title: Metallica

text: Lars Ulrich explique dans une entrevue que , et que ce dernier devrait paraître en 2015. Kirk Hammett et Robert Trujillo confirment l'intention du groupe de retourner en studio. Au second concert d'Orion Music + More qui se déroule à Détroit, le groupe joue sous le faux-nom de . est un nom inspiré de Dane DeHaan, qui a joué dans ' (2013). Ils jouent leur premier album ' dans son intégralité, pour célébrer le de l'album. Le , le groupe joue en Antarctique dans un show qu'ils nomment "Antarctica: Freeze 'Em All" ; le groupe devient ainsi le premier au monde à avoir joué sur les sept continents. La prestation est filmée puis commercialisée dans un album live le même mois et est reconnue en par le Guinness World Record. En 2014, Metallica organise une tournée mondiale, appelée "Metallica by request", dans laquelle le groupe demande via les réseaux sociaux à ses fans les musiques qu'ils aimeraient entendre. Le , le groupe est invité à se produire pour la cérémonie de clôture de la BlizzCon 2014. En , Metallica se produit pour une dernière fois le dans le mythique Colisée Pepsi de Québec, ce qui clôt 26 ans et 8 spectacles dans le Colisée. Deux jours plus tard, soit le , ils ont été le premier groupe à jouer dans le Centre Vidéotron, accueillis par 20000 spectateurs.


title: Metallica

text: À la suite des attentats du 13 novembre à Paris, Metallica choisit de rendre hommage aux victimes, annonçant le la sortie d'un album live, enregistré en 2003 dans la salle de concert du Bataclan.


title: Metallica

text: Avec pour titre "", en hommage à la devise française « Liberté, Égalité, Fraternité », ce disque de Metallica sortira le pour coïncider avec le "Disquaire Day", la journée internationale des disquaires indépendants parrainée cette année par le groupe. L'album regroupera les enregistrements de neuf chansons que le groupe avait jouées au Bataclan le lors d'une journée exceptionnelle de concerts à Paris. Les recettes de l'album iront à « Give for France », une initiative internationale de levée de fonds proposée par la Fondation de France en faveur des familles des morts et des blessés des attentats.


title: Metallica

text: Le , le groupe sort un double-album intitulé "Hardwired… to Self-Destruct". La sortie est précédée par la publication sur internet de clips vidéo pour chacun des morceaux de l'album. Metallica enregistre aussi le un mini-concert pour l'émission "Le Grand Journal". En , Metallica est récompensé par le prix Polar Music.


title: Metallica

text: Durant sa tournée en Europe en 2019, Metallica sera accompagné des groupes Ghost et Bokassa. Metallica fait des concerts depuis le . Metallica a composé l'album Hardwired To Self - Destruct. Une action forte en émotions pour la Roumanie, Metallica a fait un don pour la construction du premier hôpital spécialisé en cancérologie dans le pays.


title: Metallica

text: Fin 2019, Metallica annule sa tournée en Australie et en Nouvelle-Zélande. James Hetfield retourne en cure de désintoxication pour combattre ses dépendances.


title: Metallica

text: En septembre 2019, afin de souligner les vingt ans du spectacle avec l’Orchestre symphonique de San Francisco, le groupe répète l'expérience tout en inaugurant le Chase Center – le nouvel amphithéâtre de 18 064 places de San Francisco. Accompagné de près de 80 musiciens avec et d'une apparition spéciale du légendaire chef d’orchestre Michael Tilson Thomas, les membres du quatuor jouent durant plus de deux heures et demi. Le tout est immortalisé par un film et un disque, qui sort le via la maison de disque du groupe, Blackened Recordings.


title: Metallica

text: Metallica est influencé par les premiers groupes et musiciens de heavy metal et de hard rock comme Black Sabbath, Deep Purple, Led Zeppelin, Queen, Ted Nugent, AC/DC, Rush, Aerosmith, et Scorpions, des groupes de la New wave of British heavy metal comme Venom, Motörhead, Diamond Head, Judas Priest, et Iron Maiden, et des groupes de punk rock comme The Ramones, les Sex Pistols, et The Misfits ainsi que The Stranglers.


title: Metallica

text: Metallica utilise la musique "The Ecstasy of Gold" d'Ennio Morricone comme introduction à ses concerts. Cette musique est présente dans la scène mythique du film "Le Bon, la Brute et le Truand", lors de la course du cimetière.


title: Metallica

text: Les premières chansons de Metallica contiennent un tempo rapide, des solos harmoniques et des instrumentaux de 9 minutes. Steve Huey, du site AllMusic, explique que la chanson ' met en valeur Huey estime que Metallica a revu sa technique de composition, devenue plus agressive, abordant des sujets plus personnels et socialement responsables. Les thèmes explorés sur ' incluent les leaders religieux et militaires, la rage, la folie, les monstres, et les drogues.


title: Kimi ga yo

text: Parmi tous les hymnes nationaux du monde, le texte de celui du Japon, "Kimi ga yo", un poème de la forme "tanka", est le plus ancien ; il est extrait d'une anthologie de poésie datant du . D'auteur inconnu, il est aussi l'un des plus courts, avec les hymnes de la Jordanie et de Saint-Marin. À partir du , "Kimi ga yo" devient une proclamation solennelle, pouvant se traduire par une formule exprimant la révérence due au pouvoir impérial, telle que « longue vie à l'empereur ; gloire à son règne ».


title: Kimi ga yo

text: Bien que joué depuis la restauration de Meiji en tant qu'hymne national, et récité depuis des temps très anciens lors d'événements importants, "Kimi ga yo" n'est devenu officiellement l'hymne national du Japon que le (promulgation de la « loi sur le drapeau national et l'hymne national »), en même temps que le "Hinomaru" devenait le drapeau officiel du Japon.


title: Kimi ga yo

text: Les paroles de ce "waka" sont apparues pour la première fois dans un recueil de poème, le Kokin wakashū, comme un poème anonyme. Vers 1869, au tout début de l'ère Meiji, John William Fenton, un chef d'orchestre militaire en visite dans le pays recommanda à Iwao Ōyama, un officier du clan Satsuma, de choisir un hymne national pour le Japon, car le pays en était alors dépourvu. Ōyama approuva l'idée et choisit le "waka" pour les paroles du futur hymne. Fenton composa ainsi une première mélodie pour l'hymne nippon mais celle-ci fut rapidement écartée car elle manquait de solennité. Une seconde version, définitive, fut composée par Hayashi Hiromori et jouée la première fois lors de l'anniversaire de l'empereur Meiji, le .


title: Kimi ga yo

text: À l'issue de la Seconde Guerre mondiale, le camp des vaincus inclut le Japon. Sous le commandement du général Douglas MacArthur, les Alliés de la Seconde Guerre mondiale s'installent sur le sol nippon. Dans le cadre de sa politique de démocratisation du pays, l'administration du Commandement suprême des forces alliées s'applique à effacer des tables de la loi la mystique nationaliste centrée sur la nature supposée divine de l'empereur du Japon qui prévaut depuis l'ère Meiji (1868 - 1912). L'usage de l'hymne national est alors interdit dans tout l'archipel japonais. Cependant, dès la fin de l'occupation, en 1952, il est réactivé. À partir de 1958, notamment, le ministère de l'Éducation impose aux enseignants de faire chanter "Kimi ga yo" lors des cérémonies scolaires. Une mesure qu'il renforce en 1989, malgré les diverses oppositions émanant de la société civile.


title: Kimi ga yo

text: À l'occasion de la reconnaissance officielle de l'hymne national en 1999, le Premier ministre Keizō Obuchi a précisé le sens à donner à cet hymne, car la vénération de l'empereur en vigueur au Japon dans les années précédant la Seconde Guerre mondiale et durant le conflit (période durant laquelle le "Kimi ga yo" devint "de facto" l'hymne national nippon), est associée à la militarisation expansionniste de l'archipel à cette époque et n'est plus à l'ordre du jour dans le Japon de la fin du :


title: Rayonnement électromagnétique

text: Le rayonnement électromagnétique est une forme de transfert d'énergie linéaire. La lumière visible est un rayonnement électromagnétique, mais ne constitue qu'une petite tranche du large spectre électromagnétique. La propagation de ce rayonnement, d'une ou plusieurs particules, donne lieu à de nombreux phénomènes comme l'atténuation, l'absorption, la diffraction et la réfraction, le décalage vers le rouge, les interférences, les échos, les parasites électromagnétiques et les effets biologiques.


title: Rayonnement électromagnétique

text: Le rayonnement électromagnétique peut être décrit de manière corpusculaire comme la propagation de photons (boson vecteur de l'interaction électromagnétique), ou de manière ondulatoire comme une onde électromagnétique. Il se manifeste sous la forme d'un champ électrique couplé à un champ magnétique.


title: Rayonnement électromagnétique

text: La lumière est un rayonnement électromagnétique visible par l'œil humain. Les ondes radio, les rayons X et γ sont également des rayonnements électromagnétiques.


title: Rayonnement électromagnétique

text: Du fait de la dualité onde-corpuscule, les rayonnements électromagnétiques peuvent se modéliser de deux manières complémentaires : L'impulsion formula_5 du photon est égale à formula_6.


title: Rayonnement électromagnétique

text: L'énergie des photons d'une onde électromagnétique se conserve lors de la traversée de différents milieux transparents (par contre, une certaine proportion de photons peut être absorbée).


title: Rayonnement électromagnétique

text: Dans le vide, le rayonnement électromagnétique, en particulier la lumière, se déplace à la vitesse de par seconde. Cette vitesse, appelée "vitesse de la lumière" et notée "c", est une des constantes physiques fondamentales.


title: Rayonnement électromagnétique

text: La longueur d'onde est alors égale à :


title: Rayonnement électromagnétique

text: formula_8 étant la vitesse de la lumière dans le milieu considéré pour la fréquence formula_2, avec formula_10  (formula_11 étant l'indice de réfraction de la lumière monochromatique de fréquence formula_2 dans le milieu considéré).


title: Rayonnement électromagnétique

text: La constatation, à la fin du , que la vitesse de la lumière dans le vide ne dépend pas du référentiel a conduit à l'élaboration de la théorie de la relativité restreinte.Un spectre électromagnétique est la décomposition d'un rayonnement électromagnétique en fonction de sa longueur d'onde, ou, de manière équivalente, de sa fréquence (via l'équation de propagation) ou de l'énergie de ses photons.


title: Rayonnement électromagnétique

text: Pour des raisons historiques, les ondes électromagnétiques sont désignées par différents termes, en fonction des gammes de fréquence (ou de longueur d'onde). Par longueur d'onde décroissante, ce sont :


title: Suite de Fibonacci

text: En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Elle commence par les termes 0 et 1 si on part de l'indice 0, ou par 1 et 1 si on part de l'indice 1.


title: Suite de Fibonacci

text: Notée formula_1, elle est donc définie par formula_2, et formula_3 pour formula_4.


title: Suite de Fibonacci

text: Les termes de cette suite sont appelés "nombres de Fibonacci" et forment la :


title: Suite de Fibonacci

text: Cette suite est liée au nombre d'or, formula_5 (phi) : ce nombre intervient dans l'expression du terme général de la suite. Inversement, la suite de Fibonacci intervient dans l'écriture des réduites de l'expression de formula_5 en fraction continue : les quotients de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci sont les meilleures approximations du nombre d'or.


title: Suite de Fibonacci

text: Dans la branche des mathématiques concernant la combinatoire, les mathématiciens indiens s'intéressent à des problèmes de lexicographie et de métrique. Le est composé de syllabes pouvant être brèves (longueur un mātrā) ou longues (longueur deux mātrās). La question est de savoir comment peuvent s'alterner les brèves (C) et les longues (L) dans un vers de n mātrās. Ce problème apparaît très tôt en Inde, sous le nom "maatraameru" (montagne de cadence), dans le travail du grammairien de sanskrit Pingala, le "Chhandah-shastra", (l'art de la Prosodie), 450 ou 200 av. J.-C.). Le mathématicien indien en a donné des règles explicites au . Le philosophe indien Acharya Hemachandra (c. 1150) (et aussi Gopala, c. 1135) ont revisité le problème de manière assez détaillée.


title: Suite de Fibonacci

text: Si la voyelle longue est deux fois plus longue que la courte, les solutions sont, en fonction de la longueur totale de la cadence : Le nombre de cadences fait apparaître les termes de la suite de Fibonacci. En effet, une cadence de longueur "n" peut être constituée en ajoutant C à une cadence de longueur "n" – 1, ou L à une cadence de longueur "n" – 2. Ainsi, le nombre de cadences de longueur "n" est la somme des deux nombres précédents de la suite.


title: Suite de Fibonacci

text: Si on note "S", le nombre de manière d'alterner les brèves et les longues dans un vers de "n" mātrās, cette remarque conduit naturellement à la relation de récurrence suivante :


title: Suite de Fibonacci

text: formule explicitement donnée dans l’œuvre de Virahanka.


title: Suite de Fibonacci

text: La suite doit son nom à Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans l'ouvrage "Liber abaci" publié en 1202, décrit la croissance d'une population de lapins :


title: Suite de Fibonacci

text: Le problème de Fibonacci est à l'origine de la suite dont le -ième terme correspond au nombre de paires de lapins au -ième mois. Dans cette population idéale, on suppose que :


title: Suite de Fibonacci

text: Notons formula_7 le nombre de couples de lapins au début du mois . Jusqu’à la fin du deuxième mois, la population se limite à un couple (ce qu'on note : formula_8).


title: Suite de Fibonacci

text: Dès le début du troisième mois, le couple de lapins a deux mois et il engendre un autre couple de lapins ; on note alors formula_9.


title: Suite de Fibonacci

text: Plaçons-nous maintenant au mois et cherchons à exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard, soit au mois : les formula_10 couples de lapins sont formés des formula_11 couples du mois précédent et des couples nouvellement engendrés.


title: Suite de Fibonacci

text: Or, n'engendrent au mois que les couples pubères, c'est-à-dire ceux qui existent deux mois auparavant, qui sont en nombre formula_12 . On a donc, pour tout entier strictement positif : formula_13 On choisit alors de poser formula_14, de manière que cette relation soit encore vérifiée pour .


title: Suite de Fibonacci

text: On obtient ainsi la "forme récurrente" de la suite de Fibonacci : "chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents" ; pour obtenir chacun de ces deux termes, il faut faire la somme de leurs termes précédents… et ainsi de suite, jusqu'à ce que ces deux termes soient les deux termes initiaux, formula_15 et formula_16, qui sont connus.


title: Suite de Fibonacci

text: Le calcul du -ième terme de la suite de Fibonacci via la formule de récurrence requiert le calcul des termes précédents. Au contraire, une expression "fonctionnelle" de la suite de Fibonacci est une expression où le calcul du -ième terme ne présuppose pas la connaissance des termes précédents. Binet a redécouvert une formule en 1843, qui avait déjà été obtenue par de Moivre en 1718 et par Euler en 1765. Cette expression fonctionnelle s'appelle la "formule de Binet :"


title: Suite de Fibonacci

text: Quand tend vers , formula_7 est équivalent à formula_18. Plus précisément, tend vers l'infini et tend vers zéro car formula_19.


title: Suite de Fibonacci

text: En fait, dès le rang , le deuxième terme formula_20 est assez petit pour que les nombres de Fibonacci puissent être obtenus uniquement à partir du premier terme :


title: Suite de Fibonacci

text: Il existe d'autres démonstrations de la formule de Binet, telles que la transformation en Z et la technique des fonctions génératrices.


title: Suite de Fibonacci

text: Remarquons qu'une fois découverte, cette formule se démontre aussi par récurrence (y compris pour entier négatif).


title: Suite de Fibonacci

text: La suite est étendue aux indices négatifs et Knuth parle de nombres de "negafibonacci". La formule de récurrence les définit aussi de proche en proche :Ainsi, autour de 0, la suite est : On remarque, sur ces premières valeurs, que ou plus synthétiquement :formula_25.On peut le démontrer pour tout entier , par la formule de Binet ci-dessus, ou directement par récurrence.


title: Suite de Fibonacci

text: De la relation évidente formula_26, on déduit formula_27 et formula_28; ceci permet d'écrire la forme matricielle :En appliquant le déterminant, on obtient simplement la relation (voir plus loin) : formula_29.


title: Suite de Fibonacci

text: Et en calculant de deux façons formula_30, on obtient : formula_31.


title: Suite de Fibonacci

text: En développant par rapport à la première colonne le déterminant d'ordre "n :" formula_32, on obtient formula_33 ; comme formula_34, si formula_35, on obtient : formula_36 d'où, pour formula_4 : 1 & i & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ i & 1 & i& 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 1 & i & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & i & 1 & i \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & i & 1 \\


title: Suite de Fibonacci

text: Comme l'avait déjà remarqué Johannes Kepler, le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c'est-à-dire formula_38, converge vers le nombre d'or .


title: Suite de Fibonacci

text: En effet, puisque la suite formula_7 est équivalente à formula_18 (cf. supra, section Expression fonctionnelle), la suite formula_38 est équivalente à formula_42, qui est donc sa limite.


title: Suite de Fibonacci

text: En fait plus généralement, toutes les suites vérifiant la même relation de récurrence que la suite de Fibonacci (cf. infra, section Suites de Fibonacci généralisées) satisfont cette propriété, sauf celles commençant par et . Le calcul des nombres de Fibonacci est souvent donné en exemple pour introduire des notions d'algorithmique, comme dans le chapitre 0 du livre "Algorithms" de Dasgupta ou alors dans le problème 31.3 laissé en exercice dans Introduction à l'algorithmique de Cormen ou l'exercice 2 de la section 1.2.8 de "TAOCP", qui est précisément consacrée aux nombres de Fibonacci.


title: Suite de Fibonacci

text: Calculer les nombres de Fibonacci à partir du nombre d'or est une possibilité très pratique. Néanmoins, la précision de calcul de la racine carrée génère des erreurs d'arrondis pour des valeurs assez grandes dépendant du système utilisé. En général, on obtient les bonnes valeurs jusqu’à formula_55 = , sur ordinateur ou sur calculatrice.


title: Suite de Fibonacci

text: Notons qu’au-delà de formula_56, les calculs dépassent les possibilités de calcul en notation entière, et sont alors représentés en notation scientifique. Les premiers chiffres significatifs sont alors de nouveau bien représentés par cette formule.


title: Suite de Fibonacci

text: Détail d’un exemple d'application faisable à partir d'une calculatrice : calcul de formula_57.


title: Suite de Fibonacci

text: Le nombre d’or vaut formula_58 et d'après la formule de Binet, formula_57 est l'entier le plus proche du réel formula_60, qui le dépasse à peine. Compte tenu de l'ordre de grandeur de ce réel, le théorème des accroissements finis permet de s'assurer que pour le calculer à 0,5 près par défaut, est une approximation suffisante de .


title: Suite de Fibonacci

text: On trouve que le réel ()/ est à peine inférieur à l'entier , d'où


title: Suite de Fibonacci

text: si bien que


title: Suite de Fibonacci

text: Voici la mise en œuvre récursive naïve qui suit la définition de la suite de Fibonacci.


title: Suite de Fibonacci

text: Ce n'est cependant pas une façon judicieuse de calculer la suite de Fibonacci, car on calcule de nombreuses fois les mêmes valeurs. Le temps de calcul est exponentiel en , à moins d'employer une technique de mémoïsation.


title: Suite de Fibonacci

text: On calcule le -ième terme de la suite de Fibonacci en mémorisant deux termes consécutifs de la suite. On commence avec les deux premières valeurs et , puis on remplace répétitivement le premier nombre par le second, et le second nombre par la somme des deux.


title: Suite de Fibonacci

text: L'algorithme réalise additions. On peut montrer que le -ième terme de la suite de Fibonacci s'écrit avec bits. Comme l'addition de deux nombres sur bits est linéaire en , l'algorithme est en . De manière équivalente à l'algorithme ci-dessus, on peut écrire une fonction récursive terminale, c'est-à-dire où la dernière opération effectuée par la fonction est un appel récursif. Voici un algorithme récursif terminal pour calculer la suite de Fibonacci.


title: Suite de Fibonacci

text: L'appel à fib(n, 0, 1) lance le calcul pour la valeur de codice_1 donnée. Les paramètres a et b sont des accumulateurs : la valeur de a est "F" et celle de b est "F". Le temps de calcul est à chaque fois proportionnel à Par contre, l'espace mémoire occupé n'est "a priori" plus constant. Pour les langages qui réalisent l'optimisation d'élimination de la récursivité terminale, la mémoire occupée est constante.


title: Suite de Fibonacci

text: En Haskell, on peut définir la suite de Fibonacci comme un stream (une liste infinie qui est évaluée de façon paresseuse).


title: Suite de Fibonacci

text: Le calcul du "n"-ième terme s'effectue avec :


title: Suite de Fibonacci

text: Comme vu ci-dessus,formula_63, on écrit un algorithme qui utilise l'exponentiation rapide pour calculer formula_64, afin d'en déduire le "n"-ième terme. Si on considère les additions et multiplications de nombres comme des opérations élémentaires, en coût constant, l'algorithme est logarithmique en "n". En comptabilisant la complexité des additions et multiplications, on peut montrer que la complexité de cet algorithme est en O(M("n") log "n"), et même O(M("n")), où M("n") est la complexité de l'algorithme utilisée pour réaliser une multiplication de deux nombres sur "n" bits (voir exercice 0.4 dans ).


title: Suite de Fibonacci

text: Le programme FRACTRAN défini par la liste de fractions [23/95, 57/23, 17/39, 130/17, 11/14, 35/11, 19/13, 1/19, 35/2, 13/7, 7] et appliqué à l'entier 3 génère une suite qui contient tous les termes de la forme , où et sont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci.


title: Suite de Fibonacci

text: La série génératrice de la suite de Fibonacci donne une série entière dont le rayon de convergence vaut 1/ (d'après le théorème de Cauchy-Hadamard ou plus simplement, la règle de d'Alembert). Pour tout complexe "z" de module strictement inférieur à , la série correspondante (absolument convergente) est égale à


title: Suite de Fibonacci

text: (donc à formula_65, où les coefficients binomiaux formula_66 sont nuls pour ).


title: Suite de Fibonacci

text: En particulier, pour tout réel ,


title: Suite de Fibonacci

text: La suite de Fibonacci présente de remarquables propriétés. En voici quelques-unes, démontrées le plus souvent à partir de la formule de Binet ou par récurrence (pour certaines, on peut aussi utiliser le calcul matriciel et les identités données au paragraphe). Nous donnons également quelques propriétés liant la suite de Fibonacci et la suite des nombres de Lucas formula_67 définie par la même relation de récurrence mais avec pour initialisation formula_68 et formula_69, et pour laquelle l'analogue de la formule de Binet est : formula_70.


title: Suite de Fibonacci

text: Par une récurrence immédiate sur formula_71, formula_11 est égal au nombre de suites finies d'entiers égaux à 1 ou 2 dont la somme est égale à . (On peut donc l'interpréter comme le nombre de façons différentes de paver un rectangle 2×"N" au moyen de dominos 2×1.)


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 1 : formula_73, ou encore : formula_74.


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 2 : formula_75.


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 3 : formula_76.


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 4 : formula_77.


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 5 : formula_78 (identité de Catalan) et formula_79 (identité de Cassini).


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 6 : La suite de Fibonacci est à divisibilité faible : formula_82.


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 7 : Pour tout entier naturel différent de 4, si formula_7 est premier, alors est premier.


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 8 : La suite de Fibonacci est même à divisibilité forte : formula_89, où ∧ désigne le PGCD de nombres entiers. Propriété 9 : formula_92. En particulier :


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 10 : formula_94.


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 11 : formula_95. Propriété 12 : formula_96 (somme finie car les coefficients binomiaux formula_97 sont nuls si ou si ).


title: Suite de Fibonacci

text: Cette propriété se déduit immédiatement de l'expression de la série génératrice . On peut aussi la démontrer par une récurrence d'ordre 2 sur :


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 13 : formula_110.


title: Suite de Fibonacci

text: Cette propriété découle du développement binomial de la formule de Binet ; on a d'ailleurs une formule analogue pour les nombres de Lucas : formula_111.


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 14 : La suite formula_112 définie par formula_113 vérifie(d'après la relation de récurrence sur les formula_7 et l'identité de Cassini vue en propriété 5).


title: Suite de Fibonacci

text: Propriété 15 : La factorisation des polynômes de Fibonacci permet d'exprimer les formula_115 (pour ) sous forme de produits trigonométriques :


title: Suite de Fibonacci

text: Une première approche de la question de la divisibilité de formula_7 par un entier "a" consiste à étudier la suite des restes de formula_7 modulo "a" : cette suite ("r") vérifie (dans Z/"aZ) la même récurrence et est donc périodique de période au plus "a" (les longueurs des périodes en fonction de "a" forment la suite des périodes de Pisano, ) ; on en déduit que pour tout "a", il existe inférieur ou égal à "a" tel que formula_7 (et donc formula_119) soit divisible par "a". Plus précisément, l'étude de cette récurrence dans le corps Z/"pZ (où "p" est un nombre premier) amène à des formules analogues à la formule de Binet, d'où l'on déduit finalement (selon que 5 est ou n'est pas un carré modulo "p" ; voir la loi de réciprocité quadratique) que formula_120 est divisible par 5, et que si "p" est premier autre que 5, formula_121 est divisible par "p" si "p" est de la forme 5"m" + 1 ou 5"m" + 4, et formula_122 est divisible par "p" sinon. Des résultats plus précis peuvent d'ailleurs être obtenus ; ainsi, dans le premier cas, formula_123 est divisible par "p" si ("p" – 1)/2 est pair. Enfin, si "p" > 2 est premier et divise formula_7, "p" divise formula_125, et 2 divise formula_126 (si "k">1) ; ces derniers résultats sont des conséquences du lemme de Hensel ; les mêmes méthodes permettent d'obtenir des résultats analogues pour les nombres de Lucas.


title: Suite de Fibonacci

text: On découvre au fil des ans des nombres de Fibonacci premiers de plus en plus grands, mais on ignore toujours s'il en existe une infinité.


title: Suite de Fibonacci

text: Tout entier positif se décompose de manière unique en la somme de nombres de Fibonacci d'indice supérieur ou égal à 2, les indices successifs de ces nombres ayant une différence supérieure ou égale à 2 lorsqu'ils sont rangés dans l'ordre. Il existe plusieurs généralisations de la suite de Fibonacci : modifier les valeurs initiales, modifier les coefficients de la relation de récurrence ou modifier le nombre de termes (ou ordre) de la relation de récurrence. Si on modifie tout à la fois (initialisation, récurrence, ordre) on arrive à l'ensemble général des suites à récurrence linéaire. Un bon nombre de propriétés se généralisent au cas où le polynôme minimal de la suite récurrente linéaire définit un nombre de Pisot. Ces propriétés ont été étudiées en lien avec la théorie des automates finis (sur les mots finis et les mots infinis) dans la thèse d'État de Christiane Frougny sur la représentation des entiers et des réels en base Pisot, sur une suggestion de Marcel-Paul Schützenberger.


title: Suite de Fibonacci

text: On appelle suite de Fibonacci généralisée toute suite définie par la même relation de récurrence que la suite de Fibonacci, mais dont les termes initiaux sont différents de 0 et 1. Sur le modèle de la démonstration donnée plus haut (voir section Expression fonctionnelle), une telle suite est encore de la forme où est le nombre d'or et formula_135. Elle est donc équivalente à , sauf si (ce qui ne se produit que si formula_136), si bien que (comme la suite des quotients de la suite de Fibonacci) la suite formula_137 converge vers .


title: Suite de Fibonacci

text: Parmi ces suites de nombres, il faut signaler les nombres de Lucas obtenus en choisissant comme initialisation : formula_68 et formula_139. Cela donne la suite 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,… On trouve parfois une initialisation formula_140 et formula_141 qui ne consiste qu'à décaler la suite d'un rang. Ces nombres interviennent dans la résolution d'équations diophantiennes. Ils sont très liés à la suite de Fibonacci par la relation suivante : formula_142 pour tout entier (voir Propriétés, "Propriété 9").


title: Suite de Fibonacci

text: Ce sont les suites où la relation de récurrence a changé : elle est devenue  Elles sont de deux types, notés et , selon que l'initialisation est et ou qu'elle est et . La suite de Fibonacci et la suite des nombres de Lucas sont les suites et de Lucas de paramètres et .


title: Suite de Fibonacci

text: Ce sont des suites dont la relation de récurrence est d'ordre "k". Un terme est la somme des "k" termes qui le précèdent Parmi ces suites, on distingue la suite de Tribonacci (récurrence d'ordre 3) et la suite de Tetranacci (récurrence d'ordre 4). Selon ce nouveau classement de suites, la suite de Fibonacci est une suite de 2-bonacci.


title: Suite de Fibonacci

text: La suite de Fibonacci apparaît sous de nombreuses formes biologiques, comme la ramification des arbres, la disposition des feuilles sur une tige, les fruits de l'ananas, la floraison de l'artichaut, le déroulement des feuilles de fougères, la disposition d'une pomme de pin, la coquille de l’escargot et la disposition des nuages lors des ouragans. Quant aux marguerites, elles ont le plus souvent un nombre de pétales issu de la suite de Fibonacci.


title: Suite de Fibonacci

text: Chez les Astéracées, dans les inflorescences en capitule, la disposition des fleurons sur le réceptacle forme des spirales régulières, dextres et sénestres, qui suivent les règles de la phyllotaxie dans lesquelles on peut retrouver la suite de Fibonacci.


title: Suite de Fibonacci

text: Les abeilles domestiques ont une reproduction haplodiploïde : un œuf non fécondé donnera un mâle et un œuf fécondé donnera une ouvrière ou une reine. Ainsi, un mâle aura une mère, quand les ouvrières et reine auront une mère et un père. Par conséquent, le pedigree d'un mâle est constitué d'un parent, de deux grands-parents, de trois arrière-grands-parents, de cinq arrière-arrière-grands-parents, etc. ; il s'agit d'une suite de Fibonacci.


title: Suite de Fibonacci

text: Dans son tableau "Parade de cirque", peint en 1887-1888, Georges Seurat emploie les premiers termes de la suite : un personnage central, deux personnages à droite, trois musiciens, cinq banderoles ou cinq spectateurs en bas à gauche, huit à droite, treize en tout.Le Corbusier et son "Modulor", une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à l'Architecture et à la mécanique.


title: Suite de Fibonacci

text: Mario Merz, "Suite de Fibonacci", commande publique artistique, 1994, Strasbourg.


title: Suite de Fibonacci

text: Dans le jeu "", la suite de Fibonacci apparaît en tant que petite comptine chantée par la petite Sunny.


title: Suite de Fibonacci

text: Dans le jeu "Watch Dogs", la suite de Fibonacci est introduite dans l'algorithme de Bellwether, capable de transmettre un message subliminal à travers le système ctOS.


title: Suite de Fibonacci

text: Dans le jeu "Elite" sur BBC Micro, les développeurs ont utilisé la suite de Fibonacci pour permettre au jeu de tenir dans 22 ko. Le jeu génère donc aléatoirement la galaxie, mais il peut ensuite la générer exactement de la même façon lorsqu'une partie est sauvegardée puis rechargée.


title: Suite de Fibonacci

text: Le jeu de société « 4.6.Suite » (jeu de cartes) est basé sur les suites numériques et notamment sur les suites de Fibonacci.


title: Suite de Fibonacci

text: En méthodologie scrum, la suite de Fibonacci est utilisée pour chiffrer les développements lors du planning poker.


title: Suite de Fibonacci

text: La suite de Fibonacci peut servir à mémoriser des conversions de milles américains en kilomètres. En effet, formula_145, or le nombre d'or formula_146 et formula_147donc on peut utiliser la formule approchée : formula_148, éventuellement multipliée par une constante.


title: Suite de Fibonacci

text: Par exemple, formula_149 (en fait 4,8 km), donc formula_150, formula_151 donc formula_152 et formula_153, formula_154.


title: Neal Stephenson

text: Neal Town Stephenson, né le à Fort Meade dans le Maryland, est un auteur de science-fiction américain, plusieurs fois lauréat du prix Locus.


title: Neal Stephenson

text: Son œuvre associe sciences, technologies de l'information et histoire, encadrées par des récits relevant de la science-fiction ou de l'uchronie. Son travail est à ce titre souvent comparé à celui de Thomas Pynchon.


title: Neal Stephenson

text: Né à Fort Meade, Maryland (haut-lieu du renseignement avec les bureaux de la NSA et le musée national de cryptologie ("National Cryptologic Museum"), Neal Stephenson est le fils d'un professeur de génie électrique et le petit-fils d'un professeur de physique. Sa mère, fille d'un professeur de biochimie, fait également de la recherche dans ce domaine.


title: Neal Stephenson

text: La famille s'installe successivement à Champaign-Urbana, Illinois, en 1960 et à Ames, Iowa, en 1966, où il fait ses études secondaires jusqu'en 1977. C'est là qu'il fait ses premiers pas dans le domaine de la programmation, comme il le décrit dans son essai "In the Beginning was the Command Line". Il entre ensuite à l'université de Boston, où il étudie d'abord la physique, puis la géographie lorsqu'il découvre que cette matière lui donne plus facilement accès à l'ordinateur central de l'université. Il obtient en 1981 un B.A. de géographie avec un certificat de physique.


title: Neal Stephenson

text: Stephenson réside actuellement à Seattle avec sa femme et ses deux enfants. Il a également travaillé à mi-temps comme conseiller pour la société Blue Origin.


title: Neal Stephenson

text: Neal Stephenson a fondé en 2010 la Subutai Corporation dont Jeff Bezos était également partenaire. La première production de cette société a été un ensemble narratif initialement publié au format numérique sous la forme d'applications pour les plates-formes iOs et Android. En 2012, Subutai a également réuni 500.000$ via Kickstarter pour le projet "Clang", un jeu vidéo qui avait pour but de permettre le duel à l'épée virtuel dans des conditions les plus réalistes possibles. Ce projet faisait écho au roman de Neal Stephenson "Le Samouraï virtuel", dont le personnage principal Hiro Protagoniste, hacker ayant participé à la conception du Métavers, se présente comme le meilleur duelliste à l'épée du monde. En septembre 2014, la production s'arrêta par manque de moyens et le jeu n'est finalement jamais sorti.


title: Neal Stephenson

text: Le 16 décembre 2014, la société Magic Leap a publié un communiqué de presse indiquant l'embauche de Neal Stephenson en tant que ""Chief Futurist"" (littéralement "Futuriste en chef").


title: Neal Stephenson

text: Bien qu'il ait auparavant écrit des romans comme "Panique à l'université !" ou bien "Zodiac", c'est le roman "le Samouraï virtuel" qui l'a rendu célèbre dans les années 1990. Ce roman, à l'origine du terme postcyberpunk, aborde des sujets variés, comme le métavers, les mèmes, les virus informatiques et la mythologie sumérienne. Il a ensuite écrit "l'Âge de diamant", se situant dans un univers néo-victorien et steampunk où les nanotechnologies ont pris une place très importante dans la société.


title: Neal Stephenson

text: Depuis "l'Âge de diamant", qui annonce dès ses premières pages la fin définitive du mouvement cyberpunk, l'œuvre de Stephenson n'a cessé de s'éloigner de la science-fiction traditionnelle.


title: Neal Stephenson

text: Dans "Cryptonomicon", inspiré par l'œuvre de Georges Perec, Stephenson met en place une uchronie racontant en parallèle l'histoire de la cryptanalyse durant la Seconde Guerre mondiale et celle d'informaticiens voulant mettre en place un paradis de données.


title: Neal Stephenson

text: De 2003 à 2004, il publie "The Baroque Cycle" : une fresque monumentale de plus de pages qui retrace l'histoire secrète de la science au . Au travers de ce cycle, c'est le temps lui-même qui devient le théâtre d'une science-fiction à rebours, un espace chronologique et paradoxal, qui mêle aussi bien le fantastique, le roman dumasien que les théories de Fernand Braudel sur le « temps long ».


title: Neal Stephenson

text: Neal Stephenson a aussi coécrit deux romans sous le pseudonyme de Stephen Bury avec J. Frederick George.


title: Kimagure Orange Road

text: , typographié Kimagure Orange☆Road, est un manga romantique écrit et dessiné par Izumi Matsumoto. Il a été prépublié dans le magazine "Weekly Shōnen Jump" entre 1984 et 1987, et a été compilé en un total de . La version française est publiée par J'ai lu sous le titre Les Tribulations de Orange Road puis réédité sous le nom original par Tonkam à partir de .


title: Kimagure Orange Road

text: Le manga a également été adapté en anime, sous le nom de "Max et Compagnie" en France, ainsi qu'en films d'animation.


title: Kimagure Orange Road

text: La famille de Kyôsuke Kasuga (Maxime ou Max dans la version française) vient d'emménager dans un appartement, dans un nouveau quartier d'une ville ; une fois de plus… Kyôsuke qui a , est l'aîné. Lui et ses sœurs jumelles (fausses jumelles), Manami et Kurumi (Manu et Fanny), partagent des pouvoirs étranges : téléportation, télékinésie, psychokinésie, parfois rêves prémonitoires, et d'autres à découvrir plus tard… C'est un héritage de leur mère décédée : toute la famille, le père excepté, possède des pouvoirs surnaturels plus ou moins étendus. Pour éviter d'attirer l'attention, ils sont obligés de déménager à chaque fois que l'un d'eux fait quelque chose d'étrange en public.


title: Kimagure Orange Road

text: En flânant dans la ville, Kyôsuke rencontre Madoka Ayukawa (Sabrina), jeune fille à la réputation de mauvaise élève, puis Hikaru Hiyama (Pamela).


title: Kimagure Orange Road

text: Il s'éprend de Madoka, mais Hikaru en pince pour lui. Éternel indécis, la plus grande confusion règne dans son esprit quant à ses sentiments pour les deux jeunes filles, d'autant plus que si Hikaru est très expansive, Madoka est très réservée. Et Hikaru est l'amie d'enfance de Madoka, qui ne pardonnerait pas à Kyôsuke de briser le cœur de son amie.


title: Kimagure Orange Road

text: De plus, tous les membres de la famille de Kyôsuke ont divers pouvoir magiques, mais sont censés les cacher. Alors, quand son père (photographe), son cousin Kazuya (Paul, capable de lire dans les pensées et d'échanger son esprit avec celui d'un autre), Yusaku Hino (Marc), l'ami d'enfance d'Hikaru (karatéka accompli) et ses grands-parents s'en mêlent, rien ne s'arrange.


title: Kimagure Orange Road

text: Kyosuke Kasuga (Maxime) : Héros de l'histoire. Il est au sommet du triangle amoureux. Il n'arrive à faire un choix amoureux car il craint qu'en choisissant l'une, soit il perd irrémédiablement son lien d'amitié avec l'une, soit il détruit le lien d'amitié entre ses deux amies. De plus, il doit absolument préserver le secret autour de ses pouvoirs.


title: Kimagure Orange Road

text: Madoka Ayukawa (Sabrina) : Kyosuke Kasuga la rencontre en premier sur le grand escalier. Il a une sorte de coup de foudre (cela ne s'explique pas toujours !). Il la revoit plus tard car elle est dans sa classe, mais elle se montre capricieuse : tantôt froide, tantôt profondément humaine. On ne sait pas au début si elle aime Kyosuke. Elle va être amenée à le connaître aussi bien dans ses qualités que dans ses défauts. Elle sait que si elle choisit d'aimer Kyosuke, elle ne pourra plus être amie avec Hikaru. Madoka est le personnage le plus charismatique du triangle car elle est belle et a pratiquement tous les talents. Sa date d'anniversaire est le .


title: Kimagure Orange Road

text: Hikaru Hiyama (Pamela) : Troisième membre du triangle. Elle et Madoka sont amies d'enfance bien avant que Kyosuke n'arrive dans cette ville. À la suite d'un exploit de Kyosuke, elle a le béguin pour lui et décide d'en faire son petit ami, son Darling. Elle aime Kyosuke mais c'est malheureusement pour elle un amour à sens unique, car Kyosuke ne l'aime pas et préfère instinctivement Madoka. Hikaru est plus jeune que Madoka et Kyosuke, toutefois Hikaru et Kyosuke ont la même date d'anniversaire : .


title: Kimagure Orange Road

text: La publication de cette série débute au Japon dans le magazine "Weekly Shōnen Jump" de la maison d’édition Shūeisha. Le premier tankōbon est publié à partir de 1984, toujours par Shūeisha. La série compte un total de 18 tomes dont la parution se termine en 1987. Une édition deluxe de dix tomes a vu le jour entre et , puis une édition en format bunko de dix tomes entre et .


title: Kimagure Orange Road

text: En France, la série est parue aux éditions J'ai lu. Tonkam a entamé sa réédition depuis , la version de J'ai Lu étant devenue introuvable.


title: Kimagure Orange Road

text: Deux chapitres inédits sont sortis en France :L'auteur des romans, Kenji Terada était l'un des scénaristes de la série télévisée. Il a fait en sorte d'unifier l'histoire des manga et des animé dans les romans.


title: Kimagure Orange Road

text: En 2002, les deux premiers tomes de Shin Kimagure Orange Road ressortirent sous le nom "Shin KOR 2002", dont les illustrations furent refaites et certains chapitres furent réécrits par Izumi Matsumoto, lui-même. Izumi Matsumoto jugeait que Kenji Terada avait pris trop de liberté par rapport à ce qu'il voulait faire des personnages. Le troisième volume remanié ne sortit jamais.


title: Kimagure Orange Road

text: L'Abcb est le café où Madoka travaille en secret en dehors des cours.


title: Kimagure Orange Road

text: "Abcb" est sous-titré "Abacabu" en caractère japonais. Il s'agit là de la même prononciation, pour un japonais, que le titre de l'album de Genesis, "Abacab". Dans le volume 18 du manga, page 120-121, « Master », le propriétaire de l'Abcb porte un t-shirt avec le logo de "Invisible Touch", un autre album de Genesis. Cela confirme que le patron du café est bien un fan de Genesis et que le nom du bar vient bien du nom de l'album.


title: Kimagure Orange Road

text: Izumi Matsumoto s'est inspiré de Phoebe Cates pour créer Madoka, et en particulier de son personnage dans Fast Times at Ridgemont High ("Ça chauffe au lycée Ridgemont"). Il s'est aussi inspiré de la chanson de Akina Nakamori intitulée Shojo A (少女A) qui décrit les tribulations d'une jeune femme rebelle adepte de la moto.


title: Kimagure Orange Road

text: Dans le manga, Izumi a dessiné son atelier avec un poster de Phoebe Cates et un calendrier d'Akina Nakamori.


title: Izumi Matsumoto

text: , de son vrai nom , est un auteur de bande dessinée japonaise né le à Takaoka dans la préfecture de Toyama, au Japon et mort le .


title: Izumi Matsumoto

text: Il est principalement connu pour être le scénariste et le dessinateur de "Kimagure Orange Road", qui fut adapté en dessin animé et diffusé en France sous le titre "Max et Compagnie".


title: Izumi Matsumoto

text: Il est né à Takaoka dans la préfecture de Toyama au Japon le . Dès l'âge de 12 ans il se passionne pour le dessin et commence le manga au lycée.


title: Izumi Matsumoto

text: En 1981, il publie , sa première histoire courte qui lui permet d'être second au concours mensuel organisé par le magazine "Fresh Jump". En 1982, il commence à publier sous son nom d'artiste dans le magazine de pré-publication "Weekly Shonen Jump avec" "Milk Report", suivi de "Panic in Orange Avenue", notamment.


title: Izumi Matsumoto

text: Début 1984, l'auteur essuie un échec avec "Spring Wonder". En , il commence la publication de son plus grand succès qui se termine en . La série est alors reliée en 18 volumes. Elle sera par la suite adapté en une série d'animation de 48 épisodes par le studio Pierrot en 1987. En 1988, il publie "Sesame Street."


title: Izumi Matsumoto

text: En 1994, il publie "Shin Kimagure Orange Road".


title: Izumi Matsumoto

text: En 1996, il est le "character designer" (créateur graphique des personnages) du jeu vidéo "Angel Graffiti" sur PlayStation.


title: Izumi Matsumoto

text: En 2002, les deux premiers tomes de "Shin Kimagure Orange Road" ressortirent sous le nom "Shin KOR 2002", dont les illustrations furent refaites et certains chapitres furent réécrits par Izumi Matsumoto.


title: Izumi Matsumoto

text: En 2014, il est l'invité d'honneur manga du festival Japan Expo (du 2 au ) et vient ainsi rencontrer ses fans français pour la première fois à l'occasion d'une conférence publique et de six séances de dédicaces.


title: Izumi Matsumoto

text: Il décède le , dans son sommeil, durant un séjour à l'hôpital.


title: Izumi Matsumoto

text: Il subit en 1999 le contre-coup d'un accident de voiture pour lequel il a fini dans le coma lorsqu'il avait 3 ans. Après plusieurs années pour mettre un nom sur des symptômes (violent maux de tête, évanouissement, insomnies, etc.) qui l’empêchent de travailler, il découvre qu'il souffre d'une perte de liquide cérébro-spinal.


title: Orbite

text: En mécanique céleste et en mécanique spatiale, une orbite () est la courbe fermée représentant la trajectoire que dessine, dans l'espace, un objet céleste sous l'effet de la gravitation et de forces d'inertie. Une telle orbite est dite périodique. Dans le Système solaire, la Terre, les autres planètes, les astéroïdes et les comètes sont en orbite autour du Soleil. De même, des planètes possèdent des satellites naturels en orbite autour d'elles. Des objets artificiels, comme les satellites et les sondes spatiales sont en orbite autour de la Terre ou d'autres corps du système solaire.


title: Orbite

text: Une orbite a la forme d'une ellipse dont l'un des foyers coïncide avec le centre de gravité de l'objet central. D'un point de vue relativiste, une orbite est une géodésique dans l'espace-temps courbe.


title: Orbite

text: De nombreux modèles sont proposés dès l'Antiquité pour représenter les mouvements des planètes. Le mot "planète" – en , « astre (ou étoile) errant » – distingue alors ces objets célestes des étoiles « fixes » par leur mouvement apparent sur la sphère céleste au cours du temps. À cette époque, cette notion inclut donc le Soleil et la Lune ainsi que cinq planètes authentiques : Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne. Tous ces systèmes sont géocentriques, c'est-à-dire qu'ils placent la Terre au centre de l'Univers, selon le système astronomique exposé par Platon dans le "Timée". Selon Simplicius (fin - début ap. J.-C.) c'est Platon (427-327 av. J.-C.) qui aurait proposé à son élève Eudoxe de Cnide (408-355 av. J.-C.) d'étudier le mouvement des planètes en n'utilisant que des "mouvements circulaires et uniformes", considérés comme parfaits.  La difficulté de décrire précisément les mouvements des planètes, notamment les phénomènes de rétrogradation, conduit à des représentations complexes. Les connaissances astronomiques du monde gréco-romain sont résumées au de notre ère par Ptolémée (vers 90 - 168 ap. J.-C.), dans un ouvrage en Grec transmis par les Arabes sous le nom de l'Almageste. Connu sous le nom de modèle de Ptolémée, la représentation du système solaire et du mouvement des planètes (ainsi que de la Lune et du Soleil) utilise comme ses prédécesseurs un modèle géocentrique, et un système élaboré de sphères en rotation circulaire et uniforme, les épicycles et déférents, introduit par Hipparque (), qu'il perfectionne en introduisant la notion d'équant, qui est un point distinct du centre du cercle déférent par rapport auquel une planète, ou le centre d'un épicycle, se déplace à vitesse uniforme. Le système de Ptolémée va dominer l'astronomie pendant quatorze siècles. Il donne des résultats satisfaisants malgré sa complexité, au besoin en modifiant et raffinant le modèle des épicycles, déférents, et points équants. Considéré comme compatible avec la philosophie d'Aristote, le géocentrisme devient doctrine officielle de l’Église en Europe au cours du Moyen Âge.


title: Orbite

text: On doit à Copernic (1473-1543) qui dans son ouvrage majeur "De revolutionibus Orbium Coelestium" publié à sa mort en 1543 remet en cause le dogme géocentrique et proposant un système héliocentrique, dans lequel les planètes et la Terre se déplacent selon des orbites circulaires, parcourues à vitesses constantes, la Lune étant le seul astre tournant autour de la Terre. Bien qu'imparfaite, cette vision s'avère très féconde : les mouvements des planètes sont plus simples à décrire dans un référentiel héliocentrique. L'ensemble des irrégularités de mouvements telles que les rétrogradations s'explique uniquement par le mouvement de la Terre sur son orbite, plus précisément en termes modernes par l'effet du passage du référentiel héliocentrique au référentiel géocentrique. Le système de Copernic permet également de supposer que les étoiles de la « sphère des fixes » sont à une distance bien plus grande de la Terre (et du Soleil) que l'on le supposait jusqu'alors, pour expliquer l'absence d'effet observé alors ("parallaxe") du mouvement de la Terre sur la position des étoiles. Il est à noter qu'initialement le système de Copernic, qui sur la pratique astronomique consistait à échanger les positions de la Terre et du Soleil, ne suscita pas une opposition de principe de l’Église, jusqu'à ce que celle-ci s'aperçut que ce modèle remettait en cause la philosophie d'Aristote. Kepler (1571-1630) perfectionnera ce modèle, grâce à l'analyse soigneuse des observations précises de son maître Tycho Brahe (1541-1601), notamment concernant le mouvement de la planète Mars. Il publie ses trois célèbres lois (Cf. Lois de Kepler) en 1609, 1611, 1618 :


title: Orbite

text: Une orbite képlérienne est l'orbite d'un corps assimilable à un point — c'est-à-dire dont la distribution des masses possède une symétrie sphérique — et soumis au champ de gravitation créé par une masse également assimilable à un point, ce dernier étant pris comme origine du référentiel. Autrement dit, c'est l'orbite d'un corps en interaction gravitationnelle avec un seul autre corps, chaque corps étant assimilé à un point.


title: Orbite

text: L'orbite képlérienne de chaque corps est une orbite conique dont un des foyers coïncide avec le centre de masse de l'autre corps pris comme origine du référentiel.


title: Orbite

text: Une orbite elliptique est décrite au moyen de deux plans — le plan de l'orbite et le plan de référence — et de six paramètres appelés éléments orbitaux : le demi-grand axe, l'excentricité, l'inclinaison, la longitude du nœud ascendant, l'argument du périastre et la position de l'objet sur son orbite. Deux de ces paramètres - excentricité et demi-grand axe - définissent la trajectoire dans un plan, trois autres - inclinaison, longitude du nœud ascendant et argument du péricentre - définissent l'orientation du plan dans l'espace et le dernier - instant de passage au péricentre - définit la position de l'objet. Le plan de référence ou plan référentiel est un plan contenant le centre de gravité du corps principal. Le plan de référence et le plan de l'orbite sont ainsi deux plans sécants. Leur intersection est une droite appelée ligne des nœuds. L'orbite coupe le plan de référence en deux points, appelés nœuds. Le nœud ascendant est celui par lequel le corps passe en trajectoire ascendante ; l'autre est le nœud descendant.


title: Orbite

text: Le passage entre le plan orbital et le plan de référence est décrit par trois éléments qui correspondent à des angles d'Euler :


title: Orbite

text: Le sixième paramètre est la position du corps orbitant sur son orbite à un instant donné. Elle peut être exprimée de plusieurs manières :


title: Orbite

text: Lorsqu'on parle de la période d'un objet, il s'agit en général de sa période sidérale, mais il y a plusieurs périodes possibles :


title: Orbite

text: Dans ce qui suit, formula_2 est l'excentricité, formula_15 l'anomalie vraie, formula_16 l'anomalie excentrique et formula_17 l'anomalie moyenne.


title: Orbite

text: Le rayon formula_18 de l'ellipse (mesuré depuis un foyer) est donné par :


Orbite


title: Orbite

text: Les relations suivantes existent entre les anomalies :


title: Orbite

text: ou encore


title: Orbite

text: Une application fréquente consiste à trouver formula_16 à partir de formula_17. Il suffit alors d'itérer l'expression :


title: Orbite

text: Si on utilise une valeur initiale formula_26, la convergence est garantie, et est toujours très rapide (dix chiffres significatifs en quatre itérations).


title: Orbite

text: La trace au sol d'un satellite artificiel est la projection au sol de sa trajectoire sur son orbite selon une verticale qui passe par le centre du corps céleste autour duquel il tourne. Sa forme détermine les portions de surface balayées par les instruments du satellite et les créneaux de visibilité du satellite par les stations terrestres. Le dessin de la trace résulte à la fois du déplacement du satellite sur son orbite et de la rotation de la Terre.


title: Orbite

text: Les orbites des satellites artificiels peuvent être classifiées selon différents critères :


title: Orbite

text: Quand l'orbite est quasiment circulaire elle est appelée orbite basse (LEO, de l'anglais ') si son altitude est inférieure à , orbite moyenne (MEO, de ') si elle est comprise entre , et orbite haute au-delà. L'orbite haute la plus courante, car permettant au satellite de rester en permanence au-dessus de la même région de la Terre est située à une altitude de km et est appelé orbite géostationnaire (ou GEO de l'anglais "Geostationnary Earth Orbit"). Elle nécessite que l'inclinaison orbitale soit de 0°. Une orbite à cette altitude avec une inclinaison orbital nulle ou non est une orbite géosynchrone. La plupart des satellites placés sur une orbite circulaire autour de la Terre se trouvent soit sur une orbite basse (satellite d'observation de la Terre, satellite de reconnaissance) soit sur une orbite moyenne à km (satellite de navigation) soit sur une orbite géostationnaire (satellite de télécommunications, satellite météorologique).


title: Orbite

text: Parmi les orbites hautes elliptiques (ou HEO de l'anglais "High Earth Orbit") on trouve des orbites répondant à des objectifs très précis comme l'orbite de Molnia permettant une meilleure visibilité depuis les latitudes hautes que l'orbite géostationnaire ou l'orbite toundra qui en est une variante. L'orbite de transfert (ou GTO de l'anglais "Geostationnary Transfer Orbit") est une orbite transitoire dont l'apogée se situe à km et qui est utilisée par les satellites qui doivent se placer sur une orbite géostationnaire.


title: Orbite

text: L'orbite autour d'un point de Lagrange (zone de l'espace ou l'influence gravitationnelle de 2 corps célestes s'équilibre) est une orbite de halo (ou orbite de Lissajous par allusion à sa forme qui ressemble à une courbe de Lissajous) et est notée L1LO (L1 Lissajous Orbit) ou L2LO, L1 et L2 étant les deux points de Lagrange du système Terre-Soleil utilisés notamment par des satellites d'observation astronomique ou d'étude du Soleil. Ces orbites instables sont parcourues en environ 200 jours et nécessitent des manœuvres de correction régulières.


title: Orbite

text: Selon la valeur de l'angle d'inclinaison orbitale i, on parle d'orbite équatoriale (i=0°), orbite quasi-équatoriale (i<10°), orbite polaire ou quasi-polaire (i proche de 90°). Si l'inclinaison orbitale est inférieure ou égale à 90°, ce qui est le cas de la majorité des satellites, l'orbite est dite directe (ou prograde), sinon elle est dite rétrograde.


title: Orbite

text: On oppose parfois les satellites en orbite géostationnaire, en position fixe au-dessus de la Terre, aux "satellites défilants". Dans la catégorie des orbites polaires, une orbite très utilisée, l'orbite héliosynchrone, se caractérise par le mouvement de son plan orbital qui pivote sous l'effet de la précession nodale de manière synchrone avec le mouvement de la Terre autour du Soleil. Un satellite de ce type repasse toujours à la même heure solaire au-dessus d'une région éclairée. Une orbite phasée est une catégorie d'orbite héliosynchrone caractérisée par le fait que le satellite après un certain nombre de révolutions repasse exactement au-dessus du même point.


title: Orbite

text: Un engin spatial peut être placé sur une orbite d'attente (généralement une orbite basse) dans le but d'atteindre une position favorable pour effectuer la prochaine manœuvre orbitale. Une orbite de dérive est une orbite transitoire parcourue par les satellites pour atteindre de manière passive leur position finale en orbite géostationnaire. Enfin en fin de vie, le satellite est placée sur une orbite cimetière (ou orbite de rebut) pour éviter de se retrouver sur la trajectoire des satellites actifs.


title: Orbite

text: Le substantif féminin « orbite » est un emprunt au latin "", désignant la trace d'une roue.


title: Orbite

text: Initialement, le terme "orbite" est un terme utilisé en mathématiques pour désigner l'ensemble des points parcourus par une trajectoire, c'est-à-dire par une courbe paramétrée. La différence entre "orbite" et "trajectoire" consiste dans le fait que la trajectoire exprime l'évolution du point tandis que l'orbite est un concept "statique". Ainsi pour une trajectoire formula_27, l'orbite est l'ensemble formula_28.


title: Orbite

text: Une orbite peut donc avoir n'importe quelle forme selon la dynamique du système étudié, mais avec le temps l'usage du terme s'est vu réservé aux orbites fermées en astronomie et astronautique.


title: Johannes Kepler

text: Johannes Kepler (ou Keppler), né le à Weil (ville libre d'Empire) et mort le à Ratisbonne (ville libre d'Empire), est un astronome allemand célèbre pour avoir étudié l’hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic, affirmant que la Terre tourne autour du Soleil et surtout pour avoir découvert que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires parfaites mais des trajectoires elliptiques. « Kepler a découvert les relations mathématiques (dites Lois de Kepler) qui régissent les mouvements des planètes sur leur orbite. Ces relations furent ensuite exploitées par Isaac Newton pour élaborer la théorie de la gravitation universelle. ».


title: Johannes Kepler

text: Kepler naît au sein d’une famille de religion protestante luthérienne, installée dans la ville de Weil dans le Wurtemberg, ville libre sous l'autorité immédiate de l'Empire. À Weil der Stadt, les Kepler ont joui d'une certaine reconnaissance sociale, son grand-père en a été bourgmestre, mais après avoir été porté aux nues pour avoir combattu sous les ordres de Charles-Quint, il a sombré dans la pauvreté. Toute la famille s'entasse sous le même toit dans la maison des grands-parents, Sebald Kepler et Katharina Müller.


title: Johannes Kepler

text: Né prématurément à sept mois et hypocondriaque de nature chétive, Johannes Kepler souffre toute sa vie d’une santé fragile. À l’âge de trois ans, il contracte la variole, ce qui, entre autres séquelles, affaiblit sévèrement sa vue. La famille Kepler est peu ordinaire et son ambiance n’est pas des plus saines. Le père, Heinrich Kepler, est mercenaire dans l’armée du duc de Wurtemberg, et toujours en campagne, étant ainsi rarement présent à son domicile. La mère, Katharina Guldenmann, analphabète, dure et tracassière avait été élevée par une tante qui finit sur le bûcher pour sorcellerie. Kepler a trois cadets : sa sœur, Margarette, dont il reste proche, Christopher, qui lui fut toujours antipathique, et Heinrich. La mère de Kepler préfère nettement ses autres enfants, car Johannes est malingre, souvent malade, myope et souffre de polyopie


title: Johannes Kepler

text: De 1574 à 1576, il vit avec son petit frère Heinrich chez ses grands-parents maternels, alors que son père est en campagne en Flandre et que sa mère est partie à sa recherche. Le grand-père, Sebald Kepler, l'oblige à travailler, le bat et le persécute.


title: Johannes Kepler

text: Au retour de ses parents, Kepler déménage à Leonberg, ville du duché de Wurtemberg, et va suivre les cours de l’école latine de 1577 à 1579 et de 1581 à 1583. Ses parents lui font découvrir l’astronomie. Ainsi, en 1577, sa mère l’emmène en haut d’une colline pour observer le passage d’une comète. De son côté, son père lui montre l’éclipse de Lune du , et comment cette dernière devint toute rouge. Kepler étudiera plus tard ce phénomène et l’expliquera dans l’un de ses ouvrages sur l’optique.


title: Johannes Kepler

text: La famille de Johannes Kepler décide qu'il sera ecclésiastique, ce qui n'est pas pour lui déplaire. D'une part, sa force physique est insuffisante pour les travaux agricoles et, de l'autre, il entrevoit sans doute là l'occasion de s'éloigner de sa turbulente famille. Il est profondément croyant et le restera toute sa vie. Ses études de pasteur s'enchaînent sans heurt : en 1584, il entre au Séminaire protestant d’Adelberg, puis, deux années après, au Séminaire supérieur de Maulbronn où il obtient son diplôme de fin d’études et entre, en 1589, à l’université de Tübingen, au séminaire évangélique "Tübinger Stift". Là, il étudie d’abord l’éthique, la dialectique, la rhétorique, le grec, l’hébreu, l’astronomie et la physique, puis, pendant trois ans, la théologie et les sciences humaines. Il y poursuit ses études après obtention d’une maîtrise en 1591. Il suit en même temps les cours d'astronomie de Michael Maestlin qui, bien qu'obligé d'enseigner le système géocentrique de Ptolémée, est un fervent admirateur du nouveau système héliocentrique de Copernic. À son contact, Kepler devient lui-même un copernicien enthousiaste.


title: Johannes Kepler

text: Alors que Kepler projette de devenir pasteur luthérien, l’école évangélique protestante de Graz demande un professeur de mathématiques : il abandonne ses études en théologie pour prendre le poste et quitte Tübingen en 1594 ; c'est ainsi que Kepler devient . La première année, il n'a que quelques étudiants, la seconde, aucun ! Il est donc chargé d'enseigner d'autres matières, comme la rhétorique, l'histoire et l'éthique. Outre ses cours, il doit, en tant que mathématicien provincial, tirer des cartes astrales, élaborer les almanachs et réaliser des prédictions astrologiques. À l’époque, la distinction entre science et croyance n’est pas encore clairement établie et on croit généralement que le mouvement des astres est gouverné par les lois divines.


title: Johannes Kepler

text: Sur recommandation de ses amis, Kepler se marie le avec la jeune Barbara Müller. Âgée de vingt-trois ans, cette jeune femme au caractère exécrable, qu’il qualifie de , s'était déjà mariée à deux reprises et s'était retrouvée veuve à chaque fois. De sa première union, elle a eu une fille, Regina, que Kepler affectionnera tout particulièrement et qui jouera un rôle important dans sa vie. Barbara meurt en 1612, et seuls leur fille Susanne et leur fils Ludwig atteindront l'âge adulte.


title: Johannes Kepler

text: En 1600, la Contre-Réforme étend sa zone d'influence. On lui fait alors savoir que s'il ne se convertit pas au catholicisme, il sera expulsé de Graz. Bien que ses croyances ne soient pas conformes à l'orthodoxie lutérienne, il refuse d'abjurer sa foi et est banni. Il se réfugie à Prague, invité par l’astronome danois Tycho Brahe pour y devenir son assistant.(Tycho Brahe, lui même chassé du Danemark après le décès de son mécène Frédéric II du Danemark, avait été nommé mathématicien impérial à Prague par l'empereur Rodolphe II. Il y avait fait construire un observatoire dans un château à Benatek, non loin de Prague.)


title: Johannes Kepler

text: Kepler se met au service de Tycho Brahe, qui décède en , laissant à Kepler ses mesures et son poste de mathématicien impérial. Comme Tycho, Kepler est chargé par Rodolphe II d'établir de nouvelles tables planétaires, qui verront le jour en 1627 sous le nom de . Le plus grand mathématicien va exploiter et diffuser les travaux du plus grand observateur de l'époque. Kepler occupe le poste de mathématicien impérial jusqu'à la mort de Rodolphe II en 1612.


title: Johannes Kepler

text: En 1613, il épouse Susanne Reuttinger avec qui il a sept enfants parmi lesquels trois meurent très tôt. Un mariage, cette fois-ci, heureux.


title: Johannes Kepler

text: En 1615, sa mère, alors âgée de 68 ans, est accusée de sorcellerie par les autorités de sa ville natale Leonberg. Kepler, persuadé de son innocence, passe six années à assurer sa défense auprès des tribunaux et à écrire de nombreux plaidoyers. Il doit, à deux reprises, retourner dans le Wurtemberg. Elle passe quatorze mois enfermée à Güglingen. Finalement, le duc de Wurtemberg la déclare libre de toute charge de sorcellerie le . Affaiblie par ces dures années de procès et d’emprisonnement, elle meurt six mois plus tard.


title: Johannes Kepler

text: Kepler meurt en 1630 à Ratisbonne, à l’âge de 59 ans, loin de Susanne et de ses enfants qui n'apprendront sa mort que deux mois plus tard. Il est enterré le 19 novembre. Il meurt dans le dénuement matériel le plus extrême en raison de la mévente des Tables rudolphines, et sans recevoir les derniers sacrements. Le pasteur luthérien les lui a refusés car il n'avait pas voulu, auparavant, condamner le calvinisme.


title: Johannes Kepler

text: Avant de mourir, il avait eu le temps d'écrire sous forme de distique élégiaque l'épitaphe en vers qu'il souhaitait pour sa pierre tombale : "Mensus eram caelos. Nunc terrae metior umbras. Mens coelestis erat. Corporis umbra jacet" ("Je mesurais les cieux. Je mesure maintenant les ombres de la Terre. L'esprit était céleste. Ici gît l'ombre du corps").


title: Johannes Kepler

text: En 1633-1634, durant la guerre de Trente Ans, l’armée suédoise détruit sa tombe et ses ossements sont jetés à la fosse commune. Ses travaux sont retrouvés en 1773. Récupérés par Catherine II de Russie, ils se trouvent à l’observatoire de Poulkovo de Saint-Pétersbourg en Russie. En 1808, un monument en marbre lui est élevé par les soins du prince-évêque Charles-Théodore de Dalberg dans le jardin botanique de Ratisbonne.


title: Johannes Kepler

text: Kepler a découvert les trois relations mathématiques, aujourd'hui dites lois de Kepler, qui régissent les mouvements des planètes sur leur orbite. Les deux premières sont publiées en 1609 dans un livre intitulé "Astronomia Nova". La troisième survient seulement en 1618, et quantifie le rapport entre longueur du demi-grand axe et période de révolution. Ces relations sont fondamentales car elles furent plus tard exploitées par Isaac Newton pour mettre au point sa théorie de la gravitation universelle. Dans son" Astronomia Nova" il entrevoyait déjà la loi de la gravitation universelle. Il explique à propos de la pesanteur et de l'attraction terrestre que Pour mieux se faire comprendre, il écrit ce qui sera considéré comme le premier livre de science-fiction, "Le Songe ou l'Astronomie lunaire". Il veut montrer les problèmes posés par l'attraction et la pesanteur en imaginant un voyage de la Terre à la Lune par deux personnages : la violence du départ, la diminution progressive de la pesanteur qui à la fin s'annule (l'état d'apesanteur de nos jours !) puis l'attraction croissante de la Lune qui reste néanmoins plus faible que sur La Terre.


title: Johannes Kepler

text: Il fonde une science nouvelle, nommée par lui la « dioptrique » et qui deviendra l’optique en synthétisant en 1604, puis en 1611, les principes fondamentaux de l’optique moderne comme la nature de la lumière, la chambre obscure, les miroirs (plans et courbes), les lentilles ou la réfraction.


title: Johannes Kepler

text: En 1596, il publie son premier ouvrage, "Mysterium Cosmographicum", fruit de sa lecture du "Timée" de Platon, et de ses premières recherches sur la structure de l’Univers. Il voit dans les lois qui régissent les mouvements des planètes un message divin adressé à l’Homme. Dans ce livre, où il affirme sa position copernicienne, il se donne pour objectif de répondre à trois questions portant sur le nombre de planètes, leur distance au Soleil et enfin leur vitesse.


title: Johannes Kepler

text: Dans son livre, il développe une théorie des polyèdres réguliers permettant de construire un modèle de l’Univers. Kepler remarqua que l'on pouvait intercaler entre les orbes des six planètes connues à l’époque (de Mercure à Saturne) les cinq solides de Platon. Ces derniers étant des polyèdres réguliers, ils étaient parmi les solides ceux qui approchaient le plus la perfection divine de la sphère. Leur utilisation dans l'architecture de l'Univers s'accordait bien avec la grandeur de la création divine. Le nombre de ces solides impliquait le nombre de planètes : cinq intervalles, donc six planètes. Mais ces polyèdres expliquaient également, par leur disposition, les proportions des orbes planétaires (les distances relatives des planètes au Soleil) : chaque solide était inscrit dans l'orbe d'une planète et circonscrit à l'orbe de la planète immédiatement inférieure. L'emboîtement était constitué ainsi : le cube entre les orbes de Saturne et de Jupiter, le tétraèdre entre celui de Jupiter et celui de Mars, puis le dodécaèdre, entre ce dernier et celui de la Terre, suivi par l'icosaèdre englobant l'orbe de Vénus, lui-même circonscrit à l'octaèdre, qui entourait enfin l'orbe de Mercure.


title: Johannes Kepler

text: Pour prendre en compte la variabilité de la distance des planètes au Soleil l'astronome donne à chaque orbe une épaisseur correspondant à la différence entre la distance maximale et la distance minimale de la planète au Soleil. Il est à noter que l'épaisseur des orbes amène Kepler à transformer de façon décisive le système copernicien en un système réellement héliocentrique : en effet, Copernic prenait comme référence des mouvements planétaires le centre du grand orbe (l'orbe terrestre), et non le Soleil, un peu à l'écart du fait de l'excentricité de l'orbite terrestre. Pour affecter à l'orbe de la Terre, comme à toutes les autres, une épaisseur, Kepler déplace la référence des mouvements planétaires dans le Soleil.


title: Johannes Kepler

text: Reste la question des vitesses : pour les expliquer, il attribue au Soleil une « âme » ou « force » motrice qui induit le mouvement des planètes. Il compare celle-ci avec la lumière, qui elle aussi provient du Soleil, et tente de déduire de cette analogie une loi mathématique liant la période de révolution des planètes à leur distance moyenne au Soleil. Mais ses conceptions erronées sur la propagation de la lumière sur la dynamique (relations entre forces et mouvements, qui seront établies par Galilée et Newton), ainsi que des erreurs sur les déductions mathématiques des principes qu'il établit, l'amènent à une loi erronée, qu'il lui faudra plus de vingt ans pour rectifier (dans l"'Harmonice mundi").


title: Johannes Kepler

text: La théorie des solides emboîtés, qui amènera plus tard Kepler à découvrir deux nouveaux solides réguliers ("voir Les polyèdres de Kepler-Poinsot"), si elle nous paraît fantaisiste aujourd’hui, a permis à Kepler d’entrer en contact avec ses contemporains Galilée et Tycho Brahe, mathématicien impérial à la cour de Prague. Le premier lui fit part de son enthousiasme pour le soutien des idées coperniciennes qu’il partage également. Le second, tout aussi admiratif, l’invita à travailler à ses côtés. Mais les apports du "Mysterium Cosmographicum" ne se limitent pas à la riche collaboration qu'il a permise avec l'astronome danois. Ce livre a surtout été apprécié en son temps car il constituait le premier plaidoyer convaincant pour la théorie copernicienne, ne se contentant pas, ainsi que Rheticus l'avait fait, de présenter les avantages du système héliocentrique du point de vue mathématique. Kepler, en effet, cherche (et croit avoir trouvé) les causes (physiques et métaphysiques) du nombre, de la disposition et des mouvements des planètes. Cette recherche des causes (physiques), que Kepler poursuivra tout au long de sa vie, constitue l'acte fondateur de l'invention d'une nouvelle science : l"'astrophysique".


title: Johannes Kepler

text: Les relations entre Tycho Brahe et Kepler sont particulièrement houleuses, Tycho ne croyant pas à l’héliocentrisme de Nicolas Copernic mais soutenant une autre théorie dans laquelle la Terre est au centre mais les autres planètes tournent autour du Soleil.


title: Johannes Kepler

text: Kepler voit en Tycho Brahe un homme plein de richesses (ses mesures étaient les plus précises jamais réalisées) mais qui ne les exploite pas correctement. Atteint de myopie et de diplopie à la naissance, Kepler s'appuie sur les observations de Brahe pour élaborer ses théories.


title: Johannes Kepler

text: Brahe lui demande de calculer l’orbite précise de Mars, dont les positions, suivant ses observations, résistent à toute tentative de modélisation, et s'écartent notablement (de plusieurs degrés) de celles prévues par les tables. Cette tâche était auparavant assignée à son assistant Longomontanus, qui passe alors à l’étude des mouvements de la Lune.


title: Johannes Kepler

text: Il pense accomplir sa tâche en quelques semaines, mais il lui faut près de six ans pour achever son travail. C’est alors que Kepler découvre les deux premières des trois lois fondamentales :


title: Johannes Kepler

text: Ces lois sont publiées dans "Astronomia Nova" en 1609, où Johannes Kepler est également le premier à émettre l’hypothèse d’une rotation du Soleil sur son axe. En 1618 vient sa troisième grande loi :


title: Johannes Kepler

text: Ce travail est d’autant plus long que Kepler doit mener en parallèle une étude sur l’optique afin de mieux comprendre et interpréter ses observations, et qu’il est encore trop par les anciennes croyances en astronomie : il doute à plusieurs reprises de la nature circulaire de la trajectoire et pense alors à une ellipse, tout en continuant d’essayer de prouver le contraire, en ressortant de vieilles idées faisant appel à l’utilisation d’épicycles.


title: Johannes Kepler

text: Les 70 chapitres de l’"Astronomia Nova" comprennent ainsi toutes les démarches scientifiques et erreurs de Kepler, qui lui permettent d’aboutir à ses deux premières lois, mais aussi à d’autres conclusions intéressantes, comme la nature de la force responsable du mouvement des planètes, force , donc physique et non plus divine.


title: Johannes Kepler

text: Alors qu’il étudie l’orbite de Mars, Kepler voit la nécessité d’étudier également l’optique afin de mieux comprendre certains phénomènes observés tels la réfraction atmosphérique. Dès 1603, il parcourt divers ouvrages sur le sujet dont celui de l’Arabe Alhazen.


title: Johannes Kepler

text: Kepler rassemble les connaissances de l’époque dans son livre "Astronomia pars Optica", publié en 1604. Il y explique les principes fondamentaux de l’optique moderne comme la nature de la lumière (rayons, intensité variant avec la surface, vitesse infinie, etc.), la chambre obscure, les miroirs (plans et courbes), les lentilles et la réfraction pour laquelle il propose la loi : formula_1 (formula_2 et formula_3 étant les angles des rayons incident et réfracté et formula_4 l'indice de réfraction). Elle est correcte pour de petits angles : la vraie loi, formula_5 fut donnée plus tard par Willebrord Snell et René Descartes). Il aborde également le sujet de la vision et la perception des images par l’œil. Il est convaincu que la réception des images est assurée par la rétine et non pas le cristallin comme on le pensait à cette époque, et que le cerveau serait tout à fait capable de remettre à l’endroit l’image inversée qu’il reçoit.


title: Johannes Kepler

text: En 1610, il prend connaissance de la découverte de quatre satellites autour de Jupiter grâce aux observations de Galilée avec sa lunette astronomique et écrit une lettre de soutien publiée sous le titre de "Dissertatio cum Nuncio Sidereo" ("Discussion avec le messager céleste"), puis après avoir lui-même observé ces satellites, il publie ses observations dans "Narratio de Observatis Quatuor Jovis Satellibus". C’est d’ailleurs Kepler qui, le premier, dans son ouvrage de 1611, utilisa le mot « satellite » pour désigner les quatre petits astres tournant autour de Jupiter.


title: Johannes Kepler

text: L’invention récente de la lunette enthousiasme beaucoup Kepler qui, en 1611, écrit un second ouvrage d’optique, "Dioptricae", reprenant de nombreux thèmes abordés dans l’"Optica" en les approfondissant. Dans ce livre très mathématique, il rassemble 141 théorèmes visant à faire la théorie des lentilles et de leurs associations possibles, dont la théorie de la lunette de Galilée que ce dernier n'avait pas faite.


title: Johannes Kepler

text: Kepler crut découvrir grâce à des travaux antérieurs que l’Univers était soumis à des lois « harmoniques », faisant un lien entre l’astronomie et la musique. Dans le "Harmonices Mundi", publié en 1619, il attribue aux planètes un thème musical. Les variations des vitesses de ces planètes sont représentées par les différentes notes composant la musique. Ainsi, il était facile de distinguer les orbites les plus excentriques. Mais c’est aussi dans cet ouvrage en cinq volumes que Kepler énonce sa troisième loi fondamentale : « le carré de la période est proportionnel au cube du demi-grand axe [de l'ellipse] ». Celle-ci découle de ses recherches sur un modèle d’Univers harmonique.


title: Johannes Kepler

text: À la suite de l’observation d’une supernova en 1604-1605, il écrira deux ans plus tard "De Stella nova in pede serpentarii".


title: Johannes Kepler

text: L’année 1613 est marquée par la publication d’un travail sur la chronologie et l’année de naissance de Jésus de Nazareth. D’abord en allemand, puis en latin l’année suivante ("De Vero Anno quo Aeternus Dei Filius Humanam Naturam in Utero Benedictae Virginis Mariae Assumpsit"). Il y démontra que le calendrier chrétien comportait une erreur de cinq ans et fut ainsi le premier à revoir la date de naissance de Jésus, en l’an -4. Entre 1617 et 1621, il écrit "Epitome Astronomiae Copernicae", une introduction à l’astronomie copernicienne.


title: Johannes Kepler

text: Il construisit une table de logarithmes, publiée en 1624 dans "Chilias logarithmorum" à Marbourg, en améliorant la méthode de calcul proposée par John Napier. Bien qu’achevées depuis un moment déjà, il publia à Ulm, en 1627, ses tables rudolphines ("Tabulae Rudolphinae") en hommage à Rodolphe II. Ces tables de positions planétaires étaient fondées sur les observations de Tycho Brahe et de ses propres travaux sur la mécanique céleste. Ce retard était dû à un différend avec les héritiers de Tycho Brahe qui ne voulaient pas que les travaux de Tycho soient exploités sans percevoir une partie des gains, ainsi qu’à leur demande de modification de l’introduction de l’ouvrage. Lors de son séjour à Ulm, il est chargé, avec Faulhaber, de définir des unités de mesure pour les activités commerciales et militaires.


title: Johannes Kepler

text: Il émit la conjecture mathématique appelée « conjecture de Kepler » concernant l’empilement des sphères (ou des boulets de canons). Celle-ci n’a été démontrée par l’Américain Thomas Hales qu’en 1998, par preuve assistée par ordinateur. Elle énonce que, dans l’espace, l’empilement des sphères le plus dense est celui du marchand des quatre saisons à savoir "le cubique face centrée" (voir système cristallin).


title: Johannes Kepler

text: Kepler était persuadé que l’astrologie pouvait devenir une science au même titre que la physique ou les mathématiques. Il était convaincu que les positions des planètes affectaient les humains et influençaient la météorologie terrestre. Pour lui, astronomie et astrologie étaient liées. C’est ainsi qu’il essaya de poser des bases scientifiques rigoureuses à l’astrologie en faisant intervenir les principes physiques de son époque, essentiellement autour de considérations sur la nature de la lumière. Par exemple différences entre lumière propre (du soleil) et lumière réfléchie (de la lune, mais aussi des planètes), etc.


title: Johannes Kepler

text: La publication de ses horoscopes et de ses prédictions lui fit une bonne renommée. En 1595, il prédit un soulèvement de la population, une invasion turque ainsi qu’un hiver rigoureux. Il se trouve que de tels événements se produisirent. Il compila plus tard l’horoscope du général Albrecht von Wallenstein qui s’arrêta par un « violent événement » en 1634. Wallenstein fut en effet assassiné le 24 février de cette année. Il laissa trois écrits sur l’astrologie : "De fundamentis astrologiae", en 1601 ; le "Tertius interveniens" en 1610 et "Astrologicus", en 1620.


title: Johannes Kepler

text: Il attribue d’ailleurs aux astres le malheur et le comportement de ses parents, qu’il croit nés sous une mauvaise étoile, ainsi que son premier mariage — décevant — sous un « ciel calamiteux ».


title: Johannes Kepler

text: Il est par ailleurs très critique vis-à-vis de l'astrologie populaire et de ses prédictions, comme de tout temps les astrologues « savants » ont critiqué les astrologues « populaires » sans réussir à définir la ligne de démarcation. Le "De fundamentis astrologiae" de 1601 par exemple, est un mini-traité visant à fonder physiquement l'astrologie (contre la tradition, ce pourquoi le "Tertius interveniens" 1610 est une réponse aux objections formulées par quelques astrologues de son temps contre ses considérations « physiques » sur l'astrologie). Kepler préconisa de ne conserver de l'astrologie que les aspects et de ne pas considérer les positions zodiacales. Il ne fut guère suivi dans cette direction si ce n'est en augmentant le nombre des aspects (comme le quintile de 72°). Il y établit quelques prédictions (essentiellement météorologiques) pour l'année 1602 à la suite de la mort, quelques semaines plus tôt, de Tycho Brahe. Dans l'introduction de ce texte, Kepler explique qu'il va s'atteler à cette tâche « puisqu'il le faut ». C'est en effet l'une des responsabilités liées à la fonction d'astronome impérial dont il a hérité avec le décès inattendu de Tycho Brahe.


title: Johannes Kepler

text: Kepler est parfois considéré comme un précurseur des romans de science-fiction avec l'écriture de "". Dans cet ouvrage publié à titre posthume en 1634 par son fils Ludwig, Kepler essaie de diffuser la doctrine copernicienne en détaillant la perception du monde qu'un observateur aurait depuis la Lune. Il explique que « le but de [son] Songe est de donner un argument en faveur du mouvement de la Terre ou, plutôt, d'utiliser l'exemple de la Lune pour mettre fin aux objections formulées par l'humanité dans son ensemble qui refuse de l'admettre. »L’édition de référence des œuvres complètes est en cours de publication à Munich, chez l’éditeur Beck :


title: Rayon

text: Le mot rayon est employé dans plusieurs domaines :


title: Paresse

text: La paresse (du latin "pigritia") est une propension à ne rien faire, une répugnance au travail ou à l'effort. Considérée comme un péché capital dans la religion catholique, elle est élevée au rang de valeur positive par certains auteurs comme Paul Lafargue dans son "Droit à la paresse" ou Marshall Sahlins dans "Âge de pierre, âge d'abondance", afin de contester l'idéologie du travail dans la société capitaliste contemporaine.


title: Paresse

text: La paresse ne doit pas être confondue avec l"otium" (le loisir), ou plus précisément l'activité désintéressée, libérale, que les Romains opposaient au "negotium" (l'activité vénale, le commerce). L"'otium" est une vertu du lettré défendue par Cicéron et Sénèque et, surtout, un privilège indispensable pour exercer les activités du citoyen, participer à la vie de la cité et au brassage des idées, et que seule la possession de terres peut assurer.


title: Paresse

text: La paresse, en revanche, consiste à ne pas avoir envie de faire ce qu'il serait en principe nécessaire que l'on fasse, pour soi ou pour les autres, afin en général de mieux vivre. Le terme prend alors une connotation négative jusqu'à désigner un péché.


title: Paresse

text: Dans la tradition catholique, la paresse est souvent assimilée à l'un des sept péchés capitaux. En réalité, le catéchisme de l'Église catholique mentionne ce péché capital comme « paresse ou acédie ». Le mot « acédie », très peu utilisé de nos jours, et qui a même disparu de la plupart des dictionnaires, est traditionnellement utilisé par certains théologiens monastique (d'Évagre le Pontique à saint Thomas d'Aquin et jusqu'à la fin du Moyen Âge). Le terme acédie correspond à de la paresse spirituelle, ce qui est bien différent du sens moderne donné à ce péché par l'emploi du simple mot paresse au sein des 7 péchés capitaux.


title: Paresse

text: La paresse ne doit pas non plus être confondue avec le repos réparateur ou même, simplement, le repos propice à la réflexion et à l'introspection, qui a été loué en son temps par Thomas d'Aquin. Les Évangiles sont d’ailleurs parsemés d’incitations à ne pas perdre sa vie terrestre en futilités mais à gagner, par le renoncement, sa vie dans l'au-delà.


title: Paresse

text: Le sociologue Robert Castel rappelle que la société féodale secrète ses vagabonds, ses « inutiles au monde » qui mêlent paresse et désœuvrement. Vivant d'aumônes, ces vagabonds bénéficient à l'époque moderne de l'assistance sociale d'œuvres caritatives privées mais continuent d'être soumis à une forte répression.


title: Paresse

text: À la Renaissance, époque du travail, de la technique, le paresseux qui ne poursuit pas l'œuvre de Dieu est vilipendé alors que la rentabilité est louée.


title: Paresse

text: L'éthique protestante du travail condamne la paresse, notamment celle des moines.


title: Paresse

text: Au , Jean-Jacques Rousseau tient la paresse pour naturelle chez l'homme à « l'état sauvage ». Au , la paresse devient un sujet politique pour condamner la société industrielle qui aliène le travailleur : "Oblomov" d'Ivan Gontcharov, "Bartleby" d'Herman Melville, "Une apologie des oisifs" de Robert Louis Stevenson et "Le Droit à la paresse" de Paul Lafargue illustrent ces résistances.


title: Paresse

text: Au milieu du se développe l'image bienveillante du clochard ayant choisi ce type de liberté, tel Jehan-Rictus.


title: Paresse

text: Le valorise l'activité alors que la paresse, toujours stigmatisée, est synonyme de passivité.


title: Paresse

text: Face au point de vue qui consiste à considérer le travail comme une valeur, le culte de la paresse et de l'oisiveté apparaît comme une attitude réellement subversive : si chacun arrêtait d’occuper son emploi, ou du moins d'en faire le centre de son activité, les conséquences sociales, économiques et culturelles seraient considérables.


title: Paresse

text: Ce point de vue consistant à faire l'éloge de la paresse trouve un écho chez de multiples auteurs, parmi lesquels Paul Lafargue dans "Le Droit à la paresse", Bertrand Russell ou quelqu'un comme Gébé. Il a été revendiqué, notamment, par les acteurs des courants contestataires occidentaux nés dans les années 1940 et 1950 (tel Bob Black), à commencer par les hippies ou les soixante-huitards.


title: Paresse

text: Certains animaux sont associés à la paresse. Le paresseux, mammifère vivant dans les milieux tropicaux d'Amérique centrale et d'Amérique du Sud, est nommé ainsi en raison de sa très faible activité physique. De même, le koala est parfois surnommé "paresseux australien".


title: Paresse

text: La littérature compte de nombreuses évocations de la paresse. Certaines de ces évocations prennent la forme de réflexions sur le thème de la lutte contre la paresse ou du passage de la fainéantise au goût du travail ou de l'étude. Dans une perspective chrétienne, Augustin d'Hippone, dans le premier livre des "Confessions", décrit aux chapitres 8 à 14 son enfance paresseuse, dont il a désormais honte, et la façon dont il fuyait tout effort. À la Renaissance, Michel de Montaigne intitule un chapitre de ses "Essais" (livre II, chapitre 21). François Rabelais, dans "Gargantua", décrit la façon dont le jeune géant se montre paresseux et indiscipliné (au chapitre 10) puis est abruti par un mauvais professeur, Maître Thubal Holoferne (chapitre 13) avant d'être pris en main par un bon maître, Ponocratès, dont le nom signifie « Pouvoir du travail » et qui lui apprend à s'instruire à toute occasion (chapitre 14 et suivants). Dans la nouvelle de l'écrivain américain Herman Melville "Bartleby", écrite en 1853, le personnage éponyme de la nouvelle est un clerc de notaire atteint d'une forme de paresse presque effrayante tant elle confine à l'apathie complète.


title: Paresse

text: À l'inverse, d'autres œuvres mettent en scène la paresse de façon humoristique, indulgente ou provocatrice. Aux et XI siècles, le poète persan Omar Khayyam se met en scène dans ses rubaiyat en train de boire du vin, de fréquenter des femmes et de se refuser à l'étude pour s'adonner au scepticisme et au désespoir. Il se dit « infidèle mais croyant » et cherche dans cette posture provocatrice une incitation à la réflexion ainsi qu'une forme de mystique (sa mise en scène d'une attitude paresseuse cohabite avec son goût certain pour l'étude, puisqu'il devient aussi un grand mathématicien). En 1629, le poète français Saint-Amant, dans son sonnet "Le Paresseux", explique à un ami Baudoin qu'il se sent si bien au lit qu'il ne se soucie de rien d'autre et a à peine pu consentir à l'effort de lui écrire des vers. Le roman "Oblomov" d'Ivan Gontcharov, paru en 1859, met en scène un paresseux qui donne son nom au livre et dont le seul but dans la vie est de ne pas quitter son divan. Il n'est pas présenté de façon négative mais davantage ambivalente. Le personnage d'Oblomov donne aussi son nom à l'oblomovisme, mélange de paresse et de rêverie.


title: Paresse

text: La bande dessinée met régulièrement en scène des personnages de fainéants tels que l'employé de bureau Gaston Lagaffe créé par Franquin en 1957, le chien Cubitus de Dupa apparu en 1968 ou le chat Garfield de l'Américain Jim Davis créé en 1978, qui sont des figures comiques. De nombreux personnages de bande dessinée font preuve occasionnellement d'une outrageuse paresse qui est un ressort comique récurrent.


title: Paresse

text: La musique évoque régulièrement le thème de la paresse. En 1925, la fantaisie lyrique "L'Enfant et les Sortilèges" de Maurice Ravel et Colette commence en mettant en scène un enfant qui n'a pas envie de faire ses devoirs. La chanson à texte aborde aussi ce thème avec des chansons comme "Poil dans la main" de Jacques Higelin dans son album "Tombé du ciel" en 1988 ou "Sympathique" de Pink Martini en 1991 (dont le refrain est "Je ne veux pas travailler").


title: Paresse

text: Le cinéma présente quelques figures de paresseux. Dans "Alexandre le Bienheureux", film comique français réalisé par Yves Robert en 1968, le personnage éponyme décide de prendre du repos après la mort de sa femme avec laquelle il ne s'entendait pas, et son attitude provoque un scandale.


title: Diamètre

text: La notion de diamètre concerne initialement les figures simples de la géométrie euclidienne que sont le cercle et la sphère mais la notion s'élargit par analogie à plusieurs autres objets géométriques.


title: Diamètre

text: Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment.


title: Diamètre

text: Le diamètre d'un objet cylindrique ou sphérique est appelé module.


title: Diamètre

text: Pour indiquer qu'une valeur correspond au diamètre, en dessin technique, la valeur (du diamètre) est précédée par un symbole « ⌀ » (U+2300) représentant un cercle barré.  Ce symbole ⌀ (U+2300) se dactylographie sur PC avec Windows par la combinaison Alt+0216. Il ne faut pas le confondre avec le symbole ∅ (U+2205), servant à désigner l'ensemble vide, ni avec Ø, qui est la lettre O barrée obliquement.


title: Diamètre

text: On remarque que le diamètre (en tant que distance) d'un cercle ou d'une sphère est la plus grande distance séparant deux points du cercle ou de la sphère.


title: Diamètre

text: Par analogie on appelle, dans un espace métrique , diamètre d'une partie non vide la borne supérieure (dans l'ensemble ordonné ) des distances entre deux points de :


Diamètre


title: Diamètre

text: Ainsi, le diamètre d'une partie non vide est un réel positif si cette partie est bornée et vaut sinon. En astronomie, à la notion de diamètre on peut associer celle de diamètre apparent. Le diamètre apparent est alors homogène à un angle et se mesure en degrés ou en radians.


title: Diamètre

text: On remarque que, si l'on coupe un cercle par un ensemble de droites de même direction et que, pour chacune d'entre elles, on construit le milieu des deux points d'intersection, ces milieux se trouvent tous sur un même diamètre.


title: Diamètre

text: Cette propriété se vérifie pour toute conique : si l'on coupe une conique par un ensemble de droites de même direction et que, pour chacune d'entre elles, on construit le milieu des deux points d'intersection, ces milieux se trouvent tous sur une même droite. Par analogie avec le cas du cercle, on a donné à cette droite le nom de diamètre de la conique relativement à la direction des droites parallèles. On trouve aussi le diamètre défini comme une portion de droite : le lieu des milieux des cordes parallèles à une même direction.


title: Diamètre

text: Pour les coniques à centre, ces diamètres passent par le centre de la conique. On appelle «diamètres conjugués» deux diamètres dont l'un est le diamètre relatif à la direction définie par l'autre diamètre. Les diamètres conjugués orthogonaux sont les axes de symétrie de la conique.


title: Diamètre

text: Isaac Newton a observé, en 1706, que cette propriété se généralise à des courbes algébriques de degré supérieur. C'est le théorème de Newton sur les diamètres : si l'on coupe une courbe algébrique de degré "n" par un ensemble de droites de même direction rencontrant la courbe en "n" points et que, pour chacune d'entre elles, on construit l'isobarycentre des "n" points d'intersection, ces isobarycentres se trouvent tous sur une même droite.


title: Diamètre

text: On appelle cette droite diamètre conjugué à la direction des droites parallèles.


title: Diamètre

text: Henri Lebesgue, en 1921, travaille dans une autre direction avec une définition différente. Observant que le diamètre d'une conique est un axe de symétrie oblique de celle-ci, il appelle diamètre d'une courbe algébrique plane tout axe de symétrie oblique de celle-ci et il fait une classification des diamètres des courbes algébriques de degré "m".


title: Albédo

text: L'albédo, ou albedo (sans accent), est le pouvoir réfléchissant d'une surface, c'est-à-dire le rapport du flux d'énergie lumineuse réfléchie au flux d'énergie lumineuse incidente. C'est une grandeur sans dimension, comparable à la réflectance, mais d'application plus spécifique, utilisée notamment en astronomie, climatologie et géologie.


title: Albédo

text: Le substantif masculin "albédo" est emprunté au latin tardif (bas latin) ', substantif féminin signifiant "blancheur". Il a été introduit au en optique et en astronomie par le mathématicien et astronome Jean-Henri Lambert.


title: Albédo

text: L'albédo, dans sa définition la plus courante dite albédo de Bond, est une valeur comprise entre 0 et 1 : un corps noir parfait, qui absorberait toutes les longueurs d'onde sans en réfléchir aucune, aurait un albédo nul, tandis qu'un miroir parfait, qui réfléchirait toutes les longueurs d'onde, sans en absorber une seule, aurait un albédo égal à 1. D'autres définitions, dont celle de l'albédo géométrique, peuvent donner des valeurs supérieures à 1.


title: Albédo

text: Le terme albédo (en anglais "single scattering albedo") est également utilisé en transfert radiatif pour décrire la part de la diffusion dans l'extinction totale d'un milieu semi-transparent. Il s'agit donc d'une quantité comprise entre 0 (pas de diffusion) et 1 (pas d'absorption).


title: Albédo

text: Dans la pratique, un corps est perçu comme blanc dès qu'il réfléchit au moins 80 % de la lumière d'une source lumineuse blanche. À l'inverse tout corps réfléchissant moins de 3 % de la lumière incidente paraît noir.


title: Albédo

text: Certaines matières ont un albédo très variable, comme les nuages. En revanche, les corps solides ont bien souvent des albédos fixes, dépendant de leur composition chimique. Par exemple, la lave a un albédo de 0,04, le sable entre 0,25 et 0,30, la glace environ 0,60, la neige (épaisse et fraîche) jusqu'à 0,90. L'albédo moyen terrestre est de 0,30 toutes surfaces confondues. L'appareil qui mesure l'albédo est un albédomètre composé d'un ou deux pyranomètre(s).


title: Albédo

text: L'albédo est l'un des indicateurs renseignant sur la température de la surface de la Terre.


title: Albédo

text: Le refroidissement d'origine astronomique entraîne une extension des glaces continentales, de l'inlandsis, des glaciers, et donc une augmentation de l'albédo ; la planète réfléchit davantage le rayonnement solaire, en absorbe moins, ce qui amplifie son refroidissement. Le réchauffement a des effets inverses. Ce qui pose un problème aujourd'hui : le réchauffement de la planète fait fondre la banquise polaire, ce qui diminue l'albédo et donc augmente la température de la planète. La planète Terre présente un albédo de Bond de l'ordre de 0,34.


title: Albédo

text: Afin de lutter contre le réchauffement climatique, une piste de recherche consisterait à provoquer à grande échelle des nuages artificiels provoquant une augmentation de l'albédo terrestre. En l'absence de recul et de maîtrise de la technologie, cette piste est cependant repoussée.


title: Albédo

text: La ville de Los Angeles peint en blanc certains sols et bâtiments, ce qui permet de faire baisser la température de 6 ou 7 degrés lors des épisodes de forte chaleur ou de canicule. Un dispositif similaire dans la ville de New York consistant à peindre les toits de peinture blanche réfléchissante donne une baisse de température de ces toits allant jusqu'à 15 degrés. Un rapport estime que pour les blocs d'immeubles, peindre en blanc murs et trottoirs permettrait une économie d'énergie liée à la climatisation de 10 à 30 %.