title: Regnobert de Bayeux

text: Hervé fait une étape à Norolles. On ne sait pas pourquoi il choisit cet endroit pour y passer la nuit ; Maneuvrier suggère qu'il y possède peut-être une résidence. Toujours est-il qu'à l'époque Norolles et de Fauguernon ne forment qu'une seule "villa", et un petit sanctuaire dédié à saint Regnobert est construit sur l'actuelle commune de Fauguernon — sanctuaire cité comme "capella" en 1221 et qui devient à terme le noyau d'une paroisse.


title: Regnobert de Bayeux

text: Hervé amène ensuite les reliques à l'église de Saint-Victor-d'Épine, une terre qu'il tient de sa mère dans le diocèse de Lisieux. Nous somme loin du Maine, mais le patron de l'église est saint Victeur, évêque du Mans à la fin du . Larue mentionne aussi, parmi les miracles opérés à Saint-Victor, un aveugle venant du Mans — autre connexion avec le pays des racines paternelles de Hervé.


title: Regnobert de Bayeux

text: En mars suivant (846, avant Pâques) les reliques sont de nouveau déplacées, peut-être du fait du retour à Bayeux de Baltfride qui réclame les biens appartenant à son évêché. Hervé compose en les ramenant sur les terres dépendant de la juridiction du diocèse de Bayeux, mais non à Bayeux d'où les reliques viennent : il crée un petit centre monastique, une église Saint-Sauveur nouvellement construite à une "villa" nommée "Suiacum",qui relève de l’exemption de Cambremer, cette dernière dépendant de l’évêché de Bayeux depuis le . C'est de la part de Hervé une façon de rendre son bien à l'êvêque de Bayeux sans le perdre pour autant.


title: Regnobert de Bayeux

text: L'église est fastueusement dédicacée en présence de Baltfride évêque de Bayeux, Fréculphe évêque de Lisieux, et enfin Ansegaud ("Ansegaudis") évêque d'Avranches, le 25 mars 847, 848 ou 849. Baltfride est là parce qu'il s'agit de son prédécesseur, de son bien et de son diocèse ; Fréculphe est aussi présent parce que l'affaire se passe pratiquement à sa porte. Mais pourquoi Ansegaud ? Maneuvrier suggère que Lisieux a pu servir de position de repli pour les évêques alentour, dont celui d'Avranches plus exposé aux attaques des bretons.Selon J. Lair et à sa suite Ferdinand Lot (1904), ce "Suiacum" serait Notre-Dame-d'Épine. Lair note que l'église comporte trois autels : Fréculf de Lisieux consacre le premier, dédié au saint Sauveur ; Baltfride de Bayeux consacre celui au centre dédié à saint Regnobert ; et Ansegaud d'Avranches consacre celui dédié à la Vierge et à saint Jean-Baptiste. L'église Saint-Sauveur ne se retrouve plus sous ce nom, quoiqu'on en trouve encore la trace dans le cadastre napoléonien (vers 1825) qui indique l’emplacement d'une chapelle Saint-Sauveur à Suilly. D'après le pouillé de Lisieux, l'église Notre-Dame-d'Epines était sous le patronage de l'évêque d'Avranches au ; il y avait au même lieu une chapelle Saint-Jean, dont l'évêque d'Avranches était aussi patron. suggère la possibilité qu'après le départ des reliques l'église Saint-Sauveur ait pu prendre le nom de Notre-Dame.


title: Regnobert de Bayeux

text: Maneuvrier, qui note le cadastre napoléonien, penche quant à lui pour une chapelle dans le fief de Suilly sur le territoire de la commune de Manerbe au lieu-dit Saint Sauveur, à peu de distance de la fin actuelle du chemin aux Moines (chemin Saint-Sauveur) que Maneuvrier donne pour une trace de la courte installation de moines dans ce lieu. Quelques miracles sont rapportés par l"'Historia". Une petite communauté monastique s'y installe également, dont le rayonnement est essentiellement local malgré quelques dons royaux : vers 856 Charles le Chauve est de passage à "Veteres Domus" (Louviers ?) et, souffrant d’un mal de dents, envoie un « vœu » pour les saints ; son épouse Ermentrude souffre quant à elle de la poitrine et y fait porter une pièce d’étoffe pour couvrir les tombeaux ("pallium ad Beatorum corpora"). Sur sa demande, Charles le Chauve donne quelques terres à cette église. Mais le départ des reliques arrête l'élan de cette communauté.


title: Regnobert de Bayeux

text: Vers 867-869, les reliques sont transférées dans l'Auxerrois — là où Charles le Chauve refait ses forces. D'après Lucien Musset, elles arrivent d’abord à l'abbaye Saint-Vivant au pied du château de Vergy, puis à Varzy dans l'église Sainte-Eugénie (diocèse d'Auxerre) dans la Nièvre. Les reliques du prélat sont présentées, dont un bras à l'âme de bois recouvert d'argent et cuivre doré, dans la position de la main bénissante, majeur et index tendus pouce replié. cet objet a figuré à l'exposition universelle de 1900, ainsi qu'à l'exposition "Trésors des églises de France" en 1965, il est . Un autre reliquaire renferme la tête entière de Regnobert ; c'est une boîte de forme octogonale montée sur un socle en glacis recouvert du cuivre doré et argenté sur une âme de bois, datant du et .


title: Regnobert de Bayeux

text: De Varzy, une partie des reliques part à Quingey dans l'actuel Doubs.


title: Regnobert de Bayeux

text: Lorsque Hugues de Noyers (évêque d'Auxerre † 1206) fait la levée des reliques de saint Renobert à Sainte-Eugénie de Varzy, il se réserve les phalanges des mains et des pieds pour la dédicace de l'église Saint-Renobert à Auxerre à l'emplacement de la synagogue des juifs que le comte Pierre a expulsés de la ville. Dans cette église il fonde deux autels.


title: Regnobert de Bayeux

text: Le 3 juin 1642 l'évêque d'Auxerre Pierre de Broc, en visite à Varzy, prélève dans la châsse de saint Renobert de l'église Sainte-Eugénie un os de la jambe qu'il fait déposer par le prêtre Hubert Dupré, chanoine et trésorier de Sainte-Eugénie, dans l'église Saint-Amâtre d'Auxerre. De Broc a fait construire un reliquaire en argent dans lequel il dépose la relique le 19 avril 1643 et l'amène en grande procession à l'église paroissiale Saint-Renobert d'Auxerre.  Pierre de Broc constate à cette occasion que la châsse de de Renobert à l'église Sainte-Eugénie contient « une espèce de nappe d'autel de toile fort ancienne avec huit ossements notables, et dans un autre linge plus blanc qui a forme d'une serviette ou sac, deux autres ossements notables avec quelques autres moindres ». La porte de la châsse, sur le côté, est ornée d'une effigie d'un évêque en vermeil ancien et porte aussi le nom de « RENOBERT ».


title: Regnobert de Bayeux

text: Auxerre ayant abrité les reliques du saint patron de Bayeux, une confraternité s'est créée entre le chapitre de la cathédrale de Bayeux et celui de la cathédrale d'Auxerre. Elle est inscrite dans les comptes du chapitre d'Auxerre aux , s. : plusieurs chanoines de Bayeux perçoivent des distributions au choeur de la cathédrale d'Auxerre, ou bien sont honorés de présents ; on note entre autres le célèbre Nicolas de Clamenges (maître et recteur de l'université de Paris, un des principaux représentants du groupe des conciliaristes).


title: Regnobert de Bayeux

text: L'évêque d'Auxerre aurait restitué les reliques de saint Renobert à la cathédrale de Bayeux au début du .


title: Regnobert de Bayeux

text: D'après De la Rue (1842), une chasuble de Renobert se trouvait à « l'église de Bayeux », enfermée dans « un petit coffre chargé d'inscriptions arabes », accompagnée d'une étole et d'un manipule. Les inscriptions datent son coffre entre le . Bayeux ayant été pillée en 1106, Smythe pense que l'arrivée du coffre à Bayeux est postérieure à cette date ; sans quoi il aurait probablement été emporté ou détruit à cette occasion.En 1679 l'église Saint-Exupère de Bayeux est repavée. Bier, le curé de la paroisse, et quelques autres ecclésiastiques, en profitent pour examiner les tombeaux des évêques enterrés là. Le tombeau de saint Renobert est à côté de celui de saint Exupère, sous le maître-autel. Bien que ses reliques ont été emportées en 846, il reste quelques ossements que Bier ramasse.  En 1853 l'abbé E. Le Comte, curé de Saint-Exupère, retrouve le caveau et fait construire une crypte pour y placer les tombeaux.


title: Regnobert de Bayeux

text: Sa fête est le 24 octobre. À Romprey, il est fêté en grande pompe jusqu'en 1912.


title: Regnobert de Bayeux

text: Mais à cause de la grande pérégrination de ses reliques, il est mentionné dans plusieurs martyrologes aux dates suivantes : 23, 25 et 28 mars ; 23 avril ; 16 mai ; 13 juin ; 2 septembre ; 14 et 24 octobre ; 28 décembre.


title: Regnobert de Bayeux

text: Pour les lieux dont les noms ont gardé la mémoire de Renobert, Lebeuf cite les diocèses de Besançon (avec un prieuré à son nom), de Poitiers, de Langres, d'Autun, d'Auxerre, de Paris (pour Corbeil), de Lisieux et d'Évreux en Normandie, et peut-être d'autres lieux.


title: Regnobert de Bayeux

text: Confusion possible : pour ce qui concerne les lieux de culte dédiés à saint Regnobert dans le Bugey et ses environs proches, il est possible qu'il y ait confusion avec ceux dédiés au martyr du Bugey Ragnebert, également du .Une des légendes sur saint Renobert concerne l'architecte chargé de reconstruire la chapelle de Caillouville à l'abbaye Saint-Wandrille de Fontenelle. Un miracle de saint Renobert aurait sauvé de la damnation les deux enfants de l’architecte (et l'architecte lui-même) après un pacte imprudent que ce dernier avait passé avec le diable pour pouvoir achever la chapelle.


title: Kuzhal

text: Le kuzhal est un instrument de musique du sud de l'Inde. C'est un instrument à vent de deux types très différents :


title: 1971 en sociologie

text: Cet article présente les événements de l'année 1971 dans le domaine de la sociologie.


title: 1967 en sociologie

text: Cet article présente les événements de l'année 1967 dans le domaine de la sociologie.


title: 1965 en sociologie

text: Cet article présente les événements de l'année 1965 dans le domaine de la sociologie.


title: 1963 en sociologie

text: Cet article présente les événements de l'année 1963 dans le domaine de la sociologie.


title: 1961 en sociologie

text: Cet article présente les événements de l'année 1961 dans le domaine de la sociologie.


title: 1958 en sociologie

text: Cet article présente les événements de l'année 1958 dans le domaine de la sociologie.


title: 1957 en sociologie

text: Cet article présente les événements de l'année 1957 dans le domaine de la sociologie.


title: 1955 en sociologie

text: Cet article présente les événements de l'année 1955 dans le domaine de la sociologie.


title: 1951 en sociologie

text: Cet article présente les événements de l'année 1951 dans le domaine de la sociologie.


title: 1945 en sociologie

text: Cet article présente les événements de l'année 1945 dans le domaine de la sociologie.


title: 1944 en sociologie

text: Cet article présente les événements de l'année 1944 dans le domaine de la sociologie.


title: Années 1930 en sociologie

text: Ci-dessous figurent les événements relatifs à la Sociologie survenus au cours des années 1930.


title: Meisho-e

text: Le "meisho-e" consiste à identifier et représenter sous forme picturale les caractéristiques les plus connues d’un lieu réputé pour sa beauté ou son intérêt, de façon à l’identifier aisément, par symbolisme ou réalisme. Il s’agit plus généralement d’un genre pouvant mélanger peinture de saison, peinture de paysage et poésie.


title: Meisho-e

text: Le Japon découvre et s’initie à la peinture de paysage auprès de la Chine ; les plus vieux paysages conservés se trouvent au Hōryū-ji et datent de la période Asuka ().


title: Meisho-e

text: Plus tard à l’époque de Heian ( et siècles), le développement du "yamato-e" favorise les peintures séculaires à sujet japonais, à la différence des peintures à sujet chinois nommées "kara-e". La cour impériale de Heian-kyō apprécie les peintures sur paravents qui illustrent un poème waka ("byōbu uta"), évoquant le bouddhisme, l’impermanence des choses, les quatre saisons ou les rites et cérémonies ; les symbolismes liant poésie et saisons fournissent de nombreux motifs picturaux, par exemple les cerisiers en fleurs du mont Yoshino associés au printemps.


title: Meisho-e

text: Très souvent, les lieux réputés pour leur beauté autour de la capitale (alors Heian) servent à illustrer ces thèmes, étant représentés à une saison particulière et inspirés par un poème waka ; c’est donc vers le ou siècle que ces peintures de lieux célèbres, ou "meisho-e", apparaissent.


title: Meisho-e

text: La poésie semble avoir joué un rôle déterminant dans les premiers développements du genre ; en 1207 par exemple, l’empereur Go-Toba sélectionna quarante-six vues célèbres comme sujets de poèmes wakas, qui devaient être transposés ensuite en image sur les cloisons coulissantes du monastère Saishōshitennō-in. Souvent, les œuvres étaient le fruit de l’imagination du peintre ou inspirées d’un poème, sans réalisme aucun, en particulier pour les lieux reculés du Japon.


title: Meisho-e

text: Comme en poésie, l’important restait la force émotionnelle ou évocatrice associée à un lieu, que l’on devait pouvoir identifier par convention, stéréotype ou la tradition picturale ; les motifs poétiques ou plastiques associés à un lieu ("utamakura") étaient très nombreux et codifiés : par exemple, une barrière ceinte d’arbres aux feuilles rouges désigne la barrière de Shirakawa, associée au vent d’automne. La peinture du "yamato-e" à sujet japonais se caractérise par une composition plus lyrique et décorative que leurs pendants chinois qui cherchent plutôt la grandeur spirituelle. Les artistes préfèrent les paysages doux, aux collines et arbres arrondis en couleur bleue et verte. Toutefois, aucune de ces premières œuvres ne nous est parvenue ; la plus ancienne peinture de ce type connue est un paravent aux paysages de six panneaux au style sinisant "kara-e". Les supports traditionnels des "meisho-e" sont les paravents ("byōbu"), cloisons coulissantes ("fusuma") ou murs du palais ou des temples.


title: Meisho-e

text: À l’époque de Kamakura, les "meisho-e" sont marqués, comme tous les arts japonais, par les nouveaux courants réalistes et naturalistes suscités par l’arrivée au pouvoir des samouraïs ("bakufu") et le développement des écoles bouddhiques de la Terre pure, volonté de réalisme qui s’écarte des conventions poétiques jusque-là élémentaires. Le support de prédilection de l’époque est l’"emaki" (longs rouleaux narratifs peints faisant par exemple le récit de romans, chroniques historiques ou biographies de moines). Les paysages réalistes, presque pris sur le vif, de l’"Ippen shōnin eden" ("emaki" du ) sont très réputés pour leur précision. L’œuvre présente notamment une des premières peintures connues du mont Fuji. Le "Saigyō monogatari emaki" fournit diverses vues célèbres inspirées des poèmes wakas de Saigyō Hōshi dans un trait idéalisé et dépouillé.


title: Meisho-e

text: Quelques peintures tirent plutôt leur inspiration du shinto : le "kakemono" du représentant la fameuse cascade de Nachi (censée être l’émanation d’un "kami") transmet une réelle force animiste.


title: Meisho-e

text: La peinture de l’époque de Muromachi, marquée par le zen, voit émerger le mouvement pictural du lavis monochrome ("suiboku-ga" ou "sumi-e") ; les compositions de paysages anonymes deviennent puissantes, lyriques et spirituelles, marquées par la vigueur du pinceau. Un "meisho-e" célèbre est la "Vue de l’Ama-no-Hashidate" de Sesshū, peinte en 1501, où le trait respecte une précision topographique rigoureuse (l’Amanohashidate est une des trois vues les plus célèbres du Japon) ; il existe quelques autres copies de vues célèbres de Sesshū.


title: Meisho-e

text: Kanō Tannyū (école Kanō), responsable des peintures murales des châteaux d’Edo et de Nijō, y a peint plusieurs vues célèbres.


title: Meisho-e

text: Les voyages à l’intérieur du Japon se sont développés avec l’époque d'Edo et la pacification du pays qu’elle a apportée. Si la plupart de ces voyages étaient nécessités par des impératifs politiques, ou économiques, les voyages d’agrément se développèrent aussi à cette époque, voyant apparaître des guides de voyages ("meisho ki") et toute une littérature, dont l’ouvrage le plus connu reste le "Tōkaidōchū Hizakurige" de Jippensha Ikku. Après la littérature et les guides, l’image se développe progressivement dans l’estampe "ukiyo-e" au , grâce en particulier à Hokusai et Hiroshige, qui multiplièrent les séries d’estampes "meisho-e" à partir des années 1830. Hokusai expérimente le genre avec ses "Huit Vues d’Edo à la manière hollandaise", où ses influences européennes sont évidentes ; le succès de sa série des "Trente-six vues du mont Fuji" confère au genre de l’estampe de paysage une place prépondérante au . Si l’art de Hokusai est animé d’un style spirituel aux compositions analytiques, son jeune « concurrent » Hiroshige présente des œuvres marquées par la sensibilité et la prépondérance de l’humain. Ses séries les plus connues sont "Les Cinquante-trois Stations du Tōkaidō", "Les Soixante-neuf Stations du Kiso Kaidō" et les "Cent vues d’Edo".


title: Meisho-e

text: À l’époque d’Edo, des artistes comme Ike no Taiga développent en parallèle la peinture "shinkei" (« vues réelles »), inspirée par la Chine, où les paysages sont peints de façon très naturaliste et précise sur place. Ce mouvement s’inscrit dans le genre "nan-ga".


title: Meisho-e

text: Ce concept de « vue célèbre » au , où l’on recherche les meilleurs points de vue permettant de contempler un lieu admiré, est sans doute à rapprocher de ce que l’on trouve en Chine : ainsi, dans le palais d’été impérial de Chengde, l’ancienne Jehol, les grands empereurs Qing Kangxi et Qianlong avaient parsemé le parc du palais de pavillons, connus aujourd’hui comme le « point de vue de l’empereur Qianlong ». Le nombre total des points de vue de Chengde est de soixante-douze (deux fois trente-six).


title: Meisho-e

text: À la fin du , le mouvement de l’"ukiyo-e" est sur le déclin. Les « vues célèbres » restent toutefois un sujet d’inspiration à travers la photographie, par exemple certaines œuvres d’Adolfo Farsari.


title: Meisho-e

text: Quelques courants picturaux se rapprochent du genre "meisho-e" :


title: Meisho-e

text: Les "meisho-e" sont à l’origine très liés aux peintures dites des saisons ("shiki-e"), représentant souvent un lieu à une ou plusieurs saisons de l’année. Les peintures murales du Hōō-dō (pavillon du Phénix) du Byōdō-in forment un chef-d’œuvre du genre au : chaque mur représente une saison dans un style typique du "yamato-e" de l’époque de Heian. Ce principe se retrouve longtemps après dans les séries d’estampes "ukiyo-e".


title: Meisho-e

text: Pour Saburō Ienaga, la présence presque systématique des quatre saisons fait du "meisho-e" classique une déclinaison particulière du "shiki-e", la combinaison de paysages et de peinture de genre apparaît comme caractéristique du style "yamato-e" en général.


title: Meisho-e

text: L’humain dans les "meisho-e" et les peintures de paysage caractérise l’art du Japon, où la présence anecdotique du peuple (paysans, voyageurs, citadins, pèlerins, guerriers…) reste très courante. Pour Akiyama Terukazu, humaniser la nature apparaît comme la . L’art de Hiroshige met par exemple en scène les activités du peuple avec la sensibilité d’un poète ; une estampe célèbre peint les passants surpris par la pluie sur le pont Ohashi () dans les "Cent vues d'Edo".


title: Meisho-e

text: À l’époque médiévale, Heian-kyō (actuelle Kyoto) concentre les milieux artistiques, que ce soit à la cour impériale ou dans les grands temples. De fait, les premières vues célèbres s’inspirent directement des alentours de la capitale : Sagano, barrière d’Osaka, plages d’Akashi, cerisiers en fleur du mont Yoshino, Musashino…


title: Meisho-e

text: À partir du apparaît un autre type de peinture, inspiré du "meisho-e" classique, nommé "rakuchū-rakugai-zu" (, littéralement « vues à l’extérieur et à l’intérieur de la capitale »), généralement sur panneau ou paravent. Un point de vue très éloigné sert à représenter les activités quotidiennes dans la capitale ("rakuchū") ainsi que les alentours de la ville ("rakugai") en un même ensemble. La première version (paravent à six panneaux de Machida) du est typique de la peinture de Momoyama (école Rimpa), avec ses riches couleurs, l’usage intense de l’or et les brumes. Ces vues s’attachent souvent avec minutie à rendre la vie quotidienne du peuple (festivals, marchés, divertissements…).


title: Meisho-e

text: À l’époque d’Edo, cinq grandes routes (Gokaidō) permettent de relier la nouvelle capitale aux autres villes du Japon, notamment le Tōkaidō et le Kiso Kaidō jusqu’à Kyoto. Jalonnées de nombreux relais ou stations et traversant des régions fort variées, elles offrent de nombreuses sources d’inspiration pour les maîtres de l’estampe "ukiyo-e", qui y retranscrivent tant des paysages grandioses que des activités populaires des contrées vivantes ou reculées du Japon. "Les Cinquante-trois Stations du Tōkaidō" de Hiroshige ou "Les Soixante-neuf Stations du Kiso Kaidō" de Hiroshige et Eisen sont les exemples les plus connus de ces séries d’estampes.


title: Meisho-e

text: Traditionnellement, la perspective réaliste à l’occidentale n’existe pas dans la peinture japonaise. Chaque élément revêt plutôt dans la peinture l’importance qu’elle occupe dans l’esprit du peintre, s’affranchissant des règles de perspectives rigoureuses pratiquées en Occident. Les vues lointaines n’empêchent ainsi pas de représenter les personnages aussi grands que les bâtiments ou les arbres, par exemple. L’idée de profondeur est rendue plutôt par des longues lignes parallèles et des artifices picturaux, comme des chemins sinueux ou des vols d’oiseaux disparaissant à l’horizon. Les brumes permettent de séparer de façon douce les différents plans. Vers l’époque d’Edo, la perspective européenne réaliste s’impose peu à peu dans la peinture japonaise, aux et siècles ("uki-e").


title: Meisho-e

text: Les couleurs des "meisho-e" sont liées aux courants picturaux dominants de l’art japonais :


title: Hou (astronomie chinoise)

text: Hou est un astérisme de l'astronomie chinoise. Il est décrit dans le traité astronomique du "Shi Shi" qui recense les astérismes construits à partir des étoiles les plus brillantes du ciel. "Hou" se compose d'une seule étoile, située dans la constellation occidentale d'Ophiuchus.


title: Hou (astronomie chinoise)

text: Les coordonnées de l'étoile référente de tout astérisme sont données dans divers traités astronomiques chinois, permettant leur localisation, au moins approximative. Dans le cas de "Hou", son unique étoile correspond sans doute à l'étoile α Ophiuchi (Ras Alhague).


title: Hou (astronomie chinoise)

text: "Hou" est situé dans un vaste ensemble appelé "Tianshi", correspondant à un marché céleste, comprenant à la fois les éléments d'une cour royale, et des éléments liés au commerce. Il est plus précisément situé à proximité de l'étoile centrale de cette structure, "Dizuo", qui représente le trône de l'empereur. Étymologiquement, "Hou" signifie « superviseur », ce qui correspond à un assistant haut placé de l'empereur. Des traités spécifient plus en détail qu'il pourrait s'agir d'un astrologue, « responsable de l'équilibre entre le "yīn" et le "yáng", assurant l'équilibre du pays ».


title: Hou (astronomie chinoise)

text: De nombreux astérismes situés dans le marché céleste "Tianshi" sont en rapport avec la cour de l'empereur "Dizuo". Outre "Hou", on y trouve "Zong", un ancêtre important de la famille impériale, "Zongzheng", un officiel, et "Zongren", ses assistants, ainsi que "Huanzhe", des administrateurs eunuques. D'autres astérismes de "Tianshi" sont, eux, plus explicitement en rapport avec le commerce.


title: Pierre Albarran

text: Pierre Henri Maurice Albarran, né le à Chaville et décédé le à Paris, est un joueur et théoricien du bridge, joueur de tennis et écrivain français.


title: Pierre Albarran

text: Pierre Albarran est le fils de l'urologue d'origine cubaine Joaquín Albarrán et de Pauline Ferri. Diplômé du baccalauréat à l'École Saint-Elme d'Arcachon en 1910, il entama des études de médecine qu'il abandonna puis étudia la philosophie à la faculté des lettres de Paris. Il obtenu ensuite une licence de droit puis un diplôme en sciences politiques.


title: Pierre Albarran

text: Partenaire régulier de la championne Suzanne Lenglen dont il a été un temps le compagnon, il a connu une brève carrière de joueur de tennis au début des années 1920. Il a rencontré ses principaux succès en double à Paris ou sur la Côte d'Azur, le plus souvent aux côtés de son ami intime Alain Gerbault. Il reste cependant principalement connu pour avoir obtenu une médaille de bronze en double lors des Jeux olympiques d'Anvers avec Max Decugis, profitant du forfait de ses compatriotes Jacques Brugnon et Jean-François Blanchy. En 1921, il fut finaliste en double du championnat du monde sur terre battue avec Gerbault contre André Gobert et William Laurentz. Il a été classé en première série parmi les 10 meilleurs joueurs français jusqu'en 1924.


title: Pierre Albarran

text: Il apprit le bridge lors d'un séjour de deux ans en Suisse où il soignait une maladie. Il commence les compétitions lors de son retour en France et devient rapidement le meilleur joueur du pays, remportant 19 titres nationaux ainsi que la Coupe de France en 1932. Il fut pendant trois décennies l'un des principaux joueurs de bridge en Europe. En 1933, il affronta une équipe américaine dirigée par Ely Culbertson, la rencontre fut déclarée nulle à la donne. En 1935, il est le principal artisan de la victoire française au d'Europe par équipes à Bruxelles (avec Adrien Aron, Joseph Broutin, Robert de Nexon, Georges Rousset, et Sophoklís Venizélos. Il représente la France lors de 32 rencontres internationales et notamment lors du premier championnat du monde la même année à New York.


title: Pierre Albarran

text: Il a organisé et dirigé pendant de nombreuses années le tournoi de bridge de Monte-Carlo. Chroniqueur pour divers journaux, il a écrit de nombreux ouvrages de référence sur le jeu dont "Notre méthode de bridge" en 1935 et "L'Encyclopédie du bridge moderne" en 1957. Instigateur de la "méthode Albarran" relative aux codifications des enchères, il est en outre l'inventeur de la "séquence canapé" en 1946 et du 2♣ forcing de manche. Il a grandement contribué au développement de la pratique du bridge-contrat en France.


title: Pierre Albarran

text: Marié quatre fois, sa dernière femme, Simonne Albarran a été sa collaboratrice et sa partenaire dans de nombreux tournois. Il décède en son domicile du 14 rue de Montevideo dans le 16 arrondissement des suites d'un infarctus du myocarde.


title: Mad Dogs

text: Mad Dogs ("") ou "La Gâchette en tête" au Québec, est un film américain réalisé par Larry Bishop et sorti en 1996.


title: Mad Dogs

text: Lorsque Vic, le caïd des caïds, sort de l'institut psychiatrique, c'est le branle-bas de combat parmi ses hommes, ceux qui l'ont soit secondé, soit remplacé ou soit trompé. Ils n'ont pas tort de se méfier car Vic, de retour, a bien l'intention de reprendre sa place, de nettoyer le désordre et d'éliminer ses rivaux.


title: Eighting

text: La société Eighting s'est également fait connaitre sous différents noms depuis le rachat de la société "Raizing". Il est possible de trouver le nom de l'entreprise orthographié 8ing, mais également accolé à "Raizing" et dans un ordre différent, ce qui donne plusieurs possibilités qui sont "Raizing/Eighting", "Eighting/Raizing", "8ing/Raizing", "Raizing/8ing" ou simplement "Raizing". On peut également rencontrer l'appellation "R8zing", mêlant ainsi les deux patronymes.


title: Eighting

text: Le nom Eighting est la contraction du préfixe « "Eight" » qui signifie « huit » en anglais, et du suffixe « ing » qui signifie en anglais « faire l'action » du verbe auquel il est ajouté. Eight a été choisi pour évoquer un vieil adage japonais : ＝ .


title: Eighting

text: Eighting a été fondée par plusieurs employés et développeurs originaires de la société Toaplan qui venait de faire faillite, tout comme la société Cave, Takumi ou Gazelle. Elle intègre également d'anciens employés de la société Compile ayant travaillé sur le projet "Musha Aleste" (Mega Drive).


title: Eighting

text: La société (ainsi que les entreprises créées à l'issue de la faillite de Toaplan) est principalement connue pour ses shoot'em ups et ses jeux de combat de grande qualité et plus particulièrement pour des jeux d'un sous-genre du shoot'em up, le « "danmaku" » (appelé également « manic shoot » : shoot’em up moderne dont le champ de jeu est parsemé et envahi de tirs ennemis qu'il faut éviter en slalomant).


title: Eighting

text: Eighting continuera à utiliser le matériel d'arcade conçu par Toaplan, au-delà même de la disparition de la société.


title: Eighting

text: Le 15 mars 1993, la société Eighting Co., Ltd. est établie à Ōta (Tōkyō), dans le but de développer, fabriquer, puis vendre des jeux vidéo. Dès le mois de mai, "Sorcerer Striker" (un shoot them up), le premier jeu de la société est commercialisé.


title: Eighting

text: Près d'un an plus tard, en décembre 1994, Eighting propose son premier jeu vidéo pour console de salon.


title: Eighting

text: Fort du savoir-faire acquis chez Toaplan, la société va produire des jeux de très bonne qualité, tout au long de son histoire. En 1996, elle lance des jeux maintenant célèbres comme "Bloody Roar", un jeu de combat en 3D, aussi bien sur console qu'en arcade, "Battle Garegga", un shoot'em up, ou "Armed Police Batrider" sortit en 1998.


title: Eighting

text: C'est en l'an 2000 que 8ing s'attaque au marché des jeux sur téléphone mobile. Durant le mois d'octobre, elle fait l'acquisition de la société "Rising Co., Ltd." (qui est renommée "Raizing") et Logic & Magic Ltd, puis s'établit à Shinagawa (Tōkyō) au mois de novembre. "Brave Blade" voit le jour sur Sony ZN-1, ainsi que "Dimahoo" sur CP System II.


title: Eighting

text: En 2001, la filiale Raizing est complètement intégrée dans Eighting. Shinobu Yagawa, designer et développeur d'un bon nombre de titres estampillés Raizing comme "Battle Garegga" ou "Battle Bakraid", part de la société pour rejoindre l'équipe Cave .


title: Chimelong Paradise

text: Chimelong Paradise est un parc d'attractions situé dans le district de Panyu, à Canton, dans la province de Guangdong, en République populaire de Chine. Il fait partie du complexe de loisirs Guangzhou Chimelong Tourist Resort.


title: Chimelong Paradise

text: Ouvert le , Chimelong Paradise est dirigé par la société de tourisme Chimelong Group. Cette dernière dirige également Chimelong International Circus et Chimelong Safari Park.


title: Chimelong Paradise

text: En 2009, le canton de Guangzhou abrite le Chimelong Group, un trio de parcs de loisirs, en l'occurrence un parc safari, un parc d'attractions et un parc aquatique. Ce dernier, Chimelong Water Park, est le parc aquatique le plus populaire de Chine. Le site propose aussi un complexe hôtelier avec un hôtel de ainsi que d'autres installations, le tout dans une moindre mesure que les propriétés à Orlando, en Floride.


title: Chimelong Paradise

text: En 2014, la société Chimelong Group entre à la place des dix plus importantes sociétés de parcs de loisirs. Avec une augmentation de 59,9 %, le nombre de touristes du groupe passe de en 2013 à en cette année.


title: Ordre de la Vérendrye

text: L'Ordre de la Vérendrye est la plus haute distinction décernée à Trois-Rivières (Québec, Canada). Cet Ordre a été institué par le Conseil municipal de la Ville de Trois-Rivières en 1985, au moment du tricentenaire de la naissance du sieur de La Vérendrye, considéré comme le plus illustre citoyen de cette ville.


title: Ordre de la Vérendrye

text: Le but de l'Ordre de la Vérendrye est de souligner l'action méritoire et exemplaire de personnes qui ont contribué au mieux-être de leurs concitoyens et au rayonnement de la ville. Est éligible toute personne qui a œuvré dans l'action bénévole sur le territoire de Trois-Rivières. Il s'agit, somme toute, de couronner une vie consacrée à l'action communautaire ou d'encourager un bénévole dont l'engagement s'avère hors de l'ordinaire. Les candidats ne doivent cependant pas être déjà récipiendaires de l'Ordre du Canada ou de l'Ordre national du Québec, ni occuper des postes de l'administration municipale, provinciale ou nationale.


title: Ordre de la Vérendrye

text: Les candidatures sont proposées par des citoyens ou des organismes. Elles sont ensuite examinées par un comité de sélection formé de membres du Conseil municipal, qui fait des recommandations au maire. L'Ordre est décerné à l'automne de chaque année lors d'une cérémonie civique.


title: Date de valeur

text: La date de valeur est, dans le système bancaire, la date de prise en compte d'une opération bancaire donnée (paiement de chèque, prélèvement bancaire), que celle-ci soit au du compte bancaire.


title: Date de valeur

text: Elle diffère de la date d'opération (date de l'enregistrement comptable).


title: Sabrina Johnson

text: Sabrina Johnson, née le à Leigh, Greater Manchester, est une actrice de films pornographiques anglaise et écrivain. Elle commence en 1995 dans l'industrie du X à l'âge de 18 ans.


title: Sabrina Johnson

text: Elle devient connue grâce au film "Gangbang 2000" tourné en deux jours (28 et ), au cours duquel elle prétendit avoir eu 2000 rapports sexuels. Sabrina a joué dans d'autres films du même genre comme "Gang bang Angels 3" et "Gangbang Girl 18".


title: Sabrina Johnson

text: Sabrina Johnson a écrit la biographie de Jack McGurn en 2005 sous le nom d'Amanda J. Parr.


title: Natalia Gousseva (actrice)

text: Natalia Evguenievna Mourachkevitch (en ), née Natalia Gousseva () à Moscou le , est une actrice soviétique. Elle est devenue célèbre à l'âge de douze ans après la sortie du feuilleton télévisé "L'Invitée du futur" (1984).


title: Natalia Gousseva (actrice)

text: Natalia Gousseva est née le à Moscou. Son père, Evgueni Aleksandrovitch Goussev, est ouvrier, et sa mère, Galina Makarovna Gousseva, est médecin-thérapeute. Natalia est scolarisée à l'école n° 692 de Moscou depuis 1979. Sa première apparition à l'écran a lieu sous la direction de Viktor Volkov, dans le rôle d'écolière dans le court métrage éducatif pour enfants "Opasnye pustiaki" (1983), destiné à familiariser les tout petits avec le code de la route. Sur le doublage de son rôle au Studio Gorki, Natalia attire l'attention de l'un des assistants de Pavel Arsenov, qui cherchait une fille pour le rôle d'Alice Selezneva pour son téléfilm "L'Invitée du futur" adapté du cycle de science fiction de Kir Boulitchev "Les Aventures d'Alice". L'interprétation du personnage d'Alice a rendu Natalia extrêmement populaire. Ensuite, elle a participé à trois autres films : "La Course du siècle" (1986), "Le Globe couleur lilas" (1987) et "Volonté de l'Univers" (1988), qui sont passés complètement inaperçus au box-office.


title: Natalia Gousseva (actrice)

text: Après avoir terminé ses études secondaires en 1989, Natalia entre à l'université technologique de Moscou au département de biotechnologie, dont elle sort diplômée en 1994. Elle travaille comme chercheuse à l'Institut de recherche Gamaleïa d'épidémiologie et de microbiologie et devient l'un des chefs du département de diagnostic dans le domaine des maladies infectieuses.


title: Natalia Gousseva (actrice)

text: En 2007, sur la chaîne NTV l'un des épisodes de l'émission "Le Personnage principal", présenté par Anton Khrekhov, est consacré à la série "La Visiteuse du futur" et aux destins des enfants acteurs y ayant joué.


title: Natalia Gousseva (actrice)

text: En 2009, Natalia renoue brièvement avec le cinéma et la télévision, prêtant sa voix au personnage de dessin animé "L'Anniversaire d'Alice" et en incarnant une présentatrice dans la série télévisée "Fonderie" (épisode de la saison "Face").


title: Natalia Gousseva (actrice)

text: En 1993, elle a épousé Denis Anatolievitch Mourachkevich, dont elle a divorcé en 2001. Elle a une fille, Alessia (), née le .


title: Natalia Gousseva (actrice)

text: Le 18 juillet 2013, elle épouse Sergey Lvovich Ambinder (né le 6 avril 1975), designer, directeur artistique de la fondation caritative Rusfond, dirigée par son père, Lev Sergeyevich Ambinder. Leur fille, Sofia Ambinder, naît en février 2013.


title: Mars Audiac Quintet

text: Mars Audiac Quintet est le troisième album de Stereolab, sorti en août 1994.


title: Mars Audiac Quintet

text: Les chansons composant ce disque ont une tonalité plus pop que sur les précédents, ce qui fait que beaucoup de critiques considèrent cet album comme l'un des plus accessibles du groupe.


title: Toto Brothers Company

text: La Toto Brother's Company est un duo d'auteurs de bande dessinée composé de deux frères dont l'un écrit et l'autre dessine. Toto, celui qui dessine, est aussi sculpteur.


Le Prix du jeune écrivain de langue française est un prix littéraire créé en 1984 et décerné annuellement par l’association "Le Prix du jeune écrivain" à des auteurs de nouvelles, âgés de 15 à .Apprenant que le Prix Goncourt vient d’être attribué à Marguerite Duras (alors âgée de 70 ans) pour son roman "L’Amant, "et se rappelant que la volonté des Goncourt était à l’origine de soutenir les jeunes romanciers, Marc Sebbah (enseignant au lycée Pierre-de-Fermat à Toulouse, alors président de l’Union laïque de Muret) et Henri Beulay (journaliste à la "Dépêche du Midi") décident de créer un prix littéraire qui soit « une incitation pour le plus grand nombre de jeunes auteurs à écrire et leur permette ainsi d’être lus et, pour les meilleurs d’entre eux, édités. »


title: Prix du jeune écrivain de langue française

text: Dès le départ, ce nouveau prix obtient le soutien d’écrivains reconnus. José Cabanis, futur membre de l’Académie française, accepte en 1985 de faire partie du premier jury présidé par Roger Vrigny, prix Femina, éditeur et producteur de l’émission "Lettres ouvertes "sur France-Culture.Le Prix du Jeune écrivain, né au sein de l’Union laïque de Muret, se constitue en 1991 en une association indépendante Loi 1901. Elle est toujours domiciliée à Muret et affiliée à la Fédération des œuvres laïques de la Haute-Garonne, aujourd’hui Ligue de l'enseignement 31.La même année, à la demande des lauréats, est décidée la création d’ateliers d’écriture. Ils sont ouverts à tous, encadrés par des écrivains de renom. Ils ont lieu dans le Gers jusqu’à l’été 2010 où ils rejoignent la ville de Muret. En même temps se déroule un ensemble de spectacles de théâtre, musique et poésie gratuits organisés par le PJE en partenariat avec la ville de Muret : les Soirées des Bords de Louge.Grâce au soutien de l’Organisation internationale de la francophonie et à celui des services culturels des Ambassades, les informations relatives au prix peuvent enfin atteindre les jeunes du monde entier. Les candidatures en provenance de l’étranger augmentent jusqu’à presque égaler en nombre les candidatures en provenance de France. Les deux prix (PJE et PJEF) fonctionneront en parallèle jusqu’en 2007. Sensible aux arguments développés dans le manifeste "Pour une littérature-monde en français", le PJE décide de fusionner ses branches française et francophone, il est le premier prix à le faire. Il devient ainsi le Prix du jeune écrivain de Langue Française sans aucune distinction entre la France, la francophonie et le reste du monde. Il n’y a plus qu’un seul palmarès.


text: Cette même année, le Conseil régional de Midi-Pyrénées crée le Prix Claude-Nougaro afin d’encourager les talents créatifs des jeunes de la région (15/25 ans). Depuis 2007, le PJE a assuré chaque année la présélection des œuvres dans la catégorie « écriture de fiction ».La remise des prix annuelle a désormais lieu la dernière semaine de mars (proclamation du palmarès au Salon du Livre puis cérémonie officielle de remise du prix au théâtre municipal de Muret). Elle donne lieu chaque année à une douzaine de rencontres des écrivains du jury avec les élèves des lycées et collèges, et le public des médiathèques de la région. 80 écrivains et personnalités du monde de la littérature signent l’appel en faveur du PJE.


text: 4 comédiens – Thierry Hancisse, Coraly Zahonero, Françoise Gillard, Michel Vuillermoz – de la Comédie-Française célèbrent la fête du Trentenaire par des lectures de textes de lauréats et d’écrivains du jury au Théâtre du Vieux-Colombier.


text: 2016. Marc Sebbah, fondateur et président du prix pendant 32 ans quitte ses fonctions en .


text: Dominique Barthe Coll vice-présidente devient présidente par intérim avant d'être officiellement élue présidente


text: Le Prix du Jeune Écrivain a été reconnu, par décret en date du publié au Journal officiel du , comme établissement d’utilité publique, et ses statuts approuvés par le même décret. 2021 – Didier Kimmoun devient président du Prix du Jeune Écrivain.


text: En 36 ans, le Prix du Jeune Écrivain :


text: Dès sa création en 1984, le Prix du Jeune Écrivain s’est adressé à tous les jeunes francophones, français ou non-français, et dès les premières années, il a récompensé de jeunes auteurs étrangers. Mais ce n’est qu’en 1997 que le prix atteint sa dimension internationale. Aujourd’hui, le palmarès compte autant de lauréats étrangers que de lauréats français.


text: Quant au jury, il réunit chaque année des nouvellistes, des romanciers, ou des poètes de renom, venus d’horizons divers. La parité y est respectée.


text: Depuis 36 ans, le Prix du Jeune Écrivain a réuni, dans ses jurys successifs, plus de 130 écrivains et a accueilli entre autres Sylvie Germain, René Depestre, Tahar Ben Jelloun, Alain Mabanckou, Erik Orsenna, Danièle Sallenave…


text: Le jury du 36e Prix du Jeune Écrivain de Langue Française est présidé par Alain Absire et composé d’Alain Absire, Mohammed Aïssaoui, Ingrid Astier, Christiane Baroche, Georges-Olivier Châteaureynaud, Mercedes Deambrosis, Ananda Devi, François-Henri Désérable, Arthur Dreyfus, Dominique Fabre, Frédéric Ferney, Sorour Kasmaï, Michel Lambert, Carole Martinez, Bernard Quiriny, Sami Tchak et Minh Tran Huy.


text: Chaque année, de France et de l’étranger, arrivent au PJE près de 1000 textes. Ces textes enregistrés et mis sous anonymat font l’objet d’un double circuit de lecture.


text: À l’issue des délibérations du jury en septembre, l’écrivain membre du jury qui a particulièrement aimé une nouvelle devient le « parrain » de son jeune auteur afin de lui prodiguer des conseils et de lui suggérer des adaptations et amendements en vue de l’édition.


text: Contrairement à la plupart des prix littéraires, le PJELF ne récompense pas une œuvre publiée mais un certain nombre de manuscrits inédits (environ 12 chaque année). Ainsi l’édition devient-elle pour les jeunes lauréats le premier et le plus important des cadeaux. Les recueils réunissant les textes primés ont été publiés successivement par Le Monde Éditions à partir de 1989, le Mercure de France à partir de 1998 et les éditions Buchet/Chastel depuis 2007. La parution a lieu au mois de mars.


title: Junges Klangforum Mitte Europa

text: Le Junges Klangforum Mitte Europa (Young Sound Forum of Central Europe) est un orchestre de jeunes européen trinational, formé de musiciens de Pologne, République tchèque et Allemagne.


title: Junges Klangforum Mitte Europa

text: Le but du Junges Klangforum Mitte Europa est de vivifier le paysage culturel de la Pologne, de la République tchèque et de l'Allemagne. L'orchestre réunit des jeunes musiciens des trois pays pour des concerts en des lieux porteurs d'une signification historique. En dehors du répertoire classique, le Junges Klangforum Mitte Europa s'est consacré à la musique du , surtout aux œuvres de compositeurs persécutés par le National-Socialisme. L'orchestre cherche à contribuer à la réconciliation et au dialogue entre la Pologne, la République tchèque et l'Allemagne.


title: Junges Klangforum Mitte Europa

text: L'orchestre a été fondé en 2002 par le chef d'orchestre Christoph Altstaedt et le manager culturel Holger Simon (gérant de 2002 à 2007). Il fut tout d'abord composé d'anciens membres du Bundesjugendorchester (Orchestre allemand des jeunes) et a donné des concerts sous le nom « Junges Deutsches Klangforum ». À la suite d'un projet avec de jeunes musiciens tchèques à Terezín, est née l'idée d'un partenariat à long terme entre les deux pays. Le Junges Klangforum Mitte Europa a donc été fondé peu après à l'initiative de Richard von Weizsäcker. Les parrains de l'orchestre sont Richard von Weizsäcker, Lech Wałęsa et Václav Havel.


title: Junges Klangforum Mitte Europa

text: L'orchestre a été récompensé par le Praemium Imperiale en 2004, le Prix Marion Dönhoff en 2005, et le Prix Européen des Orchestres de Jeunes en 2006 pour ses prestations musicales et sa participation au rapprochement des peuples.


title: Junges Klangforum Mitte Europa

text: Le chef d'orchestre et directeur artistique est Christoph Altstaedt. Parmi les chefs invités on compte, entre autres, Krzysztof Penderecki, Sebastian Weigle et Muhai Tang. Le Junges Klangforum Mitte Europa a effectué des tournées de concerts en Europe et au Japon.


title: Alfred Kirchhoff

text: Alfred Kirchhoff, né en 1838 à Erfurt, et mort en 1907 à Leipzig, est un géographe allemand.


title: Alfred Kirchhoff

text: Il enseigna de 1873 à 1907 à Halle, et dirigea la collection "Unser Wissen von der Erde" (1884-1893).


title: Temple de Hoysaleśvara

text: Le Hoysaleśvara à Halebîd, en Inde est un double temple Hindou dédié à Shiva et à la déesse Pârvatî, construit au par le souverain de la dynastie Hoysala Vishnuvardhana. Il est célèbre pour la finesse de ses sculptures.


title: Temple de Hoysaleśvara

text: Une stèle retrouvé à proximité du temple mentionne la donation, en 1121, de terrains pour l'entretenir. Sa construction, qui a duré près de 80 ans, est achevée sous le règne de Narasimha (1142-1173) comme l'indique une inscription sur le linteau de l'entrée sud. Il reste cependant incomplet. Les deux temples sont de plans comparables, en forme de croix, reliés entre eux, chacun étant gardé par un taureau ("Nandi"). Ils sont richement décorés de sculptures de dieux et de déesses, comme de scènes mythologiques tirées du "Mahābhārata".


title: Algèbre géométrique

text: En mathématiques, l’algèbre géométrique regroupe des méthodes géométriques, utilisées par les Grecs de l'Antiquité, pour établir des résultats maintenant classés dans la branche mathématique appelée algèbre. Ces techniques permettent la mise en évidence des propriétés élémentaires de la multiplication, d’effectuer des calculs comme la somme des premiers nombres entiers, ou impairs. Elles permettent d’établir des résultats comme des identités remarquables ou de résoudre une équation du second degré. L’algèbre géométrique fournit aussi des méthodes de résolution plus complexes, comme celles qui montrent l’existence de nombres irrationnels.


title: Algèbre géométrique

text: Si ces méthodes sont anciennes et correspondent à une vision des mathématiques qui n'est plus la nôtre, elles sont toujours utilisées dans l’enseignement, soit pour donner des preuves simples de certains résultats, soit pour développer une conscience intuitive de résultats qu'une présentation algébrique rendrait plus abstraits.


title: Algèbre géométrique

text: Le terme « algèbre géométrique » provient d’un livre de l’historien des sciences Hieronymus Georg Zeuthen écrit en 1902. Il est popularisé par Paul Tannery l'année suivante. Les livres II et VI des "Éléments" d'Euclide en forment le cœur. Si une lecture contemporaine permet d'interpréter de manière algébrique les résultats démontrés ainsi, tel n'était néanmoins pas la lecture des Grecs qui n'avaient pas découvert les principes fondateurs de l'algèbre. Pour cette raison, cette lecture apocryphe de la science grecque est parfois critiquée.


title: Algèbre géométrique

text: L'expression « algèbre géométrique » est aussi utilisée en mathématiques pures, elle correspond alors à un concept moins élémentaire. Elle désigne une branche contemporaine des mathématiques consistant à associer une géométrie à une structure d'algèbre. Cet aspect est traité dans l'article Algèbre géométrique (structure). Les termes géométrie algébrique désignent une branche différente des mathématiques, constituée d'un savoir essentiellement acquis aux et toujours d'actualité en recherche mathématique.


title: Algèbre géométrique

text: On peut remarquer que 4 × 3 est égal à 3 × 4 et, de manière plus générale .


title: Algèbre géométrique

text: Pour se persuader de l’exactitude de ce résultat, on peut considérer des petits carrés, tous de même dimension, assemblés en rangées de 3. En accolant verticalement 4 rangées de 3, on obtient un rectangle de base 4 côtés de petits carrés et de hauteur 3. Ce rectangle, illustré sur la figure de gauche, contient 4 × 3 = 12 petits carrés. Appliquer un quart de tour au rectangle ne modifie pas le nombre de petits carrés le composant, ce qui montre que le résultat de 4 × 3 correspond au nombre de petits carrés composant le rectangle associé à l’opération 3 × 4. Ce résultat ne dépend pas des valeurs 3 et 4, on peut choisir deux nombres entiers quelconques que l’on peut noter "a" et "b". L’égalité qui s’écrit de la manière suivante traduit ce que l’on appelle la commutativité de la multiplication : formula_1. La commutativité de la multiplication n’est pas l’unique propriété s’illustrant à l’aide de la géométrie. La figure de droite peut se lire de deux manières différentes. Tout d’abord, le grand rectangle est la somme des aires des rectangles bleus et rouges. Le raisonnement précédent montre que son aire est égale à 9 × 3 + 9 × 4. On peut le voir aussi comme un unique rectangle, s'il l'on ne tient pas compte des couleurs, d’aire égale à 9 × (3 + 4). Ces deux écritures correspondent donc au même nombre. Une fois encore, le résultat est vrai non seulement pour les nombres 9, 3 et 4, mais aussi pour n’importe quel ensemble de trois nombres, que l’on peut noter "a", "b" et "c". On obtient le résultat suivant, appelé distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. formula_2.


title: Algèbre géométrique

text: Ainsi, l'usage de la géométrie et plus spécifiquement le calcul des aires permet d'établir certaines propriétés de la multiplication. Ce principe est la base de l'algèbre géométrique.


title: Algèbre géométrique

text: Pour faire de la géométrie, les nombres entiers ne suffisent pas toujours. Une longueur peut être égale à la moitié d'une autre. Les Grecs ont donc été amenés à établir les règles opératoires régissant les fractions. Une fois encore le calcul des aires est utile. Pour illustrer cette approche, cherchons à additionner 1/6 et 4/9. Considérons pour cela un rectangle dont l’aire est égale à 1. On choisit deux quadrillages qui décomposent le rectangle en petits rectangles identiques. On choisit ces quadrillages compatibles, c'est-à-dire que la superposition des quadrillages est encore un quadrillage en petits rectangles tous identiques, comme l’illustre la figure ci-dessous :


title: Algèbre géométrique

text: La première représentation du rectangle montre que la fraction 1/6 est représentée par un quadrillage découpant le rectangle en 6 petits rectangles, la superposition des quadrillages en crée 18 et 1/6 = 3/18. On obtient finalement les égalités : formula_3.


title: Algèbre géométrique

text: D'une manière générale, si "a", "b", "c", et "d" sont des nombres entiers tels que ni "b" ni "d" ne sont nuls, alors : formula_4.


title: Algèbre géométrique

text: L’article détaillé montre comment la démarche permet de déterminer toutes les règles opératoires des fractions.


title: Algèbre géométrique

text: À l’aube des mathématiques grecques et jusqu’au mathématicien Pythagore, l’on pensait que toutes les longueurs pouvaient s’exprimer par ce que l’on appelle maintenant des fractions, ce que Tannery exprime de la manière suivante : . Ces mathématiciens en conclurent que, pour étudier une figure géométrique, l'on pouvait toujours choisir une longueur unité telle que tous les segments représentés sur la figure aient des longueurs qui s’expriment comme des nombres entiers. La figure de droite illustre cette situation. Elle représente deux segments de longueur 4/3 et 3/2, si l'unité choisie est indiquée par la graduation bleue. L'unité de la graduation rouge est de longueur le sixième de la bleue, avec la graduation rouge, les longueurs sont entières et égales à 8 et 9.


title: Algèbre géométrique

text: Cette remarque et certaines figures géométriques permettent d’établir des résultats sur les nombres entiers, résultats qui entrent dans la branche mathématique appelée arithmétique. Zeuthen considère ces techniques comme de l’"arithmétique géométrique". Il estime que c'est une branche de l’algèbre géométrique car les démarches sont analogues.


title: Algèbre géométrique

text: Pour faire de l'arithmétique géométrique les représentations sont de même nature que celle du paragraphe "Nombre entier", mais il est possible de les simplifier. Les Grecs avaient remarqué que tracer les rectangles était inutile. Les pastilles à l’intérieur des carrés, qui étaient alors des galets, suffisaient. La méthode consiste à représenter un nombre à l'aide d'un assemblage de pastilles selon une figure géométrique. L'association du nombre et de la figure est appelée un nombre figuré. Celle utilisée au paragraphe précédent pour représenter 12 est appelée nombre rectangle. Il existe plusieurs figures cataloguées.


title: Algèbre géométrique

text: En accolant deux triangles égaux comme sur la figure ci-contre, on obtient un rectangle dont la longueur est d'une unité supérieure à sa largeur (son aire est appelée un nombre oblong). L'article détaillé montre qu'on en déduit la formule suivante :


Algèbre géométrique


title: Algèbre géométrique

text: Un nombre carré est un nombre égal à un certain entier multiplié par lui-même. Par exemple, 9 est un nombre carré car 3 × 3 = 9. Il se présente de manière figurée comme un carré. Pour établir la liste des premiers carrés, l’arithmétique géométrique peut être utile. On suppose, par exemple, connue la liste jusqu’à 7 × 7 = 49. Pour trouver la valeur du carré suivant, de côté 8, on raisonne à l’aide de la figure de gauche. Le nombre 8 × 8 peut être vu comme la somme de 7 × 7 correspondant aux billes rouges, de 7 correspondant aux billes vertes et 8 correspondant aux billes bleues. De manière générale, on dispose de l’égalité : formula_6.


title: Algèbre géométrique

text: Établir la liste des premiers nombres carrés est un vieil exercice, déjà réalisé par les mésopotamiens. À cette époque, la numération était en base 60. Réaliser des multiplications comme nous le faisons maintenant aurait supposé d’apprendre les tables de multiplication jusqu’à 60, exercice de mémorisation difficile et que l’on n'imposait pas aux écoliers mésopotamiens. Les tables de carrés, qui existaient alors, étaient bien utiles. Par exemple, la multiplication de 15 par 29 donne : formula_7.


title: Algèbre géométrique

text: Les Grecs héritèrent du savoir mésopotamien et ajoutèrent leur propre interprétation qui leur permit de trouver d’autres résultats. Ils avaient remarqué que, si le côté d'un nombre carré est pair, le nombre carré l'est aussi, car il se décompose en la somme de deux nombres rectangles égaux dont la base est égale à deux fois la hauteur. La logique géométrique permet de comprendre que si le côté est de longueur impair, l’aire l’est aussi. La figure de droite l’illustre sur l’exemple 15 × 15. La représentation du nombre carré montre qu’il est somme d’un carré, en rouge sur la figure, qui est pair (il est composé d’autant de pastilles claires que foncées), d’un nombre pair (les pastilles bleues, qui sont graphiquement divisées en deux parties égales) et d’une pastille verte, isolée. Ainsi 15 × 15 est la somme d’un nombre pair (les pastilles rouges et les bleues) et de 1, ce qui est un nombre impair.


title: Algèbre géométrique

text: À l’aide de la figure permettant de calculer la liste des carrés, les Grecs définirent un nouveau nombre figuré, le nombre gnomon. Les pastilles bleues de la figure de gauche correspondent à un nombre gnomon : 9. Cette figure de gauche montre qu’un carré est formé d'une suite de nombres gnomons, correspondant à la suite des premiers nombres impairs. Ce que l’on peut encore traduire par l’égalité : formula_8.


title: Algèbre géométrique

text: Ce résultat permet de construire des triplets pythagoriciens si, comme sur la figure de gauche, le dernier gnomon est un carré parfait. L’égalité issue de cette figure s’écrit : formula_9.


title: Algèbre géométrique

text: Or la somme des nombres entre parenthèses correspond à un nombre carré ; l’égalité s’écrit encore : formula_10.


title: Algèbre géométrique

text: Cette observation permet de construire des séries de trois nombres "a", "b" et "c", vérifiant "a" + "b" = "c", que l’on appelle triplet pythagoricien. À l'aide du théorème de Pythagore, il devient possible de construire des triangles rectangles (à côtés entiers). Si, au lieu de choisir une largeur 1 pour le gnomon, on lui attribue une largeur quelconque, on peut trouver une méthode qui donne tous les triplets pythagoriciens. Elle est proposée dans le livre X des "Éléments" d'Euclide.


title: Algèbre géométrique

text: Les nombres cubiques sont construits comme les carrés, à la différence que cette fois-ci le nombre représente le volume et non la surface. Les quatre premiers nombres cubiques sont 1 =  1, 8 =  2, 27 =  3 et 64 =  4. Le raisonnement suivant montre que la somme des premiers nombres cubiques est toujours un nombre carré.


title: Algèbre géométrique

text: Dans la figure ci-contre, le côté du plus grand carré a pour longueur le nombre triangulaire Ce carré est décomposé en une somme de gnomons dont la largeur vaut 1, puis 2, puis 3, puis 4. Calculons l'aire du dernier. Cette zone orange est composée d'un carré de côté 4 et de deux rectangles de largeur 4 et de longueur L'aire du gnomon est donc égale à


title: Algèbre géométrique

text: Ce raisonnement est vrai pour tous les nombres gnomons de la figure : le raisonnement précédent montre que le "n"-ième vaut formula_11.


title: Algèbre géométrique

text: On en déduit que la somme des "n" premiers nombres cubiques est le carré du "n"-ième nombre triangulaire.


title: Algèbre géométrique

text: À l'époque de Pythagore, il est probable que les Grecs savaient construire rigoureusement un pentagone régulier. A priori, cette construction semble ne concerner que la géométrie, et c'est ainsi que les Grecs le concevaient. Une lecture moderne indique que cette question est intimement liée à la résolution d'une question algébrique, à savoir la résolution d'un problème du second degré.


title: Algèbre géométrique

text: Construire cette figure suppose la connaissance des proportions du triangle isocèle formé par deux côtés adjacents du pentagone. Si l'on choisit l'unité égale à la longueur d'un côté et si φ désigne la base du triangle, qui correspond à une diagonale du pentagone, la proportion s'exprime de la manière suivante : formula_12.


title: Algèbre géométrique

text: Du point de vue grec sous la forme (1), la question posée est géométrique, c'est celle de la détermination d'une proportion, qu'Euclide appelle "d'extrême et de moyenne raison". Du point de vue moderne et sous la forme (2), la question posée est algébrique, c'est celle de la résolution d'une équation du second degré ayant pour unique solution positive le nombre d'or. Il est possible qu'Hippase de Métaponte, l'auteur probable de la construction, ait utilisé une méthode importée de Babylone, une fois encore à base d'un gnomon.


title: Algèbre géométrique

text: L'égalité φ = φ + 1 directement issue de l'égalité (1) se lit de la manière suivante : un carré de côté φ possède la même aire qu'un rectangle de base φ + 1 et de hauteur 1, résultat représenté sur la figure de gauche. En retranchant au carré et au rectangle, l'aire d'un gnomon du hauteur φ et de largeur 1/2, on remarque qu'un carré de côté φ – 1/2 possède une aire égale à la somme de celle d'un carré de côté 1 et de celle d'un carré de côté 1/2. Obtenir la longueur φ devient aisé avec le théorème de Pythagore, elle est construite sur la figure de droite.


title: Algèbre géométrique

text: Soit "ABC" trois sommets consécutifs d'un pentagone régulier de côtés de longueur 1. Un polygone convexe de "n" côtés a, pour valeur de la somme de ses angles, ("n" – 2) × 180°, soit pour un pentagone 540°. Comme celui étudié ici est régulier, l'angle "ABC" est de mesure 540° / 5 = 108°. Les deux autres angles "BCA" et "CAB" sont égaux car le triangle est isocèle. Comme la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°, les deux autres angles ont pour mesure 36°. On obtient le triangle de la figure de droite.


title: Algèbre géométrique

text: Si l'on trace la droite passant par "B" et divisant l'angle "ABC" de 108° en deux angles comme sur la figure de droite, l'un de 36° et l'autre de 72°, on divise le triangle initial en deux triangles isocèles "ABD" et "DBC". Une analyse des angles montre que le triangle "ABC" est semblable au triangle "ABD". Il est alors possible d'appliquer le théorème de Thales en remarquant que "AB" = 1, "AC" = "AD" + "DC" = φ et "BC" = "CD" = 1 car le triangle "DBC" est isocèle. Finalement : "AD" = φ – 1, et l'on obtient : formula_13. La résolution d'une équation du second degré, dans le cas général, se résout à l'aide de trois identités remarquables, développant les expressions ("a" + "b"), ("a" – "b") et ("a" + "b")("a" – "b"). Elles se démontrent à l'aide des propriétés algébriques de l'addition et de la multiplication. Pour les Grecs, ces résultats sont des vérités géométriques, qui se démontrent à l'aide d'un carré, en bleu sur la figure de droite et d'un gnomon, en vert et rouge.


title: Algèbre géométrique

text: Pour établir la formule suivante, on considère la figure de droite : formula_14.


title: Algèbre géométrique

text: La longueur bleue représente "a" et la rouge "b". L'expression ("a" + "b") est égale à l'aire du grand carré de côté "a" + "b". Il est possible de le décomposer en trois parties : la zone bleue, correspondant à un carré de côté "a" et d'aire "a"; la zone rouge, correspondant à un carré de côté "b" et d'aire "b" et la zone verte, correspondant à deux rectangles de longueur "a" et de largeur "b". Chaque rectangle de la zone verte est d'aire égale à "ab", la zone verte est d'aire 2"ab". On retrouve bien l'identité remarquable (1).


title: Algèbre géométrique

text: On établit de même l'identité : formula_15.


title: Algèbre géométrique

text: Cette fois-ci, la longueur bleue désigne "a" – "b" et la rouge "b". L'expression ("a" – "b") correspond maintenant à l'aire du carré bleu. L'aire du carré bleu peut être vue comme la différence entre le grand carré, maintenant de côté "a" et les deux zones vertes et la zone rouge. Le rectangle composé d'une zone verte et du carré rouge a pour aire "a.b". Si l'on retranche à l'aire du carré de côté "a" deux aires d'un rectangle de longueur "a" et de largeur "b", on trouve l'aire du carré bleu ôtée de celle du carré rouge, ce qui donne l'identité suivante, dont on déduit une égalité équivalente à (2) : formula_16.


title: Algèbre géométrique

text: L'identité (3) se démontre à l'aide de la même figure : formula_17.


title: Algèbre géométrique

text: On utilise les mêmes conventions que celles établissant l'identité (2). L'aire de la surface "a" – "b" correspond à l'aire du grand carré ôtée de l'aire du carré rouge, c'est-à-dire à l'aire du carré bleu additionnée à l'aire des deux rectangles verts. Le rectangle composée de la zone bleue et d'une zone verte correspond à un rectangle d'aire "a"("a" – "b"). Si l'on déplace un des deux rectangles verts pour le positionner de long du deuxième rectangle vert de manière à former un nouveau rectangle, on trouve un rectangle de longueur ("a" + "b")("a" – "b"). Ce rectangle est d'aire égale à celle du grand carré ôtée de l'aire du carré rouge, ce qui démontre l'identité (3).


title: Algèbre géométrique

text: Ainsi, toutes les identités remarquables utilisées pour résoudre des équations du second degré s'interprètent et se démontrent de manière géométrique. En conséquence, toutes les équations du second degré peuvent se résoudre de manière géométrique. Cette lecture, démontrant l'équivalence du contenu mathématique des identités remarquables avec un savoir géométrique présent dans le livre II des "Éléments" d'Euclide est l'œuvre de Zeuthen.


title: Algèbre géométrique

text: On recherche à résoudre l'équation suivante : formula_18.


title: Algèbre géométrique

text: La méthode s'inspire directement de calculs analogues à ceux permettant d'établir les identités remarquables. Elle est illustrée sur la figure ci-dessous. Dans un premier temps, on construit un carré de côté "a"/2. par hypothèse, ce carré est d'aire plus grande que "c". On retranche au carré, en bas à gauche un petit carré de telle manière que la surface rouge et violette soit d'aire exactement égale à "c".


title: Algèbre géométrique

text: Dans un deuxième temps, on remarque que la longueur "x" obtenue est aussi la hauteur du rectangle rouge de gauche. Il est donc possible de déplacer la zone violette sur la figure de droite et d'ajouter à gauche de cette figure un carré de côté "x". L'aire rouge et violette est, d'après la construction de la figure de gauche, égale à "c". Par construction, la figure de droite est d'aire égale à "c" + "x". Cette aire est aussi égale à "a.x", car la figure est un rectangle de base "a" et de hauteur "x", ce qui donne la solution de l'équation. Ce mode de résolution provient directement du livre II des "Éléments" d'Euclide.


title: Algèbre géométrique

text: Les Grecs finirent par s'apercevoir que leur postulat initial était faux. Toutes les longueurs ne s'expriment pas comme une fraction de deux nombres entiers. Une question, naturelle pour un pythagoricien, est la détermination de la fraction de nombres entiers décrivant la proportion entre une diagonale et son côté, pour un pentagone ou un carré. Ce rapport n'est pas une fraction de nombre entier. Les méthodes de l'algèbre géométrique sont adaptés pour appréhender cette question. En termes modernes, la question est algébrique car elle correspond à la nature d'une solution d'une équation du second degré.


title: Algèbre géométrique

text: Les Pythagoriciens développaient le culte du secret à propos de leurs savoirs, il est en conséquence difficile de connaître précisément quand, par qui et avec quelles méthodes la découverte puis la démonstration ont été faites. Plusieurs hypothèses sont imaginées et, à ce jour, aucune ne fait l'unanimité.


title: Algèbre géométrique

text: L'historien Kurt von Fritz émet l'hypothèse suivante : Hippase, après avoir trouvé comment construire le pentagone, aurait cherché à déterminer la section d'extrême et de moyenne raison, c'est-à-dire le rapport entre une diagonale et un côté d'un pentagone régulier. Il imagine que cette section est une fraction "n"/"m" de deux nombres entiers. Une procédure pour trouver ces valeurs "n" et "m" consiste à construire un rectangle de base "n" et de hauteur "m". On cherche à emplir ce rectangle de carrés de côté le plus grand possible. La première valeur du côté est "m" et on peut placer un unique carré, en rouge sur la figure.


title: Algèbre géométrique

text: Après avoir placé le carré rouge, la zone restante est un carré de côté "m" et "n" – "m". En multipliant par "n"/"m", on remarque que le carré est homothétique à un carré de hauteur "m" et de base "n". Ce résultat est une conséquence de l'égalité 1/(φ – 1) = φ. On en déduit que l'on peut ensuite placer un unique carré, en bleu foncé sur la figure et de côté "n" – "m". On en déduit surtout que la procédure ne s'arrête jamais !


title: Algèbre géométrique

text: Cette procédure, connue depuis les babyloniens sur le calcul du rapport entre la diagonale et le côté d'un carré, permet de donner une suite de fractions qui approxime de mieux en mieux la fraction φ. On obtient : 1, puis 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 ..., c'est-à-dire des fractions de plus en plus proches de φ, avec des numérateurs et des dénominateurs qui ne cessent de croître. Ce comportement n'a aucun sens, les dénominateurs ne devraient jamais dépasser "m". Les carrés rouge puis bleus ont nécessairement des côtés entiers. L'historien Maurice Caveing en conclut qu'il est raisonnable de penser que ces observations ont permis la réalisation d'une "révélation stupéfiante" : le fait que toutes les grandeurs ne sont pas des fractions.


title: Algèbre géométrique

text: Il existe d'autres manières de conclure à partir de la construction précédente. On suppose toujours que φ est un nombre rationnel, noté "n"/"m", et on construit un pentagone régulier de côté "m" et de diagonale "n". La figure de droite montre comment construire un nouveau pentagone, de côté "n" – "m" et de diagonale "m", le côté et la diagonale du nouveau pentagone sont toujours des entiers, mais cette fois-ci plus petits. L'on peut ainsi continuer indéfiniment. La suite des côtés forment alors une liste d'entiers positifs strictement décroissante et infinie, ce qui est impossible. Un tel raisonnement s'appelle en mathématique une descente infinie.


title: Algèbre géométrique

text: Il existe aussi une manière plus rapide et plutôt plus simple de conclure. Avec les mêmes hypothèses, on choisit, pour valeur de "n"/"m", une représentation irréductible, c'est-à-dire que "m" est la plus petite valeur que doit prendre le côté du pentagone pour que le diamètre soit de longueur entière. Le pentagone en rouge de la figure de droite montre qu'il est possible de construire un pentagone de côté "n" – "m" et de diagonale entière. Cette contradiction permet de conclure.


title: Algèbre géométrique

text: Il existe un consensus relativement vaste chez les historiens pour admettre qu'Hippase n'a pas pu terminer la démonstration. Par exemple, pour la descente infinie, Caveing remarque que : . Ainsi, Caveing pense qu'à la période d'Hippase, aucune "découverte scientifique fructueuse" n'était possible.


title: Algèbre géométrique

text: La logique présentée pour le pentagone s'applique aussi pour la diagonale du carré. On en retrouve des traces dans les livres d'Euclide. La preuve par la descente infinie se trouve dans le livre X, à la proposition 117. La démonstration que la fraction continue d'un nombre rationnel est finie se trouve dans le livre VII. Pour ce cas particulier, cet algorithme porte maintenant le nom d'algorithme d'Euclide. Il existe aussi une démonstration différente, encore présente chez Euclide, et citée par Aristote L'historien Oskar Becker montre que ce raisonnement est fondé sur un savoir archaïque des Grecs en matière d'arithmétique géométrique, elle est peut-être très ancienne. La méthode consiste à démontrer que .


title: Algèbre géométrique

text: Une reconstitution de la possible démonstration archaïque, à base arithmétique géométrique, s'appuie sur la figure de gauche. Elle procède encore par l'absurde. On considère le plus petit nombre carré de côté "a" somme de deux nombres carrés de côté "b". Le nombre carré de côté "a" est pair et donc "a" l'est aussi. Le côté "b" est impair, sinon, en choisissant une unité deux fois plus grande on trouverait une nouvelle valeur deux fois plus petite que "a", dont le carré est la somme de deux carrés. Par ailleurs, un carré de côté "b" possède la même aire qu'un rectangle de hauteur "a" et deux fois plus grande que sa base (en bleu sur la figure). Un tel rectangle est composé de deux nombres carrés, il est donc pair et le carré de côté "b" l'est aussi, ainsi que "b". Le côté "b" est un nombre à la fois pair et impair. Cette contradiction montre que "b" n'existe pas et termine la démonstration.


title: Algèbre géométrique

text: Une fois cette proposition démontrée, l'irrationalité de la racine carrée de deux s'obtient en appliquant le théorème de Pythagore à la figure de droite. S'il existait une unité telle que tous les côtés du triangle rectangle isocèle de la figure soient des nombres entiers, le résultat précédent serait faux.


title: Algèbre géométrique

text: Une conséquence de l'existence d'irrationnels est que les démonstrations des propriétés établies sur les fractions d'entiers en début d'article ne traitent pas le cas général. Cependant, l'usage de l'algèbre géométrique et une approche différente permet encore de démontrer qu'une fraction "b"/"c" est égale à ("a.b")/("a.c") si "a", "b", "c" sont trois nombres réels positifs tels que "a" et "c" soient non nuls.


title: Algèbre géométrique

text: Pour montrer ce résultat, on considère deux droites (noires sur la figure de droite) ayant comme intersection un unique point "A". On définit les points "B" et "C" tels que la distance "AB" soit égale à "b" et "AC" à "c". Les points "B" et "C" sont chacun sur une des droites, comme indiqué sur la figure. Le point "D" (resp. "E") se situe sur la droite "AB" (resp. "AC") et la distance "AD" (resp. "AE") est égale à "a.b" (resp. "a.c"). Le théorème de Thalès indique que les droites rouges sont parallèles et que : formula_19.


title: Algèbre géométrique

text: On peut ré-établir de la sorte toutes les lois régissant les quatre opérations sur les nombres quelconques. Ce travail est réalisé dans le livre VI des "Éléments" d'Euclide, qui pour cette raison est considéré comme de l'algèbre géométrique.


title: Algèbre géométrique

text: Toutes les démonstrations proposées dans cet article utilisent le principe de la mesure d'une ou de plusieurs aires. Cette règle est une caractéristique de l'algèbre géométrique et cette démonstration n'est pas une exception. La démonstration d'Euclide du théorème de Thalès se fonde sur le même principe.


title: Algèbre géométrique

text: Si les démonstrations ou illustrations précédentes sont toujours employées, de par leur simplicité et leur aspect intuitif, une construction rigoureuse des règles opératoires en algèbre, comme réalisée dans le livre VI, ne deviennent ni simples ni intuitifs.


title: Algèbre géométrique

text: Les concepts mathématiques grecs ne sont pas adaptés à un langage algébrique. Cette remarque est particulièrement vraie pour les périodes précoces, comme celle pythagoricienne. Un nombre est une collection de plusieurs unités ("un" n'est pas un nombre), il correspond chez nous à un entier positif strictement supérieur à un. Un ratio n'est pas un nombre, mais une comparaison de deux grandeurs. La notion de ratio prend un sens à l'aide de la proportion. Quatre grandeurs "a", "b", "c" et "d" sont en "proportion" si le ratio "a":"b" est égal au ratio "c":"d". L'unité est une grandeur physique élémentaire, comme une longueur ou une aire qui, associée à des nombres ou des ratios, permet d'exprimer les grandeurs présentes dans une figure géométrique. Dans les mathématiques hellénistiques, il n'existe pas véritablement de multiplication interne. La multiplication de deux longueurs donne l'aire d'une figure plane, la multiplication de deux nombres "a" et "b" correspond plus à l'addition itérée "a" fois du nombre "b" qu'à une véritable multiplication. La différence entre leurs concepts et notre formalisme complexifie la compréhension des mathématiques grecques. En conséquence, la présentation des idées mathématiques contenues dans cet article est, pour des raisons de simplicité de compréhension, fort loin d'un véritable traité d'époque, comme on le trouve chez Euclide de Mégare. Par exemple, l'usage du symbole 1 dans la détermination de la section d'extrême et moyenne raison ne ferait pas sens pour un Grec.


title: Algèbre géométrique

text: La deuxième difficulté provient de la rareté des sources avant Platon. Les sont presque vides en termes de traités mathématiques. Le savoir des historiens provient de sources postérieures de plusieurs siècles et pas toujours fiables, d'études précises sur la signification exacte de certains mots, que l'on retrouve aussi dans des textes non mathématiques, d'analyses archéologiques ou encore d'étude des importations d'autres civilisations. À l'aide de ces différentes indications, les historiens reconstruisent les démonstrations possibles et les placent dans leurs époques et leurs écoles respectives. Si, au fil du temps, l'ensemble des indices finit par donner une image cohérente et consensuelle dans les grandes lignes, de nombreux points de divergences, même sur des questions importantes, sont encore présents entre les différents spécialistes.


title: Algèbre géométrique

text: Dans son livre de 1902, Zeuthen présente le concept d'algèbre géométrique essentiellement pour décrire le livre II d'Euclide et remarquer qu'il est équivalent à la résolution d'une équation quadratique. Il ne prend pas particulièrement de précautions oratoires ; il prête à Euclide la volonté de : . Tannery est convaincu de la véracité des témoignages, nombreux même si souvent tardifs et peu fiables, attribuant la découverte des irrationnels à l'époque de Pythagore. Il pense que ce "véritable scandale logique" est à l'origine du "miracle mathématique" grec que sont les "Éléments" d'Euclide. Or, cette découverte ne peut avoir lieu que dans la mesure où la maîtrise des questions du second degré est suffisante. Ces questions relevant du domaine algébrique, le concept de Zeuthen lui semble fécond, et il l'adopte dès l'année suivante. Pour Tannery, ce qui a limité les Grecs dans la démarche n'est pas tant l'absence d'une pensée algébrique qu'un vocabulaire adapté, qu'ils ne possédaient pas : .


title: Algèbre géométrique

text: Si, à l'image de Heath, cette idée est souvent adoptée par les historiens de l'époque, elle suscite une première polémique dans les années 1920. La forme des mathématiques grecques est géométrique, en extraire une finalité algébrique n'est pas du goût de tous et Jacob Klein s'exprime ainsi : . Parler d'équations chez Euclide, comme le fait Zeuthen, laisse penser que les Grecs disposaient déjà d'une inconnue sur lequel ils pouvaient opérer algébriquement, à l'image d'Al-Khawarizmi. Or, une telle démarche n'existe pas avant Diophante.


title: Algèbre géométrique

text: Otto Neugebauer apporte, dans les années 1940, des arguments en faveur de la thèse de Zeuthen et Tannery. Ses études sur d'autres cultures mathématiques montrent que les Grecs de l'époque de Pythagore ont importé des techniques mésopotamiennes. Ce savoir se fonde sur des méthodes et des procédures de calcul (appartenant à la même famille que les fractions continues) permettant d'approximer des racines ou encore des méthodes de résolution de questions du second degré. Cette culture est "algébrique", au sens où elle se fonde sur des équivalents d'algorithmes (le mot sera inventé plus tard) dont l'objectif est calculatoire. À l'image de la construction de la section d'extrême et de moyenne raison, de nombreux travaux de l'école de Pythagore sont des traductions de résultats mésopotamiens dans le langage géométrique ionien. Le concept d"'algèbre géométrique" s'étend à cette branche de savoir, maintenant couverte par l'algèbre et qui se démontre chez les Grecs à l'aide de la mesure des aires. On y trouve la théorie des proportions, présente dans les livres V et VI qui décrivent des résultats maintenant contenus dans les axiomes d'un corps commutatif, des méthodes de résolution et d'analyse de la nature d'une solution d'une question de degré 2 présentes dans le livre II, ou encore l'application de l'algorithme d'Euclide à des proportions, dans le livre X, pour démontrer leur incommensurabilité. Elle contient aussi des démonstrations, déjà archaïques à l'époque d'Euclide, comme la théorie du pair et de l'impair.


title: Algèbre géométrique

text: Jusque dans les années 1970, les historiens n'hésitent plus à s'appuyer sur le concept de Zeuthen et Tannery, même si certains comme Wilbur Knorr utilisent des précautions oratoires. La polémique est alors relancée. remarque l'existence d'un schéma ordinaire, présent chez les Chinois, les Indiens, les Arabes ou encore les Européens, qui démarrent tous par de la géométrie pour atteindre, après un certain degré d'abstraction, une formalisation plus algébrique. Le schéma chez les Grecs serait alors inverse; à partir d'une conception d'orientation algébrique, héritée des Mésopotamiens, ils se seraient dirigés vers un système géométrique. Unguru n'imagine pas ce schéma réaliste. Cette position, qui imposerait selon lui une réécriture profonde de l'histoire des mathématiques grecques, est suivie par d'autres historiens comme Szabó.


title: Algèbre géométrique

text: La réplique est fournie par plusieurs spécialistes dont van der Waerden qui estime que Szabó attache une importance trop forte au formalisme, que le propre des méthodes pythagoriciennes exposées ici est leur nature calculatoire et algorithmique et qu'elles sont bien héritées des Babyloniens. Michael Sean Mahoney, qui partage l'opinion de van der Waerden, remarque que les mathématiciens fondateurs de l'algèbre, comme Al-Khawarizmi ou Viète, s'inspirent largement des textes d'Euclide pour bâtir leurs théories.


title: Algèbre géométrique

text: Malgré la polémique, de nombreux spécialistes comme Burkert, Itard ou Caveing font usage du concept. Si des historiens généralistes l'utilisent aussi pour des ouvrages de vulgarisation, l'expression est souvent attachée à une mise en garde comme : . L'usage du terme d'algèbre pour des mathématiques anciennes n'est pas tombé en désuétude. Si l'usage de l'expression "algèbre géométrique" dépasse parfois en histoire des sciences le contexte grec, le cas est suffisamment rare pour mériter d'être noté.


title: Algèbre géométrique

text: Si l'histoire de l'algèbre géométrique commence avec Pythagore, comme l'indique Maurice Caveing : . Pour cet auteur, l'école pythagoricienne hérite à la fois de l'école ionienne avec les travaux de Thalès de Milet et du patrimoine égyptien et mésopotamien. Les travaux de l'école de Thalès modifient déjà l'orientation des mathématiques grecques. Elle introduit la notion de preuve. Elles n'étaient surement pas aussi sophistiquées que celles que l'on trouve chez Euclide, cependant cette spécificité grecque est déjà présente, les différenciant de leurs prédécesseurs. Une deuxième spécificité des mathématiques ioniennes est son inclinaison à la géométrie. Les résultats prêtés à cette école sont, par exemple, le fait qu'un triangle isocèle possède deux angles égaux ou qu'un triangle de base le diamètre d'un cercle et dont le dernier sommet est situé sur le cercle est rectangle.


title: Algèbre géométrique

text: À la différence des Ioniens, la culture mésopotamienne est, à défaut d'être qualifiée d'algébrique, algorithmique. Les différentes tablettes qui nous sont parvenues montrent une mathématique sous forme de problèmes à résoudre. Celle notée "BM 13901", qui contient 24 questions du second degré, laisse penser à une aide géométrique pour guider dans l'algorithme utilisé. La tablette "YBC 7289" montre la connaissance du résultat de l'algorithme décrit dans cet article pour la découverte de l'irrationalité de la section d'extrême et de moyenne raison, mais cette fois-ci appliqué à la diagonale d'un carré. Tous les ingrédients pour découvrir l'irrationalité sont présents.


title: Algèbre géométrique

text: L'école pythagoricienne cultive le culte du secret, à propos de son savoir. Il est donc difficile d'en connaître exactement la teneur, de dater précisément et d'associer un nom aux différents progrès. C'est néanmoins à cette école que l'on doit la naissance de l'algèbre géométrique grecque. Cette école hérite du savoir babylonien, ainsi que de l'orientation vers la géométrie et les démonstrations des Ioniens. Cette fusion des savoirs apporte un résultat nouveau : l'algèbre géométrique qui, à cette époque, se limite encore largement à de l'arithmétique géométrique.


title: Algèbre géométrique

text: La science mésopotamienne apporte la puissance du calcul. Elle permet en géométrie un progrès que n'avaient probablement jamais réalisé les Égyptiens ou les Mésopotamiens. Un exemple est donné par les premières démonstrations partielles du théorème de Pythagore, que l'on attribue généralement à cette époque. Elle ne s'applique que dans le cas où les côtés sont commensurables — c'est-à-dire où le triangle correspond à triplet pythagoricien — et utilise un quadrillage typique de l'arithmétique géométrique, illustré sur la figure de gauche. Dans cet exemple on cherche à trouver l'aire du carré en divers bleus, de côté l'hypoténuse d'un triangle rectangle, dont les autres côtés sont de longueurs 3 et 4. Le regroupement deux à deux des triangles intérieurs au carré bleu permet de conclure.


title: Algèbre géométrique

text: La puissance de la démarche les amène à l'appliquer dans des cas de longueurs incommensurables, sans nécessairement avoir conscience d'une possible incommensurabilité. La construction du pentagone impose la détermination de la section d'extrême et de moyenne raison, qui correspond à une question du deuxième degré. Les procédures calculatoires mésopotamiennes sont à même de venir à bout de cette difficulté. Cette construction est probablement réalisée à l'époque de Pythagore. Elle illustre l'orientation grecque, le résultat n'est pas une fraction approchant la valeur recherchée, mais une construction géométrique exacte.


title: Algèbre géométrique

text: La plus importante découverte souvent attribuée aux pythagoriciens et à l'algèbre géométrique est celle des incommensurables. Les éléments étaient déjà presque présents chez les Babyloniens, qui pourtant n'en ont jamais parlé. C'est probablement une attitude plus spéculative et moins pragmatique chez les Grecs qui fait la différence. Les Mésopotamiens concevaient néanmoins aussi les mathématiques comme une spéculation, comme le montre la tablette illustrée au paragraphe précédent. Elle donne la racine de deux avec une précision de cinq décimales, ce qui n'a aucun intérêt pratique au vu de leur technologie. Cependant les Mésopotamiens ont choisi une numération à notation positionnelle, un peu à l'image de notre notation décimale. Si cette notation est plus pratique pour les sciences de l'ingénieur, elle est moins adaptée que l'écriture fractionnaire des Grecs pour un travail théorique sur l'irrationalité. Une valeur dont la notation positionnelle ne se termine pas, comme 0,11111..., ne signifie en rien un caractère irrationnel.


title: Algèbre géométrique

text: L'école de Pythagore fournit un savoir encore loin de celui que l'on trouve, en matière d'algèbre géométrique, dans les "Éléments" d'Euclide. Pour atteindre ce but, on peut ranger les difficultés en trois catégories.


title: Algèbre géométrique

text: La première série de difficultés est d'ordre logique. La découverte des irrationnels montre l'existence de suites dont le comportement ne semble faire guère de sens. Celle donnée en exemple dans l'article n'est pas la plus étudiée, les Grecs lui préfèrent celle associée à la diagonale du carré. Elle s'obtient par un processus plus simple et dispose des mêmes propriétés. Cette suite de proportions semble difficilement compatible avec l'hypothèse que tout couple de longueurs est commensurable. Si elle s'approche de plus en plus de la proportion recherchée, elle ne l'atteint jamais. Beaucoup ont vu dans le Paradoxe d'Achille et de la tortue une étude logique issue d'une réflexion sur les suites issues du calcul des incommensurables, c'est-à-dire une suite qui s'approche infiniment de sa cible, sans jamais la toucher. L'absence de fondement logique suffisant aurait conduit Zénon d'Élée à condamner le raisonnement pythagoricien. Pour trancher de manière fiable ce "scandale logique", pour reprendre l'expression de Tannery, il a fallu bâtir une logique consistante. À l'époque d'Aristote, le travail était fait. Ses "Analytiques" exposent clairement comment articuler un raisonnement par l'absurde sans risque d'erreur. Cet auteur utilise plusieurs fois l'exemple du fait que la diagonale d'un carré n'est pas commensurable avec son côté.


title: Algèbre géométrique

text: La deuxième série de difficultés concerne la modification du cadre conceptuel, imposée par les incommensurables. À l'époque de Pythagore, le théorème qui porte son nom est une égalité entre des nombres — toujours entiers chez les Grecs —; chez Euclide, ce théorème est une égalité entre des aires, qui n'ont cette fois-ci aucune raison de pouvoir être représentés par des nombres. Cette modification impose une reconstruction totale de la mathématique, la démonstration du théorème de Thalès doit aussi être revue ainsi que toutes les démonstrations qui doivent maintenant quitter leur gangue commensurable et ne peuvent plus s'appuyer sur une logique fondée sur l'arithmétique géométrique. Maîtriser les incommensurables suppose aussi une arithmétique plus forte, pour mener à bien le raisonnement présenté pour la découverte des irrationnels. Chez Euclide, le raisonnement qui montre que dans le cas de grandeurs commensurables l'algorithme s'arrête, est devenu rigoureux. Il a néanmoins quitté son origine d'arithmétique géométrique, cet algorithme ne fournit plus l'unité de la figure (c'est-à-dire la plus grande unité qui permet d'exprimer les deux longueurs comme des multiples de l'unité) mais le plus grand commun diviseur entre deux nombres. L'historien Jean Itard s'exprime ainsi à propos de la théorie des nombres chez Euclide : .


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text: Enfin, la troisième série de difficultés consiste à développer les outils permettant de comprendre le comportement asymptotique de l'étrange suite des origines de la découverte. D'une manière ou d'une autre, elle impose une certaine maîtrise du phénomène de limite, qui est alors traitée par l'exhaustion. Le livre V des "Éléments" permet de construire un univers admettant les incommensurables et les phénomènes de convergence, tout en conservant les propriétés algébriques exprimées maintenant sous forme d'axiomes comme la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans le corps des réels. Ce travail n'est pas sans conséquences, il impose ce qui deviendra l'axiome d'Archimède et permettra de fonder solidement l'argument de la descente infinie.


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text: Deux siècles séparent Pythagore et Euclide. À certains égards, la finalité n'a pas évolué. On y trouve toujours les méthodes prouvant les propriétés algébriques des proportions, comme la distributivité présente dans les livres V et VI, les procédures de résolution de questions du second degré et l'usage de l'anthyphérèse — équivalent à une fraction continue — au livre X pour établir l'incommensurabilité de certaines proportions. À d'autres égards, la théorie est métamorphosée. Elle s'appuie sur une logique axiomatisée, la théorie des proportions prend en compte les incommensurables et l'arithmétique utilisée n'a plus grand chose à voir avec celle de Pythagore. En conséquence, toutes les pistes de démonstrations présentées dans cet article sont explorées rigoureusement avec succès et les paradoxes n'en sont plus. Si l'arithmétique géométrique de Pythagore découvre les incommensurables, l'algèbre géométrique d'Euclide les maîtrise. Le grand absent reste le nombre qui se limite encore aux entiers. Eudoxe ne peut pas définir l"'axiome d'Archimède", tel que nous l'imaginons aujourd'hui. Cet axiome dépend de la grandeur considérée et le mathématicien ne traite finalement que le cas des aires


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text: Si les fondamentaux introduits à l'époque de Pythagore restent empreints de l'origine mésopotamienne, la finalité est modifiée. Un algorithme comme l'anthyphérèse ne sert plus à approximer une proportion, mais à établir la propriété d'incommensurabilité. Le mépris des calculs pour les Grecs est notoire, Hérodote est arrêté par une division par 48. Pour Szabó, cette modification de finalité n'est pas le plus important. Il n'existe aucun formalisme algébrique chez les Grecs et le fait que l'objet principal d'étude soit une proportion et non pas un nombre n'est guère un facteur favorable. Cette absence de formalisme algébrique est la preuve d'une orientation géométrique, loin des préoccupations et des idées d'un précurseur en algèbre comme Diophante. Chez Euclide, l'idée d'équation n'apparaît pas et ne peut apparaître. Opérer sur une inconnue et non plus uniquement des nombres, n'est ici guère envisageable. Pourtant, l'équation et son inconnue sont souvent considérées comme l'acte de naissance de l'algèbre.


title: Algèbre géométrique

text: Pour van der Waerden, le propre de l'algèbre est la mise en évidence et l'usage d'une structure. Le travail d'Eudoxe consiste à assurer l'existence d'un monde aux propriétés algébriques, comme la distributivité ou la commutativité d'une multiplication de proportions, tout en respectant une relation d'ordre. Cette question est fondamentalement algébrique et le fait qu'Eudoxe trouve un résultat équivalent aux coupures de Dedekind n'est pas le fruit du hasard, ils cherchent tous deux à résoudre la même question, indépendamment du vêtement ou du formalisme choisi et la matière mathématique reste la même. De même, Le livre II établit les propriétés couramment appelées identités remarquables. Elles sont valables dans tous les anneaux commutatifs et donc celui des proportions géométriques des Grecs Le fait de travailler dans une structure à vocation géométrique ne modifie en rien leur nature algébrique. L'usage chez les Grecs de l'anthyphérèse a pour objectif une classification des incommensurables. Cette idée, qui sera poussée beaucoup plus loin dans la théorie de Galois, est aussi une question algébrique. En conclusion et pour van der Waerden, si la finalité et le formalisme sont géométriques, la nature même de l'algèbre géométrique reste inchangée depuis la Mésopotamie.


title: Algèbre géométrique

text: Pour les fondateurs de l'algèbre arabe et européenne, l'algèbre géométrique s'avère indispensable. La logique de la résolution d'une équation par Al-Khawarizmi n'est possible que dans la mesure où les propriétés algébriques de l'ensemble dont sont issus les coefficients du polynôme sont établies. Dans son traité "Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison", Al-Khawarizmi s'appuie sur Euclide pour établir la pertinence de la démarche, tout comme son disciple Abu Kamil. Le livre V est le seul à proposer une construction algébrique suffisamment solide pour représenter la structure des nombres réels positifs. Euclide, ne disposant pas de manière pour exprimer les incommensurables, développe dans un langage géométrique un équivalent des identités remarquables — au sens de van der Waerden — de manière générique. Cette généricité est indispensable pour les premiers algébristes arabes qui ne disposent pas de paramètre et doivent se contenter d'illustrer leurs principes sur des exemples. Au en Europe, Viète comble cette lacune et développe le concept du paramètre, généralisant l'algèbre et autorisant l'expression de résultats plus puissants, comme les relations entre coefficients et racines. Pour Viète, la construction de l'algèbre géométrique reste indispensable. Ainsi, pendant près de 2000 ans, l'algèbre géométrique est un outil incontournable pour les algébristes européens et arabes. Cet élément convainc Mahoney du caractère algébrique de la théorie.Références didactiques :


title: Algèbre géométrique

text: Références universitaires : Preuve sans mots


title: Giuseppe Antonio Luchi

text: Giuseppe Antonio Luchi dit "il Diecimino" (Borgo a Mozzano, - Borgo a Mozzano, ) est un peintre italien rococo actif au .


title: Giuseppe Antonio Luchi

text: Giuseppe Antonio Luchi, fils de Luca di Matteo Luchi et Maddalena di Bartolomeo Paolucci, naît en 1709 à Diecimo une "frazione" de Borgo a Mozzano, de ce fait ses contemporains lui donnèrent le surnom de Diecimino.


title: Giuseppe Antonio Luchi

text: À Lucques, il fut l'élève de , surnommé "il Sassone", et de . En 1729, il se rend d'abord à Bologne où il travaille sous l'autorité de Domenico Creti et ensuite en 1731 à Venise où il fréquente pendant quelques années l'école de Giambattista Tiepolo.


title: Giuseppe Antonio Luchi

text: En 1738, il retourne en Toscane et s'établit à Lucques où, pendant quelques années, il ouvre une école et se place parmi les fondateurs de l"'Accademia Lucchese di Belle Arti".  Sous sa supervision se forment certains peintres de valeur parmi lesquels émergent Bernardino Nocchi et Stefano Tofanelli.


title: Giuseppe Antonio Luchi

text: En 1769, il rentre à Diecimo, son pays natal, où il meurt le .


title: Aérocolie

text: L'aérocolie est l'augmentation de volume du côlon, faisant suite à la présence de gaz en trop grande quantité. Elle est due le plus fréquemment à des fermentations intestinales excessives, consécutives à une colite spasmodique d'origine nerveuse, ou même à une colite atonique due à une mauvaise diététique. Les gaz seront évacués par voie anale (vent ou pet).


title: Pselaphorhynchites fossifrons

text: Pselaphorhynchites fossifrons est une espèce d'insectes coléoptères appartenant à la famille des Attelabidae.


title: Cabinet Poul Nyrup Rasmussen III

text: Le cabinet Poul Nyrup Rasmussen III ("Regeringen Poul Nyrup Rasmussen III", en danois) est le gouvernement du Royaume de Danemark entre le et le , durant la soixante-deuxième législature du Folketing.


title: Cabinet Poul Nyrup Rasmussen III

text: Dirigé par le Premier ministre social-démocrate sortant, Poul Nyrup Rasmussen, il est formé d'une coalition de centre gauche entre les Sociaux-démocrates (SD) et le Parti social-libéral danois (RV), qui disposent ensemble de 70 députés sur 179 au Folketing, soit 39,1 % des sièges. Il bénéficie du soutien du Parti populaire socialiste (SF), de la Liste de l'unité (EL) et de deux indépendants, qui détiennent ensemble 21 sièges. La majorité gouvernementale dispose donc de 91 députés sur 179 au Folketing, soit 50,8 % des sièges.


title: Cabinet Poul Nyrup Rasmussen III

text: Il a été formé à la suite de la décision des Démocrates du centre (CD) de se retirer de l'alliance au pouvoir, critiques des concessions du Premier ministre à la Liste de l'unité. À la suite des élections législatives anticipées du, la majorité parlementaire a été reconduite, permettant la formation du cabinet Poul Nyrup Rasmussen IV.Lors de sa formation, le cabinet contient cinq femmes ministres, sur un total de dix-neuf portefeuilles ministériels.


title: Luis Saslavsky

text: Luis Saslavsky est un scénariste, producteur de cinéma et réalisateur argentin, né le à Rosario (province de Santa Fe), mort le à Buenos Aires.


title: Luis Saslavsky

text: Luis Saslavsky découvre le cinéma à Hollywood alors qu'il est journaliste. Il tourne son premier long-métrage en 1931.


title: Luis Saslavsky

text: Le péronisme le contraint à l'exil en France où il réalise plusieurs films au cours des années 1950. Après un séjour en Espagne, il peut rentrer en Argentine ; il y achève sa carrière de réalisateur en 1979.


title: Mormopterus acetabulosus

text: Le Petit molosse (Mormopterus acetabulosus), appelé à Maurice, est une espèce de chauve-souris de la famille des Molossidae.


title: Mormopterus acetabulosus

text: Son corps mesure environ et ses avant-bras de à . Son pelage est brun foncé et ses petites oreilles noires avec un "tragus" fin et pointu.


title: Mormopterus acetabulosus

text: Cette espèce est endémique de l'île Maurice.