui implique que le problème est symétrique pour certaines rotations dans un espace à quatre dimensions. Cette symétrie supérieure résulte de deux propriétés du problème de Kepler : le vecteur vitesse se déplace toujours dans un cercle parfait et, pour une énergie totale donnée, tous les cercles de vitesse s'interceptent en deux mêmes points.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Le vecteur de Runge–Lenz est nommé d'après Carl Runge et Wilhelm Lenz. Il est également connu sous le nom de vecteur de Laplace (d'après Pierre-Simon de Laplace) bien qu'aucun de ces scientifiques ne l'ait découvert. Le vecteur de Runge-Lenz a en réalité été redécouvert plusieurs fois et il est équivalent au vecteur excentricité de la mécanique céleste. Plusieurs généralisations du vecteur de Runge-Lenz ont été définies pour tenir compte de la relativité générale, du champ électromagnétique et des différents types de forces centrales.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Une particule seule se déplaçant sous l'effet d'une force centrale conservative possède au minimum quatre constantes du mouvement : son énergie totale, et les trois composantes du vecteur moment cinétique L. La trajectoire de la particule est contenue dans un plan défini par sa quantité de mouvement initiale p (ou de manière équivalente par sa vitesse v) et par le rayon-vecteur r entre la particule et le centre de force (voir ci-dessous Figure 1).


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Comme défini ci-dessous (voir Définitions mathématiques), le vecteur de Runge-Lenz A est toujours contenu dans le plan de la trajectoire pour une force centrale. Cependant A n'est constant que pour une force centrale en carré inverse. Pour de nombreuses forces ce vecteur A n'est pas constant mais change en norme et en direction ; si le champ de force centrale suit approximativement une loi en carré inverse, le vecteur A est approximativement constant en norme mais tourne lentement en direction. Un vecteur de Runge-Lenz "généralisé" formula_2 se conservant peut être défini pour toutes les forces centrales mais le vecteur est alors une fonction compliquée de la position et n'est généralement pas exprimable de façon analytique.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Le plan de la trajectoire est perpendiculaire au vecteur moment cinétique L qui est constant ; ceci peut être exprimé par le produit scalaire r·L = 0 ; de la même façon, A étant contenu dans ce plan : A·L = 0.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Le vecteur de Runge-Lenz A est une constante du mouvement du problème de Kepler, utile pour décrire les orbites astronomiques, telles que le mouvement des planètes. Néanmoins son usage n'a jamais été très répandu parmi les physiciens peut-être parce qu'il est moins intuitif que la quantité de mouvement ou le moment cinétique. C'est la raison pour laquelle il a été redécouvert plusieurs fois au cours des trois derniers siècles. Jakob Hermann est le premier à montrer que A est conservé dans le cas particulier des forces centrales en carré inverse, et travailla sur ses connexions avec l'excentricité orbitale dans le cas des orbitales elliptiques. Les travaux de Hermann sont généralisés dans leur forme moderne par Jean Bernoulli en 1710. À la fin du , Pierre-Simon de Laplace redécouvre la conservation de A, l'obtenant de manière analytique et non plus de façon géométrique. Vers le milieu du , William Rowan Hamilton détermine le vecteur excentricité, qui est équivalent, et l'utilise pour montrer que le vecteur quantité de mouvement p décrit un cercle pour un mouvement effectué sous une force centrale en carré inverse (Figure 3). Au début du , Josiah Willard Gibbs trouve le même vecteur par analyse vectorielle. La méthode de Gibbs est citée en exemple par Carl Runge dans un livre allemand sur les vecteurs qui fut référencé par Wilhelm Lenz dans son article sur le traitement quantique de l'atome d'hydrogène. En 1926, le vecteur est utilisé par Wolfgang Pauli pour déterminer le spectre de l'hydrogène en utilisant la mécanique matricielle et non l'équation de Schrödinger ; après l'article de Pauli il commence à être connu sous le nom de "vecteur de Runge–Lenz".


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Pour une particule seule mise en mouvement par une force centrale en carré inverse de la distance décrite par l'équation formula_3, le vecteur de Runge-Lenz A est défini mathématiquement par la formule


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: oùÉtant donné que la force est supposée conservative, l'énergie totale "E" est une constante du mouvement:


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: De plus la force étant centrale, le moment cinétique L est également constant et définit le plan dans lequel la particule se déplace. Le vecteur de Runge-Lenz est perpendiculaire à L car p ∧ L et r sont perpendiculaires à L. Il s'ensuit que A est contenu dans le plan de l'orbite.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Cette définition de A est applicable pour une particule seule et ponctuelle de masse "m" se déplaçant sous l'effet d'une force donnée. Cependant la même définition peut être étendue au problème à deux corps, tel que le problème de Kepler, en prenant pour "m" la masse réduite des deux corps et pour r le vecteur entre les deux corps.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Une alternative pour la même constante du mouvement est également possible. La plus commune est de diviser par formula_13 pour définir le vecteur excentricité


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: La forme et l'orientation des orbites dans le problème à deux corps de Kepler peuvent être déterminées à partir du vecteur de Runge-Lenz comme suit. Le produit scalaire de A par le vecteur position r donne l'équation


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: où θ est l'angle entre r et A (Figure 2). En permutant le produit mixte


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: et un réarrangement conduit à la formule de définition d'une conique


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: d'excentricité formula_18


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: et de paramètre "p"


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Le demi-grand axe "a" de la conique peut être obtenu à partir du paramètre et l'excentricité


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: où le signe moins désigne une ellipse et le signe plus une hyperbole.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: La norme de A mène à une équation faisant intervenir l'énergie "E"


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: ce qui peut être réécrit en termes d'excentricité


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Donc, si l'énergie est négative (état lié) l'excentricité est inférieure à un et l'orbite est une ellipse. Si l'énergie est positive (état libre ou état de diffusion), l'excentricité est supérieure à un est l'orbite est une hyperbole. Pour finir, si l'énergie est exactement égale à zéro l'orbite est une parabole (excentricité égale à 1). Dans tous les cas A est colinéaire à l'axe de symétrie de la conique et est dirigé du centre de force vers le periapside, point de plus courte approche.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: La conservation du vecteur de Runge-Lenz A et du vecteur moment cinétique L est utile pour montrer que le vecteur p se déplace sur un cercle dans un mouvement à force centrale suivant une loi en carré inverse. Le produit vectoriel de A et L mène à une équation pour p


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: En prenant L le long de l'axe "z" et le grand axe suivant l'axe "x" on obtient l'équation :


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: En d'autres termes, le vecteur quantité de mouvement p décrit un cercle de rayon "mk/L" centré en (0, "A/L"). L'excentricité "e" correspond au cosinus de l'angle η vu à la Figure 3. Il est également intéressant d'introduire la variable formula_26. Cet hodographe circulaire permet d'illustrer la symétrie du problème de Kepler.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Les sept grandeurs scalaires "E", A et L (étant des vecteurs, les deux dernières comptent comme trois grandeurs conservées chacune) sont reliées par deux équations A · L = 0 et "A" = "m'k" + 2 "m E L", ce qui laisse 5 constantes du mouvement indépendantes. Ceci est cohérent avec les six conditions initiales du système (la position initiale et le vecteur vitesse initiale ayant chacune trois composantes) qui détermine l'orbite de la particule puisque la date initiale ne peut pas être déterminée par une constante du mouvement. Étant donné que la norme de A (et donc l'excentricité "e" de l'orbite) peut être déterminée par le moment cinétique "L" et l'énergie "E", seule la "direction" de A est conservée indépendamment ; en outre, comme A doit être orthogonal à L, il ne fournit en fait qu'une seule constante du mouvement.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Un système mécanique à "d" degrés de liberté peut avoir au maximum 2"d" – 1 constantes du mouvement indépendantes, puisqu'il y a 2"d" conditions initiales et que la date initiale ne peut être déterminée par une constante du mouvement. Un système qui possède plus de "d" constantes du mouvement est appelé "superintégrable" et un système à 2"d" − 1 constantes est dit "maximalement superintégrable".


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Puisque l'équation de Hamilton-Jacobi dans un système de coordonnées ne mène qu'à "d" constantes du mouvement, les systèmes intégrables sont séparables dans plus d'un système de coordonnées Le problème de Kepler est maximalement superintégrable puisqu'il possède 3 degrés de liberté et 5 constantes du mouvement indépendantes ; son équation de Hamilton-Jacobi est séparable à la fois en coordonnées sphériques et en coordonnées paraboliques. Les systèmes maximalement superintégrables mènent à des orbites fermées à une dimension dans l'espace des phases, puisque l'orbite est l'intersection des iso-surfaces de leurs constantes du mouvement dans l'espace des phases. Ces systèmes peuvent être quantifiés canoniquement en utilisant uniquement des relations de commutation comme expliqué plus bas.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Le vecteur de Runge-Lenz A est conservé uniquement pour une force centrale suivant loi strictement en carré inverse. Dans la plupart des problèmes pratiques tels que les mouvements de planètes, l'énergie potentielle d'interaction entre deux corps ne découle pas rigoureusement d'une telle loi et peut inclure un terme additif, appelé potentiel de perturbation "h"("r"). Dans de tels cas le vecteur de Runge-Lenz tourne lentement dans le plan de l'orbite ce qui correspond à une lente précession du périastre de l'orbite. Par hypothèse le potentiel de perturbation "h"("r") est conservatif et central, ce qui implique que l'énergie totale "E" et le vecteur moment cinétique L sont conservés. En conséquence le mouvement reste contenu dans un plan perpendiculaire à L et la norme de "A" se conserve selon l'équation "A" = "m""k"+2"mEL". Le potentiel de perturbation "h"("r") peut être n'importe quelle fonction mais doit être significativement plus petit que le potentiel découlant de la force en carré inverse entre les deux corps.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: La "vitesse" à laquelle le vecteur de Runge-Lenz tourne donne des informations sur le potentiel de perturbation "h(r)". En utilisant la théorie des perturbations canoniques et les coordonnées action-angle, on obtient immédiatement que A tourne à la vitesse


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: où "T" est la période orbitale et dans laquelle l'identité "L" "dt" = "m" "r" "d"θ a été utilisée pour convertir l'intégrale temporelle en intégrale angulaire (Figure 5). L'expression entre crochets, 〈"h"("r")〉, représente la moyenne sur une période du potentiel de perturbation, c'est-à-dire la moyenne pour la particule décrivant complètement une fois son orbite. Mathématiquement la moyenne temporelle, qui est la grandeur entre accolades, permet d'éliminer les fluctuations dans le taux de rotation.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Cette approche a été utilisée pour permettre une vérification de la théorie d'Einstein de la relativité générale, qui ajoute un terme cubique de perturbation au potentiel gravitationnel newtonien


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: En injectant cette fonction dans l'intégrale et en utilisant l'équation


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: pour exprimer "r" en fonction de θ, la précession du périastre due à des perturbations non-newtonniennes est


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: ce qui correspond étroitement à l'anomalie observée de la précession de Mercure et des pulsars binaires. Cet accord avec l'expérience est considéré comme une preuve importante de la validité de la relativité générale.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Les trois composantes "L" du vecteur moment cinétique L ont les crochets de Poisson


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: où "i"=1,2,3 et ε est le symbole de Levi-Civita ; l'indice de sommation "s" est utilisé ici pour éviter l'ambiguïté avec le paramètre "k" de la force vue plus haut.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Comme expliqué plus bas une autre échelle du vecteur de Runge-Lenz, D, peut être définie dans la même unité que le moment cinétique en divisant A par "p". Le crochet de Poisson de D avec le vecteur moment cinétique L peut être sous une forme similaire


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Le crochet de Poisson de D avec "lui-même" dépend du signe de "E". Pour des énergies "négatives" (systèmes liés de trajectoire fermée, elliptique si la force suit une loi en carré inverse) le crochet de Poisson est :


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: tandis que pour une énergie positive (systèmes libres de trajectoire ouverte, hyperbolique si la force est en carré inverse de la distance) le crochet a le signe opposé


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Les opérateurs de Casimir pour des énergies négatives sont définis par


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: et ont des crochets de Poisson nuls avec toutes les composantes de D et L


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: "C" est nul de manière évidente, puisque les deux vecteurs sont toujours perpendiculaires. Cependant l'autre invariant "C" n'est pas trivial et dépend seulement de "m", "k" et "E". Cet invariant permet d'obtenir les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène en utilisant uniquement les relations de commutation de la mécanique quantique à la place de la méthode plus commune s'appuyant sur l'équation de Schrödinger.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Les crochets de Poisson fournissent une méthode simple de quantification canonique d'un système mécanique ; la relation de commutation de deux opérateurs quantiques est égal au crochet de Poisson des variables classiques correspondantes multiplié par formula_38. En menant le calcul de cette quantification et en déterminant les valeurs propres de l'opérateur de Casimir formula_39 du problème de Kepler, Wolfgang Pauli a obtenu spectre énergétique des atomes hydrogénoïdes (Figure 6) et donc leur spectre d'émission atomique Ce résultat élégant a été obtenu avant le développement de la mécanique ondulatoire.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Une subtilité de l'opérateur quantique associé au vecteur de Runge-Lenz A est que les opérateurs impulsion et moment cinétique ne commutent pas ; le produit vectoriel de p et L doit alors être défini avec précaution. Généralement, les opérateurs pour les composantes cartésiennes "A" sont définis en utilisant un produit symétrique :


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: à partir desquels les opérateurs d'échelle correspondants peuvent être définis


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Un premier opérateur de Casimir normalisé peut de la même manière être défini


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: où "H" est l'inverse de l'opérateur énergie hamiltonien et "I" est l'opérateur identité. En appliquant cet opérateur aux états propres formula_44 des opérateurs moment cinétique total, moment cinétique azimutal et énergie, les valeurs propres du premier opérateur de Casimir "C" sont "n" - 1 ; elles sont indépendantes des nombres quantiques "l" et "m", rendant les états d'énergie dégénérés. Les états d'énergie sont donnés par


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: ce qui est équivalent à la formule de Rydberg pour les atomes hydrogénoïdes (Figure 6).


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: La conservation du vecteur de Runge-Lenz correspond à une symétrie subtile du système. En mécanique classique les symétries sont des opérations continues qui permettent de passer d'une orbite à une autre sans changer l'énergie du système ; en mécanique quantique les symétries sont des opérations continues qui mélangent les orbitales atomiques de même énergie c'est-à-dire qui provoquent une dégénérescence des niveaux d'énergie. Une grandeur se conservant est généralement associée à de telles symétries. Par exemple toute force centrale est symétrique par le groupe de rotations SO(3) ce qui mène à la conservation du moment cinétique L. Classiquement une rotation complète du système ne modifie pas l'énergie de l'orbite ; quantiquement, les rotations combinent les harmoniques sphériques de même nombre quantique "l" sans changer l'énergie.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: La symétrie d'une force centrale suivant une loi en carré inverse est plus élevée et plus compliquée. La symétrie particulière du problème de Kepler résulte de la conservation simultanée du moment cinétique L et du vecteur de Runge-Lenz A (tel que défini plus haut) et, en mécanique quantique, assure que les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène ne dépendent pas des nombres quantiques "l" et "m". La symétrie est cependant plus subtile car elle prend place dans un espace de dimension supérieure ; de telles symétries sont parfois appelées « symétries cachées ».


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Classiquement la haute symétrie du problème de Kepler permet une perturbation continue des orbites conservant l'énergie mais pas le moment cinétique ; en d'autres termes, des orbites de même énergie mais de moments cinétiques différents (donc d'excentricités différentes) peuvent être transformées continûment les unes en les autres. De manière quantique cela consiste à faire une combinaison d'orbitales différant par leurs nombres quantiques "l" et "m" telles que des orbitales atomiques "s" ("l"=0) et "p" ("l"=1) par exemple. De telles combinaisons ne peuvent être faites en considérant les rotations et translations habituelles à trois dimensions, mais correspondent à une rotation dans un espace de plus grande dimension.


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: Pour des énergies négatives, c'est-à-dire des systèmes liés, le groupe de plus haute symétrie du système est SO(4), qui conserve la longueur dans un espace à quatre dimensions


title: Vecteur de Runge-Lenz

text: En 1935, Vladimir Fock montre que le problème de Kepler d'un système quantique lié est équivalent au problème d'une particule libre se déplaçant sur une 3-sphère dans un espace à quatre dimensions. Plus précisément Fock montre que l'équation de Schrödinger des fonctions d'onde dans l'espace des moments est la projection stéréographique des harmoniques sphériques sur la sphère.Démonstration des lois de Kepler et propriétés d'une ellipse, cours de mécanique par Bernard Gisin (site personnel)


title: Le Lauréat

text: Le Lauréat ("") est un film américain de 1967, réalisé par Mike Nichols et adapté du roman de même titre de Charles Webb par Buck Henry et Calder Willingham. Le film raconte l'histoire d'un étudiant de 21 ans, Benjamin Braddock (Dustin Hoffman), récemment diplômé de l'Université mais qui ne sait pas quoi faire de sa vie. Il est séduit par une femme plus âgée que lui, Mrs Robinson (Anne Bancroft), et tombe peu de temps après amoureux de sa fille Elaine (Katharine Ross). Il est considéré comme le premier film notable du Nouvel Hollywood.


title: Le Lauréat

text: Le film sort en 1967 aux États-Unis et en France. Il engrange 104,9 millions d'euros aux États-Unis et au Canada ce qui, après ajustement de l'inflation, équivaut à 770 millions de dollars et le place à la place sur la liste des plus gros succès du box-office au Canada et aux États-Unis.


title: Le Lauréat

text: En 1996, le film est sélectionné par le National Film Registry pour être conservé à la Bibliothèque du Congrès des États-Unis pour son « importance culturelle, historique ou esthétique »


title: Le Lauréat

text: Benjamin est un jeune homme qui a fini ses études et est retourné chez ses parents en Californie où il prévoit de passer quelques jours de vacances. Ses parents l'invitent à descendre de sa chambre pour se mêler à la fête donnée en son honneur, mais il préfère rester seul à l'écart de la soirée, jusqu'au moment où madame Robinson, amie de ses parents, s'approche et lui demande de la raccompagner chez elle. Benjamin accepte de la ramener dans sa nouvelle voiture, une Alfa Romeo Spider. Le jeune lauréat se rend vite compte que cette femme lui fait des avances… Arrivés chez elle, elle l'invite à boire un verre et l'emmène dans la chambre de sa fille Elaine, étudiante à Berkeley, et s'y déshabille. Benjamin veut résister à l'appel de cette femme quand, soudain, l'arrivée de monsieur Robinson met un terme à cette scène de séduction. Après une petite discussion, Mme Robinson lui dit à très bientôt et Benjamin s'en va. Bientôt, Benjamin et Mme Robinson entretiennent une liaison et se voient régulièrement à l'hôtel Taft. Benjamin est sous la coupe de sa maîtresse.


title: Le Lauréat

text: Les parents de Benjamin, soucieux de voir que leur fils ne fait rien de ses journées et sort la nuit, lui demandent d'inviter la fille des Robinson, Elaine, qui vient de revenir de Berkeley, à sortir. Malgré l'interdiction formelle que Mme Robinson lui a faite de voir sa fille, le jeune homme accepte un rendez-vous avec Elaine, ce qui détruit sa relation secrète avec Mme Robinson. Dès le premier soir, il tombe amoureux d'Elaine. Mais quand celle-ci apprend qu'il a eu une relation avec sa mère, elle part et refuse de le revoir. Il va la retrouver à Berkeley et lui propose le mariage. Elaine, qui s'est fiancée à un étudiant en médecine, hésite. Après quelques péripéties, où le père d'Elaine vient à Berkeley et s'emporte contre Benjamin, qu'il maudit, le mariage d'Elaine et de son fiancé se profile. Benjamin l'apprend au dernier moment, entre dans l'église et voit Elaine qui prête serment à son futur mari. Benjamin ému et en pleurs l'arrache de la cérémonie et ils partent tous les deux en courant et s'engouffrent dans un bus. Le film se termine sur un plan d'eux, assis sur la dernière banquette du bus, regardant chacun droit devant soi.


title: Le Lauréat

text: Acteurs non crédités :


title: Le Lauréat

text: Les jambes qui apparaissent sur l'affiche du film sont celles de Linda Gray, la « future » femme de J. R., Sue Ellen, dans le feuilleton télévisé "Dallas".


title: Le Lauréat

text: La scène où Benjamin est surpris par Mme Robinson nue est connue notamment pour ses images furtives du ventre et des seins de cette dernière. Le film tire une partie de sa réputation de sa description explicite d'une relation sexuelle entre un jeune homme et une femme mûre. En fait, Dustin Hoffman, qui jouait le jeune homme censé avoir 20 ans, en avait déjà 30, et la femme mûre est interprétée par Anne Bancroft qui avait tout juste 36 ans à l'époque du tournage (alors que son personnage dit avoir le double de l'âge de son amant), tandis que Katharine Ross, qui joue sa fille Elaine, en avait 27.


title: Le Lauréat

text: Le film marque l'une des toutes premières apparitions de Richard Dreyfuss interprétant le rôle d'un voisin (toutefois non crédité). Jeanne Moreau a refusé le rôle de Mme Robinson. C’est grâce au succès du "Lauréat" que Dustin Hoffman, devenu célèbre du jour au lendemain, voit une carrière spectaculaire s'ouvrir devant lui. Quant à Mike Nichols, réalisateur reconnu pour son talent à capter l’air du temps, et qui vient de tourner "Qui a peur de Virginia Woolf ?" (, 1966), il remporte l'oscar du meilleur réalisateur.


title: Le Lauréat

text: "Mrs. Robinson", la chanson écrite par Paul Simon et interprétée par le duo Simon et Garfunkel, contribue largement à la notoriété de cette œuvre, et réciproquement.


title: Le Lauréat

text: Le succès considérable du "Lauréat" (plus de 40 millions de dollars de recettes en quelques semaines aux États-Unis) constitue une surprise au moment de sa sortie : personne ne croyait en effet à ce film qui réunissait des acteurs peu connus autour d’un scénario scabreux dont le héros séduisait à la fois une mère et sa fille, bien que le film "Lolita" réalisé par Stanley Kubrick en 1962 (d'après le roman éponyme de Vladimir Nabokov) et présentant un scénario similaire eût déjà réussi le pari de plaire au public américain malgré son caractère polémique.


title: Le Lauréat

text: Ce film est considéré par le Top 100 de l'American Film Institute comme le dix-septième plus grand film américain de l'histoire du cinéma en 2007. En 1998, il avait été classé septième.


title: Le Lauréat

text: Le grand public se passionne immédiatement pour ce jeune héros anticonformiste et pour cette histoire reflétant parfaitement l’Amérique de la fin des années 1960 — une société traversée par le mouvement hippie —, à mi-chemin entre puritanisme et libération sexuelle.  Outre la relation entre un homme jeune et une femme plus âgée, l'histoire choque également parce qu'elle dépeint une relation purement sexuelle et sans aucun sentiment, et aussi une situation où les adultes ne cessent de vouloir dicter au jeune homme sa conduite : choix de sa future carrière, relation presque imposée avec Mme Robinson, puis interdiction de fréquenter sa fille.


title: Le Lauréat

text: Le cadeau offert à Benjamin pour le récompenser de la brillante conclusion de ses études est une rutilante Alfa Roméo duetto décapotable, d'un beau rouge vif, qui tombera en panne d'essence au pire moment, alors que Benjamin se précipite vers l'église pour s'opposer au mariage (il termine en courant un véritable marathon), une scène mémorable qui a beaucoup fait pour la popularité de cette voiture aux USA. D'ailleurs une version sera officiellement rebaptisée "graduate".


title: Le Lauréat

text: Dans la scène dans laquelle Benjamin et Elaine se rendent dans une boîte, on aperçoit les affiches françaises de deux spectacles parisiens :


title: Le Moine fou

text: Le Moine fou est une série de bande dessinée créée par Vink dans "Charlie Mensuel" en et publiée en albums depuis 1984 par les éditions Dargaud. Dix volumes sont parus de 1984 à 1999. À partir de 2000, la série a continué sous le nom Les Voyages de He Pao. Réalisé en couleur directe, "Le Moine fou" a immédiatement séduit le public par sa « beauté picturale » et son ambiance « particulière ».


title: Le Moine fou

text: Dans la Chine féodale des Song, une jeune fille d'origine occidentale, He Pao, est élevée par des parents d'adoption comme un garçon manqué surnommé , et devient une grande praticienne des arts martiaux. Elle se met en quête d'un moine qui possèderait une connaissance des arts martiaux tellement approfondie qu'il en serait devenu fou.


title: Le Moine fou

text: Lors de la sortie du premier volume du "Moine fou", Thierry Smolderen en a livré une analyse élogieuse pour "Les Cahiers de la bande dessinée". Il y voyait un récit « à la fois superbe sur le plan romanesque » et « fort sur le plan du dessin ». Selon lui, si Vink est aussi virtuose qu'un Don Lawrence ou un Paul Cuvelier, il s'en différencie en ce qu'il n'est pas un peintre frustré mais un réel auteur de bande dessinée, dont le dessin sert admirablement la narration, faisant écho à ses thèmes et ses enjeux.


title: Le Moine fou

text: L'action se déroule en Chine ancienne, durant la période des Song, lorsque les du Nord attaquent et occupent une partie du pays.


title: Le Moine fou

text: Dans cette série, l'art martial pratiqué par He Pao est à l'origine de la plupart des péripéties des dix premiers tomes. Cet art martial serait né d'un moine (Zhou Li) qui, attiré par les arts martiaux durant ses années d'étude au monastère du miroir précieux, a fini par mettre au point une technique martiale très puissante qui, liée à la folie, permet de détruire et de combattre tout ennemi ou objet devant le pratiquant.


title: Le Moine fou

text: Cependant, ce que le semble ignorer, c'est que le créateur de l'art interdit de blesser ou tuer toute personne sous peine de suicide par hémorragie cérébrale.


title: Le Moine fou

text: Les moines du monastère du miroir précieux ainsi que ceux du Tibet et diverses confréries voulant empêcher des destructions trop importantes, voulurent contrôler le moine fou. Le moine supérieur du temple inventa alors deux mantras pour contrôler le moine : l'un pour l'endormir, l'autre pour le rendre amnésique. Le moine en ayant eu connaissance put s'en détacher assez vite mais He Pao dut trouver son propre chemin.


title: Le Moine fou

text: , certains voulurent, soit acquérir l'art, soit le détruire. Pour cela, les pétards, les lances, les couteaux, le feu, les naufrages furent utilisés chaque fois sans succès.


title: Le Moine fou

text: L'héroïne est liée à cet art martial depuis le moment où elle le découvre sous la forme de 21 traces dans la pierre par la main du moine fou (nom de l'album). Ces traces ne lui sont pas destinées, mais à sa référente. Après avoir absorbé une mousse particulière, elle peut apprendre l'art martial en une dizaine de jours, dans la position dite du . Sa première technique fut de rendre amnésiques les ex-soldats qui venaient pour la rendre amnésique. Unique pratiquante de cet art, sa puissance lui attire autant de prétendants que d'opposants tout au long des épisodes.


title: Le Moine fou

text: l'on voit l'héroïne se plonger dans la folie comme élément de son art martial, les troubles de la vision comme la cécité, des pertes de mémoire, ou l'extinction de voix sont autant de preuves de troubles liés à l'art martial du moine fou. Mais au fur et à mesure de sa pratique, He pao se détache de ses troubles pour une certaine forme de folie (Voir tomes 2 et 3 des "Voyages de He Pao").


title: Le Moine fou

text: La recherche de He Pao pour retrouver le moine fou l'amène à quitter sa région natale pour aller jusqu'en Corée où elle suit Ki Ju qui rentre chez lui.


title: Le Moine fou

text: L'eau est omniprésente dans la série du début à la fin et presque dans chaque épisode. Dès le début, "He Pao le joyau du fleuve" marque la donne ; plus tard, on apprend qu'elle a été recueillie après un naufrage, la barque des nonnes qui coule... un thème récurrent qui revient dans les tomes 6, 9 et 10.  Dans le tome 6, "Les Matins du serpent", He Pao passe la plupart de son temps dans l'eau.


title: Le Moine fou

text: Au début peur viscérale, l'eau devient peu à peu une alliée pour He Pao. Par sa fluidité et sa puissance, l'eau rappelle l'art martial du moine fou. Dans le tome 2 des "Voyages de He Pao", par sa pratique martiale, alliée à l'eau, elle devient terrifiante et si dévastatrice qu'elle se matérialise par un torrent de boue.


title: Le Moine fou

text: L'eau est liée aussi aux parents de He Pao, morts dans le naufrage de leur barque ; lorsque He Pao les revoit en "transe", l'eau n'est jamais loin.


title: Le Moine fou

text: He Pao, le "joyau du fleuve", est le personnage principal de la série.


title: Le Moine fou

text: He Pao a 14 ans quand elle assiste, impuissante, au massacre de ses parents par Yu Kong, un fils de bourgeois qui a subitement sombré dans la démence. Cachée sous des vêtements masculins et décidée à retrouver et à punir l'assassin, elle se met à parcourir seule les routes de la Chine médiévale du . Hébergée quelque temps par des nonnes, elle finit par retrouver Yu Kong, devenu disciple du Moine Fou. He Pao, fascinée par ce moine, décide de découvrir ses secrets. L'adolescente grandit et avec elle, le désir de percer le secret de sa petite enfance...


title: Le Moine fou

text: Il s'agit d'un personnage-clef de la série qui est à l'origine de nombreux épisodes.  C'est le seul disciple direct de He Pao, à l'origine élève d'un maître d'arts martiaux enseignant en Corée.


title: Le Moine fou

text: C'est un personnage jeune, adolescent qui garde des aspects joueur et de laisser-aller. Mais martial et discipliné, il garde toute sa connaissance technique pour lui.


title: Le Moine fou

text: Mademoiselle Mei est la fille de Zhou Li et rencontre He Pao avec sa servante dans le tome 4 de la série, "Le Col du vent". Son objectif est de reprendre son "héritage" de la tête de He Pao afin d'en acquérir la puissance et la renommée. On sait peu de choses d'elle, mais le fait qu'elle soit vêtue de soie et accompagnée d'une servante laisse à penser qu'elle vient d'une famille noble du côté de sa mère. Elle a un visage de renard et de serpent.


title: Le Moine fou

text: Ténèbres extasiés est un homme qui apparaît dans les albums "Le Mont des nuages colorés" et "Le Monastère du miroir précieux" (1992). Il est proche et éloigné de He Pao dans le sens où il est un homme et elle est femme, il pratique un art martial "identique" mais n'est pas soumis à l'auto-suicide comme He Pao en cas d'utilisation mortelle.


title: Le Moine fou

text: Elle le prend d'abord pour Zhou Li, avant d'être détrompée. C'est un personnage très comédien et expressif, tant par son côté comique qu'excentrique dans ses soubresauts et ses manies. Il est rendu amnésique par un moine tibétain lors d'une de ses furies et prend alors le nom de "Quiétude Retrouvée".


title: Le Moine fou

text: Il s'agit du moine fou du titre. On entend souvent parler de lui dans les premiers albums (jusqu'au tome 7), mais on n'obtient de lui aucune image précise ou description biographique.


title: Le Moine fou

text: On sait surtout qu'il fut adopté avec d'autres enfants comme celle à qui il destinait l'art martial par le Monastère du miroir précieux, où il apprit le bouddhisme et reçut son titre de moine, en cette période trouble de la Chine.


title: Le Moine fou

text: C'est en étudiant les arts martiaux qu'il finit par fonder sa branche, son art de destruction et de défense.


title: Le Moine fou

text: Chassé du temple, il décida d'aller en Inde en passant par le Tibet, d'où il fut chassé. De retour en Chine, quarante années passèrent avant que He Pao ne trouve son art martial retranscrit sur des parois de pierre au Col du Silence.


title: Le Moine fou

text: L'auteur de la série ne mentionne pas quand ni comment il se rendit en Corée, où il demeure. Sa présence cesse dans le .


title: Le Moine fou

text: Il est chinois par sa mère (ce qui lui permet de communiquer avec He pao et d'autres personnages) et coréen par son père. Il est né en Corée et dispose encore de son père et de sa mère ainsi que de quelques frères et sœurs.


title: Le Moine fou

text: Il croise le chemin de He Pao alors qu'il se trouve en Chine, où il occupe le rôle de capitaine dans une unité de cavalerie des Gin, qui occupent le nord de la Chine. Il est mercenaire et non pas soldat dans l'armée régulière. Il est capturé par He Pao et suit cette dernière jusqu'à sa capture par les Gins, puis son retour en Corée.


title: Le Moine fou

text: C'est la mère supérieure venant du monastère du miroir précieux qui, ayant été adoptée par celui-ci en même temps que le moine fou, est liée à lui. Contrairement, à Zhou Li, elle s'est dédiée à la voie monastique et au bouddhisme. S'étant spécialisée dans les soins à autrui, elle pratique l'herboristerie pour soigner les malades qu'elle rencontre sur son chemin, avec l'aide de deux autres nonnes, dont on ne connait pas l'origine précise, Sœur Pure Conscience et Sœur Esprit Limpide.


title: Le Moine fou

text: Elle apparaît dans les trois premiers albums de la série. Elle vient en aide à He Pao en l'adoptant temporairement dans la communauté qu'elle fonde avec les deux autres nonnes, puis à l'ancien lieu de vie du moine fou. Elle lui enseigne l'écriture, le bouddhisme, des rudiments d'arts martiaux mais n'est pas favorable à ce qu'elle en sache trop.


title: Le Moine fou

text: Ce sont les parents de He Pao qui apparaissent , soit dans ses souvenirs, soit dans des moments "de transe" où elle voit ses parents toujours plus ou moins dans un éléments proche de l'eau. Ils lui ont donné son prénom italien Antonnella.


title: Le Moine fou

text: Ce sont des marchands italiens immigrés en Chine et qui ont été assassinés par noyade.


title: Le Moine fou

text: Tous les albums sont publiés par Dargaud. Premier volume de la série, sorti en 1984.


title: Le Moine fou

text: Deuxième volume de la série, sorti en 1985.L'histoire se déroule dans l'ancien sanctuaire du boiteux, dans la montagne. Il s'agit d'un épisode clé, car il montre l'intérêt de He Pao pour les arts martiaux. Elle prend alors possession de l'art.


title: Le Moine fou

text: Troisième volume de la série, sorti en 1987.He Pao, après avoir quitté les nonnes (voir "La Mémoire de pierre") rencontre une troupe de déserteurs de l'armée régulière chinoise, qui l'amène à se battre pour la première fois contre des soldats ou des mercenaires. Elle capture Kim Ki Ju, elle se retrouve dans une ville assiégée, où elle rencontre le moine défroqué Zang ainsi que Dame Yao qui l'accueille en son gîte. Elle subit les premiers troubles dus à la pratique de l'art martial du moine fou comme les maux de têtes, l'évanouissement, la colère, .


title: Le Moine fou

text: Quatrième volume de la série, sorti en 1990.He Pao est encore abasourdie de la bataille pour la libération de la ville, dont elle n'a aucun souvenir hormis la mort de Zhang devant elle (voir "Le Brouillard pourpre"). Elle chevauche en direction de la Corée en accompagnant Ki Ju, mais au vu de son comportement, si elle prête vraiment attention à lui. Elle loge à l'auberge du col du vent, où le gîte et le couvert sont offerts en échange d'un conte, d'une histoire. Elle se rend dans la montagne où elle rencontre Ténèbres extasiés, manque de se faire foudroyer à plusieurs reprises. Elle y rencontre Mademoiselle Mei qui est aussi la fille de Zhou Li.


title: Le Moine fou

text: Cinquième volume de la série, sorti en 1992.Dans cet épisode, Kim Ki ju est fait prisonnier par les Hans à cause d'une dénonciation. He Pao suit le vieux moine qui n'est autre que l'ancien maître du Moine fou vers son monastère. Il est avéré que les membres de la secte du tigre blanc et la confrérie des mendiants ont été tués par la foudre et Ténèbres extasiés. He Pao accède petit à petit aux anciens lieux de vie de son "maître" et comprend qu'elle n'est pas seule à avoir reçu indirectement un enseignement martial et artistique. Dans le miroir, elle comprend que certains veulent l'immobiliser par les mantras, mais par son cri, elle se détache d'eux comme Zhou Li avant elle.


title: Le Moine fou

text: Sixième volume de la série, sorti en 1993.He Pao se trouve encore dans la montagne abritant le monastère du miroir précieux (voir tome précédent : "Le Monastère du miroir précieux"). Elle a vaincu sa peur viscérale de l'eau par une étude intensive de la nage. Avant de partir, le vieux moine lui conseille de vaincre les tourbillons de la rivière de l'enfer. Elle "se jette" à l'eau et alors qu'elle allait s'engager sur la rivière avec un radeau de bambou, délivre Ki ju, .


title: Le Moine fou

text: Elle doit alors affronter d'anciens ennemis du moine fou qui la confondent avec lui, puis l'été touchant à sa fin, elle décide de suivre Ki ju vers la Corée.


title: Le Moine fou

text: Septième volume de la série, sorti en 1994.Les oiseaux migrateurs ayant apporté un message du moine fou, He Pao comprend que ce dernier est en Corée. Elle s'y rend accompagnée de Ki ju. Remarquée par le Prince noir, elle accepte le gîte et le couvert, mais repousse poliment sa demande pour devenir l'instructeur en arts martiaux de ses fils. Lors d'une chasse, ces derniers s'enfuient pour se débarrasser d'elle et l'un d'eux est enlevé par une bande de voleurs chinois. Elle rencontre Six pas, un ami proche de Zhou Li. Elle rencontre aussi ce dernier dans un espace-temps étonnamment court , Zhou Li est ébauché du point de vue graphique, ce qui laisse aux lecteurs le soin de garder pour eux leur propre image du fondateur de l'art martial.


title: Le Moine fou

text: Huitième volume de la série, sorti en 1995.He Pao a entrepris de raccompagner Petit Li chez lui dans le sud de la Chine. Elle commence par lui apprendre certains exercices de respiration, de musculature, mais celui-ci, n'y trouvant aucune utilité, préfère se détacher et aller voler des poissons séchés chez les villageois qui finissent par les empoisonner. He Pao, qui souhaite continuer à faire vivre Petit Li, le soigne et finit par le ramener à la vie. Par un système de transe, He Pao est amenée à se revoir étant jeune sous le pseudonyme de Petit Barbare, . Petit Li a aussi recours à la transe pour s'exprimer par l'intermédiaire d'un nouveau-né.


title: Le Moine fou

text: Neuvième volume de la série, sorti en 1997.À l'approche du nouvel an chinois, les voyageurs convergent vers la ville. He Pao et Petit Li acceptent de voyager un temps avec le vieux Teng et sa troupe de danseurs qui joue la danse du dragon. He Pao continue à instruire Petit Li sur certains aspects de l'art martial du moine fou pour qu'ils puissent se donner en spectacle sur le marché. Ils sont remarqués par le vieux Teng qui les engage pour participer à un tournoi de licornes. Le combat ne va pourtant pas être celui qu'ils prévoyaient car Mo cherche comme le vieux Teng à anéantir l'art martial du moine fou, l'un par l'eau (la pensée), l'autre par le feu ; aucun des deux n'y parviendra.


title: Le Moine fou

text: Dixième (et dernier volume) de la série, sorti en 1999.He Pao progresse dans son art martial, qui la fait aller dans les arbres et se déplacer sans abîmer les branches et les fruits. Elle croise alors la route de Maître Buchier, puis de Rachid Le persan. Surprise du comportement de Petit Li lors de la rencontre avec la caravane de Buchier, car il n'agit pas selon les règles de son ancien maître, He Pao se rend compte qu'un peu de la folie du moine est passé en lui.


title: Herblay-sur-Seine

text: Herblay-sur-Seine (appelée Herblay jusqu'en ) est une commune française située dans le département du Val-d'Oise en région Île-de-France. Ses habitants sont appelés les "Herblaysiens" ou "Herblaisiens".


title: Herblay-sur-Seine

text: Située sur la rive droite de la Seine, à la limite des Yvelines, Herblay-sur-Seine est limitrophe de La Frette-sur-Seine, Montigny-lès-Cormeilles, Pierrelaye, Saint-Ouen-l'Aumône, Éragny, Conflans-Sainte-Honorine, Achères.


title: Herblay-sur-Seine

text: La gare d'Herblay sur la ligne de Paris-Saint-Lazare à Mantes-la-Jolie et à Gisors par Conflans-Sainte-Honorine est desservie par les trains de la ligne J du Transilien.


title: Herblay-sur-Seine

text: La commune est desservie par les lignes 30.07, 30.31, 30.32, 30.38, 30.47 et 30.48 de la société de transport Cars Lacroix ainsi que par les lignes 95.19, 95.20 et 95.21 du réseau de bus départemental Busval d'Oise. Herblay possède une ligne CitéVal composé de deux circuits desservant les différents quartiers de la commune.


title: Herblay-sur-Seine

text: Herblay-sur-Seine, comme toute l'Île-de-France est soumis à un climat océanique dégradé. La localisation de la commune au sein de l'agglomération parisienne provoque une très légère élévation de la température d'un ou deux degrés en fonction des conditions climatiques par rapport aux zones rurales d'Île-de-France. Cet écart est particulièrement notable au lever du jour par temps calme et anticyclonique, et la situation a tendance à s'accentuer au fil des années. La température moyenne annuelle est de , le mois le plus le froid est janvier avec + ; les mois les plus chauds sont juillet et août avec + (moyenne journalière). Le nombre moyen de jours où la température dépasse est de 40, dont 8 au-delà de . Dans le sud du Val-d'Oise, depuis 1955, la durée moyenne annuelle d'ensoleillement est de 1719 heures.


title: Herblay-sur-Seine

text: La station météorologique de Météo-France installée sur la commune et en service de 1989 à 2014 permet de connaître l'évolution des indicateurs météorologiques. Le tableau détaillé pour la période 1981-2010 est présenté ci-après.


title: Herblay-sur-Seine

text: Les quartiers d'Herblay-sur-Seine sont : Herblay-sur-Seine est une commune urbaine, car elle fait partie des communes denses ou de densité intermédiaire, au sens de la grille communale de densité de l'Insee. Elle appartient à l'unité urbaine de Paris, une agglomération inter-départementale regroupant et en 2017, dont elle est une commune de la banlieue.


title: Herblay-sur-Seine

text: Par ailleurs la commune fait partie de l'aire d'attraction de Paris, dont elle est une commune du pôle principal. Cette aire regroupe .


title: Herblay-sur-Seine

text: Herblay-sur-Seine est bordée au Sud par la Seine. Un bourg s'est constitué en surplomb,sur le plateaux, autour de l'église Saint-Martin. La surface de la commune a longtemps été dominées par des terrains agricoles qui conditionnent aujourd'hui l'urbanisme de la commune. La plaine céréalière de Pierrelaye a notamment orienté certains quartiers (Les Cailloux Gris, les Buttes Blanches et Les Femmes Savantes) vers les communes de Conflans-Sainte-Honorine et d'Eragny.  La ville comporte un centre ville historique commercial, mais aussi une importante zone d'activité économique et commerciale située au nord de l'autoroute A15 et le long de la RD14 , appelée la "Patte d'Oie d'Herblay-sur-Seine". L'autoroute A15 est aussi un élément séparateur des différents quartiers de la ville.


title: Herblay-sur-Seine

text: Commune intermédiaire entre la zone urbaine parisienne et les plaines du Vexin, Herblay-sur-Seine est une commune majoritairement urbanisée, mais aux "franges de l'agglomération" (soit un taux d'espace urbanisé supérieur ou égal à 65%, et une densité humaine supérieure ou égale à 30 individus à l'hectare).


title: Herblay-sur-Seine

text: Cette plaine agricole a été plus tard été utilisée pour l'épandage des eaux usées de l'agglomération parisienne. La plaine de Bessancourt-Herblay-Pierrelaye fait aujourd'hui l'objet d'un projet d'envergure s'inscrivant dans la ceinture verte projetée par le Grand Paris. Le Plan Local d'Urbanisme en vigueur de la commune a été adopté le 26 septembre 2019 par le Conseil Municipal de la commune. La commune souhaite "maîtriser l'urbanisme" afin de limiter l'expansion de la commune. Il décrit les règles d'occupation des sols par secteur, mais aussi les différentes orientations d'aménagement et de programmation de la commune :


title: Herblay-sur-Seine

text: - Les orientations de renouvellement urbain sur les secteurs de entrée du centre ville et de la RD14


title: Herblay-sur-Seine

text: - Les orientations de développement urbain sur les quartiers des Bayonnes, de Chennevières, de La Garenne, des Noisetiers


title: Herblay-sur-Seine

text: - Les orientations de développement touristique, patrimonial et paysagers autour des bords de Seine.


title: Herblay-sur-Seine

text: Attestée sous les noms, "Acebrelidum" et "Arabrelidum" en 754, "Arablai" et "Arablet", "Adrabletum" et "Atrabletum", "Herbleyo" en 1207, "Erbleium" et "Erbledum" en 1210, "Herbledis" en 1226, "Herbuletum" et "Herbleium" au , "Herbleio" au , "Erblay" fin du , "Erblay" en 1365, "Arblay" entre 1346 et 1372, "Erbelay-sur-seine" en 1394, "Arbeley" en 1598, "Erbelay" en 1626, "Herbelay" en 1631, "Erblai" et "Herbelai" en 1631, "Herbelay", "Herbelaye" en 1667, "Arblay" en 1714, "Herblai" au , "Arblai" en 1720, "Airblai" en 1720, "Herblet" en 1746, "Erbelay" en 1764, "Herblai" en 1763, "Erblay" et Orblay"".


title: Herblay-sur-Seine

text: "Acebrelidum" issue du bas latin "acerabulus" « érable » et du suffixe "-etum" « ensemble d'érables ».


title: Herblay-sur-Seine

text: La commune, instituée par la Révolution française sous le nom de "Herbelay" en 1793, puis de "Herblay" en 1801, change officiellement de nom pour devenir "Herblay-sur-Seine" en , après une consultation des habitants.


title: Herblay-sur-Seine

text: Le village était partagé entre les seigneuries des abbés de Saint-Denis, du chapitre de Notre-Dame de Paris, et la famille Chaumont. Ce fut également le fief de Jean de Beauvais au , au , celui des Ailegrin.


title: Herblay-sur-Seine

text: L'église du (Saint-Martin), classée monument historique le , est bâtie sur l'emplacement d'une nécropole mérovingienne. À la fin du et au début du , grâce à l'arrivée du chemin de fer, la ville se développe fortement. De nombreuses familles bourgeoises s'installent dans cette campagne devenue si près de Paris. Ils commandent à des architectes locaux de belles villas imprégnées du goût de l'époque pour l'éclectisme et l'Art nouveau.


title: Herblay-sur-Seine

text: À la fin de la Première Guerre mondiale, le secteur où est situé la commune étant à l'époque encore peu peuplé malgré la proximité de Paris, est délimitée une zone « B » dont Herblay-sur-Seine est quasiment le centre (il existe, ailleurs, en région parisienne des zones « A » et « C ») dans le cadre du projet de répliques de Paris, un ensemble d'infrastructures militaires françaises destinées à leurrer la nuit les aviateurs allemands en opération de bombardement, en simulant, principalement par des éclairages, la présence de la Capitale à des endroits peu urbanisés. Mais cependant et par conséquent, Herblay court potentiellement le risque de subir des destructions par l'ennemi, sacrifié en quelque sorte pour préserver Paris. Dans les faits, ce projet n'est concrétisé, partiellement, qu'en zone « A », mais n'est pas réalisé en zones « B » et « C », en raison de la fin du conflit.


title: Herblay-sur-Seine

text: Antérieurement à la loi du , la commune faisait partie du département de Seine-et-Oise. La réorganisation de la région parisienne en 1964 fit que la commune appartient désormais au département du Val-d'Oise et son arrondissement d'Argenteuil, après un transfert administratif effectif au .


title: Herblay-sur-Seine

text: Pour l'élection des députés, elle fait partie depuis 1986 de la troisième circonscription du Val-d'Oise.


title: Herblay-sur-Seine

text: Elle faisait partie de 1793 à 1964 du canton d'Argenteuil, année où elle intègre le canton de Cormeilles-en-Parisis. En 1973, elle devient le chef-lieu du canton d'Herblay-sur-Seine . Dans le cadre du redécoupage cantonal de 2014 en France, la commune devient le bureau centralisateur de ce canton dont la composition est modifiée, passant de 2 à 3 communes.


title: Herblay-sur-Seine

text: La commune fait partie de la juridiction d’instance de Sannois, et de grande instance ainsi que de commerce de Pontoise.


title: Herblay-sur-Seine

text: La commune était membre de la "communauté de communes du Parisis" a été créée le , et transformée en communauté d'agglomération en 2011 sous le nom de communauté d'agglomération du Parisis.


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text: Dans le cadre de la mise en œuvre de la loi MAPAM du , qui prévoit la généralisation de l'intercommunalité à l'ensemble des communes et la création d'intercommunalités de taille importante, cette intercommunalité fusionne avec sa voisine pour former, le la communauté d'agglomération Val Parisis, dont la commune est désormais membre.


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text: Au deuxième tour des dernières élections présidentielles :


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text: Lors des élections municipales de 2014, Philippe Rouleau (LR) l'emporte au premier tour avec 50,98 % soit voix.


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text: La ville a engagé une politique de développement durable en lançant une démarche d'Agenda 21 en 2009.


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text: La ville est jumelée avec la ville de Taunusstein, en Allemagne et la ville de Yeovil, au Royaume-Uni.


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text: La ville d'Herblay-sur-Seine relève de l’Académie de Versailles.


title: Herblay-sur-Seine

text: Les écoles maternelles sont : Les écoles élémentaires sont : Les établissements du secondaire sont :


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text: On compte également une école pour enfants précoces avec une classe de la maternelle à la fin du collège spécialisée pour enfants intellectuellement précoces, l'école Léonard-de-Vinci.


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text: À la rentrée 2015, le groupe scolaire Jean-Louis-Étienne ouvre ses portes.


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text: La commune dispose d'équipements sportifs :


title: Herblay-sur-Seine

text: La ville possède un centre-ville composé de rues ouvertes à la circulation, bordées par de nombreux commerces et services. La place du marché est aussi entourée de commerces. Le quartier de la gare est une zone économique, du fait du transit et regroupe de nombreuses administrations locales et publiques. Des regroupements de commerces et de services se trouvent à la jonction des différentes zones d'habitations de la ville (exemples : aux Buttes Blanches, ou, entre les Chênes et l'Orme Macaire). Les artisans sont disséminés sur tout le territoire de la ville. En outre, il existe une zone industrielle et commerciale, dynamique vers la Patte d'Oie d'Herblay.


title: Herblay-sur-Seine

text: En 2010, le revenu fiscal médian par ménage était de 42 194 €, ce qui plaçait Herblay au 1 605 rang parmi les 31 525 communes de plus de 39 ménages en métropole.


title: Herblay-sur-Seine

text: Le Théâtre Roger Barat a été inauguré en 2002. Il comporte la salle "Debussy", de 496 places assises, une salle de réception de 168m² et une salle de danse.


title: Herblay-sur-Seine

text: L'EAM, ou Espace André Malraux, comporte une salle spectacle, "la luciole", de 106 places assises, deux studios d'enregistrement et de répétition, vingts salles pour les activités du Conservatoire de musique, et divers activités sportives et manuelles. L'équipement, livré en 2009, a été imaginé par l'agence d'architecture Quintet.


title: Herblay-sur-Seine

text: Herblay ne compte qu'un seul monument historique sur son territoire.


title: Herblay-sur-Seine

text: La ville s'est construite sur un plateau riche de gypse, avec lequel on produisait le plâtre, et en calcaire. Les carrières d'Herblay, exploitées à partir du 17ème siècle, ont ainsi fourni la pierre pour la construction de la Collégiale de Poissy, le palais Bourbon, la Fontaine de Grenelle et la Tour Saint Jacques notamment.


title: Herblay-sur-Seine

text: Dans ces carrières s'installent à partir du 19ème siècle, des "champignonnistes".


title: Herblay-sur-Seine

text: Ces carrières "présentent un double intérêt géologique et paléontologique". Les marnes des toits des carrières contiennent ainsi de géodes de calcites, ou petits cristaux de couleur orangée qui peuvent atteindre jusqu'à un mètre de long. D'autre part, la Commission Française pour la Protection du Patrimoine Historique et Rural, ayant mis le site en observation, a découvert en 1992 une mâchoire et des ossements fossilisés de Lophiodon. Le Museum d'Histoire Naturelle, après étude, aurait en fait identifiée un œuf fossilisé, découverte exceptionnelle dans le bassin parisien.


title: Tirade

text: Une tirade est une longue réplique d'un personnage d'une pièce de théâtre.