title: Trombone (instrument)

text: Les origines lointaines du trombone se trouvent probablement dans le buccin, sorte de tuba joué par les romains, dont il existait une variante en forme de « S » rappelant celle du trombone actuel — le terme buccin fut d’ailleurs repris au pour désigner un trombone d’orchestre militaire dont le pavillon représentait une tête de serpent.


title: Trombone (instrument)

text: C’est probablement au qu’on eut l’idée d’ajouter deux tubes coulissants l’un dans l’autre à une trompette basse : la coulisse était née. L'instrument ainsi créé s'appela la sacqueboute (« sacquer » signifiant tirer vers soi et « bouter » pousser vers le sens opposé). Il ne s'agissait pas d'un instrument radicalement différent du trombone, mais d'une version légèrement plus petite. À partir du le nom italien de trombone fut progressivement utilisé pour désigner l’instrument. L'origine du mot vient de "tromba" qui signifie "trompette" et de "one", un suffixe qui signifie "grand". Ainsi, au sens littéral, un trombone est une "grande trompette".


title: Trombone (instrument)

text: Pendant toute son histoire, le trombone, en raison de son principe simple, a subi peu de modifications, principalement de taille et de forme. Les plus remarquables sont l'apparition du trombone à piston au début du dans lequel la coulisse est remplacée par les pistons mis au point en 1814 par Heinrich Stölzel, et celle du trombone complet par l’ajout du barillet breveté en 1839 par le facteur allemand Christian Friedrich Sattler.


title: Trombone (instrument)

text: L'embouchure est une petite pièce du trombone qui sert d'interface entre le musicien et l'instrument, canalisant la vibration des lèvres et conduisant le souffle. La section suivant l'embouchure est le corps de l'instrument. Celui-ci est entrecoupé par la coulisse qui permet au musicien de faire varier la hauteur du son et ainsi d'obtenir la note désirée. Lorsque le tromboniste pousse la coulisse, il allonge l'instrument et le son devient plus grave, et lorsqu'il la tire, il raccourcit le tube et le son devient plus aigu. Comme leur nom l'indique, les « trombones à pistons » ont des pistons comme les trompettes ou les saxhorns à la place de la coulisse. La partie évasée par laquelle le son est émis se nomme le pavillon.


title: Trombone (instrument)

text: Certains trombones, comme les trombones complets, les trombones basses ou les trombones à coulisse courte, ont un ou plusieurs jeux de tubes additionnels au corps de l'instrument, servant à le rallonger. Ces jeux de tubes s'ajoutent à des noix qui sont actionnées avec le pouce ou l'index à l'aide d'une gâchette. Ces noix servent à compléter le registre de l'instrument dans les graves et à rendre plus simples certains enchaînements de notes, notamment en remplaçant les sixième et septième positions par la première et la deuxième.


title: Trombone (instrument)

text: Au bout de la coulisse se trouve une clé d'eau servant à évacuer la condensation générée par le souffle.


title: Trombone (instrument)

text: Comme tous les instruments à embouchure, le son est produit par la mise en vibration de la colonne d'air de l'instrument (air contenu dans l'instrument, mais aussi dans le système respiratoire du musicien) par les lèvres supérieure et inférieure. Cette vibration des lèvres est entretenue par l’air insufflé par l'instrumentiste. L'onde de pression ainsi produite est canalisée par l’embouchure dans le corps de l’instrument. La pression d'air crée une onde stationnaire dont la fréquence propre est imposée par l'instrument. La coulisse ou les pistons servent à modifier cette fréquence propre en allongeant ou réduisant la longueur du tube. La qualité du son dépendra alors de la qualité de la vibration de la colonne d’air (donc de l'instrumentiste et de l'embouchure), et de la qualité du corps de l’instrument (diamètre du tube, forme du tube…)


title: Trombone (instrument)

text: Le son peut être articulé grâce à la langue produisant différentes consonnes à l'intérieur de l'embouchure.


title: Trombone (instrument)

text: Les articulations les plus courantes sont le staccato, la langue produisant la consonne "t", et le legato, avec la consonne "l" pour le legato articulé. Pour augmenter la vitesse d'exécution, les trombonistes utilisent le double staccato, en prononçant successivement les consonnes "t" et "k", et le triple staccato, en prononçant deux fois la consonne "t" et une fois la consonne "k". Il est également possible de jouer legato sans coup de langue quand les notes sont sur le même harmonique. Une absence d'articulation entre deux notes situées sur deux harmoniques différentes donne un glissando, un mode de jeu propre au trombone.


title: Trombone (instrument)

text: Les lèvres de l'instrumentiste ne déterminent pas la hauteur du son. Elles servent, en les pinçant plus ou moins, à "accrocher" tel ou tel harmonique se développant de façon "concentrique" dans l'instrument. Comme le passage de l'air entre les lèvres se rétrécit, l'air s'écoule plus vite mais il n'y a pas d'augmentation de la pression des muscles abdominaux. Le diaphragme sert à remplir d'air les poumons par dépression, et comme tout muscle ne fonctionne que dans un seul sens, il est inerte quand l'instrumentiste joue, comme c'est le cas pour le chant ou tout autre instrument à vent.


title: Trombone (instrument)

text: Le musicien peut ainsi jouer, pour une longueur donnée de l'instrument, à partir de la fondamentale, la suite des harmoniques supérieures, suivant l’ordre des harmoniques naturels : octave, quinte, quarte, etc. Par exemple, pour un trombone ténor, coulisse fermée (en ), on obtiendra : siformula_1, siformula_1, fa, siformula_1, ré, fa, laformula_1, siformula_1... Le nombre d’harmoniques pouvant être joués dépend alors des capacités physiques du musicien. Un musicien expérimenté peut jouer jusqu'à sur son instrument (voire , .. pour les meilleurs musiciens).


title: Trombone (instrument)

text: Cette technique ne permet de jouer que l'ensemble limité des notes correspondant aux harmoniques de la fondamentale de l'instrument. Pour pouvoir jouer l'ensemble des notes, un mécanisme (coulisse, barillet ou piston) est alors également utilisé qui modifie cette fondamentale en changeant la longueur de l’instrument.


title: Trombone (instrument)

text: Le contrôle de cette technique permet aussi de jouer plusieurs sons en même temps (sans la voix) situés conjointement dans une même série harmonique. Cette pratique est alors qualifiée de multiphonique.


title: Trombone (instrument)

text: La longueur de l’instrument est modifiée par une coulisse qui peut être allongée ou raccourcie. La coulisse est divisée en plusieurs positions — jusqu’à sept pour le trombone ténor. Elle est en "" quand elle est entièrement rétractée, et en "septième position" lorsqu'elle est au maximum de son allongement. Les positions ne sont pas repérées ou marquées mais évaluées par l'instrumentiste. Accroître la longueur de la coulisse d'une position fait baisser la hauteur d'une note d'un demi-ton. Ainsi, on peut baisser la note de base d'au maximum un triton (soit 3 tons), par exemple, sur le ténor pour atteindre le mi en partant du siformula_1. Des positions intermédiaires sont également utilisées avec certains harmoniques, ou pour ajuster certaines notes.


title: Trombone (instrument)

text: L'intérêt de la coulisse est qu'il s'agit d'un système "continu" : on peut, avec une coulisse, atteindre toutes les longueurs intermédiaires entre les 7 positions, contrairement aux cuivres à pistons (sur lesquels la longueur de tuyau ajoutée lorsqu'on enfonce chaque piston est fixe). Cela permet, si l'instrumentiste a une oreille exercée et sensible à la justesse, de jouer parfaitement juste (ce que les autres cuivres ne permettent pas pour des raisons physiques). Cet avantage peut se transformer en inconvénient si le musicien est peu expérimenté et n'a pas l'oreille musicale, car il jouera alors faux.


title: Trombone (instrument)

text: Un des intérêts de la coulisse, par exemple dans le jazz, est de jouer des glissandi expressifs entre deux notes, ou des glissandi humoristiques dans le new orleans la musique de cirque. Les glissandi du trombone se font généralement sur un demi-ton en jazz, alors assimilés à des blue notes, et jusqu'à une quarte dans la musique de cirque.


title: Trombone (instrument)

text: Enfin l'inconvénient majeur de la coulisse est l'amplitude des mouvements à produire, qui réduisent sérieusement la virtuosité de l'instrumentiste par rapport à l'usage des pistons. L'extension de la coulisse la rend également encombrante et vulnérable, car elle peut tomber au sol si on la lâche.


title: Trombone (instrument)

text: En conjugaison avec la coulisse, les trombones sont souvent équipés d'un dispositif — appelé noix, barillet, clés de pouce, ou palette — permettant au musicien de baisser la note (d'une quarte sur le trombone ténor complet). Comme avec un piston, la longueur est alors augmentée en déviant l’air dans un tube supplémentaire. Ce mécanisme permet d'augmenter la tessiture de l'instrument, ainsi que la vélocité du jeu de coulisse en évitant et en remplaçant la sixième et la septième position de coulisse à bout de bras par la première et la deuxième.


title: Trombone (instrument)

text: Dans le trombone à pistons, la coulisse est remplacée par trois pistons, chacun pouvant dévier la colonne d’air dans un tube supplémentaire de longueur différente. Ces pistons peuvent être actionnés ensemble, offrant sept combinaisons distinctes de longueurs supplémentaires équivalent aux sept positions de la coulisse. Ce mécanisme permet une dextérité difficile à obtenir avec une coulisse, mais au détriment de la justesse, les positions intermédiaires n’étant pas réalisables. Le trombone à pistons est souvent pensé et joué en siformula_1. Dans ce cas, le trombone est un instrument transpositeur, comme la trompette.


title: Trombone (instrument)

text: Il existe neuf principaux types de trombones : soprano, alto, ténor, ténor complet, à pistons, basse, contrebasse, cimbasso et le saqueboute. Sans précision sur sa nature, le mot trombone désigne généralement le trombone à coulisse ténor.


title: Trombone (instrument)

text: Le trombone soprano est le plus court (donc le plus aigu) et son timbre se rapproche davantage de celui de la trompette qu'aucun autre trombone, et on l'assimile d'ailleurs à la trompette à coulisse (même longueur de tuyau). Il est, à sa note fondamentale, en siformula_1 et il est transpositeur en siformula_1, tout comme la trompette. On trouve des partitions pour trombone soprano dans des pièces écrites pour ensembles de cuivres, mais peu d'œuvres classiques l'ont utilisé. Son origine est d'ailleurs incertaine, il ne s'agirait peut-être pas d'un instrument classique mais d'une apparition assez moderne.


title: Trombone (instrument)

text: Le trombone alto est accordé en miformula_1 ou plus rarement en fa (instrument plus court que celui en miformula_1), et il est plus petit que le ténor. Il a, comme le trombone ténor, 7 positions. Son timbre est plus brillant. Il n'est pas transpositeur. Ses parties sont écrites en ut sur clef d'ut 3. Il est principalement utilisé dans des œuvres symphoniques (notamment de Beethoven), mais il a connu une heure de gloire comme instrument soliste. Des compositeurs modernes l'ont d'ailleurs redécouvert et l'ont introduit dans des pièces récentes.


title: Trombone (instrument)

text: Le trombone ténor est le trombone standard, quand on parle de trombone sans précision de registre, c'est du ténor qu'il s'agit. Il est, à sa note fondamentale, en siformula_1 ou très rarement en do (instrument un peu plus court que celui en siformula_1). Non transpositeur, ses parties sont écrites en ut sur clef de fa ou clef d'ut 4 (rarement, on trouve des partitions en clef de sol transposées en siformula_1, notamment dans les fanfares et les marching bands américains). On peut déplacer la coulisse en sept positions.


title: Trombone (instrument)

text: C'est un trombone ténor auquel on a ajouté un dispositif déviant l'air dans un tube supplémentaire, ce qui permet au musicien de baisser la note d'une quarte juste en actionnant une clé de pouce (ou barillet ou noix). On accroît ainsi la tessiture de l'instrument, mais aussi la vélocité du jeu car le barillet permet d'éviter d'utiliser les sixième et septième positions de la coulisse à bout de bras. Par opposition, le ténor sans barillet est alors appelé "Trombone ténor simple".


title: Trombone (instrument)

text: Les positions du trombone ténor simple et du trombone ténor complet sont identiques si on n'appuie pas sur la noix du trombone ténor complet.


title: Trombone (instrument)

text: Le trombone à pistons a un registre comparable à celui du trombone ténor, mais la coulisse est remplacée par trois pistons. Il dispose quelquefois de deux tubes amovibles interchangeables qui permettent de fixer sa fondamentale soit en siformula_1 soit en ut. L'articulation est différente, plus proche de celle de la trompette, et il permet une dextérité difficile à obtenir avec une coulisse. Il est généralement considéré comme étant difficile à jouer juste, et est de moins en moins utilisé de nos jours, sauf dans les orchestres d'harmonie allemands et les orchestres de musique traditionnelle macédonienne. Contrairement au trombone ténor à coulisse, le trombone à piston peut être un instrument transpositeur s'il est réglé en siformula_1.


title: Trombone (instrument)

text: Le trombone basse est conçu en siformula_1 (à la même hauteur que le ténor) et joué en ut (non transpositeur). Ses parties sont écrites en clef de fa. Il a la même taille (même longueur) que le trombone ténor : toutefois, son tuyau est plus large et il a un pavillon plus imposant, ce qui lui permet d'être plus sonore que le ténor dans le registre grave; de plus, il dispose le plus souvent de deux clés de pouce (plutôt qu'une seule comme le ténor complet), fa et ré (parfois siformula_1), qui changent la tonalité de l'instrument et le rendent plus facile à jouer dans les graves. Les notes du trombone basse sont jouées de la même façon que pour le ténor (à moins d'utiliser les barillets). Il y a généralement un joueur de trombone basse par brass band, par big band et par orchestre symphonique, et ils sont également souvent présents dans les ensembles de cuivres modernes.


title: Trombone (instrument)

text: Le trombone contrebasse à coulisse est plus rare et est accordé une quarte (fondamentale fa) ou une octave plus bas que le ténor (fondamentale siformula_1). Il existe plusieurs moyens d'augmenter la longueur du tube : le trombone contrebasse en fa possède une forme similaire mais des dimensions plus larges que le trombone basse ; dans le cas du trombone contrebasse en siformula_1, on utilise une coulisse avec double enroulement. La coulisse était autrefois munie d'une tige permettant d'atteindre les positions les plus basses, ce qui est rare de nos jours. Le trombone contrebasse en fa est de plus en plus utilisé au détriment de celui en siformula_1, car il se marie mieux avec le son d'ensemble de la section trombones/tuba de l'orchestre (son homologue en siformula_1 ayant un son, du fait de la longueur de son tube proche de celle des tubas, moins caractérisé).


title: Trombone (instrument)

text: Il est plus particulièrement utilisé dans les opéras de Richard Wagner (L'Anneau du Nibelung…) où il est au rang de du pupitre, auprès de deux ténors et d'un basse. Gustav Mahler et Richard Strauss (notamment dans Elektra), l'ont également utilisé. Dans le jazz il sera utilisé dans certains ensembles du contrebassiste Charles Mingus. Cet instrument atypique connaît un regain de popularité dans des bandes originales de films composées entre autres par Danny Elfman.


title: Trombone (instrument)

text: Le cimbasso, trombone contrebasse à cylindres, est comparable au trombone contrebasse par sa tessiture et sa position dans le pupitre. De la même façon, il existe le cimbasso en fa et en siformula_1. Des compositeurs, essentiellement italiens et initialement étrangers à l'utilisation des tubas dans l'orchestre symphonique, comme Giuseppe Verdi, l'ont utilisé dans leurs opéras. Il est de plus en plus utilisé dans les musiques de film, voire dans le jazz.


title: Trombone (instrument)

text: Le souzabone est un trombone électrique contemporain en do, inventé par le tromboniste brésilien et musicien expérimental Raúl de Souza.


title: Trombone (instrument)

text: Le saqueboute, apparu au et utilisé dans la musique du Moyen Âge, est l’ancêtre du trombone. Il se différencie par son pavillon et ses tubes plus étroits que le trombone. Il ne possède pas de vis pour bloquer la coulisse.


title: Trombone (instrument)

text: Il existe aussi des trombones junior, plus courts et adaptés aux bras des enfants, ainsi que des trombones en plastique appelés p-bones. Leur poids léger est également adapté pour les débutants car il est plus léger.


title: Trombone (instrument)

text: Le répertoire du trombone en solo et en musique de chambre commence en Autriche pendant la période classique du milieu du avec des compositeurs tels que Leopold Mozart, Georg Christoph Wagenseil, Johann Albrechtsberger et Johann Ernst Eberlin, qui l'utilisaient souvent conjointement avec une voix. Joseph Haydn et Wolfgang Amadeus Mozart ont utilisé le trombone dans nombre de leurs œuvres sacrées, notamment dans deux duets avec voix de Mozart, le plus connu étant le "Tuba Mirum" de son "Requiem". L’inspiration pour beaucoup de ces travaux était sans doute due à la virtuosité de Thomas Gschladt qui joua à l’orchestre de la cour de Salzbourg. C'est cependant Christoph Willibald Gluck qui fut le premier compositeur significatif à en faire un usage proprement symphonique dans l'ouverture de l'opéra "Alceste" (1767). Gluck avait auparavant employé le trombone dans son ballet "Don Juan" (1761) et son opéra "Orfeo ed Euridice" (1762) et plus tard dans "Iphigénie en Tauride" (1779) ainsi que dans "Echo et Narcisse" la même année. Hormis pour "Écho et Narcisse", le trombone chez Gluck est associé au monde des esprits infernaux ou aux créatures surnaturelles.


title: Trombone (instrument)

text: Dans le Romantisme, Beethoven est le premier à intégrer les trombones dans une symphonie, en l'occurrence sa célèbre cinquième. Plus tard, on peut citer le deuxième mouvement de la Grande symphonie funèbre et triomphale de Berlioz où le trombone solo entonne un récitatif, puis un arioso s'épanouissant en une véritable aria. Ce solo plaintif où il dialogue avec l'orchestre est superbe et convient bien au caractère sombre de cette "oraison funèbre" (titre du second mouvement).


title: Trombone (instrument)

text: On trouve un autre célèbre solo de trombone, magnifique, dans le premier mouvement de la Symphonie nº 3 de Mahler. Le trombone est présent dans la neuvième symphonie de Schubert puis chez Brahms et Bruckner systématiquement. Le trombone jouera ensuite un rôle de plus en plus important dans les grandes œuvres symphoniques comme la Symphonie nº 7 de Sibelius. Il a un solo dans le Boléro de Maurice Ravel.


title: Trombone (instrument)

text: Si peu de compositeurs ont eu l'occasion d'écrire des pièces pour trombones solistes, le répertoire du violoncelle et du basson permettent aux trombonistes de s'exprimer dans d'autres genres et d'autres compositeurs. Il y a notamment les sonates pour violoncelle de Benedetto Giacomo Marcello. Certains trombonistes classiques revendiquent aussi de pouvoir jouer les suites pour violoncelle de Bach mais cela ne fait pas l'unanimité. La vision puriste voudrait de ne jouer que des pièces composées pour.


title: Trombone (instrument)

text: De nombreux concerti, pièces concertantes et autres œuvres ont été écrites pour trombone solo et piano ou orchestre. Ainsi plusieurs trombonistes excellent à jouer ce genre de pièces. Voir la . Le concerto le plus connu et joué aujourd'hui est celui de Ferdinand David, "Concertino" en 1837, c'est une œuvre d'inspiration romantique et requérant un niveau de maîtrise supérieur de l'instrument (dépassement des 4 octaves de tessiture).


title: Trombone (instrument)

text: Le tromboniste compositeur et improvisateur Vinko Globokar est un virtuose reconnu qui a notamment créé et enregistré la Sequenza V pour trombone solo de Luciano Berio, et a composé de nombreuses pièces contemporaines pour trombone solo.


title: Trombone (instrument)

text: Bien que le saxophone soit l'instrument le plus symbolique du jazz, le trombone est également très lié à cet art. L'instrument, par sa souplesse, a su s'adapter à l'évolution des sonorités et phrasés propres à l'histoire de ce genre. Le jazz Nouvelle-Orléans étant issu des fanfares de cuivres, il est normal que l'on y retrouve le trombone. C'est d'ailleurs à celui-ci que l'on doit le style « tailgate » : les orchestres défilaient sur un chariot traîné par des chevaux. Pour laisser assez d'espace à son encombrante coulisse, le tromboniste ouvrait le hayon ("tailgate" en anglais) et s'asseyait à l'arrière les pieds dans le vide. L'effet visuel, mais également sonore était garanti : cette période est celle des grands glissando à la coulisse et autres artifices sonores. Aussi, malgré les quelques virtuoses de l'époque (le plus célèbre étant Kid Ory), le trombone était surtout utilisé pour son côté comique. Un morceau emblématique du trombone dans le jazz est "Tiger rag", où le trombone fait de violents glissandos au son saturé pour imiter les rugissements du tigre.


title: Trombone (instrument)

text: Ce n'est qu'à partir des années 1920 avec l'apparition du swing et des big bands que le trombone prend ses lettres de noblesses dans le jazz. Mis en valeur par les arrangeurs et les grands solistes de l'époque, le trombone y est très à l'aise ; citons entre autres Jimmy Harrison et Jay C. Higginbotham chez Fletcher Henderson, Benny Morton, Vic Dickenson, Dickie Wells chez Count Basie, Juan Tizol (trombone à pistons), Tricky Sam Nanton, Lawrence Brown chez Duke Ellington, Tommy Dorsey...


title: Trombone (instrument)

text: Dans les années 1940, on pensait que l'inertie de la coulisse était un frein majeur à l'utilisation du trombone dans le bebop et ses tempi endiablés (quelques-uns, comme Bob Brookmeyer, passeront au trombone à pistons). Mais, c'était sans compter sur Jay Jay Johnson et Frank Rosolino, qui, repoussant les limites de l'instrument et développant une technique originale, parvinrent à atteindre la vélocité et le phrasé du saxophone. Ils furent suivis par Curtis Fuller et Slide Hampton. On les retrouve dans le hard bop des années 1950.


title: Trombone (instrument)

text: Le cool jazz fut l’occasion d’entendre Bill Harris, Kai Winding, Frank Rosolino ou Carl Fontana.


title: Trombone (instrument)

text: L’adaptation du jeu du trombone pendant ces années lui fit perdre ses particularités, comme le « growl » ou les effets de coulisse. Le free jazz se les ré-appropriera dans les années 1960, à travers notamment Roswell Rudd (inspiré de Kid Ory, il jouait auparavant dans des formations de style dixieland). Albert Mangelsdorff a développé la technique du « son polyphonique » consistant à jouer une note et à en chanter une autre simultanément, produisant une ou plusieurs harmoniques.


title: Trombone (instrument)

text: Aujourd’hui, l’évolution continue dans le sillage du free jazz. D’autres musiciens, comme Ray Anderson et George E Lewis, continuent également d’expérimenter autour du trombone. Parmi les trombonistes de jazz de référence d’aujourd’hui, citons entre autres, Conrad Herwig, Steve Turre, Vincent Boesch, Glenn Ferris, Nils Landgren, Phil Abraham, Marc Godfroid, Mark Nightingale, Bart Van Lier, Bert Boeren, Denis Leloup, Sebastien Llado, Yves Robert, ou le Français Benny Vasseur qui fut le tromboniste de Sidney Bechet.


title: Trombone (instrument)

text: En parallèle au jazz au milieu des années 1960, une génération de trombonistes en Europe a commencé à jouer en solo et dans de multiples rencontres musicales improvisées. On peut compter comme pionniers en Angleterre le tromboniste Paul Rutherford, en Allemagne les trombonistes Albert Mangelsdorff, Günter Christmann ou Conny Bauer, en Suède Eje Thelin, aux Pays-Bas Willy Van Manen, en Italie Gian Carlo Schiaffini, en France Vinko Globokar. Nombre de ces musiciens expérimentateurs ont participé à divers titres aux pratiques du jazz et des musiques contemporaines écrites.


title: Trombone (instrument)

text: Le trombone et la trompette sont très utilisés dans la salsa, mot espagnol qui signifie « sauce » et qui désigne à la fois une danse, un genre musical, mais également une famille de genres musicaux (musique latino-américaine). Un musicien, un chanteur ou un danseur de salsa est appelé salsero (salsera au féminin).


title: Trombone (instrument)

text: Willie Colon, inspiré par Mon Rivera a popularisé l'instrument dans la salsa. Jimmy Bosch est un des plus célèbres trombonistes de salsa actuels.


title: Trombone (instrument)

text: Fred Wesley, qui a été directeur musical de James Brown, s'impose comme l'un des pionniers les plus célèbres et un maître du funk instrumental.


title: Boniface Ier

text: C'est un saint pour l'Église catholique romaine, fêté le 4 septembre.


title: Boniface Ier

text: À la mort du pape Zosime, le , le parti des diacres élit pour lui succéder l'archidiacre Eulalien, le 27 décembre. Or, le 28, les prêtres choisissent l'un des leurs, qui devient . Il en résulte que, le 29 décembre, les deux hommes sont sacrés chacun de leur côté.


title: Boniface Ier

text: Pour trancher la question, l'empereur Honorius convoque un synode à Ravenne le et interdit aux deux prétendants d'entrer dans la ville de Rome. En fait, le synode hésitant laisse la décision à l'empereur. Comme celui-ci semble prendre son temps, Eulalien s'impatiente et pénètre dans la cité de Rome pour y célébrer les cérémonies de Pâques. Les troupes d'Honorius interviennent alors pour installer Boniface, tandis qu'Eulalien se console avec un évêché en Campanie (il y meurt sans histoires en 423). Pour éviter le renouvellement du problème, Honorius promulgue une ordonnance disposant qu'en cas de double élection, aucun des deux élus ne soit pape, mais que l'on procéderait à l'élection d'un troisième.


title: Boniface Ier

text: Le choix de Boniface est assez heureux, car il rétablit la dignité pontificale écornée par son prédécesseur. Il invoque, dans une lettre aux évêques de Thessalie en 422, pour la première fois le terme de "principatus" pour désigner l'Église romaine. Il retire son mandat à Patrocle d'Arles, nommé par Zosime métropolite des provinces de Vienne et Narbonne. Ceci rassure le clergé gaulois. Il parvient à convaincre l'empereur d'Orient, , de rendre à la juridiction de Rome la province d'Illyrie, alors qu'il l'a précédemment remise au patriarche de Constantinople.


title: Boniface Ier

text: Il est l'auteur de décrets interdisant aux femmes, fussent-elles religieuses, de toucher les linges sacrés (y compris pour les laver) ou de venir à l'autel pour y brûler de l'encens. Il interdit également aux esclaves de devenir des clercs.


title: Boniface Ier

text: Il meurt le . Il est considéré comme saint par l'Église catholique romaine. Il est fêté le .


title: Produit vectoriel

text: En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension 3. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique. Les travaux de Hermann Günther Grassmann et William Rowan Hamilton sont à l'origine du produit vectoriel défini par Gibbs.


title: Produit vectoriel

text: La mise en place de la notion de produit vectoriel prend son essor dans la deuxième moitié du , même si Lagrange utilise en 1773 des grandeurs assimilables aux composantes du produit vectoriel de deux vecteurs. Mais cette utilisation reste limitée à un usage ponctuel.  En 1843, Hamilton invente les quaternions qui permettent d'introduire naturellement le produit vectoriel. Indépendamment et à la même période (1844), Grassmann définit dans ' un « produit géométrique » à partir de considérations géométriques ; mais il ne parvient pas à définir clairement un produit vectoriel. Puis Grassmann lit Hamilton et s'inspire de ses travaux pour publier en 1862 une deuxième version de son traité qui est nettement plus claire. De même, Hamilton lit les travaux de Grassmann, les commente et les apprécie. Plus tard Maxwell commence à utiliser la théorie des quaternions pour l'appliquer à la physique. Après Maxwell, Clifford modifie profondément le formalisme de ce qui devenait l'analyse vectorielle. Il s'intéresse aux travaux de Grassmann et Hamilton avec une nette préférence pour le premier. Dans son ouvrage ' (1878), Clifford définit le produit vectoriel de deux vecteurs comme un vecteur orthogonal aux deux vecteurs et dont la grandeur est égale à l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs. En 1881, Gibbs publia "" s'inspirant des travaux déjà réalisés, notamment ceux de Clifford et Maxwell. Si les physiciens se sont empressés d'utiliser le formalisme de Gibbs, celui-ci ne fut accepté en mathématiques que bien plus tard, et après plusieurs modifications.


title: Produit vectoriel

text: Peter Guthrie Tait, dans la préface de la troisième édition de son traité sur les quaternions, qualifie le nouveau formalisme créé par Gibbs de .


title: Produit vectoriel

text: Plusieurs notations sont en concurrence pour le produit vectoriel :


title: Produit vectoriel

text: Dans cet article, la première convention sera utilisée (avec ou sans flèches sur les vecteurs).


title: Produit vectoriel

text: Soit "E" un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Par le choix d'une base orthonormée, "E" peut être identifié avec l'espace R, mais cette identification n'est pas obligatoire pour définir le produit vectoriel.


title: Produit vectoriel

text: D'un point de vue géométrique, En particulier :


title: Produit vectoriel

text: La notion d'orientation peut ici être de manière élémentaire en utilisant la règle de la main droite : le pouce, l'index et le majeur écartés en un trièdre indiquent respectivement le sens de formula_2, de formula_3 et de formula_1. Cette , utilisée dans l'enseignement secondaire, n'est pas totalement satisfaisante, mais reste une approche adaptée aux applications, en particulier en physique (voir l'article orientation (mathématiques) pour une approche plus théorique).


title: Produit vectoriel

text: Une seconde définition utilise la théorie des déterminants et la notion de produit mixte comme point de départ. Le produit mixte de trois vecteurs , , , noté , est le déterminant de ces trois vecteurs dans une base orthonormée directe (BOND) quelconque. La formule de changement de base montre que ce déterminant est indépendant du choix de la base directe ; géométriquement il est égal au volume orienté du parallélépipède appuyé sur les vecteurs , , . Le produit vectoriel s'interprète comme les variations du volume orienté d'un parallélépipède en fonction du troisième côté.


title: Produit vectoriel

text: Avec une telle définition, il est possible de définir, dans un espace vectoriel orienté de dimension "n" + 1, le produit vectoriel de "n" vecteurs.


title: Produit vectoriel

text: Cette définition se reformule en recourant au formalisme des espaces euclidiens. Le produit vectoriel est alors le vecteur dual de l’application linéaire , donné par le théorème de représentation de Riesz.


title: Produit vectoriel

text: Le choix arbitraire d'une base orthonormée directe donne une identification de "E" et de formula_7. Notons les coordonnées et .


title: Produit vectoriel

text: Leur produit vectoriel est donné par : formula_8.


title: Produit vectoriel

text: Cette troisième définition, puisqu'elle est équivalente aux deux précédentes, est indépendante, malgré les apparences, du choix de la base orthonormée directe dans laquelle on calcule les coordonnées.


title: Produit vectoriel

text: Ces propriétés découlent immédiatement de la définition du produit vectoriel par le produit mixte et des propriétés algébriques du déterminant.on peut démontrer facilement l'égalité


title: Produit vectoriel

text: que l'on peut aussi écrire sous la forme :


title: Produit vectoriel

text: ce qui équivaut à l'identité trigonométrique) + \cos^2(\widehat{\vec{u},\vec v}) = 1}}et qui n'est rien d'autre qu'une des façons d'écrire le théorème de Pythagore.


title: Produit vectoriel

text: Le produit vectoriel est invariant par l'action des isométries vectorielles directes. Plus exactement, pour tous vecteurs et de "E" et pour toute rotation de "E", on a : Cette identité peut être prouvée différemment suivant l'approche adoptée :


title: Produit vectoriel

text: Définition géométrique : L'identité est immédiate avec la première définition, car préserve l'orthogonalité, l'orientation et les longueurs.


title: Produit vectoriel

text: Produit mixte : L'isomorphisme linéaire laisse invariant le produit mixte de trois vecteurs. En effet, le produit mixte de , , peut être calculé dans l'image par de la base orthonormée directe dans laquelle le produit mixte de , et est calculé. De fait, l'identité précédente s'obtient immédiatement : où parcourt tout l'espace vectoriel quand le parcourt puisque est une bijection, d'où l'égalité souhaitée.


title: Produit vectoriel

text: Toute isométrie directe de R est une rotation vectorielle. L'ensemble des isométries directes forme un groupe de Lie classique noté SO(3) (autrement dit, un sous-groupe fermé de GL(R)). Son algèbre de Lie, notée so(3) est la sous-algèbre de Lie de gl(R) définie comme l'espace tangent de SO(3) en l'identité. Un calcul direct montre qu'il est l'espace des matrices antisymétriques de taille 3. Cet espace est "a fortiori" stable par le crochet de Lie.


title: Produit vectoriel

text: Toute matrice antisymétrique de taille 3 s'écrit de manière unique


title: Produit vectoriel

text: En identifiant et le vecteur formula_14, on définit un isomorphisme linéaire entre so(3) et R. Le crochet de Lie se transporte via cet isomorphisme, et R hérite d'une structure d'algèbre de Lie. Le crochet de deux vecteurs est précisément le produit vectoriel de et de .


title: Produit vectoriel

text: En effet, si formula_15 et formula_16, leur crochet se calcule en introduisant les matrices antisymétriques correspondantes formula_17 et formula_18 :  Le vecteur correspondant, à savoir formula_20, a donc pour coordonnées  formula_21. Cette approche redéfinit donc le produit vectoriel.


title: Produit vectoriel

text: Si on suit cette approche, il est possible de prouver directement l'invariance du produit vectoriel par les isométries directes.


title: Produit vectoriel

text: En tant qu'algèbres de Lie, so(3) a été identifié à R. L'action (linéaire) de SO(R) sur R s'identifie à l'action par conjugaison sur so(3). SO(R) opère donc par automorphisme d'algèbres de Lie. Autrement dit, l'identité ci-dessus est vérifiée.


title: Produit vectoriel

text: Il est possible de retrouver produit vectoriel et produit scalaire à partir du produit de deux quaternions purs. Pour rappel, le corps (non commutatif) des quaternions H est l'unique extension de R de dimension 4. Sa base canonique est où le sous-espace engendré par , et forme l'espace des quaternions purs, canoniquement identifié avec R. Ces éléments vérifient : Si et , le produit se calcule immédiatement :


title: Produit vectoriel

text: La partie réelle est au signe près le produit scalaire de et de ; la partie imaginaire est un quaternion pur qui correspond au produit vectoriel, après identification avec R.


title: Produit vectoriel

text: Cette coïncidence trouve ses explications dans le paramétrage du groupe SO(3) par les quaternions unitaires. Il est de nouveau possible de justifier l'invariance par isométrie. Toute isométrie de l'espace des quaternions imaginaires s'écrit comme la conjugaison par un quaternion unitaire. Si est un quaternion unitaire, et , sont des quaternions imaginaires, il suffit de constater : pour en déduire l'invariance par isométrie du produit vectoriel.


title: Produit vectoriel

text: Soient deux vecteurs et dont les 3 coordonnées dans une base orthonormée directe sont notées respectivement formula_23 et formula_24. On peut définir le tenseur formula_25 dont les 9 coordonnées sont ce qui, en notation tensorielle, s'écrit simplement formula_27.


title: Produit vectoriel

text: Ce tenseur peut se décomposer en la demi-somme de deux tenseurs, l'un complètement symétrique formula_28 qui a 6 coordonnées indépendantes données par formula_29, et l'autre complètement anti-symétrique formula_30 qui a 3 coordonnées indépendantes données par formula_31.


title: Produit vectoriel

text: On peut associer formula_32 et le vecteur dont les coordonnées sont : ce qui, à l'aide du symbole de Levi-Civita formula_34 peut s'écrire formula_35


title: Produit vectoriel

text: Selon la convention de sommation d'Einstein, on somme sur et sur dans la formule ci-dessus. Par exemple pour ( et variant de 1 à 3), formula_36.


title: Produit vectoriel

text: Comme cette égalité est conservée lors d'un changement de base orthonormée directe, est bien le produit vectoriel de et .


title: Produit vectoriel

text: "Remarque :" Dans l'écriture ci-dessus, formula_32 désigne le produit extérieur des vecteurs et . Avec la notation formula_38 pour le produit vectoriel on peut écrire formula_39, etc. ce qui ne pose aucun problème. Avec la notation française formula_40 pour le produit vectoriel, on obtient formula_41 ce qui peut amener des confusions.


title: Produit vectoriel

text: Dans le cas général, la base n'est pas nécessairement orthonormée directe. Comme le produit extérieur formula_32 est défini de manière intrinsèque (définition tensorielle), l'expression de ses coordonnées est inchangée : formula_31.  Mais il n'en est pas de même pour le produit vectoriel. Pour généraliser au cas d'une base quelconque, (toujours en dimension 3) il faut introduire les coordonnées covariantes et contravariantes ainsi que le tenseur de Levi-Civita formula_44


title: Produit vectoriel

text: On obtient alors formula_45 ou de manière équivalente formula_46


title: Produit vectoriel

text: Théorème : si une application bilinéaire notée formula_47 de formula_48 dans , espace vectoriel réel de dimension 3, vérifie pour tout formula_49 :Alors il existe une orientation de telle que formula_47 est le produit vectoriel de .


title: Produit vectoriel

text: Étapes successives de la démonstration :


title: Produit vectoriel

text: a. On montre formula_53 en partant de formula_54 et utilisant 1. puis 2.


title: Produit vectoriel

text: b. On en déduit directement formula_55 (égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz) puis formula_56 en calculant formula_57.


title: Produit vectoriel

text: c. Soient formula_58 deux vecteurs normés orthogonaux, formula_59, alors en utilisant 1. et a. on montre que formula_60 est orthonormale, puis que formula_61 et formula_62.


title: Produit vectoriel

text: d. En exprimant et dans cette base, décrétée directe, on calcule les coordonnées de formula_32 , qui montrent alors que formula_47 est bien « le » produit vectoriel.


title: Produit vectoriel

text: On appelle produit vectoriel sur un espace euclidien "V" une application bilinéaire notée ×, allant de "V × V" vers "V",formula_65, ayant les propriétés suivantes :  et : où (x·y) est le produit scalaire et |x| est la norme du vecteur x. Une formulation équivalente, utilisant l'angle "θ" entre les vecteurs, est : ce qui est l'aire du parallélogramme (dans le plan de x et y) ayant les deux vecteurs pour côtés. Il est également possible de montrer que l'expression suivante est équivalente aux deux précédentes : On démontre alors qu'un produit vectoriel non trivial ne peut exister qu'en dimensions trois et sept ; de plus, en dimension trois, ce produit vectoriel est unique au signe près.


title: Produit vectoriel

text: La définition mathématique du produit vectoriel nécessite la notion « d'orientation de l'espace », expression qui, même de nos jours (2021), est assez peu utilisée en dehors du champ mathématique. Les mathématiciens définissent l'orientation en dimensions quelconques sur des objets très généraux appelés variétés d'une manière nécessairement très abstraite. Même dans le cas simple des espaces vectoriels, la définition la plus usuelle fait intervenir la notion de forme volume (elle ne fait pas appel aux bases) et est assez peu concrète. Les physiciens, entre autres, préfèrent utiliser « l'orientation d'une base », notion plus facilement accessible (en dimension 3) à l'aide des trois premiers doigts de la main : règle de la main droite ou règle de la main gauche selon le cas. En anglais, on utilise l'expression imagée .


title: Produit vectoriel

text: En physique, la définition moderne du produit vectoriel est conforme à la définition mathématique. Mais il n'en a pas toujours été ainsi. Par exemple, chez , on trouve :  En physique, la définition moderne du produit vectoriel de deux vecteurs ne fait pas intervenir le fait qu'ils soient polaires ou axiaux et est indépendante de tout système de coordonnées : c'est donc un tenseur. Plus précisément c'est un tenseur de rang 1, c'est-à-dire un vecteur. Alors que pour Landau, le produit vectoriel de deux vecteurs polaires (et d'une manière plus générale, tout vecteur axial) est un pseudo-tenseur de rang 1, c'est-à-dire un pseudo-vecteur (voir Pseudo-vecteur (homonymie)). La définition de Landau est donc obsolète mais elle a le grand mérite d'être "clairement" obsolète.


title: Produit vectoriel

text: À première vue, cette définition semble être analogue à celle de Landau. Mais le dessin qui l'accompagne permet de mieux la comprendre. L'auteur utilise un repère orthonormal dans lequel, "par définition", les formules usuelles sont correctes. Il explique ensuite que "par convention" on le représente sous la forme d'un repère orienté à droite (il ne le précise pas mais cela signifie que "l'espace" est orienté à droite) mais que l'on pourrait tout aussi bien le représenter orienté à gauche (l'espace serait alors orienté à gauche). Le changement de signe du produit vectoriel vient donc du changement d'orientation "de l'espace", ce qui est conforme à sa définition.


title: Produit vectoriel

text: La citation précédente n'est explicitée que grâce au dessin qui l'accompagne ; seule elle est ambigüe. D'autres auteurs sont sans doute dans le même cas et il faut être prudent lorsque l'on extrait une phrase de son contexte. Par exemple


title: Produit vectoriel

text: Faut-il interpréter cette citation comme celle ci-dessus ? Par la suite, l'auteur précise sa pensée et en fait il est dans le même esprit que Landau.


title: Produit vectoriel

text: Il apparait donc, comme le dit Jean Sivardière, que « deux définitions, non équivalentes, du produit vectoriel se rencontrent dans la littérature ». Est-il possible de concilier ces deux approches ?


title: Produit vectoriel

text: "A priori", cela est impossible. On ne peut pas affirmer d'un côté que le produit vectoriel est un vecteur (la définition est indépendante de tout repère) et prétendre de l'autre qu'un changement de base "seul" peut le changer en son opposé : cela est une "contradiction" pure et simple. Il faut que les choses soient claires : le produit vectoriel de deux vecteur polaires est un vecteur axial mais ce n'est pas un pseudo-tenseur. En effet  Certes, lorsque l'on change les deux "en même temps", produit vectoriel et pseudo-tenseur sont changés en leur opposé mais cela ne fait que masquer leurs différences.


title: Produit vectoriel

text: Certains commentateurs, refusant de voir cette incompatibilité, ont eu l'idée de redéfinir la notion de "renversement des axes" : un renversement des axes serait toujours accompagné "implicitement" par un renversement de l'orientation de l'espace. Ainsi, le changement de signe du produit vectoriel serait conforme à la définition.


title: Produit vectoriel

text: L'idée est intéressante mais elle est inapplicable en ce qui concerne les citations des grands auteurs. Car même si cela pourrait convenir à certains, pour d'autres ce serait une trahison de leur pensée ; seule une analyse plus précise du contexte peut éventuellement permettre de savoir quelle définition du produit vectoriel l'auteur a choisi.


title: Produit vectoriel

text: On définit l'opérateur rotationnel comme suit : \vec i & \vec j & \vec k \\  \partial_x & \partial_y & \partial_z \\  u_x & u_y & u_z  En mécanique du solide, c'est une opération très employée notamment dans la relation de Varignon qui lie les deux champs vectoriels d'un torseur. D'autre part, les équations de Maxwell sur l'électromagnétisme s'expriment à travers l'opérateur rotationnel, ainsi que les équations de la mécanique des fluides, notamment celles de Navier-Stokes.


title: Produit vectoriel

text: Le moment d'une force est défini comme le produit vectoriel de cette force formula_70 par le vecteur formula_71 reliant son point d'application au pivot considéré : C'est une notion primordiale en mécanique du solide.


title: Produit vectoriel

text: Soient "A", "B" et "C", trois points non alignés de l'espace, grâce auxquels on peut former le plan ("ABC").


title: Produit vectoriel

text: L'équation cartésienne de ("ABC") est de la forme , où et sont des réels et formula_1 est un vecteur normal à ("ABC"), c'est-à-dire que son produit scalaire avec le vecteur formula_73 ou avec formula_74 ou encore avec le vecteur formula_75 est nul, donc si formula_1 est un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ("ABC").


title: Produit vectoriel

text: Les réels et sont donc les composantes respectives en et du vecteur formula_1, produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires du plan ("ABC"), par exemple formula_73 et formula_74.


title: Produit vectoriel

text: Soit "ABCD" un parallélogramme, c'est-à-dire qu'on a la relation Comme indiqué plus haut dans la définition, l'aire de ce parallélogramme est égale à la norme du produit vectoriel des deux vecteurs sur lesquels il s'appuie :www.isima.fr/~leborgne/IsimathMeca/Produitvectoriel.pdf. "Produit vectoriel, pseudo-produit vectoriel, et endomorphismes antisymétriques". 9 pages.


title: Produit vectoriel

text: QCM Prod, un programme python gratuit pour s'entraîner aux produits vectoriels.


title: Polygynie

text: La polygynie désigne le système d'accouplement par lequel le mâle d'une espèce animale s'accouple avec plusieurs femelles.


title: Polygynie

text: Plus spécifiquement, cela correspond au fait pour un homme de vivre avec plusieurs femmes. C'est le cas le plus courant de polygamie (le fait de contracter plusieurs unions), l'autre étant la polyandrie, situation où une femme vit avec plusieurs hommes.


title: Polygynie

text: Ce terme est formé à partir de deux mots grecs (« nombreux ») et de , (« femme »), sur le modèle de « polygamie » (qui signifie « plusieurs mariages », qu'il s'agisse indifféremment d'hommes ou de femmes). Ce mot "polygynie" est de plus en plus usité pour discriminer cette pratique de son hyperonyme, et de son antonyme « polyandrie », d'origine similaire. Les termes « polygynie » et « polygamie » sont donc souvent utilisés comme synonymes, avec cette différence que le premier désigne plus précisément un homme ayant plusieurs épouses.


title: Polygynie

text: Les Vikings établis en Normandie gardèrent cette tradition bien qu'étant convertis au christianisme. Ainsi les jarl et ducs de Normandie, depuis Rollon le Marcheur, jusqu'à Robert le Magnifique (5 générations) pouvaient avoir plusieurs secondes épouses, appelées frilla. Les fils issus de ces unions étant appelés bâtards, cela explique le premier nom de Guillaume le Conquérant, à savoir Guillaume le Bâtard.


title: Polygynie

text: La polygynie est une pratique culturelle qui peut trouver sa justification dans certains cultes. En particulier dans le lévirat, si le frère du défunt est déjà marié il se retrouve avec deux épouses. Plusieurs exemples sont relevés dans l'Ancien Testament.


title: Polygynie

text: La Torah permet explicitement la polygynie (mais à de nombreuses conditions) bien que celle-ci n'y soit pas présentée comme un mode de vie idéal et n'y soit pas du tout encouragée. On peut effectivement y trouver plusieurs cas célèbres de polygynie tels que ceux d'Abraham, de Jacob ou plus tard du roi Salomon qui aura 700 épouses (selon le livre des Prophètes). À l'inverse, on y trouve les cas d'autres personnages emblématiques tel que celui du second patriarche Isaac ou celui de Moïse lui-même, qui n'auront tous deux qu'une seule femme. La polygynie sera officiellement interdite pour les Juifs ashkénazes au par Rabbenu Gershom, l'un des pères de la tradition rabbinique ashkénaze. Cette interdiction est, à présent, également adoptée par la grande majorité des Juifs séfarades.


title: Polygynie

text: Le Coran fait également référence à la polygynie


title: Polygynie

text: Ce verset ne doit ni faire oublier que la norme du mariage dans la civilisation musulmane est la monogamie ni le fait que la polygynie est largement antérieure aux textes coraniques et n'a donc pas été instaurée par l'islam. Au contraire, l'islam a limité le nombre d'épouses à quatre (bien que, selon certains biographes, Mahomet ait eu au total quinze épouses, jusqu'à onze simultanément), un nombre qui pouvait être plus élevé avant l'avènement de cette religion en Arabie. Il n'incite nullement le croyant à devenir polygyne mais est plus souvent interprété comme une réglementation de cette pratique et éventuellement fournir une solution morale, pratique et humaine aux veuves et aux orphelins si l'on prend en compte la position de ce verset au sein du Coran. En effet ce verset traitant de la polygamie a été révélé après la bataille de Uhud au cours de laquelle des douzaines de musulmans furent tués, laissant derrière eux des veuves et des orphelins dans le besoin.


title: Polygynie

text: La polygamie est avant tout une mesure sociale. La norme dans l'islam est la monogamie. Selon le rite hanbalite, il est recommandé ("mandub") d'épouser une seule femme, car il y a un risque d'injustice entre les épouses dans la polygamie.


title: Polygynie

text: L'Église de Jésus-Christ des saints des derniers jours (mormons) a autorisé la polygynie chez ses membres sous le nom de mariage plural jusqu'en 1889.


title: Polygynie

text: La polygynie animale est souvent repris sous le terme « harem », comme avec les chevaux, les hippopotames ou les otaries ; soit un mâle pour plusieurs femelles.


title: Polygynie

text: La monogamie est rare chez les animaux, notamment en raison du degré important de l'investissement maternel dans la nutrition de l'embryon et la lactation, ce qui explique la fréquence de la polygynie chez les mammifères (35 %).


title: Christian Clavier

text: Christian Clavier est un acteur, scénariste et producteur français, né le à Paris.


title: Christian Clavier

text: Révélé au café-théâtre au sein de la troupe du Splendid dans les années 1970, il acquiert à leurs côtés une notoriété nationale dans des films restés célèbres, tels que "Les Bronzés" (1978), "Les Bronzés font du ski" (1979), "Le père Noël est une ordure" (1982) ou "Papy fait de la résistance" (1983).


title: Christian Clavier

text: S'ensuit une collaboration avec Jean-Marie Poiré, sur des films qu'il co-écrit, avec "Twist again à Moscou" (1986), "Mes meilleurs copains" (1989), "L'Opération Corned-Beef" (1991), puis de grands succès qui l'établissent comme une valeur sûre du box-office : "Les Visiteurs" (1993), "Les Anges gardiens" (1995) et "" (1998). Il confirme sa popularité avec les deux superproductions où il incarne Astérix , et les retrouvailles du Splendid dans "Les Bronzés 3" (2006).


title: Christian Clavier

text: Il s'illustre dans de rares prestations dramatiques, à la télévision en interprétant Thénardier dans "Les Misérables" (2000), puis dans "Napoléon" (2002), et au cinéma dans "La Sainte Victoire" (2009) et "Un sac de billes" (2017). Après plusieurs échecs, dont celui de son unique réalisation, "On ne choisit pas sa famille" (2011), il renoue avec le succès avec "Les Profs" (2013) et surtout "Qu'est-ce qu'on a fait au Bon Dieu ?" (2014) et ses suites.


title: Christian Clavier

text: Acteur très populaire, il est le seul, toutes générations et nationalités confondues, à être en tête d'affiche de quatre films ayant atteint plus de dix millions de spectateurs au box-office français, à savoir "Les Visiteurs" (1993), "" (2002), "Les Bronzés 3" (2006) et "Qu'est-ce qu'on a fait au Bon Dieu ?" (2014).


title: Christian Clavier

text: Christian Jean-Marie Clavier naît le à Paris. Son père, Jean-Claude Clavier, était chirurgien ORL et sa mère, Phanette Rousset-Rouard, femme au foyer. Son frère Stéphane Clavier, est réalisateur, et sa sœur, professeur. Son oncle maternel est le producteur Yves Rousset-Rouard.


title: Christian Clavier

text: Il se lie d'amitié avec Gérard Jugnot en 5 puis tous deux suivent la même scolarité pour arriver dans des études secondaires au lycée Pasteur de Neuilly où ils rencontreront d'autres futurs membres du "Splendid" (Thierry Lhermitte et Michel Blanc).


title: Christian Clavier

text: Christian Clavier obtient son baccalauréat avec la mention « très bien » en 1971, puis entame des études de sciences politiques à l'Institut d'études politiques de Paris (IEP) aux côtés du futur président de la république François Hollande, qui était également son camarade de classe en terminale. Cependant, contrairement à ce dernier, Christian Clavier finit par quitter l'IEP au bout de six mois pour se lancer dans une carrière de comédien.


title: Christian Clavier

text: Christian Clavier entame sa carrière dans la troupe de théâtre comique du Splendid, dont son oncle, le producteur Yves Rousset-Rouard deviendra actionnaire.


title: Christian Clavier

text: Il devient ainsi auteur, metteur en scène et interprète de "Je vais craquer", "Ma tête est malade" et, en 1978, "Amours, coquillages et crustacés", qui est ensuite adapté au cinéma par Patrice Leconte sous le titre "Les Bronzés".


title: Christian Clavier

text: Il se voit offrir, de 1973 à 1979, de petits rôles dans des films comme "L'An 01" en 1973, "Que la fête commence..." en 1975, "F… comme Fairbanks" en 1976 ou encore "Le Diable dans la boîte" en 1977.


title: Christian Clavier

text: Il participe à de nombreux films burlesques avec cette troupe, dont "Les Bronzés" (1978) ou "Le père Noël est une ordure" (1982), adaptée au cinéma par Jean-Marie Poiré. Le succès ne le quitte plus.


title: Christian Clavier

text: Devenus inséparables, Christian Clavier et le cinéaste poursuivent leur collaboration avec "Papy fait de la résistance" (1983), "Twist again à Moscou" (1986) et "Mes meilleurs copains" (1989), l'histoire de retrouvailles d'amis de lycée sur un mode nostalgique et chaleureux.


title: Christian Clavier

text: Dans les années 90, le duo enchaîne d'autres succès publics : "Opération corned-beef" (1991), où Christian Clavier donne pour la première fois la réplique à Jean Reno, "Les Visiteurs" (1993) et sa suite (1998) ainsi que "Les Anges gardiens" (1995). Avec le triomphe historique au box-office des Visiteurs, Christian Clavier assoit son statut d'acteur comique numéro un et reprend le flambeau de Louis De Funès, dont il se réclame fréquemment.


title: Christian Clavier

text: Son nom est alors associé à un art cinématographique et télévisuel visant un public populaire, dans la continuité de la comédie française : "Les Anges gardiens", "", "Les Visiteurs en Amérique" (respectivement suite et reprise des "Visiteurs"), ou encore "Astérix et Obélix contre César" et sa suite "".


title: Christian Clavier

text: Christian Clavier a été membre de plusieurs duos, il a tourné ainsi avec :Il est aussi producteur, via sa société Ouille Productions, nommée en référence à son rôle de Jacquouille la Fripouille qu'il jouait dans la trilogie des "Visiteurs".


title: Christian Clavier

text: Il débute cette décennie avec deux projets internationaux : en 2001 sort le remake "Les Visiteurs en Amérique", toujours sous la direction de Jean-Marie Poiré. Mais le film est un échec critique et commercial. Il est même récompensé à l'occasion de la cérémonie des Bidets d'or. L'année suivante, il redevient Astérix pour "", co-écrit et réalisé par Alain Chabat. Le film est un énorme succès critique et commercial.


title: Christian Clavier

text: Il s'aventure également dans un registre dramatique avec deux mini-séries télévisées à prestige : en 2000, il incarne le père Thénardier pour "Les Misérables", adaptation du roman de Victor Hugo signée Josée Dayan, puis en incarnant Napoléon Bonaparte dans le biopic "Napoléon", réalisé par Yves Simoneau.


title: Christian Clavier

text: Il enchaîne plusieurs flops au cinéma 2003, la comédie "Lovely Rita, sainte patronne des cas désespérés", réalisée par son frère Stéphane Clavier, où il partage l'affiche avec Julie Gayet. Il s'associe ensuite à des acteurs confirmés du cinéma français :  en 2004, il partage l'affiche de la comédie "Albert est méchant" avec Michel Serrault, puis il retrouve Jean Reno pour une nouvelle adaptation de bande dessinée, "L'Enquête corse", réalisée par Alain Berberian. En 2005, dans "L'Antidote", il donne la réplique à Jacques Villeret.


title: Christian Clavier

text: Il tente de rebondir avec un projet plus sûr : en 2006, à la suite de l'annulation du projet "Astérix et Obélix en Hispanie" initialement dirigé par Gérard Jugnot en 2004, lui et ses anciens collègues du Splendid redonnent vie aux personnages des "Bronzés" et des "Bronzés font du ski" qui les ont révélés, dans "Les Bronzés 3 : Amis pour la vie" qui totalise (dont 4 millions en première semaine, soit le meilleur démarrage français jusqu'à la sortie de "Bienvenue chez les Ch'tis" en 2008). Les critiques de la presse spécialisée sont négatives mais c'est un succès auprès du public.


title: Christian Clavier

text: Par la suite, une troisième adaptation cinématographique de la bande dessinée "Astérix" sort en 2008, commandée au producteur Thomas Langmann, qui va aussi le co-réaliser. "Astérix et Obélix aux Jeux olympiques" va surtout convoquer un parterre de célébrités, autour de Gérard Depardieu qui revient dans le rôle d'Obélix, et de Clovis Cornillac en Astérix. En effet, en représailles du rejet par le dessinateur Albert Uderzo du projet de son ami Gérard Jugnot, Clavier a refusé de reprendre le rôle du petit Gaulois.


title: Christian Clavier

text: Il achève la décennie avec d'autres échecs : la comédie dramatique "Le Prix à payer", dont il partage l'affiche avec Nathalie Baye, Gérard Lanvin et Géraldine Pailhas. La même année, il retrouve Gérard Jugnot et Josiane Balasko dans "L'Auberge rouge", remake réalisé par Gérard Krawczyk du film homonyme de Claude Autant-Lara (1951), dont Fernandel était l'une des vedettes. Par ailleurs, Alexandre Astier lui confie un rôle dans sa série à succès "Kaamelott", celui du jurisconsulte dans le "Livre V".


title: Christian Clavier

text: En 2009, il s'essaie à un registre dramatique en partageant l'affiche de "La Sainte Victoire" avec Clovis Cornillac. Le film passe inaperçu.


title: Christian Clavier

text: Il a joué dans près de 90 films, écrit ou co-écrit + d’une quinzaine, en a produit 5 et réalisé 1 seul, en 2011 : "On ne choisit pas sa famille".


title: Christian Clavier

text: En 2012, il part habiter à Londres à la suite de vives attaques personnelles sur son amitié avec Nicolas Sarkozy et artistiques après le fiasco de son film sorti l'année précédente, "On ne choisit pas sa famille", qu'il a réalisé, scénarisé, produit et où il interprète l'un des personnages principaux.


title: Christian Clavier

text: Clavier profite de son temps libre pour écrire, avec Jean-Marie Poiré, le scénario du nouveau "Les Visiteurs", "". Grâce à ça, il retrouve .


title: Christian Clavier

text: En 2013, il intègre le casting choral de la comédie à succès "Les Profs", une adaptation de la bande dessinée du même nom signée par un ancien humoriste de Canal +, Pierre-François Martin-Laval. Le film est un succès surprise au box-office, lançant la carrière cinématographique de sa jeune vedette, Kev Adams.


title: Christian Clavier

text: Un an plus tard, il renoue avec les records au box-office avec "Qu'est-ce qu'on a fait au Bon Dieu ?", une comédie de Philippe de Chauveron, dont il partage l'affiche avec Chantal Lauby. Le film repose aussi sur une large distribution d'acteurs comiques, comme Ary Abittan, Frédéric Chau ou encore Noom Diawara. La même année, il tient un second rôle de luxe dans une production fantastique pour enfants, "Le Grimoire d'Arkandias".


title: Christian Clavier

text: Grâce à ces deux projets, il est l'acteur français le plus rentable de l'année 2014 avec près de 13 millions de spectateurs cumulés dans les salles hexagonales. Toujours en 2014, il joue dans le film "Une heure de tranquillité" qui dépasse le million d'entrées début 2015 ; la même année il joue dans "Babysitting 2", qui franchit les 3 millions d’entrées en salles.


title: Christian Clavier

text: Il conclut l'année avec une comédie chorale "Une heure de tranquillité", marquant ses retrouvailles avec Patrice Leconte, une adaptation d'une pièce de théâtre mise en scène par Ladislas Chollat et jouée au Théâtre Antoine. Clavier succède à Fabrice Luchini tandis que Carole Bouquet reprend le rôle tenu par Christiane Millet sur scène.


title: Christian Clavier

text: Avec un total de plus de 36,5 millions d'entrées, il est arrivé cinquième au classement des acteurs ayant totalisé le plus d'entrées de 2001 à 2014 en France.


title: Christian Clavier

text: En 2015, il tient un second rôle dans la comédie "Babysitting 2", co-réalisée et portée par Philippe Lacheau. Il succède à Gérard Jugnot dans ce rôle de patriarche. Autre second rôle en 2017, avec la comédie "Si j'étais un homme", seconde réalisation de l'actrice Audrey Dana.


title: Christian Clavier

text: En 2016, "" est un échec commercial, malgré 2,2 millions d'entrées. En 2017, "À bras ouverts" franchit, malgré certaines critiques, le million d'entrées.


title: Christian Clavier

text: L'année suivante, il partage l'affiche de la comédie "Momo" avec Catherine Frot. Le film est un flop critique et public.


title: Christian Clavier

text: En 2018, il participe à deux adaptations de bandes dessinées : "Les Aventures de Spirou et Fantasio", réalisé par Alexandre Coffre. Il y incarne le comte Pacôme de Champignac. Le film est un énorme flop, réunissant seulement , malgré une projection sur 442 écrans. Il disparaît de l'affiche au bout d'une seule semaine d'exploitation. En revanche, il connaît un beau succès en succédant à Roger Carel pour le doublage d'Astérix dans le film d'animation "" d'Alexandre Astier et Louis Clichy.


title: Christian Clavier

text: Fin , il est à l'affiche du film "Qu'est-ce qu'on a encore fait au Bon Dieu ?", réalisé par Philippe de Chauvron, qui fait suite à "Qu'est-ce qu'on a fait au Bon Dieu ?" Par ailleurs, il reforme un duo avec Gérard Depardieu pour la comédie expérimentale "Convoi exceptionnel", de Bertrand Blier. Autres retrouvailles avec Arnaud Lemort, co-scénariste de "L'Antidote" et "L'Entente cordiale" : la comédie "Ibiza", dont il partage l'affiche avec Mathilde Seigner.


title: Christian Clavier

text: En 2021, le film "Mystère à Saint-Tropez" qu'il a également produit et coécrit est un énorme flop malgré son casting. Mais il se rattrape au même moment grâce à "" qui est la suite cinématographique de la série homonyme d'Alexandre Astier et est l'un des meilleurs scores du box office français. Il est à l'affiche du troisième volet "Qu'est-ce qu'on a tous fait au Bon Dieu ?" qui sort l'année suivante.


title: Christian Clavier

text: Il a été pendant plus de trente ans le compagnon de la comédienne Marie-Anne Chazel avec qui il a eu une fille, Margot, née en 1983. Depuis 2004, il partage sa vie avec une maquilleuse de cinéma, Isabelle de Araujo (ex-épouse de Richard Gotainer), rencontrée sur le tournage de "L'Enquête corse" ; il est beau-père des deux fils de celle-ci, Léo né en 1991 et Tom né en 1996.


title: Christian Clavier

text: Lors de l'élection présidentielle de 2007 puis celle de 2012, il compte parmi les personnalités qui soutiennent le candidat UMP Nicolas Sarkozy, dont il est un ami personnel. Il fait d'ailleurs partie, comme Marie-Anne Chazel et Jean Reno, des invités de la soirée organisée par celui-ci au Fouquet's après sa victoire en 2007.


title: Christian Clavier

text: Entre 1993 et 2014, six films dans lesquels il a joué ont dépassé, en France, les 8 millions d'entrées. De même, il est le seul acteur à voir quatre de ses films atteindre plus de 10 millions de spectateurs au box-office français.


title: Jacques de Jésus

text: Lucien Louis Bunel, dit Jacques de Jésus ou le père Jacques de Jésus, né à Barentin (Seine-Maritime) le et mort à Linz (Autriche) le , est un prêtre catholique français et religieux carme.


title: Jacques de Jésus

text: Il est honoré à Yad Vashem comme un Juste parmi les nations.


title: Jacques de Jésus

text: Très jeune, Lucien Bunel décide de devenir prêtre. Il entre au petit séminaire de Rouen où on le juge « forte tête » et où ses professeurs apprécient son ardeur au travail, mais nullement son caractère. Il fait son service militaire alors qu'il est séminariste, au fort de Montlignon près de Paris. . Il fait deux retraites à la Trappe de Notre-Dame de Port-du-Salut et se croit appelé à la vie cistercienne. L'influence de la prieure du carmel du Havre et une retraite au couvent des Carmes d'Avon l'orientent définitivement vers le Carmel.


title: Jacques de Jésus

text: Il est ordonné prêtre le . Il souhaite s'orienter vers l'Ordre du Carmel, mais l'archevêque de Rouen lui refuse son consentement. Ce n'est qu'en 1931 que Lucien Bunel peut entrer au noviciat au couvent des carmes déchaux de Lille où il prend le nom de "frère Jacques de Jésus".


title: Jacques de Jésus

text: Il cherche Dieu dans la solitude, la nature, la vie d'oraison, .


title: Jacques de Jésus

text: En 1934, il fonde et dirige le Petit Collège Sainte-Thérèse de l'Enfant-Jésus à Avon (Seine-et-Marne) à la demande de son provincial, le père Louis de la Trinité (futur amiral d’Argenlieu), dans une partie du couvent des Carmes. Il y enseigne les lettres classiques. C'est un grand pédagogue, pas un théoricien mais un praticien. Sa manière d’éduquer est un succès. Il y est professeur de lettres classiques et surveillant : les élèves l'appellent parfois « El Santo », le saint. .


title: Jacques de Jésus

text: En 1936, il fait une retraite au carmel de Chaville, puis à Pontoise.


title: Jacques de Jésus

text: Pendant la Seconde Guerre mondiale, il s'engage très vite dans la Résistance, tout en continuant ses activités au collège d'Avon, il participe à un groupe clandestin lié au réseau de résistance Vélite-Thermopyles. Il offre la protection du collège à des réfractaires du STO. Il permet à Lucien Weil, professeur de sciences naturelles interdit d’enseignement au lycée de Fontainebleau, parce qu'il est juif, de donner quelques cours au Petit Collège. Le père Jacques accueille également trois enfants juifs, Hans-Helmut Michel, Jacques Halpern, et Maurice Schlosser, sous les identités de Bonnet, Dupré et Sabatier.


title: Jacques de Jésus

text: L’arrestation du père Jacques et des trois enfants le a inspiré le film de Louis Malle "Au revoir les enfants".


title: Jacques de Jésus

text: Si son arrestation du est directement liée à celle des trois enfants juifs à la suite d'une dénonciation, c'est surtout son implication dans la Résistance qui a motivé sa déportation finale au Gusen. Il est tout d'abord transféré à la prison de Fontainebleau puis au camp de Royallieu, près de Compiègne en France, ensuite au camp de représailles de Neue Bremm, près de Sarrebruck en Allemagne, puis à Mauthausen et Gusen en Autriche.


title: Jacques de Jésus

text: S'occupant des malades et de l'infirmerie, disant la messe dans le camp et chaque jour, l'offrande de sainte Thérèse à l'amour miséricordieux avec les prisonniers ; durant ses promenades, il porte une poutre autour des murs du camp ; il est très aimé de ses camarades prisonniers, et même des Allemands. Il va s'appuyer sur des réseaux existants, même ceux des groupes de solidarité mis en place par les communistes, groupes qu'il étend et généralise : trois ou quatre déportés par groupe prélèvent une part de leur ration pour la donner à un plus faible. Dans le souci de l'autre, et du plus faible, c'est encore l'homme qui se tient debout. Tous les témoins le diront : le père Jacques était là, près d'eux, aidant ceux qui n'en pouvaient plus, relevant ceux qui tombaient, donnant même son pain à ceux qui avaient faim. Alors que les SS et les gardiens cherchaient à réduire l'homme, à l'anéantir, le père Jacques « réconciliait la guerre avec l'espèce humaine » :


title: Jacques de Jésus

text: . Au camp, il encourage chaque prisonnier : .


title: Jacques de Jésus

text: À la fin, il tombe malade, mais il trouve encore la force, à la libération du camp, de représenter les Français aux réunions du Comité international des déportés. Il meurt à Linz le , à l'hôpital Sainte-Élisabeth. Son corps est transféré à Avon dans le cimetière du Carmel. Jean Cayrol, son compagnon de déportation, a écrit sur lui quelques poèmes, en particulier "Chant funèbre à la mémoire du révérend père Jacques" (dans "Larmes publiques", "Poèmes de la nuit et du brouillard", Seghers, 1946) dont voici la dédicace : "Pour mon plus que frère le Révérend Père Jacques du Carmel d'Avon, directeur du collège de Fontainebleau, qui fit sourire le Christ dans le camp de Gusen, mort d'épuisement à Linz, le ."


title: Jacques de Jésus

text: Son supérieur provincial, le père Philippe de la Trinité, rassembla, dès 1947, de très nombreux témoignages dans un ouvrage intitulé "Le père Jacques, martyr de la charité" (collection Etudes carmélitaines, éditions Desclée de Brouwer, 510 pages).


title: Jacques de Jésus

text: Il est honoré à Yad Vashem comme un Juste parmi les nations. Le il reçoit (à titre posthume) de l'État d'Israël, la médaille de « Juste parmi les nations ».


title: Jacques de Jésus

text: En France, sa cause en béatification est introduite à Rome le .


title: Jacques de Jésus

text: En 1948, Henri Bouchard a sculpté Le père Jacques.


title: Théorème de Stokes

text: En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie différentielle, le théorème de Stokes (parfois appelé théorème de Stokes-Cartan) est un résultat central sur l'intégration des formes différentielles, qui généralise le second théorème fondamental de l'analyse, ainsi que de nombreux théorèmes d'analyse vectorielle. Il possède de multiples applications, fournissant ainsi un formulaire qu'utilisent volontiers physiciens et ingénieurs, particulièrement en mécanique des fluides.


title: Théorème de Stokes

text: Le théorème est attribué à Sir George Gabriel Stokes, mais le premier à démontrer ce résultat est en réalité le scientifique russe Ostrogradsky qui le présenta à Paris dans les années 1820. Lord Kelvin le redécouvrit 20 ans plus tard à Cambridge et en énonça un résultat particulier pour le rotationnel d'un champ de vecteurs. Le mathématicien et le physicien entretiennent à ce sujet une correspondance active de 1822 à 1853. Ce résultat est parfois appelé , ou parfois simplement "théorème de Stokes", ce qui est une erreur historique, même pour le cas particulier du théorème concernant la circulation du rotationnel, qu'on trouvera décrite dans le paragraphe concernant le sens physique du théorème.


title: Théorème de Stokes

text: La démonstration actuelle demande de disposer d'une bonne définition de l'intégration ; son apparente simplicité est trompeuse. L'idée est d'utiliser une partition de l'unité adaptée au problème dans la définition de l'intégrale d'une forme différentielle, et de se ramener à un cas presque évident.


title: Théorème de Stokes

text: Soit un recouvrement "localement fini" de par des domaines de cartes locales formula_1, telles que : formula_2 Introduisons une partition de l'unité subordonnée à . Comme le support de est fermé, la forme différentielle s'écrit : formula_3 où la sommation est à support fini. Posons formula_4, forme différentielle à support compact de = ℝ×ℝ. La restriction formula_5 est un difféomorphisme sur son image préservant les orientations sortantes. On a donc : formula_6 Comme commute avec l'opérateur de différentiation , on a : formula_7 Par sommation, le théorème de Stokes est démontré une fois établi le cas particulier = ℝ×ℝ.


title: Théorème de Stokes

text: Une ("n"-1)-forme sur = ℝ×ℝ s'écrit : formula_8 où le chapeau désigne une omission. On trouve alors : formula_9 Le théorème de Fubini donne : formula_10 L'hypothèse que la forme est à support compact permet alors de finir le calcul, car les termes formula_11 pour sont tous nuls : formula_12 d'où le résultat.


title: Théorème de Stokes

text: Si est une fonction de la variable réelle, alors est une forme différentielle de degré zéro, dont la différentielle est .  Le bord orienté de est (extrémité avec l'orientation + et origine avec l'orientation –), quelles que soient les valeurs relatives de et . La formule de Stokes donne dans cette situation : formula_13


title: Théorème de Stokes

text: En fait, le théorème de Stokes est la généralisation de cette formule aux dimensions supérieures. La difficulté se trouve bien davantage dans la mise en place du bon cadre (formes différentielles, variétés à bord ou éventuellement plus générales, orientations) que dans la démonstration, qui repose sur le second théorème fondamental de l'analyse et un argument de partition de l'unité.


title: Théorème de Stokes

text: Soit un domaine compact lisse de ℝ et une 1-forme différentielle sur ℝ. Alors, la formule de Stokes s'écrit : formula_14


title: Théorème de Stokes

text: La formule de Green-Riemann est utilisée en géométrie pour démontrer l'inégalité de Poincaré.


title: Théorème de Stokes

text: Soit un domaine compact à bord lisse de ℝ et posons une forme volume sur ℝ. Si est un champ de vecteurs sur un voisinage ouvert de , alors sa divergence vérifie formula_15 où désigne le produit intérieur de par . La formule de Stokes s'écrit alors formula_16 soit, dans les coordonnées où , formula_17


title: Théorème de Stokes

text: Notons formula_18 le champ de vecteurs normal sortant d'un domaine relativement compact à bord régulier. Soit un champ de vecteurs défini au voisinage de l'adhérence de . On définit la "forme surfacique" sur par : formula_19 On définit le flux de par : formula_20 La formule d'Ostrogradski se réécrit alors : formula_21


title: Théorème de Stokes

text: Soit une courbe fermée orientée dans ℝ, une surface orientée dont le contour est . L'orientation de est induite par l'orientation de . Si le champ vectoriel formula_22 admet des dérivées partielles continues, alors :


Théorème de Stokes


title: Théorème de Stokes

text: où formula_24 est le vecteur directeur de la courbe en tout point, formula_25 le rotationnel de formula_26, et formula_27 le vecteur normal à un élément de surface infinitésimal dont la norme est égale à la surface de l'élément.


title: Théorème de Stokes

text: Son application directe est le théorème d'Ampère (on l'applique au champ magnétique). De même, le théorème de flux-divergence permet notamment de retrouver la version intégrale du théorème de Gauss en électromagnétisme.


title: Théorème de Stokes

text: La formule de Stokes est utilisée pour démontrer le théorème de dualité de De Rham.


title: Théorème de Stokes

text: Elle permet aussi de démontrer le lemme de Poincaré. Ce dernier s'avère d'une grande utilité pour comprendre les isotopies en homologie. Il est aussi utilisé notablement dans la preuve du théorème de Darboux en géométrie symplectique.


title: Génie civil

text: Le génie civil représente l'ensemble des techniques de constructions civiles. Les ingénieurs civils ou ingénieurs en génie civil s’occupent de la conception, la réalisation, l’exploitation et la réhabilitation d’ouvrages de construction et d’infrastructures dont ils assurent la gestion afin de répondre aux besoins de la société, tout en assurant la sécurité du public et la protection de l’environnement. Très variées, leurs réalisations se répartissent principalement dans cinq grands domaines d’intervention : structures, géotechnique, hydraulique, transport, et environnement.


title: Génie civil

text: En France et en Suisse notamment, le "génie civil" est une expression désignant les domaines de la construction en général :


title: Génie civil

text: Le domaine d'application du "génie civil" est très vaste ; il englobe les travaux publics et le bâtiment. Il comprend notamment :


title: Génie civil

text: Un projet de génie civil peut être scindé en plusieurs phases, souvent confiées à des organismes différents :


title: Génie civil

text: En France, un projet de génie civil est réparti entre plusieurs intervenants :


title: Génie civil

text: L'ensemble des disciplines qui font partie du génie civil est très vaste. Certaines d'entre elles sont assez générales et ne font donc pas partie du génie civil de manière exclusive. En voici une liste partielle :


title: Picsou Magazine

text: Picsou Magazine est un magazine bimestriel français de bande dessinée destiné à la jeunesse. Il est édité par Unique Heritage Entertainment, filiale de Unique Heritage Media.


title: Picsou Magazine

text: Il porte le nom du personnage de Balthazar Picsou ("" en anglais), inventé par le dessinateur Carl Barks.


title: Picsou Magazine

text: Créé en mars 1972, ce magazine rassemblait des bandes dessinées de personnages de l'univers des canards de Disney. On trouve aussi dans le magazine, des jeux, des mini-récits et des informations ludiques.


title: Picsou Magazine

text: On peut distinguer plusieurs périodes dans l'histoire du magazine, d'après l'indexation de la base Inducks.Le magazine possède alors un supplément de , "Super Picsou géant", qui deviendra un magazine à part entière à partir de 1983.


title: Fluorescence

text: La fluorescence est une émission lumineuse provoquée par l'excitation des électrons d'une molécule (ou atome), généralement par absorption d'un photon immédiatement suivie d'une émission spontanée. Fluorescence et phosphorescence sont deux formes différentes de luminescence qui diffèrent notamment par la durée de l'émission après excitation : la fluorescence cesse très rapidement tandis que la phosphorescence perdure plus longtemps. La fluorescence peut entre autres servir à caractériser un matériau.


title: Fluorescence

text: Une molécule fluorescente (fluorophore ou fluorochrome) possède la propriété d'absorber de l'énergie lumineuse (lumière d'excitation) et de la restituer rapidement sous forme de lumière fluorescente (lumière d'émission). Une fois l'énergie du photon absorbée, la molécule se trouve alors généralement dans un état électroniquement excité, souvent un état singulet, noté S. Le retour à l'état fondamental (lui aussi singulet et noté S) peut alors se faire de différentes manières : soit par fluorescence, soit par phosphorescence.


title: Fluorescence

text: La fluorescence est caractérisée par l'émission d'un photon de manière très rapide. Cette rapidité s'explique par le fait que l'émission respecte une des règles de sélection de l'émission de photons de la mécanique quantique qui est ΔS=0, ce qui signifie que la molécule reste dans un état singulet.


title: Fluorescence

text: La phosphorescence quant à elle est caractérisée par une transition d'un état S=0 vers un état S=1 (état triplet noté T), qui n'est pas permise par le modèle quantique, mais qui est rendue possible par le couplage spin-orbite. Cependant, la transition est plus lente à s'effectuer. Suit alors une émission de photon pour retourner à l'état fondamental.


title: Fluorescence

text: La lumière ré-émise par la molécule excitée lors de la fluorescence peut être de même longueur d'onde (fluorescence de résonance) ou de longueur d'onde plus grande, voire parfois plus petite (absorption à deux photons). Dans les milieux liquides en particulier, le fait que la longueur d'onde d'émission après excitation soit plus grande provient du fait que la molécule retourne à l'état fondamental à partir du niveau de vibration le plus bas de l'état excité (règle de Kasha). Cette différence est appelée déplacement de Stokes.


title: Fluorescence

text: Ce déplacement du spectre d'émission vers des longueurs d'onde plus élevées, décrit par le déplacement de Stokes, facilite grandement la séparation et la détection de la lumière de fluorescence, signal spécifique délivré par le fluorophore.


title: Fluorescence

text: Il existe un grand choix de fluorochromes, chacun pouvant être caractérisé par ses spectres d'excitation et d'émission.


title: Fluorescence

text: Le principe de fluorescence est utilisé, entre autres, dans les microscopes confocaux à balayage laser, les microscopes à fluorescence et les spectrofluoromètres.


title: Fluorescence

text: Le phénomène de fluorescence ne se limite pas à l'émission dans le spectre visible, mais concerne toute la gamme du spectre électromagnétique, notamment l'émission de (fluorescence X). Adamite, albite, allophane, alunite, amblygonite, analcime, andalousite, anglésite, anhydrite, ankérite, anthophyllite, aragonite, autunite, bénitoïte, berlinite, calcite, célestine, cérusite, chamosite, charlesite, charoïte, colémanite, corindon, cristobalite, cryolite, danburite, datolite, diaspore, diopside, disthène, dolomite, épidote, érythrite, fluorite, fluorapatite, gypse, halite, haüyne, hémimorphite, heulandite, jadéite, laumontite, lussatite, manganaxinite, magnésio-axinite, magnésite, mélanophlogite, mellite, microcline natrolite, okénite, oligoclase, opale, pectolite, périclase, phlogopite, phosgenite, prehnite, quartz, rhodonite, scheelite, scolécite, smithsonite, sodalite, sphalérite, spinelle, spodumène, strontianite, thénardite, topaze, torbernite, trémolite, tridymite, uvarovite, variscite, wollastonite, wulfénite, zoïsite.


title: Fluorescence

text: De nombreux cas de fluorescence s'observent dans la nature, ils sont généralement visibles sous lumière UV. De tels cas sont connus, entre autres, chez des champignons, des fruits comme les bananes, des végétaux contenant de la quinine comme "Cinchona officinalis", des arthropodes comme les scorpions, des mammifères comme les Didelphidae. Récemment, grâce à des chercheurs sud-américains, un phénomène de fluorescence a été observé chez un amphibien. Une petite grenouille arboricole ayant une couleur vert pâle avec quelques petits points sur le dos, qui brille d'un vert néon sous une lumière ultraviolette.


title: Fluorescence

text: Les différentes caractéristiques des fluorophores sont :


title: Fluorescence

text: Du fait que la fluorescence se traduit généralement par l'émission de lumière visible à partir d'une source d'énergie invisible (ultraviolets), les objets fluorescents paraissent plus lumineux que des objets de même teinte, mais non fluorescents. Cette propriété est utilisée par les vêtements à haute visibilité et par les peintures anti-collision de couleur orange dont on peint, par exemple, certaines parties des avions, mais aussi dans un simple but esthétique (vêtements…).


title: Fluorescence

text: La fluorescence est également utilisée dans le cas de la lumière noire, source lumineuse composée essentiellement de proches ultra-violets, qui fait ressortir les blancs et les objets fluorescents lorsqu'elle est émise dans la pénombre, afin de créer une ambiance spéciale.


title: Fluorescence

text: La fluorescence est aussi utilisée avec les rayons X : La fluorescence est également utilisée dans d'autres techniques d'imagerie médicales comme la tomographie optique diffuse où ils permettent de les fluorures présents dans un tissu biologique.


title: Fluorescence

text: Les surligneurs déposent sur le papier une encre fluorescente visible et résistante à la lumière sans pour autant masquer le texte lui-même.


title: Fluorescence

text: La technique de détection du mercure ou du plomb par des fluoroionophores sélectifs est aussi une application de la fluorescence.


title: Fluorescence

text: Le "tube fluorescent" (nom officiel : "tube luminescent") est une autre application bien connue. Ces tubes servent surtout à l'éclairage industriel et parfois domestique (appelés « néons » par erreur: car le gaz néon émet une lumière rouge). Ils contiennent des gaz, le plus souvent des vapeurs de mercure à basse pression ou de l'argon, qui émettent une lumière ultraviolette invisible lorsqu'ils sont ionisés. La paroi intérieure est recouverte d'un mélange de poudres fluorescentes, qui transforme cette lumière dans le domaine visible en s'approchant du blanc. Ces tubes offrent un bien meilleur rendement électrique qu'une lampe à incandescence, c'est-à-dire qu'ils émettent plus de lumens par watt consommé et, donc chauffent beaucoup moins. Aujourd'hui, la forme peut changer et l'électronique qui les contrôle permet un rendement encore amélioré. On trouve ainsi des lampes dites à économie d'énergie remplaçant avantageusement les lampes à incandescence (toutefois leur recyclage en fin de vie est complexe et coûteux).


title: Fluorescence

text: La chlorophylle "a", comme tous les pigments, est fluorescente. La mesure de la fluorescence de la chlorophylle "a", émise par une plante ou un organisme photosynthétique en général, est un puissant outil pour mesurer l'absorption de la lumière et le fonctionnement de la photosynthèse.


title: Fluorescence

text: Certains bioessais, comme le Luminotox, utilisent la fluorescence photosynthétique comme une mesure indirecte de la toxicité sur un organisme photosynthétique. La baisse de fluorescence de la chlorophylle a étant un signe de la baisse de la photosynthèse et donc de l'effet d'un polluant sur l'organisme.


title: Théorème de la divergence

text: En analyse vectorielle, le théorème de la divergence (également appelé théorème de Green-Ostrogradski ou théorème de flux-divergence), affirme l'égalité entre l'intégrale de la divergence d'un champ vectoriel sur un volume dans formula_1 et le flux de ce champ à travers la frontière du volume (qui est une intégrale de surface).


title: Théorème de la divergence

text: L'égalité est la suivante : formula_2 où :


title: Théorème de la divergence

text: Ce théorème découle du théorème de Stokes qui, lui-même, généralise le second théorème fondamental de l'analyse.


title: Théorème de la divergence

text: C'est un résultat important en physique mathématique, en particulier en électrostatique et en dynamique des fluides, où ce théorème reflète une loi de conservation. Selon son signe, la divergence exprime la dispersion ou la concentration d’une grandeur (telle une masse par exemple) et le théorème précédent indique qu’une dispersion au sein d’un volume s’accompagne nécessairement d’un flux total équivalent sortant de sa frontière.


title: Théorème de la divergence

text: Ce théorème permet notamment de retrouver la version intégrale du théorème de Gauss en électromagnétisme à partir de l'équation de Maxwell-Gauss :


title: Théorème de la divergence

text: Ce théorème permet de déduire certaines formules utiles du calcul vectoriel. Dans les expressions ci-dessous, formula_12 :


title: Théorème de la divergence

text: En particulier, ces formules sont exploitées pour obtenir des formulations faibles associées à des problèmes aux dérivées partielles.


title: Bunraku

text: Le est un type de théâtre japonais datant du . Les personnages y sont représentés par des marionnettes de grande taille, manipulées à vue.


title: Bunraku

text: Tradition théâtrale plus particulièrement originaire de la région d'Ōsaka, le "bunraku" est interprété par un récitant qui chante tous les rôles, accompagné d'un joueur de shamisen à ses côtés, et par trois manipulateurs pour chaque marionnette. Les marionnettistes sont visibles du public et utilisent soit la gestuelle "furi", plutôt réaliste, soit la gestuelle "kata", empreinte de stylisation, selon l'émotion recherchée.


title: Bunraku

text: Les manipulateurs respectent une hiérarchie réglée en fonction de leur degré de connaissance dans l'art du "bunraku". Ainsi le plus expérimenté (au moins vingt ans de métier) manipule la tête et le bras droit, le second le bras gauche et le dernier (le novice), les pieds. Pour pouvoir être manipulée, la marionnette possède ce qu'on appelle des contrôles ou baguettes sur ces différentes parties.


title: Bunraku

text: Afin de manipuler plus aisément la marionnette, les manipulateurs se déplacent en position de "kathakali", jambes à demi fléchies. Ils doivent ainsi faire beaucoup d'exercice physique et d'assouplissement afin d'être les plus agiles possible.


title: Bunraku

text: Le "bunraku" a deux sources, la tradition du récit accompagné de musique et celle des marionnettes. Strictement parlant, le "bunraku" dérive du . En japonais, désigne à la fois la poupée et la marionnette..


title: Bunraku

text: Le "jōruri" est une forme de narration fondée sur la tradition plus ancienne du "heikyoku", où un récitant raconte l'histoire tandis qu'un musicien au "biwa" (luth japonais) donne l'ambiance à l'aide de thèmes musicaux. Initialement réservée au récit du "Dit des Heike" ("Heike monogatari"), cette forme de narration élargit au son répertoire à d'autres récits classiques, et prend alors le nom de "jōruri", après le succès de l’œuvre . Aux alentours du , le "sanshin" est importé de l'archipel Okinawa (alors royaume des îles Ryûkyû), se transforme en shamisen. Ce nouvel instrument, plus polyvalent, remplace le "biwa" pour l'accompagnement des récitants ainsi que pour les spectacles de marionnettes, ces dernières s'invitant ainsi dans les récits du "jōruri".


title: Bunraku

text: La tradition des marionnettes au Japon remonte au moins à la période Heian (784–1185). Les écrits de l'époque mentionnent l'existence de montreurs de marionnettes itinérants, dits "airaishi" ou "kugutsumawashi". Au , on retrouve de tels montreurs principalement dans les temples, pour finalement être liés au "jōruri" à la fin du .


title: Bunraku

text: Les montreurs se produisaient alors dissimulés derrière un rideau à hauteur d'épaule, les marionnettes étant manipulées les bras levés. Avec un seul montreur, les mouvements des poupées étaient alors limités. En 1734 fut introduite l'idée de doter chaque marionnette de trois manipulateurs, passant ainsi de marionnettes « à gaine » à des marionnettes « à contrôles », dont les mouvements sont dirigés par un système de leviers. C'est sans doute aussi à cette époque que l'organisation de la scène est modifiée pour permettre aux trois marionnettistes d'opérer simultanément. Ceux-ci se retrouvent ainsi exposés à la vue du public, et sont habillés d'un costume noir, couleur conventionnelle de l'invisibilité dans le kabuki. C'est également à cette occasion que les marionnettes prirent leur taille actuelle, qui va de à .


title: Bunraku

text: Originaire de l'ouest du Japon, en particulier de Kyoto, le "jōruri" s'implante à Edo (future Tokyo dès le milieu du ). C'est à cette époque que Takemoto Gidayū fonde son école à Osaka, avec l'aide du dramaturge Chikamatsu Monzaemon (1653–1724). Caractérisé par un style très dynamique et une grande ouverture sur les techniques des autres écoles, son style devient dominant, "jōruri" et "jōruri gidayu-bushi" devenant synonymes.


title: Bunraku

text: Chikamatsu Monzaemon était à l'époque un auteur reconnu de pièces de kabuki, lié à l'émergence du style "wagoto" (style raffiné du Kansai). Les pièces de Chikamatsu Monzaemon forment le cœur du répertoire du "bunraku". On lui doit également les premières pièces mettant en scènes des commerçants, qui constituaient l'essentiel de son public. Il est ainsi à l'origine de la division du répertoire en pièces historiques ("jidai mono") et en pièces bourgeoises ("sewa mono"). Le premier type de pièce repose en général sur un conflit entre les préceptes confucéens de loyauté et les sentiments personnels au sein de familles nobles, tandis que les secondes racontent des amours impossibles, qui se concluent en suicides amoureux. À la puissance évocatrice des techniques de Takemoto Gidayū, il apporte des éléments humains aux récits, ainsi que des situations quotidiennes.


title: Bunraku

text: Il se trouva d'ailleurs lui-même au centre d'une situation digne de ses pièces peu après la première de sa plus célèbre pièce, "Suicide amoureux à Sonezaki" ("Sonezaki Shinju"). Le meilleur chanteur de la troupe, Toyotake Wakadayu, décida en effet de fonder son propre théâtre, emportant avec lui Hachirobee, le meilleur manipulateur de marionnettes féminines. La rivalité entre le "Takemoto-za" et le "Toyotake-za" marqua le début d'un âge d'or du "bunraku".


title: Bunraku

text: Le "Takemoto-za" produisit ainsi entre 1746 et 1748 trois des plus grands classiques du genre, "Sugawara Denju Tenarai Kagami" ("Le Secret de la calligraphie de Sugawara"), "Yoshitsune Senbon-sakura" ("Yoshitsune et les mille cerisiers"), et "Kanadehon Chūshingura" ("Le Trésor des loyaux vassaux"). La popularité du "bunraku" était alors telle qu'elle éclipsait même celle du kabuki. Il ne faut cependant pas minimiser l'influence réciproque qu'exercèrent ces deux arts l'un sur l'autre. L'influence du "bunraku" fut décisive dans la stylisation des postures du kabuki, pour lequel furent adaptées maintes pièces, tandis que le kabuki fournissait tout à la fois pièces et critères esthétiques au "bunraku".


title: Bunraku

text: La seconde moitié du vit cependant l'intérêt du public décliner, et les représentations se retrouvèrent confinées aux temples ou à des salles de spectacle mineures.


title: Bunraku

text: En 1811, un petit "jōruri" d'Ōsaka était le seul endroit où se tenaient régulièrement des représentations de "jōruri". Le propriétaire, Uemura Bunrakuken, fit déplacer cette salle à Matsushima en 1872, où elle ouvrit sous le nom de "Bunraku-za", donnant son nom actuel à cet art.


title: Bunraku

text: La fin du vit un retour en grâce du "bunraku" qui se trouva durablement un public dans les classes commerçantes favorisées par l'ère Meiji. Officiellement reconnu comme faisant partie du patrimoine culturel japonais en 1955, le "bunraku" se sépara de la tutelle de compagnies en 1963 pour fonder ses propres salles de spectacle. Les troupes furent d'abord hébergées par le Théâtre national à Tōkyō, mais la politique du théâtre de ne montrer que des pièces entières échouait à attirer un jeune public. En 1984 fut achevé le théâtre national de "bunraku" à Ōsaka.


title: Bunraku

text: En 2003, le "bunraku" fut ajouté à la liste du patrimoine culturel immatériel de l'humanité par l'UNESCO.


title: Bunraku

text: En 2014, la ville d'Osaka, à l'instigation de son maire Tōru Hashimoto, a réduit de à de yens ses subsides à la car le nombre de en un an au théâtre national de "bunraku" n'a pas été atteint : en 2013, on a enregistré .


title: Bunraku

text: Le chanteur et le joueur de shamisen fournissent l'essentiel de l'environnement sonore du "bunraku". Pour la plupart des pièces, un seul couple formé d'un chanteur et d'un musicien joue l'ensemble d'un acte. Ces couples se nouent lors de la formation des artistes, et ne sont séparés que par la mort de l'un des deux. Anciennement, les deux partenaires vivaient constamment ensemble. Aujourd'hui, si cet usage a diminué, l'harmonie entre les deux partenaires est un critère essentiel de qualité de leur prestation.


title: Bunraku

text: Le rôle du chanteur est d'insuffler les émotions et la personnalité dans les marionnettes. Le chanteur joue non seulement les voix de tous les personnages, mais déclame aussi les textes narratifs qui situent l'action.


title: Bunraku

text: Bien qu'il se trouve en marge de la scène, le chanteur joue physiquement les rôles par les expressions de son visage et de sa voix. Du fait de la nécessité de jouer quasi-simultanément un grand nombre de personnages, le jeu du chanteur est délibérément exagéré, afin de différencier les personnages et de susciter au maximum l'émotion chez le spectateur.


title: Bunraku

text: Le "bunraku" emploie le "futo-zao shamisen", le plus grand et le plus grave shamisen. Alors que le reste de l'accompagnement musical évoque les circonstances extérieures de l'action, qu'il s'agisse d'une saison, d'un orage ou de l'atmosphère d'une bataille, le shamisen doit rendre l'état intérieur des personnages. Pour ce faire, le shamisen se doit de souligner les effets du chanteur. Cela passe par une abdication de la recherche de musicalité ou de performance propre pour se consacrer uniquement à son rôle de complément indispensable du récitant.


title: Bunraku

text: Caché derrière des rideaux de bambou à droite de la scène, dans une pièce surélevée, se trouve parfois un petit orchestre, chargé de donner la tonalité générale de la scène. Les mélodies évoquent ainsi la saison, le temps ou font référence à d'autres thèmes célèbres. Les instruments les plus utilisés pour ce faire sont des flûtes, en particulier le "shakuhachi", le "koto" (cithare) et surtout une vaste gamme de percussions.


title: Bunraku

text: Chaque marionnette principale requiert l'intervention de trois montreurs. Le chef montreur, "omo zukai", contrôle de la main gauche la tête en tenant un bâton équipé de leviers, et de la main droite la main droite de la marionnette. Le "hidari zukari" contrôle la main gauche de la marionnette de sa main droite. Enfin, le "ashi zukari" contrôle les pieds et les jambes de la marionnette. Les marionnettes de femme n'ayant pas de jambes, il doit évoquer leur forme en passant ses mains dans le bas du vêtement de la marionnette. Une telle organisation impose un grand degré de coordination entre les trois montreurs afin d'obtenir un mouvement naturel de la marionnette.


title: Bunraku

text: La formation du marionnettiste est très longue. Le montreur commence par manipuler les pieds, puis la main gauche, et enfin la main droite et la tête. Un ancien adage veut qu'il faille dix ans pour maîtriser les pieds, et encore dix ans pour la main gauche. Les marionnettes étant à la fois hautes, de à , et lourdes, le chef montreur porte des "geta" surélevées de à afin de soulager son bras gauche, qui porte l'essentiel du poids de la marionnette.