title: Jeanne Grey

text: La femme de lettres, journaliste et féministe italienne Clelia Romano Pellicano utilisait le pseudonyme « Jane Grey ». Philippa Gregory est auteure du roman historique "Reines de sang", évoquant Jane Grey et ses sœurs Catherine et Marie.


title: Jeanne Grey

text: Henri Kling composa en 1883 "Jane Gray", une fantaisie dramatique pour orchestre d'harmonie ou fanfare, un an après "Anne Boleyn".


title: Jeanne Grey

text: Daniel Charneux lui consacre son roman "Si près de l'aurore," Luce Wilquin, 2018, prix Maurice et Gisèle Gauchez-Philippot, 2018, et prix Alex Pasquier, 2018.


title: Le Monde diplomatique

text: Le Monde diplomatique est un journal mensuel français fondé en par Hubert Beuve-Méry comme supplément au quotidien "Le Monde". La ligne éditoriale du "Monde diplomatique" est associée à la gauche antilibérale.


title: Le Monde diplomatique

text: À ses débuts, il est destiné aux « cercles diplomatiques et aux grandes organisations internationales », créé sur l’initiative de François Honti, journaliste et ancien consul de Hongrie à Genève dans l'immédiat après-guerre ; le journal a pris une tendance altermondialiste à partir de 1973, sous la direction de Claude Julien. C’est aujourd’hui une filiale du Groupe Le Monde. Il est édité par une rédaction et une société distinctes du journal "Le Monde". "Le Monde SA" détient 51 % du capital du "Monde diplomatique."


title: Le Monde diplomatique

text: En 2020, le journal comptait 31 éditions internationales en 22 langues (26 imprimées et 7 numériques) tirées à environ exemplaires. À ce titre, "Le Monde diplomatique" est le mensuel français dont les articles sont les plus diffusés dans le monde. En 2019, en France, la diffusion totale moyenne du journal était de exemplaires. En , le mensuel comptait abonnés.


title: Le Monde diplomatique

text: Autrefois simple supplément du quotidien, le « Diplo » a acquis progressivement son autonomie. À la suite de l'accession à la direction du "Monde" de Jean-Marie Colombani, il en devient en 1996 une filiale à hauteur de 51 %.


title: Le Monde diplomatique

text: Le reste du capital est détenu par l'association des Amis du Monde diplomatique représentant les lecteurs (25 %) et par l'équipe rédactionnelle du journal (24 %) regroupée au sein de l'Association Günter-Holzmann, du nom d'un généreux donateur qui permit le lancement de cette opération. Ensemble, ces parts sont supérieures à la minorité de blocage (33,34 %) et confèrent au journal une relative indépendance politique vis-à-vis du groupe "Le Monde". Par exemple, le directeur de la publication n'est éligible que sur proposition du personnel du journal.


title: Le Monde diplomatique

text: Bien que l'indépendance économique du "Monde diplomatique" vis-à-vis du groupe "Le Monde" soit limitée, la ligne éditoriale du journal est devenue largement autonome de celle du quotidien depuis l'arrivée de Claude Julien à la direction de la rédaction en 1973. Par ailleurs, le « "Diplo" » affirme préserver sa ligne éditoriale vis-à-vis des pressions des annonceurs en limitant la part de ses revenus générée par la publicité. De fait, la part de revenu provenant de la publicité est limitée à 5 %, chiffre largement inférieur à la moyenne de la presse française, qui tire entre 40 et 50 % de son chiffre d’affaires de la publicité.


title: Le Monde diplomatique

text: Une équipe de neuf journalistes permanents (en 2006) assure la rédaction d'une petite partie des articles, la majorité étant écrite par des journalistes indépendants ou des intellectuels (universitaires, écrivains) d'origines et de nationalités variées.


title: Le Monde diplomatique

text: À partir de 1989, l'impression sur les nouvelles rotatives du "Monde" à Ivry et le passage au format berlinois ont permis d'introduire la couleur. À l'initiative de Claude Julien, le mensuel a dès lors illustré ses articles de reproductions d'œuvres d'art contemporaines, longtemps choisies par Solange Brand. Le , "Le Monde diplomatique" est le premier journal français à avoir une édition en ligne. Hébergé par le Cyberport de l’INA, il propose alors les articles de l’année passée. Depuis , le siège du journal se trouve au 1, avenue Stéphen-Pichon dans le de Paris.


title: Le Monde diplomatique

text: Le « Diplo » est présent au capital des éditions Cybermonde (33 % de l'édition en Espagne) et "Le Monde diplomatique éditions arabes". Une revue thématique bimestrielle appelée "Manière de voir" compile des articles parus dans le "Monde diplomatique" et des articles inédits écrits à l'occasion de la publication de cette revue.


title: Le Monde diplomatique

text: À rythme triennal, le « Diplo » publie également trois atlas, traitant respectivement de sujets d'ordre environnemental, géopolitique et historique.


title: Le Monde diplomatique

text: Le "Monde diplomatique" a publié, fin , une édition hors série "le Monde diplomatique en bande dessinée", sélectionnée pour le Prix France Info de la Bande dessinée d’actualité et de reportage.


title: Le Monde diplomatique

text: Le journal a la particularité d'avoir numérisé sur un unique DVD-rom accessible à l'achat l'ensemble des articles publiés : dans son édition en langue française (depuis sa fondation en 1954), allemande ("idem" depuis 1995), anglaise ("idem" depuis 1996), espagnole ("idem" depuis 1997), italienne ("idem" depuis 1997) et portugaise ("idem" depuis 1999). Il a pour principe professionnel de recouper ses informations.


title: Le Monde diplomatique

text: Le journal ne bénéficie que peu des aides publiques à la presse. En 2012, il se situe au rang des titres les plus soutenus par l’État, ayant reçu 188 339 euros. Alors que, selon la Cour des comptes, les aides publiques représentent entre 7,5 % et 11 % du chiffre d’affaires global des éditeurs, dans le cas du "Monde diplomatique," cette proportion tombe à 2 %.


title: Le Monde diplomatique

text: Le directoire est composé de Serge Halimi (directeur de la publication), Vincent Caron, Bruno Lombard, Pierre Rimbert & Anne-Cécile Robert.


title: Le Monde diplomatique

text: Parmi les anciens membres du journal, on peut citer Ignacio Ramonet, Philippe Rekacewicz, Bernard Cassen et Alain Gresh.


title: Le Monde diplomatique

text: En , Le "Monde diplomatique" est publié en 26 langues, dont l'espéranto, à travers 72 éditions internationales, dont 46 imprimées (avec un tirage total de 2,4 millions d’exemplaires) et 26 électroniques, qui couvrent l'essentiel de l'Europe, de l'Amérique du Sud et du monde arabe avec, entre autres, une édition palestinienne. En , il a 47 éditions internationales en 28 langues.


title: Le Monde diplomatique

text: Dès les années 1975, deux éditions sont apparues au Portugal et en Grèce, suivies dans les années 1980 par une édition en espagnol et une édition en arabe. À la fin des années 1990, le mouvement se développe : allemand et italien depuis 1995, édition Cône sud en Amérique du Sud, puis grec. Le mouvement s'amplifie avec le russe, le polonais, l'hindi, le coréen, etc. Aux versions imprimées s'ajoutent de nouvelles éditions électroniques (farsi, japonais, catalan, espéranto, etc.). Les éditions étrangères prennent différentes formes : mensuel, supplément mensuel ou hebdomadaire d'un autre titre de presse, trimestriel, etc. À la simple traduction des articles de l'édition française s'ajoutent jusqu'à 20 % d'articles rédigées par l'édition locale. L'édition anglophone est née en 1999 d'un partenariat avec "The Guardian Weekly". Les éditions en arabe sont maintenant réalisées à Paris par une filiale partenaire de "A Concept Mahfoum".


title: Le Monde diplomatique

text: Le "Monde diplomatique" traite d'une grande variété de sujets :La ligne éditoriale du journal, en raison de son caractère engagé en faveur d'une gauche de rupture avec le capitalisme, lui vaut de virulentes critiques.  Certains détracteurs lui reprochent, par exemple, des positions qualifiées de « propalestiniennes » et d'« antisémites », ou encore des articles jugés favorables à Fidel Castro ou Hugo Chávez. Mais à l'inverse, l'américain Edward Herman qualifie "Le Monde diplomatique" de « média dissident » et le considère comme « probablement le meilleur journal au monde ».


title: Le Monde diplomatique

text: En , "Le Figaro" désigne le "Monde diplomatique" comme la matrice idéologique du mouvement de contestation sociale et politique Nuit debout.


title: Le Monde diplomatique

text: D'après "Le Monde," Le Monde diplomatique « prône un journalisme de temps long, quand une majorité des médias concentrent leur énergie sur leur flux d’information. »


title: Le Monde diplomatique

text: Jadis tenant d'une ligne éditoriale tiers-mondiste, caractérisée dans les années 1960 par l'intérêt porté aux nouveaux États nés de la décolonisation, le journal se veut critique de tout impérialisme, entre autres américain. Depuis la fin de la guerre froide, le journal s'est rapproché du mouvement alter-mondialisation, se faisant l'un des hérauts de la critique de la mondialisation « néo-libérale ». Il a ainsi soutenu la lutte des zapatistes, mouvement de guérilla mexicaine s'étant soulevé le , le jour même de l'entrée en vigueur de l'ALENA (Accord de Libre-Échange d'Amérique du Nord), entre autres en publiant des articles du sous-commandant Marcos.


title: Le Monde diplomatique

text: L'éditorial célèbre d'Ignacio Ramonet, publié en 1995, a ainsi mis en circulation le terme de « pensée unique » pour critiquer le dogme néolibéral.  Ainsi, Ignacio Ramonet pouvait écrire :


title: Le Monde diplomatique

text: La rédaction a pris une part active dans l'émergence, en France, du mouvement altermondialiste. Ainsi, c'est à la suite de la parution d'un éditorial écrit par Ignacio Ramonet en que fut créée l'association ATTAC. Le journal a relayé des campagnes d'ATTAC (par exemple contre les paradis fiscaux et le secret bancaire). Il est également à l'initiative et membre fondateur de l'Observatoire français des médias, créé à la suite du Forum social mondial de Porto Alegre en 2002. Adepte des grandes enquêtes, le journal s'est montré très critique envers les nouvelles stratégies boursières sacrifiant l'emploi à la rentabilité et le Théorème de Schmidt voulant que l'emploi dépende de la rentabilité des entreprises.


title: Le Monde diplomatique

text: "Le Monde diplomatique" entretient un rapport ambigu avec la philosophie de Toni Negri et Michael Hardt et leur concept « d'Empire » néolibéral qui englobe non seulement les États-Unis ou la Triade (États-Unis, Union européenne, Japon) mais aussi l'ensemble des institutions internationales (FMI, Banque mondiale, OMC, etc.). Si le philosophe de la Gauche radicale italienne a pu présenter sa pensée dans les colonnes du Diplo et a été invité à prendre la parole à l'occasion de la célébration des 50 ans du journal, il a été critiqué par André Bellon au nom de la défense des États comme « expression de la souveraineté populaire». "Le Monde diplomatique" publie aussi régulièrement des articles critiquant l'oligarchie française ou l'« hyperbourgeoisie » mondiale. Certains articles dénoncent un (supposé) manque d'empressement de la COB (Commission des opérations de bourse) à signaler à la justice les opérations douteuses, ou bien les façons multiples qu'ont certains milliardaires (dont François Pinault) d'éviter de payer l'impôt sur le revenu.


title: Le Monde diplomatique

text: C'est dans son édition de , dans un article de Frédéric Lordon, que l'idée d'un impôt innovant appelé SLAM est née.


title: Le Monde diplomatique

text: Par ailleurs la rédaction du Diplo et l'association des lecteurs du journal ont activement participé à la création des Rencontres déconnomiques d'Aix-en-Provence qui rassemblent depuis 2012, annuellement et dans un esprit clairement satirique, les économistes s'opposant au néo-libéralisme. Un article de Renaud Lambert, publié dans "Le Monde diplomatique" de dénonçant les liens entre économistes néo-libéraux et groupes bancaires fut d'ailleurs un des éléments déclencheurs de la création des "Rencontres déconnomiques".


title: Le Monde diplomatique

text: La ligne anti-impérialisme américain se développe tout naturellement en Amérique du Sud, champ privilégié de l'influence américaine. Le journal défend Castro et Chavez, quitte à prêter le flanc à une critique l'accusant de complaisance excessive. Le journal désapprouve les violations des droits de l'homme à Cuba, mais il les relativise (par rapport à d'autres pays), les explique et les justifie par les pressions américaines et le « blocus » américain sur Cuba.


title: Le Monde diplomatique

text: Philippe Val, rédacteur en chef de "Charlie Hebdo", accuse la rédaction du "Monde diplomatique", et Ignacio Ramonet en particulier, d'une amitié avec les dirigeants Fidel Castro et Hugo Chávez. Bernard-Henri Lévy dénonce lui aussi une position qui serait, selon lui, modérée vis-à-vis du régime communiste de Fidel Castro à Cuba.


title: Le Monde diplomatique

text: Au sujet de ces accusations, Ignacio Ramonet dénonce un « anticastrisme primaire » et répond en :


title: Le Monde diplomatique

text: Il est par ailleurs arrivé à plusieurs reprises au "Monde diplomatique" de critiquer la politique cubaine.


title: Le Monde diplomatique

text: Le journal critique la « pression sécuritaire », notamment celle qui pèse sur les « jeunes issus de l'immigration » en France, et plus généralement dans le monde celle dont les attentats du 11 septembre 2001 a été l'occasion au motif de l'antiterrorisme.


title: Le Monde diplomatique

text: Le mensuel se veut engagé dans la lutte contre le révisionnisme historique, notamment pour rappeler les réalités du génocide des Juifs européens, les massacres ou déshumanisations liés au colonialisme (massacre du 17 octobre 1961), critiquer les zoos humains ou la façon dont l'État français gère les archives. Le journal a aussi donné une tribune à l'historienne communiste Annie Lacroix-Riz qui critique l'interprétation de l'Holodomor.


title: Le Monde diplomatique

text: En , le "Monde diplomatique" a édité un « anti-manuel d'histoire ». Ce manuel vise explicitement à réhabiliter le rôle des prises de conscience collectives des peuples dans la fabrication de leur histoire. Il critique dès lors l'importance donnée en ce domaine aux grands personnages par les médias spécialisés.


title: Le Monde diplomatique

text: Au sujet du conflit israélo-palestinien, le "Monde diplomatique" a adopté une ligne très critique à l'égard de la politique de l'État d'Israël. En particulier, le journal reproche à ce dernier de ne pas avoir respecté les différentes résolutions du Conseil de sécurité et de l'Assemblée générale de l'ONU depuis 1947 ainsi que sa politique de peuplement des territoires palestiniens occupés.


title: Le Monde diplomatique

text: Il ouvre régulièrement ses colonnes à des personnalités pro-palestiniennes en faveur du droit international, comme le journaliste Michel Warschawski, la cinéaste Simone Bitton, le médecin et ancien président de Médecins sans frontières Rony Brauman, le journaliste Uri Avnery et l'historien post-sioniste Ilan Pappé. Le "Monde diplomatique" donne également la parole à plusieurs tendances de la gauche israélienne : Amram Mitzna ou Yossi Beilin du Parti travailliste israélien mais aussi à des intellectuels palestiniens : Edward Saïd, Mahmoud Darwich ou Fayçal Husseini.


title: Le Monde diplomatique

text: Une étude de Samuel Ghiles-Meilhac, parue en 2006, retrace l'histoire du "Monde diplomatique" et de ses prises de position, en particulier à l'égard du Moyen-Orient. Samuel Ghiles-Meilhac rappelle qu’en 1954 le « Journal des cercles consulaires et diplomatiques », mensuel au service des diplomates, était favorable à Israël, de même que le Ministère des Affaires étrangères. Mais tout comme le Ministère des Affaires étrangères après la guerre des Six Jours, le journal a changé après 1967. Sous la direction de Claude Julien, il est devenu, selon Samuel Ghiles-Meilhac, un journal de la gauche radicale, . D'après Samuel Ghiles-Meilhac, beaucoup de collaborateurs du journal sont engagés dans le soutien de la cause palestinienne et en faveur du droit international : Amnon Kapeliouk, Joseph Algazy, Michel Warchawski, Samir Kassir, Éric Rouleau, Edward Saïd, Étienne Balibar, Alain Gresh, Dominique Vidal et Serge Halimi.


title: Le Monde diplomatique

text: La position du "Monde diplomatique" sur le conflit israélo-palestinien est vue par Alexandre Del Valle comme une accusation à l'égard d'Israël d'être l'unique responsable des problèmes d'une paix qui tarde à venir. L'auteur fait le reproche au journal de partager les vues pro-palestiniennes et pour les résolutions de l'Onu d'un certain nombre de personnalités qui interviennent régulièrement dans ses colonnes.


title: Le Monde diplomatique

text: Au sujet du sionisme, Alain Finkielkraut a émis une critique virulente, écrivant, sans sourcer ses graves accusations, que


title: Le Monde diplomatique

text: Dans un éditorial publié sur le site du journal, Dominique Vidal précise clairement la position du "Monde diplomatique" à l'égard du sionisme :  Concernant l'antisémitisme, un magazine édité par le Fonds social juif unifié et consacré au judaïsme français, "L'Arche" dénonce en l'attitude de l'association "Les Amis du Monde diplomatique" pour son soutien au livre d'Alain Ménargues, "Le Mur de Sharon", que "L'Arche" juge antisémite. Le rédacteur en chef de "L'Arche", Méir Waïntrater, reprochait le silence de Dominique Vidal depuis la sortie du livre. Cela dit, Dominique Vidal dénonce trois mois plus tard, dans les colonnes du "Monde diplomatique", les passages du livre reprenant des thèmes jugés antisémites par "L'Arche", écrivant que,


title: Le Monde diplomatique

text: L'auteur Alain Ménargues dénonce alors ce qu'il considère comme :  Il a dit s'étonner qu'un mensuel qui se veut ouvert au débat comme le "Monde diplomatique" cède à ce qu'il juge être des .


title: Le Monde diplomatique

text: Ces accusations, reprises par la rédaction, ont eu pour effet :


title: Le Monde diplomatique

text: Fin 2005, des désaccords apparaissent au sein de l'association ATTAC, recoupant ceux au sein du "Monde diplomatique". Les divergences entre Bernard Cassen, Jacques Nikonoff, Ignacio Ramonet et Maurice Lemoine d'une part, Dominique Vidal et Alain Gresh d'autre part, amènent ces derniers à démissionner en de leur poste de directeurs de rédaction du "Monde diplomatique", restant membres de la rédaction comme journalistes.


title: Le Monde diplomatique

text: Le quotidien "Libération" estime que : « Alain Gresh et Dominique Vidal se situent dans un courant de « gauche internationaliste » qui s'oppose à une mouvance chevènementiste ou « nationale-républicaine », où l'on retrouve, avec des nuances, Bernard Cassen et le nouveau rédacteur en chef, Maurice Lemoine ». Selon le même journal, les tensions viennent notamment : de divergences sur la question de la laïcité et du voile, la position de Ignacio Ramonet au sujet du régime cubain ; et de désaccords au sujet des FARC colombiens.


title: Le Monde diplomatique

text: Des critiques sur l'apparition d'annonces publicitaires dans le journal émanent parfois d'une partie des lecteurs. Le plus souvent, les reproches concernent des publicités pour des activités dont le journal, par ailleurs, critique le mode de fonctionnement, par exemple les complémentaires santé, les services bancaires ou les produits pharmaceutiques. Ces lecteurs estiment que ces annonces pourraient affecter la ligne éditoriale et, en particulier, limiter la liberté d'expression sur les thèmes en question.


title: Le Monde diplomatique

text: Deux campagnes publicitaires ont notamment rencontré un flot important de critiques. En novembre et , des annonces publicitaires pour IBM et pour Renault occupent deux pages complètes. Dans les éditions de février et mars 2004 apparaissent des annonces de Microsoft, pourfendeur du logiciel libre, alors même que le mensuel publie des articles favorables aux logiciels libres et qu'il les utilise pour son site internet (SPIP).


title: Le Monde diplomatique

text: En réponse à ces critiques, l'équipe éditoriale apporte les éléments suivants :


title: Le Monde diplomatique

text: Le journal a également publié des articles critiques sur la publicité.


title: Le Monde diplomatique

text: La version norvégienne du "Monde diplomatique" de a suscité l’intérêt lorsque les rédacteurs en chefs ont publié, de leur propre initiative, un reportage principal de trois pages sur les attentats du 11 septembre 2001 et ont résumé les différents types de théories du complot du (qui n'étaient pas spécifiquement approuvés par le journal, seulement examinés).


title: Le Monde diplomatique

text: Le Réseau Voltaire, qui a quelque peu changé de position depuis les attentats du et dont le directeur, Thierry Meyssan, est devenu le principal défenseur de la théorie du complot sur le , a expliqué que même si la version norvégienne du Monde diplomatique lui avait permis de le traduire et de le publier l'article sur son site web, la maison mère, en France, lui a catégoriquement refusé ce droit, affichant ainsi un débat ouvert entre différentes éditions nationales.


title: Le Monde diplomatique

text: En , la version française publie un article de Alexander Cockburn, co-éditeur de "CounterPunch", qui critiquait vivement l’approbation des théories du complot par la gauche américaine, affirmant que c’était un signe de « vide théorique ». La version norvégienne a cependant encore marqué sa différence par rapport à l'édition mère en permettant la réponse de David Ray Griffin, défenseur de la théorie présentant les attentats du 11 septembre 2001 comme le fruit d'un complot intérieur, à Cockburn dans son numéro de .


title: Le Monde diplomatique

text: En 2020, « Le Monde diplomatique » compte 31 éditions internationales en 22 langues : 26 imprimées et 7 numériques (sans compter celles dépendant des éditions imprimées). Une édition électronique en Esperanto est éditée à Cuba et en France. En Turquie, sa diffusion est assurée en collaboration avec Cumhuriyet, l'un des journaux de référence du pays. L'édition kurde est relancée en janvier 2020.


title: Le Monde diplomatique

text: L'édition du Monde diplomatique est suspendue en Égypte en raison de la censure, menacée par des régimes autoritaires, comme au Brésil, ou par le boycott publicitaire, comme en Serbie.


title: Le Monde diplomatique

text: Voici la diffusion mensuelle moyenne du "Monde diplomatique", selon les données de l'OJD. Un sondage sur le lectorat abonné et non-abonné de la version française effectué en 2018 et traité par Ensai Junior Consultant (ENSAI Rennes) a permis de voir sur un panel de individus les conclusions suivantes:Cette étude, première réalisée depuis 20 ans, permet aussi de voir que la connaissance du journal se fait principalement par un proche (38,1 %) ou par les études (), qu'ils sont fidèles depuis une longue durée (9,5 % a commencé à lire le journal entre 21 et 30 ans) mais qu'une partie du lectorat est récent (19 % achètent le journal depuis 2 ans ou moins). Aussi, les lecteurs du Monde Diplomatique sont fidèles à d'autres journaux comme Le Monde, Libération ou encore des revues alternatives comme Fakir, Mediapart ou Alternatives économiques.


title: Le Monde diplomatique

text: Le , le journal devient le premier en France à avoir une présence sur internet.


title: Le Monde diplomatique

text: "Le Monde diplomatique" possède une plateforme de réseau social dédiée aux Amis du "Monde diplomatique".


title: Théorie des groupes

text: En mathématique, plus précisément en algèbre générale, la théorie des groupes est la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie.


title: Théorie des groupes

text: La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations. Ensemble, elles ont plusieurs applications en physique théorique, chimie, science des matériaux et cryptographie asymétrique.


title: Théorie des groupes

text: L'une des plus grandes avancées mathématiques du est la classification complète des groupes simples finis. Elle est le fruit d'une collaboration de plus de 100 auteurs à travers .


title: Théorie des groupes

text: L'une des origines de l'idée de groupe est l'étude des équations algébriques par Joseph-Louis Lagrange (1771). La terminologie de « groupe » est mise en évidence pour la première fois par Évariste Galois (1830) : on peut « grouper » les automorphismes du corps de décomposition d'un polynôme séparable. L'idée de groupe tient aussi ses sources de l'étude de nouvelles géométries, Felix Klein (1872), et de la théorie des nombres : Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss.


title: Théorie des groupes

text: La théorie des groupes est très utilisée en chimie. Elle sert par exemple à simplifier l'écriture de l'hamiltonien d'une molécule en exploitant ses symétries. Elle permet de calculer les orbitales moléculaires comme somme d'orbitales atomiques et de prédire le type de déformation que va subir une molécule en spectroscopie infrarouge (IR). En spectroscopie, elle permet de savoir si une transition sera visible dans un spectre infrarouge et/ou dans un spectre Raman, selon la symétrie de sa déformation.


title: Théorie des groupes

text: Chaque molécule possède une symétrie qui peut être déterminée à l'aide du synoptique dans la ci-dessous. Une fois le groupe ponctuel de symétrie trouvé, on utilise la table de caractères correspondante. Dans " les structures élémentaires de la parenté" l’ethnologue Claude Lévi-Strauss, aidé du mathématicien André Weil, dégage le concept de structure élémentaire de parenté en utilisant la notion de groupe (en particulier le groupe de Klein). Dans "La Structure des mythes," Lévi-Strauss réutilisera les groupes de Klein pour établir la « formule canonique du mythe ».


title: Théorie des groupes

text: La théorie des groupes est aussi très utilisée en physique théorique, notamment pour le développement des théories de jauge.


title: Théorie des groupes

text: Les groupes donnent lieu à des tables de représentation irréductibles. Par exemple, pour l'eau, les symétries se combinent selon : et la table de caractère liée :  Chaque mode de vibration moléculaire peut être ramené à une combinaison des représentations irréductibles dont les caractéristiques permettent ensuite d'établir s'ils relèvent de la spectroscopie Raman ou infrarouge.


title: Produit matriciel

text: Le produit matriciel désigne la multiplication de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux ».


title: Produit matriciel

text: Il s'agit de la façon la plus fréquente de multiplier des matrices entre elles.


title: Produit matriciel

text: En algèbre linéaire, une matrice A de dimensions "m" lignes et "n" colonnes (matrice "m"×"n") représente une application linéaire ƒ d'un espace de dimension "n" vers un espace de dimension "m". Une matrice colonne V de "n" lignes est une matrice "n"×1, et représente un vecteur "v" d'un espace vectoriel de dimension "n". Le produit A×V représente ƒ("v").


title: Produit matriciel

text: Si A et B représentent respectivement les applications linéaires ƒ et "g", alors A×B représente la composition des applications ƒo"g".


title: Produit matriciel

text: Cette opération est utilisée notamment en mécanique lors des calculs de torseur statique, ou en informatique pour la matrice d'adjacence d'un graphe.


title: Produit matriciel

text: Le produit de deux matrices ne peut se définir que si le nombre de colonnes de la première matrice est le même que le nombre de lignes de la deuxième matrice, c'est-à-dire lorsqu'elles sont de type compatible.


title: Produit matriciel

text: Si formula_1 est une matrice de type formula_2 et formula_3 est une matrice de type formula_4, alors leur "produit", noté formula_5 est une matrice de type formula_6 donnée par :


title: Produit matriciel

text: La figure suivante montre comment calculer les coefficients formula_8 et formula_9 de la matrice produit formula_10 si formula_11 est une matrice de type formula_12, et formula_13 est une matrice de type formula_14. formula_15


Produit matriciel


title: Produit matriciel

text: En général, la multiplication des matrices n'est pas commutative, c'est-à-dire que formula_10 n'est pas égal à formula_20, comme le montre l'exemple suivant.


title: Produit matriciel

text: Si l'on considère les matrices formula_23 et formula_24, où formula_25 et formula_26 sont des matrices vérifiant :


title: Produit matriciel

text: on a alors l'égalité


title: Produit matriciel

text: On remarquera l'analogie entre le produit de matrice par blocs et le produit de deux matrices carrées d'ordre 2.


title: Produit matriciel

text: N.B. : on ne définit pas ainsi une nouvelle forme de multiplication de matrices. Cela correspond simplement à une méthode de calcul du produit matriciel ordinaire pouvant simplifier les calculs.


title: Produit matriciel

text: Pour deux matrices de même type, nous avons le produit d'Hadamard ou produit composante par composante. Le produit d'Hadamard de deux matrices formula_1 et formula_3 de type formula_2, noté , est une matrice de type formula_2 donnée par  Par exemple :


title: Produit matriciel

text: Ce produit est une sous-matrice du produit de Kronecker (voir ci-dessous). Pour deux matrices arbitraires formula_1 et formula_13, nous avons le produit tensoriel ou produit de Kronecker qui est défini par


title: Produit matriciel

text: Si formula_11 est une matrice de type formula_2 et formula_13 est une matrice de type formula_48 alors est une matrice de type formula_49. À nouveau cette multiplication n'est pas commutative.


title: Produit matriciel

text: Par exemple


title: Produit matriciel

text: Si formula_11 et formula_13 sont les matrices d'applications linéaires et , respectivement, alors représente le produit tensoriel des deux applications, .


title: Produit matriciel

text: Les trois multiplications matricielles précédentes sont associatives


title: Produit matriciel

text: distributives par rapport à l'addition : et compatibles avec la multiplication par un scalaire :


title: Produit matriciel

text: La multiplication par un scalaire formula_57 d'une matrice formula_1 donne le produit


title: Produit matriciel

text: Si nous travaillons avec des matrices sur un anneau, alors la multiplication par un scalaire est parfois appelée la "multiplication à gauche" tandis que la "multiplication à droite" est définie par :


title: Produit matriciel

text: Quand l'anneau fondamental est un anneau commutatif, par exemple, le corps des réels ou des complexes, les deux multiplications sont identiques.


title: Produit matriciel

text: Cependant, si l'anneau n'est pas commutatif, tel que celui des quaternions, alors ils peuvent être différents. Par exemple


title: Produit matriciel

text: Le problème qui consiste, étant donné deux matrices carrées, à les multiplier rapidement, est un problème important en algorithmique. L'algorithme qui découle de la définition a une complexité en temps en formula_62, où formula_63 est le nombre de lignes des matrices. Une borne inférieure est formula_64 (car chacun des formula_65 coefficients de la matrices doit être écrit). L'exposant optimal pour la complexité est donc compris entre 2 et 3 mais sa valeur exacte est un problème ouvert. De nombreux algorithmes ont été inventés pour ce problème, citons par exemple l'algorithme de Strassen en formula_66, le premier à avoir été découvert, et l'algorithme de Coppersmith-Winograd en formula_67. En 1993, Bahar et al. ont donné un algorithme de multiplications de matrices pour des matrices représentées symboliquement à l'aide d'une structure de données appelée Algebraic Decision Diagrams (ADD), qui est une généralisation des diagrammes de décision binaire.


title: Produit matriciel

text: On se donne une suite de matrices rectangulaires formula_68 et on souhaite en calculer le produit formula_69 (on suppose que toutes les matrices ont une taille compatible, c'est-à-dire que le produit est bien défini). Le produit matriciel étant associatif, n'importe quel parenthésage du produit donnera le même résultat. Cependant le nombre de multiplications scalaires à effectuer dépend du parenthésage retenu si les matrices sont de tailles différentes.


title: Produit matriciel

text: Ainsi si l'on prend formula_70, formula_71 et  formula_72 on a bien formula_73 = formula_74 mais le calcul de formula_73 nécessite 6 multiplications scalaires tandis que celui de formula_74 en nécessite 18.


title: Produit matriciel

text: Il peut donc être utile d'exécuter un algorithme d'optimisation de produit matriciel enchaîné afin d'identifier le parenthésage le plus efficace avant d'effectuer les produits proprement dits.


title: Produit matriciel

text: Pour vérifier un produit matriciel, il existe des algorithmes plus efficaces que de simplement le recalculer.


title: Produit matriciel

text: Par exemple l'algorithme de Freivalds est un algorithme probabiliste qui permet de vérifier le résultat d'un produit matriciel en formula_64 avec une probabilité d'erreur aussi faible que voulue.


title: Produit matriciel

text: Addition matricielle


title: Note de musique

text: En musique, une note est un symbole ou une lettre permettant de représenter un fragment de musique par une convention d'écriture de la hauteur et de la durée d'un son.


title: Note de musique

text: Le symbole visuel d'une note de musique sur une partition est constitué d'une « tête » qui indique la hauteur du son (sa fréquence en hertz), d'une « hampe » qui soutient les crochets et les barres de durée, et d'une « durée », matérialisée par un ou des crochets ou par une ou plusieurs barres horizontales ou inclinées, qui indique sa longueur ou durée temporelle.


title: Note de musique

text: La « tête » est généralement de forme ronde ovalisée et peut être évidée (ronde, blanche…) ou pleine (noire, croche…). Pour certains instruments, elle peut prendre diverses formes comme pour la percussion (par exemple, croix pour les cymbales, triangle pour l'instrument du même nom, rectangle pour le tambourin…).


title: Note de musique

text: La « hampe » est un trait vertical fin attaché à toutes les têtes de notes, sauf à la ronde. En règle générale, elle est placée au-dessus et à droite de la tête quand la tête de note est en dessous de la troisième ligne de la portée, et en dessous et à gauche quand la tête de note est sur ou au-dessus de la troisième ligne.


title: Note de musique

text: La « durée » des notes est matérialisée par un crochet simple ou des crochets multiples superposés, ou par une barre ou plusieurs barres épaisses parallèles, horizontales ou inclinées. L'assemblage des « durées » de notes constitue le rythme : à partir de la croche, le nombre de crochets (pour une note) ou de barres (pour un ensemble de notes) détermine la durée rythmique de la note : un pour la croche, deux pour la double-croche, trois pour la triple-croche Pour la ronde, la blanche et la noire, pointées ou non, qui n'ont pas de symbole de « durée » (crochet ou barres horizontales), la longueur de la note est donnée par le fait que la tête de note soit remplie ou pas, et/ou par le fait qu'elle ait une hampe ou pas.


title: Note de musique

text: L'assemblage des « têtes » de notes disposées à différentes hauteurs et des « durées » de notes forment la partition et le solfège, qui sont destinés à être lus et déchiffrés par le musicien interprète.


title: Note de musique

text: En plus de la hauteur et de la durée, les notes font l'objet d'autres effets acoustiques créés par la manière de jouer du musicien, comme d'une part, l'intensité ou nuance, indiquée sur la partition par des lettres placées à proximité des notes, comme pour "piano", pour "fortissimo", et du phrasé musical d'autre part (attaques douces, attaques brutales, notes piquées, accents) indiqué par des symboles musicaux spécifiques (points, traits, chevrons). Enfin, une même note jouée par divers instruments, certes de même hauteur, se différencie également par son timbre, spécifique à chaque instrument (timbre doux pour la flûte, percutant pour le piano quand il est martelé, féerique pour le glockenspiel, puissant et cuivré pour la trompette, plus sourd pour le cor).


title: Note de musique

text: Des « têtes » de notes placées les unes après les autres, de gauche à droite, sont jouées successivement, ce qui forme une mélodie : chaque instrument d'un orchestre joue sa mélodie. Mais lorsque plusieurs « têtes » de notes sont superposées, elle doivent être jouées simultanément, ce qui crée un accord. C'est le cas pour un pianiste qui joue plusieurs notes en même temps avec une main, ou pour un ensemble instrumental où chaque musicien joue une des notes de l'accord.


title: Note de musique

text: Tout son musical (ou note) possède une fréquence fondamentale (nombre de vibrations par seconde calculé en hertz) correspondant à sa hauteur.


title: Note de musique

text: Tous les instruments de musique fonctionnent selon l'équation des cordes vibrantes, qui donne la fréquence du son joué en fonction des paramètres géométriques de construction de l'instrument (longueur de corde, diamètre de tuyau). Cette équation admet un ensemble de solutions de fréquences multiples de la fréquence dite fondamentale, qui correspond à la vibration du système vibrant (corde, tuyau).


title: Note de musique

text: Lorsqu'un son donné de fréquence formula_1 est joué, l'ensemble des fréquences formula_1, formula_3, formula_4, formula_5, sont également émises par l'instrument. La note correspondant à la fréquence formula_1 est appelée fondamentale, et les autres sont ses harmoniques. L'ensemble de ces fréquences, associées à leur intensité (c'est-à-dire si on les entend fort ou non) est appelé spectre, ou plus communément timbre.


title: Note de musique

text: Dans un son de fondamentale formula_1, les harmoniques les plus présentes sont l'octave (formula_3), la quinte (formula_4), l'octave (formula_5), la tierce majeure (formula_11).


title: Note de musique

text: Deux notes dont les fréquences fondamentales ont un rapport qui est une puissance de deux (c'est-à-dire la moitié, le double, le quadruple…) donnent deux sons très similaires et portent le même nom. Cette observation permet de regrouper toutes les notes qui ont cette propriété dans la même catégorie de hauteur.


title: Note de musique

text: Dans la musique occidentale, douze fréquences fondamentales différentes portent un nom. Sept d'entre elles sont considérées comme les principales et ont pour noms : "do", "ré", "mi", "fa", "sol", "la" et "si". Elles correspondent aux harmoniques naturels lorsque la note do est jouée.


title: Note de musique

text: Les cinq notes restantes sont dites « altérations » et sont des notes intermédiaires. Par exemple, "" est une note de fréquence intermédiaire entre le "la" et le "si".


title: Note de musique

text: Pour distinguer deux notes de même nom dans deux octaves différentes, on numérote les octaves et donne ce numéro aux notes correspondantes : par exemple, le "la" a une fréquence de dans la norme internationale (bien qu'en pratique, cela puisse parfois varier). Cette fréquence de référence est donnée par un diapason.


title: Note de musique

text: Depuis le , on considère que les notes sont également réparties sur une octave, c'est-à-dire que le rapport de fréquences entre une note et la suivante est de formula_12 (exemple : "la" = ; "" = ).


title: Note de musique

text: La définition de l'écart entre les notes est ce que l'on appelle le tempérament, et lorsque l'écart entre une note et la suivante (en termes de fréquences) est toujours identique, ce tempérament est dit « égal ».


title: Note de musique

text: Dans la gamme tempérée, la formule permettant de mesurer la fréquence d'une note par rapport à une note de départ est : formula_13. Avec formula_14 le nombre de demi-tons au-dessus de la note de départ formula_1. On s'aperçoit que la fréquence croît de manière géométrique par rapport à la note.


title: Note de musique

text: De ce fait, chaque demi-ton correspond à une augmentation / diminution de la fréquence suivant un rapport de de la note voisine.


title: Note de musique

text: Néanmoins, le tempérament égal a ses limites : lorsqu'une note est jouée, les harmoniques 3 et 5 (la quinte et la tierce) sont audibles, et leur fréquence est de formula_4 et de formula_11.


title: Note de musique

text: Par exemple, pour un "la" (), on entend également la quinte () et la tierce majeure (). Cette quinte et cette tierce se retrouvent également à la moitié ou le quart de leur fréquence (une octave en dessous) : ("mi") et ("").


title: Note de musique

text: Or, dans la gamme tempérée (à tempérament égal), le "mi" étant la quinte du "la", elle est séparée du "la" d'un facteur formula_18, c'est-à-dire que le "mi" a sa fondamentale à , et le "" a sa fondamentale à .


title: Note de musique

text: On remarque alors que si on joue une tierce harmonique ("la" et "" simultanément par exemple) avec un tempérament égal, l'harmonique de tierce de la fondamentale et la fréquence fondamentale de la tierce ne sont pas à la même fréquence.


title: Note de musique

text: Dans la théorie de la musique, on parle de « degré ». Celui-ci représente une hauteur relative appartenant à une échelle musicale donnée. En effet, il existe de nombreuses possibilités pour choisir les fréquences des notes dans une octave. Le choix des échelles dépend des époques, des instruments et des types de musique.


title: Note de musique

text: Selon l'échelle, on obtiendra des gammes musicales différentes. La musique classique en utilise deux : l'échelle diatonique et l'échelle chromatique.


title: Note de musique

text: Pour nommer les notes de musique, la musique occidentale utilise deux systèmes différents, selon le pays :


title: Note de musique

text: Depuis Guido d'Arezzo, les notes de musique peuvent être désignées par "ut, ré, mi, fa, sol, la". Cette pratique a été standardisée par les recommandations du pape Jean XIX. Auparavant, en Occident, divers systèmes de notation existaient. La nouvelle méthode permettait d'apprendre en un jour ce qu'il fallait un an pour apprendre avec la méthode grecque utilisant des lettres pour noter tant les tons que les échelles.


title: Note de musique

text: La série constituée des syllabes "ut", "ré", "mi", "fa", "sol", "la" (le "si" a été ajouté plus tard), promue par le moine bénédictin italien Guido d'Arezzo au , a été mise en place pour la notation musicale dans les pays de rite catholique dit « latin ». Cette série est constituée des premières syllabes de chaque demi-vers de l’"Hymne à saint Jean-Baptiste", un chant religieux latin attribué au moine et érudit Paul Diacre :


title: Note de musique

text: La septième note si a été nommée ainsi d'après les initiales de Sancte Ioannes dans le dernier vers. C'est plus tard, en Italie, que le nom ut, seule note de la gamme sans consonne en son début pour marquer l'attaque de celle-ci, a été remplacé par la syllabe do, à la diction plus aisée. Son origine exacte reste inconnue, mais do pourrait être la première syllabe de Domine, Seigneur ou Dieu en latin. En outre, selon certains, cette syllabe ouverte contrairement au ut fermé, serait plus facile à chanter, pour les besoins du chant à vue de musiques sans paroles, dans l'apprentissage du solfège. Depuis lors, on parle de la note do (ou do bémol, do dièse, do bécarre, etc.), mais on dit toujours la clé d'ut, et quant aux tonalités, les deux noms coexistent : ut majeur ou do majeur, ut mineur ou do mineur


title: Note de musique

text: En général, la musique est souvent représentée par une ou des notes, que ce soit dans la bande dessinée, pour symboliser un chant, ou dans l'informatique, pour spécifier que le fichier est un fichier musical.


title: Note de musique

text: La représentation des symboles musicaux en informatique existe dans différents jeux de caractère (Unicode, LaTeX, LilyPond…). Par exemple, l'encodage en Unicode, pour ♩ (une noire), ♪ (une croche), ♫ (deux croches) et ♬ (deux doubles-croches) : Il existe également des notes dans la table des emojis.


title: Note de musique

text: Cependant, cet encodage ne permet pas le positionnement sur la portée, ni aucune autre manière de distinguer les hauteurs de son. Pour cela, on emploie d'autres normes. Par exemple, un des aspects de la norme MIDI est la numérotation des notes. On dit alors que le la est le numéro 69 et que toute différence de numéro par rapport à cette note est comptée en demi-tons. Par exemple, tous les multiples de 12 sont des do. À l'origine, seuls les numéros de 0 à 127 étaient permis, mais selon la variante de cette échelle, des notes plus graves ou plus aiguës peuvent aussi être permises. À partir du moment où on suppose un tempérament égal (gamme tempérée), on peut aussi représenter des notes intermédiaires en utilisant des fractions (voir la formule de fréquence mentionnée ci-haut).


title: Note de musique

text: D'autres notations informatisées utilisent les lettres de notes anglaises de A à G et le symbole # tenant lieu de dièse, mais pas de symbole bémol car non-nécessaire (tout bémol a un équivalent dièse). Les notes non-dièse peuvent être suivies d'un trait d'union ou d'une espace. On termine ensuite avec le numéro d'octave, qui augmente de 1 à chaque do comme dans la table ci-haut, mais qui peuvent être décalés (le la 440 pourrait être écrit A-2, A-3 ou A-4 selon l'échelle choisie). C'est ce qui est utilisé visuellement dans les éditeurs de type tracker (à la Amiga), quoique à l'interne, leurs formats utilisent des périodes (inverses de fréquences) comme le format MOD, ou une combinaison note de la gamme et octave (par exemple, les deux parties de la division avec reste d'une note MIDI par 12) comme le format S3M.


title: Polyèdre

text: Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions (un solide géométrique) ayant des faces planes polygonales qui se rencontrent selon des segments de droite qu'on appelle arêtes.


title: Polyèdre

text: Le mot "polyèdre", signifiant "à plusieurs faces", provient des racines grecques "πολύς" ("polys"), « beaucoup » et "ἕδρα" ("hedra"), « base », « siège » ou « face ». Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones. Les côtés de ces polygones sont appelés arêtes. Les extrémités des arêtes sont des points appelés sommets.


title: Polyèdre

text: Comme beaucoup d'autres concepts, la notion de polyèdre a été formellement introduite par les Grecs. Leur étude occupe une place tout à fait significative dans les "Éléments" d'Euclide et a, pour ce qui est des mathématiques, constitué l'une des préoccupations importantes de Platon.


title: Polyèdre

text: Il suffit cependant de contempler les pyramides pour réaliser que cette notion est perçue depuis des temps encore plus anciens.


title: Polyèdre

text: Après Platon, Euclide et Archimède dans l'Antiquité, l'étude des polyèdres a occupé nombre de bons esprits des temps modernes, et notamment ceux de Kepler, Euler, Poincaré, Hilbert


title: Polyèdre

text: La définition donnée en introduction peut sembler suffisamment claire pour la plupart d'entre nous. Elle ne l'est pas pour un mathématicien. Aussi étrange que cela puisse paraître, dans la mesure où le concept de "polyèdre" ne fait pas référence à la dimension de l'espace dans lequel il se trouve, il n'existe pas de définition universellement agréée sur ce qui fait que « quelque chose » soit un "polyèdre" (le cœur du problème vient de ce que la notion intuitive de polyèdre n'est pas exactement la même selon qu'on a dans l'idée une surface ou un volume).


title: Polyèdre

text: Afin d'obvier à cette difficulté, on introduit la notion de simplexe. On peut la considérer comme équivalente à celle de polyèdre en dimension 3 et elle permet des généralisations aux dimensions supérieures. Un polyèdre formula_1 de dimension formula_2 est alors la réunion d'un ensemble fini de simplexes formula_3 de dimension formula_4 tel que chacune des formula_5-faces (formula_6) d'un simplexe formula_3 est un élément de formula_1, et tel que pour tout couple de simplexe formula_9 l'intersection formula_10 est soit vide soit une formula_11-face commune à formula_3 et formula_13.


title: Polyèdre

text: Ainsi un simplexe représente-t-il une définition généralisable de la notion intuitive de polyèdre. Il est la réunion de ses formula_5-faces, et l'intersection de deux formula_5-faces quelconques d'un simplexe est soit vide soit une face de dimension formula_16. Par exemple, un triangle, qui est un 2-simplexe, est la réunion de segments, et l'intersection de deux segments adjacents est un point qui est un sommet du triangle.


title: Polyèdre

text: Un polyèdre apparaît ainsi comme construit à partir de différentes sortes d'éléments ou d'entités, présentant un nombre différent de dimensions :


title: Polyèdre

text: Il s'ensuit que l'objet ci-dessous n'est pas un polyèdre au sens de cette définition. En effet, la face supérieure de la boîte n'est pas limitée par un mais par deux circuits d'arêtes : l'un qui la limite extérieurement et l'autre qui la limite intérieurement.


title: Polyèdre

text: Plus généralement en mathématiques et dans d'autres disciplines, le terme « polyèdre » est utilisé pour faire référence à une variété de constructions reliées, certaines géométriques et d'autres purement algébriques ou abstraites.


title: Polyèdre

text: En particulier, un polytope est un polyèdre convexe et borné.


title: Polyèdre

text: Dans "", et définissent les polyèdres par un ensemble fini de polygones planaires tels que chaque arête d’un polygone est partagée par un seul autre polygone, et aucun autre sous-ensemble des polygones ne possède cette propriété. Cette définition implique des contraintes strictes : par exemple, les polyèdres ne doivent pas présenter d’auto-intersections.


title: Polyèdre

text: Les polyèdres sont en général nommés selon leur nombre de faces. La nomenclature est basée sur le grec classique. On a ainsi, par exemple : tétraèdre (4 faces), pentaèdre (5 faces), hexaèdre (6 faces), heptaèdre (7 faces), triacontaèdre (30 faces), et ainsi de suite. Cette méthode de désignation a son équivalent dans la nomenclature des polygones.


title: Polyèdre

text: Les arêtes ont deux caractéristiques importantes (à moins que le polyèdre ne soit complexe) : Ces deux caractéristiques sont duales.


title: Polyèdre

text: Un polyèdre est dit convexe si tout point de tout segment joignant deux points quelconques du polyèdre appartient au polyèdre. Autrement dit, un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur. Il est possible de donner une définition barycentrique d'un tel polyèdre : c'est l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points non coplanaires.


title: Polyèdre

text: Si un polyèdre est convexe alors toutes ses faces sont convexes. Mais la réciproque est fausse : nombreux sont les polyèdres non convexes ayant des faces convexes comme l'icosaèdre de Jessen ou le polyèdre de Császár.


title: Polyèdre

text: Soit un polyèdre. Si l'on note : on appelle caractéristique d'Euler le nombre


title: Polyèdre

text: Pour un polyèdre convexe, cette caractéristique vaut toujours 2. C'est la relation d'Euler


title: Polyèdre

text: Pour chaque polyèdre, il existe un polyèdre dual ayant des faces à la place des sommets originaux et vice versa. Dans la plupart des cas, le dual peut être obtenu par le processus de réciprocité sphérique. Le dual d'un polyèdre régulier peut se construire en joignant les centres des faces adjacentes. Un polyèdre est une forme tridimensionnelle qui se compose d'un nombre fini de faces polygonales qui sont des parties de plans ; les faces se rencontrent le long des arêtes qui sont des segments de droite, et les arêtes se rencontrent aux points nommés sommets. Les cubes, les prismes et les pyramides sont des exemples de polyèdres.


title: Polyèdre

text: Le plus souvent, le polyèdre délimite un volume limité de l'espace à trois dimensions. Quelquefois, ce volume intérieur est considéré être une partie du polyèdre ; d'autres fois, seule la surface est considérée. Les polyèdres traditionnels incluent les cinq polyèdres convexes réguliers que l'on nomme les solides de Platon : le tétraèdre (4 faces), le cube (ou hexaèdre) (6 faces), l'octaèdre (8 faces), le dodécaèdre régulier (12 faces) et l'icosaèdre (20 faces). Les autres polyèdres traditionnels sont les quatre polyèdres non convexes réguliers (les solides de Kepler-Poinsot), les treize solides d'Archimède convexes (cuboctaèdre, icosidodécaèdre, tétraèdre tronqué, cube tronqué, octaèdre tronqué, dodécaèdre tronqué, icosaèdre tronqué, cuboctaèdre tronqué, icosidodécaèdre tronqué, rhombicuboctaèdre, cube adouci, dodécaèdre adouci et rhombicosidodécaèdre) et les 53 polyèdres uniformes restants.


title: Polyèdre

text: Un polyèdre possède au moins 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes. Le plus petit polyèdre est le tétraèdre.


title: Polyèdre

text: On peut définir diverses classes de polyèdres présentant des symétries particulières : On appelle solide uniforme un solide dont toutes les faces sont régulières et tous les sommets identiques. Ainsi sont donc tous les solides réguliers et semi-réguliers précédents. Ils sont en tout 75, auxquels il faut ajouter les deux familles infinies des prismes et des antiprismes.


title: Polyèdre

text: Bien sûr, il est facile de tordre de tels polyèdres, de telle façon qu'ils ne sont plus symétriques. Mais, lorsqu'un nom de polyèdre est donné, tel que l'icosidodécaèdre, la géométrie la plus symétrique est toujours impliquée, sauf indication contraire.


title: Polyèdre

text: Les groupes de symétrie polyédriques sont tous des groupes ponctuels et incluent :


title: Polyèdre

text: Les polyèdres à symétrie chirale n'ont pas de symétrie axiale et par conséquent ont deux formes énantiomorphes qui sont les réflexions l'un de l'autre. Les polyèdres adoucis ont cette propriété.


title: Polyèdre

text: Un polyèdre régulier possède des faces régulières et des sommets réguliers. Le dual d'un polyèdre régulier est aussi régulier.


title: Polyèdre

text: Partons d'un sommet et prenons les points situés à une distance donnée sur chacune des arêtes. Relions ces points, nous obtenons le polygone du sommet. Si celui-ci est régulier on dit que le sommet est régulier. Un polyèdre est régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre de neuf, classiquement répartis en deux familles :Les polyèdres quasi réguliers sont à faces régulières, de sommet uniforme et d'arête uniforme. Il en existe deux convexes :


title: Polyèdre

text: Les polyèdres duaux quasi réguliers sont d'arête uniforme et de . Il en existe deux convexes, en correspondance avec les deux précédents :


title: Polyèdre

text: Le terme semi-régulier est diversement défini. Une définition consiste en « des polyèdres de sommet uniforme avec deux sortes ou plus de faces polygonales ». Ils sont effectivement les polyèdres uniformes qui ne sont ni réguliers, ni quasi réguliers.


title: Polyèdre

text: Un polyèdre est semi-régulier si ses faces sont constituées de plusieurs sortes de polygones réguliers, et que tous ses sommets sont identiques. Ainsi sont par exemple les solides d'Archimède, les prismes et les antiprismes réguliers. La terminologie ne paraît pas tout à fait arrêtée. On parle parfois de "solides semi-réguliers de la première espèce" pour désigner ceux de ces solides qui sont convexes, et de "solides uniformes" pour le cas général. Les polyèdres de Catalan ne sont pas semi-réguliers, mais ont des faces identiques et des sommets réguliers. On dit parfois de tels polyèdres qu'ils sont "semi-réguliers de la seconde espèce".


title: Polyèdre

text: Les polyèdres "convexes" et leurs duaux incluent les ensembles des :


title: Polyèdre

text: Il existe aussi beaucoup de polyèdres uniformes non convexes, incluant des exemples de divers sortes de prismes.


title: Polyèdre

text: Un est à la fois (faces égales) et isogonal (de coins égaux). En plus des polyèdres réguliers, il existe beaucoup d'autres exemples.


title: Polyèdre

text: Le dual d'un polyèdre noble est aussi un polyèdre noble.


title: Polyèdre

text: Quelques familles de polyèdres, où chaque face est un polygone de même sorte :Il n'existe pas de polyèdre dont les faces sont toutes identiques et qui sont des polygones réguliers avec six côtés ou plus car le point de rencontre de trois hexagones réguliers définit un plan. (voir polyèdre oblique infini pour les exceptions).


title: Polyèdre

text: Un deltaèdre est un polyèdre dont les faces sont toutes des triangles équilatéraux. Il en existe une infinité, mais seuls huit sont convexes :Norman Johnson a cherché les polyèdres non uniformes ayant des faces régulières. En 1966, il publia une liste de 92 solides convexes, maintenant connus comme les solides de Johnson, et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne prouva pas qu'ils n'étaient que 92, mais il conjectura qu'il n'y en avait pas d'autres. , en 1969, démontra que la liste de Johnson était complète.


title: Polyèdre

text: Les pyramides sont autoduales.


title: Polyèdre

text: La stellation d'un polyèdre est le processus d'expansion des faces (dans leurs plans), c’est-à-dire qu'elles se rencontrent pour former un nouveau polyèdre.


title: Polyèdre

text: C'est la réciproque exacte du facettage qui est le processus d'enlèvement de parties d'un polyèdre sans créer de nouveau sommets quelconques. Le facettage permet d'obtenir, entre autres, de nombreux nouveaux solides semi-réguliers concaves. On construit de nouvelles faces régulières en regroupant les arêtes d'un polyèdre semi-régulier. Le plus simple est un héptaèdre construit à partir de l'octaèdre, constitué de trois faces carrées et de quatre faces triangulaires.


title: Polyèdre

text: C'est l'opération qui consiste à raboter un sommet ou une arête. Elle conserve les symétries du solide.


title: Polyèdre

text: Cette opération permet d'obtenir sept des solides d'Archimède à partir des solides de Platon. On remarque en effet qu'en rabotant de plus en plus les arêtes d'un cube on obtient successivement le cube tronqué, le cuboctaèdre, l'octaèdre tronqué et enfin l'octaèdre. On peut aussi suivre cette série dans l'autre sens.


title: Polyèdre

text: En partant du dodécaèdre régulier on obtient le dodécaèdre tronqué, l'icosidodécaèdre, l'icosaèdre tronqué (qui donne sa forme au ballon de football), puis l'octaèdre.


title: Polyèdre

text: Le tétraèdre donne le tétraèdre tronqué.


title: Polyèdre

text: On peut appliquer cette opération au grand dodécaèdre ou au grand icosaèdre et obtenir des solides uniformes concaves.


title: Polyèdre

text: À partir d'un cube, cette opération donne successivement un cuboctaèdre, puis un dodécaèdre rhombique.


title: Polyèdre

text: À partir d'un dodécaèdre régulier, on obtient l'icosidodécaèdre puis le triacontaèdre rhombique.


title: Polyèdre

text: Les composés polyédriques sont formés comme des composés de deux polyèdres et plus.


title: Polyèdre

text: Ces composés partagent souvent les mêmes sommets que les autres polyèdres et sont souvent formés par stellation. Certains sont listés dans la .


title: Polyèdre

text: Un zonoèdre est un polyèdre convexe où chaque face est un polygone avec une symétrie inverse ou, de manière équivalente, des rotations à 180°.


title: Polyèdre

text: Le mot « polyèdre » a été employé pour une variété d'objets ayant des propriétés structurelles similaires aux polyèdres traditionnels.


title: Polyèdre

text: Un est un polyèdre qui est construit dans un espace à trois dimensions complexes. Cet espace possède six dimensions : trois dimensions réelles correspondant à l'espace ordinaire, avec une dimension imaginaire accompagnant chacune.


title: Polyèdre

text: Certains champs d'étude permettent aux polyèdres d'avoir des faces et des arêtes courbées.


title: Polyèdre

text: La surface d'une sphère peut être divisée par des arcs de grands cercles (délimitant des régions appelées polygones sphériques) pour former un polyèdre sphérique. Ce point de vue est très adapté pour démontrer une grande partie de la théorie des polyèdres symétriques.


title: Polyèdre

text: Les deux types importants sont :


title: Polyèdre

text: Plus récemment, les mathématiciens ont défini un polyèdre comme un ensemble dans un espace affine réel (ou euclidien) de dimension quelconque "n" qui possède des côtés plats. Il peut être défini comme l'union d'un nombre fini de polyèdres convexes, où un "polyèdre convexe" est un ensemble quelconque qui est l'intersection d'un nombre fini de demi-espaces. Il peut être borné ou non borné. Dans ce sens, un polytope est un polyèdre borné.


title: Polyèdre

text: Tous les polyèdres traditionnels sont des polyèdres généraux, et en plus, il existe des exemples tels que :


title: Usage des majuscules en français

text: L’usage des majuscules en français est encadré par des conventions orthographiques et typographiques. Il en découle que le non-respect de celles-ci, par l'usage incorrect d'une minuscule ou d'une majuscule, peut être une faute d'orthographe. Pour certains auteurs, qui font la différence entre majuscule et capitale, celle-ci n'est pas régie par ces conventions. En français, une majuscule est un repère visuel qui facilite la lecture d'un texte.


title: Usage des majuscules en français

text: Traditionnellement, la majuscule ne peut être que la première lettre d'un mot, sauf dans le cas de noms composés ("Pays-Bas", "le Très-Haut").


title: Usage des majuscules en français

text: En outre, si la première lettre est ligaturée, alors toute la ligature est en capitale ("Œuvre").


title: Usage des majuscules en français

text: Le fait que la première lettre d'un mot soit une majuscule ou une minuscule dépend de la nature du mot et de sa place dans la phrase ou dans le texte.


title: Usage des majuscules en français

text: En français, selon l'avis de l'Académie française, « l'accent a pleine valeur orthographique ». Celle-ci recommande donc l'usage d'accent ou tréma sur une majuscule, tout comme l'utilisation de la cédille et de la ligature. Si beaucoup de publications écrivent les majuscules (tout comme les capitales) avec les accents et autres signes diacritiques, au même titre que les minuscules, nombre d'éditeurs (Grasset, Actes Sud, etc.), d'organes de presse (voir "Le Monde", "Libération", etc.) ou de services officiels (voir le "Journal officiel de la République française") s'en dispensent en suivant la tradition typographique (cf. ci-dessous).


title: Usage des majuscules en français

text: Au Québec, « On doit mettre tous les accents et tous les signes diacritiques sur les capitales, excepté sur les sigles et les acronymes quand ils sont écrits en capitales ». Selon l'édition 2015 du Guide du typographe : « Traditionnellement, en Suisse romande notamment, l'initiale capitale d'un mot composé en minuscules n'était pas accentuée (Emile). Il en était de même d'une majuscule isolée (A ce moment-là) ».


title: Usage des majuscules en français

text: Les signes diacritiques et ligatures restent reproduits par les éditeurs de publications académiques et dictionnaires.


title: Usage des majuscules en français

text: La pratique de l'accentuation a connu une évolution dans la langue française. Elle existe à la fin du Moyen Âge et se normalise tardivement. Dès les débuts de l'imprimerie, les imprimeurs s'efforcent de graver et reproduire les signes diacritiques tels qu'ils apparaissent dans les manuscrits. La bible de Gutenberg les reproduit déjà et la question est réglée dès les années 1470 pour les alphabets plus compliqués comme l'alphabet grec.


title: Usage des majuscules en français

text: La pratique tendant à ne pas indiquer les accents sur les majuscules et les capitales trouve sa source dans l'utilisation de caractères de plomb à taille fixe en imprimerie. La hauteur d'une capitale accentuée étant supérieure, la solution était alors soit de graver des caractères spéciaux pour les capitales accentuées en diminuant la hauteur de la lettre, soit de mettre l'accent après la lettre, soit simplement de ne pas mettre l'accent. Les machines à composer étant d'origine anglo-saxonne (Monotype, Linotype), il n'était pas prévu de mettre des accents sur les capitales. En revanche, en composition manuelle, il existait des capitales accentuées avec un accent en crénage débordant du corps du caractère. Il existait aussi – dans les gros corps – des « accents postiches » qui pouvaient être placés, dans l'interligne, au-dessus des capitales.


title: Usage des majuscules en français

text: Les systèmes informatiques et certains claviers d’usage national laissent subsister des problèmes. Par exemple, sur le clavier AZERTY fourni avec Microsoft Windows pour la France, l’accent aigu est associé à sa lettre ("é") et n’a pas, comme l’accent grave, de touche morte. La raison est que sur cette disposition de clavier, les touches mortes ‹ accent grave › et ‹ tilde › ont été ajoutées par détournement de caractères informatiques  ; or, aux débuts de l’informatique, le caractère associé à l’accent aigu fut le guillemet simple générique « ' », utilisé pour représenter l’apostrophe en français. Sur cette disposition de clavier sous Windows, l’« É » ne peut être saisi qu’à l’aide du pavé numérique ; +144, ou +0201. D’autres solutions, comme la table des caractères et le clavier virtuel, sont accessibles dans le système ou dans certains logiciels. Un raccourci clavier existe dans Microsoft Word : +, . Pour une utilisation universelle, des raccourcis peuvent être ajoutés via un utilitaire spécialisé, notamment Clavier+. Avec un clavier sous GNU/Linux ou avec un clavier Macintosh, l’« É » est accessible par , et pendant que les capitales sont verrouillées.


title: Usage des majuscules en français

text: Si la touche morte pour l’accent aigu n’existe pas sur le clavier AZERTY français, elle est en revanche présente sur le clavier AZERTY belge, le clavier QWERTY canadien et le clavier QWERTZ suisse. Le clavier « canadien français » a des touches mortes pour tous les accents ainsi que la capitale de l’É en de sa minuscule. Le seul pilote de clavier fourni par Microsoft avec Windows qui permette d’écrire directement en français (y compris les ligatures), est le "clavier canadien multilingue standard", de type QWERTY, qu’il suffit d’activer via la Barre des langues de Windows. Dans l'environnement X Window (utilisé par GNU/Linux, BSD et autres systèmes apparentés à UNIX), l'utilisation de la touche de composition permet l'obtention des majuscules accentuées.


title: Usage des majuscules en français

text: D'autre part, la disposition bépo, disponible en standard sur les distributions récentes de Linux, et téléchargeable pour la plupart des autres systèmes, permet de faire aisément tous les caractères de la langue française (y compris les ligatures e dans l’o et e dans l’a, et les guillemets français « … »). Il possède en particulier les lettres É, È, À, Ç (et Ê pour les claviers de 105 touches) en accès direct.


title: Usage des majuscules en français

text: La possibilité de plus en plus grande offerte par les systèmes d'exploitation de changer à sa guise de disposition de clavier, ajoutée au développement d’Unicode désormais implémenté dans tous les systèmes, estompe actuellement ces difficultés. En effet, pour pallier les insuffisances des dispositions de clavier proposées avec Windows (et à l’origine, pour aider les agents de la NSA à transcrire dans des langues tenues secrètes), Microsoft propose un logiciel nommé MSKLC (Microsoft Keyboard Layout Creator) qui permet de créer ses propres pilotes de clavier et ajoute les installateurs nécessaires. Toutefois, cette installation de pilotes de claviers supplémentaires (jusqu’à 60 par machine) nécessite de disposer de droits d’administrateur. Ces derniers peuvent être éludés en installant sur tout poste le logiciel Portable Keyboard Layout (PKL), basé sur plusieurs scripts AutoHotkey permettant un fonctionnement des touches en surcouche, indépendamment du pilote Windows déjà installé.


title: Usage des majuscules en français

text: Les majuscules s'utilisent :


title: Usage des majuscules en français

text: Quand la majuscule est due à la place du mot, elle ne se place qu'à la première lettre d'un nom composé dont les éléments sont reliés par des traits d'union. Exemple : « Avant-hier, je me suis couché tard. »


title: Usage des majuscules en français

text: Quand la majuscule est due à la nature du mot, elle se place à la première lettre d'un nom composé dont les éléments sont reliés par des traits d'union, ainsi qu'aux premières lettres de tous les substantifs, adjectifs et verbes formant ce nom composé. Exemples : le Très-Haut, les Pays-Bas, la Grande-Bretagne, Saint-Jacques-de-Compostelle ou la rue du Cherche-Midi.


title: Usage des majuscules en français

text: Certains noms propres sont devenus des noms communs. Le processus s'appelle antonomase. Dans ce cas, ils perdent la majuscule, sauf si le rapport avec la valeur primitive est toujours perceptible. Ainsi, les appellations génériques de certains vins ou fromages sont des noms communs, alors qu'elles viennent de noms de région ou de ville. Par exemple, on écrit "un bordeaux" pour désigner un vin de Bordeaux et "un cantal" pour désigner un fromage du Cantal. Des noms de personnes sont également touchés par le phénomène de l'antonomase : "un browning" désigne une arme inventée par Browning. En revanche, on écrira "un Van Dyck" pour un tableau peint par Van Dyck. Le procédé d’antonomase inverse consiste à transformer un nom commun en un nom propre pour désigner une réalité ou une personne en particulier, et non plus seulement la chose générale définie par le nom commun. Ce nom propre, mis à la place de ce qu'il désigne dans la phrase, peut être composé (voir ci-dessous les règles qui leur sont propres). Le mot prend alors la valeur d’un nom propre, y compris pour l'usage de la majuscule. C’est, par exemple, le cas de « État » et « Homme ».


title: Usage des majuscules en français

text: Un « état » est une manière d’être. L’autorité qui gouverne un territoire est l’« État ». En revanche, le mot « états » au sens d'« assemblée provinciale chargée de voter l'impôt en dehors des pays d'élection » garde une minuscule (les états de Bourgogne, les états du Languedoc) :


title: Usage des majuscules en français

text: En science, on met une majuscule à « homme » lorsque celui-ci désigne l’ensemble du genre "Homo", mammifère de l’ordre des Primates :


title: Usage des majuscules en français

text: Autres exemples :


title: Usage des majuscules en français

text: Au théâtre ou à l'opéra, lorsqu'un protagoniste n'est pas désigné par son nom, et n'est connu que par sa fonction, il prend la majuscule s'il désigne une personne unique dans la distribution, par exemple le Jardinier, le Soldat, la Fée, mais un garde, une fée.


title: Usage des majuscules en français

text: La majuscule est utilisée pour le premier mot d'un nom composé comme le requiert la règle générale et pour les mots qui, à l’intérieur d’un nom composé, requièrent en eux-mêmes la majuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: L'adjectif d'un nom composé ne prend de majuscule que dans les cas suivants :


title: Usage des majuscules en français

text: Cette convention souffre des exceptions :


title: Usage des majuscules en français

text: Elle suit les différences entre les conventions sur les noms composés. Par exemple, en Suisse romande, l’usage est de lier par un trait d’union l'adjectif aux mots « mont, aiguille, bec, cime, dent, pierre, pointe, rocher, tête, tour » alors qu'en France, l'usage est de ne pas utiliser le trait d'union. Ces usages donnent, par exemple :


title: Usage des majuscules en français

text: Il existe plusieurs conventions d'usage des majuscules pour les noms des institutions françaises.


title: Usage des majuscules en français

text: Dans la plupart des ouvrages scientifiques, ces noms s’écrivent sans majuscule pour les institutions qui ne sont pas uniques mais avec une majuscule au premier mot de l’entité pour les institutions qui ont un caractère unique :


title: Usage des majuscules en français

text: Le "Journal officiel" de la République française (JORF) utilise peu de majuscules : « directeur » et non « Directeur » (mais « Direction », « Premier ministre », « Conseil d'Etat », « Haute Autorité… », « Haut Conseil… ») et écrit le titre d'un ministre ou le nom d'un ministère entièrement en minuscules : « ministre des affaires étrangères et du développement international », « ministère de la défense » (mais écrit « Etat » avec une majuscule non accentuée, contrairement aux règles de la langue), au contraire du portail du Gouvernement, qui met une voire plusieurs majuscules : « secrétaire d’État chargé des Anciens Combattants et de la Mémoire, auprès du ministre de la Défense », « ministre des Affaires étrangères et du Développement international ».


title: Usage des majuscules en français

text: Un moyen couramment utilisé dans la presse est de faire suivre de telles appellations par leur sigle entre parenthèses afin d’en marquer la fin : « le Parti socialiste (PS), la Banque centrale européenne (BCE), la Société nationale des chemins de fer français (SNCF), l’Union européenne (UE) ».


title: Usage des majuscules en français

text: Ces conventions ne sont cependant pas suivies par tous les éditeurs. L’usage commercial consiste à mettre une majuscule sur chaque mot autre qu'un mot de liaison.


title: Usage des majuscules en français

text: L'usage des majuscules pour les noms de marques commerciales qui ne sont pas utilisées comme noms communs est celui des noms propres. Il en est de même pour les noms de sociétés, de compagnies, de clubs, de firmes, d'associations (commerciales, industrielles, sportives, etc.)


title: Usage des majuscules en français

text: Pour les marques utilisées comme nom commun, cet usage n'est pas une règle. C'est par exemple le cas de Kleenex, Klaxon, Frigidaire, Frigo, Scotch ou Rimmel lorsqu'ils font référence à « mouchoir en papier », « avertisseur », « réfrigérateur », « ruban adhésif » et « fard à cils ». En effet, l'usage de la majuscule se retrouve dans les dictionnaires Larousse et Universalis, dans "Le Ramat de la typographie" (québécois) et dans le alors qu'il n'en est pas fait état dans des ouvrages tels que "Le Petit Robert", le Trésor de la langue française informatisé (TLFi), et le .


title: Usage des majuscules en français

text: Les noms et adjectifs désignant une langue ou le locuteur d'une langue ne prennent pas de majuscule. Le locuteur d'une langue (un francophone, par exemple) ne doit pas être confondu avec le gentilé (un Français, par exemple). Cela permet, dans certains cas, une meilleure compréhension ; ainsi, « Le Français (un gentilé) est compliqué » ne veut pas dire la même chose que « Le français (la langue) est compliqué ». Ces distinctions apparaissent dans les exemples suivants :


title: Usage des majuscules en français

text: Les conventions typographiques sur l’usage des majuscules pour les dénominations désignant le régime politique d’un pays ou d’une zone géographique peuvent varier selon l’usage suivi.


title: Usage des majuscules en français

text: L’usage traditionnel est celui qui est notamment préconisé dans plusieurs guides typographiques dont notamment le , le "Code typographique", le "Mémento typographique" ou le "Dictionnaire des règles typographiques".


title: Usage des majuscules en français

text: Dans ce cadre, les dénominations de pays ou de zone géographique prennent une majuscule initiale s'ils sont immédiatement suivis d'un nom commun (terme spécifique ou complément du nom générique) ou encore d'un ou de plusieurs adjectifs (eux aussi termes spécifiques) : En revanche, le même type de dénomination conserve la minuscule au terme générique lorsqu'il est immédiatement suivi d'un nom propre complément (du générique) : Le terme générique garde sa minuscule si le nom composé ne représente pas une entité unique, plus facile à définir avec un article indéfini surtout au pluriel : Dans les dénominations utilisant un trait d'union, les noms et/ou adjectifs faisant partie du spécifique, prennent une majuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Utilisés seuls, les différents génériques se voient appliquer la règle de l’antonomase inverse suivant le sens :


title: Usage des majuscules en français

text: Un usage simplifié, recommandé par la division francophone du Groupe d'experts des Nations unies pour les noms géographiques (GENUNG), la diplomatie et le gouvernement français selon l’arrêté français du , l’Académie française, ou l’Office québécois de la langue française, et utilisé par certains groupes de presses comme "Le Monde", préconise de capitaliser le nom propre et de toujours capitaliser le nom générique pour les noms de pays, en particulier les noms officiels :


title: Usage des majuscules en français

text: Dans une dénomination désignant un événement historique, on met une minuscule au nom générique et une majuscule au nom spécifique :


title: Usage des majuscules en français

text: Lorsqu’il n’y a pas de nom spécifique dans la dénomination historique, le générique prend la majuscule (ainsi que le ou les adjectif(s) qui le précède éventuellement, mais pas le ou les adjectifs qui le suit) :


title: Usage des majuscules en français

text: Les divisions géologiques (ères, périodes, étages) et archéologiques prennent une capitale :


title: Usage des majuscules en français

text: Par contre, les mouvements littéraires (ou philosophiques) et les courants artistiques prennent la minuscule, car ils ne sont pas considérés comme des événements historiques :


title: Usage des majuscules en français

text: On emploie une majuscule au premier substantif de la dénomination des grandes manifestations d'ordre artistique, commercial, sportif, etc., ainsi qu’à l'adjectif qui le précède, mais pas à celui qui le suit.


title: Usage des majuscules en français

text: L'usage général considère que les gentilés (noms des habitants d’un lieu, d’une région, d’une province, d’un pays, d’un continent, ou une identité nationale ou ethnique) et les membres de dynastie constituent des noms propres, qui prennent une majuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Les noms de gentilés, membres de dynastie employés comme adjectifs prennent toujours une minuscule. Il en va de même pour les fidèles d'une idéologie, d'une philosophie :


title: Usage des majuscules en français

text: Les mots composés ayant un rapport avec un gentilé, un membre de dynastie, ne sont pas reliés par un trait d'union quand ils sont formés à la fois d'un nom (substantif prenant une majuscule) et d'un adjectif placé après (prenant une minuscule) :


title: Usage des majuscules en français

text: Les mots composés ayant un rapport avec un gentilé sont reliés par un trait d'union quand ils sont formés soit de deux noms ou de deux adjectifs, soit d’un nom ou d’un adjectif précédés d'un nom de point cardinal (nord, sud, est, ouest).


title: Usage des majuscules en français

text: Les points cardinaux sont des noms communs invariables et des adjectifs invariables, et prennent donc généralement une minuscule.


title: Usage des majuscules en français

text: Ils prennent en revanche une majuscule, quelle que soit leur place dans le texte :


title: Usage des majuscules en français

text: Selon certaines sources, les points cardinaux prennent une minuscule s'ils sont employés adjectivement (à l'exception des trois cas « pôle Nord », « pôle Sud », « cap Nord » où ils ont fonction de nom propre géographique) :


title: Usage des majuscules en français

text: Selon d'autres sources, :Les règles pour les mots "madame", "mademoiselle" et "monsieur" sont complexes. Historiquement, l'usage de la majuscule est destiné à marquer dans le discours direct le nom propre d'une personne, celui-ci pouvant comporter plusieurs mots : un patronyme, un prénom, avec des attributs comme un titre, une qualité, un surnom (Philippe le Hardi, Gatsby le Magnifique) qui portent alors tous une majuscule. Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, le prénom et le patronyme peuvent se trouver sous-entendu pour ne conserver qu'un attribut qui formera à lui seul le nom propre, et conservera sa majuscule. La distinction entre par exemple un titre qui désigne en propre une personne (le Roi, le Comte, le Maréchal, le Président), et le même titre qui la désigne en général (le roi, le comte, le maréchal, le président), est assez subtile à faire.


title: Usage des majuscules en français

text: Jean-Charles de Laveaux indique en 1846 dans son "Dictionnaire raisonné des difficultés grammaticales et littéraires de la langue française" :


title: Usage des majuscules en français

text: De même pour Caspar Hirzel dans sa "Grammaire pratique française" (1869) :


title: Usage des majuscules en français

text: À la même époque, Émile Littré, dans son dictionnaire, n'utilise pas de majuscule de déférence. La majuscule n'est imposée que dans l'emploi où "Monsieur" n'est plus un nom commun mais désigne le frère du roi.


title: Usage des majuscules en français

text: Cet usage s'est peu à peu perdu dans le temps, tant du fait de l'expansion éditoriale que de la généralisation des formes abrégées , toujours pourvues d'une majuscule. Ainsi, Grevisse écrit dans "Le Bon Usage" :


title: Usage des majuscules en français

text: Albert Doppagne reste tout aussi prudent :


title: Usage des majuscules en français

text: Tout en reconnaissant qu'« il ne s'agit pas toujours d'une règle figée et son usage, comme celui de la langue en général, évolue. Cet usage est même parfois flottant, et les codes typographiques eux-mêmes divergent sur bien des points » ; de nombreux grammairiens préconisent l'usage modéré de la majuscule afin de préserver cette notion de déférence, ce que Doppagne résume ainsi :


title: Usage des majuscules en français

text: Dans le texte courant, les mots "madame, mademoiselle" et "monsieur" s’abrègent généralement lorsqu'ils sont suivis d'un nom de personne ou de qualité en , et ', et au pluriel en , et '


title: Usage des majuscules en français

text: Albert Doppagne précise que .


title: Usage des majuscules en français

text: Les abréviations « M » et « M » pour "monsieur" et "messieurs", utilisées jusqu'au milieu du , sont généralement considérées aujourd'hui comme fautives. Lorsqu'ils sont écrits au long (c'est-à-dire en entier), le préconise la majuscule lorsque :


title: Usage des majuscules en français

text: Il préconise la minuscule lorsque : En revanche, le préconise la majuscule dans ces mêmes cas :


title: Usage des majuscules en français

text: Dans les autres cas, ces mots prennent une minuscule, notamment lorsque :


title: Usage des majuscules en français

text: Les mots caractérisant une fonction ou un titre civil ou administratif prennent généralement une minuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Dans le "Journal officiel" de la République française, les titres uniques prennent la majuscule, mais pas les noms de ministère :


title: Usage des majuscules en français

text: Mais les publications non officielles utilisent souvent une majuscule pour les mots caractérisant la fonction d'un ministre car c'est là sa caractéristique et en quelque sorte son nom propre, elles conservent la minuscule pour le titre lui-même (ministre) :


title: Usage des majuscules en français

text: Quand plusieurs éléments différents ont fusionné en un seul titre, la règle du parallélisme implique que l'on mette alors une majuscule à tous ces éléments (ou aucune) :Les noms de religions ainsi que leurs membres prennent toujours la minuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Le titre de fonction des dirigeants et de leurs hiérarchies, lorsqu'il désigne une personne précise en se substituant à son nom propre prend une majuscule, mais utilisé au sens généraliste, le titre de la fonction prend toujours la minuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Si on s'adresse à ces mêmes personnes oralement (transcrit), ou par écrit, le titre de fonction prend une majuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: De plus en plus de religieux se font appeler plus simplement « Père, Mère » ou « Mon Père, Ma Mère ». Ces formules sont à employer seulement pour les personnes qui vous en ont fait personnellement la demande.


title: Usage des majuscules en français

text: Les noms des textes sacrés prennent une majuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Le mot « église » prend une minuscule pour désigner un bâtiment mais une majuscule pour désigner une institution. Cette règle s’applique au pluriel : Dans les toponymes (noms de lieu) et les odonymes (voies de circulation), seul le terme spécifique prend la majuscule initiale, le terme générique, pour sa part, conservant la minuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Les noms de fêtes religieuses prennent une majuscule. Si le nom de la fête est suivi d'un adjectif, ce dernier prend une minuscule. Mais s'il est précédé d'un adjectif, ce dernier prend une majuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Les noms de fêtes religieuses composés de deux noms prennent une minuscule au générique et une majuscule au spécifique :


title: Usage des majuscules en français

text: En revanche, les noms des temps liturgiques prennent une minuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Dans les religions monothéistes, le terme dieu est devenu un nom propre (antonomase inverse) puisqu’il ne désigne plus qu’une seule entité unique (ainsi que tous les autres termes qui le désignent) ; il prend donc une majuscule.


title: Usage des majuscules en français

text: Dans le même esprit, pour certains termes désignant une entité ayant un rapport avec Dieu, la règle s'applique :


title: Usage des majuscules en français

text: Quand on parle de la personne, le mot "saint" est un adjectif, qui suit donc les règles pour les adjectifs. Il ne prend pas de majuscule. La même règle est valable pour les dénominations, moins fréquentes, de « vénérable » et « bienheureux ». Par ailleurs, on ne met pas de trait d'union. On peut éventuellement abréger « saint » en « S » (auquel cas le "S" est en majuscule), toujours sans trait d'union :


title: Usage des majuscules en français

text: On écrit toutefois Sainte Vierge. Certains grammairiens comme Adolphe Victor Thomas font aussi une exception de "Saint Louis" (Louis IX), probablement par imitation des autres surnoms de souverain, qui prennent la majuscule : "Philippe le Bel", "Charles le Chauve".


title: Usage des majuscules en français

text: Par contre, dans les noms de lieux, de fêtes (sauf les fêtes fictives qui prennent le trait d'union, mais pas la majuscule), d'églises, d'institutions, il est intégré au nom du saint. Il prend donc une majuscule, et est lié avec un trait d'union à ce nom :


title: Usage des majuscules en français

text: Enfin, en cas d'antonomase, surtout pour les vins ("saint-émilion") et les fromages ("saint-paulin"), ainsi que quelques autres noms ("saint-bernard" [chien], "saint-honoré" [pâtisserie], "saint-pierre" [poisson], etc.), le nom obtenu est un nom commun, et ne doit donc plus prendre de majuscule.


title: Usage des majuscules en français

text: La règle générale dit que, pour un titre d'œuvre ou de périodique, les règles applicables aux noms propres s'appliquent et que les mots autres que les noms propres ne prennent une majuscule que s'ils sont le premier mot du titre. On écrira, par exemple, "Mon oncle", "Une saison en enfer" ou "Voyage au centre de la Terre". Grevisse est à cet égard le plus radical : il indique dans "Le Bon Usage" que « pour éviter l'arbitraire et les discordances, l'usage le plus simple et le plus clair est de mettre la majuscule au premier mot seulement, quel qu'il soit. » (123).


title: Usage des majuscules en français

text: Cependant les conventions d'usage des majuscules pour les titres d'œuvres restent mal établies. Par exemple, les règles typographiques édictées par le sont contredites dans certains cas par l'usage flottant et parfois excessif de la capitalisation parmi les éditeurs. Jacques Leclerc indique à ce sujet que : « sur la couverture d’un livre, par exemple, le graphiste peut décider de n'employer que des bas de casse (minuscules d’imprimerie), même dans les noms propres ; il peut mettre des majuscules à tous les mots ou même utiliser systématiquement les capitales sur toute la page. […] Il ne convient pas, dans un texte, de restituer l’effet visuel, esthétique ou calligraphique, car il faut demeurer fonctionnel et neutre. Pour cette raison, on ne doit jamais se fier à la façon dont on a orthographié ou présenté le titre d'un livre ou d'une revue sur la page de couverture, voire le titre d’un film dans le générique. Il est préférable d'appliquer intégralement les règles de la majuscule, qui régissent l’emploi des titres dans un texte ».


title: Usage des majuscules en français

text: Les règles traditionnelles d’usage des majuscules pour les titres d’œuvres varient selon les cas de figure.


title: Usage des majuscules en français

text: Si le titre commence par un article indéfini "(un, une, des)" ou une préposition, alors seul le premier mot prend une majuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Si le titre forme une phrase, alors seul le premier mot prend une majuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Si le titre est composé seulement d'un adjectif suivi d'un substantif, alors le substantif prend également une majuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Si le titre est composé seulement de deux substantifs successifs, alors chaque substantif prend une majuscule :


title: Usage des majuscules en français

text: Si le titre commence par un article défini "(le, la, les)" et qu'il ne constitue pas une phrase verbale :


title: Usage des majuscules en français

text: Si le titre est constitué de substantifs énumérés ou mis en opposition "(et, ou, ni)", chaque substantif prend une majuscule : En cas de sous-titre, les principes précédents s'appliquent à chaque partie : Les titres professionnels (« professeur », « docteur », « avocat », etc.), officiels (« ministre », « député », « président », etc.), religieux (« abbé », « rabbin », etc.) ainsi que les grades militaires (« général », « capitaine », etc.) ou honorifiques (« chevalier », « commandeur », etc.) prennent une minuscule sauf lorsqu'ils sont placés en début de titre. Quand l'auteur a clairement choisi une typographie originale, il est préférable de la respecter si cette graphie est justifiée. Exemple : "eXistenZ" de David Cronenberg.


title: Usage des majuscules en français

text: Des règles simplifiées pour les titres d’œuvres, s’appliquant à tous les cas de figure, sont aussi dans l’usage.


title: Usage des majuscules en français

text: La majuscule est limitée au premier mot du titre, quel qu’il soit, ainsi qu’aux noms propres figurant dans ce titre.


title: Usage des majuscules en français

text: Dans une phrase, lorsque le mot commençant le titre est élidé ou supprimé, le premier mot cité prend la majuscule  : « J’ai relu quelques chapitres des "Misérables" ».


title: Usage des majuscules en français

text: Pour Guéry, . Pour Doppagne, la majuscule au seul premier mot s’applique aussi aux titres en deux parties, donnant comme exemple "Le rouge et le noir".


title: Usage des majuscules en français

text: Les titres de journaux et périodiques font exception à ces règles, correspondant plus ou moins à des noms propres. Selon certains, ceux-ci gardent leur majuscule au substantif : "le Soir", "le Monde", "la Presse", "la Revue musicale". Pour d’autres, ils prennent une majuscule au premier mot, au premier substantif et, le cas échéant, à un adjectif précédant ce substantif : "Le Soir", "Le Monde", "La Presse", "La Revue musicale".


title: Usage des majuscules en français

text: Qu'il soit écrit en minuscule ou en capitale, le sigle suit les règles d'usage des majuscules applicables aux noms propres.


title: Usage des majuscules en français

text: À l'inverse des règles typographiques utilisées en anglais, les noms de jours ou de mois ne prennent pas de majuscule en français.


title: Instrument à cordes pincées

text: Un instrument à cordes pincées est un instrument de musique dont les cordes sont pincées, le plus souvent manuellement (à mains nues ou à l'aide de plectre(s)), ou mécaniquement.


title: Instrument à cordes pincées

text: Ceci inclut différentes familles tels que : Pour les instruments pincés manuellement : Pour les instruments à cordes pincées mécaniquement : le clavecin, l'épinette…


title: Instrument à cordes pincées

text: En synthèse sonore et plus largement en musique électronique, l'aspect des cordes pincées peut être simulé à l'aide de différents algorithmes de synthèse par modélisation physique, tels que l'algorithme de Karplus-Strong et ses dérivés.


title: Sanguine

text: La sanguine est une famille de pigments de couleur rouge terre. La sanguine se décline également en orange, ocre, marron et beige.


title: Sanguine

text: On trouve des craies, des crayons et des pastels de couleur sanguine. La couleur sanguine est produite historiquement à partir de l'hématite, une roche contenant de l'oxyde de fer.


title: Sanguine

text: Par extension, une œuvre (monochrome) exécutée avec de la sanguine porte le nom de sanguine.


title: Sanguine

text: On trouve des traces de l'utilisation de la sanguine dès la Renaissance pour la coloration ou pour l'exécution de dessins. L'apogée de son utilisation se situe au , puis la technique de la sanguine connaît un net déclin.


title: Sanguine

text: Parmi les peintres utilisant la sanguine, on peut citer Nicolas Poussin, Antoine Watteau, Jean Honoré Fragonard, Jacques-Louis David, Dominique Ingres et Léonard de Vinci (utilisée dans son ).


title: Sanguine

text: La sanguine trouve son utilisation naturelle dans la production de croquis, de modèles vivants et de scènes rustiques. Elle est idéale pour le rendu des modelés et des volumes.


title: Sanguine

text: La sanguine sous forme de craie s'étale facilement et a une utilisation proche de celle du fusain ou du pastel. Elle nécessite ainsi d'être fixée à la fin de l'exécution de l'œuvre.


title: Sanguine

text: Comme pour le pastel, le ton du papier est primordial pour l'exécution d'une sanguine. Ainsi, une technique picturale ayant été mise au point pendant la Renaissance, la technique des trois crayons, consiste à représenter un modèle vivant à l'aide d'une craie sanguine, d'une pierre noire et d'une craie blanche sur un papier teinté (couleur crème par exemple). La combinaison de ces couleurs permet de rendre toutes les nuances carnées du modèle vivant avec le plus grand réalisme.


title: Peinture à l'huile

text: La peinture à l'huile est une peinture dont le liant ou véhicule est une huile siccative qui enveloppe complètement les particules de pigment.


title: Peinture à l'huile

text: On appelle aussi « peinture » les travaux d'enduction d'une surface par ce genre de produit. Les autorités normatives françaises demandent qu'on dise "peinturage", mais ce terme n'a jamais pris. La « peinture à l'huile » est donc aussi l'activité de nombreux artistes peintres passés et présents, ainsi qu'une technique picturale.


title: Peinture à l'huile

text: Enfin, une « peinture à l'huile » est un tableau peint avec cette technique.


title: Peinture à l'huile

text: Utilisée autrefois pour tous les revêtements de protection et de décoration qui devaient résister à l'eau, en même temps que pour les beaux-arts, la peinture à l'huile a été remplacée partout au cours de la seconde moitié du , sauf en peinture artistique. Considérée en Occident comme la technique picturale reine, elle a montré une solidité remarquable ; des œuvres exposées depuis cinq cents ans et plus sont encore en bon état. La formulation des peintures à l'huile affecte la facilité d'application et l'aspect de l'ouvrage terminé et s'adapte à l'ouvrage envisagé. Les pigments et les charges déterminent l'opacité ou la transparence de la pellicule de peinture sèche ; les médiums à peindre lui donnent une consistance plus ou moins liquide ou pâteuse, influant sur son état de surface.


title: Peinture à l'huile

text: La fabrication de la peinture, à partir d'ingrédients achetés chez les apothicaires, est demeurée le domaine des ateliers d'artistes jusqu'à la fin du , pour être progressivement remplacée par des produits industriels. Au milieu du , l'invention du tube de peinture souple a facilité la peinture de plein-air et la peinture d'amateur.


title: Peinture à l'huile

text: La peinture à l'huile a supplanté la technique de la tempera à la fin du Moyen Âge ; les primitifs flamands en ont généralisé l'usage, qui s'est ensuite répandu en Occident. À partir du , les artistes se répartissent entre deux approches : la superposition de couches transparentes ou glacis, et le travail en pâtes opaques. Au fil des époques, la technique de la peinture à l'huile a connu des changements considérables, liés aux progrès techniques et aux évolutions esthétiques. La peinture d'un seul coup, alla prima, autrefois caractéristique des pochades, a supplanté la lente superposition de couches transparentes.


title: Peinture à l'huile

text: Bien qu'aujourd'hui, la peinture à l'huile désigne exclusivement celle , autrefois, le mot « huile » désignait aussi bien les huiles « fixes » ou grasses que les huiles dites « essentielles », ou volatiles que nous appelons essences. L'« huile » de la peinture pouvait être toute espèce de liant non aqueux. L'intérêt de l'huile grasse et de diverses résines pour la peinture était connu dès le , mais son emploi malaisé, la consistance de la peinture, la nécessité d'attendre longuement entre chaque couche, s'opposaient à son emploi.


title: Peinture à l'huile

text: Vasari attribue au peintre flamand Jan van Eyck (1390-1441) l'invention de la peinture à l’huile, suivi par de nombreux auteurs. Il est certain que le procédé existait avant lui. Le moine Theophilus Presbyter mentionne ses difficultés au . Van Eyck l'a perfectionné associant des résines transparentes, durables et souples, à l'huile, entraînant son adoption générale. Ce procédé a permis d'utiliser l'huile pour des commandes pérennes, et plus tard de peindre sur châssis et non plus sur panneau. Il est vraisemblable que le modèle oriental des laques chinoises ait influencé les artistes européens.