title: Siboglinidae

text: Les siboglinidés se trouvent dans les grands fonds marins (les premiers ont été découverts sur les fumeurs noirs de la dorsale des îles Galápagos en 1977 par le sous-marin de recherche ALVIN, par de fond) ), et sont typiques des cheminées hydrothermales ou des suintements froids. Ils vivent sur la plaine abyssale à proximité immédiate d'une source hydrothermale ou d'un suintement froid. Leur couleur rouge est due à la présence d'hémoglobine, nécessaire au transport du dioxygène et peut-être au transport du sulfure d'hydrogène (source d'énergie) vers les bactéries endosymbiotiques chimiolithoautotrophes se trouvant dans un organe spécialisé du ver, le trophosome. L'oxydation du sulfure d'hydrogène constitue la source d'énergie pour les bactéries, et donc pour le ver qui en dépend entièrement. La source d'électrons nécessaires à la réduction du CO2 (qui est la source de carbone, les nitrates étant supposés être la principale source d'azote) proviendrait également d'une molécule inorganique (laquelle ?). Ces bactéries sont donc des chimiolithoautotrophes, à source d'énergie inorganique. Il faut le préciser, car le préfixe chimio-, censé préciser la nature chimique par opposition à la nature lumineuse de la source, est ambigu puisqu'il désigne aussi les métabolismes à source d'énergie chimique organique. Ces Polychètes sont dépourvus de système digestif, le trophosome s'y substituant entièrement.


title: Siboglinidae

text: Selon :


title: Afrologie

text: L'afrologie est un courant de réflexion rassemblant plusieurs auteurs et acteurs autour de la question du développement socio-économique du continent africain.


title: Afrologie

text: L'afrologie se veut globalement une étude scientifique, un débat sur l'organisation des structures sociales contemporaines de l'Afrique. Elle place au cœur de toute mutation sociale en Afrique (comme partout dans le reste du monde) la notion de l’identité. L'Afrique traverse une grave crise : frontières imposées, conflits ethniques, conflits de génération, diaspora, etc.


title: Afrologie

text: De l'étude de la notion d'identité découle la réflexion sur les différentes formes d'identification sociale, institutionnelle et personnelle. L'individu, quoique déterminé par des structures mentales et psychologiques propres, se re-construit dans le cadre des identités collectives plus ou moins larges, dont l'État moderne est un exemple. Cet État reste à construire en Afrique.


title: Afrologie

text: Le groupe Afrology (fondé par Gustav Ahadji) comprend un courant qui se consacre à l'élaboration et à la diffusion de solutions de politique publique, dans le but d'influencer les acteurs du processus de décision politique en Afrique. Le think tank d'Afrology (actuellement dirigé par Ekoué Amaïzo) est une structure indépendante sans aucun but lucratif, et se positionne comme une source transparente et fiable d'analyses et d'informations pour assister les recherches de solution et évaluations des décideurs politiques. Afrology a pour objectif de proposer des solutions de politique publique novatrices et d'être un forum consultatif pour de nouvelles idées pour le continent africain. Le groupe a son siège à Bruxelles en Belgique.


title: Jugurtha (bande dessinée)

text: Jugurtha est une série de bande dessinée historique belge, inspirée de l'histoire du roi numide Jugurtha. Écrite par Jean-Luc Vernal, elle a été dessinée par Hermann (tomes 1 et 2), Franz (tomes 3 à 15) et Michel Suro (tome 16). Sa publication a débuté en mai 1967 dans "Tintin" et s'est achevée en 1995 avec la sortie du seizième tome chez Soleil.


title: Jugurtha (bande dessinée)

text: Le prince héritier Jugurtha entre en conflit avec ses cousins pour la succession au trône. Il devient gouverneur d'une province de son royaume, sous la tutelle de Rome.


title: Os d'Ishango

text: Les os d'Ishango, également appelés bâtons d'Ishango, sont des artéfacts archéologiques découverts au Congo et datés de peut-être . Selon certains auteurs, il pourrait s'agir de la plus ancienne attestation de la pratique de l'arithmétique dans l'histoire de l'humanité. Ils ont été, en premier lieu, considérés comme des bâtons de comptage. Puis, quelques scientifiques ont avancé l'idée qu'il s'agirait d'une compréhension bien plus avancée que le simple comptage. Cette thèse est rejetée par d'autres spécialistes.


title: Os d'Ishango

text: Dans les années 1950, le géologue belge Jean de Heinzelin de Braucourt découvrit ces ossements dans des couches de cendres volcaniques au bord du lac Édouard dans la région d'Ishango au Congo belge (aujourd'hui République démocratique du Congo), près de la frontière ougandaise.


title: Os d'Ishango

text: On estima d'abord qu'il s'agissait d'os datant de  à avant notre ère, mais une datation du site où ils furent découverts porta leur création à quelque .


title: Os d'Ishango

text: Les ossements sont exposés de façon permanente au Muséum des sciences naturelles de Belgique à Bruxelles.


title: Os d'Ishango

text: Il s'agit de deux os d'approximativement et , provenant d'animaux non identifiés (on pense à des os humains, de singe ou de lion). Un fragment de quartz est enchâssé au sommet du plus petit. Ces os portent plusieurs incisions sur chacune de leurs faces.


title: Os d'Ishango

text: Cet os, le plus petit des deux, est le premier à avoir été exposé au muséum de Bruxelles.


title: Os d'Ishango

text: Il porte plusieurs incisions, organisées en groupes de trois colonnes.


title: Os d'Ishango

text: La colonne peut être divisée en quatre groupes. Chaque groupe possède respectivement 19, 17, 13 et 11 entailles.


title: Os d'Ishango

text: La colonne peut être divisée en huit groupes. Par un comptage approximatif et instinctif, on peut compter (entre parenthèses figure le nombre maximal d'encoches) : 7(8), 5(7), 5(9), 10, 8(14), 4(6), 6, 3 entailles.


title: Os d'Ishango

text: La colonne peut être divisée en quatre groupes. Chaque groupe possède respectivement 9, 19, 21 et 11 entailles.


title: Os d'Ishango

text: Le second os est encore mal connu. On sait qu'il est composé de six groupes de 20, 6, 18, 6, 20 et 8 entailles.


title: Os d'Ishango

text: Quelques auteurs ont proposé des spéculations sur les entailles présentes sur l'os d'Ishango, en les interprétant comme une notation arithmétique.


title: Os d'Ishango

text: Dans les années 1950, Jean de Heinzelin de Braucourt fut le premier à considérer cet os comme un vestige présentant un intérêt pour l'histoire des mathématiques. Il l'assimila à un jeu d'arithmétique et donna un ordre arbitraire aux différentes colonnes, soit la première (b), la seconde (c) et la troisième (a) en suivant les notations du schéma ci-dessous.


title: Os d'Ishango

text: L'inventeur nota que la colonne (c) est compatible avec un système de numération de base 10, du fait que les entailles y sont groupées comme :


title: Os d'Ishango

text: Il reconnut également, en colonne (a), l'écriture dans l'ordre des nombres premiers compris entre 10 et 20, soit 11, 13, 17 et 19.


title: Os d'Ishango

text: Enfin, la colonne (b) semble illustrer la méthode de duplication "multiplication par 2" utilisée en une période plus proche de nous dans la multiplication égyptienne, soit 4 × 2 = 8 et 5 × 2 = 10.


title: Os d'Ishango

text: À la suite de ses observations, J. de Heinzelin admet de fait que les « paléo-mathématiciens » d'Ishango avaient la connaissance des nombres premiers. Plus que comme un jeu mathématique, l'os d'Ishango semble, selon lui, se présenter comme un document crypté faisant appel à l'arithmétique et fondé sur les nombres premiers et les duplications.


title: Os d'Ishango

text: D'autres ont poursuivi les travaux de J. de Heinzelin, en particulier Dirk Huylebrouck (faculté d'architecture, Université de Louvain) et Vladimir Pletser (Agence spatiale européenne). Écartant l'hypothèse des « nombres premiers », ils ont proposé d'autres extrapolations basées sur le même présupposé d'une notation arithmétique, contribuant ainsi à la notoriété actuelle des os d'Ishango.


title: Os d'Ishango

text: La série de nombres 20, 6, 18, 6, 20, 8 « ferait penser à » un calcul en bases 10, 12, 6 ou 60. Le second bâton d'Ishango « paraît donc confirmer » la thèse de comptage dans ces bases.


title: Os d'Ishango

text: En 2010, Olivier Keller, dans une virulente analyse sur BibNum, critique les tentatives de surinterpréter les traces archéologiques en histoire des mathématiques. Dès 1996, Steven Mithen allait plus loin : en l'absence de critères stricts, on ne peut pas interpréter ces marques comme des symboles et encore moins une série de telles marques comme une « notation ».


title: Ishango

text: Ishango est une localité située en Afrique centrale en République démocratique du Congo près de l'Ouganda, aux sources du Nil sur la rive nord du lac Édouard (Parc national des Virunga).


title: Ishango

text: Elle est connue grâce aux os d'Ishango.


title: Ishango

text: Elle se trouve exactement entre le lac Edouard et la rivière Semiliki.


title: Centrifugation analytique

text: La centrifugation analytique est une méthode d’analyse des suspensions et émulsions donnant des informations sur leur granulométrie, masse, leur taille, leur forme et leur composition. Plusieurs types d’expériences existent : la stabilité, la vitesse de sédimentation et l’équilibre de sédimentation.


title: Centrifugation analytique

text: Lors de la centrifugation, on mesure à une longueur d'onde donnée l'absorbance de l'échantillon en fonction de la distance à l'axe de rotation. On obtient donc la répartition du matériel dispersé (par mesure de densité optique) dans la cellule de centrifugation en fonction de toute la longueur de l'échantillon (distance radiale) et du temps.


title: Centrifugation analytique

text: On utilise le fractionnement des particules ou gouttelettes dispersées dans un liquide porteur (phase continue) selon leur différences de taille et de densité comme le décrit la loi de Stokes. La valeur de "g" est variable et est calculée à partir de la vitesse angulaire de centrifugation, la masse de l'échantillon et la distance par rapport au centre de rotation. Cette technique est séparative, la centrifugation permet le fractionnement des particules et un dispositif optique permet de quantifier les différentes fractions. On recommande cette approche pour la résolution de systèmes polydispersés multimodaux. Chaque fraction séparée peut être analysée indépendamment des autres populations présentes dans l'échantillon. La centrifugation analytique permet d'accélérer la migration des nanoparticules ou nano-objets et de décaler jusque 10 nm la limite inférieure de quantification.


title: Centrifugation analytique

text: La suspension ou l'émulsion à analyser est insérée sans aucune dilution préalable à l’intérieur d’un contenant transparent et est traversée par un rayonnement lumineux (visible, X, IR...). L'intérêt majeur de cette technique est qu'elle permet d'obtenir une distribution de granulométrie indépendante des propriétés optiques des matériaux dispersés. On monitore lors de la centrifugation les changements de densité optique dus aux déplacement des fractions pour en déterminer la vitesse de migration et on obtient une distribution granulométrique pondérée par la vitesse de migration des objets. Cette distribution peut être convertie en intensité, masse ou volume, il faudra alors indiquer la densité des particules et la viscosité du liquide porteur pour résoudre l'équation de Stokes et isoler le diamètre sphérique équivalent .


title: Centrifugation analytique

text: Lorsque l'on centrifuge une macromolécule avec une grande vitesse angulaire (par rapport à sa capacité à sédimenter), la macromolécule est entraînée vers l'extérieur, elle culotte. Durant l'expérience, on observe à différents temps l’absorbance en fonction de la distance à l'axe de rotation: un front se forme et se déplace vers le fond de la cellule.


title: Centrifugation analytique

text: La position de ce front en fonction du temps permet de calculer le coefficient de sédimentation, "s", caractérisant la particule dans son milieu. "s" est le rapport entre vitesse de la particule ("v") et accélération due à la force centrifuge (formula_1, où formula_2 est la vitesse angulaire et "r"' la distance à l'axe de rotation). Dans le cas d'un système interagissant, on peut obtenir un ou plusieurs fronts. Les coefficients de sédimentation mesurés correspondent, dans le premier cas, à la moyenne en poids des coefficients de sédimentation des espèces individuelles, et leurs valeurs dépendront non seulement des caractéristiques des espèces individuelles et de leur constante d'association, mais aussi des vitesses relatives d'association et de séparation d’espèces.


title: Centrifugation analytique

text: Le coefficient de sédimentation "s" est exprimé en Svedberg, par la relation suivante (pour un soluté homogène, idéal dans un solvant) :


title: Centrifugation analytique

text: La valeur du coefficient de sédimentation va dépendre du poids moléculaire "M" de la macromolécule, mais aussi du terme formula_4 qui exprime la différence de densité entre la macromolécule et le solvant, puisque formula_5 est la densité du solvant et formula_6 le volume partiel spécifique de la macromolécule, soit l'inverse de sa densité ; "s" dépend aussi du nombre d’Avogadro "N", du coefficient de friction formula_7, donc de la forme de la macromolécule et de la viscosité h du solvant. Les coefficients de sédimentation sont généralement exprimés corrigés par la viscosité et la densité du solvant par formula_8, le coefficient qu'aurait la particule si la mesure avait été effectuée dans l'eau, à . Le formula_8 dépend néanmoins de trois paramètres macromoléculaires, la masse, le volume partiel spécifique et la forme. Pour interpréter formula_8, le volume partiel spécifique de la protéine est calculé à partir de la composition en acides aminés de la protéine.


title: Centrifugation analytique

text: Dans le cas d’un échantillon homogène sans interaction, l’analyse de l’élargissement du front permet d’obtenir formula_7, le coefficient de friction, et donc de calculer "M", le poids moléculaire.


title: Centrifugation analytique

text: Les expériences de vitesse de sédimentation sont extrêmement utiles car rapides (entre 1 et 3 heures) et visuelles, puisque l'on sépare les espèces. Elles permettent de détecter des hétérogénéités, de mettre en évidence des phénomènes de dissociation ou d'association, des tendances à l’attraction ou à la répulsion, et dans certains cas de déterminer les poids moléculaires.


title: Centrifugation analytique

text: L'intérêt majeur de cette technique est qu'elle permet d'obtenir une distribution de granulométrie indépendante des propriétés optiques des matériaux dispersés. On monitore lors de la centrifugation les changements de densité optique dus aux déplacement des fractions pour en déterminer la vitesse de migration et on obtient une distribution granulométrique pondérée par la vitesse de migration des objets. Cette distribution peut être convertie en intensité, masse ou volume, il faudra alors indiquer la densité des particules et la viscosité du liquide porteur pour résoudre l'équation de Stokes et isoler le diamètre sphérique équivalent


title: Saint-Béat

text: Saint-Béat est une ancienne commune française située dans le département de la Haute-Garonne, en région Occitanie. Le , elle a fusionné avec Lez pour former la commune de Saint-Béat-Lez.


title: Saint-Béat

text: Commune située dans le Comminges et Petit-Comminges au pied du pic du Gar, dans les Pyrénées, dans le sud du département de la Haute-Garonne, sur la Garonne à au sud-est de Saint-Gaudens.


title: Saint-Béat

text: Saint-Béat est limitrophe de sept autres communes, dont Argut-Dessous à l'est par un simple quadripoint.


title: Saint-Béat

text: La superficie de la commune est de ; son altitude varie de .


title: Saint-Béat

text: La commune est accessible par la route nationale 125 et par la ligne SNCF (ligne Montréjeau - Luchon), gare de Marignac - Saint-Béat, ainsi qu'avec la ligne régulière de transport interurbain du réseau Arc-en-ciel (anciennement SEMVAT).


title: Saint-Béat

text: Un tunnel qui contourne la ville pour rejoindre l'Espagne a été ouvert en avril 2018.


title: Saint-Béat

text: Un plan communal de sauvegarde est émis par la maire au vu des risques majeurs.


title: Saint-Béat

text: Inondations du .


title: Saint-Béat

text: La commune a été l'épicentre d'un tremblement de terre de magnitude 4,8, le .


title: Saint-Béat

text: La ville se trouvant sur un rétrécissement de la Garonne, le lieu fut nommé par les Romains le « Pas du Loup » : "Passus Lupi".


title: Saint-Béat

text: Saint-Béat serait, outre une tautologie ("beatus" : bienheureux ou saint), le nom d'un saint très local. Ce saint est aussi connu comme l'évangélisateur de la Beauce où il aurait tué un dragon.


title: Saint-Béat

text: Durant la Révolution, la commune porte le nom d"'Entremons".


title: Saint-Béat

text: Ses habitants sont appelés les Saint-Béatais.


title: Saint-Béat

text: Dans l'antiquité, le site de Saint-Béat est connu comme un «" Passus Lupi "» (passage du loup), car le resserrement de cette partie du val d'Aran n'aurait alors permis qu'à des loups efflanqués de passer sans se mouiller les pattes dans la Garonne.


title: Saint-Béat

text: Cette ancienne place forte commandait la vallée de la Garonne. Son importance l'avait fait surnommer la « clé de la France ».


title: Saint-Béat

text: Depuis, Saint-Béat est surtout connu pour ses carrières de marbre blanc, découvertes sans doute en cherchant à élargir l'étroit passage et exploitées depuis l'époque gallo-romaine. La légende locale n'hésitait pas à dire que son marbre avait permis d'édifier la colonne Trajane à Rome, ainsi que tout ce qui était en pierre blanche dans la région. C'est naturellement faux. C'est en revanche en partie avéré pour les colonnettes du couvent de Saint-Bertrand-de-Comminges tout proche, ainsi que pour la majorité des sculptures de la villa romaine de Chiragan, à Martres-Tolosane. Il a servi pour les autels tauroboliques de Lectoure (176, 239 et 241 ap. JC). Le marbre de Saint-Béat fut le matériau utilisé pour les bassins et plusieurs statues du parc de Versailles.


title: Saint-Béat

text: L'existence d'un monastère est attestée dès 1003.


title: Saint-Béat

text: Les armoiries de Saint-Béat, « clef de France », s'expliquent par l'édification d'une citadelle qui contrôle le passage de la vallée de la Garonne.


title: Saint-Béat

text: Pendant longtemps, outre ses carrières, la ville était le site d'une foire où s'échangeaient les ânes et mulets destinés à l'Espagne, contre du bois venant des forêts aranaises et charrié par la Garonne. Cette foire avait traditionnellement lieu à la Saint-Martin.


title: Saint-Béat

text: Une particularité : jusqu'à la Révolution, Saint-Béat (du moins sa partie est, séparée de la partie ouest par la Garonne) formait, avec Melles et Argut-Dessus, une des enclaves languedociennes du diocèse appelé « diocèse civil du Petit-Comminges » (l'un des 24 diocèses civils des États du Languedoc). Sa partie ouest, avec Arlos, faisait partie de la jugerie dite de « Rivière-Verdun » (formée d'innombrables enclaves allant de Verdun-sur-Garonne, entre Toulouse et Montauban, jusqu'à la frontière espagnole). Cette jugerie dépendait de la Gascogne comme le Couserans et le Comminges. Dans leur cahier de doléances, les habitants décrivent le site de la ville, comme un endroit particulièrement déshérité, soumis aux débordements de la Garonne, comme aux chutes de pierres depuis les falaises qui surplombent la ville.


title: Saint-Béat

text: De 1914 à 1953, le tramway électrique de Marignac au Pont-du-Roy va desservir Saint-Béat et ses carrières.


title: Saint-Béat

text: L'ouverture de la station de ski du Mourtis a donné un nouvel élan touristique à la ville, comme plus récemment son festival de sculpture de marbre, qui permet à de jeunes sculpteurs de s'exprimer par leur art.


title: Saint-Béat

text: Le , elle fusionne avec Lez pour constituer la commune nouvelle de Saint-Béat-Lez dont la création est actée par un arrêté préfectoral du .


title: Saint-Béat

text: Le nombre d'habitants au recensement de 2011 étant compris entre 100 et 499, le nombre de membres du conseil municipal pour l'élection de 2014 est de onze.


title: Saint-Béat

text: Commune faisant partie de la huitième circonscription de la Haute-Garonne de la communauté de communes du canton de Saint-Béat et du canton de Bagnères-de-Luchon (avant le redécoupage départemental de 2014, Saint-Béat était le chef-lieu de l'ex-canton de Saint-Béat).


title: Saint-Béat

text: Saint-Béat fait partie de l'académie de Toulouse.


title: Saint-Béat

text: L'éducation est assurée sur la commune par une école maternelle, une école primaire et le collège François-Cazes.


title: Saint-Béat

text: La zone Natura 2000 de la Haute vallée de la Garonne, d'une superficie de , est classée :Elle s'étend sur une partie de la commune de Saint-Béat.


title: Saint-Béat

text: La zone Natura 2000 des Zones rupestres xérothermiques du bassin de Marignac, Saint-Béat, pic du Gar, montagne de Rié est classée en zone spéciale de conservation (en référence à la Directive Habitats) depuis 2007 ; avec une superficie de , elle s'étend sur une partie de la commune de Saint-Béat.


title: Saint-Béat

text: Saint-Béat possède plusieurs monuments :


title: Saint-Béat

text: à proximité :


title: Critiques du libéralisme économique

text: Les critiques du libéralisme économique sont d'origine et de nature diverses et ne forment pas un ensemble homogène.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Certaines émanent d'un mouvement antilibéral tandis que d'autres critiques, internes, trouvent leur source parmi des libéraux qui divergent sur la place à accorder à l'État dans l'économie : les socio-libéraux accordent ainsi une place à l'État dans les mécanismes économiques quand les libéraux classiques lui refusent un rôle important.La critique interne accepte le cadre conceptuel de l'économie néoclassique (autodétermination des agents, rationalité complète de l'individu, informations parfaites, efficience de la concurrence), et remet en cause les inférences en faveur du libéralisme économique qui en découlent habituellement.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Ce type de critique accepte la seule prise en compte de la liberté individuelle mais souligne que la théorie libérale s'interroge peu sur les conditions de possibilité de l'exercice de cette liberté . Il s'agit essentiellement de trois types de conditions :Les libéraux reconnaissent ces limitations et y apportent deux réponses : certains soutiennent l'inexistence d'un système plus efficace que l'économie de marché pour assurer la prospérité de tous. D'autres, sans écarter cet argument, considèrent que des individus, par exemple celle de disposer librement de ses revenus ou d'envoyer ses enfants à l'école de son choix.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Les critiques externes remettent en cause des postulats qu'ils attribuent au libéralisme économique et parfois même au libéralisme en général.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Il s'agit d'une critique de la théorie de l'équilibre général, critique basée sur le caractère irréaliste de certaines hypothèses (absence de monopole, information accessible à tous et sans coût, etc.), et sur des résultats théoriques comme le théorème de Sonnenschein.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Ce théorème, montre que les fonctions de demande et d’offre issues du modèle de l'équilibre général de Kenneth Arrow et Gérard Debreu peuvent avoir une forme quelconque, ce qui réfute le résultat de l’unicité et de la stabilité de l’équilibre général. Comme le résume un économiste,


title: Critiques du libéralisme économique

text: En considérant des hypothèses plus faibles, et discutables en ce qui concerne leur pertinence, il est possible de se ramener à un équilibre à solution unique.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Cette critique s'adresse plus aux économistes néoclassiques qu'au libéralisme. Ainsi, les économistes libéraux tenants de l'école classique et de l'école autrichienne ne se reconnaissent pas dans les postulats néoclassiques et, au contraire, s'y opposent.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Cette critique reproche au libéralisme de sur-estimer la valeur de la liberté, par rapport à d'autres valeurs humanistes (égalité, justice, éducation, droit à la santé, promotion sociale...), qu'elle lui reproche de négliger. Ainsi, Jacques Testart de dire : .


title: Critiques du libéralisme économique

text: Celles-ci contestent toute pertinence qu'elles prêtent au libéralisme économique. Selon cette critique :


title: Critiques du libéralisme économique

text: Les critiques suivantes s'adressent à l'application de décisions se réclamant du libéralisme économique. Ces décisions ne constituant jamais qu'une application partielle d'un projet d'ensemble, les libéraux arguent que les dysfonctionnements viennent du fait que le reste du système économique, politique et social n'applique pas intégralement les règles du libéralisme économique.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Un axe de critique porte sur la capacité du libéralisme économique à engendrer le développement régulier et de long terme des économies.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Une critique classique du libéralisme économique porte sur le caractère non régulier de la croissance qu'il engendre à travers la survenue régulières de crises économiques produites par un déséquilibre entre l'offre et la demande. Ce déséquilibre est notamment imputé au caractère irrationnel des décisions (engouement excessif pour certains types de secteurs par exemple, tel le surinvestissement en technologies de l'information à la fin des années 1990) et à l'atomisation des décisions.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Les déséquilibres produits par le libéralisme économique peuvent être d'ordre structurel, telle la situation de surproduction de la Grande Dépression (crise de 1929), classiquement imputée à une faiblesse structurelle de la consommation, qui aurait été résolue sur le plan structurel par la mise en place de mécanismes pérennes de redistribution des richesses avant ou surtout après la seconde guerre mondiale (État-providence).


title: Critiques du libéralisme économique

text: Les déséquilibres produits par le libéralisme économique peuvent être d'ordre conjoncturel, consistant en un simple déséquilibre temporaire entre offre et demande dans l'ensemble de l'économie ou dans un secteur d'activité donné. Pour les critiques du libéralisme économique, la solution à de telles crises passe par une intervention de l'État en amont (planification ou orientation de l'économie) ou en aval (politique de relance monétaire ou budgétaire pour sortir de la crise, politique sociale pour amortir les effets de la crise).


title: Critiques du libéralisme économique

text: Les libéraux pensent au contraire que dans un régime de liberté économique, les débuts de déséquilibre seraient rapidement corrigés par le libre jeu du marché, et que ces déséquilibres ne peuvent se transformer en crises que si l'État intervient pour empêcher ces ajustements afin d'en protéger certaines catégories sociales.


title: Critiques du libéralisme économique

text: En s'interdisant tout contrôle sur les marchés autre que ceux garantissant leur existence (système judiciaire, « police de la bourse », système de défense des droits de propriété...), le libéralisme économique est accusé de laisser le champ libre à certaines formes de spéculation sur les marchés, notamment financiers.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Les critiques reprochent à cette spéculation d'être à l'origine de certaines crises économiques (la Grande Dépression de 1929, la crise économique asiatique de 1997, la crise économique argentine de 1998...) et de la crise financière mondiale de 2007-2008.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Le libéralisme économique priverait la politique de moyens d'action et par là transformerait la politique en une annexe du marché libéral car, si la politique n’agissait pas, le marché irait combler le besoin et choisir à sa place. Il s'agit en réalité d'une critique à l'encontre du libéralisme en général, puisque la limitation du pouvoir politique (voire sa disparition complète pour certains comme les libertariens), est l'essence du libéralisme. Le libéralisme défend en effet la limitation du pouvoir de l'État et des autres individus sur l'individu.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Certains libéraux, en particulier les tenants de la théorie des choix publics, s'opposent à cette critique en expliquant que la capacité de l'État à intervenir dans les affaires économiques transforme la politique en marché. D'après eux, toute possibilité de régulation du marché par l'État implique pour les partis politiques un avantage à vendre (en échange de voix par exemple), et pour les agents économiques une rente à acheter. Pour les opposants au libéralisme, cet argument ne tient pas car dans la plupart des démocraties modernes, ce genre de pratique est assimilé à de la corruption et est donc illégal.


title: Critiques du libéralisme économique

text: L'idée libérale repose sur le principe du contrat entre libres parties. Celles-ci peuvent négocier et parvenir à un accord commun . Un tel système est considéré par les libéraux comme plus légitime qu'un système où une partie impose sa volonté à tous les autres à l'issue d'un affrontement (même électoral) comme c'est le cas dans le système démocratique de la République Française, par exemple. Mais en fait, il est pratiquement impossible d'obtenir que toute une population se mette d'accord sur une position en temps voulu par simple marchandage. Ce constat aboutit à la conclusion que ces systèmes démocratiques influencés par les thèses socialistes (entendre ici le socialisme de Rousseau, le socialisme des Lumières) tendent à devenir des dictatures. C'est cette idée qui conduit l'économiste de l'École autrichienne d'économie, Friedrich Hayek à intituler son œuvre majeure "La Route de la servitude" (1944).


title: Critiques du libéralisme économique

text: Il y a de part et d'autre une pétition de principe, qui conduit à une opposition irréductible et même à une incompréhension complète entre les deux positions. Les critiques, , voient dans le libéralisme l'instauration de la loi du plus riche, une forme de ploutocratie. Il y a certes une différence entre une ploutocratie et un marché politique : dans un marché politique, (et pas seulement à ses amis) pour obtenir une décision politique conforme à ses souhaits, ce que ne font ni les ploutocrates, ni . Mais les critiques ne considèrent pas cette différence comme suffisante : Alors que, dans la perspective libérale, ce détournement , puisque le pouvoir politique ne peut que ce qui lui est spécifiquement délégué.


title: Critiques du libéralisme économique

text: La majeure partie des critiques adressées au libéralisme économique concerne les conséquences sociales prêtées à la mise en œuvre du libéralisme.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Ces critiques trouvent leurs sources dans deux principaux types de motivations :


title: Critiques du libéralisme économique

text: Une critique extrêmement répandue est que le libéralisme économique serait favorable aux déjà riches et défavorable aux plus pauvres, au sein des nations (entre classes sociales) et entre nations. En effet, les plus riches auraient les moyens d'investir dans un enrichissement futur, alors que les plus pauvres n'auraient pas ces moyens. Il en résulterait un accroissement des écarts de richesse entre les classes riches et les classes les plus pauvres et souvent une paupérisation plus importante des classes les plus démunies.


title: Critiques du libéralisme économique

text: En analysant les politiques dans les pays les plus libéraux : Angleterre, États-Unis, Australie... il convient de constater que plus le pays est libéral moins les aides ou assistances aux personnes handicapées sont existantes. Laissant ce soin à la liberté de chacun, à une « obligation » de charité pour John Locke, Justice Sociale, aux mutuelles privées, pour Frédéric Bastiat, Sécurité Sociale, excluant la personne handicapée du titre de citoyen à part entière, car ne pouvant cotiser d'elle-même. Tandis que Hayek et Friedman proposent un revenu plancher ou un système d'impôts négatifs pour garantir au citoyen un minimum vital. Ainsi le libéralisme pousse le gouvernement de Tony Blair, à désengager l'état, à durcir la reconnaissance du handicap. Ce qui pousse ces personnes dans de plus grandes difficultés. Certains, ainsi fragilisées par cette politique ne trouvent aucune alternative possible hormis celle du suicide. . Le libéralisme économique est accusé d'entraîner le creusement des inégalités sociales. La redistribution qui serait naturellement assurée par le jeu de la consommation (cf. théorie du ruissellement) montre ainsi ses limites. L'économiste américain « de gauche » (en anglais : "liberal") Paul Krugman estime ainsi en 2008, concernant les politiques économiques « libérales » (en anglais : "conservative" ou "neo-conservative") menées aux États-Unis depuis les années 1970-1980 revenant sur les institutions mises en place à partir du New Deal de Franklin Delano Roosevelt : .


title: Critiques du libéralisme économique

text: Au niveau international, les politiques préconisées par le Fonds monétaire international ont été accusées d'entraîner des conséquences sociales dévastatrices et d'accroître la pauvreté. L'économiste néo-keynésien Joseph E. Stiglitz a ainsi reproché au FMI de faire passer l’intérêt de son « principal actionnaire », les États-Unis, avant ceux des nations les moins développées.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Les libéraux ne partagent pas cette analyse et avancent que sur un plan théorique, et comme pour la spéculation, aucun système politique ne devrait dicter aux individus comment vivre leur vie. Si certaines inégalités sont à combattre, d'autres sont le fruit de trajectoires de vie différentes dont la responsabilité repose sur l'individu. Les libéraux accusent aussi les systèmes qui cherchent officiellement à réduire les inégalités, de les entretenir ou les développer. L'interventionnisme social est pour eux finalement contre-productif pour les plus pauvres. et qu'elles connaissent en retour des gains de croissance importants. Même chose pour l'économie des pays du Sud-Est asiatique, ou celle de certains pays du Maghreb, qui n'a décollé qu'à partir des années 1980, période au cours de laquelle ces pays se détournent du socialisme au profit du libre marché. L'État se voyant attribuer la fonction de protéger les libertés individuelles dont . On admet parfois dans ce cas qu'il intervienne pour éviter que des mafias et les oligarques n'édifient des monopoles. Le caractère libéral de cette justification de l'intervention de l'État est cependant contesté par de nombreux libéraux dont ceux de la tradition autrichienne.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Répondant à la critique dans "Liberté économique et interventionnisme", l'économiste autrichien Ludwig von Mises écrivait ainsi : ]


title: Critiques du libéralisme économique

text: Le libéralisme économique est accusé de faire tomber dans la pauvreté les personnes qui n'auraient pu participer avec succès à la compétition libérale ou qui auraient été victimes d'accidents de la vie.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Karl Marx a accusé le capitalisme de laisser se développer volontairement un certain niveau de chômage afin de constituer ce qu'il appelle une maintenant en permanence une pression à la baisse sur les salaires.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Les libéraux avancent pour leur part que le libéralisme économique est le meilleur moteur de la création de richesses car il les talents et les initiatives et par le jeu de la concurrence et l'attrait de la rémunération, et que la richesse créée profite à tous. Sur le plan concret, ils soulignent ainsi les chiffres de l'Observatoire des inégalités selon lequel « le nombre de pauvres dans le monde s’est réduit de 1,9 à 1,4 milliard de personnes entre 1981 et 2005, selon les données de la Banque mondiale qui utilise un seuil de pauvreté fixé à par jour et par habitant. Une évolution d’autant plus positive que dans le même temps la population mondiale s’est accrue. Du coup, le taux de pauvreté a été réduit de moitié : de 52 à 26 % de la population mondiale ». Les critiques font cependant remarquer que l'observatoire précise, en relativisant le nombre mais non la tendance : « toutefois, ce jugement positif doit être nuancé. Le seuil de pauvreté considéré est particulièrement bas : en doublant ce seuil à par jour, on compte plus de trois milliards de pauvres, soit plus de la moitié de la planète ».


title: Critiques du libéralisme économique

text: Les deux principales difficultés pour analyser la pertinence des services publics à l'aune du libéralisme économique résident :


title: Critiques du libéralisme économique

text: Il y a également d'autres points dans cette analyse qui sont souvent critiqués, comme l'horizon temporel envisagé (généralement le court terme) ou le postulat d'une meilleure gestion économique par le privé. Certains économistes insistent par ailleurs sur les externalités positives qu'ont les services publics sur l'économie, comme la formation d'une main-d'œuvre qualifiée par les services d'éducation. Là encore, ce point est relativement consensuel parmi les libéraux, qui souvent défendent le financement par l'État d'une éducation minimale, même si rien n'oblige ce dernier à la dispenser directement et encore moins avec un monopole. Milton Friedman propose ainsi que l'État finance des chèques éducation pour laisser aux parents le libre choix de l'école tandis que Friedrich Hayek adopte une position proche dans "Droit, législation et liberté".


title: Critiques du libéralisme économique

text: Le libéralisme économique fait l'objet de critiques concernant ses conséquences sur l'environnement naturel. Sur le plan pratique, ses opposants ont critiqué dès le la dégradation de l'environnement ou de paysages causée par le développement industriel du capitalisme.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Les opposants au libéralisme économique estiment que la recherche de la maximisation du profit individuel mis en avant dans le libéralisme économique ne permet pas de tenir compte de l'intérêt collectif, et donc de l'environnement. La recherche du profit maximal, qui caractérise le modèle libéral, buterait sur l'impossibilité d'intégrer le coût réel des ressources naturelles dans le prix des produits, en particulier dans une logique du court terme en matière de retour sur investissement.


title: Critiques du libéralisme économique

text: Les défenseurs du libéralisme économique estiment pour leur part que la question de l'environnement est bien prise en compte dans théories économiques libérales. L'une des théories libérales de l'environnement – la "New Resource Economics" – prône la privatisation des biens naturels, arguant que des biens privés sont mieux entretenus que les biens collectifs et que le prix offre la meilleure régulation de la rareté d'un bien. L'économiste américain F. L. Smith écrit ainsi en 1992 : « Il ne s’agit pas de construire un monde où, comme le voudraient les verts, les arbres et les animaux auraient des droits ; mais plutôt une société dans laquelle chaque arbre et chaque animal aurait un propriétaire, et donc un défenseur. »


title: Critiques du libéralisme économique

text: Pour l'historien du courant marxiste britannique Eric Hobsbawm, les politiques libérales mises en œuvre ici et là au cours de la deuxième moitié du n'ont jamais pu réellement mettre en œuvre moins d'État pour davantage de libre marché. Il écrit, en évoquant le cas de l'ère Reagan aux États-Unis ou celle du Thatchérisme au Royaume-Uni dans les années 1980 : « certes, des pans entiers de l'économie pouvaient être gérés comme une entreprise en prenant dûment en considération la rentabilité [...] mais, contrairement à ce que voulaient faire croire les idéologues, ils ne fonctionnaient pas ni ne pouvaient fonctionner comme des marchés. En tout état de cause, la plupart des gouvernements néolibéraux furent obligés de gérer et diriger leur économie, tout en prétendant encourager les seules forces du marché. Qui plus est, il n'y avait pas moyen de réduire le poids de l'État ».


title: Critiques du libéralisme économique

text: Prolongeant cette analyse le philosophe Slavoj Žižek avance qu'« il n'existe pas de marché neutre : dans chaque situation particulière, les coordonnées de l'interaction marchande sont toujours régulées par les décisions politiques. Le vrai dilemme n'est donc pas de savoir si l'État doit intervenir ou pas, mais sous quelle forme il doit le faire ».


title: Philippe Delorme

text: Philippe Delorme, né le à Pantin, est un historien et journaliste français.


title: Philippe Delorme

text: Fils d'un conducteur à la Régie autonome des transports parisiens (RATP), sa mère est maroquinière et gardienne d'immeuble. Titulaire d'une licence et d'une maîtrise d'histoire à la Sorbonne suivi d'un DEA (Master II d'histoire). Passionné par l'histoire de la royauté en France, lui-même un temps militant à la Nouvelle Action royaliste, il a été un journaliste à "Point de vue" jusqu'en 2015 et a eu l'occasion d'approcher quelques souverains actuels, en particulier la famille Grimaldi à laquelle il a consacré plusieurs livres.


title: Philippe Delorme

text: À partir de 2009, il assume les fonctions de concepteur et responsable éditorial du trimestriel "Point de vue - Histoire", fonctions qu'il exercera jusqu'au numéro 25 de ce magazine, en 2015, date de son départ de "Point de vue".


title: Philippe Delorme

text: Depuis , il publie une chronique historique dans l'hebdomadaire "Valeurs actuelles".


title: Philippe Delorme

text: En 2000, Philippe Delorme organise une analyse génétique du cœur de Louis XVII. En 2006, il publie chez Buchet-Chastel un livre de conversations avec le défunt Henri d'Orléans, « comte de Paris », sous le titre "Entretiens avec Henri comte de Paris : l'homme qui rêvait d'être roi". Trois ans plus tard, il publie aux éditions F.-X. de Guibert, "Henri comte de Chambord : journal (1846-1883) : carnets inédits", une édition annotée et critique des carnets jusqu'alors inédits que le dernier prétendant de la branche aînée de la maison de Bourbon, Henri d'Artois, a tenus pendant la majeure partie de sa vie .


title: Philippe Delorme

text: En 2013, il publie l'ensemble de ses critiques concernant la controverse autour de la tête d'Henri IV, dans un livre intitulé "La Mauvaise tête de Henri IV : contre-enquête sur une prétendue découverte", préfacé par Joël Cornette. Le , il cosigne, avec Maarten Larmuseau et , un article scientifique paru dans l"'European Journal of Human Genetics" sur le chromosome Y des Bourbons, contredisant de précédentes études menées à ce propos.


title: Philippe Delorme

text: En 2013, avec Nicolas Doyen et Julien Morvan, il crée l'association Pour le retour à Saint-Denis de Charles X et des derniers Bourbons, inhumés en Slovénie au couvent de Kostanjevica à Nova Gorica depuis le .


title: Philippe Delorme

text: En , il est élu membre associé de l'Académie des sciences morales, des lettres et des arts de Versailles et d'Île-de-France.


title: Philippe Delorme

text: Il dirige de à , le "Libre journal de lumière de l'espérance" sur Radio Courtoisie.


title: Philippe Delorme

text: Il participe ponctuellement à l'émission "Secrets d'Histoire," présentée par Stéphane Bern. Il a notamment collaboré aux numéros suivants : Il est l'époux de la sculptrice Catherine Cairn.


title: Serge Sauvion

text: Serge Sauvion est un acteur français né le à Paris et mort le à Asnières-sur-Seine. Il est célèbre auprès du grand public français pour avoir doublé Peter Falk dans la série "Columbo".


title: Serge Sauvion

text: Malgré une filmographie importante, il est principalement connu pour avoir doublé Peter Falk, notamment dans la version française de la série policière "Columbo". Il a également prêté sa voix entre autres à Jack Nicholson, Richard Burton, Montgomery Clift, Marcello Mastroianni, Charles Bronson, Burt Reynolds, Burt Young et Sidney Poitier. Quasiment absent des studios, Serge Sauvion ne faisait plus, depuis plusieurs années, que quelques furtives apparitions, son « grand rôle » restant la voix du lieutenant Columbo.


title: Serge Sauvion

text: Sur Europe 1, il anime entre 1988 et 1995 l'émission "Crime Story, les rendez-vous d'Alfred Hitchcock racontés par Serge Sauvion", réalisé par Frédéric Lévy.


title: Serge Sauvion

text: Il meurt le à Asnières-sur-Seine. Ses obsèques se déroulent à l'église Saint-Roch de Paris le , puis il est enterré dans l'ancien cimetière communal.


title: Serge Sauvion

text: Serge Sauvion est l'époux de la comédienne Marilys Morvan. Il est le père de la journaliste Marie Sauvion et du monteur Patrick Sauvion.


title: Famille Crozat

text: La famille Crozat est une famille éteinte de la noblesse française.


title: Famille Crozat

text: Elle s'illustra dans le monde de la finance. Antoine Crozat fut la première fortune de France à la fin du règne du roi Louis XIV.


title: Famille Crozat

text: Le fondateur de cette dynastie financière fut Antoine Crozat, fils d'Antoine (I) Crozat, marchand-banquier, lui-même fils d'un bonnetier négociant de la ville d'Albi en Languedoc. Installé à Toulouse, Antoine (I) Crozat amassa au fil du temps une fortune considérée comme l'une des premières de la ville mais fut condamné à plusieurs reprises pour usurpation de noblesse avant d'être élu capitoul de Toulouse en 1674 et 1684 et ainsi accéder, pour lui-même et sa descendance, à la noblesse. Les principales alliances de la famille Crozat sont : Le Gendre d'Armeny (1690), Amelot de Gournay (1726), de Gouffier, de La Tour d'Auvergne, de Choiseul, de Montmorency-Laval, de Gontaut-Biron, de Broglie


title: Épipogon sans feuilles

text: L'épipogon sans feuilles (Epipogium aphyllum), est une orchidée terrestre eurasiatique.


title: Épipogon sans feuilles

text: C'est une plante mycohétérotrophe, rhizomateuse, aux inflorescences lâches de fleurs pédicellées pendantes présentant leur labelle en position supérieure (pas de résupination de l'ovaire). Le labelle est à la fois trilobé et articulé, l'hypochile présente deux lobes entourant une cupule nectarifère se prolongeant par un gros éperon tourné vers le haut, l'épichile cordiforme montre deux ou trois rangs de crêtes plus ou moins rougeâtres. Elle est largement dépourvue de chlorophylle, d'où son apparence blanchâtre, translucide voire albinos.


title: Épipogon sans feuilles

text: Cette espèce eurosibérienne est mycohétérotrophe, très rare en France et protégée sur le plan national ; on peut la rencontrer dans les forêts montagnardes de hêtres ou de sapins sur un sol d'humus profond alcalin à peu acide, où elle nécessite la présence de champignons mycorhiziens associés à ses racines pour se développer.


title: Épipogon sans feuilles

text: Vivace, chaque spécimen peut cependant ne pas fleurir pendant plusieurs années avant de réapparaître, voire fleurir sous terre.


title: Épipogon sans feuilles

text: L'épipogon côtoie fréquemment le monotrope sucepin, autre plante achlorophyllienne. Cette espèce est inscrite à la liste des espèces protégées du Livre rouge de Russie.


title: Proline

text: La proline (abréviations IUPAC-IUBMB : Pro et P) est un acide dont l'énantiomère est l'un des aminés protéinogènes, encodé sur les ARN messagers par les codons CCU, CCC, CCA et CCG. C'est le seul acide aminé protéinogène ayant une amine secondaire et non primaire, ce qui lui confère une géométrie particulière tendant à interrompre les structures secondaires des protéines telles que les  et les .


title: Proline

text: La proline forme des résidus apolaires qui en polymérisant peuvent former divers types de protéines dans une famille dite des polyprolines.


title: Proline

text: La présence de nombreux résidus de proline peut être à l'origine d'une hélice à proline; c'est notamment le cas du collagène. Le cycle de la proline est presque plan. Cela peut être montré en considérant les angles de liaison dans ce cycle.


title: Proline

text: La proline intervient notamment dans la synthèse du collagène, qui possède la séquence et la cicatrisation.


title: Proline

text: La proline est impliquée dans la bonne germination des graines, la floraison et d'autres phases de développement des plantes.


title: Proline

text: On a constaté des accumulations de proline chez de nombreuses d'espèces végétales quand elles étaient exposées à divers types de stress environnementaux, dont le stress hydrique chez la tomate et la betterave sucrière (sécheresse).


title: Proline

text: Un nombre croisant de preuves plaident pour une corrélation positive entre ces accumulations et la gestion métabolique de ces stress par les plantes. Elle a un rôle d'osmolyte, mais elle est aussi un chélateur de métaux et a des propriétés antioxydantes: , chez la tomate, le concombre, les oignons.


title: Proline

text: Plusieurs auteurs ont aussi noté des effets indésirables à des doses plus élevées. Une publication brésilienne (2019) a déterminé le juste dosage en proline des applications aux tomates cultivés en serre affectées par des températures élevées.La proline contient dans sa molécule une fonction amine secondaire cyclique.


title: Proline

text: Un autre acide aminé, l'hydroxyproline, dérive de la proline par hydroxylation en 4.


title: Extension finie

text: En mathématiques, et plus précisément en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, une extension finie est une extension de corps de degré fini, c'est-à-dire un sur-corps commutatif d'un corps "K" qui, en tant que "K"-espace vectoriel, est de dimension finie. Une telle extension est toujours algébrique.


title: Extension finie

text: De même qu'en algèbre linéaire, la théorie de Galois est largement plus simple en dimension finie qu'en dimension infinie. Le théorème de l'élément primitif garantit par exemple que tout corps de nombres, c'est-à-dire toute extension finie du corps ℚ des rationnels est une extension simple.


title: Extension finie

text: Ce cadre suffit à bien des applications. C'est celui de l'inventeur de la théorie, Évariste Galois . On peut citer par exemple la théorie des équations algébriques avec le théorème d'Abel qui donne une condition nécessaire et suffisante pour la résolution d'une équation polynomiale. Les problèmes géométriques datant de l'Antiquité comme la duplication du cube, la trisection de l'angle ou la catégorisation des polygones réguliers constructibles à la règle et au compas ont été résolus en 1837 par Pierre-Laurent Wantzel dans le cadre des extensions finies. On peut aussi citer un grand nombre d'applications en théorie des nombres comme la théorie développée dans les années 1840 par Ernst Kummer, qui permet d'établir le dernier théorème de Fermat pour un vaste ensemble de valeurs du paramètre.


title: Extension finie

text: Ce contexte est encore un champ de recherche ouvert, la théorie de Galois inverse par exemple, qui cherche à partir d'un groupe donné à trouver un polynôme ayant ce groupe pour groupe de Galois.


title: Extension finie

text: Néanmoins, il existe aussi un large champ mathématique dont l'objet d'étude est celui des extensions infinies. Le premier exemple historique est associé à la quadrature du cercle. Ferdinand von Lindemann montre en 1882 qu'aucune extension finie de ℚ ne peut contenir . Une autre théorie, qui représente un vaste travail durant le , est celui de la théorie des corps de classes. Elle est ouverte par David Hilbert et traite essentiellement des extensions infinies.


title: Extension finie

text: Une extension simple engendrée par un élément algébrique (autrement dit : le corps de rupture d'un polynôme irréductible) est une extension finie.


title: Extension finie

text: Toute sous-extension d'une extension finie est finie.


title: Extension finie

text: Si "L/K" et "K/H" sont des extensions finies, alors "L/H" est une extension finie, de degré ["L":"K"].["K":"H"].


title: Extension finie

text: Un corps de décomposition d'un polynôme non nul, c’est-à-dire « la plus petite » extension algébrique contenant toutes les racines de ce polynôme, est une extension finie.


title: Extension finie

text: Réciproquement, toute extension finie "L" d'un corps "K" est une sous-extension du corps de décomposition d'un polynôme non nul : le produit des polynômes minimaux de générateurs de "L" donnés.


title: Extension finie

text: Dans le cas d'une extension de Galois l'extension est finie si et seulement si le cardinal du groupe de Galois est fini. Dans ce cas, la dimension de l'extension est égale au cardinal du groupe.


title: Extension finie

text: Une extension finie "L" de "K" se décompose comme une extension finie radicielle "L/E" d'une extension finie séparable "E/K".


title: Extension finie

text: Il existe des extensions algébriques qui ne sont pas finies, par exemple la clôture algébrique de ℚ.


title: Extension finie

text: La clôture algébrique d'un corps fini n'est jamais une extension finie.


title: Extension finie

text: D'autres clôtures ne sont pas finies, par exemple la clôture quadratique de ℚ.


title: Extension finie

text: Enfin, les extensions transcendantes (c'est-à-dire non algébriques) ne sont jamais finies.


title: Samuel Bernard

text: Samuel Bernard, comte de Coubert (1725), né à Sancerre le 29 octobre ou le et mort le , est un financier français.


title: Samuel Bernard

text: Issu d'une famille protestante, il débute comme marchand de drap à Paris. Devenu « marchand banquier », il fait fortune à la fin du , en achetant les bâtiments pris par les corsaires et grâce à la traite négrière. Il se convertit au catholicisme à la révocation de l’Édit de Nantes. Il est, dans les années 1700, l'un des hommes les plus riches d'Europe et devient le principal banquier du royaume. Anobli et comblé d'honneurs, il s'attache à marier ses enfants dans les plus grandes familles de la noblesse de France.


title: Samuel Bernard

text: Samuel Bernard naît dans une famille protestante d'origine hollandaise. Très jeune, il côtoie le milieu artistique. Son grand-père était peintre dans le faubourg Saint-Germain et son père est le peintre, graveur et miniaturiste Samuel-Jacques Bernard (1615-1687). Membre de l'Académie royale de peinture et de sculpture à sa création en 1648, il en est nommé professeur en 1655. Ce dernier, selon les souvenirs apocryphes de la marquise de Créquy, « avait embrassé la secte d'Arminius [et] avait été contraint à s'expatrier. »


title: Samuel Bernard

text: Du mariage de ses parents, célébré le au temple de Charenton, naissent neuf enfants ; tous sont baptisés à Charenton, selon le rite réformé.


title: Samuel Bernard

text: Les premières années de sa vie se passent dans une relative quiétude. En France, l'Édit de Nantes (1598) reconnaît la liberté de culte aux protestants. Cependant, contrairement à son père et son grand-père avant lui, Samuel Bernard ne semble pas disposé pour les arts. Il est davantage attiré par le commerce. Son père étant amené à travailler pour la noblesse et la grande-bourgeoisie protestante parisienne, le jeune Samuel est fasciné par les tenues vestimentaires luxueuses que ces personnes revêtent. Il est séduit par le côté artistique de cette industrie autant que par les perspectives financières qu'elle offre.


title: Samuel Bernard

text: Aussi, après avoir été apprenti pendant trois ans; il devient, en 1676 « maître mercier grossiste pour draps d'or, d'argent et de soie de Paris », à l'âge de 25 ans. Il exercera ce métier quelques années et réalisera des profits importants – quoique sans commune mesure avec sa fortune future. Mais son tempérament aventureux l'incite à prendre des risques et il devient « marchand banquier » (grossiste en marchandises diverses).


title: Samuel Bernard

text: Le contexte politique en France est alors tendu. La Fronde, les guerres menées par Louis XIV – la Guerre de Dévolution en 1667-1668 et la guerre de Hollande entre 1672 et 1678 – et les scandales financiers (notamment celui lié au surintendant des finances Fouquet en 1666) ont considérablement entamé le Trésor royal. En 1672, pour financer la campagne de Hollande, Louis XIV fait appel à Colbert. Bien qu'hostile aux emprunts « "qui dévorent l'avenir au profit du présent" », ce dernier doit s'y résoudre.


title: Samuel Bernard

text: Sur le plan religieux, les guerres successives avec les Provinces-Unies ravivent les suspicions envers les protestants, très présents dans l'industrie et dans le commerce, dans la première moitié des années 1680, aboutissant à la proclamation par le Roi de l'Édit de Fontainebleau en 1685, révoquant l'Édit de Nantes.


title: Samuel Bernard

text: Au moment de la révocation de l'Édit de Nantes, il abjure le protestantisme en la paroisse Saint Michel de Saint Denis, le .


title: Samuel Bernard

text: La même année, il crée la Compagnie de Guinée, à la demande de Louis XIV, et étend ses intérêts à la traite des Noirs.


title: Samuel Bernard

text: Pendant ces années, les affaires de Samuel Bernard connaissent une grande expansion.


title: Samuel Bernard

text: Jusqu'en 1695, il est engagé dans des opérations de banque. Il est chargé par le gouvernement de faire remettre leurs traitements aux ambassadeurs à l'étranger. Ces opérations, malaisées en temps de paix en raison des problèmes de conversion et des risques inhérents au transport de sommes en numéraire, étaient encore plus risquées en temps de guerre. Il se substitue alors au Trésor royal et verse les salaires de vingt-et-un ambassadeurs de France, en prenant au passage de confortables commissions. Devenant de plus en plus influent à la Cour de France, il parvient à s'attacher la reconnaissance de plusieurs contrôleurs généraux, notamment celle de Michel Chamillart.


title: Samuel Bernard

text: À cette époque, il se met à "trafiquer" (c'est-à-dire racheter) les prises des corsaires royaux, encouragé notamment par des décisions de Pontchartrain, ministre de la Marine de Louis XIV de 1690 à 1691, autorisant la mise en vente des marchandises saisies en piraterie. En 1696, il est associé à la Compagnie des Indes à l'achat des marchandises saisies sur des bateaux anglais, ce qui lui permet de réaliser des bénéfices considérables . Mais, se rendant compte de l'état réel des finances de la Compagnie, il décide de la quitter, tout comme son associé Antoine Crozat.


title: Samuel Bernard

text: En effet, dans les années 1690, la France est en proie à des famines régulières. Samuel Bernard profite des relations d'affaires qu'il possède à l'étranger, notamment avec des marchands protestants émigrés, pour importer des denrées dont la France manque. Il importe entre autres du blé, et l’État lui confie des vaisseaux moyennant des frais d'affrètement avantageux. En plus de son réseau de correspondants à l'étranger, il bénéficie d'une organisation financière remarquable. En effet, il est à l'époque l'un des seuls à pouvoir effectuer des virements, grâce à la confiance des banquiers étrangers. Ce faisant, il réduit les délais de manière importante, ce qui constitue un avantage sur ses concurrents. Il emploie à l'époque une dizaine de personnes pour ses affaires.


title: Samuel Bernard

text: Au tournant du siècle, il est en possession d'une immense fortune et sa "maison de banque" est considérée comme l'une des plus importantes du pays. Il parvient en une vingtaine d'années, et grâce à une capacité de travail hors du commun, à une position influente parmi les sphères gouvernementales. Son réseau de correspondants en France, en Europe et en Amérique latine, lui permet d'être au courant des variations des taux de change et des prix des matières premières.


title: Samuel Bernard

text: De grand marchand, il devient, après 1700, grand banquier pour le compte du Trésor royal et finance notamment la guerre de Succession d'Espagne, de 1700 à 1714. Grâce à la confiance qu'il inspire, il parvient à emprunter dans des pays en guerre avec la France, notamment en Suisse et en Hollande. Il fournit ainsi au Trésor royal deux cents millions de livres. Les gains énormes qu'il retire de ces prêts font de lui un homme puissant. Le duc de Saint-Simon le qualifie alors de « "le plus fameux et le plus riche banquier de l’Europe" » .


title: Samuel Bernard

text: Ayant compris que le commerce, pour se développer, avait besoin que les "billets de banque" aient une valeur stable, et que cette condition ne pouvait être remplie que par la création d'une "banque royale", Samuel Bernard défend – en 1706-1707 – l'idée d'une telle banque. Il bénéficie alors du soutien de Trudaine et de Caumartin et avait rallié à lui le contrôleur général des finances, Nicolas Desmarets. Mais, préoccupé par la guerre aux Pays-Bas, le roi s'y oppose. C'est le Régent qui demandera à l'Écossais John Law de créer une telle banque à partir de 1716.  En 1708, Louis XIV, qui ne peut compter que sur son crédit, lui fait l'honneur de le recevoir dans les jardins de Marly. Pour que le roi n'eût pas à s'abaisser à recevoir en audience le financier, Desmarets organise une petite mise en scène qui a lieu à Marly :


title: Samuel Bernard

text: En effet, Desmarets qui n'était pas parvenu à convaincre Samuel Bernard de concéder un nouveau prêt au Trésor, demande au Roi de flatter ce dernier pour le faire changer d'avis. Bernard revient enchanté de sa promenade avec le Roi, et accorde à Desmarets les crédits que celui-ci lui demandait.


title: Samuel Bernard

text: En 1709, il se tire d'une vraie banqueroute à Lyon, à l'époque la première place financière de France, où il ne peut pas tenir ses engagements. Soutenu par l’État, qui ne pouvait se permettre la faillite d'un financier si influent et si important pour ses finances, il parvient à un accord avec ses créanciers, bien que celui-ci soit en sa défaveur.


title: Samuel Bernard

text: En 1715, la situation des finances du royaume devient intenable. La dette s'élève alors à de livres, soit l'équivalent d'une dizaine d'années de recettes. Le lancement d'emprunts en cascade ayant entraîné depuis 1704 une spéculation importante de la part de financiers et d'agents de change mais aussi de nombreux commis de l’État, la plupart d'entre eux sont interpellés à la mort de Louis XIV dans le cadre de l'opération du visa, et certains sont même envoyés à La Bastille. En 1716, Samuel Bernard échappe aux poursuites en restituant six millions de livres à l'État.


title: Samuel Bernard

text: Sa fortune assurée et son influence sur les finances du gouvernement établie, Samuel Bernard va chercher une reconnaissance, que l'argent seul ne pouvait lui apporter.


title: Samuel Bernard

text: Il est anobli en 1699 par lettres du roi Louis XIV, qui le fait en 1702 chevalier de l'Ordre de Saint Michel. En 1706, il achète en outre une charge de conseiller-secrétaire du Roi, Maison et couronne de France en la Grande chancellerie de France, charge anoblissante au premier degré, qu'il conserve jusqu'à sa mort . En 1730, il reçoit encore un brevet de conseiller d'État.


title: Samuel Bernard

text: Sa "soif de distinctions" , dont il est lui-même conscient , ne s'arrête pas là.


title: Samuel Bernard

text: Alors qu'il est marié avec sa première épouse, il entame une relation avec Marie-Anne-Armande Carton, également mariée, qu'il comble de cadeaux et d'attention et avec qui il aura trois enfants entre 1706 et 1712.


title: Samuel Bernard

text: Le , il lui achète la terre et seigneurie de Passy, et dépense pour restaurer le château et y aménager un jardin à la française, commande qu'il passe à l'architecte Jules-Robert de Cotte.


title: Samuel Bernard

text: En 1725, il est fait « "comte de Coubert" » par Louis XV. Le , il avait en effet fait l'acquisition de la terre de Coubert (Seine-et-Marne) avec son château, qu'il fait reconstruire de 1724 à 1727, peut-être par Germain Boffrand. Il occupe un vaste hôtel particulier rue Notre-Dame des Victoires et acquiert la seigneurie de Glisolles en Normandie, en 1731.


title: Samuel Bernard

text: Le , il achète aussi à sa belle-famille le marquisat de Méry-sur-Oise, dont il dote sa plus jeune fille, lorsqu'elle se marie en 1733.


title: Samuel Bernard

text: Devenu un grand propriétaire foncier, il s'attache à marier ses enfants et ses petits-enfants dans la meilleure noblesse de robe et d'épée, en leur accordant des dots importantes. Il offre à ces occasions des réceptions où se pressent les gens du monde et les gens de lettres. Sa maison est réputée pour la bonne chère et les bonnes bouteilles qui y sont servies .


title: Samuel Bernard

text: À l'époque de son remariage, en 1720, il fait sculpter son buste dans le marbre par Guillaume Coustou. Ce buste est aujourd'hui au Metropolitan Museum of Art de New-York .


title: Samuel Bernard

text: En 1726, moyennant , Samuel Bernard fait peindre son portrait par Hyacinthe Rigaud. Cette œuvre de grande taille (1,66 m sur 2,65 m) le représente vers la fin de sa vie, assis et en pied. Reproduite à l'époque, en 1729, en gravure, elle est aujourd'hui conservée au Musée national du château de Versailles .


title: Samuel Bernard

text: Un pastel exécuté en 1699 par Joseph Vivien est généralement considéré comme étant son portrait . Cette œuvre se trouve aujourd'hui au Musée des Beaux-arts de Rouen.


title: Samuel Bernard

text: Samuel Bernard décède le à Paris, à l'âge de 87 ans, dans son hôtel de la place des Victoires, des suites d'une artérite dont il souffrait depuis trois ans. Il est inhumé à Paris dans l'église Saint-Eustache. En 1787, ses ossements sont transférés aux catacombes de Paris.


title: Samuel Bernard

text: À sa mort, il laisse une immense fortune, évaluée à 33 millions de livres, que se partagent ses descendants . L'aîné de ses fils reçoit le comté de Coubert, le plus jeune la terre de Glisolles et l'hôtel de la rue Notre-Dame des Victoires.


title: Samuel Bernard

text: À sa maîtresse, Madame Fontaine, il laisse « "le château de Passy, deux immeubles à Auteuil, 355 marcs 6 onces de vaisselle en argent et la remise gracieuse de ses dettes et emprunts" ».


title: Samuel Bernard

text: Il comptait parmi ses débiteurs une centaine de familles nobles en France et à l'étranger, mais également de membres de la haute bourgeoisie française, un grand nombre d'hommes politiques, de fonctionnaires et de magistrats. Mais, grand seigneur, « "par diplomatie et parfois poussé par un sentiment de bonté, Samuel Bernard savait oublier l'argent qu'on lui devait" ». En mariant ses descendants dans des familles nobles, il avait aidé celles-ci à redorer leur blason.


title: Samuel Bernard

text: Samuel Bernard épouse en 1681 Magdelaine Clergeau, fille de Pierre Clergeau, bourgeois de Paris, et Hélène Métayer, faiseuse de mouches de la rue Saint Denis. Issue d'un milieu relativement modeste, comme lui, elle décède en 1716 à Paris, de la petite vérole.


title: Samuel Bernard

text: Il en a pour enfants :Veuf, Samuel Bernard se remarie dans la chapelle du château de Méry-sur-Oise en avec Pauline de Saint-Chamans, sœur de sa belle-fille. Elle est la fille de François de Saint-Chamans, marquis de Méry, et de Bonne de Chastellux. Beaucoup plus jeune que lui, elle décède le , à l'âge de 68 ans. Dont : Pendant son premier mariage, il a également trois filles naturelles nées de Marie-Anne-Armande Carton Dancourt, dite "Manon", fille de l'acteur Florent Carton Dancourt, et épouse de Jean-Louis-Guillaume Fontaine (1666-1714), commissaire et contrôleur de la marine et des guerres au département des Flandres et de Picardie :


title: Théorème de l'élément primitif

text: En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, le théorème de l'élément primitif est un des théorèmes de base de la théorie des corps. Il stipule que toute extension finie séparable est simple, c'est-à-dire engendrée par un seul élément, appelé "élément primitif".


title: Théorème de l'élément primitif

text: Une extension algébrique "L" d'un corps "K" est dite séparable si le polynôme minimal de tout élément de "L" n'admet que des racines simples (dans une clôture algébrique de "K"). On démontre l'équivalence de cette définition avec la définition suivante : une extension finie est séparable si et seulement si le nombre de morphismes de l'extension dans la clôture algébrique laissant invariant le corps de base est égal au degré de l'extension.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Le théorème de l'élément primitif, énoncé pour la première fois par Abel dans un mémoire posthume, et démontré par Évariste Galois, peut être utilisé pour simplifier l'exposé de la théorie de Galois, quoique la plupart des exposés modernes suivent la démarche indépendante d'Artin ; c'est d'ailleurs par ce théorème que commence la démonstration originale de Galois. À l'inverse, comme dans la méthode d'Artin, on peut regarder ce théorème comme une conséquence simple de cette théorie, fait lui aussi reconnu explicitement par Galois. Le théorème de l'élément primitif, tout d'abord cité sans démonstration dans un mémoire posthume d'Abel, fut démontré et employé par Galois pour exposer sa théorie dans son mémoire de 1832. Cette démonstration ne fut publiée qu'en 1846 par Liouville, dans le "Journal de mathématiques", avec le reste du mémoire.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Il est, dans la théorie des corps, utilisé dans une quantité de théorèmes et de démonstrations. Mais l'exposition de tels résultats dépasse le cadre de cet article.


title: Théorème de l'élément primitif

text: À quelques exceptions près, la méthode utilisée par Galois pour établir sa théorie, fondée sur le théorème de l'élément primitif, a généralement été abandonnée au profit de la démarche d'Artin, essentiellement fondée sur le décompte du nombre des extensions des monomorphismes dans les extensions finies. D'un point de vue épistémologique, on est en droit de s'interroger sur les raisons de l'abandon du théorème de l'élément primitif comme principe simplificateur de la théorie de Galois. D'un côté, la présentation de cette théorie au moyen du théorème de l'élément primitif peut être perçue comme plus simple et plus légère pour l'esprit, lui offrant toute la simplicité conceptuelle possible. D'un autre côté, la démonstration de ce théorème, si on la veut complètement indépendante de la méthode d'Artin, peut sembler devoir faire intervenir un certain nombre de résultats de la théorie des équations (le théorème des fonctions symétriques par exemple), ainsi qu'un jeu d'une finesse assez complexe entre les variables. La méthode d'Artin, qui ne fait pas intervenir de lemmes "extérieurs" et dont les démonstrations sont relativement faciles à suivre, peut alors être perçue comme plus rigoureuse et d'une simplicité démonstrative supérieure.  D'autre part, on ne peut ignorer l'aspect théorique de la démarche d'Artin : plutôt que d'utiliser des théorèmes "ad hoc" pour comprendre la géométrie d'un objet, un théoricien préfèrera en général obtenir ces théorèmes comme une "conséquence" de l'étude de cette géométrie.  En l'occurrence, il est plus satisfaisant, d'un point de vue purement théorique, d'obtenir des théorèmes tels que le théorème des fonctions symétriques ou celui de l'élément primitif comme conséquence de la théorie de Galois, établie au moyen de considérations géométriques seulement (groupe d'automorphismes), que de déduire la théorie de ces théorèmes.  On doit d'ailleurs observer que l'idée essentielle de cette démarche avait été parfaitement reconnue par Galois, comme le montre ce commentaire de Galois lui-même, faisant suite à la démonstration du théorème principal de sa théorie :


title: Théorème de l'élément primitif

text: Le théorème de l'élément primitif s'énonce en quelques mots : On peut se demander en général comment caractériser les extensions finies simples. La réponse est fournie par un théorème dû à Artin, qui est souvent présenté sous un même titre, ou indifférencié du théorème de l'élément primitif :


title: Théorème de l'élément primitif

text: Contrairement à une certaine opinion, ce théorème, qu'on nomme parfois  « caractérisation des extensions simples d'Artin » ou « théorème de l'élément primitif d'Artin », ne "tend" pas à remplacer le théorème de l'élément primitif proprement dit, quoiqu'il serve souvent à le démontrer.  En effet, ces deux théorèmes ne sont pas interchangeable dans les applications : le théorème  de l'élément primitif proprement dit est un instrument théorique et pratique précieux, de loin plus employé que le théorème  d'Artin ; inversement, même dans le cas séparable, il est des circonstances où la caractérisation d'Artin permet d'obtenir aisément  la simplicité d'une extension, alors que ce serait plus difficile ou impossible avec le théorème de l'élément primitif  (on pourra s'en convaincre par l'exemple ci-après).  D'ailleurs, si on peut facilement démontrer le théorème de l'élément primitif au moyen du théorème d'Artin, cette déduction n'est pas plus simple que des démonstrations directes telles que celle de van der Waerden présentée plus bas.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Une autre caractérisation des extensions simples, beaucoup moins connue, a été rédigée par van der Waerden dans son célèbre ouvrage.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Supposons que "L"/"K" soit simple, engendrée par un élément primitif "θ".  Vu que l'extension "L"/"L" est radicielle, le polynôme minimal de "θ" sur "L" est de la forme , avec "a" ∈ "L". Clairement, p =  car "L" = = . Le nombre p est aussi l'exposant de "θ" dans "A", sans quoi "θ" satisferait une équation algébrique de la forme , de degré "r" < p. Enfin, pour tout "x" ∈ "L", "x" ∈ "L", car "x" = avec "P" ∈ , et donc "x" = "" ∈ "L". Ainsi "p" = "p" et .


title: Théorème de l'élément primitif

text: Réciproquement, en dénotant encore = p, supposons que "d" = "e". Grâce au théorème de l'élément primitif, on sait  qu'il existe un élément primitif "θ" de "L"/"K". D'un autre côté, dans tout groupe abélien d'exposant fini, il existe un élément dont l'exposant est égal à l'exposant du groupe. Soit donc "w" un élément de "L"˟ d'exposant "p" dans "A" : "w" = "a" ∈ "L". Comme précédemment, le polynôme  minimal de "w" sur "L" est forcément égal à , sans quoi "w" serait d'exposant < "p" dans "A". Par conséquent "L" = = . On voit que "L" est engendré sur "K" par deux éléments, dont un seulement est inséparable sur "K". La construction de van der Waerden, exposée plus bas, assure alors que l'extension "L"/"K" est simple.


title: Théorème de l'élément primitif

text: D'abord, la théorie de Galois, y compris les théorèmes d'extension et de décompte des morphismes de corps, peut être largement simplifiée par ce théorème.


title: Théorème de l'élément primitif

text: En outre, les applications théoriques et pratiques abondent dans la littérature. Voici un exemple :


title: Théorème de l'élément primitif

text: Car si l'extension "L"/"K" était infinie, elle contiendrait des sous-extensions (séparables) finies de "K" de degré arbitrairement grand, donc etc.


title: Théorème de l'élément primitif

text: En effet, si cette sous-extension contenait un nombre infini de corps intermédiaires, il en serait de même pour toute sur-extension finie, qui ne pourrait donc être simple.


title: Théorème de l'élément primitif

text: C'est peut-être un fait surprenant qu'une extension finie puisse contenir un nombre infini de sous-extensions. Pour s'en convaincre, reprenons l'exemple de la première section. On pose comme précédemment  "K" = et "L" = .  Considérons les éléments de la forme "t = ",  où "c" varie dans un sous-ensemble infini de "K",  et montrons que les corps intermédiaires "K"("t") et "K"("t") sont distincts lorsque "a" et "b" le sont. Si tel n'était le cas, on aurait = pour un certain couple ("a","b"), donc il existerait un polynôme "P"("T") à coefficient dans "K"  tel que "t" = . En tenant compte que , on peut supposer que  "P" est de degré au plus .  Notons que "X" est de degré "p" sur F["X"], et donc aussi sur "K"["Y"] , sans quoi il existerait une relation de dépendance algébrique entre "X" et "Y".  Il est d'autre part facile de voir que = , où est un polynôme  sur , de même degré et coefficient directeur que "P".  De plus la relation "t" = "P"("t") implique  possible que si "Q"("V") = , car "Q" est de degré au plus et "X" est de degré "p" sur . Ainsi, "P", tout comme "Q", est unitaire et de degré 1 : "P"("T") = . Mais alors la relation  "t" = "P"("t") implique "aY" = ,  ce qui est impossible car "a" ≠ "b" et "Y" est de degré "p">1 .


title: Théorème de l'élément primitif

text: La construction de van der Waerden, reproduite dans la section suivante, fournit une démonstration constructive courte et élémentaire de l'existence d'un élément primitif. En voici une autre un peu plus théorique et tout aussi rapide.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Si "K" est un corps fini, alors le groupe multiplicatif associé à "L" est cyclique. Si α est choisi parmi les éléments générateurs du groupe alors "K"(α) = "L" et le théorème est démontré, sans même utiliser l'hypothèse de séparabilité.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Supposons donc désormais que "K" est infini.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Soit "n" = ["L" : "K"]. Par séparabilité, il existe "n" morphismes de "L" dans sa clôture algébrique Ω laissant "K" invariant. Considérons "V" l'ensemble des vecteurs de "L" ayant même image par le "i" et le "j" morphisme. "V" est un sous-espace vectoriel différent de "L". Une propriété des réunions des espaces vectoriels montre que la réunion des "V" n'est pas égale à "L". Il existe donc un élément α de "L" qui n'est élément d'aucun "V", c'est-à-dire dont les images par les "n" morphismes sont distinctes. Son polynôme minimal sur "K" admet donc "n" racines distinctes. Ainsi, la dimension du sous-espace vectoriel "K"(α) est supérieure ou égale à la dimension "n" de l'espace vectoriel "L". Les deux espaces sont donc égaux.


title: Théorème de l'élément primitif

text: La construction de van der Waerden fournit un procédé effectif simple de construction d'un élément primitif, à partir d'un système de générateurs fini d'une extension séparable. En fait, outre le fait qu'elle permet de supposer la forme linéaire d'un tel élément, elle donne un peu plus : elle assure l'existence d'un élément primitif, lors même qu'un des générateurs du système n'est pas séparable.


title: Théorème de l'élément primitif

text: 1. Le cas général se déduit du cas "n = 2" par une induction évidente, en considérant les extensions "K"("α"), "K"("α, α"), "K"("α, α, α"), ... et en construisant progressivement leurs éléments primitifs correspondants "θ = α", "θ = θ + λα", "θ = θ + λα". . . On suppose donc "L = K"( "α", "β"), avec "β" séparable sur "K", et on se donne une partie infinie "S" de "K".  Soient "α, ... , α" les conjugués de "α" sur "K" distincts deux à deux, et "β, ... , β" ceux de "β" sur "K" ("β" est séparable sur "K" donc ce sont tous ses conjugués sur "K"). Choisissons "λ" dans "S" n'appartenant pas à l'ensemble fini des éléments de la forme , avec "β ≠ β", et montrons que "θ = " est un élément primitif.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Soit "P" le polynôme minimal de "α" sur "K", et "Q" celui de "β" sur "K".  Notons que = 0, donc le polynôme minimal de "β" sur divise à la fois le polynôme  au moins deux racines communes dans une extension de "K" (disons la clôture algébrique de "K") ; l'une d'entre elles, disons "β'," serait différente de "β" puisque "β" est séparable sur "K". On aurait donc = 0, et donc  = "α'," pour un certain conjugué "α' "de "α". Mais comme "θ = ", cela impliquerait " = α'," ou bien "λ" = , en contradiction avec le choix de "λ". Ainsi, le polynôme minimal de "β" sur est de degré 1, ce qui veut dire que "β", et par suite "α = ", appartient à .


title: Théorème de l'élément primitif

text: 2. Supposons que "α = α" soit séparable. Dans la démonstration précédente, on peut choisir "λ" dans "S" de telle façon que les "st" éléments de la forme soient distincts deux à deux, pour différentes valeurs du couple ("i,j") :  il suffit pour cela de choisir "λ" dans "S" en dehors de l'ensemble fini des éléments de la forme  , avec "i" et "i' "entre 1 et "s", "j" et  "j' "entre "1" et "t", et "j ≠ j'."  Supposons donc "λ" choisi de cette façon. En particulier, la première partie de la démonstration implique que est un élément primitif de "L/K".


title: Théorème de l'élément primitif

text: Avec les notations précédentes, on a = 0, donc "θ" est racine du polynôme de degré "s".  Formons le polynôme "R"("X") = , "j" variant entre 1 et "t". C'est un polynôme symétrique en les conjugués de "β", et le théorème fondamental des polynômes symétriques, implique que les coefficients de "R" sont dans "K".  Clairement, "θ" est racine de "R", donc le polynôme minimal de "θ" sur "K" divise "R". Pour montrer que "θ" est séparable sur "K", il suffit donc de montrer que "R" l'est. Mais les racines de "R" sont les racines des polynômes , et si "x" est une telle racine, alors "x - λβ = α" pour un certain "i" entre 1 et "s". En d'autre termes, "x" est de la forme α + λβ, et comme les "st" éléments de cette forme sont distincts deux à deux (à cause du choix de "λ"), les st racines de "R" le sont aussi, ce qu'il fallait démontrer.  Notons que puisque le groupe multiplicatif d'un corps fini est engendré par un seul élément, toute extension finie d'un corps fini est simple, et admet donc un élément primitif.  Ainsi, le procédé de construction de van der Waerden implique le théorème de l'élément primitif.


title: Théorème de l'élément primitif

text: La deuxième partie du théorème est évidemment une conséquence du fait qu'un système de générateurs séparables engendre une extension séparable, un théorème de base de la théorie des corps. Mais justement, l'intérêt de cette deuxième assertion réside dans le fait qu'elle fournit une démonstration simple dudit théorème, alors que celle-ci prend facilement des allures laborieuses dans de nombreuses expositions (détails dans la boîte déroulante ci-après). Soit "L/K" une extension engendrée par un système d'éléments séparables sur "K", et dont on veut démontrer qu'elle est séparable.  On voit facilement qu'on ne perd rien à supposer "L/K" normale et finie, en adjoignant éventuellement les conjugués sur "K" du système de générateurs à "L". Le cas où "K" est fini ne pose pas de problème, car toutes les extensions algébriques d'un corps fini sont séparables. On peut donc supposer "K" infini, et en vertu de la construction de van der Waerden, il existe un élément primitif séparable "θ" de "L/K", donc deg("θ", "K") = ["L : K"] = n. Comme tout automorphisme de "L/K" envoie "θ" sur un de ces conjugués sur "K", il existe au plus "n" automorphismes de "L/K", et il en existe au moins "n", en vertu du fait que les extensions "K"("θ")/"K" sont toutes isomorphes à "K"("X")/("P"), où les "θ" sont les conjugués de "θ", de polynômes minimaux communs et égaux à "P". Ainsi il y a exactement "n" "K"-automorphismes, qui forment d'ailleurs trivialement un groupe "G".  Si "x" est un élément de "L", alors "θ" est évidemment un élément primitif de "L/K"("x"), donc le même argument implique que le groupe "G" des automorphismes de "L/K"("x") compte ["L : K"("x")] automorphismes.  Mais si "σ" et "σ" sont deux éléments de "G", "σ"("x") = "σ"("x") si et seulement si "σσ" ("x") = "x", autrement dit si et seulement si "σσ" est un automorphisme de "L/K"("x").  Ainsi, l'orbite de "x" sous l'action du groupe "G", sous-ensemble de l'ensemble de ses conjugués, est de cardinal "c" égal à  celui de , ou bien  "c" = Card("G / G") = Card("G") / card("G") = ["L : K"] / ["L : K"("x")] = ["K"("x") : "K"] = deg("x", "K"). Le nombre total des conjugués distincts de "x" est donc supérieur ou égal, et donc égal, au degré de "x" sur "K", ce qui implique que "x" est séparable. Le théorème de la base normale garantit que si "L/K" est une extension finie galoisienne de corps commutatifs, de groupe de Galois "G", alors il existe un élément "α" de "L" dont l'orbite "Gα" est une base du "K"-espace vectoriel "L". En particulier, puisque les conjugués de "α" sont racines de son polynôme minimal, = , donc "α" est un élément primitif de "L/K". Mais c'est un élément primitif qui jouit d'une propriété supplémentaire particulièrement utile.


title: Théorème de l'élément primitif

text: On doit cependant noter que le théorème de la base normale exige que "L/K" soit normale (en plus d'être séparable). Le théorème de l'élément primitif, lui, n'est pas assujetti à cette contrainte supplémentaire.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Considérons un anneau intègre "A" de corps de fractions "K", et "L" une extension galoisienne finie de "K".  Supposons que "B" soit un sous-anneau de "L" contenant "A", dont le corps des fractions est "L". Si "A" est infini et "B" est de type fini sur "A", on peut, grâce à la construction de van der Waerden, construire un élément primitif "θ" pour "L"/"K" appartenant à "B". Néanmoins, il n'est pas vrai en général que "B" = , même si "B" est un corps de nombres (de type fini sur "A"), comme exposée dans la section "corps monogènes" ci-après. Lorsqu'une telle propriété a lieu, et que "A" et "B" sont intégralement clos, on dit que "B"/"A" est une couverture d'anneaux, et que "θ" est un élément primitif pour cette couverture. Si de plus "L"/"K" est galoisienne, alors on parle de couverture galoisienne d'anneaux.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Une condition suffisante pour assurer l'existence d'un tel élément primitif est la suivante : Il y a un cas notoire d'extension d'anneaux "B"/"A", où "B" est engendré par un unique élément entier sur "A" :


title: Théorème de l'élément primitif

text: C'est une application du lemme d'Hensel, mais on peut aussi en donner une démonstration utilisant des principes de bases.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Avec les hypothèses du théorème précédent, l'extension "B"/"A" est une couverture d'anneaux car tout anneau de valuation est intégralement clos.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Toujours dans le cadre des anneaux de valuations discrètes, on a encore les conditions très utiles suivantes qui suffisent à assurer la couverture d'anneaux. La discussion précédente se spécialise au cas des corps de nombres.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Un corps de nombres algébrique est monogène si son anneau d'entiers est monogène, c'est-à-dire engendré par un unique élément entier  (un "élément primitif" de la couverture d'anneau dans la terminologie précédente).  Autrement dit, si "L" est une extension algébrique finie de ℚ et si "B" désigne l'anneau des entiers de "L" sur ℚ, "L" est monogène si  "B" = .


title: Théorème de l'élément primitif

text: Par exemple, les corps de nombres quadratiques, ainsi que les corps de nombres cyclotomiques, sont monogènes.


title: Théorème de l'élément primitif

text: On sait depuis Dedekind qu'il existe des corps de nombres non monogènes, et c'est d'ailleurs le cas en général. Le premier exemple  fut donné par Dedekind : il s'agit du corps engendré sur ℚ par une racine du polynôme . On peut aussi montrer que le corps de nombre n'est pas monogène.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Une condition nécessaire pour qu'un corps de nombres soit monogène, d'élément primitif associé "θ", est que le discriminant du corps "L" soit égal au discriminant du polynôme minimal de "θ" sur ℚ.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Le but de cette section n'est pas de retranscrire exactement la démonstration de Galois dans les termes et notations où elle fut énoncée, mais plutôt de traduire cette démonstration en termes modernes, tout en en suivant pas à pas les étapes.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Cette démonstration prend place dans un cadre où "K" est un corps infini (un corps intermédiaire entre les rationnels et les nombres complexes originellement), et "L" est le corps de décomposition d'un polynôme "P" à coefficients dans "K", sans racines multiples.  Bien entendu, la notion de corps n'existait pas du temps de Galois, mais c'est ainsi qu'on traduit en langage moderne ce qu'il entend par des expressions telles que « adjoindre les racines d'une équation aux rationnels, » ou bien « être rationnellement connu. »


title: Théorème de l'élément primitif

text: D'autre part, sa supposition que L est un corps de décomposition n'est pas aussi restrictive qu'on pourrait le penser : d'abord, toute extension finie, normale et séparable, est le corps de décomposition d'un polynôme sans racines multiples, comme on le voit en multipliant successivement les polynômes minimaux sur "K" d'un système minimal de générateurs de l'extension "L/K". Enfin, en supposant démontré le théorème de l'élément primitif dans le cas où "L/K" est séparable et normale, il suffirait, pour se débarrasser de l'hypothèse de normalité, de considérer le clos normal de "L" et d'utiliser ce petit théorème de la théorie des corps qui assure que toute sous-extension d'une extension algébrique simple est simple.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Dans son mémoire, Galois utilise implicitement quelques lemmes de base de la théorie des équations (aujourd'hui intégrée dans la théorie des corps), d'ailleurs bien connus de son temps, à l'exception d'un seul discuté ci-dessous. Trois d'entre eux sont explicités :


title: Théorème de l'élément primitif

text: Si formula_1 est un polynôme de "n" variables, non identiquement nul, et si "K" est infini, alors il existe formula_2 tels que formula_3.


title: Théorème de l'élément primitif

text: En effet, on peut considérer "P" comme un polynôme de la variable formula_4 sur le corps formula_5. Comme ce polynôme n'a qu'un nombre fini de racines, tandis que "K" est infini, il existe formula_6 tel que formula_7 ne soit pas identiquement nul. En considérant de même formula_8 comme un polynôme de la variable formula_9 sur le corps formula_10, et en faisant de même pour les autres variables, on démontre de proche en proche l'assertion proposée.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Si formula_11 sont les "n" racines d'un polynôme "P" irréductible sur "K", et si formula_12 est une expression polynomiale symétriques en les formula_13, alors formula_14, pour un certain polynôme "F" à coefficient dans "K".


title: Théorème de l'élément primitif

text: La preuve dépend du théorème fondamental des polynômes symétriques, qui implique que "f" est fonction de formula_15 et des fonctions symétriques des formula_13. Ces fonctions symétriques sont, au signe près, égales aux coefficients du polynôme formula_17. Or ce polynôme est égal à formula_18, donc ses coefficients appartiennent à formula_19 en vertu de la division euclidienne.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Ce lemme (ou une méthode équivalente) est nécessaire pour expliciter un point délicat de la démonstration de Galois, dont la preuve a été omise par ce dernier. Cette partie de la restitution de la démonstration est donc essentiellement conjecturale. Il stipule que si formula_20 sont les "n" racines d'un polynôme irreductible "P" sur "K", alors il existe, pour tout "i,j", un "K"-automorphisme formula_21 de "L/K" qui échange formula_22 et formula_23. De nos jours, on peut démontrer cette assertion en utilisant d'abord le fait que formula_24 et formula_25 sont isomorphes à formula_26, ce qui permet d'étendre l'automorphisme identité en un monomorphisme de corps qui échange formula_22 avec formula_23, puis en étendant de proche en proche (de façon quelconque) ce monomorphisme par le même moyen, jusqu'à obtenir l'automorphisme désiré.  Pour Galois, qui ne pouvait définir la notion "d'automorphisme" (le concept de correspondance n'était pas même formulé de son temps), il s'agissait de "permutations" des racines dans une expression algébrique. Il se peut qu'il entrevoyait clairement que ces "permutations" se répercutaient tout au long des calculs, pour donner des opérations homomorphiques. Il se peut aussi (et c'est même plus probable) qu'il avait raisonné dans une extension finie du type formula_29, où les formula_30 sont les fonctions symétriques des formula_31. Par un jeu assez subtil (mais tout à fait à la portée de Galois) entre permutations des variables et substitution des "n" racines formula_22 d'un polynôme irréductible à la place de ces variables, il pourrait avoir justifié le point délicat de la démonstration sans avoir recours à une quelconque intuition du théorème d'extension des automorphismes.  Quoi qu'il en soit, par souci de commodité, c'est ce théorème d'extension qui sera utilisé dans l'exposition de sa preuve.


title: Théorème de l'élément primitif

text: Ceci étant posé, soient formula_33 les "n" racines du polynôme "P" dont "L" est le corps de décomposition.  D'abord, on choisit un polynôme formula_34 sur formula_35 qui prenne des valeurs différentes pour chaque substitution d'une permutation des formula_36 par exemple (se contente de dire Galois), on peut choisir formula_37 où les formula_38 sont convenablement choisis. Pour justifier cette assertion, on utilise le lemme 1: en définissant le polynôme formula_39 par formula_40 il suffit de considérer le polynôme produit des polynômes formula_41 où formula_42 désigne l'ensemble des permutations de formula_43 et formula_44 le polynôme obtenu en appliquant la permutation formula_45 aux index des variables formula_22 dans formula_47


title: Théorème de l'élément primitif

text: Il s'agit maintenant de démontrer que l'élément formula_48 est l'élément primitif souhaité. Une quantité littérale formula_49 étant donnée, on construit l'expression algébrique formula_50 où formula_51 est l'ensemble des permutations de formula_52 qui laissent fixe formula_53. Autrement dit, formula_54 est le produit des termes formula_55 où l'on permute les formula_22 dans formula_57 de toutes les façons possibles, en laissant toutefois fixe formula_15.  Compte tenu du lemme 2, formula_59 pour un certain polynôme formula_60 sur formula_61


title: Théorème de l'élément primitif

text: Maintenant, il est clair que formula_62 puisque formula_51 contient évidemment la permutation identité. Galois affirme alors qu'il est impossible que formula_64 pour formula_65 sans quoi (dit-il), formula_57 prendrait deux valeurs identiques pour deux permutations différentes, ce qui est contre l'hypothèse. Ici, c'est le lemme 3 qui est utilisé par Galois : on se donne un automorphisme formula_21 qui échange formula_15 et formula_69 et on l'applique aux deux membres de l'équation formula_70 En notant abusivement par la même lettre formula_21 la permutation de formula_72 qui représente formula_21 en termes de permutations des formula_69 on obtient formula_75 Comme formula_76 il est impossible (en vertu du choix de formula_57) qu'un des termes formula_78 soit égal à formula_79 et donc que formula_80 ce qui explique l'assertion de Galois.


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text: Finalement, vu que formula_81 le polynôme formula_82 d'une variable formula_83 a un facteur commun avec formula_84. Ce facteur ne peut être que formula_85 puisque formula_86 pour tout formula_87. Ainsi, formula_88 s'obtient par simple extraction de P.G.C.D entre le polynôme formula_84 et formula_90 et formula_15 est donc une fraction rationnelle de formula_92 sur formula_61


title: Théorème de l'élément primitif

text: On démontrerait de la même manière que formula_22 s'exprime rationnellement en fonction de formula_95 pour tout autre formula_96 donc formula_97


title: Théorème de l'élément primitif

text: Sans même supposer la normalité de formula_98, la démonstration de Galois peut être largement améliorée et simplifiée, en se basant uniquement sur le théorème des fonctions symétriques : Par induction, il suffit de démontrer que toute extension de la forme formula_99 est simple. Soient formula_100 les conjugués de formula_101 sur formula_35,  avec formula_103, et formula_104 les conjugués de formula_105 sur formula_35, avec formula_107. Puisque formula_98 est séparable, formula_109 et formula_110 pour tout formula_111. Le polynôme formula_112 n'est pas  identiquement nul, donc, puisque formula_35 est infini, il existe formula_114 tel que les formula_115 soient tous distincts les uns des autres. Posons formula_116. On forme l'expression formula_117, qui, étant symétrique en les formula_118, est égale à formula_119 pour un certain polynôme formula_120 sur formula_35 (théorème des fonctions symétriques). On a évidemment formula_122, et en vertu du choix de formula_123, il est clair que formula_124 pour tout formula_125; donc formula_126 peut être obtenu par simple extraction de P.G.C.D. entre formula_127 et le polynôme minimal de formula_101 sur formula_35. Ainsi, formula_101, et par suite formula_131 est une fonction rationnelle de formula_92 : formula_133.


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text: Ici, le point délicat de la démonstration de Galois a été « court-circuité, » parce qu'on a supposé que les formula_134 étaient les conjugués de formula_105 sur formula_35 et non pas sur formula_137.


title: Irish Citizen Army

text: L’Irish Citizen Army (', "ICA", ') est une milice d’autodéfense ouvrière irlandaise, créée le , par James Connolly, Jack White et James Larkin.


title: Irish Citizen Army

text: Le éclate une grève générale à Dublin menée par l'Irish Transport and General Workers' Union ("ITGWU"), un syndicat dirigé par James Connolly, à la suite d'un conflit à la compagnie des tramways. À la suite de la répression du mouvement qui dure jusqu'en , est fondée l'ICA avec comme double-but de protéger le mouvement ouvrier et de préparer la révolution socialiste et nationale. La milice tient ses locaux au , le quartier général de l'ITGWU. Lénine l'appelle alors .


title: Irish Citizen Army

text: La direction de l'ICA est confiée au capitaine protestant Jack White puis à la comtesse Constance Markiewicz. Pour préserver le caractère ouvrier du mouvement, Connolly refuse sa fusion avec les Irish Volunteers. En 1914, l'ICA ainsi que l'ITGWU se positionnent contre .


title: Irish Citizen Army

text: Le , 200 membres de l'ICA participent au côté de 550 Irish Volunteers à l’Insurrection de Pâques et déclarent l'indépendance de la République irlandaise. La rébellion est vite écrasée par l'armée britannique, mais Connolly, fusillé le , a, pendant les combats, prédit le futur de l'organisation : .


title: Irish Citizen Army

text: À la fin du mois de , à la suite du déclenchement de la guerre d'indépendance irlandaise et d'une nouvelle déclaration d'indépendance, de nombreux membres de l'ICA rejoignent l'Irish Republican Army, nouvellement fondée par les Irish Volunteers. En 1934, l'ICA moribonde participe à la création du Republican Congress.