title: Comté de Knox (Illinois)

text: Le comté de Knox ("Knox County" en anglais) est un comté situé dans l'État de l'Illinois, aux États-Unis. En 2000, sa population était de . Le siège de ce comté est Galesburg.


title: Comté de Knox (Illinois)

text: Selon le bureau de recensement des États-Unis, le comté a une surface totale de , comprenant de terre et d'eau.


title: Comté de Knox (Illinois)

text: En date du recensement de 2000, il y avait , et résidant dans le comté. La densité de population était de . Les ethnies du comté étaient composées de 89,86 % de blancs, de 6,29 % de noirs ou afro-américains, de 0,19 % d'indigènes, de 0,69 % d'asiatiques, de 0,01 % d'insulaires du Pacifique, de 1,57 % d'autres ethnies et de 1,39 % de deux ethnies ou plus. 3,40 % de la population étaient hispaniques ou latinos de n'importe quelle ethnie.


title: Arithmétique modulaire

text: En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l’arithmétique modulaire est un ensemble de méthodes permettant la résolution de problèmes sur les nombres entiers. Ces méthodes dérivent de l’étude du reste obtenu par une division euclidienne.


title: Arithmétique modulaire

text: L'idée de base de l'arithmétique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose. Quand on fait par exemple une preuve par neuf à l'école primaire, on effectue un peu d'arithmétique modulaire sans le savoir : le diviseur est alors le nombre 9.


title: Arithmétique modulaire

text: Si ses origines remontent à l’Antiquité, les historiens associent généralement sa naissance à l’année 1801, date de la publication du livre "Disquisitiones arithmeticae" de Carl Friedrich Gauss. Sa nouvelle approche permet d’élucider de célèbres conjectures et simplifie les démonstrations d’importants résultats par une plus grande abstraction. Si le domaine naturel de ces méthodes est la théorie des nombres, les conséquences des idées de Gauss se retrouvent dans d’autres champs des mathématiques, comme l’algèbre ou la géométrie.


title: Arithmétique modulaire

text: Le modifie le statut de l’arithmétique modulaire. L'arithmétique de base des ordinateurs, celle qui travaille sur des mots mémoire de taille fixe, est nécessairement une arithmétique modulaire. Le développement de nombreuses applications industrielles impose la mise au point d’algorithmes pour l'arithmétique modulaire. Ils résolvent essentiellement des questions soulevées par le développement de l'informatique.


title: Arithmétique modulaire

text: "L’article « Congruence sur les entiers » propose une introduction plus mathématique ;" « "Anneau "ℤ/"n"ℤ » "traite le même sujet de manière moins didactique et plus exhaustive."


title: Arithmétique modulaire

text: En mathématiques pures, ce terme est très peu utilisé. La "théorie algébrique des nombres" désignant un domaine beaucoup plus large contenant par exemple les notions d'entiers algébriques et de théorie de Galois.


title: Arithmétique modulaire

text: En mathématiques appliquées, cette expression est d'un usage fréquent pour décrire les bases mathématiques de différents domaines de la théorie de l'information : cryptologie, théorie des codes et informatique. De nombreux outils et algorithmes entrent dans ce champ d'étude. Parmi les tests de primalité les plus utilisés, l'utilisation des caractères d'un groupe par exemple pour la transformée de Fourier discrète.


title: Arithmétique modulaire

text: Selon les différents auteurs et le domaine d'application, ces extensions sont considérées, soit comme une partie intégrante de l'arithmétique modulaire, soit comme des applications, voire ne sont pas citées du tout. Sous sa forme simple, elle prend parfois le nom d"'arithmétique de l'horloge".


title: Arithmétique modulaire

text: Les systèmes modulaires de représentation (Residue number system, RNS en abrégé), des représentations des entiers fondée sur le théorème des restes chinois, sont utilisés pour accélérer les opérations de l'arithmétique modulaire.


title: Arithmétique modulaire

text: Au , Euclide formalise, dans son livre les "Éléments", les fondements de l'arithmétique. On y trouve notamment le lemme couramment nommé "lemme d'Euclide", une version datée du théorème fondamental de l'arithmétique et une étude sur les nombres parfaits dans la proposition 36 de son livre IX. Diophante d'Alexandrie écrit son "Arithmetica" qui contient 130 équations. Il traite essentiellement de problèmes ayant une unique solution numérique et à valeur fractionnaire ou entière. On y trouve que les nombres sommes de deux carrés parfaits ne sont jamais de la forme 4"n" + 3. Les équations, à coefficients entiers et dont les solutions recherchées sont entières, prennent aujourd'hui le nom d'équations diophantiennes.


title: Arithmétique modulaire

text: La Chine développe parallèlement une arithmétique modulaire. Sun Zi écrit vers l'an 300 un traité de mathématiques dont le problème 26 du chapitre 3 est le suivant : .


title: Arithmétique modulaire

text: Qin Jiushao développe le théorème des restes chinois. Son traité est remarquablement avancé ; il traite d'un système de congruences linéaires dans le cas où les moduli ne sont pas premiers entre eux deux à deux. Ses travaux sur les systèmes de congruences dépassent en sophistication ceux de Leonhard Euler. On peut citer George Sarton pour qui :


title: Arithmétique modulaire

text: Le voit un déclin progressif puis un oubli de ces résultats, le savoir de Qin Jiushao ne dépasse pas les frontières chinoises avant le . Il est redécouvert par les travaux de l'historien des sciences Joseph Needham. En revanche, de nombreuses similarités entre les notations arabes et chinoises laissent penser à des contacts durant les périodes précédentes.


title: Arithmétique modulaire

text: L'Inde possède aussi une tradition forte en arithmétique. Aryabhata recherche de manière systématique les solutions entières de l'équation linéaire à deux inconnues à coefficients entiers. Il utilise pour cela un algorithme appelé « Kuttaka » publié dans son livre appelé "Âryabhatîya". Les équations diophantiennes de degré deux sont étudiées par Brahmagupta . Au , Bhāskara II met au point la méthode chakravala.


title: Arithmétique modulaire

text: La civilisation islamique joue un double rôle en arithmétique : elle véhicule le savoir acquis par les Grecs, Indiens, Chinois et Européens, et elle apporte des connaissances nouvelles notamment sur l'étude des propriétés de certains ensembles d'entiers, comme les nombres premiers, parfaits, amicaux ou figurés. Dans ce contexte, Qusta ibn Lûqâ réalise une traduction partielle de l'Arithmetica de Diophante d'Alexandrie à la fin du et Al-Hajjaj traduit à la même époque les "Éléments" d'Euclide ; son collègue al-Khuwārizmī écrit un livre sur la numération indienne. Si le livre est perdu, il reste connu par une traduction latine "Algoritmi de numero Indorum". Thābit étudie les nombres amicaux et les nombres parfaits. Alhazen continue ses travaux sur les nombres parfaits et découvre le théorème de Wilson.


title: Arithmétique modulaire

text: En 1621, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac traduit le livre de Diophante en latin. Les questions soulevées intéressent les mathématiciens de l'époque. Pierre de Fermat propose un grand nombre d'énoncés, les trois plus célèbres étant probablement son grand théorème, son théorème des deux carrés et son petit théorème. La communauté scientifique se lance des défis sur ce sujet, ainsi Fermat demande : Il conclut par : . Marin Mersenne recherche des nombres premiers particuliers. Fermat lui écrit : . Ces nombres sont maintenant appelés nombres de Fermat et sa phrase s'avère être l'unique conjecture fausse proposée par l'auteur. René Descartes recherche sans y parvenir, à démontrer que si la division par huit d'un nombre premier donne pour reste un ou trois, il s'écrit de la forme "x" + 2"y".


title: Arithmétique modulaire

text: Sur ce type de problèmes, deux éléments sont remarquables :


title: Arithmétique modulaire

text: Le siècle suivant voit la résolution de certaines de ces questions, souvent par Leonhard Euler : il contredit Fermat en démontrant que ses nombres ne sont pas toujours premiers, et prouve le théorème des deux carrés. Il commet aussi des erreurs, sa tentative de démonstration du grand théorème de Fermat pour "n" égal à trois est un échec, sa première démonstration s'avère fausse. Il soulève d'autres questions comme la loi de réciprocité quadratique en 1782. Là encore, et malgré une tentative d'Adrien-Marie Legendre, la solution reste hors de portée.


title: Arithmétique modulaire

text: Jusqu'à l'aube du les méthodes utilisées, si elles dénotent une grande astuce chez les mathématiciens, sont finalement peu nombreuses et de principes simples. L'exemple suivant, tiré du problème des deux carrés, en illustre trois : existe-t-il un nombre dont la division par quatre donne pour reste 3 et qui est somme de deux carrés ? Soit "a" et "b" ces deux carrés. Seul l'un est pair car sinon leur somme serait paire et sa division par 4 aurait 0 comme reste. Supposons "a" pair et "b" impair. "a" est pair donc son carré est un multiple de 4. L'entier "b" est impair donc s'écrit 2"c" + 1, son carré est égal à 4"c" + 4"c" + 1, la division de "b" par quatre donne pour reste "un" et la somme des deux carrés donne aussi pour reste "un".Le caractère rustique des outils se traduit par des démonstrations longues et techniques, comme la preuve d'Euler pour le théorème des deux carrés. De plus, et malgré plus d'un siècle d'efforts, l'essentiel des équations diophantiennes résistent à une telle approche.


title: Arithmétique modulaire

text: À l'âge de 17 ans, Gauss démontre la loi de réciprocité quadratique. Un an plus tard, le 30 mars 1796, il prend conscience que ses calculs arithmétiques permettent de construire à la règle et au compas l'heptadécagone, c'est-à-dire le polygone régulier à dix-sept côtés, problème resté ouvert depuis l'Antiquité. Enfin en 1801, il publie "Disquisitiones arithmeticae" ("Recherches arithmétiques") et est surnommé le "prince des mathématiciens".


title: Arithmétique modulaire

text: Ces deux grandes découvertes procèdent d'une même démarche, la mise au point d'outils plus sophistiqués que ceux dont disposaient Fermat ou Euler, simplifiant les démonstrations au prix d'une abstraction plus grande. Sa démarche fonde l'arithmétique modulaire.


title: Arithmétique modulaire

text: Elle est appliquée d'abord aux entiers puis aux polynômes puis à un nouvel ensemble d'entiers, maintenant appelés entiers de Gauss.


title: Arithmétique modulaire

text: Toutes les équations diophantiennes de Fermat sont maintenant résolues à l'exception de son grand théorème. De nouvelles conjectures apparaissent. Par exemple, si "a" et "b" sont premiers entre eux, la suite arithmétique de valeur initiale "a" et de raison "b" contient-elle des nombres premiers, si oui combien ? Gauss et d'autres mathématiciens comme Legendre ont bien imaginé qu'il en existe une infinité mais ne parviennent pas à le démontrer. De même la loi de réciprocité quadratique doit posséder des équivalents pour les ordres supérieurs.


title: Arithmétique modulaire

text: L'arithmétique modulaire est enrichie. Dirichlet, un élève de Gauss trouve une démonstration du théorème de la progression arithmétique en développant le concept des caractères et en formalisant les bases de la théorie analytique des nombres. Charles Gustave Jacob Jacobi écrit, dans une lettre à son frère : Dirichlet n'est pas le premier à utiliser des outils qui sont maintenant qualifiés de conséquence de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini. Legendre, pour tenter de démontrer la loi de réciprocité quadratique, développa des calculs similaires sur les réels, formalisant ce qui est maintenant appelé le symbole de Legendre. Gauss enfin généralise cette approche aux nombres complexes dans son livre de 1801. Ses calculs portent le nom de somme de Gauss et période de Gauss.


title: Arithmétique modulaire

text: Au , ces mathématiques sont dénommées "arithmétique transcendante". Si le terme d'arithmétique reste largement usité, Legendre considère, en 1830, cette branche comme suffisamment développée pour mériter le terme de théorie des nombres. L'apparition de nouvelles techniques, différentes de celles de Gauss, introduit une subdivision avec la théorie algébrique des nombres et la théorie analytique des nombres. Le terme d"'arithmétique transcendante" tombe ensuite en désuétude. Ce domaine quitte celui des mathématiques pures. En revanche, une application industrielle fait, au cours du temps, de plus en plus appel aux notions mathématiques développées par Gauss : la science des codes secrets appelée cryptologie. En 1883, Auguste Kerckhoffs énonce que : . Cette approche est à l'origine d'une modification profonde de cette science. Au milieu du , elle devient une branche des mathématiques appliquées.


title: Arithmétique modulaire

text: Au début des années 1930, le bureau du chiffre polonais fait appel au mathématicien Marian Rejewski pour percer le code du système Enigma, utilisé par les Allemands. Les anciens codes, comme le chiffre de César, sont réinterprétés comme une transformation mathématique dans l'ensemble des moduli de Gauss sur les nombres entiers. Le terme d'« arithmétique modulaire » est utilisé pour décrire ces techniques. Durant les années 1970, Horst Feistel développe un système à clé privée, le Data Encryption Standard ou DES, qui devient le standard des applications non classifiées. Les cryptanalystes du DES, et plus généralement des chiffrements symétriques, utiliseront des mathématiques issues des travaux de Dirichlet sur les caractères, dans le cadre d'un espace vectoriel sur un corps fini à deux éléments.


title: Arithmétique modulaire

text: En 1976 une nouvelle famille de codes est découverte, fondée sur une clé publique. Des solutions industrielles sont rapidement développées, la plus célèbre est dénommée R.S.A.. Elle se fonde sur les travaux de Fermat et d'Euler. Le terme« arithmétique modulaire » est, dans ce contexte, utilisé pour décrire non seulement la structure des moduli sur les entiers, mais aussi les théorèmes traitant des nombres premiers comme la décomposition en produit de facteurs premiers, le théorème chinois, le petit théorème de Fermat et sa généralisation par Euler.


title: Arithmétique modulaire

text: Avec le développement de l'informatique, l'arithmétique modulaire devient un domaine de recherche actif : les applications nécessitent l'utilisation d'opérations sur des grands nombres, et la mise en œuvre d'algorithmes efficaces.


title: Arithmétique modulaire

text: La cryptographie n'est pas l'unique domaine utilisant le vocable« arithmétique modulaire ». La fin de la Seconde Guerre mondiale voit l'apparition d'une nouvelle science : la théorie de l'information. En 1948, sous l'impulsion de Claude Shannon, elle devient une branche des mathématiques appliquées.


title: Arithmétique modulaire

text: Si la confidentialité est l'un des sujets abordés, la fiabilité est aussi un thème majeur. Richard Hamming propose un premier algorithme dès 1950. Une fois encore, les moduli sur les entiers sont utilisés pour une des plus simples techniques de code : les sommes de contrôle. En 1960, de nouveaux codes plus puissants sont développés, sur la base de polynômes à coefficients dans un corps fini. L'arithmétique utilisée prend souvent le nom de« modulaire ».


title: Arithmétique modulaire

text: L'informatique devient un sujet universitaire au début des années 1960. Les contraintes inhérentes à la structure des processeurs imposent la représentation des nombres sous forme d'une suite finie d'informations, justifiant l'utilisation des moduli. Le terme d'« arithmétique modulaire » apparaît souvent, on y trouve même les entiers de Gauss ou les polynômes, par exemple, pour des calculs sur des grands entiers.


title: Arithmétique modulaire

text: Les techniques développées pour la cryptographie, la théorie des codes et l'arithmétique informatique reposent sur les mêmes concepts, offrant une relative unité aux mathématiques de la théorie de l'information.


title: Arithmétique modulaire

text: L'exemple historique de l'« arithmétique modulaire » repose sur les nombres entiers. Un entier "n" étant fixé, le calcul modulo "n" consiste à identifier tous les entiers à leur reste dans la division euclidienne par "n" ; ceci peut être illustré par l'exemple de l'« arithmétique de l'horloge », qui correspond à "n=12" : la petite aiguille se trouve dans la même position à deux moments éloignés de douze heures, on identifie par exemple 13 h à 1 h. Pour obtenir un calcul sur un tel ensemble, on vérifie que l'addition et la multiplication sont compatibles avec les identifications. Cette formalisation est l'œuvre de Legendre, qui donne le nom de "résidu" aux différents éléments.


title: Arithmétique modulaire

text: L'apport de Gauss consiste à analyser la structure de cet ensemble, maintenant qualifié du nom d'anneau de congruences et noté ℤ/"n"ℤ. Elle se divise en premier lieu en l'étude de l'addition, qui définit un groupe cyclique de générateur "1" ; puis de la multiplication, qui dépend des propriétés du modulo. Si celui-ci est premier, on obtient un corps. Cette approche simplifie les démonstrations arithmétiques. Les deux exemples historiques du livre "Disquisitiones arithmeticae" sont le théorème de Wilson et le petit théorème de Fermat.


title: Arithmétique modulaire

text: Le calcul modulaire, dans le cas où le modulo n'est pas premier, est plus complexe, mais le théorème des restes chinois permet d'en élucider la structure. L'anneau n'est alors pas intègre et il existe des diviseurs de zéro, ce sont des nombres qui, multipliés par un certain autre nombre non nul, donnent zéro. Le nombre d'éléments inversibles est donné par la fonction indicatrice d'Euler. Elle permet, par exemple, de généraliser le petit théorème de Fermat.


title: Arithmétique modulaire

text: Gauss remarque que l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels peut se voir appliquer la logique du calcul modulaire, puisqu'il dispose d'une addition, d'une multiplication, et d'une division euclidienne. Les congruences sont les restes de la division euclidienne des polynômes par un polynôme donné.


title: Arithmétique modulaire

text: Il applique cette approche au polynôme "X "– 1 et trouve sa décomposition en produit de facteurs irréductibles, qui prennent le nom de "polynôme cyclotomique". Gauss utilise ces résultats pour trouver une construction à la règle et au compas de l'heptadécagone, polygone régulier à 17 côtés.


title: Arithmétique modulaire

text: Il hésite à considérer ces travaux comme de l'arithmétique ; il écrit :« La théorie de la division du cercle, ou des polygones réguliers…, n'appartient pas "par elle-même" à l'Arithmétique, mais ses "principes" ne peuvent être puisés que dans l'Arithmétique transcendante ». La logique de cet argument est toujours d'actualité.


title: Arithmétique modulaire

text: Le cas des polynômes à coefficients entiers diffère : la propriété de division ne fonctionne que pour des polynômes dont le plus grand coefficient est égal à "plus ou moins un". Le cas des moduli du polynôme "X" + 1 est envisagé : la structure modulaire obtenue est encore celle d'un anneau, s'identifiant à l'ensemble des nombres de la forme α + β où α et β sont des entiers et désigne l'unité imaginaire, correspondant au monôme "X". Cet ensemble est celui des entiers de Gauss.


title: Arithmétique modulaire

text: Il peut être muni d'une norme. À l'entier de Gauss "a" = α + β est associée la norme α + β, qui provient du module des nombres complexes. Cette norme permet de définir une division euclidienne, comme l'illustre la figure de droite. Les entiers sont représentés par les intersections du quadrillage. La valeur "a"/"b" existe si "b" est différent de zéro, cependant cette valeur n'est pas nécessairement un entier de Gauss. Elle est représentée par le point noir de la figure. Dire qu'une division euclidienne existe, revient à dire qu'il existe un entier de Gauss à une norme strictement inférieure à "un" de ce point noir. L'illustration montre que, dans le cas présent, il existe au moins trois candidats. Dans le cas général, il en existe entre un et quatre et dans ce contexte seule l'existence compte.


title: Arithmétique modulaire

text: Ce résultat de division euclidienne implique des propriétés sur cet anneau d'entiers : l'identité de Bézout, l'existence de nombres premiers de Gauss et un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique. Ces nombres premiers permettent à Richard Dedekind de proposer une résolution simple du théorème des deux carrés. L'illustration géométrique est donnée sur la figure de gauche. Un nombre premier "p" s'exprime comme somme de deux carrés si le cercle de rayon la racine de "p" croise au moins un entier Gauss.


title: Arithmétique modulaire

text: Gotthold Eisenstein, qui rencontre Gauss en 1844, découvre un nouvel anneau d'entiers ; l'arithmétique sur cet anneau offre une démonstration rigoureuse du grand théorème de Fermat pour "n" égal à trois, justifiant, encore une fois, la nécessité théorique d'une telle généralisation de l'arithmétique modulaire.


title: Arithmétique modulaire

text: Dirichlet s'intéresse aux nombres premiers de la forme "n" + λ"m" où "n" et "m" sont deux entiers premiers entre eux et λ une variable qui décrit l'ensemble des entiers positifs. Il souhaite en effet démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de cette nature.


title: Arithmétique modulaire

text: L'arithmétique modulaire est un bon outil pour cette problématique, qui est équivalente à trouver le cardinal de l'ensemble des nombres premiers dans une classe de modulo.


title: Arithmétique modulaire

text: Dirichlet considère le groupe des éléments inversibles modulo "m", et étudie l'ensemble des fonctions du groupe dans les nombres complexes non nuls qui vérifient, pour "a" et "b" deux éléments de ce groupe, "f"("ab") = "f"("a")"f"("b"). De telles fonctions sont appelées caractères de Dirichlet. Il en existe φ("n"), le produit de deux caractères est encore un caractère, et leur table de multiplication est exactement la même que celle du groupe des unités étudié.


title: Arithmétique modulaire

text: Les calculs sur ces fonctions sont formellement analogues à ceux réalisés précédemment par Joseph Fourier. Il faut néanmoins atteindre le pour voir apparaître une théorie unifiant les deux approches. Elle prend le nom d'analyse harmonique.


title: Arithmétique modulaire

text: Il est fréquent que des concepts mathématiques, développés dans un contexte, soient réutilisés dans d'autres domaines. Ainsi la théorie des groupes s'applique à l'arithmétique et à la géométrie. Il en est de même pour les outils de l'arithmétique modulaire, dont les outils alimentent de vastes champs des mathématiques pures, comme l'algèbre générale ou la théorie de Galois. Ces théories ne sont néanmoins pas considérées comme des cas particuliers d'arithmétique modulaire car elles font aussi appel à de nombreux autres concepts.


title: Arithmétique modulaire

text: En langage moderne, l'arithmétique modulaire se formalise par la notion de quotient d'anneaux euclidiens. Le concept de relation d'équivalence permet de généraliser ce concept aux principales structures algébriques. Par exemple, le quotient d'un groupe par un sous-groupe normal est, à travers le théorème de Jordan-Hölder, un outil de base de la classification des groupes finis. Les groupes quotients sont aussi utilisés en topologie algébrique pour classifier les variétés. Dans la théorie des anneaux, la notion d'idéal joue un rôle analogue à celui de la notion de sous-groupe normal en théorie des groupes. Elle permet de construire des anneaux quotients dans un contexte plus général que celui de l'arithmétique modulaire. Le théorème des zéros de Hilbert, base du lien entre l'algèbre commutative et la géométrie algébrique, s'exprime en termes d'idéal.


title: Arithmétique modulaire

text: Les termes de congruence et de modulo sont néanmoins réservés aux quotients sur un anneau euclidien.


title: Arithmétique modulaire

text: Les idées de l'arithmétique modulaire s'appliquent à l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps commutatif, car cette structure dispose d'une division. Elle est le point de départ de la théorie d'Évariste Galois et consiste en l'étude systématique des ensembles de congruence de polynômes modulo un polynôme irréductible, l'équivalent des nombres premiers. Ces ensembles sont maintenant appelés extensions algébriques.


title: Arithmétique modulaire

text: Ces extensions permettent l'analyse de la résolubilité des équations algébriques, c'est-à-dire des équations s'écrivant sous forme polynomiale. Si le polynôme est irréductible, son ensemble de congruences est le plus petit corps contenant au moins une racine. Il est appelé corps de rupture. En réitérant ce processus, un corps contenant toutes les racines, le corps de décomposition, est construit. La logique modulaire du quotient fournit la structure algébrique adaptée à cette problématique.


title: Arithmétique modulaire

text: La théorie de Galois fait appel à bien d'autres notions. L'étude de la résolubilité de l'équation est possible "via" l'étude du groupe des automorphismes du corps, appelé groupe de Galois, grâce à la correspondance de Galois entre sous-corps et sous-groupes. Au-delà de l'étude de la résolubilité des équations algébriques, la théorie de Galois est devenue un cadre naturel de résolution de nombreux problèmes en arithmétique, géométrie arithmétique ou géométrie algébrique, et permet surtout de formuler de nouveaux problèmes plus généraux dans ces divers domaines.


title: Arithmétique modulaire

text: Si cette théorie utilise le concept de quotient d'un anneau euclidien, la variété d'outils spécifiques à ce domaine en fait un champ propre, bien distinct du sujet de cet article. L'un des fruits de cette théorie, les corps finis, encore appelés corps de Galois, fournissent un cadre naturel à de nombreuses applications en arithmétique modulaire.


title: Arithmétique modulaire

text: L'arithmétique modulaire offre un bon cadre conceptuel pour la résolution du grand théorème de Fermat. Cependant, les anneaux d'entiers algébriques, construits selon la méthode de Gauss, présentent ce que Dirichlet appelle une "obstruction". Il montre que le groupe des unités de cet anneau, c'est-à-dire des éléments ayant un inverse pour la multiplication, n'est plus un groupe cyclique ou abélien fini comme celui qu'étudiait Gauss. Il contient aussi des copies de l'anneau des entiers et est donc infini. Ce résultat prend le nom de théorème des unités de Dirichlet. L'obstruction provient de cette nouvelle configuration. Elle empêche l'application des techniques modulaires utilisées pour les entiers de Gauss car l'anneau associé n'est plus euclidien.


title: Arithmétique modulaire

text: Ernst Kummer utilise un outil lié à la généralisation du quotient maintenant formalisé par les idéaux. Ils "remplacent" les nombres premiers absents. La théorie algébrique des nombres prend alors le relais, avec des techniques différentes. L'outil de base est un anneau dont les éléments sont appelés entiers algébriques et qui possède une structure dite d'anneau de Dedekind. Kummer parvient ainsi à démontrer le grand théorème pour certaines valeurs de "n" premier, c'est-à-dire pour les nombres premiers réguliers. Les seules valeurs inférieures à 100 non traitées sont 37, 59 et 67.


title: Arithmétique modulaire

text: D'autres outils et objets d'étude apparaissent, comme l'anneau adélique, ceux de la théorie de Galois, les courbes elliptiques, les séries L de Dirichlet ou les formes modulaires. Certains proviennent de conséquences presque directes de l'arithmétique modulaire, comme les corps finis, utilisés de manière intensive au . La théorie algébrique des nombres est largement plus vaste que le cadre de l'arithmétique modulaire, tout en reposant "in fine" sur des techniques parfois similaires.


title: Arithmétique modulaire

text: La découverte par Euler d'un produit infini, construit à l'aide de nombres premiers et égal à formula_1ouvre la voie à une approche différente pour la compréhension des nombres. Dirichlet l'utilise pour démontrer que chacun des moduli d'entiers du groupe des unités contient une infinité de nombres premiers. Ce résultat porte maintenant le nom de théorème de la progression arithmétique.


title: Arithmétique modulaire

text: Pour mener à bien sa démonstration, Dirichlet développe un outil spécifique, les séries L de Dirichlet. L'une de ses séries correspond à une célèbre fonction qui prendra le nom de ζ (zêta) de Riemann. Sa plus grande difficulté consiste à prouver que ses fonctions n'ont pas de racine au point "un". Pour y parvenir, il utilise l'analyse harmonique sur le groupe des unités d'une classe de modulo.


title: Arithmétique modulaire

text: Néanmoins, une fois encore, l'arithmétique modulaire est insuffisante pour venir à bout du théorème. Dirichlet utilise de nombreuses techniques analytiques, comme les séries entières et l'analyse complexe. Le fruit de ces travaux donne naissance à une nouvelle branche des mathématiques : la théorie analytique des nombres. L'un des points cruciaux de cette théorie provient de l'unique article de Bernhard Riemann en théorie des nombres : "Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée". Il conjecture une localisation des racines de sa fonction ζ. La recherche de la position des racines, initiée par Dirichlet, devient une préoccupation centrale et reste l'une des conjectures pressenties comme les plus difficiles des mathématiques de notre époque.


title: Arithmétique modulaire

text: L'objet de la cryptographie est d'assurer la sécurité dans la transmission des messages. La confidentialité ainsi que l'authentification de ceux-ci sont deux exemples du sens donné au terme sécurité. On peut citer deux exemples : la protection des messages qu'utilise une armée pour empêcher une anticipation de l'ennemi, ou la carte bleue proposée par le système bancaire, offrant à un usager une bonne sécurité.


title: Arithmétique modulaire

text: En termes plus mathématiques, l'opération de chiffrement se traduit par un algorithme, c'est-à-dire une fonction "f" qui, à un message en clair "m" et une clé "k", associe un message chiffré "f"("k", "m"). La connaissance du message chiffré et de l'algorithme doit être insuffisante pour reconstituer le message en clair sans une clé de déchiffrement. Dans le cas de la cryptographie traditionnelle, dite cryptographie symétrique, la clé de déchiffrement est identique à la clé de chiffrement ou s'en déduit aisément. Cette clé doit alors rester secrète.


title: Arithmétique modulaire

text: La cryptographie asymétrique s'appuie sur le constat que seule la clé de déchiffrement doit rester secrète, et connue du seul récepteur du message. Elle n'a pas besoin d'être communiquée à ses correspondants. Alice utilise la clé de chiffrement de Bob, que celui-ci a rendu publique, pour lui envoyer un message. Seul Bob peut le déchiffrer, même Alice, si jamais elle avait perdu le message en clair, en serait incapable. Bob doit répondre en utilisant la clé de chiffrement d'Alice.


title: Arithmétique modulaire

text: L'objectif est donc de définir une fonction simple à évaluer mais difficile à inverser sans la connaissance d'un secret. L'arithmétique modulaire a été la première à offrir des solutions, et elle est toujours à la base de beaucoup de solutions commerciales. Par exemple l'échange de clés Diffie-Hellman, premier exemple historique, exploite la difficulté pratique à inverser l'exponentiation modulaire. Cette dernière, ou ses généralisations à d'autres groupes, reste fondamentale dans le domaine.


title: Arithmétique modulaire

text: La cryptographie asymétrique résout en particulier le délicat problème de la distribution des clés en cryptographie symétrique. Si plusieurs correspondants communiquent, en cryptographie symétrique, une clé différente s'avère nécessaire pour chaque couple d'intervenants, alors qu'en cryptographie asymétrique chaque correspondant dispose d'une clef qu'il garde secrète, et d'une clef qu'il rend publique. Cependant elle n'a pas fait disparaître les codes symétriques, qui offrent des algorithmes beaucoup plus efficaces. Pour une sécurité équivalente, les codes symétriques présentent l'avantage de nécessiter des clés nettement plus petites, 128 bits pour la version courante de AES, contre plus d'un millier pour le RSA, mais surtout le chiffrement comme le déchiffrement sont de cent à mille fois plus rapide. Les systèmes cryptographiques modernes, comme ceux utilisés par les cartes bancaires, ou le protocole de communication cryptée SSL/TLS très utilisé sur Internet, n'utilisent qu'en début de communication la cryptographie asymétrique, pour échanger les clés d'un chiffrement symétrique qui prendra ensuite le relais.


title: Arithmétique modulaire

text: Le code RSA est un exemple largement répandu de cryptographie asymétrique. Le chiffrement utilise deux clés, une clé publique pour le chiffrement, et une clé privée, pour le déchiffrement. La force d'un tel système réside dans le fait que la connaissance de la clé publique ne permet pas le décryptage. Il se décrit de la manière suivante :


title: Arithmétique modulaire

text: Alice (le choix des prénoms est traditionnel) souhaite pouvoir recevoir des messages de Bob sans qu'Ève puisse les déchiffrer. Alice choisit deux grands nombres premiers "p" et "q", dont elle calcule le produit "n = pq", et un entier "e", premier avec φ("n") = ("p" – 1)("q" – 1), et strictement inférieur à ce nombre ; la fonction indicatrice d'Euler φ, donne l'ordre du groupe des éléments inversibles de ℤ/"n"ℤ. Le couple ("n", "e") constitue alors la "clé publique" d'Alice, c'est-à-dire qu'elle peut être librement accessible, en particulier à Bob qui doit tout de même pouvoir s'assurer que cette clef est bien celle d'Alice.


title: Arithmétique modulaire

text: Parallèlement Alice calcule l'inverse de "e" modulo "n", soit un entier "d" strictement inférieur à "n" vérifiant formula_2 ce qui se fait de façon efficace par l'algorithme d'Euclide étendu connaissant "p" et "q", donc φ("n"). L'entier "d" constitue la "clef privée" d'Alice. On montre que la connaissance de "d" permet de retrouver la factorisation de "n" de façon efficace, le calcul de "d" et la factorisation de "n" sont donc calculatoirement équivalents.


title: Arithmétique modulaire

text: Les messages sont des entiers strictement inférieurs à "n", que l'on voit comme des éléments de l'anneau ℤ/"n"ℤ. Si Bob souhaite transmettre le message "m" à Alice, il transmet la valeur de "m "modulo "n". Alice a rendu au préalable publiques les valeurs de "n" = "pq", "e" et donc la fonction "f" de chiffrement, qui est ici égale à : formula_3 Ève peut connaître "e", "n" et donc "f", ces informations sont en effet publiques. En revanche, elle ne peut intercepter les valeurs de "p" et "q" qui n'ont jamais été communiquées.


title: Arithmétique modulaire

text: Pour Bob, la fonction de codage est aisée : il s'agit d'une exponentiation modulaire qui se calcule de façon efficace. Pour Alice la lecture l'est aussi pour les mêmes raisons. En effet le théorème d'Euler montre que : formula_4 En revanche Ève ne connaît pas "a priori" les entiers "p" et "q". Si "n" est grand (et si les entiers "p" et "q" sont bien choisis) il n'existe pas, à ce jour, d'algorithme assez efficace pour la factorisation de "n". Plus généralement on ne connait pas de façon efficace de résoudre le problème RSA, qui est celui d'inverser la fonction de chiffrement (dont on ne sait pas s'il est ou non plus facile à résoudre que le problème de la factorisation de "n").


title: Arithmétique modulaire

text: La cryptographie asymétrique n'existerait pas sans les méthodes issues de l'arithmétique modulaire. Celle-ci ne joue pas le même rôle fondateur en cryptographie symétrique, mais n'en est pas absente pour autant. Les chiffrements symétriques se divisent en deux grandes familles dont l'une, les chiffrements par flot, utilise souvent comme composant de base les suites récurrentes linéaires sur un corps fini (voir ci-dessous) ; l'autre, celle des chiffrements par blocs, comprend entre autres le DES et son successeur, le standard de chiffrement avancé, appelé couramment AES (pour "Advanced Encryption Standard"). Ces derniers opèrent sur des blocs de données d'une taille fixe comptée en octets, huit pour le DES par exemple. Une suite d'opérations primitives assez simples est appliquée de façon répétée pour coder un bloc. Un octet, ou plus généralement un bloc de "n" bits, peut être vu comme les coefficients d'un polynôme sur les entiers modulo deux, de degré maximal "n "– 1. Cela a conduit les cryptologues à s'intéresser à certaines opérations sur les corps finis de caractéristique 2. Ainsi il s'avère que l'opération d'inversion sur le corps fini F, composée avec une transformation affine, a de bonnes propriétés cryptographiques pour en faire l'une des primitives des chiffrements par blocs. Ceci a été exploité par les auteurs du chiffrement Rijndael, qui est devenu l'AES. La publication officielle de ce dernier par le NIST (agence fédérale américaine) contient d'ailleurs quelques préliminaires mathématiques sur le sujet. Cependant il n'est nul besoin d'algorithmique sur l'arithmétique ou les corps finis pour l'implémentation : ces opérations sont représentées par des tables, comme les opérations analogues du DES obtenues elles de façon beaucoup plus heuristique. Certains cryptologues ont vu une faiblesse potentielle dans la caractérisation trop algébrique de Rijndael, qui le rendrait plus accessible à l'imagination des mathématiciens, ce qui n'a pas empêché son adoption pour l'AES.


title: Arithmétique modulaire

text: Les codes RSA utilisent comme clés les nombres premiers "p" et "q" du paragraphe précédent. L'usage, pour les trouver, consiste à choisir un nombre "presque" au hasard, de tester s'il est premier ou non et de recommencer s'il ne l'est pas.


title: Arithmétique modulaire

text: Le crible d'Ératosthène est une méthode rapide pour les petits nombres. Utilisé habilement, 46 tests suffisent pour vérifier la primalité d'un nombre inférieur à . En revanche, il est inefficace pour une application industrielle employant des nombres qui s'écrivent avec plusieurs centaines de chiffres.


title: Arithmétique modulaire

text: La majorité des tests de l'industrie se fondent sur des variantes du petit théorème de Fermat. Si un nombre "p" est premier, alors pour tout entier "a", "a" est congru à "a" modulo "p". La réciproque est fausse : il existe des nombres non premiers, appelés nombres de Carmichael (par exemple 561 = 3 × 11 × 17), pour lesquels la congruence est vraie pour toute valeur de "a". Toutefois, si "p" n'est ni un nombre de Carmichael, ni un nombre premier, la congruence est fausse pour au moins la moitié des valeurs de "a" comprises entre "un" et "p". Que la congruence soit vérifiée pour un grand nombre de valeurs de "a" indique une très forte probabilité de primalité pour "p", s'il n'est pas un nombre de Carmichael.


title: Arithmétique modulaire

text: Le test de primalité de Solovay-Strassen et surtout le test de primalité de Miller-Rabin sont deux exemples largement utilisés. Ils se fondent sur une analyse plus poussée du petit théorème de Fermat et n'admettent pas d'analogues aux nombres de Carmichael, ce qui lève l'un des problèmes du test de Fermat. Pour ces deux méthodes, un test de primalité déterministe consiste à vérifier la propriété pour un nombre de valeurs de "a" garantissant une preuve irréfutable. Le nombre de calculs à effectuer étant rédhibitoire, on se contente d'un test probabiliste. Il consiste à vérifier la congruence sur un ensemble de valeurs de "a", choisi pour assurer une probabilité de primalité supérieure à une valeur donnée, souvent égale à 1 – (1/2).


title: Arithmétique modulaire

text: La sécurité par l'obscurité n'est pas de mise pour les codes RSA. Il est important de connaître précisément l'état de l'art de la décomposition des entiers en termes de facteurs premiers. Un concours appelé compétition de factorisation RSA fut ouvert jusqu'en mai 2007, proposant un prix pour quiconque capable de factoriser un nombre choisi dans une liste rendue publique.


title: Arithmétique modulaire

text: Le crible d'Ératosthène est un test de primalité qui offre une méthode de décomposition. Mais une fois encore, il n'est pas applicable pour de grands nombres car trop lent.


title: Arithmétique modulaire

text: Les différentes méthodes actuellement utilisées reposent souvent sur les résidus quadratiques. Un diviseur de zéro est un résidu quadratique contenant comme représentants au moins deux carrés parfaits. L'objectif est de trouver ces deux carrés. Cette approche est celle du crible quadratique et du crible algébrique, le plus rapide connu en 2007. On peut encore citer l'algorithme ρ de Pollard qui utilise le paradoxe des anniversaires.


title: Arithmétique modulaire

text: La construction par quotient des corps premiers ℤ/"p"ℤ se généralise à d'autres structures. En informatique, les nombres sont codés sur "n" bits, c'est-à-dire qu'un nombre correspond à une suite de longueur "n" composée de 0 et de 1. Une telle suite peut être considérée comme un vecteur d'un espace vectoriel de dimension "n" sur le corps fini F à deux éléments.


title: Arithmétique modulaire

text: Cette structure est souvent considérée comme l'espace des polynômes à coefficients dans F de degré strictement inférieur à "n". Pour garantir la stabilité de la multiplication, cet espace est quotienté par un polynôme de degré "n". Quand ce polynôme est irréductible (équivalent de nombre premier), la structure obtenue est le corps fini de cardinal 2. Un nombre "a" modulo 2 et un polynôme "P" modulo un polynôme de degré "n" sont très semblables, ils s'écrivent en effet : formula_5


title: Arithmétique modulaire

text: Un exemple d'utilisation est la création d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires dans F. De tels générateurs sont utilisés par exemple, dans le contexte d'une communication orale par téléphone portable, par le chiffrement de flux A5/1. Celui-ci a pour composants des registres à décalage à rétroaction linéaire, ou LFSR (acronyme de '). Étant données deux suites finies d'éléments de F de longueur "n", une suite de coefficients et une séquence d'initialisation, soient : formula_6 et formula_7 Un LFSR fournit une suite pseudo-aléatoire ("u"), obtenue par récurrence linéaire : formula_8 La suite des coefficients est souvent fixe. La clé fournit alors la séquence d'initialisation, qui peut être représentée par un entier "a" modulo 2 : formula_9 La suite obtenue est périodique, cependant si la suite des coefficients est bien choisie, la période est très longue : 2 – 1. Cette situation se produit si le "polynôme de rétroaction" "R", donnée par la formule suivante, est le polynôme minimal d'un élément primitif du groupe cyclique (F)* : formula_10


title: Arithmétique modulaire

text: Les idées de Dirichlet s'appliquent sur le système modulaire du paragraphe précédent. Pour l'addition, l'espace vectoriel "V" précédent est un groupe abélien fini. Les caractères de ce groupe forment une base orthonormale de l'ensemble des fonctions de "V" dans celui des nombres complexes. Il est à noter que l'ensemble d'arrivée choisi n'est pas toujours celui des complexes mais parfois le corps "F". Les résultats sont strictement identiques. Une telle structure dispose d'une analyse harmonique. Si l'ensemble d'arrivée est choisi égal à F, la transformée de Fourier prend le nom de transformée de Walsh. Cette approche est utilisée à la fois pour les systèmes DES, RSA et certains chiffrements de flux.


title: Arithmétique modulaire

text: Un registre à décalage à rétroaction linéaire est trop aisément déchiffrable. Pour un registre de longueur "n", même si la suite engendrée est de période 2 – 1, l'algorithme de "Berlekamp-Massey" permet de déterminer celle-ci grâce à la connaissance de "2n" valeurs consécutives, avec une complexité quadratique. Ainsi, si la clé est composée de 128 bits, il suffit de 128 × 128 · "k" = · "k" étapes pour le décrypter, où "k" est suffisamment « petit » pour que cela représente une sécurité insuffisante. La solution adoptée consiste à utiliser plusieurs registres à décalage. Les différents résultats sont vus comme un élément d'un nouvel espace vectoriel sur F. Une fonction booléenne associe à chaque élément de cet espace la valeur "un" ou "zéro". Si une telle fonction est bien choisie, le meilleur algorithme de déchiffrement connu demande de l'ordre de 2 étapes pour trouver le signal apportant la confusion. La détermination de cette fonction est obtenue à l'aide des outils de l'analyse harmonique.


title: Arithmétique modulaire

text: Pour un code RSA et à la fin du , la clé est souvent un nombre dépassant 10. Il est important de disposer d'une multiplication rapide sur les grands moduli. La technique consiste à identifier les moduli aux polynômes sur un corps fini. La multiplication de deux polynômes de degré "n" est une opération qui, si elle est réalisée de manière naïve, impose une complexité quadratique. Les caractères du groupe additif associés étant orthogonaux, la complexité devient linéaire si une telle base est utilisée. Un calcul plus rapide consiste à réaliser une transformée de Fourier rapide, à multiplier les deux résultats et à opérer la transformée de Fourier inverse. La complexité totale est alors en "n"("n") où désigne ici le logarithme de base 2.


title: Arithmétique modulaire

text: Un code correcteur n'a pas la vocation d'assurer la sécurité, mais la fiabilité de la transmission d'un message. Il permet de restituer le texte original même si une perturbation aléatoire et modérée se produit durant la transmission. Le message « encodé » est transmis sous une forme appelée « mot du code ». Il contient non seulement les informations du message initial mais aussi les redondances permettant la validation d'une bonne communication et parfois la correction automatique d'éventuelles erreurs.


title: Arithmétique modulaire

text: Un mot du code est composée d'une famille de "n" « lettres » choisies dans un « alphabet », en général binaire. Le cas industriel le plus fréquent est celui du code linéaire, la valeur "n" est constante pour chaque mot du code et est appelée "dimension" du code. L'ensemble des mots du code est muni d'une structure d'espace vectoriel de dimension "n".


title: Arithmétique modulaire

text: Les codes linéaires utilisent essentiellement l'arithmétique modulaire comme base mathématique. Beaucoup enrichissent la structure d'espace vectoriel par celle d'un anneau de polynômes sur un corps fini. Ce corps est parfois le corps binaire, souvent un corps de cardinal une puissance de deux. On parle alors de code cyclique.


title: Arithmétique modulaire

text: Les codes linéaires sont largement présent dans l'industrie.


title: Arithmétique modulaire

text: Une somme de contrôle est un code linéaire particulièrement utilisé. Il correspond à un code correcteur dont seule la détection est automatisable, la correction est obtenue par une demande de répétition du message.


title: Arithmétique modulaire

text: Au message initial est ajoutée une information codée sur une lettre. La lettre est choisie de telle manière que la congruence de la somme des lettres du mot du code soit égale à une valeur donnée, souvent zéro. Dans l'exemple illustré sur la figure de droite, le message initial est composé de deux lettres, un mot du code en contient trois, si le message initial est 00, le mot du code transmis est 000, si le message est 01, le mot du code devient 011. Les quatre mots possibles du code sont illustrés par les points verts de la figure.


title: Arithmétique modulaire

text: Si une unique erreur se produit, sur n'importe laquelle des trois lettres du mot du code, le message reçu correspond à un point noir. Le récepteur sait qu'il doit demander le renouvellement de la transmission. Cette configuration est analogue quelle que soit la longueur du mot du code. Une longueur égale à huit est souvent choisie, elle permet la transmission d'un message de sept lettres. Le résultat est identique, chaque mot licite du code ne possède pour voisin que des mots hors du code, une unique erreur durant la transmission est ainsi détectée. En revanche une double anomalie est systématiquement passée sous silence.


title: Arithmétique modulaire

text: Il existe certaines situations où la demande de répétition n'est pas possible, par exemple pour un DVD, lorsqu'une poussière masque une information. Il est nécessaire d'imaginer des codes correcteurs qui, non seulement détectent, mais corrigent automatiquement les erreurs.


title: Arithmétique modulaire

text: La méthode utilisée consiste à éloigner les mots du code à une distance suffisante pour repérer le bon message d'origine. La distance entre deux points correspond au nombre de lettres à modifier pour passer de l'un à l'autre. Le graphique de gauche illustre cette situation. Les points verts correspondent aux mots du code, par définition sans erreur. Les bleus sont ceux obtenus lorsqu'une unique lettre est altérée dans la transmission et les rouges quand deux lettres sont modifiées. Dans le schéma, on remarque que chaque point bleu contient un unique point vert à une distance de "un" et à chaque point rouge correspond un unique point vert situé à une distance de "deux". Si une ou deux erreurs se sont produites, l'unique point vert le plus proche correspond nécessairement au message initial. Un tel code est capable de protéger jusqu'à deux erreurs.


title: Arithmétique modulaire

text: L'arithmétique modulaire fournit des solutions optimales pour construire la géométrie d'un code linéaire correcteur. Comme un espace vectoriel ne constitue pas une structure suffisante pour définir des moduli, il est enrichi d'une structure d'anneau de polynômes quotienté par "X" - 1, où "n" désigne la dimension de l'espace vectoriel. Dans cet espace de modulo, le monôme X est identifié au polynôme constant "un". Si la chaîne (a, a…, a) est un mot du code, alors il en est de même de la suivante : (a, a, a…, a). On parle pour cette raison de "code cyclique". La logique est la même que celle d'un code correcteur, à la différence près que la congruence est définie non pas sur un entier mais sur un polynôme cyclotomique à coefficients dans un corps fini.


title: Arithmétique modulaire

text: L'exemple le plus simple correspond au code de Hamming dont les messages à transmettre comportent quatre lettres et trois lettres supplémentaires décrivent les redondances.


title: Arithmétique modulaire

text: Le contexte d'un code linéaire est analogue à celui de la cryptographie, on y trouve aussi des espaces vectoriels de dimension "n" sur un corps fini et un système de modulo de polynômes, le polynôme choisi étant souvent : "X" + 1. Les caractères du groupe sont utilisés, ainsi que l'analyse harmonique associée.


title: Arithmétique modulaire

text: L'identité de MacWilliams est un exemple archétypal. Elle permet la détermination du "polynôme énumérateur des poids" du "code dual" ou encore l'étude des caractéristiques du code de Hamming. Elle est obtenue grâce à l'analyse harmonique, à l'aide d'un produit de convolution.


title: Takeda Nobutora

text: Nobutora a combattu Hiraga Genshin à la bataille d'Un no Kuchi en 1536. Bien qu'il fût forcé à se retirer, son fils Harunobu défit Hiraga et prit son château. Néanmoins Nobutora souhaita transmettre son domaine à son deuxième fils Nobushige. À la suite de cela, Harunobu a renversé son père et l'a exilé dans la province de Suruga sous la surveillance du clan Imagawa, dirigé par Imagawa Yoshimoto, daimyo de Suruga.


title: Takeda Nobutora

text: À l'époque, des rumeurs répandues parmi les paysans disaient aussi que Nobutora était devenu fou et tuait des femmes enceintes pour arracher les bébés à l'intérieur de leurs ventres. Au moins trois femmes auraient ainsi péri de ses mains. Aussi des paysans du domaine du clan approchèrent Harunobu pour lui demander de destituer son père, car sa réputation était bonne, et il était même admiré par son petit frère, Nobushige, qui avait pourtant les faveurs de Nobutora.


title: Takeda Nobutora

text: En effet, l'époque Sengoku était une ère difficile pour tout le monde. Le petit peuple souffrait, mais les grands seigneurs avaient aussi leur lot de problèmes, car se produisait à cette époque le phénomène social dit "gekokujō" (le subordonné renverse son supérieur). Il était alors fréquent que des membres de la petite noblesse et les puissants propriétaires terriens complotent (collectivement) contre un daimyo dès lorsqu'ils n'avaient plus foi en lui (c'est l'une des raisons pour lesquelles le bushido exalte la loyauté du samouraï), tout comme depuis l'époque de la guerre de Genpei les samouraïs avaient commencé à se libérer de l'autorité de leurs maîtres aristocrates.


title: Takeda Nobutora

text: Ainsi, les cas de parents tuant leurs enfants ou d'enfants tuant leurs parents faisaient déjà à l'époque figure de jurisprudence (que l'on ne s'abuse pas néanmoins, cela ne reflète bien évidemment que le comportement d'une minorité). Le stress de la guerre et de la gouvernance de son fief combiné à la crainte que Nobutora avait envers son fils aîné auraient en effet pu avoir raison de sa santé mentale. On remarquera également à ce sujet que Nobutora était pour ainsi dire un "bushi" de la vieille école, ayant appris sur le tas et ayant consacré sa vie, son sang et sa sueur à se tailler un fief (comme beaucoup d'autres daimyos de l'époque), tandis que son fils et héritier, Harunobu, devait à ses yeux avoir un comportement étrange et perturbant, qui lui retirait la confiance de son père pour la gouvernance du clan.


title: Takeda Nobutora

text: À l'époque Sengoku, les traités d'art militaire chinois se répandirent largement au Japon, en particulier "L'Art de la guerre" de Sun Tzu (d'où provient la fameuse citation "fūrinkazan", devise des Takeda sous Shingen), en raison du besoin considérablement accru (par rapport aux époques antérieures) de savoir-faire dans les formations, les manœuvres des troupes et la poliorcétique. Takeda Harunobu fut de tout temps considéré par les historiens comme l'une des figures majeures de cette nouvelle génération de samouraïs, se fondant sur la stratégie et adoptant une attitude prudente afin d'économiser les vies des samouraïs du rang, les guerriers expérimentés par opposition aux "ashigaru" dispensables. Takeda Harunobu est aussi crédité pour avoir su très tôt discerner le potentiel des armes à feu, avoir maîtrisé l'usage des charges de cavalerie, avoir attiré à lui une vingtaine de généraux très compétents, et, de façon générale, avoir apporté la grandeur au clan Takeda en ces temps extrêmement troublés.


title: Takeda Nobutora

text: Ainsi, les accès de démence de Nobutora auraient pu être des rumeurs répandues pour justifier son renversement en lui retirant le soutien populaire. Ces rumeurs, fondées ou non, auraient pu être répandues par Harunobu, mais aussi par la petite noblesse "ji-samouraï", voire par un seigneur ennemi cherchant à déstabiliser les Takeda de l'intérieur, tel Hōjō Ujitsuna ou Imagawa Yoshimoto, seigneur du prestigieux clan Imagawa, qui aurait pu considérer comme dans son intérêt d'avoir un jeune talentueux aux dents longues comme partenaire pour garder ses arrières, plutôt que le vieux Nobutora, ce qui lui fut en effet profitable, bien que temporaire, en raison de sa défaite à la bataille d'Okehazama. On remarquera néanmoins, à leur décharge, que le coup d'État fut brillamment exécuté et sans verser le sang, ce qui montre que l'attachement émotionnel et moral existait toujours même à l'époque Sengoku. De fait, Takeda Nobutora fut suivi dans son exil par Furukawa Koheita, l'un de ses plus proches lieutenants, ainsi que neuf autres samouraïs, qui, en dépit du fait d'avoir été au courant du plan pour exiler leur seigneur, coopérèrent, avant de réitérer à Nobutora leur promesse de le suivre jusqu'à la mort .


title: FK Viktoria Žižkov

text: Le FK Viktoria Žižkov est un club tchèque de football basé à Prague, dans le quartier de Žižkov.  Dans les années 1920, ce fut le seul club à bousculer le duopole des deux grands clubs de Prague, le Sparta et le Slavia, lors des premiers championnats de Tchécoslovaquie.


title: FK Viktoria Žižkov

text: Inexistant durant l'occupation soviétique, Viktoria est revenu parmi l'élite, loin toutefois du niveau des deux géants du football tchèque. Pour la saison 2012-2013, le club évolue en deuxième division tchèque, après avoir joué une saison en Gambrinus Liga.Le FK Viktoria Stadion est le stade du Viktoria Žižkov. D'une capacité de 4.600 places assises, il est situé rue Seifertova à la station de tramway Husinecki. En 2007, un fanshop a été ouvert à l'entrée du stade. Le film ""Muži v offsidu"" de Karel Poláček (1931) se passe autour du club. On y voit de nombreux extraits de matches de l'époque.


title: FK Viktoria Žižkov

text: L'acteur tchèque Vlasta Burian a joué gardien de but à Žižkov vers 1916, avant d'embrasser sa carrière d'acteur. Une plaque commémorative vissée au Viktoria Stadion rappelle cette prestigieuse appartenance.


title: CBS News

text: La chaîne d'information CBSN a été créée le .


title: The Power and the Glory (album de Gentle Giant)

text: Aux USA et au Canada, l'album fut distribué par les Disques Capitol, jusqu'à leur dernier "Civilian". Lors d'une entrevue réalisée en 2010, Derek Shulman a déclaré que le groupe travaillait à développer un dessin animé basé, à la fois sur les thèmes, les personnages ainsi que les chansons de l'album. Ce film devint éventuellement disponible sur la version Blu-Ray de l'album de 2014, qui propose aussi un son "surround" en Stéréo et en 5.1, le tout remixé par Steven Wilson. Cette nouvelle édition de l'album est distribuée par Alucard, la compagnie qui gère tout le matériel de Gentle Giant.


text: - Toutes les compositions de Kerry Minnear, Derek et Ray Shulman, sauf "Aspirations" de Ray Shulman et K. Minnear.


title: Sophie Moirand

text: Sophie Moirand, née le , est une linguiste française, professeure des universités en sciences du langage à l'université de Paris III - Sorbonne-Nouvelle. Elle y a fondé le CEDISCOR (Centre de recherche sur les discours ordinaires et spécialisés, composante de l'Équipe d'accueil Systèmes linguistiques, énonciation et discursivité).


Le Comité de coordination des œuvres mutualistes et coopératives de l'Éducation nationale (CCOMCEN) est un groupement d'intérêt économique (GIE) regroupant des associations, des coopératives et des mutuelles du domaine de l'Éducation nationale. Le 8 décembre 2010, les organisations membres du CCOMCEN ont dissous le GIE pour donner naissance à une nouvelle association dénommée L'Économie sociale partenaire de l'école de la république (L'ESPER).


title: Comité de coordination des œuvres mutualistes et coopératives de l'Éducation nationale

text: Le CCOMCEN avait été créé en 1972 sur l'initiative de Denis Forestier, président de la MGEN et ancien secrétaire général du Syndicat national des instituteurs (FEN).  Les organisations membres ont en commun les valeurs de laïcité, de solidarité, de militantisme, de citoyenneté et d'éducation.


text: Ses membres sont : Les présidents successifs du CCOMCEN, de 1971 à 2010, ont été successivement : Denis Forestier, James Marangé, Guy Georges, Pierre Chevalier, Michel Gevrey, Jean Gasol, Jean-Michel Laxalt et Roland Berthilier. Le CCOMCEN a été dissout en 2010 pour devenir une association loi de 1901 nommée l'ESPER, l'Économie sociale partenaire de l'École de la République.


title: Acquiring the Taste

text: Acquiring the Taste est le deuxième album studio du groupe rock progressif britannique Gentle Giant, sorti en 1971. Il s'agit du dernier album avec le batteur original Martin Smith, qui fut remplacé sur l'album suivant "Three friends" par Malcolm Mortimore. La chanson "Pantagruel's Nativity" est inspirée des livres Pantagruel (1532) & Gargantua (1534) de François Rabelais.


title: Acquiring the Taste

text: L'album est très expérimental, et puise dans des registres musicaux très variés.


title: Acquiring the Taste

text: Tous les titres composés par Kerry Minnear, Derek, Ray et Phil Shulman.


title: Meilleur joueur du monde World Rugby

text: Le Meilleur joueur du monde World Rugby est une récompense honorant les plus grands joueurs internationaux de rugby à XV. Décerné en 2001 pour la première fois par l"'International Rugby Board" (IRB), il récompense à l'automne chaque année la personnalité qui a apporté sa contribution particulière au jeu et aux résultats de son équipe nationale et accessoirement de club ou de franchise.


title: Meilleur joueur du monde World Rugby

text: Avec huit sélections et trois désignations entre 2001 et 2012, McCaw est le joueur le plus récompensé par World Rugby (3). Dan Carter le rejoint en 2015 après cinq sélections entre 2005 et 2015.


title: CBS Sports

text: CBS Sports est la filiale de la compagnie de télévision CBS spécialisée dans la retransmission d'émissions sportives aux États-Unis.


title: CBS Sports

text: CBS Sports diffuse des programmes comme "NFL on CBS", "The NFL Today", "Southeastern Conference football", "NCAA basketball", "PGA golf", du tennis professionnel et du B.A.S.E jumping.


title: Médiatisation

text: La médiatisation désigne l'existence d'un intermédiaire, un obstacle, entre deux choses. Elle désigne aussi le fait de placer un tel intermédiaire.


title: Médiatisation

text: Elle désigne plus particulièrement :


title: Paavo Lötjönen

text: Paavo Lötjönen, né le à Kuopio en Finlande, est un violoncelliste finlandais et plus connu comme membre du groupe de musique Apocalyptica.


title: Paavo Lötjönen

text: Issu d'une famille de musiciens, il commence à jouer du violoncelle à l'âge de 6 ans. Il étudie à l'Académie Sibelius, tout comme les trois amis avec lesquels il va former le groupe Apocalyptica en 1993, Eicca Toppinen, Antero Manninen et Max Lilja. À côté de son groupe, Paavo est professeur de musique à l'Académie Sibelius.


title: Paavo Lötjönen

text: Cet homme qu'on peut qualifier de "tranquille", apporte un certain calme dans le groupe et s'oppose avec respect à l'énergie de Perttu Kivilaakso. Peu présent lors du processus de composition, il a forgé sa part d'admirateurs sur scène en montrant un enthousiasme constant et une virtuosité sans pareil. En matière de composition, on apprend que depuis worlds colide, il participe à la composition de certains titres.


title: Liesel Jakobi

text: Elisabeth Jakobi, dite Liesel, née le à Sarrebruck (Sarre) et mariée Luxenburger, est une ancienne athlète allemande.


title: Liesel Jakobi

text: Elle a remporté le titre au saut en longueur aux championnats d'Europe de 1958 à Stockholm. Elle avait pris part à ces championnats sous les couleurs de l'Allemagne de l'Ouest au sein de l'Équipe unifiée d'Allemagne.


title: Liesel Jakobi

text: Elle s'entraînait à l'ATSV Saarbrücken.


title: Warren Kinsella

text: Warren Kinsella, né en 1960 à Montréal, est un avocat, auteur, musicien, consultant politique et commentateur public canadien.


title: Warren Kinsella

text: Originaire de Montréal, il a obtenu un diplôme en journalisme à l'Université Carleton et un diplôme en droit à l'Université de Calgary. Il fut bassiste dans le groupe punk The Nasties avant de devenir conseiller pour Jean Chrétien.


title: Warren Kinsella

text: , il s'est démarqué en critiquant Stockwell Day à la télévision. Il est impliqué dans le scandale des commandites car il a nommé Charles Guité à la tête d'une agence de communications.


title: Warren Kinsella

text: Lors de l'élection fédérale canadienne de 2000, il fut à la tête du comité chargé de la réélection du parti libéral. Il est aussi l'auteur de cinq livres sur la politique et la musique.


title: Liste des anciennes communes de la province de Hollande-Méridionale

text: En 1812, la province néerlandaise de la Hollande-Méridionale comptait 148 communes. En 1820, après l'annulation des modifications faites sous l'Empire français, ce nombre était de nouveau porté à 251. Depuis 2019, il n'y a plus que 52.


text: La liste ci-dessous énumère les fusions, rétablissements, transferts et créations de communes de la Hollande-Méridionale du à 1812 (chronologie inverse).


title: Pablo Caliéro

text: Une rue porte son nom à Clermont-Ferrand.


title: Tomomichi Nishimura

text: Tomomichi Nishimura est notamment connu comme le narrateur de "YuYu Hakusho", et les voix de Anzai-sensei ("Slam Dunk"), Shibaraku Tsurugibe ("Mashin Eiyuuden Wataru"), et Jamitov Hymem ("Mobile Suit Zeta Gundam").


title: Giant on the Box

text: Présenté dans un coffret et doté d'une qualité audio et vidéo exceptionnellement haute-fidélité pour l'époque, le DVD contient un concert enregistré en 1974 pour la télévision allemande ZDF, ainsi qu'un concert pour la télévision américaine , filmé à Long Beach (Californie).


title: Giant on the Box

text: Il comprend, également, une vidéo rare du groupe jouant ', filmée lors de la tournée européenne de 1974 et enregistrée pour ', une émission de la chaîne de télévision allemande BRW.


title: Giant on the Box

text: Sont également inclus des compositions originales, des interviews, des photographies du groupe issues de la collection privée du guitariste Gary Green et un menu monté avec des performances de Kerry Minnear (le pianiste du groupe).


title: Giant on the Box

text: Avec ce DVD est fourni un CD reprenant le concert en Allemagne pour la ZDF. Une édition "", sortie l'année suivante, ajoute à ce CD, en bonus, la prestation de Long Beach pour ABC.


title: Al-Adil II Sayf ad-Din

text: Sayf ad-Dîn Al-Malik al-`Âdil Abû Bakr ben Nâsir ad-Dîn Muhammad (1221 † 1248), ou Al-Adîl II dit "le Juste", Safadin II pour les croisés, est un sultan ayyoubide d'Égypte (1238-1240) et de Damas (1238-1239), fils et successeur d'Al-Kamil Nâsir ad-Dîn.


title: Al-Adil II Sayf ad-Din

text: Son père Al-Kamil meurt le , et il lui succède, sans avoir la poigne de son père. L’anarchie s’installe rapidement dans l’empire ayyoubide après son avènement. Shirkuh, émir de Homs attaque son voisin et rival Taq ad-Din, émir de Hama. À Damas, les luttes de pouvoir éclatent, et son demi-frère Malik al-Salih Ayyoub y prend le pouvoir au début de l’année 1239. Il en est chassé en septembre de la même année par un de ses oncles, Al-Salih Ismaël, et capturé par un de ses cousins, An-Nasir Dâ'ûd, ancien sultan de Damas et émir de Kerak.


title: Al-Adil II Sayf ad-Din

text: Pendant ce temps, Al-Adel mécontente les mamelouks en les écartant des postes clés et en y plaçant ses favoris. À Kerak, peu après, les deux cousins se réconcilient, An-Nasir libère Ayyoub et les deux s’allient contre Al-Adil et Ismail. Ayyoub souhaite prendre le contrôle de l’Égypte, tandis qu’An-Nasir cherche à récupérer Damas. Ils commencent par marcher sur l’Égypte, et Al-Adel se rend à Bilbéis avec son armée pour leur barrer la route. Le , les mamelouks cernent la tente d’Al-Adel, se saisissent de sa personne, le déposent et appellent Ayyub pour le mettre sur le trône.


title: Al-Adil II Sayf ad-Din

text: Al-Adel est ensuite emprisonné pendant huit ans au Caire et meurt le . Il ne laisse qu’un fils Malik al-Moghith Feth ad-Din Omar.


title: Al-Adil II Sayf ad-Din

text: Le coup d’État organisé par les Mamelouks en est le prélude à l’importance que ces derniers vont prendre en Égypte. Ayyoub, leur doit son trône et ne va cesser de les favoriser. Quand Touran-Shah, fils et successeur d’Ayyoub, tente de mettre un terme à leur importance, il est déposé et assassiné par les Mamelouks, qui mettent fin au sultanat ayyoubide en Égypte et remplacent par l’état mamelouk, gouvernés par des sultans issus de leur propre rang.


title: Window Rock

text: Window Rock (en navajo : ) est une localité du comté d'Apache, Arizona, États-Unis. La population était de lors du recensement de 2010.


title: Window Rock

text: Window Rock est le siège du gouvernement de la Nation navajo.


title: Window Rock

text: Window Rock est localisé à la frontière entre le Nouveau-Mexique et l'Arizona. La ville se trouve à l'est des Mesas des Hopis et au sud de Fort Defiance.


title: Window Rock

text: Son emplacement avait tellement impressionné John Collier, commissaire aux Affaires indiennes, qu'il décida en 1936, d'en faire le siège du gouvernement navajo. Il avait d'abord pensé la nommer «Nee Alneeng», («le centre du monde navajo»). L'appellation était quelque peu malheureuse, parce qu'elle veut également dire «enfer» en navajo. Il finit donc par se décider pour «Window Rock», en référence à une curiosité naturelle de l'endroit : une falaise de grès percée d'un trou circulaire situé à de hauteur et d'un diamètre de , qui évoque une fenêtre («window» en anglais). La petite ville se développa ensuite autour du centre administratif navajo situé au pied de la falaise.


title: Window Rock

text: L'édifice le plus remarquable de Window Rock est le siège du Navajo Nation council, organe législatif du gouvernement navajo, dont le plan octogonal évoque celui d'un hogan navajo. À l'intérieur, des peintures murales racontent l'histoire du peuple navajo.


title: Window Rock

text: Lors du recensement de 2000, il y avait . La densité de population était de 227,6 /km.


title: Window Rock

text: Le revenu moyen pour un ménage était de $ et de $ pour une famille. Environ 24,6 % des familles et 24,6 % de la population vivaient au-dessous du seuil de pauvreté.


title: Window Rock

text: Selon l"'American Community Survey", en 2010, 62,31 % de la population âgée de plus de déclare parler le navajo à la maison, 34,91 % l'anglais, 0,86 % déclare parler l'espagnol, 0,56 % le vietnamien et 1,36 % une autre langue.


title: Window Rock

text: Window Rock est servie par les Window Rock Elementary School, Tse Ho Tso Middle School et Window Rock High School.


title: Window Rock

text: Pendant , au mois de septembre, du mercredi au dimanche, après "", a lieu à Window Rocks la plus grande foire amérindienne ("Navajo Nation Fair") : tradition et modernisme se mêlent dans un cocktail de danses, de chants, de parades et de rodéos, sans oublier le couronnement de miss Navajo.


title: Three Friends (album)

text: Three Friends est le troisième album studio du groupe rock progressif britannique Gentle Giant. Paru en 1972, il s'agit de leur premier album-concept. Il raconte l'histoire de trois amis d'enfance qui suivent des chemins bien différents au gré de leurs cheminements respectifs, mais aucun des trois n'étant vraiment satisfaits de leur vie loin des autres, décident de se retrouver afin d'être plus forts face à l'avenir et, ainsi, atteindre leur but plus facilement.


title: Three Friends (album)

text: Cette traduction origine de l'article Wikipedia anglophone consacré à l'album "Three Friends" de Gentle Giant.


title: Three Friends (album)

text: Ce fut leur premier album qu'ils produisirent eux-mêmes, les deux précédents ayant été produits par Tony Visconti, le producteur de T. Rex et David Bowie. Ce serait aussi le seul et unique album avec le batteur Malcolm Mortimore qui fut remplacé sur l'album suivant "Octopus" de 1972 par John Weathers.  Le solo de guitare de Gary Green dans la chanson "Peel the paint" utilise un Echoplex appartenant au claviériste Mike Ratledge, car le frère de Gary, Jeff Green était roadie pour Soft Machine et il lui avait emprunté pour l'occasion.


title: Three Friends (album)

text: Toutes les chansons sont de Shulman, Shulman, Shulman et Minnear.


title: Michael Chopra

text: Michael Chopra est un footballeur britannique d'origine indienne né à Newcastle le .


title: Michael Chopra

text: Il évoluait dans le club anglais de Blackpool, après avoir été formé dans le mythique club de sa ville natale, Newcastle United, et être passé notamment par Sunderland, Cardiff City et Ipswich Town.


title: Michael Chopra

text: Michael Chopra a joué un total de 60 matchs en Premier League ( anglaise).


title: Michael Chopra

text: Au début de la saison 2009-2010, Michael Chopra est recruté par Cardiff City pour la somme de 4 millions de livres, ce qui constitue un record dans l'histoire du club.


title: Michael Chopra

text: Dès le début de la saison 2010-2011, une blessure à la cheville l'éloigne des terrains pendant deux mois. Il joue ensuite 32 matchs au cours desquels il inscrit 11 buts mais, en mars suivant, il se rompt un tendon et voit sa saison terminée.


title: Michael Chopra

text: À l'issue de la saison 2010-2011 qui voit Cardiff échouer en playoffs pour monter en Premier League, Chopra quitte le club pour lequel il a joué plus de 150 matchs et signe à Ipswich Town, qui évolue aussi en Championship, malgré l'intérêt d'autres clubs.


title: Michael Chopra

text: Le il rejoint Blackpool. Le il est libéré du Blackpool.


title: Michael Chopra

text: En , Michael Chopra s'entretient avec le sélectionneur de l'équipe d'Inde, Bobby Houghton, sur une éventuelle incorporation à la sélection en vue de la Coupe d'Asie des nations 2011. Ayant des grands-parents né en Inde, il rentre dans les critères de la FIFA. La reconnaissance dont il jouit sur le continent asiatique trouve son illustration dans la nomination qu'il reçoit en janvier 2011 de concourir pour le titre de sportif britannico-asiatique de l'année.


title: Batam (Tunisie)

text: Batam est un groupe tunisien de distribution alimentaire et de produits électroménagers. Jusqu'en 1999, le groupe est considéré comme le leader national de la grande distribution mais, à partir de 2001, il entame une longue dégringolade caractérisée par un fort endettement et le déficit de ses comptes.


title: Batam (Tunisie)

text: C'est en août 1988, munis d'un capital initial de dinars que les deux frères Maher et Taïeb Ben Ayed décident de fonder le groupe en pratiquant la logique de crédit à la consommation à grande échelle.


title: Batam (Tunisie)

text: Profitant de l'expansion de la classe moyenne tunisienne et de l'amélioration du niveau de vie, le groupe y trouve la plate-forme propice pour son développement et pour se faire connaître : un ménage tunisien sur quatre s'équipe rapidement chez Batam. Néanmoins, à partir de 1999, le groupe connaît une expansion « trop rapide ». À coup d'emprunts auprès de banquiers , le groupe entend diversifier son activité en faisant une acquisition effrénée de fonds de commerce et d'autres biens immobiliers, en investissant dans les articles pour enfants (avec sa filiale Kinderland), le tourisme (avec son agence de voyages Easy Tours) ou encore la quincaillerie (avec sa filiale General Metal).


title: Batam (Tunisie)

text: Une telle expansion du groupe permet au chiffre d'affaires de passer de 124 à 224 millions de dinars entre 1999 et 2001. En avril 1999, le groupe annonce son entrée en bourse par le biais de sa principale filiale, la société Héla, spécialisée dans l'électroménager. Alors que seulement de 30 % du capital est ouvert au public au prix de 23 dinars par action, plus de 50 % du capital du groupe demeure entre les mains de la famille Ben Ayed.


title: Batam (Tunisie)

text: Mais cette expansion réalisée grâce aux multiples acquisitions jugées précipitées contraste avec les déséquilibres financiers que porte le groupe. Avec des créances impayées, des fournisseurs non acquittés, une mauvaise gestion interne et une stagnation conjoncturelle du marché de la consommation à partir de 2000, Batam s'enfonce dans une spirale de l'endettement qu'elle cherche à couvrir en sollicitant le recours à de nouveaux emprunts obligataires notamment pour alimenter les fonds de roulements de ses principales filiales en difficulté. La réticence des banquiers à entretenir la dette, la plainte de quelques fournisseurs et l'inquiétude des petits actionnaires sur le dérapage du groupe, conduisent à la mise en œuvre d'un plan de restructuration en octobre 2001. Il prévoit l'allégement de la dette du groupe en réduisant les coûts excessifs (fermetures de quelques points de vente et licenciement économique de 300 salariés) et la cessation des activités peu ou pas rentables (vente de Kinderland et Mediastore et cessation de Easy Tours au groupe Karthago).


title: Batam (Tunisie)

text: Mais le surendettement excessif du groupe (300 millions de dinars de dettes contre 30 millions de dinars de fonds propres), la baisse sensible du chiffre d'affaires des deux poids lourds du groupe (Bonprix et Héla Électroménager et Confort totalisent 78 % du chiffre d'affaires global en 2001) jettent des doutes sur la capacité du groupe à s'en sortir. En septembre 2002, les cours de Batam dégringolent à cinq dinars à la bourse de Tunis. Craignant l'impact des coûts sociaux et financiers qu'induirait la liquidation du groupe, l'État décide, le 5 octobre 2002, de lancer une procédure de redressement judiciaire. Ali Debaya, ancien président de la Société tunisienne de banque, est chargé de négocier avec les créanciers et les partenaires sociaux une solution équitable pour l'assainissement du groupe.


title: Batam (Tunisie)

text: Le plan d'assainissement permet finalement de garder 10 des 14 entreprises mises sous administration judiciaire, de sauver postes et d'alléger un tiers de la dette du groupe. En 2007, Batam n'est plus le leader sur le marché mais le groupe dans sa nouvelle formule subsiste pour autant grâce à la recomposition du paysage financier de ses deux principales entreprises (Bonprix et Héla) via l'entrée de trois grands nouveaux actionnaires dont ABS et Électrostar. Le 11 octobre 2007, Batam est racheté par Samir Dhiab et Hamadi Makni via la société Concorde pour un montant de 7,7 millions de dinars.


title: Batam (Tunisie)

text: Les travaux de remise en état commencent dès l'installation des nouveaux propriétaires : une action marketing est lancée, annonçant la réouverture et la reprise de l'activité, l'enseigne Batam est conservée et seul le graphisme en est modifié. Toutefois, le contrat de vente stipulait l'obligation pour la société Concorde de continuer à employer tout le personnel travaillant pour la société Héla dont une liste est établie et annexée au cahier des charges tout en préservant leurs anciennetés et leurs avantages acquis. . Par la suite, le copropriétaire de la société Concorde, Mohamed Makni, finit par démissionner de sa qualité de gérant et se fait remplacer par deux cogérants, Fahmi M'hiri et Mohamed Nacer Soyah, pour la période allant du 11 août 2008 au 10 août 2011.


title: Bataille de Gabbard

text: La bataille de Gabbard s'est déroulée le 12 et 13 juin 1653 (2 et 3 juin selon le calendrier julien alors en usage en Angleterre), pendant la Première Guerre anglo-néerlandaise, dans la zone du Gabbard Bank, près de la côte du Suffolk. Elle a vu s'affronter les flottes du Commonwealth et des Provinces-Unies.


title: Bataille de Gabbard

text: La flotte anglaise était composée de 100 navires divisée en trois escadres. Elles étaient commandées par les amiraux Monck, Deane, Lawson et Penn et étaient composées des navires suivants :


title: Bataille de Gabbard

text: Escadre rouge


title: Bataille de Gabbard

text: Escadre blancheEscadre bleueLa flotte néerlandaise était commandée par le "luitenant-admiraal" Maarten Tromp et le "vice-admiraal" Witte de With, elle comprenait 98 navires.


title: Bataille de Gabbard

text: Le , les Hollandais attaquèrent la flotte anglaise mais furent battus car les Anglais employèrent la tactique de la ligne de bataille. De ce fait les Hollandais payèrent un lourd tribut en tentant de prendre à l'abordage les navires britanniques. Ainsi la flotte néerlandaise, majoritairement constituée de navires légers, fut sévèrement endommagée et perdit deux navires.


title: Bataille de Gabbard

text: Le lendemain , les Anglais furent renforcés par l'amiral Robert Blake. Malgré tout Tromp décida de retenter une attaque directe bien que ses navires soient presque à court de munitions. Cependant, une soudaine accalmie fit de ses navires une cible facile pour les canons anglais. Les Hollandais furent mis en déroute et les Anglais les poursuivirent jusque tard dans la soirée.


title: Bataille de Gabbard

text: Quand la bataille prit fin la flotte hollandaise avait perdu 17 navires, dont six coulés les 11 autres ayant été capturés. Dans cette bataille, les Anglais ne perdirent aucun navire mais l'amiral Deane fut tué.


title: Bataille de Gabbard

text: Du point de vue tactique, ce fut la pire défaite de l'histoire navale hollandaise après la bataille de Lowestoft. Du point de vue stratégique, ce fut un désastre pour les Hollandais. Cette victoire permit aux Anglais qui avaient repris le contrôle de la Manche à la bataille de Portland d'étendre leur mainmise à la mer du Nord.


title: Bataille de Gabbard

text: Après la bataille, les Anglais furent en mesure d'imposer un blocus à la côte des Provinces-Unies, capturant les navires marchands et paralysant l'économie hollandaise. Afin de briser ce blocus les deux flottes se retrouvèrent à la bataille de Scheveningen.


La Cité des arts et des nouvelles technologies de Montréal est une organisation qui a présenté entre 1986 et 1996 les expositions annuelles internationales Images du futur. Ces expositions d'été, de 3 à 4 mois, ont accueilli chaque année une trentaine d'artistes présentant des œuvres d'art électronique, des œuvres d'art multimédia et des œuvres d'art numérique ainsi que des images numériques, des animations par ordinateur et des installations interactives. Ces expositions ont joué un rôle de pionnier pour faire découvrir et reconnaître les artistes auprès du grand public.


La "Cité des arts et des nouvelles technologies de Montréal" a été créée en 1985 par Ginette Major et Hervé Fischer pour organiser les expositions "Images du futur", qui ont été présentées à partir de 1986 dans l'ancienne gare terminale du Vieux-Port de Montréal (). En 1987, la Cité des arts et des nouvelles technologies de Montréal a institué la compétition internationale d'animation par ordinateur "Images du Futur" qui a présenté chaque été dans une salle de cinéma les nouvelles productions de l'année et organisé une soirée prestigieuse de remise des prix, sélectionnés par un jury international.


title: Cité des arts et des nouvelles technologies de Montréal

text: La compétition "Images du Futur" a développé un partenariat régulier avec ses équivalents français (Imagina, organisé par l'Institut national de l'audiovisuel à Monte-Carlo et le NICOGRAPH à Tokyo). Les prix "Images du futur" ont récompensé les meilleures productions artistiques, incluant des prix pour l'industrie, le cinéma, la publicité, les productions pour les enfants, et les médias. On y comptait aussi des prix pour les étudiants et des prix du public. Rapidement, l'exposition "Images du futur" a été couplée chaque été à une exposition scientifique (astrophysique, génétique, reproduction humaine, l'imagerie scientifique et médicale, etc.) ou de design et de domotique. À ce titre, elle a coproduit des expositions avec le Musée de l'Homme de Paris et le Musée de la civilisation de Québec, l'Exploratorium de San Francisco.


text: À partir de 1995, la Cité des arts et des nouvelles technologies de Montréal s'est installée dans un édifice patrimonial du Vieux-Montréal, où elle a pu développer des activités permanentes. Les archives (catalogues des expositions, photos, bandes vidéo, reportages, textes, catalogues et documents d'artistes) sont disponibles au Centre de documentation et de recherche de la Fondation Daniel Langlois. La Cité a organisé et participé à des expositions à l'étranger, notamment au Festival des arts électroniques (Rennes, France), au FAUST (Toulouse, France), à Munich, à Rochester au Musée Kodak (États-Unis).


text: Les fondateurs de la Cité des arts et des nouvelles technologies de Montréal, Ginette Major et Hervé Fischer ont reçu le premier prix Leonardo-Make Peace Tsao (MIT-Press, États-Unis) pour leur engagement en faveur de l'art et de la science en 1998.


text: En 1995, la Cité des arts et des nouvelles technologies de Montréal a ouvert le premier café électronique au Canada, qui a connu un succès international, accueillant de nombreux curieux, des délégations étrangères et des équipes de tournage de télévision du monde entier. Des événements artistiques, commerciaux et industriels ainsi que des conférences de presse gouvernementales et corporatives s'y sont succédé. Le café électronique a déménagé dans l'ancien édifice de Radio-Canada boulevard René Lévesque à Montréal de 1998 jusqu'en 2002. Simultanément, les responsables de la Cité ont créé le "Cybermonde", un espace consacré aux enfants qui était en même temps une vitrine pédagogique de produits numériques cédéroms, de sites web et de jeux éducatifs pour les enfants des écoles.


text: En 1990, Hervé Fischer a créé dans le cadre de la Cité des arts et des nouvelles technologies de Montréal le Festival international du film scientifique du Québec, qui s'est tenu annuellement simultanément à Montréal et au Musée de la civilisation de Québec et qui comportait en plus de la programmation une circulation de documentaires scientifiques dans tout le Québec toute l'année et une compétition internationale des meilleures productions et des séries de grandes conférences auxquelles ont participé des prix Nobel comme Ilya Prigogine, le découvreur du virus du sida, le Professeur Montaigner, Jean-Michel Cousteau, des producteurs de films, des chercheurs et écrivains tels que Pierre Dansereau, Hubert Reeves, Jacques Testart, Louise Vandelac. Hervé Fischer a dirigé ce festival, qu'il a rebaptisé "Téléscience" en 1995, jusqu'en 2000. Téléscience a été un partenaire régulier des autres festivals de documentaires scientifiques de télévision, notamment les Rencontres Images et Science du CNRS (France).


text: Créé en 1992 par Hervé Fischer dans le cadre de la Cité des arts et des nouvelles technologies de Montréal, le "MIM" ("Multimedia International Market" en anglais) a été l'un des premiers marchés internationaux de produits numériques. Il comportait un cycle de grandes conférences et la remise des MIM d'or. Il a célébré tant les productions artistiques et culturelles que les innovations industrielles et commerciales jusqu'en 2003. En 1998, le "MIM" a été partie prenante du Sommet de la Francophonie, largement consacré aux technologies numériques.


text: C'est aussi dans le cadre de la Cité des arts et des nouvelles technologies de Montréal et du MIM qu'Hervé Fischer a créé en 1997 la FIAM, regroupant les associations de PME de produits et services numériques d'une soixantaine de pays, qui a tenu successivement ses Sommets du multimédia à Montréal en 1999, à Abou Dabi (Émirats arabes unis) en 2001, à Montreux (Suisse) en 2002, à Beijing en 2004 et à Shenyang en 2009. Hervé Fischer en a constammet été réélu président. La FIAM est accréditée auprès des Nations Unies (programme ECOSOC de développement économique et social).


text: En 11 ans, ces expositions ont accueilli plus d'un million de visiteurs. Chaque année un pays était invité d'honneur. Ainsi ont été présentés les artistes canadiens, français, japonais, américains, australiens, allemands, notamment, mais aussi des artistes d'Amérique latine, de Russie, de Chine, et même d'Afrique.


text: On a pu y voir les œuvres de quelque 500 artistes au fil des années, les uns jeunes et encore inconnus, les autres déjà internationalement célébrés, tels :


title: Église confessante

text: LÉglise confessante () est un mouvement au sein des églises protestantes d'Allemagne, opposé au nazisme et à la mise en place d'une Église protestante du Reich pendant la période nazie.


title: Église confessante

text: Le terme désigne par ailleurs certaines Églises protestantes contemporaines.


title: Église confessante

text: En 1933, la "" contraint les églises protestantes à fusionner au sein de l'Église protestante du Reich qui est noyautée par les « Chrétiens allemands » proches du parti nazi. Ces Chrétiens allemands ont été placés à la tête de l'Église évangélique de l'Union prussienne à la suite d'un coup de force. Le danger de voir le protestantisme infiltré et submergé par l'idéologie nationale-socialiste suscite une mobilisation des forces hostiles à une telle évolution. Le , un groupe de pasteurs s'organise en une « ligue de détresse Bekenntniskirche » ou « Église confessante ». En , regroupés autour de Martin Niemöller protestent notamment contre l'introduction du « paragraphe aryen » dans l'Union qui prévoyait l'exclusion des pasteurs d'origine juive ou mariés à une juive.


title: Église confessante

text: Ce groupe d'opposants et un autre groupe de réformés rassemblés autour de Karl Barth se retrouvent au synode de Barmen, dans la banlieue de Wuppertal, du 29 au . On y adopte la Déclaration de Barmen, qui proclame que l'Église d'Allemagne n'est pas un « organisme d'État » et n'a d'autre fondement que la Parole de Dieu. Finalement, c'est une nouvelle Église, présidée par un Conseil fraternel du Reich qui est issue du synode de Barmen. Parmi les dix-huit Églises provinciales représentées à Barmen, celles de Bavière, de Wurtemberg et de Hanovre sont dites intactes parce qu'elles n'avaient pas élu à leur tête des « chrétiens allemands ». Ces Églises intactes sont représentées à Barmen par leurs propres évêques. Le synode de Berlin-Dahlem, tenu les et , dote la nouvelle église d'une « Direction provisoire », c'est-à-dire une instance concurrente de l'Épiscopat du Reich détenu par Ludwig Müller.


title: Église confessante

text: Ce regroupement massif au sein de l'Église confessante se divise rapidement. L'opposition frontale avec l'Épiscopat du Reich reconnu officiellement par le pouvoir est défendue par les plus intransigeants comme Dietrich Bonhoeffer, qui soutient que « celui qui se sépare sciemment de l'Église confessante en Allemagne se sépare du salut ». Cette intransigeance qui implique une hostilité déclarée au régime ne fait pas l'unanimité. En 1936, les évêques des « Églises intactes » se retirent de la « Direction provisoire » et forment avec d'autres représentants d'Églises provinciales un « Conseil de l'Église évangélique luthérienne d'Allemagne ». Niemöller fait partie de ceux qui ne sont pas radicalement opposés au régime : en , il fonde la « Ligue de détresse », mais en novembre de la même année, il envoie un télégramme à Hitler pour le féliciter de retirer l'Allemagne de la Société des Nations, « acte utile à l'intérêt national ».


title: Église confessante

text: Le déclin de l'Église confessante est accompagné d'une répression qui s'abat sur ses membres : Martin Niemöller est arrêté le et passe la durée de la Seconde Guerre mondiale dans des camps de concentration, Sachsenhausen puis Dachau, mais en quartier spécial, ce qui le met à l'abri des mesures arbitraires de la SS. Le pasteur Wilhelm Busch, qui travaille auprès de la jeunesse à Essen et tient tête aux Jeunesses hitlériennes, est incarcéré par la Gestapo à Darmstadt en 1937. Pour avoir pris part à la conspiration de Stauffenberg, Dietrich Bonhoeffer est arrêté en 1943 et envoyé d'abord à la prison de Tegel, puis à Buchenwald et Flossenbürg, où il sera exécuté.


title: Konopiště

text: Konopiště est un château situé à Benešov, à au sud-est de Prague, en Tchéquie. C'était une résidence prisée par l'archiduc François-Ferdinand d'Autriche, qui en fit sa dernière résidence avant son assassinat à Sarajevo en 1914. La balle qui le tua est ainsi exposée dans la partie musée du château.


title: Konopiště

text: En 1294, l'évêque de Prague Tobiáš de Benešov édifie une forteresse gothique, sur le modèle des forteresses françaises avec un mur d'enceinte, des tours à chaque extrémité et un pont-levis. En 1327, le château passe à la famille Sternberg pour 275 ans. Au fil du temps, les plus grandes familles tchèques se succèdent comme propriétaires du château : Albrecht von Wallenstein ou les Lobkowitz. Les différentes familles, en particulier les Sternberg dès la fin du enrichissent le château, le transformant en somptueuse résidence baroque.


title: Konopiště

text: En 1887, l'archiduc François-Ferdinand d'Autriche rachète le château aux Lobkowitz et le fait modifier dans le style médiéval. Les environs sont transformés en jardins à l'anglaise. Il y réside très régulièrement et y reçoit par exemple Guillaume II d'Allemagne. Il y expose en particulier les milliers de trophées de ses chasses dans les bois de la propriété ainsi que sa collection d'armes.


title: Konopiště

text: Depuis 1921, le château est la propriété de l'État tchécoslovaque puis tchèque.


title: Konopiště

text: Le château se visite désormais et les recettes tirées des visites compensent intégralement les frais d'entretien.  Le château est actuellement au centre d'un différend entre l'État tchèque et Sophie Hohenberg, arrière-petite-fille de François-Ferdinand .


title: Konopiště

text: Sophie de Hohenberg (1901-1990) et son jeune frère Ernest de Hohenberg (1904-1954), enfants de François-Ferdinand d'Autriche, y sont nés.


title: Konopiště

text: Le château a servi comme lieu de tournage pour le film "L'Illusionniste". Konopiště est censé être le château du prince Leopold, personnage qui n'a jamais existé.


title: Peter Radford

text: Peter Frank Radford, né le à Walsall, est un ancien athlète britannique.


title: Peter Radford

text: Ses plus grands succès ont été ses médailles de bronze sur 100 m et d'argent en relais 4 × 100 m obtenues aux Championnats d'Europe de 1958 à Stockholm et ses deux médailles d'or en relais 4 × 110 yard lors des jeux du Commonwealth en 1958 à Cardiff et 1962 à Perth.


title: Peter Radford

text: Aux Jeux olympiques de 1960 à Rome, il remportait le bronze sur 100 m derrière l'Allemand Armin Hary et l'Américain David Sime et une nouvelle médaille de bronze en relais 4 × 100 m avec ses compatriotes David Jones, David Segal et Nick Whitehead derrière les relais allemand et soviétique.


title: Gentle Giant (album)

text: Gentle Giant est le premier album studio du groupe rock progressif britannique éponyme, sorti en 1970, produit par Tony Visconti.


title: Gentle Giant (album)

text: Cette première formation est issue des cendres du groupe "Simon Dupree & The Big Sound" avec qui jouaient les trois frères Shulman. L'album contient des titres très progressifs comme "Alucard" mais aussi des chansons plus rock comme "Nothing at All" qui contient un long solo de batterie. À noter la présence de la violoncelliste Clare Deniz sur la chanson "Isn't it Quiet and Cold?", elle a aussi joué sur deux albums studios et une compilation live des Strawbs, "Dragonfly", "Ghosts" et "Live At The BBC Vol. One: In Session". Il y a aussi Paul Cosh au cor. "Funny Ways" fut presque toujours jouée en spectacle entre 1970 à 1980, il s'agit de la chanson du groupe la plus jouée en concert.


title: MechAssault: Phantom War

text: MechAssault: Phantom War est un jeu vidéo d'action sorti en 2007 sur Nintendo DS. Le jeu a été développé par Backbone Entertainment et édité par Majesco.


title: Bernard Silvestre

text: Bernard Silvestre (vers 1100-vers 1165, ou vers 1075-vers 1126 selon Benoît Patar) est un moine du , originaire de Tours, habituellement rangé dans la mouvance de l'école de Chartres, qui se fondait sur les théories pythagoriciennes de Platon, notamment sous l'influence du "Timée" de Platon.


title: Bernard Silvestre

text: Il a longtemps été confondu avec Bernard de Chartres.


title: Takeda Katsuyori

text: Katsuyori, connu tout d'abord sous le nom de , succéda à sa mère à la tête du clan Suwa et fit du château Takatō le siège de son domaine. Après la mort de son frère ainé Takeda Yoshinobu, Nobukatsu, fils de Katsuyori, devint l'héritier du clan Takeda, faisant de facto Katsuyori chef du clan Takeda. Il prit en charge la famille après la mort de Shingen et combattit Ieyasu Tokugawa à la bataille de Takatenjin en 1574 et à la bataille de Nagashino en 1575. Il captura Takatenjin, ce que même son père ne put faire, et obtint ainsi le soutien du clan Takeda.


title: Takeda Katsuyori

text: Katsuyori s'attira le courroux du clan Hōjō en aidant Uesugi Kagekatsu contre Kagetora Uesugi qui était le septième fils de Hōjō Ujiyasu, adopté par Uesugi Kenshin dont il était l'héritier.


title: Takeda Katsuyori

text: Katsuyori perdit le Takatenjin en 1581 et incidemment le soutien des clans Kiso et Anayama. Ses forces furent détruites par les armées combinées de Oda Nobunaga et de Tokugawa Ieyasu à la bataille de Tenmokuzan en 1582, défaite après laquelle Katsuyori et son fils se suicidèrent par seppuku.


title: Liste des bourgmestres de Charleroi

text: Ceci est la liste des bourgmestres de Charleroi, ville de Belgique.


title: Liste des bourgmestres de Charleroi

text: Liste depuis l'indépendance de la Belgique en 1830 jusqu'à la fusion des communes


title: Liste des bourgmestres de Charleroi

text: Liste depuis la fusion des communes.


title: Nick Whitehead

text: Neville Joseph Whitehead dit Nick Whitehead, né le et décédé le à Wrexham, était un athlète gallois.


title: Nick Whitehead

text: Il a représenté le Royaume-Uni aux Jeux olympiques de 1960 à Rome dans le relais 4 × 100 m, remportant la médaille de bronze avec Peter Radford, David Jones et David Segal. Il a également remporté une médaille aux jeux du Commonwealth avec le relais gallois.


title: Stoke Mandeville

text: Stoke Mandeville est un village au sud d'Aylesbury, dans le comté de Buckinghamshire, Angleterre. C'est une commune très prospère, comportant beaucoup de terres arables. L'Hôpital de Stoke Mandeville, quoique nommé d'après le village, est situé sur la limite avec Aylesbury et abrite le plus grand centre de traitement des blessés médullaires d'Europe.


title: Stoke Mandeville

text: Dans le Domesday Book de 1086, le village est répertorié sous le nom de "Stoches", du vieil anglais "stoc" désignant une ferme ou hameau en périphérie. Le suffixe de Mandeville fut enregistré pour la première fois en 1284 lorsque la Seigneurie était officiellement dans les mains de la puissante famille normande de Mandeville. L'ancienne église paroissiale, à la périphérie du village, fut condamnée au milieu du , et a maintenant été complètement démolie. La nouvelle église en brique rouge St Mary reste la seule église du village, à part l'église méthodiste dans "Eskdale Road".


title: Stoke Mandeville

text: Le , la nouvelle enseigne du Millenium de Stroke Mandeville fut dévoilée. Elle se tient sur un petit socle de brique, sur la pelouse à l'extérieur de l'. La plaque montre différents aspects de la vie au village au fil des siècles.


title: Stoke Mandeville

text: Selon le recensement la paroisse couvre 1460 acres (5.90 km²).


title: Stoke Mandeville

text: La est aussi un arrêt sur la ligne Chiltern Railways, entre la gare d'Aylesbury et celle de .


title: Stoke Mandeville

text: En partir de 1948, le docteur Ludwig Guttmann, neurologue à l'hôpital de Stoke Mandeville, a l'idée d'organiser dans son établissement les premiers Jeux mondiaux des chaises-roulantes et des amputés ("World Wheelchair and Amputee Games") connus sous le nom de Jeux de Stoke Mandeville et destinés à la réhabilitation des soldats et victimes de la Seconde Guerre mondiale par la pratique du sport.