title: Alain Devaquet

text: Alain Devaquet doit cependant faire face aux libéraux de la majorité, qui souhaitent une réforme plus profonde du système. Il résiste à la plupart de leurs requêtes, au prix de quelques concessions, notamment en matière de sélection : il regrettera dans son livre "L’Amibe et l’Étudiant" publié en 1988 qu'. Il espère encore pouvoir adoucir la loi lors de la publication des décrets d’application.


title: Alain Devaquet

text: Le projet est mal accueilli par de nombreux lycéens et étudiants qui craignent le développement de la sélection, l’augmentation des frais d’inscription, la fin des diplômes nationaux, une université à deux vitesses. Fin novembre et début décembre 1986, le ministre doit faire face à un large mouvement de contestation. Des centaines de milliers d'étudiants et de lycéens manifestent contre son projet.


title: Alain Devaquet

text: Le , son ministre de tutelle, René Monory, décide de reprendre le dossier en main et propose de supprimer plusieurs des articles contestés. Cette décision affaiblit la position politique d’Alain Devaquet. À la suite de la mort le d'un étudiant, Malik Oussekine, lors d'une intervention musclée de la police, il présente sa démission. Le , Jacques Chirac annonce qu’il retire le projet de loi et qu’il accepte la démission du ministre délégué.


title: Alain Devaquet

text: En 1988, il retrouve un siège à l'Assemblée nationale, comme député de Paris, mandat qu'il conserve jusqu'en 1997. L'année suivante, tête de la liste chiraquienne dans son arrondissement, il est réélu maire . Mais, au renouvellement suivant, en 1995, il est battu par Georges Sarre et abandonne le terrain électoral.


title: Alain Devaquet

text: De 1997 à 2007, il est chargé de mission auprès du président de la République, Jacques Chirac, ainsi que son conseiller scientifique.


title: Alain Devaquet

text: Il a animé le cercle de réflexion science et société.


title: Alain Devaquet

text: Il meurt d'un cancer à l'hôpital Gustave-Roussy, à Villejuif, le , à l'âge de 75 ans.


title: Alain Devaquet

text: Alain Devaquet a été le compagnon de Claude-Annick Tissot.


title: Alain Devaquet

text: Franc-maçon, il a appartenu à la loge "Demain" du Grand Orient de France.


title: Alain Devaquet

text: Une promenade porte son nom dans le 11e arrondissement de Paris depuis novembre 2019.


title: Benjamin Peirce

text: Benjamin Peirce, logicien et mathématicien américain, est né le et mort le . Il fut professeur de mathématiques et physique à Harvard. Père du philosophe qui a fondé le pragmatisme (Charles Sanders Peirce), il peut être considéré comme le premier mathématicien américain ayant acquis une réputation véritablement internationale. Il approuvait l'esclavage dans la mesure où il permettait à une élite de s'adonner aux sciences en se dégageant des contraintes du travail manuel.


title: Benjamin Peirce

text: En théorie des nombres, il a démontré qu'aucun nombre parfait impair n'a moins de quatre facteurs premiers. En algèbre, il a accompli une œuvre pionnière dans l'étude de l'algèbre associative, où il a introduit les termes d'élément idempotent et nilpotent (1870), et posé le principe de la décomposition de Peirce.


title: Benjamin Peirce

text: En épistémologie, il a défini les mathématiques comme , reprise par son fils, Charles Sanders Peirce, comme fondement du pragmatisme. Comme George Boole, et à l'opposé du Logicisme d'un Gottlob Frege et d'un Bertrand Russell, Peirce pensait que les mathématiques permettaient d'étudier la logique. Ce point de vue sera, là encore, poursuivi par Charles Peirce, qui relevait que la logique comprend aussi l'étude des paralogismes.


title: Benjamin Peirce

text: Peirce a formulé un principe de détection des anomalies, c'est-à-dire des observations qui, par leur caractère extrême, nécessitent un traitement statistique particulier : le critère de Peirce. Il a été expert judiciaire dans l'Affaire Howland (1868), un procès en contrefaçon où une analyse statistique des traits communs entre deux spécimens de signature le conduisait à déclarer hautement improbable l'authenticité du testament présenté par la plaideuse, Hetty Green.


title: Grèbe de l'Atitlan

text: Le Grèbe de l'Atitlan ou Grèbe du lac Atitlan ou encore Grèbe géant ("Podilymbus gigas") est une espèce éteinte d'oiseau de la famille des Podicipedidae (Podicipédidés), proche du Grèbe à bec bigarré.


title: Grèbe de l'Atitlan

text: Il occupait les rives septentrionales du lac Atitlán au Guatemala. Sa population, déjà faible (environ 200 individus) a chuté à seulement 80 individus dans les années 1960 après l'introduction dans les eaux du lac d'un poisson, la perche truitée ("Micropterus salmoides") qui est devenu son concurrent pour les ressources alimentaires. Malgré une amélioration passagère de la situation et l'augmentation de la population de ce grèbe, la pression touristique, la destruction des habitats, l'instabilité politique (dont le meurtre de garde-chasse) ainsi que la baisse du niveau des eaux à la suite du tremblement de terre de 1976, a réduit la population à seulement 30 individus en 1983 et puis à sa complète extinction en 1994.


title: Sancho Panza

text: Sancho Panza, dont le nom est orthographié dans certaines langues Sancho Pança, est un personnage de roman. C'est l'écuyer et compagnon d'aventures de Don Quichotte dans le livre de Miguel de Cervantes.


title: Sancho Panza

text: Il n'est pas possible de parler du "chevalier à la triste figure", sans faire référence à son fidèle serviteur Sancho Panza. Son personnage central, Don Quichotte, ne serait pas un complet s'il n'était accompagné dans ses aventures de Sancho Panza.


title: Sancho Panza

text: Participant à tous ses "exploits", Sancho essaie de raisonner Don Quichotte qui a un esprit imaginatif, tant il lit des romans de chevalerie. Sancho est sensé, posé, modérateur et il protège son maître. C'est un paysan, rude, élémentaire, de basse extraction, imprudent, vulgaire, goinfre, marmotte, mais fidèle à son seigneur. Il est présenté comme . C'est l'image que l'on a au premier abord de Sancho Panza, mais on découvre petit à petit que sa psychologie est plus profonde, bien qu'il termine en étant contaminé par la parole et la mentalité de son maître.


title: Sancho Panza

text: Sancho Panza a pour épouse Thérèse et ils ont une fille adolescente nommée Sanchica. Il laisse sa famille au village et suit Don Quichotte dans ses aventures farfelues, car celui-ci lui a promis un hypothétique archipel à gouverner, quand lui-même aura reçu les honneurs, la gloire et la fortune pour ses exploits chevaleresques... Sancho Panza est accompagné pour cela dans ces pérégrinations de son vieux baudet, auquel il est très attaché et qu'il ne changerait pas contre le roussin de Lancelot.


title: Sancho Panza

text: Il a le don d'énerver à plusieurs reprises Don Quichotte, par sa façon de débiter à tout va des proverbes, souvent plusieurs dans la même phrase, qui ne sont pas toujours à propos. Une autre chose qui met en rogne Don Quichotte, c'est le peu d'empressement que met Sancho Panza à s'administrer des milliers de coups de fouet pour prétendument désenchanter Dulcinée du Toboso, la femme dont est amoureux Don Quichotte...


title: Sancho Panza

text: Don Quichotte et Sancho Panza forment indiscutablement un duo très réussi : l'un ne pourrait exister sans l'autre. Ils représentent un archétype qui sera sans cesse repris dans les fictions : par exemple Laurel et Hardy, Abbott et Costello, Astérix et Obélix, Walter Matthau et Jack Lemmon, Huckleberry Finn et Tom Sawyer, Zorro et Bernardo, Bob Morane et Bill Ballantine...


title: Sancho Panza

text: Dans le roman, Sancho s'écrie : « Quels géants ? » quand Don Quichotte croit voir des géants envoyés par des sorciers là où il n'y a que des moulins à vent.


title: Sancho Panza

text: En parlant ainsi, il donna de l’éperon à son cheval Rossinante, sans prendre garde aux avis de son écuyer Sancho, qui lui criait qu’à coup sûr c'était des moulins à vent et non des géants qu'il allait attaquer.


title: Sancho Panza

text: Sancho Panza, qui ne s'en est d'ailleurs jamais vanté, réussit au cours des années, en dévorant des histoires de brigands et des romans de chevalerie pendant les nuits et les veillées, à détourner entièrement de soi son démon.


title: Sancho Panza

text: Il fit si bien que celui-ci – qu'il appela plus tard Don Quichotte – se jeta désormais sans frein dans les plus folles aventures : elles ne nuisaient à personne faute d'un objet prédestiné qui aurait dû être précisément Sancho Panza.


title: Sancho Panza

text: Sancho Panza, peut-être mû par certains sentiments de responsabilité, Sancho Panza, qui était un homme indépendant, suivit calmement Don Quichotte dans ses équipées et en tira jusqu'à son dernier jour une grande et utile distraction.  Le noble chevalier, l’idéaliste, qui se bat contre des moulins à vent, le rêveur qui prend ses hallucinations pour la réalité, le fantasque, le maître et son valet, les pieds sur terre, le valet prosaïque. C’est un couple que nous retrouvons encore dans notre réalité, à la fois alliés et adversaires. C’est un duo qui résiste aux temps qui changent.  Nous avons là deux amis dont la relation repose sur le respect et la compréhension mutuels. Chacun des deux peut dire de l’autre : Lui, c’est un véritable ami.  Ce qui m’intéresse et me touche le plus, c’est cette relation d’amitié. Don Quichotte et Sancho Panza deviennent de véritables amis.  Don Quichotte s’occupe de Sancho comme un père de son fils. De même que Sancho s’occupe de Don Quichotte comme un jeune s’occuperait d’un père ou d’un grand-père qui aurait un peu perdu la tête.


title: Équipartition de l'énergie

text: En physique statistique classique, l’équipartition de l’énergie est un résultat remarquable selon lequel l’énergie totale d’un système à l’équilibre thermodynamique est répartie en parts égales en moyenne entre ses différentes composantes. Ce résultat découle très directement du postulat fondamental de la physique statistique ; on parle souvent de principe d’équipartition de l’énergie.


title: Équipartition de l'énergie

text: Plus précisément, le théorème d’équipartition donne une équation qui permet de relier la température d’un système macroscopique aux énergies moyennes des particules microscopiques qui le composent, permettant ainsi de faire des prédictions quantitatives. On le résume souvent par la formule : « formula_1 par terme quadratique dans l'expression de l'énergie », où formula_2 est la constante de Boltzmann et formula_3 la température exprimée en kelvins. Le théorème permet de calculer l’énergie totale d’un système à une température donnée, d’où l’on peut calculer sa capacité thermique massique, anciennement appelée chaleur massique ou chaleur spécifique. Mais il donne aussi les valeurs moyennes de composantes de l’énergie, telles que l’énergie cinétique d’une particule ou l’énergie potentielle associée à un mode de vibration particulier.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition peut notamment être utilisé pour retrouver la loi des gaz parfaits, la loi expérimentale de Dulong et Petit sur la chaleur spécifique des solides ou caractériser un mouvement brownien. De manière générale, il peut être appliqué à n’importe quel système classique à l’équilibre thermodynamique, quelle que soit sa complexité. En revanche, il est mis en défaut quand les effets quantiques deviennent significatifs, notamment pour des températures suffisamment basses ou des densités élevées.


title: Équipartition de l'énergie

text: Historiquement, le problème de l’équipartition de l’énergie est lié à d’importants développements en physique et en mathématiques. Il a trouvé son origine au milieu du dans la théorie cinétique des gaz, puis accompagné l’émergence de la physique statistique. Au début du , il était encore au cœur de problèmes fondamentaux, dont notamment la catastrophe ultraviolette, qui ont conduit au développement de la mécanique quantique. En mathématiques, l’examen des conditions de validité du principe d’équipartition a donné naissance à la théorie ergodique, une branche dans laquelle de nombreux problèmes restent encore ouverts.


title: Équipartition de l'énergie

text: L’équipartition de l’énergie cinétique fut initialement proposée en 1843 par John James Waterston qui travaillait à une première théorie cinétique des gaz. À cette époque, Waterston était aux Indes où il travaillait en tant qu’ingénieur pour le développement du chemin de fer. Il proposa son mémoire en 1845 à la Royal Society qui refusa de le publier, mais le conserva dans ses archives. Un court résumé de ses idées fut publié en 1846, puis un autre en 1851 dans laquelle on trouve une première version du principe d’équipartition de l’énergie. Le mémoire d’origine fut redécouvert et finalement publié bien plus tard en 1893, assorti d’une introduction de Lord Rayleigh qui critique vivement le refus initial en reconnaissant l’antériorité du travail de Waterston (mais aussi certaines erreurs). Telle que publiée en 1851, cette première version du principe d’équipartition s’écrit :


title: Équipartition de l'énergie

text: Ces premiers travaux sont donc inconnus des principaux physiciens de l’époque qui développeront pendant les vingt ans qui suivirent la théorie cinétique des gaz et affineront les arguments, les formulations et les démonstrations du principe d’équipartition. Rudolf Clausius, Ludwig Boltzmann, James Clerk Maxwell sont de ceux-là. Ce dernier écrit notamment en 1878 :


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition est considéré pendant le dernier tiers du comme un des résultats principaux de la théorie cinétique des gaz. Sa généralité et sa simplicité en font un résultat séduisant ; il est connu et utilisé couramment par les expérimentateurs.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un grand succès du théorème d’équipartition fut la prédiction par Boltzmann de la loi expérimentale de Dulong et Petit sur la chaleur spécifique des solides, autre sujet d’étude au . En 1819 en effet, les physiciens français Pierre Louis Dulong et Alexis Thérèse Petit avaient découvert que les chaleurs spécifiques molaires des solides à température ambiante étaient quasiment toutes identiques, environ . Cette loi jusqu’alors expérimentale trouva dans le théorème d’équipartition un fondement théorique. De même, les mesures des chaleurs spécifiques de gaz monoatomiques étaient tout à fait conformes à la théorie. Le théorème prédit que la chaleur spécifique d’un gaz simple monoatomique doit être d’environ , ce qui fut en effet confirmé par l’expérience.


title: Équipartition de l'énergie

text: Cependant, le théorème d’équipartition fut également mis en défaut. Dès 1840, des mesures de chaleur spécifique de solides avaient mis en évidence des écarts significatifs avec la loi de Dulong et Petit, notamment dans le cas du diamant. Au début des années 1870, des études en fonction de la température par James Dewar et Heinrich Friedrich Weber montrèrent que la loi de Dulong et Petit n’était en réalité valable que pour les hautes températures.


title: Équipartition de l'énergie

text: Des mesures de chaleurs spécifiques de gaz diatomiques vinrent également contredire le théorème d’équipartition. Le théorème prédisait une valeur de quand les chaleurs spécifiques mesurées étaient typiquement proches de et tombaient même jusqu’à aux très basses températures.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un troisième cas de désaccord fut la chaleur spécifique des métaux. Selon le classique modèle de Drude développé au début des années 1900 et le théorème d’équipartition, les électrons dans les métaux devraient se comporter comme un gaz quasi parfait, et devraient contribuer pour 3/2 formula_4 à la chaleur spécifique où formula_5 est le nombre d’électrons. L’expérience montre toutefois que les électrons contribuent peu à la chaleur spécifique : les chaleurs spécifiques molaires de nombreux conducteurs et d’isolants sont quasiment égales.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un dernier cas de désaccord, et pas des moindres, était donné par le problème de l’émission de rayonnement du corps noir. Le paradoxe vient du fait qu’il y a une infinité de modes indépendants du champ électromagnétique dans une cavité fermée, chacun pouvant être traité comme un oscillateur harmonique. Si chaque mode avait une énergie formula_6, la cavité contiendrait donc une énergie infinie. Ce paradoxe est resté dans l’histoire sous le nom de catastrophe ultraviolette. En 1900, ce paradoxe est le second « nuage » évoqué par Lord Kelvin lors de sa conférence "Nineteenth-Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light". Il ne sera résolu que par les développements de mécanique quantique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Au-delà des cas d’échecs rapportés par l’expérience, le théorème d’équipartition se heurte également à un problème fondamental, souligné dès 1875 par James Maxwell : à mesure que l’on décompose les molécules de gaz en constituants élémentaires, on peut trouver de nouveaux degrés de libertés qui devraient eux aussi contribuer à l’énergie totale. À la limite, celle-ci deviendrait infinie ! Ce paradoxe est insoluble par la physique classique. Et pourtant, la démonstration du théorème ne présente pas de faille apparente, et les succès de la théorie cinétique des gaz sont par ailleurs indéniables.


title: Équipartition de l'énergie

text: Face à ces difficultés, plusieurs attitudes sont possibles. Certains, mais pas les plus nombreux, pensent que le théorème est faux. C’est notamment le cas de Lord Kelvin. Mais ils ne parviennent pas à démontrer en quoi. D’autres, prenant actes des succès du théorème, préfèrent penser qu’il n’est pas applicable dans les cas qui posent problèmes, pour des raisons qui restent à préciser. Ludwig Boltzmann avança que les gaz pouvaient ne pas être à l’équilibre thermodynamique à cause de leurs interactions avec l’éther. Maxwell pense que le problème ne pourra pas être résolu sans une connaissance précise et complète de la structure interne des molécules. Mais ce problème aussi se révèle de plus en plus compliqué. Certains, plus prudents encore, remettent en cause la pertinence de l’utilisation des lois de la mécanique (chocs) aux molécules et, de là, la nature même de la matière. Lord Rayleigh quant à lui, dans une conférence qu’il donne en 1900, avance fermement que le théorème d’équipartition et l’hypothèse expérimentale de l’équilibre thermodynamique sont tous les deux corrects, mais pour les réconcilier invoque le besoin d’un nouveau principe qui pourrait fournir une « échappatoire à la simplicité destructrice » du théorème d’équipartition.


title: Équipartition de l'énergie

text: Cette échappatoire fut trouvée progressivement à partir des années 1900. Cette année-là, Max Planck présente un travail sur le rayonnement du corps noir dans lequel il imagine des niveaux d’énergie discrets, ce qui lui permet d’échapper à la catastrophe ultraviolette. C’est alors une hypothèse purement mathématique. Max Planck ne s’intéresse que peu alors au problème de l’équipartition de l’énergie ; il est réticent de manière générale devant les méthodes de la physique statistique.


title: Équipartition de l'énergie

text: C’est notamment à Albert Einstein que l’on doit le lien avec l’équipartition. Il insiste en 1905 sur le fait que le théorème d’équipartition associé aux théories classiques du rayonnement conduit nécessairement à la loi de Rayleigh-Jeans et à la catastrophe ultraviolette. Il introduit en 1907 un effet de quantification pour résoudre le problème de la chaleur spécifique des solides : c’est le modèle d’Einstein qui sera par la suite amélioré par Peter Debye. Au premier congrès Solvay en 1911, il remet en cause la validité du théorème pour les systèmes dont l’énergie est quantifiée.


title: Équipartition de l'énergie

text: Mécanique quantique et équipartition semblent alors incompatibles. L’articulation entre les deux sera trouvée avec la théorie quantique du gaz parfait. Dans un article qu’il publie en 1924 en partant des idées de Satyendranath Bose, Einstein montre que l’équipartition est valable dans la limite des faibles densités et des hautes températures, calculant même un critère de validité. Le théorème d’équipartition perd alors définitivement son statut de formule générale pour devenir une approximation, valable seulement quand la physique classique elle-même est une bonne approximation de la physique quantique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Avec le développement de la physique statistique, les conditions de validité de l’équipartition de l’énergie sont clairement posées. Elle repose notamment sur l’hypothèse fondamentale selon laquelle la valeur moyenne d’une grandeur prise sur une durée suffisamment longue (celle que l’on mesure) est égale à la valeur moyenne d’ensemble, calculée par la physique statistique. Cette hypothèse d’ergodicité, formulée explicitement par Boltzmann dès 1871, est validée "a posteriori" par la justesse des prédictions qu’elle permet, mais reste une hypothèse.


title: Équipartition de l'énergie

text: Or, il existe très peu de systèmes pour lesquels on a la certitude que cette hypothèse est effectivement réalisée. On a même la certitude que cette hypothèse n’est pas réalisée dans un certain nombre de cas très simples : par exemple, un gaz rigoureusement parfait dans lequel les molécules ne s’entrechoqueraient pas n’est pas un système ergodique. Les conditions de validité de cette hypothèse restent à explorer.


title: Équipartition de l'énergie

text: En 1953, l’expérience de Fermi-Pasta-Ulam rapporte un exemple d’échec de l’équipartition. Cette première expérience numérique consiste à étudier la répartition à long terme de l’énergie d’un système dynamique unidimensionnel de 64 masses couplées entre elles par des ressorts harmoniques perturbés par une faible anharmonicité, sachant qu’un seul mode du système est initialement excité. L’issue de l’expérience surprend : l’énergie ne se répartit pas également entre les différents modes, contrairement aux prédictions de l’équipartition.


title: Équipartition de l'énergie

text: Une première réponse à ce paradoxe sera suggérée par Kolmogorov en 1954, puis démontrée indépendamment par Arnold et Mauser en 1963 : c’est le théorème KAM qui montre que de faibles couplages non linéaires ne suffisent pas à rendre un système ergodique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Ces travaux ont conduit au développement d’une branche des mathématiques, la théorie ergodique, qui étudie les conditions d’ergodicité d’un système. De nombreux cas d’échec de l’équipartition ont été mis en évidence, souvent au moyen de simulations numériques (chaînes anharmoniques, milieux granulaires…). Dans ce domaine, de nombreux problèmes restent ouverts.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans une première approche, on résume souvent le théorème d’équipartition de la façon suivante :


title: Équipartition de l'énergie

text: Cet énoncé n’est qu’un résultat particulier du théorème. Il omet certaines hypothèses. Cependant, il permet déjà de retrouver un certain nombre de résultats et de traiter des cas particuliers importants qui sont détaillés ci-dessous. Bien entendu, on retrouve dans cette affirmation le fait que l’énergie est répartie également entre tous les degrés de liberté, d’où le nom « équipartition ».


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans la suite, le symbole formula_7, pour hamiltonien, sera utilisé comme symbole pour l’énergie en raison du rôle central que joue le formalisme de Hamilton dans la formulation plus générale du théorème d’équipartition qui suivra. D’autre part, on notera avec des crochets formula_8 la valeur moyenne d’une quantité formula_9. On en précisera par la suite le sens mathématique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un gaz rare est un gaz des plus simples qui soient : il est constitué uniquement d’atomes dont l’énergie n’est donc composée que de l’énergie cinétique due à leur mouvement de translation. Chaque atome dispose de trois degrés de liberté associés aux trois composantes de la vitesse, c’est-à-dire aux trois directions de l’espace. Si on décompose la vitesse de l’atome suivant ces trois directions en les notant formula_10, formula_11 et formula_12, en notant formula_13 la masse, alors l’énergie cinétique (newtonienne) s’écrit comme une somme de trois termes dont chacun correspond à un degré de liberté :


title: Équipartition de l'énergie

text: À l’équilibre thermodynamique, chaque degré de liberté contribue d’après le théorème d’équipartition pour 1/2 formula_6 à l’énergie cinétique. L’énergie cinétique moyenne totale d’une particule est donc 3/2 formula_6, et l’énergie totale d’un gaz parfait composé de formula_17 particules est 3/2 formula_18.


title: Équipartition de l'énergie

text: Il s’ensuit que la chaleur spécifique du gaz est 3/2 formula_19 et donc en particulier que la chaleur spécifique d’une mole d’un tel gaz est 3/2 formula_20 où formula_21 est le nombre d’Avogadro, ou encore 3/2 formula_22 où formula_22 est la constante universelle des gaz parfaits. Puisque formula_22 vaut approximativement , le théorème prédit que la capacité thermique molaire d’un gaz parfait est environ /(mol.K).


title: Équipartition de l'énergie

text: Connaissant l’énergie cinétique moyenne, on peut calculer la vitesse quadratique moyenne formula_25 des atomes du gaz :


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_27 est la masse d’une mole de gaz. La vitesse quadratique moyenne est donc d’autant plus faible que les atomes sont lourds. Les atomes du xénon auront une vitesse moyenne plus basse que les atomes plus légers de l’hélium à une même température. Ce résultat est utile dans un grand nombre d’applications, telles que la loi d’effusion de Graham dont a été tirée notamment une méthode d’enrichissement de l'uranium.


title: Équipartition de l'énergie

text: On considère maintenant un gaz dont les molécules sont composées de deux atomes ou plus. On suppose que les différents atomes sont liés rigidement entre eux. Une telle molécule dispose comme dans le cas précédent de trois degré de libertés associés à son déplacement dans le conteneur. Mais elle peut aussi tourner sur elle-même et accumuler ainsi de l’énergie. Ces degrés de libertés supplémentaires contribuent aux aussi à l’énergie totale et à la chaleur spécifique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans le cas le plus général, si les moments d’inertie principaux de la molécule sont formula_28, formula_29 et formula_30, alors cette énergie cinétique de rotation est donnée par


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_32, formula_33 et formula_34 sont les composantes principales de la vitesse angulaire. Ce cas est formellement très similaire au cas précédent ; l’énergie est proportionnelle au carré de la vitesse angulaire. Par un raisonnement identique, l’équipartition implique donc que l’énergie cinétique moyenne de rotation de chaque molécule est 3/2 formula_6 à l’équilibre.


title: Équipartition de l'énergie

text: Il convient de distinguer deux cas, selon que la molécule est linéaire (atomes parfaitement alignés) ou non. Dans le premier cas, la molécule ne peut pas accumuler de l’énergie par rotation autour de son axe : il n’y a que deux degrés de liberté au lieu de trois. La contribution de l’énergie cinétique de rotation à l’énergie totale sera deux fois 1/2 formula_6 seulement. Pour une molécule non linéaire, l’énergie moyenne totale de rotation est en revanche 3/2 formula_6.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans les gaz diatomiques tels que l’azote, l’oxygène, les molécules sont composées de deux atomes identiques et sont forcément linéaires. Avec le modèle de molécule que l’on vient de décrire, la chaleur spécifique totale d’un tel gaz diatomique est donc 5/2 formula_22.


title: Équipartition de l'énergie

text: Si on considère qu’une molécule de gaz est un ensemble de plusieurs atomes liés élastiquement et non plus rigidement, alors cette molécule peut vibrer et accumuler de l’énergie dans son mouvement de vibration. On peut alors modéliser un mode de vibration de la molécule par un oscillateur harmonique. Dans le cas le plus simple à une dimension, cet oscillateur a deux types d’énergie :


title: Équipartition de l'énergie

text: L’énergie totale est alors obtenue en additionnant ces deux énergies :


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition s’applique de la même manière aux deux composantes de l’énergie, chacune comptant pour un degré de liberté. À l’équilibre, l’oscillateur aura donc une énergie moyenne


title: Équipartition de l'énergie

text: Chaque oscillateur, donc chaque mode de vibration, a donc une énergie moyenne totale formula_6 et contribue pour formula_46 à la chaleur spécifique du système. Pour connaître la contribution des vibrations moléculaires à l’énergie totale, il suffit donc de connaître le nombre de ses modes propres de vibrations : une molécule composée de formula_47 atomes en possède formula_48 si tous les atomes sont alignés comme dans le CO représenté ci-contre, et formula_49 dans le cas contraire, par exemple pour la molécule d’eau.


title: Équipartition de l'énergie

text: On verra dans la suite qu’il faut toutefois être prudent : tous les modes ne contribuent pas nécessairement à l’énergie totale selon la température ; la mécanique quantique permettra d’expliquer pourquoi.


title: Équipartition de l'énergie

text: Les présentations modernes du théorème d’équipartition dans le cadre de la physique statistique sont très générales mais abstraites. Elles ne reflètent que peu les raisonnements d’origine qui s’appliquaient au problème beaucoup plus concret de la théorie cinétique des gaz. Les arguments et démonstrations d’alors, bien que moins généraux, sont utilisés par de nombreux enseignants et auteurs pour leur intérêt pédagogique. Ils permettent de mettre en valeur d’une façon différente les hypothèses fondamentales de l’équipartition.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, on considère un système composé d’un très grand nombre de sphères dures dans un conteneur. Ces sphères sont animées d’un mouvement de translation et entrent en collision les unes avec les autres. On peut supposer ici que les sphères n’interagissent pas entre elles en dehors des collisions. Tout l’enjeu de la théorie est de relier les caractéristiques microscopiques de ces mouvements (masse des particules, vitesses) aux grandeurs macroscopiques que l’on mesure (pression, température).


title: Équipartition de l'énergie

text: Lorsque deux particules entrent en collision, elles arrivent toutes deux avec des vitesses différentes, donc des énergies cinétiques différentes, et repartent après le choc avec des directions et des vitesses déterminées par la conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie totale. En général, l’énergie d’une particule après le choc est différente de son énergie avant le choc. La collision est donc un moyen d’échanger de l’énergie entre les particules. Dans le modèle le plus simple tel qu’il est proposé ici, c’est même le seul moyen. Pour démontrer l’équipartition de l’énergie dans le cadre de ce modèle, il faut donc montrer comment les collisions tendent à répartir l’énergie équitablement en moyenne entre toutes les particules.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans tout ce qui suit, on va considérer des chocs élastiques entre deux sphères dures de masses différentes formula_50 et formula_51. On considère le choc par commodité dans le référentiel du centre de masse des deux particules, lui-même animé d’un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au conteneur (tant qu’aucune particule ne rebondit sur une paroi), avec une vitesse qu’on notera formula_52. On notera formula_53 et formula_54 les vitesses des particules.


title: Équipartition de l'énergie

text: À partir d’un cas particulier, James Maxwell avait avancé que le choc ne pouvait que réduire la différence d’énergie entre les deux particules. À la suite d’un très grand nombre de chocs, l’énergie ne pouvait donc que tendre vers une égalité en moyenne. Cet argument ne suffit pas à montrer que les chocs conduisent à l’équipartition ; il ne s’agit après tout que d’un cas particulier. Toutefois, de manière plus précise, il est possible de montrer que le choc ne peut que réduire la corrélation entre la différence des vitesses des deux particules et la vitesse de leur centre de masse. À l’équilibre, on peut donc supposer que cette corrélation tend vers 0 :


title: Équipartition de l'énergie

text: En utilisant l’expression de la vitesse du centre de masse, on en conclut que


title: Équipartition de l'énergie

text: Le premier terme de cette somme est proportionnel à la différence d’énergie cinétique moyenne entre les deux particules. Le second terme est la corrélation entre les vitesses initiales des particules. Si on suppose que ces deux vitesses sont indépendantes, autrement dit qu’il n’y a aucune relation "a priori" entre les vitesses de deux particules avant le choc, alors ce second terme s’annule. C’est ce qu’on appelle l’hypothèse du chaos moléculaire. Dans ce cas, on retrouve donc l’égalité des énergies cinétiques moyennes à l’équilibre :


title: Équipartition de l'énergie

text: Notons qu’il n’est pas possible de déduire l’équipartition à partir des équations du choc élastique seulement : ces équations restent réversibles à l’échelle macroscopique, alors que l’évolution vers l’équilibre thermodynamique est un processus irréversible.


title: Équipartition de l'énergie

text: Une fois que l’équilibre thermodynamique est atteint, les vitesses des particules suivent la distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann. Cette distribution est tracée sur la figure ci-contre pour quatre gaz rares. Elle est la seule solution stationnaire de l’équation de Boltzmann. En d’autres termes, les chocs entre particules ne font que modifier les vitesses de particules prises au hasard, mais ne modifient pas la répartition d’ensemble.


title: Équipartition de l'énergie

text: On peut vérifier que la distribution de Maxwell-Boltzmann permet de retrouver le théorème d’équipartition pour le gaz parfait monoatomique. Partant de l’expression explicite de la densité de probabilité


title: Équipartition de l'énergie

text: pour la vitesse d’une particule de masse formula_13 dans le système, on peut calculer l’énergie cinétique moyenne d’une particule par la formule intégrale :


title: Équipartition de l'énergie

text: On retrouve ici le fait que chaque particule a exactement la même énergie cinétique moyenne, 3/2 formula_6.


title: Équipartition de l'énergie

text: La formulation du théorème d’équipartition s’appuie sur le formalisme de la mécanique hamiltonienne. L’état d’un système physique est caractérisé par ses coordonnées dans l’espace des phases, communément séparées en coordonnées généralisées formula_62 et impulsions généralisées formula_63, où formula_63 est le moment conjugué à formula_62. Les formula_66 décrivent complètement l’état du système. Un degré de liberté noté formula_67 désignera une de ces coordonnées, autrement dit un formula_62 ou un formula_63.


title: Équipartition de l'énergie

text: Les crochets formula_70 désignent une moyenne d’ensemble sur l’espace des phases. Dans un système ergodique, elle est égale à la moyenne prise sur une durée suffisamment longue, qui est celle que l’on mesure en pratique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition affirme : à l’équilibre thermodynamique, l’énergie moyenne d’un système dont le hamiltonien formula_7 s’écrit comme la somme de fonctions quadratiques de ses coordonnées est répartie également entre toutes ses composantes et vaut formula_72 où formula_73 est le nombre de termes de la somme. On peut l’écrire


title: Équipartition de l'énergie

text: Ce nombre formula_73 est souvent désigné comme le nombre de « degrés de liberté » du système, mais c’est un raccourci qui peut être trompeur. Ce nombre compte en réalité le nombre de termes quadratiques du hamiltonien ; il ne correspond pas à la définition habituelle d’un degré de liberté en physique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans l’ensemble canonique, cette formule peut être démontrée par calcul direct de la valeur moyenne à partir de la fonction de partition, classiquement notée formula_75. Le calcul ramène à des intégrales de fonctions gaussiennes qu’on sait calculer explicitement. On utilise ensuite les relations habituelles de l’ensemble canonique. C’est cette démonstration qui était présentée avant que ne soit introduite la version généralisée du théorème.


title: Équipartition de l'énergie

text: On considère un hamiltonien de la forme


title: Équipartition de l'énergie

text: La fonction de partition canonique se réduit alors à un produit d’intégrales de fonctions gaussiennes :


title: Équipartition de l'énergie

text: Connaissant la valeur de l’intégrale de la fonction gaussienne, on peut écrire :


title: Équipartition de l'énergie

text: En notant formula_73 le nombre de termes du hamiltonien, on a donc


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans l’ensemble canonique, l’énergie moyenne du système est donnée par


title: Équipartition de l'énergie

text: On retrouve alors le théorème :


title: Équipartition de l'énergie

text: On appelle théorème d’équipartition généralisé une formule démontrée pour la première fois par Richard Tolman en 1918 qui étend l’idée de l’équipartition pour des hamiltoniens de forme générale. Même si la présentation qui en est faite diffère légèrement d’un auteur à l’autre, c’est en général cette formule qui est démontrée dans les ouvrages généraux de physique statistique. Ce théorème généralisé affirme que pour un système à l’équilibre thermodynamique à la température formula_3, décrit par un hamiltonien formula_7 et des degrés de liberté formula_67, on a, pour tous les indices formula_47 et formula_13, formula_88 est le symbole de Kronecker qui vaut 1 si formula_89 et 0 dans les autres cas.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans ce cas général, aucune hypothèse n’est faite sur la forme du hamiltonien. En contrepartie, l’énergie n’est pas nécessairement répartie de manière égale entre toutes ces composantes : il n’y a pas nécessairement « équipartition » de l’énergie au sens strict. On en verra un exemple dans le cas de la sédimentation de particules. C’est pourquoi plusieurs auteurs ne reprennent pas l’appellation « théorème d’équipartition généralisé » proposée initialement par Tolman.


title: Équipartition de l'énergie

text: Bien entendu, cette formule générale permet de retrouver le résultat particulier du paragraphe précédent.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le résultat général peut se démontrer dans l’ensemble microcanonique quand l’énergie totale du système est constante, et aussi dans l’ensemble canonique, quand le système est couplé à une source de chaleur avec laquelle il peut échanger de l’énergie. Dans un cas comme dans l’autre, la démonstration procède par le calcul explicite de la moyenne sur l’espace des phases.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans tous les cas, on notera formula_90 l’élément de volume infinitésimal de l’espace des phases


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans l’ensemble microcanonique, le système est isolé du reste du monde, ou au moins très faiblement couplé. De la sorte, son énergie totale est constante. On dit que l’énergie totale formula_7 est confinée entre formula_93 et formula_94. Pour une énergie formula_93 donnée et un écart formula_94, on note formula_97 le volume de la région de l’espace des phases dans laquelle l’énergie du système est comprise entre formula_93 et formula_99 :


title: Équipartition de l'énergie

text: La probabilité d’occupation de tous les états de cette région est la même, par définition de l’ensemble microcanonique. La valeur moyenne d’une grandeur formula_9 s’écrit alors


title: Équipartition de l'énergie

text: On peut alors montrer que


title: Équipartition de l'énergie

text: On note maintenant formula_104 le volume total de l’espace des phases dans lequel l’énergie est inférieure à formula_93 :


title: Équipartition de l'énergie

text: Puisque formula_94 est très petit devant E, les intégrations suivantes sont équivalentes


title: Équipartition de l'énergie

text: de sorte que formula_109 est proportionnel à formula_94


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_112) est la densité d’états. On introduit enfin la définition usuelle de l’entropie en physique statistique :


title: Équipartition de l'énergie

text: et celle de la température microcanonique formula_3 :


title: Équipartition de l'énergie

text: Avec ces définitions, la moyenne sur les variables formula_116 et formula_67 (qui peuvent être des formula_63 ou des formula_62) est donnée par


title: Équipartition de l'énergie

text: En utilisant les résultats précédents, on peut faire apparaître la densité d’état formula_121 :


title: Équipartition de l'énergie

text: où la dernière égalité provient de ce que formula_93 est constante et ne dépend pas de formula_67. Une intégration par parties donne alors


title: Équipartition de l'énergie

text: La première intégrale est nulle (elle peut être réécrite comme une intégrale de formula_126 sur l’hypersurface où formula_127). Il reste donc


title: Équipartition de l'énergie

text: La substitution de ce résultat dans l’équation précédente donne


title: Équipartition de l'énergie

text: Puisque formula_130 le théorème d’équipartition s’ensuit :


title: Équipartition de l'énergie

text: On retrouve la formulation générale du théorème.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans l’ensemble canonique, on considère le système en équilibre thermodynamique avec une source de chaleur de température fixe formula_3 (en Kelvin). La probabilité d’occupation de chaque état dans l’espace des phases est donnée par son facteur de Boltzmann multiplié par un facteur de normalisation qui assure que la somme des probabilités est bien égale à un et dont la valeur n’importe pas ici ; on le notera formula_133. La valeur moyenne d’une quantité formula_9 est alors définie par


title: Équipartition de l'énergie

text: Le calcul explicite (qui fait essentiellement appel à une intégration par parties) donne le résultat souhaité.


title: Équipartition de l'énergie

text: On cherche à calculer


title: Équipartition de l'énergie

text: Une intégration par parties sur la variable formula_137 nous donne


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_139 indique que la première intégration n’est pas faite sur formula_137.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le premier terme est nul ; on peut s’en convaincre en considérant le cas d’un gaz dans un conteneur. Si formula_137 est une impulsion généralisée, alors l’énergie cinétique associée devient infinie aux bornes. Si formula_137 est une coordonnée, ses valeurs maximale et minimale sont atteintes aux parois du conteneur pour lesquelles l’énergie potentielle tend vers l’infini. Dans les deux cas, l’exponentielle tend vers 0. De plus, on reconnaît la fonction de partition dans la seconde intégrale qui vaut donc 1. La formule recherchée s’ensuit donc immédiatement :


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition est étroitement lié au théorème du viriel qui s’applique lui aussi aux systèmes à plusieurs particules. Ce dernier a d’ailleurs été proposé par Rudolf Clausius lors des développements des fondements de la thermodynamique, alors qu’il cherchait à relier les notions de température et de chaleur aux mouvements des molécules de gaz.


title: Équipartition de l'énergie

text: Partant du théorème d’équipartition généralisé, en utilisant les relations de la mécanique hamiltonienne, on peut écrire :


title: Équipartition de l'énergie

text: D’après le principe fondamental de la dynamique, la dérivée de formula_63 par rapport au temps est égale à la force généralisée formula_146 agissant sur la particule. On peut donc écrire


title: Équipartition de l'énergie

text: Toujours d’après le théorème d’équipartition, on sait que la valeur moyenne de l’énergie cinétique pour un degré de liberté vaut formula_148. En combinant ces deux relations, on obtient donc :


title: Équipartition de l'énergie

text: Cette relation est très semblable au théorème du viriel tel qu’énoncé à l’origine par Clausius : pour un ensemble de particules de masse formula_13 animées d’un mouvement stable, repérées par leurs positions formula_151 et leurs vitesses formula_152, sur lesquelles s’exerce des forces formula_153, on a


title: Équipartition de l'énergie

text: La différence majeure réside dans le fait qu’il s’agit dans ce dernier cas d’une moyenne temporelle, représentée par le trait horizontal, et non plus d’une moyenne d’ensemble. De manière générale, le théorème de Birkhoff montre que l’égalité de ces deux moyennes est vérifiée pour les systèmes ergodiques.


title: Équipartition de l'énergie

text: La loi de Dulong et Petit sur la chaleur spécifique des solides se déduit très simplement de ce qui précède. On considère un cristal composé de formula_17 atomes. Chacun de ces atomes occupe une position d’équilibre autour de laquelle il peut osciller. Ce mouvement peut se faire dans les trois directions de l’espace, de manière indépendante. Le solide peut donc être considéré en première approche comme un système de formula_156 oscillateurs harmoniques indépendants.


title: Équipartition de l'énergie

text: On a vu précédemment qu’un oscillateur harmonique a une énergie moyenne formula_6. L’énergie moyenne totale du solide est formula_158, sa chaleur spécifique est formula_159. La chaleur spécifique molaire de ce matériau est donc formula_160 où formula_21 est le nombre d’Avogadro, ce qui s’écrit encore formula_162 où formula_22 est la constante universelle des gaz parfaits. On retrouve bien la loi de Dulong et Petit selon laquelle la chaleur spécifique molaire des solides est indépendante de la nature du solide et égale à formula_162, soit environ /(mol·K).


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition peut être utilisé pour retrouver la loi des gaz parfaits à partir de la mécanique classique. Ce calcul consiste à calculer le viriel du gaz de deux façons différentes.


title: Équipartition de l'énergie

text: On note formula_165 et formula_166 les vecteurs positions et quantité de mouvement d’une particule dans le gaz et formula_167 la force totale s’exerçant sur cette particule, alors où la première égalité est donnée par la seconde loi de Newton, et la seconde ligne utilise les équations de Hamilton et le théorème d’équipartition. La sommation sur l’ensemble des formula_17 particules du système donne


title: Équipartition de l'énergie

text: En vertu de la troisième loi de Newton et de l’hypothèse du gaz parfait, la force totale sur le système est la force appliquée par les parois du conteneur, et cette force est donnée par la pression formula_171 du gaz. En conséquence : où formula_173 est un élément de surface infinitésimal sur la paroi du conteneur. En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky, on peut calculer


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_175 est un élément de volume infinitésimal dans le conteneur et formula_176 est son volume total. En regroupant des égalités, on obtient


title: Équipartition de l'énergie

text: ce qui nous donne immédiatement la loi des gaz parfaits pour formula_17 particules :


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_180 est le nombre de moles de gaz et formula_181 est la constante universelle des gaz parfaits.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le mouvement brownien désigne une description mathématique du mouvement aléatoire d’une grosse particule immergée dans un fluide et qui n’est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les petites molécules du fluide environnant. Les mécanismes en œuvre dans ce type de mouvement sont proches des idées de la théorie cinétique des gaz. Le théorème d’équipartition fut utilisé très tôt, dès 1879, pour caractériser un tel mouvement.


title: Équipartition de l'énergie

text: On peut partir de l’équation de Langevin selon laquelle le mouvement d’une particule de masse formula_13 et de vitesse formula_40 est régi par la seconde loi de Newton qui s’écrit


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_185 est une force aléatoire représentant les collisions aléatoires entre la particule et les molécules voisines, et où la constante de temps formula_186 reflète la force de frottement fluide qui s’oppose au mouvement de la particule dans la solution. La trainée est souvent notée formula_187, la constante de temps est alors formula_188.


title: Équipartition de l'énergie

text: En faisant le produit scalaire de cette équation avec le vecteur position formula_189, puis une moyenne, on obtient


title: Équipartition de l'énergie

text: pour le mouvement brownien (puisque la force aléatoire formula_185 et la position formula_189 ne sont pas corrélées). En utilisant les identités remarquables


title: Équipartition de l'énergie

text: et


title: Équipartition de l'énergie

text: l’équation de base du mouvement brownien peut être transformée en


title: Équipartition de l'énergie

text: où la dernière égalité provient du théorème d’équipartition pour l’énergie cinétique de translation :


title: Équipartition de l'énergie

text: L’équation différentielle ci-dessus pour formula_197 a une solution exacte (pour des conditions initiales convenables) :


title: Équipartition de l'énergie

text: À une échelle de temps très courte, i.e. pour formula_199, la particule se comporte comme une particule libre : en utilisant le développement de Taylor de la fonction exponentielle, le carré de la distance croît quadratiquement :


title: Équipartition de l'énergie

text: En revanche, à une échelle de temps plus longue, pour formula_201, l’exponentielle et les termes constants deviennent négligeables et le carré de la distance ne croît que linéairement :


title: Équipartition de l'énergie

text: Ceci décrit la diffusion de la particule dans le temps. Une équation analogue pour la diffusion de la rotation d’une molécule rigide peut être calculée de la même manière.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition généralisé a été appliqué à l’étude de la sédimentation de particules en suspension sous l’influence de la gravité. On considère pour cela des particules pesantes (par exemple de grosses protéines) dans l’eau. Les chocs entre ces particules produisent un mécanisme de diffusion qui tend à homogénéiser la concentration des protéines dans tout le récipient. Par ailleurs, la gravité tend à faire tomber toutes les protéines vers le bas du récipient. Une fois que l’équilibre entre ces deux mécanismes antagonistes a été atteint, il est possible de déterminer grâce au théorème d’équipartition l’énergie potentielle moyenne d’une particule et donc sa position moyenne. Pour une bouteille infiniment haute, l’énergie potentielle de gravitation d’une particule de masse formula_203 est donnée par


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_205 est la hauteur d’une particule dans la bouteille et formula_206 est l’accélération de la pesanteur.


title: Équipartition de l'énergie

text: Ce processus peut trouver une application dans l’étude de la sédimentation de protéines qui diffusent la lumière et donnent un aspect trouble qu’on peut parfois voir dans la bière. Puisque formula_207, l’énergie potentielle moyenne d’un groupe de protéine est formula_6. Donc, si les groupes de protéines ont une masse de 10 uma (à peu près la taille d’un virus), l’aspect sera trouble jusqu’à une hauteur moyenne de à l’équilibre.


title: Équipartition de l'énergie

text: Ce processus de sédimentation est plus précisément décrit par l’équation de Mason-Weaver.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition peut être utilisé pour démontrer l’expression du bruit thermique dans les composants électroniques. Dans une résistance, l’agitation thermique des électrons de conductions crée des fluctuations de densité électronique, donc de courant électrique, qui conduisent à la présence d’un bruit blanc même en l’absence de toute tension appliquée. Aux bornes d’une résistance, ce bruit est donné par la relation :


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_210 est la variance de la tension aux bornes de la résistance, R est la résistance exprimée en ohms, et formula_211, la bande passante considérée.


title: Équipartition de l'énergie

text: Cette formule permet de prévoir le bruit minimum présent sur un système électronique, et donc sa limite de détection. Le même phénomène de bruit thermique est observé aux bornes d’une capacité. C’est une limitation des capteurs photographiques.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un oscillateur anharmonique est un oscillateur pour lequel l’énergie potentielle n’est pas une fonction quadratique de l’élongation formula_212 (la position généralisée qui mesure l’écart de l’oscillateur à la position d’équilibre). Ces oscillateurs donnent un point de vue complémentaire sur le théorème d’équipartition. On peut prendre des exemples simples avec des énergies dont l’expression est de la forme


title: Équipartition de l'énergie

text: où formula_214 et formula_215 sont des nombres réels arbitraires. Dans ce cas, le théorème d’équipartition prédit que


title: Équipartition de l'énergie

text: Ainsi, l’énergie potentielle moyenne est égale à formula_217 et non plus formula_218 comme pour l’oscillateur harmonique (pour lequel formula_219).


title: Équipartition de l'énergie

text: Plus généralement, l’expression de l’énergie d’un système à une dimension a un développement de Taylor en fonction de l’élongation formula_212


title: Équipartition de l'énergie

text: Il n’y a pas de terme pour formula_222 car à l’équilibre, la force totale s’exerçant sur le système est nulle et donc la dérivée première de l’énergie est nulle. Le terme constant pour formula_223 est inutile, puisque l’énergie à l’équilibre peut être posée égale à 0 par convention. Dans ce cas, le théorème d’équipartition affirme que


title: Équipartition de l'énergie

text: Contrairement aux autres exemples cités ici, la formule de l’équipartition ne permet pas d’écrire l’énergie potentielle moyenne en fonction de constantes connues.


title: Équipartition de l'énergie

text: L’équipartition de l’énergie, malgré sa grande généralité, est un résultat valable sous certaines hypothèses (ergodicité, équilibre thermodynamique) et dans certaines limites (effets quantiques négligeables). Les paragraphes qui suivent détaillent différents cas pour lesquels l’équipartition ne s’applique pas.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le théorème d’équipartition est valable seulement pour les systèmes ergodiques à l’équilibre thermodynamique, pour lesquels tous les états de même énergie ont la même probabilité d’être occupé. Dans un système ergodique, il doit être possible d’échanger de l’énergie entre ses différentes formes dans le système, afin qu’elle puisse se répartir en parts égales au cours du temps. Dans le cas d’un gaz parfait, ce sont les chocs entre molécules qui assurent ces échanges d’énergie.


title: Équipartition de l'énergie

text: Paradoxalement, il existe peu de systèmes dont l’ergodicité a pu être prouvée rigoureusement. Un exemple célèbre est le billard de Iakov Sinaï. Les conditions qui permettent d’assurer l’ergodicité d’un système isolé - et donc l’équipartition - ont été étudiées et ont donné naissance à la théorie ergodique.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un contre-exemple fréquemment cité où l’énergie n’est pas partagée entre ses différentes formes, et donc où l’équipartition ne s’applique pas dans l’ensemble microcanonique est un système d’oscillateurs harmoniques couplés. Si le système est isolé, l’énergie de chaque mode normal est constante et fixée à sa valeur initiale.


title: Équipartition de l'énergie

text: Si on perturbe un tel système en introduisant des termes de couplage non linéaires suffisamment forts, l’énergie peut être transférée d’un mode à l’autre, on peut alors sous certaines conditions retrouver l’ergodicité et revenir dans le champ d’application du théorème d’équipartition. Mais il ne suffit pas d’une petite perturbation pour rendre un système ergodique : c’est ce que montre le théorème de Kolmogorov–Arnold–Moser. Même un système chaotique, donc extrêmement sensible aux conditions initiales, n’est pas nécessairement ergodique, même si c’est habituellement une hypothèse raisonnable.


title: Équipartition de l'énergie

text: Les démonstrations données précédemment supposent que l’énergie est une fonction continue sur l’espace des phases. Or, dans un système quantique, les niveaux d’énergie sont au contraire discrets. Pour que le théorème s’applique, il est donc nécessaire que les niveaux d’énergie soient suffisamment rapprochés pour qu’on puisse la considérer tout de même comme continue. On parle alors d’approximation classique. Ceci n’est réalisé qu’à la condition que l’énergie thermique formula_6 soit beaucoup plus grande que l’écart entre deux niveaux d’énergie. Dans le cas contraire, les calculs ne sont plus valides, le degré de liberté considéré est dit « gelé », l’équipartition ne s’applique plus.


title: Équipartition de l'énergie

text: Le cas de l’oscillateur harmonique est un exemple particulièrement important. On a vu précédemment que selon le théorème d’équipartition, son énergie moyenne est égale à formula_6. Dans le cas quantique, on peut calculer explicitement son énergie moyenne. Ses niveaux d’énergie sont donnés par formula_228 où formula_229 est la constante de Planck, formula_230 est la fréquence de l’oscillateur et formula_47 est un entier positif. Dans l’ensemble canonique, la probabilité qu’un niveau d’énergie soit occupé est donné par son facteur de Boltzmann


title: Équipartition de l'énergie

text: formula_233 est la température statistique et formula_75 est la fonction de partition donnée par


title: Équipartition de l'énergie

text: L’énergie moyenne de l’oscillateur est donnée par


title: Équipartition de l'énergie

text: ou encore, en utilisant la relation classique de l’ensemble canonique


title: Équipartition de l'énergie

text: On peut donc calculer explicitement l’énergie moyenne :


title: Équipartition de l'énergie

text: Cette énergie moyenne est tracée sur la figure ci-contre et comparée au cas classique. Pour les hautes températures, quand l’énergie thermique formula_6 est très supérieure à l’écart formula_240 entre deux niveaux, l’argument de l’exponentielle tend vers 0 et l’énergie moyenne tend vers formula_6, conformément au théorème d’équipartition. En revanche, pour les basses températures, quand formula_242, l’énergie moyenne tend vers 0, le degré de liberté est dit « gelé ». On peut ainsi définir une température caractéristique de l’oscillateur formula_243 en dessous de laquelle les effets quantiques se font sentir.


title: Équipartition de l'énergie

text: Les gaz diatomiques donnent un bon exemple de cette limitation. On peut modéliser une molécule d’un tel gaz par deux masses reliées par un ressort. Une telle molécule possède trois degrés de liberté en translation, deux degrés de liberté en rotation, et constitue de plus un oscillateur harmonique. Le théorème d’équipartition prédit donc que la chaleur spécifique du gaz est égale à 7/2 formula_22. C’est effectivement le cas dans la limite des hautes températures.


title: Équipartition de l'énergie

text: Si on considère maintenant que la molécule est un oscillateur harmonique quantique, on peut, comme précédemment, associer une température caractéristique formula_245 à son mouvement de vibration. Si on descend à des températures plus basses que formula_245, le mouvement de vibration de la molécule est gelé, presque toutes les molécules du gaz sont dans leur état fondamental. Le théorème ne s’applique plus. On peut cependant le retrouver en considérant la molécule, non plus comme deux masses reliées par un ressort, mais comme deux masses reliées par un lien rigide. C’est le modèle du rotateur rigide pour lequel la chaleur spécifique n’est plus que de 5/2 formula_22.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans la pratique, la plupart des gaz diatomiques ont des températures formula_245 très élevées, de sorte qu’à température ambiante, leur chaleur spécifique est effectivement très proche de 5/2 formula_22. Un exemple typique est le monoxyde de carbone, CO, pour lequel formula_245 vaut 3103 K. Pour les molécules avec des atomes lourds ou faiblement liés, formula_245 peut approcher la température ambiante ; par exemple, elle vaut () pour le diiode gazeux I.


title: Équipartition de l'énergie

text: Ce qui vient d’être dit pour le mouvement de vibration de la molécule s’applique aussi bien à son mouvement de rotation. Mais les températures caractéristiques sont bien plus basses. Pour le monoxyde de carbone, formula_252 vaut environ 1,8 K. Le gel du mouvement de rotation ne s’observe donc qu’à des températures très basses.


title: Équipartition de l'énergie

text: De manière générale, ces effets interviennent chaque fois que la séparation entre deux niveaux d’énergie est beaucoup plus grande que l’agitation thermique. Un autre exemple est donné par les énergies des états excités des électrons dans un atome d’hydrogène. Ceux-ci ne contribuent pas à la chaleur spécifique de l’hydrogène gazeux à température ambiante, car l’énergie thermique formula_6 (environ ) est beaucoup plus faible que l’écart entre l’état fondamental et le premier état excité (environ ).


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans le paragraphe qui précède, on a pris en compte des effets quantiques, mais partiellement seulement : on a traité les particules comme des objets classiques indépendants dont seuls les niveaux d’énergie (de rotation ou de vibration) sont quantifiés, tout en restant dans le cadre de la statistique de Maxwell-Boltzmann. Cette approche n’est pas valable quand les fonctions d’onde des particules commencent à se superposer : il faut alors tenir compte de leur nature quantique et les traiter dans le cadre des statistiques quantiques : statistique de Fermi-Dirac pour les fermions, statistique de Bose-Einstein pour les bosons. On parle de matière dégénérée.


title: Équipartition de l'énergie

text: Ces effets dominent dans les limites des fortes densités et des basses températures. Ils sont importants dans la structure des naines blanches et des étoiles à neutrons. Un cas plus quotidien se présente dans les métaux : les électrons de valence d’un métal peuvent avoir une énergie cinétique moyenne de quelques eV. Cette énergie correspondrait à des températures de plusieurs dizaines de milliers de degrés selon le théorème de l’équipartition.


title: Équipartition de l'énergie

text: Un critère de validité de l’équipartition fut initialement calculé par Einstein dans sa théorie du gaz parfait quantique. Dans ce travail, il montre que l’équipartition peut être considérée comme valide dans la limite où Dans le cas de l’hydrogène, le calcul explicite du terme de gauche donne environ 60000, ce qui justifie "a posteriori" la validité de l’équipartition. Quand on s’approche du cas quantique, la correction à l’équipartition au premier ordre s’écrit


title: Équipartition de l'énergie

text: Ce critère de validité est plus souvent cité en faisant apparaître la longueur d’onde de de Broglie formula_256 associée :  On peut alors interpréter ce critère : l’équipartition reste valable tant que cette longueur d’onde reste très inférieure à la distance moyenne entre les particules.


title: Équipartition de l'énergie

text: On n’a utilisé jusque-là que des équations de la mécanique newtonienne. Toutefois, les effets relativistes peuvent dominer dans certains systèmes lorsque les particules de gaz acquièrent des vitesses comparables à la vitesse de la lumière formula_258 ; on parle alors de gaz parfait relativiste. Dans le cas le plus général, l'équipartition n'est alors pas vérifiée, mais on peut la retrouver dans les deux cas limite du gaz parfait classique et du gaz ultra-relativiste.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans le gaz parfait classique (monoatomique), on considérait que l'énergie du système n'était constituée que d'énergie cinétique de translation. Dans le cadre de la mécanique relativiste, l'énergie totale est égale à la somme de l'énergie cinétique et d'une énergie qui dépend de la masse au repos de la particule. La prise en compte de cette énergie rompt l'équipartition : si les particules du gaz ont des masses différentes, l'énergie ne peut pas être répartie équitablement. Dans le cas le plus général, l'énergie totale s'écrit


title: Équipartition de l'énergie

text: Ni l'énergie totale, ni l'énergie cinétique ne sont réparties équitablement entre les différents degrés de liberté. Il est possible néanmoins de définir une grandeur homogène à une énergie qui obéit à une relation similaire à l'équipartition.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans la limite où les particules ont des vitesses très faibles devant la vitesse de la lumière, on retrouve le résultat classique. L'énergie totale d'une particule s'écrit


title: Équipartition de l'énergie

text: L'équipartition est bien respectée pour l'énergie cinétique, mais pas pour l'énergie totale, qui prend en compte le terme supplémentaire dépendant de la masse.


title: Équipartition de l'énergie

text: Dans la limite dite ultra-relativiste pour laquelle les particules ont des vitesses très proches de celle de lumière, on retrouve l'équipartition pour l’énergie totale qui s'écrit :


title: Équipartition de l'énergie

text: Le calcul montre que l’énergie moyenne totale d’un gaz ultra-relativiste vaut deux fois celle d’un gaz non relativiste : pour formula_17 particules, elle vaut 3 formula_18.


title: Équipartition de l'énergie

text: On étudie souvent les systèmes en physique statistique aux moyens de techniques de simulation informatique, dont la dynamique moléculaire. Les conditions aux limites périodiques parfois utilisées dans ces études imposent des contraintes supplémentaires au système (conservation du moment linéaire total et de la position du centre de masse par exemple) qui induisent des effets non négligeables dans la limite des petits systèmes contenant des particules de masses hétérogènes. Dans ces conditions, l’équipartition de l’énergie n’est plus valable. D’autres effets sont par exemple des écarts à la distribution de Maxwell-Boltzmann, ou la non équivalence des approches canonique et microcanonique. Il est toutefois possible de démontrer des formules généralisant le théorème d’équipartition à ces cas plus exotiques.


title: Équipartition de l'énergie

text: Ouvrages de physique statistique


title: Équipartition de l'énergie

text: Sélection d’articles de périodiques


title: Équipartition de l'énergie

text: Analyses historiques


title: Josh Homme

text: Joshua « Josh » Homme est un chanteur, musicien et producteur américain né le à Joshua Tree en Californie. Il fut l'un des membres fondateurs du groupe de rock Kyuss, ainsi que principal et unique membre fondateur restant du groupe de stoner rock Queens of the Stone Age dans lequel il est le principal guitariste et chanteur.


title: Josh Homme

text: L'homme est un multi-instrumentiste jouant de la guitare, de la basse, de la batterie et du synthétiseur. Il a cofondé avec Jesse Hughes le groupe Eagles of Death Metal pour lequel il a officié en tant que batteur (remplacé durant les concerts par Joey Castillo, batteur des Queens of the Stone Age). Il continue à jouer occasionnellement de la batterie lors de certains concerts du groupe, cependant, il se penche désormais sur la partie production, étant donné que celui-ci est signé sur son propre label Rekords Rekords.


title: Josh Homme

text: En 2009, il fonde Them Crooked Vultures avec Dave Grohl (Nirvana, Foo Fighters) à la batterie, John Paul Jones (Led Zeppelin) à la basse et le multi-instrumentiste Alain Johannes (voix, guitare et clavier additionnel pour l'enregistrement mais aussi pour tous leurs concerts). Il anime une émission sur Beats One, la radio d'Apple, tous les jeudis : "The Alligator Hour".


title: Josh Homme

text: Homme est né à Joshua Tree en Californie et a grandi à Palm Desert, Californie. Il apprend à jouer de la guitare à 9 ans, influencé par des groupes comme Black Flag, Jimi Hendrix, ZZ Top et Led Zeppelin.


title: Josh Homme

text: Mesurant près de et jouissant d'une grande présence physique, Homme est souvent poussé vers le sport au lycée, mais sa priorité est la musique. Malgré tout, il cite le surf parmi ses loisirs favoris. À l'âge de 14 ans en 1987, Homme crée avec des amis d'école John Garcia, Brant Bjork et Chris Cockrell (qui sera plus tard remplacé par Nick Oliveri) un groupe local de stoner rock appelé "Katzenjammer" (qui sera renommé en 1989 Sons of Kyuss, leur tout premier album portant le nom de celui-ci pour finalement être abrégé Kyuss). Ils sont respectivement guitariste, chanteur, batteur et bassiste.


title: Josh Homme

text: Le groupe devient un phénomène et est considéré comme l'un des groupes les plus influents du stoner rock dans les années 1990. Les membres du groupe conduisent alors des heures vers des endroits perdus dans le désert, se branchant sur des générateurs pour jouer. Ces concerts portent le nom de "Generator parties" (celui-ci étant dû à l'utilisation de groupes électrogènes, servant à alimenter en électricité les instruments et les amplificateurs), et deviennent rapidement des légendes urbaines du rock. En concert avec Kyuss, Homme joue souvent avec ses instruments pour donner un son plus psychédélique. Ainsi, il branche sa guitare sur un vieil ampli de guitare basse (qu'il utilise d'ailleurs toujours pour les concerts des QOTSA mais aussi de Them Crooked Vultures) ou il tourne de deux tons plus bas l'accordage de sa guitare, ajoutant ainsi une ambiance plus lourde. Quand lui et ses compères sont hués lors de concerts, il prend l'habitude de pointer du doigt la personne responsable du chahut et encourage la foule à se battre avec, chose qu'il continue d'ailleurs de faire avec ses groupes actuel (QOTSA, Them Crooked Vultures), ce qui accentue ainsi la popularité du groupe Kyuss.


title: Josh Homme

text: Kyuss accueille donc un des amis de Homme, Nick Oliveri qui prendra le poste de bassiste, à la suite du départ prématuré de Chris Cockrell. Tous deux se connaissent depuis le lycée. Le groupe sort donc son premier album "Wretch" en 1991 sur le label "Dali Records". Cependant, les ventes sont faibles malgré la renommée croissante des concerts du groupe.


title: Josh Homme

text: Leur second album, "Blues for the Red Sun", est produit par Chris Goss. Acclamé par la critique, cet album apporte au groupe son statut de groupe culte. Kyuss et notamment Josh Homme profite de leur amitié avec Dave Grohl, batteur alors de Nirvana, pour avoir une place sur la tournée 1993 de Metallica.


title: Josh Homme

text: Nick Oliveri quitte par la suite le groupe et est remplacé par Scott Reeder. Le groupe signe sur Elektra Records pour sortir "Welcome to Sky Valley" (1994), album encore une fois salué par la critique. Des problèmes personnels déchirent le groupe et Brant Bjork le quitte après une brève tournée. Il est remplacé par Alfredo Hernández.


title: Josh Homme

text: En 1995, ils sortent "… And the circus leaves town". Mais finalement Kyuss est dissous. La dernière sortie de Kyuss, en 1997, est un split EP contenant 3 chansons de Kyuss et 3 des Queens of the Stone Age.


title: Josh Homme

text: En 2000, ils sortent une compilation, "", contenant des inédits, des faces B et des enregistrements en public.


title: Josh Homme

text: Kyuss se sépare en 1995. Josh Homme passe le temps en jouant avec le groupe "Screaming Trees" en tant que second guitariste. C'est là que lui et Mark Lanegan deviennent amis (Homme le rappellera plus tard pour jouer dans Queens of the Stone Age). Après moins d'un an, Josh Homme quitte le groupe et créé Gamma Ray, qu'il transforme en 1997 en Queens of the Stone Age.


title: Josh Homme

text: Le nom du groupe est trouvé par Chris Goss, producteur d'alors de Kyuss, de plus le nom Gamma Ray était déjà utilisé par un groupe qui les menaçait de les poursuivre en justice s'ils ne changeaient pas de nom.


title: Josh Homme

text: QOTSA réalisèrent leur premier album en 1998 intitulé sobrement "Queens of the Stone Age", après que Homme eut cherché différents chanteurs, pour finalement décider de chanter lui-même. Sur l'album Homme joue les parties de guitare mais aussi de basse (bien que sur la pochette de l'album soit crédité pour la basse son alter ego Carlo Von Sexron). À la suite de ce premier album, plusieurs EP sortirent, mais le vrai successeur fut "Rated R", dans lequel le groupe propose un son encore plus psychédélique et sombre. On y retrouve plusieurs collaborations, avec des musiciens tous familier à Homme, avec notamment Gene Trautman, Dave Catching, Chris Goss et même Rob Halford du groupe Judas Priest. Par la suite, Nick Oliveri, ex-Kyuss rejoint son ami Josh Homme à la basse de QOTSA.


title: Josh Homme

text: Le , "Songs for the Deaf", sort en 2002, et marque alors leur premiers succès commercial ("", "Go with the flow") avec une large diffusion sur MTV et à la radio. À noter les participations de Dave Grohl et Mark Lanegan pour ce disque. Grohl assure la batterie en concert jusque fin 2002, avant que Joey Castillo ex-batteur de Danzig le remplace définitivement. De plus, le guitariste de A Perfect Circle, Troy Van Leeuwen rejoint le groupe en tant que second guitariste. Josh Homme eut quelques difficultés avec Nick Oliveri, bassiste du groupe, et finit par le remplacer en 2004 après des rumeurs selon lesquelles Oliveri battait sa femme.


title: Josh Homme

text: Homme se met à écrire l'album suivant intitulé "Lullabies to Paralyze" (phrase tirée de "Mosquito Song", figurant sur le précédent opus). Il enregistre l'album avec le multi-instrumentiste Alain Johannes, Troy Van Leeuwen et Joey Castillo. L'album sort en 2005 et compte Billy Gibbons des ZZ Top sur la chanson bonus "Precious and Grace" et Mark Lanegan sur la chanson "This Lullaby". Enfin on note l'apparition sur l'une des chansons de l'album de la femme de Homme Brody Dalle et de la chanteuse de Garbage Shirley Manson. À sa sortie, l'album démarre au cinquième rang des classements américains, un record pour QOTSA. Pour l'imagerie et l'inspiration principale de l'album, Homme explique qu'il s'est beaucoup inspiré des contes des frères Grimm.


title: Josh Homme

text: En 2007 sort l'album "Era Vulgaris". Sont présents en "guest" sur l'album Billy Gibbons de ZZ Top, Trent Reznor, Julian Casablancas de Strokes et Mark Lanegan. Le groupe accueille pour la tournée suivant la sortie de l'album Michael Schuman à la basse et Dean Fertita au synthétiseur.


title: Josh Homme

text: Les ventes de Era Vulgaris n'atteignent pas celles des précédents albums.


title: Josh Homme

text: Josh Homme crée "The Desert Session" en 1997, à "Rancho De La Luna", un studio d'enregistrement situé à Yucca Valley dans le désert des Mojaves en Californie. Un collectif de musiciens jouant de la musique indéfinissable se réunit ainsi au studio pour faire des bœufs et faire des expérimentations musicales. À partir du volume 7, tous les albums des Desert Sessions sortent sur le label indépendant créé par Homme appelé "Rekords Rekords".


title: Josh Homme

text: L'enregistrement se faisant en fonction du va-et-vient des artistes, on peut noter la participation de Jeordie White, Nick Oliveri, Josh Freese, Chris Goss, PJ Harvey, Alfredo Hernández, Jesse Hughes, Ben Shepherd, Joey Castillo entre autres. De ces sessions en sont sortis 10 volumes parus entre 1997 et 2003.


title: Josh Homme

text: "Le Rancho De La Luna" est un studio d'enregistrement situé dans un ranch d'un quartier privé de Yucca Valley, où sont rassemblés des instruments et des équipements d'enregistrement. L'endroit est tenu par Dave Catching.


title: Josh Homme

text: Autre projet de Josh Homme, Eagles of Death Metal se forme en 1998 à Palm Desert en Californie et apparaît pour la première fois sur The Desert Sessions. À l'époque, Josh Homme convainc Jesse Hughes de quitter son travail et d'enregistrer ensemble le tout premier album du groupe intitulé "Peace, Love, Death Metal. H"omme est alors à la batterie et Hughes à la guitare et au chant. Les chansons du groupe sont de plus en plus souvent utilisées pour des publicités.


title: Josh Homme

text: Le nom "Eagles of Death Metal" provient d'une boutade lancée par Homme en écoutant le groupe polonais de death metal Vader. À l'écoute du groupe, Homme aurait affirmé : « Ce sont les Eagles du Death Metal », ce dernier trouve le nom accrocheur et en convient avec Hughes que ce sera le nom de leur groupe.


title: Josh Homme

text: À ce jour, 4 albums du groupe sont sortis, le dernier en date étant Zipper Down , et comme à son habitude plusieurs membres de l'entourage de Homme participent aux différents albums des EODM, ainsi on retrouve sa femme Brody Dalle, le comique et chanteur de Tenacious D Jack Black, Dave Grohl,le batteur de Foo Fighters Taylor Hawkins, l'ancien membre des QOTSA et actuel bassiste de Mondo Generator Nick Oliveri, Mark Lanegan, Troy Van Leeuwen ou encore Alain Johannes en collaboration sur les albums du groupe. Eagles of Death Metal est également signé sur le label de Homme, Rekords Rekords.


title: Josh Homme

text: Bien que participant à la création de chaque album du groupe, Homme ne participe plus ou peu au concert du groupe, à cause de ses nombreux projets parallèles. En concert, Joey Castillo est à la batterie (batteur également des Queens of the Stone Age), Dave Catching à la guitare (le propriétaire du Rancho de Luna), Brian O'Connor à la basse (également bassiste du groupe UNKLE) et enfin Jesse Hughes à la guitare et au chant.


title: Josh Homme

text: Enfin en 2009, Homme crée avec son ami de longue date Dave Grohl à la batterie et John Paul Jones, l'ancien bassiste de Led Zeppelin le groupe Them Crooked Vultures. Ils font leurs premiers concerts à Chicago le et publient leur premier album éponyme en . Le groupe participe à différents festivals européens pour jouer ses nouveaux morceaux. Ainsi lors du festival Rock en Seine 2009, le groupe fait une dernière apparition surprise sous le nom "Les Petits Pois".


title: Josh Homme

text: Parmi les autres collaborations notables de Josh Homme on trouve Mondo Generator, nouveau groupe de Nick Oliveri, Foo Fighters notamment sur l'album "In Your Honor", PJ Harvey, Mark Lanegan Band, Trent Reznor, Masters of Reality, Unkle, Melissa Auf der Maur, Paz Lenchantin, A Perfect Circle, Peaches, The Strokes ou tout récemment à la production des Arctic Monkeys.


title: Josh Homme

text: Josh Homme participe à l'album hommage du groupe Queen, "Killer Queen: A Tribute to Queen", il participe aussi à l'album "Blood Mountain" de Mastodon où il chante sur "Colony of Birchmen" et où il lit une lettre qu'il a adressée au groupe. Il chante également sur le titre "Bargain Healers" avec Brody Dalle et Alain Johannes sur le dernier album du groupe Nosfell.


title: Josh Homme

text: En 2016 il collabore avec Iggy Pop sur l’album "Post Pop Depression" en compagnie de son compère des Queens of the Stone Age, Dean Fertita et de Matt Helders batteur des Arctic Monkeys.


title: Josh Homme

text: Homme est marié avec Brody Dalle, chanteuse et guitariste du défunt groupe punk The Distillers et membre principal du groupe de rock alternatif Spinnerette. Ensemble, ils ont eu une fille, prénommée Camille Harley Joan Homme en 2006, un garçon en 2011, Orrin Ryder Homme puis un second garçon en 2016, Wolf Dillon Reece Homme. Ils résident à Palm Springs, Californie. Surnommé le « motard dur à cuir des QOTSA » par le "Los Angeles Times", Homme a une grande collection de motos, il dispose d'une "Falcon Motorcycles" d'après-guerre.


title: Josh Homme

text: Le nom « Homme » est d'origine norvégienne, prononcé soit « Homme », soit « Hommi ».


title: Josh Homme

text: Homme a une réputation de « gros cou » ou « grande gueule » notamment dû à ses nombreuses altercations sur scène ou avec d'autres personnalités du monde musical.


title: Josh Homme

text: Homme s'est lié d'amitié avec plusieurs grands noms de la scène rock, il fait participer souvent son entourage proche dans ces divers groupes ou projets, ainsi le comique Jack Black, qui est aussi chanteur et guitariste du groupe Tenacious D, apparait sur l'album "Lullabies to Paralyze", on peut noter aussi sa grande amitié avec le leader des Foo Fighters Dave Grohl. Homme demanda l'aide de Grohl pour les parties batterie sur l'album "Songs for the Deaf" des Queens of the Stone Age, ils participent aussi ensemble au projet Them Crooked Vultures, et Josh Homme collaborant sur l'album "In Your Honor" des Foo Fighters. L'un des amis proches de Homme est le producteur et fondateur du groupe Masters of Reality Chris Goss, ce dernier produisant trois des albums de Kyuss, mais aussi apparaissant sur tous les albums des Queens of the Stone Age, soit à la production ou en tant qu'invité. Homme et Goss formèrent un éphémère groupe appelé "The Fififf Teeners ("ou" The 5:15ers)", reprenant des morceaux de Masters of Reality et des Queens of the Stone Age.


title: Josh Homme

text: En 2004, Josh Homme est impliqué dans un affrontement avec le chanteur du groupe punk Dwarves Blag Dahlia (pseudonyme de Paul Cafaro) dans un club de Los Angeles. Josh se moque de lui en lui versant sa bière sur la tête et lui jetant sa bouteille ; il sera condamné à rester à plus de de Dhalia et du club.


title: Josh Homme

text: Une autre controverse intervient lorsque Homme répond « le Ozzfest » à un magazine lui demandant quel était son pire job d'été, dénonçant la gratuité du festival et accablant Sharon Osbourne (directrice du festival) qui, selon Homme, cherche toujours à plus s'enrichir. Sharon Osbourne répondit très brutalement à ses propos et se vengea en mettant Nick Oliveri et son groupe Mondo Generator sur la seconde scène du festival.


title: Josh Homme

text: Au "Norvegian Wood festival 2008" à Oslo en Norvège, Homme interpelle un fan qui lui jette une chaussure durant une chanson. Lui relançant la chaussure, Josh insulte le jeune homme de "faggot", et s'attire les foudres d'internautes. Il y réagira par une lettre publique, réfutant toute accusation d'homophobie.


title: Josh Homme

text: Josh Homme est toujours resté volontairement évasif sur son équipement, évitant les questions ou y répondant de manière erronée en interview. En 2007, il déclarera : « Je pense être beaucoup attaché au fait d'avoir cherché des années durant un son différent. En partant de ça, pourquoi est-ce que je souhaiterais révéler ce secret ? C'est cette quête qui me fascine, et que je ne voudrais gâcher pour personne […]. Cela ne doit surtout pas être simple. Comme je l'entends, c'est ce travail de recherche qui fait que cela vaut le coup. ».


title: Josh Homme

text: Il se distingue par son impressionnant panel (environ 35 instruments) et ses choix de guitares relativement atypiques (se démarquant de manière notable des « basiques » tels que Fender ou Gibson), qui recouvrent une large palette de genres initiaux (hard-rock, blues, jazz). Une poignée de modèles sortiront cependant du lot, à savoir :


title: Physique statistique

text: La physique statistique a pour but d'expliquer le comportement et l'évolution de systèmes physiques comportant un grand nombre de particules (on parle de systèmes macroscopiques), à partir des caractéristiques de leurs constituants microscopiques (les particules). Ces constituants peuvent être des atomes, des molécules, des ions, des électrons, des photons, des neutrinos, ou des particules élémentaires. Ces constituants et les interactions qu'ils peuvent avoir entre eux sont en général décrits par la mécanique quantique, mais la description macroscopique d'un ensemble de tels constituants ne fait, elle, pas directement appel (ou en tout cas pas toujours) à la mécanique quantique. De fait, cette description macroscopique, en particulier la thermodynamique, a été obtenue pour partie avant le développement de la mécanique quantique en tant que théorie de la physique, essentiellement dans la seconde moitié du .


title: Physique statistique

text: On distingue la physique statistique d'équilibre (au sens d'équilibre thermodynamique), auquel cet article est consacré, de la physique statistique hors d'équilibre.


title: Physique statistique

text: La physique statistique (appelé aussi « thermodynamique statistique ») fut introduite initialement sous la forme de la théorie cinétique des gaz à partir du milieu du , principalement par Kelvin, Maxwell et Boltzmann. Cette première approche visait à proposer un modèle simple de la matière à l'échelle atomique, et en particulier des collisions entre atomes ou molécules, pour reproduire le comportement de certaines quantités macroscopiques. C'est à cette époque que l'interprétation de la pression comme mesure de la quantité de mouvement des constituants d'un gaz a été formalisée.


title: Physique statistique

text: La mécanique statistique fut formalisée en 1902 par Gibbs, son formalisme permettant de généraliser et de justifier "a posteriori" les principes de la thermodynamique d'équilibre.


title: Physique statistique

text: Les premières extensions de la physique statistique, par rapport à la mécanique statistique, ont été l'introduction des propriétés électriques et magnétiques de la matière au sein des modèles, permettant la description des transitions de phase dans les matériaux magnétiques ou diélectriques, comme la transition ferromagnétique.


title: Physique statistique

text: Une autre étape importante fut la modification des formules statistiques, entre les années 1920 et 1930, pour tenir compte des effets de l'indiscernabilité au niveau quantique des particules (principe d'exclusion de Pauli). Cette modification fut effectuée par Bose et Einstein pour les systèmes de particules de spin entier (bosons) et par Fermi et Dirac pour les systèmes de particules de spin demi-entier (fermions).


title: Physique statistique

text: Typiquement, à notre échelle, un système matériel à l'équilibre thermodynamique est décrit à l'aide d'un nombre restreint de paramètres dits macroscopiques caractérisant les valeurs de certaines grandeurs physiques macroscopiques ; par exemple, un volume de gaz à l'équilibre est caractérisé par sa densité , sa pression , sa température et son volume . La physique statistique établit des liens statistiques entre ces grandeurs physiques macroscopiques et d'autres grandeurs microscopiques caractérisant les constituants élémentaires (atomes ou molécules) du système matériel.


title: Physique statistique

text: Cette procédure est utile, car il est en pratique impossible de suivre l'évolution des constituants individuels du gaz. Par exemple, un litre d'air contient environ (un nombre de l'ordre du nombre d'Avogadro). Même s'il était possible de suivre l'évolution individuelle de chacune d'elles, cela ne donnerait pas d'information pertinente sur le système. Le but de la physique statistique est de définir les quantités macroscopiques pertinentes qui permettent de décrire un tel système composé d'un très grand nombre de particules, et les relations entre ces différentes quantités. Elle doit aussi relier ces quantités macroscopiques à des quantités d'origine microscopiques qui décrivent les constituants du système. Par exemple, la température d'un gaz parfait est une mesure de l'énergie cinétique moyenne des particules qui le composent.


title: Physique statistique

text: Une des raisons qui permet un passage du microscopique au macroscopique est en fait le nombre gigantesque des constituants du système. Pour cette raison, on parle de l'énergie cinétique totale des molécules d'un gaz, car les fluctuations statistiques d'une telle quantité (il est possible que l'énergie cinétique totale des molécules du gaz soit, dans une petite région, légèrement différente de la valeur moyenne attendue) sont limitées par la relation (issue de la loi de Poisson) : où est le nombre de molécules du volume de gaz considéré. Même pour des petits volumes, par exemple de l'ordre de pour un gaz à température et pression normales, soit environ , les fluctuations de l'énergie cinétique totale sont inférieures à et en pratique presque toujours négligeables.


title: Physique statistique

text: Le postulat fondamental de la physique statistique d'équilibre (aussi connu comme le postulat des probabilités "a priori" égales) est:


title: Physique statistique

text: Ce postulat est une hypothèse fondamentale en physique statistique : il signifie qu'un système n'a pas de préférence pour n'importe lequel de ses microétats accessibles. Étant donnés Ω microétats à énergie donnée, la probabilité que le système se trouve à un microétat particulier est p = 1/Ω. Ce postulat, nécessaire, permet de conclure que pour un système à l'équilibre, l'état thermodynamique (le macroétat) qui peut résulter du plus grand nombre de microétats est aussi le macroétat le plus probable du système.


title: Physique statistique

text: Par rapport aux postulats sous-tendant la théorie cinétique des gaz, il s'agit d'un saut dans l'abstraction qui permet toutes les généralisations. Cet énoncé remplace avantageusement les modèles microscopiques à la fois simplistes et pourtant lourdement calculatoires par des incertitudes statistiques. Le modèle s'applique "a priori" à tout système possédant un mécanisme de redistribution statistique de l'énergie au niveau microscopique.


title: Physique statistique

text: Dans le cadre naissant de la théorie cinétique des gaz, Boltzmann a formulé en 1871 une hypothèse, connue aujourd'hui sous le nom d'hypothèse ergodique : « Le point représentatif d'un système hamiltonien invariant par translation dans le temps passe au cours du temps par chaque point de l'hypersurface d'énergie constante. »


title: Physique statistique

text: Il a été prouvé en 1910 que cette hypothèse était fausse, mais on a depuis démontré que certains systèmes physiques vérifient l"'hypothèse quasi-ergodique" :


title: Physique statistique

text: Cependant, en dépit de progrès très importants réalisés en théorie ergodique et en théorie du chaos, l'utilisation de l'hypothèse quasi-ergodique pour justifier le postulat fondamental de la physique statistique reste à ce jour controversée.


title: Physique statistique

text: En théorie de l'information, l'information est l'opposée du logarithme de la probabilité : formula_2.


title: Physique statistique

text: Dans ce contexte, l'entropie est définie comme la moyenne de l'information contenue dans le système :


title: Physique statistique

text: C'est une fonction continue de plusieurs variables, dont on peut montrer qu'elle admet un maximum global lorsque tous les formula_3 sont égaux. Ceci signifie qu'avec l'hypothèse d'équiprobabilité, "S" est maximale. On interprète cela en disant qu'on a alors un minimum d'information, ou encore un maximum d'incertitude, sur le système.


title: Physique statistique

text: Par contre, quand l'un des évènements est certain, sa probabilité vaut 1 tandis que tous les autres formula_3 sont nuls. On connait alors exactement la configuration du système et l'incertitude est nulle. Dans ce cas l'entropie admet sa valeur minimale, en l'occurrence 0.


title: Physique statistique

text: Les méthodes de description mathématique développées dans le cadre de la physique statistique ont trouvé des applications dans pratiquement tous les domaines de la physique moderne ou de la chimie, mais aussi en économie, dans les sciences humaines, etc.


title: Physique statistique

text: La formulation moderne de cette théorie se fonde sur la description des systèmes physiques étudiés par le biais d'ensembles statistiques. De tels ensembles représentent la totalité des configurations possibles du système associées à leur probabilités de réalisation. À chaque ensemble est associée une fonction de partition qui, par manipulations mathématiques, permet d'extraire les grandeurs thermodynamiques du système. Selon les relations du système avec le reste de l'univers, on distingue généralement trois types d'ensemble, du plus simple au plus complexe :Cet ensemble décrit le cas idéal d'un système complètement isolé d'énergie formula_5 constante, et n'échangeant donc ni particule, ni énergie, ni volume avec le reste de l'univers. L'intérêt de ce modèle est qu'il permet de définir l'entropie sous sa forme la plus simple.


title: Physique statistique

text: Le système étant à l'équilibre macroscopique, mais libre d'évoluer à l'échelle microscopique entre formula_6 micro-états différents, son entropie est donnée par la formule de Boltzmann (1877) :


title: Physique statistique

text: où formula_7 est la constante de Boltzmann. Cette définition correspond à l'entropie de Shannon :


title: Physique statistique

text: d'une configuration de formula_6 micro-états équiprobables :


title: Physique statistique

text: L'énergie macroscopique totale formula_5 du système isolé étudié est toujours supérieure ou égale à une certaine valeur formula_10 minimale, appelée énergie de l'état fondamental du système. De plus, le comptage du nombre formula_6 de micro-états du système fermé d'énergie totale formula_5 nécessite en général l'introduction d'une certaine incertitude formula_13 d'ordre mésoscopique.


title: Physique statistique

text: On peut montrer que, pour un système « ordinaire », le nombre formula_6 de micro-états est une fonction "rapidement croissante" de l'énergie de la forme :


title: Physique statistique

text: où "N" le nombre de degrés de liberté total du système, supposé très grand. Il est alors possible de montrer que lorsque l'énergie totale "E" n'est pas trop proche de sa valeur minimale, l'entropie "S(E,N)" calculée par la formule de Boltzmann est :L'ensemble canonique décrit un système fermé en équilibre thermique avec un thermostat extérieur. Ce système fermé peut donc échanger de l'énergie sous forme de transfert thermique avec l'extérieur, à l'exclusion de toute autre quantité.


title: Physique statistique

text: Dans les conditions citées ci-dessus, on démontre que la probabilité formula_3 pour que le système fermé réalise un état formula_17 d'énergie formula_18 est donnée par la formule de Boltzmann :


title: Physique statistique

text: L'identification de l'entropie de la physique statistique à celle de la thermodynamique permet de relier β à la température thermodynamique T formula_19 Le facteur de normalisation "Z" se calcule en écrivant la condition des probabilités totales :


title: Physique statistique

text: "Z" est appelé la fonction de partition canonique du système fermé, et s'écrit explicitement :


title: Physique statistique

text: Cette fonction de partition permet de déduire toutes les grandeurs macroscopiques du système fermé comme moyennes des grandeurs microscopiques associées.


title: Physique statistique

text: L'énergie interne "U" est la moyenne macroscopique de l'ensemble des énergies microscopiques formula_18 :


title: Physique statistique

text: De même, pour toute grandeur "A" prenant des valeurs formula_21 définies sur les micro-états "i" associés aux énergies formula_18, on peut définir la valeur moyenne :


title: Physique statistique

text: Appliquons en particulier cette formule à l'entropie, en posant que les micro-états formula_18 définissent des systèmes représentables comme des ensembles microcanoniques, nous avons défini pour chaque micro-état "i" une entropie microcanonique :


title: Physique statistique

text: L'entropie totale du système prend alors la forme :


title: Physique statistique

text: Remplaçons la probabilité par son expression dans le logarithme :


title: Physique statistique

text: D'après la définition de la température inverse, on a : formula_24, d'où :


title: Physique statistique

text: On reconnaît dans le premier terme la valeur moyenne de l'énergie. Par ailleurs, le logarithme de "Z" est indépendant de l'indice "i". On obtient alors en utilisant la condition de normalisation des probabilités :


title: Physique statistique

text: En rapprochant cette formule de celle donnant l'énergie libre "F" en thermodynamique : "F = U - T S", il vient naturellement :


title: Physique statistique

text: ou encore :


title: Physique statistique

text: Les expressions de "F", de "U" et de "S" sont suffisantes pour en déduire toutes les autres grandeurs thermodynamiques : Pour la dernière entrée, il ne s'agit pas de l'ensemble grand-canonique. Il est souvent utile de considérer que l'énergie d'une molécule donnée est distribuée entre plusieurs modes. Par exemple, l'énergie de translation est la partie de l'énergie relative au mouvement du centre de masse de la molécule. L'énergie de configuration se rapporte à la portion de l'énergie associée aux diverses forces attractives et répulsives entre les molécules du système. Les autres modes sont tous considérés comme internes aux molécules. Ils incluent les modes rotationnels, vibrationnels, électroniques et nucléaires. Si nous supposons que chaque mode est indépendant, l'énergie totale peut être exprimée comme la somme de la contribution de chaque composant :


title: Physique statistique

text: où les indices "t, c, n, e, r" et "v" correspondent aux énergies des modes de translation, de configuration, nucléaires, électroniques, rotationnels, et vibrationnels respectivement.


title: Physique statistique

text: En substituant cette équation dans la toute première équation, nous obtenons :


title: Physique statistique

text: Grâce à l'indépendance des modes, on peut permuter la somme et le produit :


title: Physique statistique

text: Ainsi, pour chaque mode, on peut définir une fonction de partition associée, et on obtient la fonction de partition totale comme produit de ces fonctions de partition de modes :


title: Physique statistique

text: Des expressions simples en sont dérivées pour chacun des modes relatifs à des propriétés moléculaires, telles que les fréquences rotationnelles et vibrationnelles. Les expressions des diverses fonctions de partitions sont données dans la table suivante :


title: Physique statistique

text: Ces équations peuvent être combinées avec celles de la première table pour déterminer la contribution d'un mode énergétique spécifique aux propriétés thermodynamiques. Par exemple, la « pression de rotation » peut être déterminée de cette manière. La pression totale peut être trouvée en sommant les contributions de pression de tous les modes individuels :


title: Physique statistique

text: Si le système est ouvert (c'est-à-dire s'il permet l'échange de particules avec l'extérieur), nous devons introduire les potentiels chimiques et remplacer la fonction de partition canonique par la fonction de partition grand-canonique :