title: Givenchy-en-Gohelle

text: Un monument édifié en , sur le plateau de Vimy, en face du mémorial canadien, rend hommage à la Division marocaine et aux centaines de milliers de soldats étrangers engagés pour la France pendant la Grande Guerre.


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: L’approximation de Born et Oppenheimer permet de simplifier drastiquement l’équation de Schrödinger pour le calcul de la fonction d'onde d'une molécule. Elle consiste à découpler le mouvement des électrons de celui des noyaux, du fait de leurs masses très différentes. En effet, à cause du fait que la masse d'un nucléon soit environ (~ ) fois plus élevée que celle d'un électron, les noyaux ont un mouvement beaucoup plus lent que les électrons. On peut donc considérer que les électrons s’adaptent de manière adiabatique à la position des noyaux, c'est-à-dire que les électrons "bougent" tellement vite par rapport aux noyaux qu'ils peuvent s'adapter instantanément (du point de vue des noyaux) à leur mouvement.


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: Outre le caractère adiabatique du système, l'article original de 1927, intitulé « » développe l'approximation en fonction d'un paramètre formula_1 (supposé petit) proportionnel à la racine quatrième du rapport des masses des électrons et des noyaux. On note formula_2 les masses et positions des électrons et  formula_3 les masses et positions des noyaux. Si on introduit maintenant la valeur moyenne formula_4 des masses des noyaux formula_5, en que l'on définit formula_6 on peut alors écrire les masses des noyaux en fonction de la masse d'un électron comme formula_7


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: L'énergie potentielle du système s'écrit naturellement en fonction des degrés de liberté du système


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: formula_8 L'énergie cinétique associée aux électrons peut être exprimée comme


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: formula_9 tandis que celle associée aux noyaux peut être exprimée de manière similaire à l'aide du paramètre formula_1 précédemment introduitformula_11


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: Le Hamiltonien du système peut alors se décomposer comme


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: formula_12 où formula_13


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: La plupart des auteurs après Born et Oppenheimer se limitent à un développement à l'ordre 0 en formula_1. Cela se justifie par le fait que l’échelle de temps associée aux excitations électroniques, qui est proportionnelle à l’inverse de la largeur de bande de transition électronique, est plus petite que celle caractérisant les ions, c’est-à-dire l’inverse des fréquences de phonons. Par conséquent, la configuration électronique peut être considérée comme étant totalement relaxée dans son état fondamental pour chaque configuration adoptée par les ions durant leur mouvement. Cette observation offre ainsi la possibilité de découpler les mouvements nucléaires et électroniques de sorte que l’on peut envisager la séparation des variables électroniques et nucléaires. La fonction d’onde totale du système peut, dans ce cas, être écrite comme le produit d’une fonction d’onde décrivant les noyaux formula_15 et d’une autre fonction d’onde décrivant les électrons formula_16 et ne dépendant que de façon paramétrique des positions ioniques (c’est-à-dire ne dépend que de la position instantanée des noyaux et pas de leur dynamique). On a donc une fonction d'onde totale décrivant la molécule qui s'écrit commeformula_17où formula_18 est le jeu de toutes les coordonnées nucléaires et formula_19 est celui des électrons contenus dans le système.


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: Dans l’approximation de Born-Oppenheimer on considère donc les noyaux comme immobiles (d’où formula_20) et on étudie le mouvement des électrons dans un réseau cristallin rigide : les noyaux sont “privés de leur statut dynamique” et sont réduits à une charge positive qui est devenue “externe” au nuage électronique. Le problème à formula_21 corps a été simplifié dans la mesure où les seules particules à considérer sont désormais les Ne électrons chargés négativement et se déplaçant dans le potentiel maintenant externe des noyaux. Dans le cadre de cette approximation, on peut alors considérer que les électrons peuvent être traités de façon adiabatique. Le traitement adiabatique consiste à négliger les termes couplés (formula_22) non-adiabatiques (interaction électron-phonon) qui proviennent de l’opérateur cinétique des noyaux agissant sur la fonction d’onde électronique formula_16. Les conséquences de cette double simplification peuvent être mesurées en évaluant l’évolution des termes contenus dans l’hamiltonien total du système et le nouvel hamiltonien issu de l’approximation de Born-Oppenheimer :formula_24Le terme d’énergie cinétique nucléaire, indépendant des électrons, s’annule ( formula_20), la corrélation dans l’énergie potentielle attractive électron-noyau est éliminée, et le terme d’énergie potentielle de répulsion noyau-noyau devient une constante évaluée simplement pour une géométrie déterminée. Les parties non constantes de l’hamiltonien issues de cette double approximation de Born-Oppenheimer et adiabatique sont ainsi l’énergie cinétique du gaz d’électrons, l’énergie potentielle due aux interactions électron-électron et l’énergie potentielle des électrons dans le potentiel désormais externe des noyaux formula_26 vérifie l’équationformula_27Avecformula_28L’énergie totale de ce système, appelée énergie de Born-Oppenheimer, est alors la somme de l’énergie du gaz d’électrons formula_29 et de l’énergie électrostatique des ions.formula_30A ce niveau, on voit qu’il est possible de déterminer les positions des noyaux correspondant à l’état fondamental du cristal : ce seront celles qui minimisent formula_31. L’hamiltonien n’est de ce fait constitué que par des contributions de type électronique (monoformula_32 et biélectronique: formula_33). En dehors du nombre d’électrons propre au système, ces parties peuvent être considérées comme étant universelles. L’information spécifique au système – nature des noyaux et des positions atomiques – est contenue entièrement dans formula_34. Dans la majeure partie des systèmes, cette approximation correspond à une simplification raisonnable étant donné que les termes négligés sont de l’ordre du rapport entre la masse électronique effective et la masse ionique, formula_35, et sont par conséquent inférieurs à formula_36. Cet ordre de grandeur est plus faible que les erreurs commises généralement à partir des autres approximations utilisées pour résoudre l’équation de Schrödinger. Nous allons donc nous intéresser seulement à la détermination de formula_29.


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: Bien que la double approximation de Born-Oppenheimer permette de réduire de façon significative le degré de complexité inhérent à la résolution de l’équation de Schrödinger, “l’équation électronique” formula_38 restant à résoudre demeure un problème à N corps. La nouvelle fonction d’onde totale du système dépend des coordonnées de tous les électrons et ne peut pas être découplée en contributions à une seule particule en raison de leur interaction mutuelle de sorte que le problème reste beaucoup trop complexe pour être résolu dans des calculs utilisant les ressources informatiques actuelles. En raison de cette difficulté, des approximations supplémentaires sont requises pour réaliser de façon effective la résolution de l’équation de Schrödinger pour les matériaux réels.


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: On peut résumer les deux étapes de la méthode pour une molécule diatomique, dont les noyaux, qui sont considérés comme ponctuels vis-à-vis de l'étendue du mouvement des électrons, sont distants d'une longueur R.


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: On considère une molécule formée de deux atomes, A et B, de masse formula_44 et formula_45, de numéro atomique formula_46 et formula_47. Ces deux atomes apportent un total de N électrons, chacun de charge -q, repérés par un indice i. On a formula_48 si la molécule est électriquement neutre. Le calcul mené ci-dessous se place dans ce cas ; par exemple formula_46 est aussi bien le nombre de protons du noyau de A que son nombre d'électrons. Le hamiltonien doit comporter l'énergie cinétique des noyaux formula_50 et formula_51, l'énergie cinétique des électrons formula_52, l'énergie potentielle d'interaction électrostatique des noyaux entre eux formula_53, des électrons entre eux formula_54, des électrons et des noyaux formula_55. On a donc


Approximation de Born-Oppenheimer


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: où, avec formula_57On se place maintenant dans le référentiel du centre de masse G des noyaux, et on prend G pour origine des positions. Remarquons qu'il n'est pas exactement confondu avec le centre de masse de la molécule. L'énergie cinétique des noyaux dans le référentiel du laboratoire est, comme en mécanique classique, la somme de l'énergie cinétique du centre de masse dans ce référentiel et de l'énergie cinétique des noyaux dans le référentiel du centre de masse (RCM). On sait (voir un cours de mécanique classique) que dans le RCM, l'étude du mouvement des deux noyaux peut être ramené à celui du mobile fictif dont la position est donnée par formula_63, et dont la masse est formula_64


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: Dans le référentiel du laboratoire : formula_65


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: Dans le RCM : formula_66


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: Les autres termes du hamiltonien ne sont pas modifiés dans le RCM, en se rappelant toutefois que les positions sont maintenant repérées par rapport au centre de masse de A et B.


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: L'équation de Schrödinger dont la fonction d'onde totale formula_67 de la molécule est solution s'écrit formula_68


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: où, d'après BO, les mouvements électronique et nucléaire sont découplés, et au sein du mouvement nucléaire les mouvements de rotation et de vibration le sont également :


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: et


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: formula_70Dans le hamiltonien, il ne reste donc plus que des termes électroniques : c'est un hamiltonien dont la solution est la fonction d'onde électronique formula_72 décrivant le système d'électrons de la molécule :


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: où l'on a rassemblé les termes d'énergie potentielle énumérés ci-dessus dans le terme formula_74. Remarquons que l'on y a inclus (par convention) le terme de répulsion coulombienne des noyaux entre eux formula_53. Ce n'est pas un terme d'énergie électronique, mais il est traité comme une constante puisque ne dépendant que de la distance entre noyaux qui est elle-même traitée comme un paramètre dans l'approximation de Born-Oppenheimer.


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: On a donc formula_76formula_79


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: expression que l'on réinjecte dans l'équation de Schrödinger initiale, avant l'hypothèse BO :


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: donc par action de formula_81 :


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: expression que l'on projette sur une fonction formula_83 donnée de la base adiabatique : formula_84


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: puisque la base adiabatique est orthonormée.On connaît l'action de formula_85 dans le RCM, donc :


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: i.e.


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: L'approximation adiabatique consiste à dire que les variations de la fonction d'onde électronique formula_72 lors d'une petite variation de formula_89 sont négligeables devant celles du coefficient formula_78. Ainsi, les deux premiers termes de la somme ci-dessus sont négligés :


Approximation de Born-Oppenheimer


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: et puisque la base adiabatique est orthonormée : formula_94, donc :


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: qu'on peut réécrire comme suit :


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: qui apparaît comme l'équation de Schrödinger dont formula_97 est solution, dans le cadre de l'hypothèse adiabatique (dans laquelle formula_83 se comporte comme un scalaire multipliant formula_99, sous l'action du laplacien. On peut donc remplacer formula_99 par formula_97).


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: Ainsi, l'approximation adiabatique a permis de ramener un état de la molécule, initialement décrit comme une superposition de fonctions de la base adiabatique, à une seule de ces fonctions.


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: Nous amorçons ici l'étude de la rotation et de la vibration de la molécule diatomique. Reprenons la dernière équation ci-dessus. Nous pouvons l'interpréter comme étant l'équation de Schrödinger nucléaire, où le terme d'énergie cinétique est bien celui du mobile fictif correspondant au mouvement relatif des noyaux (c'est l'énergie cinétique totale des noyaux dans le référentiel du centre de masse), et où la valeur propre formula_102 du hamiltonien électronique joue le rôle d'une énergie potentielle dans ce hamiltonien nucléaire.La fonction formula_105 décrit la rotation de la molécule. La fonction formula_106 décrit la vibration de la molécule. En reportant l'expression de formula_99 dans l'équation de Schrödinger et en écrivant l'action du laplacien (décomposé en partie radiale et partie angulaire), on obtient l'équation radiale dont formula_99 est solution et qui fournit les niveaux d'énergie de vibration, et l'équation angulaire dont formula_105 est solution et qui fournit les niveaux d'énergie de rotation. Les résultats obtenus pour la rotation et la vibration reposent sur le choix du potentiel électronique formula_102.


title: Approximation de Born-Oppenheimer

text: L'énergie totale de la molécule dans le référentiel du centre de masse apparaît "in fine" comme la somme de l'énergie électronique, de l'énergie de rotation de « l'haltère » formée par les noyaux ("rotateur rigide") et de l'énergie de vibration des noyaux (l'image correspondante est celle de « masses ponctuelles reliées par un ressort ». Attention, en physique nucléaire, on parle aussi d'énergie de rotation et de vibration des noyaux, dans le cadre d'un modèle dit "collectif" ; le noyau y est considéré comme un objet non ponctuel). On a donc découplage de la rotation des noyaux, de la vibration des noyaux, et du mouvement des électrons. "Ce résultat simple et important est la conséquence du l'approximation de Born-Oppenheimer." Ce modèle élémentaire est amélioré en considérant par exemple le couplage de la rotation et de la vibration comme une perturbation au mouvement idéal découplé (distorsion centrifuge).


title: Ambre (jeu de rôle)

text: Ambre est un jeu de rôle édité en France par les Jeux Descartes à partir de 1994. Il a été conçu et écrit par Erick Wujcik, d'après le "Cycle des Princes d'Ambre" de Roger Zelazny. En 1970, Zelazny publie le premier tome du "Cycle". À sa mort, en 1995, la série comptait une dizaine de romans et un jeu de rôles. Bien que le cycle ne fut pas achevé, il fit l'effet d'une petite révolution dans le monde de la fantasy à cause de son système de jeu sans dés.


title: Ambre (jeu de rôle)

text: La version francophone d'Ambre a été illustrée par Florence Magnin.


title: Ambre (jeu de rôle)

text: L'univers d'Ambre tel que développé dans les romans est très présent dans le jeu de rôle, les joueurs incarnant les fils des Princes d'Ambre ou de la Cour du Chaos — les héros des livres. Le monde dans lequel les personnages évoluent est en fait un multi-mondes, vaste "plexus" organisé entre deux pôles de réalité asymétriques : les Cours du Chaos et la cité d'Ambre. La présentation du jeu de rôles d'Ambre fait une grande place aux intrigues de pouvoirs, qui sont la trame principale des livres et qui offrent un support illimité au roleplay. Cela nécessite un effort d'appropriation de l'univers par le maître de jeu et les joueurs ; la liberté de jeu est au prix d'un investissement plus important que dans la plupart des autres jeux de rôles. Une autre particularité de ce jeu est l'absence de dés pour trancher les actions non triviales. Le hasard et le destin sont tributaires des conventions établies par Zelazny et de la bonne entente entre joueurs et maître de jeu. À ce titre, Ambre est souvent déconseillé aux joueurs débutants — mais sa souplesse peut à l'inverse être séduisante pour débuter.


title: Ambre (jeu de rôle)

text: Les inspirations des romans de Zelazny étaient le plus souvent médiévales-fantastiques : ces mêmes inspirations se retrouvent dans le livre de règles, qui sont plus des conventions et des éléments de jeu que des indications intangibles. Elles reprennent la liberté potentielle de naviguer à travers les univers infinis d'Ambre (les « ombres »), ce qui offre des perspectives tout à fait singulières pour un jeu de rôles : là où la plupart des jeux proposent un univers et le développent avec minutie, Ambre propose la seule liberté d'approfondir tout univers souhaité par ses joueurs.


title: Ambre (jeu de rôle)

text: Dans le jeu, le joueur dirige un prince d'Ambre de la troisième génération. En tant que descendant du roi Oberon, les joueurs disposent de certaines capacités : une force et une intelligence surhumaine, l'immortalité temporelle, et surtout la possibilité de voyager dans les mondes (« marcher à travers Ombre »).


title: Ambre (jeu de rôle)

text: Pour se faire une idée du potentiel des personnages, on peut prendre quelques exemples : un prince d'Ambre ne rate jamais sa cible quand il tire une flèche sans handicap, il est en mesure de battre tous les grands joueurs d'échecs tout comme de se battre à l'épée plusieurs jours d'affilée, ou encore de contrôler les pensées d'un humain, etc. Les personnages incarnés par les joueurs commencent donc au plus haut de l'échelle sociale, avec pour seuls ennemis réels les Ambriens des générations antérieures et certains habitants des Cours du Chaos. Les complots et traîtrises sont légion à la cour d'Ambre : ne jamais faire confiance à un autre Prince d'Ambre est la première chose qu'apprend un jeune Prince. Cet élément caractéristique des romans rend parfois épiques les parties, car les joueurs rassemblés autour d'une même table peuvent avoir des intérêts fortement divergents.


title: Ambre (jeu de rôle)

text: Une première singularité de ce jeu est qu'il permet au joueur de se déplacer dans n'importe quelle "ombre" imaginable, et ce à n'importe quelle époque, puisque les Ambriens et les habitants des « Cours du Chaos » ont un contrôle sur les espaces-temps. Tous les mondes possibles existent dans Ambre, et leurs aspects dépendent de l'infinité de « dosages » différents entre Ordre et Chaos. Les possibilités de ce jeu sont donc potentiellement infinies. On pourra y jouer des campagnes très différentes, selon l'orientation choisie par le maître de jeu, les envies ponctuelles des joueurs, etc.


title: Ambre (jeu de rôle)

text: Ambre se pratique sans aucun système de dés ou de jets aléatoires — contrairement à la plupart des autres jeux de rôles. Les joueurs doivent se référer aux décisions du maître de jeu, qui interprète leurs actions : le "rôle play", ou art d'incarner son personnage, est le principal moteur d'Ambre. La magie est très diversifiée et le système sans dés qui la régit s'avère assez fonctionnel. Un joueur débutant appréciant le "role play" trouvera rapidement ses marques tandis qu'un joueur expérimenté pourra mettre à profit la richesse du jeu pour développer les scénarios de manière plus libre que dans un jeu de rôles à règles "figées".


title: Ambre (jeu de rôle)

text: En ce qui concerne la méthode de tirage des personnages, qui s'affranchit elle aussi de l'utilisation du dé, Erick Wujcik a conçu un système d'enchère où chaque joueur dispose d'une centaine de points, qu'il devra répartir entre différents attributs ("Force", "Psyché", "Combat" et "Endurance"). Les points servent également à acheter des armes, des pouvoirs, des protecteurs ou du "Karma".


title: Ambre (jeu de rôle)

text: Généralement, les parties d'Ambre s'appuient surtout sur des conflits inter-ombres ou bien des conflits entre Ambre et les "Cours du Chaos", car les personnages des joueurs ont des capacités physiques et magiques bien plus importantes que celles des habitants des "Ombres" (dont fait partie la Terre). Au fil des parties, les caractéristiques chiffrées des personnages varient de simples indicateurs à valeurs arbitres : si la plupart du temps, Ambre fait la part belle aux dialogues, il se peut que naisse une situation de conflit où un repère stable devient nécessaire. L'expérience des joueurs augmentant, la confiance entre ceux-là et le maître de jeu devenant complète, ces situations deviennent plus rares et les parties peuvent se dérouler entièrement sans feuille de personnages (ou pour simple aide-mémoire).


title: Analyse dimensionnelle

text: L'analyse dimensionnelle est une méthode pratique permettant de vérifier l'homogénéité d'une formule physique à travers ses "équations aux dimensions", c'est-à-dire la décomposition des grandeurs physiques qu'elle met en jeu en un produit de grandeurs de base : longueur, durée, masse, intensité électrique, irréductibles les unes aux autres.


title: Analyse dimensionnelle

text: L'analyse dimensionnelle repose sur le fait qu'on ne peut comparer ou ajouter que des grandeurs ayant la même dimension ; on peut ajouter une longueur à une autre, mais on ne peut pas dire qu'elle est supérieure, ou inférieure, à une masse. Intuitivement, une loi physique ne saurait changer, hormis dans la valeur numérique de ses constantes, au simple motif qu'on l'exprime dans d'autres unités. Le théorème de Vaschy-Buckingham le démontre mathématiquement.


title: Analyse dimensionnelle

text: En physique fondamentale, l'analyse dimensionnelle permet de déterminer "a priori" la forme d'une équation à partir d'hypothèses sur les grandeurs qui gouvernent l'état d'un système physique, avant qu'une théorie plus complète ne valide ces hypothèses. En science appliquée, elle est à la base de la modélisation par maquettes et de l'étude des effets d'échelle.


title: Analyse dimensionnelle

text: L'analyse dimensionnelle peut trouver des applications dans de nombreux problèmes, en particulier pour déterminer des nombres sans dimension intervenant dans les phénomènes physiques, qui permettent de modéliser le phénomène par des maquettes, ou encore pour déterminer "a priori" des effets d'échelle. On la retrouve par exemple dans les domaines suivants :


title: Analyse dimensionnelle

text: L'analyse dimensionnelle de ces phénomènes fournit d'utiles règles de proportionnalité. Elle permet de spécifier l'étalonnage des modèles expérimentaux, et de guider les études de variation. Dans de nombreux cas, elle permet d'identifier des dépendances fonctionnelles. Dans tous les cas, elle contribue à une meilleure compréhension du problème.


title: Analyse dimensionnelle

text: L'analyse dimensionnelle est à la base des systèmes d'unités naturelles.


title: Analyse dimensionnelle

text: Dans une formule physique, les variables présentes ne sont pas « que » des nombres, mais représentent des grandeurs physiques.


title: Analyse dimensionnelle

text: Une grandeur physique est un paramètre mesurable qui sert à définir un état, un objet. Par exemple, la longueur, la température, l'énergie, la vitesse, la pression, une force (comme le poids), l'inertie (masse), la quantité de matière (nombre de moles)… sont des grandeurs physiques. Une mesure physique exprime la valeur d'une grandeur physique par son rapport avec une grandeur constante de même espèce prise comme unité de mesure de référence (étalon ou unité).


title: Analyse dimensionnelle

text: On exprime alors la grandeur par un nombre rationnel multipliant l'unité de mesure. De ce fait, les opérations entre grandeurs physiques ne portent pas que sur les nombres, mais également sur les unités. Ces unités présentes dans les formules physiques contraignent la forme que peuvent prendre ces formules, parce que certaines opérations possibles sur de simples nombres deviennent impossibles quand ces nombres sont associés à des unités. Ces contraintes sont celles qui font qu'une formule physique est qualifiée d'« homogène » :


title: Analyse dimensionnelle

text: Un tel contrôle est automatisable. Dès 1976, Michel Sintzoff remarquait qu'on peut renforcer la fiabilité des programmes de calculs en physique, en déclarant les variables physiques en tant que telles, et en codant leur dimension par la suite des exposants relatifs aux dimensions de base prises dans un ordre fixe. Il est alors possible de vérifier à la compilation leur homogénéité dimensionnelle par "évaluation symbolique". Pour cela, on remarque notamment que :


title: Analyse dimensionnelle

text: Si l'addition d'unités n'a pas de sens, celle de grandeurs physiques de même nature reste possible, à condition toutefois de les ramener à une unité commune. Ou, de façon équivalente, on peut transformer les minutes en heures avant de pouvoir les additionner :


title: Analyse dimensionnelle

text: Dans le premier cas, on aura simplifié les heures au numérateur contre des heures au dénominateur pour obtenir plus que des minutes au numérateur, et dans le second on aura simplifié des minutes au numérateur contre des minutes au dénominateur, pour ne garder plus que des heures au numérateur.


title: Analyse dimensionnelle

text: Une mesure physique étant un nombre "associé à une unité", on a bien d'un côté deux nombres associés à des unités (différentes), et de l'autre le résultat, un nombre associé à une unité.


title: Analyse dimensionnelle

text: Remarque : le « facteur de conversion » des températures a une référence absolue, le zéro absolu. Les échelles usuelles de température, degré Celsius comme degré Fahrenheit, partent de zéros différents, si bien que la conversion d'une unité dans une autre est une transformation affine, au lieu d'être une proportionnalité. C'est pourquoi il ne peut y avoir de facteur de conversion qu'entre "écarts" de température. Les formules physiques expriment la température en kelvins.


title: Analyse dimensionnelle

text: Une « unité de mesure » est une grandeur physique qui permet d'exprimer la valeur d'une mesure physique par son "rapport avec une grandeur constante" de même espèce. Ainsi, si l'« heure » est une unité de mesure du temps, c'est parce que l'on peut comparer des grandeurs temporelles avec la grandeur particulière qu'est « une heure » : toute mesure physique ne fait qu'évaluer un rapport entre deux grandeurs de même nature.


title: Analyse dimensionnelle

text: Ces unités de mesure sont elles-mêmes des grandeurs physiques mesurables, donc "un nombre associé à une unité", et prendre « une heure » ou « une minute » comme référence est fondamentalement un choix arbitraire. Le caractère arbitraire de ce choix peut être frustrant, parce qu'il ne permet pas de capturer ce qu'est la « nature » d'une unité : bien qu'une mesure soit un nombre associé à une unité (laquelle donne donc à cette mesure sa nature), on ne peut en réalité que faire des rapports, et accéder à des nombres sans dimension.


title: Analyse dimensionnelle

text: L'idée d'un système d'unités naturelles répond à cette idée d'éliminer la part d'arbitraire dans la mesure : s'il existe une unité naturelle « T » qui puisse servir de référence universelle pour mesurer le temps, alors la minute et l'heure peuvent se décrire comme respectivement "n.T" et soixante fois "n.T". Si l'unité est naturelle, on peut alors considérer que « T » concentre l'essence de cette grandeur et en est la nature même, ce qui fait qu'un nombre change sa nature et devient une mesure physique : l'unité arbitraire que l'on utilise au quotidien est ainsi dissociée en une grandeur physique essentielle, qui lui donne sa « nature », et un facteur de conversion propre à cette unité, qui en supporte tout l'arbitraire.


title: Analyse dimensionnelle

text: Dans cette approche, une mesure d'une grandeur physique implique alors conceptuellement trois entités : une unité naturelle, qui donne la « nature » de la mesure, un facteur de conversion qui découle de la grandeur utilisée comme unité pratique, et un nombre mesuré représentant le rapport entre la grandeur mesurée et l'unité pratique. Que l'unité naturelle ne soit pas clairement définie (la seule unité clairement naturelle est la vitesse de la lumière) n'a pas d'importance pratique. Un facteur de conversion, s'il faut le calculer, prend toujours la forme d'un rapport entre deux mesures de même nature, et ne dépend donc pas de la valeur exacte de l'unité naturelle.


title: Analyse dimensionnelle

text: Indépendamment de ce que doit être la valeur d'une unité naturelle, on peut considérer dans cette optique qu'une expression physique traduit des opérations sur des objets complexes, associant un nombre, une unité, et un facteur de conversion.


title: Analyse dimensionnelle

text: Il y a les opérations numériques effectuées sur des nombres, sur lesquelles se concentrent les praticiens utilisateurs de la formule. C'est ce qui fait l'intérêt pratique de la formule.


title: Analyse dimensionnelle

text: Il y a d'autre part des opérations simultanées sur des grandeurs, qui représentent la « nature » des mesures physiques impliquées — et ceci, indépendamment du choix d'une unité ; c'est ce sur quoi se concentre le théoricien lorsqu'il examine l'« équation aux dimensions ».


title: Analyse dimensionnelle

text: Il y a enfin des opérations sur les facteurs de conversions qui découlent du choix d'un système d'unités potentiellement arbitraires. C'est ce qu'il faut examiner quand on passe d'un système d'unités à un autre. Dans une formule physique, ce choix ne se traduit jamais, en réalité, que par un facteur de conversion sans dimension (donc, ne changeant pas la « nature » de l'expression). Et comme ce facteur ne fait que refléter un choix arbitraire, on s'arrange dans les systèmes bien conçus (comme le système métrique) pour choisir les unités pour que le facteur de conversion soit « un », et disparaisse de la formule.


title: Analyse dimensionnelle

text: L’"équation aux dimensions" d'une formule physique est une « équation de grandeurs », qui a la même forme que la formule physique initiale, mais où ne sont pris en compte ni les nombres, ni les facteurs de conversion, ni les constantes numériques sans dimension : uniquement les grandeurs. On y représente les phénomènes mesurés par un symbole ; par exemple, un temps y est représenté par la lettre « T », une longueur est représentée par la lettre « L ». C'est cette formule qui permet de déterminer la dimension dans laquelle doit être exprimé le résultat d'une formule physique, indépendamment des nombres résultant des mesures.


title: Analyse dimensionnelle

text: Les équations physiques relient entre elles des grandeurs physiques, donc des nombres et des unités. La mesure et le calcul peuvent utiliser différentes unités, selon la commodité et la coutume. Le rapport entre les expressions de la même grandeur dans deux unités différentes est le "facteur de conversion". Les facteurs de conversions suivent l'arithmétique des opérations qui définissent les unités.


title: Analyse dimensionnelle

text: } = k_{\rm \left(noeud\frac{m}{s}\right)}.D_{\mathrm {milles}} / T_{\mathrm {heures}} , avec : formula_3


title: Analyse dimensionnelle

text: On évite le facteur de conversion en choisissant une « unité dérivée » des grandeurs de base.


title: Analyse dimensionnelle

text: D'une manière générale, en passant d'une loi physique à une autre, il est possible d'exprimer de proche en proche la dimension de toutes les grandeurs physiques en fonction de sept dimensions de base.


title: Analyse dimensionnelle

text: Le système international d'unités fait le choix suivant, et recommande les notations correspondante, largement répandues :


title: Analyse dimensionnelle

text: Le choix de ces sept grandeurs est une construction historique, les grandeurs ont été choisies depuis le en fonction des besoins et des étalons que l'on pouvait fabriquer de manière simple et précise. Elles sont "a priori" les plus fondamentales, et « les trois unités fondamentales » étant les seules directement accessible à la mesure pour la physique du , il aurait été difficilement imaginable de faire le choix d'autres grandeurs de base.


title: Analyse dimensionnelle

text: On peut cependant choisir d'autres grandeurs de référence, par exemple définir la vitesse comme grandeur de base, et définir l'étalon-longueur en fonction de l'étalon-vitesse et de l'étalon-temps : c'est ce qui est d'ailleurs fait à présent implicitement dans le système métrique, l'étalon-vitesse étant la vitesse de la lumière dans le vide. De même, une alternative à l'intensité électrique pourrait être de retenir la charge électrique comme unité de base. Ces choix alternatifs conduisent alors à des alternatives en matière de système d'unités.


title: Analyse dimensionnelle

text: Le choix des grandeurs de base par rapport aux grandeurs dérivées est relativement arbitraire. Dans la plupart des cas, en mécanique, les grandeurs effectivement utilisées se limitent aux « trois unités fondamentales » de Maxwell, le sous-système . Mais il serait possible de fonder un système sur la force au lieu de la masse (). De fait, exprimer des unités en ou en revient en quelque sorte à considérer que le newton pourrait être une grandeur de base pour définir ces grandeurs dérivées. On pourrait de même remplacer le temps par une vitesse ou une fréquence, ou s'appuyer sur l'énergie, ou opter pour toute autre combinaison de trois grandeurs mécaniques, du moment que ces trois grandeurs sont indépendantes. Ce choix est uniquement une question de commodité. L'analyse dimensionnelle ne dépend pas des grandeurs retenues comme base.


title: Analyse dimensionnelle

text: Comme indiqué ci-dessus, une loi physique comporte dans le cas général (pour des systèmes d'unité non rationnels) un terme constant reflétant la conversion des unités entre grandeurs d'entrée et grandeur de sortie. Inversement, dans un système rationnel, l'unité de la grandeur de sortie est choisie de telle manière, que son facteur de conversion soit égal à l'unité, c'est-à-dire disparaisse de la formule décrivant la loi physique : ce facteur n'a en effet aucune signification physique.


title: Analyse dimensionnelle

text: De proche en proche, de loi physique en loi physique, ce principe permet de déterminer toutes sortes de « grandeurs dérivées », d'en connaître la dimension, et si possible d'en fixer une unité cohérente avec les unités précédemment retenues, pour laquelle le « facteur de conversion » sera égal à un.


title: Analyse dimensionnelle

text: Une "grandeur dérivée" est ainsi une grandeur dont la dimension est liée à au moins une des sept grandeurs de base. Une loi physique exprime le lien entre une grandeur dérivée et les grandeurs de base (ou d'autres grandeurs dérivées). Son énoncé impose une certaine "équation aux dimensions".


title: Analyse dimensionnelle

text: La dimension d'une grandeur dérivée est dite « simple » lorsqu'elle n'est liée qu'à une des sept grandeurs de base. Par exemple, la dimension de la superficie est simple : elle n'est liée qu'à la longueur et correspond au carré d'une longueur. La dimension d'une grandeur dérivée est dite « composée » lorsqu'elle est liée à au moins deux des sept grandeurs de base. Par exemple, la vitesse est le rapport d'une longueur par une durée.


title: Analyse dimensionnelle

text: L"équation aux dimensions" est l'équation qui relie la dimension d'une grandeur dérivée à celles des sept grandeurs de base. Dans une équation aux dimensions, la dimension de la grandeur dérivée formula_4 est notée formula_5 ou formula_6.


title: Analyse dimensionnelle

text: La forme générale d'une équation aux dimensions est :Ces derniers sont appelés « exposants dimensionnels ». Un tel "exposant dimensionnel" est un nombre entier relatif. Il peut être (strictement) positif, nul ou (strictement) négatif. Une "grandeur sans dimension", ou "grandeur de dimension 1", est une grandeur pour lesquels tous les exposants dimensionnels sont nuls.


title: Analyse dimensionnelle

text: Ainsi, la "dimension d'une grandeur" est la manière dont elle se compose à partir des sept dimensions de base. La composition peut devenir plus complexe.


title: Analyse dimensionnelle

text: Le radian et son homologue sphérique le stéradian occupent une place à part dans les unités, ni tout à fait unité de base, ni vraiment homologue à une unité dérivée. Pendant longtemps, il a été qualifié d'« unité supplémentaire » ; la générale du Bureau international des poids et mesures a retiré cette notion. Le radian est à présent une .


title: Analyse dimensionnelle

text: Le statut particulier de cette unité vient de la dimension réputée « sans dimension » de l'angle plan. Un angle est en effet mesuré par le rapport entre la longueur de l'arc (AB) qu'il découpe sur un cercle de rayon r et le rayon r de ce cercle. Ces deux mesures étant faites dans une unité de longueur, on en conclut que la dimension du radian est nulle, (et de même pour le stéradian, rapport de la surface interceptée au carré du rayon, ). Paradoxalement, donc, la quatrième grandeur immédiatement mesurable dans l'expérience quotidienne ne partage pas le statut privilégié des « trois unités fondamentales » : son unité est facultative, et elle n'est même pas considéré comme une grandeur effective.


title: Analyse dimensionnelle

text: La « grandeur angulaire » est néanmoins importante pour clarifier la notation de quelques unités, ce qui justifie son emploi facultatif dans le système international d'unités. C'est ainsi que la vitesse angulaire se note en , et se distingue ainsi des hertz et des becquerels, "a priori" de même dimension . De même, l'accélération angulaire se note habituellement en .


title: Analyse dimensionnelle

text: Bien que ce ne soit pas la pratique habituelle, il est également correct de noter la composante angulaire dans les grandeurs décrivant la rotation, qui peut être simplement identifiée de proche en proche à travers les équations aux dimensions :


title: Analyse dimensionnelle

text: Mais fondamentalement, pour l'analyse dimensionnelle, les angles ne peuvent pas être considérés comme une variable du problème, parce que leur définition classique ne leur donne pas de dimension propre. Par exemple, prenons un projectile dont on cherche une expression de la portée en fonction de l'angle et la vitesse du tir, et de l'attraction de la pesanteur . Sous cette forme, le problème a quatre variables dépendant de trois grandeurs et devrait donc être bien posé pour résoudre en fonction des trois autres, à une constante près. Mais l'angle étant considéré comme sans dimension, la manière dont il intervient dans un monôme ne peut être qu'arbitraire : cette « variable » s'avère inutilisable dans une approche classique, où elle ne se distingue pas d'une constante arbitraire.


title: Analyse dimensionnelle

text: Ce problème particulier sera traité ci-dessous par projection, en distinguant les composants et de la vitesse initiale suivant deux directions, mais cette solution par projection n'est pas un traitement général, et ne résout pas réellement le problème spécifique des angles.


title: Analyse dimensionnelle

text: En thermodynamique ou en mécanique des fluides, il est parfois intéressant de distinguer entre la masse en tant que mesure de l'inertie (masse inertielle), et la masse en tant que mesure de la quantité de matière (masse grave), suivant une suggestion de Huntley Il existe en effet deux masses pour chaque corps : La masse grave est à la loi de la gravitation de Newton ce qu'est la charge électrique à la loi de Coulomb : elle est en quelque sorte une "charge gravitationnelle". Bien que masse grave et masse inertielle soient conceptuellement distinctes, on constate en pratique qu'elles sont toujours proportionnelles, ce qui justifie que l'on puisse utiliser la même unité pour les deux (c'est le principe d'équivalence). Cependant, si utiliser la même unité de masse est une possibilité, ce n'est pas une nécessité, et il reste possible de distinguer les deux dans une équation aux dimensions : dans son analyse, Huntley montre qu'une équation physique mettant en jeu les deux types de masse doit être homogène pour chaque type de masse.


title: Analyse dimensionnelle

text: Huntley propose une autre extension. Elle consiste à considérer que les trois composantes d'un vecteur doivent être considérés comme relevant de grandeurs distinctes. Dans ce cas, au lieu de n'avoir qu'une longueur indifférenciée, on aura une longueur dans la direction des , et ainsi de suite.


title: Analyse dimensionnelle

text: Pour illustrer cette idée, on peut chercher à calculer à quelle distance sera le point de chute d'un boulet de canon tiré à partir d'un plan horizontal, avec une vélocité verticale et une vélocité horizontale .


title: Analyse dimensionnelle

text: Si l'on ne tient pas compte des dimensions de l'espace, les seules quantités intéressantes seront et , toutes deux en , la portée , de dimension , et l'accélération de la pesanteur, de dimension . Ces quatre quantités ne dépendent que de deux grandeurs indépendantes, et il est donc possible de définir deux grandeurs sans dimension.


title: Analyse dimensionnelle

text: L'équation recherchée pour la portée est de la forme : Ou encore, sous forme d'une équation aux dimensions :


title: Analyse dimensionnelle

text: Ce dont on peut déduire que et , dont on peut déduire que , mais deux exposants restent indéterminés. C'est normal, puisqu'il y a deux grandeurs indépendantes et quatre quantités pour une seule équation.


title: Analyse dimensionnelle

text: Si toutefois on distingue entre les différentes directions de l'espace, alors a la dimension , est en , est en et est en . L'équation aux dimensions devient alors :


title: Analyse dimensionnelle

text: Ayant à présent trois grandeurs indépendantes et quatre quantités pour deux équations, il est possible de résoudre le système pour trouver , et ; et donc :


title: Analyse dimensionnelle

text: Si on note l'angle de tir, par rapport à la vitesse initiale on aura et , donc :


title: Analyse dimensionnelle

text: On voit immédiatement sur cet exemple le gain qu'apporte l'introduction de longueurs directionnellement distinctes.


title: Analyse dimensionnelle

text: La justification profonde d'une telle approche est que chaque composant d'une équation dimensionnellement consistante doit lui-même être dimensionnellement consistant, que l'équation soit scalaire, vectorielle ou tensorielle. Par conséquent, en projetant le problème sur l'un ou l'autre de ses axes de symétrie, on peut (parfois) identifier des équations indépendantes, et chaque équation supplémentaire permettra de résoudre une nouvelle variable.


title: Analyse dimensionnelle

text: Cette approche consiste à ramener un problème situé dans l'espace de dimension trois à plusieurs problèmes dans des espaces linéaires de dimension un. Bien que souvent utile, donc, cette extension de la méthode proposée par Huntley présente encore quelques insuffisances :


title: Analyse dimensionnelle

text: Plutôt que d'introduire seulement trois dimensions de longueur d'orientation distinctes, comme le propose Huntley, Donald Siano a proposé pour représenter le caractère vectoriel de certaines grandeurs de retenir comme grandeur à part entière des « grandeurs d'orientation » , et dans l'équation aux dimensions, le symbole représentant de son côté une grandeur scalaire sans orientation. Avec cette approche, la dimension projetée que propose Huntley devient une grandeur dérivée composée , où traduit le caractère de « longueur », et traduit le caractère d'« orientation » dans une direction particulière, donc le caractère essentiellement vectoriel de cette grandeur.


title: Analyse dimensionnelle

text: Dans les formules dimensionnelles, les grandeurs scalaires ont alors une dimension de quelle que soit la direction de l'espace où elles sont projetés, mais les grandeurs vectorielles reçoivent une dimension d'orientation non nulle — dont le choix en ", , " est relativement arbitraire tant que ces choix se simplifient dans l'équation aux dimensions. La direction peut être par exemple « celle du problème » lorsqu'une seule direction est impliquée, mais devient « l'autre direction du plan » lorsqu'une deuxième intervient, et « la direction orthogonale aux deux autres » , en tant que de besoin.


title: Analyse dimensionnelle

text: Cette convention conduit notamment à poser que l'écart angulaire traduit une rotation dans un espace à trois dimensions :


title: Analyse dimensionnelle

text: Ce même résultat peut s'obtenir directement en remarquant qu'en coordonnées polaires , une variation élémentaire entraîne un déplacement orthogonal : étant d'orientation par rapport à la distance posée d'orientation , l'homogénéité de la formule impose que dα est d'orientation , ce qui est donc la dimension du radian. On peut montrer par ailleurs (à travers le développement en série de Taylor) que sin(θ), comme toute fonction impaire, a la même grandeur d'orientation que son argument ; et que , comme toute fonction paire, a toujours une grandeur d'orientation scalaire — les fonctions ni paires ni impaires ne pouvant prendre que des arguments scalaires.


title: Analyse dimensionnelle

text: En exemple d'application, reprenons le problème de la portée d'un projectile en tenant compte de la grandeur d'orientation. Par rapport à la direction formula_18 du point d'impact, la gravité est d'orientation , et l'angle de tir étant dans un plan sera de dimension perpendiculaire, c'est-à-dire . La portée est alors de la forme :


title: Analyse dimensionnelle

text: L'homogénéité dimensionnelle impose alors correctement que et ; et par rapport à la grandeur d'orientation, doit alors être un entier impair (donc, peut être pris égal à l'unité). Une analyse complémentaire montre que la fonction recherchée en , nécessairement impaire pour des raisons d'homogénéité, est périodique de période (donc de la forme ) et s'annule pour et : donc et la fonction recherchée est . On a donc :


title: Analyse dimensionnelle

text: La puissance du pouvoir prédictif de l'analyse dimensionnelle en regard de sa simplicité a conduit Wheeler à proposer le principe général suivant :


title: Analyse dimensionnelle

text: Cet énoncé, qui peut sembler "a priori" paradoxal, signifie concrètement : ne pas se lancer dans un calcul compliqué sans avoir trouvé au préalable la forme qualitative du résultat, avec l'analyse dimensionnelle.


title: Analyse dimensionnelle

text: L'analyse dimensionnelle permet en effet de trouver la forme de la solution de certains problèmes, sans avoir à résoudre d'équations, grâce au théorème de Buckingham (parfois appelé « théorème Pi »). Ce type de calcul n'est valable que si un petit nombre de paramètres contrôlent la solution d'un problème (2 ou 3).


title: Analyse dimensionnelle

text: L'analyse dimensionnelle ne permet de trouver l'équation physique qui gouverne le phénomène, qu'à une constante numérique près, sans dimension, et que cette méthode ne peut donc pas déterminer. Il faut faire un calcul explicite complet pour la trouver (ou une mesure expérimentale pour la déterminer). L'expérience montre cependant que, dans un système d'unités adapté au problème étudié, cette constante "" est toujours de l'ordre de grandeur de 1 (au sens où ), d'où la pertinence de l'analyse dimensionnelle pour prévoir la forme du résultat d'un calcul, ainsi que son ordre de grandeur.


title: Analyse dimensionnelle

text: Le fait de construire des équations homogènes ne suffit cependant pas à identifier des lois physiques pertinentes. La célèbre équation est parfaitement homogène et invariante par changement d'unités ; mais cette homogénéité ne suffisait pas pour autant à la pressentir.


title: Analyse dimensionnelle

text: Deux exemples célèbres sont le calcul de la puissance de la première bombe atomique et le modèle de Kolmogorov de la turbulence homogène isotrope, qui a influencé grandement toute la mécanique des fluides.


title: Analyse dimensionnelle

text: Galilée avait initialement supposé (à tort) que dans la mesure où la force de gravité exercée sur un corps (son poids) dépend de sa masse, la loi gouvernant la chute des corps, c'est-à-dire la hauteur "h" fonction du temps "t" et de la gravité "g", pouvait également dépendre de la masse "m" de ce corps. On aurait dans ce cas : La hauteur "h" a évidemment pour dimension formula_23, la masse "m" est en formula_24, et "t" a pour dimension formula_25 ; et l'analyse dimensionnelle donne pour "g" la dimension formula_26. La seule combinaison donnant une grandeur sans dimension est alors : Une fonction de la masse ne peut pas être rendue sans dimension au moyen des variables "g", "t" et "h", ce qui montre que l'idée de faire dépendre cette loi de la masse est physiquement incorrecte. En réalité, la masse n'intervient dans la description de la trajectoire que lorsque la résistance de l'air est prise en compte, parce que la viscosité de l'air importe alors la dimension d'une masse.


title: Analyse dimensionnelle

text: Galilée ne disposait pas du calcul différentiel, et supposait que la vitesse "v" (dont la dimension est formula_28) était proportionnelle à la hauteur de chute "h", c'est-à-dire que formula_29. S'il avait pu avoir recours à l'analyse dimensionnelle, il aurait pu voir que la seule grandeur sans dimension qui peut être obtenue à partir de "v", "h" et "g" est : Il ne peut donc pas y avoir de dépendance linéaire entre "h" et "v", ce qui peut donc être déterminé sans calcul différentiel.


title: Analyse dimensionnelle

text: On cherche à déterminer la période "T" d'oscillation du système masse-ressort en fonction de la raideur "k" du ressort et du poids "p" qui y est suspendu. Ces trois grandeurs physiques ont respectivement pour dimension :


title: Analyse dimensionnelle

text: On voit que sous cette forme le problème est insoluble : le poids est la seule grandeur physique ayant une composante en longueur, donc ne peut pas intervenir dans un facteur sans dimension ; et la raideur est alors la seule grandeur ayant une composante en masse, donc ne peut pas intervenir non plus.


title: Analyse dimensionnelle

text: Décomposant le poids en produit de la masse par l'accélération de la pesanteur, on cherche alors à déterminer cette période d'oscillation "T" d'une masse "m" attachée à un ressort idéal de raideur "k" dans un champ gravitationnel "g". Ces quatre grandeurs physiques ont respectivement pour dimension :


title: Analyse dimensionnelle

text: À partir de ces quatre grandeurs il n'est possible de former qu'un seul composé sans dimension : formula_31. Aucune combinaison ne comporte de facteur "g", parce qu'ici c'est le seul qui ait une composante en longueur.


title: Analyse dimensionnelle

text: De fait, l'analyse dimensionnelle peut imposer de fortes contraintes sur la pertinence d'une grandeur physique dans la solution d'un problème, ou sur la nécessité de faire intervenir des paramètres complémentaires. Ici il y a suffisamment de variables pour donner une description correcte du problème, et la conclusion est qu'en réalité la période des oscillations d'une masse accrochée à un ressort ne dépend pas de la gravitation "g" : elle serait la même à la surface de la Terre ou sur la Lune.


title: Analyse dimensionnelle

text: Le facteur sans dimension qui a été trouvé est "a priori" une « petite constante », et l'équation peut se réécrire sous la forme équivalente (en posant formula_32) :


title: Analyse dimensionnelle

text: L'analyse dimensionnelle ne peut pas déterminer seule la constante formula_34. On trouve par d'autres moyens que formula_35.


title: Analyse dimensionnelle

text: Considérons un point matériel de masse "m" et de charge électrique "q" soumis à un champ magnétique uniforme formula_36. Le point matériel animé d'une vitesse formula_37 est soumis à la force de Lorentz : Lorsque formula_39, le point matériel décrit un cercle dans le plan perpendiculaire au champ magnétique à vitesse angulaire "ω" constante. Cette vitesse angulaire doit dépendre des paramètres "m", "q" et formula_36 du problème.


title: Analyse dimensionnelle

text: On peut chercher s'il existe une relation simple, comme un produit, entre ces paramètres : où "k", α, β et γ sont des constantes inconnues, et des nombres sans dimension.


title: Analyse dimensionnelle

text: Les équations aux dimensions permettent de déterminer ces nombres. En effet, on a :


title: Analyse dimensionnelle

text: d'où l'équation aux dimensions d'un champ magnétique :


title: Analyse dimensionnelle

text: On en déduit l'équation aux dimensions de "ω" :


title: Analyse dimensionnelle

text: Par ailleurs, la vitesse angulaire ω est le rapport d'un angle divisé par un temps "T" (la période de rotation) :


title: Analyse dimensionnelle

text: Un angle étant sans dimensions, il vient :


title: Analyse dimensionnelle

text: On en déduit que : γ = 1 ; α+γ = 0 → α = -1 ; et β-γ = 0 → β = 1. D'où la forme de "ω" : formula_47


title: Analyse dimensionnelle

text: On appelle « pulsation cyclotron » la grandeur : formula_48


title: Analyse dimensionnelle

text: Pour cet exemple précis, la résolution de l'équation de la dynamique de Newton montre que "k" = 1 exactement.


title: Analyse dimensionnelle

text: Par ailleurs, "B" est la seule grandeur physique de ce monôme à avoir un caractère d'orientation (c'est un pseudovecteur). La relation peut donc s'écrire sous forme vectorielle : Selon la légende, l'analyse dimensionnelle a permis à Geoffrey Ingram Taylor d'estimer en 1950 l'énergie qu'avait dégagée l'explosion d'une bombe atomique, alors que cette information était classée "top secret". Il a pour cela observé un film d'explosion nucléaire au Nouveau Mexique que les militaires américains avaient rendu public en 1949. L'énergie se déduisait de la dilatation du champignon atomique.


title: Analyse dimensionnelle

text: Taylor suppose "a priori" que le processus d'expansion de la sphère de gaz dépend au minimum des paramètres suivants :


title: Analyse dimensionnelle

text: L'analyse dimensionnelle le conduit alors pour le rayon de la sphère de gaz à l'instant "t" à l'équation :


title: Analyse dimensionnelle

text: où "k" est une constante sans dimensions. Taylor retrouve donc bien la loi expérimentale de dilatation du champignon ce qui semble valider son choix de paramètres. Il détermine alors "r" et "t" à partir du film, et, "k" étant supposée de l'ordre de l'unité et "ρ" étant connue, il obtient finalement :


title: Analyse dimensionnelle

text: En réalité, Taylor n'a pas utilisé ce raisonnement simpliste. Dans sa première publication, longue de 15 pages, il utilise l'analyse dimensionnelle pour simplifier les équations différentielles qui décrivent l'écoulement. Après de nombreux calculs, il obtient finalement la formule très simple suivante :


Analyse dimensionnelle


title: Analyse dimensionnelle

text: où intervient la grandeur numérique formula_54 qui dépend de la constante formula_55 qui vaut 1,4 à température ambiante, mais qui diminue à haute température. Taylor s'étonne ainsi dans son second article du très bon accord entre la formule et les valeurs mesurées sur les photos et précise qu'il s'attendait à un moins bon accord.


title: Analyse dimensionnelle

text: Ce n'est donc qu"a posteriori", grâce aux calculs de Taylor et à la constatation expérimentale que la température n'intervient pas, que l'on peut retrouver très élégamment l'expression du rayon du champignon nucléaire en fonction du temps et de l'énergie de la bombe.


title: Analyse dimensionnelle

text: Geoffrey Ingram Taylor et John von Neumann ont publié cette solution élégante indépendamment durant la seconde guerre mondiale, ainsi que trois autres après la guerre, L. I. Sedov, R. Latter, et J. Lockwood-Taylor.


title: Analyse dimensionnelle

text: L'expression de l'énergie dans l'exemple ci-dessus (bombe nucléaire) peut être obtenue de manière plus générale sans faire référence à l'expansion d'une sphère de gaz. Puisqu'il s'agit de retrouver rapidement le monôme qui intervient dans la relation formula_56, n'importe quelle méthode convient :


title: Analyse dimensionnelle

text: Par exemple, formula_57 et formula_58 donc formula_59, d'où formula_52


title: Analyse dimensionnelle

text: Méthode généralisable: on cherche formula_61 tels que formula_62 avec formula_63 , formula_64 ,formula_65 et formula_66 (voir tableau en dessous)


title: Analyse dimensionnelle

text: Une manière de faire l'analyse granulométrique d'un sédiment fin est de le mettre en suspension homogène, puis de mesurer la hauteur sédimentée en fonction du temps. Cette méthode suppose que l'on connaisse la vitesse de sédimentation formula_68 d'une particule en fonction de son diamètre formula_69. De toute évidence, cette vitesse de sédimentation dépend également de l'accélération de la pesanteur formula_70, de la viscosité formula_71 du liquide, et de la densité relative formula_72, différence de densité entre le sédiment et le liquide. Comme il y a ici cinq paramètres pour seulement trois dimensions fondamentales, il n'est "a priori" possible que de déterminer une dépendance partielle entre les paramètres.


title: Analyse dimensionnelle

text: Il est cependant possible de distinguer, dans la dimension de longueur, entre les longueurs mesurées dans le sens vertical en , direction de la vitesse, de l'accélération, et de l'effet de la viscosité, et celles mesurées à l'horizontale en , direction où doit être mesuré le diamètre de la section efficace. Le volume d'une particule combine à la fois une direction verticale et deux horizontales.


title: Analyse dimensionnelle

text: Les dimensions de ces variables sont alors : L'homogénéité de la formule impose alors: Ce qui correspond à la loi de Stokes, pour laquelle la constante vaut 2/9.


title: Analyse dimensionnelle

text: Dans cet exemple applicable à la cosmologie, on utilise l'analyse dimensionnelle (Longueur, Masse et Temps) à partir des trois constantes, G, formula_79, et le produit des masses des 3 particules atomiques principales (electron, proton et neutron) les plus précisement déterminées (précision 10 voir CODATA2018) : Ce resultat est conforme aux plus récentes estimations, sauf que ce ne peut être lié à un âge , puisque les constantes physiques et mathématiques sont invariantes dans le temps et l'espace. L'origine de l'analyse dimensionnelle fait débat chez les historiens. On cite généralement les mathématiciens Leonard Euler et Joseph Fourier et le physicien Rayleigh comme y ayant fait d'importantes contributions, en partant de l'idée que des lois physiques comme formula_83 ne devraient pas dépendre des unités employées pour mesurer les grandeurs physiques qui apparaissent dans la formule. Cette exigence amène à la conclusion qu'une loi physique doit former une équation « homogène » entre ces différentes unités ; résultat finalement formalisé avec le théorème de Vaschy-Buckingham. Mais la première application d'une analyse dimensionnelle semble être due au mathématicien savoyard François Daviet de Foncenex (1734–1799), dans un ouvrage publié en 1761, soit 61 ans avant les travaux de Fourier. En tout cas James Clerk Maxwell établit l'approche moderne de l'analyse dimensionnelle, en posant que la masse, la longueur et le temps étaient des unités fondamentales, et en qualifiant les autres de « dérivées ».


title: Analyse dimensionnelle

text: Bien que Maxwell ait défini le temps, la longueur et la masse comme « les trois unités fondamentales », il releva cependant que la masse gravitationnelle pouvait être une grandeur dérivée du temps et de la longueur, conduisant à la dérivation , à condition de considérer que dans la loi universelle de la gravitation de Newton, la constante gravitationnelle soit prise égale à l'unité. De même, en écrivant la loi de Coulomb dans une forme où la constante est posée égale à l'unité, Maxwell détermina que la dimension de l'unité électrostatique devait être , et compte tenu de ce que par ailleurs il considérait la masse comme une grandeur dérivée , la charge électrique avait alors la même dimension qu'une masse, c'est-à-dire .


title: Analyse dimensionnelle

text: L'analyse dimensionnelle permet aussi de déduire la forme que doit avoir la relation entre les quantité physiques qui interviennent dans un phénomène que l'on cherche à comprendre et à caractériser. Rayleigh semble l'avoir utilisée dans ce sens le premier, en 1872, en cherchant à expliquer pourquoi le ciel est bleu. Rayleigh publia sa méthode en 1877, dans son livre sur "la théorie du son".


title: Analyse dimensionnelle

text: C'est dans son ouvrage "Théorie de la Chaleur" que Joseph Fourier introduit la « dimension », qu'à l'origine il assimile aux valeurs numériques que prennent les exposants des unités de base. Pour lui, par exemple, l'accélération est donc de dimension 1 par rapport à l'unité de longueur, et de dimension -2 par rapport à l'unité de temps. Pour Maxwell, la « dimension » de l'accélération est toute l'expression , et non la série des exposants ; c'est cette terminologie qui est utilisée aujourd'hui.


title: Analyse dimensionnelle

text: Dès la fin du et le début du siècle, avec l'étude plus approfondie des propriétés des fluides et des corps en mouvement dans les fluides, des physiciens comme Ludwig Prandtl, Theodore von Karman, Albert Shields, Johann Nikuradse et Rayleigh ont utilisé l'analyse dimensionnelle pour reproduire en laboratoire et dans des conditions contrôlables le comportement de phénomènes physiques, mais avec des vitesses ou des densités différentes, en se fondant sur les lois de similitude applicables à des maquettes d'échelles différentes. Ce principe de similitude, qui permet d'étudier des phénomènes physiques à des échelles différentes, est la base de la théorie de la similitude, aussi appelée théorie du modèle.


title: Analyse dimensionnelle

text: L'analyse dimensionnelle est en effet sous-jacente à la modélisation et la similitude. Le théorème de Vaschy-Buckingham montre que pour toute formule physique où interviennent variables dimensionnelles indépendantes, dépendant de unités fondamentales, la formule peut se transformer en une formule équivalente dépendant de "n-k" variables sans dimension se déduisant des variables initiales. Cette transformation permet d'appliquer la même loi, et donc de reproduire le même phénomène, à des échelles différentes, du moment que ces nombres sans dimension sont identiques dans les deux cas. Dans un cas particulier important, lorsque , il n'y a pas de variable libre sans dimension, et le théorème implique que l'expression sans dimension que les variables peuvent former est constante pour le phénomène considéré.


title: Analyse dimensionnelle

text: Inversement, dans l'étude d'un phénomène physique, il n'est nécessaire d'étudier le comportement du système que lorsque ces variables sans dimension varient, le reste s'en déduisant par proportionnalité. Une analyse dimensionnelle permet alors de dégager les variables pertinentes pour l'étude du phénomène considéré, ce qui demande un bon sens de la réalité physique, mais permet ensuite de limiter le plan d'expérimentation à ces seules dimensions. Tous les graphiques de résultats où les axes sont des nombres sans dimension découlent d'une analyse dimensionnelle.


title: Enthalpie

text: En physique, la variable enthalpie est une quantité reliée à l'énergie d'un système thermodynamique. Elle est notée formula_1. Elle comprend l'énergie interne du système (notée formula_2), à laquelle est ajouté le produit de la pression (notée formula_3) par le volume (noté formula_4) : formula_5.


title: Enthalpie

text: L'enthalpie est un potentiel thermodynamique qui synthétise en une seule fonction l'énergie interne du système (liée à sa température et à sa quantité de matière) et le travail de frontière (lié à sa pression) requis pour occuper son volume. Il s'agit d'une fonction d'état qui est une grandeur extensive. L'unité de mesure de l'enthalpie dans le Système international d'unités (SI) est le joule, même si d'autres unités historiques sont encore parfois en usage.


title: Enthalpie

text: L'enthalpie est couramment utilisée lors de l'étude des changements d'état mettant en jeu l'énergie d'un système dans de nombreux processus chimiques, biologiques et physiques.


title: Enthalpie

text: Pour les processus effectués à pression constante, la variation d'enthalpie correspond à la chaleur absorbée (ou dégagée) pour rester à température constante : formula_6, lorsque le travail n'est dû qu'aux forces de pression. Dans ce cas, la variation d'enthalpie formula_7 est positive dans les réactions endothermiques (qui absorbent de la chaleur) et négative dans les réactions exothermiques (qui libèrent de la chaleur).


title: Enthalpie

text: Le mot « enthalpie » (du préfixe "en-" et du grec "thalpein" : « chauffer ») serait la création d'Heike Kamerlingh Onnes: .


title: Enthalpie

text: Les systèmes thermodynamiques faisant intervenir des fluides compressibles sont décrits par des relations entre l'énergie interne du fluide formula_2, sa pression formula_3 et son volume formula_4. Lorsqu'un fluide compressible subit un transfert de chaleur, la chaleur reçue ou perdue modifie à la fois l'énergie interne du système, mais aussi son aptitude à fournir un travail (en changeant son volume sous l'effet de la pression), qui se traduit en travail réel si la frontière du système est déformable.


title: Enthalpie

text: Cependant, lorsqu'un fluide subit des changements d'état (condensation, évaporation) ou des réactions chimiques exothermiques/endothermiques (combustion, polymérisation), le lien entre formula_11est perdu au cours de la transformation de sorte qu'il est impossible de lier leurs valeurs initiales et finales. De plus, formula_12sont des variables codépendantes qu'ils est souvent difficile (et pas toujours utile) de séparer.


title: Enthalpie

text: Il est donc nécessaire de se munir d'une variable d'état conservative qui permette de représenter le système à travers ces transformations, mais également de représenter l'effet de ces transformations elles-mêmes sur l'énergie globale du système. C'est l'enthalpie qui remplit ce rôle, en synthétisant dans une variable « boîte noire » l'influence combinée de l'énergie interne, de la pression et du volume. On passe alors par une description du système en termes de variation d'enthalpie qui, sous l'hypothèse de pression constante au cours de la transformation, possède la propriété remarquable de représenter uniquement le transfert de chaleur à travers la frontière du système.


title: Enthalpie

text: Considérons une transformation isobare (à pression constante) au cours de laquelle le système passe d'un état A à un état B d'équilibre en échangeant de la chaleur formula_13 et du travail uniquement par l'intermédiaire des forces de pression formula_14.


title: Enthalpie

text: Le premier principe permet d'écrire :


title: Enthalpie

text: où formula_2 est la fonction d'état "énergie interne".


title: Enthalpie

text: À pression constante, le travail des forces de pression est égal à :


title: Enthalpie

text: Donc :


title: Enthalpie

text: d'où :


title: Enthalpie

text: On définit ainsi une nouvelle fonction d'état, la fonction "enthalpie" :


title: Enthalpie

text: Il s'ensuit que :


title: Enthalpie

text: Par conséquent, à pression constante, la chaleur mise en jeu, qui n'est pas une fonction d'état puisque c'est un transfert d'énergie entre le système et le milieu extérieur, devient égale à la variation de la fonction d'état enthalpie formula_1. La variation de cette fonction ne dépend que de l'état final et de l'état initial du système et est indépendante du chemin suivi par la transformation.


title: Enthalpie

text: C'est tout l'intérêt de l'application de la fonction enthalpie dans les cas très courants de transformations effectuées à l'air libre, à pression atmosphérique constante.


title: Enthalpie

text: Cette propriété est à la base de la calorimétrie à pression constante puisque la chaleur apportée au système est facile à mesurer expérimentalement. Par abus de langage, on confond souvent les termes « chaleur » et « enthalpie ».


title: Enthalpie

text: "Remarque" : De la définition de la fonction d'état formula_25 on déduit la différentielle :


title: Enthalpie

text: Appliquons le premier principe :


title: Enthalpie

text: (où formula_28 représente tout travail "autre que" le travail des forces de pression.) ;


title: Enthalpie

text: Appliquons le second principe :


title: Enthalpie

text: si la transformation est réversible, d'où :


title: Enthalpie

text: Si le système est purement physique (pas de montage électrochimique induisant un travail électrique), on obtient :


title: Enthalpie

text: Dans le cas d'une réaction chimique effectuée à "T" et "p" constantes, a été définie une grandeur de réaction appelée enthalpie de réaction, associée à l'équation bilan de la réaction : formula_33. "Cette grandeur de réaction permet d'avoir accès à la chaleur mise en jeu au cours de la réaction". Le calcul peut être effectué grâce aux valeurs de l'enthalpie standard de formation de chaque constituant intervenant dans la réaction : formula_34. Les valeurs ont été consignées dans des tables thermodynamiques, établies à la température de référence de .


title: Enthalpie

text: Dans l'exemple ci-dessous, on établit la relation existant entre enthalpie standard de formation et enthalpie de réaction, dans le cas de la combustion d'un alcane : le méthane.


title: Enthalpie

text: L'eau est considérée ici à l'état liquide parce que l'état final est à 25 °C. La vapeur d'eau formée par la combustion est alors condensée en liquide à l'intérieur du calorimètre employé pour la mesure.


title: Enthalpie

text: On calcule l'enthalpie de combustion du méthane à sous la pression standard à partir de la loi de Hess :


title: Enthalpie

text: L'enthalpie standard de formation du dioxygène est nulle car c'est un corps pur simple stable dans les conditions choisies (voir Enthalpie standard de formation).


title: Enthalpie

text: Le calcul de cette enthalpie de combustion permet le calcul de la chaleur de réaction (voir Enthalpie de réaction). Inversement, si l'on mesure cette chaleur à l'aide d'une bombe calorimétrique, on peut avoir accès à l'enthalpie standard de formation du méthane.


title: Enthalpie

text: Il existe une relation entre l'enthalpie de réaction et l'énergie interne de réaction :


title: Enthalpie

text: Pour les réactions chimiques, le terme formula_39 associé au changement de volume est généralement très petit devant formula_40, de sorte que l'enthalpie de réaction peut être assimilée à l'énergie interne de réaction avec une bonne approximation.


title: Enthalpie

text: Pour la combustion d'une mole de méthane à titre d'exemple, formula_41, mais formula_42 seulement.


title: Enthalpie

text: L'état standard pour les réactifs et les produits impose les conditions de pression "P"= et de concentration "C" = , la température est choisie arbitrairement. L'état de référence en revanche impose une température de ().


title: Enthalpie

text: Une détente isenthalpique est une réaction où l'enthalpie ne varie pas. Un bon exemple est la détente de Joule-Thomson.


title: Saint-Malo

text: Saint-Malo est une commune française située en Bretagne, dans le département d'Ille-et-Vilaine, et le principal port de la côte nord de Bretagne. Le secteur touristique y est également très développé. La commune de Saint-Malo est située dans le nord-est de la Bretagne, sur le littoral de la Manche et sur la rive droite de l'estuaire de la Rance. Elle se trouve à au nord de Dinan, à au nord de Rennes et à de Paris.


title: Saint-Malo

text: Saint-Malo constitue la partie nord-ouest du Clos Poulet, une large presqu'île délimitée par la Rance, la Manche et la dépression de Châteauneuf. À l'extrémité nord-est du Clos-Poulet, se trouve Cancale, qui ferme à l'ouest la baie du Mont-Saint-Michel. Le littoral du Clos-Poulet fait partie de la côte d'Émeraude, qui s'étend de Cancale au cap Fréhel.


title: Saint-Malo

text: Les communes limitrophes de Saint-Malo sont, au nord-est, Saint-Coulomb, à l'est, Saint-Méloir-des-Ondes, au sud-est et au sud, Saint-Jouan-des-Guérets, au sud-ouest et à l'ouest, sur la rive gauche de la Rance, Dinard, La Richardais et Pleurtuit.


title: Saint-Malo

text: Saint-Malo est limitrophe de Dinard, mais en est séparée par l'estuaire de la Rance.


title: Saint-Malo

text: L'actuelle commune de Saint-Malo résulte de la fusion du 26 octobre 1967 de l’ancienne commune de Saint-Malo (la vieille ville "intra-muros" et les quartiers de Rocabey, de la gare, de Marville, de Courtoisville et de la Découverte) avec celles de Paramé et Saint-Servan.


title: Saint-Malo

text: Le site originel de l’agglomération malouine comprend les îlots rocheux de la Cité (altitude ), reliés par le tombolo de Solidor à Saint-Servan où s’était installée l’antique Alet (de la dénomination ancienne "Aleto" signalée par la "Notitia Dignitatum" ou Notice des Dignités Impériales, manuscrit du premier quart du ) et de Canalchius - du vieux gaulois "Canalch" (altitude ) au nord - devenu au fil du temps le Saint-Malo intra-muros.C'est sur celui-ci, entouré des îlots du Grand Bé, du Petit Bé et du Fort National accessibles à marée basse, doublés de ceux d'Harbour, de Cézembre et de la Conchée dans la rade constellée de multiples rochers, que l’ermite Aaron accueillit un moine originaire de ce qui deviendra par la suite le Pays de Galles : Maclow, Malo ou Maclou (la graphie varie), le futur saint-Malo. Au , l’évêque Jean de Châtillon y transféra le siège épiscopal, dotant la ville de ses premiers remparts. Dénommée à l'époque « Saint-Malo-de-l'Île », la cité connut son premier essor.


title: Saint-Malo

text: Reliée aux falaises de Paramé par un cordon dunaire bordé d’une plage longue de quatre kilomètres s'étendant jusqu'à celle du Minihic en Rothéneuf (cordon renforcé par une digue et loti en villas à la fin du ), ce tombolo protégeait une baie intérieure battue par les marées, permettant ainsi la création du port. Les endiguements progressifs depuis le permirent l’extension de quartiers à partir de la gare au . L’urbanisation s’est poursuivie depuis les années 1960 sur les plateaux de Paramé à l’est et de Saint-Servan au sud. Les trois villes ont été réunies en 1967 et l’agglomération s’étend ainsi jusqu'à la pointe de la Varde et au Havre de Rothéneuf au nord-est et le long de la ria de la Rance au sud.


title: Saint-Malo

text: Le littoral, long d'une dizaine de kilomètres, est formé d'ensembles rocheux entrecoupés de plages à l'est de la pointe de la Varde (secteurs du Pont, de Minihic, de Rothéneuf et de la Guimorais) et d'une longue plage entre la base de la pointe de la Varde et la Cité historique (plage longée par la digue de Rochebonne).


title: Saint-Malo

text: Le premier franchissement de la Rance est assuré par le barrage de l'usine marémotrice de la Rance entre Saint-Malo (quartier de la Briantais) et Dinard.


title: Saint-Malo

text: Le site du centre-ville, avec la Cité historique (le vieux Saint-Malo), la Cité (ancien Alet) et le port, est formé par un littoral complexe, avec de nombreux récifs et brisants immergés à marée haute, des tombolos sous-marins, visibles aux marées basses de vives eaux, par des îles ou îlots dont beaucoup ont été fortifiés aux (Cézembre, Fort Harbour, le fort de la Conchée, le Grand Bé et le Petit Bé, l'île du Fort National).


title: Saint-Malo

text: Saint-Malo est localisée dans la partie médiane du domaine nord armoricain, unité géologique du Massif armoricain qui est le résultat de trois chaînes de montagne successives. Le site géologique de Saint-Malo se situe plus précisément dans un bassin sédimentaire essentiellement briovérien limité au sud par un important massif granitique cadomien, le pluton de Lanhélin qui fait partie d'un ensemble plus vaste, le batholite mancellien.


title: Saint-Malo

text: L'histoire géologique de la région est marquée par le cycle cadomien (entre 750 et 540 Ma) qui se traduit par la surrection de la chaîne cadomienne qui devait culminer à environ . À la fin du Précambrien supérieur, les sédiments briovériens environnants sont fortement déformés, plissés et métamorphisés par l'orogenèse cadomienne qui implique un fort épaississement crustal, formant essentiellement des schistes et des gneiss. Cette déformation développe une succession d'antiformes (Saint-Jacut-Rothéneuf, le Minihic et Plouer) correspondant à des chevauchements à vergence sud-est, séparés par des synformes (la Richardais et Saint-Suliac) d'orientation N60°, plis d'autant plus déversés vers le sud que l'on se rapproche du noyau migmatitique. Ce noyau de forme elliptique (), ceinturé d'une enveloppe gneissique et micaschisteuse, correspond à la région de Dinard-Saint-Malo. L'épaississement, consécutif à l'écaillage tectonique du domaine orogénique, a en effet provoqué la fusion crustale à l'origine de la mise en place des dômes anatectiques (migmatites de Guingamp et Saint-Malo, développées aux dépens des sédiments briovériens) qui est datée entre 560 et 540 Ma. Les massifs granitiques du Mancellien scellent la fin de la déformation ductile de l'orogenèse cadomienne.


title: Saint-Malo

text: Ces migmatites sont bien visibles le long de la Promenade du Clair-de-Lune de Dinard. Les diverses variétés de migmatites de la région malouine ont été largement exploitées. Du fait de la difficulté de taille due aux ondulations du feuilletage, elles fournissaient surtout des moellons, les faciès plus homogènes pouvant livrer des pierres de taille. La Cité historique a d'abord été construite sur une île rocheuse située entre la pointe du Naye en Saint-Servan et les prairies de Cézembre, devenue une presqu'île - légende le présentant comme la conséquence du raz-de-marée de 709, le rocher sert donc de fondation. Les murs de construction en moellon et en pierre de taille en suivront par la suite le tracé. Les matériaux de provenance variée (pierres proximales et distales), .


title: Saint-Malo

text: Les marées de la baie de Saint-Malo sont parmi les plus importantes en Europe. Elles sont provoquées par la concentration des eaux au cœur d'une baie triangulaire entre Bretagne et Cotentin. Au maximum, le marnage (amplitude entre marée basse et marée haute) peut y atteindre , soit plus du double du marnage ordinaire en Atlantique. C'est pour cette raison que le barrage de l'usine marémotrice fut construit sur l'estuaire de la Rance, en amont de l'intra-muros de Saint-Malo (l'autre option étant la baie du Mont-Saint-Michel) au début des années 1960.


title: Saint-Malo

text: La prudence est de rigueur en bord de mer. Avant de s'aventurer sur les bancs de sable ou sur les rochers à marée basse, il convient de se renseigner sur les horaires des marées, au risque de se retrouver piégé par la mer. Les jours où se conjuguent grandes marées et des vents importants imposent un surcroît de précautions. Les risques d'être emporté par la mer et de mourir noyé sont réels. Une signalisation spécifique et des bouées de sauvetage ont été installées tout au long de la chaussée du Sillon.


title: Saint-Malo

text: Il est possible de trouver les horaires des marées de différentes façons : à l'Office de tourisme, dans des grandes surfaces ici où là dans la ville et même dans des petites commerces, comme par exemple intramuros au Comptoir de la mer.


title: Saint-Malo

text: La baie de Saint-Malo jouit d'un climat tempéré très océanique. Les températures sont adoucies par le Gulf Stream et l'amplitude des températures moyennes entre hiver et été est très faible (de en janvier à en août) avec une moyenne à .


title: Saint-Malo

text: Du point de vue de la richesse de la flore, Saint-Malo est à la cinquième place des communes du département possédant dans leurs différents biotopes le plus de taxons, sa voisine Saint-Coulomb étant en tête, soit 618 pour une moyenne communale de 348 taxons et un total départemental de taxons (). On compte notamment 81 taxons à forte valeur patrimoniale (total de 207) ; 60 taxons protégés et 30 appartenant à la liste rouge du Massif armoricain (total départemental de 237).


title: Saint-Malo

text: De nombreux parcs et jardins disséminés aux quatre coins de la ville accueillent des espèces riches et variées comme à la roseraie Sainte Anne qui accueille un rosier datant de 1797 (la cuisse de nymphe).


title: Saint-Malo

text: Quatre anciennes communes ont été absorbées par Saint-Malo et restent présentes dans la toponymie locale : Saint-Servan (souvent dit Saint-Servan-sur-Mer), Paramé, Rothéneuf, Saint-Ideuc.


title: Saint-Malo

text: Saint-Malo est une commune urbaine, car elle fait partie des communes denses ou de densité intermédiaire, au sens de la grille communale de densité de l'Insee.  Elle appartient à l'unité urbaine de Saint-Malo, une unité urbaine monocommunale de en 2017, constituant une ville isolée.


title: Saint-Malo

text: Par ailleurs la commune fait partie de l'aire d'attraction de Saint-Malo, dont elle est la commune-centre. Cette aire, qui regroupe , est catégorisée dans les aires de à moins de .


title: Saint-Malo

text: La commune, bordée par la Manche, est également une commune littorale au sens de la loi du , dite loi littoral. Des dispositions spécifiques d’urbanisme s’y appliquent dès lors afin de préserver les espaces naturels, les sites, les paysages et l’équilibre écologique du littoral, comme le principe d'inconstructibilité, en dehors des espaces urbanisés, sur la bande littorale des , ou plus si le plan local d’urbanisme le prévoit.


title: Saint-Malo

text: L'occupation des sols de la commune, telle qu'elle ressort de la base de données européenne d’occupation biophysique des sols Corine Land Cover (CLC), est marquée par l'importance des territoires artificialisés (50,6 % en 2018), en augmentation par rapport à 1990 (46,6 %). La répartition détaillée en 2018 est la suivante :  zones urbanisées (33,5 %), terres arables (32,5 %), zones industrielles ou commerciales et réseaux de communication (16,2 %), zones agricoles hétérogènes (14,3 %), prairies (1,1 %), milieux à végétation arbustive et/ou herbacée (1 %), espaces verts artificialisés, non agricoles (0,9 %), zones humides côtières (0,4 %), eaux maritimes (0,2 %).


title: Saint-Malo

text: L'IGN met par ailleurs à disposition un outil en ligne permettant de comparer l’évolution dans le temps de l’occupation des sols de la commune (ou de territoires à des échelles différentes). Plusieurs époques sont accessibles sous forme de cartes ou photos aériennes : la carte de Cassini (), la carte d'état-major (1820-1866) et la période actuelle (1950 à aujourd'hui).


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text: En 2018, le nombre total de logements dans la commune était de , alors qu'il était de en 2013 et de en 2008.


title: Saint-Malo

text: Parmi ces logements, 68,6 % étaient des résidences principales, 26,2 % des résidences secondaires et 5,2 % des logements vacants. Ces logements étaient pour 37,3 % d'entre eux des maisons individuelles et pour 62 % des appartements.


title: Saint-Malo

text: Le tableau ci-dessous présente la typologie des logements à Saint-Malo en 2018 en comparaison avec celle d'Ille-et-Vilaine et de la France entière. Une caractéristique marquante du parc de logements est ainsi une proportion de résidences secondaires et logements occasionnels (26,2 %) supérieure à celle du département (7,1 %) et à celle de la France entière (9,7 %). Concernant le statut d'occupation de ces logements, 50,6 % des habitants de la commune sont propriétaires de leur logement (51,4 % en 2013), contre 59,8 % pour l'Ille-et-Vilaine et 57,5 pour la France entière.


title: Saint-Malo

text: Saint-Malo est en plein renouvellement urbain sur la période 2008 - 2021. Les projets fleurissent sur toute la commune et dans tous les quartiers. Chaque chantier va contribuer à modifier la physionomie globale de la ville. Le point, chantier par chantier : D'autres quartiers seront également rénovés. Saint-Malo est relié au réseau ferroviaire depuis 1864. Il disposait de deux réseaux de tramways, les Tramways bretons et le Tramway de Rothéneuf, qui circulèrent jusqu'en 1947, et qui sont les ancêtres de l'actuel réseau d'autobus urbain.


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text: Saint-Malo Agglomération organise un réseau de transport en commun, actuellement exploité par la société Keolis dans le cadre d'une délégation de service public de six ans, jusqu'en 2012, qui dessert notamment Saint-Malo. ont accès au réseau de transport en commun, qui est composé de 16 lignes de bus ou cars.


title: Saint-Malo

text: En saison, lors des grands week-ends et des grands événements, une navette gratuite est mise en place entre le parking Paul Féval, situé à l'entrée de la ville, et l'Intra Muros (avec parking et services camping-cars à proximité immédiate). Dans quelques années, la mairie prévoit de remplacer cette navette par un Transport en Commun en Site Propre (TCSP).


title: Saint-Malo

text: La ville voisine de Pleurtuit possède un aéroport sur son territoire.


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text: Il est géré par la CCI de Rennes, la CCI de Saint-Malo et le groupe Vinci Airports. En 2007, environ ont été transportés par les deux compagnies Ryanair et Aurigny Air Service. L'aéroport propose des liaisons avec Londres Stansted, Nottingham, Bristol, Birmingham et Guernesey.


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text: On rencontre l'appellations suivante : "Insula Aaronis" au (« L'île d'Aaron »). Un ermite du nom de "Aaron" y construisit à cette époque un ermitage (selon la tradition, au lieu de la chapelle Saint-Aaron).


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text: Le nom de la localité est attesté sous la forme latinisée "Macloviensem" en 1162, puis "Saent Mallou" en 1282, "Saint Malou" en 1287 et en 1294, "Saint Malo" en 1304, etc.


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text: Il s'agit d'une formation toponymique médiévale en "Saint-", dont le second élément "-Malo" se réfère à un saint connu autrement sous le nom de "Maclovius".


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text: Durant la Révolution, la commune est rebaptisée "Port-Malo", puis "Commune-de-la-Victoire", puis "Mont-Mamet".


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text: En gallo, la commune se nomme "Saent-Malo" et en breton "". Saint-Malo ne se trouve pas dans la zone bretonnante actuelle. Cependant, les variations historiques de la Frontière linguistique bretonne montrent que la langue bretonne était parlée à Saint-Malo au Moyen Âge .


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text: L'histoire de Saint-Malo remonte à l'époque gauloise : les Coriosolites occupent en premier les lieux. Sous l'influence romaine, la ville de Corseul (dans les terres) se développe aux dépens de la cité d'Alet mais Alet demeure un port important au point qu'à la fin du les Romains choisissent de le fortifier. À cette époque, face à Alet, l'île de la future Saint-Malo est encore inhabitée.


title: Saint-Malo

text: Lors du retrait de l'armée romaine (le 16 janvier 423), Alet subit de nombreuses attaques venues du Nord. C'est ensuite que saint Malo, venant de l'actuel Pays de Galles, s'installe sur le rocher qui prendra le nom de rocher de Saint-Malo en 541.


title: Saint-Malo

text: Saint-Malo sera ainsi rattachée provisoirement au domaine royal de 1395 à 1415, reprise par le duc de Bretagne en 1415 au retour de l'armée ducale de la bataille d'Azincourt, puis à nouveau intégrée au domaine royal en 1488.


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text: Le , Saint-Malo proclame son indépendance au royaume de France et devient la République de Saint-Malo. L’épisode de quatre ans s’achèvera le avec la conversion au catholicisme du roi Henri IV, la ville revenant à l'issue de cette période dans le giron des rois de France.


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text: C'est avec la découverte des Amériques et le développement des échanges commerciaux avec les Indes (premier navire négrier armé à Saint-Malo en 1669) que Saint-Malo prend son envol économique et s'enhardit considérablement. Les armateurs deviennent plus nombreux et des personnages de cette époque font la renommée de la ville, renommée dont le pic coincide avec le commerce de la Mer du Sud qui permet de ramener en Europe l'argent des mines péruviennes. Jacques Cartier découvre et explore le Canada, les corsaires harcèlent les marines marchandes et militaires ennemies, tels Duguay-Trouin, puis un peu plus tard Surcouf.


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text: D'autres s'illustrent dans les sciences, tel Maupertuis, ou dans les lettres et la politique comme Chateaubriand. Modification du style de vie, les armateurs se font construire de belles demeures particulières appelées malouinières.


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text: La pêche errante, la "Grande Pêche", sur les bancs de Terre-Neuve se développe. Le tourisme balnéaire commence très tôt ( de bains en 1838) ainsi que le tourisme littéraire et artistique avec la mise en place du tombeau de Chateaubriand sur l’îlot du Grand Bé.


title: Saint-Malo

text: Saint-Malo fut le cinquième port négrier français avec le départ d'environ 250 expéditions jusqu'en 1824. On estime à le nombre d'esclaves transportés par les navires armés à Saint-Malo. Un des derniers armateurs à pratiquer le commerce triangulaire fut Robert Surcouf, alors même que cette activité fut interdite en 1815.


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text: Saint-Malo était alors une ville de garnison (le 47e régiment d'infanterie y était basé).


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text: En 1925, la ville de Saint-Malo se dote de l'éclairage électrique.


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text: Durant la Seconde Guerre mondiale, Saint-Malo et ses alentours sont fortifiés par les Allemands comme plusieurs ports de la façade Atlantique. La "Festung" (forteresse) Saint-Malo devient même comme toute la zone côtière d'accès restreint. Lors de la libération de la ville en août 1944, les points de résistance allemands sont bombardés par les Américains dont la cité "intra-muros" où, malgré des renseignements communiqués par des officiers de la Marine nationale française encore présents à Saint-Malo, ils pensent à tort que se trouve une importante garnison. Cette garnison allemande se trouve en réalité sur la cité d'Aleth. Ces bombardements et les incendies qu'ils déclenchent détruisent 80 % de la vieille ville. Les Allemands sur l'île de Cézembre résisteront encore pendant près d'un mois, ne se rendant qu'après un pilonnage terrestre, maritime et aérien intensif dont l'utilisation de bombes au napalm. La reconstruction de la vieille ville se fait dans un style « historicisant » mais non « à l'identique » : les remparts n’ayant pas été détruits, la ville est reconstruite au sein de cet espace. Volonté étant de conserver autant que possible à la cité historique sa silhouette traditionnelle, les nouveaux édifices doivent adopter le style ancien. Quelques constructions en nombre limité, mais indispensables, font l’objet d’une reconstruction « à l’identique » grâce aux vieilles pierres récupérées, numérotées et réemployées (par le chanoine Julien Descottes notamment), ainsi qu'aux dessins de l'artiste lithographe Daniel Derveaux, réalisés avant 1944, qui furent mis à la disposition des architectes.


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text: Saint-Malo est aujourd'hui un important centre touristique estival, également port de commerce, de pêche et de plaisance.


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text: La fusion entre Saint-Malo, Paramé et Saint-Servan fut suggérée sous le terme de « réunification » à plusieurs reprises au cours du , lors des travaux de transformation du port de marée en bassins à flot.


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text: Toutefois ce projet ne se réalisera qu'en 1967 avec pour élément déclencheur la volonté de jeunes entrepreneurs malouins de créer des zones industrielles communes aux trois villes (INDUSMA). L'ensemble des trois communes ainsi réunies, prend le nom de « Saint-Malo ».


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text: La commune est le chef-lieu de l'arrondissement de Saint-Malo du département d'Ille-et-Vilaine. Pour l'élection des députés, elle fait partie depuis 1988 de la septième circonscription d'Ille-et-Vilaine.


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text: Elle a été le chef-lieu du canton de Saint-Malo de 1793 à 1967, année où celui-ci est scindé. La commune devient alors le chef-lieu des cantons de Saint-Malo-Nord et de Saint-Malo-Sud. Dans le cadre du redécoupage cantonal de 2014 en France, Saint-Malo devient le bureau centralisateur de deux nouveaux cantons, celui de Saint-Malo-1 et celui de Saint-Malo-2.


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text: La partie de la commune incluse dans le canton de Saint-Malo-2 est celle située au sud d'une ligne définie par l'axe des voies et limites suivantes : plage des Bas-Sablons, rue de l'Amiral-Magon, place Bouvet, rue Ville-Pépin, place de la Roulais, rue de la Nation, rue de la Pie, rue de la Marne, boulevard des Talards, rue Pierre-de-Coubertin, rue des Antilles, rue Michel-de-la-Bardelière, avenue du Général-de-Gaulle, rue de la Guymauvière, rue du Grand-Jardin, rue du Mottais, rue des Bregeons, rue de la Ville-es-Cours, route départementale 2, ligne de chemin de fer de Rennes à Saint-Malo, jusqu'à la limite territoriale de la commune de Saint-Jouan-des-Guérets. Le surplus fait partie du canton de Saint-Malo-1.


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text: Saint-Malo est un quartier maritime dont le code est « SM ».


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text: La ville est la principale commune de la communauté d'agglomération dénommée Saint-Malo Agglomération, créée en 2001. Celle-ci fait partie d’un pays « Voynet » du même nom. Saint-Malo le chef-lieu de l’arrondissement de Saint-Malo regroupant 63 communes.


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text: De manière traditionnelle et historique, Saint-Malo est la « capitale » du .


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text: Saint-Malo est : Saint-Malo a des liens avec les lieux suivants :Durant cette période, le maximum de la population est atteint en 1962 avec .


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text: 1967 va connaître un essor significatif en raison de la fusion des communes de Saint-Malo, Saint-Servan ( en 1962) et Paramé ( en 1962), fusion intervenue le . Publié au Journal Officiel de la République Française le , le décret précisera que les anciens cantons de Saint-Malo et de Saint-Servan-sur-Mer prennent respectivement les noms de Saint-Malo-Nord et Saint-Malo-Sud. Quant au siège de la nouvelle commune, il est fixé à l'hôtel de ville de Saint-Malo.


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text: Saint Malo compte en 2021 dix-neuf écoles primaires (onze publiques et huit privées), six collèges et cinq lycées, dont un lycée professionnel.


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text: L'enseignement à Saint-Malo est représentatif de l'activité économique régionale, mettant notamment l'accent sur les métiers en relation avec la mer, le tourisme et l'agriculture.


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text: Ainsi, on peut citer dans le domaine maritime l'école de la Marine marchande, un lycée professionnel maritime proposant des formations de marine marchande et d'aquaculture, depuis les années 1960 et jusqu'à sa fermeture en 2021, une classe préparatoire au concours de la marine marchande au lycée Les Rimains.


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text: Le tourisme est lui représenté par un lycée hôtelier dans la ville voisine de Dinard, mais aussi par le lycée Institution Saint-Malo La Providence (intra-muros) qui propose de nombreuses formations dans le domaine de la vente, du commerce ainsi que du service et de l'accueil. On trouve aussi une École nationale de police.


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text: Parmi les enseignements moins liés à l'activité régionale :


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text: L'enseignement secondaire général est réparti dans quatre lycées : deux publics, le lycée Jacques-Cartier, le lycée Maupertuis et deux privés : l'Institution-La Providence et le lycée les Rimains.


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text: À la rentrée 2016, étaient scolarisés dans la filière bilingue publique (soit 0,8 % des enfants de la commune inscrits dans le primaire).  Saint-Malo est l'une des rares grandes villes de Bretagne à ne pas avoir signé la charte "Ya d'ar brezhoneg" (Oui à la langue bretonne). Celle-ci vise à développer l'usage de la langue bretonne dans la vie quotidienne. Les lieux publics ne portent donc pas de signalétique bilingue ou en breton.


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text: La ville regroupe plus d'une soixantaine de médecins généralistes, plus d'une centaine de médecins spécialisés, une trentaine de pharmacies. Elle possède deux hôpitaux dont l'un est un centre hospitalier, une clinique, alliée de dix maisons de retraite (publiques et privées confondues) et de quatre laboratoires d'analyses médicales.


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text: La plus grande salle de concerts est la "Nouvelle vague" (anciennement nommée Omnibus). C'est une structure originale composée d'une salle de spectacle de qui présente toute l'année de nombreux concerts (rock, électro, reggae, musique bretonne, jazz…) ainsi que de salles de répétitions et d'enregistrements. En octobre 2012, c'est l'association Rock Tympans, organisatrice du festival La Route du Rock, qui obtient pour la gestion de l'Omnibus, à la suite d'un appel d'offres lancé par la municipalité.


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text: Deux théâtres sont présents dans la ville de Saint-Malo. L'un se situe intra-muros (Chateaubriand) et l'autre à Saint-Servan (place Bouvet). Chacun accueille des spectacles pour adultes ou enfants avec des programmations variées et orientées vers tous les publics.


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text: Il existe en 2013 un seul complexe de cinéma, "Le Vauban", à Rocabey près du quartier de la gare. Cependant, deux autres devraient voir le jour. L'un au cœur de la future médiathèque (3 salles), et l'autre à côté du centre commercial de la Découverte, sur l'ancien site de la Seiffel (7 salles).


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text: Le sport à Saint-Malo est diversifié avec une tendance importante pour les sports nautiques. Étape du Tour de France 2008, événements nautiques et médiatiques, grands rassemblements, compétitions nationales et internationales.


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text: sont dédiés au sport à Saint-Malo.


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text: La ville possède le patrimoine sportif suivant :Dans le domaine musical, Saint-Malo présente chaque année le festival de "La Route du Rock" (été et hiver), en association avec la proche commune de Saint-Père. La ville organise également le festival de musique Classique au large, au printemps.


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text: La ville de Saint-Malo, le conseil général d'Ille-et-Vilaine et le conseil régional de Bretagne soutiennent financièrement l'organisation du Festival de musique sacrée qui se tient à la cathédrale Saint-Vincent pendant la période estivale.


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text: Parmi les évènements culturels importants figurent le "Quai des Bulles", festival de la bande dessinée et de l'image projetée, qui a lieu à l'automne, ainsi que le festival littéraire des "Étonnants Voyageurs", au printemps. D'autres évènements animent aussi la ville, tel le "Festival européen du théâtre lycéen francophone". Un carnaval a eu lieu le .