title: Diablo (jeu vidéo)

text: Le jeu débute peu de temps après, à Tristram, où un aventurier incarné par le joueur est venu enquêter sur les étranges événements survenus dans la région. Celui-ci parvient à descendre au plus profond des souterrains et catacombes du monastère, finissant par arriver jusqu'aux Enfers. Lors de son exploration, il aide régulièrement les habitants de Tristram et réussit à tuer de nombreuses créatures maléfiques comme un démon appelé le Boucher. Il rencontre aussi l'érudit Deckard Cain qui lui révèle être le dernier membre de l'ordre des Horadrims. Au plus profond des Enfers, le héros affronte finalement Diablo et parvient à le tuer. Pour emprisonner celui-ci, il enfonce alors la pierre d'âme dans son propre crâne, espérant être capable de contenir les pouvoirs du seigneur de la terreur.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: "Diablo" est un jeu vidéo de type "hack 'n' slash", c'est-à-dire un jeu dans lequel le joueur contrôle en temps réel un personnage devant explorer des donjons et des souterrains peuplés de monstres que le joueur doit combattre pour gagner de l'expérience ou différents types de trésors comme des armes ou des sorts.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: L'objectif du jeu est de retrouver et de tuer Diablo, le seigneur de la terreur.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Au début du jeu, le joueur doit choisir parmi l'un des trois types de personnages disponibles (le guerrier, l'archer et le magicien), qu'il incarnera jusqu'à la fin de sa quête. Le guerrier est un combattant spécialisé dans le corps à corps qui maîtrise un vaste panel d'armes mais dont les capacités en matière de sortilèges sont assez limitées. Il est plus fort et plus résistant que les autres personnages et est capable de réparer les équipements endommagés lors d'un combat. L'archer est un membre de la guilde des « Sœurs de l'œil aveugle » dont les combattantes ont développé des techniques les rendant imbattables au tir à l'arc et leur permettant de détecter les pièges. Le magicien est lui capable d'apprendre et de lancer beaucoup plus de sorts que les autres personnages mais son manque de force fait de lui un piètre combattant.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: En combattant les créatures qui peuplent le monde de "Diablo", le personnage contrôlé par le joueur gagne de l'expérience qui lui permet de devenir plus puissant. La quantité de points d'expérience dont celui-ci dispose détermine le niveau du personnage. Chaque passage à un niveau supérieur donne au joueur la possibilité de renforcer les caractéristiques de son personnage. Le personnage dispose de quatre caractéristiques principales : la force, qui lui permet d'utiliser des armes et armures plus puissantes et de causer plus de dégâts au corps à corps ; la magie, qui détermine la quantité de mana dont dispose le personnage et qui permet d'apprendre les sorts les plus puissants ; la dextérité, qui détermine la précision des coups portés par le personnage et enfin la vitalité, qui détermine la quantité de point de vie dont celui-ci dispose.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: À ces quatre caractéristiques principales s'ajoutent des caractéristiques secondaires comme la classe d'armure que le joueur ne peut renforcer lors du passage à un niveau supérieur mais qui dépendent des caractéristiques principales et de l'équipement du personnage.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Lors de son exploration des souterrains ou en consultant certains habitants de Tristram, le joueur est amené à trouver ou à acheter différents types d'armes et d'armures dont il peut équiper son personnage pour améliorer ses caractéristiques de combats. Les armes comme les épées et les haches déterminent par exemple les dégâts que celui-ci peut infliger alors que les armures, les casques et les boucliers influencent sa « classe d'armure » qui détermine le niveau de protection du héros contre les attaques physiques. En plus de leurs caractéristiques de base, certains objets sont dotés de pouvoirs magiques et apportent des bonus supplémentaires ou bien des malédictions, générés aléatoirement en fonction du type d'objet, au personnage qui les porte. Leur description apparaît alors en bleu (ou en doré pour les objets uniques) et ils doivent être identifiés avant que ces bonus ne s'appliquent au héros.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Le joueur peut également trouver ou acheter de nombreux autres types d'objets comme des livres de sorts qui permettent au personnage d'apprendre de nouveaux sortilèges ou des potions lui permettant de se soigner ou de recharger sa jauge de mana.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: L'écran de jeu de "Diablo" est divisé en deux parties principales. La zone de jeu affiche le personnage et son environnement, les monstres et les objets qu'il peut ramasser. C'est également dans cette zone que s'affiche en surimpression la carte lorsque le joueur active celle-ci. La barre d'interface affiche les informations concernant le personnage avec notamment deux orbes colorés indiquant le niveau de vie et de mana du héros. Celle-ci donne également accès à différentes fenêtres comme l'inventaire qui permet de ranger les objets trouvés dans le jeu et d'en équiper le héros. Au centre de la barre d'interface se trouve la ceinture qui permet d'accéder directement à certains objets placés dans celle-ci comme les potions ou les parchemins.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Pour déplacer son personnage, le joueur doit simplement cliquer (bouton gauche de la souris) à l'endroit voulu et celui-ci s'y déplace automatiquement. Pour attaquer un monstre, il suffit également de cliquer sur celui-ci (chaque clic correspondant à une attaque) et si le monstre n'est pas à portée, le personnage se déplace automatiquement. Maintenir enfoncée la touche majuscule en attaquant permet d'empêcher le personnage de bouger pour attaquer. Pour interagir avec un personnage ou pour ramasser un objet, le joueur doit de la même façon cliquer dessus et le héros se déplace automatiquement pour aller discuter avec un personnage ou ramasser l'objet visé.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Pour utiliser un sort ou une compétence, le joueur peut soit utiliser le livre de sorts dans lequel il doit sélectionner le sort avant de le lancer, soit définir un sort « préparé » en utilisant le livre rapide pour que celui-ci apparaisse à droite de la barre d'interface et puisse être utilisé avec un simple clic droit. Des raccourcis clavier sont également disponibles et permettent par exemple d'accéder rapidement à un objet de la ceinture (touche un à huit du clavier) ou à un sort défini par le joueur (touche F5 à F8).


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Deux modes de jeu sont disponibles dans "Diablo". Le mode solo permet d'explorer les seize niveaux de souterrains situés sous le monastère qui prennent place dans quatre environnements différents comme les mines ou l'enfer. Comme dans les "", les souterrains mais aussi les monstres et les trésors que le joueur peut y trouver sont générés aléatoirement et sont donc différents d'une partie à l'autre. Lors de sa descente vers l'enfer le joueur est amené à réaliser des quêtes qui peuvent lui être données par certains habitants de Tristram ou qu'il se voit assigner après la lecture de livres dispersés dans les souterrains. Certaines quêtes sont optionnelles et n'influent pas sur l'avancement du joueur dans le jeu mais permettent néanmoins de recevoir des récompenses comme des objets magiques ou de l'expérience qui l'aideront dans la quête principale.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Le mode multijoueur en réseau local (LAN) ou sur Internet (via ) suit le même déroulement que le mode solo mais ne peut être joué avec un personnage créé pour celui-ci. Il permet à quatre joueurs au maximum d'explorer les labyrinthes du jeu en coopération. Le mode multijoueur ne permet pas de sauvegarder : seules les caractéristiques et l'inventaire du personnage sont conservés d'une partie à l'autre et de nouvelles créatures reviennent peupler les labyrinthes à chaque nouvelle partie. Certaines quêtes sont légèrement différentes de celles du mode solo et d'autres disparaissent complètement. Le mode multijoueur est en plus divisé en trois niveaux de difficulté – normal, cauchemar et enfer – chacun permettant d'obtenir plus d'expérience et des objets plus puissants que le précédent mais étant peuplé de créatures beaucoup plus fortes.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: "Diablo" a été développé par le studio basé à San Mateo en Californie et fondé en 1993 par Max Schaefer, Erich Schaefer et David Brevik. À l'origine le studio ne développe que des titres pour consoles peu prometteurs comme ' ou ' sur lesquels ils travaillent d'après David Brevik . Après une rencontre avec Allen Adham, un des fondateurs de , David Brevik met sur la table une idée de jeu vidéo au tour par tour fonctionnant sous DOS et inspiré des jeux en ASCII "Moria" et "Angband" sur laquelle il réfléchissait depuis le lycée. Le projet intéresse qui proposera divers changements au cours du développement, comme le passage d'un système de jeu au tour par tour à un système de jeu en temps réel et le port du jeu sur Windows 95 au lieu de DOS. La relation entre et se révélant fructueuse, les deux studios vont peu à peu se rapprocher jusqu'à ce qu'en 1996, soit quelques mois avant la sortie de "Diablo", persuade sa maison mère de racheter qui est alors renommé . L'équipe de développement principale de "Diablo" compte alors moins de vingt personnes, mais bénéficie d'un support poussé de la part de avec notamment de fréquentes visites d'une task force constituée de développeurs chargés de proposer des améliorations ou des changements à apporter au jeu ou à la façon de fonctionner de l'équipe de . L'ajout d'un mode multijoueur permettant de jouer en réseau local ou sur Internet est évoqué six mois avant la sortie du jeu par qui souhaite s'inspirer du système mis en place pour . "Diablo" est alors en partie recodé pour permettre le jeu à plusieurs et développe , sa plate-forme gratuite de jeu sur Internet, disponible à la sortie du jeu.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: L'interface du jeu est à l'origine développée par Erich Schaefer et David Brevik qui s'inspirent à l'époque du jeu "X-COM" dont ils reprennent l'utilisation de la 3D isométrique. L'interface évolue ensuite de manière assez chaotique jusqu'à l'arrivée en 1996 chez de Stieg Hedlund qui assure la coordination de l'équipe de de "Diablo" jusqu'à la sortie du jeu. Celui-ci reprendra ce rôle lors du développement de "" et participera également au des "StarCraft" et de .


title: Diablo (jeu vidéo)

text: La musique du jeu a été composée par Matt Uelmen qui avait déjà travaillé sur la musique du précédent jeu développé par : ". Son travail sur "Diablo" fut bien reçu et fera à nouveau appel à lui pour les musiques de "".


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Le jeu est compatible DirectX 3. Il utilise la norme SVGA permettant un affichage en 256 couleurs avec une résolution de 640x480 et combine la modélisation tridimensionnelle à des effets de lumière calculés en temps réel. Pour les effets sonores et la musique, le jeu utilise le son 3D.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Les tests du jeu et notamment du bon fonctionnement de Battle.net se déroulèrent en interne pendant les deux mois précédant sa sortie et impliquèrent plus de mille personnes dont la quasi-totalité des employés de . Le jeu rate les fêtes de Noël de 1996 et ne sort finalement que début janvier 1997.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Après la sortie de "Diablo", décide de se focaliser sur le développement de sa suite et confie alors à le développement d'une extension appelée '. Éditée par , celle-ci sort en Amérique du Nord en novembre 1997 puis en Europe en 1998. ' permet au joueur d'explorer huit niveaux supplémentaires et introduit de nouveaux monstres, objets et sorts ainsi qu'une nouvelle classe de personnage, le moine, spécialiste du combat à main nue. a également intégré la possibilité de choisir le niveau de difficulté du mode solo mais n'a pas intégré de support multijoueur pour .


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Une version PlayStation développée par est publiée par en mars 1998 en Amérique du Nord. Celle-ci dispose de graphismes légèrement améliorés par rapport au jeu original ainsi que d'une interface simplifiée permettant de jouer avec une manette de jeu plutôt qu'avec la souris et le clavier. Cette version ne permet pas de jouer sur Battle.net mais dispose néanmoins d'un mode deux joueurs. publie également en mai 1998 une version Mac identique à la version PC.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Bien que le temps réel ou le concept de génération aléatoire des niveaux aient déjà été utilisés dans des jeux vidéo de rôle comme "Dungeon Master" ou "Rogue" dès les années 1980, "Diablo" est considéré comme ayant réinventé le genre en introduisant le principe du pointer-et-cliquer et en le rendant plus accessible. Il est considéré comme l'un des jeux vidéo les plus influents de l'histoire, son impact étant comparé à celui de "SimCity", "Populous", "Dune II" ou de "Doom". Son système de jeu a été repris dans de nombreux jeux vidéo de rôle que les journalistes qualifient souvent de ou de . "Diablo" est extrêmement bien accueilli à sa sortie par les critiques. Le site , qui compile les notes attribuées par la presse, le crédite ainsi d'un score moyen de 94 %. Le site GameSpot lui attribue une note de 96 %, encore inégalée pour un jeu sur ordinateur et plusieurs magazines spécialisés le qualifient de , certains allant même jusqu'à lui attribuer un score parfait. Comme son prédécesseur , "Diablo" connaît un important succès commercial et dépasse rapidement le million d'exemplaires vendus. En 1997, il décroche la troisième place des meilleures ventes de jeux vidéo après "Riven" et "Flight Simulator" et le 29 août 2001, il s'était vendu à plus de 2,5 millions d'exemplaires dans le monde.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Le jeu est d'abord loué dans de nombreuses critiques pour ses graphismes réalistes en SVGA qui collent parfaitement à l'ambiance morbide de l'histoire et qui restent malgré tout agréables à l'œil. La qualité et la diversité des modèles 3D et des animations sont également mises en avant et les effets sonores sont décrits comme étant très réussis et variés. Une critique souligne par exemple qu'à chaque type de créature est associé un son particulier qui permet de l'identifier et que certains monstres uniques ont même leurs propres effets sonores. La musique de "Diablo" est très appréciée des critiques qui qualifient la bande originale de ou et notent qu'elle rappelle les premiers albums du groupe gothique Bauhaus. Une critique considère néanmoins que couper la musique même si celle-ci contribue à l'atmosphère sinistre du jeu. Le système de jeu de "Diablo" est généralement décrit comme prenant et addictif. Celui-ci est ainsi apprécié pour la simplicité de son interface qui est décrite comme très rapide à prendre en main et intuitive mais aussi pour la génération aléatoire des souterrains et la diversité des créatures et des trésors que le joueur peut y trouver, qui permettent à celui-ci de recommencer le jeu plusieurs fois sans qu'il ne devienne trop répétitif. Le test du site GameSpot souligne ainsi la possibilité pour le joueur de après avoir recommencé le jeu pour la troisième fois. Certaines critiques regrettent néanmoins que le jeu soit trop court et que le scénario et les quêtes manquent de développement. Le mode multijoueur de "Diablo" est quant à lui décrit de manière très favorable par les critiques qui soulignent la possibilité de créer des parties pouvant accueillir jusqu'à quatre joueurs, rendant l'exploration des souterrains encore plus amusante. Le fait de pouvoir jouer gratuitement sur Internet grâce à la plate-forme multijoueur Battle.net est également mis en avant, même si une critique évoque des problèmes de triches sur les serveurs publics du jeu.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: "Diablo" est élu meilleur jeu de l'année 1996 par le site GameSpot et par le magazine '. Il est également nommé meilleur jeu vidéo de rôle de l'année par de nombreux magazines et sites spécialisés. Le magazine ' le classe second dans cette même catégorie.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: À la suite du succès du premier "Diablo", confie à le développement d'une extension appelée "" et éditée par . Celle-ci est publiée en novembre 1997 en Amérique du Nord et en 1998 en Europe. De son côté lance le développement de "", qui sort le 29 juin 2000 et est complété le 29 juin 2001 par une extension . Cette suite reprend l'histoire là où "Diablo" l'avait laissée et apporte de nombreuses améliorations au jeu que ce soit au niveau des graphismes ou du système de jeu, notamment via l'introduction de nouvelles classes de personnages disposant d'arbres de compétences spécifiques. Le jeu est un solide succès commercial qui détient le record du jeu PC le plus rapidement écoulé jusqu'à la sortie de ', en vendant plus d'un million d'exemplaires dans les deux semaines suivant sa sortie. Le 29 août 2001, "Diablo II" s'était déjà vendu à plus de quatre millions d'exemplaires.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Une nouvelle suite, "", annoncée le 28 juin 2008, est sortie le 15 mai 2012. Contrairement aux premiers épisodes de la série, le jeu dispose de graphisme en 3D et de plusieurs classes de personnages inédites. En , un quatrième épisode appelé "Diablo" est annoncé "" sur PC, et 4.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: Le succès des deux premiers épisodes de la série a également influencé un certain nombre de développeurs qui reprennent des éléments de "Diablo" dans des jeux comme ' en 1999, "Nox" et ' en 2001 puis ' et ' en 2002. "" reprend par exemple une interface et un système de jeu quasiment identiques à celui de "Diablo II" mais dans un univers fantastique inspiré du Japon médiéval dans lequel le joueur doit contrôler un groupe de quatre personnages. La série des "" créée par Chris Taylor tente de se démarquer par l'utilisation d'un moteur 3D et de quelques originalités au niveau de la gestion du personnage mais reste qualifiée de par certaines critiques. Bien que chacun de ces jeux possède des qualités, aucun ne connaît le succès de "Diablo" et de sa suite. "Diablo" a également influencé un certain nombre de comme ' qui reprend par exemple le principe des arbres de compétences de '.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: En 2008, Max et Erich Schaefer participent à la création du studio qui publie le jeu en 2009. Celui-ci reprend quasiment à l'identique le système de jeu et l'interface des "Diablo", mais bénéficie d'un aspect graphique amélioré grâce au passage à la 3D. À sa sortie, bénéficie d'un bon accueil de la presse spécialisée, certains critiques le considérant même comme le meilleur clone de "Diablo" depuis "" malgré l'absence de mode multijoueur.


title: Diablo (jeu vidéo)

text: En plus de la série de jeux vidéo, la franchise "Diablo" inclut des livres, des comics et un jeu de rôle s'inspirant de l'univers du jeu.


title: Werner Heisenberg

text: Werner Karl Heisenberg, né le à Wurtzbourg (Empire allemand) et mort le à Munich (Allemagne de l'Ouest), est un physicien allemand qui est l'un des fondateurs de la mécanique quantique.


title: Werner Heisenberg

text: Il est lauréat du prix Nobel de physique de 1932 .


title: Werner Heisenberg

text: Werner Carl Heisenberg naît en 1901 à Würtzburg dans une famille d'enseignants : son père August Heisenberg est un professeur au lycée de la ville et assistant de littérature byzantine à l'université, sa mère Annie Wecklein est la fille du directeur du lycée dans lequel Werner et son frère aîné Erwin font leurs études. Quand il a neuf ans, la famille s'installe à Munich, où son père a décroché un poste à l'université en 1909. Heisenberg y fréquente le lycée Maximilien ; il apprend les langues, les mathématiques et la musique ; il joue d'abord du violoncelle puis du piano et est aussi éclaireur scout. Mais ce n'est qu'après 1920, qu'il devient véritablement, au sein du mouvement de jeunesse, un randonneur à travers tout le pays et un pratiquant amateur et assidu dans de multiples domaines sportifs.


title: Werner Heisenberg

text: Passionné par les mathématiques, il suit en auditeur libre plusieurs cours de l'université de Munich, notamment sur les méthodes mathématiques de la physique moderne. En fait, il veut sauter les deux années préparatoires de mathématiques et à cette fin, il s'entretient avec un des professeurs de mathématiques, mais ce dernier se montre très critique vis-à-vis des mathématiques appliquées. Dans son autobiographie "La Partie et le Tout" (""), Heisenberg décrit l'entrevue comme un désastre : quand le professeur Ferdinand von Lindemann apprend que Heisenberg a lu un livre de Hermann Weyl sur la relativité générale, il rompt l'entretien avec ces mots : .


title: Werner Heisenberg

text: Il assiste à la proclamation de la République des conseils de Bavière (d'inspiration communiste) en 1918 et participe à sa répression violente par les Corps francs, comme aide au combat et combattant volontaire.


title: Werner Heisenberg

text: Il accomplit ses études de physique à l'université de Munich dans le délai record de trois ans, et soutient sa thèse sur « la stabilité des écoulements de fluide et la turbulence » sous la direction d’Arnold Sommerfeld. Après avoir obtenu son doctorat le , il devient dès 1924 l’assistant de Max Born à Göttingen tout en gardant des relations avec son ancien maître Arnold Sommerfeld puis il est lecteur à Copenhague de 1926 à 1927. Il travaille alors avec le physicien théoricien Niels Bohr. C'est au cours des années suivantes qu'avec Max Born et Pascual Jordan, il jette les bases théoriques de la mécanique quantique.


title: Werner Heisenberg

text: Heisenberg est recruté en 1927 comme professeur de physique atomique à l'université de Leipzig, âgé seulement de 26 ans. Il fait de cet établissement universitaire l'un des hauts lieux de la physique théorique (et en particulier de la physique nucléaire) durant l'Entre-deux-guerre en Europe et dans le monde entier. Il y reste jusqu'en 1941, date où il est appelé à l'institut Kaiser-Wilhelm de physique.


title: Werner Heisenberg

text: En 1929, le jeune physicien donne des cours et des conférences en Amérique, au Japon et en Inde. Le célèbre professeur reçoit le prix Nobel de physique en 1932.


title: Werner Heisenberg

text: Heisenberg décide de rester en Allemagne nazie dès les débuts du régime, non par sympathie, dira-t-il, mais pour préserver l'avenir et préparer l'après-guerre de la recherche allemande par des « îlots de stabilité », idée qui lui serait venue d'un entretien avec Max Planck. Le physicien célibataire est d'abord inquiété par les autorités nazies qui le soumettent à une enquête de plus en plus pressante. Sa mère informée fait appel à la mère de Heinrich Himmler, qu'elle connaît personnellement, pour mettre un point final à ces inquiétantes convocations renouvelées avec des incessants interrogatoires sur ses rapports avec Albert Einstein et les autres physiciens juifs ou exilés. Heisenberg prétend rester un simple citoyen obéissant aux lois du Reich et sans engagement politique.


title: Werner Heisenberg

text: Il joue souvent du piano, appliqué à partir de partitions de Bach ou Mozart, de Beethoven ou Schubert, lors des soirées mondaines chez ses amis, il rencontre Elisabeth Schumacher (1914-1998) au cours d'une petite soirée musicale à Leipzig en , le couple se marie et fonde une famille composée de sept enfants dont un généticien et neurobiologiste Martin Heisenberg et un physicien Jochen Heisenberg. Sa fille Christine Heisenberg se mariera à l'écrivain et psychologue Frido Mann, petit-fils de Thomas Mann. Un de ses petits-enfants est le réalisateur Benjamin Heisenberg et un autre encore, le biologiste Carl-Philipp Heisenberg .


title: Werner Heisenberg

text: Heisenberg à l'âge de 23 ans s'exile sur l'île de Heligoland pour soigner une allergie aux pollens de fleurs. Devenu assistant à l'université de Göttingen, il y développe la première formalisation de la mécanique quantique publiée en 1925, en même temps qu'Erwin Schrödinger. Toutefois, le formalisme mathématique est différent ; Heisenberg adopte une formalisation matricielle à opération non commutative, la « mécanique matricielle », alors que Schrödinger utilise une approche ondulatoire, par résolution de fonctions d'ondes en utilisant les équations différentielles. Pour cette raison, on croit d'abord que les deux théories sont distinctes, mais, l'année suivante, Schrödinger établit l'équivalence mathématique des deux formulations. Heisenberg redécouvre d'ailleurs à cette occasion les principaux résultats du calcul matriciel pour les besoins de l'expérimentation ; la théorie complète des matrices ne lui est enseignée que plus tard par le physicien allemand Pascual Jordan. Toutefois, au niveau de la signification physique, ces deux courants de la mécanique quantique restent en opposition. Einstein, qui n'a jamais apprécié l'abscons formalisme matriciel, se pose en adversaire scientifique de ces constructions théoriques.


title: Werner Heisenberg

text: Le principe d'incertitude, ou mieux le « principe d'indétermination », énoncé en 1927, affirme que la détermination de certains couples de valeurs de physique classique, par exemple la position et la quantité de mouvement, ne peut se faire avec une précision arbitraire. Ce principe affirme simplement qu'une particule quantique n'est jamais un corpuscule décrit par la physique classique. On peut le formaliser sous la forme d'un produit mathématique : Δ"p" Δ"x" ≈ "h" où Δ"p" représente l'indétermination sur la quantité de mouvement, Δ"x" l'indétermination sur la position et "h" la constante de Planck. Ce produit ne peut être inférieur à la constante (ou bien , où "ħ" est la constante de Planck réduite) et donc toute précision dans la mesure d'une des deux quantités classiques se fait au détriment de l'autre. Cette incertitude ou mieux cette indétermination n'est pas liée à une mesure caduque, mais marque la limite des propriétés réelles décrites par une approche par valeurs classiques : améliorer la précision des instruments n'améliorera pas la précision de ces mesures classiques simultanées. La même année, Heisenberg participe au congrès Solvay qui oppose les physiciens sur l'interprétation de ce principe et de la mécanique quantique en général.


title: Werner Heisenberg

text: À partir de 1929, il travaille avec Wolfgang Pauli à l'élaboration de la théorie quantique des champs.


title: Werner Heisenberg

text: Il reçoit le prix Nobel de physique en 1933(pour l'année 1932) (c'est-à-dire l'orthohydrogène et le parahydrogène).


title: Werner Heisenberg

text: Après la découverte du neutron par James Chadwick en 1932, Heisenberg propose le modèle proton-neutron du noyau atomique, et s'en sert pour expliquer le spin nucléaire des isotopes.


title: Werner Heisenberg

text: Les nazis arrivent au pouvoir en 1933. En 1934, le physicien allemand Arnold Sommerfeld prend sa retraite. Pour le remplacer, il propose Heisenberg. Mais le gouvernement nazi refuse car ce dernier n'est pas membre du parti et n'est pas connu pour être un partisan du Führer. Ce malentendu dure et finalement un pronazi est nommé à la chaire de physique à l'université de Munich (1935). C'est une défaite pour Heisenberg. L'institut Heisenberg est débaptisé en faveur d'un scientifique nazi (Philipp Lenard).


title: Werner Heisenberg

text: En 1936, un article du "Volkischer Beobachter", le quotidien du parti nazi, dénonce la qui ont envahi l'université allemande, et demande à purger ces éléments pour rétablir une université aryenne allemande. Heisenberg n'est pas cité mais il est clairement visé. Heisenberg demande alors un droit de réponse au "Volkischer Beobachter," qui lui est refusé. Cette fois, l'aile armée du parti s'en mêle : en 1937, c'est le journal des SS, le "Schwarze Korps" qui le l'accuse publiquement de , d'être , Heisenberg est insulté, on lui reproche d'être (c'est-à-dire un aryen qui agit comme un juif), on le surnomme l', on appelle même à son meurtre, à son . Heisenberg craint pour sa vie car les Juifs ont été violemment attaqués et incarcérés. Heisenberg riposte avec un éditorial et une lettre à Himmler, un des hommes forts du parti nazi, dans une tentative de résoudre le problème et de « retrouver son honneur ».


title: Werner Heisenberg

text: Heureusement pour lui, sa mère est une amie intime de celle de Heinrich Himmler, le chef de la SS, qui décide de lancer une enquête officielle qui blanchit son nom. Dans une lettre au général de la police nazie Reinhard Heydrich, Himmler déclara que l'Allemagne ne peut pas se permettre de perdre un enseignant (tel que Heisenberg) d'une génération de scientifiques ou de le faire taire. Un an après, Heisenberg est pratiquement réhabilité, les attaques cessent ; en échange, il s'engage à ne plus parler de , à ne plus mentionner publiquement les noms d'Einstein et Bohr. Il ne fait toutefois pas partie du programme de recherche nucléaire militaire. Ce n'est qu'en 1942, quand le programme est abandonné par les militaires, qu'il en prend la tête.


title: Werner Heisenberg

text: Dès , le chercheur Otto Hahn découvre la fission nucléaire. La voie vers un réacteur et une bombe nucléaire est ouverte. Un programme militaire allemand (l"'Uranverein" en allemand ou "Uranium Club" en anglais) est mis sur pied pour mettre au point la première bombe nucléaire de l'histoire. Heisenberg n'en fait pas partie mais travaille sur le pan civil de la chose : la mise au point d'un réacteur nucléaire.


title: Werner Heisenberg

text: En juin 1939, Heisenberg se rend aux États-Unis et rend visite à Samuel A. Goudsmit à l'université du Michigan à Ann Arbor ; il refuse une invitation à émigrer aux États-Unis, et ne revoit Goudsmit que six ans plus tard, lorsque celui-ci est le principal conseiller scientifique de l'opération américaine Alsos, à la fin de la Seconde Guerre mondiale.


title: Werner Heisenberg

text: Cependant, entre 1941 et 1944, Heisenberg participe à plusieurs voyages de propagande nazie en Hongrie, au Danemark, aux Pays-Bas et en Pologne, dans le rôle d'éminence culturelle, accompagné par des officiels du parti nazi et célébré par les autorités militaires d'occupation, pour gagner les élites locales à la collaboration. Et lors de ses entretiens avec Niels Bohr à Copenhague en , il lui dit sa , et lui donne la nette impression que . Cette réunion jette un froid entre Heisenberg et Bohr, lequel est exfiltré peu de jours après vers la Suède puis l'Angleterre et de là aux États-Unis à Los Alamos.


title: Werner Heisenberg

text: Quand en 1943, Heisenberg se rend aux Pays-Bas, il confie qu'une victoire de l'Allemagne serait un moindre mal. En Pologne occupée, dirigée par Hans Frank, un ami d'enfance, il prononce un discours réservé aux Allemands.


title: Werner Heisenberg

text: Après la guerre, Heisenberg se présente comme un savant capable de construire la bombe mais qui a refusé de le faire pour ne pas servir Hitler. Cette vision des faits a été défendue par l'écrivain allemand Robert Jungk en 1957 dans son livre "Plus clair que mille soleils". Heisenberg et Jungk expliquaient que Bohr avait mal interprété les paroles du savant allemand.


title: Werner Heisenberg

text: Mais, 30 ans plus tard, en 1990, Jungk s'est ensuite rétracté, accusant un collègue de Heisenberg, von Weizsäcker, de l'avoir trompé, et accusant Heisenberg de l'avoir trompé également.


title: Werner Heisenberg

text: Il fallut attendre les années 1990 pour que soient publiées par l'Institut Niels Bohr de Copenhague des lettres que Bohr écrivit à Heisenberg dans les années 1950 et 1960, sans se résoudre à les envoyer. Dans celles-ci, Bohr précise que Heisenberg, lors de leur rencontre en 1941, n'exprime aucun scrupule moral concernant le projet allemand de bombe atomique, et qu'il a passé les deux années précédant cette rencontre à travailler sur ce projet. Il est convaincu qu'elle déciderait de l'issue de la guerre. De nombreux historiens des sciences prennent ces documents comme une preuve de l'implication de Heisenberg dans le programme allemand, en dépit de ses dénégations antérieures.


title: Werner Heisenberg

text: Les historiens restent divisés sur les réelles intentions de Heisenberg de concevoir la bombe : pour le physicien Samuel Goudsmit ("Alsos Mission," 1947) et les historiens David Cassidy ("Uncertainty : the life and science of Werner Heisenberg," 1992), Paul Lawrence Rose ("Heisenberg and the Nazi atomic bomb project", 1998) et le physicien Jeremy Bernstein ("Hitler's uranium club : the secret recordings at Farm Hall", 2001), Heisenberg était dans l'impossibilité matérielle de faire la bombe (par manque de moyens et par une approche théorique inadéquate) mais il l'aurait certainement produite s'il avait pu car il le désirait ardemment ; c'est également l'avis du physicien du CNRS Sébastien Balibar, qui réfute aussi l'idée que Heisenberg ait voulu cacher aux nazis la possibilité de construire des armes nucléaires ; pour l'historien Mark Walker ("Nazi science", 1995), la question ne se pose pas car de fait, Heisenberg n'aurait pas pu la faire même s'il l'avait voulu ; pour le journaliste Thomas Powers ("Le mystère Heisenberg", 1992) et le dramaturge Michael Frayn ("Copenhague", 1998), Heisenberg aurait pu fabriquer la bombe mais, par bonté d'âme, a refusé de le faire.


title: Werner Heisenberg

text: Heisenberg et d'autres de ses collègues chercheurs allemands de la bombe sont capturés et internés pendant six mois, de juillet à fin , dans un manoir du MI6 à Farm Hall près de Cambridge en Angleterre, par la couronne britannique, internement qui se poursuivra ensuite dans la maison Albersmeyer à Alswede près de Lübbecke. Les microphones installés enregistrent leurs conversations au moment du largage des bombes sur Hiroshima et Nagasaki en août 1945, et « leur réaction principale était une sorte de vexation de n’avoir pas été capables de réaliser ce que les Américains (dont de très nombreux émigrés d’origine allemande) avaient réussi ». Il s'agissait aussi de savoir pour eux comment les Américains avaient pu fabriquer cette bombe. Il n'y a aucune preuve dans les transcriptions des conversations que Heisenberg ou les autres physiciens aient tenté de perturber le programme nucléaire nazi mais dans ces transcriptions, cependant, il y a des preuves que Heisenberg était au courant des politiques nazies d'assassinats. Par la suite, Werner Heisenberg, prématurément vieilli, continue ses travaux de physique après la guerre et défend la création de la "Deutsche Forschungsgemeinschaft" (Conseil de recherche allemand). Sa fondation de recherche allemande est retardée faute de moyens et de bâtiments mais il en est nommé président en 1951. Directeur de l'Institut Max-Planck concernant la physique, institut nouvellement créé, il préside plus tard également la fondation Alexander von Humboldt. Avec d'autres physiciens, les « 18 de Göttingen », il écrit une lettre au chancelier Konrad Adenauer afin que ce dernier abandonne le projet de développement d'une bombe atomique, considérant que l'Allemagne devait développer plutôt ce qu'on appellerait son « "soft power" » (avant la lettre).


title: Werner Heisenberg

text: Heisenberg écrit plusieurs ouvrages de vulgarisation, ainsi qu'un livre intitulé "Der Teil und das Ganze" ("La Partie et le Tout"), à propos de sa vie, de son amitié avec Niels Bohr et de l'évolution de la physique quantique.


title: Werner Heisenberg

text: Heisenberg est enterré dans la partie ancienne du cimetière de la forêt de Munich, tombe n° 163-W-29.


title: Instrument de percussion

text: Les instruments de percussion sont des instruments de musique dont l'émission sonore résulte de la frappe ou du grattage d'une membrane ou d'un matériau résonnant. Les instruments de percussion ont probablement constitué les tout premiers instruments de musique et font partie intégrante de la plupart des genres musicaux. On les trouve en effet depuis la musique traditionnelle jusqu'à la musique classique.


title: Instrument de percussion

text: Si dans un groupe de musique (rock, folk, pop, jazz, etc.) le batteur n'utilise généralement que quelques éléments de percussions (tambours, cymbales), le percussionniste détient une place à part entière dans les orchestres symphoniques, étant donné la variété des instruments à sa disposition (certaines œuvres peuvent de ce fait nécessiter plusieurs percussionnistes). Utilisés la plupart du temps en complément rythmique, ils sont parfois mis à l'honneur en solistes comme dans la "Musique pour cordes, percussion et célesta" de Béla Bartók et dans l'Ionisation d'Edgard Varèse.


title: Instrument de percussion

text: Le percussionniste peut même prendre la place de tout ou partie des joueurs d'autres instruments avec l'arrivée de l'électronique, reprenant avec la boîte à rythmes la position dominante qu'il avait.


title: Instrument de percussion

text: Les percussions à peau sont différents des idiophones. On trouve également dans cette catégorie quelques cordophones, mais cela reste relativement exceptionnel.


title: Instrument de percussion

text: Le corps humain est l'instrument de percussion par excellence : il est à la fois membranophone, cordophone et idiophone. Pouvant ainsi produire une grande variété de sons synthétiques et naturels, il permet, outre sa composante vocale, d'accéder à la pratique des percussions corporelles de façon universelle.


title: Instrument de percussion

text: La frappe d'une peau (animale ou synthétique) tendue sur un fût, avec des baguettes ou les mains, engendre un son qui est amplifié par la caisse de résonance et par l'adjonction éventuelle de timbres. La hauteur du son dépend de la taille du fût (par exemple la grosse caisse délivre un son plus grave que la caisse claire) et de la tension de la peau. Les membranophones comptent, entre autres, la caisse claire, la grosse caisse, les toms, le tambour, le tambourin et les timbales.


title: Instrument de percussion

text: Un idiophone est un instrument à percussion dont le matériau lui-même produit le son lors d'un impact, soit par un accessoire extérieur (comme une baguette), soit par une autre partie de l'instrument. Ce son peut être indéterminé (ex. le triangle) ou déterminé. Parmi les instruments de cette dernière catégorie on trouve les claviers ou lamellaphones constitués d'une série de lames accordées en bois ou en métal frappées par des baguettes comme le xylophone, le marimba ou le steel drum.


title: Instrument de percussion

text: Certains "instruments à cordes" sont des instruments de percussion car les cordes sont frappées en rythme et permettent de produire un son accordé aux instruments qu'ils accompagnent.


title: Instrument de percussion

text: Un électrophone est un instrument dont le son est produit par l'oscillation d'un courant électrique et n'est audible que par le biais d'un haut-parleur. La batterie électronique et les boites à rythmes en sont un exemple.


title: Instrument de percussion

text: Dans la liste suivante, on note pour les membranophones, pour les idiophones, pour les cordophones, et pour les électrophones.


title: Alan Sugar

text: Alan Michael Sugar (né le ), baron Sugar, est un homme d'affaires britannique avec une fortune estimée à 830 millions de livres sterling. Il est surtout connu pour avoir créé la société Amstrad (contraction de « Alan Michael Sugar TRADing ») en 1968. Il est marié depuis 1968 à Ann Simons.


title: Alan Sugar

text: Alan Sugar a quitté l'école à l'âge de 21 ans et a fondé en 1968 la société d'électronique et d'informatique Amstrad. Il a été l'un des propriétaires du club de football Tottenham Hotspur F.C. de 1991 à 2001. Il est l'un des donateurs du Parti travailliste.


title: Alan Sugar

text: Il créa une filiale française d'Amstrad en 1982, dirigée par Marion Vannier. En 1984, il se lança dans la micro-informatique familiale avec le CPC 464 : le succès fut immédiat en raison de son bas prix.


title: Alan Sugar

text: En 1985, il récidiva avec le PCW8256, qui rendit obsolètes toutes les machines à écrire. Il commit pourtant une erreur : les disquettes 3" des débuts, au format incompatible avec celui de 3,5" qui commençait à se répandre.


title: Alan Sugar

text: En novembre 1986, il lança le compatible PC-1512, l'un des tout premiers PC à bas prix, et racheta Sinclair en mai 1986. Mais les portables présentés en 1988 furent un échec.


title: Alan Sugar

text: La société Amstrad vend aujourd'hui du matériel hi-fi et des antennes paraboliques.


title: Alan Sugar

text: En 2005, il a suivi Donald Trump dans son adaptation pour la BBC de l'émission de télé-réalité américaine "The Apprentice".


title: Alan Sugar

text: En 2007, pendant environ 12 semaines, il présente chaque mercredi soir de 9 h à 10 h, heure anglaise, "The apprentice" (l'apprenti(e)) sur la chaîne BBC. Les candidats s'affrontent chaque semaine en groupe de deux équipes dans des épreuves où ils doivent démontrer leur talent d'hommes d'affaires.


title: Alan Sugar

text: Alan Sugar possède aussi une compagnie aérienne qui propose de louer des Cessna (AmsAIR) ainsi qu'une société gérant un énorme patrimoine immobilier AmsPROP. Toutes ses participations financières sont regroupées dans sa holding AmsHOLD. Il a créé une société, Amscreen, dédiée aux supports médias comme la TV. Elle est dirigée par l'un de ses fils, Simon.


title: Alan Sugar

text: Sa biographie a été écrite, en anglais, par David Thomas sous le titre : "Alan Sugar The Amstrad Story".


title: Alan Sugar

text: "The Real Sir Alan" est une émission biographique de 60 minutes réalisée par Fiona Bruce et diffusée sur BBC Two () et BBC One (). Elle ne peut plus être vue avec le Iplayer BBC, mais est disponible sur Youtube en 6 parties de 10 minutes.


title: Alan Sugar

text: Le , il est créé pair à vie dans la pairie du Royaume-Uni en tant que baron Sugar, ce qui lui permet de siéger à la Chambre des lords.


title: Conique

text: En géométrie euclidienne, une conique est une courbe plane algébrique, définie initialement comme l’intersection d'un cône de révolution (supposé prolongé à l’infini de part et d’autre du sommet) avec un plan. Lorsque le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône, la conique est dite "non dégénérée" et réalise l’une des courbes suivantes : ellipse, parabole ou hyperbole, caractérisées par un paramètre réel appelé excentricité.


title: Conique

text: Ces courbes apparaissent aussi comme les courbes planes définies par une équation de degré 2, dit autrement les lignes de niveau de fonctions quadratiques.


title: Conique

text: En dehors du cercle, chaque conique non dégénérée admet un axe de symétrie "principal", sur lequel un point appelé "foyer" permet d’identifier la courbe comme le lieu géométrique des points satisfaisant une équation monofocale.


title: Conique

text: L’ellipse et l’hyperbole admettent aussi un axe de symétrie "secondaire" perpendiculaire à l’axe principal, définissant ainsi un deuxième foyer et permettant de redéfinir la conique par une équation bifocale.


title: Conique

text: Les intersections de cône par un plan pouvant être vues comme des projections coniques d'un cercle sur un plan, l'étude des coniques en géométrie projective permet d'obtenir des résultats puissants et donne lieu à l'étude des coniques projectives.


title: Conique

text: Les coniques sont d'un intérêt particulier en astronautique et en mécanique céleste car elles décrivent la forme des orbites d'un système à deux corps sous l'effet de la gravitation.


title: Conique

text: On obtient une conique en prenant l'intersection d'un plan avec un cône dont la courbe directrice est un cercle. On peut, dans l'étude, se limiter à l'intersection d'un plan avec un cône de révolution.


title: Conique

text: Selon les positions relatives du plan de coupe et du cône de révolution, on obtient différents types de coniques :


title: Conique

text: La définition "par foyer et directrice" des coniques est encore appelée définition "monofocale" de ces coniques.


title: Conique

text: Dans un plan ("p"), on considère une droite (D) et un point "F" non situé sur (D). Soit un réel strictement positif.


title: Conique

text: On appelle conique de "droite directrice" (D), de "foyer" "F" et d"'excentricité" l'ensemble des points "M" du plan ("p") vérifiant : où et


title: Conique

text: Le paramètre définit la "forme" de la conique, c'est-à-dire que deux coniques ayant même excentricité sont image l'une de l'autre par une similitude.


title: Conique

text: Toutes ces courbes possèdent comme axe de symétrie la droite passant par "F" et perpendiculaire à (D) appelé "axe principal" de la conique.


title: Conique

text: On note "K" le projeté orthogonal du point "F" sur la droite (D) et "h" la distance de K à F (le produit s'appelle le "paramètre" de la conique depuis Pierre Hérigone).


title: Conique

text: Pour tout point "O" de l'axe principal, on peut construire le repère orthonormal formula_4 où formula_5 dans lequel "F" a pour abscisse .


title: Conique

text: Pour un point "M" de coordonnées on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes : ce qui implique en élevant [1] au carré et en utilisant [2] et [3] :


title: Conique

text: soit après réduction :


title: Conique

text: où


title: Conique

text: Un choix judicieux de "O" permet de simplifier cette équation.


title: Conique

text: En prenant formula_6, le coefficient "C" s'annule et "O" est un point de la conique appelé "sommet". L'équation s'écrit : En particulier, dans le cas où , on retrouve l'équation caractéristique de la parabole :


title: Conique

text: Dans le cas où est différent de 1, pour formula_8, le coefficient "B" s'annule et le point "O" est "centre" de symétrie de la conique. L'équation s'écrit :


title: Conique

text: dans laquelle on retrouve, en posant


title: Conique

text: les équations caractéristiques suivantes : formula_9 pour "e" < 1 — cas de l'ellipse formula_10 pour "e" > 1 — cas de l'hyperbole Dans les équations précédentes, on trouve l'équation d'un cercle de rayon dans le cas où et . On considère alors le cercle comme un cas particulier d'ellipse d'excentricité nulle, dont le foyer est situé au centre du cercle et dont la directrice est envoyée "à l'infini".


title: Conique

text: Dans le repère d'origine "F" et de direction formula_11, une telle conique a pour équation polaire : Réciproquement, toute courbe dont l'équation polaire dans un repère formula_12 est :


title: Conique

text: où "p" est un réel non nul, et ("A", "B") un couple de réels différent de (0, 0), est une conique de foyer "O", d'excentricité formula_13 et d'axe la droite d'équation .


title: Conique

text: Cette forme d'équation polaire est utile dans l'étude de la trajectoire des planètes.


title: Conique

text: L'ellipse peut être définie comme le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes, appelés foyers de l'ellipse, est constante et égale à une valeur fixée. Cette définition reste valable dans le cas du cercle, pour lequel les foyers sont confondus.


title: Conique

text: L'hyperbole peut être définie comme le lieu des points dont la valeur absolue de la différence des distances à deux points fixes, appelés foyers de l'hyperbole, est constante et égale à une valeur fixée.


title: Conique

text: La parabole n'a pas de définition bifocale.


title: Conique

text: Cette propriété bifocale correspond à une autre définition d'une conique par un point et une courbe directrice : l’ensemble des centres des cercles passant par un point fixe "F" et tangent à, soit un cercle fixe (C) ne passant pas par "F", soit une droite fixe (D) ne contenant pas "F", est une conique de foyer "F" et de courbe directrice (C) ou (D).


title: Conique

text: Si "F" est intérieur à (C), la courbe est une ellipse ; si "F" est extérieur à (C) la courbe est une hyperbole ; si la directrice est une droite, la courbe est une parabole.


title: Conique

text: En notant le centre du cercle (C) et son rayon (), on obtient en effet : Les points "F" et "F" sont les foyers de la conique.


title: Conique

text: Quant à la parabole, on retrouve, pour le cercle centré en "M" passant par "F" et tangent à (D), l'égalité .


title: Conique

text: Les paraboles admettent un et un seul couple foyer/directrice au sens de la définition monofocale, et l'excentricité correspondante vaut 1.


title: Conique

text: Ellipses et hyperboles admettent exactement deux couples foyer/directrice au sens de la définition monofocale, et ceux-ci correspondent à une même valeur de l'excentricité. Ils sont symétriques par rapport au centre de l'ellipse ou au point d'intersection des asymptotes de l'hyperbole. Ces foyers sont les points intervenant dans la définition bifocale.


title: Conique

text: Les foyers et les directrices des coniques peuvent être déterminés géométriquement dans le cadre de la définition des coniques comme intersection d'un cône et d'un plan ne passant pas par le centre de celui-ci.


title: Conique

text: Il existe, selon l'orientation du plan par rapport à l'axe du cône, une (cas des paraboles) ou deux (cas des ellipses et des hyperboles) sphères tangentes à la fois au plan et au cône ; ce sont des sphères centrées sur l'axe, situées dans un même demi-cône (cas des ellipses) ou dans des demi-cônes opposés (cas des hyperboles).


title: Conique

text: Chacune de ces sphères définit l'un des foyers de la conique (c'est le point de tangence de la sphère et du plan) ainsi que la droite directrice associée (c'est l'intersection du plan de la conique et du plan contenant le cercle de tangence de la sphère et du cône) ; c'est le théorème de Dandelin.


title: Conique

text: Dans un espace affine muni d'un repère, on appelle conique tout ensemble de points "M"("x", "y") vérifiant une égalité de la forme  formula_14 où "A", "B", "C", "D", "E", "F" sont des constantes telles que ("A","B","C") ≠ (0,0,0).


title: Conique

text: L'ensemble des coniques est stable par transformation affine ou par changement de repère. Une conique étant donnée, avec son équation dans un repère quelconque, on cherche à déterminer un repère orthonormal dans lequel l'équation de la conique serait "aussi simple que possible". On se place d'emblée dans le cas où l'équation est donnée dans un repère orthonormal, si ce n'est pas le cas, on peut s'y ramener par changement de base. On peut également éliminer le terme en en changeant de base par rotation.


title: Conique

text: En effet, les équations de changement de base, pour une rotation d'angle , sont : Le coefficient devant s'écrit alors :


title: Conique

text: et si "B" est non nul, ce coefficient s'annule lorsque est un argument de


title: Conique

text: On suppose désormais que la conique a pour équation : formula_15 et l'on distingue trois éventualités.


title: Conique

text: Un changement d'origine en prenant "O"(− "D"/"A",− "E"/"C") permet d'éliminer les termes en "x" et "y". La conique a pour équation dans ce nouveau repère :


title: Conique

text: Trois cas se présentent alors : formula_16


title: Conique

text: Le même changement de repère conduit à l'équation :


title: Conique

text: et l'on peut même, en permutant éventuellement les vecteurs de la base, supposer que "C""F" ≥ 0. Deux cas se présentent alors : formula_17 ;


title: Conique

text: On peut, en permutant éventuellement les vecteurs de la base, supposer que "A" est nul et "C" non nul. Un changement d'origine en prenant "O"(0, −"E"/"C") conduit à l'équation


title: Conique

text: et deux cas se présentent : formula_7 ;


title: Conique

text: Ces équations réduites permettent de mettre en évidence les orbites des coniques pour les isométries : toutes les coniques d'une même classe avec les mêmes paramètres sont isométriques.


title: Conique

text: On se place dans le cadre d'un plan affine réel muni d'un repère et on considère l'ensemble des fonctions "f" définies pour tout point M("x", "y") par


title: Conique

text: où "A", "B", "C", "D", "E", "F" sont des constantes réelles telles que ("A","B","C") ≠ (0,0,0).


title: Conique

text: On note "C" la conique d'équation "f"("M") = 0. La question qui se pose est de savoir quel est l'effet des transformations affines sur la conique "C", plus exactement de déterminer son orbite pour les transformations affines. Pour deux coniques "C" et "C", on observe que s'il existe une transformation affine et un réel non nul tels que "f" ∘ "φ" = "λf", alors . On dit alors que "f" et "f" sont affinement équivalentes. Le but de la classification affine est de ranger les fonctions "f" en classe d'équivalence.


title: Conique

text: On définit pour cela On obtient les écritures matricielles de "f" suivantes On démontre ensuite que "f" et "f" sont affinement équivalentes si et seulement si "Q" et "Q" ont même signature (à l'ordre près) ainsi que "M" et "M". De plus la signature de "Q" (à l'ordre près) caractérise le signe de son déterminant "AC" -"B". On obtient alors une classification des coniques en fonction des signatures de ces deux matrices :


title: Conique

text: Quand le déterminant de "M" est nul, on dit que la conique est dégénérée.


title: Conique

text: En géométrie projective, les coniques sont encore les courbes planes algébriques du second degré, c'est-à-dire les courbes planes caractérisées dans un certain repère projectif par une équation polynomiale homogène de degré 2. Une telle équation a pour forme (voir coordonnées homogènes) avec "A", "B" et "C" non tous nuls.


title: Conique

text: Les coordonnées ("X", "Y","Z") d'un point dans un repère de l'espace projectif ne sont pas toutes nulles, et deux triplets de coordonnées proportionnelles définissent le même point. On travaille plus précisément dans le plan projectif réel P(E), où E est l'espace vectoriel réel de dimension 3. Une conique projective réelle est une courbe qui possède une équation polynomiale homogène du second degré dans un repère projectif de P(E).


title: Conique

text: Même pour les coniques réelles (les coefficients "A, B, C, D, E, F" ci-dessus sont réels), il peut être utile de considérer le "complexifié" P(E) de P(E), qui est le plan projectif complexe. Un repère de P(E) est aussi un repère de P(E), les coordonnées étant complexes. Les points réels sont ceux de P(E), les points imaginaires ceux de P(E) qui ne sont pas dans P(E). Les points imaginaires sont ceux qui ont au moins une coordonnée non réelle dans un repère de P(E) (ceci ne dépend pas du repère). Sauf précision, les points de la conique sont les points réels qui satisfont l'équation, mais on peut parler des points imaginaires d'une conique réelle.


title: Conique

text: Les coordonnées homogènes sont les coordonnées dans la base de E déterminée par le repère projectif choisi. On voit alors qu'une conique de P(E) est définie par une forme quadratique sur E. Plus précisément la conique ("C") de P(E) associée à une forme quadratique "q" de "E" est l'ensemble des points de P("E") déterminés par des vecteurs non nuls "u" de E tels que "q"("u") = 0. Deux formes quadratiques proportionnelles définissent la même conique.


title: Conique

text: Une conique est dite "propre" si elle est associée à une forme quadratique non dégénérée, "dégénérée" sinon. Une forme quadratique dégénérée est soit le carré d'une forme linéaire, soit la somme ou la différence de carrés de formes linéaires. Elle se factorise donc toujours comme produit de deux formes linéaires (éventuellement complexes). Les noyaux de ses formes linéaires sont des plans qui définissent des droites projectives (éventuellement complexes). Une conique dégénérée réelle non vide (sur l'espace réel) est donc soit une droite, soit la réunion de deux droites (éventuellement complexes).


title: Conique

text: L'image d'une conique par une homographie est encore une conique, puisque celle-ci correspond à une transformation linéaire "f" sur "E", si la conique est associée à la forme quadratique "q", l'image de celle-ci est associée à la forme quadratique


title: Conique

text: La classification projective des coniques est la classification à homographie près : deux coniques sont dans la même classe si l'une est image de l'autre par une homographie. Elle se déduit donc de la classification des formes quadratiques, sachant que deux coniques proportionnelles (opposées en particulier) définissent la même conique. La classification projective des coniques réelles s'obtient alors directement à partir de celle des formes quadratiques réelles donnée par la loi d'inertie de Sylvester. Autrement dit, l'orbite d'une conique réelle sous l'action du groupe projectif linéaire PGL(3,R) est caractérisée par la signature de la forme quadratique.


title: Conique

text: Comme deux formes quadratiques opposées sont associées à la même conique, on peut toujours supposer que le premier terme de la signature est supérieur ou égal au second.


title: Conique

text: Par diagonalisation des formes quadratiques, par exemple par réduction de Gauss, on obtient une écriture de celle-ci comme somme et/ou différence de carrés qui est déterminée par la signature. La conique est alors l'image par transformation projective d'une conique de l'équation réduite indiquée dans le même repère, ou, de façon équivalente, il existe un repère dans lequel l'équation de la conique est l'équation indiquée.


title: Conique

text: En particulier, il n'y a à homographie près qu'une seule conique projective réelle non dégénérée non vide, celle qui a pour équation dans un certain repère projectif "X"+"Y"-"Z"=0 (signature (2,1) ou (1,2)). Cette équation est celle d'un cône à base elliptique de sommet l'origine dans l'espace vectoriel E.


title: Conique

text: Un plan affine peut toujours être plongé dans un espace vectoriel E de dimension 3, comme plan affine ne passant pas par l'origine. Un repère de E peut être choisi de façon que le plan affine soit identifié au plan affine d'équation "Z" = 1 dans ce repère. Ce plan affine apparait alors également comme la partie du plan projectif P("E") formée des points de coordonnées homogènes ("X":"Y":1), donc par homogénéité ceux de coordonnées ("X" : "Y" : "Z") avec "Z" ≠ 0. Les points de coordonnées ("X";"Y":0) forment alors une droite projective, qui est la droite à l'infini associée au plan affine.


title: Conique

text: La restriction de la conique projective d'équation au plan affine "Z" = 1, a pour équation, en choisissant le repère affine déduit du repère projectif et l'on a bien l'équation d'une conique affine, et par l'opération inverse, en homogénéisant l'équation de la conique affine, celle-ci apparaît comme la restriction au plan affine d'une conique projective.


title: Conique

text: L'intersection de la conique projective avec la droite à l'infini associée au plan affine a pour équation Le trinôme "AX" + 2"BXY" + "CY" est la "forme quadratique à l'infini" de la conique affine. Le nombre de solutions de l'équation à homogénéïté près est le nombre de point à l'infini de la conique. Celui-ci est 0, 1, ou 2, suivant le signe de "B" -"AC", discriminant (réduit) de l'équation (en "Y/X" ou "X/Y" suivant que l'on cherche des solutions telles que "X" est non nul ou "Y" est non nul).


title: Conique

text: On retrouve alors la classification affine à partir de la classification projective et du nombre de points à l'infini : les critères sont les mêmes, signature de la forme quadratique donnée par l'équation homogénéisée, le discriminant est l'opposé du déterminant de la forme quadratique à l'infini. En particulier une ellipse ("B" -"AC" < 0) n'a pas de point à l'infini, une parabole ("B" -"AC" = 0) a un seul point double à l'infini, c'est-à-dire qu'elle est tangente à la droite à l'infini, une hyperbole ("B" -"AC" > 0) a deux points à l'infini.


title: Conique

text: En géométrie analytique barycentrique, les coniques sont toujours les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les points ont des coordonnées barycentriques "λ", "μ" et "ν" qui vérifient une équation polynomiale homogène du second degré de la forme :


title: Conique

text: On peut identifier cette équation à la précédente, en posant : On obtient alors, à un coefficient multiplicatif près :


title: Conique

text: Le théorème des cinq points, cas particulier du paradoxe de Cramer, permet de montrer qu'il suffit de connaitre cinq points distincts, non alignés trois par trois, pour déterminer de façon unique une conique. Plus précisément, elle sera déterminée de façon unique si aucun sous-ensemble de quatre points n'est aligné, et non dégénérée si et seulement si les cinq points sont non alignés trois par trois.


title: Conique

text: L'étude des coniques remonte, en Grèce, au moins jusqu'au quand Ménechme recherchant une double moyenne proportionnelle entre deux segments, la trouve comme l'intersection de deux courbes, une parabole et une hyperbole. Ménechme ne donne pas de nom à ses courbes. Elles furent également étudiées par Euclide et Aristée. Pour eux, un cône est obtenu comme rotation d'un triangle ("ABC") rectangle en "B" autour d'un côté de l'angle droit "AB", l'hypoténuse est appelée génératrice du cône. Le cône est dit rectangle si l'angle de sommet "A" est égal à 45°, acutangle (respectivement obtusangle) si l'angle de sommet "A" est inférieur (respectivement supérieur) à 45°. Pour Aristée, une conique est obtenue par intersection d'un cône avec un plan perpendiculaire à une génératrice. Si le cône est rectangle, la section (parabole) est appelée une "section rectangle", si le cône est acutangle, la section (ellipse) est appelée "section acutangle" et si le cône est obtusangle, la section (hyperbole) est appelée "section obtusangle" du cône. Pour Apollonius de Perge, le cône est généré par un cercle, un point non situé dans le plan du cercle et une faisceau de droites passant par le point et s'appuyant sur le cercle (le cône n'est donc pas nécessairement droit). Il parle de surface conique et envisage les deux nappes du cône. Une conique est l'intersection d'un plan avec le cône, il est donc un des premiers à voir que l'hyperbole est formée de deux parties : une section et sa section opposée. C'est également dans ses écrits que l'on trouve les termes d’"abscisse" et d’"ordonnée" : il remarque que dans une conique, des cordes parallèles ont des milieux alignés. La droite passant par ces milieux est appelée un diamètre, les segments parallèles sont appelés segment "ordonnés" et les segments découpés sur un diamètre par les ordonnées sont les "abscisa" (découpées).


title: Conique

text: Il caractérise également les coniques par une égalité d'aire : l'aire du carré s'appuyant sur une ordonnée est fonction de l'aire d'un rectangle s'appuyant sur l'abscisse. Il définit une longueur constante qu'il appelle le "côté droit" et qui portera plus tard le nom de "paramètre" (mesuré à côté) et s'en sert pour exprimer la relation d'aire : Il précise par une construction la relation exacte entre l'aire du carré et l'aire d'un rectangle s'appuyant sur l'abscisse.


title: Conique

text: Cette propriété est illustrée par les équations de coniques dans un repère orthonormé ("S", u, v) où "S" est un sommet de la conique et u le vecteur unitaire de l'axe principal orientant la demi-droite ["S", u) vers l'intérieur de la conique : où "p = eh" dans le cas des coniques à foyer et directrice et où "p = R" dans le cas du cercle pour "e" = 0. On voit en effet que l'aire du carré est égale à l'aire du rectangle dans le cas de la parabole ("e" = 1), excède celle du rectangle dans le cas de l'hyperbole ("e" > 1) et est en déficit par rapport à celle du rectangle dans le cas de l'ellipse ("e" < 1).


title: Conique

text: Il étudie également les asymptotes de l'hyperbole, les tangentes, les propriétés des foyers et les intersections de coniques Apollonius accorde peu de place à la définition par foyer et directrice qui est plus spécialement étudiée par Pappus. C'est également Pappus qui montre comment déterminer les éléments remarquables d'une ellipse (centre et diamètre) lorsque 5 points sont connus. Les propriétés optiques des coniques sont utilisées dans les problèmes de réflexions notamment dans l'étude des miroirs ardents. Les quadratures (c'est-à-dire les calculs d'aire de surfaces délimitées par des coniques sont étudiées par Archimède qui entreprend la quadrature de la parabole, du cercle et montre la relation entre l'aire de l'ellipse et l'aire de son cercle directeur. Les écrits d'Apollonius sont ensuite traduits en arabeet les coniques et leurs intersections sont exploitées pour théoriser la classification des équations de degré trois. Les mathématiciens de langue arabe élaborent des procédés mécaniques de tracés de coniques en continu (méthode du jardinier et sa variante pour l'hyperbole d'Ibn Sahl, compas parfait d'al Quhi). Ils exploitent les propriétés géométriques des coniques dans des problèmes optiques de réflexion et de réfraction.


title: Conique

text: Au , on assiste en Europe à un renouveau dans l'étude des coniques. La géométrie algébrique de René Descartes permet un traitement algébrique de ces courbes avec leur représentations paramétriques, travail entrepris pas Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton qui démontre la relation entre les coniques et les trajectoires des planètes observée par Johannes Kepler, le marquis de l'Hôpital et, au siècle suivant, par Leonhard Euler.


title: Conique

text: Mais le bond le plus important est lié aux avancées de la géométrie projective avec les travaux de Girard Desargues sur les involutions et les polaires de points par rapport à des coniques. Blaise Pascal démontre son théorème sur un hexagramme construit sur une conique. D'autres mathématiciens s'intéressent à ce sujet : Grégoire de Saint-Vincent qui entreprend le calcul d'aire sous l'hyperbole origine de la fonction logarithme, Jean de Witt s'intéresse aux tracés continus de coniques, Philippe de La Hire écrit une "Nouvelle méthode en géométrie pour les sections et superficies coniques " et "Sectione Conicae" faisant une recension des propriétés des coniques et présentant des démonstrations claires utilisant des propriétés projectives, des rapports harmoniques et des propriétés sur pôles et polaires.


title: Conique

text: Le voit l'avènement de la géométrie projective et de l'étude projective des coniques avec les écrits de Jean-Victor Poncelet, Michel Chasles qui énonce le théorème récemment découvert par Dandelin et Adolphe Quetelet, Jakob Steiner et Georg von Staudt.


title: Conique

text: L'étude des coniques est associée à celle des formes quadratiques avec les travaux d'Adrien-Marie Legendre, Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler, Augustin Louis Cauchy, Carl Jacobi, James J. Sylvester et Julius Plücker.


title: Robert de Sorbon

text: Robert de Sorbon, né le à Sorbon, petite commune des Ardennes, et mort le à Paris, est un théologien français. Il est le fondateur de la Sorbonne, établissement créé pour permettre à des étudiants séculiers en théologie d'étudier sans être en prise à des difficultés matérielles.


title: Robert de Sorbon

text: Fils de paysan, il est réputé avoir été l'un de ces pauvres écoliers qui demandaient l’aumône à Paris, et auxquels l’espoir d’obtenir un bénéfice venant de l'église faisait supporter les rigueurs extrêmes de l’étude. Robert de Sorbon est élevé au sacerdoce, reçu docteur, et pourvu d’un canonicat dans l’église de Cambrai. Ses sermons et ses conférences de piété lui valent une certaine réputation et le roi saint Louis le choisit comme chapelain, et peut-être comme confesseur. Ils forment avec le sire de Joinville, sénéchal de Champagne, un cercle d'amis s'estimant mutuellement.


title: Robert de Sorbon

text: Dans le but d’aplanir aux écoliers pauvres les obstacles qu’il avait rencontrés dans le cours de ses études, il établit une société d’ecclésiastiques qui, vivant en commun, n’a à s’occuper qu’à donner des leçons gratuites. Ceux de ses amis qui contribuèrent le plus à la nouvelle fondation sont Guillaume de Bray, archidiacre de Reims, Robert de Douai, chanoine et médecin de la reine, Geoffroi de Bar, plus tard cardinal, et Guillaume de Chartres, l’un des aumôniers du roi.


title: Robert de Sorbon

text: Par un acte du , la reine Blanche, régente pendant la septième croisade, cède « à maître Robert de Sorbon, chanoine de Cambrai, pour la demeure des pauvres écoliers, une maison qui avait appartenu à un nommé Jean d’Orléans, et les écuries contiguës de Pierre Pique-l’Ane ("Petri Pungentis-Asinum") situées dans la rue Coupe-Gueule, devant le palais des Thermes ». Cet acte, le plus ancien que l’on connaisse pour la Sorbonne, ne comprend, comme dotation royale, que ce que nous venons de citer. Le reste de l’acte contient l’échange de diverses maisons entre le roi et Robert.


title: Robert de Sorbon

text: C’est grâce à cette donation qu'est fondé à Paris, vers 1254, le "collège de Sorbonne" qui devient, par la suite, un des établissements les plus célèbres de l’Université de Paris et est appelée du nom de Robert, la Sorbonne. La fondation est d'une certaine façon confirmée par le roi en février 1257, lorsqu'il rétrocède à Robert de Sorbon deux maisons attenantes.


title: Robert de Sorbon

text: En février 1258 et en 1263, Robert fait deux autres échanges de maisons avec le roi comprenant celles situées sur la rive droite qui servent à établir le couvent de Sainte-Croix-de-la-̈Bretonnerie. Pour reconnaître la générosité de Robert à pourvoir, par sa fondation et son zèle, aux besoins des étudiants miséreux, on lui donne le titre de proviseur. Quoi qu’en dise du Boulay, il y a dès les premiers jours de la fondation non point seize boursiers, mais des docteurs, des bacheliers boursiers et non boursiers, et de pauvres étudiants. Cette organisation subsiste jusqu’en 1790. Robert ordonne que, pour être membre de son collège, on ne recevrait que des hôtes (') et des associés ('), les uns et les autres soumis à divers examens avant leur réception. Comme il ne croit pas devoir exclure les riches, il reçoit également des associés non boursiers ('), obligés aux mêmes examens et aux mêmes exercices que les associés boursiers, avec cette seule différence qu’ils doivent payer à la maison cinq sous et demi parisis par semaine, somme égale à celle que l’on donne aux boursiers. Robert veut que tout soit géré et réglé par les ', qui étaient tous égaux et n’avaient ni supérieur ni principal.


title: Robert de Sorbon

text: Outre la théologie, qu’on enseigne dans toutes ses parties, Robert désire qu’il y ait toujours dans son collège des docteurs s’appliquant particulièrement à la morale et à la solution des cas de conscience, d’où vient que, depuis son temps, la Sorbonne fut consultée de toutes les parties de l’Europe.


title: Robert de Sorbon

text: Après avoir établi solidement sa société pour la théologie, approuvée en 1259 par le pape Alexandre IV, Robert y ajoute, en 1271, un autre collège pour les humanités et la philosophie, lequel subsiste jusqu’en 1635, année où Richelieu le démolit pour bâtir sur son emplacement l’église actuelle de la Sorbonne.


title: Robert de Sorbon

text: Devenu chanoine de Paris en 1258, Robert acquiert une telle réputation par sa fondation, sa piété et ses ouvrages théologiques, qu'il est consulté par les princes et choisi quelquefois pour arbitre. Par son testament de 1270, il lègue à la Société de Sorbonne tous ses biens.


title: Robert de Sorbon

text: Aujourd’hui, une loge maçonnique en son nom subsiste à la Grande Loge Nationale Française, 7 rue Christine-de-Pisan, à Paris.


title: Robert de Sorbon

text: La bibliothèque du collège de Sorbonne fut fondée vers 1260 à Paris par Robert de Sorbon avec le soutien du roi. Elle a été l’une des plus importantes collections de livres connues au Moyen Âge, soit plus de 1000 volumes (fin du ). Elle a joué un rôle important dans les processus de diffusion et de validation des savoirs.


title: Robert de Sorbon

text: Les principales œuvres de Sorbon sont : , tous trois insérés dans la Bibliothèque des Pères ; de petites "Notes" sur l’Écriture, impr. dans l’édit. de Menochius, par le père Tournemine ; les Statuts de la maison et Société de Sorbonne, en 38 articles, statuts qu’il ne dressa qu’après avoir gouverné son collège pendant plus de dix-huit ans ; un grand nombre de sermons, restés manuscrits dans la bibliothèque de Sorbonne.


title: Robert de Sorbon

text: La bibliothèque de Droit, Lettres, Sciences économiques et sociales de l’Université de Reims Champagne-Ardenne, inaugurée en 2006, porte le nom de Robert de Sorbon.


title: Lingam

text: Le lingam ou linga (en sanskrit , (« signe ») est un objet dressé, souvent d'apparence phallique, représentation classique, dite aniconique, de Shiva en tant que Brahman (« Absolu, Âme universelle »).


title: Lingam

text: On retrouve dans ce symbole l'ambivalence du dieu, ascète et renonçant d'une part, mais aussi figure majeure du tantrisme, représenté par un phallus, d'autre part. Le mot "lingam" signifie « 1) signe ; 2) phallus ; 3) symbole de Shiva ».


title: Lingam

text: Il existe deux catégories de lingam : les "manuṣi liṅga" (« lingam fait de main d'hommes »), et les "svayambhu-liṅga" (« lingam né de lui-même »), qui sont des éléments naturels vénérés en tant que linga, comme certains galets.


title: Lingam

text: Le lingam, toujours dressé et donc potentiellement créateur, est souvent associé au yoni (« lieu »), symbole de la déesse Shakti et de l'énergie féminine. Dans ce cas, leur union représente, à l'image de Shiva, la totalité du monde. Assumant les fonctions créatrice par le lingam et destructrice traditionnelle dans la Trimurti, Shiva représente donc, pour ses dévots (shivaïtes), le dieu par excellence.


title: Lingam

text: On trouve des lingam (de taille et aspect très variables – du simple galet en équilibre et comportant le signe peint de Shiva au phallus clairement symbolisé (comportant parfois la tête du dieu sculptée) – dans tous les temples et lieux consacrés à Shiva.


title: Lingam

text: Durant la puja (rituel), le lingam est arrosé de lait, de miel ou de beurre clarifié (le ghi, qui sert aussi en cuisine), et reçoit des offrandes de fleurs, de fruits et de sucreries. Les lingam en activité doivent être maintenus humides.


title: Lingam

text: La partie supérieure arrondie du lingam se nomme "lingamani" ou "manikâ". Elle reçoit un couvre liṅga, le "kośa", en métaux et pierres précieuses, dans la culture du Champa


title: Lingam

text: Le "Shiva-purâna" indique qu'il y deux types de "linga" : immobile et mobile :


title: Lingam

text: Parmi tous les lingam de l'Inde, douze sont considérés comme des "lingam de lumière" ou "jyotirlinga", et sont particulièrement sacrés. On les trouve à :


title: Yoni

text: Le yoni (en sanskrit / (« origine »)), dans l'hindouisme, désigne l'organe génital féminin (matrice ou vulve) ; il est le symbole de l’énergie féminine dénommée shakti. Il est rarement représenté seul. On le représente le plus fréquemment sous la forme d'un bassin carré muni d'un « bec verseur » qui entraine les offrandes, ou libations hors du garbha-griha, centre du sanctuaire. Néanmoins, il est remarquable que sa représentation soit presque systématiquement associée à celle du sexe masculin. Ainsi, dans le culte de Shiva, et afin d'exprimer la complémentarité du yoni et du symbole phallique (lingam), on note la présence d'un anneau qui entoure le fût d'une colonne, ce qui renvoie à la dualité des deux principes primordiaux masculin et féminin (Shiva-Shakti).


title: Yoni

text: Le "linga-yoni" se compose dans la culture cham d'une colonne (section circulaire) arrondie au sommet et incisée pour évoquer le phallus. Cette partie porte parfois l'image de Shiva ("mukhaliṅga"). Lorsqu'elle surgit de son piédestal cette partie du linga est de section octogonale mais n'est pas toujours visible et cette section devient carrée à la base, toujours cachée par le piédestal. Le piédestal est creusé d'un bassin-yoni. La base du piédestal est orné de nombreuses moulures plus ou moins saillantes. Il est lui-même posé sur un sous-bassement de plan carré. Le liquide consacré versé par le prêtre sur le linga, se rassemble ensuite par le bassin-yoni qui se déverse lui-même par un bec permettant, probablement, les ablutions purificatrices.


title: Yoni

text: Au sud du Vietnam et aussi sur une partie du Cambodge, dès la période correspondant au Fou-nan puis au Chenla, plus vaste, et ensuite sur toute la période angkhorienne de nombreuses variantes du "linga-yoni" ont été réalisées sur ces différents territoires. La bière « The Order of Yoni » est une bière fermentée à base de bactéries vaginales.


title: Matrice diagonale

text: En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls.


title: Matrice diagonale

text: Une matrice diagonale est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs propres. La matrice d'un endomorphisme diagonalisable est semblable à une matrice diagonale.


title: Matrice diagonale

text: Toute matrice diagonale est symétrique, normale et triangulaire. La matrice identité "I" est diagonale.


title: Matrice diagonale

text: Une matrice carrée formula_1 est dite diagonale si :


title: Matrice diagonale

text: Les matrices suivantes sont diagonales : En revanche les matrices suivantes ne sont pas diagonales :


title: Matrice diagonale

text: Comme une matrice diagonale est entièrement déterminée par la liste de ses éléments diagonaux, la notation suivante plus concise est souvent adoptée :


title: Matrice diagonale

text: Les matrices diagonales apparaissent dans presque tous les domaines de l'algèbre linéaire. La multiplication de matrices diagonales est très simple ; aussi, si une matrice intéressante peut d'une certaine façon être remplacée par une matrice diagonale, alors les calculs qui l'impliquent seront plus rapides et la matrice plus facile à stocker en mémoire. Un procédé permettant de rendre certaines matrices diagonales est la diagonalisation.


title: Matrice diagonale

text: Une matrice "presque" diagonale (on la dit alors matrice à diagonale dominante) peut être inversée sous réserve de non-intersection de ses cercles de Gershgorin.


title: Matrice diagonale

text: Une matrice diagonale d'ordre "n" à coefficients dans "K" possède de manière naturelle des vecteurs propres (les vecteurs de la base canonique de "K") et ses coefficients diagonaux sont les valeurs propres associées.


title: Matrice diagonale

text: Si une matrice normale est triangulaire alors elle est diagonale.


title: Matrice diagonale

text: Une matrice complexe est normale si et seulement si elle est unitairement semblable à une matrice diagonale.


title: Matrice diagonale

text: Voir aussi la décomposition en valeurs singulières, d'après laquelle toute matrice complexe (non nécessairement carrée) est unitairement équivalente à une matrice diagonale positive bordée par des zéros.Le déterminant d'une matrice diagonale est égal au produit de ses éléments diagonaux :


title: Matrice diagonale

text: D'après l'expression des produits d'une matrice diagonale par une matrice quelconque , une matrice diagonale formula_32 à coefficients dans un anneau unitaire "A" (non nécessairement commutatif) est inversible dans formula_33 si et seulement si tous les formula_15 sont inversibles dans "A" (c'est-à-dire non nuls, si "A" est un corps) et dans ce cas, Ceci permet, pour une matrice diagonale inversible, d'étendre aux exposants entiers relatifs la règle de calcul des puissances vue précédemment.


title: Matrice diagonale

text: Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λ"I" où λ est un scalaire et "I" la matrice identité d'ordre "n".


title: Matrice diagonale

text: Autrement dit formula_36 est une matrice scalaire si "D" est carrée et si :


Matrice diagonale


title: Matrice diagonale

text: c'est-à-dire que tous les éléments situés sur la diagonale principale sont égaux et que tous les autres éléments sont nuls.


title: Matrice diagonale

text: C'est la matrice dans n'importe quelle base de l'homothétie vectorielle de rapport formula_38.


title: Matrice diagonale

text: Si "K" est un corps commutatif, le centre du groupe linéaire GL("n", "K") est formé des matrices scalaires non nulles à "n" lignes et "n" colonnes et à coefficients dans "K". Plus généralement, si "A" est un anneau unitaire, le centre de GL("n", "A") est formé des matrices scalaires non nulles de taille "n" à coefficients dans le centre de "A".


title: Eszett

text: L’ (prononcé : ), noté en minuscule, et ou en majuscule, est une lettre utilisée uniquement dans la langue allemande et est également appelée (« s aigu »). Elle est à l’origine une ligature, formées de deux "s", ou d’un "s" et d’un "z", utilisée sous certaines conditions. Cette lettre ne doit pas être confondue avec la lettre latine bêta minuscule ni avec la lettre grecque bêta minuscule , auxquelles elle ressemble graphiquement, mais avec lesquelles elle n'a aucun lien.


title: Eszett

text: La lettre a pour origine la ligature du "s long", , avec aujourd'hui le , ou le tracé à l’époque avec un jambage, ressemblant au caractère ʒ.


title: Eszett

text: La ligature "ſ" + "s" → "ß" a d'ailleurs été utilisée dans des manuscrits en écriture antiqua, comme en français, avant que le "s long" ne disparaisse complètement dans l'imprimerie vers la fin du (il est encore utilisé dans la carte de Cassini).


title: Eszett

text: La ligature "ſ" + "z" → "ß" a été utilisée pour l'allemand dès le Moyen Âge. Initialement, elle avait été utilisée pour le son du "s" qui avait évolué d'un /t/ par conséquent de la seconde mutation consonantique. Quand la distinction entre ce son et l'/s/ ancienne se perdit, les graphies "sz" et "ss" se confondirent. Néanmoins on continua d'utiliser les deux. La distinction actuelle s'est formée seulement après de nombreux siècles d'usage irrégulier. Par ailleurs, les frères Grimm soutinrent cette origine de la formation du "ß" dans leur dictionnaire, connu comme étant l'un des premiers de la langue allemande.


title: Eszett

text: Le "ß" allemand s'utilisait avant tout en écriture gothique (par exemple en Fraktur). Dans l'écriture antiqua, souvent on ne l'écrivait pas, jusqu'à la fin du quand l'orthographie allemande finit par la prescrire pour tous les textes allemands, qu'ils soient en écriture gothique ou antiqua.


title: Eszett

text: Dans l'orthographe allemande actuelle, "ß" est utilisé derrière une voyelle longue ou une diphtongue, tandis que "ss" est utilisé après une voyelle courte. Tous deux représentent le phonème /s/, tandis qu'un "s" isolé se prononcera /z/. Par exemple, (/fu:s/, en allemand) comporte une voyelle longue, tandis que (/flʊs/, signifiant ) comporte une voyelle courte.


title: Eszett

text: Jusqu'à la réforme de l'orthographe allemande de 1996, une règle supplémentaire prescrivait que "ss" ne soit employé qu'entre deux voyelles. Il devait dans les autres cas (en fin de mot ou devant consonne) être remplacé par "ß", même derrière une voyelle courte. En conséquence, s'écrivait précédemment , bien que la voyelle fût courte. La nouvelle règle supprime l'irrégularité selon laquelle, sous l'ancienne orthographe, le singulier ("ß" en fin de mot) avait pour pluriel ("ss" entre voyelles). De même, () s'écrit aujourd'hui .


title: Eszett

text: Les mots étrangers ne suivent pas ces règles : , .


title: Eszett

text: Cette réforme rétablit la cohérence avec la notation des autres consonnes, qui sont simples après une voyelle longue et redoublées après une voyelle courte (par exemple, où le /a/ est long et où le /a/ est court). Ce nouvel usage de "ß" est maintenant normalisé en Allemagne et en Autriche, bien que de nombreuses personnes, et même certains journaux tels le quotidien "Bild" et l'hebdomadaire "Der Spiegel" ne l'emploient pas. La Suisse et le Liechtenstein ont supprimé complètement l'usage du "ß" dès la première moitié du et utilisent "ss" dans tous les cas.


title: Eszett

text: La lettre capitale "ẞ" ne fait pas partie des règles de l'orthographe allemande de 1996 qui prévoient la substitution par "SS". Toutefois, la capitale "ẞ" est devenue obligatoire en 2010 dans les documents officiels lorsque des noms géographiques sont écrits en capitales, par exemple → . Elle a ensuite été intégrée à l'orthographe allemande officielle en juin 2017.


title: Eszett

text: Il est parfois utilisé en alsacien en remplacement d'un double "S".


title: Eszett

text: Certaines cartes récentes utilisant le "ß" pour noter "Stroßbùrri (Strasbourg)" ou encore "Lùsonstroß (Détroit de Luçon)".


title: Eszett

text: Il a été occasionnellement utilisé en d'autres langues sur les terres du Saint-Empire romain germanique. Sclessin par exemple, dans l'ancienne principauté de Liège, était régulièrement noté "Scleßin" sur les cartes.


title: Eszett

text: Le "ß" sert aussi à remplacer la lettre "B" en leet speak.Parmi les claviers AZERTY cités ci-dessus, seul le clavier selon la norme NF Z71-300 permet de saisir la capitale "ẞ".


title: Eszett

text: L’eszett peut être représenté avec les caractères Unicode (Supplément latin-1, Latin étendu additionnel) suivants : L'entité de caractère HTML nommée codant "ß" minuscule est ß et la référence numérique ß ou ß.


title: Baldr

text: Baldr (en , en proto-germanique : "Ƀalđraz", en vieux haut allemand : "Paltar", en vieil anglais : "Bealdor", et en ), également connu sous le nom de Balder, Baldur, ou encore Bældæġ, est un dieu du panthéon de la mythologie nordique.


title: Baldr

text: Appartenant au groupe des Aesir, il est le dieu de la lumière, la beauté, la jeunesse et l'amour.


title: Baldr

text: Il est le fils d'Odin et de Frigg. Son épouse est Nanna, et leur fils Forseti. Son domaine est Breidablik, qui est dans les cieux (ou en Suède, selon la "Ynglinga Saga"), dans une contrée d'où le mal est banni. Par jalousie, le dieu Loki cause sa mort. Baldr est alors envoyé dans le monde des morts et Loki est puni pour ses méfaits, car il empêche Baldr de revenir de Hel, précipitant l'arrivée de la bataille prophétique du Ragnarök où la majorité des dieux périront. Néanmoins Baldr en sera épargné et avec quelques autres survivants il prendra part au renouveau.


title: Baldr

text: Le prologue évhémériste à l"'Edda de Snorri" l'assimile à Bældæġ, un des fils de Wōden (Odin), qui régna sur la Westphalie et fut l'ancêtre, selon la "Chronique anglo-saxonne", des maisons royales de Wessex et de Northumbrie.


title: Baldr

text: Le nom "Baldr" remonte, avec le vieux haut allemand "Paltar" et le vieil anglais "bealdor" « prince », à un germanique commun *"ƀalđraz", substantivisé à partir de l'adjectif *"ƀalþaz" « brave, courageux », ce qui est continué dans le néerlandais "boud" et anglais "bold".


title: Baldr

text: Il est considéré comme le fils de "*Wōdanaz" (Odin, Wodan) aussi bien dans la tradition nordique que dans les généalogies royales anglaises où Bældæg est fils de Wōden. Néanmoins, selon Jean Haudry, outre le caractère volage de "*Frijjō", un trait de sa mythologie fait douter de ce point : Baldr est le seul dieu qui meurt avant le Crépuscule des dieux. Ce serait donc davantage un demi-dieu qu'un dieu, comme dans la version de Saxo Grammaticus.


title: Baldr

text: Baldr se présente ainsi comme un parallèle aux divinités indo-européennes, Soleils, fils d'une Aurore et d'un mortel, qui meurent jeunes et ressuscitent immortalisés dans un autre monde.


title: Baldr

text: Le dieu Baldr est décrit au chapitre 22 de la partie "Gylfaginning" de l"'Edda de Snorri". Il est le second Ase que le Très-Haut décrit à Gangleri, après Odin. Il n'y aurait que du bien à dire de Baldr et tous l'aiment ;


title: Baldr

text: En effet, en Islande et selon les régions de Scandinavie, les fleurs Matricaria maritima ou Matricaria perforata sont communément appelées "Baldrsbrá", . Il est probable que le nom de ces fleurs vienne effectivement du dieu, mais dans le cas contraire il s'agirait d'un exemple où l'auteur de l'Edda, Snorri Sturluson, ait inventé une étymologie pour l'expliquer avec des mythes.


title: Baldr

text: Breidablik, qui se traduit par , est la demeure céleste où Baldr réside, où . Ensuite est citée un strophe en vers qui correspond à la strophe 12 du poème eddique "Grímnismál" :


title: Baldr

text: Les descriptions des dieux continuent, et au chapitre 32 du "Gylfaginning", on apprend que Baldr et la déesse Nanna ont un fils appelé Forseti, qui héritant de caractéristiques de son père, préside un tribunal où toutes les querelles sont résolues.


title: Baldr

text: Dans le chapitre 1 de la partie "Skáldskaparmál" de l"'Edda de Snorri", on apprend comment les Ases tuèrent le géant Thjazi qui avait ravi la déesse Idunn. La fille de Thjazi, qui s'appelle Skadi, arriva armée à Ásgard pour le venger mais les dieux lui offrirent de se choisir un mari parmi eux en guise de réparation, toutefois elle ne pourra choisir qu'en voyant leurs pieds. En remarquant des pieds très beaux, elle dit . En espérant tomber sur Baldr, c'est en fait Njörd qu'elle obtint.


title: Baldr

text: Le mythe essentiel associé à Baldr est le récit de sa mort, raconté dans le de la "Gylfaginning".


title: Baldr

text: Baldr se mit à faire des rêves sinistres sur sa propre mort, ce qui effraya les Ases. Odin se rendit dans le Niflheim, interroger l'âme d'une prophétesse défunte (ce que raconte le poème eddique "Baldrs draumar"), qui lui révéla le sort de son fils. Frigg fit alors jurer tous les éléments, les minéraux, les végétaux, les animaux de la création qu'ils ne feront jamais de mal à Baldr, qui devint de ce fait invulnérable. Les Ases s'amusèrent de jeter toutes sortes de projectiles vers Baldr et de le frapper avec toutes sortes d'objets, et de le voir toujours indemne.


title: Baldr

text: Cependant Loki en conçut du ressentiment, et, prenant l'apparence d'une femme, obtint de Frigg l'aveu qu'elle avait oublié de demander au gui de prêter serment, tant cette plante avait l'air frêle et jeune. Loki prit un bâton de gui, le donna à Höd, le dieu aveugle, et guida son bras pour qu'il le jette sur Baldr, qui fut transpercé et mourut aussitôt.


title: Baldr

text: Le désarroi parmi les Ases fut grand, et Hermod (frère de Baldr) se porta volontaire pour se rendre au royaume de Hel afin d'obtenir le retour de Baldr contre une rançon. Hermod monta Sleipnir et se mit en route.


title: Baldr

text: Entretemps, les Ases célébrèrent les funérailles de Baldr, qu'ils voulaient incinérer sur son navire Hringhorni, mais le navire refusait de quitter la terre ferme. Ils firent venir du Jötunheim une géante du nom de Hyrrokkin pour le déplacer, qui y parvint si bien que la terre trembla et des flammes naquirent du frottement des billots, ce qui mit Thor en colère. Il l'aurait tuée si les Ases ne l'avaient supplié de lui laisser la vie sauve. Le corps de Baldr fut placé sur le navire, et son épouse Nanna en mourut de chagrin. Elle fut placée sur le bûcher à ses côtés. Thor consacra le bûcher avec son marteau Mjöllnir, mais un nain du nom de Lit courut devant lui, et Thor l'envoya dans les flammes d'un coup de pied.


title: Baldr

text: Beaucoup furent présents à l'incinération de Baldr, comme le dit la "Gylfaginning": «premièrement Odin, accompagné de Frigg, des Valkyries et de ses corbeaux; pendant que Freyr conduisait un char tiré par un sanglier appelé Gullinbursti ou Slidrugtanni; Heimdall montait un cheval appelé Gulltopp, et Freyja ses chats. Furent également présents une grande troupe de géants du givre et de géants des montagnes. Odin plaça sur le bûcher un bracelet appelé Draupnir qui eut, de ce jour, la propriété de produire huit bracelets de même poids toutes les neuf nuits. Le cheval de Baldr fut mené au bûcher, avec tout son harnachement.» (Snorri Sturluson, "Edda en prose" 2:49.)


title: Baldr

text: De son côté, Hermod chevaucha neuf nuits et atteint la rivière Gjöll, dont le pont, tout en or, était gardé par la vierge Modgud. Celle-ci s'enquit de son identité et de son lignage, et lui demanda ce qu'il venait faire en Hel alors qu'il n'était pas mort. Hermod lui révéla qu'il était venu chercher Baldr, et Modgud confirma qu'il était bien passé par le pont.


title: Baldr

text: Hermod chevaucha vers Hel, en sauta les portes monté sur Sleipnir et trouva son Baldr assis à la place d'honneur. Le lendemain, il supplia Hel de permettre à Baldr de rentrer avec lui. Celle-ci déclara qu'elle accepterait si tout dans le monde, vivant ou non, pleurait Baldr. Cependant, si le moindre objet refusait de le faire, elle le garderait à jamais.


title: Baldr

text: Puis Baldr confia le bracelet Draupnir à Hermod, pour qu'il le rende à Odin, et Nanna (sa femme) lui donna une robe de lin et d'autres cadeaux pour Frigg, ainsi qu'un anneau pour Fulla. Hermod rentra alors à Ásgard.


title: Baldr

text: Puis les Ases envoyèrent des messages aux quatre coins de l'univers, demandant à chaque chose de pleurer Baldr, ce que toutes firent, sauf une géante appelée Thokk, que l'on présume avoir été Loki déguisé. De ce fait, Baldr demeura en Hel.


title: Baldr

text: À la strophe 11 du poème eddique "Baldrs draumar", la voyante révèle à Odin que c'est son fils Vali qui vengera Baldr en tuant Höd :


title: Baldr

text: Aux strophes 32 et 33 de la Völuspá, une voyante prédit les mêmes faits, que Vali âgé que d'une nuit vengera Baldr en tuant Höd. Il ne se lavera ni ne se peignera avant d'avoir accompli cet acte. Cette vengeance est également évoquée dans "Hyndluljóð" (strophe 29).


title: Baldr

text: Lorsque le monde renaîtra après le Ragnarök, Baldr reviendra de Hel pour y demeurer. La "Völuspa" nous apprend que Baldr reviendra avec son frère Höd. L'herbe renaîtra et tous les fils et les filles des dieux survivants se réfugieront autour de lui sur l'Yggdrasil.


title: Baldr

text: Deux textes évhéméristes d'origines danoises mettent en scène Höd (sous le nom de Hother ou Høtherus), qui est alors un roi guerrier, non aveugle, qui tue son rival Baldr au combat. Malgré leur intention, ces textes ont un intérêt mythologique puisqu'ils témoignent de versions christianisées de mythes qui n'apparaissent pas toujours dans d'autres sources préservées. Dans le cas de Höd, ces textes le présentent sous un aspect totalement différent que dans l"'Edda de Snorri", il s'agit là d'un guerrier puissant, consciemment ennemi et meurtrier de Baldr. Il subit toujours la vengeance d'un autre fils d'Odin, Vali (nommé Both ou Bous dans les textes évhéméristes).


title: Baldr

text: La "Gesta Danorum" ("Geste des Danois") est une œuvre en latin rédigée à la fin du par l'historien Saxo Grammaticus à la demande de l'homme d'État Absalon qui gouvernait alors le Danemark et qui désirait doter son pays d'une véritable épopée nationale. Saxo Grammaticus présente dans son œuvre l'histoire des premiers héros et rois danois. Il s'est inspiré des mythes pré-chrétiens et en a proposé une version fortement évhémériste où les dieux nordiques sont en fait des hommes d'une puissance supérieure qui se sont fait passer pour des divinités.


title: Baldr

text: Le Livre Troisième raconte l'histoire de Høtherus (qui correspond à Höd), fils du défunt roi de Suède Hothbrodus donc élevé par le roi Gevarus. Le jeune Høtherus est déjà des plus robustes, habile à la nage, à l'arc et à la lutte, mais également en musique. Ses qualités séduisent Nanna, la fille de Gevarus, qui en tombe amoureuse. Mais Balderus (qui correspond à Baldr), le fils d'Odin, aperçoit Nanna se baigner et sa beauté le remplit de désir. Il décide de se débarrasser de son concurrent Høtherus. Pendant ce temps, Høtherus rencontre dans la forêt trois nymphes qui ont le pouvoir de contrôler l'issue des batailles. Elles mettent en garde le jeune prince des intentions mauvaises de Balderus, et l'avertissent de ne pas le provoquer au combat puisqu'il est un demi-dieu. Høtherus demande à Gevarus la main de sa fille, mais le roi craint le colère de Balderus. Il conseille à Høtherus de se procurer dans le domaine d'un satyre appelé Mimingus une épée magique et un bracelet qui décuplerait sa force. Le héros parvient à obtenir son butin, mais le roi saxon Gelderus désirant s'en emparer lance son armée vers la Suède. Høtherus réussit à le soumettre et en fait un allié grâce à sa verve et cette qualité lui permet de gagner un autre allié, Helgo le roi de Halogie. Pendant ce temps, Balderus demande la main de Nanna mais elle le refuse. S'ensuit une bataille entre Høtherus et Balderus. Les dieux, dont Odin et Thor, combattent aux côtés de Balderus. Høtherus parvient à couper le manche du gourdin de Thor, le rendant inopérant, alors les dieux s'enfuient. Høtherus épouse ensuite Nanna et devient souverain du Danemark. Mais Balderus revient au combat et défait cette fois son rival qui est contraint de s'enfuir chez Gevarus. Toutefois la victoire ne lui apporte que peu de réconfort puisque son désir pour Nanna n'est pas assouvi.


title: Baldr

text: Høtherus et Balderus se rencontrent une nouvelle fois en bataille, mais Høtherus est encore défait. Désespéré, il s'exile. Il rencontre les nymphes qui l'avaient aidé auparavant qui lui conseillent de se procurer la nourriture qui assure la force de Balderus. L'assurance retrouvée, Høtherus se remet en route pour combattre l'armée de Balderus. La bataille fait des ravages et aucune armée ne l'emporte. Høtherus se glisse une nuit dans le camp adverse et trouve l'habitation des nymphes qui préparent la nourriture de Balderus. Il leur joue la lyre mais elles refusent de lui donner la nourriture. Elles lui offrent néanmoins une ceinture magique qui lui garantirait la victoire. En rentrant, Høtherus tombe sur Balderus et lui perce le flanc. Balderus meurt de ses blessures et son armée lui offre des funérailles royales.


title: Baldr

text: Odin, le père de Balderus, engendre alors Bous (qui correspond à Vali) avec Rinda (Rind) pour venger son fils. Høtherus apprend auprès de devins qu'il mourra en affrontant son nouveau rival. Il transfère alors ses pouvoirs de chef à son fils, avant de combattre Bous et d'être tué. Toutefois Bous est gravement touché et il périt le lendemain de ses blessures.


title: Baldr

text: La "Chronicon Lethrense" ("Lejrekrøniken" en danois) est un court texte en latin du , écrit sans doute par un clerc danois, qui raconte les aventures des héros et rois danois de l'ère pré-chrétienne. Le texte est évhémériste puisque les dieux sont présentés comme des hommes qui auraient été pris à tort pour des divinités. En ce sens, la "Chronicon Lethrense" est similaire à la "Gesta Danorum", mais demeure de moindre qualité.


title: Baldr

text: Dans un court paragraphe du texte, on apprend que Hother (qui correspond au dieu Höd) est un roi saxon, fils du défunt Hothbrodd. Lors d'une bataille il tue Balder, le fils d'Othen (Odin), et défait Othen et Thor. Il est ensuite tué en bataille par Both (qui correspond alors à Vali), un autre fils d'Othen.


title: Baldr

text: De son mariage avec la déesse Nanna, il eu :