title: L'Orgue du diable

text: Pour les besoins de son intrigue, l'auteur avait besoin d'une crypte dans laquelle cacher le tuyau de l'orgue. Le Château du Katz lui paraissait être idéal, mais celui-ci était alors privé, servant de maison de repos pour professeurs retraités, une sorte de monastère fermé à la visite du public. Toutefois, il obtint une autorisation spéciale du Tourisme allemand, ce qui lui a permis de s'y promener et d'y prendre toutes sortes de photos nécessaires pour retranscrire fidèlement le lieu. Il a ainsi reproduit l'entrée du tunnel ferroviaire, les fauteuils du salon du château, le panorama... Ce qui ne l'a pas empêché de prendre des libertés, puisque ni la chambre de Pol et Vic dans les combles, ni le souterrain n'existent. En fait, le château a été reconstruit vers 1900, sans respecter totalement son emplacement d'origine et il devait y avoir au début des souterrains, qui n'y sont pas.


title: L'Orgue du diable

text: Lors de ses repérages photographiques, le bédéiste a également remarqué combien le panorama en hauteur dominant le château est fascinant. Il permet de voir le Rhin d'en haut, indispensable selon lui pour s'imprégner de ses mystères.


title: L'Orgue du diable

text: L'atelier attenant à la maison d'Hallberg où Yoko manque de se faire étrangler par un serre-joint est basé... sur celui du beau-père de Leloup. Ce modeleur sur bois fabriquait des modèles qui devaient servir à couler des pièces pour des machines électriques, des pompes... Le bédéiste avait alors toute la documentation visuelle à portée de main.


title: L'Orgue du diable

text: Pour dessiner et comprendre le fonctionnement de son orgue qu'il voulait démesuré, Roger Leloup pris conseil auprès de Patrick Collon, facteur d'orgue Bruxellois de qualité ayant construit des instruments tant en Europe qu'au Japon. Ce dernier fut enthousiasmé par ce projet d'histoire et l'a fortement documenté. Il lui a notamment fourni le livre d'un spécialiste allemand réputé des orgues. Une fois l'album achevé, ce dernier s'est écrié à sa lecture : . D'autres spécialistes soulignèrent à Leloup que son orgue était tout à fait plausible. Il s'est tout de même permis d'exagérer un peu le diamètre des tuyaux afin d'accentuer l’impression d'énormité.


title: L'Orgue du diable

text: L'auteur apprit par la suite que l'Orgue du Diable a peut-être existé. En effet, des légendes circulent au sujet d'un orgue de Weingarten, ville allemande située au bord du Lac de Constance. L'une d'elle prétend que le facteur allemand du , Joseph Gabler aurait voulu réaliser pour l'abbatiale cet orgue baroque reproduisant la voix humaine. Le diable l'aurait aidé à le concevoir, en échange de son âme.


title: L'Orgue du diable

text: Le tuyau central de l'orgue du diable semble rappeler directement l'orgue de l'abbaye de Steinfeld en Allemagne. Sur cet instrument, les tuyaux visibles sur la façade sont en effet peints, avec des effigies diaboliques.


title: L'Orgue du diable

text: Le casque de protection contre les ondes sonores que portent certains personnages a été inventé par Leloup. Afin de pouvoir résister aux ultrasons, il faudrait pouvoir les transformer, les déphaser. Un peu comme un disque microsillon 33 tours qu'on ferait tourner en 45 tours. La forme du casque a été dessiné de manière à donner un aspect fantastique à son porteur. C'est d'ailleurs à cause d'elle qu'Alberto Razzi prit Karl Meyer pour le Diable, lorsqu'il en fut coiffé la nuit du meurtre. Depuis très jeune, Roger Leloup éprouve un attrait pour l'Allemagne, en particulier nourri par un livre lu durant son enfance, "Les Légendes du Rhin". Par la suite, il visita ce pays à différentes reprises, en particulier les bords de ce fleuve mythique. Ainsi, il transmit sa passion quand, pendant son service militaire, il organisait des voyages pour les autres soldats. À force de connaître ce pays, devenu bédéiste, il finit naturellement par avoir envie d'imaginer une histoire s'y déroulant. Les rives du Rhin offrent pour lui un cadre idéal pour un récit fantastique, dont chaque courbe dévoile un morceau de l'histoire allemande. Il fut également inspiré par la ville de Rothenburg, qu'il ne connaissait que par ses lectures et qui servira de décor pour une autre de ses histoires, "La Frontière de la vie". Quand il travaillait pour les Studios Hergé en tant qu'assistant pour les décors des albums de Jacques Martin, il dessina une ébauche de la première case de sa future historie, "L'Orgue du diable". Cette case était dessinée dans un style réaliste, représentant alors un château créé de toutes pièces.


title: L'Orgue du diable

text: Dans la première version de son histoire se déroulant en Allemagne, l'auteur envisageait la centrer sur le personnage d'un alchimiste. Puis, il fut intrigué par un article à propos des infrasons, uniquement perçus par certains animaux mais pouvant perturber le cerveau humain. Il décida ainsi d'imaginer une autre histoire avec des antagonistes qui emploieraient des sifflets à infrasons afin de rendre fous les chercheurs d'un laboratoire concurrent, afin de leur nuire. En voulant contrecarrer ce plan, Yoko se retrouverait prise dans un piège sonore. Mais quand Leloup visita la ville de Sankt Goar afin de se documenter pour son histoire allemande, il découvrit par hasard dans une petite église (peut-être la ) un orgue dont la taille semblait démesurée par rapport aux dimensions de l'édifice. Il décida alors de combiner à son histoire celle des infrasons, en inventant un orgue fantastique produisant des sons dangereux pour le cerveau, au point de pouvoir tuer un être humain. Transformant son projet initial, il mit de côté le thème de l'alchimiste pour un futur récit.


title: L'Orgue du diable

text: Après la parution de cette histoire, Roger Leloup reçut plusieurs témoignages de sa popularité. Quand il rencontra le maire de Sankt Goarshausen, ce dernier lui raconta que quantité de touristes viennent désormais dans son village, l'album de l'épisode à la main et s'adressant à l'Office de Tourisme pour se faire indiquer où se trouve l'Orgue du Diable.


title: L'Orgue du diable

text: Aussi, plusieurs spécialistes l'ont contacté à l'occasion de conférences ou de livres. L'un d'eux lui a même demandé de préfacer le sien, ce qu'il fit avec ces mots : « Quand, dans une église, les fidèles chantent, ils s'adressent à Dieu. Et quand l'orgue joue, c'est Dieu qui répond ».


title: L'Orgue du diable

text: Elle a été prépubliée dans le journal "Spirou" numéros 1767 à 1793 du au .


title: L'Orgue du diable

text: Cette histoire est publiée en album pour la première fois en 1973 chez Dupuis et connaitra diverses rééditions par la suite. En 2006, elle est intégrée au deuxième volume de l'Intégrale Yoko Tsuno, "Aventures allemandes".


title: La Forge de Vulcain (Yoko Tsuno)

text: La Forge de Vulcain est la huitième histoire de la série "Yoko Tsuno" de Roger Leloup. Elle est publiée pour la première fois du au du journal "Spirou", puis en album en 1973. Cette histoire est intégrée au troisième album de la série.


title: La Forge de Vulcain (Yoko Tsuno)

text: Cette bande dessinée a valu à son auteur le Grand Prix Saint-Michel 1974.


title: La Forge de Vulcain (Yoko Tsuno)

text: Au cours d'un forage en mer, des employés d'une plate-forme pétrolière découvrent une roche étrange, magnétique et lumineuse. Pour Yoko, Vic et Pol, aucun doute n'est possible : il s'agit de la même matière que celle que leur a jadis donnée Khâny afin de garder le contact avec eux. Ils partent pour cette plate-forme afin d'essayer de revoir leurs amis vinéens.


title: La Forge de Vulcain (Yoko Tsuno)

text: Ceux-ci ont décidé de vivre à la surface de la Terre. Dans ce but, ils ont prélevé de la lave de la Montagne Pelée pour créer une île volcanique artificielle dans la Mer des Caraïbes. Cependant, la plate-forme de forage ayant détruit un des tubes convoyeurs de lave, Yoko est chargée de mener un commando afin de fermer la vanne contrôlée par Karpan, qui souhaite que la lave répandue crée un cataclysme qui impressionnerait les Terriens et lui permettrait de s'approprier les îles environnantes.Le Grand Prix Saint-Michel 1974 a été attribué ex-aequo à Roger Leloup pour cet album.


title: La Forge de Vulcain (Yoko Tsuno)

text: Vulcain est un dieu de la mythologie gréco-romaine antique. Il a pour parents Junon et Jupiter et est la divinité du fer, et donc, par dérivé, des forgerons.


title: La Forge de Vulcain (Yoko Tsuno)

text: L'album porte le même titre qu'un tableau du peintre espagnol Diego Vélasquez.


title: La Forge de Vulcain (Yoko Tsuno)

text: Il a été prépublié dans le "Spirou" numéros 1819 à 1840 du au .


title: La Forge de Vulcain (Yoko Tsuno)

text: Cette histoire est publiée en album pour la première fois en 1973 chez Dupuis et connaitra diverses rééditions par la suite. En 2006, elle est intégrée au premier volume de l'Intégrale Yoko Tsuno, "De la Terre à Vinéa".


title: Aventures électroniques

text: Aventures électroniques est le quatrième album de la série Yoko Tsuno, écrite et dessinée par Roger Leloup, sorti en 1974.


title: Aventures électroniques

text: Yoko est témoin d'un braquage à la Banque Nationale. Menant sa propre enquête, elle aidera le commissaire Lebrun à démasquer les coupables. Cette histoire a été publiée dans le Journal "Spirou" 1693 du 24 septembre 1970


title: Aventures électroniques

text: Yoko rencontre par hasard Annick, une petite fille déguisée en ange. Dépannant le riche industriel M. Hoserpower, elle offrira au père d'Annick un contrat de travail chez ce dernier. Cette histoire de deux pages a été publiée dans le Journal "Spirou" 1706 de la veille de Noël le 24 décembre 1970.


title: Aventures électroniques

text: Yoko est aux prises avec Jean Lemoine, un savant fou se servant d'un "multiplicateur de force" pour commettre ses méfaits déguisé en pithécanthrope. Cette histoire a été publiée dans le Journal "Spirou" 1709 du 14 janvier 1971.


title: Aventures électroniques

text: Procédant à des essais d'une fusée postale dans les Alpes bavaroises, Yoko réduit à néant les plans de terroristes voulant faire échouer une conférence commerciale entre les deux Allemagnes. Cette histoire a été publiée dans le Journal "Spirou" 1715.


title: Aventures électroniques

text: Yoko et Pol découvrent des abeilles porteuses de microfilms. Celles-ci servaient à M. Karensky, un espion qui souhaitait réutiliser à son propre compte les résultats d'une expérience menée par le centre de recherches atomiques de Clévy. Les deux amis font échouer son plan. Influencée par l'intérêt de l'auteur pour l'apiculture, cette histoire a été publiée dans le Journal "Spirou" 747 du 7 octobre 1971, soit dans le numéro suivant la fin de la prépublication du "Trio de l'étrange" bien que cette histoire courte ait été réalisée antérieurement.


title: Aventures électroniques

text: Pol découvre de nuit une araignée mécanique dévalisant une bijouterie. Avec l'aide de Yoko, il découvrira les coupables. Ceux-ci séquestraient le concepteur du robot, M. Dubois, qui arrêtera les gangsters grâce à son araignée alors que ceux-ci tentaient de fuir, en se servant de Yoko comme otage. Cette histoire a été publiée dans le Journal "Spirou" du 1860 au 1864.


title: Aventures électroniques

text: Du trio :Cet album est la réédition de plusieurs histoires courtes publiées avant la première histoire en 44 planches qui mettent en scène principalement Yoko, et ayant un rapport avec l'électronique. La couverture de l'album, réalisée plusieurs années après les histoires courtes, tranche avec le dessin des planches.


title: Aventures électroniques

text: Un album regroupant ces histoires fut publié pour la première fois en 1974 chez Dupuis et connaitra diverses rééditions par la suite. En 2008, Les six histoires sont intégrées au sixième volume de l'Intégrale Yoko Tsuno, "Robots d'ici et d'ailleurs".


title: Message pour l'éternité

text: Message pour l'éternité est la cinquième histoire de la série "Yoko Tsuno" de Roger Leloup. Elle est publiée pour la première fois du au du journal "Spirou", puis en album en 1975.


title: Message pour l'éternité

text: Un mystérieux message radio, daté de plusieurs dizaines d'années, est régulièrement retransmis par un satellite et capté par les observatoires au sol. Il semblerait provenir d'un cratère situé en Afghanistan, zone interdite, et concerner un Handley Page H.P.42.


title: Message pour l'éternité

text: Yoko rencontre « Milord », représentant d'une compagnie ayant assuré un avion disparu le . Milord engage Yoko afin qu'elle participe à une mission à la frontière afghano-russo-chinoise pour retrouver l'avion, qui contient en fait des documents des services secrets britanniques.


title: Message pour l'éternité

text: Yoko atterrit en planeur au fond du cratère et y rencontre John Smith, mécanicien ayant survécu pendant quarante ans, seul homme parmi des babouins qu'il a « éduqués ». Son planeur détruit, Yoko parvient à sortir du cratère à l'aide d'une montgolfière improvisée et persuade « Milord » de revenir récupérer l'avion.Les avions occupent une place centrale dans cette histoire, chose visible dès le début, avec le vol en planeur de l'héroïne. Souvent, le planeur constitue la base de l'initiation au pilotage, idéal pour se familiariser aux lois de l'aérologie. Celles-ci permettent à ces appareils de glisser silencieusement pendant des heures, d'ascendance en ascendance, afin de voler au plus loin et plus longtemps. Yoko suit un stage de vol à voile à bord d'un Rolladen-Schneider LS1, planeur de classe standard de 15 m d'envergure, fabriqué en fibre de verre. Un ami de Roger Leloup, champion de vol à voile, en possédait un exemplaire, qu'il lui a prêté, en plus de lui fournir les conseils nécessaires. L'appareil a servi de modèle pour celui que pilote la Japonaise. En vol, elle aperçoit le Centre de télécommunication par satellite de Pleumeur-Bodou. Son radôme (contraction de radar et dôme) gonflable abrite « La Grande Oreille », antenne écoutant les bruits de l'univers, dont certains arrivent parfois du passé de la Terre.


title: Message pour l'éternité

text: Un de ces bruits est un message fragmenté étrange, émis par un avion anglais disparu en 1933 entre Karachi (actuel Pakistan) et Le Caire (Égypte). Yoko impressionne par ses talents vélivoles un représentant des services secrets britanniques, surnommé "Milord", qui lui suggère la mission de retrouver cet avion disparu. Il s'agit d'un biplan Handley Page H.P.42 du type Héraclès. La machine et ce qu'elle transporté ne peuvent être accessibles que par la voie des airs ; cette mission insolite attire Yoko, qui entraîne dans son aventure ses amis Pol et Vic.


title: Message pour l'éternité

text: Pour dessiner l'appareil avec exactitude, Roger Leloup se base sur quantité de photos d'époques et se renseigne sur son histoire. En 1928, la société de transport britannique Imperial Airways confia au constructeur Handley Page l'étude d'un biplan quadrimoteur long courrier. Le vol du premier appareil eut lieu le 14 novembre 1930. Les deux années suivantes, huit exemplaires furent assemblés et livrés. La structure de l'appareil est intégralement métallique. Les cabines sont larges et décorées dans le style Orient-Express, loin du confort étriqué des premiers avions de ligne. L'avion est sûr, mais lent. Sa grande surface portante, grâce à ses deux ailes, lui permet des atterrissages courts et des décollages rapides. Un supplément de portance à basse vitesse est assurée par des becs à ouverture automatique sur l'aile supérieure. Grâce à leur fiabilité, ces appareils volèrent sans problème pendant une décennie.


title: Message pour l'éternité

text: Roger Leloup, fasciné par l'Handley Page H.P.42 qu'il a découvert grâce à ses documents et dont il ne reste plus aucun exemplaire (le dernier ayant été détruit en 1940), a décidé de lui "rendre vie" via la fiction. Il créa donc un neuvième appareil imaginaire, qu'il baptisa Horus, du nom du dieu égyptien. D'après Milord, il fut monté à la demande du ministère des Affaires étrangères et dédié au transport du personnel et du courrier diplomatique. En 1933, il quitta Karachi pour ramener à Londres d'importants documents des services secrets britanniques. Mais peu après le décollage, il subit un terrible orage et ne donna plus de nouvelle. Quarante ans plus tard, le satellite Intelsat IV de l'océan Indien captait son dernier message. Plus tard, un Lockheed U-2 capta un signal radio émis par l'épave de l'appareil disparu, dans un cratère situé près de la frontière entre la Chine, la Russie et l'Afghanistan (dans le corridor du Wakhan). Pour la trajectoire de l'avion, le bédéiste a tout calculé précisément. Logiquement, partant de Karachi vers le Caire, il ne pouvait rejoindre d'un trait l'est de l'Afghanistan, éloigné et à angle droit de sa route, son rayon d'action de 800 km l'obligeant à ravitailler. Mais il était pris dans un ouragan, où les vents soufflent à plus de 180 km/h vers le nord-est. Un avion ne se déplace pas en fonction du sol mais de la vitesse du vent rencontré. La vitesse de croisière de l'appareil est de 160 km/h et vole dans une masse d'air le poussant dans le dos. Les vitesses de vent s’additionnent. Par temps normal, l'avion franchit la distance de 800 km en cinq heures. Mais avec la tempête, il vola à 340 (160 + 180) km/h par rapport au sol, pendant cette même durée, avant d'être à sec. Ce qui donne 1 700 km, distance séparant Karachi du cratère. Le compte est donc bon. Surtout que l'avion, pour s'en tirer indemne en pleine tempête, a intérêt de filer vent dans le dos.


title: Message pour l'éternité

text: Afin de représenter l'hélicoptère SA341Gazelle, le bédéiste peut même compter sur des photos fournies par le constructeur lui-même. Concernant l'appareil à bord duquel Yoko se rend sur le lieu de sa mission, c'est une composition personnelle du bédéiste, inspirée de modèles existants. Ce planeur court est doté d'un parachute de freinage, d'aérofreins puissants et de fusées d'appoint pour un décollage de retour. Quant au jet l'acheminant jusqu'à son point de largage, il est basé sur les célèbres Lockheed U-2, avions espions américains de la guerre froide. Sa grande envergure permet une portance dans les couches raréfiées de l'atmosphère et ses prises d'air importantes une admission d'air suffisante. Portant le planeur accroché sous sa cabine, il possède un dispositif afin de le récupérer en vol. Cet ensemble harmonisé lui permet donc de fonctionner pour la mission qui lui est assignée.


title: Message pour l'éternité

text: Il a été prépublié dans le "Spirou" numéros 1882 à 1905, du au .


title: Message pour l'éternité

text: Cette histoire est publiée en album pour la première fois en 1975 chez Dupuis et connaitra diverses rééditions par la suite. En 2009, elle est intégrée au huitième volume de l'Intégrale Yoko Tsuno, "Menaces pour la Terre".


title: Équation

text: Une équation est, en mathématiques, une relation (en général une égalité) contenant une ou plusieurs variables. "Résoudre" l'équation consiste à déterminer les valeurs que peut prendre la variable pour rendre l'égalité vraie. La variable est aussi appelée "inconnue" et les valeurs pour lesquelles l'égalité est vérifiée "solutions". À la différence d'une identité, une équation est une égalité qui n'est pas nécessairement vraie pour toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable.


title: Équation

text: Les équations peuvent être de natures diverses, on les trouve dans des branches différentes des mathématiques ; les techniques associées à leur traitement diffèrent selon leur type.


title: Équation

text: L'algèbre étudie surtout deux familles d'équations : les "équations polynomiales" et parmi elles les "équations linéaires". Les équations polynomiales sont de la forme "P"("X") = 0, où "P" est un polynôme. Des méthodes de transformation et de changement de variable permettent de venir à bout des plus simples. Les équations linéaires sont de la forme "a"("x") + "b" = 0, où "a" est une application linéaire et "b" un vecteur. On utilise pour les résoudre des techniques algorithmiques ou géométriques, issues de l'algèbre linéaire ou de l'analyse. Modifier le domaine de définition de la variable peut changer considérablement la nature de l'équation. L'algèbre étudie également les équations diophantiennes, équations dont les coefficients et les solutions sont des entiers. Les techniques utilisées sont différentes et essentiellement issues de l'arithmétique. Ces équations sont en général difficiles, on cherche souvent uniquement à déterminer l'existence ou l'absence de solution et, si elles existent, leur nombre.


title: Équation

text: La géométrie utilise les équations pour décrire et caractériser des figures. L'objectif est encore différent des cas précédents, l'équation est utilisée pour mettre en évidence des propriétés géométriques. Il existe, dans ce contexte, deux grandes familles d'équations, les cartésiennes et les paramétriques.


title: Équation

text: L'analyse étudie des équations du type "f"("x") = 0, où "f" est une fonction ayant certaines propriétés comme la continuité, la dérivabilité ou encore le fait d'être contractante. Des techniques permettent de construire des suites convergeant vers une solution de l'équation. L'objectif est de pouvoir approcher la solution aussi précisément que possible.


title: Équation

text: Un système dynamique est défini par une équation dont les solutions sont, soit des suites, soit des fonctions d'une ou plusieurs variables. Il existe deux questions centrales : l"'état initial" et le "comportement asymptotique". Pour chaque état initial admissible, par exemple la valeur de la suite ou de la fonction en zéro, l'équation admet une unique solution. Parfois, une petite modification de l'état initial modifie peu la solution. Ce n'est pas toujours le cas, cette "sensibilité" à la condition initiale est l'objet de la première question. Le comportement limite ou encore asymptotique d'une solution correspond à la forme de la solution quand la variable tend vers l'infini, ce comportement est l'objet de la deuxième question. S'il ne diverge pas, il peut, soit tendre vers une valeur donnée, soit s'approcher d'un comportement cyclique (une fonction périodique ou une suite parcourant toujours un même ensemble fini de valeurs et dans le même ordre), soit avoir un comportement chaotique, semblant évoluer au gré du hasard, même si la solution est par définition déterministe.


title: Équation

text: Dans l'exemple, la formulation sous forme d'équation, c'est-à-dire l'égalité (1), est équivalente à la question posée. Y répondre revient à déterminer l'unique valeur que doit prendre l'inconnue "x" pour que l'égalité définissant l'équation soit vraie. Le maniement de l'inconnue permet de résoudre quelques équations, comme celle présentée ici. Cette vision est source d'une autre manière de définir une équation. Pour lEncyclopédie Soviétique de Mathématiques", une équation est la traduction, sous une forme analytique, d'un problème. L'équation "f"("x") = "g"("x") correspond à la question : pour quelle valeur de "x", l'équation se transforme-t-elle en égalité ? Cette définition décrit bien les premières équations étudiées, qui sont parfois la formulation mathématique d'une question de la vie courante.


title: Équation

text: Cette définition fondée sur une question n'est pas la plus générale : en géométrie, l'équation du cercle ne fait pas référence à une question. Cependant, la forme reste la même : une égalité entre deux expressions, utilisant deux variables généralement notées "x" et "y".


title: Équation

text: Au , Viète, un mathématicien français, trouve une méthode pour exprimer de manière générique une famille d'équations. Pour en comprendre l'intérêt, illustrons-le par une question.


title: Équation

text: L'équation (4) ci-contre est dite « équation paramétrée » et la lettre "a" désigne le « paramètre ». Son usage permet d'étudier les équations par familles.


title: Équation

text: Les questions que soulève l'étude d'une équation dépendent de sa nature. À l'image de l'équation précédente, certaines sont définies à l'aide d'une fonction "f" : ℝ → ℝ, c'est-à-dire de l'ensemble des nombres réels dans lui-même. L'équation s'écrit "f"("x") = 0 (plus généralement, une équation de la forme "g(x)=h(x)" sera ramenée à la forme "f(x) "= 0 en posant "f=g-h)". On commence parfois l'étude par établir l'existence ou non de solution à l'équation. Le nombre de solutions est donnée par l'étude de la fonction "f", ce cas est étudié dans le paragraphe sur les zéros d'une fonction.


title: Équation

text: Parfois, il est plus simple de commencer par étudier les propriétés de la ou des éventuelles solutions, sans se préoccuper initialement de leur existence. C'est le cas pour le problème isopérimétrique du triangle. La question revient à trouver le triangle de périmètre donné (on prend ici la valeur 3) de plus grande aire possible. Si "T" désigne l'inconnue, ici un triangle de périmètre 3, "S"("T") la fonction qui à un triangle associe son aire et "m" la borne supérieure des surfaces des triangles de périmètre 3, la traduction sous forme d'équation du problème s'écrit : formula_1


title: Équation

text: Dès l'antiquité, les mathématiciens savent que l'unique réponse possible est le triangle équilatéral. En revanche, établir l'existence d'une solution est plus technique et fait appel à des outils inconnus jusqu'au . L'existence d'une solution est intimement liée à l'ensemble dans lequel on recherche cette solution. Si, dans l'exemple choisi, cet ensemble est étendu à celui des polygones de périmètre 3, l'équation n'admet plus de solution. Pour établir ce résultat, on démontre dans un premier temps qu'une éventuelle solution serait nécessairement un polygone régulier. Or plus le nombre de côtés d'un polygone régulier de périmètre donné augmente, plus son aire croît ; ce qui montre l'absence de solution, car aucun polygone régulier n'est d'aire maximale.


title: Équation

text: La forme d'une solution dépend des besoins. L'équation définissant le nombre d'or φ est : "X" – "X" – 1 = 0. Pour un architecte, la forme la plus pragmatique est une approximation décimale comme . En revanche, si l'objectif est d'établir la formule reliant la suite de Fibonacci ("u") avec φ : formula_2 Une forme exacte comme (1 + )/2 est indispensable. Comme le nombre d'or est irrationnel, il ne peut y avoir d'expression exacte sans l'aide d'une fonction auxiliaire comme la racine carrée, car les quatre opérations et les nombres entiers n'expriment que des rationnels. L'approximation de solutions fait l'objet de vastes études, qui entrent dans un domaine des mathématiques appelé analyse numérique.


title: Équation

text: La première "théorie des équations" ne concerne que les équations polynomiales, c'est-à-dire de la forme "P"("X") = 0 où "P" est un polynôme. Elle est basée sur des transformations des membres de l'équation en appliquant les cinq opérations (addition, multiplication, soustraction, division et extraction de racine) aux coefficients de l'équation comme à son inconnue.


title: Équation

text: Si le degré du polynôme est égal à 2 et si les coefficients et les solutions recherchées sont réels, alors ces méthodes permettent de trouver les solutions, encore appelées racine (cf. l'article « Équation du second degré »). L'usage du changement de variable permet d'étendre la famille d'équations qui se résolvent, comme l'illustre l'exemple e – (e + e)e + e = 0 en posant "X" = e. Cette méthode du changement de variable ne se limite pas aux équations algébriques.


title: Équation

text: Pour aller plus loin et résoudre l'équation cubique, c'est-à-dire du troisième degré, les mathématiciens italiens de la Renaissance découvrent la nécessité d'enrichir l'ensemble des nombres en lui adjoignant des nombres imaginaires. Cette découverte permet la résolution des équations du troisième et quatrième degré (voir les méthodes de Cardan et Ferrari).


title: Équation

text: Le théorème de d'Alembert-Gauss précise que tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 et à coefficients réels ou complexes, admet au moins une racine complexe. Si ce théorème assure, dans un cas très général, l'existence d'une solution, il n'en offre aucune formulation explicite, et l'intuition de ces racines complexes pour les polynômes réels n'est pas immédiate. Le deuxième théorème, dit théorème d'Abel en explique la raison : il n'existe, en général, aucune formule analogue à celles qui s'appliquent aux petits degrés, capable d'exprimer les racines. Ce résultat, œuvre de Niels Abel, est complété par Évariste Galois qui indique une condition nécessaire et suffisante pour déterminer dans quels cas les racines d'une équation polynomiale possèdent une expression de cette nature. Sa démonstration fait appel à la théorie de Galois.


title: Équation

text: Les deux théorèmes précédents closent la "théorie des équations". Cette expression fut encore en vigueur en mathématiques pendant tout le . Elle reste d'actualité en histoire des sciences. Elle est encore utilisée en mathématiques, mais elle est devenue rare et un peu désuète.


title: Équation

text: Une autre famille d'équations est traitée par l'algèbre : celle des équations linéaires. Ce sont les équations de la forme (1) "a(x)" + "b" = 0, où "a" est une application linéaire d'un espace vectoriel "E" dans un espace vectoriel "F", "b" un vecteur de "F" et "x" une variable qui décrit l'ensemble "E". Si les espaces "E" et "F" sont de dimension finie, notés "n" pour "E" et "m" pour "F", le choix d'une base de "E" et de "F", permet d'exprimer "a" sous la forme d'une matrice ("a"), "x" sous la forme d'un vecteur colonne à "n" coordonnées ("x") et "b" d'un vecteur colonne à "m" coordonnées ("b").


Équation


title: Équation

text: D'une équation (1) on passe à un système (2), de "m" équations à "n" inconnues. Cette technique, consistant à passer d'une équation vectorielle à un système de plusieurs équations réelles de plusieurs variables réelles, ne se limite pas au cas linéaire.


title: Équation

text: Sous la forme (2), plusieurs algorithmes permettent de trouver une racine. Si "n" est égal à "m" et si le déterminant de la matrice de "a" est non nul, il est possible d'utiliser la règle de Cramer. Ce n'est pas l'algorithme le plus efficace : la méthode du pivot de Gauss est plus simple et plus rapide. Elle revient à isoler les "n" variables à l'aide d'une suite de substitutions. Cette méthode est ancienne ; on en trouve un équivalent dans le chapitre 8 du livre chinois de mathématiques intitulé "Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique" et datant d'avant notre ère. Au , Qin Jiushao va plus loin et trouve comment résoudre un système linéaire avec des congruences comme coefficients, pour résoudre une question liée à un .


title: Équation

text: L'approche géométrique de l'équation linéaire offre des informations d'une autre nature. L'image d'une application linéaire "a", c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs qui admettent un antécédent par "f" forme un sous-espace vectoriel, comme l'est un plan dans un espace de dimension trois. Le noyau de "a", c'est-à-dire les vecteurs de l'ensemble de départ ayant pour image le vecteur nul, est aussi un sous-espace. Ces résultats montrent que l'ensemble des solutions forme un espace affine de direction le noyau de "a".


title: Équation

text: Le point de vue géométrique permet d'élaborer des algorithmes de résolution qui tiennent compte des spécificités de "a". Dans certains cas particuliers, il existe des techniques qui permettent de trouver une solution plus rapidement qu'avec la méthode du pivot de Gauss. Un exemple correspond au cas où "E" est un espace euclidien égal à "F" et "a" est tel que l'application qui à "x" et "y" associe 〈–"ax","y"〉 soit un produit scalaire. Ici les crochets désignent le produit scalaire initial de l'espace "E". Ceci implique que la matrice de "a" est de déterminant non nul et symétrique, si la base de "E" est choisie orthonormée.


title: Équation

text: Une méthode consiste à ne pas chercher à résoudre l'équation "ax" + "b" = 0 mais à répondre à une autre question, d'apparence plus complexe. Elle revient à trouver le point optimal de l'expression qui à "x" associe "f"("x"), défini par : formula_4


title: Équation

text: Son point optimal est la solution de l'équation linéaire. Pour comprendre la méthode de résolution, le plus simple est de représenter le cas où "F" est de dimension 2. Le graphe de "f" a alors la forme d'un pain de sucre, comme illustré sur la figure de gauche. Une méthode consiste à partir d'un point quelconque "x" et à suivre la ligne de plus grande pente, illustrée en rouge sur les figures et qui correspond à une parabole à gauche et à un segment à droite. Le sommet de cette parabole est noté "x". À partir du point "x", on suit à nouveau la ligne de plus grande pente, en vert sur les figures. Cette technique porte le nom d'algorithme du gradient.


title: Équation

text: Si, au lieu de suivre exactement le chemin de plus grande pente, on en choisit un de direction orthogonale aux directions précédentes pour le produit scalaire 〈–"ax","y"〉, la méthode converge vers la solution en un maximum de "n" étapes, si "n" désigne la dimension de "E". Elle porte le nom de méthode du gradient conjugué.


title: Équation

text: En géométrie euclidienne, il est possible d'associer à chaque point de l'espace un jeu de coordonnées, par exemple à l'aide d'un repère orthonormé. Cette méthode permet de caractériser des figures géométriques à l'aide d'équations. Un plan dans un espace de dimension 3 s'exprime comme l'ensemble des solutions d'une équation du type "ax" + "by" + "cz" + "d" = 0, où "a", "b", "c" et "d" sont des nombres réels, "x", "y", "z" les inconnues qui correspondent aux coordonnées d'un point du plan dans le repère orthonormal. Les valeurs "a", "b" et "c" sont les coordonnées d'un vecteur perpendiculaire au plan défini par l'équation. Une droite s'exprime comme l'intersection de deux plans, c'est-à-dire comme les solutions d'une équation linéaire à valeurs dans ℝ ou comme les solutions d'un système de deux équations linéaires à valeurs dans ℝ, si ℝ désigne l'ensemble des nombres réels.


title: Équation

text: Une conique est l'intersection d'un cône d'équation "x" + "y" = "z" et d'un plan. Autrement dit, dans l'espace, toute conique est définie comme les points dont les coordonnées sont solutions d'une équation du plan dans ℝ et de l'équation précédente. Ce formalisme permet de déterminer les positions et les propriétés des foyers de la conique.


title: Équation

text: Avec cette approche, on obtient des équations dont l'objectif n'est pas l'expression des solutions au sens du paragraphe précédent. Un exemple est donné par un théorème de Thalès indiquant qu'un triangle est rectangle s'il possède un côté égal à un diamètre d'un cercle et un sommet opposé élément du cercle. Ce théorème est illustré sur la figure de droite. Si le repère est bien choisi, il est orthogonal et l'équation du cercle s'écrit : "x" + "y" = 1, les points "A" et "C" de la figure de droite ont pour coordonnées respectives (-1,0) et (1,0). Dire que "AB" est perpendiculaire à "CB" revient à dire que les vecteurs associés sont orthogonaux. L'équation du cercle permet de conclure la démonstration, en effet : formula_5.


title: Équation

text: L'usage d'une équation permet de faire appel à un nouveau pan des mathématiques pour résoudre des questions de géométrie. Le repère cartésien transforme un problème de géométrie en un problème d'analyse, une fois les figures étudiées traduites en équations ; d'où le nom de géométrie analytique. Ce point de vue, mis en évidence par Descartes, enrichit et modifie la géométrie telle que la concevaient les mathématiciens de la Grèce antique.


title: Équation

text: Actuellement, la géométrie analytique désigne une branche des mathématiques où la recherche est active. Si elle utilise toujours l'équation pour caractériser une figure, elle utilise aussi des outils sophistiqués issus de l'analyse fonctionnelle ou de l'algèbre linéaire.


title: Équation

text: Il existe au moins deux méthodes pour décrire une figure géométrique à l'aide d'équations. La première consiste à la décrire par une équation de la forme "f"("x") = "0", où "f" est une fonction de l'espace euclidien "E" de dimension "n" dans ℝ où "d" est un entier plus petit que "n". Si "f" est une fonction suffisamment régulière, "n" - "d" est la "dimension" de la figure géométrique. Si elle est égale à 1, la figure est une courbe, pour 2, on parle de surface, etc. Une telle équation peut aussi s'écrire comme système de "d" équations à valeurs dans les réels exactement comme pour le cas de l'équation linéaire. Ce type d'équation est appelé "cartésien" si "x" est exprimé à l'aide de ses coordonnées dans un repère cartésien. Les équations décrites dans le paragraphe précédent sont toutes cartésiennes, comme celle du cercle d'équation "x" + "y" = 1.


title: Équation

text: Une autre méthode consiste à décrire la figure géométrique à l'aide d'une fonction "f" de ℝ dans "E" de la manière suivante, un point "m" de "E" est élément de la figure lorsqu'il existe un point "x" de l'ensemble de définition de la fonction "f" tel que "f"("x") est égal à "m". Dans ce cas, et sous réserve d'une régularité suffisante de "f" (il suffit que sa différentielle soit injective), la figure est de dimension "d". On parle d'équation paramétrique de la figure géométrique, cette définition de l'équation est relativement éloignée de celle trouvée en algèbre. Si la figure est suffisamment régulière, par exemple si elle correspond à une variété, au moins localement, il existe un paramétrage de la figure. Localement signifie que si "m" est un élément de la figure, il existe une fonction "f" et un voisinage "V" d'un point de l'ensemble de départ de "f" tel que l'image de "f" soit incluse dans la figure et tel que l'image de "V" par "f" soit un voisinage de "m" dans la figure. Localement, il est aussi possible de définir la figure à l'aide d'une équation cartésienne.


title: Équation

text: Historiquement, les premières équations formalisées sont de nature arithmétique et datent du . Si l'on recherche comme solution d'une équation, non pas un nombre quelconque, mais un nombre entier et si l'équation est à coefficients entiers, on parle d"'équation diophantienne". Les méthodes décrites précédemment sont généralement insuffisantes pour conclure, des outils issus de l'arithmétique, ou au moins de l'arithmétique élémentaire sont indispensables. Un exemple relativement simple est celui linéaire à deux inconnues "ax" + "by" = "c".


title: Équation

text: Si le degré de l'équation augmente, la question devient beaucoup plus complexe. Même une équation de degré 2 n'est en général pas simple (voir par exemple le théorème des deux carrés de Fermat ou l'équation de Pell-Fermat). À condition d'ajouter d'autres méthodes, comme celle de descente infinie et de nouveaux résultats comme le petit théorème de Fermat, il est possible de résoudre quelques cas particuliers. Le cas général de l'équation de degré 2 demande l'usage d'outils plus sophistiqués, comme ceux de la théorie algébrique des nombres. Les ensembles de nombres sont enrichis, on utilise les corps finis et les entiers algébriques, qui s'étudient, comme pour l'équation algébrique, à l'aide de la théorie de Galois. Si l'équation algébrique de degré 2 est essentiellement résolue par Al-Khwârizmi, un mathématicien arabe du , il faut attendre la fin du pour que David Hilbert vienne à bout de son équivalent diophantien. L'étude de l'équation diophantienne est souvent suffisamment complexe pour se limiter à établir l'existence de solutions et, s'il en existe, à déterminer leur nombre.


title: Équation

text: Un vaste domaine d'application des équations diophantiennes est l'informatique. Les outils issus de leurs études permettent de concevoir des codes correcteurs et sont à la base d'algorithmes en cryptologie. Il existe des équations diophantiennes qui s'écrivent simplement, mais qui demandent des temps de traitement prohibitifs pour les résoudre, elles sont à la base de codes secrets. Par exemple, l'équation "n" = "xy", où "n" est un entier naturel fixé et où "x" et "y" sont les inconnues, n'est pas résoluble en pratique, si "n" est le produit de deux nombres premiers suffisamment grands. Cette équation est à la base du chiffrement RSA.


title: Équation

text: Au lieu de se demander quels nombres sont solutions d'une équation donnée, on peut considérer le problème inverse : de quelles équations un nombre donné est-il solution ? Un nombre est dit rationnel s'il est solution d'une équation du premier degré à coefficients entiers. Il est dit algébrique s'il est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers. S'il n'est pas algébrique, il est dit transcendant. Ainsi, pour un nombre donné, l'objectif est de trouver les éventuelles équations polynomiales dont ce nombre est racine (voir « Polynôme minimal (théorie des corps) »).


title: Équation

text: Par exemple pour , la question se pose de savoir s'il est possible de construire une équation du premier degré ayant cette valeur pour racine. Elle se résout simplement : si une telle équation existe, on en déduit l'expression 2"a" = "b", où "a" et "b" sont des nombres entiers. L'analyse de la décomposition en facteurs premiers montre que le terme de droite contient le facteur 2 un nombre pair de fois et celui de gauche un nombre impair. Cette remarque démontre que n'est pas un nombre rationnel. En revanche, il est par définition algébrique, car solution de l'équation "X" – 2 = 0.


title: Équation

text: La même question pour le nombre est plus délicate. Pour montrer que ce nombre n'est solution d'aucune équation du premier degré à coefficients dans les nombres entiers, on utilise des fractions continues généralisées (une démonstration est proposée dans l'article « Fraction continue et approximation diophantienne »). Les techniques sont plus sophistiquées que celles utilisées pour démontrer l'irrationalité de . Alors que ce premier résultat est déjà connu à l'époque d'Euclide, il faut attendre le pour établir celle de .


title: Équation

text: Si montrer que n'est pas solution d'une équation du premier degré à coefficients dans les entiers n'est déjà pas si simple, il est encore plus ardu de montrer qu'il n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Il faut encore plus d'un siècle d'efforts pour établir cette transcendance. Elle clôt une vieille question, à savoir s'il est possible de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un cercle, cette question porte le nom de quadrature du cercle. Elle est impossible car toute construction de cette nature définit une surface d'aire égale à un nombre algébrique.


title: Équation

text: Résoudre une équation diophantienne polynomiale n'est pas toujours possible avec les seuls outils de la théorie algébrique des nombres. Avec ce type de méthode, Ernst Kummer parvient à résoudre, au milieu du , presque tous les cas inférieurs à 100 de la célèbre équation dénommée dernier théorème de Fermat, mais le cas général reste hors de portée.


title: Équation

text: La géométrie, et plus précisément la géométrie algébrique, a été nécessaire pour conclure. L'équation du dernier théorème de Fermat s'écrit de la manière suivante : "x" + "y" = "z". Quitte à étudier les solutions dans les nombres rationnels, on peut diviser par "z" et écrire l'équation "q" + "r" = 1. Si "q" et "r" sont choisis dans l'ensemble des nombres complexes, noté ici ℂ, géométriquement, cette équation correspond à une figure de ℂ, ou encore à une surface réelle dans un espace de dimension 4. Vue dans l'espace projectif de ℂ, on obtient une surface réelle, plongée dans un espace compact dont la visualisation n'est pas intuitive. Il suffit de connaître les points rationnels de cette surface pour permettre de conclure sur les solutions du théorème de Fermat.


title: Équation

text: La topologie offre des éléments de réponse pour cette équation. Une surface de cette nature possède un genre. Topologiquement, elle est équivalente à une sphère (genre 0), à un tore (genre 1) ou à une figure comportant "n" trous (genre "n"). Dans le cas d'une variété algébrique, définie par une équation du type "P"("X", "Y") = 0, où "P" est un polynôme à coefficients rationnels, le genre de la variété est une indication sur le nombre de solutions. Ce résultat, qui porte le nom de théorème de Faltings, est de la même famille d'outils que ceux utilisés pour la démonstration du théorème de Fermat.


title: Équation

text: En analyse plus encore, il sera bien souvent vain d'espérer traiter une équation par des techniques élémentaires de substitution ou transformation, en espérant isoler la variable. Et même quand cela s'avère possible, comme pour certaines équations algébriques, si l'objectif est l'obtention d'une valeur numérique, l'approche décrite dans ce paragraphe est souvent moins coûteuse. On peut toujours ramener l'équation à une forme "f"("x") = 0. Considérons par exemple l'équation suivante, l'inconnue étant un réel strictement positif : formula_6


title: Équation

text: Elle se réécrit "f"("x") = 0 si l'on pose "f"("x") = (sin"x") + (ln"x")/2. Un "zéro" est une solution de l'équation dans ce cas particulier. Il serait vain de chercher à exprimer un "zéro" par une formule composant des fonctions élémentaires (fractions rationnelles, fonctions exponentielles, logarithmiques ou trigonométriques...). Une telle expression n'existe pas ici. On se contentera de chercher le nombre de zéros, des intervalles les contenant, ainsi que des approximations de ces zéros.


title: Équation

text: Dans l'exemple, l'étude de la fonction "f" montre facilement qu'il y a exactement trois zéros, un dans l'intervalle ]0, 1], un dans [3, 4] et le dernier dans [5, 6]. La continuité de "f" permet de construire une première suite ("x") convergeant vers le zéro de l'intervalle ]0, 1]. Au voisinage de 0, la fonction est strictement négative, au point 1, elle est strictement positive, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'un zéro dans cet intervalle, car "f" est continue. On pose "x" = 0, au point 1/2, la fonction "f" est strictement positive, on en déduit l'existence d'un zéro dans l'intervalle [0, 1/2] et on pose "x" = 0. Au point 1/4, elle est strictement négative, on en déduit l'existence d'un zéro dans [1/4, 2/4] et on pose "x" = 1/4 et ainsi de suite. On construit ainsi une suite convergeant vers la solution, ce qui permet d'obtenir une approximation aussi précise que souhaitée. Cette méthode porte le nom de dichotomie et est la première illustrée dans la figure du paragraphe.


title: Équation

text: Seule la continuité de "f" a été utilisée dans l'algorithme précédent, un théorème du point fixe est à la base d'une méthode plus efficace. On construit une fonction "g" (en rouge sur la figure du milieu) ayant pour point fixe (c'est-à-dire un point "x" tel que "g"("x") = "x") la solution recherchée. On choisit "g" de telle manière que la dérivée au point fixe soit la plus petite possible. Une solution simple est de définir "g"("x") = "x" + λ"f"("x"). Dans l'exemple, on peut choisir λ égal à –1/2. Cette fois-ci, il est plus judicieux de choisir "x" égal à 1. On définit "x" = "g"("x"). Si la dérivée de "g" est proche de 0, la convergence est bien meilleure que celle de l'algorithme précédent. Dans l'exemple choisi, la solution est égale à 0,43247... La quatrième itération de la première méthode donne pour valeur 0,375 alors que celle issue du point fixe donne 0,4322...


title: Équation

text: La dérivabilité de "f" partout sur son domaine permet la mise au point d'un algorithme ayant une convergence encore meilleure. La méthode consiste, à partir d'un point "x", égal à 1 dans l'exemple, à trouver la solution "x" de l'équation linéaire tangente de la fonction "f" au point "x". Puis on construit "x" comme la solution de l'équation linéaire tangente de la fonction "f" au point "x". Dans l'exemple étudié, illustré sur la figure de droite, la valeur de "x" est égale à 0,43246 soit quatre décimales exactes. Cette méthode porte le nom de Newton.


title: Équation

text: Si l'équation prend la forme "f"("x") = 0 où "f" est une fonction d'un espace vectoriel "E" à valeurs dans un espace vectoriel "F" dont le vecteur nul est noté 0, les idées de l'algèbre linéaire peuvent encore s'appliquer partiellement. Il est possible de choisir une base de "E" et de "F" et d'exprimer "f" à l'aide de "m" fonctions "f" réelles de "n" variables "x", où "m" est la dimension de "F" et "n" celle de "E", on obtient ce que l'on appelle un système d'équations, de la forme suivante : formula_7 Les mêmes limitations que celles décrites au paragraphe précédent s'appliquent. Il est tout à fait possible que la technique d'isolation des variables, qui fonctionne dans le cas de l'équation linéaire, ne soit pas possible, par exemple si les "f" contiennent des expressions trop complexes. Certaines des idées, exprimées dans le cas où "f" est une fonction de la variable réelle à valeurs réelles, peuvent s'adapter à la géométrie d'un espace vectoriel de dimension finie, d'autres non. Il n'existe pas d'équivalent du théorème des valeurs intermédiaires pour la nouvelle configuration. En revanche, le théorème du point fixe se généralise, ainsi que la définition d'une dérivée.


title: Équation

text: La dérivée, ou plutôt la différentielle de "f" peut être utilisée de plusieurs manières. La première est une simple adaptation de la méthode de Newton, à partir d'un point "x", on résout l'équation linéaire tangente en ce point, c'est-à-dire D"f"."h" + "f"("x") = 0. La valeur "x" est égale à "x" + "h" et l'on réitère le processus pour obtenir une suite. Si "E" est égal à "F" et pour permettre une convergence plus rapide, on résout souvent une équation linéaire analogue, mais dont l'application linéaire associée définit un produit scalaire. Cette astuce permet une accélération du temps de traitement de la résolution des équations linéaires intermédiaires, la méthode associée porte le nom de quasi-Newton.


title: Équation

text: Une autre méthode consiste à transformer l'ensemble d'arrivée en R, par exemple en équipant "F" d'un produit scalaire et en recherchant les "zéros" de la fonction "g" à valeurs réelles, qui à "x" associe le carré de la norme de "f"("x") ou encore le produit scalaire de "f"("x") avec "x", si "E" est égal à "F". Les deux équations "f"("x") = 0 et "f"("x") = 0 possèdent les mêmes solutions. Le problème revient à trouver un extremum de la nouvelle fonction "g". On part d'un point "x" dans la direction de la ligne de plus grande pente, dont la direction est donnée par le gradient et on s'arrête au point "x", le minimum de la fonction "g" dans la direction du gradient. Puis on réitère le calcul.


title: Équation

text: Si l'espace vectoriel "E" est plus vaste et n'est plus de dimension finie, d'autres idées doivent être utilisées pour venir à bout de l'équation. Cette configuration se produit si l'inconnue "x" désigne une fonction. Une fois encore, il est vain de rechercher des méthodes systématiques exprimant les solutions sous la forme d'une composition de fonctions élémentaires, les cas où une telle expression existe tiennent plus de l'exception que de la règle.


title: Équation

text: Une méthode générale consiste associer à un espace de fonctions "H", comme celui des fonctions continues définies sur un intervalle ["a", "b"], une géométrie. Pour ce faire, on peut définir sur l'espace une distance euclidienne, c'est-à-dire définie par un produit scalaire comme celui qui, à deux fonctions "f" et "g" de "H" associe : formula_8


title: Équation

text: À l'aide de cette distance, on construit une suite ("x") de fonctions qui vérifie la propriété de Cauchy, c'est-à-dire que si les indices "n" et "m" sont suffisamment grands "x" et "x" sont arbitrairement proches. Un exemple est donnée par l'équation intégrale, dite de Fredholm : formula_9


title: Équation

text: La suite ("x") est construite de telle manière que la distance entre les fonctions "F"("t") et "g"("t") tende vers zéro. La difficulté est qu'une suite de Cauchy ne converge pas nécessairement dans "H", ce qui revient à dire que cet espace n'est pas complet. Il est alors "plongé" dans un espace "H" qui le contient et qui lui, est complet. Un élément de "H" n'est plus une fonction, il peut être vu comme un élément du dual de "H". Dans "H", la suite ("x") converge vers une limite "s". Elle peut être interprétée comme une solution de l'équation (1) car la distance entre "F"("s") et "g" est nulle. Mais "s" n'est pas une fonction, c'est un être abstrait, élément du dual de "H", on parle de "solution faible". On montre enfin que cet être abstrait s'identifie à un élément de "H", c'est-à-dire une à fonction qui vérifie l'équation (1), appelée "solution forte"


title: Équation

text: La physique est à l'origine d'équations fonctionnelles particulières : les systèmes dynamiques. Un exemple historiquement célèbre, est issu de la loi universelle de la gravitation. Si l'on néglige l'attraction due aux autres planètes, l'accélération de la Terre est dirigée vers le soleil et son intensité est inversement proportionnelle au carré de la distance qui sépare les deux astres. Cette loi physique se traduit par une équation qui, une fois connues la position et la vitesse initiales de la Terre, donne sa trajectoire, c'est-à-dire sa position en fonction du temps. Historiquement, la capacité à prévoir la position exacte des comètes au fut une confirmation de la théorie de Newton.


title: Équation

text: Un système qui évolue et dont une équation permet de connaître exactement son état au cours du temps, à la condition de connaître son état initial, est qualifié de "dynamique". On peut les classer en trois grandes catégories. La formulation la plus simple est dite discrète, l'état du système est décrit à différentes étapes, notées par les entiers 0, 1, 2 ...,  "k", ... et la solution est une suite ("u"). Ce type de système est utilisé pour simuler un comportement continu, en "discrétisant" le temps à l'aide d'intervalles suffisamment petits pour que l'imprécision engendrées par cette méthode reste dans des limites acceptables. Connaître la trajectoire exacte d'une comète suppose la prise en compte de l'attraction de tous les corps célestes du système solaire. Résoudre l'équation dans ce cas devient difficile, on peut alors supposer qu'en une seconde, la gravité est "presque constante", la trajectoire de la comète est "presque" parabolique et sa position au bout d'une seconde se calcule aisément, une fois connue la position des différents corps célestes massifs comme les planètes ou le soleil. Ensuite, il suffit de recalculer, à chaque seconde, la nouvelle attraction pour obtenir une suite donnant une approximation de la trajectoire réelle. Si ("p", "v") désigne le couple position et vitesse de la comète à la seconde "k", il existe deux fonctions "f" et "g" régissant l'équation : formula_10


title: Équation

text: On obtient des suites définies par récurrence, caractéristique d'un système dynamique discret.


title: Équation

text: Il est aussi possible de s'y prendre autrement. Une relation lie la position de la comète avec sa vitesse instantanée (que l'on appelle dérivée en mathématiques) et son accélération (ou dérivée seconde). Résoudre l'équation permet de trouver la trajectoire de notre planète. L'équation prend une forme de la nature suivante, appelée équation différentielle : formula_11


title: Équation

text: Enfin, l'objectif peut être de déterminer l'état d'un objet qui ne se traduit non pas par un vecteur d'un espace de dimension finie, mais par une fonction, comme l'état d'une corde vibrante. On parle d'équation aux dérivées partielles.


title: Équation

text: La lettre "x" désigne ici une fonction de la variable réelle et "f" une fonction de "n" + 1 variables réelles. Soit "F" la fonction qui à "x" associe la fonction "t" ↦ "f"("t", "x"("t"), "x"'("t"), "x"("t")..., "x"("t")), où "x" la dérivée "k" de la fonction "x". On considère l'équation "F"("x") = 0. Une telle équation est appelée équation différentielle.


title: Équation

text: Les solutions sont, en général, étudiées sous la , c'est-à-dire associées à des valeurs "t" ,ξ ,ξ... ,ξ telles qu'une solution vérifie : formula_12


title: Équation

text: La situation est un peu analogue à celle des équations polynomiales. Il existe une théorie des équations différentielles. Un premier résultat global est le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui garantit que si "f" est une fonction lipschitzienne, il existe une unique solution au problème de Cauchy. Résoudre le problème de Cauchy consiste à déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale donnée. Dans certains cas particuliers, il est possible d'expliciter directement une solution, comme pour l'équation différentielle d'ordre un à variables séparées ou l'équation différentielle linéaire, mais pas toujours.


title: Équation

text: L'exemple de droite illustre une solution d'une équation de la forme "x = φ("x"), où la solution recherchée est une fonction définissant une courbe du plan. Sa variable est réelle et elle est à valeurs dans R. La fonction φ est une fonction continue de R"' dans lui-même. À chaque point du plan, elle associe un vecteur ; on dit qu'elle définit un champ vectoriel. Une solution "s" possède la propriété d'avoir, pour chaque point "p" de son image, une tangente à sa courbe de direction φ("p"). La vitesse scalaire à l'instant "t" est égale à la norme de l'image par φ du point "s"("t").


title: Équation

text: La physique propose divers exemples où la solution recherchée ne dépend pas d'une mais de plusieurs variables. Un cas relativement simple est celui d'une onde sur une corde vibrante. La fonction décrivant sa position dépend de deux paramètres, le temps et une coordonnée pour décrire un point de la corde. Trois variables sont nécessaires pour décrire une vague, deux décrivent la position d'un point de la surface et la troisième le temps. En physique quantique, la relation fondamentale de la dynamique se traduit par une équation d'onde qui nécessite quatre variables, trois pour l'espace et une pour le temps. Ce principe fondamental est appelée équation de Schrödinger.


title: Équation

text: L'équation équivalente à celle du paragraphe précédent, pour une fonction "x" de plusieurs variables, porte le nom d'équation aux dérivées partielles. L'équivalent du problème de Cauchy s'exprime de manière plus complexe. la condition initiale est remplacée par les "conditions aux limites". Dans certains cas on recherche comme solution une fonction définie sur Ωx["a", "b"] où Ω est un ouvert que l'on suppose borné, connexe et dont la frontière ∂Ω est régulière, ["a", "b"] est un intervalle qui représente le temps. Les conditions aux limites s'expriment sous forme de deux contraintes. L'une correspond à la valeur ou la limite de la fonction sur ∂Ω×]"a", "b"[. La fonction modélisant les mouvements d'une membrane de tambour est constante à la limite de la membrane, cette contrainte est appelée la condition aux limites de Dirichlet. Les valeurs de la fonction sur Ωx{"a"} sont appelées la condition initiale ou donnée de Cauchy.


title: Équation

text: En météorologie, la prévision numérique du temps consiste à modéliser les mouvements de l'atmosphère terrestre par les équations de Navier-Stokes. Une difficulté pratique est de déterminer précisément la donnée de Cauchy : il faudrait mesurer la température, la pression, le taux d'humidité etc en tout point de l'atmosphère. Cette difficulté, ajoutée au fait qu'on ne sait pas résoudre ces équations de manière analytique font que les méthodes de résolution utilisées sont numériques : on ne peut calculer que des valeurs approchées.


title: Équation

text: Certaines équations aux dérivées partielles ne sont pas aussi complexes. Fourier, un mathématicien du début du avait trouvé comment la chaleur se diffuse dans un corps solide dans le cas de conditions aux limites simples. La spécificité de cette équation, comme celle décrivant les ondes se propageant sur une corde vibrante est d'être linéaire, c'est-à-dire que l'on peut la mettre sous la forme "a(x)" + "b" = 0, où "a" est un opérateur linéaire construit à l'aide de dérivées partielles et "b" une fonction particulière. Le cas linéaire est traité par une théorie . L'outil principal est un espace fonctionnel particulier, dit de Sobolev.


title: Équation

text: D'autres équations restent difficiles d'accès. La surface d'un océan est aussi modélisée par une équation aux dérivées partielles. Comme le laisse penser la forme d'une vague, l'expression d'une solution peut s'avérer difficile. On est loin de disposer d'une théorie générale, les deux paragraphes suivant indiquent le type de difficulté à résoudre pour comprendre les systèmes dynamiques.


title: Équation

text: Une des questions qui se pose sur les systèmes dynamiques est la nature de la solution en fonction de sa valeur initiale. Si une petite modification de cette valeur change de manière importante le comportement de la solution, même si le système est "déterministe", son évolution semblera "aléatoire". Si "déterministe" signifie que toute évolution du système dépend uniquement de sa valeur initiale, sa connaissance parfaite permet de prévoir parfaitement son futur, ce qui est toujours le cas d'un système dynamique idéalisé. En physique, il est impossible de connaître parfaitement l'état initial du système. On le connaît, par exemple avec une précision de 5 décimales, si la sixième décimale finit par modifier l'évolution du système de manière significative, le futur de l'évolution n'est pas connu (il est même indéterminable), mais dépend d'une information "inaccessible" parce qu'idéalisée. Le futur apparaît alors comme incertain, même si les lois modélisant l'évolution sont "déterministes". On voit donc ici les limites de la modélisation. Ce phénomène se produit en météorologie, cette science est modélisée par un système dynamique qui, pour permettre une prévision sur le long terme, demande une connaissance précise de l'état initial. Comme cette connaissance est d'une précision limitée, il existe un "horizon" (ou plutôt des horizons plus ou moins divergents) dans la prévision. Si l'équation modélisant la météorologie est bien connue, on ne sait toujours pas si les solutions dépendent continûment de valeurs aux bornes du domaine de la solution (l'équivalent de la condition initiale pour une équation aux dérivées partielles), cette question est associée à l'un des sept prix de un million de dollars offerts par l'Institut de mathématiques Clay au premier qui apportera la réponse.


title: Équation

text: Une méthode pour apporter des éléments de réponse, est d'étudier les cas les plus simples possibles. On cherche à comprendre ce phénomène sur une suite récurrente définie par l'équation : "x" = "f"("x") où "f" est un polynôme du second degré, réel ou complexe. Un cas très étudié est celui où "f"("x") = "x" + "c". La condition initiale est ici la valeur de "x", un nombre complexe. "J" est l'ensemble des conditions initiales telles que la suite est bornée, il est appelé ensemble de Julia, dont un exemple est illustré sur la figure de gauche. Toute condition initiale "p" hors de la frontière de "J" possède un voisinage ne contenant que des conditions initiales dont le comportement des suites sont qualitativement analogues. Les couleurs indiquent les valeurs de convergence, l'intensité symbolise la vitesse de convergence.


title: Équation

text: Une première question qui se pose est le "poids" de la zone frontière. Sur cette zone, il existe toujours une perturbation de la condition initiale, aussi minime soit-elle, qui modifie la nature de la solution. Dans les configurations "classiques", une frontière d'une figure géométrique de dimension 2 est d'aire nulle, même si la figure possède une aire strictement positive. Ainsi, un disque de rayon strictement positif est d'aire strictement positive et sa frontière, un cercle de même rayon, est d'aire nulle. En revanche, le cercle, considéré comme une courbe, possède une longueur finie. Pour la frontière de l'ensemble de Julia, cette méthode s'avère parfois inopérante, on peut trouver une longueur infinie, si la frontière est considérée comme une courbe. Pour évaluer le "poids" de cette longueur, on utilise une remarque géométrique. Soit "S" une surface d'aire "s", l'homothétie de rapport 2 appliquée à "S", définit une nouvelle surface d'aire 2"s". Si "V" est une figure géométrique de dimension 3 et de volume "v", l'homothétie de rapport 2 définit une figure de volume 2"v". L'exposant que l'on applique au rapport de l'homothétie indique la dimension de la figure, ce qui, d'une certaine manière permet une évaluation du "poids" de la figure, on parle de dimension de Hausdorff ou de "dimension fractale". Cette technique peut être appliquée à la frontière de l'ensemble de Julia, sa dimension est "génériquement" différente de un : la frontière est dite fractale.


title: Équation

text: La sensibilité à la condition initiale n'est pas l'unique question à résoudre pour élaborer une théorie générale des systèmes dynamiques. On souhaite aussi connaître le comportement limite du système, encore appelé comportement "asymptotique", c'est-à-dire ce qu'il se passe une fois que l'on a "attendu que le système se stabilise". S'il ne diverge pas, on peut classer son comportement en trois catégories, soit le système s'immobilise, soit il tend vers un cycle, soit vers encore autre chose qui, selon certaines définitions, est appelée "chaos".


title: Équation

text: Une fois encore, il est utile de considérer le système dynamique le plus simple possible, pour comprendre au moins qualitativement les mécanismes en jeu. Comme précédemment, on utilise une suite récurrente définie par un polynôme du second degré "P", cette fois-ci réel à valeurs réelles. La suite logistique est définie par récurrence : "x" = "r x"(1 – "x"). L'un des charmes de cette suite est que son comportement est relativement indépendant de la condition initiale si elle est choisie entre 0 et 1. L'objectif est d'augmenter la valeur de "r", initialement nulle et d'étudier ce comportement asymptotique. Si une fonction "f" possède un point fixe "p", de dérivée strictement comprise entre –1 et 1, en valeur absolue, et si la suite définie par "x" = "f"("x") prend une valeur "proche" de ce point fixe, elle converge vers "p". Ce point est dit "attracteur" et la zone des valeurs initiales dont les suites convergent vers ce point est appelée bassin d'attraction. Pour une suite logistique le bassin d'attraction principal contient toujours ]0, 1[, à un ensemble négligeable près, quelle que soit la valeur de l'attracteur. La suite semble être "attirée", comme par un aimant vers cet attracteur. Si "r" est compris entre 0 et 3, l'attracteur est un point et la suite converge. À partir de la valeur 3, le polynôme "P" ne possède plus de point fixe, mais le polynôme composé avec lui-même, en possède un, si "r" est suffisamment petit. Le comportement asymptotique de la suite est une oscillation entre les deux points fixes attractifs de "P". La valeur 3 de "r" est appelée une "bifurcation". L'attracteur devient un ensemble à deux éléments, illustré sur la figure de droite. Au point 1 + , une nouvelle bifurcation se produit, l'attracteur possède alors 4 points. Le cardinal de l'attracteur augmente de plus en plus en fonction de "r" par des doublements, jusqu'à atteindre une valeur infinie pour "r" égale à μ, qui se situe aux alentours de 3,57.


title: Équation

text: Il devient nécessaire de préciser ce qu'on entend par « attracteur » : ce sera l'intersection des ensembles "A" où "A" est l'adhérence des points "x" pour "k" supérieur à "n". Dans le cas de la suite logistique et à l'exception d'un ensemble de mesure nulle, l'attracteur est indépendant de la condition initiale. On peut voir l'attracteur "A" comme un ensemble qui "attire" les éléments de la suite, laquelle, à partir d'un certain rang, devient arbitrairement proche de "A". Entre μ et 4, un triple comportement est possible. Pour un ensemble "H" (pour hyperbolique) de valeurs du paramètre "r" qui est un ouvert dense de [μ, 4], l'attracteur est un ensemble fini (comportement cyclique). Pour un autre ensemble "C" (pour chaotique) de valeurs du paramètre, qui est lui fermé, totalement discontinu et de mesure strictement positive, pour presque toutes valeurs initiales "x" (dépendant de "r") l'attracteur est un intervalle d'intérieur non vide et le comportement est chaotique, c'est-à-dire qu'il évolue sans ordre apparent, à l'exception d'un ensemble de mesure nulle, semblant évoluer au gré du hasard, même si cette évolution est en fait déterministe. Le dernier comportement se produit sur l'ensemble "A", complémentaire de l'union de "C" et de "H" dans [μ, 4]. L'ensemble "A" n'est pas vide, le comportement est alors plus complexe et fait intervenir, comme attracteur, des ensembles de Cantor. Depuis 2002, on sait que "A" est de mesure nulle.


title: Équation

text: Ce comportement s'applique aussi aux équations différentielles ou aux dérivées partielles. Edward Lorenz a trouvé une équation différentielle relativement simple, ayant un attracteur fractal, généralement qualifié d'étrange, il est représenté sur la deuxième illustration de cet article. Certaines équations différentielles ne peuvent avoir de solutions si complexes, le théorème de Poincaré-Bendixson montre une famille d'équations n'ayant pas de comportement chaotique. Des solutions chaotiques complexes apparaissent aussi dans les équations aux dérivées partielles, on les trouve dans les modélisations des mouvements des masses d'air, par exemple autour des ailes d'avion, elles prennent la forme de turbulences. En 2009, l'état des mathématiques est loin d'être capable de présenter une condition nécessaire et suffisante générale, indiquant si oui ou non un comportement chaotique apparaît, même dans le cas des systèmes discrets.


title: Les Trois Soleils de Vinéa

text: Les Trois Soleils de Vinéa est la sixième histoire de la série "Yoko Tsuno" de Roger Leloup. Elle est publiée pour la première fois du au du journal "Spirou", puis en album en 1976.


title: Les Trois Soleils de Vinéa

text: Retrouvant Khâny, Yoko, Vic Vidéo et Pol l'accompagnent près de Saturne, où elle leur propose de participer à un projet vinéen : rejoindre la planète Vinéa, la lointaine sœur jumelle de la Terre, et voir si elle a survécu et est habitable. Yoko réussira et Khany retrouvera sa mère, Synda.


title: Les Trois Soleils de Vinéa

text: Le vaisseau utilisé pour rejoindre Vinéa en seulement deux mois dépasse la vitesse de la lumière, la justification théorique de la technique du voyage interstellaire étant que le milieu où il évolue est privé de lumière.Il a été prépublié dans les numéros 1932 à 1953 du journal "Spirou", entre le et le .


title: Les Trois Soleils de Vinéa

text: Cette histoire est publiée en album pour la première fois en 1976 chez Dupuis et connaitra diverses rééditions par la suite. En 2009, elle est intégrée au premier volume de l'Intégrale Yoko Tsuno, "De la Terre à Vinéa".


title: Les Trois Soleils de Vinéa

text: Cet album est le troisième de la série à mettre en scène les Vinéens après "Le Trio de l'étrange" (1972) et "La Forge de Vulcain" (1973). Il est également le premier à montrer véritablement Vinéa, leur monde d'origine.


title: La Frontière de la vie

text: La Frontière de la vie est la septième histoire de la série "Yoko Tsuno" de Roger Leloup. Elle est publiée pour la première fois du au du journal "Spirou", puis en album en 1977.


title: La Frontière de la vie

text: Yoko Tsuno, Vic et Pol viennent rendre visite à Ingrid, malade, à Rothenburg. Mais le cousin d'Ingrid affirme à Yoko que la maladie d'Ingrid est due à la morsure d'un vampire... Yoko découvrira que derrière cette maladie se cache un drame humain.Depuis longtemps, Roger Leloup est attiré par l'Allemagne, en particulier par la ville de Rothenburg, qu'il avait découvert au fil de ses lectures et qu'il voulait utiliser comme décor pour une de ses histoires. Il décida alors de reprendre l'idée d'une histoire centrée sur un alchimiste, qu'il avait déjà prévu pour "L'Orgue du diable", mais qu'il avait alors abandonné au fil de ses inspirations. Parti en repérage dans cette ville allemande, un hasard l'amena à abandonner de nouveau cette idée d'histoire d'alchimiste. Fouinant dans une vieille librairie afin de compléter sa documentation historique, en particulier sur les souterrains de la ville qui devaient jouer un rôle important dans son intrigue, il eut un déclic.


title: La Frontière de la vie

text: Il tomba sur un étrange fascicule enveloppé dans du papier journal, rédigé en caractères gothiques, datant de la fin de la guerre et s'intitulant "Rothenburg im Sturm" ("Rothenburg dans la tourmente"). Constitué surtout d'aquarelles en noir et blanc, il narrait une terrible histoire, celle du bombardement inutile de la ville par les Alliés, le . Le seul intérêt de cette attaque était de semer la panique et de hâter la capitulation de l'Allemagne ; mais elle eut pour triste effet de brûler le tiers de la ville au phosphore. La moitié de l'ouvrage contenait deux interminables listes de noms : « "ceux que nous pleurons" » et « "ceux que nous attendons" ». Elles étaient complétées des noms des victimes du bombardement et deux d'entre elles ont frappé le bédéiste. C'était un petit garçon, encore bébé et une fillette de cinq ans nommée Anne-Marie, faisant partie de la même famille.


title: La Frontière de la vie

text: Au moment de lire ce document, Leloup se trouvait à côté d'Annick, sa petite fille adoptive. Il la regarda alors et se dit : « Pourquoi faut-il que la dernière image qu'il me reste de Rothenburg soit celle d'une petite fille morte ? » Ce fait l'obséda pendant tout le voyage de retour et il en parla à sa femme. Sa fille, qui les écoutait, lui demanda : « Pourquoi elle est morte, la petite fille de Rothenburg ? » Il lui répondit classiquement qu'elle était au ciel ; mais cette réponse ne satisfît personne, ni elle, ni lui. Aussi, il était profondément ému par la mort de cet enfant, comme s'il s'était agit de sa propre fille. De retour chez lui, Annick réitéra sa question et, ayant envie de ressusciter cette petite fille, il lui répondit : « Elle n'est pas morte ; je vais te raconter son histoire. » Et c'est ainsi qu'il mit de nouveau au placard son histoire d'alchimiste et qu'il imagina l'intrigue de cet épisode, centrée sur une fillette maintenue en biostase.


title: La Frontière de la vie

text: Peu après la sortie de l'album, afin de préparer une éventuelle émission à la télévision française, il retourna à Rothenburg. L'attachée de presse des Éditions Dupuis l'accompagnait quand, brusquement, elle lui signala « Ne te retourne pas trop vite, tu vas attraper un coup au cœur ! ». C'est alors qu'il aperçut à quelque mètres de lui... la parfaite réplique de Magda Shulz (la jeune fille de son histoire ramenée à la vie), promenant une poussette et savourant une glace, quasiment au même endroit que lors de la conclusion de l'épisode. Il fut un peu pris au piège, lui qui en conclusion s'adressait au lecteur en ces termes : « Et si un jour, passant par Rothenburg, vous croisez au détour d'une rue une petite fille qui vous rappelle Magda, ne l'abordez pas ! Vous qui savez, contentez-vous de rêver ! »


title: La Frontière de la vie

text: Il en profita pour rechercher la trace de la fillette qui inspira son histoire. Si elle avait survécu, elle aurait eu à peu près le même âge que lui, étant né six ans après lui. Il ne trouva d'elle qu'une simple plaque sur laquelle était gravé son nom, dans une petite chapelle commémorative des jardins du bourg. Quant à sa maison, elle fut détruite et sa famille a émigré, sans avoir plus d'information à ce sujet. La ville, rebâtie à l'ancienne à la suite du drame, a perdu une grande part de sa population d'origine et a été repeuplée par des Sudètes et des personnes déplacées par les remous de l'après-guerre. C'est ainsi que rares sont les habitants qui y vivaient déjà avant la guerre. Mais le musée communal permet de se souvenir de cette tragique page de l'Histoire, exposant entre autres des reproductions des planches de la BD à titre de curiosité. À travers son histoire, Leloup offrit un petit bout d'immortalité à cette petite fille, qui vit pour toujours... en tous cas à ses yeux et ceux de ses lecteurs.


title: La Frontière de la vie

text: Cette histoire est le plus gros succès de la série. Elle a permis à son auteur de gagner son public féminin, à qui elle était avant tout adressé. Une de ses lectrices lui a même écrit qu'à la suite de sa lecture, elle avait choisi de devenir hématologue. L'auteur ne pouvait espérer plus beau remerciement.


title: La Frontière de la vie

text: Rothenburg est une ville dont l'apparence médiévale fut sauvée par les caprices de l'Histoire. Située sur un promontoire escarpé de la vallée de la Tauber, elle s'est au départ beaucoup enrichie car se trouvant au centre des marchés locaux. Sauf qu'au cours de la Guerre de Trente Ans, elle se convertît au protestantisme et perdit alors son statut de Ville libre d'Empire, étant réduite au rang de marché régional. Son développement stagna jusqu'au , étant trop appauvrie pour s'étendre au-delà de ses murailles et adapter les maisons aux évolutions historiques. Par retournement de situation, c'est justement cette pauvreté qui est à l'origine de sa richesse actuelle, son patrimoine médiéval étant préservé intact jusqu'à aujourd'hui. La ville servit même de décors à des films comme "Hans, le joueur de flûte".


title: La Frontière de la vie

text: Leloup réalisa des centaines de photos de la ville, en particulier plusieurs prises en hauteur, afin de pouvoir par montage constituer un panorama urbain. Il s'est également basé sur une vue d'avion de Rothenburg pour réaliser la maquette de la ville visible chez le docteur Shulz. La scène où le lecteur la découvre joue sur les contrastes, entre la cité représentée en miniature et les personnages qui sont comme des géants. Cette maquette de Rothenburg n'existait pas lors de la création de l'épisode. Néanmoins, quelques années plus tard, l'Hôtel de Ville en plaça une dans ses locaux. Et des touristes l'admirent fréquemment, accompagnés par un album de cette aventure.


title: La Frontière de la vie

text: Le bédéiste bâtit cette histoire comme un concerto, se rappelant une musique du compositeur autrichien Franz Schubert qu'il apprécie beaucoup, "Der Tod und das Mädchen" (en français "La Jeune Fille et la Mort"). Dans ce lied (poème germanique chanté), la Mort vient rendre visite à une jeune fille. Cette dernière, effrayée de prime abord, devient plus mûre et s'affirme dans le second mouvement et, en définitive, la Mort s'avoue vaincue et la laisse en paix dans le troisième mouvement.


title: La Frontière de la vie

text: Dans la BD, Yoko, symbole de vie, découvre un personnage néfaste, une femme vampire représentant la mort. Ce sont deux instruments jouant en contraste. Au cours de la progression, la mort-vampire devient humaine et Yoko va vers la mort. Tandis qu'au troisième et dernier mouvement, les deux femmes se rejoignent enfin dans la vie. Mais cette interprétation n'engage bien sûr que l'auteur, qui avait ainsi un canevas musical.


title: La Frontière de la vie

text: À l'époque de la rédaction de l'épisode étaient rediffusés en salle les films de "Dracula" et de "Frankenstein". Pendant ce temps, une jeune femme nommée Karen Quinlan était plongée dans un coma profond et ne vivait que par assistance médicale. Ses parents souhaitaient la laisser mourir de mort naturelle en stoppant les appareils qui la maintenaient artificiellement en vie. Mais l'hôpital refusait et s'ensuivit un débat passionné secouant les médias. En parallèle, le bédéiste avait reçu plusieurs lettres d'enfants leucémiques qui lui confièrent que son héroïne leur donnait de l'espoir.


title: La Frontière de la vie

text: Tous les éléments étaient réunis dans la tête de Leloup pour concocter son histoire, seul son éditeur était un peu réticent à cette histoire de sang. Mais l'auteur avait besoin de documentation sur la machinerie médicale, afin de dessiner les composantes du laboratoire, comme les électrocardiogrammes ou le scanner. Pour ce faire, il téléphona alors aux firmes Siemens et Baxter (spécialisée dans les pochettes sanguines). Pendant qu'il était en ligne, sa femme le prévint que l'école de sa fille recherchait un groupe sanguin indispensable pour une transfusion sanguine, afin d'aider un enfant leucémique. Or, il possédait le même groupe sanguin qu'elle. Il alla alors donner de son sang et reçut en remerciement les documents qui lui manquaient.


title: La Frontière de la vie

text: Tous les modèles pour dessiner l'aventure ne proviennent pas de Rothenburg. Afin de dessiner "Sherpa", le chat siamois d'Ingrid, Leloup se basa sur son propre chat, portant le même nom. Quant au chasuble porté par Yoko, il s'agit d'un des vêtements de sa fille. Enfin, les vues du cimetière de Rothenburg sont imaginaires, inspirées en réalité par celles du cimetière de Bruxelles, où l'on peut admirer de superbes monuments.


title: La Frontière de la vie

text: Il a été prépublié dans le "Spirou" numéros 1979 à 1999 du au .


title: La Frontière de la vie

text: Cette histoire est publiée en album pour la première fois en 1977 chez Dupuis et connaitra diverses rééditions par la suite. En 2006, elle est intégrée au deuxième volume de l'Intégrale Yoko Tsuno, "Aventures allemandes". Il s'agit du second de la série à se dérouler en Allemagne.


title: La Frontière de la vie

text: Cet album, et en particulier sa réédition de 2006 en grand format avec de nombreux documents inédits, illustre la minutie de l'auteur pour ses décors, souvent basés sur une abondante documentation photographique. Il donne une large place aux représentations des monuments de l'époque Renaissance de la ville allemande de Rothenburg.


title: Les Titans (Yoko Tsuno)

text: Les Titans est le huitième album de la série "Yoko Tsuno" de Roger Leloup, dont il constitue la treizième histoire et le septième long récit (six mini-récits furent rassemblés dans le quatrième album de la série, "Aventures électroniques"). Le récit est prépublié en 1977 dans le journal "Spirou", puis publié en album en 1978. Il s’agit du quatrième à mettre en scène les Vinéens.


title: Les Titans (Yoko Tsuno)

text: À la demande de Khâny, Yoko, Vic et Pol apportent sur Vinéa des collections d'insectes et d'insecticides. Les Vinéens ont en effet trouvé, en explorant leur planète, ce qui semble être une patte d'insecte, mais géante et renforcée au titane.


title: Les Titans (Yoko Tsuno)

text: Ils rencontreront dans la zone tempérée de Vinéa une colonie d'insectes géants originaires d’une autre planète, les Titans. Ceux-ci se montrent plutôt hostiles, leur inspection de la collection d’insectes terrestres naturalisés n’étant pas entièrement étrangère à cette attitude. L’un d’entre eux, Xunk, cependant, est sauvé d’un prédateur géant par Yoko et se montre bienveillant pour les Terriens et les Vinéens. Ayant désobéi aux lois de sa communauté, il sera finalement éliminé par ses congénères, mais se sera auparavant offert comme bouclier vivant pour protéger Yoko et Khâny contre les armes des siens et favoriser leur fuite.


title: Les Titans (Yoko Tsuno)

text: Tentant de tuer Khâny et Yoko, des Titans ouvriront finalement une brèche dans la barrière climatique de Vinéa, ce qui les conduira à leur perte en faisant déferler sur eux une masse d’air provenant de la zone glaciale de Vinéa. La constatation que le climat de Vinéa est artificiellement réglé et sous le contrôle d’une autre espèce conduit le Grand Migrateur à choisir de faire quitter Vinéa à sa colonie, opération pour laquelle il recevra l’aide de Yoko.


title: Les Titans (Yoko Tsuno)

text: Les Titans sont une civilisation d'insectes géants venus d'une « galaxie voisine » de celle de Vinéa. Leur planète d’origine a atteint un niveau de surpopulation les forçant à coloniser d’autres planètes s’ils désiraient maintenir leur croissance et leur population, solution préconisée par leur société.


title: Les Titans (Yoko Tsuno)

text: Le nom de "Titans" leur fut attribué par Vic, inspiré par la conjoncture de leurs dimensions gigantesques et de l’armature en titane avec laquelle ils renforcent sur Vinéa leur squelette externe de chitine. Des comparaisons effectuées par des biologistes vinéens entre la collection d’insectes terrestres emmenée par Vic et la patte de Titan retrouvée dans un fleuve vinéen indiquèrent la nature chimique identique des exosquelettes, mais une densité trois fois moindre pour la patte de Titan, ce qui sembla indiquer que ces derniers provenaient d’une planète où la gravitation était moindre. Cette hypothèse est ultérieurement confirmée par des affirmations de Titans, ainsi qu’indirectement par le fait que leur laboratoire jouit d’une atténuation artificielle de la gravitation naturelle de Vinéa, via un processus qui demeure obscur, afin sans doute de la rapprocher de celle de leur planète d’origine.


title: Les Titans (Yoko Tsuno)

text: Les Titans ont commencé leur implantation sur Vinéa par l'envoi de sondes automatiques qui y ont déposé plusieurs espèces animales et végétales, qui servirent autant de test pour vérifier la viabilité de la planète que de pionniers dans la construction d’un écosystème pouvant soutenir les besoins énergétiques et nutritionnels de la colonie à venir. Le processus s’avéra assez satisfaisant pour justifier l’arrivée de la colonie sous la conduite du Grand Migrateur.Les prémisses de cet album sont anciens comme en témoignent ces esquisses de 1969.


title: Les Titans (Yoko Tsuno)

text: L'album donne à l'auteur l'occasion de valoriser son intérêt pour l'entomologie.


title: Les Titans (Yoko Tsuno)

text: "Les Titans" ont été prépubliés dans les numéros 2029 à 2047 du magazine "Spirou", du au .


title: Les Titans (Yoko Tsuno)

text: Le récit est publié en 1978 chez l’éditeur Dupuis sous la forme d’un album à couverture cartonnée, portant le numéro 8 de la série "Yoko Tsuno". Plusieurs ré-impressions ont assuré depuis la constante disponibilité du titre, à l’instar des autres titres de cette série.


title: Les Titans (Yoko Tsuno)

text: En 2007, il est inclus dans "Vinéa en péril", le quatrième volume de l'Intégrale Yoko Tsuno, et le deuxième regroupant les aventures vinéennes. Il y est suivi de "La Lumière d’Ixo" et des "Archanges de Vinéa".


title: La Fille du vent

text: La Fille du vent est la quatorzième histoire de la série "Yoko Tsuno" de Roger Leloup. Elle est publiée pour la première fois du au du journal "Spirou", puis en album en 1979.


title: La Fille du vent

text: Informée par le géophysicien Tchen Wou-Tcheng que son père, Seiki Tsuno, « s'apprête à commettre une folie », Yoko est sollicitée par les services météorologiques de l'aviation japonaise pour s'interposer dans le conflit opposant son père à Ito Kazuki, son ancien collaborateur qui, soutenu par le complexe militaro-industriel japonais, essaie de créer et contrôler les typhons qui ravagent régulièrement le Japon pour en faire une arme redoutable. Yoko retrouve sur son île natale, Aoki qui est un ancien kamikaze qui n'a pas réussi à précipiter son Zero sur l'ennemi durant la seconde guerre mondiale et a été sauvé de la mort par le grand-père de Yoko.  Les évènements s'emballent quand Kazuki détourne les missiles envoyés par Seiki détruire le super-typhon qu'il vient de créer. Celui-ci devient incontrôlable et risque de dévaster le Japon entier. Seiki Tsuno détient néanmoins une ultime arme anti-typhon : une bombe nucléaire et deux jets pour la larguer. Yoko pilote le jet avec une bombe conventionnelle larguée en haut du typhon alors qu'Aoki pilote le jet doté de l'arme atomique. Celui-ci précipite sous les yeux de Yoko son avion endommagé au cœur du typhon, permettant à la bombe qu'il convoyait d'exploser au bon endroit, et empêchant ainsi le typhon d'aller dévaster l'île de Kyūshū. Aoki a ainsi réalisé son rêve d'offrir sa vie au Japon.L'épisode a été prépublié dans le journal "Spirou" du numéros 2081 () au numéro 2100 ().


title: La Fille du vent

text: Cette histoire est publiée en album pour la première fois en 1979 chez Dupuis et connaitra diverses rééditions par la suite. En mai 2009, elle est intégrée au septième volume de l'Intégrale Yoko Tsuno, "Sombres complots".


title: La Lumière d'Ixo

text: La Lumière d'Ixo est le dixième album de la série "Yoko Tsuno" de Roger Leloup, dont il constitue la quinzième histoire et le neuvième long récit (six mini-récits furent rassemblés dans le quatrième album de la série, "Aventures électroniques"). Le récit est prépublié en 1979 dans les numéros 2132 à 2152 du journal "Spirou", puis publié en album en 1980.


title: La Lumière d'Ixo

text: De retour sur Vinéa, Yoko, Vic et Pol accompagnent une équipe vinéenne conduite par Khâny et Poky pour tenter d'éclaircir le mystère d'Ixo, un des satellites de la planète K-3 qui se trouve dans le même système solaire que Vinéa. Sur celui-ci, les Vinéens ont jadis stocké des matières extrêmement dangereuses. Or, tous les cinq ans une lumière mystérieuse y apparaît...Cinquième album de la série à mettre en scène les Vinéens.


title: La Lumière d'Ixo

text: "La lumière d’Ixo" a été prépubliée dans les numéros 2132 à 2152 du magazine "Spirou", du au .


title: La Lumière d'Ixo

text: Le récit est publié en 1980 chez l’éditeur Dupuis sous la forme d’un album à couverture cartonnée, portant le numéro 10 de la série "Yoko Tsuno". Plusieurs ré-impressions ont assuré depuis la constante disponibilité du titre, à l’instar des autres titres de cette série.


title: La Lumière d'Ixo

text: En 2007, il est inclus dans "Vinéa en péril", le quatrième volume de l'Intégrale Yoko Tsuno, et le deuxième regroupant les aventures vinéennes. Il y suit "Les Titans" et y précède "Les Archanges de Vinéa".


title: La Spirale du temps

text: La Spirale du temps est le onzième album de la série "Yoko Tsuno" de Roger Leloup, dont il constitue la seizième histoire et le dixième long récit (six mini-récits furent rassemblés dans le quatrième album de la série, "Aventures électroniques"). Le récit est prépublié en 1980 dans les numéros 2189 à 2210 du journal "Spirou", puis publié en album en 1981.


title: La Spirale du temps

text: En vacances en Indonésie chez son cousin, Yoko vient dans un temple en ruines, contempler la sculpture d'une énigmatique danseuse.


title: La Spirale du temps

text: Cependant, à la nuit tombée, des hommes arrivent, installent du matériel, et une mystérieuse machine apparaît, surgie de nulle part. Sa pilote, Monya, vient du , où elle vivait dans une station orbitale. Elle a pour objectif de tuer un scientifique, Webbs, qui mit au point l'antimatière, par laquelle la Terre a été détruite en 3872 avec l'utilisation de la bombe à contraction.  Pour empêcher ce désastre Yoko décide de retourner en 1943 afin de retrouver son oncle Toshio Ishida, directeur militaire de l'équipe qui a découvert une créature se nourrissant d'antimatière. Celle-ci suggère mentalement aux scientifiques du site la manière de produire de l'antimatière. De retour au , Yoko comprend que la créature est toujours en train de pousser à la fabrication d'antimatière. Avec l'aide de Webbs, la créature sera détruite et le futur sauvé.Cet album est le premier de la série à utiliser le voyage dans le temps. Ce thème sera réutilisé dans nombre d'épisodes ultérieurs : "Le Matin du monde", "L'Astrologue de Bruges", "La Jonque céleste", "La Pagode des brumes", "Le Maléfice de l'améthyste" et "Anges et Faucons".Leloup a beaucoup étudié le thème du voyage temporel. Il sait que ses limites sont très strictes et définies depuis le fameux roman de René Barjavel, "Le Voyageur imprudent", sorti en 1944. Effectivement, la logique veut qu'un acte ayant eu lieu dans le passé peut influencer le présent, de telle manière que l'on se trouve en fait dans l'impossibilité de le pratiquer lorsqu'on appartient à la même ligne du temps. Une modification parmi ses antécédents implique que l'on découvre au retour son propre univers profondément chamboulé. L'imagination fertile des auteurs doit faire preuve d'un travail d'équilibriste afin de motiver une intervention dans le temps, sans briser la continuité historique unissant le présent à sa source.


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text: C'est pour cela que le voyage dans le temps, simple de prime abord, génère de nombreux écueils. Le futur peut facilement être inventé. En revanche, le passé a déjà été écrit. Pour l'auteur, le personnage doit se glisser dans le passé sans qu'on ne trouve de trace de son passage dans les documents. Par exemple, si les personnages étaient remontés jusqu'à l'époque de Jeanne d'Arc et l'avaient rencontrée, cela se serait su, ses contemporains en auraient parlé, d'une façon ou d'une autre. Le voyageur temporel doit donc visiter l'époque comme s'il regardait un film, sans y interférer, à la différence qu'il fait partie intégrante de ce film.


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text: Un écueil important concerne les paradoxes temporels. Leloup a donc évité que Yoko ne se rencontre. Sinon, elle se multiplierait à chaque passage, donnant une sorte de clonage par l'espace-temps. Monya aussi a cette obligation. Au cours de ses nombreux voyages, elle limite ainsi chaque fois un peu plus ses possibilités de déplacement. Par aspect pratique, le Translateur enregistre les voyages et elle est programmée pour ne jamais revenir à un moment où elle est déjà passée auparavant. Ainsi, les gens ne se rencontrent jamais eux-mêmes.


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text: Au départ de cette idée se trouve une théorie du prêtre jésuite et chercheur français Pierre Teilhard de Chardin. Celui-ci considère que l'univers est une masse en expansion, une sorte de spirale qui se déroule en éjectant sa matière vers l'extérieur. Au centre se trouve Dieu. L'humain s'imagine auprès de celui-ci, au centre de la spirale, alors qu'il n'est que sur l'une des spires. Leloup a une version un peu différente, considérant qu'il est bien sur un petit bout de spirale. Mais à partir de là, il détruit tout ce que le centre lu a donné. Il a donc imaginé que, puisqu'on se trouvait sur une spirale, il "suffisait" de passer de spire en spire afin de remonter le temps. Bien-sûr, c'est utopique. Mais pour se lancer dans une histoire, il a besoin de choses qui soient "oniriquement" possibles.


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text: Le bédéiste explique que le thème de la remontée dans le temps est universel, porté par nombre d'auteurs de science-fiction comme H. G. Wells (dans son roman "La Machine à explorer le temps"). Aussi, il pense que chacun d'entre nous a, un jour, espéré pouvoir remonter le temps pour changer le présent. Avec cet épisode, il a voulu faire le contraire. Il a mis en scène un évènement ayant eu lieu dans le futur, qui allait modifier la vie de son héroïne et l'entraîner dans une nouvelle aventure. C'est en effet dans sa nature de venir en aide à Monya venue du futur. Pour Yoko, même si cette jeune fille maîtrise une technologie extraordinaire, elle est une adolescente cherchant du secours, étant totalement démunie à l'époque où elle arrive. Surtout qu'elle a passé une part importante de sa vie dans l'espace, elle est effrayée par notre présent, avec ses sons et ses odeurs.


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text: Afin de créer le Translateur, Leloup a imaginé une machine ovoïde, capable de se replier et pouvant émettre des spirales. Il s'agit d'une sorte de toupie dotée de pieds, dans laquelle peuvent tenir debout plusieurs personnes. Ce n'est pas son poids qui est essentiel, puisqu'elle se désintègre dans l'espace ; c'est plutôt la place qu'il y a dedans.


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text: Leloup ne veux pas envoyer Yoko dans le futur pour plusieurs raisons. D'abord, à cause des pièges des paradoxes temporels. Si elle partait dans le futur, elle devrait revenir à un moment postérieur à son départ, afin d'éviter de se rencontrer elle-même. Ensuite, l'anticipation l'intéresse moins puisqu'elle représente un futur qui de toutes façons n'existera pas. Il faut se rappeler la manière dont on voyait l'an 2000 dans les années 60. On a tendance à trop anticiper l'avenir, alors qu'on peut très bien, dans trois siècles, être retournés à l'âge des cavernes à cause de la folie humaine. Et puis, comme souligné plus haut, il peut aisément imaginer le futur grâce aux Vinéens, avec lesquels il peut tout inventer. Il peut leur attribuer en toute liberté d'imagination des découvertes qui appartiendront peut-être à notre propre troisième millénaire. Ainsi, il n'a pas besoin de jouer l'auteur visionnaire. De plus, sur Terre, il préfère avoir des matières existantes, comme du vieux bois ou de veilles pierres, des villes... possédant une âme.


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text: On peut trouver paradoxal que Yoko rencontre son grand-oncle Toshio Ishida en 1943, soit bien avant sa propre naissance. Cependant, c'était un fait qui était déjà en quelques sortes inscrit dans l'histoire de sa famille. Le paradoxe temporel lui permet d'influencer le nom que sa mère lui donnera. Cela lui apporte un côté plus humain. On retrouve cela aussi avec Emilia et sa poupée Petrushka dans "Le Septième code". Les racines de l'héroïne sont très importantes pour l'auteur. Au début de cette histoire, elle retourne chez son cousin. Au fil de l'évolution du personnage, il lui donne une famille. Dans un album antérieur, "La Fille du vent", elle reverra son père et sa mère. Sans ces racines, elle serait un robot.


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text: Le choix de faire se dérouler cet épisode en Indonésie vient d'une envie du bédéiste, qui aime les décors de cette région, avec ses maisons, ses temples, ses montagne sen pains de sucre. Il s'agit de restes karstiques. Voici des millénaires, la mer y recouvrait tout. Puis, l'eau s'est progressivement retirée en érodant tout et il n'en est resté que ces grosses cheminées, parfaites pour y situer la montagne du Dragon. En plus, il y a là des sites désertiques qui étaient parfaits pour cette aventure. Bornéo est un lieu idéal, par son côté magique. Aussi, le bédéiste avait été frappé par la beauté des sépultures ornées de "tau-tau" (effigies de bois) et des maisons Toradja, qu'il avait vu en photos. Ces décors originaux contrastent avec la froideur de l'hélicoptère qui conduit Yoko. D'ailleurs, il se documente énormément sur les lieux où il va l'envoyer. Cela lui permet de distiller des éléments qui lui paraissent intéressants au cours de son histoire.