title: Arc (architecture)

text: Avec l'apparition du béton et de l'acier au début du , la construction d'arcs continus cesse de se faire par juxtaposition de pièces de petite taille. Bientôt, des centaines de mètres de portée sont atteints dans les ponts, en raison de l'utilisation de ces matériaux de construction jusqu'à atteindre un millier de mètres dans le cas de ponts à haubans. À ce stade, les théories élaborées sur les arcs nécessitent de nouvelles recherches scientifiques. Dans cette ligne travaillent Kooharian (1952) et Heyman (1966). Les arcs continus ne possèdent pas les propriétés mécaniques et structurelles des anciennes arches appareillées et leur théorie est beaucoup plus simple à appréhender.


title: Arc (architecture)

text: Traditionnellement, certains éléments constitutifs des arcs ont été dénommés. Dans le cas d'arcs construits avec des éléments d'usine, certaines dénominations sont utilisées dans la plupart des traités de construction. Un arc est tout assemblage de pierre, de moellon ou de brique destiné à franchir un espace plus ou moins grand au moyen d'une courbe (ou par la rencontre de deux éléments courbes), reposant sur deux points d’appui, les piédroits, et destiné à couvrir une baie, une ouverture, ou une distance à l’intérieur d’une maçonnerie de mur plein (arc aveugle). On distingue de nombreuses sortes d'arc, en fonction de leur forme.


title: Arc (architecture)

text: Jusqu'à l'apparition au des arcades continues, les arcs en pierre de taille ou en briques étaient composés de divers éléments et un vocabulaire architectural s'est mis en place qui s'est communiqué dans les différents traités de construction. Les principaux éléments qui composent une arche de pierre sont :


title: Arc (architecture)

text: L'arc en tas de charge utilise la forte résistance à la flexion sans rupture d'un certain type de pierres. Elles sont maçonnées en pilier avec, à partir d'une certaine hauteur, un léger décrochement en porte-à-faux sur l'assise inférieure de chaque assise horizontale. Des corniches symétriques au-dessus du vide sont constituées pour le franchir (des arcs-poids, des arches de pierres encastrées).


title: Arc (architecture)

text: Un arc léger tient selon le principe de la compression. Les claveaux se tiennent mutuellement alors que leurs assises ne sont pas horizontales. L'arc n'est stable que lorsqu'il est complet. C'est pourquoi il est nécessaire de monter d'abord un échafaudage (souvent en bois) appelé cintre afin de créer une structure temporaire sur laquelle on peut placer les pierres ou claveaux. La clef d'arc est la dernière pierre posée, c’est-à-dire celle du milieu. C'est elle qui confère à l'arc sa stabilité.


title: Arc (architecture)

text: L'arc repose sur deux appuis : les piédroits. On appelle « sommier » le claveau portant directement sur le piédroit, les contreclefs sont les claveaux sur lesquels s'appuie la clef. Il y a autant de claveaux de part et d'autre de la clef, donc autant de joints de part et d'autre de la clef, ce qui évite un tassement de l'arc dissymétrique.


title: Arc (architecture)

text: On appelle « naissance » l'endroit où le sommier repose sur le piédroit. La naissance est aussi le commencement de sa courbure, formé par les premières assises en pierres ou en moellons ; dans le cas d'un arc, on parle de ligne de naissance, dans le cas d'une voûte, on parle de plan de naissance.


title: Arc (architecture)

text: La largeur d'un arc se nomme « portée » et sa hauteur la « flèche » (prise verticalement entre la naissance et la clef, ou la hauteur de l'arc mesurée à partir de la ligne où il commence jusqu'à à la clé). Le centre peut être supérieur ou inférieur à l'imposte, il peut y avoir plus d'un centre.


title: Arc (architecture)

text: L'arc en accolade est un faux-arc jouant comme un linteau monolithique.


title: Arc (architecture)

text: L'arc peut présenter un ou plusieurs segments courbes, chaque segment correspondant à un centre différent, le centre de courbure.


title: Arc (architecture)

text: Selon la forme géométrique de l'intrados et la forme générale de l'arc, il y a un grand nombre de dénominations d'arc. Chaque style architectural a été caractérisé par son propre type d'arche, chaque époque ou culture. Il est possible que le premier arc ait été l'arc en plein cintre (demi-cercle), duquel découlent les autres arcs. D'autres classifications découlent de la fonction structurelle ou décorative de l'arc (arc boutant, arc aveugle), arcs monumentaux (arc de triomphe)


title: Arc (architecture)

text: Les arcs commémoratifs sont les monuments érigés pour célébrer un événement de grande importance historique, généralement une victoire militaire. Originaires de la Rome antique, leur utilisation a été perpétuée jusqu'à aujourd'hui. Normalement, ce sont de grands monuments en pierre prismatiques, en forme de grande porte terminée par une forme arquée. La mission de l'arc dans ce cas est simplement ornementale. Ce type d'arches est généralement situé à l'entrée de villes importantes, ou capitales. Dans de nombreux cas, ils ont fonction de porte d'accès.


title: Arc (architecture)

text: Les arcs métalliques sont conçus selon des principes totalement différents des arcs en pierre. En effet, les métaux sont des matériaux qui peuvent résister à la fois à la traction et à la compression, contrairement aux constructions en pierre et autres matériaux céramiques, qui ne peuvent résister qu'à des compressions importantes.


title: Arc (architecture)

text: La complexité des connaissances et des techniques de construction s'est accrue avec le temps, si bien que la spécialisation a été nécessaire. Pour ces raisons, les arcs structurants des grands travaux publics, tels que les ponts, sont considérés comme des arcs d'ingénierie. Dans certaines œuvres, traditionnellement architecturales, comme dans certains stades, vu la grande portée des arcs, il est nécessaire que l'ingénierie fournisse des solutions à l'architecture.


title: Arc (architecture)

text: Il existe essentiellement deux types d'arcs métalliques :


title: Arc (architecture)

text: Les arcs peuvent être classés en trois grandes catégories :


title: Arc (architecture)

text: Les arcs plein cintre sont quelquefois surhaussés ou outrepassés, dits alors en fer à cheval, ou bombés lorsque le centre est au-dessous de la naissance. Cette formule est souvent utilisée dans les monuments islamiques. Les Persans ont introduit une forme d'arc « pointu », chaque côté comportant deux arcs de cercle tangents.


title: Arc (architecture)

text: L'utilisation de l'arc en architecture commence dès l'Antiquité. Les civilisations égyptienne et babylonienne l'utilisaient principalement dans des structures souterraines. Mais pour franchir un espace important, seuls les linteaux et architraves étaient connus.


title: Arc (architecture)

text: L’Égypte pharaonique bâtissait des voûtes à poussée dès la dynastie, tant en brique crue qu'en pierre. Arc et voûte clavés étaient répandus dans le monde grec. En témoigne la remarquable tombe de Vergina datée de 336 La technique du clavage arrive alors peu à peu en Italie. Les Grecs et les Étrusques y élaborent les premiers modèles connus des Romains qui font aboutir la technique à une maîtrise absolue. Des fouilles ont permis de déterminer que l'embouchure à triple rang emblématique, "cloaca maxima", daterait du au plus tôt, ce qui contredit l'origine étrusque de cette probable reconstruction. La porte de Jupiter de Faléries postérieure à 241 est par contre un jalon sur dans l'histoire de l'origine des arcs clavés et rien ne permet de croire qu'il y en eût à Rome avant le Témoins de maîtrise technique, le pont Fabricius construit sur le Tibre en 62 av. J.-C. aligne deux arcades de qui forcent encore aujourd'hui l'admiration.


title: Arc (architecture)

text: Jusqu'à la fin du , l'arc en plein cintre avec ses variétés est seul employé dans les constructions, sauf quelques rares exceptions. Quant aux arcs surbaissés que l'on trouve souvent dans les voûtes de l'époque romane, ils ne sont presque toujours que le résultat d'une déformation produite par l'écartement des murs, ayant été construits originairement en plein cintre.


title: Arc (architecture)

text: C'est pendant le que l'arc formé de deux portions de cercle (et que nous désignerons sous le nom d'arc en tiers-point, conformément à la dénomination admise pendant les et s), est adopté successivement dans les provinces de France et dans tout l'Occident. Cet arc n'est en réalité que la conséquence d'un principe de construction complètement nouveau (la croisée d'ogives) ; d'une combinaison de voûtes que l'on peut considérer comme une invention moderne rompant tout à coup avec les traditions antiques. L'arc en tiers-point est toutefois employé en Orient plusieurs siècles avant d'apparaître en Occident. Et il est probable que les Arméniens qui ont fui leur pays après la bataille de Manzikert sont partis pour certains en Occident, pour d'autres dans les vallées du Caucase où ils ont introduit de nouvelles manières de construire l'arc en tiers-point et la voûte en carène qui s'imposeront dans l'architecture cistercienne après être apparus à Cluny III.


title: Arc (architecture)

text: L'arc en tiers-point disparaît avec les dernières traces de l'art du Moyen Âge, vers le milieu du ; il est tellement inhérent à la voûte moderne qu'on le voit longtemps encore persister dans la construction de ces voûtes, alors que déjà, dans toutes les autres parties de l'architecture, les formes empruntées à l'Antiquité romaine étaient successivement adoptées. Les architectes de la Renaissance voulant définitivement exclure cette forme d'arc n'ont rien trouvé de mieux que d'y substituer, comme dans l'église Saint-Eustache de Paris, vers la fin du , des arcs en ellipse, le petit diamètre à la base ; courbe désagréable, difficile à tracer, plus difficile à appareiller et moins résistante que l'arc en tiers-point.


title: Arc (architecture)

text: Outre les dénominations précédentes qui distinguent les variétés d'arcs employées dans la construction d'édifices du Moyen Âge, on désigne les arcs par des noms différents, suivant leur destination :


title: Arc (architecture)

text: L'usage le plus traditionnel d'une arche a été, depuis l'Antiquité, de créer un jour, une baie, une ouverture dans un mur et plus particulièrement sur la façade d'un bâtiment. En raison de sa capacité particulière à transformer la poussée verticale communiquée par la masse du bâtiment en composantes plus horizontales, il a été utilisé comme support, en même temps que forme d'ouverture des murs. Dans beaucoup de cas, son existence donne lieu à une fenêtre, à une porte ou un accès en général. Dans les contreforts des cathédrales, il a fonction de soutien. Son utilisation dans la construction de ponts (pont en arc) a été fondamentale. L'utilisation d'ensembles d'arcs enchaînés dans une séquence s'appelle « portiques ».


title: Arc (architecture)

text: Peu à peu, avec l'apparition de nouveaux matériaux de construction, l'utilisation de l'arche s'est réduite à un usage quasi-exclusif dans certains travaux de génie civil. Les arches sont actuellement employées dans de rares occasions, à usage décoratif et ornemental loin de leur fonction principale, et, dans certains cas, elles servent de monument commémoratif.


title: Isabel Allende

text: Isabel Allende, née le à Lima au Pérou, est une journaliste et écrivaine chilienne naturalisée américaine d'expression espagnole. Elle aborde des questions liées aux femmes, à la mémoire, à l'imaginaire latino-américain et à sa propre autobiographie. Ses œuvres ont été traduites dans plus de 25 langues.


title: Isabel Allende

text: Isabel Allende, de nationalité chilienne, est née à Lima au Pérou, où son père, Tomás Allende Pesce, cousin du président de la République du Chili Salvador Allende, était diplomate. Elle a des ancêtres basques par son père et portugais et espagnols par Francisca Llona Barros, sa mère. Isabel est la cousine de la femme politique chilienne Isabel Allende Bussi.


title: Isabel Allende

text: En 1945, après la séparation de ses parents, sa mère déménagea avec ses trois enfants à Santiago, au Chili , où ils vécurent jusqu'en 1953. Cette année-là et jusqu'en 1958, sa mère épousa Ramón Huidobro, également diplomate et qui fut affecté en Bolivie et à Beyrouth.


title: Isabel Allende

text: En Bolivie, elle fréquente une école privée américaine et à Beyrouth une école privée anglaise. En 1958, elle retourne au Chili, où elle achève ses études secondaires. Elle rencontre alors son futur mari, Miguel Frías.


title: Isabel Allende

text: De 1959 à 1965, elle travaille pour la FAO (Food and Agriculture Organization) des Nations unies, à Santiago. En 1962, elle épouse Miguel Frías. L'année suivante naît sa fille Paula.


title: Isabel Allende

text: Les années 1964-1965 sont occupées par un long séjour en Europe. Elle réside notamment à Bruxelles et en Suisse. Elle retourne en 1966 au Chili, où naît son fils Nicolás.


title: Isabel Allende

text: À partir de 1967, elle fait partie de la rédaction de la revue "Paula". En 1973-1974, elle collabore à la revue pour enfants "Mampato". Elle publie deux contes pour enfants, "La abuela Panchita" ("Grand-mère Panchite") et "Lauchas y lauchones" ("Petites et grosses souris"), ainsi qu'un recueil d'articles, "Civilice a su troglodita" ("Civilisez votre troglodyte"). Elle anime des émissions à la télévision chilienne (chaînes 13 et 7).


title: Isabel Allende

text: En 1973, sa pièce de théâtre "El embajador" ("L'ambassadeur") est représentée à Santiago. Le coup d'État du de la même année, mené par le général Pinochet, cause la mort de son oncle Salvador Allende, président du Chili élu en 1970. Cela rend la position d'Isabel Allende difficile ; en 1975 elle s'installe avec sa famille au Venezuela. Elle y restera treize ans. Elle travaille au journal "El Nacional" de Caracas, puis dans une école secondaire jusqu'en 1982.


title: Isabel Allende

text: En 1981, en apprenant que son grand-père, âgé de 99 ans, est en train de mourir, elle commence à lui écrire une lettre, qui deviendra le manuscrit de "La Maison aux esprits" ("La casa de los espíritus"), son premier roman, une chronique familiale avec des souvenirs d'enfance, et de ceux qui peuplaient la vieille maison habitée par ses grands-parents. Publié l'année suivante, ce roman connaît un immense succès et est adapté au cinéma par Bille August. Il est suivi de "De amor y de sombra" dans lequel elle raconte l'apparition dans une mine du nord du Chili des corps de paysans tués par les services de sécurité de la dictature.


title: Isabel Allende

text: Séparée de son mari, elle épouse en secondes noces l'avocat Willie Gordon, le , à San Francisco. Elle réside depuis cette date à San Rafael, en Californie. Sa fille Paula meurt le , après avoir été dans le coma durant toute une année, des suites de la porphyrie. Au cours des heures interminables passées dans les couloirs de Madrid puis à son chevet en Californie, cette douloureuse épreuve lui inspire "Paula", paru en 1994.


title: Isabel Allende

text: Elle publie en 2014 "Le Jeu de Ripper" ("El juego de Ripper"), son premier roman policier.


title: Isabel Allende

text: La même année, elle devient une des premières citoyennes de la République glaciaire.


title: Isabel Allende

text: Quand Isabel Allende écrit, elle élabore un contexte en choisissant le lieu et l'époque, et à partir de là, les personnages et l'intrigue viennent d'eux-mêmes. L'humour est partie intégrante de ses œuvres. Avec l'écriture de "La ciudad de las bestias", elle s'adresse à un public plus jeune qu'à l'accoutumée. Son œuvre est classée dans le mouvement littéraire Post Boom, qui se caractérise par un retour au réalisme et une écriture plus simple (en opposition à la méta-littérature). Elle écrit notamment des textes à but éducatif étudiés en classe, en langue espagnole.


title: DOM

text: DOM est un sigle qui peut signifier :


title: DOM

text: DOM est le code de la République dominicaine :


title: DOM

text: D.O.M. fait référence à :


title: DOM

text: Dom, forme abrégée du latin "Dominus" (« maître »), est un titre suivi d’un nom propre ou de l’intitulé d’une fonction :


title: Document Object Model

text: Le Document Object Model (DOM) est une interface de programmation normalisée par le W3C, qui permet à des scripts d'examiner et de modifier le contenu du navigateur web. Par le DOM, la composition d'un document HTML ou XML est représentée sous forme d'un jeu d'objets – lesquels peuvent représenter une fenêtre, une phrase ou un style, par exemple – reliés selon une structure en arbre. À l'aide du DOM, un script peut modifier le document présent dans le navigateur en ajoutant ou en supprimant des nœuds de l'arbre.


title: Document Object Model

text: "Document Object Model" (DOM) signifie « modèle d'objets de document ».


title: Document Object Model

text: À l'origine, le DOM (niveau 0, "legacy") était un ensemble d'objets mis à disposition par Netscape Navigator, dont la version 4 parut en . Internet Explorer 4 suivit en octobre la même année. Ces deux navigateurs intégraient le support du DHTML, lequel requérait des extensions alors offertes par le DOM rudimentaire d'alors. Le document pouvait désormais être manipulé à travers le DOM ; cependant le même document n'était pas représenté de la même manière par les deux navigateurs. Ce problème a progressivement disparu avec l'adoption du DOM normalisé par le W3C. Le DOM (niveau 4) est aujourd'hui incorporé dans la norme HTML5.


title: Document Object Model

text: La spécification du W3C stipule les objets ainsi que les méthodes et les propriétés qu'un navigateur web doit impérativement mettre à disposition.


title: Document Object Model

text: Les principales catégories d'objet d'un arbre DOM sont le document, les éléments et les attributs :


title: Document Object Model

text: Chaque navigateur met en œuvre le DOM dans son langage de programmation. La spécification du DOM est alignée avec le langage JavaScript, reconnu par tous les navigateurs web. N'importe quelle partie d'une page web peut ainsi être modifiée par programmation, et le programme fonctionnera sur n'importe quel navigateur web conforme à la norme DOM.


title: Document Object Model

text: Techniquement le DOM permet de lire et modifier n'importe quel document utilisant des balises, avec n'importe quel langage de programmation qui offre une interface de programmation DOM.


title: Document Object Model

text: Avant sa standardisation par le W3C, chaque navigateur web disposait de son propre "Document Object Model". Si le langage de base destiné à manipuler les documents web a vite été standardisé autour de JavaScript, il n'en a pas été de même pour la série précise de fonctions à utiliser et la manière de parcourir le document. Par exemple, lorsque Netscape Navigator préconisait de parcourir un tableau indexé nommé codice_8, Internet Explorer l'appelait plutôt codice_9, et ainsi de suite. En pratique, cela obligeait à écrire (au moins) deux versions de chaque morceau de script si l'on voulait rendre son site accessible au plus grand nombre.


title: Document Object Model

text: La standardisation de ces techniques s'est faite en plusieurs étapes, lesquelles étendent chaque fois les possibilités précédentes sans jamais les remettre en cause.


title: Document Object Model

text: La première est le DOM Level 1 publié en 1998 (le niveau 0 étant considéré comme l'implémentation de base figurant dans Netscape Navigator 2.0), où le W3C a défini une manière précise de représenter un document (en particulier un document XML) sous la forme d'un arbre. Chaque élément généré à partir du balisage comme, dans le cas de HTML, un paragraphe, un titre ou un bouton de formulaire, y forme un nœud. Est également définie une série de fonctions permettant de se déplacer dans cet arbre, d'y ajouter, modifier ou supprimer des éléments. En plus des fonctions génériques applicables à tout document structuré, des fonctions particulières ont été définies pour les documents HTML, permettant par exemple la gestion des formulaires. Le DOM Level 1 a été disponible dans sa plus grande partie dès les premières versions d'Internet Explorer 5 et de Netscape 6.


title: Document Object Model

text: La seconde étape est le DOM Level 2 (publié en 2000), à présent constitué de six parties (en plus de "Core" et "HTML", on trouvera "Events", "Style", "View" et "Traversal and Range"). Dans les évolutions de la brique de base (Core), on notera la possibilité d'identifier plus rapidement un nœud ou un groupe de nœuds au sein du document. Ainsi, pour obtenir un élément particulier on ne le recherchera plus dans un tableau comme dans les DOM propriétaires précédents, mais on appellera la fonction getElementById().


title: Document Object Model

text: Le troisième niveau, publié au printemps 2004, a ajouté : Le quatrième niveau a été publié en décembre 2015. Sa dernière mise à jour date de décembre 2020


title: Document Object Model

text: DOM permet de représenter la structure d'un document et de ses éléments sous forme d'un arbre. Il est donc préférable de parcourir et de mémoriser l'intégralité du document avant de pouvoir effectuer les traitements voulus. Pour cette raison, les programmes utilisant DOM ont souvent une empreinte mémoire volumineuse en cours de traitement. À l'inverse, à partir d'un arbre DOM donné, il est possible de générer des documents dans le langage de balisage voulu, qui pourront à leur tour être manipulés par l'interface DOM.


title: Document Object Model

text: DOM est utilisé pour pouvoir modifier facilement des documents XML ou accéder au contenu des pages web. Dans les cas ne nécessitant pas de manipuler les documents XML, mais juste de les lire, la méthode SAX peut également être choisie car elle traite les éléments de façon successive sans charger le document en mémoire. Elle s'impose quand la taille du document excède la capacité de la mémoire.


title: Document Object Model

text: La capture d'un événement consiste à exécuter une action (par exemple un programme en JavaScript) lorsque l'événement surveillé se produit dans le document. Les événements capturables du DOM sont :


title: Sécurité alimentaire

text: « La sécurité alimentaire existe lorsque tous les êtres humains ont, à tout moment, la possibilité physique, sociale et économique de se procurer une nourriture suffisante, saine et nutritive leur permettant de satisfaire leurs besoins et préférences alimentaires pour mener une vie saine et active » est la définition formelle du concept de sécurité alimentaire selon le Comité de la Sécurité alimentaire mondiale. Cette définition a été adoptée par un consensus international depuis le Sommet Mondial de l'Alimentation réuni à Rome en 1996.


title: Sécurité alimentaire

text: On considère classiquement que la sécurité alimentaire comporte quatre dimensions ou "piliers" :


title: Sécurité alimentaire

text: Ainsi définie, la sécurité alimentaire a une dimension plutôt technique. Elle se distingue de ce fait des notions d'autosuffisance alimentaire, de souveraineté alimentaire et de droit à l'alimentation qui apportent des dimensions plus politiques ou juridiques. La sécurité alimentaire ("Food Security" en anglais) intègre, dans le "pilier qualité", la sureté alimentaire ("Food Safety" en anglais) ou encore la sécurité sanitaire des aliments, qui a trait à l'hygiène et à l'innocuité des aliments, ainsi qu'au maintien de leur salubrité. Afin de faire suite au premier pilier mentionné ci-haut, la sécurité alimentaire est également intimement liée à l'accès à une saine alimentation. Cet accès comporte cinq dimensions distinctes: économique, offre et prestation de services, spatio-temporelle, sociale et personnelle. Ces cinq dimensions d'accès doivent être rassemblées afin d'assurer la sécurité alimentaire des individus.


title: Sécurité alimentaire

text: La précarité alimentaire, appelée aussi insécurité alimentaire, correspond au niveau le plus fragile de sécurité alimentaire.


title: Sécurité alimentaire

text: La sécurité alimentaire s'inscrit dans le contexte de l'émergence du droit à l'alimentation tel que formulé dans la déclaration universelle des droits de l'homme et du concept de sécurité et remonte aux propositions de Franck Mc Dougall, représentant de l'Australie lors des négociations pour la création de la société des nations.


title: Sécurité alimentaire

text: Selon le Comité de la sécurité alimentaire mondiale, le concept de sécurité alimentaire est apparu dans les années 1970, dans un contexte de flambée des prix des céréales sur les marchés internationaux liée à une succession de mauvaises récoltes, de diminution des stocks et de hausse des prix du pétrole. À l'époque, de nombreuses régions du monde souffraient d'insuffisance de productions alimentaires pour nourrir leur population et étaient particulièrement vulnérables aux accidents climatiques (sécheresses, inondations) ou aux attaques de prédateurs (sauterelles par exemple). Dans la lignée des analyses de Thomas Malthus, les projections de production agricole et de population laissaient craindre un écart croissant qu'il serait difficile à combler sans un effort important. La définition adoptée par la Conférence mondiale de l'alimentation en 1974 reflète ce contexte : « Disposer à chaque instant, d'un niveau adéquat de produits de base pour satisfaire la progression de la consommation et atténuer les fluctuations de la production et des prix. »


title: Sécurité alimentaire

text: Depuis, de nombreux travaux, en particulier ceux d'Amartya Sen, ont montré qu'il ne suffit pas de produire suffisamment de nourriture dans un pays ou une région pour vaincre la faim. Des pays comme l'Inde, le Brésil ou la Chine sont parvenus à produire suffisamment de nourriture pour nourrir toute leur population, voire à exporter des surplus, sans avoir fait disparaître pour autant la faim. À l'inverse, des pays comme ceux bénéficiant de rentes pétrolières peuvent ne produire que peu de nourriture mais permettre à toute la population de manger en important depuis les marchés internationaux. C'est ainsi qu'a été mise en avant, au cours des années 80, la notion d'accès à l'alimentation comme déterminant majeur de la sécurité alimentaire. Dès 1986, la définition de la sécurité alimentaire proposée par la Banque Mondiale dans son rapport "La Pauvreté et la Faim" place en priorité la question de l'accès et donc de la pauvreté dans la définition : « Accès par chaque individu, à tout instant, à des ressources alimentaires permettant de mener une vie saine et active ». Cette définition sera reprise et enrichie lors du Sommet Mondial de l'Alimentation de 1996 et reste quasi inchangée depuis.


title: Sécurité alimentaire

text: À l'ordre du jour du Comité pour la sécurité alimentaire mondiale de 2012 figurait une proposition d'évolution de la définition de la sécurité alimentaire pour intégrer la notion de sécurité nutritionnelle. Une telle proposition avait pour but de prendre en compte les acquis des sciences de la nutrition qui montrent depuis des décennies que la malnutrition, notamment infantile, principale manifestation de l'insécurité alimentaire aujourd'hui, ne résulte pas seulement d'une insuffisante qualité voire quantité de nourriture, mais aussi et souvent d'un état de santé (diarrhées, paludisme, etc.) et de soins insuffisants (par méconnaissance ou incapacité). La proposition de parler désormais de « sécurité alimentaire et nutritionnelle », même si elle est déjà adoptée par divers pays, n'a pas encore fait l'objet d'un consensus international.


title: Sécurité alimentaire

text: Enfin, divers travaux sont en cours pour intégrer, dans la définition de la sécurité alimentaire, des préoccupations de durabilité environnementale et sociale des systèmes alimentaires et relatives aux nouvelles pathologies nutritionnelles dites « de pléthore » (obésité et diabète associé, maladies cardiovasculaires, certains cancers, etc.) qui touchent désormais tous les pays du monde. Est ainsi proposée la notion de « sécurité alimentaire et nutritionnelle durable ».


title: Sécurité alimentaire

text: Le nombre de personnes touchées par une « insécurité alimentaire chronique » est en augmentation depuis 2015. En 2019, la FAO recense 821 millions de personnes dans cette situation. Selon l'organisation : La faim « s’aggrave en Amérique du Sud et dans la plupart des régions d’Afrique, et le recul de la sous-alimentation qui caractérisait l’Asie jusqu’à une période récente, semble considérablement ralentir dans cette région »; Le pays le plus fortement touché au monde est le Yémen.


title: Sécurité alimentaire

text: Durant la deuxième moitié du , la production alimentaire mondiale par habitant a augmenté de 25 %, alors que les prix diminuaient d'environ 40 %. Par exemple, de 1960 à 1990, la production totale de céréales est passée de 420 à de tonnes par an.


title: Sécurité alimentaire

text: La sécurité alimentaire demeure pourtant d'actualité au début du . En dépit d'une moindre natalité dans la majorité des pays, certains estiment qu'il devrait y avoir environ 8,9 milliards d'habitants en 2050. Or, en 2010, 925 millions de personnes dans le monde souffraient encore de la faim. Les habitants de 33 pays consomment moins de 2200 kcal par jour et une personne sur sept n'a pas accès à une quantité suffisante de protéines et d'énergie. La productivité des cultures et des pâturages devrait progresser de 70 % à 100 % pour pouvoir nourrir la population mondiale en 2050.


title: Sécurité alimentaire

text: Les besoins alimentaires mondiaux devraient augmenter dans les décennies à venir pour les raisons suivantes :


title: Sécurité alimentaire

text: Une offre suffisante et un moindre gaspillage sont deux conditions au recul de la famine et de la malnutrition, mais cela ne suffit pas à établir la sécurité alimentaire pour tous. « Qui produit la nourriture et pour qui » ?, « qui a accès aux informations nécessaires à la production agricole » ? « qui a un pouvoir d'achat suffisant pour acquérir la nourriture » ? « qui a un pouvoir d'achat suffisant pour acquérir les informations nécessaires à une bonne production » sont des questions cruciales en la matière.


title: Sécurité alimentaire

text: Ainsi, les pauvres et les affamés ont besoin de semences, de technologies et de pratiques peu coûteuses et immédiatement disponibles pour répondre à leurs besoins vitaux. D'une façon générale, les femmes et les enfants sont ceux qui souffrent le plus de déficit alimentaire. En effet, un faible poids de naissance est une cause de décès prématuré et de malnutrition infantile. Le faible poids à la naissance est souvent dû à une sous-alimentation de la mère elle-même.


title: Sécurité alimentaire

text: En 2000, 27 % des enfants en âge préscolaire dans les pays en voie de développement étaient ainsi atteints de rachitisme (lié à une alimentation insuffisante et/ou peu variée et de faible qualité). Les femmes sont aussi souvent désavantagées, car elles possèdent peu de terres et bénéficient moins de conseils et de crédits pour l'amélioration des techniques.


title: Sécurité alimentaire

text: Différentes options sont possibles pour augmenter la production agricole, par le biais d'adoption de systèmes de production agricole spécifiques :


title: Sécurité alimentaire

text: L'agriculture péri-urbaine ou l'agriculture urbaine peuvent également aider à résoudre le problème de la sécurité alimentaire, en permettant aux citadins à revenus limités de cultiver des légumes ou des fruits par exemple, en pleine ville. Nombre de déchets alimentaires peuvent aussi être recyclés / consommés par des volailles ou de petits élevages (chèvre, porcs…).


title: Sécurité alimentaire

text: En 2012, Deepak Ray, chercheur à l' de l'Université du Minnesota publie dans "Nature Communications" une étude alarmante qui constate .


title: Sécurité alimentaire

text: "The Lancet" et la plateforme scientifique mondiale pour la transformation du système alimentaire "EAT" (une fondation internationale à but non lucratif créée par la , le et le Wellcome Trust) publient le 16 janvier 2019 le rapport de synthèse de la commission EAT-Lancet sur le , conçu afin de rendre l'alimentation compatible avec le développement durable.


title: Sécurité alimentaire

text: La qualité d'un aliment est, d'une part, "organoleptique" (qualités gustatives) et de présentation ou encore liée à sa bonne conservation ainsi qu'à ses qualités nutritionnelles.


title: Sécurité alimentaire

text: Elle est aussi "sanitaire" (un aliment sain ne doit pas contenir en quantité dangereuse des produits toxiques absorbés (par la plante, le champignon ou l'animal durant sa vie), ou des contaminants indésirables acquis durant sa préparation, son transport ou son stockage (dont métaux lourds, perturbateurs endocriniens, radionucléides, certains additifs, ou des résidus de pesticides ou de biocides toxiques par exemple).


title: Sécurité alimentaire

text: La qualité exige d'avoir identifié les risques et dangers, « de la fourche à la fourchette », en incluant donc les aspects (conservation, contact alimentaire, impacts secondaires et différés des modes de cultures de pêche ou d'élevage, de transport, stockage, préparation cuisson et emballage des aliments, modes de cuisson...) et de prendre les mesures de précaution et d'évaluation pour limiter l'expression des risques (par exemple, d'intoxication alimentaire).


title: Sécurité alimentaire

text: En Europe, à la suite de divers scandales alimentaires, la Directive 93/43/CE relative à l'hygiène des denrées alimentaires préconise la méthode HACCP (Analyse des dangers et points critiques pour leur maîtrise) de manière à « identifier tout aspect déterminant pour la sécurité des aliments et pour veiller à ce que des procédures de sécurité appropriées soient établies, mises en œuvre, respectées et mises à jour ».


title: Sécurité alimentaire

text: Le paquet hygiène vise à prévenir les dangers alimentaires, avec une obligation de résultat, tout en laissant plus de liberté aux responsables d'établissements de transformation ou de restauration sur les moyens d'y arriver. Les « guides de bonnes pratiques » mis en place par les filières professionnelles, avec ou sans l'aide d'administrations peuvent y contribuer aussi, de même que les normes et référentiels utilisés par l'industrie agroalimentaire (BRC, IFS, ISO 22000, Eurepgap, norme NF V0 1-002 incluant un « Glossaire sur l’Hygiène des Aliments », norme NF V01-006:2008 (« Place de l'HACCP et application de ses principes pour la maîtrise de la sécurité des aliments et des aliments pour animaux »).


title: Sécurité alimentaire

text: Bien que les conditions de sécurité alimentaire (alimentation diversifiée et abondante) atteignent un niveau inégalé dans les pays occidentaux et que la qualité des aliments n'a jamais été aussi bien contrôlée dans les pays développés, les consommateurs expriment des sentiments qui vont du simple doute à la peur ou à la défiance totale envers certains aliments, sentiments à l'origine d'un paradoxe : les crises sanitaires (notamment celles de la vache folle, des fraudes et des intoxications alimentaires), les attitudes orthorexiques (inquiétude liée à la malbouffe, aux organismes génétiquement modifiés, traque des éléments alimentaires négatifs tels que la consommation excessive de gras, sucré et salé responsable de l'épidémie d'obésité, d'hypertension), la distanciation entre l'aliment et le mangeur (ce dernier n'étant plus le producteur de ce qu'il ingère), le développement d'une chaîne alimentaire plus sûre mais plus fragile, font resurgir des peurs alimentaires .


title: Sécurité alimentaire

text: Selon l'ONG Foodwatch, un produit alimentaire sur huit serait contaminé par des hydrocarbures aromatiques d'huile minérale. Selon, Santé Publique France, 97 à 100 % des Français (adultes et enfants) sont contaminés aux éléments-trace métalliques avec des taux en augmentation.


title: Sécurité alimentaire

text: Plusieurs facteurs entrent en ligne de compte. Si on reprend la définition de la sécurité alimentaire et de ses 4 dimensions, les facteurs de risque d'une insécurité se situent au niveau de l'individu : Et au niveau des infrastructures :


title: Sécurité alimentaire

text: Autres facteurs :


title: Sécurité alimentaire

text: Tous ces facteurs peuvent créer de l'insécurité alimentaire chez des individus.


title: Sécurité alimentaire

text: L'agriculture étant de plus en plus irriguée (Griffon 2006 : 189) elle dépend de plus en plus de l'eau douce. L'ONU alerte régulièrement sur l'avancée des déserts et le recul des ressources en eau douce, et plus encore en eau potable facilement accessible.


title: Sécurité alimentaire

text: En Europe, un "Rapport sur les risques de pénuries d’eau et les risques de sécheresse en Europe", de , estime que cette menace grandit pour une partie importante de l'Union européenne, sachant qu'en moyenne 44 % de l’eau utilisée dans l’UE sert à la production d’énergie (à des fins de refroidissement essentiellement), 24 % sert pour l’agriculture, 21 % pour la fourniture en eau du public, et 11 % dans l’industrie. L'UE promeut une utilisation plus efficiente de l’eau, des politiques de tarification de l’eau, de sensibilisation et des plans de gestion des sécheresses et un meilleur contrôle des usages illégaux de l'eau. Les modèles climatiques prédisent un accroissement de la pluviométrie dans le Nord-Ouest de l'Europe et une diminution dans le Sud où les habitants manquent déjà localement d'eau en été. Et globalement les canicules et sécheresses estivales devraient être plus intenses et plus nombreuses.


title: Sécurité alimentaire

text: En zone côtière des pompages excessifs peuvent entraîner la pénétration d'eaux salées dans les nappes phréatiques. De vastes zones littorales méditerranéennes sont déjà affectées par l'intrusion d'eau salée à la suite des pompages qui ont fait baisser le niveau des nappes d'eau douce. En Grèce, environ d'aquifères seraient déjà impactés par l'intrusion d'eau de mer et des problèmes de ce type apparaissent en Europe du Nord (carte 3.1 du rapport européen déjà cité, p 23).


title: Sécurité alimentaire

text: Une cause importante de la dégradation des sols est le bétonnage. Celui-ci est en augmentation constante et rend les terres imperméables (et inonde souvent les champs à proximité). (à compléter)


title: Sécurité alimentaire

text: La monoculture et l'agriculture intensive dégradent également la qualité du sol, en appauvrissant sa diversité et les nutriments que la terre contient. Ce type d'agriculture dépend d'un fort apport extérieur (intrants, mines d'azote, etc.) qui n'est pas éternel. Le problème de la dégradation des sols par ce genre d'agriculture pose la question du mode de production à favoriser pour garantir une alimentation durable aux humains. Le manque de jachère est aussi facteur de dégradation des sols car la terre n'est pas laissée au repos pendant plusieurs années et sans apport des éléments fertilisants.(à compléter)


title: Sécurité alimentaire

text: L'érosion est une autre dégradation du sol. Celle-ci est en partie naturelle et en partie causée par le type d'agriculture choisi. (à compléter)


title: Sécurité alimentaire

text: L'un des effets les plus notoires du réchauffement climatique est de modifier la répartition de l'eau sous toutes ses formes sur terre. L'élévation du niveau des mers, due à l'expansion thermique de l'eau ainsi qu'à la fonte des glaciers émergés imbibe et salinise les côtes, alors que plus de la moitié de la population mondiale vit dans les zones côtières. D'autre part, les énormes masses d'eau en jeu, sous le coup d'une redistribution des températures, provoquent un changement important de la dynamique des courants marins, qui sont, avec la répartition nord/sud des terres et la continentalité, les principaux facteurs déterminant le climat dans une zone donnée. La modélisation de ces facteurs est si complexe, et les changements climatiques encore si mal connus et imprévisibles qu'il est pour le moment impossible de déterminer de manière suffisamment fine quels changements climatiques apparaîtront où et quand, de même que la durée de stabilisation de ces changements est excessivement difficile à prévoir. Il résulte donc du changement climatique une imprévisibilité très importante des nouvelles conditions locales. Tout cela va bien entendu affecter grandement l'agriculture :


title: Sécurité alimentaire

text: Ces facteurs de risques se cumulent avec les conséquences de la pollution chimique, de la déforestation, de la dégradation des sols sous toutes ses formes pour mettre en danger la sécurité alimentaire mondiale.


title: Sécurité alimentaire

text: Il est à noter aussi que le changement climatique ne peut engendrer, à court et moyen terme, que des réactions qui l'aggravent de la part des agriculteurs, qui pour assurer leur subsistance immédiate et les besoins alimentaires de l'humanité, vont devoir recourir à des pratiques plus nocives.


title: Sécurité alimentaire

text: L'explosion démographique, résultant de l'amélioration des conditions de vie et de l'accès à une médecine plus efficace, a permis à l'humanité de ne plus perdre ses enfants. On a moins d'enfants aujourd'hui, mais ils survivent. En deux cents ans, la population humaine a ainsi été multipliée par 7. Dans le même temps, les rendements agricoles ont eux aussi été multipliés, d'abord par la mécanisation, ensuite par les engrais et pesticides chimiques, et aussi par le recours aux sélections et modifications génétiques. Cela a permis de nourrir la population humaine jusqu'à présent, même si l'humanité semble incapable de réduire significativement sa proportion de mal-nourris. Mais cela tient plutôt à une mauvaise répartition qu'à une impossibilité de produire assez pour tout le monde (cf. Sylvie Brunel, spécialiste de la question). Cependant, l'agriculture mécanisée épuise la terre, la déforestation engendre une érosion qui appauvrit les sols, les produits chimiques et la pollution les empoisonnent et les ressources en eau (arrosage) vont bientôt manquer dans beaucoup de zones aujourd'hui fertiles (voir Dégradation des sols). L'agriculture moderne est donc tout sauf durable, et ne permettra plus, d'ici quelques décennies, de nourrir une population qui continue d'augmenter. La nouvelle et artificielle aisance alimentaire dans des pays autrefois touchés par l'insécurité alimentaire semble en effet, par un effet d'optimisme social, conduire à une natalité énergique.


title: Sécurité alimentaire

text: Le mot épidémie revêt deux sens ; elle qualifie « soit l'apparition d'un grand nombre de cas d'une nouvelle maladie, soit l'accroissement considérable du nombre de cas d'une maladie déjà existante, dans une région donnée, au sein d'une communauté ou d'une collectivité ». De ce fait, elle a un impact considérable sur les différents moteurs du développement et la sécurité alimentaire n’en est pas épargnée. Par exemple, l'épidémie Ebola dont l’OMS affiche un bilan d’environ « 7000 morts » dans les trois pays d'Afrique de l'Ouest les plus touchés : la Guinée, le Liberia et le Sierra Leone. Les conséquences d’une telle épidémie sont certes humaines, mais aussi alimentaires et agricoles. En effet, Ebola comme toutes les autres épidémies sont à l’origine d’une mise en quarantaine, d’une pénurie de la main-d'œuvre ; un abandon des exploitations agricoles du fait des restrictions de déplacement et la peur d’être contaminé ; une chute de la commercialisation des produits agricoles ; une flambée des prix des denrées alimentaires du fait de la fermeture des frontières. Avec Ebola, ce sont les récoltes de riz et de maïs qui seront touchées ; selon les résultats d’enquêtes d’évaluation réalisées par la FAO auprès des agriculteurs, 47 % d’entre eux par exemple en Sierra Leone ont indiqué que le virus Ebola perturbait considérablement leurs activités agricoles. Les prix des denrées alimentaires comme le manioc par exemple, ont doublé ; au total, quelque 1,3 million de personnes pourraient être concernées par une situation d’insécurité alimentaire dans la région.


title: Sécurité alimentaire

text: La FAO publie un guide sur la bonne gouvernance des régimes fonciers. Le le de la FAO adopte des directives pour une qui a notamment pour but de protéger les producteurs locaux contre l'accaparement des terres, la (expression de la ministre sud-africaine de l'agriculture, Tina Joemat-Pettersson, pour souligner que ce phénomène est un héritage direct du colonialisme) s'étant aggravée depuis la crise alimentaire mondiale de 2007-2008 mais aussi depuis la demande croissante en agro-biocarburants : entre 2000 et 2011, 203 millions d'hectares dont 134 millions en Afrique subsaharienne ont fait l'objet de négociations entre investisseurs privés régionaux ou nationaux et principalement les États propriétaires des terres (selon le principe de domanialité public).


title: Sécurité alimentaire

text: Les États membres de la FAO ont adopté en 2004 des directives volontaires visant à concrétiser « le droit de chaque être humain d'avoir accès à une nourriture saine et nutritive conformément au droit à une nourriture adéquate et au droit fondamental de chacun d'être à l'abri de la faim ». Ces directives volontaires constituent un outil international définissant les responsabilités des États et des autres acteurs vis à vis de la réalisation du droit à une alimentation.


title: Sécurité alimentaire

text: Les politiques agricoles couvrent de multiples aspects de l’agriculture : l’innocuité des aliments, la santé des animaux et des plantes, la protection des sols et de l’environnement, l’amélioration et la stabilisation des revenus, le financement, la formation et la main-d’œuvre, la recherche et le développement, la vulgarisation et le transfert technologique, le soutien aux organisations agricoles, le remboursement de taxes foncières.


title: Sécurité alimentaire

text: D’après Frédérick Clerson, enseignant en politique agroalimentaire à L’université Laval, une des plus grandes interventions de l’État pour la sécurité alimentaire est le programme américain des "food stamps" ("Supplemental Nutrition Assistance Program" (SNAP) "Programme d'aide à l'alimentation supplémentaire"). Il ajoute : « le plus grand projet pour rendre l'alimentation moins chère pour les pays pauvres vient d'un pays développé ».


title: Sécurité alimentaire

text: Les inspections des denrées alimentaires font partie de la protection des consommateurs. À titre d’exemple, dans le canton de Vaud (Suisse), il y a environ entreprises qui produisent ou distribuent des produits alimentaires et elles sont toutes soumises à ces inspections.


title: Sécurité alimentaire

text: Ces inspections comprennent généralement six étapes qui, séquentiellement, font diminuer le nombre de microorganismes. Voici un bref descriptif de la deuxième étape, l’enrichissement, car les salmonelles (entérobactéries, toutes considérées comme pathogènes pour l'homme) n'en sont pas influencées. Le but de cette étape est de les isoler grâce à des billes microscopiques et magnétiques, liées à des anticorps qui reconnaissent spécifiquement les salmonelles. En présence d'un champ magnétique, les autres bactéries sont « lavées ». Restent alors les salmonelles qui seront, à leur tour, éliminées à la troisième étape de l'inspection : l'étalement sur milieu indicateur, c'est-à-dire qui ne contient pas les nutriments permettant leur survie. La méthode de l'enrichissement est, par ailleurs, utile dans le cadre médical, où il s’agit par exemple de vérifier qu’un patient est atteint d’une infection dans le système gastro-intestinal : il faut séparer les salmonelles de toutes les autres bactéries.


title: Produit d'anneaux

text: En algèbre générale, il est possible de combiner plusieurs anneaux pour former un anneau appelé anneau produit.


title: Produit d'anneaux

text: Cette construction peut se faire de la manière suivante : si ("A") est une famille d'anneaux, le produit cartésien Π "A" peut être muni d'une structure d'anneau en définissant les opérations composante par composante, i.e. À la place de Π "A" nous pouvons aussi écrire "A" × "A" × … × "A".


title: Produit d'anneaux

text: Un exemple est l'anneau ℤ/"n"ℤ des entiers modulo "n". Si "n" s'écrit comme un produit de puissances de facteurs premiers (voir le théorème fondamental de l'arithmétique) : où les "p" sont des nombres premiers distincts, alors ℤ/"n"ℤ est isomorphe à l'anneau produit Cela découle du théorème des restes chinois.


title: Produit d'anneaux

text: Si "A" = Π "A" est un produit d'anneaux, alors pour tout "i" dans "I" nous avons un morphisme surjectif "p" : "A" → "A" qui projette un élément du produit sur sa "i"-ième composante. Le produit "A" muni des projections "p" possède la propriété universelle du produit dans la catégorie des anneaux :


title: Produit d'anneaux

text: Si, pour tout "i", "I" est un idéal (à gauche, à droite ou bilatère) de "A" alors Π "I" est un idéal (à gauche, à droite ou bilatère respectivement) de "A". Tout idéal de "A" est de cette forme si et seulement si presque tous les "A" sont nuls (c'est-à-dire : tous sauf un nombre fini). Dans un produit infini d'anneaux non nuls, l'idéal des éléments de support fini n'est pas de cette forme.


title: Produit d'anneaux

text: Un idéal de la forme Π "I" est premier dans "A" si et seulement si l'un des "I" est premier dans l'anneau "A" correspondant et pour tout autre indice "j", "I = A".


title: Produit d'anneaux

text: Un élément "x" de "A" est inversible si et seulement si toutes ses composantes sont inversibles, i.e. si et seulement si "p"("x") est un élément inversible de "A" pour tout "i" de "T". Le groupe des éléments inversibles de "A" est le produit des groupes des inversibles des "A".


title: Produit d'anneaux

text: Un produit de plus d'un anneau non nul a toujours des diviseurs de zéro : si "x" est un élément du produit dont les composantes sont nulles sauf "p"("x"), et "y" est un élément du produit dont toutes les composantes sont nulles sauf "p"("y") (avec "i" ≠ "j"), alors "xy" = 0 dans l'anneau produit.


title: Yoshida Brothers

text: Ils jouent tous deux du shamisen (instrument traditionnel japonais) depuis l'âge de 5 ans. Et, bien qu'ils commencèrent par jouer de la musique du répertoire traditionnel japonais (le Tsugaru shamisen, un style du nord du Japon), ils s'orientèrent vite vers la création de musique contemporaine. Le résultat est une fusion, unique en son genre, de son traditionnel et de rythme et musiques plus modernes parfois accompagnés de percussions. Leur succès est immédiat avec plus de 100 000 ventes pour leur premier album en major, un exploit d'autant plus extraordinaire pour de la musique traditionnelle.


title: Yoshida Brothers

text: Ils ont gagné deux prix lors du annuel. Celui de l'Album de Musique Traditionnelle de l'Année lors de la et le Prix Spécial de Commémoration pour le Anniversaire de Normalisation des Relations Diplomatiques Sino-Japonaises lors de la .


title: Liste des présidents du Conseil des ministres d'Italie

text: Cette page dresse la liste des présidents du Conseil des ministres de l’Italie depuis l’unification.


text: Le Royaume d'Italie, gouverné par la dynastie royale de la maison de Savoie, est le nom de l'État italien de 1861 à 1946. Gouverné depuis 1862 par la droite historique, puis par des libéraux, il change de nature durant la période dite du « Ventennio » (20 ans) allant de 1922 à 1943, au cours de laquelle le Royaume, dirigé par le gouvernement fasciste de Benito Mussolini, est couramment désigné sous le terme d'Italie fasciste, sans que le régime monarchique ne soit interrompu par un changement constitutionnel, et prend fin avec la naissance de la République italienne, suite à référendum populaire.


text: Partis:


text: Coalitions:


title: Liste des présidents de la République italienne

text: La liste des présidents de la République italienne présente les personnes ayant exercé la fonction de chef de l'État italien depuis l'instauration de la République en 1946. Auparavant, ce pays avait pour régime une monarchie parlementaire, bouleversée par l'arrivée du fascisme au pouvoir, en 1922.


text: En Italie, le président de la République italienne est élu par les députés, les sénateurs et des représentants régionaux pour un mandat de sept ans qui peut être renouvelé. Des douze présidents de la République italienne, seuls Giorgio Napolitano et Sergio Mattarella ont été effectivement réélus pour un nouveau septennat. Le président Napolitano a cependant démissionné au bout de près de deux ans.


text: Le président le plus âgé lors de son élection est Sandro Pertini, qui en 1978 était âgé de 81 ans. Le président à avoir vécu le plus longtemps est Giorgio Napolitano, né en 1925 et actuellement âgé de ans.


text: Le plus long mandat présidentiel est celui de Giorgio Napolitano, soit 8 ans, 7 mois et 30 jours ; il est le premier à avoir été réélu, en 2013, à l'âge de 88 ans. Il est aussi le président en exercice le plus âgé, soit 89 ans au moment de quitter ses fonctions en 2015.


text: Le mandat le plus court est celui d'Enrico De Nicola, qui dura moins de deux ans.


text: Tous les présidents de la République, avant leur élection, ont exercé d'importantes fonctions, au sein d'une institution parlementaire ou d'un gouvernement.


text: Présidents du Sénat de la République :


text: Présidents de la Chambre des députés :


text: Présidents du Conseil des ministres :


text: Gouverneurs de la Banque d'Italie :L'intérim de la présidence de la République a été exercé six fois, successivement par Cesare Merzagora, Amintore Fanfani, Francesco Cossiga, Giovanni Spadolini, Nicola Mancino et Pietro Grasso. En effet, c'est au président du Sénat qu'il revient d'exercer provisoirement les fonctions du chef de l'État si leur titulaire n'était plus en mesure de les assumer.


title: Matrice (mathématiques)

text: En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire.


title: Matrice (mathématiques)

text: Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.


title: Matrice (mathématiques)

text: Bien que le calcul matriciel proprement dit n'apparaisse qu'au début du , les matrices, en tant que tableaux de nombres, ont une longue histoire d'applications à la résolution d'équations linéaires. Le texte chinois "Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique", écrit vers le , est le premier exemple connu de l'utilisation de tableaux pour résoudre des systèmes d'équations, introduisant même le concept de déterminant. En 1545, Jérôme Cardan fait connaître cette méthode en Europe en publiant son "Ars Magna". Le mathématicien japonais Seki Kōwa utilise indépendamment les mêmes techniques pour résoudre des systèmes d'équations en 1683. Aux Pays-Bas, Johan de Witt représente des transformations géométriques à l'aide de tableaux dans son livre de 1659, "Elementa curvarum linearum". Entre 1700 et 1710, Leibniz montre comment utiliser les tableaux pour noter des données ou des solutions, et expérimente plus de 50 systèmes de tableaux à cet effet. En 1750, Gabriel Cramer publie la règle qui porte son nom.


title: Matrice (mathématiques)

text: En 1850, le terme de « matrix » (qui sera traduit par matrice) est forgé (sur la racine latine "mater") par James Joseph Sylvester, qui le voit comme un objet donnant naissance à la famille de déterminants actuellement appelés mineurs, c'est-à-dire les déterminants des sous-matrices obtenues en retirant des lignes et des colonnes. Dans un article de 1851, Sylvester précise :


title: Matrice (mathématiques)

text: En 1854, Arthur Cayley publie un traité sur les transformations géométriques utilisant les matrices de façon beaucoup plus générale que tout ce qui a été fait avant lui. Il définit les opérations usuelles du calcul matriciel (addition, multiplication et division) et montre les propriétés d'associativité et de distributivité de la multiplication. Jusque-là, l'utilisation des matrices s'était essentiellement limitée au calcul des déterminants ; cette approche abstraite des opérations sur les matrices est révolutionnaire. En 1858, Cayley publie son "A Memoir on the Theory of Matrices", dans lequel il énonce et démontre le théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices 2×2.


title: Matrice (mathématiques)

text: Beaucoup de théorèmes ne sont d'ailleurs démontrés au début que pour de petites matrices : après Cauchy, Hamilton généralise le théorème aux matrices 4×4, et ce n'est qu'en 1898 que Frobenius, étudiant les formes bilinéaires, démontre le théorème en dimension quelconque. C'est aussi à la fin du que Wilhelm Jordan établit la méthode d'élimination de Gauss-Jordan (généralisant la méthode de Gauss pour les matrices échelonnées). Au début du , les matrices occupent une place centrale en algèbre linéaire, en partie grâce au rôle qu'elles jouent dans la classification des systèmes de nombres hypercomplexes du siècle précédent.


title: Matrice (mathématiques)

text: Un mathématicien anglais du nom de Cullis est le premier, en 1913, à utiliser la notation moderne des crochets (ou des parenthèses) pour représenter les matrices, ainsi que de la notation systématique pour représenter la matrice dont est le terme de la" i"-ème ligne et de la "j"-ème colonne.


title: Matrice (mathématiques)

text: La formulation de la mécanique quantique au moyen de la mécanique matricielle, due à Heisenberg, Born et Jordan, amena à étudier des matrices comportant un nombre infini de lignes et de colonnes. Par la suite, von Neumann précisa les fondements mathématiques de la mécanique quantique, en remplaçant ces matrices par des opérateurs linéaires sur des espaces de Hilbert.


title: Matrice (mathématiques)

text: L'étude théorique des déterminants vient de plusieurs sources. Des problèmes de théorie des nombres amènent Gauss à relier à des matrices (ou plus précisément à leur déterminant) les coefficients d'une forme quadratique ainsi que les applications linéaires en dimension trois. Gotthold Eisenstein développe ces notions, remarquant en particulier qu'en notation moderne, le produit des matrices est non commutatif. Cauchy est le premier à démontrer des résultats généraux sur les déterminants, en utilisant comme définition du déterminant de la matrice le résultat de la substitution, dans le polynôme formula_1, des puissances par . Il montre aussi, en 1829, que les valeurs propres d'une matrice symétrique sont réelles. Jacobi étudie les « déterminants fonctionnels » (appelés par la suite jacobiens par Sylvester), utilisés pour décrire des transformations géométriques d'un point de vue infinitésimal ; les livres "Vorlesungen über die Theorie der Determinanten" de Leopold Kronecker et "Zur Determinantentheorie" de Karl Weierstrass, tous deux publiés en 1903, définissent pour la première fois les déterminants de manière axiomatique comme formes multilinéaires alternées.


title: Matrice (mathématiques)

text: Deux mathématiciens notables au moins ont utilisé le mot dans un sens inhabituel.


title: Matrice (mathématiques)

text: Bertrand Russell et Alfred North Whitehead, dans leur "Principia Mathematica", utilisent le mot « matrice » dans le cadre de leur . Cet axiome permet de réduire le type d'une fonction, les fonctions de type 0 étant identiques à leur ; ils appellent « matrice » une fonction n'ayant que des variables libres. Ainsi, par exemple, une fonction de deux variables et peut être réduite à une "collection" de fonctions d'une seule variable, par exemple , en « considérant » la fonction pour toutes les valeurs substituées à la variable puis réduite à une « matrice » de valeurs en procédant de même pour : .


title: Matrice (mathématiques)

text: Alfred Tarski, dans son "Introduction à la logique" de 1946, utilise le mot « matrice » comme un synonyme de table de vérité.


title: Matrice (mathématiques)

text: Une matrice à lignes et colonnes est un tableau rectangulaire de nombres, rangés ligne par ligne. Il y a lignes, et dans chaque ligne éléments.


title: Matrice (mathématiques)

text: Plus formellement et plus généralement, soient , et trois ensembles ( sera souvent muni d'une structure d'anneau ou même de corps commutatif).


title: Matrice (mathématiques)

text: On appelle matrice de type à coefficients dans , toute famille d'éléments de indexée par le produit cartésien , c'est-à-dire toute application de dans .


title: Matrice (mathématiques)

text: Le plus souvent, comme dans toute la suite de cet article, les ensembles et sont finis et sont respectivement les ensembles de nombres entiers et . Dans ce cas, on dit que la matrice a lignes et colonnes, ou qu'elle est de dimension ou taille . En notant l'image d'un couple par l'application , la matrice peut alors être notée


title: Matrice (mathématiques)

text: formula_2 ou plus simplement si le contexte s'y prête.


title: Matrice (mathématiques)

text: Dans le cas particulier où ou est l'ensemble vide, la matrice correspondante est appelée la matrice vide.


title: Matrice (mathématiques)

text: On représente généralement une matrice sous la forme d'un tableau rectangulaire. Par exemple, est représentée ci-dessous une matrice , à coefficients entiers, et de dimension (3,4) :


Matrice (mathématiques)


title: Matrice (mathématiques)

text: Dans cette représentation, le premier coefficient de la dimension est le nombre de lignes, et le deuxième, le nombre de colonnes du tableau. Une matrice pour laquelle le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes sera dite matrice carrée de taille (ou d’"ordre") . Une matrice ne comportant qu'une seule ligne et colonnes est appelée matrice ligne (ou plus souvent vecteur ligne) de taille . Une matrice comportant lignes et une seule colonne est appelée matrice colonne (ou plus souvent vecteur colonne) de taille .


title: Matrice (mathématiques)

text: Pour repérer un coefficient d'une matrice, on indique son indice de ligne puis son indice de colonne, les lignes se comptant du haut vers le bas et les colonnes de la gauche vers la droite. Par exemple, on notera , les coefficients de la matrice , compris entre 1 et 3 désignant le numéro de la ligne sur laquelle figure le coefficient envisagé, et compris entre 1 et 4 désignant son numéro de colonne ; ainsi .


title: Matrice (mathématiques)

text: La disposition générale des coefficients d'une matrice de taille est donc la suivante formula_4 Les coefficients avec sont dits diagonaux, ceux avec sont dits extradiagonaux.


title: Matrice (mathématiques)

text: Une sous-matrice de est une matrice obtenue en sélectionnant une partie de ses lignes et une partie de ses colonnes ; on la note . On dit qu'une sous-matrice est principale si dans la définition précédente. La diagonale de est le vecteur formula_5 où .


title: Matrice (mathématiques)

text: Pour effectuer certaines opérations, il peut être utile de travailler sur le système des lignes ou des colonnes d'une matrice. On pourra alors l'écrire sous une des formes suivantes formula_6


title: Matrice (mathématiques)

text: L'ensemble des matrices à coefficients dans possédant lignes et colonnes est noté (ou parfois ).


title: Matrice (mathématiques)

text: Lorsque on note plus simplement .


title: Matrice (mathématiques)

text: Soit un ensemble et ; on appelle matrice transposée de la matrice . Si est un magma, où est le magma opposé de .


title: Matrice (mathématiques)

text: Par exemple, avec la matrice des exemples précédents, on a formula_7


title: Matrice (mathématiques)

text: On suppose maintenant que est muni d'une structure d'anneau ; les éléments de seront appelés scalaires, par opposition aux matrices dont nous allons voir qu'elles peuvent être considérées comme des vecteurs.


title: Matrice (mathématiques)

text: On définit sur une loi de composition interne provenant de l'addition des scalaires :


title: Matrice (mathématiques)

text: On ne peut additionner que deux matrices de même taille.Pour chaque valeur du couple , l'espace devient alors un groupe abélien, d'élément neutre la matrice nulle, celle dont tous les coefficients valent 0.


title: Matrice (mathématiques)

text: On définit aussi une opération à droite de sur chaque espace en associant, à chaque scalaire dans et à chaque matrice à coefficients dans , la matrice obtenue en effectuant la multiplication à droite, dans , de tous les coefficients de la matrice initiale par : c'est la multiplication par un scalaire. Lorsque l'anneau est commutatif, la multiplication peut également s'effectuer à gauche.


title: Matrice (mathématiques)

text: En reprenant toujours la matrice du premier exemple :


title: Matrice (mathématiques)

text: Les espaces ainsi obtenus ont donc une structure de -module à droite, et plus particulièrement de -espace vectoriel, si est un corps commutatif.


title: Matrice (mathématiques)

text: Le -module est libre de rang , c'est-à-dire qu'il possède une base de éléments : il suffit de considérer la base canonique . La matrice est celle dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d'indice , qui vaut 1.


title: Matrice (mathématiques)

text: Les coordonnées dans la base canonique d'une matrice sont ses coefficients :


Matrice (mathématiques)


title: Matrice (mathématiques)

text: On commence par définir le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne. Soit un nombre entier, une matrice ligne, ses coefficients, une matrice colonne, ses coefficients. On les suppose toutes deux de taille . On définit alors le produit, considéré comme un scalaire ou une matrice de dimension (1, 1) : formula_13


title: Matrice (mathématiques)

text: On remarque la condition de compatibilité sur les tailles des matrices (égalité du nombre de colonnes de la première avec le nombre de lignes de la deuxième). On définit maintenant plus généralement un produit entre deux matrices, la première, dans , la deuxième, dans , toujours avec une condition de compatibilité sur les tailles (et l'ordre des facteurs de la multiplication ne peut en général pas être changé). Le résultat obtenu est une matrice de , dont les coefficients sont obtenus par :


title: Matrice (mathématiques)

text: À la lumière de l'exemple de la multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne, on peut reformuler cette définition en disant que ce coefficient est égal au produit de la ligne "i" de la première matrice par la colonne "j" de la deuxième, ce qui s'écrit de la manière suivante, si les sont les lignes de la première matrice, et les les colonnes de la deuxième, le produit est : formula_15.


title: Matrice (mathématiques)

text: Le produit matriciel est associatif, distributif à droite et à gauche par rapport à l'addition matricielle. En revanche, même lorsque les dimensions permettent de donner un sens à la question et même si l'anneau des scalaires est commutatif, un produit de matrices ne commute en général pas : n'est pas en général égal à , par exemple : Remarque : le produit de deux matrices non nulles peut être nul, comme ci-dessus ; on dit que l'anneau des matrices n'est pas intègre.


title: Matrice (mathématiques)

text: Il arrive même, selon les tailles respectives des matrices et "B", que l'un des deux produits existe et pas l'autre.


title: Matrice (mathématiques)

text: La transposition et le produit matriciel sont compatibles au sens suivant :


title: Matrice (mathématiques)

text: (même si l'anneau n'est pas commutatif, en se rappelant que les matrices transposées ont leurs coefficients dans l'anneau opposé ).


title: Matrice (mathématiques)

text: Pour chaque nombre entier "n", on note "I" la matrice carrée de taille "n" dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et dont les autres coefficients sont nuls ; elle est appelée matrice identité de taille n. où δ désigne le symbole de Kronecker.


title: Matrice (mathématiques)

text: Sous réserve de compatibilité des tailles, les matrices "I" sont neutres à droite et à gauche pour la multiplication.


title: Matrice (mathématiques)

text: Soit une matrice de dimension ("m", "n"). On dit que est inversible à droite (respectivement à gauche) s'il existe une matrice "B" de taille ("n", "m") telle que (respectivement ). Elle est simplement dite inversible si elle l'est à la fois à droite et à gauche. Le sous-ensemble de constitué des matrices inversibles possède une structure de groupe pour le produit matriciel ; il est appelé groupe linéaire et noté .


title: Matrice (mathématiques)

text: Pour une matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif , être inversible à droite ou à gauche ou avoir un déterminant inversible dans (c'est-à-dire non nul si est un corps) sont trois propriétés équivalentes.


title: Matrice (mathématiques)

text: Lorsque l'anneau est commutatif, l'ensemble des matrices carrées de taille "n" est donc muni d'une structure de -algèbre associative et unitaire avec l'addition matricielle, le produit par un scalaire et le produit matriciel.


title: Matrice (mathématiques)

text: On appelle matrice scalaire une matrice de la forme où est un élément de l'anneau .


title: Matrice (mathématiques)

text: Ces matrices s'appellent matrices scalaires car elles se comportent comme des scalaires, vis-à-vis de la multiplication :


title: Matrice (mathématiques)

text: Lorsque est commutatif, ou à défaut, lorsque est central dans , c'est-à-dire lorsque commute avec tous les éléments de , on a en outre :


title: Matrice (mathématiques)

text: Réciproquement, toute matrice de telle que est une matrice scalaire où est central dans (ceci se démontre en prenant pour les matrices de la base canonique).


title: Matrice (mathématiques)

text: Une matrice de la forme : sera dite matrice diagonale.


title: Matrice (mathématiques)

text: Outre le déterminant, une autre fonction à noter est la trace. Toutes deux apparaissent dans un objet plus général, le polynôme caractéristique, qui à son tour permet d'obtenir certaines caractérisations des matrices diagonalisables (c'est-à-dire semblables à une matrice diagonale), ou de la trigonalisation.


title: Matrice (mathématiques)

text: Il existe plusieurs manières de faire agir le groupe linéaire sur les espaces de matrices, notamment :


title: Matrice (mathématiques)

text: On décrit maintenant les résultats classiques sur ces actions, lorsque les scalaires forment un corps commutatif. Les deux premières actions sont souvent considérées simultanément ; on s'intéresse donc à la question : deux matrices et de dimension étant données, existe-t-il des matrices et telles que ? Si tel est le cas, les deux matrices et sont dites équivalentes. Le résultat principal est que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang, ce qui s'exprime encore en disant que le rang est un invariant complet pour les doubles classes définies par les deux actions de multiplication à gauche et à droite. Par ailleurs, une matrice étant donnée, on peut trouver d'autres matrices privilégiées (les matrices échelonnées) dans la même orbite pour une de ces actions par la méthode du pivot de Gauss.


title: Matrice (mathématiques)

text: Pour l'action par conjugaison, deux matrices carrées et de taille dans la même orbite admettent une relation de la forme , pour une certaine matrice inversible de taille ; deux telles matrices sont dites semblables. La description d'un système complet d'invariants (caractérisant des matrices semblables) est plus délicate. On appelle ces invariants les invariants de similitude. D'un point de vue algorithmique, la réduction d'une matrice quelconque à une matrice sous une forme privilégiée se fait par un algorithme inspiré de celui du pivot de Gauss, voir théorème des facteurs invariants.


title: Matrice (mathématiques)

text: Un intérêt principal des matrices est qu'elles permettent d'écrire commodément les opérations habituelles de l'algèbre linéaire, avec une certaine canonicité.


title: Matrice (mathématiques)

text: Le premier point est de remarquer que le -module "K" s'identifie canoniquement à l'espace de matrices colonne : si est le "n"-uplet de dont tous les coefficients sont nuls, sauf le "i"-ème qui vaut 1, on lui associe la "i"-ème matrice colonne de la base canonique de (celle dont tous les coefficients sont nuls sauf le "i"-ème qui vaut 1), et on étend l'identification par linéarité ; la matrice associée à chaque "n"-uplet sera appelée matrice coordonnée canonique.


title: Matrice (mathématiques)

text: D'autres identifications sont cependant possibles ; lorsqu'on peut parler de base (si l'anneau des scalaires est un corps, par exemple), on peut associer les matrices colonnes élémentaires à n'importe quelle base de l'espace (ou plus généralement d'un -module libre), puis à nouveau étendre par linéarité ; les matrices associées seront appelées matrices coordonnées dans la base envisagée.


title: Matrice (mathématiques)

text: On peut juxtaposer les matrices coordonnées, dans une base fixée, de plusieurs "n"-uplets. On obtient ainsi la matrice coordonnée d'une famille de vecteurs. Le "rang" de la matrice est alors défini comme la dimension de la famille de ces vecteurs. En particulier la matrice d'une base dans une autre base est appelée "matrice de passage" entre ces deux bases, ou matrice de changement de base. Si "X" et "X"' sont les matrices coordonnées du même vecteur dans deux bases et "C", et que "P" est la matrice de passage de la base "C" dans la base , on a la relation (une matrice de passage est toujours inversible) :


title: Matrice (mathématiques)

text: Soient "E" et "F" deux espaces vectoriels de dimensions respectives "n "et "m "sur un corps commutatif , "B "une base de "E", "C "une base de "F "et φ une application linéaire de "E" dans "F".


title: Matrice (mathématiques)

text: On appelle matrice de φ dans le couple de bases ("B", "C") la matrice de telle que pour tout vecteur de , si l'on note , et , alors : formula_25


title: Matrice (mathématiques)

text: Si ψ est une deuxième application linéaire, de "F" dans un troisième espace vectoriel "G" de base "D", alors, relativement aux bases , "C", "D", la matrice de la composée est égale au produit des matrices de et . Plus précisément : formula_26


title: Matrice (mathématiques)

text: L'application de "L"("E", "F") dans qui à chaque associe sa matrice dans ("B", "C") est un isomorphisme d'espaces vectoriels.


title: Matrice (mathématiques)

text: Pour toute matrice de , l'application "X "↦ "MX "du -espace vectoriel "M"("K") dans le -espace vectoriel "M"("K") est linéaire. C'est un point clef du lien entre algèbre linéaire et matrices. En conséquence, il arrive souvent que l'on identifie la matrice avec cette application linéaire. On parlera alors de noyau de la matrice, d'espaces propres de la matrice, d'image de la matrice, etc.


title: Matrice (mathématiques)

text: Si et sont deux bases de "E", "C" et "C' "deux bases de "F", "P = mat"("B") la matrice de passage de vers et "Q" la matrice de passage de "C" vers "C", alors les deux matrices "M" et "M' "d'une même application linéaire de "E" dans "F", dans les couples de bases ("B", "C") et ("B", "C"), sont liées par : "M' = Q'MP". On constate ainsi que deux matrices équivalentes sont deux matrices qui représentent la même application linéaire dans des bases différentes. En particulier, dans le cas d'un endomorphisme, si l'on impose et , la formule précédente devient : "M' = P'MP "et deux matrices semblables sont deux matrices qui représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.


title: Matrice (mathématiques)

text: Soient de nouveau "E" et "F" deux -espaces vectoriels de dimensions finies, de bases respectives et "C", et φ une application linéaire de "E" dans "F". L'application linéaire transposée entre leurs duals est définie par


Matrice (mathématiques)


title: Matrice (mathématiques)

text: Sa matrice dans le couple de bases duales ("C"*, "B"*) est liée à celle de φ dans ("B", "C") par :


title: Matrice (mathématiques)

text: Lorsque l'anneau n'est pas commutatif, si l'on représente les vecteurs par des matrices colonne, l'algèbre linéaire n'est compatible avec le calcul matriciel que si les modules ou espaces vectoriels considérés sont "à droite", comme dans les articles détaillés signalés ci-dessus, une application linéaire correspondant à la multiplication à gauche d'un vecteur colonne par la matrice qui la représente. Si l'on tient à avoir des modules ou espaces vectoriels "à gauche", il faut représenter les vecteurs par des matrices "ligne", une application linéaire étant cette fois représentée par la multiplication à droite d'un vecteur ligne par la matrice qui la représente.


title: Matrice (mathématiques)

text: En général, un système de "m" équations linéaires à "n" inconnues peut être écrit sous la forme suivante : où sont les inconnues et les nombres sont les coefficients du système.


title: Matrice (mathématiques)

text: Ce système peut s'écrire sous la forme matricielle :


title: Matrice (mathématiques)

text: avec : la théorie de la résolution des systèmes utilise les invariants liés à la matrice (appelée "matrice du système"), par exemple son rang, et, dans le cas où est inversible, son déterminant (voir l'article règle de Cramer).


title: Matrice (mathématiques)

text: Dans ce paragraphe, l'anneau des scalaires sera supposé commutatif. Dans la plupart des applications, ce sera un corps commutatif.


title: Matrice (mathématiques)

text: "Le cas non commutatif existe aussi mais il faut prendre quelques précautions et les notations deviennent trop lourdes pour cet article."


title: Matrice (mathématiques)

text: Soient "E" un -module libre et "B "= ("e", … , "e") une base de "E".


title: Matrice (mathématiques)

text: Soit formula_32 une forme bilinéaire. On définit la matrice de formula_33 dans la base "B" par la formule suivante :


title: Matrice (mathématiques)

text: Dans le cas particulier où "K "= ℝ et est un produit scalaire, cette matrice est appelée matrice de Gram.


title: Matrice (mathématiques)

text: La matrice est symétrique (respectivement antisymétrique) si et seulement si la forme bilinéaire formula_33 est symétrique (respectivement antisymétrique).


title: Matrice (mathématiques)

text: Soient et deux vecteurs de "E". Notons et leurs coordonnées dans la base "B" et . On a alors la formule : formula_36.


title: Matrice (mathématiques)

text: Deux formes bilinéaires sont égales si et seulement si elles ont la même matrice dans une base donnée.


title: Matrice (mathématiques)

text: Lorsque est un corps de caractéristique différente de 2, on appelle matrice d'une forme quadratique la matrice de la forme bilinéaire symétrique dont est issue la forme quadratique.


title: Matrice (mathématiques)

text: Soient "E" un -module libre et "B, C" deux bases de "E". Soit formula_32 une forme bilinéaire.


title: Matrice (mathématiques)

text: Notons la matrice de dans la base "B" et la matrice de dans la base "C". Notons la matrice de passage. On a alors la formule de changement de base pour une forme bilinéaire (à ne pas confondre avec celle pour une application linéaire) :


title: Matrice (mathématiques)

text: Deux matrices carrées et sont dites congruentes s'il existe une matrice inversible telle que


title: Matrice (mathématiques)

text: Deux matrices congruentes sont deux matrices qui représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes.


title: Matrice (mathématiques)

text: Lorsque est un corps de caractéristique différente de 2, toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale. L'algorithme utilisé s'appelle réduction de Gauss à ne pas confondre avec le pivot de Gauss.


title: Matrice (mathématiques)

text: Une matrice est dite symétrique si elle est égale à sa transposée et antisymétrique si elle est opposée à sa transposée.


title: Matrice (mathématiques)

text: Une matrice à coefficients complexes est dite hermitienne si elle est égale à la transposée de sa matrice conjuguée .


title: Matrice (mathématiques)

text: Une matrice est dite


title: Matrice (mathématiques)

text: On utilise abusivement le terme décomposition d'une matrice, qu'il s'agisse d'une véritable décomposition (en somme) comme dans la décomposition de Dunford ou d'une factorisation comme dans la plupart des autres décompositions.Dans tout ce paragraphe, ou .


title: Matrice (mathématiques)

text: Une norme matricielle est une norme d'algèbre sur l'algèbre , c'est-à-dire une norme d'espace vectoriel qui est de plus sous-multiplicative.


title: Matrice (mathématiques)

text: Le rayon spectral d'une matrice carrée à coefficients complexes est le plus grand module de ses valeurs propres. Il est égal à la borne inférieure des normes matricielles de .


title: Matrice (mathématiques)

text: Sur , toute norme subordonnée à une norme sur est une norme d'algèbre vérifiant de plus (la réciproque est fausse).


title: Matrice (mathématiques)

text: L'espace vectoriel , canoniquement isomorphe à , hérite de sa structure euclidienne. Le produit scalaire se transcrit en


Matrice (mathématiques)


title: Matrice (mathématiques)

text: où formula_41 désigne la trace (i.e., formula_42) et les (resp. ) désignent les éléments de (resp. ). La norme associée à ce produit scalaire est la norme de Frobenius ou norme de Hilbert-Schmidt : formula_43 où est le vecteur des valeurs singulières de


title: Matrice (mathématiques)

text: et formula_44 est la norme euclidienne.


title: Matrice (mathématiques)

text: Si , il ne s'agit pas d'une norme subordonnée, puisque formula_45


title: Matrice (mathématiques)

text: L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit (comme pour tout produit scalaire) : formula_46 Cette inégalité peut être renforcée par l'inégalité de trace de von Neumann : formula_47 où est le vecteur des valeurs singulières de , "rangées en ordre décroissant". Elle a la même structure que l'inégalité de Ky Fan, laquelle suppose que les matrices sont carrées et symétriques (on peut alors remplacer par le vecteur des valeurs propres).


title: Matrice (mathématiques)

text: L'espace vectoriel est muni d'une structure similaire d'espace hermitien.


title: Matrice (mathématiques)

text: Soit , soit une norme d'algèbre et formula_48 une série entière de rayon de convergence .


title: Matrice (mathématiques)

text: Alors si , la série formula_49 est absolument convergente. (On le montre en utilisant que .)


title: Matrice (mathématiques)

text: En particulier, on peut définir, pour toute matrice carrée complexe, la quantité


title: Matrice (mathématiques)

text: Le calcul effectif de cette exponentielle se fait par réduction de la matrice.


title: Matrice (mathématiques)

text: L'exponentielle joue un rôle central dans l'étude des systèmes linéaires d'équations différentielles.


title: Ryōichirō Yoshida

text: Ryōichirō Yoshida (吉田 良一郎) est un musicien japonais membre fondateur du groupe Yoshida Brothers ("Yoshida kyōdai", 吉田 兄弟) avec son frère Ken'ichi (吉田 健一).


title: Ryōichirō Yoshida

text: Il est né le à Noboribetsu (登別) sur l'île de Hokkaidō (北海道). Il commence le "shamisen" ("Musique folk") en 1983, il est alors âgé de cinq ans, et en 1990 (à douze ans), il devient l'élève de Takashi Sasaki (佐々木孝氏) un maître du "tsugaru shamisen".


title: Ken'ichi Yoshida

text: Ken'ichi Yoshida (吉田健一) est un musicien japonais membre fondateur du groupe Yoshida Brothers ("Yoshida kyōdai", 吉田兄弟) avec son frère Ryōichirō (吉田良一郎).


title: Ken'ichi Yoshida

text: Il est né le à Noboribetsu (登別) sur l'île de Hokkaidō (北海道). Il commence le "minyou shamisen" ("folk song") en 1985 (il est alors âgé de cinq ans) et en 1990 (à dix ans), il devient l'élève de Takashi Sasaki (佐々木孝氏) un maître du "tsugaru shamisen".


title: Fratelli d'Italia

text: Cet hymne est né à Gênes à l'automne 1847. Son auteur, Goffredo Mameli, est un jeune étudiant patriote de 20 ans. Qui meurt en 1849 en combatant contre les troupes francaises


title: Fratelli d'Italia

text: Le texte fut mis en musique peu après à Turin par un autre Génois, Michele Novaro. Le "Chant des Italiens" est né dans le climat de ferveur patriotique qui précédait la guerre contre l’Autriche. Le caractère immédiat des vers et la vigueur de la en firent le chant préféré de l’unification italienne, non seulement pendant le Risorgimento mais également dans les décennies qui suivirent. Ce n’est pas un hasard si Giuseppe Verdi, dans son "Inno delle Nazioni" de 1862, attribua justement au "Canto degl’Italiani" — et non à la "Marcia Reale" ("Marche royale", alors hymne officiel du royaume italien) — le rôle de symbole italien, en le mettant aux côtés du "God Save the Queen" et de la "Marseillaise". C’est donc très naturellement que le , l’"Hymne de Mameli" est devenu, d'abord provisoirement, l’hymne national de la jeune République italienne.


title: Fratelli d'Italia

text: En fait, ce n'est que le 17 novembre 2005 que le Sénat de la République approuve, en commission des Affaires constitutionnelles, un décret-loi qui devait être présenté ensuite en séance plénière (ce qui n'a pas été le cas). Juste après l'armistice de 1943, l'hymne officiel est celui dit "du Piave". Le mercredi 15 novembre 2017, après 71 ans, le Sénat a définitivement approuvé "Il canto degli Italiani" en tant qu’hymne national officiel de la République italienne.


title: Richard III

text: , né le et mort le , est le dernier roi d'Angleterre de la maison d'York, de 1483 à sa mort.


title: Richard III

text: Frère cadet du roi , titré duc de Gloucester en 1461, membre de la maison d'York, Richard participe comme la plupart de ses contemporains à la guerre des Deux-Roses. Élevé au métier des armes par Richard Neville dans son jeune âge, il se révèle, comme son professeur, un capitaine de grand talent. Dernier-né de Richard d'York, il est le soutien le plus fidèle et le plus capable du règne d'Édouard.


title: Richard III

text: Après avoir été nommé régent du royaume à la mort soudaine de son frère, Richard s'empare du trône au détriment de ses neveux et Richard de Shrewsbury, qu'il fait déclarer illégitimes et enfermer à la tour de Londres. Durant son bref règne, marqué par plusieurs soulèvements, il gouverne avec énergie et compétence. Il trouve la mort à la bataille de Bosworth contre le dernier prétendant de la maison de Lancastre, Henri Tudor, qui lui succède sur le trône.


title: Richard III

text: La postérité garde de Richard l'image d'un tyran machiavélique et monstrueux, coupable d'infanticide, en premier lieu à travers le portrait que dressent de lui les chroniqueurs et historiens de la période Tudor. La pièce "", œuvre de jeunesse de William Shakespeare, contribue à ancrer cette image, avec un personnage-titre particulièrement complexe, qui a notamment été interprété au cinéma par Laurence Olivier, Ian McKellen et Al Pacino. Plusieurs tentatives de réhabilitation de Richard ont vu le jour, notamment à travers la création de plusieurs associations dédiées à sa mémoire au .


title: Richard III

text: Son squelette est redécouvert en à Leicester, sous un parking recouvrant l'ancien prieuré franciscain "Greyfriars" porté disparu. Identifié grâce à des analyses ADN et d'autres preuves scientifiques, il est inhumé à nouveau lors d'une grande cérémonie à la Cathédrale Saint-Martin le .


title: Richard III

text: Richard naît le au château de Fotheringhay, dans le Northamptonshire. Benjamin des enfants du duc d'York Richard Plantagenêt et de son épouse Cécile Neville, il a trois frères aînés, Édouard, Edmond et Georges, et trois sœurs aînées, Anne, Élisabeth et Marguerite. Il passe son enfance auprès de sa mère, à Fotheringhay et peut-être dans d'autres résidences de la famille, à Ludlow, Sandal ou .


title: Richard III

text: Son père, le duc Richard, s'oppose à la reine Marguerite d'Anjou au sujet de la tutelle du roi , que ses fréquentes crises de démence empêchent de gouverner le royaume. Lord Protecteur en 1454, puis à nouveau entre 1455 et 1456, Richard est contraint de s'enfuir en Irlande après sa défaite à Ludford Bridge en . Il est considéré comme un traître, et ses biens sont confisqués. La victoire de ses partisans à Northampton, en , lui permet de rentrer en Angleterre en septembre. Il est à nouveau Lord Protecteur, héritier du trône grâce à l'Acte d'Accord, mais son triomphe est de courte durée : il est vaincu et tué à Wakefield en décembre, aux côtés de son fils Edmond. Cécile Neville décide alors d'envoyer ses deux fils les plus jeunes (Georges et Richard) en sécurité aux Pays-Bas, auprès du duc de Bourgogne Philippe le Bon, tandis que l'aîné Édouard, devenu chef de la maison d'York, reprend la tête de la révolte.


title: Richard III

text: Georges et Richard ne passent que quelques mois à l'étranger : Édouard triomphe des Lancastriens à Towton en , ce qui ouvre la voie à l'accession au trône de la maison d'York. Les jeunes princes assistent au couronnement d' le . Georges reçoit le titre de duc de Clarence, et quelques mois plus tard, le , le jeune Richard, âgé de neuf ans, est à son tour titré et devient duc de Gloucester.


title: Richard III

text: En 1465, Richard entre dans la maisonnée du puissant comte de Warwick Richard Neville (surnommé le « faiseur de rois »), neveu de sa mère, pour parfaire son éducation. Warwick est alors considéré comme le stratège le plus habile d'Angleterre. Le jeune prince passe les trois années qui suivent dans le Nord de l'Angleterre, notamment au château de Middleham, et fait la connaissance de sa future épouse Anne, la fille cadette du comte.


title: Richard III

text: En , le comte de Warwick, qui avait été l'un des principaux appuis d' lors de sa conquête du trône, se retourne contre lui avec le soutien du duc de Clarence, le propre frère du roi. Warwick se considère en effet comme bafoué après avoir vu son projet d'alliance française rejeté par lorsque celui-ci épouse Élisabeth Woodville, issue d'une famille d'allégeance lancastrienne. Quant à Clarence, héritier présomptif d'Édouard tant que le roi n'a pas d'enfants, il tente de faire passer son frère aîné pour un enfant illégitime. Clarence vient d'épouser Isabelle Neville, la fille aînée de Warwick, ce qui placerait les descendants de celui-ci sur le trône. Le roi fait appel à Richard, qu'il nomme connétable du royaume en octobre, bien qu'il n'ait alors que dix-sept ans. Édouard le nomme également à plusieurs postes importants dans le pays de Galles, une région plutôt lancastrienne. Le nouveau connétable participe à l'écrasement des révoltes suscitées par Warwick et contribue, par son soutien militaire et politique, au rétablissement d'Édouard après sa capture à la bataille d'Edgecote Moor. Bien que pardonnés, Warwick et Clarence se révoltent à nouveau en . Battus à nouveau à Losecoat Field, ils quittent l'Angleterre pour se réfugier en France, où Warwick s'allie à son ancienne adversaire Marguerite d'Anjou pour rétablir sur le trône. Édouard est contraint de s'enfuir à la cour de Charles le Téméraire, son beau-frère ; Richard l'accompagne. Malgré son jeune âge, celui-ci joue un rôle déterminant dans la reconquête du royaume par Édouard en 1471 : il se distingue lors des batailles de Barnet le , où il commande l'avant-garde, puis de Tewkesbury le , où il commande l'aile gauche.


title: Richard III

text: Après ces événements, octroie à Richard une partie des terres de Warwick, tué à Barnet, notamment les châteaux de Middleham, Penrith, et Sheriff Hutton, et le nomme Gardien des Marches de l'Ouest. Ce n'est que le premier d'une série d'offices auxquels est nommé Richard dans les années qui suivent : intendant du duché de Lancastre, shérif du Cumberland, gardien des forêts du Nord… Le duc de Gloucester se crée peu à peu un réseau d'influence dans le Nord de l'Angleterre, reprenant en partie les anciennes relations de Warwick, mais il s'attire également l'inimitié de plusieurs personnages puissants de la région, notamment le comte de Northumberland Henry Percy, Lord Stanley et l'évêque de Durham Lawrence Booth. Il parvient à un compromis avec les deux premiers en 1474, et le troisième est nommé archevêque d'York en 1476, ce qui l'éloigne de Richard.


title: Richard III

text: En , Richard épouse Anne Neville, la fille de Warwick. Alors âgée de seize ans, elle est déjà veuve du prince Édouard de Westminster, le fils d', tué à Tewkesbury. Ses tuteurs, George de Clarence et sa femme Isabelle, fille aînée du comte de Warwick, se sont assuré sa garde et entendent empêcher Anne de se marier. D'après "The Crowland Chronicle Continuations", ils auraient emmené leur pupille à Londres déguisée en fille de cuisine. Toutefois, Richard parvient à retrouver puis épouser l'héritière de Warwick. Ce mariage lui permet de se présenter comme le détenteur légitime des domaines de la famille Neville que lui a concédés le roi, et surtout d'hériter du réseau d'influence de celui qui avait été le noble le plus puissant du royaume, en cette époque de fin de la féodalité en Angleterre. À la suite de cette union, les relations entre Clarence et Gloucester dégénèrent presque en guerre ouverte, et ce n'est qu'en 1475 qu'un compromis proposé par Édouard deux ans plus tôt est finalement ratifié par le Parlement.


title: Richard III

text: En 1477, le duc de Clarence est arrêté et incarcéré à la tour de Londres : il aurait fomenté la mort du roi par sorcellerie. Jugé coupable par le Parlement, il est exécuté le , par noyade dans un tonneau de malvoisie selon la légende. Bien que Shakespeare blâme Richard pour avoir brouillé ses deux frères aînés, rien ne permet d'affirmer qu'il ait joué un quelconque rôle dans cette affaire.


title: Richard III

text: Richard et Anne passent le plus clair de leur temps dans le Nord, principalement à Barnard Castle, Sheriff Hutton et Middleham. C'est dans ce dernier château que naît leur seul enfant, Édouard, en 1473 ou 1474. Durant la seconde moitié des , le duc de Gloucester gouverne la région avec justice et compétence, ce qui lui attire la loyauté de la population, et finance plusieurs établissements religieux, notamment à Middleham où il fonde une collégiale en 1478. Il joue également un rôle important dans les escarmouches contre l'Écosse qui marquent la fin du règne d'Édouard, notamment en s'emparant de la ville frontalière de Berwick-upon-Tweed en 1482.


title: Richard III

text: meurt le , à l'âge de . Son fils aîné, également prénommé Édouard, n'est âgé que de douze ans et se trouve alors à Ludlow, dans le pays de Galles, auprès de son oncle maternel Lord Rivers. Son jeune âge rend la mise en place d'une régence obligatoire, mais sa nature est source de débats : les Woodville souhaitent que le jeune Édouard soit immédiatement couronné, même s'il ne gouvernera le royaume qu'en nom jusqu'à sa majorité, tandis que Lord Hastings, chambellan du roi défunt, propose de nommer le duc de Gloucester protecteur du royaume. Un compromis est trouvé : Édouard sera couronné le , mais Richard présidera le conseil de minorité.


title: Richard III

text: Celui-ci apprend la mort de son frère vers le . Il prend le chemin de Londres et arrive à Northampton le . Là, il retrouve le duc de Buckingham Henry Stafford, ainsi que Lord Rivers, qui se rend également à la capitale avec son pupille. Le lendemain matin, Rivers, Richard Grey (fils de la reine de son premier mariage) et d'autres membres importants de l'escorte d'Édouard sont mis aux arrêts par le duc de Buckingham. C'est ainsi que le jeune roi fait son entrée à Londres le , flanqué des ducs de Gloucester et de Buckingham. Richard est officiellement nommé protecteur du royaume le ou le , tandis que le couronnement de son neveu, installé à la tour de Londres, est fixé au 22 juin. Buckingham est récompensé de sa collaboration par l'octroi de nombreuses charges au pays de Galles. Craignant pour sa sécurité, la reine-mère s'est quant à elle enfermée en l'abbaye de Westminster (un sanctuaire) avec ses autres enfants.


title: Richard III

text: Le , Richard fait arrêter lors d'un conseil de régence Lord Hastings, Lord Stanley, l'archevêque d'York Thomas Rotherham et l'évêque d'Ely John Morton, accusés de trahison. Hastings est aussitôt exécuté (payant sans doute sa fidélité au jeune roi), tandis que les trois autres sont envoyés en prison, puis finalement graciés. Richard fait encercler l'abbaye de Westminster et obtient le , grâce à la médiation de l'archevêque de Cantorbéry Thomas Bourchier, que lui soit remis son autre neveu, Richard de Shrewsbury, envoyé rejoindre son frère à la tour. Le couronnement est à nouveau reporté. Les intentions de Richard ne font alors plus guère de doute, d'autant qu'il a fait lever des troupes sur ses terres pour renforcer sa position. Pour justifier cette appropriation de la couronne, l'évêque de Bath et Wells, Robert Stillington, affirme le qu'Édouard se serait engagé auprès d'Éléonore Talbot avant de contracter un mariage avec Élisabeth Woodville ; cet engagement, s'il est avéré, rend le roi coupable de bigamie, et invalide donc à la fois son mariage avec Élisabeth et les prétentions de ses descendants sur le trône. Plus aucun obstacle ne se dresse devant Richard, qui accepte la couronne le et est couronné le à Westminster.


title: Richard III

text: Le sort de ses neveux n'est pas connu avec certitude, mais il est probable qu'ils aient été assassinés dès l'. Pour l'histoire traditionnelle et officielle, notamment reprise par Shakespeare, Richard est le principal bénéficiaire de leur disparition, ne pouvant guère se permettre de laisser survivre des rivaux potentiels ; sa réputation en est irrémédiablement ternie. Toutefois les ricardiens soutiennent qu'Henri Tudor, futur , avait le même intérêt à se débarrasser des deux princes, surtout en faisant accuser pour fomenter une rébellion.


title: Richard III

text: Peu après son couronnement, entreprend un voyage de plusieurs semaines dans son royaume qui le conduit jusqu'à York à la fin de l'été. C'est pour lui l'occasion de dispenser de nombreux privilèges aux villes traversées, et de se forger une réputation de souverain généreux et juste.


title: Richard III

text: Cependant, l' est marqué par plusieurs soulèvements contre lui, et notamment celui du duc de Buckingham. Beaucoup parmi les révoltés sont d'anciens fidèles d', choqués par le sort réservé à ses fils. Leur champion est Henri Tudor, le dernier représentant de la lignée de Lancastre, réfugié à la cour de . Au mois d'octobre, Buckingham prend les armes contre Richard, tandis qu'Henri se prépare à débarquer sur la côte sud du pays, mais la rébellion tourne court : le duc est capturé et exécuté le , la flotte d'Henri est contrainte à faire demi-tour à cause d'un orage, et les autres meneurs s'enfuient de l'autre côté de la Manche.