title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: L'année 1857 est nettement moins réjouissante pour le roi. Le pays connaît une intense crise politique. Lorsque le ministre catholique De Decker, chef du gouvernement, dépose son projet de loi sur le régime des fondations charitables, il a la conviction d'avoir posé un acte de concorde et de transaction entre catholiques et libéraux. Quand la discussion de ce projet s'ouvre au parlement le , le pays s'enfièvre. Cette "loi des couvents" provoque une émotion qui dépasse le cercle des électeurs censitaires. Durant vingt-sept séances, le débat se prolonge à la Chambre au milieu des polémiques ravivées par la presse. Bientôt, la foule intervient. Des manifestants entourent le palais de la Nation, des bandes circulent en ville conspuant les religieux. L'agitation gagne ensuite les chefs-lieux de province. Le , le roi réunit le conseil des ministres et propose la mesure extraordinaire de l'état de siège. Il a déjà fait appeler des troupes des villes voisines et du camp de Beverloo afin de renforcer la garnison de Bruxelles. Courroucé, Léopold déclare : L'agitation persistant et gagnant en intensité, Léopold propose de disjoindre du projet en discussion les articles déjà votés et d'en faire une loi spéciale. En dépit de la volonté royale, De Decker abandonne cette proposition de disjonction. Cela a pour effet d'annihiler la "loi des couvents". Le roi fait publier dans le "Moniteur" une lettre au chef du cabinet qui constitue un véritable message adressé à la nation, document sans précédent dans l'histoire de la Belgique. Le roi laisse apparaître son irritation face à la pusillanimité du gouvernement qu'il critique de la sorte : .


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Le , après la démission de De Decker et la chute du gouvernement, Charles Rogier revient au pouvoir et constitue un gouvernement libéral, qui œuvre durant dix ans et survit au roi. Rogier occupe également les fonctions de ministre de l'intérieur, tandis que Walthère Frère-Orban obtient le portefeuille des finances et Victor Tesch celui de la justice. Ce gouvernement s'inscrit pleinement dans le fonctionnement régulier du système constitutionnel, mais la crise a exacerbé les passions : les libéraux adoptent une attitude anticléricale prédominante. L'esprit de conciliation s'estompe. Ainsi, en 1859, une loi sur les fondations charitables porte en triomphe les idées de la gauche. Deux ans plus tard, le gouvernement manifeste son intention de légiférer dans le même sens les bourses d'études. En 1862, survient la « "querelle des cimetières" » au cours de laquelle les catholiques paient de la laïcisation le manque de charité dont ils avaient fait preuve vis-à-vis des défunts athées. Charles Rogier écrit en que les agents du pouvoir interviennent partout dans la lutte de l'État contre l'Église. Le roi regrette ces initiatives anticléricales. Il a très bien compris que son rôle constitutionnel ne peut prétendre à vouloir réaliser tout ce qu'il souhaite, ni d'empêcher ce qu'il déplore. se plie sans trop de peine aux exigences de sa fonction et s'il n'entrave pas la réalisation des désirs de la majorité, il stipule des compensations pour tel ou tel projet national. Après 1857, c'est le souci de la défense du pays qui l'emporte chez le roi sur toute autre considération. Il se réjouit donc du vote de la loi du qui choisit Anvers comme dernier bastion de résistance (réduit national) jusqu'à l'arrivée de l'aide alliée (la Grande-Bretagne).


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: En 1859, la statue de est solennellement placée au sommet de la colonne du Congrès au cours de fêtes célébrant la monarchie. Le de la même année, l'avenir dynastique est perpétué par la naissance de son premier petit-fils Léopold comte de Hainaut, fils du futur . En 1860, le roi visite à nouveau toute une série de villes de provinces. Alors qu'on le sait souffrant, le retour officiel du roi à Bruxelles, le , offre l'occasion d'une fervente manifestation populaire que Philippe, comte de Flandre, décrit à sa sœur Charlotte en des termes élogieux. Désormais, le roi entretient des relations moins intimes avec son gouvernement. Il renonce à présider les conseils des ministres. Tout se passe maintenant par l'intermédiaire de Jules Van Praet, son conseiller et principal collaborateur.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Léopold entend jouer un rôle central dans la diplomatie européenne voire mondiale. Lors de la situation délicate de 1830, Léopold apparaît comme le plus apte à réconcilier l'expérience libérale belge avec le système international. Il a ses entrées dans toutes les grandes cours européennes et se voit souvent acclamé comme le « Nestor de l'Europe ». Il entretient une intense correspondance avec les souverains d'Europe, notamment avec sa nièce la reine Victoria. L'historien Jean Stengers considère que les interventions du roi Léopold sont dictées par trois impératifs : veiller aux intérêts de la Belgique mais aussi à ceux du Royaume-Uni, encourager la paix en Europe et maintenir l'ordre conservateur.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: L'historien Carlo Bronne estime que le rôle du roi s'apparente parfois à celui de ministre des affaires étrangères. Le roi ne se contente pas d'échanger une abondante correspondance avec les hommes de pouvoir de son temps, il paie aussi de sa personne en voyageant beaucoup à travers l'Europe. À Bruxelles, dans les légations, on n'ignore pas que les relations extérieures sont dirigées par le cabinet du roi plutôt que par le département des affaires étrangères. Avare de sa confiance, Léopold l'accorde sans compter à quelques correspondants éprouvés, tels le baron Stockmar, Sylvain Van de Weyer, tous deux à Londres, le comte Le Hon à Paris, sans oublier Jean-Baptiste Nothomb à Berlin. Léopold œuvre tout particulièrement à apaiser les tensions entre le Royaume-Uni et la France à l'occasion de la question d'Orient en 1840. Il souhaite que la bonne entente règne entre Londres et Paris, afin que Bruxelles soit en sécurité. À cet effet, il organise une entrevue entre son beau-père le roi Louis-Philippe et sa nièce la reine Victoria en 1843. La rencontre a lieu au château d'Eu ; son retentissement est majeur car pour la première fois depuis treize ans, la maison d'Orléans, jusqu'ici traitée en renégate, reçoit des souverains étrangers. L'année suivante, le roi des Français rend la visite reçue. Ce sont Léopold et Louise qui règlent personnellement les détails de ce voyage. Ce séjour est couronné de succès, les Anglais accueillant Louis-Philippe comme un patriarche estimé.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Ayant réussi à rapprocher ses deux puissants voisins, le roi reprend contact avec les princes allemands. En , accompagnés par les souverains britanniques, les souverains belges se retrouvent à Brühl et au château de Stolzenfels à la réunissant autour d'eux et du couple royal de Prusse quarante princes et princesses allemands. Seul l'empereur de Russie demeurait sur ses positions, à savoir qu'aucun diplomate ne le représente à Bruxelles jugée trop encline à accueillir les rebelles polonais. Le talent de la reine Victoria, conjugué à celui de Van Praet, ministre de la Maison du roi, permet qu'en 1844 des relations diplomatiques soient établies entre la Belgique et la Russie.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Léopold reste neutre pendant les événements français de février 1848. Bien qu'il soit le gendre du roi déchu Louis-Philippe, Léopold devance les autres nations en s'empressant de reconnaître la République française. Si la neutralité belge recueille une sincère admiration au niveau européen, les événements de 1848 engendrent deux conséquences : ils grandissent la Belgique reconnue pour sa sagesse et son profond patriotisme mais ils modifient la situation internationale du royaume. La France de la monarchie de Juillet, fidèle amie de la Belgique, fait bientôt place à la France bonapartiste singulièrement inquiétante pour sa faible voisine. Sitôt après le Coup d'État du 2 décembre 1851 qui inscrit le régime bonapartiste dans la durée, le roi Léopold dépêche à Paris son ministre d'État Henri De Brouckère pour assurer le prince-président de la bienveillance belge à son égard. Ces bons procédés dissimulent la crainte de Léopold à l'endroit du nouveau régime hypothétiquement dangereux pour l'Europe et pour la Belgique en particulier. Il limite le nombre des réfugiés politiques français afin de s'assurer les bonnes grâces du nouveau pouvoir. En 1854, le roi Léopold rencontre enfin à Calais. L'année suivante, le roi des Belges envoie son fils Léopold à Paris dans le cadre de l'Exposition universelle, établissant des relations plus apaisées entre les deux pays.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Après 1848, à l'Est aussi croît un péril redoutable : le mouvement nationaliste en Allemagne contribue à l'élimination progressive de l'Autriche au profit de la Prusse laquelle marche vers son hégémonie sur le monde germanique. Créé dans le sillage de la révolution de Mars, un pré-parlement à l'assemblée de Francfort réunit des représentants d'états de la Confédération germanique. Ce pré-parlement cite le nom du roi Léopold comme candidat potentiel à l'élection d'un chef fédéral qui ceindrait la couronne impériale d'Allemagne. Ensuite, l'entrée de la Belgique dans la Confédération germanique est évoquée. Le roi Léopold ne souhaite guère cette adhésion, car elle contreviendrait à la neutralité de l'État belge et aux sentiments d'indépendance de la population de son royaume. Cette première tentative d'unification allemande échoue, mais la Prusse n'en demeure pas moins une voisine puissante aux portes de la Belgique.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Vis-à-vis des Pays-Bas, demeure sans rancune. Depuis la signature du traité de 1839 qui solde le contentieux entre les Belges et les Néerlandais, Léopold s'attache à établir de bonnes relations avec son voisin du Nord, dont les intérêts rejoignent ceux de la Belgique. Les événements de 1848 permettent de nouer des contacts directs entre les deux cours. En , le roi envoie son fils cadet le comte de Flandre à la cour de La Haye afin de raffermir les relations avec les Pays-Bas. Philippe, comte de Flandre, rencontre toute la famille royale néerlandaise dont la princesse Marie d'Orange-Nassau, cousine du roi , que certains journaux s'empressent de fiancer au second fils du roi des Belges. Le , Léopold reçoit cordialement à Liège le roi des Pays-Bas, qui, répondant à l'invitation à Compiègne émise par , choisit de revenir par la Belgique. La veille de cette rencontre, Léopold écrit à sa nièce Victoria : Cette rencontre de Liège se passe au mieux et scelle la concorde des deux nations jadis ennemies.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Léopold mène également une intense politique matrimoniale et se sert adroitement de ses relations familiales pour protéger le jeune royaume face aux ambitions françaises, notamment des menaces d'annexion sous le règne de . Dans cet esprit, Léopold œuvre activement dans l'établissement matrimonial stratégique de ses neveux et nièces et de deux de ses enfants. En 1836, son neveu Ferdinand épouse la reine et devient dès lors roi consort de Portugal, royaume traditionnellement protégé par la Grande-Bretagne. En 1840, est conclu le mariage entre un neveu que Léopold a formé et une nièce qu'il a élevée : Albert épouse sa cousine la reine Victoria du Royaume-Uni. En 1843, Auguste, neveu du roi Léopold, épouse Clémentine d'Orléans, sœur de la reine Louise, union qui présente en outre l'avantage d'allier la famille de Saxe-Cobourg avec sa belle-famille d'Orléans. En 1846, Léopold, son neveu, frère puîné d'Auguste et de Ferdinand, manque d'épouser la reine .


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Quant aux enfants du roi Léopold, deux d'entre eux, Léopold et Charlotte, s'allient à la plus prestigieuse des maisons, les Habsbourg-Lorraine, anciens souverains de la Belgique et du Saint-Empire. En 1853, son fils et héritier Léopold épouse l'archiduchesse Marie-Henriette, cousine de l'empereur François-Joseph . Quatre ans plus tard, en 1857, Charlotte, fille unique du roi épouse le frère cadet de l'empereur d'Autriche : l'archiduc Maximilien futur empereur du Mexique.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Enfin, en 1862, le futur (fils de la reine Victoria et donc petit-neveu du roi Léopold) se fiance à Bruxelles avec la princesse Alexandra de Danemark, sous les auspices de . Animée par le même esprit, la reine Victoria, alliée à la famille royale belge, perpétuera cette politique matrimoniale, méritant à la génération suivante le qualificatif de .


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Vers la fin de son règne, le rôle que Léopold joue dans la diplomatie belge diminue au profit du gouvernement. Ainsi, en 1859, il ne parvient pas à convaincre son cabinet d'envoyer une brigade belge soutenir les Anglais et les Français en expédition en Chine. De même, il ne prend que faiblement part aux négociations relatives au rachat du péage de l'Escaut qui aboutissent en 1863.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Lorsque prête le serment constitutionnel, la Belgique ne dispose d'aucune possession coloniale et ne peut prétendre à aucun partage des colonies néerlandaises. Or, le nouvel État cherche à développer son industrie et son commerce, ce qui nécessite d'établir des rapports commerciaux avec les pays d'outre-mer. Le roi Léopold voit aussi dans l'acquisition d'une colonie un remède au paupérisme croissant, comme il le souligne dans son discours du trône de 1845. L'industrialisation bouleverse l'ordre social, la crise alimentaire en Flandre devient préoccupante.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Les projets inspirés par le roi et soutenus par ses propres deniers sont nombreux, mais avortent aussitôt conçus. Il songe à acquérir dans les Antilles l'île des Pins, puis l'île de la Tortue. Le gouvernement suédois offre de céder l'île Saint-Barthélémy, mais c'est la France qui l'acquiert. Il est aussi question d'acheter les îles Féroé, mais elles ne sont pas à vendre. Un projet de protectorat belge sur une partie de la Nouvelle-Zélande échoue également. Une compagnie anglaise envisage la valorisation, pour le compte de la Belgique, de l'archipel des Nicobar, mais seul un tiers du capital est réuni. L'Espagne cherche un acquéreur pour les îles Philippines : un consortium serait fondé et consentirait à financer une société dont le siège serait à Bruxelles à condition que le gouvernement garantisse un intérêt de . Le gouvernement décline cette offre. On évoque aussi, en 1843, un comptoir belge en Abyssinie. La Compagnie belge de colonisation est fondée le sous le patronage du roi. Ses objectifs sont de et . Dans les faits, la compagnie dispose d'une concession de de terres du district de Santo Tomás de Castilla (département de Vera-Paz, actuel Guatemala), accordée par le récent régime autoritaire de Rafael Carrera. Cette création est sanctionnée par arrêté royal le de la même année et l'État Belge lui accorde une importante subvention.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Conformément aux statuts, une commission d'exploration est envoyée le afin de préparer le terrain et de finaliser le transfert. La première mission belge embarquée à bord de la goélette Louise-Marie arrive sur place. Dès qu'ils débarquent, les Belges voient leur nombre diminuer quotidiennement en raison de conditions sanitaires défavorables. Cependant, le roi se laissant influencer par les rapports trop enthousiastes du chef de la mission souhaite la poursuite du projet. Jusqu'en 1847, de nouveaux convois quittent la Belgique composés de quelques notables et de plusieurs centaines de colons, anciens prisonniers et gens de petite condition, recrutés à grand renfort de propagande et inconscients du sort réel qui les attend. En raison du manque de contingent venu de métropole et du taux important de mortalité parmi les colons, l'expérience s'avère être un échec. En 1855, le Guatemala finit par retirer ses droits à la compagnie.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: En 1859, le Royaume-Uni et la France envoient des corps expéditionnaires en Chine à destination de Pékin. Sous l'impulsion de son fils le futur , fasciné par l'Extrême-Orient, le roi cherche à impliquer la Belgique dans cette expédition, par l'envoi de volontaires, afin que le royaume recueille des bénéfices similaires à ceux de ses deux voisins. Le souverain prend contact avec l'empereur des Français qui marque son accord sur le principe. Le gouvernement refuse toutefois d'utiliser d'importants crédits pour s'immiscer dans un conflit vis-à-vis duquel la Belgique n'est pas partie prenante.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: En 1860, le roi Léopold, considérant les excellentes relations commerciales et diplomatiques avec le Brésil, songe à y envoyer s'établir son fils cadet Philippe, comte de Flandre. Célibataire, le prince pourrait épouser l'une des deux filles de l'empereur . Ce dernier souhaite en effet octroyer à ses futurs gendres de vastes territoires sur lesquels s'installeraient des colons européens. Un mariage belgo-brésilien constituerait une belle opportunité d'investissements et étendrait l'influence des Cobourg outre-Atlantique. Initialement désireux de se rendre au Brésil pour estimer si l'une des princesses lui convient, le comte de Flandre temporise avant de renoncer définitivement à tout projet au Brésil.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: À la fin du règne de , la Belgique n'a toujours pas de colonie. Son fils et successeur s'investira, lui aussi, dans l'expansion du royaume et rencontrera davantage de succès.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Le , Charlotte, fille unique du roi Léopold, épouse à Bruxelles l'archiduc Maximilien, frère cadet de l'empereur . Contrairement au mariage de son frère Léopold avec Marie-Henriette, imposé quatre ans auparavant par le roi en vue de renforcer la dynastie belge, c'est Charlotte qui choisit son conjoint. Son père aurait préféré son propre petit-neveu le roi . Quelques semaines plus tard, le , Maximilien est nommé vice-roi du royaume de Lombardie-Vénétie. Lors de la guerre austro-sarde de 1859, estimant qu'une entente austro-prussienne constitue la meilleure garantie pour le maintien de l'équilibre européen, le roi des Belges a l'audace de prodiguer des conseils stratégiques à l'empereur d'Autriche, qui ne les suit pas davantage qu'il ne les avait sollicités. Lorsque l'Autriche perd la Lombardie, Léopold conseille à la Prusse de rassembler une armée sur le Rhin. Ce conseil, une fois connu, représente Léopold comme ayant pris le parti prussien alors qu'il ne songeait qu'à sauver l'Autriche.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: De l'autre côté de l'Atlantique, le président du Mexique, le libéral Benito Juárez, suspend le le paiement de la dette extérieure du pays. Cette décision affecte le Royaume-Uni, l'Espagne et la France. L'empereur des Français, , saisit ce prétexte pour intervenir au Mexique. Il nourrit l'ambition de créer en Amérique un empire catholique contre-pesant les États-Unis, lesquels sont en proie à la guerre de Sécession. Il propose la couronne du Mexique à Maximilien afin de compenser diplomatiquement l'engagement français en Italie et de renforcer l'alliance franco-autrichienne. Après avoir tergiversé une année, Maximilien accepte la couronne impériale mexicaine. Il entre, le , dans Mexico, accompagné de son épouse, et ce, malgré l'opposition armée des républicains mexicains.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Léopold, qui entend soutenir sa fille et caresse des espoirs d'expansion coloniale, encourage l'envoi d'une légion belge, composée de volontaires. Cette légion, forte de , est durement battue par les républicains lors de la bataille de Tacámbaro, le , mais remporte la victoire de la Loma le sous les ordres du lieutenant-colonel Alfred van der Smissen.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: En avril 1865, la guerre de Sécession au sujet de laquelle Léopold marque une nette prédilection en faveur du Sud prend fin. Cette issue permet au gouvernement américain d'apporter son soutien aux troupes du gouvernement républicain menées par Benito Juárez. Léopold meurt en alors que sa fille et son gendre venaient de lui demander un ultime conseil au sujet de la situation délétère qu'ils connaissent. Impuissant, le monarque leur répond :


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: L'ampleur de la résistance mexicaine et l'appui qu'elle reçoit des États-Unis obligent à ordonner le l'abandon de Mexico, Puebla et Veracruz, engendrant dès lors le départ de la plupart des Belges. Charlotte quitte le Mexique, le , afin de réclamer, en vain, de l'aide auprès des cours européennes. L'empereur Maximilien, qui a refusé d'abdiquer, est fait prisonnier à Santiago de Querétaro, où il est exécuté le alors que Charlotte sombre dans la folie.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Jusqu'à ses 70 ans, le roi jouit d'une bonne santé. En 1861, il est confronté à plusieurs deuils qui l'affectent beaucoup. Sa sœur Victoire, la mère de la reine Victoria, meurt en mars. En novembre, c'est son petit-neveu, le roi qui succombe des suites de la fièvre typhoïde à , quelques jours après son jeune frère Ferdinand et quelques semaines avant son autre frère Jean. En décembre, c'est son neveu le prince consort Albert auquel Léopold est particulièrement attaché qui meurt brutalement. Léopold se rend aux funérailles et tente de consoler sa nièce la reine Victoria. Là, en Grande-Bretagne, il souffre de calculs rénaux. En , le roi subit une première lithotripsie, laquelle est renouvelée à de nombreuses reprises dans les mois qui suivent. En , le roi peut encore s'adonner à la chasse. Au début de 1865, le roi est victime d'une congestion cérébrale. Après un léger mieux en été, son état s'altère à l'automne.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Le , le roi est ramené d'urgence du domaine d'Ardenne à Laeken. Il y signe encore un lot d'arrêtés, mais le , le secret de son état de santé ne peut plus être gardé. Le "Moniteur" annonce officiellement la maladie du roi et laisse présager une issue fatale. On assure que, ce même , le roi fait venir son pianiste pour l'entendre jouer l'ouverture de Tannhäuser. Le surlendemain, il sanctionne une dernière nomination. Cependant, ses forces déclinent sous l'effet d'une dysenterie persistante. Le , la situation paraît désespérée, mais le roi passe la nuit. Le lendemain, sa famille, précédée par la duchesse de Brabant, force la consigne qui la tenait éloignée du roi. La duchesse de Brabant s'agenouille au chevet de son beau-père et échange quelques mots avec lui. Elle fait ensuite appeler l'ensemble de la famille royale que le roi bénit un à un, sans que l'on soit certain qu'il les voit et entend réellement. Le pasteur protestant et chapelain du roi, Frédéric-Guillaume Becker, est alors introduit dans la chambre et adresse quelques paroles au mourant lequel répond : Tenant la main de la future reine, le roi Léopold meurt le à du matin au château de Laeken, à l'âge de . Le , les funérailles du roi sont célébrées avec beaucoup de solennité. Il est, dans un premier temps, inhumé dans la chapelle Sainte-Barbe de l'ancienne église de Laeken auprès de la reine Louise. Ce n'est que le que ses restes et ceux de la reine reposent dans la crypte royale à la nouvelle église Notre-Dame de Laeken. Quelque prennent place le long du cortège funèbre. Une importante représentation du gotha européen est présente : le roi de Portugal, le prince de Galles, le prince royal de Prusse, l'archiduc Joseph, le prince Arthur de Grande-Bretagne, le prince Adalbert de Prusse, le duc de Cambridge, le prince Louis de Hesse, le prince Nicolas de Nassau, le grand-duc de Bade, le prince Georges de Saxe, le prince Auguste de Saxe-Cobourg, le roi , le prince Léopold de Hohenzollern-Sigmaringen, le duc de Nemours, le duc d'Aumale et le prince de Joinville auxquels se joignent les envoyés extraordinaires des corps diplomatiques de France, Russie et Turquie. Le défunt monarque étant protestant, on élève hâtivement une chapelle de bois et de plâtre où est dit le service religieux protestant. Laissant selon les vœux du cardinal Sterckx, primat de Belgique, les ministres du culte protestant dans le temple provisoire à l'extérieur du parvis, le lourd cercueil porté par vingt-quatre sous-officiers pénètre alors dans l'église de Laeken. Traversant la nef, le corps est déposé dans la chapelle Sainte-Barbe. Le cercueil est mis dans un coffre d'ébène, lamé d'or, que scelle le ministre de la Justice.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: , qui succède à son père à l'âge de , fait le lendemain, le , son entrée à Bruxelles. Il règnera jusqu'en 1909. Plusieurs vaisseaux de la marine belge, dont la frégate  furent baptisés en son honneur. Son monogramme figure sur le drapeau de la ville flamande de Bourg-Léopold. Il est également apparu sur des timbres-poste et des pièces commémoratives depuis sa mort.


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: L'hypothèse de son appartenance à la franc-maçonnerie, sans appeler de réelle controverse, s'est vue largement remise en cause par plusieurs auteurs et ouvrages de référence. Sa réception, en , au sein d'une loge suisse de Berne appartenant au Grand Orient de France, durant une période où il est au service du tsar de Russie, n'est reconnue au que comme honoraire et épisodique. Aucun autre document historique ne fait état de son appartenance à un ordre maçonnique durant son règne. Sans toutefois être un franc-maçon avéré au regard de cette réception éventuelle , il garde toutefois une attitude bienveillante à l'égard de la franc-maçonnerie belge durant son règne. Cette appartenance quasi-légendaire est reprise par le Grand Orient de Belgique à la mort du roi qui utilise un temps l'image d'un personnage de première importance et organise en une cérémonie mémorielle en l'honneur du "".Le rôle de a été incarné à l'écran, notamment par :


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: "Léopold, roi des Belges" est un film franco-belge de Cédric Vandresse, qui . Ce film a été produit par la société de production namuroise "Mad Ca"t et racheté par Arte (2018).


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Le personnage de apparaît en 2018 dans le premier volume d'une série de bande dessinée biographique, "Charlotte impératrice", par Matthieu Bonhomme (dessin) et Fabien Nury (scénario).


title: Léopold Ier (roi des Belges)

text: Le symbole renvoie aux ouvrages utilisés pour la rédaction de cet article.


title: Crible d'Ératosthène

text: Le crible d'Ératosthène est un procédé qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel donné "N". Le crible d'Atkin est plus rapide mais plus complexe.


title: Crible d'Ératosthène

text: L'algorithme procède par élimination : il s'agit de supprimer d'une table des entiers de 2 à N tous les multiples d'un entier (autres que lui-même).


title: Crible d'Ératosthène

text: En supprimant tous ces multiples, à la fin il ne restera que les entiers qui ne sont multiples d'aucun entier à part 1 et eux-mêmes, et qui sont donc les nombres premiers.


title: Crible d'Ératosthène

text: On commence par rayer les multiples de 2, puis les multiples de 3 restants, puis les multiples de 5 restants, et ainsi de suite en rayant à chaque fois tous les multiples du plus petit entier restant.


title: Crible d'Ératosthène

text: On peut s'arrêter lorsque le carré du plus petit entier restant est supérieur au plus grand entier restant, car dans ce cas, tous les non-premiers ont déjà été rayés précédemment.


title: Crible d'Ératosthène

text: À la fin du processus, tous les entiers qui n'ont pas été rayés sont les nombres premiers inférieurs à N.


title: Crible d'Ératosthène

text: L'animation ci-dessous illustre le crible d'Ératosthène pour N=120 : Remarque: si un nombre n est composé, alors n=nn, avec nécessairement l'un au moins des diviseurs n plus petit que formula_1. C'est pourquoi dans le crible ci-dessus où l'on a choisi 120 puisque 121=11², on s'arrête après avoir trouvé les multiples de 7.


title: Crible d'Ératosthène

text: Le crible d'Ératosthène peut être mis en œuvre de façon classique ou récursive, mais aussi sous la forme d'une méthode pipe-line.


title: Crible d'Ératosthène

text: Dans une version classique, on transcrit ainsi l'algorithme :


title: Crible d'Ératosthène

text: Comme dans l'animation ci-dessus, on peut optimiser le code précédent en arrêtant la boucle Pour i une fois codice_1 puisque l'on ne rentrera plus dans la boucle Pour j et en se contentant d'afficher les indices de L contenant Vrai. On peut aussi éviter de cocher plusieurs fois les nombres pairs et diviser le temps d'exécution par 2


title: Crible d'Ératosthène

text: Le crible d'Ératosthène se code facilement avec une fonction récursive, qu'il suffit d'appeler initialement avec le tableau des entiers de 2 à N.


title: Crible d'Ératosthène

text: Voici un pseudo code :


title: Crible d'Ératosthène

text: L'algorithme récursif présente comme avantage de pouvoir être codé sur un langage ne supportant pas de structure de données de type liste.


title: Crible d'Ératosthène

text: L'idée est d'engendrer chaque nombre à vérifier, pour le soumettre à un tri en cascade, ne conservant des entiers reçus que ceux qui sont premiers.


title: Crible d'Ératosthène

text: Pour cela, à chaque nombre premier repéré est associé un poste qui ne transmettra parmi ses successeurs que ceux qui ne sont pas ses multiples.


title: Crible d'Ératosthène

text: Ce système n'utilise pas de table ou de liste de nombres à traiter "a priori", mais à tout moment "un poste" (cellule active ou "coroutine") "par nombre premier déjà reconnu".


title: Crible d'Ératosthène

text: Ainsi :


title: Crible d'Ératosthène

text: En régime de croisière, ce crible commence à vérifier la primalité de nouveaux nombres pendant qu'il poursuit ou achève la vérification de la primalité de nombres précédents.


title: Crible d'Ératosthène

text: Nous noterons, qu'à moins de disposer d'une machine parallèle avec formula_1 processeurs, cette méthode est inefficace puisque chaque poste parcourt un nombre d'entiers de l'ordre de n.


title: Crible d'Ératosthène

text: C. A. R. Hoare, "Communicating sequential processes", CACM 21 (1978)


title: Crible d'Ératosthène

text: Κόσκινον Ερατοσθένους "or, The Sieve of Eratosthenes. Being an Account of His Method of Finding All the Prime Numbers", by the Rev. Samuel Horsley, F. R. S., Philosophical Transactions (1683-1775), Vol. 62. (1772), .


title: Fonction zêta de Riemann

text: En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres premiers. Elle est aussi importante comme fonction modèle dans la théorie des séries de Dirichlet et se trouve au carrefour d'un grand nombre d'autres théories. Les questions qu'elle soulève sont loin d'être résolues et elle sert aussi de motivation et de fil conducteur à de nouvelles études, à l'instar du rôle joué par le grand théorème de Fermat.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Le présent article commence par la définition de la fonction à partir de la série de Dirichlet puis cette définition est étendue au plan complexe privé de 1. On examine ensuite ce qui se passe en 1. La théorie de la fonction de Riemann définit trois régions dans le plan complexe, la région de convergence  > 1, la bande critique 0 ≤ (s) ≤ 1, et la région < 0. À partir de la relation fonctionnelle, le module de la fonction est estimé dans chacune de ces régions. Cela nécessite des formules permettant d'estimer la fonction ou d'autres fonctions qui lui sont liées. Puis on étudie les zéros. La relation fonctionnelle fournit les zéros réels et également l’ordre de ces zéros : ils sont simples. Dans la bande critique, il en existe une infinité. On estime donc ce nombre "N"("T") dans un rectangle de hauteur "T. "Le théorème de Hardy en place une infinité sur l'axe = . On estime, avec beaucoup de difficulté, le nombre "N"("T") des zéros dont la partie imaginaire est comprise entre 0 et T et dont la partie réelle est . Pour étudier la répartition des zéros, différentes quantités les faisant intervenir sont estimées. Enfin, les conjectures classiques sont examinées : définitions, conséquences, critères équivalents.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Les recherches sur la fonction zêta constituent un domaine très technique. La plupart des preuves, nécessitant une formation spécialisée en théorie analytique des nombres, sont omises ici.


title: Fonction zêta de Riemann

text: La théorie de la fonction de Riemann est presque tout entière dominée par la question de la répartition de ses zéros. Comme l'explique la théorie générale des fonctions analytiques, toute fonction méromorphe s'écrit comme le produit de facteurs faisant apparaître les pôles et les zéros de cette fonction. L'hypothèse de Riemann selon laquelle tous les zéros non triviaux de la fonction de Riemann sont de partie réelle égale à renforce encore l'intérêt pour ces zéros. Aussi la théorie s'est-elle développée dans plusieurs directions : la première est celle de l'étude des zéros eux-mêmes. On a cherché à démontrer l'hypothèse de Riemann elle-même avant de se rendre compte des difficultés. L'objectif est alors devenu plus modeste : démontrer une partie de l'hypothèse de Riemann. D'un autre côté, la communauté mathématique croit en l'hypothèse de Riemann, aussi a-t-on cherché les conséquences de l'hypothèse de Riemann en prévision de sa démonstration. Cependant chaque nouvelle conséquence de l'hypothèse de Riemann est aussi une voie nouvelle pour l'infirmer.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Par exemple, on démontre que l'on a, sous l'hypothèse de Riemann, si (où est la constante d'Euler-Mascheroni), pour "t" assez grand :


title: Fonction zêta de Riemann

text: Les conséquences de l'hypothèse de Riemann sont nombreuses. On a ainsi cherché à les démontrer indépendamment de cette hypothèse, ce qui s'avéra parfois possible. Et chacune de ces conséquences est devenue un objectif en soi. Devant la difficulté posée par la démonstration de l'hypothèse de Riemann, on a aussi énoncé des hypothèses plus faibles qu'on a également tenté de démontrer, sans beaucoup plus de succès.


title: Fonction zêta de Riemann

text: La fonction de Riemann est une fonction analytique complexe méromorphe définie, pour tout nombre complexe "s" tel que > 1, par la série de Riemann : formula_3. D'après la théorie des séries de Dirichlet, on déduit que la fonction ainsi définie est analytique sur son domaine de convergence. La série ne converge pas en "s "= 1 car on a formula_4 qui tend vers l'infini avec " "(voir l'article détaillé « Série harmonique » pour d'autres démonstrations de ce résultat, et une estimation plus précise de la valeur des sommes partielles). La valeur "s "= 1 est donc une singularité de la fonction.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Euler a calculé (dans le cadre de sa solution au problème de Bâle) la valeur de la fonction pour les entiers strictement positifs pairs en utilisant l'expression de formula_5 sous forme de produit infini ; il en a déduit la formule :


Fonction zêta de Riemann


title: Fonction zêta de Riemann

text: et de ce fait formula_7


title: Fonction zêta de Riemann

text: L'application de l'équation fonctionnelle et de la formule de Stirling, et le comportement asymptotique de permet de montrer que formula_8 pour σ < 0.


title: Fonction zêta de Riemann

text: On peut estimer, uniformément dans la bande critique, par la formule formula_9


title: Fonction zêta de Riemann

text: De la méthode de Vinogradov-Korobov on déduit la majoration suivante : il existe deux constantes " "et " "strictement positives telles que pour tout et , on ait formula_10


title: Fonction zêta de Riemann

text: Dans l'état actuel des connaissances, d'après Ford, on peut prendre " "= et " "= . La relation fonctionnelle permet d'estimer le module dans la bande .


title: Fonction zêta de Riemann

text: Quand on regarde les applications arithmétiques de la fonction , on est frappé par l'usage quasi systématique des fonctions , , ou mais la fonction elle-même apparaît rarement au numérateur. Comme la région importante est la bande critique 0 ≤ ≤ 1, il est important de pouvoir traverser cette bande. Or la présence éventuelle de zéros sur le chemin complique singulièrement les calculs et les estimations. Le résultat suivant sert essentiellement à majorer la fonction sur des chemins bien répartis.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Dans sa thèse soutenue en 1914, Georges Valiron a montré qu'il existait une infinité de valeurs de " "dans tout intervalle pour lesquelles on avait la minoration formula_11 pour un certain δ fixe strictement positif.


title: Fonction zêta de Riemann

text: On ne connaît aucune valeur de δ qui convient. On sait seulement que 0 ≤ δ ≤ 1. Sous l'hypothèse de Riemann, on peut prendre δ aussi petit qu'on veut.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Comme indiqué dans la partie consacrée à l'estimation dans la bande critique, il est possible de calculer la fonction dans la bande critique en utilisant une somme partielle de la série de Dirichlet. La relation fonctionnelle se traduit alors dans une relation approchée reliant les séries de Dirichlet partielles pour les exposants "s" et 1 – "s. "C'est la "relation fonctionnelle approchée" :


title: Fonction zêta de Riemann

text: Pour 0 < σ < 1 et avec , , on a


title: Fonction zêta de Riemann

text: formula_12 avec  formula_13


title: Fonction zêta de Riemann

text: On peut, avec elle, obtenir une première estimation de , l'objectif étant de démontrer l'hypothèse de Lindelöf (voir plus loin).


title: Fonction zêta de Riemann

text: On utilise ici les résultats vus plus haut dans la partie .


title: Fonction zêta de Riemann

text: L'estimation de dans la partie < 0 montre que la fonction est d'ordre fini : elle est majorée par une puissance de .


title: Fonction zêta de Riemann

text: Dans la région > σ > 1, la majoration est celle d'une constante.  La théorie des séries de Dirichlet montre que dans la bande critique, la fonction est encore d'ordre fini sauf en "s "= 1. La question qui se pose alors est celle de l'estimation de cet exposant. On appelle traditionnellement (σ) la borne inférieure des exposants tels que .


title: Fonction zêta de Riemann

text: Le théorème de Phragmén-Lindelöf implique que la fonction est une fonction convexe décroissante de σ.


title: Fonction zêta de Riemann

text: On a de plus : mais on ignore la valeur exacte de (σ) pour 0 < σ < 1.


title: Fonction zêta de Riemann

text: La convexité donne () ≤ = .


title: Fonction zêta de Riemann

text: La relation fonctionnelle approchée (voir plus haut) donne : () ≤ < .


title: Fonction zêta de Riemann

text: On sait que () ≤ ≈ d'après M.N. Huxley.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Par la relation fonctionnelle, il apparaît que la fonction s'annule pour tous les entiers de la forme –2"k", ("k "> 0) par suite du facteur formula_14, mais pas en par suite du facteur . Ces zéros sont appelés les zéros triviaux.


title: Fonction zêta de Riemann

text: La relation fonctionnelle permet de plus de montrer que chacun de ces zéros est simple puisque la valeur de la dérivée en –2"k" est : formula_15


title: Fonction zêta de Riemann

text: Il existe d'autres zéros. On obtient de la relation fonctionnelle que la fonction admet une infinité de zéros dans la bande ∈ ]0, 1[. Pour cela, on remarque que la fonction formula_16  vérifie formula_17  On en déduit que la fonction formula_18 est paire. On montre que les deux fonctions et sont deux fonctions entières d'ordre 1 et, comme est paire, la fonction est une fonction entière d'ordre : elle admet donc, d'après la théorie générale des fonctions entières, une infinité de zéros. Ces zéros se traduisent par une infinité de zéros de dans la bande On ignore pour l'instant si l'hypothèse de Riemann (voir plus bas), qui affirme que tous ces zéros sont de partie réelle , est vraie.


title: Fonction zêta de Riemann

text: D'après le théorème de factorisation de Hadamard pour une fonction méromorphe, toute fonction méromorphe s'écrit sous forme de produit de facteurs dits primaires dans lesquels apparaissent les zéros et les pôles de la fonction. La représentation sous cette forme pour prend la forme formula_19 où le produit s'effectue sur les zéros non-triviaux de et est la constante d'Euler-Mascheroni.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Indépendamment de l'expression en fonction des facteurs primaires de Weierstrass, la valeur peut se calculer en fonction des zéros non triviaux les plus proches du point . On démontre que seuls les zéros à une distance de " "inférieure à 1 interviennent vraiment. Le reste s'exprime dans la notation .


title: Fonction zêta de Riemann

text: Il faut faire attention au fait que les expressions faisant intervenir une somme sur les zéros ne sont généralement pas commutativement convergentes et que l'ordre de sommation intervient : on somme symétriquement par rapport à . D'autre part, les zéros sont comptés autant de fois que leur multiplicité dans ces sommes.


title: Fonction zêta de Riemann

text: La première expression intéressante, déduite du produit de Hadamard précédent, est : formula_20 La somme s'effectue sur les zéros non-triviaux de et est la constante d'Euler-Mascheroni.


title: Fonction zêta de Riemann

text: On en déduit : formula_21


title: Fonction zêta de Riemann

text: Cette formule montre alors, sans l'hypothèse de Riemann,


Fonction zêta de Riemann


title: Fonction zêta de Riemann

text: Avec l'hypothèse de Riemann, la sommation peut être considérablement diminuée. On a formula_23


title: Fonction zêta de Riemann

text: On appelle bande critique la bande 0 < < 1. Il existe donc une infinité de zéros dans la bande critique mais, actuellement, on ne sait pas exactement où. L'hypothèse de Riemann affirme qu'ils sont tous de partie réelle . On a vérifié numériquement sur plus de zéros que leur partie réelle était bien .


title: Fonction zêta de Riemann

text: Il a été démontré que l'axe = en avait une infinité, dont les 2/5 au moins sont simples. On sait également que la proportion des zéros de la forme en dehors de l'axe = et tels que tend vers 0 quand " "tend vers l'infini, cette proportion décroissant également à mesure que s'écarte de .


title: Fonction zêta de Riemann

text: On appelle traditionnellement "N"("T") le nombre de zéros de la fonction de Riemann dans le rectangle vertical décrit par sa diagonale . On note aussi "N"("T") le nombre de zéros se trouvant sur le segment . On a alors les estimations suivantes :


title: Fonction zêta de Riemann

text: formula_24 Ces estimations permettent de donner une estimation asymptotique pour le zéro de rang , sous la forme formula_25 Cette formule montre d'une part que l'ordre de chaque zéro " "est majoré par  formula_26 et d'autre part que la distance entre deux zéros tend vers 0. On a en effet formula_27 Pour les zéros de la droite critique, on sait qu'il existe une constante "C "telle que, pour tout "T "≥ 2 on a formula_28


title: Fonction zêta de Riemann

text: On ne connaît pas la valeur exacte de la constante "C "mais Conrey a démontré en 1989 que formula_29 Autrement dit, plus de deux cinquièmes des zéros de sont sur la droite critique = .


title: Fonction zêta de Riemann

text: À partir de la fonction entière, qui satisfait formula_30 et formula_31 et dont les zéros sont les zéros non triviaux, on trouve avec le principe de l'argument


title: Fonction zêta de Riemann

text: où formula_33, les arguments étant définis par variation continue sur le chemin formula_34 et en partant de la valeur formula_35.


title: Fonction zêta de Riemann

text: La formule de Stirling complexe donne alors formula_36


title: Fonction zêta de Riemann

text: On connaît relativement peu de chose sur sans aucune hypothèse. On a l'estimation  formula_37 déjà ancienne et qu'on n'arrive pas à améliorer. Sous l'hypothèse de Riemann, on a formula_38 Dans les recherches sur , on a réussi à avoir quelques précisions supplémentaires sur le comportement de qui reste mystérieux : formula_39 dont on déduit que la moyenne de est égale à zéro.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Cependant Selberg a montré que était minoré par une quantité tendant vers l'infini pour une infinité de valeurs de "T." Sur ces valeurs de "T", on a formula_40 Selberg a également montré que formula_41 qui montre que la moyenne de sur [0, "T"] est .


title: Fonction zêta de Riemann

text: Edward Charles Titchmarsh a montré d'autre part que changeait de signes une infinité de fois.


title: Fonction zêta de Riemann

text: La plus grande région connue qui ne contient aucun zéro de la fonction est donnée asymptotiquement par la formule suivante : formula_42


title: Fonction zêta de Riemann

text: Elle exprime que tous les zéros qui se trouvent dans la bande critique sont de partie réelle égale à . Elle ne dit rien sur la multiplicité des zéros.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Cette hypothèse, formulée dès 1859 par Bernhard Riemann, a de très grandes conséquences dans le comportement asymptotique de nombreuses fonctions arithmétiques qui se trouvent liées à , ainsi que sur l'étude de la répartition des nombres premiers.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Les conséquences sur le comportement de la fonction sont nombreuses. On en donne quelques-unes dans ce qui suit.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Cette hypothèse reste pour l'instant non démontrée, mais tous les zéros calculés jusqu'ici par ordinateur la vérifient.


title: Fonction zêta de Riemann

text: L'hypothèse de Riemann entraine que l'on a δ = 0 dans le théorème de Valiron. En fait, on montre bien mieux sous l'hypothèse de Riemann car la fonction est alors analytique régulière dans le demi-plan > .


title: Fonction zêta de Riemann

text: Sous l'hypothèse de Riemann, on a, uniformément pour tout σ tel que < σ ≤ σ ≤ 1 formula_43 et même plus précisément, si l'on suppose formula_44, on a formula_45


title: Fonction zêta de Riemann

text: De cela on déduit, pour tout σ > , car l'exposant dans la formule précédente est inférieur à 0, formula_46 Autrement dit, l'hypothèse de Riemann implique l'hypothèse de Lindelöf (voir plus bas).


title: Fonction zêta de Riemann

text: Il en résulte également l'estimation


Fonction zêta de Riemann


title: Fonction zêta de Riemann

text: On peut développer, sous l'hypothèse de Riemann, une théorie voisine de celle de la fonction formula_48 mais pour la fonction (voir #La théorie de la fonction mu).


title: Fonction zêta de Riemann

text: En supposant σ > et appelant (σ) le plus petit exposant pour lequel on a formula_49, on montre que (σ) est une fonction convexe décroissante de σ satisfaisant aux inégalités 1 – σ ≤ (σ) ≤ 2(1 – σ). On montre aussi que la fonction (σ) de formula_50 est la même fonction (σ) que celle de . Mais on ignore encore la valeur de (σ) pour tout Pour σ ≥ 1, (σ) = 0.


title: Fonction zêta de Riemann

text: La question de la position des zéros de la dérivée est liée également à l'hypothèse de Riemann. Littlewood a démontré le théorème


title: Fonction zêta de Riemann

text: Ou bien la fonction ou bien la fonction a une infinité de zéros dans la bande 1 – δ < σ < 1, δ étant une quantité positive arbitrairement petite.


title: Fonction zêta de Riemann

text: et Speiser a démontré que


title: Fonction zêta de Riemann

text: L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'absence de zéro non trivial de la dérivée dans le demi-plan σ < .


title: Fonction zêta de Riemann

text: De même, Yıldırım a démontré que L'hypothèse de Riemann implique que ("s") et ("s") ne s'annulent pas dans la bande 0 < < .


title: Fonction zêta de Riemann

text: La conjecture de Lindelöf est l'assertion que pour tout ε > 0


title: Fonction zêta de Riemann

text: Cela a entre autres pour conséquence immédiate que () = 0. On connaît alors la valeur exacte de la fonction . Le graphe de est composé des deux seules demi-droites indiquées, qui se rejoignent en σ = à la valeur 0.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Cette hypothèse a de nombreuses formulations équivalentes intéressantes. En voici deux :


title: Fonction zêta de Riemann

text: L'hypothèse de Lindelöf a pour conséquence la raréfaction des zéros à mesure qu'on s'écarte de l'axe σ = . Cette dernière propriété est appelée hypothèse de densité quand on la considère par elle-même. Appelant "N"(σ, "T") le nombre de zéros sur la droite = σ et dont la partie imaginaire reste inférieure ou égale à "T", on a, sous l'hypothèse de Lindelöf, formula_54


title: Fonction zêta de Riemann

text: Par contre, on ignore si l'hypothèse de Lindelöf, qui a comme on vient de voir une influence sur la position des zéros, implique ou non l'hypothèse de Riemann.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Sur une table numérique allant jusqu'à de la fonction de Mertens , Mertens en 1897 conjectura que l'on a formula_55


title: Fonction zêta de Riemann

text: Cette conjecture a été réfutée en 1985 par Odlyzko et te Riele. Cependant, la conjecture généralisée de Mertens, qui s'exprime sous la forme formula_56 pour un certain , n'est pas réfutée.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Une troisième formulation est la forme affaiblie : formula_57 La forme généralisée implique la forme affaiblie. La forme affaiblie implique l'hypothèse de Riemann (et donc l'hypothèse de Lindelöf) et la simplicité des zéros.


title: Fonction zêta de Riemann

text: La conjecture (faible) des paires corrélées exprime que, pour un nombre ,


Fonction zêta de Riemann


title: Fonction zêta de Riemann

text: Cette dernière conjecture fait le lien avec la théorie des matrices aléatoires.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Hilbert et Polya ont suggéré que la conjecture de Riemann serait démontrée si l'on pouvait trouver un opérateur hermitien " "dont les valeurs propres (nécessairement réelles) soient exactement les parties imaginaires " "des zéros non triviaux :


title: Fonction zêta de Riemann

text: Un tel opérateur hermitien n'a pas encore été trouvé explicitement à ce jour. Néanmoins, cette équation aux valeurs propres suggère un lien avec un problème de mécanique quantique non relativiste qui est précisé dans le paragraphe suivant.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Les "propriétés statistiques" des zéros non triviaux de la fonction ressemblent asymptotiquement à celles des valeurs propres de matrices aléatoires de l'ensemble gaussien unitaire pour les systèmes non-invariants par renversement du temps (GUE). Cette conjecture est basée sur de nombreux résultats numériques, et fortement supportée par un théorème rigoureux de Montgomery. Ceci a conduit le physicien théoricien Michael Berry à conjecturer que les parties imaginaires " "des zéros non triviaux pouvaient s'interpréter comme les valeurs propres d'un opérateur hamiltonien décrivant un système quantique non relativiste qui serait classiquement chaotique, et dont les orbites classiques ne possèdent pas la symétrie de renversement du temps. Mieux, un opérateur hamiltonien semblant posséder les bonnes propriétés a été exhibé par Berry et Jonathan Keating en 1999.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Les propriétés statistiques des zéros non triviaux continuent d'être l'objet d'intenses recherches, tant numériques qu'analytiques, ainsi que d'interprétations probabilistes.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Malgré quelques progrès, on n'a pas réussi à résoudre la question de l'ordre de dans la bande critique. Le problème de l'ordre moyen est lui, partiellement résolu. Il prend la forme de l'estimation de l'expression formula_60


title: Fonction zêta de Riemann

text: Cette estimation est donnée par un théorème général sur les séries de Dirichlet :


title: Fonction zêta de Riemann

text: "Soient formula_61 et formula_62 deux séries de Dirichlet absolument convergentes, la première pour " > σ "et la seconde pour " > σ.


title: Fonction zêta de Riemann

text: "Alors, pour "α > σ "et "β > σ, "on a"


title: Fonction zêta de Riemann

text: formula_63 En l'appliquant à la fonction , on trouve immédiatement, pour σ > 1


title: Fonction zêta de Riemann

text: et


title: Fonction zêta de Riemann

text: On a donc cherché à étendre ces formules pour σ ≤ 1.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Le problème général des moments est donc l'évaluation des intégrales dépendantes de "k", pour σ ≥  formula_66


title: Fonction zêta de Riemann

text: Les résultats, désormais classiques, sont les suivants :Carlson a montré que, si l'on appelle σ la borne inférieure des σ pour lesquels on a  formula_71, alors  formula_72 pour , la quantité étant l'équivalent de la fonction " "de pour la fonction .


title: Fonction zêta de Riemann

text: Les moments d'ordre supérieur à 4 font encore l'objet d'intenses recherches. On sait qu'il existe une constante telle que  formula_73 pour 2 ≤ "k "≤ 6 et on conjecture qu'il en est ainsi pour les "k "supérieurs à 6, en particulier 8.


title: Fonction zêta de Riemann

text: L'importance du problème des moments est liée à l'hypothèse de Lindelöf (voir plus haut).


title: Fonction zêta de Riemann

text: Par l'intermédiaire de la fonction de Riemann, on a développé une méthode de régularisation des suites divergentes qui a trouvé des applications en physique, notamment dans l'effet Casimir.


title: Fonction zêta de Riemann

text: Une formule due à Euler donne pour


Fonction zêta de Riemann


title: Fonction zêta de Riemann

text: Elle permet à Euler d'écrire


title: Fonction zêta de Riemann

text: Legendre écrit la formule d'Euler sous la forme plus commode numériquement formula_76


title: Fonction zêta de Riemann

text: Ces suites peuvent être utilisées pour obtenir des formules équivalentes à l'hypothèse de Riemann.


title: Fonction zêta de Riemann

text: La fonction de comptage des nombres premiers est définie par formula_77


title: Fonction zêta de Riemann

text: La non-annulation de la fonction sur = 1 a pour conséquence la véracité de la conjecture de Legendre-Gauss : formula_78


title: Fonction zêta de Riemann

text: La région sans zéro permet ensuite de majorer le reste : formula_79


title: Fonction zêta de Riemann

text: ce qui est encore bien loin de ce qu'on sait démontrer si l'hypothèse de Riemann est vraie  formula_80


title: Fonction zêta de Riemann

text: En 1902, Cipolla montra le développement asymptotique


title: Fonction zêta de Riemann

text: Grâce à une étude numérique de la fonction , Rosser et Schoenfeld ont montré, pour n supérieur ou égal à 20, que


title: Fonction zêta de Riemann

text: La borne inférieure a été améliorée par Dusart en 1999 qui montra, pour n >1, formula_83


title: Sushun

text: Son nom personnel était prince .


title: Sushun

text: Sushun était le douzième fils de l'empereur Kinmei, sa mère étant Soga no Oane-hime, une fille de Soga no Iname.Il succède à son demi-frère l'empereur Yōmei en 587, avec le soutien du clan Soga et de sa demi-sœur l'impératrice Suiko, la veuve de l'empereur Bidatsu. Le clan Mononobe s'allie avec le prince Anahobe, un autre fils de Kinmei, et tente d'installer celui-ci sur le trône, mais échoue. Le chef du clan Soga, Soga no Umako, tue Mononobe no Moriya, chef du clan Mononobe, ce qui conduit celui-ci au déclin.


title: Sushun

text: En 592, Sushun perd le soutien du clan Soga, et est assassiné par Umako qui met sur le trône Suiko, qui devient ainsi la première impératrice régnante du Japon.


title: Jinmu

text: L'empereur , fondateur mythique du Japon, est considéré comme le descendant de la déité shinto Amaterasu et fils d'Ugayafukiaezu. La maison impériale actuelle du Japon fonde ses droits au trône du chrysanthème sur la descendance directe de Jinmu.


title: Jinmu

text: Selon la tradition décrite dans le "Kojiki" ("Récit des faits anciens", ouvrage considéré comme le tout premier écrit du Japon) et le "Nihon shoki", Jinmu est né le , meurt le et fonde l'Empire du Japon le . Comme les autres premiers empereurs du Japon, son existence historique n'est pas attestée et sa vie relève surtout de la mythologie. Jinmu, qui signifie « puissance divine », est un nom posthume, de forme chinoise et d'inspiration bouddhiste, attribué au à Kamu Yamato Iware Hiko no Mikoto lors de la compilation des légendes Yamato dans le "Kojiki". D'autres appellations existent, notamment : Kamu Yamato Iware Hiko no Sumera-Mikoto ("Nihongi") et Kamu Yamato Iware Hiko Ho Ho Demi Tennō ("Nihon ōdai ichiran").


title: Jinmu

text: Selon la croyance shinto, Jinmu est considéré comme un arrière-arrière-arrière-petit-fils de la déesse du soleil Amaterasu. Celle-ci avait un fils nommé Ame no Oshihomimi no Mikoto et à travers lui un petit-fils, Ninigi-no-Mikoto. Elle envoie son petit-fils dans l'archipel japonais où il épouse la princesse Konohana-no-Sakuya. L'un de leurs trois enfants est Hikohohodemi no Mikoto, aussi appelé Yamasachihiko, qui épouse la princesse Toyo-tama, fille d'Owatatsumi, dieu de la mer et frère d'Amaterasu. Ils ont un fils nommé Hikonagisa Takeugaya Fukiaezu no Mikoto. L'enfant, abandonné par ses parents à la naissance, est élevé par la princesse Tamayori, la jeune sœur de sa mère Tamayori-bime. Ils finissent par se marier et ont quatre enfants, dont le dernier devient l'empereur Jinmu.


title: Jinmu

text: Toujours selon le "Kojiki" et le "Nihon shoki" (dont les récits diffèrent cependant en de nombreux points), les frères de Jinmu, nés à Takachiho (au sud de Kyūshū, dans l'actuelle préfecture de Miyazaki), émigrent dans l'est pour trouver un meilleur endroit où s'implanter afin de régner sur la région. Itsuse no Mikoto, frère aîné de Jinmu, est le dirigeant initial de la migration, et ils traversent la mer intérieure de Seto avec l'aide du chef tribal local Sao Netsuhiko. Alors qu'ils atteignent Naniwa (l'actuelle Osaka), ils rencontrent une farouche résistance de la part d'un autre chef local, Nagasunehiko (« Homme aux longues jambes ») et Itsuse est tué dans la bataille. Jinmu, considérant qu'ils avaient perdu car ils avaient combattu vers l'est, contre le soleil, décide par conséquent de débarquer à l'est de la péninsule de Kii et de combattre tourné vers l'ouest. Ils atteignent Kumano, et guidés par , se rendent à Yamato, où ils affrontent à nouveau Nagasunehiko et, cette fois, remportent la victoire.


title: Jinmu

text: Selon une autre légende, un milan d'or se pose sur l'arc de Jinmu, et dardant des rayons de lumière éblouissante sur les ennemis des Amatsukami, perce le brouillard qui s'était appesanti sur le champ de bataille. Jinmu saisit l'opportunité pour remporter la victoire. Cette bataille décisive aurait eu lieu le du du calendrier japonais traditionnel, sur le site d'un village nommé Tobi-no-Mura en l'honneur du milan d'or. Cette victoire miraculeuse est représentée dans nombre d'œuvres d'art, notamment des peintures de l'ère Shōwa et des statues de parade de Jinmu. Elle est aussi commémorée par l'Ordre du Milan d'or, qui sous l'Empire récompensait les faits d'armes.


title: Jinmu

text: Au Yamato, Nigihayahi no Mikoto, qui clame aussi être un descendant des dieux de Takama-ga-hara, est le protégé de Nagasunehiko, et utilise un arc et des flèches pour démontrer sa légitimité. Cependant, quand Nigihayahi rencontre Jinmu, il accepte sa légitimité, et Jinmu est couronné empereur au palais de Kashihara. Nagasunehiko est quant à lui exécuté sur décret impérial, parce qu'il complote une reprise des hostilités en dépit du fait d'avoir accepté la supériorité des reliques de Jinmu (Sanshu no Jingi, Futsunushi no Tsurugi, l'arc et les flèches de Jinmu...) prouvant sa légitimité de monarque de droit divin, sur celles de Nigihayahi (un arc et des flèches, ainsi que les témoignages oculaires d'êtres descendus sur terre sur Ame no Iwa Bune, une barque voguant dans les airs). Les descendants de Nigihayahi acceptent de servir loyalement, et auraient formés le clan Mononobe, prestigieux dans le Japon archaïque, et qui a plus ou moins subsisté jusqu'à l'époque moderne malgré des revers de fortune.


title: Jinmu

text: Le jour de l'an du calendrier luni-solaire japonais est traditionnellement célébré comme le début du règne de l'empereur Jinmu. En 1872, le gouvernement de Meiji proclame que le jour de la fondation du Japon est le 11 février -660 du calendrier grégorien. Cette date mythique est commémorée par le jour férié "Kigensetsu" (« jour de l'ère ») de 1872 à 1948, puis sous celui de "Kenkoku kinen no hi" (« jour de la fondation nationale ») depuis 1966.


title: Jinmu

text: Jinmu aurait reçu d'Amaterasu trois objets extraordinaires : le Yata no Kagami, un miroir magique lui permettant de voir toutes les îles du Pacifique, le Magatama, un bijou et le Kusanagi-no-tsurugi, une épée. Ces trois objets seraient, de nos jours encore, cachés dans trois sanctuaires différents au Japon.


title: Jinmu

text: Dès 1928, l'empereur Shōwa devint associé au renouveau du principe du "Hakkō ichi'u", les huit coins du monde sous un seul toit. Cette expression avait été employée selon le "Nihon shoki" par Jinmu pour décrire son destin et devint le fondement de l'expansionnisme du Japon Shōwa.


title: Jinmu

text: En 1940, le Japon célébra en grande pompe le "Kigensetsu", coïncidant avec le 2600 anniversaire de la fondation mythique de la nation.


title: Piliers de l'islam

text: Les piliers de l'islam sont les devoirs que tout musulman doit appliquer. Les plus notables et respectés sont au nombre de cinq. Ces devoirs ne sont pas explicitement soulignés dans le Coran comme le sont les Dix Commandements dans la Bible, mais rapportés dans un hadith prophétique : (rapporté par Al-Boukharî et Muslim). Le concept a été adopté par le sunnisme (très largement majoritaire) notamment, mais rejeté par d'autres groupes aujourd'hui minoritaires tels les Kharijites, ainsi que d'autres minorités chiites. Les devoirs des musulmans sunnites ne se limitent pas à ces piliers, mais leur mise en application est impérative.


title: Piliers de l'islam

text: Tout musulman doit normalement respecter des obligations de culte pouvant prendre le nom de « piliers de l'islam » (, "arkān al-Islām"). Si ces commandements sont d'origines coraniques, leur mise en place s'étend sur les premiers siècles de l'islam. Ainsi, la forme de la "Chahada" évolue après la mort de Mahomet et certains aspects de la "Salat" sont encore discutés au . Leur fixation au nombre de cinq fait référence au hadith selon lequel « L'islam est bâti sur cinq piliers »


title: Piliers de l'islam

text: Pour Amir-Moezzi,


title: Piliers de l'islam

text: Conjointement aux six articles de la profession de foi (`Aqida), les cinq piliers de l'Islam sont cinq obligations importantes qui doivent être respectées par tout pratiquant responsable (pubère, sain d'esprit et ayant entendu l'appel de l'islam). Ils sont :


title: Piliers de l'islam

text: Les chiites duodécimains croient en une doctrine incluant les cinq piliers, par ailleurs la profession de foi chiite distingue cinq principes relevant des croyances ("Usūl al-Dīn"), et dix principes relevant de la pratique ("Furū al-Dīn"). Les cinq principes relevant de la croyance sont : Les 10 principes relevant de la pratique sont :


title: Piliers de l'islam

text: Les Ismaéliens considèrent quatre des cinq piliers sunnites et ajoutent « amour et dévotion » à Dieu, à Mahomet et aux imams, pureté ainsi que djihad :


title: Piliers de l'islam

text: Cependant certains ne considèrent que six piliers et dans ce cas sans reconnaître l'allégeance aux imams et sans le djihad.


title: Piliers de l'islam

text: Les Druzes rejettent la charia et les obligations qui en découlent. Ils ne reconnaissent donc pas l'obligation de la prière, et leur jeûne du mois de Ramadan est différent des autres musulmans. Ils ont également une allégeance à leur imam "walaaya".


title: Musulman

text: Un musulman (en ) est une personne qui considère le Coran comme un "" écrit de Dieu, révélé au travers du prophète Mahomet. Cela passe par la pratique d'une des formes de l'islam, qui est une religion abrahamique et monothéiste. Le mot vient d'un terme arabe signifiant à la volonté de Dieu.


title: Musulman

text: D'après le TLFi, le terme « musulman » provient soit directement, soit par l'intermédiaire du turc ', du persan ' ou ' (où la terminaison ' correspond au pluriel des noms d'êtres animés), lui-même issu de l'arabe ', participe actif du verbe ' qui signifie « se confier, se soumettre, se résigner (à la volonté de Dieu) » et dont le nom d’action est '. On y retrouve une racine "s-l-m" également représentée en arabe par ' et en hébreu par "", et commune à la plupart des langues sémitiques où elle couvre un ensemble de significations très large .


title: Musulman

text: Le musulman marque habituellement son intégration dans la pratique de l'islam par le prononcé de la profession de foi musulmane, la "chahada" : / , qui peut se traduire par : . Cependant, au-delà de ce trait commun, la diversité des formes que connait l'islam dans le monde fait obstacle, même sur le plan strictement religieux, à une définition unique du musulman.


title: Musulman

text: Il arrive aussi que le terme soit utilisé en un sens plus large, pour renvoyer par exemple à une « origine musulmane » ou à une « culture musulmane » ; en France notamment, il est possible de rencontrer, illustrant cette acception étendue, des individus qui se définissent ou sont définis en même temps comme musulmans et athées. La sociologue Marie-Claire Willems impute aux pesanteurs de l'histoire et de la société françaises le fait que dans ce pays, .


title: Musulman

text: Le terme peut aussi correspondre, dans certains pays et à certaines époques, à une catégorie juridique particulière. Ainsi, la constitution de la Yougoslavie, depuis un amendement de 1971, reconnaissait les Musulmans comme l'une des nationalités constitutives du pays.


title: Musulman

text: Dans l'Algérie coloniale, le statut d'« indigène musulman » entraînait l'application d'un système juridique différent du droit commun, en particulier en matière civile (mariage, succession…). Dans les faits, ce statut avait un caractère ethnique et politique, et non pas simplement religieux et civil : ainsi, un « indigène » converti au catholicisme mais non « naturalisé » (c'est-à-dire n'ayant pas acquis la citoyenneté française) restait considéré juridiquement comme un « indigène musulman ». Confirmant en 1903 ces dispositions, la cour d'appel d'Alger a été amenée à expliquer que le terme de musulman « n’a pas un sens purement confessionnel, mais qu’il désigne au contraire l’ensemble des individus d’origine musulmane qui, n’ayant point été admis au droit de cité, ont nécessairement conservé leur statut personnel musulman, sans qu’il y ait lieu de distinguer s’ils appartiennent ou non au culte mahométan ».


title: Musulman

text: Dans les pays où l'islam est religion d'État, l'application de textes comme la Déclaration des droits de l'homme en islam ou la Charte arabe des droits de l'homme, qui tendent à ce que la loi ne s'inspire que de la seule charia, peut conduire à imposer certaines prescriptions de l'islam y compris aux non-musulmans. Par exemple, dans certains de ces pays, il est interdit sous peine de prison, même aux non-musulmans, de manger ou de boire en public pendant le jeûne du ramadan.


title: Musulman

text: Le musulman peut lui-même être confronté à des incohérences entre les lois humaines et divines. Selon l'essayiste Waleed Al-Husseini, « l’islam refuse par définition la suprématie des lois humaines par rapport aux lois divines ». Cependant, des publications islamiques mettent l'accent sur l'obligation pour le musulman de se soumettre à la fois à la loi du pays dont il est citoyen et où il réside, et à sa propre religion.


title: Musulman

text: Selon le Pew Forum, en 2009, plus de 60 % des musulmans vivent en Asie et environ 20 % vivent au Moyen-Orient et en Afrique du Nord. Également, environ 300 millions de musulmans (sur un total d'environ milliard) sont localisés dans des pays où l'islam n'est pas la religion majoritaire. Les trois pays comportant le plus de musulmans (2009) sont, respectivement, l'Indonésie (), le Pakistan () et l'Inde ().


title: Chrétien (homonymie)

text: Chrétien est un nom propre ou commun qui peut désigner un nom commun, un prénom, un patronyme.


title: John Carmack

text: John Carmack, né le à Roeland Park au Kansas, est un ingénieur en informatique américain, par ailleurs programmeur et développeur de jeux vidéo.


title: John Carmack

text: Il est notamment connu pour avoir été le programmeur principal et le cofondateur (avec plusieurs personnes, dont John Romero) de la société id Software, une entreprise américaine de jeux vidéo. Son habileté en programmation informatique lui a permis de devenir une célébrité dans la communauté des joueurs et des développeurs d'applications graphiques et de moteurs 3D de jeux vidéo.


title: John Carmack

text: Depuis son départ d'id Software en 2013, il rejoint en tant que directeur technique la société Oculus VR, celle-ci étant rachetée en 2014 par Facebook.


title: John Carmack

text: John Carmack est à l'origine de nombreux jeux de tir à la première personne (FPS) sortis par id Software, tels que : "Wolfenstein 3D" (le premier jeu de ce genre à obtenir un certain succès), "Doom" (reconnu comme une révolution technologique et immense succès mondial) et "Quake" (le premier FPS à présenter un environnement totalement en 3D temps réel, y compris les objets et personnages et le premier à introduire le jeu à plusieurs par Internet). Il dirige ensuite le développement de "Doom 3", dont le moteur graphique était à la pointe de la technologie lors de sa sortie. Son dernier projet chez id Software est la direction du développement de "Rage" et du moteur graphique id Tech 5.


title: John Carmack

text: En 2001, il rejoint le panthéon des développeurs ("Hall of Fame") de l’Academy of Interactive Arts and Sciences.


title: John Carmack

text: Il est, avec son épouse Katherine Anna Kang, le fondateur de la société Armadillo Aerospace, qui s'intéresse aux roquettes utilisées pour les fusées spatiales.


title: John Carmack

text: Le , John Carmack devient directeur technique d'Oculus VR, fabricant de l'Oculus Rift, un casque de réalité virtuelle. Il conserve également pendant un temps son poste chez id Software. Mais, le , il quitte définitivement id Software pour travailler à plein temps pour Oculus VR. Celle-ci devient une filiale de Facebook en .


title: John Carmack

text: Le succès de John Carmack repose notamment sur son habileté à transposer de façon optimale les meilleurs algorithmes et techniques de rendu 3D sur des systèmes temps réel, tout en restant extrêmement au fait des nouveautés en matière de rendu 3D. Il est le plus célèbre développeur indépendant capable de réaliser des moteurs graphiques exploitant au maximum les évolutions du matériel, en particulier des cartes graphiques pour PC. Il a inventé plusieurs algorithmes, notamment le Carmack's Reverse ; il n'est pas le premier à avoir découvert ce principe mais est le premier à l'avoir utilisé efficacement et intensivement. L'Id Tech 3 (moteur de rendu 3D du jeu "Quake III Arena") étant sous licence GNU GPL, il est possible de consulter l'intégralité du code source de ce jeu. Parmi celui-ci, on retrouve deux fonctions longtemps attribuées à John Carmack et qui auront fait beaucoup parler d'elles : l'une pour calculer une racine carrée, l'autre pour calculer une racine carrée inversée.


title: John Carmack

text: Écrite en C, la fonction calculant une racine carrée inversée est la suivante :


title: John Carmack

text: float Q_rsqrt( float number ){


title: John Carmack

text: Cette fonction est pour le moins particulière puisqu'elle ne contient aucune boucle, elle ne fait intervenir qu'une suite de calculs élémentaires. Pour autant, celle-ci fournit des approximations tout à fait acceptables (de l'ordre de 10). Elle est même jusqu'à 4 fois plus rapide que la fonction codice_1 et se révèle ainsi parfaite pour un jeu vidéo.


title: John Carmack

text: En réalité, cette fonction repose sur une méthode tirée de l'analyse numérique : la méthode de Newton. La clef de son efficacité réside dans l'utilisation d'une constante particulière 0x5f3759df. Cette constante hexadécimale est utilisée comme première approximation et réduit de façon remarquable le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir une approximation satisfaisante. Cette constante – dite "magique" – est si remarquable qu'une seule itération de Newton donne des résultats suffisants dans le cadre du rendu graphique.


title: John Carmack

text: Chris Lomont de l'université de Purdue a depuis étudié la question. Il existe une constante fournissant de meilleures approximations : 0x5f375a86. Dans son étude, Chris Lomont fait également mention du fait que l'utilisation originale de cette constante serait peut-être due à Gary Tarolli, alors développeur chez nVidia.


title: John Carmack

text: Cette fonction est illégale en C++03 : les valeurs codice_2 sont stockées dans le FPU alors que les entiers sont utilisés par le CPU.


title: John Carmack

text: Liste des principaux jeux vidéo sur lesquels John Carmack a collaboré en tant que programmeur, développeur ou directeur technique.


title: Fonction elliptique

text: En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, une fonction elliptique est, grossièrement parlant, une fonction définie sur le plan complexe qui est doublement périodique (périodique dans deux directions). Elle peut être vue comme analogue à une fonction trigonométrique (qui a une seule période).


title: Fonction elliptique

text: Formellement, une fonction elliptique est une fonction méromorphe "f" définie sur ℂ pour laquelle il existe deux nombres complexes non nuls et tels que :


title: Fonction elliptique

text: De ceci, il suit que : formula_3


title: Fonction elliptique

text: À noter que si une fonction elliptique est holomorphe alors elle est nécessairement constante en vertu du théorème de Liouville. Les cas intéressants sont donc ceux où la fonction elliptique admet au moins un pôle.


title: Fonction elliptique

text: La plus importante classe de fonctions elliptiques est celle des fonctions elliptiques de Weierstrass ; toute fonction elliptique peut être exprimée à l'aide de celles-ci.


title: Fonction elliptique

text: Les fonctions elliptiques sont les applications réciproques des fonctions intégrales elliptiques, et c'est de cette façon qu'historiquement elles ont été introduites.


title: Fonction elliptique

text: Tout nombre complexe tel que formula_4 est appelé « période » de . Si les deux périodes et sont telles que toute autre période puisse être écrite sous la forme avec et entiers, alors et sont appelées « périodes fondamentales ». Toute fonction elliptique non constante possède une paire de périodes fondamentales, mais elle n'est pas unique.


title: Fonction elliptique

text: Si et sont des périodes fondamentales, alors tout parallélogramme de sommets d'affixes , , , est appelé un « parallélogramme fondamental ». Translater un tel parallélogramme d'un multiple entier de et donne un parallélogramme du même type, et la fonction se comporte identiquement sur ce parallélogramme translaté, à cause de la périodicité.


title: Fonction elliptique

text: Le nombre de pôles dans tout parallélogramme fondamental est fini (et le même pour tout parallélogramme fondamental). À moins que la fonction elliptique ne soit constante, tout parallélogramme contient au moins un pôle, conséquence du théorème de Liouville.


title: Fonction elliptique

text: La somme des ordres des pôles dans tout parallélogramme fondamental est appelée l’« ordre » de la fonction elliptique. La somme des résidus des pôles dans un parallélogramme fondamental est nulle, donc aucune fonction elliptique ne peut avoir un ordre égal à 1.


title: Fonction elliptique

text: La dérivée d'une fonction elliptique est encore une fonction elliptique, de même période. L'ensemble de toutes les fonctions elliptiques de mêmes périodes fondamentales forme un corps commutatif. Plus précisément, étant donné un couple de périodes, toute fonction elliptique admettant ce couple de périodes peut être définie sur une certaine surface de Riemann : le tore complexe obtenu par recollement des couples de côtés opposés du parallélogramme fondamental. Les fonctions elliptiques sont alors les fonctions méromorphes sur ce tore. Par ailleurs, la fonction de Weierstrass associée à ce couple de périodes et sa dérivée paramètrent une certaine courbe complexe : une courbe elliptique.


title: Programmation orientée objet

text: La programmation orientée objet (POO), ou programmation par objet, est un paradigme de programmation informatique. Elle consiste en la définition et l'interaction de briques logicielles appelées "objets" ; un objet représente un concept, une idée ou toute entité du monde physique, comme une voiture, une personne ou encore une page d'un livre. Il possède une structure interne et un comportement, et il sait interagir avec ses pairs. Il s'agit donc de représenter ces objets et leurs relations ; l'interaction entre les objets via leurs relations permet de concevoir et réaliser les fonctionnalités attendues, de mieux résoudre le ou les problèmes. Dès lors, l'étape de modélisation revêt une importance majeure et nécessaire pour la POO. C'est elle qui permet de transcrire les éléments du réel sous forme virtuelle.


title: Programmation orientée objet

text: La programmation par objet consiste à utiliser des techniques de programmation pour mettre en œuvre une conception basée sur les objets. Celle-ci peut être élaborée en utilisant des méthodologies de développement logiciel objet, dont la plus connue est le processus unifié (« » en anglais), et exprimée à l'aide de langages de modélisation tels que le "Unified Modeling Language" (UML).


title: Programmation orientée objet

text: La programmation orientée objet est facilitée par un ensemble de technologies dédiés :Il existe actuellement deux grandes catégories de langages à objets :


title: Programmation orientée objet

text: En implantant les "Record Class" de Hoare, le langage Simula 67 pose les constructions qui seront celles des langages orientés objet à classes : classe, polymorphisme, héritage, etc. Mais c'est réellement par et avec Smalltalk 71 puis Smalltalk 80, inspiré en grande partie par Simula 67 et Lisp, que les principes de la programmation par objets, résultat des travaux d'Alan Kay, sont véhiculés : objet, encapsulation, messages, typage et polymorphisme (via la sous-classification) ; les autres principes, comme l'héritage, sont soit dérivés de ceux-ci ou une implantation. Dans Smalltalk, tout est objet, même les classes. Il est aussi plus qu'un langage à objets, c'est un environnement graphique interactif complet.


title: Programmation orientée objet

text: À partir des années 1980, commence l'effervescence des langages à objets : C++ (1983), Objective-C (1984), Eiffel (1986), Common Lisp Object System (1988), etc. Les années 1990 voient l'âge d'or de l'extension de la programmation par objets dans les différents secteurs du développement logiciel.


title: Programmation orientée objet

text: Depuis, la programmation par objets n'a cessé d'évoluer aussi bien dans son aspect théorique que pratique et différents métiers et discours mercatiques à son sujet ont vu le jour : Aujourd'hui, la programmation par objets est vue davantage comme un paradigme, le "paradigme objet", que comme une simple technique de programmation. C'est pourquoi, lorsque l'on parle de nos jours de programmation par objets, on désigne avant tout la partie codage d'un modèle à objets obtenu par AOO et COO.


title: Programmation orientée objet

text: La programmation orientée objet a été introduite par Alan Kay avec Smalltalk. Toutefois, ses principes n'ont été formalisés que pendant les années 1980 et, surtout, 1990. Par exemple le typage de second ordre, qui qualifie le typage de la programmation orientée objet (appelé aussi "duck typing"), n'a été formulé qu'en 1995 par Cook.


title: Programmation orientée objet

text: Concrètement, un objet est une structure de données qui répond à un ensemble de messages. Cette structure de données définit son "état" tandis que l'ensemble des messages qu'il comprend décrit son "comportement" :


title: Programmation orientée objet

text: Certains attributs et/ou méthodes (ou plus exactement leur représentation informatique) sont cachés : c'est le principe d'encapsulation. Ainsi, le programme peut modifier la structure interne des objets ou leurs méthodes associées sans avoir d'impact sur les utilisateurs de l'objet.


title: Programmation orientée objet

text: Un exemple avec un objet représentant un nombre complexe : celui-ci peut être représenté sous différentes formes (cartésienne "(réel, imaginaire)", trigonométrique, exponentielle "(module, angle)"). Cette représentation reste cachée et est interne à l'objet. L'objet propose des messages permettant de lire une représentation différente du nombre complexe. En utilisant les seuls messages que comprend notre nombre complexe, les objets appelants sont assurés de ne pas être affectés lors d'un changement de sa structure interne. Cette dernière n'est accessible que par les méthodes des messages.


title: Programmation orientée objet

text: Dans la programmation par objets, chaque objet est typé. Le "type" définit la syntaxe (« Comment l'appeler ? ») et la sémantique des messages (« Que fait-il ? ») auxquels peut répondre un objet. Il correspond donc, à peu de chose près, à l'interface de l'objet. Toutefois, la plupart des langages objets ne proposent que la définition syntaxique d'un type (C++, Java, C#…) et rares sont ceux qui fournissent aussi la possibilité de définir formellement sa sémantique (comme dans le langage Eiffel avec sa "conception par contrats").


title: Programmation orientée objet

text: Un objet peut appartenir à plus d'un type : c'est le "polymorphisme" ; cela permet d'utiliser des objets de types différents là où est attendu un objet d'un certain type. Une façon de réaliser le polymorphisme est le sous-typage (appelé aussi "héritage de type") : on raffine un type-parent en un autre type (le sous-type) par des restrictions sur les valeurs possibles des attributs. Ainsi, les objets de ce sous-type sont conformes au type parent. De ceci découle le "principe de substitution de Liskov". Toutefois, le sous-typage est limité et ne permet pas de résoudre le problème des types récursifs (un message qui prend comme paramètre un objet du type de l'appelant). Pour résoudre ce problème, Cook définit en 1995 la sous-classification et le typage du second ordre qui régit la programmation orientée objet : le type est membre d'une famille polymorphique à point fixe de types (appelée "classe"). Les traits sont une façon de représenter explicitement les classes de types. (La représentation peut aussi être implicite comme avec Smalltalk, Ruby, etc.).


title: Programmation orientée objet

text: On distingue dans les langages objets deux mécanismes du typage :


title: Programmation orientée objet

text: De même, deux mécanismes de sous-typage existent : l'héritage simple (Smalltalk, Java, C#) et l'héritage multiple (C++, Python, Common Lisp, Eiffel, WLangage).


title: Programmation orientée objet

text: Le polymorphisme ne doit pas être confondu avec le sous-typage ou avec l'attachement dynamique ("" en anglais).


title: Programmation orientée objet

text: La programmation objet permet à un objet de raffiner la mise en œuvre d'un message défini pour des objets d'un type parent, autrement dit de redéfinir la méthode associée au message : c'est le principe de "redéfinition" des messages (ou "" en anglais).


title: Programmation orientée objet

text: Or, dans une définition stricte du typage (typage du premier ordre), l'opération résultant d'un appel de message doit être la même quel que soit le type exact de l'objet référé. Ceci signifie donc que, dans le cas où l'objet référé est de type exact un sous-type du type considéré dans l'appel, seule la méthode du type père est exécutée :


title: Programmation orientée objet

text: Soit un type codice_1 contenant une méthode codice_2 faisant la multiplication de deux nombres réels, soient codice_3 un sous-type de codice_1, codice_5 un codice_3 et codice_7 un codice_1, alors l'instruction codice_9 va exécuter la méthode codice_2 de codice_1. On pourrait appeler celle de codice_3 grâce à une redéfinition.


title: Programmation orientée objet

text: Pour réaliser alors la redéfinition, deux solutions existent :


title: Programmation orientée objet

text: La structure interne des objets et les messages auxquels ils répondent sont définis par des modules logiciels. Ces mêmes modules créent les objets via des opérations dédiées. Deux représentations existent de ces modules : la classe et le prototype.


title: Programmation orientée objet

text: La "classe" est une structure informatique particulière dans le langage objet. Elle décrit la structure interne des données et elle définit les méthodes qui s'appliqueront aux objets de même famille (même classe) ou type. Elle propose des méthodes de création des objets dont la représentation sera donc celle donnée par la classe génératrice. Les objets sont dits alors "instances de la classe". C'est pourquoi les attributs d'un objet sont aussi appelés "variables d'instance" et les messages "opérations d'instance" ou encore "méthodes d'instance". L'interface de la classe (l'ensemble des opérations visibles) forme les types des objets. Selon le langage de programmation, une classe est soit considérée comme une structure particulière du langage, soit elle-même comme un objet (objet non-terminal). Dans le premier cas, la classe est définie dans le runtime ; dans l'autre, la classe a besoin elle aussi d'être créée et définie par une classe : ce sont les "méta-classes". L'introspection des objets (ou « méta-programmation ») est définie dans ces méta-classes.


title: Programmation orientée objet

text: La classe peut être décrite par des attributs et des messages. Ces derniers sont alors appelés, par opposition aux attributs et messages d'un objet, "variables de classe" et "opérations de classe" ou "méthodes de classe". Parmi les langages à classes on retrouve Smalltalk, C++, C#, Java, etc. Le "prototype" est un objet à part entière qui sert de prototype de définition de la structure interne et des messages. Les autres objets de mêmes types sont créés par clonage. Dans le prototype, il n'y a plus de distinction entre attributs et messages : ce sont tous des "". Un slot est un label de l'objet, privé ou public, auquel est attachée une définition (ce peut être une valeur ou une opération). Cet attachement peut être modifié à l'exécution. Chaque ajout d'un slot influence l'objet et l'ensemble de ses clones. Chaque modification d'un slot est locale à l'objet concerné et n'affecte pas ses clones.


title: Programmation orientée objet

text: Le concept de "trait" permet de modifier un slot sur un ensemble de clones. Un "trait" est un ensemble d'opérations de même catégorie (clonage, persistance, etc.) transverse aux objets. Il peut être représenté soit comme une structure particulière du langage, comme un slot dédié ou encore comme un prototype. L'association d'un objet à un trait fait que l'objet et ses clones sont capables de répondre à toutes les opérations du trait. Un objet est toujours associé à au moins un trait, et les traits sont les parents des objets (selon une relation d'héritage). Un trait est donc un mixin doté d'une parenté. Parmi les langages à prototype on trouve Javascript, Self, Io, Slater, Lisaac, etc.


title: Programmation orientée objet

text: Différents langages utilisent la programmation orientée objet, par exemple PHP, Python, etc.


title: Programmation orientée objet

text: En PHP la programmation orientée objet est souvent utilisée pour mettre en place une architecture MVC (Modèle Vue Contrôleur), où les modèles représentent des objets.


title: Programmation orientée objet

text: La modélisation objet consiste à créer un modèle du système informatique à réaliser. Ce modèle représente aussi bien des objets du monde réel que des concepts abstraits propres au métier ou au domaine dans lequel le système sera utilisé.


title: Programmation orientée objet

text: La modélisation objet commence par la qualification de ces objets sous forme de types ou de classes sous l'angle de la compréhension des besoins et indépendamment de la manière dont ces classes seront mises en œuvre. C'est ce que l'on appelle l'analyse orientée objet ou OOA (acronyme de « "Object-Oriented Analysis" »). Ces éléments sont alors enrichis et adaptés pour représenter les éléments de la solution technique nécessaires à la réalisation du système informatique. C'est ce que l'on appelle la conception orientée objet ou OOD (acronyme de « "Object-Oriented Design" »). À un modèle d'analyse peuvent correspondre plusieurs modèles de conception. L'analyse et la conception étant fortement interdépendants, on parle également d'analyse et de conception orientée objet (OOAD). Une fois un modèle de conception établi, il est possible aux développeurs de lui donner corps dans un langage de programmation. C'est ce que l'on appelle la programmation orientée objet ou OOP (en anglais « "Object-Oriented Programming" »).


title: Programmation orientée objet

text: Pour écrire ces différents modèles, plusieurs langages et méthodes ont été mis au point. Ces langages sont pour la plupart graphiques. Les trois principaux à s'imposer sont OMT de James Rumbaugh, la méthode Booch de Grady Booch et OOSE de Ivar Jacobson. Toutefois, ces méthodes ont des sémantiques différentes et ont chacune des particularités qui les rendent particulièrement aptes à certains types de problèmes. OMT offre ainsi une modélisation de la structure de classes très élaborée. Booch a des facilités pour la représentation des interactions entre les objects. OOSE innove avec les cas d'utilisation pour représenter le système dans son environnement. La méthode OMT prévaut sur l'ensemble des autres méthodes au cours de la première partie de la décennie 1990.


title: Programmation orientée objet

text: À partir de 1994, Booch et Jacobson, rapidement rejoints par Rumbaugh, décident d'unifier leurs approches au sein d'une nouvelle méthode qui soit suffisamment générique pour pouvoir s'appliquer à la plupart des contextes applicatifs. Ils commencent par définir le langage de modélisation UML ("Unified Modeling Language") appelé à devenir un standard de l'industrie. Le processus de normalisation est confié à l'Object Management Group (OMG), un organisme destiné à standardiser des technologies orientées objet comme CORBA (acronyme de « "Common Object Request Broker Architecture" »), un intergiciel (« "middleware" » en anglais) objet réparti. Rumbaugh, Booch et Jacobson s'affairent également à mettre au point une méthode permettant d'une manière systématique et répétable d'analyser les exigences et de concevoir et mettre en œuvre une solution logicielle à l'aide de modèles UML. Cette méthode générique de développement orienté objet devient le processus unifié (également connu sous l'appellation anglo-saxonne de « "Unified Software Development Process" »). Elle est itérative et incrémentale, centrée sur l'architecture et guidée par les cas d'utilisation et la réduction des risques. Le processus unifié est de plus adaptable par les équipes de développement pour prendre en compte au mieux les particularités du contexte.


title: Programmation orientée objet

text: Néanmoins pour un certain nombre de concepteurs objet, dont Bertrand Meyer, l'inventeur du langage orienté objet Eiffel, guider une modélisation objet par des cas d'utilisations est une erreur de méthode qui n'a rien d'objet et qui est plus proche d'une méthode fonctionnelle. Pour eux, les cas d'utilisations sont relégués à des utilisations plutôt annexes comme la validation d'un modèle par exemple.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: Doom, ou DOOM, est un jeu vidéo de tir à la première personne (en anglais "First person shooter" ou FPS), développé et édité par id Software et publié le .


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: "Doom" fait partie des premiers jeux vidéo à utiliser des graphismes en 3D immersive, à présenter un mode de jeu multijoueur en réseau et à permettre aux joueurs de créer leur propre contenu pour le jeu.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: Distribué en tant que "shareware" (partagiciel, que l'on peut essayer gratuitement de manière limitée), "Doom" a été téléchargé approximativement 10 millions de fois en une année, popularisant ainsi un type de et engendrant une sous-culture par lui-même.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: Signe de son influence sur l’industrie du jeu vidéo de son époque, les jeux de tir à la première personne suivant "Doom" au milieu des années 1990 furent plus connus sous l’appellation de «  » ou de «  ». Cependant, ses graphismes et sa violence interactive ont fait l'objet de plusieurs polémiques, dépassant le milieu du jeu vidéo. Selon l'éditeur GameSpy, "Doom" a été élu par un panel de professionnels comme le meilleur jeu vidéo de tous les temps.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: La série "Doom" s'est prolongée avec "" (1994) et plusieurs extensions, dont "The Ultimate Doom" (1995), "Master Levels for Doom" (1995), et "Final Doom" (1996). Originellement développé pour le système DOS sur Compatible PC, le jeu a ensuite été porté (adapté) sur un grand nombre d’autres plates-formes informatiques, comprenant notamment une dizaine de consoles de jeu.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: Au milieu des années 1990, la série "Doom" perd de son influence alors que la technologie de son moteur graphique, le "Doom engine" est supplantée, bien que les fans continuent à créer du contenu, à améliorer des records de jeu ("speedrun"), ou à modifier le code source .


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: "Doom" refait parler de lui en 2004 avec la sortie de sa suite (redémarrage de la franchise ou "reboot") "Doom 3" et, en 2005 avec le film "Doom", une adaptation peu fidèle du jeu qui fera un flop.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: Un deuxième "reboot" de la franchise, intitulé "Doom", développé en collaboration avec Bethesda Softworks, sort en 2016 et signe le grand retour de la licence pour connaître un franc succès. En effet, à la différence de "Doom 3" qui se montrait plus comme jeu de survie, ce redémarrage de la franchise "Doom" revient aux sources tout en étant novateur, avec un jeu qui fait la part belle à un "gameplay" frénétique et très violent. En 2020, Bethesda lance un second épisode, "Doom Eternal".


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: "Doom" se déroule dans un univers fictif mélangeant des éléments de science-fiction et d’horreur. Le joueur y incarne un Marine spatial (surnommé le Doomguy) ayant été transféré sur la planète Mars après avoir assailli un officier supérieur lui ayant ordonné de massacrer des civils sans défense. Il est alors forcé de travailler pour l'Union Aerospace Corporation (UAC), un complexe militaro-industriel interplanétaire traitant des déchets radioactifs, mais que l'armée utilise également pour mener des expériences secrètes sur la téléportation entre Mars et ses deux lunes, Phobos et Deimos.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: Peu avant le début du jeu, les expériences menées par l'armée provoquent l'ouverture d'un portail interdimensionnel avec l'Enfer, permettant à une horde de créatures démoniaques d'envahir Phobos. Peu de temps après, Deimos disparaît des radars avant qu'une équipe, incluant le Doomguy qu'incarne le joueur, ne soit envoyée sur Phobos pour secourir les survivants. L’équipe infiltre alors la base se trouvant sur Phobos, le Doomguy couvrant leurs arrières, mais celle-ci ne tarde pas à être décimée.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: Ne pouvant manœuvrer le vaisseau spatial seul, le Doomguy comprend que son seul espoir est de pénétrer dans la base de Phobos afin de stopper l'invasion démoniaque. Pour cela, il doit compléter trois épisodes constitués chacun de huit niveaux.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: Dans le premier épisode — ' — il explore le complexe militaire de Phobos jusqu'à découvrir un portail interdimensionnel le menant directement sur l'autre lune de Mars. Dans le deuxième épisode — ' — il doit traverser la base de Deimos, celle-ci ayant été distordue par l'influence démoniaque. Après avoir vaincu le puissant Cyberdemon, il découvre que Deimos flotte maintenant au-dessus de l'Enfer. Dans le troisième épisode — "" — le Doomguy lutte contre les démons de l'Enfer jusqu'à faire face au Spiderdemon, le démon ayant planifié l'invasion de la Terre. Après l'avoir vaincu, il découvre un portail de téléportation qui le ramène sur Terre. Il découvre alors que celle-ci a été envahie par les démons.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: "Doom" est un jeu de tir à la première personne reprenant les concepts introduits par dans "". Comme dans celui-ci, le joueur évolue dans des environnements en trois dimensions qu’il peut observer en vue subjective ou en vue à la troisième personne. L'objectif du joueur est de traverser trois séries de niveaux, chaque niveau du jeu étant peuplé de créatures hostiles que le joueur doit combattre, à l’aide d’armes qu’il récupère au fur et à mesure de sa progression, pour pouvoir avancer et en atteindre la sortie.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: Au fur et à mesure qu’il progresse dans le jeu, le joueur est amené à affronter des ennemis de plus en plus nombreux et de plus en plus puissants, mais ayant chacun des points forts et des points faibles. Il peut en effet faire face à une dizaine types de monstres différents, chacun combattant de manière différente, étant plus ou moins résistant et étant plus ou moins sensible aux effets des armes dont le joueur dispose.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: Les premiers ennemis que le joueur rencontre sont par exemple de simples soldats armés de fusils d'assaut, le joueur étant ensuite amené à affronter des monstres disposant de capacités spécifiques. Les "Imps" peuvent par exemple lancer des boules de feu, alors que les "Démons" sont des créatures très rapides n'attaquant le joueur qu'au corps à corps. D'autres types de créatures comme les "Cacodemons" peuvent également voler. Outre ces monstres de base, le joueur est également amené à affronter un boss — comme le Cyberdemon ou le Spiderdemon — à la fin de chacun des trois épisodes du jeu.


title: Doom (jeu vidéo, 1993)

text: Pour combattre les nombreux ennemis présents dans le jeu, le Doomguy ne dispose au départ que de ses poings, ne pouvant être utilisés qu’au corps à corps, et d'un pistolet lui permettant d'attaquer à distance mais qui nécessite des munitions. Au fur et à mesure qu’il progresse, le joueur est amené à découvrir de nouvelles armes de plus en plus puissantes.