title: Groupe (mathématiques)

text: On démontre (au début de l'article détaillé) qu'alors, "f" est bien « compatible » non seulement avec les lois des deux groupes, mais avec leurs neutres et symétriques respectifs ; plus précisément : l'image de l'élément neutre du groupe ("G" ; •) est l'élément neutre de ("H" ; *) et l'image du symétrique "a" de tout élément "a" est le symétrique de l'image de "a", autrement dit : "f"("a") = "f"("a").


title: Groupe (mathématiques)

text: Deux groupes "G" et "H" sont dits isomorphes s'il existe deux morphismes de groupes et tels que la composée de ces deux fonctions, quel que soit l'ordre, donne l'identité. C'est-à-dire que, quels que soient "a" élément de "G" et "b" de "H",


title: Groupe (mathématiques)

text: Du point de vue de la structure de groupe, "G" et "H" sont en quelque sorte « le même groupe ».


title: Groupe (mathématiques)

text: Intuitivement, "un sous-groupe" est un groupe "H" inclus dans un autre groupe "G". Cela signifie que l'élément neutre de "G" est contenu dans "H" et, quels que soient "h" et "h" éléments de "H", et "h" appartiennent aussi à "H".


title: Groupe (mathématiques)

text: Dans l'exemple du groupe D ci-dessus, l'identité et les rotations forment un sous-groupe coloré en rouge dans le tableau : la composée de deux rotations est une rotation et chaque rotation a pour symétrique une rotation, celle telle que la somme des angles des deux rotations est 360° (un tour complet).


title: Groupe (mathématiques)

text: Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un sous-ensemble "H" d'un groupe "G" soit un sous-groupe de "G" est qu'il soit non vide et que, quels que soient les éléments "a" et "b" de "H" :


title: Groupe (mathématiques)

text: Cela permet par exemple de montrer que l'image d'un morphisme de groupes est un sous-groupe du groupe d'arrivée.


title: Groupe (mathématiques)

text: La connaissance du treillis des sous-groupes d'un groupe donné est importante pour la compréhension de ce groupe.


title: Groupe (mathématiques)

text: Étant donné un sous-ensemble "S" d'un groupe "G", le "sous-groupe engendré" par "S" est constitué par tous les produits des éléments de "S" avec des symétriques de ces éléments, l'opération pouvant être répétée plusieurs fois. C'est le plus petit sous-groupe contenant "S". Dans l'exemple D, le sous-groupe engendré par r et f est constitué de ces deux éléments, de l'identité et de . C'est un sous-groupe, car combiner deux éléments, ou leurs symétriques donne un élément de cet ensemble.


title: Groupe (mathématiques)

text: Si un groupe est engendré par un de ses éléments, on dit qu'il est monogène. Si le groupe est de plus fini, on le dit cyclique. Par exemple, le groupe (Z ; +) des entiers relatifs est monogène car il est engendré par le seul élément 1 : on peut obtenir n'importe quel entier en ajoutant 1 avec lui-même ou avec son opposé -1. Le sous-groupe de Z engendré par 2 est constitué des nombres pairs (noté 2Z), celui qui est engendré par 3 est le sous-groupe des multiples de 3 (noté 3Z), etc.


title: Groupe (mathématiques)

text: Dans de nombreuses situations, il est souhaitable de considérer que deux éléments d'un groupe sont les mêmes s'ils diffèrent d'un élément d'un sous-groupe donné.


title: Groupe (mathématiques)

text: Par exemple, dans D, une fois qu'un retournement a été effectué, le carré ne peut jamais revenir à la position de r par application de rotations, sans autre retournement. Il est possible de classer les figures du carré données dans l'exemple ci-dessus suivant deux parties : celle qui rassemble les figures pour lesquelles la suite des sommets 1-2-3-4 est parcourue dans le sens des aiguilles d'une montre, et celle des figures où 1-2-3-4 est parcouru dans l'autre sens. Il est possible de passer d'une figure d'une de ces parties à une autre par un retournement, mais aucune rotation ne permet de passer d'un carré de type à un carré de l'autre type. Ainsi, deux figures du même type diffèrent d'une rotation.


title: Groupe (mathématiques)

text: La notion de "classe suivant un sous-groupe" formalise ceci : un sous-groupe "H" définit une classe à gauche et une classe à droite, qui peuvent être vues comme des translations de "H" par des éléments arbitraires "g" du groupe. Les "classe à gauche" et "classe à droite" suivant "H" contenant "g" sont respectivement  c'est-à-dire les ensembles constitués de tous les éléments de la forme "g" • "h" (classe à gauche) et de la forme "h" • "g" (classe à droite), où "h" est un élément de "H".


title: Groupe (mathématiques)

text: Les classes suivant un sous-groupe "H" forment une partition de "G", c'est-à-dire que la réunion de toutes les classes à gauche est égale à "G" et l'intersection de deux classes à gauche différentes est vide.


title: Groupe (mathématiques)

text: L'égalité a lieu si et seulement si , c'est-à-dire lorsque "g" et "g" diffèrent d'un élément de "H". De même pour les classes à droite suivant "H". Les classes à gauche et à droite suivant "H" peuvent être égales, mais ce n'est pas le cas en général. Si, pour tout élément "g" de "G", "gH" = "Hg", alors "H" est un sous-groupe normal (ou "distingué") de "G".


title: Groupe (mathématiques)

text: Dans D, les classes à gauche "gR" relatives au sous-groupe "R" constitué par les rotations sont : soit "R" si "g" est une rotation, soit l'ensemble colorié en vert sur la table de Cayley donnée plus haut. Le sous-groupe "R" est distingué car les classes à gauche et à droite sont égales : , par exemple, cette égalité étant aussi vraie pour tous les éléments autres que f.


title: Groupe (mathématiques)

text: Dans Z, le sous groupe 2Z des nombres pairs définit deux classes : celle des nombres pairs et celle des nombres impairs. Les classes à gauche et à droite dans Z sont toujours égales car ce groupe est commutatif.


title: Groupe (mathématiques)

text: Le groupe diédral D des symétries d'un triangle équilatéral ABC possède plusieurs sous groupes : il y a trois sous-groupes contenant l'identité et la symétrie par rapport à une hauteur, les sous-groupes de rotation de 120 degrés (sens direct et sens indirect), le sous-groupe contenant l'identité seulement et le groupe diédral lui-même. Certains de ces sous-groupes sont normaux, d'autres non, et cela peut se voir très simplement.


title: Groupe (mathématiques)

text: Si H est normal, pour tout g appartenant à D, g H g = H. Supposons que H soit le sous groupe contenant l'identité "e", et la symétrie "s" par rapport à l'axe vertical (hauteur issue de A). Si g est la rotation de 120 degrés dans le sens direct, les éléments de g H g sont l'identité et la symétrie par rapport à la hauteur issue de B (prendre l'exemple d'un point M proche de B, g fait tourner M de –120 degrés, "s" envoie M de l'autre côté de l'axe vertical et "g" ramène M vers B par la rotation de 120 degrés). Autrement dit, g H g est différent de H, mais surtout g H g est "semblable" à H, mais par rapport à un autre axe. Les deux groupes H et g H g ne diffèrent que par un "changement de coordonnée".


title: Groupe (mathématiques)

text: Un groupe normal est en quelque sorte indépendant du système de coordonnées. On voit toute de suite que le groupe contenant l'identité et la symétrie par rapport à une droite n'est pas normal, mais que le groupe contenant l'identité, la rotation de 120 degrés et la rotation de 240 degrés l'est : il n'y a pas d'axe privilégié.


title: Groupe (mathématiques)

text: Ce genre d'exemple suggère que dans le groupe des matrices orthogonales, le sous-groupe des matrices conservant l'orientation est probablement normal, tandis que le sous-groupe qui conserve un hyperplan particulier ne l'est pas.


title: Groupe (mathématiques)

text: Lorsqu'un sous-groupe est distingué, l'ensemble des classes qu'il définit forme également un groupe, appelé groupe quotient de "G" par "N" et noté "G" / "N". L'opération de ce nouveau groupe est induite par celle de "G" : pour tous éléments "g" et "h" de "G". Cette étude est motivée par l'idée que l'application qui, à tout élément "g" du groupe associe sa classe "gN", est un morphisme de groupes. La classe est l'élément neutre du groupe quotient et le symétrique de "gN" est . Les éléments du groupe quotient sont "R" lui-même, qui représente l'élément neutre, et . La loi de groupe de ce quotient est représentée dans le tableau ci-contre. Par exemple, . Le sous-groupe et le groupe quotient correspondant sont tous les deux commutatifs, alors que D ne l'est pas. L'idée de construire de grands groupes à partir d'autres plus petits est formalisée par la notion de produit semi-direct.


title: Groupe (mathématiques)

text: Le quotient et les sous-groupes permettent de décrire tout groupe par sa "présentation" : chaque groupe est le quotient du groupe libre sur l'ensemble de ses générateurs, quotienté par le sous-groupe des "relations". Le groupe diédral D, par exemple, peut être engendré par deux éléments "a" et "b", où "a" est l'une des deux rotations d'ordre 4 (par exemple celle d'angle formula_1) et "b" un retournement quelconque (par exemple celui d'axe vertical). Une présentation de ce groupe est : Une présentation d'un groupe peut aussi servir à construire le graphe de Cayley, un outil utilisé pour représenter graphiquement les groupes discrets.


title: Groupe (mathématiques)

text: Les sous-groupes et groupes quotients sont liés par la relation suivante : un sous-ensemble "H" de "G" peut être vu comme une injection , c'est-à-dire que chaque élément de "G" possède au plus un antécédent par cette fonction. La notion d'application injective est liée avec celle d'application surjective (une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent). L'application canonique est surjective. Les théorèmes d'isomorphisme permettent d'exhiber des morphismes injectifs, surjectifs et bijectifs « naturels » d'un groupe afin de comprendre sa structure.


title: Groupe (mathématiques)

text: Les exemples et applications des groupes abondent. Un point de départ est le groupe Z des entiers avec l'addition comme loi, donné en introduction de l'article. Si au lieu de l'addition on considère la multiplication, on obtient des groupes multiplicatifs. Ces groupes sont les prédécesseurs d'importantes constructions en algèbre générale.


title: Groupe (mathématiques)

text: Les groupes sont aussi appliqués dans de nombreux autres domaines des mathématiques. Les objets mathématiques sont souvent examinés en leur associant des groupes et en étudiant les propriétés des groupes correspondants. Par exemple, Henri Poincaré a fondé ce qui est maintenant appelé la topologie algébrique en introduisant le groupe fondamental. De par cette connexion, des propriétés topologiques comme les voisinages et la continuité se traduisent en propriétés de groupes. Par exemple, les éléments du groupe fondamental sont représentés par des boucles. La deuxième image à droite montre quelques boucles dans un plan privé d'un point. La boucle bleue est considérée comme nulle et donc sans intérêt, car elle peut être continument (c'est-à-dire sans être « cassée ») déformée en un point. La présence d'un trou empêche la boucle orange d'être continument déformée en un point. Le groupe fondamental du plan dont un point a été ôté s'avère donc infini et cyclique, engendré par la boucle orange (ou toute autre boucle faisant un tour autour du trou).


title: Groupe (mathématiques)

text: Dans des applications plus récentes, l'influence a été inversée pour motiver les constructions géométriques par un arrière-plan de théorie des groupes. Dans le même ordre d'idées, la théorie géométrique des groupes emploie des concepts géométriques, par exemple dans l'étude des groupes hyperboliques. D'autres branches appliquant les groupes de manière cruciale incluent la géométrie algébrique et la théorie des nombres.


title: Groupe (mathématiques)

text: En plus des applications théoriques précédentes, de nombreuses applications pratiques des groupes existent. La cryptographie repose sur la combinaison de la théorie des groupes avec le savoir algorithmique obtenu par la , en particulier l'implémentation dans les groupes finis. Les applications de la théorie des groupes ne sont pas restreintes aux mathématiques, des sciences comme la physique, la chimie et l'informatique bénéficient de ce concept. De nombreux systèmes numériques, comme les nombres entiers et rationnels, bénéficient naturellement d'une structure de groupe. Dans certains cas, l'addition et la multiplication donnent chacune lieu à une structure de groupe. Ces considérations ont donné naissance à des structures algébriques plus élaborées : les anneaux et les corps.


title: Groupe (mathématiques)

text: Le groupe des nombres entiers Z muni de l'addition, noté (Z, +), a été décrit plus haut. L'ensemble des nombres entiers, muni de la multiplication (Z, ×), ne forme pas un groupe. La loi est bien interne, associative, et il existe un élément neutre (le nombre 1), mais pas d'inverse en général : par exemple, l'équation n'admet pas de solution dans Z. L'inverse de 3 serait , qui n'est pas entier, mais rationnel.


title: Groupe (mathématiques)

text: Le besoin d'inverses des nombres entiers amène à considérer les fractions  où "a" et "b" sont deux entiers, "b" étant différent de zéro. Ces fractions d'entiers sont appelées nombres rationnels et l'ensemble qu'elles constituent est noté Q.


title: Groupe (mathématiques)

text: L'ensemble des rationnels muni de la multiplication, ne constitue pas un groupe, car le nombre 0 ne possède pas d'inverse pour la multiplication (il n'existe aucun nombre rationnel "x" tel que ).


title: Groupe (mathématiques)

text: Cependant, l'ensemble des nombres rationnels "non nuls" : , muni de la multiplication, forme un groupe noté .


title: Groupe (mathématiques)

text: L'ensemble des nombres rationnels (y compris zéro) forme aussi un groupe lorsqu'il est muni de l'addition. L'entrelacement de l'addition et de la multiplication produit une nouvelle structure plus complexe que celle de groupe : les anneaux (Z, par exemple) et, si la division est possible (comme avec Q), les corps commutatifs.


title: Groupe (mathématiques)

text: L'ensemble des classes du groupe quotient de (Z, +) par son sous-groupe "pZ engendré par un entier "p", noté Z/"pZ est particulièrement intéressant lorsque "p" est un nombre premier.


title: Groupe (mathématiques)

text: Pour tout nombre premier "p", Z/"p"Z, muni cette fois de la multiplication (et privé de zéro), est un groupe. Ses éléments sont les entiers non divisibles par "p", considérés "modulo" "p", c'est-à-dire que chaque nombre est assimilé au reste de sa division euclidienne par "p" : deux éléments sont considérés comme équivalents lorsque leur différence est un multiple de "p".


title: Groupe (mathématiques)

text: Par exemple, si , il y a exactement 4 éléments : 1 ; 2 ; 3 et 4. Les multiples de 5 sont exclus. 6 et −4 sont considérés comme équivalents à 1. Le produit puisque le produit usuel 16 est équivalent à 1, car 5 divise . On note .


title: Groupe (mathématiques)

text: La primalité de "p" assure que le produit de deux entiers non divisibles par "p" n'est pas divisible par "p", donc la multiplication sur l'ensemble de classes considérés est une loi de composition interne. L'élément neutre est 1 et l'associativité provient de la propriété correspondante sur les entiers relatifs. Enfin, le dernier axiome de groupe nécessite que, pour chaque élément "a" non divisible par "p", il existe un entier "b" non divisible par "p" tel que : L'inverse "b" peut être déterminé en utilisant le théorème de Bachet-Bézout et le fait que le PGCD de "a" et "p" est 1. Dans le cas ci-dessus, l'inverse de 4 est 4 et l'inverse de 3 est 2, car . Ainsi, les axiomes de groupes sont vérifiés. En fait, cet exemple est similaire à (Q\{0}, ·), car il montre que l'ensemble des éléments non nuls, muni de la multiplication, est un groupe, ce qui, conjointement au groupe additif, donne un corps fini noté F. Ces groupes sont cruciaux pour la cryptographie à clé publique.


title: Groupe (mathématiques)

text: Un "groupe cyclique" est un groupe dont tous les éléments sont des puissances (quand le groupe est noté additivement, le terme "multiple" est utilisé) d'un certain élément "a". En notation multiplicative, les éléments du groupe sont : où "a" signifie "a" • "a", et "a" désigne "a" • "a" • "a"=("a" • "a" • "a") etc. Un tel élément "a" est un générateur, ou élément primitif du groupe.


title: Groupe (mathématiques)

text: Un exemple typique est celui des racines n de l'unité, qui sont les nombres complexes "z" tels que , muni de la multiplication ("n" désignant un nombre entier strictement positif). Tout groupe cyclique contenant "n" éléments est isomorphe à ce groupe. La théorie des corps montre que le groupe (F,×) est cyclique : pour , par exemple, 3 est un générateur car , , et . Tout groupe cyclique infini est isomorphe au groupe des entiers relatifs (Z, +). Comme ces deux prototypes sont abéliens, tout groupe cyclique est abélien. Les "groupes de symétries" sont constitués des symétries d'objets mathématiques donnés, que ces objets soient de nature géométrique, comme le groupe des symétries du carré vu en introduction, ou de nature algébrique, comme les équations polynomiales et leurs solutions. D'un point de vue conceptuel, la théorie des groupes peut être pensée comme l'étude de la symétrie. Les symétries simplifient grandement l'étude des objets géométriques ou analytiques. On dit qu'un groupe "opère" sur un objet "X" si chaque élément du groupe peut être associé à une opération sur "X" de façon que la composition de ces opérations soit compatible avec la loi du groupe. Par exemple, le groupe diédral D opère sur le carré.


title: Groupe (mathématiques)

text: En chimie, notamment en cristallographie, les groupes d'espaces et groupes ponctuels de symétrie décrivent des symétries moléculaires et les symétries de cristaux. Ces symétries sous-tendent le comportement chimique et physique de ces systèmes et la théorie des groupes permet la simplification de l'analyse quantique de ces propriétés. Par exemple, la théorie des groupes est utilisée pour montrer que des transitions d'atomes entre certains niveaux quantiques ne peuvent pas se produire à cause de la symétrie des niveaux.


title: Groupe (mathématiques)

text: Les groupes ne sont pas seulement utiles pour estimer les implications des symétries dans les molécules, mais ils prédisent aussi, de façon surprenante, que les molécules peuvent parfois changer de symétrie. L’effet Jahn-Teller, connu aussi en tant que « distorsion Jahn-Teller », décrit la distorsion de la géométrie des molécules non linéaires dans certaines situations. Historiquement, cet effet a été proposé dans un théorème publié en 1937 par Hermann Arthur Jahn et Edward Teller, dans lequel ils démontrent que toute molécule non linéaire possédant un niveau électronique fondamental dégénéré subira une distorsion géométrique qui lèvera cette dégénérescence, ce qui aura pour effet de diminuer l’énergie totale de la molécule.


title: Groupe (mathématiques)

text: De même, la théorie des groupes aide à prévoir les changements dans les propriétés physiques qui se produisent quand un matériau subit une transition de phase, par exemple, d'une forme cristalline cubique en une forme tétraédrique. Ainsi les matériaux ferroélectriques, dans lesquels le changement d'une phase paraélectrique à une phase ferroélectrique se produit à la température de Curie et est lié à un changement de l'état hautement symétrique paraélectrique à un état ferroélectrique de moindre symétrie, accompagné d'un mode appelé "phonon", c'est-à-dire un « paquet élémentaire de vibration » qui s'étend de la fréquence zéro à la transition.


title: Groupe (mathématiques)

text: Une telle brisure spontanée de symétrie a trouvé une application en physique des particules élémentaires, où son apparition est reliée à l'apparition de bosons de Goldstone.


title: Groupe (mathématiques)

text: Les groupes de symétries finis comme le groupe de Mathieu sont utilisés en théorie des codes, qui est à son tour appliquée à la correction préventive d'erreurs de données transmises et dans les lecteurs de CD. Une autre application est la théorie de Galois différentielle, qui caractérise les fonctions possédant des primitives d'une certaine forme, ce qui donne des critères de théorie des groupes pour déterminer quand certaines équations différentielles se comportent bien. Les propriétés géométriques qui restent stables par une action de groupe sont étudiées en .


title: Groupe (mathématiques)

text: Un est constitué de matrices et muni de la multiplication matricielle. Le "groupe général linéaire" GL("n",R) contient toutes les matrices inversibles à "n" lignes et "n" colonnes et coefficients réels. Le groupe diédral mentionné ci-dessus peut être vu comme un très petit groupe de matrices. Un autre groupe de matrices très important est le groupe spécial orthogonal "SO"("n"). Il décrit toutes les rotations possibles à "n" dimensions. Via les angles d'Euler, les matrices de rotation sont utilisées en infographie pour la synthèse d'images.


title: Groupe (mathématiques)

text: La théorie des représentations est à la fois une application du concept de groupe et important pour une compréhension plus profonde de ce concept. Elle consiste à étudier un groupe par son action sur d'autres espaces. Une grande catégorie de représentations de groupes est celle des représentations linéaires, lorsque le groupe opère sur un espace vectoriel comme l'espace euclidien à trois dimensions. Une représentation d'un groupe "G" sur un espace vectoriel réel à "n" dimensions est simplement un morphisme de groupes  du groupe "G" vers le groupe général linéaire. De cette façon, l'opération de groupe, qui peut être définie de façon abstraite, est transposée en la multiplication de matrices, ce qui la rend accessible à des calculs explicites.


title: Groupe (mathématiques)

text: Étant donnée une action de groupe, cela donne des moyens supplémentaires pour étudier l'objet sur lequel le groupe opère. Mais aussi des informations sur le groupe lui-même. Les représentations de groupes sont un principe d'organisation de la théorie des groupes finis, des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes topologiques, en particulier les groupes compacts ou localement compacts.


title: Groupe (mathématiques)

text: Les "groupes de Galois" ont été développés pour aider à la résolution d'équations polynomiales en identifiant leurs symétries. Par exemple, les solutions de l'équation quadratique sont données par : L'échange de « + » et « - » dans l'expression, c'est-à-dire la permutation des deux solutions de l'équation, peut être vu comme une action de groupe très simple. Des formules similaires sont connues pour les équations cubiques et quartiques, mais n'existent pas en général pour les équations polynomiales de degré 5 ou davantage. Les propriétés abstraites des groupes de Galois associés à des polynômes donnent un critère permettant de déterminer si une équation polynomiale est résoluble par radicaux, c'est-à-dire si les solutions peuvent être exprimées à partir des coefficients du polynôme en utilisant seulement l'addition, la multiplication et les racines n, comme dans la formule ci-dessus.


title: Groupe (mathématiques)

text: Le problème peut être traité en utilisant la théorie des corps, en considérant le corps de rupture du polynôme. La théorie de Galois moderne généralise les groupes de Galois évoqués ci-dessus aux extensions de corps et établit, par le théorème fondamental de la théorie de Galois, une relation précise entre les corps et les groupes, soulignant une fois de plus le rôle important des groupes dans les divers champs des mathématiques.


title: Groupe (mathématiques)

text: Un groupe est dit "fini" s'il possède un nombre fini d'éléments. Le nombre de ses éléments est appelé l"'ordre" de ce groupe. Les groupes symétriques "S", groupes des permutations de "N" lettres, sont particulièrement importants. Par exemple, le "ABC" contient les six permutations des trois lettres : "ABC", "ACB", "BAC", "BCA", "CAB" et "CBA". Ces groupes sont importants car tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique "S", pour une certaine valeur de "N" (théorème de Cayley). De manière analogue au groupe des symétries du carré vu plus haut, "S" peut être vu comme le groupe des symétries d'un triangle équilatéral.


title: Groupe (mathématiques)

text: L"'ordre" d'un élément "a" d'un groupe "G" est le plus petit entier positif "n" tel que , où "a" représente c'est-à-dire la répétition de l'opération • sur "n" copies de "a". Dans un groupe infini, un tel ordre "n" peut ne pas exister, dans ce cas on dit que l'ordre de "a" est l'infini. L'ordre d'un élément est égal à l'ordre du groupe cyclique engendré par cet élément.


title: Groupe (mathématiques)

text: Des techniques de comptage plus sophistiquées produisent des informations plus précises sur les groupes finis : le théorème de Lagrange indique que, pour un groupe fini "G", l'ordre de tous sous-groupe "H" de "G" divise l'ordre de "G". Les théorèmes de Sylow donnent des réciproques partielles.


title: Groupe (mathématiques)

text: Le groupe diédral D est fini, d'ordre 8. L'ordre de r est 4, de même que l'ordre du sous-groupe "R" engendré par cette rotation. L'ordre des réflexions f etc, est 2. Ces ordres divisent 8, comme l'indique le théorème de Lagrange.


title: Groupe (mathématiques)

text: La classification des groupes finis mène rapidement à des mathématiques profondes et difficiles. D'après le théorème de Lagrange, les groupes finis d'ordre "p", où "p" est un nombre premier, sont nécessairement cycliques, donc abéliens et isomorphes à Z. On peut également montrer que les groupes d'ordre "p" sont abéliens. Ce résultat ne se généralise pas à "p", comme le montre le groupe diédral D non abélien d'ordre 8 = 2. Un système de calcul formel peut être utilisé pour établir une liste des petits groupes, mais il n'existe aucune classification de tous les groupes finis.


title: Groupe (mathématiques)

text: Une étape intermédiaire est la classification des groupes simples finis. Un groupe "G" non trivial est dit simple si ses seuls sous-groupes normaux sont son sous-groupe trivial (réduit à l'élément neutre) et le groupe "G" lui-même. Le théorème de Jordan-Hölder désigne les groupes simples comme étant les « briques » utilisées pour construire tous les groupes finis. L'élaboration de la liste des groupes finis simples fut un résultat majeur de la théorie des groupes contemporaine. Richard Borcherds, lauréat de la médaille Fields en 1998, parvint à prouver les conjectures "monstrous moonshine", une relation surprenante et profonde entre le plus grand groupe sporadique fini simple (le "groupe Monstre") et certaines formes modulaires, qui font partie de l'analyse complexe et de la théorie des cordes, une théorie supposée unifier la description de nombreux phénomènes physiques.


title: Groupe (mathématiques)

text: De nombreux groupes sont en même temps des exemples d'autres structures mathématiques. Dans le langage de la théorie des catégories, il existe des groupes dans une catégorie, ce qui signifie qu'il existe des objets (c'est-à-dire des exemples d'une autre structure mathématique) accompagnés de transformations (appelées morphismes) qui imitent les axiomes de groupe. Par exemple, chaque groupe est aussi un ensemble, donc un groupe est un "objet" groupe dans la catégorie des ensembles.


title: Groupe (mathématiques)

text: Certains espaces topologiques peuvent être munis d'une loi de groupe. Pour que la loi du groupe et la topologie interagissent correctement, les opérations du groupe doivent être continues, c'est-à-dire que et "g" ne doivent pas beaucoup varier si "g" et "h" varient peu. De tels groupes sont dits "groupes topologiques". Les exemples les plus courants sont le groupe additif des nombres réels, le groupe multiplicatif des réels non nuls et de même, ("K", +) et pour tout corps topologique "K", comme le corps des nombres complexes ou celui des nombres -adiques. Lorsque — comme dans ces six exemples — le groupe est localement compact, il a une mesure de Haar et peut donc être étudié via l'analyse harmonique. La mesure de Haar offre un formalisme abstrait des intégrales invariantes. L'invariance signifie, dans le cas de (R, +) par exemple : pour toute constante "c". Les groupes de matrices à coefficients dans ces corps relèvent de ce régime, comme les anneaux adèles et les , qui sont fondamentaux en théorie des nombres. Les groupes de Galois d'extensions de corps infinis comme le groupe de Galois absolu peuvent aussi être équipés d'une topologie, la topologie de Krull, qui est à son tour centrale pour généraliser la connexion entre les corps et les groupes d'extensions de corps infinis esquissée plus haut. Une généralisation avancée de cette idée, adaptée aux besoins de la géométrie algébrique, est le .


title: Groupe (mathématiques)

text: Les groupes de Lie (du nom de Sophus Lie) sont des groupes qui ont une structure de variété différentiable, c'est-à-dire qui sont des espaces localement semblables à un espace euclidien d'une certaine dimension. Là encore, la structure additionnelle — ici, la structure de variété — doit être compatible avec celle de groupe, c'est-à-dire que les fonctions correspondant à la multiplication et à l'inverse doivent être différentiables.


title: Groupe (mathématiques)

text: Un exemple standard est le groupe général linéaire introduit plus haut : il est un sous-ensemble ouvert de l'espace de toutes les matrices carrées à "n" lignes et "n" colonnes car défini par l'ensemble des matrices carrées "A" telles que  où det désigne le déterminant, qui est une application continue.


title: Groupe (mathématiques)

text: Les groupes de Lie sont d'une importance fondamentale en physique : le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne les symétries en physique. Les rotations, ainsi que les translations dans l'espace et le temps, sont des symétries de base des lois de la mécanique. Elles peuvent notamment être utilisées pour construire des modèles simples — imposer par exemple un axe de symétrie à une situation conduit généralement à une nette simplification des équations nécessaires à sa description physique. Un autre exemple est la transformation de Lorentz, qui relie les mesures du temps et de la vitesse de deux observateurs en mouvement relatif. Elle peut être déduite par un raisonnement purement théorique sur le groupe des transformations de Galilée de l'espace de Minkowski. Ce dernier sert — en l'absence d'une gravitation significative — à modéliser l'espace-temps en relativité restreinte. Le groupe des isométries de l'espace de Minkowski est appelé groupe de Poincaré. De ce fait, celui-ci joue un rôle pivot en relativité restreinte et, par conséquent, pour la théorie quantique des champs.


title: Groupe (mathématiques)

text: En algèbre générale, des structures plus générales sont définies en omettant certains axiomes de la définition des groupes. Par exemple, si la condition que chaque élément possède un symétrique est éliminée, on obtient une structure algébrique appelée monoïde. Les nombres entiers naturels N, munis de l'addition, forment un monoïde, de même que l'ensemble des entiers relatifs non nuls munis de la multiplication vu plus haut. Il existe une méthode générale pour ajouter de façon formelle des symétriques aux éléments d'un monoïde commutatif, de façon analogue à celle dont est dérivé de . Le groupe ainsi obtenu est appelé groupe de Grothendieck du monoïde.


title: Groupe (mathématiques)

text: Un groupoïde est semblable à un groupe, si ce n'est que la loi "a" • "b" n'est pas définie pour tous les éléments "a" et "b". Les groupoïdes apparaissent dans l'étude de formes plus compliquées de symétries, souvent dans les structures topologiques ou analytiques, comme le groupoïde fondamental. Le tableau ci-contre donne différentes structures généralisant celle de groupe. La théorie des groupes du premier ordre est indécidable : il n'existe pas d'algorithme qui prend en entrée une formule du premier ordre et qui dit si la formule est vraie dans tous les groupes. , étudiante de Tarski, a démontré que la théorie du premier ordre des groupes abéliens est décidable.


title: Anneau unitaire

text: En mathématiques, un anneau unitaire, parfois anneau unifère, mais souvent simplement anneau (voir anneau (mathématiques)), est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un triplet indiquant qu'on munit un ensemble de deux opérations qui satisfont certaines des propriétés de l'addition et la multiplication des nombres entiers relatifs.


title: Anneau unitaire

text: L'étude des anneaux trouve son origine dans l'école allemande du . Elle est développée par les mathématiciens Dedekind, Hilbert, Fraenkel et Noether. Elle naît de l'étude des équations algébriques, des nombres algébriques et de la recherche d'une démonstration du grand théorème de Fermat. Elle conduira à un développement important de l'algèbre générale et de la géométrie algébrique.


title: Anneau unitaire

text: Dans le Supplément de sa seconde édition des "Leçons sur la théorie des nombres" de Dirichlet, en 1871, Dedekind considère, à côté de la notion de corps ('), l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques ; il introduira un peu plus tard d'autres anneaux qu'il appelle "ordres" ('). Mais c'est David Hilbert qui emploie le terme d'anneau (') pour définir ce qui est toujours à l'époque un anneau commutatif unitaire, dans son "Rapport sur les nombres" (') de 1897 pour la "Deutsche Mathematiker-Vereinigung".


title: Anneau unitaire

text: Un anneau unitaire est un triplet noté ("A,+,×)" indiquant qu'on a muni l'ensemble A de deux opérations (appelées "addition" et "multiplication") qui se comportent comme celles des entiers relatifs au sens précis suivant : "A" muni de l'addition est un groupe abélien, la multiplication est associative, distributive par rapport à l'addition, et elle possède un élément neutre. Il est fréquent de confondre, par abus de notation, l'ensemble que l'on a muni des deux lois avec le triplet lui-même. Tout au long de cet article, on désignera l'anneau par son ensemble associé, au lieu de son triplet.


title: Anneau unitaire

text: De façon plus détaillée, un anneau est un ensemble "A" dans lequel sont données deux lois de composition interne, notées "+" et "∙", vérifiant les propriétés suivantes :Un anneau commutatif est un anneau dont la multiplication est elle aussi commutative. En explicitant comme ci-dessus, c'est un anneau dans lequel l'identité suivante est vérifiée quels que soient les éléments "a" et "b" de l'ensemble "A" :


title: Anneau unitaire

text: Une minorité d'auteurs définissent un anneau sans exiger l'existence d'un élément neutre pour la multiplication. Le lecteur à la recherche d'informations sur cette structure, qui n'est pas l'objet du présent article, se réfèrera à l'article pseudo-anneau. Du fait de cette variabilité de définition, il peut être prudent lorsqu'on craint une confusion de préciser anneau unitaire (ou unifère) lorsqu'on évoque un anneau au sens de cet article, un anneau ayant un neutre multiplicatif.


title: Anneau unitaire

text: On trouvera davantage d'exemples aux sections idoines des articles consacrés à des classes particulières d'anneaux, et notamment les articles anneau commutatif, anneau intègre et algèbre associative sur un corps.


title: Anneau unitaire

text: La section « Construction d'anneaux » ci-dessous fournit également une liste plus complète et systématisée d'exemples.


title: Anneau unitaire

text: Un morphisme d'anneaux est une application "f" entre deux anneaux "A" et "B" qui est compatible avec leur structure, au sens précis suivant :


title: Anneau unitaire

text: Pour tous "a", "b" dans "A" : En particulier, si "A" et "B" sont unitaires, ce morphisme est dit unitaire si


title: Anneau unitaire

text: Les applications suivantes sont des exemples de morphismes d'anneaux :


title: Anneau unitaire

text: Les morphismes d'anneaux se composent entre eux, faisant de la classe des anneaux une catégorie.


title: Anneau unitaire

text: Une partie "B" d'un anneau "A" est appelée un sous-anneau de "A" lorsque :


title: Anneau unitaire

text: Voici quelques exemples de sous-anneaux :Un morphisme d'anneaux injectif entre deux anneaux induit une identification entre son anneau de départ et un sous-anneau de son anneau d'arrivée.


title: Anneau unitaire

text: De façon duale quoiqu'un peu plus technique, la notion d'anneau quotient permet de décrire l'anneau d'arrivée d'un morphisme surjectif comme un quotient de l'anneau de départ. Sa définition repose sur la notion d'idéaux bilatères, qui sont les objets par lesquels on peut quotienter (ils sont en ce sens analogues aux sous-groupes distingués de la théorie des groupes).


title: Anneau unitaire

text: Un idéal bilatère "I" d'un anneau "A" (ou simplement « idéal » quand aucune confusion n'est à craindre, notamment dans le cas commutatif) est un sous-groupe additif de "A" vérifiant :  On définit un idéal à gauche (resp. à droite) comme un sous-groupe additif pour lequel on exige seulement la condition "ax" ∈ "I" (resp. "xa" ∈ "I"). Quoiqu'ils ne permettent pas la construction d'anneaux quotients, ce sont des concepts importants en théorie des anneaux non commutatifs.


title: Anneau unitaire

text: Voici quelques exemples d'idéaux :


title: Anneau unitaire

text: Un idéal bilatère "I" permet de construire un anneau quotient : le groupe quotient commutatif "A"/"I" peut être muni d'une multiplication qui en fait un anneau, la projection canonique de "A" sur "A/I" étant alors un morphisme surjectif. Comme annoncé en introduction à la sous-section, l'image de tout morphisme surjectif d'anneaux est isomorphe à un quotient de son anneau de départ (le quotient par le noyau du morphisme).


title: Anneau unitaire

text: Muni de sa seule multiplication, un anneau est un monoïde particulier. Les définitions qui font sens dans ce cadre plus large (voire dans un cadre encore plus général) peuvent donc être utilisées pour dénommer des propriétés d'éléments de l'anneau. Sont entre autres pertinents en théorie des anneaux les concepts suivants, qui concernent tous la deuxième loi (la multiplication) :Dans tout anneau :


title: Anneau unitaire

text: Dans un anneau, il est généralement impossible de simplifier dans une multiplication sans précautions. On sait par exemple que si des matrices carrées "A", "B" et "C" vérifient l'identité "AB = AC", on ne peut en déduire que "B = C" et ce même si "A" n'est pas la matrice nulle. Les deux concepts qui suivent permettent d'analyser ces défauts de simplification :Exemples :  2 est nilpotent dans tous les anneaux ℤ/2ℤ où "n" ≥ 2.


title: Anneau unitaire

text: La formule du binôme de Newton est applicable à tout couple d'éléments permutables. Pour tous permutables et tout entier positif ou nul :


Anneau unitaire


title: Anneau unitaire

text: Elle se généralise à toute famille finie d'éléments permutables deux à deux : c'est la formule du multinôme.


title: Anneau unitaire

text: La caractéristique d'un anneau est, s'il existe, le plus petit entier strictement positif tel que : formula_2 Si un tel entier n'existe pas (autrement dit si 1 est d'ordre additif infini) on dit que la caractéristique est nulle.


title: Anneau unitaire

text: Le formalisme des espaces vectoriels, où des scalaires, éléments d'un corps, multiplient des vecteurs, peut être étendu à des scalaires éléments d'un anneau. On appelle modules les structures ainsi définies.


title: Anneau unitaire

text: L'étude des modules est une fin en soi, et a de multiples retombées qui ne sont pas l'objet du présent article. L'une d'entre elles a néanmoins sa place ici : un anneau peut être considéré comme un module sur lui-même, ce qui permet le réinvestissement en théorie des anneaux de techniques propres aux modules.


title: Anneau unitaire

text: Plus précisément, étant donné un anneau "A" dont on note x la multiplication, on conserve sa loi de groupe additif, et on le munit d'une loi externe notée ∙ en posant, pour "α" scalaire dans "A" et "a" vecteur dans "A" :  "α"∙"a" = "α" x "a".


title: Anneau unitaire

text: L'addition et cette loi externe munissent alors "A" d'une structure de module à gauche sur "A". De la même façon, la loi externe définie par : "a"∙"α" = "a" x "α" le munirait d'une structure de module à droite.


title: Anneau unitaire

text: Cette structure fournit un nouvel éclairage sur "A". On constate par exemple que les idéaux à gauche (resp. droite) sont exactement les sous-modules pour la structure de module à gauche (resp. droite) et, dans le cas commutatif, que les idéaux sont exactement les sous-modules.


title: Anneau unitaire

text: On appelle algèbre associative unitaire sur un anneau commutatif "R" un anneau "A" qui est en outre muni d'une loi externe de module ayant "R" pour anneau de scalaires, compatible avec la loi interne de multiplication au sens suivant : pour tout scalaire "α" dans "R" et tous éléments "a", "b" de "A" : "α"("ab") = ("αa")"b = a"("αb").


title: Anneau unitaire

text: Les algèbres associatives unitaires forment donc une vaste classe d'anneaux et en fournissent des collections très variées d'exemples importants. Par ailleurs tout anneau peut être considéré comme une algèbre sur ℤ de la même façon que tout groupe abélien peut être considéré comme un ℤ-module, et tout anneau commutatif peut être considéré comme une algèbre sur lui-même (la commutativité est indispensable ici). Les outils propres à la théorie des algèbres associatives sont donc disponibles pour construire et étudier des anneaux.


title: Anneau unitaire

text: La très riche théorie spécifique aux anneaux commutatifs est appelée algèbre commutative. On se réfèrera à l'article détaillé anneau commutatif, prolongé par l'article anneau intègre, pour un panorama des concepts qui sont propres à cette classe d'anneaux : anneaux principaux, anneaux factoriels, élément entier, etc.


title: Anneau unitaire

text: Deux des concepts les plus fondamentaux pour produire des exemples d'anneaux ont déjà été évoqués plus haut :Ces deux procédés nécessitent de disposer préalablement d'un anneau. Pour initialiser les constructions, les techniques suivantes sont particulièrement importantes :Un autre outil fondamental, à partir d'anneaux déjà connus, est le produit direct :Certaines techniques sont du domaine de l'algèbre commutative :Le point de vue des algèbres associatives unitaires fournit un dernier outil : Les cours d'algèbre générale contiennent inévitablement un ou plusieurs chapitres consacrés aux anneaux. Sans chercher l'exhaustivité, on citera :


title: Corps commutatif

text: En mathématiques, un corps commutatif (parfois simplement appelé corps, voir plus bas, ou parfois appelé champ) est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps commutatif est un anneau commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe commutatif pour la multiplication.


title: Corps commutatif

text: Selon la définition choisie d'un corps qui diffère selon les auteurs (la commutativité de la multiplication n'est pas toujours imposée), soit les corps commutatifs sont des cas particuliers de corps (dans le cas où la commutativité n'est pas imposée), soit la dénomination "corps commutatif" est un pléonasme qui désigne simplement un "corps" (dans le cas où elle l'est). On renvoie à l'article corps (mathématiques) pour plus de détails.


title: Corps commutatif

text: Des exemples élémentaires de corps commutatifs sont le corps des nombres rationnels noté ℚ (ou Q), le corps des nombres réels noté ℝ (ou R), le corps des nombres complexes noté ℂ (ou C) et le corps ℤ/"p"ℤ des classes de congruences modulo "p" où "p" est un nombre premier, noté alors également 𝔽 (ou F).


title: Corps commutatif

text: La théorie des corps commutatifs est le cadre historique de la théorie de Galois, une méthode d'étude qui s'applique en particulier aux corps commutatifs et aux extensions de corps, en relation avec la théorie des groupes, mais s'étend aussi à d'autres domaines, par exemple l'étude des équations différentielles (théorie de Galois différentielle), ou des revêtements.


title: Corps commutatif

text: La théorie des corps (commutatifs) se développe tout au long du , en parallèle et de façon intimement liée avec la théorie des groupes, la théorie des anneaux et l'algèbre linéaire. Jusqu'à cette époque, l'algèbre s'identifie à la théorie des équations polynomiales et de leur résolution. C'est dans ce contexte qu'apparaissent les premières notions de théorie des corps, avec les travaux de Niels Abel et ceux d'Évariste Galois, même si la structure n'est pas identifiée explicitement. Galois est le premier à parler d'adjonction (pour des éléments algébriques) et démontre le théorème de l'élément primitif.


title: Corps commutatif

text: Avec la naissance de l'étude des nombres algébriques, motivée par des problèmes de nature arithmétique, il est devenu nécessaire de préciser explicitement la structure de corps, en parallèle avec les notions d'entier algébrique, et d'anneau. C'est dans ce contexte que la structure de corps est introduite indépendamment (et de façons assez différentes) par Richard Dedekind et Leopold Kronecker. Le vocabulaire actuel vient de Dedekind, qui définit un corps ("Körper" en allemand, c'est la raison pour laquelle un corps quelconque est souvent nommé "K") comme un sous-ensemble de nombres réels ou complexes stable par addition, soustraction, multiplication et division.


title: Corps commutatif

text: Par ailleurs, Gauss avait étudié les congruences sur les entiers dans ses "Disquisitiones arithmeticae," parues en 1801, et étudié en détail le cas premier, ce qui revient implicitement à l'étude des corps finis premiers. En 1830, s'inspirant de Gauss, Galois avait étendu cette étude aux corps finis quelconques, les éléments de ceux-ci étant vus comme des expressions polynomiales finies traitées comme des nombres (le calcul se faisant modulo un polynôme irréductible). E. H. Moore montre en 1893 qu'un corps commutatif fini, qu'il voit comme un ensemble de symboles de cardinal fini "s", muni des quatre opérations « sujettes aux identités ordinaires de l'algèbre abstraite » peut se définir à la façon de Galois.


title: Corps commutatif

text: La même année, Heinrich Weber donne la première véritable axiomatisation des corps (commutatifs), dans un article dont le but est de donner une présentation générale de la théorie de Galois. L'axiomatisation des théories mathématiques en est encore à ses balbutiements et Weber oublie (mais bien sûr utilise) l'associativité de la multiplication.


title: Corps commutatif

text: En 1910, Ernst Steinitz établit la théorie axiomatique des corps, dans un mémoire fondateur de l'algèbre moderne.


title: Corps commutatif

text: Un corps commutatif est un ensemble "K" muni de deux lois internes notées en général + et × vérifiant les conditions suivantes :


title: Corps commutatif

text: On parle alors du corps commutatif ("K", +, ×).


title: Corps commutatif

text: Exemples de corps commutatifs :


title: Corps commutatif

text: Un sous-corps d'un corps commutatif "K" est une partie "L" de "K", stable par + et ×, telle que "L" munie des lois induites soit un corps.


title: Corps commutatif

text: Soit 1 l'unité du corps "K". S'il existe un entier naturel "n" non nul tel que "n"•1 = 1 + 1 + … + 1 (additionné "n" fois) est nul, on appelle "caractéristique du corps K" le plus petit entier positif non nul vérifiant cette propriété. S'il n'existe pas d'entier non nul vérifiant cette propriété, on dit que le corps "K" est de caractéristique nulle.


title: Corps commutatif

text: Par exemple, le corps ℝ est de caractéristique nulle alors que le corps ℤ/"p"ℤ est de caractéristique "p". Si elle est non nulle, la caractéristique d'un corps est nécessairement un nombre premier. En effet si tel n'était pas le cas une factorisation de ce nombre fournirait des diviseurs non nuls de 0, or un corps est un anneau intègre.


title: Corps commutatif

text: Un corps est dit "premier" s'il n'a pas de sous-corps autre que lui-même. Un corps premier infini est isomorphe au corps ℚ des nombres rationnels. Un corps premier fini est isomorphe au corps ℤ/"p"ℤ pour un certain nombre premier "p".


title: Corps commutatif

text: Plus généralement, tout corps "K" contient un corps premier, qui est le plus petit de ses sous-corps, et que l'on appelle "corps premier de K", ou "sous-corps premier de K". Le sous-corps premier de "K" contient nécessairement 1, donc ses multiples entiers ℤ•1. Si la caractéristique est nulle c'est donc un corps isomorphe à ℚ (le corps des fractions de ℤ) ; si la caractéristique est un nombre premier "p", c'est un corps isomorphe à ℤ/"p"ℤ, et on identifie habituellement ce sous-corps premier soit à ℚ soit à ℤ/"p"ℤ.


title: Corps commutatif

text: Ce sont les corps dont le nombre d'éléments est fini. Le théorème de Wedderburn montre qu'ils sont nécessairement commutatifs. On démontre aussi que le nombre d'éléments d'un tel corps est toujours une puissance d'un nombre premier. Il est en fait possible de dresser la liste de tous les corps finis, à isomorphisme près.


title: Corps commutatif

text: Le plus petit corps fini est celui des booléens, dont voici les tables d'addition (correspondant au « ou exclusif ») et de multiplication (correspondant au « et ») :


title: Corps commutatif

text: Les exemples les plus élémentaires de corps finis sont les corps de congruences modulo un nombre premier comme dans le cas ci-dessus, mais il en existe une infinité d’autres : à isomorphisme près, un par puissance de nombre premier.


title: Corps commutatif

text: L'ensemble (ℤ, +, ×) n'est pas un corps car la plupart des éléments non nuls de ℤ ne sont pas inversibles : par exemple, il n'existe pas d'entier relatif "n" tel que 2n = 1 donc 2 n'est pas inversible.


title: Corps commutatif

text: Un anneau commutatif est un ensemble "A" qui, comme ℤ, est muni de deux lois + et × vérifiant les axiomes suivants :


title: Corps commutatif

text: Un anneau commutatif "A" est intègre s'il vérifie :


title: Corps commutatif

text: Tout corps commutatif est un anneau intègre et tout anneau intègre "fini" est un corps. Le théorème suivant règle le cas des anneaux infinis :


title: Corps commutatif

text: Exemple : ℚ est le corps des fractions de ℤ.


title: Corps commutatif

text: Un anneau commutatif "A" est un corps si et seulement s'il est simple, non nul et sans idéaux non trivaux.


title: Corps commutatif

text: Un anneau commutatif non nul "A" est un corps si et seulement si tout "A"-module est libre.


title: Corps commutatif

text: Partant du corps ℝ, il est naturel de s'intéresser à ℝ, ensemble des "n"-uplets de réels. On est amené à le munir d'une addition et d'une multiplication par un réel. La structure ainsi définie (une addition interne munissant l'ensemble d'une structure de groupe et une multiplication externe possédant des propriétés de distributivité et d'associativité) est appelée espace vectoriel sur ℝ. Il est alors naturel de définir ce que pourrait être un espace vectoriel sur un corps commutatif K quelconque.


title: Corps commutatif

text: L'étude des polynômes à coefficients dans un corps commutatif et la recherche de leurs racines ont développé considérablement la notion de corps. Si formula_3 est un polynôme de degré "n" sur un corps commutatif "K", l'équation formula_4 est une équation algébrique dans "K". Si, de plus, formula_3 est un polynôme irréductible, l'équation est dite irréductible. Lorsque "n" ≥ 2, trouver les solutions d'une telle équation demande de se placer dans un corps plus grand que "K", une extension de corps.


title: Corps commutatif

text: Par exemple, l'équation est irréductible dans ℚ mais possède des racines dans ℝ ou mieux dans ℚ[]. L'équation ne possède pas de solution dans ℝ mais en possède dans ℂ ou mieux dans ℚ["i"].


title: Corps commutatif

text: Un corps de rupture d'un polynôme est, par exemple, un corps minimal contenant K et une racine de "f".


title: Corps commutatif

text: Le corps de décomposition de "f" est le plus petit corps contenant K ainsi que toutes les racines de "f".


title: Corps commutatif

text: L'étude des corps de décomposition d'un polynôme et du groupe de permutations de ses racines forme la branche des mathématiques que l'on appelle la théorie de Galois.


title: Corps commutatif

text: Ces résultats restent vrais si l'on remplace le corps par un anneau commutatif intègre quelconque (comme on peut voir en plongeant un tel anneau dans son corps des fractions).


title: Corps commutatif

text: On retrouve la théorie des corps dans l'étude de certaines fonctions comme les fonctions rationnelles ou les fonctions elliptiques.


title: Construction des entiers relatifs

text: En mathématiques, la construction du groupe abélien formula_1 des entiers relatifs est un exemple standard de symétrisation d'un monoïde commutatif, en l'occurrence : le monoïde formula_2 des entiers naturels.


title: Construction des entiers relatifs

text: La structure supplémentaire d'anneau et la relation d'ordre seront seulement esquissées.


title: Construction des entiers relatifs

text: On sait déjà que l'ensemble formula_3 des entiers naturels, muni de la loi interne addition, est un monoïde commutatif ; donc notre but est simplement de rajouter un opposé (élément symétrique pour l'addition) pour chaque entier non nul. Il ne s'agit pas de rajouter brutalement un élément, il faut aussi définir l'addition.


title: Construction des entiers relatifs

text: C'est pourquoi on va partir de la notion naïve d'entier relatif, que l'on suppose déjà connue, pour construire l'objet mathématique correspondant. Si on veut définir formula_4 avec des entiers naturels, on a envie de le voir comme formula_5, ou comme formula_6, ou… ; bref, on a envie de le voir comme la différence de deux entiers naturels. Cela pose une difficulté, car on voit d'une part que l'écriture n'est pas unique, et d'autre part, que cela fait intervenir une opération, la soustraction, qui n'a pas toujours un sens avec les entiers naturels.


title: Construction des entiers relatifs

text: On va donc considérer des couples d'entiers, de la forme formula_7, et considérer que le couple formula_7 correspond à l'entier relatif naïf formula_9 ; et comme on a vu qu'il n'est pas raisonnable de prendre formula_10 comme ensemble des entiers relatifs, on va regrouper les couples qui correspondent au même entier relatif naïf.


title: Construction des entiers relatifs

text: Pour cela, on va définir sur formula_10 une relation d'équivalence formula_12, par : formula_13. Intuitivement, on est en train d'écrire que deux couples sont égaux si quand on soustrait le second entier du couple au premier on obtient le même entier relatif. Mais on n'utilise que la somme pour définir formula_12, donc cette définition n'utilise pas d'objet naïf.


title: Construction des entiers relatifs

text: Les relations d'équivalences sont faites pour quotienter ; on définit donc : formula_15


title: Construction des entiers relatifs

text: On dispose maintenant de l'ensemble des entiers relatifs ; il reste à définir l'addition sur ces derniers : pour cela, on ne dispose que de la définition sur les entiers ; on va donc d'abord définir une opération sur les couples d'entiers, et comme elle sera compatible avec la relation formula_12, elle donnera une opération sur les entiers relatifs.


title: Construction des entiers relatifs

text: On définit la somme de deux couples d'entiers ainsi : formula_17 ; cette opération est commutative, associative et d'élément neutre formula_18 sur les couples d'entiers ; elle passe clairement au quotient, pour donner sur formula_19 une structure de monoïde commutatif, dont le neutre est la classe de formula_18, constituée des couples formula_21.


title: Construction des entiers relatifs

text: Il ne reste donc qu'à trouver un opposé à tout entier relatif ; mais ceci est immédiat : si formula_7 représente un entier relatif dans les couples d'entiers, formula_23 est égal à formula_24 donc équivalent à formula_18. La classe d'équivalence de formula_26 est donc opposée à la classe d'équivalence de formula_7.


title: Construction des entiers relatifs

text: On va montrer qu'il y a un morphisme de monoïdes injectif de formula_3 dans formula_19 ; de cette façon, on pourra voir un entier naturel comme un cas particulier d'entier relatif. À nouveau, c'est l'idée naïve que l'on se faisait des entiers relatifs qui montre la voie.


title: Construction des entiers relatifs

text: Soit formula_30 un entier naturel ; on lui associe la classe du couple formula_31. On voit alors que : Par ailleurs, on voit bien que cette application est injective, puisque demander que les classes de formula_31 et formula_38 soient égales, c'est précisément demander que formula_41.


title: Construction des entiers relatifs

text: Notons ("n" ; "m") la classe d'un couple d'entiers naturels ("n", "m"). Elle est de l'un des trois types suivants : Or l'ensemble des classes ("d" ; 0) est isomorphe à formula_3 ; on note donc ces classes sous la forme simplifiée "d".


title: Construction des entiers relatifs

text: D'autre part, pour "d" non nul, les classes ("d" ; 0) et (0 ; "d") sont opposées. En effet, ("d" ; 0) + (0 ; "d") = ("d" ; "d") = (0 ; 0). On note donc les classes (0 ; "d") sous la forme simplifiée (–"d").


title: Construction des entiers relatifs

text: L'ensemble formula_19 retrouve alors sa forme plus classique de formula_44.


title: Construction des entiers relatifs

text: On peut alors définir la multiplication comme suit : formula_45 (toujours en s'inspirant de l'analogie avec les entiers relatifs naïfs).


title: Construction des entiers relatifs

text: Cette opération définie sur formula_10 est associative, commutative, possède un élément neutre (1, 0) et est distributive pour l'addition précédemment définie. De plus, elle est compatible avec la relation d'équivalence. Par passage au quotient, elle confère à formula_19 une structure d'anneau unitaire.


title: Construction des entiers relatifs

text: Les égalités permettent les écritures


title: Construction des entiers relatifs

text: qui permettent de démontrer que l'anneau est aussi intègre.


title: Construction des entiers relatifs

text: On vérifie aisément : Ceci, lié au fait que formula_3 est une partie de formula_19 stable par somme et produit, permet de démontrer que la relation binaire sur formula_19 définie par : est une relation d'ordre total sur formula_19 qui prolonge celle de formula_3, et qu'elle est compatible avec l'addition ainsi que la multiplication par un élément positif. On en déduit également qu'une partie non vide de formula_19 minorée (resp. majorée) possède un minimum (resp. un maximum).


title: Construction des entiers relatifs

text: En informatique théorique, d'autres méthodes de constructions des entiers relatifs sont utilisées par les outils de démonstration automatique de théorèmes et de réécriture de termes. Les entiers relatifs sont représentés comme des termes algébriques construits à partir de quelques opérations de base (par exemple zero, succ, pred...) et, éventuellement, à partir d'entiers naturels que l'on suppose avoir été préalablement construits selon la méthode de Peano.


title: Construction des entiers relatifs

text: On recense, au minimum, une dizaine de telles constructions des entiers relatifs. Ces constructions diffèrent en plusieurs points : le nombre des opérations de base utilisées ; le nombre (généralement entre 0 et 2) et le type des arguments acceptés par ces opérations ; l'utilisation ou non des entiers naturels comme arguments de certaines de ces opérations ; le fait que ces opérations soient libres ou non, c'est-à-dire qu'un même nombre relatif corresponde à un seul ou à plusieurs termes algébriques.


title: Construction des entiers relatifs

text: La technique de construction des entiers relatifs par symétrisation présentée ci-dessus correspond d'ailleurs au cas particulier où l'on n'a qu'une seule opération de base pairformula_62 qui prend comme arguments deux entiers naturels formula_63 et formula_64 et renvoie un entier relatif (égal à formula_65). Cette opération n'est pas libre puisque l'entier relatif 0 peut s'écrire pair(0,0), ou pair(1,1), ou pair(2,2), etc. Cette technique de construction est utilisée par l'assistant de preuve Isabelle/HOL ; cependant, de nombreux autres outils utilisent des techniques de construction différentes, notamment celles avec des constructeurs libres qui sont plus simples et s'implémentent plus efficacement dans les ordinateurs.


title: Baugé

text: Baugé est une ancienne commune française située dans la partie orientale du département de Maine-et-Loire, en région Pays de la Loire.


title: Baugé

text: Le , les communes de Baugé, Montpollin, Pontigné, Saint-Martin-d'Arcé et Le Vieil-Baugé se sont regroupées pour former la commune nouvelle dénommée Baugé-en-Anjou, dont Baugé constitue une commune déléguée.


title: Baugé

text: C'est au que prend naissance la ville de Baugé, sur un emplacement qui domine le Val du Couasnon et la rivière l'Altrée. Capitale historique du Baugeois, la cité de Baugé conserve un patrimoine historique important. À la tête d'une importante sénéchaussée de l'Anjou, elle fut ensuite une sous-préfecture jusqu'en 1926. La ville est le siège de la communauté de communes et un centre administratif et commercial. C'est l'une des principales villes du département.


title: Baugé

text: Baugé se trouve dans l'ouest de la France, dans la partie nord-est du département de Maine-et-Loire, dans le pays Baugeois. Elle se situe à d'Angers, à 32 de Saumur, à 55 du Mans, à 62 de Tours et à de Paris. Son territoire est essentiellement rural.


title: Baugé

text: Le Baugeois est la partie nord-est du département de Maine-et-Loire. Il est délimité au sud par la vallée de l'Authion et celle de la Loire, et à l'ouest par la vallée de la Sarthe.


title: Baugé

text: Situé sur le Bassin parisien, le territoire de Baugé se trouve sur un plateau ondulé, où alternent buttes et étroites vallées. Son sous-sol se compose d'alluvions anciennes et modernes, et au nord s'étend un banc de terrain sénonien (sable et grès).


title: Baugé

text: La ville se situe dans une vallée, sur la rive droite du Couasnon.


title: Baugé

text: Son territoire a une superficie de plus de (). Son altitude varie de 41 à , pour une altitude moyenne de .


title: Baugé

text: Ce territoire rural est traversé par la rivière Le Couasnon, dont le paysage se compose d'un vallon et de bois, ainsi que par la rivière l'Altrée.


title: Baugé

text: Baugé se situe à l’orée de la forêt de Chandelais. Cette forêt domaniale de est composée de chênes et de hêtres. Autrefois propriété des comtes d'Anjou, le cœur de la forêt porte encore le nom de carrefour du Roi-René.


title: Baugé

text: Protections sur le territoire : outre des protections sur des bâtiments (monuments historiques et inventaires), la commune de Baugé figure à l'inscription de :


title: Baugé

text: Le climat angevin est tempéré, de type océanique dégradé. Il est particulièrement doux, compte tenu de sa situation entre les influences océaniques et continentales. Généralement les hivers sont pluvieux, les gelées rares et les étés ensoleillés.


title: Baugé

text: Le climat du Baugeois est plus continental : plus sec et chaud l'été.


title: Baugé

text: Baugé se situe au carrefour de plusieurs voies départementales :


title: Baugé

text: Une ligne de car dessert le territoire. La ligne 2B va d'Angers à Noyant, en passant par Baugé.


title: Baugé

text: Liaisons par car avec les gares SNCF de Saumur, Angers, La Flèche et Le Mans. Autrefois le réseau secondaire de chemin de fer du Petit Anjou assurait une liaison Angers Noyant, en passant par Baugé.


title: Baugé

text: Lieux-dits et hameaux : Chanteloup, Chateau coin, Fort aux anglais, La gandonnerie, Le gault, Les capucins, Les grands champs, Ville neuve.


title: Baugé

text: Communes aux alentours : Le Vieil-Baugé (), Saint-Martin-d'Arcé (), Bocé (), Pontigné (), Montpollin (), Échemiré (), Chartrené (), Le Guédeniau (), Cuon (), Vaulandry ().


title: Baugé

text: Le Baugeois est la partie nord-est du département de Maine-et-Loire. Elle est délimitée au Sud par la vallée de l'Authion et celle de la Loire, et à l'Ouest par la vallée de la Sarthe. Baugé en est la capitale historique.


title: Baugé

text: Outre la Sarthe, le Loir et l'Authion, le pays Baugeois est traversé par Le Couasnon et son affluent l'Altrée. Cette rivière prend sa source sur la commune d'Auverse, pour se jeter dans l'Authion à Beaufort-en-Vallée et à Mazé. On trouve également dans la région les cours d'eau La Marconne et Le Lathan.


title: Baugé

text: La région du Baugeois est la plus boisée du département. Elle est constituée de deux forêts domaniales (Chandelais et Monnaie) et de nombreuses forêts de chênes, de châtaigniers, de pins et de peupliers. Les étendues gagnées sur la forêt ont laissé place à des landes.


title: Baugé

text: Son relief est principalement constitué d'un plateau, aux terrains sablonneux, siliceux ou calcaires, caractérisés par de larges affleurements sédimentaires, crétacés, sables et calcaires aux teintes claires.


title: Baugé

text: En 2008, le nombre total de logements dans la commune était de . Parmi ces logements, 86 % étaient des résidences principales, 3 % des résidences secondaires et 11 % des logements vacants. Ces logements étaient pour une part de 75 % des maisons et de 22 % des appartements. Toujours sur l'ensemble des logements de la commune, 8 % étaient des studios, 10 % des logements de deux pièces, 22 % de trois pièces, 25 % de quatre pièces, et 36 % des logements de cinq pièces ou plus.


title: Baugé

text: Les résidences principales construites avant 2006, dataient pour 42 % d'avant 1949, 21 % entre 1949 et 1974, 24 % entre 1975 et 1989, et 13 % entre 1990 et 2005.


title: Baugé

text: Le nombre de ménages propriétaires de leur logements était de 49 %, proportion inférieure à la moyenne départementale (60 %), et le nombre de ménages locataires était de 50 %. On peut également noter que 1 % des logements étaient occupés gratuitement.


title: Baugé

text: L'ancienneté d'emménagement dans la résidence principale, rapporté au nombre de ménages, était de 16 % depuis moins de deux ans, 22 % entre deux et quatre ans, 16 % entre cinq et neuf ans, et 47 % de dix ans et plus.


title: Baugé

text: Formes anciennes : "Bellogaecum" à l'époque mérovingienne, "Balgiacum castrum" 1035, "Ermenbertus de Balgi" 1060, "Baugeium" 1100, "Baugé" 1575, bien qu'on trouve aussi parfois dans des écrits l'orthographe "Beaugé", "Baugé" en 1793.


title: Baugé

text: L'origine du nom de « Baugé » pourrait venir de « bauge » (lieu boueux), étayé par le fait que la commune se situe au confluent du Couesnon et de l'Altrée. La bauge c'est aussi le repaire du sanglier, ce qui explique les armoiries de la ville qui jouent sur les mots.


title: Baugé

text: Une autre ville porte le nom de « Baugé », Le Vieil-Baugé (Maine-et-Loire), et trois le nom de « Bauge », Bellecombe-en-Bauges (Savoie), Doucy-en-Bauges (Savoie) et La Motte-en-Bauges (Savoie). Des lieux-dits portent également ce nom, comme un hameau de la commune de La Chapelle-sur-Oudon (Maine-et-Loire) et un moulin de la commune de Morannes (Maine-et-Loire).


title: Baugé

text: Ses habitants sont appelés les Baugeois.


title: Baugé

text: Le menhir de l'école de musique et le dolmen dit la Pierre du Crapeau attestent de l'occupation humaine sur le territoire de la commune dès le Néolithique.


title: Baugé

text: Le centre primitif se situait au Vieil-Baugé. Au Moyen Âge, sous les rois Carolingiens, le Vieil-Beaugé ou "Vieux-Beaugé" commandait une des vigueries de l'Anjou : "Vicaria Balgiensis".


title: Baugé

text: Jusqu'au Baugé se confond avec le Vieil-Baugé, riche alors de deux églises avec prieuré. Foulques Nerra déplace le centre de la viguerie sur un emplacement qui domine le Val du Couesnon, et créé une motte féodale avec château-fort et église, autour desquels se constitua une nouvelle ville, la ville de Baugé (1015-1025).


title: Baugé

text: Le fief de Beaugé passa entre d'illustres mains (Richard Cœur de Lion, Jean sans Terre, Philippe Auguste, Marguerite de Provence, Louis XI, etc.


title: Baugé

text: En 1343, le sel devient un monopole d'État par une ordonnance du roi Philippe VI de Valois, qui institue la gabelle, la taxe sur le sel. L'Anjou fait alors partie des pays de "grande gabelle", et comprenait seize tribunaux spéciaux (ou greniers à sel), dont celui de Beaugé.


title: Baugé

text: De la moitié du à celle du , la guerre de Cent Ans n'épargne pas la région. En 1421 une armée française, principalement composée d'alliés écossais, remporte la bataille de Baugé contre une armée anglaise.


title: Baugé

text: De la motte féodale initiale il ne reste rien. Un nouveau château est édifié à son emplacement actuel par les Plantagenêt. Incendié à plusieurs reprises, en 1451 le roi René d'Anjou le fit reconstruire, en faisant consolider puis restaurer les ruines. Les travaux durèrent une dizaine d'années. Beaucoup plus tard, le château du roi René devint l'hôtel de ville de Baugé.


title: Baugé

text: Le roi René fit de ce château sa résidence de chasse et y fit régulièrement venir sa cour. Séduit par l'abondance et la richesse des forêts baugeoises, il y séjourne pour pratiquer la chasse. Vouant une dévotion particulière à la croix de Baugé, il l'adopte en son blason et en fait le symbole de l'Anjou. Après son mariage avec Isabelle de Lorraine (1420), la croix d'Anjou se confond avec la croix de Lorraine.


title: Baugé

text: Le roi Louis XI y séjourna du 28 au 30 septembre 1471.


title: Baugé

text: À la fin du c'est le règne de Charles VIII. Il se fiance avec Marguerite d'Autriche qu'il répudie à l'automne 1491 à Baugé.


title: Baugé

text: L'autorisation de clore la ville de Baugé est accordée en 1539 (ville close de l'Anjou). Le mur et les tours sont édifiées dans les années suivantes.


title: Baugé

text: Connu pour son cadre de vie, il arrive que des personnalités passe sur la commune. Ainsi, de retour dans le Val de Loire en 1565, à l'occasion de son Grand tour de France, Charles IX s'arrête au château de Baugé pour y dormir.


title: Baugé

text: Durant les guerres de religion, Baugé s'oppose au pouvoir royal. Henri IV devenu souverain, une grande partie de la province d'Anjou, hormis Angers et Saumur, refuse de reconnaître ce roi huguenot. Les ligueurs de Segré, Baugé, Beaupréau et Chalonnes refusent de se rallier au roi. En 1593, le roi s'étant converti au catholicisme, la paix revient.


title: Baugé

text: En 1685 la révocation de l'édit de Nantes aura des répercussions en Anjou, surtout à Baugé et à Saumur où les protestants étaient fortement implantés.


title: Baugé

text: Jusqu'au l'administration communale se confondra avec celle de la paroisse. Baugé est à l'époque à la tête d'un pays d'élection pour le prélèvement de la taille.


title: Baugé

text: Sous l'Ancien Régime (1544), Baugé fut à la tête d'une importante sénéchaussée de l'Anjou, dépendante de la sénéchaussée principale d'Angers.


title: Baugé

text: Jusqu'au , la juridiction de la Sénéchaussée angevine de Baugé couvrait un territoire allant jusqu'à Château-la-Vallière (Indre-et-Loire) à l'Est et Le Lude (Sarthe) au Nord.


title: Baugé

text: Après la Révolution éclate une insurrection royaliste, et en 1793 celle de la guerre de Vendée. Tout l'Anjou sera concerné par ces événements. En mai 1791, Antoine-Philippe de La Trémoïlle est arrêté par la municipalité de Noyant-sous-le-Lude et envoyé à Baugé, avant d'être emprisonné à Angers.


title: Baugé

text: Durant la virée de Galerne, en décembre 1793, les troupes de La Rochejaquelein passent par Baugé pour se diriger ensuite vers La Flèche.


title: Baugé

text: À la réorganisation administrative qui suivit la Révolution, en 1790 Baugé fut chef-lieu de canton (de Baugé) et chef-lieu de district (de Baugé), puis en 1800 chef-lieu d'arrondissement (de Baugé).


title: Baugé

text: Au le Maine-et-Loire suit le grand mouvement économique, fruit du progrès des lumières. Dans la région de Baugé, le marquis de Turbilly réalise des expériences de défrichement, améliore les prairies et l'élevage des moutons.


title: Baugé

text: Au se déroule chaque année dans le Baugeois des comices cantonaux particulièrement dynamiques, que ce soit sur le canton de Baugé, celui de Seiches, de Durtal ou encore celui de Noyant. À l’époque c'était l'occasion de démonstrations, notamment pour les outils de travail du sol.


title: Baugé

text: À la création des départements en 1790, la ville de Baugé fut chef-leu de district, puis chef-lieu d'arrondissement à partir du 17 février 1800, englobant les dix cantons du Baugeois : Baugé, Beaufort, Fougeré, Jarzé, Longué, Mazé, Mouliherne, Noyant, Seiches et Vernoil. L'arrondissement de Baugé prendra fin en 1926.


title: Baugé

text: En juin 2011 cinq communes du Baugeois lancent un projet de fusion : Baugé, Montpollin, Pontigné, Saint-Martin-d'Arcé et Le Vieil-Baugé.


title: Baugé

text: Après la consultation de la population par l’intermédiaire de réunions publiques en novembre et décembre 2011, et la validation de la charte Commune nouvelle du Baugeois, le l'ensemble des Conseils municipaux votent l'adoption du projet.


title: Baugé

text: Le changement est validé le par arrêté préfectoral, pour une mise en place au .


title: Baugé

text: En 2014, un nouveau projet de fusion se dessine, les municipalités de la communauté de communes du canton de Baugé envisageant de se réunir en une seule commune. Le , le conseil communautaire se prononce en faveur du projet de commune nouvelle constituée des communes déléguées de Baugé, Montpollin, Pontigné, Saint-Martin-d'Arcé, Le Vieil-Baugé, Clefs, Vaulandry, Bocé, Cuon, Chartrené, Cheviré-le-Rouge, Le Guédeniau, Échemiré, Fougeré, Saint-Quentin-lès-Beaurepaire. Le 18 mai, l'ensemble des conseils municipaux votent en faveur de la création de la commune nouvelle. L'arrêté préfectoral est signé le 10 juillet et porte sur la création au de la commune nouvelle de , groupant les communes de Baugé-en-Anjou, Bocé, Chartrené, Cheviré-le-Rouge, Clefs-Val d'Anjou, Cuon, Échemiré, Fougeré, Le Guédeniau et Saint-Quentin-lès-Beaurepaire.


title: Baugé

text: Depuis le , Baugé constitue une commune déléguée au sein de la commune nouvelle de Baugé-en-Anjou, dont elle est le chef-lieu, et dispose d'un maire délégué.


title: Baugé

text: La commune est créée à la Révolution. Commune en 1790, chef-lieu de canton de 1790 à 2012, de district de 1790 à 1800 et d'arrondissement de 1800 à 1926, date à laquelle elle est rattachée à celui de Saumur.


title: Baugé

text: Composé de vingt-sept élus, le conseil municipal comprenait au 31 décembre 2012 les commissions :


title: Baugé

text: En décembre 2001, la ville a mis en place un conseil municipal des jeunes, composé de douze jeunes âgés entre 9 et 15 ans, habitant Baugé, et élus pour deux ans.


title: Baugé

text: La ville de Baugé est jumelée avec plusieurs autres villes étrangères. Il faut rappeler que le jumelage est une relation établie entre deux villes de pays différents qui se concrétise par des échanges socio-culturels.


title: Baugé

text: Jumelages :


title: Baugé

text: Au 31 décembre 2012, la commune de Baugé était intégrée à la communauté de communes canton de Baugé ; structure intercommunale ayant pour objet d’associer des communes au sein d’un espace de solidarité, en vue de l’élaboration d’un projet commun de développement et d’aménagement de l’espace.


title: Baugé

text: Créée en 1994, cette structure intercommunale regroupait jusqu'en décembre 2012 quinze communes du canton : Baugé, Bocé, Chartrené, Cheviré-le-Rouge, Clefs, Cuon, Échemiré, Fougeré, Le Guédeniau, Montpollin, Pontigné, Saint-Martin-d'Arcé, Saint-Quentin-lès-Beaurepaire, Vaulandry et Le Vieil-Baugé.


title: Baugé

text: La communauté de communes était, à cette date, membre du syndicat mixte Pays des Vallées d'Anjou (SMPVA), structure administrative d'aménagement du territoire regroupant six communautés de communes : Beaufort-en-Anjou, Canton de Baugé, Canton de Noyant, Loir-et-Sarthe, Loire Longué, Portes-de-l'Anjou.


title: Baugé

text: Au 31 décembre 2012, la commune de Baugé était adhérente du conseil de développement du Pays des Vallées d'Anjou (CDPVA), du syndicat intercommunal d’eau et d’assainissement de l’agglomération Baugeoise, du syndicat mixte intercommunal de valorisation et de recyclage thermique des déchets de l’Est Anjou (SIVERT), du syndicat intercommunal pour l'aménagement du Couasnon (SIAC).


title: Baugé

text: Le SIVERT était, à cette date, le syndicat intercommunal de valorisation et de recyclage thermique des déchets de l’Est Anjou, situé à Lasse.


title: Baugé

text: Également à cette date, les musées de Baugé, Beaufort-en-Vallée et Parçay-les-Pins étaient associés et fonctionnaient en réseau depuis 2001 au sein d'un syndicat intercommunal à vocation unique (SIVU).


title: Baugé

text: Au 31 décembre 2012, la commune de Baugé faisait partie du canton de Baugé (chef-lieu) et de l'arrondissement de Saumur (sous-préfecture).


title: Baugé

text: Le canton de Baugé comprenait en décembre 2012 quinze communes, dont Le Vieil-Baugé, Saint-Martin-d'Arcé, Bocé, Échemiré, Montpollin et Pontigné. Jusqu'en 2014, Baugé, puis Baugé-en-Anjou, est chef-lieu du canton de Baugé, et fait partie de l'arrondissement de Saumur. C'est l'un des quarante-et-un cantons que compte le département ; circonscriptions électorales servant à l'élection des conseillers généraux, membres du conseil général du département. Dans le cadre de la réforme territoriale, un nouveau découpage territorial pour le département de Maine-et-Loire est défini par le décret du 26 février 2014. La commune de Baugé-en-Anjou est alors rattachée au canton de Beaufort-en-Vallée, avec une entrée en vigueur au renouvellement des assemblées départementales de 2015.


title: Baugé

text: En décembre 2012, Baugé faisait partie de la troisième circonscription de Maine-et-Loire, composée de huit cantons dont Longué-Jumelles et Noyant. La troisième circonscription de Maine-et-Loire est l'une des sept circonscriptions législatives que compte le département.


title: Baugé

text: Il n'y a pas d'administrations judiciaires à Baugé.


title: Baugé

text: Le Tribunal d'instance et le Conseil de prud'hommes se trouvent à Saumur. Le Tribunal de grande instance, la cour d'appel, le Tribunal pour enfants, le Tribunal de commerce, se situent à Angers, tandis que le Tribunal administratif et la Cour administrative d'appel se situent à Nantes.


title: Baugé

text: Le maximum de la population a été atteint en 1982 avec 3 898 habitants.


title: Baugé

text: La population de la commune est relativement âgée. Le taux de personnes d'un âge supérieur à 60 ans (39,4 %) est en effet supérieur au taux national (21,8 %) et au taux départemental (21,4 %).


title: Baugé

text: À l'instar des répartitions nationale et départementale, la population féminine de la commune est supérieure à la population masculine. Le taux (56,7 %) est supérieur de plus de deux points au taux national (51,9 %).


title: Baugé

text: La répartition de la population de la commune par tranches d'âge est, en 2008, la suivante :


title: Baugé

text: Les services publics présents sur la commune sont une bibliothèque, des écoles et un collège, une maison de retraite, une gendarmerie, un centre de secours, un bureau de poste et une trésorerie, ainsi qu'un espace public numérique, le Cyber centre de Baugé.


title: Baugé

text: Outre les services publics, la commune possède plusieurs autres équipements : des installations sportives, une crèche et une halte garderie, une école de musique, un centre social cantonal, un cinéma, etc.


title: Baugé

text: On trouve également sur la commune de Baugé un camping et un plan d'eau permettant la pratique de la pêche.


title: Baugé

text: La ville de Baugé possède le label Station verte.


title: Baugé

text: Située dans l'Académie de Nantes, la commune compte plusieurs écoles :


title: Baugé

text: Plusieurs professionnels de la santé se trouvent sur le territoire communal : médecins généralistes, dentistes, kinésithérapeutes, infirmiers, sage-femmes, pharmacies, opticiens, laboratoire d'analyses médicales, cabinet de radiologie et d'imagerie médicale.


title: Baugé

text: On y trouve également six établissements de santé : un hôpital local, l'hôpital intercommunal du Baugeois et de la Vallée (95 places), et quatre maisons de retraite, la résidence des Mélèzes (140 places), la résidence Rancan (130 places), la résidence Jeanne Delanoue (80 places) et la résidence Marc Leclerc (40 places).


title: Baugé

text: On trouve sur la commune de Baugé plusieurs installations sportives : deux stades, un gymnase intercommunal, deux salles couvertes de tennis, une piscine intercommunale, un golf, une salle des arts martiaux, un terrain de pétanque, une salle de tennis de table, une salle spécifique de gymnastique, et un terrain de moto-cross.


title: Baugé

text: Il existe aussi un cercle de Boule de fort, véritable phénomène culturel en Anjou.


title: Baugé

text: Depuis le janvier 2007, c'est la Communauté de Communes du Canton de Baugé qui organise la collecte des déchets ménagers (tri sélectif).


title: Baugé

text: La déchèterie intercommunale se situe sur la commune de Saint-Martin-d'Arcé.


title: Baugé

text: En 2009, le revenu fiscal médian par ménage sur la commune de Baugé était de , pour une moyenne départementale de .


title: Baugé

text: Implanté en territoire rural, Baugé est le centre administratif et commercial de la région.


title: Baugé

text: Sur 356 établissements présents sur la commune à fin 2010, 3 % relevaient du secteur de l'agriculture (pour une moyenne de 17 % sur le département), 6 % du secteur de l'industrie, 8 % du secteur de la construction, 58 % de celui du commerce et des services et 25 % du secteur de l'administration et de la santé.


title: Baugé

text: Fin 2008, 343 établissements étaient présents sur la commune, dont 58 % relevaient du secteur du commerce et des services.


title: Baugé

text: Le tissu économique est composé de nombreuses petites entreprises ; seuls 12 % des établissements comptent plus de 10 salariés.


title: Baugé

text: Comme dans le reste du département, le secteur agricole est présent sur la commune. Il représente 3 % des établissements du territoire, contre plus de 17 % sur le reste du département. On y trouve également une coopérative agricole (CAPL Société Coopérative Agricole du Pays de Loire Baugé).


title: Baugé

text: Liste des appellations sur le territoire :


title: Baugé

text: Ville la plus importante du canton de Baugé, on y trouve de nombreux commerces et services, ainsi qu'un supermarché. Le commerce et les services représentent près de 58 % des établissements présents sur le territoire, pour près de 53 % sur le reste du département.


title: Baugé

text: En 2011 une zone commerciale est créée (route d'Angers), comprenant plusieurs magasins.


title: Baugé

text: Plusieurs activités commerciales sont présentes à cette époque sur la ville : alimentation, boucherie, boulangerie-pâtisserie, bijouterie, bricolage, coiffeurs, confection et chaussure, électroménager, fleurs, librairie papeterie, optique, parfumerie, pressing, etc. Il existe aussi plusieurs commerces de restauration et d'hébergement (cafés, restaurants, hôtels). Deux marchés hebdomadaires : le lundi un marché traditionnel et le samedi un marché alimentaire et du terroir.


title: Baugé

text: On y trouve également plusieurs activités artisanales : charpente couverture, cordonnerie, ébénisterie, électricité, maçonnerie, menuiserie, etc.


title: Baugé

text: Ville d'histoire, on trouve à Baugé un office de tourisme, couvrant le territoire de l'intercommunalité, et un camping.


title: Baugé

text: Ville la plus importante de la région de Baugé, elle se trouve au cœur de l'activité économique intercommunale. On y trouve notamment une zone d'activité, la Z.A. Anjou Actiparc Sainte Catherine.


title: Baugé

text: Sur le territoire à fin 2010 de la C. C. du canton de Baugé, sur 976 établissements présents, 26 % relevaient du secteur de l'agriculture (pour une moyenne de 17 % sur le département), 7 % du secteur de l'industrie, 10 % du secteur de la construction, 43 % de celui du commerce et des services et 14 % du secteur de l'administration et de la santé. Seuls 6 % des établissements comptent plus de 10 salariés, pour 8 % sur le département.


title: Baugé

text: Sur ce même territoire, 918 établissements étaient présents à fin 2009, dont 43 % dans le secteur du commerce et des services et 28 % dans le secteur de l'agriculture (pour 18 % dans le département).


title: Baugé

text: Le tourisme se développe sur la région, les ouvrages à visiter y étant nombreux : Château de Baugé, centres villes dont celui de Baugé, églises dont celles de Chartrené ou de Pontigné, clochers tors dont celui de Fougeré, prieurés dont celui du Guédeniau, manoirs dont celui du Vieil-Baugé, musées dont ceux de Baugé et Cheviré, etc. Le Baugeois, ancienne partie de la province d'Anjou, possède un riche passé historique.


title: Baugé

text: La commune de Baugé comporte plus de cent quarante monuments inscrits au Patrimoine, dont onze monuments historiques, un site protégé et une zone de protection du patrimoine urbain.


title: Construction des nombres rationnels

text: En mathématiques, plus précisément en algèbre, la construction des nombres rationnels consiste à définir l'ensemble des nombres rationnels et à le munir d'une structure de corps commutatif.


title: Construction des nombres rationnels

text: On utilise le procédé général de construction d'un corps des fractions, classique en théorie des anneaux : l'anneau des entiers relatifs est intègre ; on peut donc définir Q comme le corps des fractions de l'anneau Z des entiers relatifs.


title: Construction des nombres rationnels

text: La structure de corps ordonné s'obtient en définissant les nombres rationnels positifs comme étant les rapports d'entiers positifs.


title: Château de Grésillon

text: Le château de Grésillon, bâtisse du et son parc de , fonctionne comme maison culturelle de l'espéranto. Il est situé à Baugé-en-Anjou, à une trentaine de kilomètres à l'est d'Angers en Maine-et-Loire.


title: Château de Grésillon

text: Acquis grâce à la souscription de donateurs espérantophones groupés en association sans but lucratif ""Kulturdomo de Franclandaj Esperantistoj"" fondée en 1951 à l'initiative de Henri Micard, il accueille depuis ce temps des espérantophones de tous pays qui viennent y effectuer des séjours touristiques et culturels. La maison culturelle fonctionne essentiellement au moment des vacances scolaires et propose un programme varié de stages linguistiques et thématiques.


title: Château de Grésillon

text: En complément de ses activités liées à l’espéranto, le château accueille également des groupes privées, des rencontres culturelles et des événements festifs. Il a accueilli le stage préparatoire aux Olympiades internationales de mathématiques tous les étés entre 2007 et 2011.


title: Château de Grésillon

text: Les stages et activités proposées se déroulent habituellement sur une semaine. De nombreux stages différents sont proposés, certains sont devenus récurrents :En plus de ces stages, se déroulent parfois de manière exceptionnelle des événements : encadré par Stefan MacGill, par exemple.


title: Génome

text: Le génome, ou rarement génôme, est l'ensemble du matériel génétique d'une espèce codé dans son acide désoxyribonucléique (ADN), à l'exception de certains virus dont le génome est constitué d'acide ribonucléique (ARN). Il contient en particulier tous les gènes codant des protéines ou correspondant à des ARN structurés. Il se décompose donc en séquences codantes (transcrites en ARN messagers et traduites en protéines) et non codantes (non transcrites, ou transcrites en ARN, mais non traduites).


title: Génome

text: Le génome est constitué de un ou plusieurs chromosomes dont le nombre total dépend de l'espèce considérée, chaque chromosome étant constitué d'une unique molécule d'ADN, linéaire chez les eucaryotes et le plus souvent circulaire chez les procaryotes. Chaque chromosome peut être présent en un ou plusieurs exemplaires, le plus souvent deux chez les espèces sexuées, l'un d'origine maternelle et l'autre d'origine paternelle (organisme diploïde).


title: Génome

text: La science qui étudie le génome est la génomique.


title: Génome

text: Il ne faut pas confondre le génome et le caryotype, qui est l'analyse ou la description macroscopique de l'arrangement des chromosomes.


title: Génome

text: Chez les virus, le génome est contenu soit dans une ou plusieurs molécules d'ADN (virus à ADN) ou d'ARN (virus à ARN ou ribovirus), à simple ou double brin, protégé au sein d’une particule ou capside de nature protéique. Certaines personnes ne considèrent pas les virus comme des organismes mais comme des parasites moléculaires. En effet, ils se reproduisent en infectant des cellules vivantes dans lesquelles ils injectent leurs génome. Certains virus, comme les rétrovirus auxquels se rattache par exemple le VIH, ont un génome constitué d’ARN, qui se présente soit sous la forme d’un seul brin ou d’un double brin. Quel que soit l’acide nucléique, il est pour certains virus, sous une forme circulaire et pour d’autres, sous forme linéaire. Dans tous les cas, le génome viral existe au moins dans une des phases de son cycle cellulaire sous la forme d’un ADN double brin.


title: Génome

text: Chez les procaryotes (bactéries et archées), le génome est généralement contenu dans une molécule d'ADN circulaire. Peut aussi exister un génome extrachromosomique, contenu dans des plasmides et des épisomes. Certaines bactéries, comme les actinomycètes, ont cependant des génomes linéaires.


title: Génome

text: Chez les eucaryotes, on distingue :Chez quelques eucaryotes (par exemple la levure) sont aussi présents des plasmides (de taille réduite).


title: Génome

text: Chez l'homme en particulier (organisme eucaryote), le génome nucléaire est réparti sur 46 chromosomes, soit 22 paires d'autosomes et deux gonosomes (XX chez la femme, XY chez l'homme).


title: Génome

text: La taille du génome se mesure en nombre de nucléotides, ou "bases". La plupart du temps, on parle de pb (pour "paire de bases", puisque la majorité des génomes est constituée de doubles brins d'ADN ou bien d'ARN). On emploie souvent les multiples kb (pour kilobase) ou Mb (mégabase), qui valent respectivement . La taille du génome peut aussi être exprimée en pg (picogrammes), ce qui correspond à la masse d'ADN (haploïde) par cellule. représente environ .


title: Génome

text: La taille du génome peut varier de quelques kilobases chez les virus à plusieurs centaines de milliers de Mb chez certains eucaryotes. La quantité d'ADN, contrairement à ce qui a été longtemps supposé, n'est pas proportionnelle à la complexité apparente d'un organisme. Les urodèles, les dipneustes, certaines fougères ou encore certains conifères comme les pins ont des génomes plus de plus grands que le génome humain. Ce constat est fréquemment appelé paradoxe de la valeur C.


title: Génome

text: À ce jour, l'organisme vivant ayant le plus grand génome connu est la plante herbacée "Paris japonica" ; celui-ci est long d'environ de paires de bases, soit près de 50 fois la taille du génome humain.


title: Génome

text: Certaines amibes, comme "Amoeba dubia" pourraient avoir un génome encore plus grand, jusqu'à plus grand que celui d"Homo sapiens". Cette détermination est toutefois contestée et pourrait être faussée par le fait que ces organismes unicellulaires phagocytent un grand nombre d'autres microorganismes dont elles ingèrent les chromosomes, ce qui vient contaminer la détermination de leur contenu exact en ADN.


title: Génome

text: Le génome de ' ne comprend que dont . En 2010, une équipe de l'Institut J. Craig Venter synthétise ce génome et l'introduit dans une cellule de ' privée de son matériel génétique, créant ainsi une nouvelle souche de "M. mycoides" dénommée JCVI-syn1.0. En 2016, cette équipe réussit, en supprimant des gènes non essentiels, à réduire le génome de "M. mycoides" à et , créant ainsi une souche minimale dénommée JCVI-syn3.0, en fait une nouvelle espèce dénommée "M. laboratorium". Ce génome est le plus petit de toutes les cellules connues capables de se reproduire. Sur les conservés, 149 ont une fonction inconnue.


title: Génome

text: Les génomes sont constitués de régions codantes, qui correspondent aux gènes, et des régions non codantes. Les régions non codantes sont constituées des segments intergéniques et des introns à l'intérieur des gènes. Le séquençage de l'ADN permet d'établir l'enchaînement des nucléotides des brins d'ADN, afin de cartographier le génome.


title: Génome

text: Le nombre des gènes dans le génome des organismes vivants varie beaucoup moins que la taille du génome. Chez la plupart des organismes vivants il est compris entre et . Il n'est pas non plus corrélé à la complexité apparente des organismes. La paramécie, organisme cilié unicellulaire, possède ainsi un génome contenant plus de gènes que celui de l'homme. Le tableau suivant donne la taille totale du génome (y compris les régions hétérochromatiques qui ne sont en général pas séquencées) et le nombre de gènes présents chez un certain nombre d'organismes dont le génome a été entièrement séquencé. Comme le nombre de gènes varie dans des proportions beaucoup plus limitées que la taille du génome, lorsque la taille du génome augmente (voir section précédente), la proportion du génome qui correspond aux régions codantes diminue. On observe une augmentation de la longueur des introns ainsi que des régions intergéniques. Les différents types de régions non codantes sont listés ci-dessous avec, à titre d'exemple, leur proportion dans le génome humain qui est représentatif de la situation chez les mammifères :


title: Génome

text: En plus des gènes, les génomes contiennent en effet souvent des pseudogènes. Ce sont des séquences qui ont de nombreuses caractéristiques des gènes (séquences codantes, séquence promoteur, signaux d'épissage…), mais qui ne sont pas fonctionnelles et ne conduisent donc pas à la production d'une protéine. Ceci peut être la conséquence de mutations génétiques qui ont altéré sa séquence. Le génome humain contient ainsi environ pseudogènes, soit pratiquement autant que de gènes fonctionnels. Souvent les pseudogènes sont des duplications d'un gène actif qui conserve la fonctionnalité pour la cellule. On dénombre ainsi plusieurs pseudogènes pour le cytochrome c dans notre génome, en plus du gène fonctionnel. Dans d'autres cas, la transformation d'un gène en pseudogène conduit à une perte de fonction, lorsque c'est la seule copie active qui est atteinte par des mutations. Dans notre génome, c'est le cas du gène codant la L-guluno-γ-lactone oxydase, une enzyme permettant la synthèse de l'acide ascorbique qui est devenu un pseudogène, ce qui fait que nous devons absorber de la vitamine C chaque jour dans notre alimentation, faute de pouvoir la synthétiser.


title: Génome

text: Dans les grands génomes, la plus grande partie des régions non codantes est constituée de séquences répétées et plus particulièrement de répétitions dispersées. Leur proportion augmente aussi avec la taille du génome. Dans le génome humain, ce taux est d'environ 45 %. Il dépasse 80 % dans le génome du blé, qui est cinq fois plus grand que celui de l'homme.


title: Génome

text: La configuration tridimensionnelle du génome a une importance fonctionnelle : l'enroulement (ou « "condensation "») de l'ADN sur lui-même grâce aux histones permet de « ranger » une grande quantité d'information génétique dans le minuscule noyau d'une cellule, et il permet aussi à des parties éloignées de chromosomes de se toucher quand se forment des boucles d'ADN (ces boucles permettent à deux gènes éloignés d'agir de concert). Le chromosome peut être comparé à un colliers de perles où chaque perle est un gène ou l'un des autres « morceaux » d'ADN, mais dont le fonctionnement ne serait pas « linéaire ». Dans ce cas, pour allumer ou éteindre un gène ("une perle"), ce gène doit être connecté avec l'ADN qui contrôle ou régule son activité ou qui doit agir de concert ("une autre perle, d'une forme complémentaire"). Cet autre gène peut être situé assez loin sur ce collier ("ou même sur un collier voisin, c'est-à-dire un autre chromosome").


title: Génome

text: Depuis des décennies, les biologistes moléculaires soupçonnaient fortement que la manière dont l'ADN se déroule et se condense tridimensionnellement dans le noyau joue un rôle-clé en permettant ces connexions, là où il faut et quand il faut, tout en décuplant les capacités d'interactions entre des gènes éloignés.


title: Génome

text: Depuis le début des années 2000 on comprend un peu mieux le lien entre les « astuces » biochimiques et topologiques et utilisées par le génome lors de ses changements de configuration, lors des différentes phases de la mitose et/ou de la méiose et dans son état condensé.


title: Génome

text: Des techniques biomoléculaires nouvelles sont en développement pour modéliser ou observer la position relative d'un seul morceau d'ADN (un gène par exemple) au regard d'autres gènes ou morceaux de l'ADN afin de définir un (qui serait une sorte de cartographie des relations fonctionnelles entre tous les gènes interagissant, de tous les chromosomes d'un même organismes) ; et il faut encore ajouter à cette complexité celle de l'épigénétique ou des relations de transfert horizontaux de gènes d'une espèces à l'autre (chez les bactéries par exemple).


title: Génome

text: En 2009, Erez Lieberman Aiden, et ses collègues ont produit une méthode (modèle probabiliste) dite "Hi-C" cherchant à représenter toutes les connexions simultanées ou possibles d'un génome. Ils se sont heurtés à un problème de résolution, faisant qu'ils ne pouvaient d'abord distinguer que deux compartiments, l'un renfermant de l'ADN actif et l'autre où les gènes tendaient à être "éteints" ; cette technique ne pouvait alors être utilisée que sur l'ADN déplié et retiré du noyau, ce qui conduisait à des résultats flous. Ils ont donc cherché à cartographier les contacts entre gènes ou autres éléments du génome dans des noyaux intacts, via des méthodes apportant des informations bien plus de détaillées (passant d'une résolution de millions de bases à une résolution permettant d'observer des éléments de seulement 1000 bases (typique d'un gène). Des programmes informatiques sophistiqués ont alors pu produire des morceaux de « cartes 3D de l'ADN » (pour huit lignées de cellules humaines, dont cancéreuses ou de tissus de base, ainsi que pour une lignée de cellules cancéreuses de souris de laboratoire).