text: Il suffit alors de comprendre l'application "u" pour résoudre plus simplement la question posée. Cette application est une application linéaire d'un ensemble dans lui-même. On appelle endomorphisme une telle application. L'espace vectoriel est décomposé en sous-espaces stables par "u", c’est-à-dire que leurs images par "u" sont incluses dans eux-mêmes. Ils disposent de propriétés bien particulières. À eux tous ils génèrent l'espace vectoriel tout entier, mais l'endomorphisme restreint à ces sous-espaces est particulièrement simple. Un bon exemple est donné par le cas du miroir. Sur la surface du miroir l'application est simple : elle ne modifie rien ; sur la droite perpendiculaire un vecteur a pour image le vecteur opposé, et tout vecteur est bien la somme d'une composante sur le miroir et d'une composante perpendiculaire.


title: Valeur propre, vecteur propre et espace propre

text: Illustration par un exemple numérique


text: Soit une équation linéaire dont la matrice "A" est donnée ci-dessous. La résolution par inversion impose des calculs longs et complexes. Une approche fondée par les valeurs et les vecteurs propres, la réduction de Jordan (voir l'exemple 2 de l'article « Réduction de Jordan »), montre que cette matrice est semblable à la matrice "J" : Le problème, portant initialement sur la matrice formula_7 est alors ramené à la matrice formula_8, et est donc largement simplifié. Dans cet exemple, les valeurs propres de formula_7 et de formula_8 sont les coefficients diagonaux de formula_8 : formula_12 ; à chacune de ces valeurs propres est associé un sous-espace propre, il est ici de dimension 1 pour chacune : la raison, pour 1 et 2, est que ces coefficients n'apparaissent qu'une fois sur la diagonale de formula_8 ; pour 4, bien qu'il apparaisse deux fois, la dimension du sous-espace propre associé ne peut être 2, à cause de la présence du coefficient 1 au-dessus de la diagonale.


text: Il est toutefois à noter que cette problématique, même si elle est la première à être apparue en algèbre linéaire, n'a pas ouvert la voie à la notion développée dans cet article.


text: Si la problématique précédente n'a pas suffi, c'est essentiellement à cause d'une absence de concept de base. La géométrie d'alors est formalisée par le concept de point. Les points ne s'additionnent pas, ils ne possèdent pas de propriétés algébriques. La notion d'espace vectoriel actuelle n'existait pas. Hamilton, le mathématicien anglais, s'est penché sur un problème où l'addition et la multiplication scalaire sont naturelles. Ce problème lui a été fourni par la physique : les systèmes oscillants.


text: Le cas de la figure 4 illustre cette situation. La masse est attachée à un ressort et subit un amortissement visqueux ("ce qui signifie que la dissipation due aux frottements est proportionnelle à la vitesse"). Il n'existe aucune force extérieure, et le système oscillant vérifie l'équation différentielle linéaire suivante avec les notations de l'article Systèmes oscillants à un degré de liberté :


text: Cette équation utilise les dérivées secondes, c'est la raison pour laquelle on appelle ce type d'équation une équation différentielle linéaire d'ordre deux. Cependant, il est possible de ramener une équation d'ordre deux à une équation d'ordre un à condition de doubler la dimension de l'espace ("cf. Équation différentielle linéaire"). Ici, l'espace vectoriel devient de dimension 2 avec un premier axe correspondant à la vitesse, noté "v", et un deuxième à la position, noté "x". Si l'analyse du mouvement commence par convention à l'instant t = 0, l'équation (1) s'écrit alors sous la forme :


text: La solution d'une telle équation est connue, et s'écrit de la manière suivante :


text: La preuve du fait que l'exponentielle est bien la solution est donnée dans l'article Matrice diagonalisable. Il apparaît nécessaire de calculer une exponentielle d'endomorphisme, qui dépend de toutes les puissances de cet endomorphisme. Ce problème est résolu par Hamilton grâce à la notion de valeurs et vecteurs propres : en effet, s'il existe une base de vecteurs propres pour l'endomorphisme formula_18, avec pour valeurs propres λ et λ et si "A" est l'écriture matricielle de "a", c'est-à-dire s'il existe une matrice de passage "P" ("P" représentant une base de vecteurs propres) telle que : alors :


text: La solution, tant pour la position que pour la vitesse, est donc une combinaison linéaire d'exponentielles. Le calcul général de l'exponentielle d'un endomorphisme ainsi que les justifications théoriques sont traités dans l'article Réduction d'endomorphisme.


text: S'il existe deux valeurs propres réelles, alors la solution est de même nature que la courbe bleue sur la figure 5. L'amortissement ramène sans oscillation la masse à sa position d'équilibre. En revanche, s'il n'existe pas de valeur propre réelle, il est nécessaire d'en trouver dans les nombres complexes. La solution est alors donnée par la partie réelle de la matrice, et on obtient une trajectoire de même nature que la courbe rouge, avec des oscillations avant d'atteindre le point d'équilibre. La physique est source de nombreux exemples de problèmes linéaires de dimension finie où les valeurs propres représentent la bonne approche pour la résolution. On les trouve par exemple dans l'analyse des circuits électriques.


text: Formulation du principe d'inertie de Sylvester Sylvester analyse l'énergie que l'on doit transmettre à un solide pour lui donner une vitesse de rotation "v". Il remarque que le vecteur propre représente dans ce contexte un axe de rotation privilégié. La valeur propre correspond à la grandeur appelée en physique "moment d'inertie", elle est inversement proportionnelle à l'énergie à fournir pour atteindre une vitesse de rotation "v". Pour atteindre cette vitesse avec le moins d'énergie, il est nécessaire de choisir l'axe ayant le plus faible moment d'inertie, c’est-à-dire celui où l'ellipsoïde de la figure 14 est le plus aplati. La théorie montre que l'axe où l'inertie est la plus forte est toujours perpendiculaire à celui du plus faible moment d'inertie. Cette perpendicularité correspond à l'existence d'une base orthonormale de vecteurs propres.


text: Le cas du balai de la figure 6, illustre par un exemple le phénomène. L'axe de plus faible moment d'inertie est indiqué par la flèche 1. Il est intuitif que l'énergie nécessaire pour obtenir la même vitesse de rotation selon l'axe de la flèche 2 sera largement supérieure. Les vecteurs propres et les valeurs propres apparaissent comme des caractéristiques propres de la géométrie de l'objet, dans ce cas les axes privilégiés de rotations, (il est possible de prendre un axe de rotation au hasard, mais les autres axes imposeront des tensions sur l'axe) et les valeurs propres les moments d'inertie associés.


text: Une approche similaire s'applique en mécanique des milieux continus pour l'analyse des déformations élastiques comme la torsion, on parle alors de tenseur des contraintes.


text: Application en statistique


text: L'approche de Sylvester est utilisée dans de nombreux domaines pour comprendre la géométrie d'un phénomène. Les techniques statistiques de dépouillements de sondage en sont un parfait exemple. Soit un sondage, réalisé sur un échantillon de cent personnes et contenant six critères. S'il est possible d'évaluer chaque question par un critère numérique, alors une analyse en composante principale est possible. Elle permet d'interpréter les résultats du sondage.


text: Les résultats du sondage, sont dans un premier temps normalisés pour qu'un critère, qui par exemple prend des valeurs entre un et cent ne soit pas dix fois plus important qu'un autre prenant des valeurs de un à dix. Le résultat du sondage est alors considéré comme un solide dans un espace comportant autant de dimensions que de critères.


text: La première figure représente l'ACP sur les deux premiers vecteurs propres, qu'on appelle en statistiques composantes principales. Les valeurs sont rassemblées autour de cet axe, ce qui signifie qu'il est le plus explicatif. Ce caractère explicatif est donné par le carré de la valeur propre. Dans l'exemple "fictif", il est dû à deux critères fortement corrélés. Ce phénomène est visible sur la deuxième figure, les deux critères corrélés sont représentés. Là encore ces critères se rassemblent autour d'une droite, dans l'exemple cette droite est la droite de la composante principale ("celle à la valeur propre la plus forte"). Ces coordonnées sur ses deux critères sont respectivement 0,506 et -0,491. Si les critères sont "revenu" et "surcharge pondérale", alors le sondage indique que l'obésité frappe en priorité les revenus les plus faibles. La troisième figure illustre un cas, ou la corrélation entre deux critères est faible. Si les critères sont "taille" et "niveau d'étude", alors un tel graphique indique que la taille n'est pas un critère différenciant pour le niveau d'étude.


text: Cet exemple illustre encore que dans le cas analysé par Sylvester, les valeurs et vecteurs propres ne sont pas uniquement des méthodes de calculs, mais aussi des éléments constitutifs de la géométrie du problème considéré.


text: Application en relativité


text: À travers les moments d'inertie d'un solide, Sylvester ne s'est pas trompé sur . Les valeurs propres, qui sont les invariants, dépassent de loin le cadre des moments d'inertie. La géométrie de l'espace-temps relativiste est un autre exemple. Ici la forme bilinéaire ne décrit plus le moment d'inertie d'un solide indéformable, mais une modélisation de la géométrie même de notre univers.


text: La figure 8 représentative de cette géométrie est néanmoins fort différente des illustrations précédentes. Il existe un axe particulier, où le carré de la distance possède une propriété spéciale : il est négatif. La bonne « distance » de cette théorie n'est plus toujours positive. Un vecteur de coordonnées ("x", "y", "z", "t") a pour image "x" + "y" + "z" – c"t". Hermann Minkowski développe une approche mathématique fondée sur ces principes en 1907 dans un article intitulé "Espace-temps", et l'applique à la relativité l'année suivante.


text: Le cône d'inertie de la figure 8 représente l'univers pour un observateur au point A. Le point C possède une "distance" négative, pour l'atteindre il faudrait une vitesse supérieure à celle de la lumière, ce qui, dans le contexte de cette théorie n'est pas réalisable. Il est donc inobservable et n'a aucune influence directe ou indirecte sur l'observateur. Le point B est dans ce que l'on appelle le "cône de lumière", c'est un point possible, il pourra interagir avec l'observateur.


text: Dans le cas qui intéresse Minkowski, les endomorphismes qui traduisent les lois physiques d'un observateur à un autre observateur, jouent un rôle important ; ce sont ceux qui vérifient l'équation formula_21, où formula_22 est la forme bilinéaire qui décrit la géométrie considérée. Ces endomorphismes laissent la géométrie invariante, ils correspondent dans une modélisation euclidienne aux isométries. Dans la géométrie de la relativité, 1 est valeur propre et son espace propre associé est de dimension 3 et est valeur propre de sous-espace propre associé de dimension 1, où désigne le nombre imaginaire et la vitesse de la lumière. On parle de signature de Sylvester (3, 1). Toutes les lois physiques doivent être invariantes par ces endomorphismes. Ces endomorphismes forment une structure de groupe, appelé groupe spécial unitaire, la relativité revient à réécrire la physique en lois laissées invariantes par le groupe spécial unitaire de dimension 4 et de signature (3, 1).


text: L'analyse par vecteurs et valeurs propres possède aussi comme domaine d'application la représentation des groupes. Une structure de groupe est parmi celles dont la définition algébrique est la plus simple, c'est un ensemble muni d'une seule opération notée souvent comme la multiplication. Si la définition est simple, en revanche, ces structures s'avèrent parfois suffisamment complexes pour que leur théorie ne soit pas encore complètement connue. Comme exemple de groupe, il est possible de citer celui des rotations du cube qui laissent son enveloppe invariante. La figure 9 montre que ce groupe est engendré par trois permutations, celle qui place la face 1 en position 2, représentée par la flèche rouge, celle représentée par la verte et enfin la bleue. Au total ce groupe comporte 24 éléments. Une représentation d'un groupe consiste à une identification de ses éléments avec des endomorphismes de telle manière que l'opération du groupe corresponde à la composition d'endomorphisme. Ainsi dans l'exemple de la figure, il existe une identification naturelle entre le groupe abstrait des 24 rotations du cube avec un groupe de rotations dans un espace de dimension 3.


text: Cette approche permet alors de disposer des outils comme les vecteurs ou valeurs propres pour l'analyse de la structure des groupes. La théorie montre que les espaces propres d'une représentation correspondent à la partie commutative du groupe. Dans le cas d'un groupe entièrement commutatif, il existe une base de vecteurs propres pour toute la représentation. Cette approche démontre, par exemple que les groupes commutatifs finis sont des produits de groupes cycliques. "La démonstration est esquissée dans l'article Matrice diagonalisable".


text: La représentation des groupes finis joue un rôle important dans la théorie des vecteurs propres. Elle a permis à Jordan, dans un contexte relativement général, de comprendre totalement le champ d'application et les limites d'une approche par vecteurs propres. Des conditions nécessaires et suffisantes d'existence de vecteurs propres ou de bases de vecteurs propres sont alors connues. De plus, les cas où il n'existe pas de base de vecteurs propres sont élucidés ainsi que la structure exacte des endomorphismes entrant dans cette catégorie et la proportion d'endomorphismes de cette nature dans l'ensemble de tous les endomorphismes.


text: Si le contexte est relativement général, il ne couvre pas tous les cas d'espaces vectoriels connus. La théorie de Jordan se limite à la dimension finie avec un corps de nombre algébriquement clos. Un corps est dit algébriquement clos si tous ses polynômes ont au moins une racine. Ce contexte est néanmoins suffisamment général pour couvrir toutes les applications citées dans ce chapitre.


text: Une première remarque simplifie l'étude. Si "λ" est une valeur propre d'un endomorphisme "u", alors un vecteur propre est un vecteur non nul qui a pour image 0 par l'application "u – λ" Id, où Id désigne l'application identité. L'espace propre associé à "λ" est l'ensemble des vecteurs qui ont pour image 0 par cette application. On appelle cet ensemble le noyau de l'endomorphisme "u – λ" Id. Les propriétés générales établissent que cet ensemble est un sous espace vectoriel. Celui-ci est non réduit à 0 par définition d'une valeur propre.


text: Une fonction importante, en particulier dans notre cadre, est la fonction déterminant. Elle fut la première à être étudiée systématiquement dans le monde de l'algèbre linéaire. Elle associe à un endomorphisme un nombre. Son intérêt réside notamment dans le fait que le déterminant d'un endomorphisme est nul si et seulement s'il existe des vecteurs non nuls qui ont pour image le vecteur nul par cet endomorphisme, c'est-à-dire si et seulement si 0 est une valeur propre pour cet endomorphisme. Le déterminant de l'application "u – λ" Id est appelé le polynôme caractéristique. Les remarques précédentes permettent d'énoncer les premières propriétés :


text: Cette dernière propriété montre que l'existence de racines de polynômes a une influence sur la théorie des valeurs propres. En fait, l'existence même des valeurs propres dépend de l'existence de racines pour les polynômes, par exemple le polynôme caractéristique. C'est pourquoi dans le cadre du corps des nombres complexes, qui est algébriquement clos d'après le théorème de d'Alembert-Gauss, les propriétés liées aux valeurs propres s'énonceront plus simplement que dans le cadre du corps des réels.


text: "Article théorique : Diagonalisation ; article appliqué : Matrice diagonalisable". Le concept de l'article est particulièrement clair dans le cas où le comportement de l'endomorphisme est entièrement décrit par les vecteurs et valeurs propres. L'endomorphisme est alors dit diagonalisable.


text: C'est le cas du premier exemple, celui du miroir. Une base peut alors être choisie en prenant deux vecteurs libres dans le plan de la glace et un troisième perpendiculaire à ce plan. Les deux premiers vecteurs ont pour images eux-mêmes et sont donc de valeur propre 1 et le dernier est de valeur propre –1. Cette situation est intéressante à trois titres :Cette simplicité ouvre la voie à de nombreuses applications évoquées précédemment dans l'article. Elle permet par exemple le calcul d'une exponentielle d'endomorphisme et par conséquent la résolution de nombreux problèmes mécaniques. Les critères associés à la diagonalisation sont données dans la boite déroulante suivante. Les articles contenant les preuves sont systématiquement cités.


text: La figure 11 montre que, même dans le cas où le corps est celui des nombres complexes, il reste encore des cas à élucider, celui des endomorphismes qui se situent sur la nappe, mais pas sur la droite des homothéties. Dans le cas des systèmes d'équations différentiels linéaires, il n'intervient que comme un cas limite, dans l'approche de Sylvester, il n'apparaît plus du tout. En revanche dans la théorie des groupes, ce cas est important. Ce type d'endomorphisme permet la représentation des groupes non commutatifs. Si ces groupes sont infiniment différentiable, alors ils permettent la représentation d'un cas important, celui des groupes de Lie nilpotent.


text: Pour élucider cette problématique, les méthodes utilisées sont celles mises au point par Nelson Dunford. L'outil essentiel consiste à considérer les combinaisons linéaires de puissance de l'endomorphisme. On obtient ainsi un polynôme d'endomorphisme. Ces polynômes forment une structure d'algèbre commutative doté d'un morphismes de l'ensemble des polynômes vers cette algèbre. Cette approche est féconde, on la retrouve aussi dans l'étude du cas où la dimension n'est plus finie. La théorie associée à cette approche se trouve dans l'article Polynôme d'endomorphisme, et l'application au cas traité ici dans Décomposition de Dunford.


text: Le résultat remarquable est qu'il n'existe dans ce contexte qu'une unique exception structurelle au cas diagonalisable. C'est le cas où l'endomorphisme u à la puissance p, où p est un entier, est égal à 0. On dit alors que l'endomorphisme est nilpotent. On peut considérer par exemple, en dimension 3, si ("e", "e", "e") est une base, l'endomorphisme "u "défini par "u"("e") = "e", "u"("e") = "e" et "u"("e") = 0. Cet endomorphisme n'est clairement pas nul son polynôme caractéristique est égal à "x" donc la seule valeur propre est 0. Cet exemple est illustré en figure 12.


text: Camille Jordan a prouvé que dans ce contexte, tout endomorphisme est somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un endomorphisme nilpotent et qu'ils commutent entre eux. L'application de la théorie des endomorphismes montre que le cas nilpotent dispose d'une représentation matricielle particulièrement simple et trigonale supérieure. Dans le cas général, cette représentation s'appelle la réduction de Jordan, elle démontre aussi que, dans ce cas, toute matrice est semblable à une matrice triangulaire.


text: Sur les réels un polynôme n'admet pas toujours de racine. Dans notre troisième exemple, celui de la rotation de la terre, l'espace est de dimension 3, or tout polynôme du troisième degré possède une racine sur les réels. En conséquence, il existe au moins une droite de vecteurs propres. C'est l'axe des pôles dans notre exemple. En revanche, dans le cas de dimension paire, par exemple la restriction de cette application au plan illustré en bleu sur la figure 13 de l'équateur, l'existence de valeur propre n'est plus garantie. Ici, une analyse géométrique nous montre qu'il est vain de chercher un vecteur propre car la rotation modifie la direction de tous les vecteurs non nuls.


text: Dans le cas complexe, nous avons vu que seul un terme nilpotent peut interdire la diagonalisation. Dans le cas réel, une fois retranché le terme nilpotent, seul les rotations empêchent la diagonaliation. Il existe alors deux manières de réduire le cas réel.


text: La première solution consiste à plonger l'endomorphisme dans un espace vectoriel complexe. C'est la solution la plus simple et la plus fréquente. La réduction de l'endomorphisme y est alors plus aisée. Une fois cette réduction réalisée, l'application de cette réduction à des vecteurs réels donnent toujours des solutions réelles.


text: La deuxième solution consiste à affaiblir la réduction. Tout endomorphisme sur les nombres réels est la somme du produit d'un endomorphisme diagonalisable et d'une rotation avec un endomorphisme nilpotent. L'endomorphisme diagonalisable commute avec l'application nilpotente et la rotation. En revanche, l'application nilpotente ne commute pas avec la rotation.


text: "Démonstration dans Réduction d'endomorphisme"


text: Les définitions n'utilisent pas le fait que "K" soit un corps commutatif. Ces définitions ont donc encore un sens dans le cas où "E" n'est pas un espace vectoriel mais un module sur un anneau. Si l'anneau n'est pas commutatif, on parlera alors de valeur propre à droite ou de valeur propre à gauche. Si l'anneau est commutatif, on parlera simplement de valeur propre.


text: Les endomorphismes sont aussi utilisés pour représenter des formes bilinéaires, qui sont des objets de même nature que les distances euclidiennes. Les valeurs et vecteurs propres prennent dans ce contexte une signification particulière.


text: Les formes bilinéaires sont des fonctions qui ne sont pas linéaires, mais quadratiques, au sens où la fonction ne s'exprime plus comme une combinaison linéaire de coordonnées, c'est-à-dire un polynôme (à plusieurs variables) de degré 1 en les coordonnées, mais comme un polynôme du second degré en les coordonnées. La distance euclidienne sur l'espace formula_23 est par exemple obtenue à partir de la forme bilinéaire formula_24, expression qui fait effectivement intervenir un polynôme de degré 2.


text: Certaines propriétés éventuellement vérifiées par les formes bilinéaires, comme la symétrie, les rendent le cas échéant plus faciles à étudier. La distance euclidienne par exemple est symétrique, ainsi la distance d'un point "a" à un point "b" est la même que la distance d'un point "b" à un point "a". Un endomorphisme qui représente une forme bilinéaire symétrique est dit autoadjoint.


text: Ces endomorphismes autoadjoints disposent en fait de propriétés fortes concernant valeurs et vecteurs propres: non seulement ils admettent des vecteurs propres, mais de plus ceux-ci suffisent pour comprendre entièrement l'endomorphisme ; un endomorphisme auto-adjoint est diagonalisable. Ensuite, les vecteurs propres peuvent être choisis avec une propriété forte : il existe une base orthonormale de vecteurs propres. Enfin, pour ce cas particulier, il existe des méthodes de calcul simples et rapides pour obtenir valeurs et vecteurs propres. Cette situation est illustrée graphiquement sur la figure 14. Un endomorphisme autoadjoint transforme la boule unité en un ellipsoïde dont les axes sont les vecteurs propres et les longueurs des demi-axes les valeurs absolues des valeurs propres.


text: Par ailleurs, la forme bilinéaire initiale décrit ici l'équivalent d'une distance d'un espace géométrique ; l'espace étudié, muni de la forme bilinéaire, est un nouvel espace géométrique. Sylvester montre que les vecteurs et valeurs propres, de l'endomorphisme auto-adjoint associé, sont des "invariants", des êtres qui décrivent les grandeurs naturelles et caractéristiques de la géométrie considérée. La signification physique de ces grandeurs dépend du contexte de l'espace étudié. Sylvester a appliqué ce qui précède au principe d'inertie d'un solide indéformable en mécanique et en avait déduit l'existence d'axes de rotation (vecteurs propres) et de constantes d'inertie (valeurs propres) intrinsèques au solide. Les autres exemples d'applications montre qu'il en est de même dans d'autres situations, par exemple en statistique où les composantes principales révèlent la dimension la plus significative d'un sondage, ou la relativité qui montre l'existence d'un invariant, la signature de Sylvester, dans la structure même de la géométrie de notre univers.


text: Le rôle des vecteurs et valeurs propres est ainsi modifié. Ils ne sont plus des uniquement des outils de calculs nécessaires pour accélérer un algorithme ou pour résoudre un problème technique de résolution d'équation différentielle, ils acquièrent une autonomie propre, et deviennent des invariants constitutifs d'une géométrie. Ils prennent alors des noms spécifiques au domaine d'application ; on parle par exemple d'axe de rotation en mécanique, de composantes principales en statistiques, ou de directions propres dans le cas d'espaces courbes.


text: La démonstration de l'existence d'une base de vecteurs propres dans le cas des endomorphismes autoadjoints est donnée dans l'article Endomorphisme autoadjoint.


text: L'analyse du cas de la dimension finie montre qu'une connaissance des valeurs propres et des espaces de Jordan associés permet une compréhension profonde des endomorphismes. Il est donc naturel d'essayer d'étendre cette approche aux cas d'espaces vectoriels de dimensions non finies.


text: Ce besoin de généralisation apparaît naturellement en mathématiques. Les espaces deviennent des espaces de fonctions et les endomorphismes les opérateurs différentiels, comme les dérivées, les gradients ou les laplaciens. L'exemple de la corde vibrante est caractéristique d'une approche de cette nature. Dans ce contexte le vocabulaire évolue, on ne parle plus d'endomorphisme mais d'opérateur, on utilise le terme de fonction propre pour désigner un vecteur propre et une telle démarche prend le nom de théorie spectrale. Elle est une branche de ce qui s'appelle l'analyse fonctionnelle.


text: L'approche spectrale est séduisante à bien des aspects. Analyser non plus les propriétés analytiques des éventuelles solutions, mais la nature même de l'espace géométrique est une approche élégante. Elle offre de nouveaux outils, comme des bases ou des distances pour résoudre des difficultés souvent complexes. Dans le cas de la dimension finie, cette approche apporte des théorèmes puissants, à la fois théoriques et algorithmiques. Joseph Fourier montre qu'il en est parfois de même dans des cas plus généraux, avec l'étude de l'équation de la chaleur ou des cordes vibrantes. David Hilbert confirme la pertinence de la démarche en ouvrant la voie à une théorie spectrale générale.


text: Les propriétés géométriques des espaces fonctionnels sont hélas largement plus faibles que celles des espaces de dimension finie. La première différence est la présence d'une base au sens algébrique du terme. En général, il n'est pas possible de construire une famille libre et génératrice de l'espace par combinaison linéaire finie (la démonstration de l'existence d'une telle famille dans le cas général repose sur l'axiome du choix, ce qui interdit toute construction explicite). Même si de telles constructions existent pour certains espaces, tel que l'espace vectoriel des polynômes, ces espaces sont trop étroits pour contenir beaucoup de solutions des équations que l'on cherche à résoudre. Par exemple, la position initiale d'une corde de guitare pincée par le musicien a fort peu de chance d'être dans l'univers des polynômes trigonométriques.


text: On peut alors généraliser ce type d'espace par une bonne "complétude". On obtient ainsi l'espace des séries trigonométriques ou celui des séries entières. Les résultats sont alors de bons candidats pour établir les fondements d'une théorie spectrale. Pour comprendre la géométrie de tels espaces, la topologie devient essentielle. En effet, par construction de l'espace, les solutions apparaissent comme limites de suites. Cependant la topologie cache bien des surprises pour les espaces fonctionnels.


text: En dimension finie, toutes les normes définissent la même topologie. En fait, il n'existe véritablement qu'une topologie intéressante pour une analyse en vecteurs propres. En dimension infinie, ce n'est plus le cas, la topologie faible par exemple ne possède même plus de distance associée.


text: La compacité est toujours vraie en dimension finie pour les fermés bornés. Le théorème de compacité de Riesz nous indique que ce n'est jamais le cas si la dimension n'est pas finie. Il devient illusoire de vouloir extraire des sous-suites convergentes pour trouver des vecteurs propres dans le cas général.


text: Un endomorphisme est toujours continu en dimension finie. Ce n'est plus le cas pour les opérateurs linéaires des espaces fonctionnels. La dérivée, par exemple, ne possède pas cette propriété. Pour s'en assurer, il suffit de considérer la suite des monômes ("x"). Sur l'intervalle [0,1], elle est bornée. Or l'image de la suite par la fonction dérivée ne possède plus cette propriété. Un opérateur linéaire entre espaces vectoriels normés est continu si et seulement si c'est un « opérateur borné », c'est-à-dire si l'image de la boule unité est bornée.


text: En dimension finie, si un endomorphisme "a" est surjectif alors il est bijectif. Ainsi, l'application "a – λ" Id est une bijection si et seulement si λ n'est pas une valeur propre. Ce n'est pas vrai dans le cas général. Considérons par exemple l'espace "E" des fonctions infiniment dérivables sur l'intervalle [0, 1], et l'opérateur "O" qui, à la fonction formula_25, associe la fonction formula_26. Il est borné et ne possède pas de valeur propre. Considérons l'opérateur "O – λ" Id qui, à la fonction formula_25, associe la fonction formula_28. Si "λ" est compris entre 0 et 1, alors "O – λ" Id n'est pas surjectif car son image ne contient pas de fonctions dont l'image de "λ" est différente de 0. On parle alors de spectre pour rendre compte de ce phénomène. Le spectre contient toujours l'ensemble des valeurs propres, et en dimension finie, ces deux notions coïncident. Dans notre exemple le spectre est l'intervalle [0, 1] et l'ensemble des valeurs propres est vide.


text: La définition précise du spectre est la suivante : soit "E" un espace de Banach et "O" un opérateur linéaire, alors le spectre est l'ensemble des scalaires "λ" tel que l'opérateur "O – λ" Id n'admet pas d'inverse continu. Ces scalaires sont appelés valeurs spectrales, et, comme dit plus haut, ne coïncident pas toujours avec les valeurs propres, sauf en dimension finie.


text: En dimension finie, le paragraphe sur l'algèbre bilinéaire montre qu'il existe un cas où il est possible de trouver une base de vecteurs propres sans utiliser les polynômes d'endomorphismes. C'est un bon cadre pour une généralisation car la notion de polynôme s'applique mal dans le cas des espaces fonctionnels. L'espace est alors enrichi d'une distance, euclidienne ou hermitienne et l'endomorphisme possède toujours la « bonne » symétrie que l'on appelle autoadjonction. Dans ce contexte, la boule unité est transformée en un ellipsoïde représenté dans la figure 14. Les axes principaux de cet ellipsoïde sont les vecteurs propres et les longueurs de ces demi-axes sont les valeurs propres. Cette approche géométrique a guidé David Hilbert pour établir un résultat important de théorie spectrale, dans le cas de la dimension infinie.


text: L'espace vectoriel possède une distance euclidienne ou hermitienne. S'il est complet pour cette distance, on dit que c'est un espace de Hilbert. Les séries trigonométriques ou les fonctions définies sur un segment et dont le carré est intégrable forment un espace de Hilbert séparable.


text: L'opérateur possède une « bonne » symétrie. Elle reste la même que celle de la dimension finie. Il est ici autoadjoint.


text: Enfin l'opérateur dispose d'une « bonne » propriété de continuité. Le fait qu'il soit borné ne suffit plus. C'est un opérateur compact, cela signifie que l'image de la boule unité est compacte. Une des conséquences est qu'il n'est plus inversible.


text: Dans ce contexte, alors des résultats analogues à la dimension finie sont établis. Citons par exemple : si "T" est un opérateur compact autoadjoint sur un espace de Hilbert, alors :


text: La théorie spectrale constitue la base mathématique de la mécanique quantique. Les vecteurs propres trouvent donc d'innombrables applications dans ce domaine. Par exemple en chimie, l'étude de l'atome d'hydrogène montre que les états stables des électrons sont modélisés par des vecteurs propres dont les valeurs propres correspondent à des états d'énergie.


text: Dans le contexte de la mécanique quantique, l'unique solution pour décrire la "position" d'un électron, dans notre exemple celui de l'hydrogène, est l'utilisation d'une fonction d'onde complexe. Le carré du module de cette fonction d'onde peut alors s'interpréter comme la probabilité de présence de l'électron en un point donné de l'espace. L'espace des fonctions d'ondes est un Hilbert séparable, celui des fonctions de notre espace géométrique dans les complexes dont le carré du module est intégrable.


text: L'équation qui régit cette fonction d'onde (que l'on note ici Ψ) est une version simplifiée de l'équation de Schrödinger :


text: "H" est un opérateur linéaire appelé hamiltonien. C'est un opérateur différentiel d'ordre 2. Il correspond à une transformation de Legendre d'un lagrangien. On peut démontrer qu'un tel opérateur est autoadjoint.


text: "E" est un scalaire, qui représente le niveau d'énergie de l'électron.


text: Ψ est l'inconnue de l'équation. C'est donc par définition une fonction propre, elle correspond alors à ce que les chimistes appellent une orbite stable. Les électrons ne peuvent que "sauter" d'une orbite stable à une autre.


text: L'équation d'onde qui régit l'électron correspond donc au cadre de la théorie spectrale. Les solutions sont les fonctions propres d'un opérateur linéaire. La géométrie correspond à un contexte favorable, l'espace est un Hilbert séparable et l'opérateur est autoadjoint. On peut par exemple en déduire directement que l'énergie est toujours un réel. En revanche les propriétés de continuité ne sont pas favorables. Par exemple, l'opérateur n'est pas compact. Cette absence de "bonne" continuité rend la recherche d'orbites stables difficile.


text: Le cas de l'atome d'hydrogène est un peu particulier. L'opérateur associé correspond à un cas relativement simple. On peut alors approximer aussi précisément qu'on le souhaite les fonctions propres. La figure 15 représente les premières orbites stables de l'atome d'hydrogène. La couleur représente le carré du module de l'orbite, plus elle est claire, plus la densité est forte. Le centre représente le noyau, ici un proton.


text: Cette approche ne se limite pas à l'atome d'hydrogène, on peut l'utiliser pour d'autres atomes et même des molécules. C'est le travail qu'a réalisé Linus Pauling dans son livre "" sur la nature des liaisons chimiques. Le Prix Nobel de chimie, obtenu principalement grâce à cette approche est l'un des plus importants dans la chimie du . La combinaison linéaire des orbites stables permet par exemple, dans le cas des molécules, de mieux décrire des composés insaturés de l'éthylène.


text: Les valeurs propres restent un vaste sujet de recherche dans les mathématiques d'aujourd'hui. Ce sujet couvre aussi bien la recherche fondamentale qu'appliquée et la dimension finie comme le cas général en dimension infinie. Si dans le cas des corps usuels comme les nombres réels ou complexes, la problématique des valeurs propres est maintenant largement connue, il n'en est pas de même pour les ou les anneaux. Dans le cas des corps finis, cette approche offre un regard particulier par exemple sur la cryptologie. D'autres corps comme . Une approche linéaire, avec l'analyse des valeurs propres représente un outil supplémentaire pour l'analyse par exemple de l'anneau des polynômes.


text: L'analyse des valeurs propres et des vecteurs propres représente la meilleure méthode pour la mise au point d'algorithmique rapide de résolution d'équations linéaires. Des critères comme la vitesse de convergence devient alors le premier sujet de recherche. Une technique particulièrement employée consiste à "éloigner" les valeurs propres pour accélérer la recherche des solutions. Ce secteur, même s'il n'est pas dominé par des mathématiciens au sens théorique du terme, puisqu'il est plus souvent le domaine des mathématiques de l'ingénieur ou de l'informaticien, est toujours en pleine effervescence. Il rejoint les travaux sur l'anneau des nombres di-adiques (représentation binaire finie) et s'ouvre sur une branche des mathématiques difficile. La cryptologie appliquée utilise aussi les représentations linéaires pour offrir des codes multi-clé efficaces et souples. Ici, les corps sont rarement les réels ou les complexes, mais plutôt des corps finis.


text: Ce domaine est celui qui rassemble le plus de mathématiciens théoriques. L'algèbre linéaire contient des problèmes encore largement ouverts dans le cas de la dimension infinie. La voie théorique la plus analysée à l'heure actuelle est celle de l'axiomatisation, qui s'incarne dans la géométrie algébrique. Cette approche considère les opérateurs comme éléments d'une algèbre abstraite, bénéficiant d'un certain nombre de propriétés. L'objectif est la compréhension de cette algèbre pour l'appliquer ensuite à des cas particuliers d'algèbre d'opérateurs. Cette approche est particulièrement féconde en mathématiques appliquées à la physique, comme les travaux du mathématicien russe Maxim Kontsevich (médaille Fields 1998), dont les résultats les plus célèbres traitent des "déformations quantiques" sur les "variétés de Poisson" à l'aide d'une hiérarchie infinie de structures algébriques généralisant la notion d'algèbre opérant sur un espace vectoriel.


text: La géométrie algébrique est particulièrement féconde dans le domaine de l'arithmétique. Le mathématicien Laurent Lafforgue a reçu la médaille Fields en 2002 pour ses travaux dans cette branche sur les conjectures de Langlands.


title: Charles Lebourg de Monmorel

text: Charles Lebourg de Monmorel, né à Pont-Audemer le et mort à Paris le , est un prédicateur français.


title: Charles Lebourg de Monmorel

text: Moraliste très en vogue au début du , Lebourg de Montmorel avait embrassé, comme son frère, Lebourg des Alleurs, la carrière ecclésiastique. il écrivit notamment des homélies, des discours et étudia les évangiles.


title: Charles Lebourg de Monmorel

text: Aumônier de la duchesse de Bourgogne, mère de Louis XV, il fut, en récompense de son talent pour la prédication, autant que par la protection de Madame de Maintenon, nommé abbé de Launoy, en Picardie, et de La Réau, après la mort de son frère.


title: Charles Lebourg de Monmorel

text: À sa mort, il fut inhumé dans l’église de Sainte-Geneviève.


title: Clérambard (film)

text: Clérambard est un film français réalisé par Yves Robert et sorti en 1969.


title: Clérambard (film)

text: Châtelain ruiné, aigri et tyrannique, le comte Hector de Clérambard (Philippe Noiret), s'est condamné, ainsi que sa famille, à travailler comme un forçat pour conserver son château qui tombe en ruines. Pourchassé par les huissiers, il tricote des vêtements jusqu'au cœur de la nuit avant de partir les livrer, se faisant aider de son fils Octave, qu'il tyrannise et méprise. Le notaire de l'endroit (Claude Piéplu), soucieux de marier sa fille aînée malgré sa laideur, propose d'annuler les dettes des Clérambard en échange d'un mariage avec Octave. Entre-temps, Gustalin (Robert Dalban), un paysan du coin, lassé de voir ses animaux domestiques tués par le comte dès qu'ils s'aventurent près du château, se déguise en moine et, caché dans un coin, se fait passer pour saint François d'Assise et offre au comte un livre sur l'amour des animaux. Croyant à un miracle après la résurrection du chien du curé, Clérambard commence à lire le livre et rapidement, toujours aussi tyrannique, se met à défendre les animaux avec une rage comparable à celle qu'il avait mise à les tuer. Alors que le notaire se propose de conclure le mariage, le comte prétend marier son fils à la Langouste (Dany Carrel), prostituée notoire dont Octave est amoureux depuis longtemps, malgré les protestations de sa femme (Martine Sarcey), scandalisée à l'idée d'une telle mésalliance. Alors que Clérambard, décidé à partir prêcher la bonne parole en abandonnant tout, voit tout le monde se dresser contre lui, un vrai miracle se produit et tous partent à sa suite dans une longue procession.


title: Enfant soldat

text: Un enfant soldat est un enfant combattant, fille ou garçon, âgé de moins de dix-huit ans, et parfois dès six ans ; selon le protocole facultatif à la Convention internationale des droits de l'enfant, concernant l'implication d'enfants dans les conflits armés.


title: Enfant soldat

text: L'enrôlement d'enfants de moins de quinze ans dans des forces armées est un crime de guerre.


title: Enfant soldat

text: Les adolescents de quinze à dix-sept ans ressortissent d'un statut intermédiaire mal défini.


title: Enfant soldat

text: Selon l'UNICEF, en 2007 plus de ont été utilisés comme soldats.


title: Enfant soldat

text: Enrôlés de gré ou de force, des enfants soldats ont été utilisés à de nombreuses époques et par de nombreuses cultures lors de l'histoire militaire. Au Moyen Âge, en France, l'entraînement du chevalier commençait vers (parfois dès sept ans), avec un entraînement militaire. Vers , devenu écuyer, il suivait un chevalier et se confrontait à la férocité des combats. Vers , il était adoubé et devenait à son tour un chevalier.


title: Enfant soldat

text: La période révolutionnaire, en France, continue la pratique de l'ancien régime de l'engagement de jeunes garçons comme tambours dans les armées dès l'âge de treize ans. Pour des raisons de propagande idéologique, elle organise un « culte républicain » à certaines de ces recrues qui sont morts au combat comme Joseph Barra, Agricol Viala ou Pierre Bayle.


title: Enfant soldat

text: Carl von Clausewitz participe au siège de Mayence (1793) à l'âge de treize ans en tant que porte-enseigne. Quelques siècles plus tard, lors de la bataille de Berlin, le jeune Alfred Czech sera le plus jeune soldat décoré par Adolf Hitler et représentera, dans l'imaginaire collectif, le sacrifice fanatique des Jeunesses hitlériennes lors des dernières semaines du Troisième Reich.


title: Enfant soldat

text: Au cours des , des enfants soldats sont utilisés durant la guerre de Sécession, aux États-Unis dans les années 1860.


title: Enfant soldat

text: Lors de la déclaration de la Première Guerre mondiale beaucoup d'enfants ont tenté de s'engager, ce que le Breton Jean-Corentin Carré réussit à faire en mentant sur son âge, devenant à l'époque un « symbole de courage et de patriotisme ».


title: Enfant soldat

text: Lors de l'insurrection de Varsovie en Pologne durant la Seconde Guerre mondiale, des enfants ont participé comme combattants ou soignants. Une statue de bronze, "Le Petit Insurgé", commémorant la participation des enfants soldats, a été installée à Varsovie.


title: Enfant soldat

text: À la fin de la guerre, les Jeunesses hitlériennes ont été utilisées, elles ont ralenti la progression des Alliés dans des combats désespérés, notamment face à l'Armée rouge lors de la chute de Berlin.


title: Enfant soldat

text: L'Armée rouge a, elle aussi, eu ses contingents d'enfants soldats. Le film d'Andreï Tarkovski, "L'Enfance d'Ivan" (1962), tiré du récit de Vladimir Bogomolov (1926-2003), témoigne du destin souvent tragique de ces enfants :


title: Enfant soldat

text: Les survivants ont été décorés et adulés par la population russe : L'Organisation des Nations unies (ONU) estime à le nombre d'enfants soldats en activité, au début des années 2010. . . Au Nigeria, Boko Haram fait un usage répété d'enfants comme kamikazes avec durant les huit premiers mois de 2017.


title: Enfant soldat

text: Au Mexique, l'EZLN a été dénoncée en 1994 par l'ONG Human Rights Watch pour avoir enrôlé des enfants de six à quinze ans.


title: Enfant soldat

text: Les talibans présents en Afghanistan ont également procédé à l'enrôlement de jeunes guerriers à partir de leur entrée en guerre contre les moudjahidins en 1994 jusqu'à la chute du régime islamiste en 2001. L'utilisation d'enfants soldats n'a pas disparu au sein des groupes talibans opérant après la chute de leur régime et l'on estime en 2001 la proportion d'enfants soldats en Afghanistan à 20 % de l'effectif total. Selon l'Organisation des Nations unies, la Police nationale afghane intègre aussi des enfants dans ses rangs. Un accord est signé au début de l'année 2010 pour mettre fin à cette pratique.


title: Enfant soldat

text: À l’occasion des journées internationales des enfants soldats le , Radikha Coomaraswamy, secrétaire générale adjointe des Nations unies a indiqué que 58 organisations continuent à recruter et utiliser des enfants dans 14 pays : Tchad, Colombie, Côte d'Ivoire, République démocratique du Congo, Inde, Iran, Libye, Birmanie, Pérou, Philippines, Sri Lanka, Soudan, Ouganda, Zimbabwe. Dans 8 pays, les enfants sont capturés et utilisés comme informateurs ou espions : Burundi, Colombie, République démocratique du Congo, Inde, Indonésie, Népal, Ouganda.


title: Enfant soldat

text: L'Armée de résistance du Seigneur (LRA), un groupuscule de fanatiques religieux du Nord de l'Ouganda dirigé par Joseph Kony procède régulièrement, et ce depuis le milieu des années 1990, à des enrôlements forcés de jeunes enfants. Un rapport de la BBC datant de 2000 avance le chiffre de kidnappés, parfois dès l'âge de sept ou huit ans. Ces rapts sont souvent accompagnés de violences faites à la famille de l'enfant, parfois exécutées sous les yeux des enfants enlevés. De plus, les « petits soldats » sont forcés de participer à des exactions, constituant des crimes de guerres (massacres de villages entiers, exécutions sommaires, lapidations, etc.). Ceux qui tentent de fuir servent d'exemple en étant exécutés par des meurtres rituels auxquels participent tour-à-tour les enfants du contingent. Les membres de la LRA forcent parfois les enfants à commettre ces exactions dans leur propre village, les dissuadant une fois pour toutes de tenter de rentrer chez eux un jour.


title: Enfant soldat

text: Les enfants enlevés subissent eux aussi des actes de barbarie (viols, meurtres, tortures, travaux forcés, longues marches, etc.). La proportion d'enfants dans le contingent total de la LRA est estimée à 80 %, c'est donc une armée vivant principalement de ces rapts.


title: Enfant soldat

text: Les différentes milices ont largement employés des enfants comme combattants lors de la Deuxième guerre du Congo. Certains groupes armés avaient jusqu’à 40 % d’enfants dans leurs troupes.


title: Enfant soldat

text: Pour mettre fin à la guerre civile, un programme de désarmement, de démobilisation et de réinsertion (DDR) des anciens combattants dans la vie civile a été initié en 2003. Il concernait . Mais ce programme a connu plusieurs freins qui ont fait qu'en juin 2006, la commission gouvernementale chargée du programme DDR a annoncé qu'elle avait démobilisé un peu plus de , dans un rapport publié en octobre 2006, considère que ce programme n'apporte pas aux enfants la protection et le soutien dont ils ont besoin.


title: Enfant soldat

text: En raison des difficultés pour survivre et de la persistance de groupes armés, de nombreux enfants risquent de rejoindre de nouveau des milices.


title: Enfant soldat

text: Les filles, qui représentaient 40 % des enfants soldats ont peu profité du programme DDR. Selon Amnesty International, les filles ont souvent été « mariées » de force à des soldats adultes et des responsables refusent de les reconnaître comme enfants soldats préférant les désigner comme « personnes à charge » de combattants adultes, ou de soldats péripatéticiens.


title: Enfant soldat

text: La Mission de l'Organisation des Nations Unies en République démocratique du Congo (MONUC) condamne, dans un communiqué du , la présence de centaines d’enfants soldats, filles et garçons, dans la guerre du Kivu. Ces enfants sont recrutés de forces dans les écoles par les groupes armés, principalement par le Congrès national pour la défense du peuple (CNDP) et les Forces démocratiques de libération du Rwanda (FDLR), depuis la reprise des combats en août 2007. Les enfants deviennent des combattants ou sont utilisés pour des tâches logistiques ou comme esclaves sexuels.


title: Enfant soldat

text: Selon Human Rights Watch, des enfants syriens serviraient dans l'Armée syrienne libre. Plusieurs autres organisations ont prouvé la présence d'enfants combattants pour l'armée rebelle dans le conflit syrien. Certains groupes islamistes comme l'EI recruteraient de jeunes adolescent pour des attaques-suicides.


title: Enfant soldat

text: Selon le pure player américain "Slate", l'EI forme des enfants d'à peine six ans à des fins militaires. L'organisation a mis sur pieds un système qui permet de recruter et d'endoctriner les enfants. Les enfants sont soit enlevés, soit rejoignent « consciemment » l'organisation. Ils rejoignent après des camps d’entraînement où ils sont endoctrinés et sont formés aux maniement des armes. Les enfants servent ensuite de fantassins, de « mouchards », de kamikazes, et leur sang est utilisé pour des transfusions. Selon, l'ONU, l'EI utilise des enfants dans les attentats-suicide.


title: Enfant soldat

text: Le gouvernement tchadien a signé le un accord avec l'Unicef prévoyant la protection et la démobilisation des enfants enrôlés dans l'armée nationale tchadienne. En signant cet accord, le gouvernement reconnaît pour la première fois la présence d'enfants dans les rangs de l'armée régulière.


title: Enfant soldat

text: Afin de les faire combattre au Yémen, la coalition dirigée par l'Arabie saoudite procède à des recrutements d'enfants soldats au Soudan, dans la région du Darfour.


title: Enfant soldat

text: Face à ce problème, la communauté internationale réagit de façon disparate, en adoptant lois et décrets, tout en cédant du terrain par des compromis avec les États permissifs, compromis qui se reflètent dans les textes adoptés. Tout d'abord, la protection des enfants se décline selon son statut :


title: Enfant soldat

text: Les raisons de l'existence de tels groupes armés composés d'enfants s'expliquent de différentes façons :


title: Enfant soldat

text: Outre l'endoctrinement dans les régimes totalitaires soucieux de contrôler la jeunesse et l'enlèvement, une des origines du phénomène des enfants soldats se trouve dans la pauvreté, aggravée par la situation de guerre. Les familles ne pouvant subsister aux besoins de leurs enfants, certains se désignent pour s'enrôler dans l'armée ou les groupes paramilitaires, soulageant ainsi leurs proches d'une bouche à nourrir, tout en assurant eux-mêmes leur subsistance.


title: Enfant soldat

text: Sur la base du volontariat, on peut également trouver d'autres motivations : Du côté des recruteurs, les raisons sont facilement explicables. Les enfants ne coûtent pas cher en nourriture, ils sont dociles, influençables, et facilement enrôlables. De plus, ils peuvent s'avérer d'une redoutable efficacité sur des terrains difficiles (la brousse par exemple), mais également comme espions ou kamikazes, passant facilement pour inoffensifs aux yeux des opposants. Ils sont également utilisés comme « chair à canon » sur les champs de bataille, placés en première ligne pour faire diversion.


title: Enfant soldat

text: De plus, étant jeunes et démunis de moyens de subsistances, ils sont dans la quasi impossibilité de fuir. Autres atouts : intimidables et malléables, on a vite fait d'en faire des machines de guerre. Ainsi, durant la guerre civile, les enfants-loups de la Résistance nationale du Mozambique (RENAMO) au Mozambique étaient dressés au massacre et à la torture, tâches qu'ils accomplissaient avec ferveur selon leurs propres récits. De plus, la fragilité des enfants, tant psychologique que physique est un frein à la mutinerie.


title: Enfant soldat

text: Il ne faut pas non plus oublier les différentes raisons d'ordre contextuel qui expliquent cet accroissement d'utilisation des enfants soldats. Tout d'abord, l'extrême fragilité des situations politiques et économiques des pays concernés, et les tensions exacerbes qui y règnent. C'est ainsi qu'un enfant issu d'une famille aisée aura bien moins de risques de se faire recruter ou enrôler qu'un autre issu d'une famille défavorisée. De plus, le manque d'accès à l'éducation est un facteur important: les enfants n'étant pas ou plus scolarisés doivent trouver une occupation, qui bien souvent se doit d'être lucrative. L'engagement dans l'armée est alors une alternative au travail dans le civil.


title: Enfant soldat

text: Une autre explication serait la présence d'un nombre élevé d'armes légères ; en 1998, on estimait à cinq cents millions le nombre d'armes légères en circulation dans le monde, dont cent millions rien qu'en Afrique. Ces armes sont facilement manipulables, notamment par les enfants, ce qui accroît leur possibilité de participer aux combats.


title: Enfant soldat

text: Certaines sociétés sont largement militarisées. Le culte de l'armée, des armes et de la guerre augmente la part de fascination des plus jeunes pour ce qui a trait de près ou de loin à l'armée ou la violence, ce qui accroît la probabilité d'engagement précoce des enfants. Ceci est encore plus vrai pour les pays où la scolarisation n'est pas assurée, ou largement axée sur l'endoctrinement patriotique, comme certaines écoles religieuses, ou aussi les écoles publiques des États belliqueux (la dictature militaire de Myanmar par exemple, ou certaines écoles coraniques dans lesquelles l'éducation est en réalité axée sur l'islamisme, et non sur l'islam).


title: Enfant soldat

text: Le statut des fillettes (mais cela peut également arriver aux garçons) est particulier en raison de leur exploitation sexuelle.


title: Enfant soldat

text: Tous ces facteurs font que lors d'un conflit armé, les enfants sont, avec les femmes, des cibles faciles.


title: Smallville

text: Smallville est une série télévisée de science-fiction américaine en 218 épisodes de 42 minutes créée par Alfred Gough et Miles Millar, qui raconte la jeunesse de Superman et qui a été diffusée du au sur The WB puis du au sur The CW.


title: Smallville

text: En France, les sept premières saisons ont été diffusées du au dans "la Trilogie du Samedi" sur M6 puis intégralement diffusée du au sur TF6, entre le et le sur W9, dès le sur 6ter, dès le sur NRJ 12 et depuis le sur Syfy. Au Canada, elle est diffusée à partir du sur VRAK.TV et en Belgique, La Une a diffusé les trois premières saisons puis La Deux a diffusé le reste de la série.


title: Smallville

text: "Smallville" a été généralement bien accueilli au début. L'ancienne star de Superman, Christopher Reeve, a exprimé son approbation pour la série, faisant deux apparitions invitées avant sa mort. L'épisode pilote a établi un record d'audience pour The WB, avec 8,4 millions de téléspectateurs. Sur dix saisons, la série a attiré en moyenne 4,34 millions de téléspectateurs par épisode, la deuxième saison étant la mieux notée avec 6,3 millions. À la fin de sa diffusion, "Smallville" a dépassé "Stargate SG-1" comme la série de science-fiction américaine la plus ancienne en nombre d'épisodes. Depuis sa première saison, la série a reçu des distinctions allant des Emmy Awards aux Teen Choice Awards. "Smallville" a engendré une série de romans pour jeunes adultes, une bande dessinée bimestrielle de DC Comics, avec des enregistrements de bandes sonores et des produits liés à la série.


title: Smallville

text: L'ultime saison de "Smallville" s'est achevée aux États-Unis le vendredi avec un double épisode final.


title: Smallville

text: . Une pluie de météorites s'abat sur Smallville, dans le Kansas, bouleversant la vie de tous ses habitants. Un couple de fermiers, les Kent, découvrent sur la route que la pluie de météorites accompagnait un vaisseau extra-terrestre, qui renferme un enfant de trois ans. Jonathan et Martha récupèrent alors ce jeune garçon venu du ciel et l'élèvent comme leur propre fils.


title: Smallville

text: Des années plus tard. Clark Kent tente de vivre une vie normale malgré d'extraordinaires pouvoirs qu'il essaye de dissimuler aux yeux de ses amis, Chloé, Pete, Lana et le mystérieux Lex Luthor. Après une scolarité agitée au Lycée de Smallville, il s'engage comme journaliste au Daily Planet en compagnie de Lois Lane.


title: Smallville

text: Clark devra faire d'énormes sacrifices au cours de son périple pour mettre ses pouvoirs au service du bien et devenir le héros acclamé de tous, Superman.


title: Smallville

text: "Tollin / Robbins Productions" voulait à l'origine faire une série sur un jeune Bruce Wayne, mais la division des longs métrages de Warner Bros. a décidé de développer un film d'origine pour "Batman" et ne voulait pas concurrencer une série télévisée. En 2000, "Tollin / Robbins" a approché Peter Roth, président de Warner Bros. Television, pour développer une série sur un jeune "Superman". Cette année-là, Alfred Gough et Miles Millar ont développé un pilote basé sur le film Eraser. Après avoir regardé le pilote, Roth a approché Gough et Millar au sujet du développement d'un pilote sur un jeune Superman; les deux ont fait une règle ""pas de collants, pas de vols"" que Clark ne volerait pas ou ne porterait pas le costume de Superman pendant la série.


title: Smallville

text: Gough et Millar voulaient dépouiller Superman de son ""essence nue"", explorant pourquoi Clark Kent est devenu l'homme d'acier. Ils ont estimé que, parce qu'ils n'étaient pas fans de bandes dessinées ou familiers avec l'univers, ils auraient une approche impartiale de la série. Gough et Millar ont découvert les personnages, recherchant les bandes dessinées et choisissant ce qu'ils aimaient. Ils ont présenté leur idée à The WB et Fox le même jour. Une guerre d'enchères entre les réseaux a suivi, avec The WB s'engageant sur treize épisodes.


title: Smallville

text: Bien que Roth, Gough et Millar savaient que la série serait orienté vers l'action, ils voulaient atteindre "«l'iconographie de l'Amérique centrale»" de "7 à la maison". Pour créer une atmosphère, l'équipe a décidé que la pluie de météores amenant Clark sur Terre serait le fondement ironique de la série. La principale source de sa vie sur Terre et les êtres super puissants que Clark doit combattre, cela enlèverait les parents de la fille qu'il aime et entraînerait Lex Luthor sur un chemin sombre. Roth appréciait le conflit de Clark face au fait que son arrivée causait tant de douleur.


title: Smallville

text: Les créateurs ont également dû expliquer pourquoi Lex Luthor socialiserait avec les jeunes. Ils ont créé une solitude dans le personnage qui, selon eux, le pousserait à tendre la main aux adolescents, une solitude faisant écho chez Clark et Lana. Gough et Millar voulaient un parallèle avec les Kent et ont créé Lionel Luthor, le père de Lex, qu'ils considéraient comme menant une "«expérience de parentalité extrême»". Ils voulaient qu'un jeune couple Kent, s'implique dans la vie de Clark et l'aide dans son voyage. Chloe Sullivan (un autre personnage créé pour la série) était considérée comme "«l'outsider»" dont la série avait besoin pour s'assurer que quelqu'un remarquerait les événements étranges de "Smallville" plutôt que comme un "«précurseur de Lois Lane»".


title: Smallville

text: Smallville a été décrit par Warner Bros. comme une réinterprétation de la mythologie de Superman. Depuis la réacquisition de Superboy en novembre 2004 par la famille Siegel, un différend pour violation du droit d'auteur est survenu au sujet de la propriété de la ville fictive de Smallville et d'une similitude revendiquée entre Superboy et Clark Kent de Smallville. Selon les héritiers Siegel, ""Smallville fait partie du copyright Superboy"" (qu'ils détiennent).


title: Smallville

text: Le 3 avril 2008, après sept saisons avec la série, Gough et Millar ont annoncé qu'ils quittaient "Smallville". Les développeurs ont remercié les acteurs et l'équipe pour leur travail, reconnaissant qu'ils n'ont jamais cessé de se battre pour ce qu'ils considéraient comme "«leur vision»" de la série. La raison de leur départ n'a pas été fournie. Gough et Millar ont été remplacés comme showrunners par Todd Slavkin, Darren Swimmer, Kelly Souders et Brian Peterson. Tous ont commencé à écrire pour la série au début de la deuxième saison et étaient producteurs exécutifs dès la septième saison.


title: Smallville

text: Le 6 février 2009, après une saison, "L.A. Times" a confirmé que Swimmer et Slavkin reprendraient la nouvelle série "" et ne reviendraient pas pour la neuvième saison de Smallville; Souders et Peterson continueraient comme showrunners.


title: Smallville

text: Le 24 juillet 2009, il a été rapporté que Tom Welling était un co-producteur exécutif de la série.


title: Smallville

text: Le 26 mars 2010, "The Hollywood Reporter" a révélé que Millar, Gough et le coproducteur Tollin / Robins Productions avaient intenté une action en justice contre Warner Bros et The CW accusant que "«l'intégration verticale»" d'Hollywood coûtait des millions de dollars à Millar et à Gough. La poursuite alléguait que Warner Bros. n'avait pas ""maximisé les profits"" dans la commercialisation de "Smallville", avait déformé les coûts de production et vendu la série sur les marchés étrangers à ""bien en dessous de la valeur de la série"", sans préciser le montant de l'indemnisation demandée par les plaignants. Le procès s'est terminé par un règlement non divulgué en mai 2013. Dans un communiqué de presse du 20 mai 2010 de The CW, Tom Welling a été nommé producteur exécutif pour la dixième saison de Smallville.


title: Smallville

text: Bien que dans la mythologie Superman, la ville de Smallville se situe en plein milieu de l’État du Kansas aux États-Unis ; la production de la série s’effectue quant à elle (pour des raisons budgétaires notamment) au Canada, à Vancouver et ses alentours en Colombie-Britannique.


title: Smallville

text: Avant Vancouver, les producteurs se penchèrent dans un premier temps vers l’Australie avant de revenir vers le Canada, Vancouver se rapprochant plus du paysage typique du milieu de l’Amérique (à noter que Bryan Singer pour son "Superman Returns" en 2005 choisira, lui, l’Australie).


title: Smallville

text: La majeure partie de la série est tournée aux BB Studios à Burnaby dans la banlieue de Vancouver. C’est là que se concentrent les quatre principaux lieux d’action, à savoir : le manoir des Luthor, la ferme des Kent, le lycée de Smallville et le bureau de la Torche. Pour pallier l’effet de studio, certains trucages sont utilisés, comme un faux ciel étoilé pour une scène à l’intérieur de la grange de Clark.


title: Smallville

text: Néanmoins, les extérieurs de la ferme sont tournés dans une vraie ferme située à Aldergrove dans la banlieue sud-ouest de Vancouver. La maison a même été repeinte en jaune spécialement pour la série.


title: Smallville

text: Les plans extérieurs du manoir des Luthor se font au Hatley Castle sur l’île de Vancouver. Ce manoir de style victorien réputé apparaît dans de nombreuses productions. Tel fut le cas en 2003 pour d’autres super-héros pour les besoins du film "X-Men 2". Aujourd'hui, le manoir est utilisé pour la série "Arrow", une série basée sur les nouvelles aventures de l'Archer vert.


title: Smallville

text: La rue principale du centre de Smallville se dégage à travers deux villes. Certains plans sont mis en boîte dans la ville de Merrit et d’autres se font à Cloverdale. Cette dernière est plus connue des fans puisqu'elle abrite aussi le « Clova Cinema », bâtiment qui prête sa devanture au « Talon » dans la série. Cloverdale est très fière d’accueillir la production, comme en témoigne le message de bienvenue à l’entrée de la ville : "". Par ailleurs, le "Clova Cinema" a été réutilisé pour une scène dans l'épisode 5 de la saison 2 de "Stargate Universe".


title: Smallville

text: Du temps où les personnages de la série sont au lycée, c'est-à-dire les quatre premières saisons, deux véritables lycées de Vancouver sont utilisés pour créer le « ». Les extérieurs sont enregistrés au « » tandis que les intérieurs sont tournés au « ».


title: Smallville

text: Le générique change à chaque saison (sauf pour les saisons 2 et 3), c'est un générique où l'on voit les acteurs principaux des saisons. À partir de la saison 5, le logo "Smallville" est en 3D.


title: Smallville

text: Pour les cinq premières saisons et la septième, 8 personnages font partie du générique. Il y en a 7 pour les saisons 6 et 8. La saison 9 en dénombre 6 et dans la saison 10, il y a deux génériques : un avec 5 personnages (quand Chloé est là) et un autre quand elle n'est pas là, donc avec 4 personnages.


title: Smallville

text: Le générique défile sur la chanson "Save me" du groupe Remy Zero.


title: Smallville

text: Dans la saison 1, plusieurs titres connus apparaissent comme "Everything" de Lifehouse, "Wherever You Will Go" de The Calling, "Hero" de Enrique Iglesias, "Time after time" d'Eva Cassidy. Le groupe Remy Zero apparaît dans l'épisode 21, il chante pour le bal du lycée de Smallville.


title: Smallville

text: Dans la saison 2, plusieurs titres connus apparaissent comme "In My Place" de Coldplay, "Tomorrow" d'Avril Lavigne, "Stop Crying Your Heart Out" d'Oasis, "The Scientist" de Coldplay, "I'm with you" d'Avril Lavigne, "Take Me Away" de Lifehouse.


title: Smallville

text: Dans la saison 3, plusieurs titres connus apparaissent comme "Hey Mama" de The Black Eyed Peas, "Trouble" de Pink, "Try" de Nelly Furtado, "The Reason" de Hoobastank, "My Immortal" d'Evanescence, "Way Away" du groupe Yellowcard et quelques chansons du groupe R.E.M comme "Imitation of Life", "Everybody Hurts", "Losing My Religion", "Bad Day", "At My Most Beautiful".


title: Smallville

text: Dans la saison 4, plusieurs titres connus apparaissent comme "She Will Be Loved" de Maroon 5, "My Happy Ending" d'Avril Lavigne, "Boulevard of Broken Dreams" de Green Day, "What You Waiting For?" de Gwen Stefani, "Beautiful Soul" de Jesse McCartney, "Life for Rent" de Dido, "Deeper Water" de Minnie Driver, "Welcome to My Life" et "Untitled" de Simple Plan, "Let Me Go" de 3 Doors Down, "This Is Your Life" de Switchfoot. Le groupe Lifehouse apparaît dans l'épisode 18, il chante les chansons "Come Back Down", "Blind", "Undone", "You and Me" pour le bal du lycée de Smallville.


title: Smallville

text: Dans la saison 5, plusieurs titres connus apparaissent comme "A Message" de Coldplay, "Don't Cha" des The Pussycat Dolls, "You're Beautiful" de James Blunt.


title: Smallville

text: On voit The All-American Rejects dans le troisième épisode de la saison 6 lors d'un bal costumé organisé par Lex Luthor en commémoration du Jeudi Noir.


title: Smallville

text: Dans la saison 7 plusieurs titres connus apparaissent comme "Mercy" de Duffy, "Sober" de Kelly Clarkson ; mais également un concert de OneRepublic dans l'épisode 13, il chante les chansons "Apologize", "Stop and Stare", "Mercy".


title: Smallville

text: La série se termine avec les titres "Breathe Again" de Sara Bareilles, "Love Theme from Superman" et "The Prison Yard and End Title" du film "Superman" de 1978.À l'adolescence, Clark présente déjà une invulnérabilité, une super force et une super vitesse. La saison raconte sa première année à l'école secondaire. Presque chaque semaine, il combat un nouvel ennemi possédant des pouvoirs dus à une exposition aux météorites. Clark commence aussi son amitié avec Lana, Pete et Chloe, élèves du même lycée, ainsi que Lex Luthor, qui est venu à Smallville pour gérer l'usine d'engrais de LuthorCorp. Il est intrigué par Clark et la pluie de météores, mais ses investigations menacent d'exposer Clark au danger. La saison se termine durant le bal de fin d'année, auquel Clark accompagne Chloé dont il s'est rapproché petit à petit. Il doit cependant l'abandonner sur la piste de danse, car la voiture de Lana est prise dans une tornade.


title: Smallville

text: La saison 2 se termine par le voyage en lune de miel de Lex Luthor et d'Helen Bryce. Lex se retrouve tout seul dans un avion sans pilote et s'apprête à s'écraser. Clark quitte Smallville sous l'influence de la kryptonite rouge après avoir été responsable de la fausse couche de sa mère. Chloé accepte d'enquêter sur Clark pour Lionel Luthor en échange d'un stage au Daily Planet.


title: Smallville

text: La saison 3 se termine sur le départ de Lana pour Paris, le départ de Pete Ross pour aller vivre avec sa mère et par l'enlèvement de Clark par Jor-El alors que Jonathan Kent tombe dans le coma. La maison de Chloé et de son père explose alors qu'ils viennent d'y entrer juste après avoir témoigné contre Lionel Luthor au tribunal. Lionel Luthor, lui, est condamné pour le meurtre de ses parents tandis que son fils, Lex, est empoisonné chez lui après avoir aussi témoigné au procès contre son père.


title: Smallville

text: Cette saison marque l'arrivée du personnage de Loïs Lane. La saison 4 se termine par une seconde pluie de météorites qui s'abat sur Smallville et qui causera la mort d'un protagoniste. Lana, qui essayait de fuir la ville après avoir commis un meurtre, se retrouve au cœur de la pluie de météorites et l'hélicoptère qui l'emmenait hors de la ville s'écrase devant un vaisseau spatial inconnu. Clark, lui, se fait téléporter en Arctique où se crée la Forteresse de la Solitude après qu'il a envoyé le cristal dans le ciel.


title: Smallville

text: La saison 5 se termine par l'arrivée du Général Zod sur Terre dans le corps de Lex. Martha et Lois ont un accident d'avion provoqué par l'intelligence artificielle de Brainiac, qui a répandu un virus informatique qui s'est étendu sur toute la Terre. Métropolis, comme de nombreuses autres villes, est plongée dans le noir et l'anarchie se répand. Chloé et Lionel Luthor qui essayaient de quitter la ville se retrouvent au milieu de violents casseurs. Au sommet du LuthorCorp Plaza, Zod dans le corps de Lex admire le chaos avec à ses côtés, Lana, qui ne se doute pas que son petit ami est possédé. Clark, quant à lui, a été envoyé dans la Zone Fantôme par le Général Zod.


title: Smallville

text: La saison 6 se termine par le départ de Martha Kent après avoir eu un nouveau poste au Sénat à Washington, la rupture du barrage de Smallville, où sont enfermés Loïs, Chloé et Lionel, après un combat titanesque qui oppose Clark et Bizarro. Celui-ci en sort vainqueur. La voiture de Lana explose et Lex est accusé de l'avoir tuée.


title: Smallville

text: La saison 7 marque un tournant pour Lex qui devient le méchant le plus redoutable de la série en tuant son père. Clark retrouve Kara dans la Zone Fantôme. À la fin de la saison, Lex découvre un objet qui a le pouvoir de contrôler le Voyageur. Arrivé à la Forteresse de Solitude de Clark, l'objet détruit la Forteresse et engloutit Clark et Lex.


title: Smallville

text: La saison 8 se termine par le combat contre Doomsday et l'enterrement de Jimmy. Loïs est envoyée dans le futur avec la bague de la Légion.Clark décide de prendre son destin en main tout en refoulant son côté humain. Il finit par dire à Chloé que Clark Kent est mort. Au manoir des Luthor, l'orbe prend vie à la suite de la disparition de Doomsday pour en laisser sortir un homme qui semble être Zod…


title: Smallville

text: La saison 9 se termine par l'utilisation du Livre de Rao, qui envoie tous les Kryptoniens vers leur nouvelle planète, tous, sauf Clark qui se fait poignarder par Zod avec une lame de kryptonite bleue qui l'empêche d'être téléporté vers cette nouvelle Krypton. Il tombe ensuite du haut de l'immeuble sur lequel il se battait avec Zod. Chloé devient la Tour de Contrôle à temps complet, tandis qu'Oliver est enlevé par l'Escadron du Suicide. Lois embrasse le Flou et devine qu'il s'agit de Clark.


title: Smallville

text: Dans la saison finale de Smallville, Clark doit enfin embrasser sa destinée Kryptonienne pour défendre la Terre de Darkseid et protéger ceux qu'il aime. Mais avant tout, il doit éliminer tous ses démons passés pour devenir l'homme d'acier. De nombreux personnages vont refaire surface et un mariage se profile à l'horizon.Elle est composée actuellement de :


title: Smallville

text: Membres de la Société de Justice morts :


title: Smallville

text: On peut noter un grand nombre de différences entre la série et les événements des comics dont elle est issue :


title: Smallville

text: "Smallville" change aussi quelques détails des personnages de la mythologie DC Comics :


title: Smallville

text: "Smallville" a établi un record de la chaine The WB en tant que première série la mieux notée, avec 8,4 millions de téléspectateurs à l'écoute du pilote. Sa première a établi un record pour la chaine pour les adultes âgés de 18 à 34 ans et a terminé premier parmi les téléspectateurs âgés de 12 à 34 ans, le président de Warner Bros., Jordan Levin, attribuant à la série le fait de revigorer la programmation du mardi soir. "Smallville" est apparu sur la couverture de "Entertainment Weekly" comme l'une des cinq nouvelles séries télévisées à regarder. Après sa première saison, la série était sixième sur la liste des 10 meilleurs programmes de diffusion du "Parents Television Council". Levin, reconnaissant les premières préoccupations que "Smallville" était devenu un méchant de la série de la semaine, a déclaré que la saison 2 introduirait ""des mini-arcs plus petits sur trois à quatre épisodes"" et deviendrait moins une ""émission sérialisée"". Selon Gough, bien que chaque saison suivante reposait davantage sur des arcs d'histoire d'une saison, une histoire occasionnelle de méchant de la semaine était nécessaire. Les histoires de méchant de la semaine étaient plus durement critiquées par les fans de la mythologie de "Superman", mais Gough voulait leur plaire ainsi que le grand public de The WB "(les adolescents qui préféraient les histoires de méchant de la semaine aux épisodes se concentrant sur la mythologie de Superman)".


title: Smallville

text: Christopher Reeve, star des films "Superman", a exprimé son approbation de la série : Selon Karl Heitmueller de MTV, Clark Kent de "Smallville" était une meilleure représentation du matériau original et restait "«fidèle au cœur de l'histoire»" en montrant l'altruisme de Clark et sa lutte entre ses désirs et ses obligations. Cependant, Heitmueller a écrit que la série aurait du mal à expliquer pourquoi personne à Smallville (y compris Lex Luthor) n'a reconnu Clark quand il a enfilé le costume. Michael Schneider de "TV Guide" l'a appelé l'un des meilleurs exemples d'une adaptation de super-héros pour la télévision, mais Christopher Hooton de "Metro" a écrit que "Smallville" était une histoire qui n'avait pas besoin d'être racontée: ""Personne ne s'est donné la peine de suivre les années fastidieuses de fabrication de Bruce Wayne. puces électroniques avant qu'il ne devienne Batman, alors pourquoi devons-nous endurer une décennie de chemise en flanelle Clark Kent coupant du foin?""


title: Smallville

text: Le tableau suivant présente le classement saisonnier, basé sur le nombre total moyen de téléspectateurs par épisode, de "Smallville" sur The WB et The CW. «Rang» fait référence à la note de Smallville par rapport aux autres séries télévisées diffusées aux heures de grande écoute. Ces romans sont sortis entre 2002 et 2005 et se déroulent lors des saisons 1 à 3 de la série bien qu'ils ne se suivent pas et restent indépendants de la série. "Smallville" a eu droit à sa bande dessinée en 2003, éditée aux éditions Semic avec 1 à 2 épisodes tous les deux mois qui furent regroupés dans un comics. Mais à la suite des difficultés financières de la maison d'édition Semic, la bande dessinée a disparu des kiosques après seulement trois comics, un comic book et un hors série qui regroupait 8 épisodes en version française. Aux États-Unis, la production a encore duré un an jusqu'au "Smallville 11". En tout, les comics forment deux saisons. Voici la liste dans leur ordre de parution : Partie 1 :


title: Smallville

text: Partie 2 :


title: Smallville

text: La BD a ensuite totalement disparu des kiosques américains, après la fermeture des éditions Semic.


title: Smallville

text: La saison 11 est une suite sous forme de comics, elle est écrite par Bryan Q. Miller et éditée par DC Comics de 2012 à 2015.


title: Smallville

text: Résumé : Six mois après que Clark a sauvé la terre de l'ignoble Darkseid et de son infection "Apokoliptique", il doit maintenant faire face à ses responsabilités en tant qu'Homme d'acier et maintenir sa vie de journaliste au Daily Planet. La plupart des gens sont ravis d'avoir un sauveur capable de déplacer une planète à mains nues, mais d'autres personnes, telles que Lex Luthor, s'inquiètent de voir un homme avoir de telles capacités.


title: Smallville

text: Une autre série, centrée sur le personnage d'Aquaman devait débuter en 2006, avec Justin Hartley dans le rôle-titre, mais seul le pilote fut tourné, car la CW a annulé le projet.


title: Smallville

text: Le , il a été annoncé que Tom Welling reprendra son rôle de Clark Kent/Superman dans le très attendu crossover des séries de l'Arrowverse intitulé "". Il rejoint ainsi Tyler Hoechlin et Brandon Routh qui reprendront également les versions du rôle de Clark Kent qu'ils avaient joué dans "Supergirl" et "".


title: Smallville

text: Le , il est annoncé que Erica Durance reprendra également son rôle de Loïs Lane dans ce même crossover.


title: Smallville

text: Ce méga-crossover sera divisé en cinq parties dont la diffusion commencera les 8, 9 et dans "Supergirl", "Flash" puis "Batwoman", et s'achèvera le dans "Arrow" et "Legends of Tomorrow".


title: Smallville

text: Tom Welling et Erica Durance reprennent leurs rôles de Clark Kent et Lois Lane dans la deuxième partie du crossover ou il est révélé que Clark a abandonné sa vie de super-héros et ses pouvoirs pour fonder une famille avec Lois, le couple est parent de deux filles.Plus de 112 nominations.


title: Axiome de l'ensemble vide

text: L'axiome de l'ensemble vide est, en mathématiques, l'un des axiomes possibles de la théorie des ensembles. Comme son nom l'indique, il permet de poser l'existence d'un ensemble vide. Dans les présentations modernes, il n'est plus mentionné parmi les axiomes des théories des ensembles de Zermelo, ou Zermelo-Fraenkel, car il est conséquence en logique du premier ordre du schéma d'axiomes de compréhension.


title: Axiome de l'ensemble vide

text: Dans le langage formel des axiomes de Zermelo-Frankel, l'axiome s'écrit :


title: Axiome de l'ensemble vide

text: ou en d'autres termes :


title: Axiome de l'ensemble vide

text: L'axiome d'extensionnalité peut être utilisé pour démontrer que cet ensemble est unique. Il est appelé l'ensemble vide et il est noté ∅ (formula_2) ou parfois { }.


title: Axiome de l'ensemble vide

text: Essentiellement, l'axiome affirme donc que l'ensemble vide existe.


title: Axiome de l'ensemble vide

text: Dès qu'il existe un ensemble, l'existence de l'ensemble vide peut être démontrée par compréhension, comme étant le sous-ensemble des éléments de celui-ci qui vérifient une propriété toujours fausse. Par conséquent l'axiome de l'ensemble vide ne fait pas partie des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo ou de Zermelo-Fraenkel, quand celles-ci sont présentées comme des théories du premier ordre. En effet, en logique du premier ordre, les domaines d'interprétation des variables d'objets de base, ici des variables d'ensemble, sont non vides. Cela compliquerait beaucoup l'exposé des règles logiques de considérer des domaines vides. C'est ce qui permet l'introduction de nouvelles variables dans le raisonnement :


title: Axiome de l'ensemble vide

text: Il suffit donc, dans le cas qui nous préoccupe, d'appliquer le schéma d'axiomes de compréhension à un ensemble arbitraire, pour une propriété jamais réalisée : soit "y" un ensemble, il existe par compréhension un ensemble "a" = {"x" ∈ "y"| "x" ≠ "x"}, et celui-ci est bien l'ensemble vide, c’est-à-dire que ∀"x" "x" ∉ "a".


title: Axiome de l'ensemble vide

text: Toutefois, dans la démonstration précédente de l'existence de l'ensemble vide, nous avons supposé l'existence de l'ensemble "y". Mais rien ne permet d'affirmer cette existence, les axiomes pouvant s'appliquer sur un univers vide : comme le schéma de compréhension commence par ∀"A" pour définir par compréhension un sous-ensemble de "A", s'il n'y a aucun "A", l'axiome est trivialement vrai.


title: Axiome de l'ensemble vide

text: C'est pourquoi l'axiome de l'ensemble vide est remplacé par « l'axiome d'existence » afin que tout le reste de la théorie ne décrive pas un univers vide.


title: Axiome de l'ensemble vide

text: En langage formel, l'axiome d'existence peut s'écrire : ∃"x" ("x" = "x") : comme ("x" = "x") est une tautologie (toujours vraie), cette écriture en langage formel ne stipule bien rien de plus que l'existence d'un ensemble.


title: Lucy Liu

text: Lucy Liu (劉玉玲 pinyin : Liú Yùlíng), parfois créditée Lucy Alexis Liu, est une actrice, productrice, réalisatrice, peintre et sculptrice américaine, née le à Jackson Heights (New York).


title: Lucy Liu

text: Révélée par son rôle dans la série "Ally McBeal", elle est également connue pour ses rôles au cinéma dans des films comme "Payback", "Charlie et ses drôles de dames" et "".


title: Lucy Liu

text: Elle est également célèbre pour son interprétation du Joan Watson dans la série policière "Elementary".


title: Lucy Liu

text: Le , elle est honorée par la Chambre de commerce de Los Angeles, en recevant sa propre étoile sur le célèbre Hollywood Walk of Fame.


title: Lucy Liu

text: Elle est née et a grandi dans le quartier du Queens à New York, élevée par ses parents immigrés de Taïwan. En tant que sino-américaine, Lucy Liu a toujours montré beaucoup d'intérêt pour l'héritage culturel de sa famille, et parle couramment mandarin. Sa mère, Cécilia, originaire de Pékin, est biochimiste et son père, Tom Liu, est un ingénieur civil de Shanghai. Elle étudie à l'Université du Michigan, et y est diplômée en cultures et langues orientales. Parallèlement à ses études, elle développe ses aptitudes artistiques en danse, chant et théâtre, et elle obtient le rôle principal d'une pièce produite par son université : "Alice au pays des merveilles". Cette expérience l'oriente vers la comédie, elle part s'installer à Los Angeles pour y enchaîner les auditions, bien décidée à entamer sa carrière d'actrice.


title: Lucy Liu

text: Elle fait ses premiers pas à la télévision en décrochant un petit rôle dans la série "Beverly Hills 90210", qui rencontre un réel succès au niveau mondial et qui est considérée comme culte. Cette première incursion marque le début d'une successions d’apparitions. En effet, elle fait ses armes dans des séries comme "La Loi de Los Angeles, Hercule", le show médical "Urgences", elle côtoie les extraterrestres pour "" avant d'obtenir un rôle régulier dans la série, inédite en France, "Pearl". L'actrice signe également ses débuts sur grand écran via des productions inédites et méconnues du grand public : on la retrouve dans les longs métrages "Ban wo zong heng", "Protozoa" et "Bang".


title: Lucy Liu

text: Mais elle décroche son premier rôle important dans le film "Jerry Maguire", en 1996, dans lequel elle joue le rôle d'une ex-petite amie du personnage joué par Tom Cruise. Par la suite, elle multiplie les apparitions dans plusieurs séries ("Nash Bridges, Michael Hayes", "New York Police Blues"), mais c'est en 1998, avec le personnage de "Ling Woo" dans la série télévisée "Ally McBeal", que sa carrière sera vraiment lancée.


title: Lucy Liu

text: Lucy Liu auditionne, dans un premier temps, pour le rôle de "Nelle Porter" (finalement interprétée par Portia de Rossi), un autre personnage introduit en début de saison 2, mais le créateur de la série est tout de même impressionné par son talent et lui promet d'écrire un épisode pour elle. Et c'est ainsi qu'est né le personnage de "Ling Woo" qui finit par devenir membre du casting régulier suite à l’approbation des fans du show. La série rencontre un succès critique et public important. Écrite par un avocat de formation, David E. Kelley, la série prend place au cœur d'un cabinet d'avocats et nous dévoile les coulisses judiciaires et sentimentales des héros. Elle bénéficie d'un ton décalé, d'une image pop et luminaire et d'un cadre propice à la comédie. La prestation de Lucy est saluée par les critiques. Elle reçoit une pluie de nominations et récompenses à de prestigieuses cérémonies : elle est notamment nommée lors des Emmy Awards (l'équivalent des Oscars pour la télévision) et la distribution repart lauréate dans la catégorie Meilleure distribution lors des Screen Actors Guild Awards.


title: Lucy Liu

text: Forte d'une notoriété plus importante, l'actrice se retrouve dans des productions de premiers plans. En 1998, elle apparaît dans un rôle de dominatrice sado-maso dans le film "Payback" avec Mel Gibson. Ce thriller dramatique génère plus de au box office et séduit la critique.


title: Lucy Liu

text: En 2000, elle devient l'une des « drôles de dames » dans la première adaptation cinématographique de la série télévisée, "Charlie et ses drôles de dames." Aux côtés des actrices Drew Barrymore et Cameron Diaz, Lucy signe l'un de ses plus gros succès commerciaux, doté d'un budget de 92 millions de dollars, et qui en remportera plus de 263 millions en fin d'exploitation. Lucy Liu est nommée pour le titre de meilleure actrice lors des Saturn Awards et le trio d'actrices est récompensé lors de la cérémonie des MTV Movie Awards et celle des Blockbuster Entertainment Awards. La même année, elle rejoint Jackie Chan et Owen Wilson pour la comédie d'action "Shanghai Kid" qui rencontre également un succès critique et public.


title: Lucy Liu

text: Afin de se concentrer sur le cinéma, elle quitte "Ally McBeal" en début de saison 5, après quelques épisodes. Côté télévision, elle n'apparaît ensuite que le temps d'un épisode, dans la populaire série télévisée "Sex and the City".


title: Lucy Liu

text: En 2002, l'actrice est à l'affiche de trois films : "Cypher, Ballistic" et "Chicago." Le premier, pour lequel elle a réalisé elle-même ses cascades, devant subir un entrainement spécial qui lui a permis d'assurer les séquences les plus dangereuses, notamment un sauvetage spectaculaire en hélicoptère, est salué par la critique mais s'avère un cuisant échec au box office. Le second est un échec commercial retentissant malgré la présence de l'espagnol Antonio Banderas tandis que le troisième est acclamé par la critique et rencontre un fulgurant succès au box office. "Chicago" - dans lequel elle tient un rôle secondaire, contrairement aux deux autres - est d'ailleurs le film le plus nommé lors de la cérémonie des Oscars avec 13 nominations, 6 prix ont été gagnés.


title: Lucy Liu

text: En 2003, elle parvient à renouer avec un rôle de femme d'action important en incarnant la tueuse O-Ren Ishii, dans "", l'acclamé septième long-métrage du célèbre réalisateur Quentin Tarantino. Le film génère plus de et est considéré comme culte. Lucy est récompensée lors des MTV Movie Awards et nommée pour le Saturn Award du meilleur second rôle féminin.


title: Lucy Liu

text: Elle enchaîne avec deux suites : elle retrouve d'abord ses copines drôles de dames pour les besoins de "Charlie's Angels 2", qui rencontre également un succès important en salles, avant de retrouver le costume d'O-Ren Ishii pour "", son personnage apparaissant en flash back.


title: Lucy Liu

text: À noter que l'actrice officie également dans l'animation et participe, entre autres, aux séries télévisées "Futurama", "Les Simpson" et elle prête sa voix à Mei dans le film "Mulan 2".


title: Lucy Liu

text: L'actrice enchaîne, entre 2005 et 2007, les déconvenues sur grand écran. En effet, elle est l'héroïne du drame méconnu du public "3 Needles", mais reconnu par la critique, elle obtient un second rôle dans le film d'action "Domino", porté par l'actrice Keira Knightley, qui ne rencontre pas le succès espéré, puis elle joue la comédie pour "" qui est un échec retentissant.


title: Lucy Liu

text: Elle apparaît dans la série télévisée "Joey" pour un arc de plusieurs épisodes, mais la série est annulée en raison de mauvaises audiences.


title: Lucy Liu

text: En revanche, elle connait un succès surprise, mais isolé avec le thriller d'action "Slevin". Elle incarne le premier rôle féminin aux côtés des acteurs reconnus Morgan Freeman, Bruce Willis et Ben Kingsley, le film est également salué par la critique. L'année d'après, elle tient le rôle principal du film fantastique "Rise" mais le film est boudé par la critique et ne séduit pas non plus au box office.


title: Lucy Liu

text: En 2007, elle joue les guest star pour deux épisodes de la première saison de la série "Ugly Betty", avant d'obtenir l'un des rôles principaux de la série "Cashmere Mafia" sur ABC. Produite par Darren Star, devenu célèbre grâce à "Sex and the City", la série est finalement annulée, suite à la diffusion de 7 épisodes. Une annulation principalement due à la grève de la Writers Guild of America.


title: Lucy Liu

text: Elle obtient ensuite un rôle régulier dans la deuxième saison de "Dirty Sexy Money", Nola Lyons. Mais la série est annulée, fin 2008. Cette année-là marque les débuts sur grand écran de la saga d'animation "Kung Fu Panda", dans lequel Lucy officie en tant que voix de l'un des personnages principaux, la Vipère. Le film est un énorme succès commercial et critique.


title: Lucy Liu

text: En 2010, elle est à l'affiche de la comédie dramatique "The Trouble with Bliss" aux côtés de Michael C. Hall (interprète principal de la série "Dexter") et de Brie Larson. La même année, l'actrice occupe le rôle principal de la mini série "Trois bagues au doigt", produite par la chaîne Lifetime, qui rencontre un joli succès lors de sa diffusion et elle reçoit une nomination au titre de meilleure actrice dans une série dramatique lors de la prestigieuse cérémonie des NAACP Image Awards.


title: Lucy Liu

text: Parallèlement, elle continue de prêter sa voix pour "Kung Fu Panda 2", qui renouvelle le succès du premier opus et déclenche donc une saga à laquelle Lucy restera fidèle (y compris pour les films dérivés). Elle travaille également sur la saga centrée sur le personnage de "La Fée Clochette" et prête sa voix au personnage d'Ondine.


title: Lucy Liu

text: En 2012, elle fait une prestation remarquée dans la quatrième saison de "Southland". Lucy reçoit le Critics' Choice Television Awards de la meilleure performance par une guest et elle est nommée lors des Gold Derby Awards et une nouvelle fois pour le NAACP Image Awards. Cette année-là, elle reçoit un Muse Awards lors du Festival New York Women in Film & Television qui récompense l'ensemble de sa carrière.


title: Lucy Liu

text: Toujours en 2012, elle obtient le premier rôle féminin dans la série "Elementary", une version moderne et américaine de Sherlock Holmes. La série est un vrai succès outre-Atlantique, elle reçoit des critiques positives et réalise de bonnes audiences, permettant à son interprète d'être nommée lors des People's Choice Awards et d'être lauréate dans la catégorie Meilleure actrice lors des Teen Choice Awards.


title: Lucy Liu

text: En 2017, elle rejoint le film "Future World" avec Snoop Dogg, thriller post-apocalyptique réalisé par James Franco, sorti en 2018 aux États-Unis et directement en DVD pour le public français. Cette année-là, elle est aussi l’une des vedettes, aux côtés de Taye Diggs, de la comédie romantique "Petits coups montés" distribuée sur la plateforme Netflix. Et elle rejoint le second long métrage, en tant que réalisateur, de l'acteur Matthew Lillard, aux côtés de Thomas Sadoski. Il s'agit d'un drame romantique intitulé "The Last Weekend in May" qui suit une histoire d'amour extra-maritale.


title: Lucy Liu

text: En fin d'année 2018, le réseau CBS annonce que la septième saison d"Elementary" sera la dernière, les scénaristes et le créateur ayant travaillé sur une réelle conclusion des intrigues. La chaîne de diffusion se félicite de la stabilité du show, en dépit de cases horaires parfois peu exposées, mais ayant généré d'importants revenus grâce à ses ventes à l'international.


title: Lucy Liu

text: Libérée de cet engagement, l'actrice ne tarde pas à retrouver un premier rôle. Elle reste fidèle au réseau CBS et signe pour jouer dans la nouvelle série de Marc Cherry, créateur de "Desperate Housewives", "Why Women Kill", aux côtés d'Alexandra Daddario et Ginnifer Goodwin. La série suit le parcours de trois femmes de trois époques différentes, face à l'infidélité de leur maris et le désir de vengeance.


title: Lucy Liu

text: En 2019, intronisée par Demi Moore et avec la présence de Cameron Diaz et Drew Barrymore, elle obtient son étoile sur le célèbre Hollywood Walk of Fame, placée à côté de celle d'Anna May Wong. Elle est ainsi la deuxième actrice d'origine asiatique à recevoir cet honneur.


title: Lucy Liu

text: Lucy Liu doit prochainement jouer dans le film Rosemead, un drame basé d'après une histoire vraie, qui traite de nombreux thèmes : l'utilisation des armes aux Etats-Unis, la communauté asiatique et la maladie mentale.


title: Lucy Liu

text: Lucy Liu a eu une relation avec le scénariste Zach Helm, de 2002 à 2004. Elle est ensuite en couple, de 2005 à 2007, avec l'acteur américain Will McCormark.


title: Lucy Liu

text: De 2012 à 2013, elle est sortie avec l'homme d'affaires Noam Gottesman.


title: Lucy Liu

text: En , elle devient maman pour la première fois d'un petit garçon, nommé Rockwell Lloyd, né par mère porteuse.


title: Lucy Liu

text: Lucy Liu est engagée dans diverses activités humanitaires : En France, Laëtitia Godès est la voix française régulière de Lucy Liu. Marieke Bouillette et Mylène Jampanoï l'ont doublé respectivement à 7 et 4 reprises dans des films d'animation.


title: Lucy Liu

text: Au Québec, elle est régulièrement doublée par Anne Dorval.


title: Lucy Liu

text: Elle fait quelques apparitions dans la série "Futurama" de Matt Groening, dont sa première apparition est dans l'épisode "Je sors avec un robot" dans la saison 3.


title: Pétanque

text: La pétanque (du provençal : ', « pieds », et ', « planté » ; ', « le jeu à pieds-plantés », ou ', « la pétanque ») est un jeu de boules dérivé du jeu provençal. C'est le onzième sport en France par le nombre de licenciés : recensés (fin 2016) ; il existe de nombreuses fédérations nationales affiliées à la fédération internationale. Fin 2017, on compte près de 600 000 licenciés répartis dans cent pays, du Maroc au Viêtnam. À ces chiffres, il convient de rajouter les pratiquants occasionnels, en vacances notamment, c'est-à-dire plusieurs millions d'amateurs. C'est un sport principalement masculin (moins de 15 % des licenciés sont des femmes en France). Néanmoins, c'est l'un des rares sports où des compétitions mixtes sont organisées.


title: Pétanque

text: Le jeu de boules aurait été créé en Gaule. Les boules ont d'abord été en argile, en pierre, puis en bois et enfin en acier, mais, après les « bouleurs » du Moyen Âge, l'âge d'or des boules en tous genres fut certainement la Renaissance où la noblesse s'empare du jeu au même titre que le bilboquet et le jeu de paume (qui deviendra le tennis). Pour des raisons obscures, le jeu est interdit au peuple en 1629, interdiction peu suivie et rapidement levée. Au XVIIIe siècle le jeu reste très populaire, au point que l’Encyclopédie de Diderot et D’Alembert en fait mention. La Révolution française en abolissant les privilèges de la noblesse légalisa à nouveau la pratique du jeu pour tous.


title: Pétanque

text: Au début du , le jeu de boules est répandu du nord au sud de la France. Dans "Ferragus" (1833), Honoré de Balzac décrit les parties de boules du faubourg Saint-Marceau :


title: Pétanque

text: En 1850, la première société officielle, « le Clos Jouve », fut fondée dans la région de Lyon puis, en 1906, la Fédération lyonnaise et régionale ouvre la voie en 1933 à la Fédération nationale des boules qui deviendra Fédération française de boules (FFB) en 1942. Bien que regroupant nombre de jeux de boules (« boule des berges », « boule en bois », « jeu provençal »), la FFB fut dominée par le jeu de boule lyonnaise ( en 1945), jusqu'au début du .


title: Pétanque

text: Au , alors que chaque région, ou presque, introduit une variante d'usage, les Méridionaux se passionnent pour la longue ou jeu provençal avec des règles simplifiées, le libre choix du terrain, mais où les tireurs font trois pas de course pour prendre leur élan. C'est ce jeu que Marcel Pagnol décrit dans ses souvenirs d'enfance ("Le Temps des amours") et qui fut intégré dans le film "Le Château de ma mère".


title: Pétanque

text: En 1904, un Alsacien du nom de Félix Rofritsch entreprit la fabrication des premières « boules cloutées » (en bois recouvert d'une carapace de métal, formée de clous) dans son atelier de la rue des Fabres, à Marseille, sous le label de « La Boule bleue ».


title: Pétanque

text: Le jeu provençal donna naissance en 1907 à la pétanque, lors de la partie historique à La Ciotat où un champion de jeu provençal, Jules Hugues dit « Lenoir », ne pouvant plus jouer à son jeu préféré à cause de ses rhumatismes, se mit un jour à tracer un rond, envoyer le but à 5–6 m, et, les « pieds tanqués », à jouer ses boules pour se rapprocher du cochonnet. Ceci se passait sur le terrain de boules d’un café « La boule étoilée » (terrain baptisé ainsi en clin d'œil aux boules cloutées de l'époque) dont les propriétaires s'appelaient Ernest et Joseph Pitiot. Les deux frères comprirent vite l'intérêt de ce sport, notamment Ernest qui s'appliqua à en finaliser les règles.


title: Pétanque

text: Il faudra néanmoins attendre le premier concours officiel à La Ciotat en 1910 pour que le mot soit officialisé. Le terme vient des mots de l'occitan provençal "pè" « pied » et "tanca" « pieu », donnant en français régional l'expression « jouer à pétanque » ou encore « pés tanqués », c’est-à-dire avec les pieds ancrés sur le sol, par opposition au jeu provençal où le joueur peut prendre de l'élan.


title: Pétanque

text: Les innovations sont les suivantes :


title: Pétanque

text: La première boule en acier aurait été fabriquée en 1927 à Saint-Bonnet-le-Château, qui abrite à présent le Musée international de la boule de pétanque. La même année, les règles de la pétanque furent codifiées, mais ce n'est qu'en 1930 que les traditionnelles boules en bois cloutées furent remplacées par celles en acier. C'est à Jean Blanc que l'on doit cette évolution.


title: Pétanque

text: La Fédération française de pétanque et de jeu provençal (FFPJP) voit le jour le quand, forte de ses , elle peut enfin quitter la section provençale de la FFB. Quant à la Fédération internationale (FIPJP), elle fut fondée le à Marseille, même si c'est en Belgique, à Spa, que ses premières bases furent jetées, un an plus tôt.