title: Histoire de la Belgique

text: En 1950, le roi Léopold III réside en Suisse où il s'est installé après avoir été déporté par les Allemands en 1944 avant d'être libéré par les troupes américaines. Sa décision de reddition en 1940 a continué à diviser les hommes politiques et les Belges. Son frère Charles a prêté serment comme régent en 1944 et, pour en finir avec un différend qui divise l'opinion publique, un référendum sur la question du retour du roi donne une majorité pour son retour, calculée sur l'ensemble de la Belgique.


title: Histoire de la Belgique

text: Mais, certaines provinces comme celles d'Anvers, du Hainaut, de Liège s'étaient prononcées contre le retour. La décision de Léopold III de rentrer malgré tout provoque des troubles dans ces mêmes provinces. Des manifestations insurrectionnelles ont lieu sous l'influence du Parti communiste. L'abdication de Léopold III en faveur de son fils Baudouin permet le retour au calme. L'unité belge est sauvée, mais ce que l'on appelle depuis "la question royale" marquera définitivement une rupture dans l'unitarisme.


title: Histoire de la Belgique

text: L'indépendance du Congo s'inscrit dans le mouvement général de décolonisation de l'Afrique. Le roi Baudouin effectue une visite officielle en 1955, qui se déroule triomphalement, les Congolais investissant leurs espérances dans un souverain qu'ils croient, à tort, détenteur d'un pouvoir absolu. Un intellectuel progressiste, le professeur Van Bilsen publie le plan Van Bilsen qui prévoit une indépendance pour l'année 1980. Mais, en 1958, le général de Gaulle, promet l'indépendance à 13 États africains. C'est le signal d'un lâcher-tout en général en Afrique. Après quatre années d'effervescence nationalistes et l'émeute du 4 janvier 1959, le gouvernement belge annonce vouloir accorder l'indépendance au Congo et fixe la date au 30 juin 1960 après les négociations de la Table ronde de Bruxelles. Les partis les plus anticoloniaux gagnent les élections législatives et présidentielles. Joseph Kasa-Vubu est élu Président et Patrice Lumumba Premier ministre. Le 30 juin 1960, la colonie du Congo belge accède à l'indépendance après seulement six mois de préparation hâtive. La réplique tant redoutée d'une sorte de guerre d'Indochine se transforme en « crise congolaise ».Les soldats congolais se mettent à persécuter les blancs voulant s'accrocher à leurs privilèges. Tandis que les anciens colons fuient massivement le Congo, les parachutistes belges débarquent pour protéger leurs ressortissants suivis de troupes d'infanterie, de la marine et de l'aviation. En une dizaine de jours, l'armée belge débarque au Congo. L'O.N.U. condamne l'intervention de la Belgique dont les troupes doivent se retirer du pays.


title: Histoire de la Belgique

text: La Belgique, craignant une nationalisation des ressources naturelles, va soutenir les sécessions de deux provinces minières : le Katanga et le Sud-Kasai. Joseph-Désiré Mobutu s'emparera du pouvoir, et enverra Lumumba en prison au Katanga, où il sera assassiné. Plusieurs opérations militaires belges seront encore nécessaires pour protéger les ressortissants européens. Ensuite, les relations diplomatiques avec l'ancienne colonie resteront encore longtemps difficiles.


title: Histoire de la Belgique

text: Après le renversement de Mobutu en 1990, les relations entre la Belgique et son ancienne colonie ont repris et se développent avec des hauts et des bas. Des entreprises belges travaillent encore au Congo et une importante colonie congolaise émigrée de plus de est installée en Belgique, notamment dans la commune bruxelloise d'Ixelles, dans un quartier qui a pris le surnom de Matonge, nom emprunté à celui d'une commune de Kinshasa, ex Léopoldville, la capitale de la République démocratique du Congo.


title: Histoire de la Belgique

text: A la fin de la guerre, l'appareil de production est relativement intact, ce qui permet une relance rapide de l'économie. Le taux de croissance est même exceptionnel car l'approvisionnement des armées alliées en Allemagne se fait par le port d'Anvers. De plus, la fourniture de matières premières, l’uranium du Congo belge notamment, aux États-Unis a apporté des devises qui permettent de financer les importations et la reconstruction. La production de charbon, alors indispensable, est encouragée par le Premier ministre Achille Van Acker qui lance, dès 1945, la « bataille du charbon » accordant de multiples avantages aux travailleurs dans les mines, utilisant la main d'œuvre des prisonniers allemands dans un premier temps, puis plus tard, de la main d'œuvre d'Italie.


title: Histoire de la Belgique

text: Les années 1960 et 1970 ont été marquées par un changement de fortune économique. La Flandre est devenue graduellement la région la plus productive et puis la plus riche du pays. La crise charbonnière qui intervient à partir du milieu des années cinquante, du fait de la faible rentabilité des gisements et de la réorientation des besoins énergétiques vers les hydrocarbures frappe de plein fouet la Wallonie. Les gisements charbonniers y étaient moins rentables qu'en Campine, qui, en raison d'une mise en valeur plus tardive, disposaient d'un équipement plus moderne. La crise charbonnière dans les bassins wallons va être suivie de difficultés dans des secteurs métallurgiques lourds, comme les constructions ferroviaires, puis par la crise de la sidérurgie. La chimie wallonne, axée sur la carbochimie, est également touchée.


title: Histoire de la Belgique

text: Ainsi, entre 1955 et 2009, la part dans l'ensemble de l'économie de la région wallonne passe de 33,5 à 23,5 %. En 2009, le Nord du pays, avec Bruxelles, produit 76,5 % du PIB, la Wallonie 23,5 %, pour respectivement 67,7 % et 32,3 % de la population. À l'inverse, en 1896, la Wallonie occupait 51,2 % de l'emploi industriel et abritait 41,4 % de la population.


title: Histoire de la Belgique

text: Dans cette période, l'anglais a tendance à remplacer le français comme première langue étrangère en Flandre. Du côté wallon, l'on note, parmi les causes du déclin wallon, un désinvestissement relatif par les grands holdings du secteur privé, un syndicalisme qui effraya maintes entreprises et des pouvoirs publics peu dynamiques et fort interventionnistes malgré le déclin. Dans les années 1990, la réforme du Système de retraite en Belgique a amené les industriels, l'État et les syndicats à rechercher une plus forte croissance économique en remédiant aux problèmes des préretraites et du faible taux d'emploi des seniors en Wallonie.


title: Histoire de la Belgique

text: En 1964, une grève médicale a eu lieu pour faire pression sur le gouvernement, qui cherchait à établir un système de santé publique (Ley Leburton). La grève a duré du au 18 avril. Le chef des grévistes était le André Wynen. La manifestation a eu une répercussion internationale, car pendant la grève il y a eu plusieurs morts attribuables au manque d'assistance médicale.


title: Histoire de la Belgique

text: Sous la pression conjointe du mouvement flamand et des régionalistes wallons, la Belgique évolue progressivement vers un État de plus en plus fédéralisé. Plusieurs réformes institutionnelles sont réalisées transformant le vieil État unitaire en une structure de plus en plus fédéraliste, voire confédéraliste. Ce sont d'abord les lois linguistiques votées en 1963 qui vont définir le cadre d'emploi des trois langues officielles du pays. La Constitution de 1994 va compléter ces réformes par une nouvelle structure de l'État fédéral. Dix ans plus tard, la Flandre marqua son souhait de, déjà, modifier cette constitution en vue de l'établissement d'un état confédéral.


title: Histoire de la Belgique

text: La question de l'indépendance de la Flandre déclinée soit sous la forme d'un séparatisme par le Vlaams Belang ou celle d'un confédéralisme par la Nieuw-Vlaamse Alliantie, qui depuis 2014 est la première force politique du pays, demeure dans les années 2000 un élément majeur du débat politique dans le pays.


title: Histoire de la Belgique

text: Le 31 juillet 1993, survint le décès inopiné du roi Baudouin à Motril, au sud de l'Espagne. Tout le pays en subit un choc profond : on estime à le nombre de personnes qui ont fait la file durant de nombreuses heures pour s'incliner devant son cercueil au palais de Bruxelles. Ses funérailles rassemblent de très nombreux chefs d'État et de gouvernement, ainsi que des membres du gotha. Pour la première fois, la reine Élisabeth II d'Angleterre et l'empereur Akihito du Japon assistent à des funérailles en dehors de leur pays. Selon la volonté de la reine Fabiola, on a célébré une messe d'espérance et la Reine portait une robe blanche qui a impressionné les observateurs. On retiendra aussi le témoignage d'une prostituée d'Anvers rencontrée par le roi Baudouin lors de sa visite à l'asbl Payoke.


title: Histoire de la Belgique

text: À la suite du décès de Baudouin, son frère cadet devient roi des Belges sous le nom d'Albert II. Avec son épouse la reine Paola, ils ont eu trois enfants : le prince Philippe, la princesse Astrid et le prince Laurent. Si le roi Albert II a conservé les mêmes valeurs et les mêmes combats que son prédécesseur, il a considérablement modernisé et rafraîchi l'image de la monarchie, qui était jugée terne et austère sous Baudouin et Fabiola. Avec ses enfants, beaux-enfants et petits-enfants, il lui a également donné une touche plus familiale.


title: Histoire de la Belgique

text: Siège central des Archives de l'État, les Archives générales du Royaume conservent les archives des institutions centrales des Pays-Bas bourguignons, espagnols et autrichiens jusqu'en 1795, des organismes publics centraux de la période française (1795-1815) et de celle du royaume des Pays-Bas (1815-1830). Elles conservent également les archives des institutions centrales du gouvernement national, puis fédéral, de la fondation de la Belgique (1830) à nos jours, à l'exception des ministères de la Défense et des Affaires étrangères. Histoire de quelques-unes des villes belges :


title: Histoire de la Belgique

text: Histoire particulières :Le comté d'Artois et le comté de Zutphen faisaient également partie des Pays-Bas du Sud.Auxquelles il faut ajouter ces 3 nations indépendantes :


title: Taxon

text: Un taxon est une entité conceptuelle qui regroupe tous les organismes vivants possédant en commun certains caractères taxinomiques ou diagnostiques bien définis. Le terme dérive du terme taxonomie par troncation, et non directement du grec / , « placement », « mise en ordre ».


title: Taxon

text: L'espèce constitue le taxon de base de la classification systématique. Plus le rang du taxon est élevé et plus le degré de ressemblance des individus concernés est faible, c'est-à-dire plus le nombre de caractères que des plantes, animaux, champignons, bactéries ou chromistes ont en commun entre eux est faible, et inversement.


title: Taxon

text: Dans les classifications linnéennes, les caractères d'un taxon sont réputés homogènes en fonction de leur rang taxinomique, leur valeur taxinomique relative étant laissée à l'appréciation de l'expertise des systématiciens.


title: Taxon

text: Dans les classifications phylogénétiques cladistes, la notion de taxon fusionne peu ou prou avec celle de clade, ce qui a pour conséquence de supprimer les taxons paraphylétiques, c'est-à-dire ceux qui n'incluent pas la totalité des descendants d'un dernier ancêtre commun (comme les reptiles, dont descendent les oiseaux). Au contraire, dans les classifications évolutionnistes la notion de taxon se superpose plus ou moins à celle de grade évolutif, reconnaissant ainsi dans ceux-ci des étapes plus ou moins importantes de l'histoire évolutive.


title: Taxon

text: Le terme taxonomie ne dérive pas du mot taxon, car ce dernier est un concept apparu bien plus récemment : Augustin Pyrame de Candolle aurait forgé le terme taxonomie en 1813 (corrigé plus tard par le "Littré" en taxinomie selon l'étymon grec "taxis"), tandis qu'un autre botaniste, Herman Johannes Lam, a créé le mot taxon en 1948. Ainsi, la taxonomie n'est pas l'étude des taxons mais bien les lois sur l'ordre, donc les règles de la classification.


title: Taxon

text: En 1962, l'Académie des sciences adopte l'orthographe "taxum" (au pluriel "taxums") pour désigner une unité systématique.


title: Taxon

text: Les formes courantes « taxon » ou « taxum », au singulier, « taxons », « taxums » ou « taxa » au pluriel, sont mentionnées dans des dictionnaires français. Toutefois, le Petit Larousse n'indique pas « taxons » comme pluriel de « taxon » ou « taxum ». Les anglophones utilisent un pluriel latinisant « » alors que le pluriel grec correct de serait . Le pluriel « taxa » est préféré à « taxons » par certains botanistes.


title: Taxon

text: La graphie « taxin », qui serait pourtant plus conforme à l'étymon, est extrêmement rare. On ne la retrouve que chez quelques spécialistes en entomologie ou en phytosociologie.


title: Taxon

text: Le terme allemand "Taxon" a été proposé en biologie théorique par le philosophe de la nature Adolf Meyer en 1926 et repris "taxon", sur le plan international en anglais, par le botaniste hollandais Lam en 1948. En ayant en mémoire le concept de Meyer (1926), qu'il avait utilisé en 1936 pour référencer l'usage de l'expression « unité taxonomique » dans un article scientifique promouvant la phylogénétique, Lam a forgé le mot taxon dans le sens de « groupe taxonomique » lors du congrès scientifique organisé par l'Union internationale des sciences biologiques à Utrecht en . Après avoir été officiellement adopté par le VII Congrès international de botanique de Stockholm en , et avoir donné le nom en à une nouvelle revue scientifique "Taxon" consacrée à la systématique (en particulier celle des végétaux), le terme est devenu courant dans les années 1950.


title: Taxon

text: En ce qui concerne la systématique des animaux, le terme ne figure pas dans la "Classification des Mammifères" de Simpson (1945), achevée antérieurement, mais est utilisé à la place de « catégorie taxonomique » dans l'ouvrage de Mayr, Linsley et Usinger (1953).


title: Taxon

text: Selon Simpson (1961), un taxon est un groupe d'organismes réels reconnus comme une unité formelle à tous les niveaux d'une classification hiérarchique.


title: Taxon

text: Selon Mayr (1970), un taxon est un groupe taxonomique d'un rang qui est suffisamment distinct pour être digne d'être affecté à une catégorie déterminée.


title: Taxon

text: On voit donc, conformément aux définitions devenues classiques de Simpson et de Mayr, qu'un taxon est un ensemble d'individus réels, et non un regroupement d'entités purement théoriques. Le regroupement est constitué d'une population d'organismes spécifiés possédant des caractères naturels en commun. Exemple : le taxon (la sous-espèce) désigné(e) sous le nom "Canis lupus familiaris" englobe la totalité des chiens domestiques.


title: Taxon

text: En nomenclature traditionnelle (régie par les "Codes de nomenclature"), un taxon est :


title: Taxon

text: "" est aussi le nom du journal édité depuis 1951 par l'IAPT (International Association for Plant Taxonomy, « »).


title: Monophylie

text: La monophylie (ou plus rarement l'holophylie ou encore la monophylie stricte), du grec μόνος ("monos") « seul » et φῦλον ("phulon)" « tribu », est la caractéristique d'un groupe qui contient l'espèce souche dont descendent tous ses membres. Un groupe monophylétique est appelé aussi un clade.


title: Monophylie

text: La monophylie au sens qui a été le plus popularisé et aujourd'hui majoritairement utilisé a été définie par Willi Hennig. Un groupe monophylétique désigne un ensemble de taxons partageant une synapomorphie, c'est-à-dire le groupe regroupant une espèce ancestrale unique ainsi que la totalité de ses descendants.


title: Monophylie

text: Le code de nomenclature phylogénétique (PhyloCode) propose trois types de repères pour définir un taxon par l'ensemble de tous les descendants d'un point donné dans l'arbre phylogénétique considéré : l'apomorphie, le nœud et la branche.


title: Monophylie

text: La précision de la définition varie selon les définitions suivantes :


title: Monophylie

text: Ces définitions ne s'excluent pas, et ne sont pas absolues. Elles répondent toutes au principe de base de la monophylie.


title: Monophylie

text: Le terme « monophylie » est introduit par Haeckel (1866) dans la littérature biologique sans pour autant être défini (le terme était seulement utilisé comme légende de figures). Il propose ensuite en 1874 cette définition en parlant des animaux : "un concept monophylétique du règne animal comme une unique racine et tous ses descendants" (d'après la traduction de Ashlock 1984). Plus tard, en 1961, Simpson donnera la définition suivante : "La monophylie est la dérivation d'un taxon en une ou plusieurs lignées à partir d'un taxon directement ancestral de même rang ou de rang inférieur" (traduit de l'anglais). C'est en 1966 que Hennig définira un groupe monophylétique ainsi : "un groupe monophylétique est un groupe d'espèces descendant d'une unique espèce (souche), et qui inclut toutes les espèces descendantes de cette espèce souche. En bref, un groupe monophylétique comprend tous les descendants d'un groupe d'individus qui à leur époque appartenaient à une (potentielle) communauté reproductive, c.-à-d. une espèce unique" (traduit de Hennig, 1966). Aujourd'hui c'est cette définition qui est utilisée par la majorité des biologistes (qui est aussi synonyme de clade).


title: Monophylie

text: Le terme « holophylie » est proposé par Ashlock en 1971.


title: Monophylie

text: La terminologie employée pour le terme « monophylie » ou « groupe monophylétique » n'est pas toujours homogène, et bien que la majorité soit en faveur de l'utilisation du terme « monophylie » comme synonyme de clade, certains auteurs pensent que cette définition du terme est trop restrictive. Ainsi certains auteurs, principalement des auteurs adhérant à la systématique évolutionniste, mais aussi des cladistes, préfèrent l'emploi du terme « holophylie » (du grec "holos" « tout ») comme synonyme du terme clade, et emploient le terme monophylie comme référant à la fois à l'holophylie et à la paraphylie, en se basant sur la définition de Simpson citée plus haut. Ainsi, le terme « monophylie » n'apporte pas de précision sur le caractère complet de la descendance, elle unifie donc deux situations différentes, l'holophylie (du grec "holos" « tout ») et la paraphylie (du grec "para" « à côté de »), partageant un point commun : l'inclusion du dernier ancêtre commun du groupe. Dans le premier cas le groupe comprend "tous" les descendants de l'ancêtre commun (exemple des Sauropsides, figure en haut d'article), tandis que dans le second cas certains descendants sont exclus du groupe (exemple des Reptiles = Sauropsides privés des Oiseaux). La monophylie "sensu" Haeckel s'oppose donc à la polyphylie.


title: Monophylie

text: Du fait de cette controverse, le terme « monophylétique » est parfois ambigu hors contexte, et cette ambiguïté, le cas échéant, peut être levée en parlant de clade ou d'holophylie. Cependant l'usage actuellement majoritaire est une synonymie entre clade et groupe monophylétique (une totalité de descendance), il est par conséquent raisonnable de comprendre cet emploi du terme en l'absence de précisions supplémentaires.


title: Monophylie

text: La différence entre les différents termes peut être résumée dans le tableau suivant (adapté de Dubois 1986) :


title: Monophylie

text: Certains biologistes utilisent les termes juxtaposés « monophylétique "holophylétique" » et « monophylétique "paraphylétique" » pour signifier le sens dans le contexte de la systématique évolutionniste.


title: Monophylie

text: La polyphylie (du grec "polus" « beaucoup ») représente un cas qui n'intéresse aucune de ces deux écoles. Ce concept permet de clarifier le sens de certains regroupements pratiques faits dans la vie courante, hérités de classifications anciennes ou bien issus d'autres disciplines biologiques comme l'écologie. Par exemple, le groupe des animaux cavernicoles ou bien celui des mammifères marins sont des assemblages polyphylétiques pratiques, mais sans signification phylogénétique puisqu'ils ne sont ni monophylétiques ni paraphylétiques.


title: Monophylie

text: En théorie des graphes, l'holophylie est égale à une paraphylie de degré 0, et la monophylie est égale à une polyphylie de degré 1.


title: Monophylie

text: La présence de caractères homologues communs à différents taxons permet de regrouper ceux-ci sous un même nom, représentatif du caractère monophylétique du groupe. Par exemple, la présence ou l'absence d'un noyau dans les cellules des eucaryotes ou des procaryotes respectivement. La présence dans un groupe de caractères (homologues) dérivés propres (c'est-à-dire exclusifs à ce groupe) - ou "synapomorphies" - permet d'induire la monophylie de ce groupe. Les eucaryotes forment un groupe monophylétique car la présence du noyau est un tel caractère dérivé, alors que son absence est un caractère ancestral du groupe des procaryotes (c'est une "symplésiomorphie"), ces derniers sont donc paraphylétiques.


title: Monophylie

text: Termes dérivés :


title: Monophylie

text: Concepts associés :


title: Nombre d'or

text: Le nombre d'or (ou section dorée, proportion dorée, ou encore divine proportion) est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport entre deux longueurs et telles que le rapport de la somme des deux longueurs sur la plus grande () soit égal à celui de la plus grande () sur la plus petite (), ce qui s'écrit : formula_1. Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ». Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ ou formula_2 (phi), et il est lié à l'angle d'or.


title: Nombre d'or

text: Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation . Il vaut :


Nombre d'or


title: Nombre d'or

text: Il intervient dans la construction du pentagone régulier. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et au corps quadratique ℚ(). Le nombre d'or s'observe aussi dans la nature (quelques phyllotaxies, par exemple chez les capitules du tournesol, pavage de Penrose de quasi-cristaux) ou dans quelques œuvres et monuments (architecture de Le Corbusier, musique de Xenakis, peinture de Dalí).


title: Nombre d'or

text: L'histoire de cette proportion commence à une période de l'Antiquité qui n'est pas connue avec certitude ; la première mention connue de la division en extrême et moyenne raison apparaît dans les "Éléments" d'Euclide. À la Renaissance, Luca Pacioli, un moine franciscain italien, la met à l'honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme « divine proportion » en l'associant à un idéal envoyé du ciel. Cette vision se développe et s'enrichit d'une dimension esthétique, principalement au cours des où naissent les termes de « section dorée » et de « nombre d'or ».


title: Nombre d'or

text: Il est érigé en théorie esthétique et justifié par des arguments d'ordre mystique, comme une clé importante, voire explicative, dans la compréhension des structures du monde physique, particulièrement pour les critères de beauté et surtout d'harmonie ; sa présence est alors revendiquée dans les sciences de la nature et de la vie, proportions du corps humain ou dans les arts comme la peinture, l'architecture ou la musique. Certains artistes, tels le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie de cette vision, soutenue par des livres populaires. À travers la médecine, l'archéologie ou les sciences de la nature et de la vie, la science infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des et des hypothèses inexactes.


title: Nombre d'or

text: Le nombre d'or possède une première définition d'origine géométrique, fondée sur la notion de proportion :


title: Nombre d'or

text: Il existe une interprétation graphique de cette définition, conséquence des propriétés des triangles semblables illustrée par la figure 1. Les segments bleus sont de longueur "a" et le rouge de longueur "b". Dire que la proportion définie par "a" et "b" est d'or revient à dire que les triangles "OAB" et "OCA" sont semblables. Euclide exprime la « proportion d'or », qu'il appelle « extrême et moyenne raison », de la manière suivante :


title: Nombre d'or

text: Le rapport "a"/"b" ne dépend pas des deux valeurs "a" et "b", dès lors que ces deux nombres sont en proportion d'extrême et de moyenne raison. Cela donne une nouvelle définition du nombre d'or :


title: Nombre d'or

text: Sa valeur approximative est donc .


title: Nombre d'or

text: La proportion (1), définissant la proportion d'or, peut être écrite de la manière suivante, obtenue en multipliant l'égalité par "a"/"b" : formula_4 φ est donc solution d'une équation du second degré. Cette propriété donne lieu à une troisième définition :


title: Nombre d'or

text: Cette équation est équivalente à celle indiquant que l'inverse de l'inconnue "x" est égal à "x" – 1 (ce qui implique que 1/φ est égal à la partie fractionnaire de φ). Plus généralement, toutes les puissances de φ, d'exposant "n" entier positif ou négatif, peuvent s'écrire sous la forme φ = "a" + "b"φ, où "a" et "b" sont des entiers relatifs qui suivent la suite de Fibonacci.


title: Nombre d'or

text: Il existe deux modes de définition du nombre d'or, celle géométrique qui s'exprime sous forme de proportion et celle algébrique qui définit le nombre comme l'unique racine positive d'une équation. Cette double approche permet de résoudre un problème d'algèbre, en l'occurrence une équation du second degré, à l'aide de méthode géométrique : on parle d'algèbre géométrique.


title: Nombre d'or

text: L’objectif est de construire la figure 1. Dans un premier temps, on considère deux points "O" et "A" du plan euclidien situés à une distance "a" l'un de l'autre. Soit "I" un point tel que les droites "AI" et "OA" soient perpendiculaires et tel que la distance "AI" soit égale à "a"/2. Soit γ le cercle de centre "I" et passant par "A". Enfin, les deux points "B" et "C" sont les intersections de la droite "OI" et du cercle γ, dans l'ordre indiqué sur la figure. On définit "b" comme la distance séparant "O" de "B". Par construction, la distance séparant "B" de "C" est égale à "a".


title: Nombre d'or

text: Une fois la figure construite, il reste à montrer que les triangles "OAB" et "OCA" sont semblables. Pour cela, il suffit de montrer qu'ils possèdent deux angles en commun. L'angle "AOB" est partagé par les deux triangles, il suffit donc de montrer que l'angle "BAO" est égal à "OCA". Comme la droite "OA" est tangente au cercle, ce résultat est une conséquence du théorème de l'angle inscrit. Les triangles sont bien semblables.


title: Nombre d'or

text: Deux triangles semblables sont proportionnels, ce qui montre que la base du grand triangle "OC" est à "OA" la base du petit triangle, ce que "OA" un côté du grand triangle est à "OB" le côté équivalent du petit triangle. On obtient la formule (1).


title: Nombre d'or

text: Soit "a" une longueur strictement positive, et "c" un nombre réel plus petit que "a" tel que la proportion "a"/"c" soit d'extrême et de moyenne raison. Soit "OBC" trois points alignés tel que la distance "OB" soit égale à "c" et "BC" à "a". Soit γ le cercle de diamètre "BC" et "A" le point de γ tel que la droite "OA" soit tangente au cercle.


title: Nombre d'or

text: Les arguments de la démonstration précédente montrent que les triangles "OAB" et "OCA" sont semblables et que la figure obtenue est celle du paragraphe précédent. En conclusion la valeur "c" est égale à "b", calculé au paragraphe précédent. Ceci montre l'unicité de "b".Pour calculer la valeur de φ, on peut utiliser le fait que si "a" et "b" sont en extrême et moyenne proportion, alors ("a" + "b") / "a" est égal à φ. La longueur "a" peut être choisie quelconque, une méthode simple consiste à la choisir égale à 1. La valeur φ est alors égale à "a" + "b" ou encore à 1 + "b". La longueur de "OC" est égale à la somme de la longueur de "OB" et de celle de "BC", et donc à "b" + 1, le nombre d'or. Ici le nombre 1 représente le diamètre du cercle "C" de rayon 1/2, par construction.


title: Nombre d'or

text: La longueur de "OC" est égale à φ et aussi à la somme de la longueur de "OI" et de "IC". Le théorème de Pythagore montre que la distance entre "O" et "I" est égale à /2, la longueur de la diagonale d'un rectangle de côté de longueurs 1 et 1/2. Celle de "I" à "C" est égale au rayon du cercle 1/2. La longueur "OC" est à la fois égale au nombre d'or φ et à (1+)/2, ce qui montre le résultat recherché.


title: Nombre d'or

text: Une autre solution pour le calcul de φ consiste à faire usage de la troisième définition. La valeur φ est donnée par la solution positive de l'équation du second degré : formula_5 équation dont on montre facilement qu'elle est équivalente à formula_6.


title: Nombre d'or

text: Le discriminant de l'équation du second degré est égal à 1 + 4 = 5, il existe deux solutions, une seule est positive, on en déduit : formula_7. Un calcul ne faisant pas appel au discriminant est proposé en introduction dans l'article équation du second degré.


title: Nombre d'or

text: Les calculs précédents permettent, à l'aide d'une règle et d'un compas de dessiner une proportion d'extrême et de moyenne raison. La méthode est illustrée sur la figure 2. On dessine un cercle de centre "C" et de rayon 1 (en orange). Puis, de l'extrémité du rayon, on élève un segment (en vert) perpendiculaire au rayon, de longueur 1/2, et on trace le cercle de centre "C′" et de rayon 1/2. Le segment bleu qui a pour extrémités "C" et le point du cercle "C" dans le prolongement de "CC" est de longueur φ.


title: Nombre d'or

text: Cette méthode permet donc de construire un « rectangle d'or », c'est-à-dire un rectangle de longueur "a" et de largeur "b" tel que "a" et "b" soient en proportion d'extrême et de moyenne raison. En d'autres termes, un rectangle est dit d'or si le quotient de sa longueur par sa largeur est égal au nombre d'or. Mais pour tracer un rectangle d'or de largeur "b", une méthode plus simple (cf. figure 3) est de dessiner un carré de côté "b". En prenant le milieu de la base comme centre, on trace un cercle passant par les deux sommets opposés. L'intersection de ce cercle avec la droite prolongeant la base du carré détermine l'extrémité de la base "a" du rectangle d'or.


title: Nombre d'or

text: En disposant côte à côte deux rectangles identiques, l'un en format paysage et l'autre en format portrait (figure 4), on dessine les contours d'un nouveau rectangle. Le rectangle de départ est d'or si et seulement si sa diagonale est confondue avec la diagonale du grand rectangle. En effet, si sur le rectangle "a" × "b" de la figure 3 on trace la diagonale, le rectangle horizontal obtenu sera d'or parce qu'homothétique du grand, et comme sa longueur est b, c'est donc le même que le rectangle vertical, qui est d'or comme expliqué dans le paragraphe suivant. En enlevant un carré de côté "b" d'un rectangle d'or de côtés "a" × "b" (figures 3 et 4), il reste un rectangle de longueur "b" et de largeur "a − b". Un rapide calcul montre que ce rectangle est encore d'or : formula_8.


title: Nombre d'or

text: Il est possible de réitérer le processus et d'intégrer un carré de côté "a" − "b" dans le rectangle d'or de côtés "b" × ("a" − "b"). Cette méthode peut être prolongée indéfiniment (figure 5). Si, dans chaque carré est dessiné un quart de cercle d'extrémités deux côtés du carré, comme sur la figure, on obtient une spirale. Ce graphique est une bonne approximation d'une spirale d'or, d'équation polaire : formula_9.


title: Nombre d'or

text: Cette spirale est un cas particulier de spirale logarithmique. Comme toute spirale de cette famille, elle possède une propriété caractéristique : si "A" est un point de la spirale, alors la droite passant par le centre de la spirale et "A" fait un angle constant avec la tangente à la spirale en "A". Une telle spirale est dite « équiangle ».


title: Nombre d'or

text: Pour se faire une idée de ce qu'est un rectangle d'or, on peut regarder une carte de paiement de format ISO 7810 (à condition de réduire son petit côté d'au moins un millimètre, le rapport entre longueur et largeur est inférieur d'environ 2 % au nombre d'or), ou bien, parmi les nombreux formats de livre de poche, un livre de format 11 × (à condition de réduire son grand côté d'au moins deux millimètres, le rapport est cette fois supérieur d'un peu plus de 1 %). Une feuille de papier au format A4 est trop large pour représenter un rectangle d'or, il faudrait enlever à son petit côté plus de deux centimètres et demi pour l'en rapprocher (dans , le rapport entre longueur et largeur est exactement formula_10, soit un peu moins que formula_11).


title: Nombre d'or

text: D'autres figures se dessinent à l'aide du nombre d'or à l'instar de l'« œuf d'or ».


title: Nombre d'or

text: Un pentagone régulier se construit à l'aide de la proportion d'extrême et moyenne raison. Soit un cercle de diamètre "OP" et de rayon "a", illustré sur la figure de gauche. Si "b" est le nombre réel plus petit que "a" tel que "a" et "b" soient en proportion d'or, et "P", "P", "P" et "P" les intersections du cercle de diamètre "OP" avec les deux cercles de centre "O" et de rayon "a" + "b" et "b", alors les cinq points "P" définissent un pentagone. Le pentagramme associé, c'est-à-dire la figure composée des cinq diagonales du pentagone (Cf. figure de droite), contient aussi de multiples proportions d'extrêmes et moyennes raisons. Elles s'expriment simplement à l'aide de triangles isocèles dont les longueurs des côtés sont en proportion d'or. De tels triangles sont appelés triangles d'or. Il en existe de deux types différents, les jaunes ayant une base proportionnelle à "a" et deux côtés à "b" et les orange ayant une base proportionnelle à "b" et deux côtés à "a". Les triangles foncés sont semblables aux plus clairs de même couleur, la proportion entre clair et foncé est encore d'or.


title: Nombre d'or

text: Les triangles jaunes possèdent deux angles de 36°, soit le cinquième d'un angle plat et un de 108°, soit les trois cinquièmes d'un angle plat. Un tel triangle est parfois appelé « triangle d'argent ». Les triangles orange possèdent deux angles de 72°, soit les deux cinquièmes d'un angle plat et un angle de 36°. Avec des triangles d'or et d'argent dont les côtés sont toujours "a" et "b", il est possible de paver intégralement un plan euclidien de manière non périodique. Un tel pavage est dit de Penrose. La trigonométrie permet de montrer les différentes propriétés exposées dans ce paragraphe, il est aussi possible d'établir ces résultats à l'aide de la géométrie.


title: Nombre d'or

text: Le premier lemme est la clé des différentes preuves. Soient "a" et "b" avec "a" > "b", deux longueurs en proportion d’extrême et de moyenne raison. Soit " ABD" un triangle d'or tels que "A" et "B" soient situés à une distance "a" l’un de l’autre et "B" et "D" à une distance "b". Cette proposition correspond à la figure de droite. Par construction, les distances "AB" et "AD" sont égales à "a". Considérons le point "E" du segment "AB" situé à "b" de "A" et montrons que le triangle "AEC" (en vert) est égal à "BCD" (en jaune). Il suffit de montrer qu’ils disposent d’un angle et de deux côtés égaux. Les deux triangles "AEC" et "ABD" sont semblables (car tous deux isocèles de même sommet) et dans un rapport de "a"/"b". Comme la distance entre "B" et "D" est égale à "b", celle entre "C" et "E" est égale à "a" - "b" (car "b"/("a" - "b") = "a"/"b"). Or cette distance est la même que celle qui sépare "C" et "D". Le caractère semblable des triangles "ACE" et "ADB" montre que l’angle "ACE" est égal à "ADB". Enfin, la distance "DB" est égale à celle de "AC". Les deux triangles disposent bien de deux côtés et d’un angle égaux, ils sont identiques. Le triangle "ACE" étant semblable au triangle d'or "ADB", c'est un triangle d'or ainsi que le triangle "BDC". Il est en proportion "a"/"b" avec le triangle initial.


title: Nombre d'or

text: Il reste à prouver que le triangle "ACB" est bien d'argent. Il suffit de prouver que la distance de "B" à "C" est égale à "b". Or le triangle "BDC" étant un triangle d'or, on sait que la distance "BC" est égale à celle de "BD" et donc à "b", ce qui termine la démonstration.


title: Nombre d'or

text: Le lemme précédent nous affirme que le triangle "ABC" est isocèle de sommet C. Donc l'angle "DCB" est égal au double de l'angle "CAB" soit avec les notations de droite : μ = 2θ. D'autre part, le triangle "BCD" étant aussi un triangle d'or, il est isocèle de sommet "B". Ses angles sont θ, 2θ, 2θ. La somme des angles valant 180°, on a 5θ = 180°, soit θ = 36° Il vient alors immédiatement que μ = 2θ = 72° puis que η = 180° – μ = 108°.


title: Nombre d'or

text: On remarque que θ est égal à un cinquième de demi-tour, μ à deux cinquièmes et η à trois cinquièmes.La méthode utilisée ici consiste à montrer que si deux sommets sont consécutifs, alors leur angle avec le centre du cercle est de 72°.


title: Nombre d'or

text: Cette première étape est la conséquence du fait que les points "P" et "P" sont définis comme l'intersection du cercle de centre "O" et de rayon "b" avec le cercle de centre "A" et de rayon "a". les triangles "P""AO" et "OAP" sont d'or, les angles "P""AO" et "OAP" font chacun 36°, ce qui permet de conclure.


title: Nombre d'or

text: La distance entre "O" et "P" est égale à "a" + "b", celle entre "O" et "A" ainsi que celle entre "A" et "P" est égal à "a". On en déduit que le triangle "OAP" est un triangle d'argent. L'angle "OAP" fait donc 108°. Comme l'angle "P""AO" fait 36°, par différence, on obtient que l'angle "P""AP" est de 108° – 36°, soit 72°.


title: Nombre d'or

text: L'angle "OAP" fait 108° et l'angle "OAP" est plat donc l'angle "P""AP" est égal à 180° – 108°, soit 72°.


title: Nombre d'or

text: Il reste encore à mesurer les angles "P""AP" et "P""AP". Pour cela, il suffit de remarquer que la droite "OA" est un axe de symétrie du pentagone, en conséquence l'angle "P""AP" est égal "P""AP" et "P""AP" est égal à "P""AP", ce qui termine la démonstration. L'analyse des mesures des triangles d'argent et d'or permettent de déterminer les valeurs trigonométriques associées au pentagone. Considérons un triangle d'argent de base φ et donc de côtés adjacents de longueur 1. Ce triangle, coupé en son milieu, comme sur la figure de droite, est un triangle rectangle d'hypoténuse de longueur 1. Sa base est de longueur φ/2 car elle correspond à la demi-base du rectangle d'argent. On en déduit : formula_12. Un raisonnement analogue s'applique au triangle d'or. Les côtés ont toujours une longueur 1, la base est en proportion d'or donc de longueur φ –1. On en déduit que le cosinus de 72° est égal à (φ – 1)/2. À partir de ces valeurs et de différentes formules, il est possible de calculer les images par les fonctions trigonométriques des multiples ainsi que les moitiés de l'angle 36°.


title: Nombre d'or

text: Une autre manière de déterminer les différentes valeurs caractéristiques d'un pentagone consiste à utiliser le plan complexe. Les affixes des sommets sont les racines cinquièmes de l'unité. Comme 5 est un nombre de Fermat, le théorème de Gauss-Wantzel a pour conséquence que le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas : les racines s'obtiennent par résolutions successives d'équations du second degré. Dans le plan complexe, les affixes des sommets du pentagone sont 1 et les racines du cinquième polynôme cyclotomique "X" + "X" + "X" + "X" + 1.


title: Nombre d'or

text: ,\quad \cos\,(18^\circ)= \frac 12 \sqrt{ 2+\varphi }


title: Nombre d'or

text: On peut aussi déterminer le cosinus des angles de la forme formula_15 en appliquant la formule du cosinus de l'angle moitié :


title: Nombre d'or

text: De manière générale :


title: Nombre d'or

text: Un autre chemin que celui de la géométrie permet de mieux comprendre les propriétés du nombre d'or, l'arithmétique. Elle met en évidence ses propriétés algébriques ainsi que les profondes relations entre des sujets de prime abord différents comme la suite de Fibonacci, les fractions continues ou certaines équations diophantiennes. Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont entiers et dont les solutions recherchées sont entières.


title: Nombre d'or

text: Le nombre d'or est solution de l'équation φ = 1 + φ. Cette propriété possède des conséquences remarquables si φ est utilisé comme base d'un système de nombre (voir base d'or). Elle permet également d'écrire φ sous forme de racines carrées imbriquées :formula_19.


title: Nombre d'or

text: Le nombre d'or est également lié à un certain anneau d'entiers algébriques. Les repères sont modifiés par rapport à ceux des entiers relatifs, mais le mot « entier » est encore utilisé, par analogie : le nombre d'or est un entier algébrique et même un entier quadratique. Le mot accolé à « entier » marque la différence. Par exemple 11, qui est un nombre premier dans les entiers usuels, n'est pas un élément premier dans ce nouvel univers de nombres.


title: Nombre d'or

text: La fraction continue est une manière d'approcher un nombre réel ; dans le cas du nombre d'or, elle est simple. On peut l'approcher par les valeurs 1 ou 1 + 1/1. La fraction suivante est plus précise : formula_20. Le prolongement à l'infini de cette méthode donne exactement le nombre d'or : formula_21.


title: Nombre d'or

text: En effet, le membre de droite représente un irrationnel positif qui vérifie, par construction, formula_22 c'est-à-dire . Ce nombre est donc égal à φ.


title: Nombre d'or

text: La fraction continue approximant le nombre d'or possède systématiquement la plus petite valeur possible pour chacun de ses coefficients, à savoir 1. Ce nombre irrationnel et tous ceux qui lui sont équivalents sont ceux qui s'approximent le plus mal par des rationnels. On dit de lui qu'il est « le plus irrationnel » des nombres réels (cf. théorème de Hurwitz sur les approximations diophantiennes).


title: Nombre d'or

text: Une démonstration plus classique et rigoureuse est proposée dans l'article détaillé.


title: Nombre d'or

text: Une manière d'illustrer la fraction continue est la suivante. Dans un premier temps, on dessine un rectangle formé de deux carrés côte à côte et de côté 1. Ce sont les deux carrés numérotés "1" sur la figure de droite. Le rapport entre la longueur et la largeur de la figure est égal à 2, la meilleure approximation en nombre entier du nombre d'or. On ajoute un carré de côté égal à la longueur de la figure précédente. Un tel carré est de côté 2 qu'il est judicieux d'écrire ici 1+1. On obtient un rectangle, composé de trois carrés (les deux numérotés 1 et celui numéroté 2) dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal 3/2 qui s'écrit 1 + 1/2 ou encore 1 + 1/(1+1). En réitérant avec un carré de côté égal à la longueur du rectangle précédent, soit celui numéroté 3 sur la figure, on trouve : formula_23.


title: Nombre d'or

text: L'approximation commence à être précise : elle vaut 1,66… ; celle du nombre d'or est 1,62… On recommence le processus avec un carré de côté la longueur du précédent ; on obtient comme rapport 8/5, qui s'écrit 1 + 3/5 et avec le calcul précédent : formula_24.


title: Nombre d'or

text: La dernière itération de la figure donne un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur vaut 13/8 approximation précise à plus de un centième. Si le processus est réitéré à l'infini, on obtient une expression du nombre d'or en "fraction continue" : formula_25.


title: Nombre d'or

text: Ce résultat possède une conséquence géométrique déjà citée. Si le processus de génération de rectangle est itéré un nombre suffisant de fois. Le retrait d'un carré de dimension maximale laisse une surface rectangulaire de même proportion que le rectangle initial, aux erreurs de mesure près. On obtient un rectangle d'or. Le calcul des couples de numérateurs et dénominateurs obtenus par la fraction continue donne les valeurs suivantes (1, 1), (2, 1), (3, 2), (5, 3), … le dénominateur correspond au numérateur de la fraction précédente. Il est aussi égal au -ième terme de la suite de Fibonacci ("F"). Elle est définie par récurrence : formula_26. La suite de Fibonacci fournit donc des approximations du nombre d'or : formula_27. La vitesse de convergence est linéaire ; la différence entre "F"/"F" et φ est, en valeur absolue, inférieure au carré de l'inverse de "F". Par exemple, la fraction "F"/"F" = 987/610 = … offre une précision proche du millionième.


title: Nombre d'or

text: Réciproquement, la formule de Binet exprime la suite de Fibonacci en fonction du nombre d'or : formula_28. On en déduit l'équivalent : formula_29.


title: Nombre d'or

text: En effet, –1/φ est strictement compris entre –1 et 0 donc ses puissances s'approchent de plus en plus de 0, tandis que celles de φ tendent vers l'infini. Si l'on prend l'entier le plus proche de l'expression précédente en négligeant le terme en (–1/φ), on obtient : formula_30.


title: Nombre d'or

text: La fraction continue offre des approximations rationnelles "F"/"F" qui sont « presque » des solutions à l'équation (1) ci-dessus. Plus précisément, ("F"/"F") – ("F"/"F") – 1 n'est bien sûr pas égal à 0 (puisque le nombre d'or est irrationnel) mais à (–1)/"F", ou encore : formula_31. Ceci est lié à l'équation diophantienne : formula_32.


title: Nombre d'or

text: Le cas "n" = 5 de l'identité de Brahmagupta prend, par changement de variables, la forme suivante :


Nombre d'or


title: Nombre d'or

text: Si ("a", "b") et ("c", "d") forment deux couples solutions de l'équation (2), cette identité fournit donc une nouvelle solution ("e", "f"), donnée par "e" = "ac + bd" et "f" = "ad + bc + bd". La découverte de la « multiplication » particulière suivante permet ainsi de construire autant de solutions que désiré, à partir d'une solution non triviale : formula_34. En effet, en combinant une solution ("x", "y") avec elle-même, on en obtient une nouvelle : ("x" + "y", 2"xy" + "y"), et l'on peut réitérer cette opération.


title: Nombre d'or

text: Remarquons aussi qu'en combinant ("F", "F") avec ("F", "F"), on obtient ("F", "F").


title: Nombre d'or

text: L'ensemble, noté ℤ[φ], des nombres réels de la forme "a" + φ"b" (avec "a" et "b" entiers relatifs) est stable par addition, mais aussi par multiplication puisque φ = 1 + φ (de proche en proche, toutes les puissances de φ sont donc dans ℤ[φ] ; plus précisément, φ = "F" + "F"φ, où ("F") désigne la suite de Fibonacci).


title: Nombre d'or

text: On obtient ainsi une structure équipée d'une addition et d'une multiplication, qui est un anneau commutatif intègre. On montre que ℤ[φ] est l'anneau des éléments « entiers » du corps quadratique ℚ(), c'est-à-dire ceux qui sont racines d'un polynôme de la forme "X" + "cX" + "d", avec "c" et "d" entiers relatifs.


title: Nombre d'or

text: L'anneau ℤ[φ] est euclidien, c'est-à-dire qu'il dispose d'une division euclidienne semblable à celle de l'anneau ℤ des entiers relatifs. Les outils de l'arithmétique usuelle sur ℤ, comme le théorème de Bachet-Bézout, le lemme d'Euclide ou le théorème fondamental de l'arithmétique, sont tous des conséquences de la division euclidienne.


title: Nombre d'or

text: La compréhension de l'arithmétique de ℤ passe souvent par celle des nombres premiers. L'anneau ℤ[φ] a aussi ses propres éléments premiers. Un nombre premier de ℤ n'est pas toujours premier dans ℤ[φ], comme le montre le contre-exemple 11 = (3 + 2φ)(5 – 2φ). Cette différence engendre des modifications dans l'application des théorèmes classiques. Par exemple, un analogue du petit théorème de Fermat indique qu'un nombre premier "p" ne divise φ – 1 que s'il est congru à ±1 modulo 5.


title: Nombre d'or

text: Certains historiens considèrent que l'histoire du nombre d'or commence lorsque cette valeur fit l'objet d'une étude spécifique. Pour d'autres, la détermination d'une figure géométrique contenant au moins une proportion se calculant à l'aide du nombre d'or suffit. La pyramide de Khéops (vers 2600 av. J.-C.) devient, selon cette dernière convention, un bon candidat pour l'origine.


title: Nombre d'or

text: Les historiens s'accordent tous sur l'existence d'une origine ancienne, mais l'absence de document d'époque définitif interdit une connaissance indiscutable de l'origine. Dans ce cadre, l'hypothèse est parfois émise que le nombre d'or a son origine chez les pythagoriciens : ils auraient connu et construit le dodécaèdre régulier.


title: Nombre d'or

text: Les pythagoriciens connaissaient déjà une construction du pentagone à l'aide de triangles isocèles. À cette époque, l'étude du nombre d'or est essentiellement géométrique, Hypsiclès, un mathématicien grec du , en fait usage pour la mesure de polyèdres réguliers. Elle revient chaque fois qu'un pentagone est présent.


title: Nombre d'or

text: L'approche arithmétique est initialement bloquée par le préjugé pythagoricien qui voudrait que tout nombre soit rationnel (rappelons que le nombre d'or ne l'est pas). Platon évoque cette difficulté. Les premières preuves du caractère irrationnel de certaines diagonales de polygones réguliers remontent probablement au . Platon cite les travaux de son précepteur, Théodore de Cyrène, qui montre l'irrationalité de et, . .


title: Nombre d'or

text: Le premier texte mathématique indiscutable est celui des "Éléments" d'Euclide (vers 300 av. J.-C.). Dans la du Livre, le nombre d'or est défini comme une proportion géométrique :


title: Nombre d'or

text: Sa relation avec le pentagone, l'icosaèdre et le dodécaèdre régulier est mise en évidence. Il est donc lié aux problèmes géométriques déjà résolus par les pythagoriciens, mais selon l'historien des sciences Thomas Heath (s'appuyant sur Proclus), c'est probablement Platon qui en avait fait ensuite un objet d'étude en soi :


title: Nombre d'or

text: Les mathématiques arabes apportent un nouveau regard sur ce nombre, plus tard qualifié d'or. Ce n'est pas tant ses propriétés géométriques qui représentent pour eux son intérêt, mais le fait qu'il soit solution d'équations du second degré. Al-Khawarizmi, un mathématicien perse du , propose plusieurs problèmes consistant à diviser une longueur de dix unités en deux parties. L'un d'eux possède comme solution la taille initiale divisée par le nombre d'or. Abu Kamil propose d'autres questions de même nature dont deux sont associées au nombre d'or. En revanche, ni pour Al-Khawarizmi ni pour Abu Kamil, la relation avec la proportion d'extrême et moyenne raison n'est mise en évidence. Il devient ainsi difficile de savoir si la relation avec le nombre d'or était claire pour eux.


title: Nombre d'or

text: Leonardo Pisano, plus connu sous le nom de Fibonacci, introduit en Europe les équations d'Abu Kamil. Dans son livre "Liber Abaci", on trouve non seulement la longueur des deux segments d'une ligne de 10 unités mais aussi, clairement indiquée la relation entre ces nombres et la proportion d'Euclide. Son livre introduit la suite qui porte maintenant son nom, connue « aux Indes » depuis le . En revanche la relation avec le nombre d'or n'est pas perçue par l'auteur. Un élément de cette suite est la somme des deux précédents.


title: Nombre d'or

text: En 1260, Campanus démontre l'irrationalité de φ par une descente infinie que l'on peut visualiser dans la spirale d'or.


title: Nombre d'or

text: À la fin du , Luca Pacioli rédige un livre intitulé "La divine proportion", illustré par Léonard de Vinci. Si l'aspect mathématique n'est pas nouveau, le traitement de la question du nombre d'or est inédit. L'intérêt du nombre ne réside pas tant dans ses propriétés mathématiques que mystiques, elles Pacioli cite les dix raisons qui l'ont convaincu. L'incommensurabilité prend, sous la plume de l'auteur, la forme suivante .


title: Nombre d'or

text: Pacioli rédige ainsi l'envoi de son livre : , il est en revanche discret sur la manière dont s'applique cette proportion. Dans son traité d'architecture, l'auteur se limite aux proportions de Vitruve, un architecte de la Rome antique. Elles correspondent à des fractions d'entiers, choisies à l'image du corps humain. S'il cite comme exemple une statue du grec Phidias, ce n'est que pour y voir le nombre d'or dans un dodécaèdre régulier, une figure associée au pentagone symbole de la quintessence, une représentation du divin. Les architectes de la Renaissance n'utilisent pas le nombre d'or.


title: Nombre d'or

text: Les mathématiciens de l'époque ne sont pas en reste. Les spécialistes des équations polynomiales que sont Gerolamo Cardano et Raphaël Bombelli indiquent comment calculer le nombre d'or à l'aide d'équations de second degré. Un résultat plus surprenant est anonyme. Une note manuscrite, datant du début du et écrite dans la traduction de Pacioli des éléments d'Euclide de 1509, montre la connaissance de la relation entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or. Si l'on divise un terme de la suite par son précédent, on trouve une approximation du nombre d'or. Plus le terme est élevé, plus l'approximation est bonne et elle peut devenir aussi précise que souhaitée. Ce résultat est, plus tard, retrouvé par Johannes Kepler puis par Albert Girard. Kepler est fasciné par le nombre d'or, il dit de lui .


title: Nombre d'or

text: Sur le front des mathématiques, l'intérêt diminue. Au , le nombre d'or ainsi que les polyèdres réguliers sont considérés . Concernant le nombre d'or, on lui prête encore un peu d'attention au siècle suivant : Jacques Binet démontre en 1843 la formule, peut-être connue avant lui, mais qui porte maintenant son nom : si la lettre φ désigne le "nombre d'or", le "n"-ième terme de la suite de Fibonacci est donné par : . L'essentiel des travaux se reporte sur la suite de Fibonacci. Édouard Lucas trouve des propriétés subtiles associées à cette suite, à laquelle il donne pour la première fois le nom de « suite de Fibonacci ». Son résultat le plus important porte le nom de "Loi d'apparition des nombres premiers au sein de la suite Fibonacci". C'est durant ce siècle que les termes de « section dorée », puis « nombre d'or » apparaissent. On les trouve dans une réédition d'un livre de mathématiques élémentaires écrit par Martin Ohm. L'expression est citée dans une note de bas de page : Cette réédition fait surface dans une période située entre 1826 et 1835, en revanche son origine est un mystère.


title: Nombre d'or

text: L'intérêt resurgit au milieu du siècle, avec les travaux du philosophe allemand Adolf Zeising. Avec lui, le nombre d'or devient un véritable système, une clé pour la compréhension de nombreux domaines, tant artistiques — comme l'architecture, la peinture, la musique —, que scientifiques — avec la biologie et l'anatomie. Une dizaine d'années plus tard, il publie un article sur le pentagramme, . Une relecture de la métaphysique pythagoricienne lui permet de conclure à l'existence d'une loi universelle fondée sur le pentagramme, et donc, sur le nombre d'or. Malgré une approche scientifique douteuse, la théorie de Zeising obtient un franc succès.


title: Nombre d'or

text: En France, pouvoir codifier de manière scientifique la beauté est une idée qui séduit. Les dimensions du Louvre, de l'Arc de triomphe sont mesurées avec attention. Des délégations sont chargées de mesurer précisément la taille des pyramides d'Égypte ainsi que du Parthénon. Les cathédrales ne sont pas en reste. La France trouve son champion en Charles Henry, un érudit qui s'inscrit dans l'esprit positiviste de son temps. Dans un texte fondateur, à l'origine du mouvement pointilliste, il associe au nombre d'or, une théorie de la couleur et des lignes. Son influence auprès de peintres comme Seurat ou Pissarro n'est pas négligeable, mais son attachement au nombre d'or n'est pas aussi profond que chez son collègue allemand : en 1895, il finit par abandonner définitivement l'idée de quantifier le beau.


title: Nombre d'or

text: Loin de s'éteindre avec le déclin du positivisme, la popularité du nombre d'or ne fait que croître durant la première partie du siècle. Le prince roumain Matila Ghyka en devient l'incontestable chantre. Il reprend les thèses du siècle précédent et les généralise. Tout comme Zeising, il s'appuie tout d'abord sur les exemples issus de la nature, comme les coquillages ou les plantes. Il applique cette universalité à l'architecture avec des règles plus souples que son prédécesseur. Cette théorie avait déjà influé sur les notations, le nombre d'or étant noté φ en référence au sculpteur Phidias, concepteur du Parthénon.


title: Nombre d'or

text: La dimension mystique n'est pas absente chez Ghyka et trouve ses origines dans la philosophie pythagoricienne. L'absence de trace écrite sur le nombre d'or chez les pythagoriciens s'expliquerait par le culte du secret. Cette idée est largement reprise et généralisée par les mouvements de pensées ésotériques au . Le nombre d'or serait une trace d'un savoir perdu, nommé Tradition Primordiale ou Connaissance Occulte chez les Rose-Croix ou des mouvements connexes. Ce mouvement de pensée reprend des idées développées en Allemagne au par Franz Liharzik (1813 - 1866), pour qui la présence du nombre d'or, de π et de carrés magiques est la preuve « incontestable » d'un groupe restreint d'initiés possédant la science mathématique absolue.


title: Nombre d'or

text: En 1929, une époque troublée par des idées d'un autre âge, Ghyka n'hésite pas à tirer comme conclusion de son étude sur le nombre d'or, la suprématie de ce qu'il considère comme sa race : Si le prince n'insiste que très médiocrement sur cet aspect du nombre d'or, d'autres n'ont pas ses scrupules. Ils usent de l'adéquation de la morphologie d'une population avec les différentes "proportions divines" pour en déduire une supériorité qualifiée de "raciale". Ce critère permet de fustiger certaines populations, sans d'ailleurs la moindre analyse. Le nombre d'or est, encore maintenant, sujet à de prétendues preuves de supériorité culturelle, sociale ou ethnique.


title: Nombre d'or

text: Sans cautionner ces idées extrêmes, certains intellectuels ou artistes éprouvent une authentique fascination pour le nombre d'or ou son mythe. Le compositeur Iannis Xenakis utilise ses propriétés mathématiques pour certaines compositions. L'architecte Le Corbusier reprend l'idée consistant à établir les dimensions d'un bâtiment en fonction de la morphologie humaine et utilise pour cela le nombre d'or. Le poète et intellectuel Paul Valéry s'est beaucoup intéressé au nombre d'or, qu'il évoque dans ses cahiers et dans plusieurs poèmes, dont son "Cantique des colonnes" (1922) : Le peintre Salvador Dalí fait référence au nombre d'or et à sa mythologie dans sa peinture, par exemple dans un tableau dénommé Le Sacrement de la dernière Cène.


title: Nombre d'or

text: Sur le plan mathématique, le nombre d'or suit une trajectoire inverse, son aura ne fait que diminuer et il quitte le domaine de la recherche pure. Il existe néanmoins une exception, la revue "Fibonacci Quarterly" sur la suite de Fibonacci. En revanche, le nombre d'or apparaît comme la clé de quelques sujets scientifiques. La question de phyllotaxie, se rapportant à la spirale que l'on trouve dans certains végétaux comme les écailles de la pomme de pin est-elle vraiment liée à la proportion d'Euclide ? Cette question fait couler beaucoup d'encre dès le siècle précédent. Wilhelm Hofmeister suppose que cette spirale est la conséquence d'une règle simple. Pour le botaniste allemand Julius von Sachs, ce n'est qu'un orgueilleux jeu mathématique, purement subjectif. En 1952, un scientifique, père fondateur de l'informatique, Alan Turing propose un mécanisme qui donnerait raison à Hofmeister. Deux physiciens français, Stéphane Douady et Yves Couder, finissent par trouver l'expérience confirmant Hofmeister et Turing. La présence du nombre d'or dans le monde végétal ne semble ni fortuite ni subjective.


title: Nombre d'or

text: La thèse de l'omniprésence du nombre d'or est souvent reprise. Si un avis définitif sur ce phénomène est difficile à propos de l'œuvre des hommes, il est plus aisé de comprendre la différence d'opinion que soulève cette question pour les sciences de la nature. Elle provient de l'usage des critères utilisés pour lier ou non le nombre d'or avec un phénomène.


title: Nombre d'or

text: Dans le monde végétal, les écailles des pommes de pin engendrent des spirales particulières, dites logarithmiques. Ces spirales se construisent à l'aide d'un nombre réel non nul quelconque. Si ce nombre est égal au nombre d'or, les proportions correspondent à la moyenne et extrême proportion d'Euclide et la suite de Fibonacci apparaît. Ce phénomène se produit sur les étamines d'une fleur de tournesol. La présence du nombre d'or n'est pas controversée dans ce cas. En revanche, si ce nombre n'est pas égal au nombre d'or, alors ni proportion d'or, ni suite de Fibonacci ne sont pertinentes dans l'étude de la spirale logarithmique correspondante, comme celles que forment la coquille du mollusque le nautilus, les yeux sur les plumes d'un paon ou encore certaines galaxies.


title: Nombre d'or

text: En minéralogie, il existe des cristaux dont les atomes s'organisent selon un schéma pentagonal. Les proportions entre les côtés et les diagonales du pentagone font intervenir le nombre d'or. Il est aussi présent dans des structures dites quasi cristallines. Les atomes dessinent des triangles d'or qui remplissent l'espace sans pour autant présenter de périodicité, on obtient un pavage de Penrose. Pour la même raison que précédemment, le nombre d'or est présent et l'on retrouve la suite de Fibonacci. Le pentagone n'est pas présent dans tous les cristaux. La structure cubique à faces centrées d'un diamant ne fait pas intervenir le nombre d'or.


title: Nombre d'or

text: Ainsi, selon l'axe d'analyse, la réponse sur l'omniprésence du nombre d'or est différente. Pour un scientifique spécialiste dans un domaine, l'usage du nombre d'or est finalement plutôt rare, limité à quelques sujets comme la phyllotaxie du tournesol ou la cristallographie du quartz. S'il recherche des concepts explicatifs pour mieux comprendre son domaine, la proportion d'Euclide est rarement de ceux-là. D'autres utilisent l'analogie ainsi que l'esthétique comme critère. La divine proportion est pour eux présente dans les cieux, la vie animale et végétale, les minéraux et finalement dans toute la nature.


title: Nombre d'or

text: En biologie, l'ordonnancement des écailles d'une pomme de pin ou de l'écorce d'un ananas induit des spirales ordonnées par des nombres entiers, souvent associés au nombre d'or. Sur la figure de gauche, on observe 8 spirales, chacune formée de 13 écailles dans un sens et 13 spirales formées de 8 écailles dans l'autre sens. Les proportions de ces spirales ne sont pas très éloignées de celles d'une spirale d'or. Les nombres 8 et 13 sont deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et leur rapport est proche du nombre d'or. Un phénomène analogue se produit avec les étamines des tournesols, cette fois avec les couples d'entiers (21,34), (34,55) et (55,89). Chacun de ces couples correspond à deux entiers consécutifs de la suite de Fibonacci.


title: Nombre d'or

text: La phyllotaxie ne suit pas toujours les lois du nombre d'or. À droite, on voit un mécanisme analogue sur des feuilles, les deux spirales sont toujours logarithmiques mais ne suivent plus la proportion d'or. Les nombres de spirales dans un sens et dans l'autre sont égaux.


title: Nombre d'or

text: Ce mécanisme est régi par la règle de Hofmeister : Un primordium correspond à un embryon de partie de plante : écaille, feuille, d'étamine, etc. Ce mécanisme est contrôlé par la production d'une substance inhibitrice, appelée morphogène, émise par les primordia. Ainsi une nouvelle pousse ne peut naître que le plus loin possible des précédentes.


title: Nombre d'or

text: Dans le cas de l"'Achimenes erecta", la tige pousse rapidement par rapport à la feuille, la deuxième feuille naît dans la direction opposée, le rapport entre la croissance de la tige et le temps d'apparition d'un nouveau primordium fait que la troisième position la meilleure est à un angle d'un tiers de tour par rapport à la première feuille et deux tiers par rapport à la deuxième. Finalement on obtient l'apparition de trois feuilles, décalées d'un tiers de tour l'une par rapport à l'autre, puis d'un nouveau jeu de trois feuilles, décalé d'un sixième de tour par rapport au jeu précédent.


title: Nombre d'or

text: La pomme de pin suit la même règle pour le primordium de l'écaille. La croissance de la tige entre deux primordia est beaucoup plus modérée. Le troisième primordium naît en conséquence entre les deux premiers, avec un angle légèrement plus faible du côté du premier primordium, la tige ayant un peu grandi. Douady et Couder ont montré qu'un tel mécanisme produit deux jeux de spirales d'or de directions opposées dont les nombres de spirales par jeu correspondent à deux éléments consécutifs de la suite de Fibonacci. Plus la croissance entre l'apparition de deux primordia est petite, plus élevés sont les deux éléments consécutifs de la suite.


title: Nombre d'or

text: Le corps humain est un enjeu souvent corrélé à celui du nombre d'or. Il comporte différentes facettes. Tout d'abord scientifique : la question maintes fois posée est de savoir si le corps, à l'image de la fleur de tournesol, possède une relation plus ou moins directe avec le nombre d'or. En termes artistiques, la « divine proportion » est-elle utilisable pour représenter le corps ? Il existe enfin un enjeu esthétique. Si le nombre d'or, comme le pense le compositeur Xenakis, est relié à notre corps, son usage peut être une technique pour obtenir de l'harmonie. La première corrélation recherchée est dans les dimensions du corps humain. Elle débouche sur la tentative d'un système de mesure construit à l'aide du seul nombre d'or. Zeising fonde toute une anatomie sur cette arithmétique. Après un vif effet de mode, cette approche est finalement abandonnée. Ses proportions sont trop imprécises, et elles correspondent trop mal à l'anatomie du corps humain. Les proportions du crâne, par exemple, ne sont pas réalistes. D'autres raisons, plus profondes encore, sont la cause de l'abandon d'une démarche de cette nature. L'anatomie médicale n'est pas à la recherche d'une proportion particulière, mais des limites qui, si elles sont dépassées, deviennent pathologiques. Elle utilise des fractions simples ainsi que des plages de longueur, mais jamais le nombre d'or. Là où certains voient une "divine proportion", comme dans le rapport de la longueur de l'avant-bras sur celui de la main, l'anatomiste scientifique qui calcule le rapport entre la longueur de la main et celle de l'avant-bras voit 2/3. La différence entre les deux approches, inférieure à 8 %, ne lui paraît pas justifier une telle complexité, au vu des variations observées entre les individus. Stephen Jay Gould, un paléontologue, a montré à quel point les mesures anthropométriques visant à étayer les doctrines de cette époque étaient biaisées par leurs auteurs.


title: Nombre d'or

text: Une autre raison est que les dimensions d'un être humain sont en constante évolution. En un siècle, la stature du Français moyen a augmenté de 9 centimètres, et cette croissance n'est pas uniforme. Le jeu des proportions d'un corps humain étant essentiellement dynamique, on imagine mal une proportion unique, clé universelle de l'anatomie humaine. Une approche de cette nature, trop normative et intemporelle, n'a pas beaucoup de sens scientifique en anatomie. Si cet axe de recherche n'est plus d'actualité, cela ne signifie pas l'abandon de la quête du nombre d'or dans le corps humain. Le cerveau est maintenant source d'attention. Cette théorie reste minoritaire et controversée.


title: Nombre d'or

text: Les contraintes artistiques sont de nature différente. Les artistes, attentifs au travail des médecins, ont imaginé des modules, ou systèmes de proportions, propres au corps humain. C'est le désir de le représenter qui impose cette démarche. Un très ancien module est celui des Égyptiens ; la classique proportion qu'est le rapport de la taille complète à la hauteur du nombril est estimée à 19/11, relativement loin du nombre d'or. Les modules sont, en général, purement fractionnaires. Tel est le cas de celui inventé par les Égyptiens, par Polyclète, qui nous est rapporté par Vitruve, de celui de Cousin, de Vinci ou de Dürer. Il est néanmoins difficile d'en déduire que Dürer croyait en un canon universel. Il initie une conception fondée sur la pluralité des types de beauté, ayant chacune ses proportions propres.


title: Nombre d'or

text: L'idée que le nombre d'or possède une qualité visuelle intrinsèque est largement citée. Un argument est la présence de la divine proportion dans de nombreux chefs-d'œuvre. Cependant les commentaires précis sont rares, ce qui amène à rechercher le rapport d'Euclide, sans information directe de la part de l'auteur. L'existence d'une forme géométrique ayant des concordances avec le tableau est, pour certains, un élément de preuve. Pour d'autres, une démarche de cette nature est peu convaincante.


title: Nombre d'or

text: Un exemple est celui de "La Naissance de Vénus" de Sandro Botticelli. Ses dimensions, 172,5 × , respectent précisément la proportion. Le carré, associé au rectangle d'or, correspond à un rythme du tableau ; enfin, la diagonale du rectangle restant, ainsi que celle symétrique, sont des lignes de force. Ce raisonnement n'a pas convaincu certains spécialistes. Le tableau semble faire partie d'un diptyque avec "Le Printemps", un autre tableau du maître. L'aile d'Aura, un des dieux, est étrangement coupée. Pour en avoir le cœur net, une analyse finit par être faite. Le verdict est sans appel : Botticelli avait choisi une taille analogue à celle du "Printemps" ; le haut de "La Naissance "est amputé de et avait, à sa conception, la taille du "Printemps". Dans ce cas, la "divine proportion" n'a pas été choisie par le créateur. Pour certains, il existe un fondement scientifique à la beauté : . Cette idée n'est pas une invention de Pacioli, le traité de peinture de Leon Battista Alberti, établissant les premières règles de la perspective, était déjà l'illustration d'une philosophie analogue. La découverte de lois "scientifiques", modifie la peinture et permet d'incarner un nouvel idéal. Si l'approche mathématique d'Alberti obtient un large consensus, peu d'éléments laissent penser à un succès analogue pour la loi de la divine proportion.


title: Nombre d'or

text: Un exemple est le cas Vinci. Pacioli est un de ses amis proches, Vinci connaît suffisamment ses théories pour illustrer son livre. À travers ses codex, son "Traité de la peinture" et les multiples analyses de ses sources, la pensée de Vinci sur la proportion en peinture nous est connue. Si, pour le maître, la peinture s'apparente à une science, ses thèses sont fort éloignées de celle de son ami. Sa première source est l'observation et l'expérience, et non les mathématiques : . Cette attitude se traduit, par exemple pour le choix des proportions humaines. À travers de multiples dissections, il mesure systématiquement les rapports entre les dimensions des différents os et muscles. Ses planches médicales l'amènent à une conception de l'anatomie dont les rapports sont de même nature que celle de la médecine moderne : ils sont fort nombreux et s'expriment à l'aide de fractions composées de petits facteurs entiers. La science de Vinci s'applique aussi sur des sujets déjà traités comme la perspective. Une fois encore, sa logique est plus proche de l'observation que de la rigidité mathématique. Les lois qu'il ajoute à celles d'Alberti traitent de la couleur : une chose éloignée voit sa couleur tirer vers le bleu, ainsi que de la netteté . Les règles régissant la proportion chez Vinci sont subtiles et en opposition avec des , comme l'application directe d'une proportion sans lien avec ses observations.


title: Nombre d'or

text: À l'instar du "Saint Jérôme" à droite, beaucoup d'exemples de "rectangle d'or" trouvés chez un peintre supposent une approche de la proportion sans justification de la part du peintre ou, comme ici, contraire aux règles établies par son auteur. Ni Arasse dans son volumineux ouvrage sur Vinci, ni Marani dans le sien ne font référence à une explication de cette nature.


title: Nombre d'or

text: Le nombre d'or a aussi influencé les peintres du groupe de Puteaux, appelé aussi « Section d'or », groupe qui se crée autour de Jacques Villon en 1911. Leur emploi du nombre d'or en peinture est cependant davantage intuitif que purement mathématique.


title: Nombre d'or

text: L'usage du nombre d’or dans les constructions anciennes est un sujet de controverse. Pour le prince Ghyka, l’archéologie offre la preuve de l'universalité du canon de beauté qu'est le nombre d'or. L'argument principal est le vaste nombre d'exemples. Le prince reprend les travaux de son prédécesseur Zeising et l'enrichit considérablement. Le théâtre d'Épidaure possède deux séries de gradins l'une de 21 et l'autre de 34 marches, deux éléments consécutifs de la suite de Fibonacci.


title: Nombre d'or

text: La grande pyramide de Gizeh convainc un public plus vaste. Cet exemple est cité depuis le milieu du , une époque où la méconnaissance presque totale de l'égyptologie donne naissance à d'innombrables mythes. La coïncidence entre les dimensions de la pyramide et le nombre d'or est ici excellente. Le rapport entre la longueur de la plus grande pente d'une des faces et la demi-longueur d'un côté correspond au nombre d'or avec une précision de moins de 1%. Le scepticisme des professionnels est la conséquence de la connaissance actuelle de la civilisation égyptienne. En effet, les systèmes de longueur utilisés dans les documents connus pour mesurer les pentes et les longueurs horizontales ne coïncident pas, interpréter leur rapport n’a donc pas beaucoup de sens. On ne trouve pas non plus la moindre trace religieuse ou esthétique qui justifie un choix de cette nature. Cette faiblesse pousse Taylor, à l'origine de cette hypothèse, à créer de toutes pièces une citation de Hérodote.


title: Nombre d'or

text: Le cas grec est encore plus populaire et très largement étayé. Mais l'écart entre la culture grecque et le nombre d'or laisse perplexe les spécialistes. Ces proportions incommensurables, que sont la diagonale d'un carré ou celle d'Euclide, sont vécues comme un scandale, une trahison des dieux à l'époque de Pythagore. Un grec n'imagine pas qu'un nombre puisse être autre chose qu'une fraction d'entiers. L'existence de proportions, comme celles d'Euclide qui ne sont pas des nombres, est une source de chaos intellectuel, à l'opposé des valeurs philosophiques et mystiques des pythagoriciens. On raconte que Hippase de Métaponte aurait été exclu de la confrérie des pythagoriciens pour avoir dévoilé le scandale de l'incommensurabilité d'une diagonale d'un dodécaèdre régulier, une autre indique qu'il aurait péri noyé, conséquence de son impiété. Qu'une proportion aussi négative soit utilisée pour les monuments apparaît étonnant. Les textes d'architecture grecs confirment l'usage des nombres rationnels pour définir les proportions des bâtiments. Les "proportions harmonieuses" sont longuement relatées par Vitruve un architecte, auteur du célèbre traité "De architectura" en dix volumes. Pour ce faire, il utilise largement, au volume , les mathématiques de Platon, Pythagore ou d'autres mathématiciens. Les proportions proviennent du module de Polyclète, un sculpteur grec contemporain de Phidias. Le traité de Vitruve ne contient aucune trace de proportion irrationnelle à l'exception de la diagonale du carré.


title: Nombre d'or

text: Enfin, les exemples choisis par le prince sont controversés. Retrouver la "divine proportion" dans la façade du Parthénon demande des conventions spécifiques, comme d'inclure trois des quatre marches du fronton ou de tronquer le toit. L'usage de mesures non spécifiques donne une proportion différente. Pour faire apparaître le nombre d'or dans les proportions des monuments grecs, Ghyka n'hésite pas à utiliser des fractions comme 1/φ. Patrice Foutakis a examiné les dimensions de 15 temples, 18 tombeaux monumentaux, 8 sarcophages et 58 stèles funéraires pour la période du avant notre ère au de notre ère. Les temples étaient l'endroit par excellence pour la communication entre les humains et les dieux, tandis que les tombeaux, sarcophages et stèles funéraires étaient directement liés au passage des mortels de la vie matérielle à celle immortelle. Si le nombre d'or impliquait des propriétés divines, mystiques ou esthétiques, dans ce cas la plupart de ce type des constructions obéiraient à la règle de la proportion d'or. Le résultat de cette recherche originale est sans appel : le nombre d'or était complètement absent de l'architecture grecque du avant notre ère, et quasiment absent pendant les six siècles suivants. Quatre exemples très rares, et pour cela précieux, d'application du nombre d'or ont été identifiés dans une tour antique à Modon, le Grand autel de Pergame, une stèle funéraire d'Édessa et un tombeau monumental à Pella. C'est la première fois qu'une preuve est apportée pour une utilisation du nombre d'or dans des constructions de la Grèce antique, toutefois, selon cet auteur, utilisation marginale qui témoigne de l'indifférence des Grecs anciens pour le nombre d'or en architecture.


title: Nombre d'or

text: Le Corbusier est l'architecte qui théorise l'usage du nombre d'or dans son métier. S'il reprend l'idée de Vitruve, consistant à proportionner un bâtiment aux dimensions d'un corps humain, il y associe d'autres éléments justifiant l'usage de la proportion d'Euclide.


title: Nombre d'or

text: On peut construire un système de numération positionnelle non seulement avec dix, comme celui des humains, ou avec deux, comme celui des ordinateurs, mais avec n'importe quel nombre réel "b" strictement positif et différent de 1. Dans un tel système, la base "b" se note 10 et son carré "b" se note 100. Le système construit avec le nombre d'or est appelé base d'or. Il semble, pour Le Corbusier, être le plus adapté à l'architecture.


title: Nombre d'or

text: Cette "échelle harmonique", pour reprendre son expression, permet de réconcilier les atouts du système métrique décimal, pratique et abstrait, avec ceux du système anglais des pouces et des pieds, naturel mais peu pratique. En calant les différentes "dizaines", c'est-à-dire ici les puissances du nombre d'or, sur les dimensions humaines, Le Corbusier cherche à obtenir un système alliant les deux avantages. La deuxième unité correspond à la taille d'un avant-bras, la troisième à la distance entre le nombril et le sommet de la tête, la quatrième à celle entre le sol et le nombril d'un homme debout et la cinquième à la taille d'un adulte.


title: Nombre d'or

text: En matière d'architecture, cette démarche offre un moyen naturel pour incarner l'idéal canonique de Vitruve. Chaque dizaine correspond à une proportion humaine et les différentes proportions se répondent entre elles. En matière d'urbanisme, Le Corbusier cherche à trouver un moyen de normalisation. En 1950, date de parution du premier tome sur le Modulor, nom qu'il donne à ce système, les besoins de reconstruction sont vastes et la rationalisation de la production, un impératif. L'auteur parle de "machine à habiter". Cette démarche, vise aussi un objectif esthétique. La normalisation dispose d'un avantage, elle permet "plus d'harmonie". Le tracé régulateur, c'est-à-dire l'échelle construite sur la suite de Fibonacci y joue un rôle : .


title: Nombre d'or

text: À partir des années 1950, Le Corbusier utilise systématiquement le modulor pour concevoir son œuvre architecturale. La Cité radieuse de Marseille ou la Chapelle Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp sont deux exemples célèbres.


title: Nombre d'or

text: En musique, le nombre d'or est recherché à la fois dans l'harmonie et dans le rythme.


title: Nombre d'or

text: Le terme d'harmonie désigne ici une technique permettant de choisir les différentes notes jouées simultanément. Durant une période qui s'étend du au début du , elle est essentiellement tonale, à l'image de la musique de Bach ou Mozart. Aucune série de deux notes ne définit une "proportion d'or". L'approximation la plus proche étant la sixte mineure obtenue par deux sons dont les fréquences définissent un rapport de 8/5 = 1,6 (la sixte majeure correspondant à un rapport de fréquence de 5/3 = 1,66 est une approximation moins bonne). Pour cette raison, le nombre d'or est souvent recherché dans la musique du . De nouvelles gammes sont explorées, comme la gamme décatonique ou 10-TET (). Dans celle-ci, l'octave est partagée en 10 parties égales. Chaque degré représente alors un écart de 2. Pour cette gamme, le nombre d'or est proche du rapport défini par deux notes séparées de 7 degrés. La présence du nombre d'or ici est néanmoins un peu fortuite. Un écart entre 7 degrés donne une proportion de 2 approximativement égal à 1,624.


title: Nombre d'or

text: Le rythme est plus largement associé au nombre d'or et sur une période musicale plus vaste. Son traitement par Bach est l'objet d'une thèse de doctorat, sur l'analogie entre les rythmes de la "Suite en do mineur pour luth" (BWV 997) et la "Passion selon saint Matthieu" (BWV 244). Roy Howat montre que Debussy était associé à des revues symbolistes auxquelles il participait et qui analysaient les proportions et le nombre d'or. Il montre aussi comment on retrouve cette approche à travers des œuvres comme "La Mer" ou "Reflets dans l'eau". Des études montrent des résultats analogues pour Erik Satie, Béla Bartók, Karlheinz Stockhausen, ou encore Jean-Louis Florentz. Certains compositeurs de musique électroacoustique ont fabriqué des sons synthétiques dont les fréquences des partiels sont basées sur le nombre d'or.


title: Nombre d'or

text: À l'exception de compositeurs comme Xenakis où l'usage du nombre d'or est explicité par l'auteur, l'absence de preuve définitive empêche le consensus. La polémique est néanmoins de nature différente de celle qui sévit, par exemple en archéologie. Ici la position favorable à l'existence d'un usage large du nombre d'or est défendue par des institutions professionnelles comme l'Ircam ou une thèse de doctorat comme celle de Montréal.


title: Nombre d'or

text: Une question récurrente est celle de l'existence ou non d'une réalité scientifique de l'idée de beauté associée au nombre d'or. Elle s'inscrit dans le cadre général d'une théorie scientifique de l'esthétique. Certains artistes, comme Xenakis en sont persuadés : . Charles Henry, dans le domaine des arts picturaux, inscrit le nombre d'or dans une vaste théorie de cette nature, traitant non seulement des proportions, mais aussi de la couleur et des contrastes.


title: Nombre d'or

text: Préfigurant une démarche de nature sociologique comme celle d'Émile Durkheim, le philosophe allemand Gustav Fechner tente des expériences statistiques pour "valider scientifiquement" une association humaine entre le beau et le rectangle d'or. Des formes sont présentées à un public qui évalue les proportions les plus esthétiques. Si les résultats vont dans le sens de l'existence d'un canon de beauté construit à l'aide de la divine proportion, le protocole choisi ne correspond pas aux critères actuels de rigueur. Une deuxième expérience, plus objective met en évidence une préférence pour un format proche du "16/9" de la télévision. Une fois encore, et malgré son caractère plus rigoureux, le caractère universel d'un tel format n'est pas établi.


title: Nombre d'or

text: Si l'intuition d'artistes comme Xenakis, Valéry ou Le Corbusier laisse présager l'existence d'une transcendance esthétique du nombre d'or, aucune approche scientifique ne permet aujourd'hui de confirmer cette hypothèse.


title: Nombre d'or

text: Le drapeau du Togo a les proportions d'un rectangle d'or.


title: Metazoa

text: Les métazoaires (Metazoa) est le groupe d'organismes (clade) désignant les animaux. Les organismes ainsi qualifiés sont : De plus, leurs cellules forment des tissus ; et leur alimentation ne se fait pas par absorption, contrairement aux champignons.


title: Metazoa

text: Le concept de métazoaire est apparu par opposition aux protozoaires, qui sont généralement unicellulaires, à une époque où ces derniers étaient parfois inclus dans le règne animal. La compréhension actuelle de la phylogénie a conduit à limiter la notion d'animal (nom de taxon : "Animalia") aux seuls métazoaires.


title: Metazoa

text: Le clade des métazoaires inclut les Parazoaires et les Eumétazoaires qui se sont séparés il y a 940 millions d'années. Les métazoaires regroupent plus d'un million d'espèces décrites mondialement réparties dans tous les milieux, y compris les plus extrêmes. Leurs vrais tissus se forment lorsque de multiples cellules se spécialisent, ce qui entraîne une plus grande efficacité énergétique.


title: Metazoa

text: Du grec ancien μετά, "metá" (« au-delà, après ») et du suffixe -"zoaire," désignant les grandes divisions du règne animal, venant lui même du grec ancien ζῷον, "zỗon" (« animal »).


title: Metazoa

text: La phylogénie des métazoaires se précise à l'aide de nouveaux outils d'analyse.


title: Metazoa

text: Le taxon Metazoa (identique à l'actuelle version du taxon Animalia) se révèle phylogénétiquement plus proche d'un groupe renfermant la majorité des champignons (Fungi) que de la plupart des formes unicellulaires qui lui avaient été rattachées dans une ancienne version du règne Animalia (plus ou moins équivalent au regroupement des Metazoa et Protozoa actuelles).


title: Metazoa

text: La monophylie des métazoaires semble bien établie. En termes plus simples, tous les animaux multicellulaires ont un ancêtre commun dont les descendants sont tous des animaux multicellulaires (à condition d'inclure avec ce qualificatif les myxozoaires). Plusieurs théories sont proposées pour expliquer l'origine des métazoaires. La théorie symbiotique présume que des cellules indépendantes ont développé une relation symbiotique si étroite qu'elles ont perdu leur autonomie et ont dû s'associer. La théorie coloniale suggère que les métazoaires dérivent de colonies de Choanoflagellés. La théorie syncytiale ou plasmodiale fait dériver les métazoaires d'un protozoaire multinucléé qui devient pluricellulaire, en compartimentant sa masse par des cloisons formant autant de cellules qu'il y a de noyaux.


title: Metazoa

text: Les principales caractéristiques propres aux métazoaires (synapomorphies) sont :


title: Kylix (informatique)

text: Kylix est un environnement de développement intégré (IDE) sous Linux supportant le langage Pascal Objet et C++. Il s'agit d'une tentative de portage par Borland de son RAD phare Delphi et de son « petit frère » C++Builder réalisé à l'aide de Wine.


title: Kylix (informatique)

text: La première version est sortie début 2001, un peu jeune ; une deuxième a suivi très vite ; la troisième et dernière version (Kylix 3) est sortie en juillet 2002. Kylix a par la suite été totalement abandonné par Borland, du fait officiellement des faibles retombées économiques du produit.


title: Kylix (informatique)

text: C'était un produit très proche de Delphi : même principe, même interface, fonctionnant sous Linux et permettant de créer des programmes pour ce système. Le même code source pouvait en théorie être compilé sous Linux et Windows (respectivement avec Kylix et Delphi) grâce à l'utilisation de la bibliothèque objet CLX qui s'appuie sur la bibliothèque graphique Qt.


title: Kylix (informatique)

text: Il existait une version en téléchargement gratuit, permettant d'écrire des programmes sous licence GPL.


title: Kylix (informatique)

text: Les projets initialement développés sous Kylix ont ainsi dû se tourner vers la solution Lazarus, concurrent libre et suivi de Kylix.


title: Qt

text: Qt (prononcé officiellement en anglais ' () mais couramment prononcé ' ()) :


title: Qt

text: Qt permet la portabilité des applications qui n'utilisent que ses composants par simple recompilation du code source. Les environnements pris en charge sont les Unix (dont GNU/Linux) qui utilisent le système graphique X Window System ou Wayland, Windows, Mac OS X, Tizen et également Genode. Le fait d'être une bibliothèque logicielle multiplateforme attire un grand nombre de personnes qui ont donc l'occasion de diffuser leurs programmes sur les principaux OS existants.


title: Qt

text: Qt intègre des bindings avec plus d'une dizaine de langages autres que le C++, comme Ada, C#, Java, Python, Ruby, Visual Basic, etc.


title: Qt

text: Qt est notamment connu pour être le framework sur lequel repose l'environnement graphique KDE Plasma, l'un des environnements de bureau par défaut de plusieurs distributions GNU/Linux.


title: Qt

text: C'est au "Norwegian Institute of Technology" à Trondheim que Haavard Nord (CEO de Trolltech) et Eirik Chambe-Eng (président de Trolltech) se rencontrent. En 1988, Haavard Nord est chargé par une entreprise suédoise de développer une bibliothèque logicielle en C++ pour gérer une interface graphique, c'est la première fois qu'il commence à aborder le sujet. Deux ans plus tard, avec Chambe-Eng, ils développent une application multiplateforme (Unix, Macintosh et Windows) et commencent sérieusement à réfléchir à la conception d'une bibliothèque graphique multiplateforme généraliste.


title: Qt

text: En 1991, ils entament le développement de cette bibliothèque. L'année suivante, Chambe-Eng propose le principe des « signaux et slots », qui devient la pierre angulaire de Qt. Et en 1993, le noyau de Qt est prêt et permet aux informaticiens de développer leurs propres composants graphiques. C'est à la fin de cette année que Haavard Nord propose de créer une entreprise pour commercialiser leur bibliothèque.


title: Qt

text: "Quasar Technologies" est créé le et renommé six mois plus tard en Troll Tech, puis Trolltech, puis Qt Software et enfin Qt Development Frameworks. Les débuts sont particulièrement difficiles financièrement. Mais ils ont la chance d'être mariés : leurs femmes subviennent à leurs besoins.


title: Qt

text: Le projet a été nommé "Qt" parce que le caractère "Q" était joli dans l'écriture Emacs de Haavard, et le "t" provient de . Le tout se prononçant en anglais , ce qui signifie « mignon ». Le "t" étant minuscule, ne pas prononcer "" () : ce n'est pas un sigle (QT).


title: Qt

text: C'est en que Trolltech a son premier client, l'entreprise norvégienne Metis. Et durant presque un an, elle n'en a pas d'autre, rendant l'entreprise très fragile financièrement. Son second client, l'Agence spatiale européenne (ESA), lui achète dix licences en .


title: Qt

text: Le est annoncée la première version publique de Qt sur le newsgroup comp.os.linux.announce. Et un an plus tard la version 0.97, puis le la version 1.0 est publiée et annoncée quelques jours plus tard.


title: Qt

text: C'est en 1997 que le projet KDE est lancé par Matthias Ettrich (qui est embauché par Trolltech l'année suivante). Ce dernier prend la décision d'utiliser Qt comme bibliothèque de base. Le fait qu'un projet de cette envergure utilise Qt sera une très bonne publicité pour Trolltech et sa bibliothèque. Depuis, les liens entre Trolltech et KDE n'ont fait que se renforcer.


title: Qt

text: La seconde version majeure de Qt est publiée en et une version pour les systèmes embarqués, "Qt/Embedded", connue depuis sous le nom de Qtopia, est publiée en 2000. Cette dernière version est conçue pour Linux et utilise directement son "framebuffer", sans passer par le système de fenêtrage X11 (qui est inadapté pour les systèmes embarqués).


title: Qt

text: Les deux premières versions majeures de Qt sont disponibles uniquement pour X11 et Windows, la prise en charge de Mac OS X arrive avec la version 3.0, publiée en 2001. Par rapport à la version 2.0, cette nouvelle version apporte une meilleure prise en charge de l'internationalisation, de l'Unicode ou encore des expressions rationnelles comme en Perl.


title: Qt

text: Le , la version 4 est publiée et améliore notamment le moteur de rendu, désormais appelé "Arthur", la séparation entre données et présentation et sépare la bibliothèque en modules : À cela s'ajoute pour la version commerciale sous Windows deux autres modules liés à l'utilisation d'ActiveX : "QAxContainer" et "QAxServer".


title: Qt

text: Avec l'évolution de Qt 4, d'autres modules sont conçus :


title: Qt

text: Le , Nokia lance une OPA amicale pour racheter Qt et Trolltech. Trolltech, renommé en Qt Software, devient une division de Nokia. Dès lors, Nokia prend la décision en d'abaisser le maximum de barrières pour faciliter l'adoption de Qt, qui depuis est utilisé par leurs développements en interne :


title: Qt

text: Nokia se recentrant sur Windows, elle cède en l'activité services et gestion des licences commerciales de Qt à la société Digia . Le , elle cède intégralement la gestion du framework Qt à Digia pour une somme de (à comparer aux de 2008). Digia annonce vouloir étendre l'intégration de Qt à Android, iOS et Windows 8.


title: Qt

text: Qt 5.0 est sorti le . Bien que marquant des changements majeurs sur bien des points (rôle important de QML et de JavaScript pour la création des interfaces graphiques avec Qt Quick, séparation en modules indépendants pour faciliter les livraisons, couche d'abstraction pour faciliter les portages, etc.), le passage à Qt5 casse au minimum la compatibilité au niveau des sources. De cette façon, le passage est bien plus facile que pour Qt4.


title: Qt

text: Les versions Qt 5.x utilisent des " nécessaires au déploiement du programme.


title: Qt

text: Qt Quick est un framework libre développé et maintenu par Digia faisant partie de la bibliothèque Qt. Il fournit la possibilité de créer des interfaces utilisateur personnalisables et dynamiques avec des effets de transition fluides de manière déclarative. Ce type d'interface dynamique est de plus en plus commun, notamment sur les smartphones. Qt Quick inclut un langage de script déclaratif appelé QML comparable au XAML créé par Microsoft pour sa bibliothèque WPF.


title: Qt

text: Qt Quick et QML sont officiellement fournis depuis Qt 4.7 (avec Qt Creator 2.1).


title: Qt

text: Le projet d'environnement graphique KDE a dès le début utilisé la bibliothèque Qt. Mais avec le succès de cet environnement, une certaine partie de la communauté du logiciel libre a critiqué la licence de Qt qui était propriétaire et incompatible avec la GNU GPL utilisée par KDE. Ce problème fut résolu par la société Trolltech qui mit les versions GNU/Linux et UNIX de Qt sous licence GNU GPL lorsque l'application développée était également sous GNU GPL. Pour le reste, c'est la licence commerciale qui entre en application. Cette politique de double licence a été appliquée uniquement pour GNU/Linux et UNIX dans un premier temps, mais depuis la version 4.0 de Qt, elle est appliquée pour tous les systèmes.


title: Qt

text: Créée en juin 1998, la fondation " est chargée de s'assurer de la disponibilité de Qt pour le développement de logiciels libres. Dans le cadre d'un accord avec Trolltech, cette fondation a le droit de diffuser Qt sous une licence de style BSD dans le cas où Trolltech cesserait le développement de la version libre pour diverses raisons, y compris un dépôt de bilan. Le rachat de Trolltech par Nokia le ne remet pas en cause la politique de double licence, l'entreprise finlandaise soutient même KDE.


title: Qt

text: Le , Trolltech annonce que la version 3 et 4 de Qt sont à partir de cette date sous licence GPLv2 et GPLv3. Ce changement de version ne s'applique que pour les versions libres de Qt. Ainsi la version 3 de Qt pour Windows, qui n'est pas libre, ne voit pas sa licence changer. Ce changement s'inscrit dans le désir de KDE de passer également en version 3 de la GPL, en plus de la version 2 déjà utilisée.


title: Qt

text: Un an plus tard, le , Trolltech annonce qu'à partir de Qt 4.5, Qt sera également disponible sous licence LGPL v2.1. Cette nouvelle licence permet ainsi des développements de logiciels propriétaires, sans nécessiter l'achat d'une licence commerciale auprès de Qt Development Frameworks. Ce changement, voulu par Nokia pour faire en sorte que Qt soit utilisé par un maximum de projets, est rendu possible par le fait que Nokia peut se passer des ventes des licences commerciales, contrairement à Trolltech qui ne pouvait pas se priver de cette source de revenus.


title: Qt

text: L'API Qt est constituée de classes aux noms préfixés par "Q" et dont chaque mot commence par une majuscule (ex: codice_1), c'est la typographie "camel case". Ces classes ont souvent pour attributs des types énumérés déclarés dans l'espace de nommage codice_2. Mis à part une architecture en pur objet, certaines fonctionnalités basiques sont implémentées par des macros (chaîne de caractères à traduire avec codice_3, affichage sur la sortie standard avec codice_4…).


title: Qt

text: Les conventions de nommage des méthodes sont assez semblables à celles de Java : le "lower camel case" est utilisé, c'est-à-dire que tous les mots sauf le premier prennent une majuscule (ex: codice_5), les modificateurs sont précédés par codice_6, en revanche les accesseurs prennent simplement le nom de l'attribut (ex : codice_7) ou commencent par codice_8 dans le cas des booléens (ex : codice_9).


title: Qt

text: Les objets Qt (ceux héritant de codice_10) peuvent s'organiser d'eux-mêmes sous forme d'arbre. Ainsi, lorsqu'une classe est instanciée, on peut lui définir un objet parent. Cette organisation des objets sous forme d'arbre facilite la gestion de la mémoire car avant qu'un objet parent ne soit détruit, Qt appelle récursivement le destructeur de tous les enfants .


title: Qt

text: Cette notion d'arbre des objets permet également de débugger plus facilement, "via" l'appel de méthodes comme codice_11 et codice_12 .


title: Qt

text: Le "moc" (pour "") est un préprocesseur qui, appliqué avant compilation du code source d'un programme Qt, génère des "meta-informations" relatives aux classes utilisées dans le programme. Ces meta-informations sont ensuite utilisées par Qt pour fournir des fonctions non disponibles en C++, comme les signaux et slots et l'introspection.


title: Qt

text: L'utilisation d'un tel outil additionnel démarque les programmes Qt du langage C++ standard. Ce fonctionnement est vu par Qt Development Frameworks comme un compromis nécessaire pour fournir l'introspection et les mécanismes de signaux. À la sortie de Qt 1.x, les implémentations des templates par les compilateurs C++ n'étaient pas suffisamment homogènes.