title: Racine carrée

text: La construction géométrique suivante se réalise à la règle et au compas et permet, étant donné un segment OB de longueur , et un segment de longueur 1, de construire un segment de longueur : Le segment [OH] est de longueur .


title: Racine carrée

text: La preuve consiste à remarquer que les triangles OAH et OHB sont semblables, d'où l'on déduit que , et donc .


title: Racine carrée

text: Cette construction a son importance dans l’étude des nombres constructibles.


title: Racine carrée

text: L’application formula_8 est une bijection de ℝ sur ℝ dont la réciproque est notée formula_9. Cette fonction s’appelle la "fonction racine carrée". Géométriquement, on peut affirmer que la racine carrée de l’aire d’un carré du plan euclidien est la longueur de l'un de ses côtés.


title: Racine carrée

text: La fonction racine carrée vérifie les propriétés élémentaires suivantes valables pour tous nombres réels positifs "x" et "y" :Le calcul de la racine carré d'un nombre positif n'est pas toujours évident, notamment pour de grands nombres. Ainsi, plusieurs algorithmes ont été développés au cours de l'histoire afin d'obtenir ce nombre. Parmi les méthodes d'extraction de racine carrée, on peut citer notamment la méthode de Héron, qui est une méthode historique qui peut être vue d'un point de vue moderne comme un cas particulier de la méthode de Newton. D'autres méthodes sont basées sur des suites adjacentes, sur des fractions continues ou sur un principe de dichotomie.


title: Racine carrée

text: Si "p" est un nombre réel strictement positif, Pour "p" = 1, on obtient le nombre d'or :


title: Racine carrée

text: Ramanujan a découvert les formules suivantes :


title: Racine carrée

text: Ces formules se généralisent, ce qui donne en particulier, pour tout "réel" formula_21 :


title: Racine carrée

text: Le nombre π s’exprime sous la forme d’une itération infinie de racines carrées : Ou encore : (formules qui se démontrent par calcul trigonométrique direct : le terme de droite de la première, par exemple, vaut formula_26).


title: Racine carrée

text: Soient et deux éléments d’un anneau , tels que . L'élément est alors une racine carrée de . La notation est néanmoins souvent déconseillée car il peut exister plusieurs tels éléments .


title: Racine carrée

text: En général (si l'anneau n'est pas intègre ou s'il n'est pas commutatif), un élément peut avoir plus de deux racines carrées. Par exemple dans l'anneau ℤ/9ℤ, les racines carrées de sont , et -, et dans le corps gauche des quaternions, tout réel strictement négatif possède une infinité de racines carrées.


title: Racine carrée

text: Dans le cas des nombres réels, un auteur parlant d'une racine carrée de 2, traite d'un des deux éléments ou bien -. En revanche, l'expression la racine carrée de deux évoque toujours la solution positive. Comme l'expression est toujours positive et le terme "fonction racine" définie sur les réels positifs désigne toujours la valeur positive, on évite cette confusion dans les enseignements un peu élémentaires des mathématiques en ne faisant usage que de l'expression : la racine carrée, alors toujours positive.


title: Racine carrée

text: La racine carrée sur ℝ est définie seulement pour les nombres positifs. Dans la résolution effective des équations polynomiales, l’introduction d’une racine carrée formelle d’un nombre négatif dans les calculs intermédiaires donne des résultats exacts. C’est ainsi que le corps des nombres complexes a été introduit .


title: Racine carrée

text: , ce qui, si "z" n'est pas un réel négatif, mène à la dernière formule.


title: Racine carrée

text: Pour des raisons de nature topologique, il est impossible de prolonger la fonction racine carrée, de ℝ dans ℝ, en une fonction continue formula_27 vérifiant .


title: Racine carrée

text: On appelle "détermination" de la racine carrée sur un ouvert "U" de ℂ toute fonction continue formula_28 vérifiant formula_29.


title: Racine carrée

text: La détermination principale de la racine carrée est la fonction de ℂ dans ℂ ainsi définie : si "z" s’écrit sous forme trigonométrique avec , alors on pose . Cette détermination principale n’est continue en aucun point de la demi-droite des réels strictement négatifs, et est holomorphe sur son complémentaire.


title: Racine carrée

text: Quand le nombre est dans sa forme algébrique , cette définition se traduit par : où le signe de la partie imaginaire de la racine est


title: Racine carrée

text: Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination principale de la racine carrée dans le plan complexe, la relation formula_31 devient fausse en général.


title: Racine carrée

text: Si "A" est une matrice autoadjointe positive ou un opérateur autoadjoint positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice autoadjointe positive ou un opérateur autoadjoint positif "B" tel que "B" = "A". On pose alors : = " B".


title: Racine carrée

text: Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal en dimension finie "A", il existe des opérateurs normaux "B" tels que "B" = "A". Cette propriété se généralise à tout opérateur borné normal sur un espace de Hilbert.


title: Racine carrée

text: En général, il y a plusieurs tels opérateurs "B" pour chaque "A" et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d’une façon satisfaisante (continue par exemple). Les opérateurs positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes. Les articles sur la théorie des opérateurs développent davantage ces aspects.


title: Racine carrée

text: Suites concernant la racine carrée dans l'encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers (entre autres : développements décimaux des racines carrées des entiers de 2 à 99)


title: Simone de Beauvoir

text: Simone de Beauvoir , née le dans le de Paris, ville où elle est morte le , est une philosophe, romancière, mémorialiste et essayiste française.


title: Simone de Beauvoir

text: En 1954, après plusieurs romans dont "L'Invitée" (1943) et "Le Sang des autres" (1945), elle obtient le prix Goncourt pour "Les Mandarins", ses œuvres sont alors parmi les plus lues dans le monde.


title: Simone de Beauvoir

text: Souvent considérée comme une théoricienne majeure du féminisme, notamment grâce à son livre "Le Deuxième Sexe" publié en 1949, Simone de Beauvoir a participé au mouvement de libération des femmes dans les années 1970.


title: Simone de Beauvoir

text: Elle a partagé sa vie avec le philosophe Jean-Paul Sartre. Leurs philosophies, bien que très proches, ne sauraient être confondues.


title: Simone de Beauvoir

text: Simone Lucie Ernestine Marie Bertrand de Beauvoir est la fille de Georges Bertrand de Beauvoir, alors avocat, comédien amateur, et de Françoise Brasseur, jeune femme issue de la bourgeoisie verdunoise.


title: Simone de Beauvoir

text: Elle voit le jour dans un appartement cossu au 103, boulevard du Montparnasse et entre à l'âge de cinq ans au cours Desir où sont scolarisées les filles de « bonnes familles ». Sa sœur cadette, Hélène (dite Poupette), l'y rejoint deux ans plus tard. Dès le plus jeune âge, Simone de Beauvoir se distingue par ses capacités intellectuelles et se partage chaque année la première place avec Élisabeth Lacoin (dite Élisabeth Mabille ou « Zaza » dans son autobiographie). Zaza devient rapidement sa meilleure amie.


title: Simone de Beauvoir

text: Dans sa jeunesse, Simone de Beauvoir passe ses vacances d'été en Corrèze, à Saint-Ybard, dans le parc de Meyrignac, créé vers 1880 par son grand-père Ernest Bertrand de Beauvoir. La propriété avait été acquise par son arrière-grand-père Narcisse Bertrand de Beauvoir au début du . On retrouve de multiples évocations de ces séjours heureux en compagnie de sa sœur Hélène dans ses "Mémoires d'une jeune fille rangée" :


title: Simone de Beauvoir

text: C'est au contact de la nature et au cours de longues promenades solitaires dans la campagne que le désir d'une vie se forge en elle.


title: Simone de Beauvoir

text: Après la Première Guerre mondiale, son grand-père maternel, Gustave Brasseur, ancien président de la Banque de la Meuse, qui a fait faillite, est déclaré banqueroutier, précipitant toute sa famille dans le déshonneur et la déconfiture. Aussi les parents de Simone de Beauvoir sont-ils contraints, par manque de ressources, de quitter l'appartement du boulevard du Montparnasse (à côté de l'actuel restaurant "La Rotonde") pour un appartement, sombre, exigu, au cinquième étage, sans ascenseur, d'un immeuble de la rue de Rennes. Simone souffre de voir les relations entre ses parents se dégrader.


title: Simone de Beauvoir

text: La suite de son enfance en sera marquée. Dans son milieu, à cette époque, il est incongru qu'une jeune fille fasse des études poussées. Pourtant son père, un passionné de théâtre et d'art dramatique, qui pense que , est convaincu que ses filles doivent s'y résoudre pour sortir de la condition dans laquelle elles se trouvent :


title: Simone de Beauvoir

text: Il regrette à la fois qu'elle ne soit pas un homme car elle aurait pu faire Polytechnique, et à la fois qu'elle ne soit pas assez féminine. Il lui répète :


title: Simone de Beauvoir

text: Élevée par une mère très pieuse, puis devenue elle-même croyante exaltée et mystique pendant quelques années, Simone de Beauvoir perd progressivement la foi à quatorze ans, bien avant son départ du cours Desir. Elle commence alors à s'émanciper intellectuellement de sa famille, sans pouvoir immédiatement l'assumer au grand jour.


title: Simone de Beauvoir

text: À quinze ans, son choix est déjà fait : elle sera une écrivaine célèbre. Après le baccalauréat en 1925, malgré son attirance pour la philosophie, elle se dirige d'abord vers une licence classique pour obéir à ses parents qui ont été mis en garde par les enseignantes de son ancienne école : . Elle entame des études supérieures à l'Institut catholique de Paris, pour les mathématiques, et à l'Institut Sainte-Marie de Neuilly, pour les lettres.


title: Simone de Beauvoir

text: Son professeur de littérature française, Robert Garric, catholique fervent, mais surtout socialiste et humaniste très engagé, l'impressionne beaucoup. Il dirige un mouvement, les Équipes sociales, qui se propose de répandre la culture dans les couches populaires. Grâce à son cousin Jacques, dont elle est secrètement amoureuse, et qui se trouve être un des équipiers de Garric, sa culture littéraire s'élargit. .


title: Simone de Beauvoir

text: Elle obtient au cours de cette première année à l'université de Paris les certificats de mathématiques générales, de littérature et de latin.


title: Simone de Beauvoir

text: L'année d'après, elle suit les cours de philosophie et obtient en le certificat de philosophie générale. Elle obtient finalement la licence ès lettres mention philosophie au printemps 1928, après l'obtention des certificats d'éthique et de psychologie et entame alors la rédaction d'un mémoire sur Leibniz pour le diplôme d'études supérieures.


title: Simone de Beauvoir

text: À la faculté des lettres de l'université de Paris, elle rencontre d'autres jeunes intellectuels, dont Jean-Paul Sartre, qu'elle regarde comme un génie. Dès cette époque, se noue entre eux une relation qui deviendra mythique, longtemps supposée libre et égalitaire. Elle sera son « amour nécessaire », par rapport aux « amours contingentes » qu’ils seront amenés à connaître l'un et l'autre. Simone de Beauvoir est reçue deuxième au concours d'agrégation de philosophie en 1929, juste derrière Jean-Paul Sartre.


title: Simone de Beauvoir

text: La mort de Zaza, son amie d'enfance, quelques mois plus tard, la plonge dans une grande affliction. Elle marque définitivement pour elle la fin de ce chapitre de sa vie.


title: Simone de Beauvoir

text: À la suite de l'obtention de son agrégation en 1929, Simone de Beauvoir devient professeure de philosophie. Elle est surnommée "Castor" par "Herbaud" (René Maheu dans "Mémoires d'une jeune fille rangée") car « Beauvoir » est proche de l'anglais "" (signifiant castor), et que, comme elle, « Les Castors vont en bande et ils ont l'esprit constructeur ». Ce surnom est ensuite repris et conservé par Jean-Paul Sartre qui publie à l'édition Blanche chez Gallimard, "Lettres au castor", un recueil de lettres qu'il a écrites à celle qui a été son « charmant castor ».


title: Simone de Beauvoir

text: Entre 1929 et 1931, elle est professeure agrégée et donne des cours au lycée Victor-Duruy (Paris), ce qu'elle vit comme une libération : . Elle se trouve ensuite nommée à Marseille au lycée Montgrand. La perspective de quitter Sartre, lui-même nommé au Havre en , la jette dans l'angoisse et ce dernier lui propose de l'épouser afin d'obtenir un poste dans le même lycée. Bien que viscéralement attachée à Sartre, elle rejette la proposition : « Je dois dire, écrit-elle dans "La Force de l'âge", que pas un instant je ne fus tentée de donner suite à sa suggestion. Le mariage multiplie par deux les obligations familiales et toutes les corvées sociales. En modifiant nos rapports avec autrui, il eût fatalement altéré ceux qui existaient entre nous. Le souci de préserver ma propre indépendance, ajoute-t-elle cependant, ne pesa pas lourd ; il m'eût paru artificiel de chercher dans l'absence une liberté que je ne pouvais sincèrement retrouver que dans ma tête et mon cœur. » L'année suivante, elle parvient à se rapprocher de Sartre en obtenant un poste au lycée Jeanne-d'Arc de Rouen où elle fait la connaissance de Colette Audry, enseignante dans le même lycée.


title: Simone de Beauvoir

text: Elle entretient des relations amoureuses avec certaines de ses élèves mineures, mais réfute jusqu'à sa mort toute idée de bisexualité — sujet qui fait l'objet de controverses entre ses dernières biographes— le « pacte » la liant à Sartre lui permettant de connaître des « amours contingentes ». Elle présente ces élèves à Sartre qui forment avec lui, selon un comme le qualifie Marie-Jo Bonnet, des trios, voire des quatuors, amoureux. Elle se lie également avec un élève de Sartre, « le petit Bost », futur mari d'Olga, pour laquelle Sartre s'est pris entre-temps de passion (non réciproque). L'amitié de ce groupe d'amis surnommé « la petite famille », ou encore « les petits camarades », reste indéfectible jusqu'à la mort de chacun d'entre eux, malgré petites brouilles comme graves conflits. L'année où elle enseigne à Marseille, elle se découvre une passion pour la randonnée, et elle ne cesse dans les années qui suivent d'arpenter les chemins de France, souvent en solitaire, à chaque fois qu'elle en a l'occasion. Avec Sartre, elle voyage aussi beaucoup en Europe, dans des conditions très frugales, ce qui leur permet de visiter presque chaque été un nouveau pays : ils voient ainsi l'Espagne, l'Italie, la Grèce, l'Allemagne, et le Maroc. À côté de cela, même avant d'être finalement tous les deux mutés à Paris, leur vie sociale reste très parisienne. C'est là qu'ils se retrouvent souvent, ensemble ou avec leur amis, ils sortent au théâtre, et suivent assidument l'actualité littéraire et cinématographique.


title: Simone de Beauvoir

text: En 1936, elle obtient enfin un poste à Paris. Elle enseigne au lycée Molière de 1936 à 1939 ; elle en est suspendue à la suite de sa liaison avec Bianca Bienenfeld, l'une de ses élèves âgée de seize ans, fille d'un juif polonais réfugié en France avec ses deux filles et leur mère qui est gravement malade.


title: Simone de Beauvoir

text: Son premier roman "Primauté du spirituel", écrit entre 1935 et 1937, est refusé par Gallimard et Grasset (il paraîtra beaucoup plus tard en 1979 sous le titre "Quand prime le spirituel" puis "Anne ou quand prime le spirituel").


title: Simone de Beauvoir

text: Un second roman, "L'Invitée" est publié en 1943 par Gaston Gallimard, en plein Paris occupé. Elle y décrit, à travers des personnages imaginaires, la relation entre Jean-Paul Sartre, Xavière et elle-même, tout en dévoilant une réflexion philosophique concernant la lutte entre les consciences et les possibilités de la réciprocité. Cette Xavière est une autre jeune fille mineure polonaise, Olga Kosakiewicz, que Simone de Beauvoir avait séduite avant Bianca Bienenfeld, et livrée à Jean-Paul Sartre.


title: Simone de Beauvoir

text: Simone de Beauvoir est à nouveau suspendue le à la suite d'une plainte pour « incitation de mineure à la débauche » déposée en par la mère d'une autre de ses élèves, Nathalie Sorokine (1921-1967). , mais elle est définitivement révoquée de l'Éducation nationale.


title: Simone de Beauvoir

text: L'incertitude sur la raison réelle de son éviction a suscité une polémique jusqu'à la publication en 1993 par une de ses précédentes victimes, Bianca Lamblin, de "Mémoires d'une jeune fille dérangée", en réponse à la publication en 1990 des "Lettres au Castor et à quelques autres" de Jean-Paul Sartre, dans lesquelles elle s'était aperçue qu'elle était désignée sous le pseudonyme de "Louise Védrine". Elle révèle alors au public comment Simone de Beauvoir et Jean-Paul Sartre ont abusé d’elle à l’âge de seize ans et écrit :


title: Simone de Beauvoir

text: Simone de Beauvoir décrit dans ses mémoires une relation de simple amitié avec cette élève. Elle écrit en outre que l’accusation de détournement de mineur, mensongère, est une vengeance de la mère de cette élève à la suite du refus que lui aurait opposé Simone de Beauvoir d’user de son influence auprès de sa fille pour lui faire accepter un mariage avec un « parti avantageux ». Pourtant, la nature charnelle des relations qu'elle entretenait avec Nathalie Sorokine ne fait plus aucun doute aujourd'hui.


title: Simone de Beauvoir

text: En 1943, elle travaille pour Radio Vichy où elle organise des émissions consacrées à la musique à travers les époques. Elle s'installe avec Jean-Paul Sartre à l'hôtel La Louisiane, à Saint Germain des Prés en 1943 mais dispose de sa propre chambre, elle écrira « Jamais aucun de mes abris ne s'était tant approché de mes rêves ; j'envisageais d'y rester jusqu'à la fin de mes jours ».


title: Simone de Beauvoir

text: Simone de Beauvoir est réintégrée dans l'Éducation nationale à la Libération par arrêté du , mais n'enseignera plus jamais.


title: Simone de Beauvoir

text: Avec Jean-Paul Sartre, Raymond Aron, Michel Leiris, Maurice Merleau-Ponty, Boris Vian et quelques intellectuels de gauche, elle fonde la revue : "Les temps modernes" qui a pour but de faire connaître l'existentialisme à travers la littérature contemporaine. Mais elle continue cependant son œuvre personnelle. Après plusieurs romans et essais où elle parle de son engagement pour le communisme, l'athéisme et l'existentialisme, elle obtient son indépendance financière et se consacre totalement à son métier d'écrivaine. Elle voyage dans de nombreux pays (États-Unis, Chine, Russie, Cuba, etc.) où elle fait la connaissance d'autres personnalités communistes telles que Fidel Castro, Che Guevara, Mao Zedong, Richard Wright.


title: Simone de Beauvoir

text: Aux États-Unis, elle engage une relation passionnée, qui durera plus de 15 ans, avec l'écrivain américain Nelson Algren qu'elle a rencontrée vers 1947, et lui envoie plus de . La publication de sa correspondance avec Algren en 1997 provoque le rejet de certains féministes qui ne retrouvent pas la femme libre qui leur a servi d'icône, mais une Simone de Beauvoir qui a


title: Simone de Beauvoir

text: En 1949, elle obtient la consécration en publiant "Le Deuxième Sexe". Le livre se vend à plus de dès la première semaine, occasionne la publication des articles contradictoires de Armand Hoog (contre) et de Francine Bloch (pour) dans la revue "La Nef", et fait scandale au point que le Vatican le mette à l'index. François Mauriac écrira aux "Temps modernes" : Le livre est traduit dans plusieurs langues et aux États-Unis, se vend à un million d'exemplaires et nourrit la réflexion des principales théoriciennes du "Women's Lib". Beauvoir devient la figure de proue du féminisme en décrivant une société qui maintient la femme dans une situation d'infériorité. En totale rupture avec l'essentialisme, son analyse de la condition féminine à travers les mythes, les civilisations, les religions, l'anatomie et les traditions fait scandale, et tout particulièrement le chapitre où elle parle de la maternité et de l'avortement, assimilé à un homicide à cette époque. Quant au mariage, elle le considère comme une institution bourgeoise aussi répugnante que la prostitution lorsque la femme est sous la domination de son mari et ne peut en échapper. Selon Stephen Law, Beauvoir proposa que le rapport entre les sexes biologiques et les constructions genrées de la société est délibérément confus pour la femme. Cette confusion qui sert bien la société dominé par l'homme (en 1950) rend difficile à la femme de se sortir d'un tel déterminisme. Ces stéréotypes sociaux entrainent la femme loin de ses aspirations.


title: Simone de Beauvoir

text: En 1954, elle obtient le prix Goncourt pour "Les Mandarins" et devient l'un des auteurs les plus lus dans le monde. Ce roman qui traite de l'après-guerre met en lumière sa relation avec Nelson Algren, toujours à travers des personnages imaginaires. Algren ne peut pas supporter le lien qui unit Beauvoir à Sartre. Celle-ci ne pouvant y mettre un terme, ils décident de rompre. De à 1958, elle vit avec Claude Lanzmann.


title: Simone de Beauvoir

text: À partir de 1958, elle entreprend son autobiographie où elle décrit son milieu bourgeois rempli de préjugés et de traditions avilissantes et les efforts pour en sortir en dépit de sa condition de femme. Elle décrit aussi sa relation avec Sartre en la qualifiant de totale réussite. Pourtant, bien que la relation qui les unit soit toujours aussi passionnée, ils ne sont plus un couple au sens sexuel du terme, et ce depuis longtemps, même si Beauvoir laisse entendre le contraire à ses lecteurs.


title: Simone de Beauvoir

text: En 1960, elle signe le "Manifeste des 121", déclaration sur le « droit à l'insoumission » dans la guerre d'Algérie.


title: Simone de Beauvoir

text: En 1964, elle publie "Une mort très douce" qui retrace la mort de sa mère. D'après Sartre, c'est son meilleur écrit. Le thème de l'acharnement thérapeutique et de l'euthanasie y sont évoqués. Durant cette période de deuil, elle est soutenue par une jeune fille dont elle a fait la connaissance à la même époque : Sylvie Le Bon, une jeune étudiante en philosophie. La relation qui unit les deux femmes est obscure : relation « mère-fille », « amicale », ou « amoureuse ». Simone de Beauvoir déclare dans "Tout compte fait", son quatrième tome autobiographique, que cette relation est semblable à celle qui l'unissait à Zaza cinquante ans plus tôt. Sylvie Le Bon devient sa fille adoptive et héritière de son œuvre littéraire et de l'ensemble de ses biens.


title: Simone de Beauvoir

text: L'influence de Beauvoir, associée à Gisèle Halimi, a été décisive pour obtenir la reconnaissance des tortures infligées aux femmes lors de la guerre d'Algérie et le droit à l'avortement. Elle rédige le Manifeste des 343, publié en par "Le Nouvel Observateur". Avec Gisèle Halimi, elle a cofondé le mouvement Choisir, dont le rôle a été déterminant pour la légalisation de l'interruption volontaire de grossesse. Tout au long de sa vie, elle a étudié le monde dans lequel elle vivait, en visitant usines et institutions, à la rencontre d'ouvrières et de hauts dirigeants politiques.


title: Simone de Beauvoir

text: En 1977, elle soutient le terroriste Bruno Bréguet et milite pour sa libération.


title: Simone de Beauvoir

text: Elle signe aux côtés de 68 autres intellectuels français une tribune de Gabriel Matzneff publiée le dans le journal "Le Monde", demandant la relaxe de trois hommes accusés d' dans le procès de l'affaire de Versailles.


title: Simone de Beauvoir

text: Féministe radicale, elle participe en 1977 en tant que directrice de la rédaction à la création de la revue "Questions féministes", principal organe de publication du courant féministe matérialiste. Puis, après la dissolution du comité de rédaction, elle reprend le poste de directrice pour la revue "Nouvelles Questions féministes" qui se crée en 1981, poste qu'elle gardera jusqu'à sa mort.


title: Simone de Beauvoir

text: Après la mort de Jean-Paul Sartre en 1980, elle publie "La Cérémonie des adieux" où elle décrit les dix dernières années de son compagnon avec des détails médicaux et intimes si crus qu'ils choquent bon nombre des disciples du philosophe. Ce texte est suivi des "Entretiens avec Jean-Paul Sartre" qu'elle enregistra à Rome, en août et , et dans lesquels Sartre revient sur sa vie et précise certains points de son œuvre. Elle veut surtout montrer comment celui-ci a été manipulé par Benny Lévy pour lui faire reconnaître une certaine « inclination religieuse » dans l'existentialisme alors que l'athéisme en était l'un des piliers.


title: Simone de Beauvoir

text: Pour Beauvoir, Sartre ne jouissait plus de toutes ses facultés intellectuelles et n'était plus en mesure de lutter philosophiquement. Elle dit également à mi-mot combien l'attitude de la fille adoptive de Sartre, Arlette Elkaïm-Sartre, avait été détestable à son égard. Elle conclut avec cette phrase :


title: Simone de Beauvoir

text: De 1955 à 1986, elle vit au de la rue Victor-Schœlcher à Paris où elle s'éteint le , entourée de sa fille adoptive Sylvie Le Bon de Beauvoir et de Claude Lanzmann.


title: Simone de Beauvoir

text: Elle est inhumée au cimetière du Montparnasse à Paris, dans la aux côtés de Jean-Paul Sartre. Elle est enterrée avec à son doigt l'anneau en argent aux motifs incas offert par son amant Nelson Algren au matin de leur première nuit d'amour.


title: Simone de Beauvoir

text: Ardente avocate de l’existentialisme, elle soulève des questionnements afin de trouver un sens à la vie dans l’absurdité d’un monde dans lequel nous n’avons pas choisi de naître. Associée à celle de Sartre, son œuvre s’en différencie dans la mesure où elle aborde le caractère concret des problèmes, privilégiant une réflexion directe et ininterrompue sur le vécu.


title: Simone de Beauvoir

text: Elle raconte dans "La Force de l'âge" comment la guerre l'a arrachée à . En elle écrit dans son journal : . Sa philosophie évolue et elle cesse de concevoir sa vie comme une entreprise autonome et fermée sur soi : .


title: Simone de Beauvoir

text: Dans "Le Deuxième Sexe", elle affirme : : c'est la construction sociale des individualités qui impose des rôles différents, genrés, aux personnes des deux sexes. Cette citation est souvent considérée comme une étape annonciatrice qui mènera vers les études de genre dans les sciences sociales. Dans cet ouvrage, elle analyse la place des femmes dans la société, notant que celles-ci sont souvent considérées, définies et assignées comme étant « l'Autre » du point de vue de l'homme dans une société patriarcale. Sylvie Chaperon, une spécialiste du féminisme, avance qu'au-delà de cette phrase emblématique, Simone de Beauvoir passe en revue une grande variété de domaines au sein desquels se construit la différence sociale entre hommes et femmes, dessinant ainsi des pistes des recherches pour les décennies suivantes, dont certaines, selon elle, restent encore à explorer.Sylvie Le Bon de Beauvoir, héritière de l'œuvre de Beauvoir, a traduit, annoté et publié de nombreux écrits de sa mère adoptive, en particulier sa correspondance avec Sartre, Bost et Algren.


title: Simone de Beauvoir

text: Parmi les dont la déclassification a été autorisée par le président américain Donald Trump le en rapport avec l'assassinat de John Fitzgerald Kennedy la CIA affirme que dans les années 1960, Jean-Paul Sartre, Simone de Beauvoir et Catherine Deneuve auraient financé un « réseau d'activistes » qui « aidait les déserteurs » de la guerre du Viêt Nam.


title: Simone de Beauvoir

text: Selon le rapport de la CIA, la planque se serait situé au , rue Gabrielle Josserand, à Pantin. Les lieux auraient été loués par l'association étudiante américaine Students for a Democratic Society pour héberger des déserteurs et des activistes américains. Un de ces contestataires aurait été Larry Cox, un déserteur ayant refusé d'intégrer l'armée américaine et de partir au Viêt Nam .


title: Simone de Beauvoir

text: Le rapport déclassifié, écrit le par Paul K. Chalemsky, alors directeur de l'antenne de la CIA à Paris, précise même les sommes versées par Jean-Paul Sartre () et Catherine Deneuve (). Il ne précise pas celles versées par Simone de Beauvoir.


title: Phare d'Alexandrie

text: Le phare d'Alexandrie (du grec ancien ) était un phare situé à Alexandrie, en Égypte. Il était considéré dans l'Antiquité comme la septième des Sept Merveilles du monde. Il a servi de guide aux marins pendant près de dix-sept siècles (du au ). Sa construction aurait débuté entre 299 et 289 avant notre ère (la date exacte est inconnue) et duré une quinzaine d'années. Les travaux ont commencé sous le règne de mais il meurt avant la fin du chantier qui est achevé sous le règne de son fils .


title: Phare d'Alexandrie

text: Le site choisi pour la construction du phare est probablement la pointe de l'île de Pharos, ou plus certainement un îlot non loin. Il se trouvait ainsi tout près de l'emplacement de l'actuel fort Qait Bay qui date de la fin du et qui fut construit en partie avec des blocs antiques. Les nombreux tremblements de terre qui ont eu lieu dans la région entre le et le ont peu à peu endommagé le célèbre monument qui a été presque entièrement détruit en 1303.


title: Phare d'Alexandrie

text: En effet, en 1349, Ibn Battûta, le célèbre voyageur marocain, raconte : Ce qui demeurait encore du phare a dû s'effondrer lentement par la suite, puis glisser sous les flots. À la fin du , le sultan Al-Achrâf Sayf ad-Dîn Qait Bay, un des derniers souverains mamelouks Burjites de l'Égypte, ordonna la construction d'une citadelle sur ce qui restait de l'esplanade, afin de protéger la ville contre la menace de l'Empire ottoman.


title: Phare d'Alexandrie

text: On a longtemps pensé que la construction avait été dirigée par l'architecte Sostrate de Cnide dont le nom est donné par le géographe grec Strabon. Il cite une inscription en plomb insérée dans un mur du phare ainsi libellée : Il semble néanmoins plutôt être le commanditaire des statues dont l'identité est discutée. On pensait au départ que les dieux sauveurs étaient en fait les Dioscures, Castor et Pollux, protecteurs des marins. Finalement, il semblerait que la dédicace s'adresse à qui était connu comme Ptolémée "Sôter" (ce qui signifie « sauveur » en grec). Jean-Yves Empereur, quant à lui, se base sur une épigramme du poète du , Posidippe, pour appuyer son hypothèse selon laquelle Sostrate aurait en fait dédié la "statue" qui surmontait le phare et non le phare lui-même. Il n'écarte pas de plus l'hypothèse que le véritable architecte du phare soit en fait Euclide lui-même (ou un de ses élèves), car le mathématicien vivait alors à Alexandrie.


title: Phare d'Alexandrie

text: Le phare a été construit pour protéger les marins de la côte d'Alexandrie et également comme œuvre de propagande. La ville tout entière a été construite de façon démesurée et le phare devait en être le symbole. Le résultat fut tel que, depuis, le mot phare (du latin "pharus", dérivé lui-même du nom de l'île de Pharos), est utilisé pour désigner communément ce type d'édifice. D'ailleurs, bien qu'il existât à Alexandrie d'autres bâtiments tout aussi célèbres que le phare (la grande bibliothèque, le tombeau d'Alexandre), il deviendra emblématique de la ville et l'est encore aujourd'hui. Le phare dominait la côte et permettait aux marins d'avoir un point de repère, la côte étant relativement plate.


title: Phare d'Alexandrie

text: On peut lire chez Strabon que le phare était construit en pierre blanche qui serait en fait un calcaire local (pierre blanche du Mex) qui a la particularité de durcir au contact de l'eau. On pense aussi que les parties les plus critiques du phare ont été réalisées en granit d'Assouan. D'ailleurs le fort Qait Bay, édifié sur l'emplacement du phare, a été construit selon le même procédé.


title: Phare d'Alexandrie

text: Jean-Yves Empereur a étudié des représentations du phare plus ou moins fidèles (documents figurés, mosaïques), mais aussi des sources écrites (Strabon, Plutarque, Abu Hamid Al-Andalusi, Ibn Battûta, etc.) et a réussi à en tirer un plan assez précis. Il a notamment étudié des pièces de monnaie frappées à Alexandrie entre le avant notre ère et le . Il s'est aussi appuyé sur une sépulture antique du - à Taposiris Magna (actuellement Abousir au bord du lac Mariout, à environ d'Alexandrie), au-dessus de laquelle le propriétaire avait fait réaliser une copie réduite du phare.


title: Phare d'Alexandrie

text: Il a déduit de ses travaux que le phare devait être un bâtiment à trois étages : le tout pour une hauteur d'environ .


title: Phare d'Alexandrie

text: Son rayon de visibilité s'étendait sur environ .


title: Phare d'Alexandrie

text: La base devait mesurer environ de hauteur sur de côté. On y accédait par une rampe à arcades. Une cinquantaine de pièces servant d'habitation au personnel chargé de l'entretien du phare ou d'entrepôt de combustible étaient aménagées tout autour d'une rampe intérieure, ce qui explique les fenêtres asymétriques qui suivaient l'axe de la rampe, assez large pour livrer passage aux bêtes de somme chargées d'acheminer le combustible. Elle donnait accès à une sorte de terrasse munie d'une rambarde de de haut entourée de quatre tritons soufflant dans des cornes, un à chaque coin de la terrasse.


title: Phare d'Alexandrie

text: Le deuxième étage était de forme octogonale et mesurait de hauteur et de largeur. Il comportait un escalier intérieur qui menait au troisième étage.


title: Phare d'Alexandrie

text: Au sommet du phare se dressait une statue qui n'a pas encore pu être formellement identifiée ; en effet, il pourrait s'agir de Zeus, de Poséidon ou d'Hélios. Dans son poème, Posidippe nous dit qu'il s'agit de la statue de Zeus et ce fut probablement le cas pendant la première moitié du avant notre ère. Une autre source semble aller dans le même sens : c'est une intaille en verre du qui montre le phare surmonté de Zeus qui tient dans la main gauche une lance et dans la main droite une sorte de coupelle. Sur cette représentation, le phare est entouré d'Isis Pharia et de Poséidon, divinités qui avaient chacune un temple sur l'île de Pharos. La statue de Zeus serait donc restée en place jusqu'à l'arrivée des Romains.


title: Phare d'Alexandrie

text: Il existe un gobelet en verre datant du et retrouvé à Begrâm en Afghanistan qui montre l'image d'un dieu tenant une rame dans la main gauche ce qui ferait de lui Poséidon. Ce même dieu est cité dans un texte du parlant d'une réparation du phare.


title: Phare d'Alexandrie

text: Finalement, une mosaïque datant de 539 montre le phare surmonté d'Hélios.


title: Phare d'Alexandrie

text: On pourrait penser que les trois statues se seraient succédé. On aurait eu tout d'abord la statue de Zeus, qui était vénéré sous la forme d'Ammon-Zeus et comme étant l'ancêtre des Ptolémées. À leur arrivée, les Romains auraient supprimé cette statue qui rappelait trop les Lagides et remplacé par une statue de Poséidon, dont la fonction convenait parfaitement au rôle du phare, c'est-à-dire de protéger les navigateurs. Il aurait pu être ensuite remplacé par Hélios, qui à la fin de l'Antiquité était une divinité courante. Il existe un édit promulgué en 391 par , empereur romain qui a fait du christianisme la religion d'État. En effet, cet édit visait à abolir les cultes païens sur le territoire romain dont faisait partie l'Égypte. On sait qu'il a été suivi à Alexandrie de manière assez consciencieuse, dans la mesure où c'est à la suite de cet édit qu'a été détruit le temple de Sarapis, par exemple. De plus, il semblerait plus logique qu'après la christianisation de Rome, ce soit une statue de saint Marc, patron de la ville ou plus simplement du Christ qui ait couronné le phare. Par contre, ce dont on est sûr, c'est qu'au , une mosquée a été installée au sommet de la tour par Ahmad Ibn Touloun.


title: Phare d'Alexandrie

text: On a retrouvé immergées au pied du fort Qait Bay deux statues colossales : la première est celle d'un Ptolémée en pharaon et la deuxième, une statue d'Isis. Ces statues devaient être posées devant le phare pour être vues des navigateurs entrant dans le port. On ne sait pas avec certitude quel Ptolémée est représenté, mais on suppose qu'il s'agit de et que la statue d'Isis est en fait son épouse que le pharaon avait divinisée après sa mort.


title: Phare d'Alexandrie

text: Les fouilles archéologiques sur le site du fort Qait Bay ne sont devenues systématiques que depuis la seconde moitié du . En effet, si la présence de blocs sous-marins était connue depuis le , ces blocs n'ont pas été étudiés avant les années 1960 et l'image plus ou moins réaliste que l'on avait du phare avant cette date était le plus souvent basée sur les textes antiques tout autant que sur des légendes.


title: Phare d'Alexandrie

text: La première étude vraiment sérieuse du phare (et non du site) est celle réalisée par Hermann Thiersch au début du et qui a été soutenue par le musée gréco-romain. Il recensa toutes les sources existantes jusqu'alors pour arriver à une description assez fidèle du phare à différentes époques. Pour Thiersch, les assises du phare se trouvaient encore dans le donjon du fort Qaitbay. Vers 1916, un ingénieur français du nom de Jondet réalisa des sondages et confirma cette hypothèse. Mais le fort, qui était une construction militaire, était interdit d'accès et il a fallu attendre le début des explorations sous-marines pour pouvoir vraiment étudier les vestiges du phare.


title: Phare d'Alexandrie

text: Ces explorations ont commencé au début des années 1960 grâce à un plongeur et archéologue amateur alexandrin, Kamel Abul Saadat, qui a été le premier à explorer l'entrée du port et à attirer l'attention sur les blocs qui s'y trouvaient. En 1962, il convainc la marine égyptienne de renflouer une statue colossale d'Isis et en 1968, l'Unesco envoie sur place l'archéologue écossaise Honor Frost avec qui Kamel Abul Saadat établit le plan des fonds sous-marins. En 1975, elle publiera le premier article scientifique sur le site antique dans l"'International Journal of Nautical Archeology".


title: Phare d'Alexandrie

text: À la suite de l'immersion malencontreuse de gros blocs de béton au pied du phare, le service des antiquités a sollicité le Centre d'études alexandrines (CEAlex), créé par Jean-Yves Empereur, et son équipe de plongeurs pour étudier les fonds entourant le fort Qait Bay. Depuis 1994, plus de , dont plus des deux tiers sont des blocs architecturaux, ont été recensés. Pour cela, des dizaines de blocs ont été remontés à la surface grâce à des ballons mais c'est un travail difficile et cela explique la lenteur des travaux dans la zone. Le CEAlex a tout de même réussi à cartographier complètement le site, et il ne reste plus aujourd'hui qu'à étudier les blocs.


title: Phare d'Alexandrie

text: Beaucoup de fragments de colonnes ont été retrouvés mais leurs bases et les chapiteaux sont en revanche plus rares. En effet, ils ont souvent été réutilisés dans des constructions plus tardives (mosquées, citernes). On a retrouvé aussi une demi-douzaine de colonnes importées à Alexandrie et portant le cartouche de , vingt-huit sphinx datés de différents règnes (, ) et des obélisques signés .


title: Phare d'Alexandrie

text: Mais il s'agissait évidemment de prouver que ces blocs provenaient effectivement du phare. On a retrouvé des encadrements de porte, par exemple en granite d'Assouan, particulièrement massifs : de haut pour un poids de plus de soixante-dix tonnes. On imagine donc assez difficilement que ces blocs aient pu être déplacés aisément sur de très longues distances. Et ils ont été trouvés au pied du fort Qait Bay. Quand on compare ces données avec les sources antiques qui indiquent que le phare se trouvait sur le site du fort et qu'il a été détruit par les tremblements de terre, on peut supposer que ces encadrements de porte proviennent du phare. De plus, une source du nous révèle que les pièces du phare étaient scellées les unes aux autres par du plomb fondu et lors des fouilles on a retrouvé des blocs où étaient fixées des broches de plomb, métal qui d'ailleurs se trouve en grande quantité dans la zone entourant le fort. Un chercheur du CEAlex, Mourad El Amoury, a mené des études sur les modes d'assemblage entre les cavités de scellement présentes sur les éléments architecturaux et les plombs de scellement retrouvés lors des fouilles, confirmant cette technique de scellement utilisée lors de la construction du phare.


title: Phare d'Alexandrie

text: L'emplacement du phare avait toutefois été mis en doute par Jean Yoyotte qui, dans ses commentaires du "Voyage en Égypte" de Strabon, trouvait cette théorie « discutable ». Il s'appuie pour cela sur les blocs de pierre retrouvés au pied du fort Qait Bay dont la disposition sur le site ne correspondrait pas, selon lui, à l'ordre qui aurait dû être observé à la suite d'un effondrement. Pour Yoyotte, il ne faudrait donc pas négliger l'hypothèse selon laquelle il pourrait s'agir en fait de récifs artificiels construits pour protéger la côte des bateaux ennemis. Cependant, cette hypothèse est réfutée par les résultats des fouilles réalisées.


title: Phare d'Alexandrie

text: L'UNESCO envisage d'inscrire le site des vestiges du phare d'Alexandrie sur la liste du patrimoine mondial. Les autorités égyptiennes cherchent, en collaboration avec le secrétariat de la Convention sur la protection du patrimoine culturel subaquatique de l'UNESCO, comment mettre en valeur ce patrimoine culturel. L'option d'un musée sous-marin permettant aux visiteurs du monde entier de découvrir les vestiges sans risque de dégradations et aux scientifiques de l'étudier, est préférée ; une étude de faisabilité a commencé en 2009.


title: Phare d'Alexandrie

text: Le phare reste un symbole de la ville d'Alexandrie et du gouvernorat d'Alexandrie. Une représentation stylisée du phare apparaît sur le drapeau et l'emblème du gouvernorat ainsi que de nombreux services publics de la ville, notamment l'emblème de l'université d'Alexandrie.


title: Phare d'Alexandrie

text: Un tombeau antique bien conservé dans la ville d'Abousir est considéré comme un modèle à l'échelle réduite du phare d'Alexandrie : remontant au règne de , il se compose d'une tour de trois étages, d'environ en hauteur, avec une base carrée, une section médiane octogonale et une partie supérieure cylindrique.


title: Phare d'Alexandrie

text: Une représentation du phare en images de synthèse apparaît dans les films "", "Alexandre" et "Agora".


title: Phare d'Alexandrie

text: Une reconstitution en images de synthèses est proposée dans le documentaire "Les 7 Merveilles du Monde, chefs-d’œuvre de l'Antiquité", 2019 de Tom Ranson.


title: Phare d'Alexandrie

text: L'ingénieur universitaire et enseignant chercheur Adel Abdelnaby, spécialisé dans les structures et leur résistance aux séismes, a réalisé des tests de résistance aux secousses sismiques sur un assemblage de blocs de granits par des chevilles et du mortier de plomb fondu, tel que les chercheurs et archéologues imaginent la construction du phare. Le test a montré une résistance jusqu'à une magnitude de 8.


title: Phare d'Alexandrie

text: Le phare fait partie des merveilles constructibles dans la série des "Civilization" (1991-2019). C'est aussi un bâtiment de surveillance pour la civilisation égyptienne dans le jeu "Age of Mythology" (2002). Il fait partie des monuments présents dans "" (2017).


title: Phare d'Alexandrie

text: L'Observatoire Pharos, créé en 2012 et qui a choisi pour nom l'île de Pharos d'où brillait le phare de la multiconfessionnelle Alexandrie, est une structure professionnelle d’information au service du pluralisme des cultures et des religions.


title: Tristan Bernard

text: Tristan Bernard, nom de plume de Paul Bernard, né à Besançon le et mort à Paris le , est un romancier et auteur dramatique français. Il est célèbre pour ses mots d'esprit.


title: Tristan Bernard

text: Tristan Bernard naît le , à Besançon, du mariage de Myrthil Bernard, négociant puis entrepreneur de construction, et d'Emma Ancel, tous les deux de religion juive. Il quitte Besançon pour Paris à l'âge de quatorze ans et fait ses études au lycée Condorcet, puis à la faculté de droit. Il fait son service dans les dragons, auxquels le général Boulanger, alors ministre de la Guerre, a autorisé le port de la barbe. Après son service, Tristan Bernard décide de la conserver. Il se destine à une carrière d'avocat, , préférant se tourner vers les affaires et prendre la direction d'une usine d'aluminium à Creil. à Neuilly-sur-Seine (Toulouse-Lautrec l'y a peint en 1895). Plus tard, il dirige "Le Journal des vélocipédistes".


title: Tristan Bernard

text: En 1891, alors qu'il commence à collaborer à "La Revue Blanche", il prend pour pseudonyme Tristan, le nom d'un cheval sur lequel il avait misé avec succès aux courses.


title: Tristan Bernard

text: En 1894, il publie en collaboration avec Pierre Veber et, l'année suivante, sa première pièce, "Les Pieds nickelés", un triomphe qui détermine une longue carrière de dramaturge à succès. Plusieurs de ses pièces seront d'ailleurs adaptées au cinéma.


title: Tristan Bernard

text: En 1904, il fait partie de la première rédaction de "L'Humanité", le journal de Jaurès. Par quelques articles, il contribue en 1917 aux débuts du "Canard enchaîné". Il préside les banquets pour les numéros-anniversaires du journal en 1931 et 1934. Il aurait, par ailleurs, inventé le jeu des petits chevaux.


title: Tristan Bernard

text: Proche de Léon Blum, Jules Renard, Lucien Guitry, Paul Gordeaux, Marcel Pagnol, et de bien d'autres artistes, Tristan Bernard se fait connaître pour ses jeux de mots, ses romans et ses pièces, ainsi que pour ses mots croisés. Il contribue aussi largement au genre policier par son recueil "Amants et Voleurs" (1905), mais aussi avec plusieurs romans : "L'Affaire Larcier" (1907), "Secrets d'État" (1908), récit d'un complot contre le souverain de l'État imaginaire de Bergensland. "Mathilde et ses mitaines" (1912) met en scène la farfelue Mathilde Gourgeot qui préfigure le type de femme détective amateur qu'on retrouve beaucoup plus tard chez Erle Stanley Gardner, Maurice-Bernard Endrèbe et quelques autres. "Le Taxi fantôme" (1919) oppose un historien et un politicien véreux, qui briguent tous deux un poste d'académicien. Son avant-dernière contribution, "Aux abois" (1933), écrite sous forme d'un journal intime, est sous-titrée "Journal d'un meurtrier". Il publie un dernier roman policier avec "Visites nocturnes" (1934).


title: Tristan Bernard

text: Humoriste facétieux, il ajoute une strophe aux "Stances à Marquise" de Pierre Corneille, reprise en chanson par Georges Brassens : Pendant l'Occupation, il habitait rue Villaret-de-Joyeuse, menacé comme Juif, il se réfugie à Cannes où il vit à l'hôtel Windsor. À son ami, le scénariste Carlo Rim qui le presse de venir se cacher chez lui la nuit, il répond : « A mon âge, on ne découche plus ! » et d'ajouter : « Savez-vous que je figure dans le Petit Larousse ? On n'arrête pas quelqu'un qui figure dans le Petit Larousse ». Son ami Roland Dorgelès le presse aussi de venir se cacher chez lui à la campagne. Il est arrêté avec sa femme par les Allemands en septembre 1943 alors qu'il venait d'acheter les billets de train pour le rejoindre. Arrêté en tant que juif, il est interné au camp de Drancy ; à son départ pour ce camp, il a cette phrase :


title: Tristan Bernard

text: Il est libéré le grâce à l'intervention de Sacha Guitry et de l'actrice Arletty. Il avait refusé une première fois sa libération, ne voulant pas laisser sa femme, Mamita. Il confie à l'avocat Maurice Garçon : « Je n'ai jamais aimé apprendre l'histoire mais cet embêtement n'est rien auprès de l'obligation de la vivre. »


title: Tristan Bernard

text: Son petit-fils François-René, l'un des fils de Jean-Jacques est arrêté comme résistant et déporté à Mauthausen où il meurt ; Tristan Bernard ne se remet jamais de cette disparition.


title: Tristan Bernard

text: Mort à Paris le au 43, rue Charles Floquet (une plaque lui rend hommage) dans le , Tristan Bernard est inhumé au cimetière de Passy (). Suzanne Rebecca Bomsel, sa première épouse meurt en 1928 et Agathe Marcelle Reiss, "Mamita", sa seconde épouse, qui repose avec lui, en 1952.


title: Tristan Bernard

text: Tristan Bernard a trois fils de son premier mariage, le dans le , avec Suzanne Rebecca Bomsel, . Le premier, Jean-Jacques, est un auteur dramatique, promoteur du « théâtre du silence » ("Martine"), qui témoigna également sur l'univers concentrationnaire ("Le Camp de la mort lente", "Le Pain rouge"). Le deuxième, Raymond, est un réalisateur de cinéma, avec notamment en 1934, "Les Misérables", la première version cinématographique sonore, en noir et blanc, une des plus fidèle adaptation en trois volets. Le cadet, Étienne, professeur de médecine, phtisiologue, contribue à la promotion de la vaccination et la diffusion du BCG.


title: Tristan Bernard

text: Tristan Bernard est par ailleurs le beau-frère du dramaturge Pierre Veber et de Paul Strauss, sénateur de Paris.


title: Tristan Bernard

text: Il est l'oncle du journaliste et scénariste Pierre-Gilles Veber et du scénariste Serge Veber, le grand-oncle du cinéaste Francis Veber et l'arrière-grand-oncle de l'écrivaine Sophie Audouin-Mamikonian.


title: Tristan Bernard

text: Veuf, il épouse, en secondes noces, Agathe Marcelle Reiss, le dans le .


title: Tristan Bernard

text: Il séjourne dans les années 1930, en famille, dans sa villa au Touquet-Paris-Plage.Tristan Bernard est également connu pour ses grilles de mots croisés, pleines d'esprit et de malice. Contrairement à une idée reçue, ce n'est pas à lui que l'on doit cette définition en 8 lettres, (réponse : l'entracte), mais à Renée David. En revanche, on lui doit bien celles-ci : (réponse : l'âge), (réponse : un taxi), (réponse : un diamantaire) et (réponse : un piano).


title: Tristan Bernard

text: Tristan Bernard, un grand absent de l'Académie française, qui aimait dire : « Je préfère faire partie de ceux dont on se demande pourquoi ils ne sont pas à l’Académie plutôt que de ceux dont on se demande pourquoi ils y sont. » Théâtre (pièces réunies) :


title: Tristan Bernard

text: Sketches radiophonique :


title: Tristan Bernard

text: Tristan Bernard est nommé chevalier de l'ordre national de la Légion d'honneur en 1903, officier en 1913, commandeur en 1928 et élevé à la dignité de .


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Jacques Bernardin Henri de Saint-Pierre, ou plus communément Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre, est un écrivain et botaniste français, né le au Havre, de Nicolas Saint-Pierre et Catherine Godebout. Il est mort le à Éragny.


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Montrant dès l’enfance un esprit à la fois rêveur et aventurier, goûtant les charmes de la nature, désireux de l’inconnu, Bernardin de Saint-Pierre est d'un caractère inquiet, irritable, facilement rebuté par les difficultés et les devoirs. Après avoir appris chez un curé, à Caen, les éléments des langues anciennes, il lit avidement "Robinson Crusoé", à 11 ans, que lui a donné sa marraine Bernardine de Bayard qui prétendait avoir comme ancêtre Bayard, et demande à voyager sur la mer. Un de ses oncles, capitaine de navire, qui va à la Martinique, le prend à son bord alors qu'il n'a que 12 ans ; les fatigues de la navigation et le service des manœuvres auquel il est astreint le dégoûtent de la vie maritime. Revenu au Havre, il est mis au collège des Jésuites de Caen. Il s’y exalte à la pensée d’aller au loin convertir les peuples barbares ; son père tempère cet enthousiasme en le renvoyant faire sa philosophie au collège de Rouen. Il entre ensuite à l’École nationale des ponts et chaussées, en sort ingénieur et passe dans le corps de jeunes ingénieurs que le ministre de la guerre a établi à Versailles.


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Envoyé en cette qualité à l’armée, à Düsseldorf, sa susceptibilité et son insubordination le font destituer. Il retourne au Havre, où son père s’est remarié. Ne pouvant s’accorder avec sa belle-mère, il vient à Paris en 1760, presque sans ressources. L’année suivante, il obtient d'être envoyé comme ingénieur à l’île de Malte, que menacent les Ottomans. Mais, la guerre n’ayant pas lieu, il rentre à Paris avec l’intention d’enseigner les mathématiques.


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Ne trouvant pas d’élèves et pour échapper à la misère, il propose au ministre de la Marine d’aller lever le plan des côtes d’Angleterre, proposition qui reste sans réponse. Il résout alors de tenter la fortune à l’étranger et, ayant emprunté quelque argent, il part pour la Hollande, et de là se rend à Saint-Pétersbourg, plein d’espoir dans la bienveillance connue de l’impératrice Catherine pour les Français. Pourvu d’une sous-lieutenance dans le corps du génie, il ne parvient pas à faire agréer au Gouvernement le projet d’une Compagnie pour la découverte d’un passage aux Indes par la Russie. Passé en Pologne pour soutenir la cause de Charles Radziwiłł contre Poniatowski, il rencontre à Varsovie la belle princesse Marie-Caroline Radziwiłł, née Lubomirska, connue sous le nom de « Miesnik » (du polonais « Miecznik », ce qui fut le nom de la charge occupée par son ex-mari Charles-Stanislas Radziwiłł au temps de leur mariage) et conçoit pour elle une passion, dont les « fureurs » le font congédier au bout de quelques mois. Parti pour Dresde avec l’intention de se mettre au service de la Saxe, il se rend à Berlin, où il ne peut se fixer à la suite d'une aventure galante, et rentre en France en novembre 1766.


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Sans ressources, criblé de dettes, partout éconduit, Bernardin est alors sur le point d’échanger sa vie aventureuse contre celle d’écrivain. Il se retire à Ville-d'Avray, y loue une chambre chez le curé, met en ordre ses observations et ses souvenirs de voyage et rédige des "Mémoires" sur la Hollande, la Russie, la Pologne, la Saxe, la Prusse. Il tourne son esprit systématique vers des spéculations hasardeuses. « J’ai recueilli, écrit-il, sur le mouvement de la terre des observations, et j’en ai formé un système si hardi, si neuf et si spécieux, que je n’ose le communiquer à personne… Je m’accroche à tout, et laisse flotter çà et là des fils, comme l’araignée, jusqu’à ce que je puisse ourdir ma toile. »


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Ces projets littéraires encore retardés, il sollicite et obtient un brevet de capitaine-ingénieur pour l’Île de France (actuelle Île Maurice) grâce à la protection du baron de Breteuil et part en 1768. Sur place, il s'étonne de trouver, au lieu d'une île paradisiaque et sauvage, un endroit en proie à une féroce spéculation foncière et agricole, déjà largement déforesté : il lui faudra convaincre le gouverneur de l'île que les forêts primaires et une gestion raisonnée du développement agricoles sont nécessaires au climat et à la conservation des sols si riches de l'île, et que celle-ci ne pourra durablement se développer qu'à condition qu'on y respecte l'environnement. Ce faisant, il fonde l'un des premiers programmes de conservation de la nature (on parlerait aujourd'hui de services écosystémiques). Il essaie vainement de séduire Françoise Robin, la toute jeune femme de Pierre Poivre, le premier intendant des îles de France et de Bourbon.


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Bernardin demeura trois ans aux Mascareignes, et rapporta ces voyages dans un gros ouvrage publié à son retour en 1773 : "Voyage à l’Île de France, à l’île Bourbon et au cap de Bonne-Espérance, par un officier du roi" (Amsterdam et Paris, 1773, 2 vol. in-8°).


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Revenu à Paris en juin 1771, il se met à fréquenter la Société des gens de lettres. D’Alembert le présente dans le salon de Julie de Lespinasse, mais il y réussit mal et se trouve en général déplacé dans le monde des encyclopédistes. Il se lie, grâce à d’intimes analogies, plus étroitement avec Jean-Jacques Rousseau, avec lequel il va se promener à la campagne, où ils s’entretiennent longuement ensemble sur la nature et l’âme humaine. Bernardin cherche à adoucir la noire mélancolie du philosophe, et en est atteint lui-même. Dans le préambule de "l’Arcadie", il se peint cherchant la solitude : « À la vue de quelque promeneur dans mon voisinage, je me sentais tout agité, je m’éloignais… En vain j’appelais la raison à mon secours, ma raison ne pouvait rien contre un mal qui lui volait ses propres forces. »


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: En 1773, un projet de mariage avec Louise-Félicité de Keralio ne voit pas le jour en raison de son échec à obtenir un poste à l'École royale militaire. La même année, il publie son "Voyage à l’Île de France, à l’Île Bourbon, au cap de Bonne-Espérance, par un officier du roi", récit sous forme de lettres à un ami, où transparaissent déjà les principales lignes de son talent, mais il lui vaut l'inimitié de la cour parce qu'il donne des détails aussi exacts qu'indiscrets sur les désordres de la colonie et sur la lamentable situation des noirs. Il prépare ensuite la publication de ses "Études de la nature". Il passe tout l’hiver de 1783 à 1784 à recopier cet ouvrage, à y ajouter, à y retrancher. « L’ours, disait-il, ne lèche pas son petit avec plus de soin. Je crains, à la fin, d’enlever le museau au mien à force de le lécher ; je n’y veux plus toucher davantage. »


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Bernardin de Saint-Pierre est certainement celui qui a exprimé de la manière la plus simple la théorie du finalisme anthropocentrique à l'œuvre dans la nature :


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Après la publication des "Études" ( Didot, 3 vol., 1784), l’auteur, inconnu, rebuté et indigent la veille, passe en quelques jours à l’état de grand homme et de favori de l’opinion. Tout ce qui sort de sa plume est assuré du succès ; des pages comme celles de "Paul et Virginie" (1788) ne rencontrent pas, à leurs débuts, l’accueil espéré et, sans l’intervention du peintre Vernet, il les aurait certainement détruites. Il demeure à cette époque au n° 21 du Quai des Grands-Augustins.


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: En 1792, à l’âge de cinquante-cinq ans, il épouse Félicité Didot, qui n’en a que vingt-deux. La même année, il est nommé intendant du Jardin du Roi en remplacement de Auguste Charles César de Flahaut de La Billarderie, successeur de Buffon, place supprimée en 1793. Appelé, vers la fin de 1794, à professer la morale à l’École normale de l’an III instituée par la Convention, il ne paraît que deux ou trois fois dans sa chaire et, malgré les applaudissements, reconnaît qu’il n’a pas le talent de la parole. En 1795, il est nommé membre de l’Institut de France, dans la classe de Morale (actuelle Académie des sciences morales et politiques, où il côtoie le précurseur du romantisme Louis-Sébastien Mercier et a souvent des discussions vives et pleines d’aigreur avec ceux de ses collègues qu’il appelle les athées, Naigeon, Volney, Morellet, Cabanis. Il soutient, à partir de 1797, le culte révolutionnaire de la théophilanthropie, visant à renforcer la République en remplaçant le catholicisme par une autre religion. Lauréat de l’Académie de Besançon, il est élu à l’Académie française en 1803.


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Ayant perdu sa première femme, il épouse en 1800 une des filles du libelliste Anne-Gédéon de La Fitte de Pelleport, Désirée. Cette jeune et jolie personne calme ses dernières années avant sa mort dans le village d’Éragny, sur les bords de l’Oise. De son premier mariage, il a deux enfants : Paul, et Virginie, mariée au général Marie Joseph Gazan. Sa veuve se remarie à son ami l'écrivain Louis-Aimé Martin. De son second mariage il a un fils : Bernardin, mort à l'âge de trois ans.


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: On remarque chez Bernardin de Saint-Pierre une différence profonde entre l’écrivain et l’homme ; celui-ci irascible, morose et tracassier ; celui-là si doux, si calme, si tendre. De la jeunesse à la fin de sa vie, l’écrivain rêve une sorte de république idéale, dont tous les habitants seraient unis par une mutuelle bienveillance alors que les moindres froissements de la vie irritaient la nerveuse susceptibilité de l’homme. Nul être n’est moins propre à réaliser le monde d’ordre et d’harmonie, cette espèce d’Éden ou d’âge d’or, que l’écrivain s’obstine à imposer à la nature. À la fin et en désespoir de cause, Bernardin renonce à la poursuite de ses projets lointains et, au lieu de vouloir exécuter les choses, il s’avise de les décrire. « L’utopiste à bout de voie, dit Sainte-Beuve, saisit la plume et devint un peintre. Ces harmonies qu’il ne pouvait réaliser sur la terre, dans l’ordre politique et civil, il les demanda à l’étude de la nature, et il raconta avec consolation et délices ce qu’il en entrevoyait : « Toutes mes idées ne sont que des ombres de la nature, recueillies par une autre ombre. » Mais à ces ombres son pinceau mêlait la suavité et la lumière ; c’est assez pour sa gloire. »


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Dans "l’Arcadie" (Angers, 1781, in-18), sorte de poème en prose, Bernardin décrit la république idéale qu’il rêvait. Dans les "Études de la nature" (Paris, 1784, 3 vol. in-12), il a, suivant ses propres paroles, d’abord eu l’idée d’écrire une histoire générale de la nature mais, renonçant à un plan trop vaste, il s’est borné à en rassembler quelques portions. Dans la première partie, dirigée contre les athées, dont il fait des partisans du désordre et du hasard, il leur oppose l’ordre et l’harmonie de la Nature, où il trouve d’admirables thèmes pour son talent. Vers la dixième étude, il commence plus directement l’exposition de ses vues et des harmonies telles qu’il les conçoit : le jeu des contrastes, des consonances et des reflets en toutes choses. La dernière partie de l’ouvrage est surtout relative à la société, à ses maux et aux remèdes qu’on y peut apporter. Le mérite et l’originalité de l’auteur est d’y substituer, d’un bout à l’autre, le sentiment, l’éloquence, le charme des tableaux à la science.


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Le talent de peintre de la Nature de Bernardin est le plus apparent dans son "Paul et Virginie" (Paris, 1788, in-12). Chef-d’œuvre de Bernardin, « dont on aurait peine à trouver le pendant dans une autre littérature », il présente, sur fond d’un paysage neuf et grand, deux gracieuses créations de figures adolescentes, et peint la passion humaine dans toute sa fleur et dans toute sa flamme. « Presque tout, en a dit Sainte-Beuve, est parfait, simple, décent et touchant, modéré et enchanteur. Les images se fondent dans le récit et en couronnent discrètement chaque portion, sans se dresser avec effort et sans vouloir se faire admirer... Ce qui distingue à jamais cette pastorale gracieuse, c’est qu’elle est vraie, d’une réalité humaine et sensible. Aux grâces et aux jeux de l’enfance ne succède point une adolescence idéale et fabuleuse. Nous sommes dans la passion, et ce charmant petit livre que Fontanes mettait un peu trop banalement entre "Télémaque" et "la Mort d’Abel", je le classerai, moi, entre "Daphnis et Chloé" et cet immortel quatrième livre en l’honneur de Didon. Un génie tout virgilien y respire. » Le manuscrit de "Paul et Virginie", lu dans le salon de Suzanne Necker, devant Buffon, Thomas, etc., n’eut aucun succès mais, à peine imprimé, il fut apprécié à sa juste valeur. Bernardin est, avec moins de passion et plus d’esprit, aussi parfait dans "La Chaumière indienne" (Paris, 1790, in-8°), qui, dans sa grâce et sa fraîcheur, est un paradoxe, une attaque contre la science. Les tableaux offerts par les "Harmonies de la nature" (Paris, 1796, 3 vol. in-8°) portent les traces de toutes les exagérations de la manière de leur auteur, qui ont fait dire à Joubert : « II y a dans le style de Bernardin de Saint-Pierre un prisme qui lasse les yeux. Quand on l’a lu longtemps, on est charmé de voir la verdure et les arbres moins colorés dans la campagne qu’ils ne le sont dans ses écrits. Ses "Harmonies" nous font aimer les dissonances qu’il bannissait du monde et qu’on y trouve à chaque pas. »


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Les autres écrits de Bernardin de Saint-Pierre sont : "Vœux d’un solitaire" (Paris, 1789, in-12), qui tendent à concilier les principes nouveaux avec les idées anciennes ; "Mémoire sur la nécessité de joindre une ménagerie au Jardin national des plantes" ("Ibid.", 1792, in-12) ; "De la Nature de la morale" (1798, in-12) ; "Voyage en Silésie" (1807, in-12) ; "la Mort de Socrate", drame, précédé d’un "Essai sur les journaux" (1808, in-18) ; "le Café de Surate", conte satirique ; "Essai sur J.-J. Rousseau et récits de voyage".


title: Jacques-Henri Bernardin de Saint-Pierre

text: Ses "Œuvres complètes" ont d’abord été publiées par Aimé Martin (Paris, 1813-20, 12 vol. in-8°), édition plusieurs fois reproduite sous divers formats. Le même éditeur a publié aussi la "Correspondance de Bernardin de Saint-Pierre" (1826, 4 vol. in-8°), ses "Œuvres posthumes" (1833-1836, 2 vol. in-8°), et ses "Romans, contes, opuscules" (1831, 2 vol. in-18).


title: API

text: API est un sigle ou un acronyme qui peut signifier :


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text: en français


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text: en anglais


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text: en italien


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text: API est un code qui peut signifier :


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text: Api peut désigner :


title: François Billetdoux

text: François Billetdoux, né le à Paris et mort le dans la même ville, est un auteur de théâtre et de romans, metteur en scène, acteur, producteur, réalisateur de radio et de télévision. Il est l'un des promoteurs du nouveau théâtre ; ses œuvres décrivent le monde avec un humour féroce teinté de burlesque qui tourne parfois à l'humour noir.


title: François Billetdoux

text: Il fut membre du Conseil du développement culturel de 1971 à 1973 et président de la Société des gens de lettres de 1982 à 1986, et cofondateur à cette date de la Société civile des auteurs multimédia (SCAM).


title: François Billetdoux

text: Orphelin de père à 3 mois et de mère à 7 ans, François Billetdoux étudie au Lycée Condorcet, puis suit des études de lettres à la Sorbonne et assiste au cours dramatique de Charles Dullin, pour étudier la mise en scène que pour devenir comédien.


title: François Billetdoux

text: Il intègre l'Institut des hautes études cinématographiques (IDHEC) en 1945, puis le Club d’Essai de la radiodiffusion française animé par Jean Tardieu.


title: François Billetdoux

text: François Billetdoux se tourne vers la radio, pour laquelle il produit de nombreuses œuvres de 1946 à 1972. En 1949-1950, il est responsable des programmes pour les Antilles, et part à la Martinique.


title: François Billetdoux

text: À partir de 1956, il est également l'auteur d'émissions de télévision, dont beaucoup sont réalisées par Frédéric Rossif. La dramatique "Pitchi poï ou la parole donnée," « enquête audiovisuelle » tournée dans seize pays d'Europe différents par autant de réalisateurs différents, diffusée le 31 octobre 1967, marque l'histoire de la télévision. C’est en 1955 que François Billetdoux, interdit un temps d'antenne, écrit sa première pièce pour le théâtre, "À la nuit la nuit", et c’est pour sa production théâtrale qu’il sera désormais le plus connu. Il rencontre un de ses plus grands succès avec "Tchin-tchin" en 1959. Après l'éreintement de "Silence ! l’arbre remue encore…" (1967) par la critique, François Billetdoux s'engage dans une production plus expérimentale, comme "7 + quoi ?" « jeu » de 7 monologues présentant des « situations d’attente parallèle ».


title: François Billetdoux

text: Il met lui-même en scène plusieurs de ses pièces et joue dans certaines d’entre elles. Ses pièces sont traduites dans plusieurs langues et jouées dans plusieurs pays d’Europe, au Japon, etc.


title: François Billetdoux

text: Il signe également des adaptations, comme celle du "Timide au palais", de Tirso de Molina, avec Jean-Louis Trintignant (1962, sous le pseudonyme de N.A. Caravette).


title: François Billetdoux

text: François Billetdoux collabore encore à des scénarios pour le cinéma, comme "La Gamberge" (1962) ou "Une ravissante idiote" (1964, non crédité)… D'autres demeurent à l'état de projet.


title: François Billetdoux

text: Après 1972, François Billetdoux occupe des postes importants à l'ORTF, puis à Radio France, par exemple fondateur et responsable de la Cellule d’Études Prospectives (CEP) commune à Radio France et à l’Ina de 1976 à 1980, « avec la mission, d’une part, d’étudier le “champ des possibles” dans le domaine des moyens phoniques, en regard de la “demande sociale” et des techniques nouvelles de communication, d’autre part, de préparer la mise en œuvre d’opérations expérimentales » (Émile Noël, cité par ).


title: François Billetdoux

text: Il est nommé au Haut-Conseil de l’audiovisuel en 1973.


title: François Billetdoux

text: Il est marié avec Évelyne Colin, avec laquelle il a deux filles : l'actrice Virginie Billetdoux et l'écrivaine Raphaële Billetdoux. Les archives de François Billetdoux, notes préparatoires, versions successives des œuvres, repentirs, ont été données par son épouse au département des Arts du spectacle de la Bibliothèque nationale de France en 2007 et 2008.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: En mathématiques et en informatique, la partie entière par défaut, ou partie entière inférieure, en général abrégée en partie entière tout court, d'un nombre réel formula_1 est l'unique entier relatif formula_2 (positif, négatif ou nul) tel que formula_3. On démontre son existence et son unicité par analyse-synthèse : formula_2 est le plus grand entier inférieur ou égal à formula_1 (ce que l'on peut prendre comme définition équivalente de la partie entière de formula_1, voir ci-dessous), son existence étant garantie par la propriété d'Archimède.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Dans le cas où formula_1 est un rationnel formula_8, la partie entière de formula_1 n'est autre que le quotient euclidien de formula_10 par formula_11.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: La différence entre un nombre formula_1 et sa partie entière est appelée sa partie fractionnaire ou partie décimale.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: La partie entière (par défaut) de formula_1 est notée conventionnellement formula_14. La fonction partie entière est souvent notée formula_15 ou formula_16 .


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: On utilise aussi la notation formula_17 mais celle-ci a tendance à être remplacée par la notation formula_14 car elle peut être confondue avec des parenthèses. De plus, il y a symétrie entre la partie entière inférieure (appelée en anglais ", « plancher ») définie par l’encadrement :


Partie entière et partie fractionnaire


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: et la partie entière supérieure (appelée en anglais ", « plafond ») définie par : formula_20


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité, ou troncature entière, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Par exemple, la partie entière de –1,5 vaut –2, tandis que sa troncature à l'unité vaut –1.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: La partie fractionnaire d'un nombre réel formula_1 notée formula_22, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: On trouve également le terme de partie décimale du nombre, notamment pour les nombres décimaux.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: On notera que certains considèrent le terme « partie fractionnaire » impropre pour les nombres irrationnels, car cette partie n'est alors pas rationnelle, donc n'est pas une fraction. Mais « partie décimale » n'est pas plus correct dans le cas des nombres qui ne sont pas eux-mêmes décimaux, car cette partie n'est alors pas décimale non plus.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Tout réel formula_1 vérifie les propriétés suivantes, où formula_25 est l'ensemble des entiers relatifs : formula_31


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: donc formula_32.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Posons formula_33 ou formula_34 ; alors formula_35 est entier formula_36 fois pour formula_37 entre 1 et formula_38.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Donc, d'après la propriété précédente donnant la valeur de formula_39 :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Pour tout entier formula_2 strictement positif :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: La fonction partie entière n'est pas continue en une valeur entière, mais est continue à droite et semi-continue supérieurement.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Sa dérivée au sens des distributions est le peigne de Dirac de période 1.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Parfois notée formula_48, elle est continue à gauche et semi-continue supérieurement. Elle est aussi périodique de période 1 (d'après la remarque immédiate : pour tout entier formula_2, formula_29) .


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Pour formula_1 non entier, formula_52 admet la décomposition en série de Fourier :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Pour obtenir une décomposition en série de Fourier valable pour tout réel, on pose :formula_54


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: À proximité de l'image de chaque nombre entier, on observe un phénomène de Gibbs sur la décomposition en série de Fourier de cette fonction, qui persiste malgré l'augmentation du nombre de coefficients calculés (voir l'animation ci-contre).


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: La fonction formula_55 intervient aussi dans l'expression des sommes de Dedekind, ainsi que dans la formule d'Euler Mac-Laurin.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Aussi appelée partie entière supérieure, elle peut se définir par l'expression :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: La fonction formula_57, parfois notée formula_58 , est continue à gauche et semi-continue inférieurement.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: En outre, pour tout formula_28 :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Dans les formules suivantes, et sont des nombres réels, , et sont des entiers relatifs.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Les parties entières par défaut et par excès peuvent aussi être définies par les expressions suivantes :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Puisqu'il existe un seul entier dans un intervalle semi-ouvert de largeur 1, pour tout réel il existe exactement deux entiers et tels que :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: On peut alors aussi définir les parties entières par défaut et par excès par formula_66 et formula_67.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: D'autres formules équivalentes peuvent être utilisées pour simplifier des expressions avec des parties entières:


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: L"'arrondi entier" d'un nombre réel formula_1, noté formula_70 ou formula_71, est l'entier le plus proche de formula_1 ; s'il y en a deux, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue de façon que la fonction formula_73 soit une fonction impaire.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: On a : formula_74


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: ce qui peut se résumer en une seule formule valable pour tout nombre réel formula_1 :


Partie entière et partie fractionnaire


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Comme l'arrondi d'un réel formula_1 est égal à sa partie entière inférieure ou supérieure, il est aussi parfois noté formula_78.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: En résumé, les parties supérieures, inférieures, et l'arrondi entier sont caractérisés par les inégalités (la troisième uniquement pour formula_1 positif) :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Étant donné un réel strictement positif formula_81, l'arrondi à la précision formula_81 d'un réel formula_1 est le nombre multiple de formula_81 le plus proche de formula_1 :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Étant donné un entier formula_2 , l'arrondi "décimal" de formula_1 à l'ordre formula_2, est l'arrondi de formula_1 à la précision formula_91 :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Par exemple, les arrondis d'ordres 0,1,2,3,4 du nombre formula_93 sont successivement :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Lorsqu'on écrit formula_95, cela signifie que l'arrondi à l'ordre 3 de formula_1 est égal à formula_97, autrement dit que formula_98.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Par analogie avec le fait que la partie entière d'un rationnel formula_99 est le quotient euclidien de formula_10 par formula_11, on définit la partie entière d'une fraction rationnelle formula_102 comme le quotient euclidien de formula_103 par formula_104, après avoir montré que ce quotient ne dépend pas du représentant formula_105 de la fraction. La partie entière de formula_106 est donc l'unique polynôme formula_107 tel que formula_108 avec formula_109 polynôme de degré strictement inférieur à celui de formula_104. Notation : formula_111. Notons que cette partie entière n'est pas un entier, mais un polynôme.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: La partie fractionnaire est formula_112.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Ces définitions se transmettent aux "fonctions" rationnelles.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: P1 : si formula_106 est de degré < 0, formula_114, et sinon formula_115 (et donc formula_116).


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: P2 : un polynôme formula_107 est la partie entière d'une fraction rationnelle formula_106 si et seulement si formula_119 est de degré strictement négatif.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: P3 : la partie entière d'une somme est la somme des parties entières :


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Ceci différencie donc la notion de partie entière dans les entiers et dans les rationnels ; cette propriété est très utile pour la recherche de décomposition en éléments simples. Pour P1 : si formula_102 est de degré < 0, formula_122, donc le quotient formula_123 de formula_103 par formula_104 est bien nul. Sinon, formula_126, donc formula_127, donc formula_128. Donc formula_129.


title: Partie entière et partie fractionnaire

text: Pour P2 : sens direct : formula_130 est bien de degré strictement négatif. Réciproquement, si F-Q=


title: CQFD (mathématiques)

text: CQFD, également écrit C. Q. F. D. ou c.q.f.d., est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer ». Elle se place à la fin d'une démonstration mathématique pour indiquer que le résultat attendu a été démontré. L'expression équivalente en latin est QED, « "quod erat demonstrandum" », elle-même traduite de l'expression grecque ("hóper édei deîxai").  De nombreux documents utilisent maintenant, plutôt que cette abréviation, des symboles variés pour marquer visuellement la fin d'une démonstration, par exemple le carré blanc : ◻.


title: CQFD (mathématiques)

text: L'expression "ὅπερ ἔδει δεῖξαι" (hóper édei deîxai) apparaît dans les versions grecques des Éléments d'Euclide . Ce traité de mathématiques composé par Euclide, résume et organise les principales connaissances en géométrie dans la Grèce classique au Son traité est organisé en définitions, postulats, propositions et démonstrations. La fin des démonstrations était marquée par "hoper edei deixai".


title: CQFD (mathématiques)

text: D'après le site "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics", l'expression "quod erat demonstrandum" fut utilisée dans les traductions latines des Éléments d'Euclide au début du . Il existe aussi différentes variantes, qui sont apparues à cette époque :


title: CQFD (mathématiques)

text: L'imprimerie de Gutenberg (impression sur planches pressées avec lettres amovibles) permettait une plus grande diffusion des ouvrages, même si la publication de livres scientifiques (surtout de mathématiques) représentait alors une perte d'argent. L'expression "quod erat demonstrandum" s'imposa à travers l'Europe, et fut remplacée par ses initiales QED ou qed, plus économiques.


title: CQFD (mathématiques)

text: L'expression « CQFD » est aujourd'hui passée dans le langage courant, pour clore un discours dans lequel on pense avoir apporté suffisamment d'arguments pour convaincre son interlocuteur.


title: CQFD (mathématiques)

text: Toutefois, les abréviations CQFD et QED sont largement délaissées dans l'ensemble des articles de recherche et dans de nombreux ouvrages de mathématiques de niveau doctoral. Elles ont également disparu des manuels scolaires. De plus, certains auteurs préfèrent l'utilisation de symboles pour marquer la fin des démonstrations (carré plein : ◼ , carré blanc : ◻, dièse : ♯).


title: CQFD (mathématiques)

text: De plus en plus de documents scientifiques (aussi bien des articles que des manuels scolaires) sont produits avec LaTeX. L'extension "amsthm" fournit un environnement pour les preuves. Cet environnement est délimité par codice_1 et codice_2. Par défaut, dans le document produit, est affiché "« Proof »" en italique, suivi du texte, terminé par un carré blanc : ◻. L'environnement prévoit le bon positionnement du carré en fonction de la mise en page (taille du papier et des marges) et de la dernière ligne affichée. Il est possible de remplacer ce caractère par défaut par "CQFD" ou "QED".


title: Nombre p-adique

text: En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, pour un nombre premier fixé, les nombres -adiques forment une extension particulière du corps formula_1 des nombres rationnels, découverte par Kurt Hensel en 1897.


title: Nombre p-adique

text: Le corps commutatif formula_2 des nombres -adiques peut être construit par complétion de formula_1, d'une façon analogue à la construction des nombres réels par les suites de Cauchy, mais pour une valeur absolue moins familière, nommée valeur absolue -adique.


title: Nombre p-adique

text: Un nombre -adique peut aussi se concevoir comme une suite de chiffres en base , éventuellement infinie à gauche de la virgule (mais toujours finie à droite de la virgule), avec une addition et une multiplication qui se calculent comme pour les nombres décimaux usuels.


title: Nombre p-adique

text: La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres -adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, la valeur absolue -adique sur le corps formula_2 est une valeur absolue non archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse -adique.


title: Nombre p-adique

text: Une construction algébrique de l'ensemble des nombres '-adiques est découverte par Kurt Hensel en 1897, en cherchant à résoudre des problèmes de théorie des nombres par des méthodes calquant celles de l'analyse réelle ou complexe. En 1914, József Kürschák développe le concept de valuation, obtenant une construction topologique de ces nombres. En 1916, Alexander Ostrowski montre qu'il n'existe pas d'autre complétion de formula_1 que formula_6 et formula_2 (résultat connu sous le nom de théorème d'Ostrowski). En 1920, Helmut Hasse redécouvre les nombres '-adiques, et les utilise pour formuler le principe local-global.


title: Nombre p-adique

text: Pour un nombre premier donné , on définit comme suit la valeur absolue -adique sur formula_1, puis le corps valué formula_2 des nombres -adiques.


title: Nombre p-adique

text: Cette construction de formula_2 permet de le considérer comme un analogue arithmétique de formula_6. Cependant, le monde -adique se comporte de façon très différente du monde réel.


title: Nombre p-adique

text: formula_2 est le corps des fractions de son anneau de valuation (les nombres -adiques de valuation positive ou nulle), noté formula_40 et appelé l'anneau des entiers -adiques. Ce sous-anneau de formula_2 est l'adhérence de formula_37. On aurait donc pu le construire directement comme l'anneau complété de formula_37.


title: Nombre p-adique

text: Ostrowski a démontré que toute valeur absolue non triviale sur formula_1 est équivalente soit à la valeur absolue usuelle formula_45, soit à une valeur absolue -adique. formula_14 est dite normalisée (on pourrait prendre formula_47 pour un réel formula_48 autre que formula_29 : on obtiendrait une distance associée uniformément équivalente). L'avantage de la normalisation est la « formule du produit » formula_50 pour tout rationnel formula_17 non nul. Cette formule montre que les valeurs absolues sur formula_1 (à équivalence près) ne sont pas indépendantes.


title: Nombre p-adique

text: Dans cette approche, on commence par définir l'anneau intègre formula_40 des entiers -adiques, puis on définit le corps formula_2 des nombres -adiques comme le corps des fractions de cet anneau.


title: Nombre p-adique

text: On définit l'anneau formula_40 comme la limite projective des anneaux formula_60, où le morphisme formula_61 est la réduction modulo formula_62. Un entier -adique est donc une suite formula_63 telle que pour tout : formula_64.


title: Nombre p-adique

text: On démontre alors que cet anneau est isomorphe à celui construit dans l'« approche analytique » et l'est même en tant qu'anneau topologique, vu comme sous-anneau (compact) du produit des anneaux discrets formula_60.


title: Nombre p-adique

text: Le morphisme canonique de formula_37 dans formula_40 est injectif car formula_68 est le seul entier divisible par toutes les puissances de formula_29.


title: Nombre p-adique

text: Toute suite formula_70 dont le premier élément n'est pas nul a un inverse dans formula_40 car est l'unique élément premier de l'anneau (c'est un anneau de valuation discrète) ; c'est l'absence de cette propriété qui rendrait la même construction sans intérêt (algébrique) si l'on prenait pour un nombre composé.


title: Nombre p-adique

text: Puisque de plus formula_29 n'est pas un diviseur de zéro dans formula_40, le corps formula_2 s'obtient en adjoignant simplement à l'anneau formula_40 un inverse pour, ce que l'on note formula_80 (anneau engendré par formula_40 et formula_82, donnant les expressions polynomiales en formula_82, analogue de la construction des nombres décimaux formula_84).


title: Nombre p-adique

text: D'après ce qui précède, tout élément non nul formula_17 de formula_2 s'écrit de manière unique comme une série (automatiquement convergente pour la métrique -adique) de la forme : où formula_88 est un entier relatif et où les formula_89 sont des nombres entiers compris entre formula_68 et formula_91, formula_92 étant non nul. Cette écriture est la décomposition canonique de formula_17 comme nombre -adique. Elle se déduit immédiatement du cas formula_94, formula_95 : si formula_96, la donnée des formula_89 équivaut à celle des formula_98 puisque formula_99. On peut donc représenter un entier -adique par une suite infinie vers la gauche de chiffres en base , tandis que les autres éléments de formula_2, eux, auront en plus un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Cette écriture fonctionne en somme à l'inverse de ce qu'on a l'habitude de rencontrer dans l'écriture des nombres réels.


title: Nombre p-adique

text: Par exemple, avec formula_101 : "Exemple" : dans formula_112 c'est que "Exemple 1" : dans formula_114


title: Nombre p-adique

text: "Exemple 2" : de même, dans formula_124 ce qui montre que formula_126.


title: Nombre p-adique

text: "Exemple 1" : Écrivons formula_127 dans formula_128. Remarquons tout d'abord que formula_129 car sa valuation 7-adique est 0. Ainsi formula_130 avec formula_131.


title: Nombre p-adique

text: 3 est inversible modulo 7 puisque formula_132. Ceci permet d'ailleurs d'écrire la relation de Bézout suivante : d'où :


title: Nombre p-adique

text: Continuons et multiplions formula_136 par -2 : et arrangeons pour obtenir des coefficients entre 0 et 6 : d'où :


title: Nombre p-adique

text: Au bilan : formula_141 c'est-à-dire : d'où l'écriture 7-adique :


title: Nombre p-adique

text: "Exemple 2" : Écrivons formula_144 dans formula_145. On sait que formula_146 car sa valuation 7-adique est –1 : ce sera donc un nombre 7-adique « à virgule ».


title: Nombre p-adique

text: On écrit : formula_147


title: Nombre p-adique

text: Or on sait que formula_148 donc en multipliant par 4 :


title: Nombre p-adique

text: Il ne reste plus qu'à diviser par 7, mais ceci revient à décaler la virgule vers la gauche (on est en base 7) :


title: Nombre p-adique

text: "Exemple 3" : Calcul de formula_151 dans formula_112. On sait (théorème d'Euler) que 9 divise formula_153, et de fait formula_154, et formula_155 ; on a donc formula_156 et finalement formula_157.


title: Nombre p-adique

text: Les ensembles formula_40 et formula_2 sont équipotents et non dénombrables. Plus précisément, ils ont la puissance du continu, car la décomposition de Hensel ci-dessus fournit une bijection de formula_191 dans formula_40 et une surjection de formula_193 dans formula_2.


title: Nombre p-adique

text: Un nombre -adique est rationnel si, et seulement si, sa décomposition de Hensel formula_195 est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire s'il existe deux entiers formula_196 et formula_197 tels que formula_198. Par exemple, l'entier -adique formula_199 n'est pas dans formula_1.


title: Nombre p-adique

text: Le corps formula_2 contient formula_1 donc sa caractéristique est nulle.


title: Nombre p-adique

text: Il n'est cependant pas totalement ordonnable puisque est un carré dans formula_40.


title: Nombre p-adique

text: Pour et premiers distincts, les corps formula_2 et formula_205 ne sont pas isomorphes, puisque n'est pas un carré dans formula_205 (sa valuation -adique n'étant pas divisible par 2) mais est un carré dans formula_2 si .


title: Nombre p-adique

text: La structure du groupe multiplicatif formula_208 des « unités -adiques » (le groupe des inversibles de l'anneau formula_40) et celle du groupe formula_210 sont données par : formula_211 si , formula_212, et formula_213. On en déduit que :


title: Nombre p-adique

text: La clôture algébrique formula_224 de formula_2 est de degré infini (contrairement à celle de formula_6, qui est une extension quadratique). Il existe d'ailleurs dans formula_227 des polynômes irréductibles en tout degré formula_228 : par exemple le polynôme d'Eisenstein formula_229, et même un polynôme unitaire de degré "n" à coefficients dans formula_40 et irréductible modulo. Ce degré est dénombrable, puisque c'est une extension algébrique, donc réunion de ses sous-extensions finies, lesquelles sont en nombre fini pour chaque degré d'après le lemme de Krasner.


title: Nombre p-adique

text: Le corps formula_224 est, en supposant l'axiome du choix AC, isomorphe au corps formula_232 des nombres complexes, puisque (avec AC, et à isomorphisme près) en tout cardinal infini non dénombrable, il n'y a qu'un corps algébriquement clos de caractéristique 0. Inversement, la non-existence d'un plongement de formula_2 dans formula_232 est cohérente avec la théorie des ensembles sans l'axiome du choix.


title: Nombre p-adique

text: Muni de la distance -adique, formula_40 s'identifie naturellement à l'espace métrique produit formula_236 (compact donc complet). Pour tout réel , l'application formula_237 est un homéomorphisme de formula_40 sur son image formula_239, et formula_40 est — comme formula_241 — homéomorphe à l'espace de Cantor, d'après un théorème de Brouwer qui caractérise topologiquement ce dernier.


title: Nombre p-adique

text: L'espace métrique formula_2 (complet par construction) est un espace localement compact (car le compact formula_40 est un ouvert contenant formula_68), naturellement homéomorphe, pour tout , à l'ensemble formula_245 (où formula_241 est défini ci-dessus). Le compactifié d'Alexandrov de formula_2 est à nouveau — comme  — homéomorphe à l'espace de Cantor.


title: Nombre p-adique

text: La clôture algébrique formula_224 de formula_2 n'est pas localement compacte : cela équivaut au fait qu'elle est de degré infini. Puisque ce degré est ℵ₀, elle n'est même pas complète. Son complété formula_250 est appelé le corps de Tate et noté formula_251 (ou parfois formula_252). Il est algébriquement clos (donc algébriquement isomorphe à formula_232, comme formula_224) et son degré de transcendance sur formula_2 est 2.


title: Nombre p-adique

text: Les seules fonctions réelles de dérivée nulle sont les fonctions constantes. Cela n'est pas vrai sur formula_2. Par exemple, la fonction possède une dérivée nulle en tous points, mais n'est même pas localement constante en 0.


title: Nombre p-adique

text: Pour tous formula_258 appartenant respectivement à formula_259, il existe une suite dans formula_1 qui converge vers formula_17 dans formula_6 et vers formula_263 dans formula_2 pour tout formula_29 premier.


title: Nombre p-adique

text: Le nombre (défini par la série formula_266) n'appartient à aucun des corps -adiques. Cependant, en conservant la définition formula_267, on peut montrer que formula_268 et que, si formula_269, alors formula_270. Dès lors, il devient a priori possible de définir, pour tout formula_29, comme "une" racine -ième de . Un tel nombre n'appartient toutefois pas à formula_2 mais à sa clôture algébrique formula_273 (et donc à son complété formula_274), et l'exponentielle ainsi définie dépend de la racine choisie. Plus généralement, il est possible de définir dans le corps de Tate une fonction exponentielle p-adique, qui cependant ne possède pas d'aussi bonnes propriétés que l'exponentielle complexe. En particulier, elle ne fait apparaître aucun analogue du nombre formula_275 ; cette situation a été résolue par Jean-Marc Fontaine, qui a construit en 1982 l' formula_276(prononcer « formula_277 de Rham »).


title: Nombre p-adique

text: Une des premières applications des nombres -adiques a été l'étude de formes quadratiques sur les rationnels ; ainsi, en particulier, le théorème de Minkowski-Hasse affirme qu'une telle forme a des solutions rationnelles (non triviales) si et seulement si elle en a dans tous les corps formula_2, ainsi que dans formula_6.


title: Usine de retraitement de la Hague

text: L’usine de retraitement de la Hague — souvent nommée simplement « La Hague » — est un centre de traitement du combustible nucléaire usé dans lequel on traite le combustible nucléaire provenant principalement des réacteurs nucléaires français et une partie de celui provenant des réacteurs d'Allemagne, de Belgique, de Suisse, des Pays-Bas et du Japon, pour en séparer les matières nucléaires valorisables des autres éléments radioactifs.


title: Usine de retraitement de la Hague

text: Entrée en service en 1966, l'usine est située près du cap de la Hague, dans la commune de la Hague, au nord-ouest de la pointe de la péninsule du Cotentin, à à l'ouest de Cherbourg-en-Cotentin (dans le département de la Manche, en région Normandie). .


title: Usine de retraitement de la Hague

text: L’usine de traitement de la Hague est désormais exploitée par Orano.


title: Usine de retraitement de la Hague

text: En bordure de l'usine se trouve le centre de stockage de la Manche.


title: Usine de retraitement de la Hague

text: D'une capacité industrielle de traitement de (pour les usines UP2-800 et UP3) de combustibles usés par an, le complexe industriel en a traité en 2005. Elle consomme de l'électricité à hauteur d'environ 520 GWh/a, soit encore 0,52 TWh/a, fournie à partir du poste de transformation de Tollevast.


title: Usine de retraitement de la Hague

text: À la sortie du réacteur, un combustible nucléaire usé contient environ 96 % de matières énergétiques à retraiter partiellement (95 % d'uranium et 1 % de plutonium) polluées par 4 % d'actinides et de produits hautement dangereux et non réutilisables : les déchets HAVL. Ces derniers sont traités et conditionnés, aujourd'hui par vitrification, en vue de leur entreposage en surface et éventuellement de leur stockage en couche géologique profonde. Les déchets provenant de l'étranger sont — après un certain temps — réexpédiés aux clients étrangers qui ont obligation de les reprendre (obligation confirmée par la loi Bataille en 1991). Un des objectifs de ce recyclage est de réduire la quantité de déchets radioactifs à stocker en milieu confiné.


title: Usine de retraitement de la Hague

text: La loi Transparence et Sureté Nucléaire de rappelle l’interdiction de stocker de façon définitive sur le sol français des déchets étrangers. À ce titre, au , 96 % des déchets vitrifiés et 15 % des déchets métalliques compactés ont été renvoyés vers les clients étrangers.


title: Usine de retraitement de la Hague

text: Le plutonium récupéré est transporté à Marcoule où il est utilisé pour fabriquer du combustible MOX. Le nitrate d’uranyle obtenu est quant à lui transformé en octaoxyde de triuranium (UO) à l'usine Orano de Pierrelatte en vue d’être enrichi pour être réutilisé dans de nouveaux assemblages de combustibles.


title: Usine de retraitement de la Hague

text: Le recyclage des combustibles usés permet de réduire le volume des déchets d’un facteur 5 et de diminuer la radiotoxicité des déchets d’un facteur 10 en valorisant le plutonium sous forme de combustible MOX. Les opérations de séparation, purification, conditionnement et entreposage sont effectuées sur le site d’Orano la Hague.


title: Usine de retraitement de la Hague

text: À l'usine de la Hague, le traitement du combustible usé est organisé au sein de deux "usines de plutonium" (UP2 et UP3) - conçues sur le modèle de l'usine d'extraction du plutonium de Marcoule (UP1). Ces usines comprennent chacune plusieurs ateliers :