title: Yves Lacoste

text: L'archiviste Dominique Roche reprend ces griefs et les accentue évoquant le « manque de rigueur » de la conception, nouvelle et globale de la géopolitique d'Yves Lacoste. Il l'accuse par ailleurs de s’octroyer fallacieusement les mérites de la création de la "géographicité" (l'équivalent géographique de l'historicité), alors que le terme fut mentionné en 1952 par Eric Dardel dans "L'homme et la terre", mais aussi d’avoir commis de graves inexactitudes dans son article "Ruanda ou Rwanda", inexactitudes qu'il assimile à de la « propagande raciste », n'hésitant pas à comparer Lacoste à d' « involontaires complices du génocide ». Selon Roche, "Géopolitique et histoire" souligne la prégnance des nationalismes, de la propagande et des « réhabilitations parfois inconscientes d'idéologies dangereuses », qui sont ouvertement développées par certaines revues et ouvrages géopolitiques qui foisonnent depuis 1980, faisant référence à "Hérodote", mais aussi à fortiori aux revues "Limes" et "Géopolitique". Pour Roche, « plus qu’il n’a tenté de redorer le blason de sa discipline (Lacoste a) plutôt surfé sur la vague de la géopolitique, de plus en plus à la mode […] réflexe de publicitaire plus que de scientifique […] ayant acquis sa notoriété, grâce aux coups qu'il a assénés à Vidal de La Blache, qui n'était plus là pour se défendre». Il déclare par ailleurs que son livre "la géographie, ça sert, d'abord, à faire la guerre" serait inexact, approximatif et mal informé. Il concède toutefois qu’"Hérodote" contribua à « sortir la géographie de son ghetto universitaire ».


title: Yves Lacoste

text: L'analyse de Leslie Hepple, un professeur de géographie, est bien plus nuancée. Elle définit les ambitions initiales de Lacoste comme louables mais souligne le « manque sérieux de réflexion épistémologique qui a aveuglé la géographie française dans le sens où le sujet a été construit d’une façon étroite et émasculé, expliquant que le terme de géopolitique n’est rien d’autre qu’un choix stratégique reflétant le besoin d’occuper les champs lexicaux à un moment où d’autres forces réactionnaires étaient utilisées en France »


title: Yves Lacoste

text: Pour le géographe Leslie Hepple, le virage à droite de Lacoste que dénonce tant Raffestin n’est qu’une réponse à l’hégémonie anglo-saxonne. Plutôt que de spécifier les critiques émises par Jacques Lévy et Claude Raffestin, Paul Claval décide de s’intéresser uniquement à la réponse de Lacoste dans laquelle il affirme qu’il est uniquement critiqué pour ne pas être orthodoxe marxiste, affirmant ainsi qu’il est le seul penseur ayant l’esprit ouvert, reconnaissant qu’avec le temps beaucoup de journalistes de droite considèrent que Lacoste a cassé ses liens avec la droite française. Écrivant par ailleurs que le regain d’intérêt pour la géographie politique n’était pas limité aux géographes de droite, André-Louis Sanguin Paul Claval et Claude Raffestin le prouvent.


title: Yves Lacoste

text: Pour le théoricien Robert Steuckers, Claude Raffestin, qui tire la conclusion que la géopolitique est « le “masque” du nationalisme, de l'impérialisme, du racisme », « anathémise » plus qu’il ne prouve quoi que ce soit. Selon lui, Raffestin ignore les renouvellements de la géopolitique, car son objectif est de la disqualifier à nouveau « en pratiquant la "reductio ad Hitlerum" ».


title: Yves Lacoste

text: Lacoste admet avoir eu des liens avec des dirigeants politiques français, mais "somme toute assez restreints", relativisant l’importance de son passage au PCF et affirme qu’il n’a plus adhéré à un quelconque parti politique après l’avoir quitté en 1957. . À ses détracteurs qui le taxent de "gauchiste", il répond craindre au contraire « d’accorder trop d’importance à la raison d’État, surtout quand il s’agit de l’intérêt de la nation ». « Lacoste a évité tant de critiques en affirmant qu’il était apolitique, de plus "scientifique" ; le raisonnement géographique le protège du péril du glissement idéologique (O Tuathail, Hepple). ».


title: Mélodie en sous-sol

text: Mélodie en sous-sol est un film policier franco-italien réalisé par Henri Verneuil en 1963. Adaptation cinématographique du roman "The Big Grab" de John Trinian et mettant en scène Jean Gabin et Alain Delon dans les rôles principaux, le long-métrage narre l'histoire d'un vieux malfrat récemment sorti de prison (Gabin) qui s'associe avec un jeune truand (Delon) afin de braquer un casino, le Palm Beach de Cannes. Sorti en salles au début de l'année 1963 en France, "Mélodie en sous-sol" rencontre un bon accueil critique et obtient un large succès public avec 3,5 millions d'entrées en salles.


title: Mélodie en sous-sol

text: Un vieux malfrat, tout juste sorti de prison où il a tiré cinq ans, décide d'un dernier coup magistral sur la côte d'Azur : braquer le Palm Beach, casino de Cannes. Un jeune voyou, Francis (compagnon de cellule) et Louis, le beau-frère de ce dernier, honnête garagiste, vont être ses partenaires. La préparation du casse est minutieuse et l'opération se déroule on ne peut mieux. Mais une photo malvenue de Francis à la une d'un journal, vient enrayer cette belle organisation...


title: Mélodie en sous-sol

text: 1962. Dans un train de banlieue, tout en rêvassant aux récits de vacances des usagers voisins, Charles, un truand sexagénaire, libéré une heure plus tôt après cinq années de prison rentre chez lui dans son pavillon de Sarcelles. Il y est accueilli par son épouse Ginette. Elle lui propose de déménager dans le Midi (un promoteur lui a proposé 15 millions de sa maison !) afin d'y couler des jours heureux en tenant un commerce. Mais Charles veut finir sa « carrière » sur un gros coup avant de se carapater en Australie. Son compère Mario lui a parlé de braquer le Palm Beach, le casino de Cannes.


title: Mélodie en sous-sol

text: Mario a le plan on ne peut plus détaillé de la salle des coffres. Mais il est aussi fatigué, malade, il décroche. Charles se rabat sur le volontaire Francis Verlot, un compagnon de cellule de vingt-sept ans, vivant aux crochets de ses parents. Francis est un impétueux aux dents longues. Louis Naudin, son beau-frère, garçon honnête qui tient un garage est alors recruté comme chauffeur.


title: Mélodie en sous-sol

text: Cannes. Francis, sous l'identité d'un flambeur, doit se faire ses entrées dans les coulisses du casino, point crucial. De là part le chemin chaotique qui le mènera à la cage de l'ascenseur menant au coffre du casino, dans le sous-sol de l’établissement. Il séduit une jeune danseuse, Brigitte, dont la troupe anime les soirées du casino. De son côté, Charles organise le coup, accompagné de Louis : il surveille les allées et venues de Grimp, le directeur du Palm Beach, qui arrive en voiture, salue les employés et dépose les recettes dans la salle du coffre. Pris par sa relation avec Brigitte, Francis ignore souvent les instructions de Charles, ce qui provoque une certaine tension. Charles pense un temps annuler le casse, mais Francis lui assure qu'il saura s'en tenir au plan. Pris de remords, Louis annonce à Charles qu'il l'aidera malgré tout mais ne veut pas sa part dans le hold-up, craignant de prendre goût au luxe et de se laisser tenter par d'autres... contrats.


title: Mélodie en sous-sol

text: Le soir S, Francis rompt avec Brigitte, qui lui préfère un riche soupirant. Le buffet d'adieu du ballet bouleverse le plan, Francis bloqué dans les cintres. Par chance, il se libère à temps et informe Charles, par signaux lumineux, que tout roule. Après avoir rampé dans le conduit de ventilation, Francis se pose sur la cage d'ascenseur, ouvre une trappe et pénètre dans la salle de comptage pour braquer Grimp et les employés du casino avec une mitraillette. Il fait entrer également Charles qui l'attendait derrière la porte blindée. Charles enfourne les liasses dans deux grands sacs, tandis que Francis braque le directeur et les employés de dos, mains sur la tête. Charles quitte la salle, suivi peu après par Francis qui ira planquer les sacs dans sa cabine privée de piscine.


title: Mélodie en sous-sol

text: Mais à l'aube, Charles découvre en une du journal une photo de Francis au casino. Ce n'était pas lui l'objet du flash mais les dîneurs derrière lui. Il n'en est pas moins au premier plan et Charles redoute que cela représente un danger imminent. Francis est un repris de justice. Si on allait le reconnaître et faire le lien... Charles ordonne de récupérer les sacs et de les lui porter près de sa table au bord de la piscine. Francis s'exécute mais journalistes et policiers, malgré l'heure matinale, ont investi le lieu, arpentant la baignade, condamnant l'échange des sacs dont, d'ailleurs, ils parlent à haute voix comme les seuls indices sûrs. Pour l'instant, ils n'ont pas noté ce jeune homme assis au bord du bassin, deux énormes sacs à ses côtés. De l'autre côté de la piscine, Charles, le regard inquiet derrière ses lunettes noires, voit la complexité de la situation. Le jeune truand, paniqué, laisse alors glisser les sacs dans le bassin. L'un des sacs s'ouvre et les billets remontent doucement à la surface, tapissant en quelques minutes toute la surface chlorée sous les regards navrés de Charles et Francis, alors que les policiers découvrent médusés les centaines de billets flottants à la surface de l'eau.


title: Mélodie en sous-sol

text: C'est le scénariste et dialoguiste Michel Audiard qui a eu l'idée d'adapter au cinéma le roman "The Big Grab" de John Trinian, publié en 1961 dans la collection "Série noire" sous le titre "Mélodie en sous-sol" et en fait part au producteur Jacques Bar. À l’origine, Henri Verneuil et Audiard avaient en tête de faire tourner Jean Gabin dans un film d’aventures sur les colonies en Orient ou en Afrique. Mais l'acteur, ne voulant pas tourner hors des frontières françaises, a permis au réalisateur et au scénariste de bifurquer le projet vers un film de braquage dont l'action se déroulerait à Deauville, avant de changer le lieu pour Cannes.


title: Mélodie en sous-sol

text: Plus tard, les deux hommes, assistés par Albert Simonin, proposent à Gabin le script de "Mélodie en sous-sol", lui promettent que le tournage aura lieu en France. La star accepte de participer au projet. Si la production était en partie franco-italienne, c'est la Metro-Goldwyn-Mayer qui en a assumé l'essentiel. Par rapport au scénario tiré du livre, Michel Audiard n'a modifié, apporté, ou retouché que vingt-cinq répliques. Ces rares répliques suscitent la surprise de la production qui pense avoir payé bien cher pour si peu. C'est en découvrant l'intégralité du scénario modifié par ces vingt-cinq mots d'auteur, constatant que les interventions d'Audiard sont savoureuses, qu'elle revient sur son impression et se félicite du bon investissement réalisé dans ce travail.


title: Mélodie en sous-sol

text: Pour le rôle de Francis, la production voulait engager Jean-Louis Trintignant, mais Alain Delon exprime la volonté de tourner dans "Mélodie en sous-sol". Delon venait d'acquérir un statut international avec "Plein soleil" et "Rocco et ses frères" et voulait améliorer sa cote auprès du public français, qui lui préférait Jean-Paul Belmondo, qui venait de tourner "Un singe en hiver" avec le trio Gabin, Verneuil et Audiard. Mais la Metro-Goldwyn-Mayer refuse de l'engager, Gabin leur suffisait comme tête d'affiche. Tenant particulièrement au projet, Delon renonça à son cachet - les producteurs acceptent qu'il participe au film s'il le fait gratuitement - et proposa de jouer dans le film en échange des droits sur le Japon, l’URSS et l’Argentine. Une fois le film terminé, Alain Delon le fera sous-titrer en japonais, ira au Japon et trouvera une distribution au Japon. Le film remportera un succès et Delon gagnera beaucoup d'argent avec ses droits de production. Gabin n'en reviendra pas et clamera que Delon a alors gagné dix fois plus que lui. Henri Verneuil s'attribue ce subterfuge afin de contourner le fait que les producteurs américains trouvaient Alain Delon trop peu connu à leurs yeux.


title: Mélodie en sous-sol

text: Pour incarner l'épouse de Charles, Verneuil veut une actrice ayant travaillé auparavant avec Gabin. Gabin suggère le nom de Viviane Romance, qui avait partagé l'affiche avec l'acteur dans "La Bandera" et "La Belle Équipe".


title: Mélodie en sous-sol

text: Le tournage de "Mélodie en sous-sol" démarre le pour une durée de deux mois. La première séquence du film, dans laquelle Charles, incarné par Gabin, retourne chez lui, a été tournée à Sarcelles, dans le Val-d'Oise et à Pierrefitte, où se trouve son pavillon (il existe encore, au 97 rue Parmentier). Cette scène immortalise un changement d'époque, car d'après Patrick Glâtre, chargé de la mission cinéma au conseil général du Val-d'Oise et coauteur du livre "Jean Gabin, la traversée d'un siècle", , ajoutant qu'. En effet, le personnage de Gabin revient dans une communauté qu'il ne reconnaît plus, après un séjour prolongé en prison, de plus, sa maison, dont le nom de la rue a changé, est encore là, et paraît assez anachronique dans un paysage de grands immeubles modernes. Glâtre fait le parallèle avec un autre film avec Gabin, "Rue des prairies", également tourné à Sarcelles et dans lequel il incarnait un contremaître sur un chantier local, ce qui amuse Glâtre, car dans "Rue des prairies", pour "Mélodie en sous-sol". , conclut Glâtre. La maison du personnage de Gabin est située rue Parmentier.


title: Mélodie en sous-sol

text: La suite du film est tourné à Nice et à Cannes, dans les Alpes-Maritimes. Les résidences où séjourne Francis le temps du casse sont situées Boulevard de la Croisette, tandis que le Palm Beach, casino lieu du casse, est située place Franklin-Roosevelt.


title: Mélodie en sous-sol

text: Durant le tournage, les tensions entre Delon et Verneuil furent si fréquentes que l'assistant-réalisateur Claude Pinoteau devait parfois leur servir d'intermédiaire. De même, Gabin reprochera à Audiard d'avoir réduit l'importance de son personnage. En revanche, une solide amitié naît entre les deux acteurs vedettes, dont c'est le premier film dans lequel ils se donnent la réplique.


title: Mélodie en sous-sol

text: Le compositeur Michel Magne (qu'on aperçoit dirigeant l'orchestre au Palm Beach) a exploité le même thème musical tout au long du film. Il en fera de même l'année suivante pour les musiques du film "Les Tontons flingueurs". Alain Delon avait une admiration sans bornes pour Jean Gabin, pour qui il éprouvait une affection quasiment filiale. Tout était bon pour lui plaire. À l'époque de la réalisation du film, pour la partie tournée à Cannes, Delon demandait à être prévenu de l'arrivée de la voiture de production de Gabin, pour l'accueillir dès l'entrée du studio. Les relations entre les deux acteurs, qui rivalisaient d'inventions drolatiques, n'étaient pas toujours dénuées de tensions, d'autant que les répliques écrites par Audiard étaient parfois « vachardes » :


title: Mélodie en sous-sol

text: Gabin se montra volontiers revêche et dru pendant ce tournage, redoutait-il l'emprise de Delon, prometteuse et déjà envahissante, jusque dans la trame elle-même ? Toujours est-il que le pauvre Maurice Biraud, pourtant irréprochable et avec lequel Gabin avait pourtant eu un bon contact dans "Le Cave se rebiffe", fera tous les frais de cette mauvaise humeur.


title: Mélodie en sous-sol

text: "Mélodie en sous-sol" sort en salles le sur le territoire français. Le film prend la première place du box-office parisien avec entrées dans trois salles (aux cinémas "Marignan", "Berlitz" et "Wepler"), mais le score ne lui permet de prendre que la quatrième place du box-office la semaine de sa sortie. La semaine suivante, le film prend la première place du box-office français avec entrées dans quinze salles, dont entrées à Paris, portant le cumul à entrées. Le film atteint le cap des entrées lors de sa quatrième semaine à l'affiche.


title: Mélodie en sous-sol

text: Le film perd la pôle position du box-office français au profit des "Bonnes Causes" la semaine suivante début , mais frôle les entrées depuis sa sortie. Il quitte le podium à la fin , tout en parvenant à cumuler les entrées depuis sa sortie. Contre toute-attente, le film remonte à la seconde place fin mai-début , puis revient à la première place la semaine suivante. Ce bref retour en tête du podium vaut au film d'atteindre le million d'entrées, bien que le résultat de la semaine est assez faible (plus de entrées à cette période).


title: Mélodie en sous-sol

text: Il quitte le top 10 le avec 1,1 million d'entrées cumulées depuis sa sortie, pour y revenir de temps à autre à partir la semaine suivante. En cinq mois à l'affiche, le film totalise 1,5 million d'entrées. Le film reprend la tête du box-office français début pour un total de 1,8 million d'entrées depuis sa sortie. Les 2 millions d'entrées sont atteints fin octobre. Le film quitte le top 30 hebdomadaire la semaine du avec 2,3 millions d'entrées. Le film totalise durant l'année 1963. Le film finit son exploitation avec sur l'ensemble du territoire français, dont sur Paris, se hissant en septième position du box-office français de l'année 1963.


title: Mélodie en sous-sol

text: Le film a également rapporté de recettes aux États-Unis et a été vu par spectateurs en Italie et 482 473 entrées à Tokyo et dans les villes clés japonaises lors de sa sortie initiale et 6 925 entrées à Tokyo lors de sa reprise en salles en 1977.


title: Mélodie en sous-sol

text: "Mélodie en sous-sol" fait l'objet d'une colorisation par la société américaine CST en 1994. Il s'agit du cinquième film d'Henri Verneuil et le quatrième film avec Jean Gabin à être colorisé. La version colorisée de "Mélodie en sous-sol" est notable pour être plus courte de treize minutes par rapport à la version intégrale sorti en salles en 1963. De nombreuses scènes furent raccourcies, bien qu'aucune scène complète n'ait été coupée.


title: Mélodie en sous-sol

text: Cette version est diffusée pour la première fois à la télévision sur la chaîne Canal + en 1996.


title: Mélodie en sous-sol

text: En vidéo, "Mélodie en sous-sol" est édité pour la première fois en 1982 en VHS chez René Chateau Vidéo. La première édition en DVD du film sort chez H2F le , mais il s'agit de la version colorisée. La version originale en noir et blanc est éditée en DVD chez René Chateau Vidéo le (comprenant filmographies, anecdotes et histoires du film dans les bonus), suivie d'une édition collector 2 DVD le chez le même éditeur, qui comprend un livret et un second disque avec des interviews, une biographie et des filmographies. Le DVD sorti en 2002 est réédité le dans la collection Audiard et en .


title: Mélodie en sous-sol

text: EuropaCorp réédite le film en DVD le , qui comprend - selon la jaquette - la version colorisée et la version originale en noir et blanc. Toutefois, cette édition est critiquée par les acheteurs, car l'éditeur propose une version noir et blanc qui n'est pas celle sortie en salles, mais la version colorisée dont on a supprimé la couleur. Il faudra attendre le et le pour que l'éditeur sorte en DVD et Blu-ray la version intégrale sortie en salles.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article "" (« "Sur les propositions formellement indécidables des "Principia Mathematica" et des systèmes apparentés" »). Ils ont marqué un tournant dans l'histoire de la logique en apportant une réponse négative à la question de la démonstration de la cohérence des mathématiques posée plus de 20 ans auparavant par le programme de Hilbert.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Le premier théorème d'incomplétude établit qu'une théorie "cohérente" suffisante pour y démontrer les théorèmes de base de l'arithmétique est nécessairement "incomplète", au sens où il existe des énoncés qui n'y sont ni démontrables, ni réfutables (un énoncé est "démontrable" si on peut le déduire des axiomes de la théorie, il est "réfutable" si on peut déduire sa négation). On parle alors d'énoncés "indécidables" dans la théorie.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Le second théorème d'incomplétude est à la fois un corollaire et une formalisation d'une partie de la preuve du premier. Il traite le problème des preuves de cohérence d'une théorie : une théorie est "cohérente" s'il existe des énoncés qui n'y sont pas démontrables (ou, ce qui revient au même, si on ne peut y démontrer A et non A) ; par exemple on exprime souvent la cohérence de l'arithmétique par le fait que l'énoncé 0 = 1 n'y est pas démontrable (sachant que bien entendu 0 ≠ 1 l'est). Sous des hypothèses à peine plus fortes que celles du premier théorème, on peut construire un énoncé exprimant la cohérence d'une théorie dans le langage de celle-ci. Le second théorème affirme alors que si la théorie est cohérente cet énoncé ne peut pas en être conséquence, ce que l'on peut résumer par : « une théorie cohérente ne démontre pas sa propre cohérence ».


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Le premier théorème d'incomplétude peut être énoncé de la façon encore un peu approximative suivante (les termes techniques sont expliqués dans le paragraphe suivant).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: De tels énoncés sont dits indécidables dans cette théorie. On dit également "indépendants" de la théorie.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Toujours dans l'article de 1931, Gödel en déduit le second théorème d'incomplétude :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Ces deux théorèmes sont valides par exemple pour l'arithmétique de Peano et donc pour les théories plus fortes que celle-ci, en particulier les théories destinées à fonder les mathématiques, telles que la théorie des ensembles ou les "Principia Mathematica".


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Pour fixer les idées, on considère dorénavant que les théories en question sont, comme celles que l'on vient de mentionner (arithmétique de Peano, théorie des ensembles), des théories du premier ordre de la logique classique, même si les théorèmes d'incomplétude restent valides, sous les mêmes conditions, par exemple en logique intuitionniste ou en passant à l'ordre supérieur.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut reformuler le premier théorème d'incomplétude en disant que si une théorie "T" satisfait les hypothèses utiles, il existe un énoncé tel que chacune des deux théories obtenues l'une en ajoutant à "T" cet énoncé comme axiome, l'autre en ajoutant la négation de cet énoncé, sont cohérentes. Donnons-en la démonstration.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Étant donné un énoncé "G", notons "non G" sa négation. On montre facilement qu'un énoncé "G" n'est pas démontrable dans "T" si et seulement si la théorie "T + non G" (la théorie "T" à laquelle on ajoute l'axiome "non G") est cohérente. En effet, si "G" est démontrable dans "T", "T + non G" est évidemment contradictoire. Réciproquement, supposons "T + non G" contradictoire. Cela signifie que, dans la théorie "T", on peut déduire de "non G" une contradiction. On en déduit que "G" est conséquence de "T" (c'est un raisonnement par contraposée).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il est donc équivalent de dire qu'un énoncé "G" est indécidable dans une théorie cohérente "T", et de dire que les deux théories "T + non G" et "T + G" sont cohérentes. L'énoncé "G" n'étant évidemment pas indécidable dans chacune de ces deux théories, on voit que la notion d'énoncé indécidable est par nature relative à une théorie donnée.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Ainsi, si "G" est un énoncé indécidable donné pour "T" par le premier théorème d'incomplétude, on aura, en appliquant à nouveau ce théorème, un nouvel énoncé indécidable dans la théorie "T + G" (et donc d'ailleurs indécidable aussi dans la théorie "T"). De fait, quand le théorème d'incomplétude s'applique à une théorie "T", il s'applique à toutes les extensions cohérentes de cette théorie, tant qu'elles restent récursivement axiomatisables : il n'y a aucun moyen effectif de compléter une telle théorie.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut également noter que, quelle que soit la théorie en jeu, Gödel a montré que l'énoncé indécidable qu'il construit pour démontrer son théorème est arithmétique, c’est-à-dire qu'on peut l'exprimer dans le langage de l'arithmétique, même si la théorie est plus expressive. Il s'agit même d'un énoncé de l'arithmétique qui, bien que fastidieux à écrire explicitement, est logiquement assez simple (en un sens qui sera précisé en fin d'article). Par exemple, on obtiendra par le théorème de Gödel appliqué à la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel un énoncé arithmétique, qui sera pourtant indécidable dans cette même théorie des ensembles.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: L'énoncé du second théorème d'incomplétude a ceci de particulier, qu'il utilise la formalisation de la théorie dans elle-même, puisqu'il parle de la cohérence de la théorie comme d'un énoncé de celle-ci. C'est assez inhabituel en mathématiques, et cela entraîne facilement des confusions. Les conséquences qui suivent sont immédiates, au sens où elles se déduisent « simplement » du second théorème d'incomplétude, mais cette simplicité elle-même peut n'avoir rien d'immédiate.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il peut être utile pour comprendre l'énoncé du second théorème d'incomplétude, de le reformuler par contraposée :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut remarquer que ce théorème ne dit rien dans le cas où "T" démontre un énoncé exprimant qu'elle "n'est pas" cohérente. De fait, on peut déduire du second théorème cette conséquence, apparemment paradoxale, qu'il existe des théories non contradictoires démontrant leur propre incohérence.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Pour voir cela, appelons "coh" un énoncé qui exprime la cohérence de "T" dans la théorie "T". De la même façon qu'au paragraphe précédent pour le premier théorème, on reformule le second théorème d'incomplétude en disant que, sous les hypothèses utiles sur "T", si la théorie "T" est cohérente, la théorie "T'=T + non coh" est encore cohérente. Rappelons que « "T" n'est pas cohérente », signifie qu'il existe une preuve d'une contradiction dans "T". Une preuve dans "T" est aussi une preuve dans "T' ", qui a juste un axiome supplémentaire. Il est donc simple de montrer dans une théorie telle que "T", qui satisfait les hypothèses du théorème de Gödel, que "non coh" a pour conséquence "non coh" (n'oublions pas cependant que "coh" et "coh" sont des énoncés exprimés dans le langage de ces théories, il faudrait, pour que la preuve soit vraiment complète, rentrer dans le détail de cette représentation pour montrer cette implication).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On a donc déduit du second théorème d'incomplétude, et de l'existence d'une théorie cohérente "T" qui satisfait les hypothèses de ce théorème – par exemple l'arithmétique de Peano – l'existence d'une théorie "T' " cohérente qui démontre "non coh", par exemple l'arithmétique de Peano augmentée d'un axiome exprimant l'incohérence de celle-ci. De telles théories sont pathologiques : on n'en rencontre pas parmi les théories mathématiques usuelles.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: A contrario une théorie incohérente, dans laquelle tous les énoncés sont prouvables, démontrera évidemment un énoncé exprimant qu'elle est cohérente.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Un autre exemple d'application simple, mais assez surprenante, du second théorème d'incomplétude est le théorème de Löb, qui affirme que, dans une théorie "T" qui satisfait les hypothèses utiles, prouver dans "T" un énoncé sous l'hypothèse que cet énoncé est prouvable dans la théorie, revient à prouver l'énoncé. Autrement dit cette hypothèse est inutile.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On voit par ces diverses remarques que le second théorème d'incomplétude ne dit rien en défaveur de la cohérence d'une théorie à laquelle il s'applique, par exemple la cohérence de l'arithmétique de Peano. Tout ce qu'il dit de cette dernière est que l'on ne peut pas la démontrer en utilisant seulement les axiomes de l'arithmétique, c'est-à-dire essentiellement la récurrence sur les entiers. Nous revenons sur ce point plus bas, mais remarquons tout de suite que c'est ici que le programme de Hilbert est contredit : Hilbert voulait démontrer la cohérence des mathématiques dans un fragment finitaire de celles-ci, c'est-à-dire dans une théorie comme l'arithmétique ne permettant de manipuler que des objets finis (des entiers, des formules, des démonstrations...) ; or une telle théorie satisfait les hypothèses des deux théorèmes donc est incomplète et ne prouve pas sa propre cohérence. Ainsi les théorèmes de Gödel ont pour corollaire, au sens mathématique du terme, l'impossibilité de réaliser le programme de Hilbert.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Les théorèmes d'incomplétudes, et surtout leurs conséquences sur la conception qu'avaient les mathématiciens de l'époque de leur discipline, en particulier David Hilbert et ses élèves, étaient très inattendus. Peu de mathématiciens comprirent tout d'abord ces théorèmes et ce qu'ils impliquaient. Il faut compter parmi ceux-ci John von Neumann, qui après avoir assisté au premier exposé de Gödel en 1930 sur le premier théorème d'incomplétude, lui envoya une lettre mentionnant un corollaire qui était le second théorème (que Gödel connaissait déjà). Paul Bernays également, proche collaborateur de David Hilbert, comprit très vite les conséquences de ces théorèmes sur les conceptions de ce dernier, et donna la première démonstration détaillée du second théorème dans l'ouvrage " "(cosigné avec Hilbert). Enfin, Gödel se rendit plusieurs fois aux États-Unis dans les années 1930. Ses travaux eurent une grande audience auprès d'Alonzo Church et de ses élèves, Stephen Cole Kleene et J. Barkley Rosser, et jouèrent un rôle important dans la naissance de la théorie de la calculabilité.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Le second problème de la célèbre liste que Hilbert présenta en 1900 à Paris était celui de la démonstration de la cohérence de l'arithmétique. L'arithmétique joue un rôle particulier dans le programme car, même si Hilbert n'a jamais défini précisément ce qu'il entendait par "théorie finitaire", il semble clair qu'à ses yeux l'arithmétique en était une. Il était donc important à ses yeux de démontrer la cohérence de l'arithmétique par des moyens internes, c'est-à-dire sans employer de principe mathématique plus fort que la récurrence sur les entiers ; comme on l’a déjà vu, le second théorème d'incomplétude montre que c'est impossible. Curieusement cela n'a pas empêché les logiciens de continuer à chercher ; ainsi Gerhard Gentzen donna en 1936 qui utilisait un principe d'induction plus fort que la récurrence sur les entiers, et Gödel lui-même produisit plusieurs constructions, notamment l', conduisant à des preuves de cohérence de l'arithmétique. Mentionnons également Alonzo Church dont le lambda-calcul fut initialement conçu pour développer des preuves élémentaires de cohérence. Ainsi, cette recherche de démonstrations de cohérence, apparemment rendue vaine par les théorèmes d'incomplétude, fut au contraire extrêmement fructueuse en posant les bases de la théorie de la démonstration moderne.


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text: Les théorèmes d'incomplétude traitent du rapport fondamental en logique entre vérité et prouvabilité et surtout établissent de façon formelle que ces deux concepts sont profondément différents.


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text: En mathématique on considère qu'une fois un énoncé prouvé, celui-ci peut être considéré comme vrai, mais ce faisant on utilise une condition importante quoique rarement explicitée : que les hypothèses utilisées dans la démonstration soient non contradictoires. Une démonstration aussi rigoureuse soit-elle ne vaut rien si elle est fondée sur des bases branlantes puisque l'on a vu qu'une théorie contradictoire démontre n'importe quel énoncé (et son contraire). Par conséquent la cohérence d'une théorie est l'ingrédient absolument nécessaire pour assurer que tout théorème de la théorie est vrai. Les théorèmes d'incomplétude montrent que cet ingrédient ne peut être interne à la théorie. C'est ce qu'exprime le théorème de Löb : si une théorie "T" démontre une formule "A" sous l'hypothèse que "A" est démontrable dans "T", alors cette hypothèse est inutile et on peut démontrer "A" sans celle-ci ; car déduire "A" du fait que "A" est démontrable revient à utiliser la cohérence de "T" ; mais justement celle-ci n'est pas démontrable dans "T" et donc cet argument n'a pas pu être utilisé dans la preuve.


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text: Les théorèmes d'incomplétude sont fondés sur le fait qu'il est possible de définir la prouvabilité dans une théorie en utilisant uniquement quelques principes d'arithmétique (et donc dans toute théorie contenant ces quelques principes d'arithmétique). Par contre pour définir la vérité dans une théorie il est nécessaire de se donner d'autres moyens qui reviennent essentiellement à supposer que la théorie est cohérente : il faut par exemple pouvoir construire un "modèle" ce qui ne peut se faire en général en utilisant seulement les principes de l'arithmétique.


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text: À l'époque où Gödel démontre son théorème, la notion de vérité n'est pas vraiment formalisée, même si elle est connue de ce dernier, puisqu'il a démontré en 1929 le théorème de complétude. La définition utilisée actuellement est due à Alfred Tarski, on la trouve dans un article publié en 1956.


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text: La vérité est définie relativement à une interprétation des formules dans un modèle, une structure mathématique : un ensemble muni de lois et de relations. Nous allons nous intéresser à la vérité dans le "modèle standard" de l'arithmétique, les entiers que «tout le monde connaît», que l'on note N. Remarquons tout d'abord que, comme son nom le suggère il existe également des modèles non standards de l'arithmétique : le théorème d'incomplétude de Gödel montre l'existence de structures mathématiques qui ressemblent aux entiers, au sens où tous les axiomes de l'arithmétique de Peano, y compris la récurrence, y sont satisfaits, mais qui ne sont pas les entiers usuels, parce qu'elles vérifient des énoncés faux dans le modèle standard N. En effet, soit "G" la formule du premier théorème, qui donc exprime sa propre non prouvabilité dans l'arithmétique de Peano ; cette formule est vraie dans N, c'est précisément ce que démontre le premier théorème. Comme vu à la section précédente, la théorie constituée de l'arithmétique de Peano augmentée de la formule "non G" est cohérente. Cela signifie, d'après le théorème de complétude du même Gödel, que cette théorie admet un modèle qui satisfait donc en particulier "non G", et donc ne saurait être le modèle standard N.


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text: L'interprétation standard consiste à associer à chaque symbole du langage de l'arithmétique une signification dans le modèle : la constante 0 est interprétée par l'entier 0, le symbole de fonction "s" par la fonction successeur (formula_1), etc.). Ce dictionnaire permet ainsi de transformer les formules, objets formels, en des énoncés sur les entiers. Ainsi l'expression formelle "s(s(0))" est interprétée comme l'entier 2, la formule formula_2 exprime la propriété (vraie en l'occurrence) que 2 est un nombre premier, etc.


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text: On vérifie facilement que les interprétations des axiomes de l'arithmétique de Peano sont vraies dans le modèle standard, ce qui n'a rien de surprenant puisque ceux-ci étaient précisément conçus pour définir les entiers.


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text: Il est intéressant de considérer quelques cas particuliers d'interprétation de formules. Les plus simples sont les formules atomiques closes qui deviennent des égalités et inégalités polynomiales sur les entiers dont la vérité ou la fausseté peuvent être vérifiées algorithmiquement. Les formules closes sans quantificateurs restent décidables : on peut se ramener à des conjonctions et disjonctions d'égalités et d'inégalités (≠ et ≤) polynomiales. On peut remarquer que pour décider ces formules on a besoin de très peu d'outils, il suffit juste de savoir calculer les sommes et les produits, et de disposer d'un algorithme pour décider les égalités et les inégalités entre entiers. En fait il est facile de voir que si l'interprétation d'une formule close et sans quantificateur est vraie dans le modèle standard alors cette formule est démontrable dans l'arithmétique en utilisant uniquement les axiomes définissant le successeur, la somme, la multiplication et la relation d'ordre. Ce sous-système de l'arithmétique, appelé "arithmétique de Robinson" ou "arithmétique élémentaire", permet donc toutes les démonstrations sur les entiers qui n'utilisent pas la récurrence.


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text: Et comme la négation d'une formule close sans quantificateurs est close et sans quantificateurs, si celle-ci est fausse alors sa négation est prouvable dans l'arithmétique élémentaire. En résumé : l'arithmétique élémentaire décide les formules closes sans quantificateurs.


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text: Les choses se compliquent lorsque l'on passe aux quantificateurs : une formule "existentielle", c'est-à-dire de la forme ∃"x" … "x"("P"("x", …, "x") = Q("x", …, "x")) où "P" et "Q" sont des polynômes à "n" variables, est vraie quand on peut trouver "n" entiers "a", …, "a" tels que "P"("a", … , "a") = "Q"("a", … , "a"). S'il existe un tel "n"-uplet d'entiers, une machine pourra le trouver, en essayant les "n"-uplets entiers les uns après les autres (par exemple en énumérant tous les "n"-uplets dont la somme est 0, puis tous ceux dont la somme est 1, puis tous ceux dont la somme est 2, etc.). Autrement dit si une formule existentielle est vraie dans le modèle standard alors cette formule est vérifiable algorithmiquement et par conséquent démontrable dans l'arithmétique élémentaire ; cette remarque, un peu généralisée est fondamentale dans la preuve du théorème d'incomplétude, voir le paragraphe sur les formules Σ plus bas. Par contre si une formule existentielle est fausse, alors cet algorithme ne s'arrêtera pas. Le théorème de Matiiassevitch montre qu'il n'existe pas d'algorithme qui déciderait le statut de n'importe quelle formule existentielle.


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text: La situation est « pire » pour le quantificateur universel : un énoncé "universel" est un énoncé du genre ∀"x", …, "x"("P"("x", …, "x") = "Q"("x", …, "x")) ; cet énoncé est vrai dans le modèle standard si pour chaque "n"-uplet d'entiers "a", …, "a", l'égalité "P"("a", …, "a") = "Q"("a", …, "a") est vraie : c'est bien défini, mais, si l'on suit la définition, cela demande une infinité de vérifications. On voit bien la différence entre vérité et démontrabilité : une preuve est nécessairement finie et se vérifie de manière algorithmique. Pour démontrer un énoncé universel tel que celui-ci, habituellement on fait une récurrence ce qui permet de représenter de façon finie une infinité de vérifications : la récurrence peut se « déplier » de façon à construire une infinité de preuves, une pour chaque entier. La récurrence introduit toutefois une certaine uniformité dans ces preuves et il n'y a aucune raison que tout énoncé universel vrai dans le modèle standard puisse être démontré ainsi ; le théorème de Gödel montre justement que ce n'est pas le cas.


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text: En effet appliquons le théorème de Gödel à l'arithmétique de Peano. L'énoncé de Gödel est un énoncé universel, de la forme ∀"x H"("x") où "H" est une formule sans quantificateur et dépendant seulement de la variable "x". Quand on définit précisément l'énoncé, on montre que pour chaque entier "n", "H"("n"), est prouvable dans l'arithmétique de Peano, donc vrai dans le modèle standard. C'est la raison pour laquelle ∀"x H"("x") est vrai dans le modèle standard mais l'énoncé est précisément construit pour en déduire qu'alors il n'est pas prouvable dans la théorie considérée, ici l'arithmétique de Peano.


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text: Il y a là un point subtil : le théorème démontre que ∀"x H"("x") est vraie dans le modèle standard. Mais le seul moyen en maths de s'assurer qu'une formule est vraie, c'est de la prouver, nous avons donc une preuve de ∀"x H"("x") et en regardant la démonstration du théorème on peut se convaincre que cette preuve n'utilise pas de principes plus forts que ceux de l'arithmétique. Cette formule semble prouvable dans l'arithmétique mais justement le théorème de Gödel assure qu'elle ne l'est pas ! La raison est que l'énoncé « ∀"x H"("x") est vrai dans le modèle standard » présuppose l'existence du modèle standard, c'est-à-dire présuppose la cohérence de l'arithmétique ; pour être tout à fait précis on n'a pas démontré ∀"x H"("x") mais : "si l'arithmétique est cohérente" alors ∀"x H"("x") ; et cette démonstration est tout à fait formalisable dans l'arithmétique, c'est d'ailleurs la clef du second théorème d'incomplétude.


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text: Rappelons que si l'on démontre un énoncé à partir d'énoncés vrais dans un modèle, l'énoncé obtenu est vrai dans ce modèle, et que, dans un modèle, un énoncé (une formule close) est soit vrai soit faux. Par conséquent la théorie des énoncés vrais dans N est close par déduction et complète. On déduit immédiatement du premier théorème d'incomplétude que


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text: et donc, la vérité étant close par déduction


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text: C'est une version faible du théorème d'incomplétude, énoncée pour les théories dont tous les axiomes sont vrais dans N, alors que cette forme du théorème de Gödel se démontre sous la simple hypothèse de cohérence de ces axiomes qui est beaucoup plus générale (tout ceci en ayant précisé correctement ce que signifie « suffisamment d'arithmétique »). On ne peut pas non plus le formaliser directement dans l'arithmétique, pour en déduire le second théorème d'incomplétude. Tel quel il se déduit d'ailleurs du théorème de Tarski (1933), qui est plus facile à démontrer que celui de Gödel. Comme l'énoncé "G" non démontrable est vrai dans N et que la théorie ne démontre que des énoncés vrais dans N, la négation de cet énoncé n'est pas non plus démontrable.


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text: Il est possible de donner une assertion sous cette forme qui soit vraiment équivalente à celle démontrée par Gödel, en précisant la complexité logique de l'énoncé "G", voir la fin du paragraphe diagonalisation. Comme déjà dit, la simple hypothèse de cohérence suffit pour que l'énoncé "G" vrai dans N soit non démontrable, et ceci représente l'essentiel du théorème. Une fois précisée la complexité logique de "G", le fait que la négation de "G" n'est pas non plus démontrable est une conséquence quasi immédiate d'une hypothèse de cohérence un peu plus forte faite par Gödel, qui entraîne que tous les théorèmes de la complexité logique de la négation de "G" sont vrais dans N.


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text: Une théorie du premier ordre est incomplète quand il existe des énoncés exprimables au premier ordre dans le langage de la théorie et qui ne sont pas déterminés par cette théorie (c'est-à-dire qu'ils sont indécidables dans cette théorie).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: L'existence de théories incomplètes est banale au sens où il n'y a « pas assez » d'axiomes pour déterminer tous les énoncés. Ainsi on peut dire au premier ordre avec égalité qu'il existe au moins deux éléments distincts, ou au contraire qu'il en existe un seul, c'est-à-dire que la simple théorie de l'égalité, mais aussi par exemple la théorie des groupes ou la théorie des corps sont évidemment incomplètes. En ajoutant des axiomes on peut espérer compléter une théorie en la déterminant, ainsi la théorie des corps algébriquement clos d'une caractéristique donnée, la théorie des corps réels clos sont des théories complètes.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Ceci n'est pas possible pour l'arithmétique ainsi que le montre le théorème de Gödel : même en ajoutant des axiomes on n'obtiendra pas une théorie complète (tant que la liste des axiomes est récursivement axiomatisable, c'est-à-dire essentiellement qu'on peut la décrire explicitement). La théorie des ensembles, bien qu'elle permette de démontrer plus d'énoncés arithmétiques que l'arithmétique de Peano, ne les détermine pas tous pour autant (la théorie des ensembles est également incomplète pour des raisons n'ayant rien à voir avec les théorèmes de Gödel, voir ci-après).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: L'arithmétique de Presburger (l'arithmétique de l'addition) est un exemple de théorie arithmétique complète : le langage est trop peu expressif pour que l'on puisse démontrer le théorème de Gödel. De façon générale, d'après justement le théorème de Gödel, les théories complètes, comme celles déjà citées ou l'axiomatisation de la géométrie élémentaire (associée à celle des corps réels clos) ne sont pas suffisamment expressives pour faire de l'arithmétique (avec addition et multiplication).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Appliqués à l'arithmétique, les théorèmes de Gödel fournissent des énoncés dont la signification est tout à fait intéressante, puisqu'il s'agit de la cohérence de la théorie. Cependant ces énoncés dépendent du codage choisi. Ils sont pénibles à écrire explicitement.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Paris et Harrington ont montré en 1977 qu'un renforcement du théorème de Ramsey fini, vrai dans N, n'est pas démontrable dans l'arithmétique de Peano. Il s'agit du premier exemple d'énoncé indécidable dans l'arithmétique qui n'utilise pas de codage du langage. Depuis, on en a découvert d'autres. Le théorème de Goodstein est un tel énoncé ; sa preuve est particulièrement simple (quand on connaît les ordinaux), mais utilise une induction jusqu’à l'ordinal dénombrable ε₀. Laurence Kirby et Jeff Paris ont démontré en 1982 que l'on ne peut pas prouver ce théorème dans l'arithmétique de Peano.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Les énoncés de ce genre qui ont été découverts sont des résultats de combinatoire. Leurs démonstrations ne sont pas nécessairement très compliquées, et en fait il n'y a aucune raison de penser qu'il y a un lien entre complexité technique d'une preuve et possibilité de formaliser celle-ci dans l'arithmétique de Peano.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: En théorie des ensembles, on a d'autres énoncés indécidables que ceux fournis par le théorème de Gödel qui peuvent être de nature différente. Ainsi, d'après des travaux de Gödel, puis de Paul Cohen, l'axiome du choix et l'hypothèse du continu sont des énoncés indécidables dans ZF la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel, le second étant d'ailleurs indécidable dans ZFC (ZF plus l'axiome du choix). Mais d'une part, ce ne sont pas des énoncés arithmétiques. D'autre part, la théorie obtenue en ajoutant à ZF l'axiome du choix ou sa négation est "équi-cohérente" à ZF : la cohérence de l'une entraîne la cohérence de l'autre et réciproquement. De même pour l'hypothèse du continu. Ce n'est pas le cas pour un énoncé exprimant la cohérence de ZF, d'après justement le second théorème d'incomplétude. De même pour l'un des deux énoncés obtenus par les preuves usuelles du premier théorème d'incomplétude (il est équivalent à un énoncé de cohérence).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Considérons une théorie des ensembles "T+A". Démontrer qu'un ensemble (un objet de la théorie) est modèle de la théorie des ensembles "T", c’est démontrer la cohérence de "T". Si l'on suppose que l'on peut faire une telle démonstration, on peut donc déduire par le second théorème d'incomplétude que, si "T" est cohérente, "A" n'est pas démontrable dans "T". On montre ainsi que certains axiomes qui affirment l'existence de « grands » cardinaux, ne sont pas démontrables dans ZFC.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La notion de calculabilité intervient à divers titres à propos des théorèmes d'incomplétude. On l'a utilisée pour en définir les hypothèses. Elle intervient dans la preuve du premier théorème d'incomplétude (Gödel utilise les fonctions récursives primitives). Enfin incomplétude et indécidabilité de l'arithmétique sont liées.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il y a un lien étroit entre décidabilité algorithmique d'une théorie, l'existence d'une méthode mécanique pour tester si un énoncé est ou non un théorème, et complétude de cette théorie. Une théorie récursivement axiomatisable et complète est décidable. On peut donc prouver le premier théorème d'incomplétude en montrant qu'une théorie qui satisfait les hypothèses utiles est indécidable. Ce résultat, l'indécidabilité algorithmique des théories qui satisfont les hypothèses du premier théorème d'incomplétude, a été démontré indépendamment par Turing et Church en 1936 (voir problème de la décision), en utilisant les méthodes développées par Gödel pour son premier théorème d'incomplétude. Pour un résultat d'indécidabilité, qui est un résultat négatif, il faut avoir formalisé la calculabilité, et être convaincu que cette formalisation est correcte, conviction qui ne peut reposer seulement sur des bases mathématiques. En 1931, Gödel connaît un modèle de calcul que l'on dirait maintenant Turing-complet, les fonctions récursives générales, décrit dans une lettre que Jacques Herbrand lui a adressée, et qu'il a lui-même précisé et exposé en 1934. Cependant il n'est pas convaincu à l'époque d'avoir décrit ainsi toutes les fonctions calculables. À la suite de travaux de Kleene, Church, et Turing, ces deux derniers ont énoncé indépendamment en 1936 la thèse de Church : les fonctions calculables sont les fonctions récursives générales.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut être plus précis en donnant une classe restreinte d'énoncés pour laquelle la prouvabilité est indécidable. Si on reprend les arguments développés dans le paragraphe Vérité et démontrabilité ci-dessus, on voit par exemple que la classe des énoncés sans quantificateurs (et sans variables) est, elle, décidable.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: En utilisant les arguments développés par Gödel, on montre que la prouvabilité des énoncés Σ est indécidable. Sans entrer dans le détail de la définition des formules Σ (faite ci-dessous), cela ne semble pas si loin d'une solution négative au dixième problème de Hilbert : l'existence d'un algorithme de décision pour la résolution des équations diophantiennes. Mais il fallut plusieurs dizaines d'années et les efforts successifs de plusieurs mathématiciens dont Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson et finalement Youri Matiiassevitch pour y arriver en 1970 (voir théorème de Matiiassevitch).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut tout à fait déduire le premier théorème de Gödel du théorème de Matiiassevitch. Cela peut paraître artificiel, puisqu'un résultat d'indécidabilité beaucoup plus facile à démontrer suffit. Mais on peut en déduire des énoncés indécidables d'une forme particulièrement simple. En effet, le théorème de Matiiassevitch équivaut à dire que la vérité des énoncés (formules closes) qui s'écrivent comme des égalités polynomiales quantifiées existentiellement, n'est pas décidable. Or :On en déduit qu'il existe des énoncés vrais non démontrables, qui s'écrivent comme la négation d'une égalité polynomiale quantifiée existentiellement, ou plus simplement comme une inégalité polynomiale quantifiée universellement.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La preuve par Gödel de son premier théorème d'incomplétude utilise essentiellement deux ingrédients :Mais l'énoncé de Gödel n'est pas paradoxal. Il est vrai dans N, car s'il était faux, il serait prouvable. Or cet énoncé est de complexité logique suffisamment simple pour que sa prouvabilité dans une théorie cohérente capable de coder l'arithmétique entraîne sa vérité dans N (on n'a pas besoin de supposer que N est modèle de la théorie). Il est donc vrai dans N. Il n'est donc pas prouvable, par définition de l'énoncé.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Pour montrer que la négation de l'énoncé de Gödel n'est pas non plus prouvable, il faut une hypothèse de cohérence plus forte, comme celle qu'a faite Gödel. Rosser a modifié astucieusement l'énoncé pour pouvoir utiliser simplement la cohérence (voir « Astuce de Rosser »). En ce qui concerne la preuve de Gödel l'argument est le suivant : l'énoncé étant vrai, sa négation est fausse. Si on supposait que N est modèle de la théorie, cela suffirait pour qu'elle ne soit pas démontrable. Mais Gödel a construit un énoncé d'une complexité logique suffisamment faible pour qu'une hypothèse beaucoup moins forte suffise : il s'agit essentiellement de dire que de tels énoncés faux ne peuvent être démontrables, et il peut l'exprimer de façon syntaxique.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La preuve esquissée ci-dessus est reprise de façon plus précise dans le paragraphe « diagonalisation ».


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: À l'époque actuelle, quiconque connait un peu d'informatique n'a aucun mal à imaginer que l'on puisse représenter les énoncés d'une théorie par des nombres. Cependant il faut également manipuler ces codages dans la théorie. La difficulté réside dans les restrictions du langage : une théorie du premier ordre avec essentiellement l'addition et la multiplication comme symboles de fonction. C'est la difficulté que Gödel résout pour montrer que la prouvabilité peut être représentée par une formule dans la théorie.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La suite est un peu technique. En première lecture, on peut simplifier l'argumentation en supposant que N est modèle de "T", auquel cas on n'a pas besoin d'être attentif à la complexité logique de l'énoncé. La partie sur la fonction β et la représentation de la récurrence reste utile. On précise également des notions, et des résultats qui ont été évoqués ou rédigés de façon approximative ci-dessus.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il peut être amusant d'écrire soi-même les codages, il l'est certainement beaucoup moins de lire ceux des autres. On trouve donc beaucoup de variété dans la littérature. Le choix du codage n'a pas grande importance, en soi. Éventuellement certains se "manieront" plus facilement dans la théorie. Comme les formules et les démonstrations peuvent être vues comme des suites finies de caractères, lettres, espace, ponctuation, et ceux-ci en nombre fini, on peut les coder par un nombre, celui étant écrit dans une base de taille le nombre de caractères nécessaire, ou par tout autre moyen qui permet de coder des suites finies d'entiers (Gödel utilise les exposants de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers). On peut également utiliser un codage des couples (voir ci-dessous) pour représenter, suites finies, arbres, et donc les structures syntaxiques utiles ...


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text: Un problème plus important est d'avoir des fonctions pour manipuler ces structures, l'équivalent des programmes en informatique : il est à peu près clair que l'on ne peut se contenter de compositions de fonctions constantes, d'additions et de multiplications, c’est-à-dire de polynômes à coefficients entiers positifs. On va représenter les fonctions utiles par des formules. Voyons un exemple, par ailleurs fort utile pour les codages. La bijection de Cantor entre N×N et N est bien connue et tout à fait calculable : on énumère les couples d'entiers diagonale par diagonale (somme constante), par exemple en faisant croître la seconde composante :


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text: Cette fonction n'est déjà plus représentée par un terme du langage, à cause de la division par 2, mais elle est représentée par la formule (on utilise "≡" pour la relation d'équivalence) :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Passons maintenant aux fonctions de décodage, c’est-à-dire à un couple de fonctions inverses. On aura besoin de quantificateurs :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On a donc représenté une fonction, plus exactement son graphe (la formule soulignée) par une formule du langage de l'arithmétique. Les formules ci-dessus sont bien particulières : la première est une égalité polynomiale ; si on remplace les trois variables libres par des termes clos du langage, représentant des entiers ("s…s0"), elle devient décidable. Les deux suivantes utilisent un "quantificateur borné" : "∃x≤z A" signifie "il existe un x inférieur ou égal à z tel que A". Là encore si on remplace les deux variables libres par des entiers cette formule devient décidable : pour vérifier une "quantification existentielle bornée", il suffit de chercher jusqu’à la borne, soit on a trouvé, et l'énoncé est vérifié, soit on n'a pas trouvé et il ne l'est pas. Ce n'est plus le cas (pour la seconde partie de l'assertion) si la quantification existentielle n'est pas bornée. On pourra conserver cette propriété de décidabilité en ajoutant des "quantifications universelles bornées", notées "∀ x≤ p A" ("pour tout x inférieur ou égal à p, A"). Les formules construites à partir des égalités polynomiales en utilisant les connecteurs booléens usuels, et des quantifications uniquement bornées sont appelées "formules Σ". Remarquez que la négation d'une formule Σ est Σ.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On se convainc facilement, des arguments sont donnés juste ci-dessus et au paragraphe vérité et démontrabilité, que la vérité dans N des formules closes Σ est décidable : on a un moyen mécanique de savoir si elles sont vraies ou fausses. Pour démontrer le premier théorème d'incomplétude de Gödel (il faut un peu plus pour Gödel-Rosser, de la récurrence pour le second), la condition minimale sur la théorie, en plus d'être récursivement axiomatisable et d'une hypothèse de cohérence, est de démontrer toutes les formules Σ vraies dans N, et donc, par stabilité par négation des Σ et cohérence, de n'en démontrer aucune fausse. C'est ce que l'on a entendu par "formaliser suffisamment d'arithmétique". Remarquez que c'est une hypothèse sur les axiomes de la théorie. Par exemple l'ensemble des formules Σ vraies dans N étant décidable, on peut le choisir comme système d'axiomes pour une théorie qui sera bien récursivement axiomatisable (on peut évidemment le simplifier). En particulier on peut démontrer :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Résultat qui se démontre d'ailleurs sans véritablement utiliser les axiomes de récurrence de l'arithmétique de Peano (ce qui est naturel puisqu'il n'y a pas véritablement de quantification universelle dans ces énoncés).


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il serait bien commode de se contenter de manipuler des fonctions représentables par des formules Σ : vérité et démontrabilité sont confondues, ces formules sont décidables, donc les fonctions représentées par des formules Σ sont calculables. Mais le « langage de programmation » induit n'est pas assez riche. On doit introduire les formules Σ, qui sont obtenues en plaçant un quantificateur existentiel en tête d'une formule Σ. En général, la négation d'une formule Σ n'est pas équivalente à une formule Σ. On a la propriété suivante :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: En effet une formule Σ "∃ "x A x"" est vraie dans N signifie que pour un certain entier, que l'on peut écrire "s…s0", la formule ""A" s…s0" est vraie, or cette formule est Σ.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il existe des théories arithmétiques cohérentes, qui démontrent des formules closes Σ fausses, contrairement à ce qui se passe pour les Σ. Il faut préciser que de telles théories arithmétiques sont assez pathologiques, comme celles qui démontrent un énoncé exprimant leur propre contradiction (voir début de l'article). L'hypothèse de cohérence supplémentaire utile pour le premier théorème d'incomplétude, que l'on va appeler Σ-"cohérence", c'est justement de supposer que la théorie ne démontre aucune formule close Σ fausse. On suppose que certaines formules ne sont pas démontrables, donc la contradiction ne l'est pas : c'est bien une hypothèse de cohérence au moins aussi forte que la simple cohérence. Elle est vraiment plus forte : on peut exprimer la négation de la cohérence d'une théorie par une formule Σ.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Un sous-ensemble "E" de N, ou plus généralement de N est "définissable dans l'arithmétique" s'il existe une formule "F" de l'arithmétique avec p variables libres telle que :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Un sous-ensemble "E" de N est "représentable dans une théorie T" s'il existe une formule "F" de l'arithmétique avec p variables libres telle que :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Une fonction "f" à plusieurs variables sur N est définissable dans N si son graphe est défini dans N, représentable dans une théorie "T" si son graphe est représentable dans "T". Un ensemble, ou une fonction est définissable par une formule Σ si et seulement s'il, ou elle, est représentable par cette formule dans une théorie Σ-cohérente où tous les énoncés Σ sont démontrables.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Il existe d'autres notions de représentabilité plus fortes, pour les ensembles comme pour les fonctions. Pour celle introduite ici, on dit souvent « faiblement représentable ».


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On notera une formule Σ définissant ou représentant "f". Pour le théorème de Gödel c'est la notion de fonction ou d'ensemble représentable qui est utile, mais la notion de fonction ou d'ensemble définissable est plus simple à manipuler, et comme on s'intéresse aux cas où elles sont équivalentes, on va dans la suite parler de définissabilité par une formule Σ.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut remarquer que la conjonction, la disjonction de deux formules Σ, la quantification existentielle d'une formule Σ, la quantification universelle bornée d'une formule Σ, sont équivalentes dans N (on note ≡) à une formule Σ :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: L'ensemble de fonctions à notre disposition est donc stable par composition (on donne l'exemple pour une variable, on généralise sans peine à des fonctions de plusieurs variables) :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On définit également de façon naturelle :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Cependant, pour pouvoir avoir un langage suffisamment expressif pour définir les fonctions utiles sur la syntaxe, il manque une notion très utile : la définition par récurrence. L'idée pour l'obtenir est d'utiliser un codage des suites finies (les listes de l'informatique). Supposons que nous ayons un tel codage, notons "l=[n;…;n]" l'entier qui code la suite finie n,…, n. Il faut pouvoir décoder : notons "β(l, i)=n" l'élément en place "i" de la suite codée par "l" (la valeur n'a pas d'importance si "i" est trop grand). Supposons que nous ayons une fonction "g" de N dans N (une suite infinie d'entiers) définie par :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: et que "f" soit définissable dans N. Alors on pourra définir la fonction "g" par :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: formule qui est équivalente dans N à une formule Σ dès que le graphe de β est Σ. Ceci se généralise au schéma de récurrence utilisé pour les fonctions récursives primitives. Il suffit donc trouver une formule Σ qui définit une fonction β : c'est la principale difficulté à résoudre pour le codage de la syntaxe.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Le nom de fonction β est repris de l'article original de Gödel. Pour la définir, il a eu l'idée d'utiliser le théorème des restes chinois : pour coder n,…, n on va donner p entiers premiers entre eux deux à deux, engendrés à partir d'un seul entier d, et un entier a dont les restes des divisions par chacun de ces entiers sont n,…, n. La suite n,…, n sera donc codée par les deux entiers a et d, l'entier  si on en veut un seul. Plusieurs (une infinité !) entiers coderont la même suite, ce qui n'est pas gênant si on pense à l'objectif (coder les définitions par récurrence). Le principal est que l'on assure que toute suite finie a au moins un code.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Étant donnés les entiers n,…, n, on choisit un entier s, tel que s ≥ p et pour tout n, s≥n. Les entiers


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: sont alors premiers entre eux deux à deux. De plus n < d. Par le théorème chinois on déduit l'existence d'un entier a tel que pour chaque entier n de la suite finie, le reste de la division de a par d soit n. On a donc, en posant d = s! :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On a bien une fonction β définie par une formule Σ.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On en déduit que :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut calculer beaucoup de choses avec les fonctions récursives primitives. Une fois ce résultat obtenu, le reste n'est plus qu'affaire de soin. On peut utiliser des méthodes plus ou moins astucieuses pour gérer les problèmes de liaison de variables. On montre que la fonction qui code la substitution d'un terme à une variable dans une formule est récursive primitive, que l'ensemble des (codes de) preuves d'une théorie "T" récursivement axiomatisable est récursif primitif, et enfin que la fonction qui extrait d'une preuve la conclusion de celle-ci est récursive primitive. Dire qu'une formule est prouvable dans "T", c'est dire qu'il existe une preuve de cette formule dans "T", ce qui, codé dans la théorie, reste Σ, bien que le prédicat "être démontrable" ne soit pas, lui, récursif primitif, ni même récursif.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: En conclusion, pour une théorie récursivement axiomatisable "T", on a deux formules Σ, Dem(x) et , telles que :On a noté ⌈"F"⌉ l'entier qui code la formule "F".


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Du fait que les formules sont Σ, on peut remplacer "vrai" par "démontrable dans "T"" sous les hypothèses suffisantes.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La construction de l'énoncé de Gödel repose sur un argument diagonal. On construit tout d'abord la formule à une variable libre Δ("x") :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: qui peut s'interpréter dans N par « la formule de code "x" appliquée à son propre code n'est pas démontrable dans "T" », et on applique cette formule à l'entier ⌈Δ⌉. On obtient "G"=Δ(⌈Δ⌉), une formule qui dit bien d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable dans "T". On reprend en la précisant l'argumentation déjà donnée au-dessus. On suppose que "T" est récursivement axiomatisable, démontre toutes les formules Σ vraies dans N, donc toutes les formules Σ vraies dans N, et qu'elle est Σ-cohérente.On voit donc bien, le dernier argument étant assez tautologique, que le véritable contenu du théorème est dans la non-démontrabilité de "G". Le premier théorème d'incomplétude de Gödel s'énonce donc aussi bien par :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On remarque que la formule G en question est équivalente à une formule universelle ∀"x H"("x"), où "H" est Σ. Cette formule étant vraie, pour chaque entier "n" (représenté par s...s 0) "H"("n") est vraie, donc démontrable étant Σ. On a donc bien, comme annoncé dans le paragraphe « vérité et démontrabilité », un énoncé universel ∀"x" "H"("x") qui n'est pas démontrable dans "T", alors que pour chaque entier "n", "H"("n") est démontrable dans "T".


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Pour démontrer le premier théorème d'incomplétude, on a formalisé la prouvabilité dans une théorie arithmétique. Il est ainsi possible (sous les hypothèses du premier théorème) de construire un énoncé qui signifie que « 0 = 1 n'est pas prouvable » (0 = 1 ou n'importe quelle proposition contradictoire dans la théorie), c'est-à-dire de construire un énoncé exprimant la cohérence de la théorie. Le second théorème d'incomplétude affirme que, sous des hypothèses un peu plus fortes que pour le premier théorème, un tel énoncé n'est pas démontrable.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut déjà observer que la formule "G" que l'on construit pour démontrer le premier théorème d'incomplétude, et qui dépend de la théorie considérée, affirme qu'un certain énoncé (lui-même, en l'occurrence) n'est pas prouvable dans cette théorie. C'est donc déjà dans une certaine mesure un énoncé de cohérence, puisque dans une théorie incohérente tout est démontrable ; en fait, "G" a pour conséquence la cohérence de la théorie. Pour le second théorème d'incomplétude, il suffit de montrer que la cohérence de la théorie entraîne "G".


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Le second théorème d'incomplétude se prouve essentiellement en formalisant la preuve du premier théorème d'incomplétude pour une théorie "T" dans cette même théorie "T". En effet, on a montré ci-dessus que, si la théorie était cohérente la formule "G" de Gödel (qui dépend de "T"), n'est pas prouvable. Mais la formule de Gödel est équivalente à sa non prouvabilité. On a donc montré que la cohérence de la théorie "T" entraîne "G". Si maintenant "T" permet de formaliser cette preuve, on montre dans la théorie "T" que la cohérence de la théorie "T" entraîne "G". Mais justement, si "T" est cohérente, "G" n'est pas démontrable dans "T". On ne peut donc démontrer la cohérence de "T" dans "T" si cette dernière théorie est cohérente.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Pour ce raisonnement, on utilise seulement la non-démontrabilité de "G", donc la simple hypothèse de cohérence suffit. Par contre, pour formaliser le raisonnement, on suppose que la théorie "T" est plus forte que pour le premier théorème d'incomplétude, en particulier on utilisera la récurrence.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Les conditions que doit vérifier la théorie "T" pour démontrer le second théorème d'incomplétude ont été précisées tout d'abord par Paul Bernays dans les "Grundlagen der Mathematik" (1939) coécrit avec David Hilbert, puis par Martin Löb, pour la démonstration de son théorème, une variante du second théorème d'incomplétude. Les conditions de Hilbert-Bernays-Löb portent sur le prédicat de prouvabilité dans la théorie "T", que l'on nommera comme ci-dessus Dem :La condition D1 est apparue implicitement pour démontrer le premier théorème d'incomplétude. La seconde condition D2 est une formalisation dans la théorie de D1. Enfin la dernière, D3, est une formalisation de la règle logique primitive dite de "modus ponens". Notons coh la formule qui exprime la cohérence de "T", c’est-à-dire que l'absurde, que l'on note ⊥, n'est pas démontrable (la négation est notée maintenant ¬) :


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Comme la négation d'une formule "F", ¬"F", équivaut à "F" entraîne l'absurde, "F"⇒⊥, on déduit de la condition D3 quePour déduire le second théorème d'incomplétude des trois conditions de Gödel-Bernays, il suffit de reprendre le raisonnement déjà fait ci-dessus. Soit "G" la formule de Gödel construite pour la théorie "T", qui, si cette dernière est cohérente, entraîne ¬Dem(⌈"G"⌉). D'après D1 et la cohérence de la théorie "T", "G" n'est pas démontrable dans "T" (premier théorème). On formalise maintenant ce raisonnement dans "T". Par D2. on démontre dans "T" que Dem(⌈"G" ⇒ ¬Dem(⌈"G"⌉)⌉). On en déduit par D3 que dans "T", Dem(⌈"G"⌉) on démontre que Dem(⌈¬Dem(⌈"G"⌉)⌉), puis par D2 et D'3, ¬coh. On a donc dans "T" que Dem(⌈"G"⌉) ⇒ ¬coh, c’est-à-dire par définition de "G", ¬"G" ⇒ ¬coh, et par contraposée coh ⇒ "G". Or on a vu que "G" n'est pas démontrable dans "T", donc coh n'est pas démontrable dans "T".


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La preuve de D1 a déjà été esquissée à propos du premier théorème d'incomplétude : il s'agit de formaliser proprement la démontrabilité, et on utilise le fait que les formules closes Σ vraies sont démontrables.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: La condition D3 formalise la règle de "modus ponens", une règle que l'on a tout intérêt à avoir dans le système que l'on a choisi pour formaliser les démonstrations. Il faudrait rentrer dans le détail du codage pour donner la preuve de D3, mais elle ne sera pas bien difficile. Il faut faire attention à bien formaliser le résultat indiqué dans la théorie choisie : les variables en jeu (par exemple, il existe un "x" qui est le code d'une preuve de "F") sont les variables de la théorie. Il faudra quelques propriétés de l'ordre, et savoir démontrer quelques résultats élémentaires sur les preuves dans la théorie.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: C'est la condition D2 qui s'avère la plus délicate a démontrer. C'est un cas particulier de la propriétéqui formalise (dans "T") que "toute formule close Σ vraie est démontrable dans T". On n'a donné ci-dessus aucun détail sur la preuve de ce dernier résultat, "T" étant par exemple l'arithmétique de Peano. Si on en donnait, on se rendrait compte que l'on n'a pas besoin de l'axiome de récurrence de la théorie, mais que, par contre, l'on raisonne par récurrence sur la longueur des termes, la complexité des formules ... Pour formaliser cette preuve dans la théorie, il faut de la récurrence. Pour résumer la situation : quand on a démontré sérieusement le premier théorème d'incomplétude pour l'arithmétique de Peano, on a fait cette preuve, qui est un peu longue, mais ne présente pas de difficulté. Pour le second théorème, la seule chose à faire consiste maintenant à montrer que cette preuve se formalise dans l'arithmétique de Peano elle-même, ce qui est intuitivement relativement clair (quand on a fait la preuve), mais très pénible à expliciter complètement.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: On peut en fait démontrer le second théorème d'incomplétude pour une théorie plus faible que l'arithmétique de Peano, l"'arithmétique primitive récursive". On étend le langage de façon à avoir des symboles de fonction pour toutes les fonctions primitives récursives, et on ajoute à la théorie les axiomes qui définissent ces fonctions. On restreint la récurrence aux formules sans quantificateurs, ce qui fait que celles-ci sont « immédiates ». L'arithmétique primitive récursive est souvent considérée comme la formalisation des mathématiques finitaires, avec lesquelles Hilbert espérait pouvoir prouver la cohérence des théories mathématiques.


title: Théorèmes d'incomplétude de Gödel

text: Des résultats de Cristian S. Calude mènent à penser que presque tout énoncé mathématique est indécidable. Leonid Levin démontre que les algorithmes probabilistes ne peuvent compléter récursivement une théorie incomplète. Il conjecture par ailleurs que le monde physique ne peut résoudre les impossibilités mathématiques exposées par les théorèmes de limitations comme celui de l'arrêt des machines de Turing.


title: Liste des présidents du conseil départemental du Loiret

text: La liste des présidents du conseil général du Loiret présente la liste des présidents du conseil départemental du département français du Loiret.


text: Le conseil départemental portait le nom de conseil général avant 2015.Site officiel du Conseil départemental du Loiret


title: Naomi Watts

text: Naomi Watts , née le à Shoreham (Royaume-Uni), est une actrice et productrice britannique.


title: Naomi Watts

text: Elle est révélée au début des années 2000 par le thriller psychologique "Mulholland Drive" (2001), de David Lynch, puis le film d'horreur "Le Cercle" (2002), de Gore Verbinski et enfin le drame "21 Grammes", d'Alejandro González Inárritu, qui lui vaut sa première nomination à l'Oscar de la meilleure actrice.


title: Naomi Watts

text: Durant les années 2000, elle confirme sous la direction de David O. Russell, Hideo Nakata, Marc Forster, John Curran, David Cronenberg, Michael Haneke, Tom Tykwer, Rodrigo García, Woody Allen et Clint Eastwood. Peter Jackson la dirige aussi dans la super-production "King Kong" (2005).


title: Naomi Watts

text: Finalement, c'est sa performance dans le film catastrophe "" (2012), de Juan Antonio Bayona, qui lui vaut sa seconde nomination à l'Oscar de la meilleure actrice. Cependant, elle essuie peu de temps après le flop critique du biopic "Diana" (2013), d'Oliver Hirschbiegel, où elle incarne Diana Spencer.


title: Naomi Watts

text: Par la suite, après avoir participé à plusieurs films indépendants - dont "While We're Young" (2015) et "Demolition" (2016) - et tenu un second rôle dans la franchise "Divergente", elle finit par jouer dans deux séries télévisées : "Twin Peaks", qui marque ses retrouvailles avec David Lynch, puis "Gypsy", dont elle est la tête d'affiche.


title: Naomi Watts

text: Elle a tourné avec, entre autres, David Lynch, David Cronenberg, Peter Jackson, Woody Allen, Michael Haneke, Gus Van Sant, Clint Eastwood, David O. Russell, James Ivory, Alejandro González Inárritu, Anne Fontaine, Hideo Nakata ou, plus récemment, à la télévision, Stephen Frears.


title: Naomi Watts

text: Naomi Watts est la fille de , ingénieur du son anglais, organisateur des tournées du groupe Pink Floyd dans les années 1970 et de Myfanwy Roberts, surnommée Miv, antiquaire, décoratrice, et costumière d'origine galloise. Naomi a un frère, Ben Watts, d'un an son aîné, aujourd'hui photographe aux États-Unis.


title: Naomi Watts

text: Ses parents se séparent quand elle a . Lorsqu'elle a , son père meurt, dans des conditions jamais élucidées ; selon une autre source, la biographie "Pink Floyd : l'histoire selon Nick Mason" de Nick Mason, il serait mort d'une overdose.


title: Naomi Watts

text: Peu après, la famille s'installe sur l'île d'Anglesey, au nord-ouest du pays de Galles, dans la localité de Llanfawr Farm, entre les villes de Llangefni et Llanfairpwll. Naomi et son frère vivent alors avec leurs grands-parents maternels, Nikki et Hugh Roberts, durant trois ans. À Anglesey où le gallois est la langue dominante, elle fréquente durant cette période la , établissement scolaire mettant l'accent sur l'apprentissage de la langue galloise. Naomi décrit sa mère comme une hippie, sans argent, qui parfois menaçait d'envoyer ses enfants en famille d'accueil. Naomi et son frère suivent ensuite leur mère à Londres.


title: Naomi Watts

text: Naomi dit avoir voulu devenir actrice après avoir vu sa mère jouer sur scène, et à partir du moment où elle a visionné le film "Fame".


title: Naomi Watts

text: En 1978 la mère de Naomi, Myfanwy, se remarie. En 1982, la famille quitte le Royaume-Uni pour l'Australie, Naomi a alors . Sa grand-mère maternelle étant australienne, l'obtention des documents nécessaires est facilitée et permet à Naomi et à sa famille d'acquérir la nationalité de leur pays d'accueil.


title: Naomi Watts

text: Myfanwy travaille ensuite en tant que décoratrice pour des publicités télévisées puis devient costumière pour le soap opera "Return to Eden".


title: Naomi Watts

text: Sur sa nationalité, l'actrice explique :


title: Naomi Watts

text: À Sydney, Naomi est inscrite à des cours de théâtre. Elle se lie d'amitié avec Nicole Kidman qu'elle rencontre durant le casting d'une pub pour Bikini. Elle fréquente les établissements "Mosman High School" et "North Sydney Girls High School" mais n'obtient pas son diplôme de fin d'études.


title: Naomi Watts

text: À l'âge de 18 ans, elle décide de devenir mannequin et se rend au Japon. Elle passe alors des auditions mais n'étant pas retenue, elle retourne à Sydney. Elle travaille ensuite pour un magasin, puis pour une revue de mode. Plus tard, un collègue invite Naomi à participer à un atelier d'art dramatique, ce qui ravive sa passion pour la scène. Elle quitte alors son emploi et choisit de poursuivre une carrière d'actrice. Par la suite, elle fait de brèves apparitions dans des publicités télévisées américaines.


title: Naomi Watts

text: En 1986, elle débute en jouant dans le film "For Love Alone".


title: Naomi Watts

text: Après cinq ans d'absence, elle rencontre le réalisateur John Duigan qui lui propose un rôle dans le film indépendant "Flirting", puis joue dans des séries télévisées.


title: Naomi Watts

text: Elle décide alors de s'installer aux États-Unis.


title: Naomi Watts

text: En 1993, elle obtient un petit rôle dans "Panic sur Florida Beach" de Joe Dante et retourne temporairement en Australie pour jouer dans trois films australiens : "", "The Custodian" et "Gross Misconduct". Watts repart ensuite en Amérique pour de bon, mais rencontre des difficultés à trouver du travail.


title: Naomi Watts

text: En 1995, elle interprète un second rôle dans le film "Tank Girl".


title: Naomi Watts

text: En 2001, elle connaît le succès avec "Mulholland Drive" de David Lynch, film présenté au Festival de Cannes. Il s'agissait à l'origine d'une série, mais seul le pilote est tourné. Les producteurs trouvent le résultat final trop complexe et finalement, ce sont des investisseurs français qui sauvent le projet. Le film lance la carrière de Naomi Watts et repart avec le prix de la mise en scène à Cannes.


title: Naomi Watts

text: L'année suivante, elle est à l'affiche du film fantastique "Le Cercle" de Gore Verbinski et de la comédie romantique "L'Amour, six pieds sous terre" de Nick Hurran. Si le second ne marque pas les esprits, le premier s'est inscrit durablement dans celui des spectateurs. "Remake" du film japonais "Ringu", "The Ring" est soutenu par une critique positive (72 % sur "Rotten Tomatoes") et par un bouche-à-oreilles favorable. Le film fonctionne sur la durée et remporte 240 millions de dollars pour un budget de 40.


title: Naomi Watts

text: En 2003, elle donne la réplique à Heath Ledger, Orlando Bloom et Geoffrey Rush dans le drame "Ned Kelly" de Gregor Jordan, puis tient l'un des rôles principaux de la comédie "Le Divorce", de James Ivory, aux côtés notamment de Kate Hudson et Glenn Close.


title: Naomi Watts

text: L'année suivante, elle joue dans "We Don't Live Here Anymore" de John Curran, "The Assassination of Richard Nixon" de Niels Mueller dans lequel elle retrouve Sean Penn, et "J'adore Huckabees" de David O. Russell.


title: Naomi Watts

text: Mais surtout, l'actrice reçoit sa première nomination à l'Oscar de la meilleure actrice en 2004 pour sa performance dans le thriller psychologique "21 Grammes", sorti en 2003, et réalisé par Alejandro González Iñárritu. Son interprétation dans ce film aux côtés de Sean Penn et Benicio del Toro lui permet aussi d'obtenir plusieurs prix des associations de critiques américains mais aussi une nomination aux SAG Awards, aux BAFTAs et aux Golden Satellites.


title: Naomi Watts

text: En 2005, elle reprend son rôle de journaliste dans "Le Cercle 2", cette fois réalisé par Hideo Nakata. Elle partage également la vedette avec Ewan McGregor et Ryan Gosling dans le drame "Stay" de Marc Forster, puis incarne la délicate Ann Darrow dans le blockbuster "King Kong" de Peter Jackson, aux côtés d'Adrien Brody et Jack Black.


title: Naomi Watts

text: L'année suivante, Naomi Watts est l'interprète principale et la productrice du film "Le Voile des illusions", de John Curran, dont elle partage l'affiche avec Edward Norton. Elle enchaîne les rôles et joue dans "Les Promesses de l'ombre" de David Cronenberg (2007), "Funny Games U.S." de Michael Haneke (2008), puis "L'Enquête" de Tom Tykwer (2009). Ses performances pour ces films sont saluées par la critique internationale, Naomi Watts s'imposant désormais comme une actrice hollywoodienne de premier plan.


title: Naomi Watts

text: En 2010, elle interprète la femme de Josh Brolin dans "Vous allez rencontrer un bel et sombre inconnu" de Woody Allen, l'agent de la CIA Valerie Plame dans "Fair Game" de Doug Liman (une aux côtés de Sean Penn) et la fille d'Annette Bening dans le drame indépendant "Mother and Child" de Rodrigo Garcia.


title: Naomi Watts

text: En 2011, elle reçoit un hommage du Festival de Deauville, alors qu'elle joue dans le film "J. Edgar" de Clint Eastwood, aux côtés de Leonardo DiCaprio.


title: Naomi Watts

text: En 2012, elle retrouve Ewan McGregor dans le film catastrophe salué par la critique internationale "The Impossible" réalisé par le cinéaste espagnol Juan Antonio Bayona. Sa performance lui vaut une nomination dans la catégorie meilleure actrice aux BAFTA's, aux Golden Globes, aux Prix Goya et aux Oscars.


title: Naomi Watts

text: En 2013, elle est à l'affiche du film indépendant "Perfect Mothers" mis en scène par la Française Anne Fontaine, dans lequel elle a pour principale partenaire Robin Wright. La même année, elle tourne à nouveau sous la direction d'un réalisateur européen en incarnant la princesse Lady Diana dans le film "Diana" d'Oliver Hirschbiegel. Le film est un échec critique et commercial.


title: Naomi Watts

text: Elle revient aux États-Unis pour la comédie dramatique indépendante "St. Vincent", menée par Bill Murray, qui lui permet de renouer avec la critique. Le film sort néanmoins directement sur Netflix en France en 2014. Parallèlement, elle se distingue en retrouvant le cinéaste mexicain Alejandro González Iñárritu pour un rôle secondaire dans l'acclamé film fantastique "Birdman", qui récolte une poignée de nominations aux Oscars. En octobre de cette même année, l'actrice devient l'égérie de la marque "L'Oréal Paris".


title: Naomi Watts

text: En 2015, elle joue dans la comédie indépendante "While We're Young", de Noah Baumbach, où elle forme avec Ben Stiller un couple de quadragénaires new-yorkais sans enfant tentant de reconnecter avec leur vingtaine. Cette même année, elle participe pour la première fois à une franchise, en tenant un rôle dans "" de Robert Schwentke. Un rôle qu'elle reprend dans le dernier opus en 2016, "".


title: Naomi Watts

text: Elle ne s'éloigne pas pour autant de projets plus ambitieux en partageant l'affiche du drame indépendant "Nos souvenirs" de Gus Van Sant avec Matthew McConaughey et du thriller indépendant "Demolition" de Jean-Marc Vallée avec Jake Gyllenhaal.


title: Naomi Watts

text: En 2016, elle se contente de seconds rôles dans deux longs-métrages : la comédie dramatique indépendante "About Ray", portée par la jeune Elle Fanning, puis le biopic sportif "Outsider", mené par son époux à la ville Liev Schreiber. L'actrice revient aux premiers rôles en 2017 en revenant à son genre de prédilection, l'angoisse : d'abord pour le thriller indépendant "", réalisé par Colin Trevorrow, puis le thriller horrifique "Le Château de verre", de Destin Daniel Cretton.


title: Naomi Watts

text: L'actrice s'aventure surtout à la télévision : après avoir fait partie du casting principal de la saison événement de "Twin Peaks", sous la direction de son mentor David Lynch, elle est l'héroïne de sa propre mini-série, "Gypsy", où elle joue une thérapeute s'investissant trop dans la vie de ses patients.


title: Naomi Watts

text: En 2018, elle est membre du jury du Festival de Venise, sous la présidence de Guillermo del Toro. Au cinéma, elle seconde la jeune Daisy Ridley, titulaire du rôle-titre du drame "Ophelia", de Claire McCarthy. Watts y incarne La Reine Gertrude. Par ailleurs, elle s'engage sur le tournage d'une nouvelle mini-série, "The Loudest Voice", attendue pour une diffusion en 2019.


title: Naomi Watts

text: Cette même année, l'actrice revient au thriller pour porter "The Wolf Hour", d'Alistair Banks Griffin, et tenir un second rôle dans le drame indépendant "Luce", avec Tim Roth. L'actrice partage aussi l'affiche du thriller de science-fiction "Boss Level", de Joe Carnahan, avec Mel Gibson.


title: Naomi Watts

text: Entre 2002 et 2004, Naomi Watts a eu une relation avec l'acteur Heath Ledger.


title: Naomi Watts

text: De 2005 jusqu'en , elle a partagé la vie de l'acteur Liev Schreiber. Le couple a eu deux garçons : Alexander Pete, né le , et Samuel Kai, né le . Fin , ils annoncent leur séparation après onze ans de vie commune.


title: Naomi Watts

text: En , Naomi Watts a fait un don à la campagne électorale du Congrès de Valerie Plame pour le du Congrès du Nouveau-Mexique.


title: Naomi Watts

text: Avec Nicole Kidman, elle est la marraine des enfants de Simon Baker. Elle déclare pratiquer la méditation transcendantale qui la . Elle envisagea de se convertir au bouddhisme après s'être intéressée à cette religion lors du tournage du "Voile des illusions" (2006). Elle a déclaré à propos de ses croyances religieuses : En France, Hélène Bizot est la voix française régulière de Naomi Watts, depuis le film "Le Cercle". Laurence Dourlens et Anneliese Fromont l'ont également doublée à trois reprises chacune.


title: Naomi Watts

text: Au Québec, elle est principalement doublée par Pascale Montreuil.


title: Télécabine

text: Une télécabine est un système de transport par câble, comprenant plusieurs petites cabines, dont la capacité varie de 2 à , disposées sur un câble unique à la fois porteur et tracteur (on parle d'installation monocâble, par opposition au système bicâble d'un téléphérique), qui forme une boucle à mouvement généralement unidirectionnel.


title: Télécabine

text: Elle n'est pas à confondre avec d'autres appareils à câble comme la télébenne à cabines ouvertes où l'on effectue le trajet debout et à l'air libre, le téléphérique, qui dispose de câble(s) tracteur(s) et de câble(s) porteur(s) séparés, ou encore le DMC / Funitel, type de monocâble disposant de deux câbles porteur/tracteurs.


title: Télécabine

text: Dans la version la plus répandue, les véhicules sont pourvus d'une attache débrayable leur permettant de se désaccoupler du câble dans les stations. L'embarquement des passagers est alors réalisé avec une circulation à faible vitesse ( environ) sans ralentissement de la ligne. Dans cette configuration, la vitesse du câble peut atteindre .


title: Télécabine

text: Les gares sont équipées d'un lanceur et d'un ralentisseur où s’opèrent les phases d'embrayage et de débrayage. Ceux-ci sont généralement composés d'une rangée de pneus (appelée poutre) qui ralentit ou accélère la cabine au niveau d'un peigne de contact situé sur le chariot du véhicule, à proximité de la pince. Sur les appareils d'ancienne génération, cette accélération et ce ralentissement étaient opérés sans pneus, par gravité grâce à un rail incliné.


title: Télécabine

text: Au niveau du lanceur et du ralentisseur se trouve une came qui, au passage de la cabine, vient appuyer sur le levier de la pince, et ouvrir le mors pour le libérer du câble ou l'y accoupler. Sur toute sa circulation en gare, le véhicule est suspendu à un rail sur lequel il roule via les galets de son chariot. Dans le contour de la station, la cabine reste généralement entraînée par des pneus, mais on trouve encore des convoyeurs à chaînes sur des appareils plus anciens.


title: Télécabine

text: Une des gares est la station motrice : la poulie de renvoi y entraîne le câble par le biais d'un moteur électrique solidaire d'un réducteur. On réalise également dans une des gares la tension du câble, via un contrepoids ou un vérin hydraulique solidaire d'un chariot sur lequel se situe la poulie de renvoi (qui peut être la poulie motrice ou une simple poulie libre selon que la tension s'opère dans la station motrice ou non).


title: Télécabine

text: Une télécabine débrayable peut également disposer d'une ou plusieurs gares intermédiaires pour desservir des pistes, ou permettre un angle de ligne.


title: Télécabine

text: Avec la standardisation des produits, les gares d'une télécabine sont désormais similaires à celles d'un télésiège débrayable.


title: Télécabine

text: Les véhicules peuvent en outre être disposés en train (groupe de cabines rapprochées entre elles) sur le même câble, à l'aide d'attaches fixes. Lors de l'entrée en gare, c'est alors l'ensemble des véhicules qui ralentit, même ceux qui ne sont pas en station. On parle alors de télépulsé.


title: Télécabine

text: Il existe également des télécabines fonctionnant selon le principe du va-et-vient. Chaque véhicule est « attaché » à un côté de la boucle formée par le câble, ainsi les cabines circulent en direction opposée l'une de l'autre de façon alternée en va-et-vient : un véhicule part de A pour rejoindre B tandis que l’autre part de B pour rejoindre A.


title: Télécabine

text: Un type d'appareil hybride, les téléportés avec sièges et cabines, commercialement appelé télémix ou combi, à mi-chemin entre le télésiège et la télécabine, se développe également. Le principe consiste à placer sur une même ligne à la fois des sièges et des cabines fermées. Cet appareil permet aux skieurs d'embarquer sur des sièges sans déchausser les skis comme sur les télésièges classiques, tandis que les piétons ou les skieurs débutants peuvent emprunter des cabines, sans risque à l'embarquement ou au débarquement.


title: Télécabine

text: Les "funitels" et "DMC" (Double MonoCâble) se différencient des télécabines par le fait qu'ils disposent de deux câbles parallèles à la fois porteurs et tracteurs. Ces appareils, généralement débrayables, fonctionnent selon un principe analogue, mais la présence de deux câbles autorise des cabines de plus grande capacité (jusqu'à ) et des portées entre pylônes plus importantes.


title: Télécabine

text: Le funitel est l'évolution du DMC. Il se distingue de celui-ci par un espace entre ses câbles nettement plus grand, offrant une excellente tenue au vent.


title: Télécabine

text: Si les télécabines sont traditionnellement utilisées comme remontées mécaniques, elles ont ces dernières années été de plus en plus utilisées en environnement urbain, notablement à Medellín depuis 2006 et à Caracas, où elles sont intégrées au système de transports en commun. Londres a construit la Emirates Air Line pour les Jeux olympiques d'été de 2012.


title: Télécabine

text: En ce qui concerne l'avenir, TransLink a proposé à Vancouver de construire un système de télécabines qui irait sur Burnaby Moutain vers la Simon Fraser University en .


title: Télécabine

text: Fin 2012, un système étendu de télécabines a été suggéré pour Austin (Texas) afin de développer les transports en commun dans cette ville en rapide croissance démographique.


title: Télécabine

text: Un système de télécabines à Montreal a été finalement rejeté par le Vieux-Port de Montréal.


title: Télécabine

text: Un projet de télécabine urbaine est prévue en Île-de-France pour relier les communes de Valenton, Limeil-Brévannes, Villeneuve Saint Georges et Créteil et son terminus de la ligne 8 du métro. Ce projet a été baptisé Câble 1.


title: Télécabine

text: À Toulouse, le service de télécabines Téléo permettra, fin 2021, de relier l'Université Paul Sabatier à l'Oncopole en passant par le CHU de Rangueil.


title: Pesto

text: Le pesto est une préparation culinaire de Ligurie (nord-ouest de l'Italie) à base de basilic, de pignons de pin, de fromage, de marjolaine ou de persil, d'huile d'olive, d'ail et d'un bouillon. Le basilic employé doit être du "basilico genovese".


title: Pesto

text: Il bénéficie d'une appellation au titre des produits agroalimentaires traditionnels italiens.


title: Pesto

text: Un dictionnaire génois-italien, de la fin du , donne une définition du "pesto," sensiblement la même qu'aujourd'hui. En dialecte génois, "pesto" se prononce « "péstou" » (participe passé du verbe génois "pestâ", « piler »), le « o » se prononçant comme le « ou » français et cela a donné en Provence, par transmission orale, « pistou ».


title: Pesto

text: En Italie, il est normalement utilisé dans les "" (entrée), comme les gnocchis de pommes de terre, le "minestrone alla genovese" (soupe de légumes) et les pâtes, du genre des "trofie", "bavette" ( également appelé "trenette" ou "linguine"), "corzetti", tagliatelles, "tagliolini" ou lasagne.


title: Pesto

text: En dehors de sa région d'origine et particulièrement à l'étranger, son usage est parfois étendu aux pizzas, carpaccio ou avec des steaks.


title: Pesto

text: Pour préparer le "pesto", il faut travailler l'ensemble des ingrédients au pilon ou au mixeur ( de basilic frais, de parmesan, de pignons de pin, d'ail, huile d'olive, sel ; certains ajoutent du poivre ou des noix).


title: Pesto

text: Le basilic doit être fraîchement cueilli. Certains préfèrent utiliser le "pecorino romano" (fromage de brebis fort et sec) plutôt que le parmesan.


title: Pesto

text: Généralement, le meilleur pesto génois est d'un vert plus clair, quel que soit le temps écoulé depuis la préparation.


title: Pesto

text: Dans la province de Catane, à la place du basilic et des pignons, on utilise du "pistacchio Verde et de la roquette". À Trapani, dans le "pesto alla trapanese", les pignons sont remplacés par des amandes et on y ajoute des tomates pilées.


title: Pesto

text: Le pistou est un cousin provençal du "pesto", généralement préparé sans pignons (c'est l'arrivée des Génois à Marseille et à Nice à partir de 1850 qui a introduit le "pesto"). Il constitue l'ingrédient essentiel de la soupe au pistou.


title: Pesto

text: Il existe de nombreuses autres variétés de "pesto" : "pesto rosso" (à la tomate fraîche ou séchée, appelé aussi "portofino"), "pesto" d'hiver (où le basilic est remplacé par des épinards). Il existe aussi du "pesto" avec d'autres plantes moins habituelles, comme la roquette, le fenouil, ou la menthe, ce dernier mélange se mariant bien, par exemple, à un yaourt sur des rondelles de concombre au citron.


title: Pesto

text: Il y a également des pestos sans fromage. La motivation derrière peut notamment être l'allergie au lactose ou le véganisme. Le remplacement peut se faire avec de la noix de cajou.


title: Sambal (cuisine)

text: Le sambal est un condiment ou une sauce d'origine indonésienne et malaisienne à base de piments. Il peut être plus ou moins relevé, mais en général plutôt épicé.


title: Sambal (cuisine)

text: Les plus utilisés sont :


title: Sambal (cuisine)

text: Il existe plus de 300 variétés de "sambal" dans l'archipel indonésien. Les principaux sont :Le "sambal" sert également d'ingrédient dans certains plats, tels que :


title: Liste des préfets du Loiret

text: La liste des préfets du Loiret présente les préfets ou commissaires de la République successifs du département français du Loiret depuis la création du poste, en 1800, sous le Consulat.


title: Liste des préfets du Loiret

text: Le préfet du Loiret est aussi le préfet de la région Centre devenu la région Centre-Val de Loire depuis le 17 janvier 2015.


title: Liste des préfets du Loiret

text: Le siège de la préfecture est situé à Orléans.


title: Liste des préfets du Loiret

text: Les dates indiquées sont celles correspondant à la nomination des préfets par le pouvoir exécutif.


title: Liste des préfets du Loiret

text: Quatre préfets se succèdent durant le Premier Empire et les Cent-Jours.