title: Nombre irrationnel

text: L'une des difficultés de l'étude des textes antiques traitant d'irrationalité réside dans le fait que les termes employés pour ce faire ainsi que leur sens varient selon les époques, et que certains peuvent apparaître conjointement dans un même texte. En grec ancien, le concept d'irrationalité peut ainsi être représenté par les mots suivants :


title: Nombre irrationnel

text: De tous ces termes, seul n'apparaît pas dans le des "Éléments" d'Euclide. En revanche, le mot (qui d'un point de vue strictement lexical est le contraire du mot ) est employé comme le contraire du mot signifiant "irrationnel" ; sa définition inclut cependant le concept ("commensurable en carré") : le nombre serait donc « rationnel » selon cette définition, ce qui n'est pas le cas dans des textes plus anciens comme ceux de Platon. Il y a donc eu un glissement de sens entre les époques des deux auteurs, et la notion moderne d'irrationalité ne se superpose pas parfaitement à celle d'Euclide. De plus, il n'existe pas pour les Grecs de nombre irrationnel, mais des couples de grandeurs telles que la première n'est pas un multiple rationnel de la seconde.


title: Nombre irrationnel

text: La compréhension des textes est rendue difficile également par l'utilisation de termes techniques traduisant des concepts n'ayant pas d'équivalent dans les langues actuelles. Par exemple, le nom signifie « puissance » dans la langue courante, mais cette acception n'a pas de sens dans les textes mathématiques antiques. Il a souvent été traduit par « racine carrée » en raison du contexte dans lequel il est employé. Cependant, son sens véritable, probablement emprunté à la finance où il exprime la valeur d'une monnaie, est plutôt la désignation d'un carré dont l'aire est égale à celle d'une surface déjà identifiée ; ainsi, le d'un rectangle de longueur et de largeur est un carré d'aire . Ce terme, attesté dès l'époque d'Hippocrate de Chios, a introduit de nombreux contresens dans l'interprétation de plusieurs textes, dont le "Théétète" de Platon.


title: Nombre irrationnel

text: La date à laquelle la notion d'irrationalité a été découverte par les Grecs n'est pas connue avec certitude : elle est généralement située entre le début du et le premier quart du . Elle est en tout cas antérieure au livre de Démocrite "des Nombres irrationnels et des Solides", qui date de cette période.


title: Nombre irrationnel

text: Contrairement à une idée reçue, rien n'indique avec certitude que la découverte de l'incommensurabilité provienne de l'étude de la diagonale et de l'un des côtés d'un carré, propriété équivalente à l'irrationalité de . La découverte est parfois attribuée au mathématicien Hippase de Métaponte pour ses travaux sur la section d'extrême et de moyenne raison, maintenant appelée nombre d'or, qui est également le rapport de la longueur de la diagonale d'un pentagone régulier sur celle d'un de ses côtés. Il est également possible que la notion d'irrationalité ait été mise à jour par l'étude du problème arithmétique de la recherche d'un entier qui soit à la fois un carré parfait et le double d'un autre carré parfait ; l'insolubilité de ce problème est en effet équivalente à l'irrationalité de . Si la découverte en elle-même reste entourée de mystère, l'exemple le plus connu chez les intellectuels de l'époque de Platon est celui de l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré.


title: Nombre irrationnel

text: La nature exacte des premières grandeurs non commensurables découvertes n'est pas connue, et la manière dont cette non-commensurabilité a été établie ne l'est pas plus et plusieurs idées de démonstration ont été imaginées. L'une d'elles repose sur le principe du pair et de l'impair, elle est notamment citée par Aristote. D'autres reconstitutions des preuves antiques sont envisagées : certaines ont recours à une descente infinie, d'autres à un algorithme qu'en termes modernes on apparenterait aux fractions continues. Cette dernière technique serait héritée des cultures de Mésopotamie.


title: Nombre irrationnel

text: À la suite de la découverte d'un cas particulier d'irrationalité, il y a longtemps eu consensus pour affirmer que l'étude des grandeurs incommensurables s'était poursuivie par l'établissement par Théodore de Cyrène d'autres exemples se ramenant aux nombres (pour entier non carré compris entre et ). Cette supposition a donné lieu à des recherches concernant la méthode utilisée pour ce faire, et les raisons qui ont empêché Théodore de Cyrène d'aller plus loin que ; il est cependant probable qu'elle soit erronée. En effet, elle résulte d'un passage du "Théétète", mais le texte de Platon ne mentionne pas de démonstration et n'indique donc pas que Théodore en aurait produit une. Une autre hypothèse est que les premières preuves d'irrationalité reposent essentiellement sur la notion de parité, ce qui ne permet pas de montrer l'irrationalité de .


title: Nombre irrationnel

text: Il est difficile, en l'état actuel des connaissances, de proposer une chronologie précise des débuts de l'étude grecque de l'incommensurabilité. Le livre X des "Éléments", écrit vers -300, présente une classification des grandeurs irrationnelles ; on ne sait cependant pas de quand datent les propositions qui y sont démontrées, les textes mathématiques antérieurs étant perdus.


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text: Par la suite, les mathématiciens grecs ont développé des méthodes d'évaluation de grandeurs incommensurables. Archimède a notamment utilisé la méthode d'exhaustion pour donner une estimation de et Héron d'Alexandrie expose une méthode pour évaluer une racine carrée.


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text: Une légende, plusieurs fois rapportée, indique qu'un pythagoricien, parfois nommé Hippase, périt noyé pour avoir révélé aux profanes l'incommensurabilité. Cette légende indiquerait que la découverte serait bien pythagoricienne et qu'elle aurait fait l'objet d'un tabou ; elle est souvent citée pour accréditer la thèse selon laquelle l'irrationalité aurait posé un problème fondamental aux mathématiciens antiques.


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text: L'existence d'une crise profonde chez les mathématiciens et les philosophes grecs due à la découverte de l'irrationalité a été longtemps admise par les historiens, et ce dès les travaux de Paul Tannery en 1887, et plus encore dans les premières décennies du . D'autres historiens ont par la suite émis l'hypothèse que la crise engendrée par les irrationnels était plutôt une reconstruction "a posteriori" par laquelle les mathématiciens du auraient calqué leur crise des fondements sur l'Antiquité, en jugeant les travaux mathématiques grecs à l'aune de concepts mathématiques modernes. Des recherches menées dans la seconde moitié du ont ainsi battu en brèche le concept de .


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text: Le Moyen Âge voit le développement de l'algèbre au sein des mathématiques arabes, ce qui permet aux nombres irrationnels de devenir des objets de même nature algébrique que les entiers et les nombres rationnels. Les mathématiciens du monde arabo-musulman cessent en effet, contrairement à ceux du monde grec qui les ont précédés, de ne manipuler des grandeurs géométriques que par leurs rapports. Dans son commentaire du livre X des "Éléments", le mathématicien persan Al-Mahani étudie et classifie les irrationnels quadratiques et cubiques, en les considérant comme des nombres à part entière bien qu'il utilise également un point de vue géométrique pour les désigner. Il donne en outre une approche algébrique des irrationnels, en expliquant que si l'on additionne ou multiplie un rationnel et un irrationnel, le résultat est irrationnel.


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text: Le mathématicien égyptien Abū Kāmil Shujā ibn Aslam est le premier à accepter qu'un nombre irrationnel représenté par une racine carrée, cubique ou Racine "n"-ième puisse être solution d'une équation quadratique ou qu'il soit un coefficient d'une équation.


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text: Les mathématiciens arabes ont aussi repris et perfectionné des méthodes d'approximation numérique ; les décimales de  sont par exemple trouvées par Al-Kashi grâce à des méthodes géométriques.


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text: Au , la communauté mathématique accueille les fractions. Au , les mathématiciens emploient de plus en plus fréquemment les fractions décimales et représentent déjà ces nombres avec la notation moderne. La notation décimale permet des calculs numériques sur les nombres irrationnels. Pourtant bien que ceux-ci soient utilisés couramment, le débat sur leur nature n'est pas tranché. Simon Stevin et Isaac Newton considèrent que les irrationnels, appelés à l'époque , sont des nombres au même titre que les entiers et les rationnels tandis que d'autres comme Blaise Pascal conservent le cadre fournit par les "Éléments" d'Euclide, dans lequel les irrationnels ne sont pas des nombres. Dans l"'Encyclopédie", D'Alembert rend compte des deux positions et prend parti pour l'idée selon laquelle les irrationnels ne sont pas des nombres, mais qu'ils sont approchables par ceux-ci avec une précision aussi fine que l'on veut. Abraham Kästner propose par la suite d'expliquer les propriétés algébriques des nombres irrationnels par celles des rationnels, qu'il peut étendre grâce à la densité des rationnels dans les irrationnels.


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text: Isaac Newton met au point à la fin du un algorithme permettant le calcul numérique de racines de polynômes, "a priori" irrationnelles. Cet algorithme, connu depuis sous le nom de méthode de Newton, a ensuite été adapté pour calculer les zéros de fonctions non polynomiales.


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text: Dans le cas particulier du nombre , John Machin publie en 1706 une formule donnant à l'aide de la fonction arc tangente : formula_1.


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text: Une amélioration de cette formule par Jurij Vega lui permet en 1789 de calculer avec une précision de . D'autres formules permettant d'exprimer formula_2 ont été exhibées au , notamment la résolution par Euler du problème de Bâle qui donne une identité, peu utile pour un calcul pratique, reliant et la série des inverses des carrés des entiers : formula_3. Un autre exemple d'identité, lui aussi peu utile pour un calcul pratique, permettant le calcul numérique de est fourni par la formule de Leibniz, découverte en Europe au , mais qui était déjà connue de manière indépendante en Inde depuis deux siècles par l'école du Kerala : formula_4.


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text: Des approximations d'autres constantes mathématiques sont publiées, notamment pour la constante d'Euler : celui-ci en calcule 16 décimales dès 1781 en utilisant la formule d'Euler-Maclaurin.


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text: Les fractions continues (dues à Cataldi en 1613), étroitement liées aux nombres irrationnels, sont prises en considération par Euler, qui montre ainsi notamment, en 1737, l'irrationalité de et de .


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text: Lambert démontre en 1761 que n'est pas rationnel. Pour cela, il montre que la tangente et la tangente hyperbolique de tout rationnel non nul sont des irrationnels, en les approchant par des suites de rationnels issues de fractions continues généralisées particulières. Il conjecture par la suite la transcendance de et , mais ne remarque pas que sa méthode fournit une démonstration que est lui aussi irrationnel. Cette constatation est faite plus tard par Legendre. Lambert montre également que l'exponentielle et le logarithme de tout rationnel non nul (et également différent de 1 dans le cas du logarithme) est un irrationnel.


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text: Jusqu'au , l'existence et les propriétés des nombres irrationnels sont admises sans qu'en soit proposée de définition rigoureuse. En effet — contrairement aux rationnels, qu'il est facile de construire algébriquement à partir des entiers — la notion de nombre réel est encore mal définie au début de la seconde moitié du . L'une des premières tentatives en ce sens remonte aux travaux de Bernard Bolzano dans la première moitié du , mais ces travaux sont peu diffusés et n'influencent guère les constructions ultérieures. Karl Weierstrass travaille également sur la formalisation des nombres réels comme limites de rationnels, mais il ne publie rien à ce sujet et cette partie de son œuvre n'est connue que par les notes prises par son étudiant Adolf Hurwitz ayant suivi ses cours ; notes qui ne sont cependant pas publiées avant les années 1880.


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text: Deux types de construction rigoureuse des nombres réels ont été présentées dans les années 1870 : Ces deux approches sont équivalentes.


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text: Plusieurs sous-ensembles particuliers de nombres irrationnels sont étudiés durant les . Il était connu depuis l'Antiquité que certains nombres irrationnels tels que sont constructibles, mais ce n'est qu'au que Wantzel caractérise l'ensemble des nombres constructibles, qui est le plus petit corps stable par la racine carrée contenant formula_6. Cela permet de montrer que les problèmes antiques de trisection de l'angle et de duplication du cube sont impossibles à l'aide de la règle et du compas seuls.


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text: À la même période sont aussi étudiés les nombres transcendants, dont les premiers exemples sont exhibés par Liouville en 1844. Hermite montre en 1873 la transcendance de et en 1882, Lindemann montre celle de . Ce dernier résultat permet de répondre par la négative au problème de la quadrature du cercle, qui était ouvert depuis l'Antiquité grecque. Les nombres transcendants sont par ailleurs l'objet du septième problème de Hilbert, qui demande si le nombre est transcendant dès que est algébrique et différent de ou et que est algébrique et irrationnel. La réponse, affirmative, est apportée en 1934 par le théorème de Gelfond-Schneider.


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text: Le voit également l'étude des nombres univers qui contiennent l'ensemble des séquences de chiffres possibles dans leur développement décimal, ainsi que des nombres normaux qui sont des nombres univers particuliers dans le développement décimal desquels toutes les séquences de chiffres d'une longueur donnée sont équiprobables. Bien que Borel ait prouvé en 1909 que presque tous les nombres irrationnels sont normaux en toute base, on connaît peu de nombres normaux. Parmi ceux dont la normalité a été établie au moins pour la , on peut citer la constante de Champernowne (qui est même transcendante), ou celle de Copeland-Erdős. De plus il est conjecturé que les nombres (et même tous les nombres algébriques irrationnels), et sont normaux mais bien que cela semble vrai expérimentalement, cela n'a pu être démontré pour aucun de ces exemples.


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text: Le développement de l'informatique théorique dans les années 1930 a, parallèlement à cela, mené à l'étude des nombres calculables, c'est-à-dire pour lesquels il existe une machine de Turing capable d'en énumérer les décimales ainsi que de quantifier l'erreur d'approximation. L'ensemble des réels calculables contient l'algèbre des périodes, donc tous les nombres algébriques et , et il est stable par l'exponentielle. En particulier, tous les nombres non calculables sont transcendants et "a fortiori" irrationnels. Bien que l'ensemble des réels non calculables soit codénombrable, on connait peu de nombres qui en fassent partie. Parmi ceux-ci on trouve par exemple toute limite d'une suite de Specker, dont la définition est liée au problème de l'arrêt.


title: Nombre irrationnel

text: Avant l'essor de l'informatique à la fin des années 1940, il était extrêmement laborieux de calculer effectivement plus de quelques centaines de décimales d'un nombre irrationnel donné. En 1940, on ne connaissait par exemple que 527 décimales exactes de , grâce au travail de William Shanks publié en 1873. En 1949, l'ordinateur ENIAC en donne en , en utilisant la formule de Machin.


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text: Des algorithmes génériques sont développés, comme la transformée de Fourier rapide qui accélère le calcul des multiplications. Dans le même temps, la puissance de calcul des ordinateurs augmente de manière exponentielle. Ainsi en 1978, on connaissait déjà de et en 2000, plus de 10 décimales de et plus d'un million de décimales de la constante d'Euler étaient calculées.


title: Nombre irrationnel

text: Des algorithmes spécifiques sont également conçus pour le calcul de certains nombres en particulier. Dans le cas de , les premiers algorithmes utilisant des formules proches de la formule de Machin sont ainsi abandonnés au profit d'autres formules plus efficaces, comme celle obtenue par Ramanujan en 1914 : formula_7.


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text: Les premiers calculs d'approximations de nombres irrationnels donnaient toutes les décimales de la première jusqu'à une borne plus ou moins élevée, mais on ne savait pas calculer une décimale donnée sans connaître celles qui la précèdent. En 1995, les mathématiciens Simon Plouffe, David H. Bailey et Peter Borwein découvrent la formule BBP, qui permet de calculer tout chiffre du développement de en base 16 sans avoir à déterminer ceux qui précèdent. Avant de découvrir cette formule, ils avaient déjà établi qu'il est possible de calculer séparément tout chiffre du développement binaire du logarithme de grâce à l'égalité : formula_8.


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text: La caractérisation des irrationnels peut s'effectuer via leur développement décimal, grâce au théorème suivant, démontré dans l'article détaillé :


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text: On démontre de même la caractérisation analogue via le développement dans n'importe quelle base (entière et supérieure ou égale à 2).


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text: Ainsi le calcul du développement d'un nombre rationnel est aisé puisqu'il n'y a qu'un nombre limité de chiffres à calculer pour le caractériser complètement, tandis que le calcul des développements de nombres irrationnels nécessite généralement la mise en œuvre de techniques mathématiques d'autant plus avancées que la précision souhaitée est élevée .


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text: Les fractions continues permettent entre autres de caractériser l'irrationalité, d'identifier des types particuliers d'irrationnels, et de fournir de bonnes approximations des irrationnels par des rationnels.


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text: Pour tout nombre réel formula_9, le caractère fini ou infini de son développement en fraction continue peut être lié à son caractère rationnel ou irrationnel. Plus précisément :


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text: Un irrationnel est dit quadratique s'il est solution d'une équation du second degré à coefficients entiers. La suite des réduites du développement en fraction continue d'un irrationnel formula_9 converge vers formula_9 « rapidement » : toute réduite formula_12 du développement vérifie formula_13.


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text: Par exemple, le début du développement en fraction continue de est [3, 7, 15, 1, 292, …]. À partir de ce début de développement, on trouve comme approximation de : formula_14 avec une erreur inférieure à formula_15, c'est-à-dire que l'on a au moins 9 décimales exactes.


title: Nombre irrationnel

text: Il est possible de comparer la précision obtenue en approchant un irrationnel par les premiers termes de son développement en fraction continue ou par les premiers chiffres de son développement décimal. En effet pour presque tout irrationnel formula_9, le théorème de Lochs affirme que les formula_17 premiers entiers du développement en fraction continue de formula_9 donnent asymptotiquement formula_19 décimales exactes.


title: Nombre irrationnel

text: L'ensemble des nombres rationnels est dense dans celui des réels. Par conséquent, pour tout nombre réel formula_9, rationnel ou irrationnel, il existe une suite de nombres rationnels qui converge vers formula_9. Cependant, tous les réels ne sont pas aussi facilement approchables les uns que les autres. On peut ainsi définir la mesure d'irrationalité de n'importe quel réel formula_9. Il s'agit de la borne supérieure de l'ensemble des réels pour lesquels il existe une infinité de couples formula_23 d'entiers tels que formula_24 et formula_25. Grossièrement, cela signifie que si un réel formula_9 a une mesure d'irrationalité supérieure à celle d'un réel formula_27 alors, à dénominateur égal, il est possible d'approcher formula_9 plus finement que formula_27 avec un nombre rationnel.


title: Nombre irrationnel

text: Le théorème suivant permet de différencier un rationnel d'un irrationnel par leur mesure d'irrationalité :


title: Nombre irrationnel

text: et que la constante est optimale : avec n'importe quelle constante plus grande, le théorème est faux pour certains nombres, par exemple le nombre d'or. Pour plus de détails, voir l'article sur le spectre de Lagrange..


title: Nombre irrationnel

text: On peut renforcer le second point du théorème : si un réel formula_9 est irrationnel, l'existence d'une infinité de couples formula_23 d'entiers tels que formula_32 et formula_33 est garantie non seulement pour tout formula_34, mais même pour formula_35. Cela se déduit par exemple de l'approximation d'un irrationnel par la suite infinie des réduites de sa fraction continue , ou du théorème d'approximation de Dirichlet.


title: Nombre irrationnel

text: Ces théorèmes servent de base à divers résultats permettant de montrer, sous certaines hypothèses, l'irrationalité de la somme d'une série dont le terme général est rationnel et qui converge suffisamment rapidement.


title: Nombre irrationnel

text: Tout irrationnel formula_9 a une mesure formula_37 supérieure ou égale à 2 ; elle vaut même exactement 2 pour presque tout réel. Il n'est cependant pas toujours aisé de la calculer précisément. Elle est tout de même parfois connue ou au moins estimée :La mesure d'irrationalité de tout nombre irrationnel est supérieure ou égale à 2 . Par conséquent si l'on se donne un nombre formula_49 et un nombre irrationnel formula_50, il est possible de trouver un entier formula_51 tel que le produit formula_52 soit à une distance inférieure à formula_53 d'un entier.


title: Nombre irrationnel

text: On peut en fait trouver un tel entier formula_51 même si l'on se donne un nombre formula_55 arbitraire d'irrationnels formula_56 quelconques à approcher d'un entier avec une erreur arbitrairement petite: Il est possible, avec quelques restrictions, d'étendre ce résultat à l'approximation de nombres quelconques : L'ensemble ℚ a une structure de corps commutatif, cela permet de déduire des résultats généraux sur l'irrationalité de sommes et de produits impliquant à la fois rationnels et irrationnels. L'ensemble des irrationnels vérifie par exemple la propriété de clôture suivante : si le carré (ou plus généralement, une puissance entière) d'un réel est un irrationnel, alors ce réel lui-même est irrationnel (par contraposée de la proposition selon laquelle tout produit de rationnels est rationnel). Cela permet, connaissant un nombre irrationnel, d'en construire une infinité d'autres.


title: Nombre irrationnel

text: On peut aussi, sachant que pour tout nombre irrationnel formula_38 et tout rationnel formula_58, les nombres formula_59 et formula_60 sont irrationnels, faire agir le groupe projectif linéaire formula_61 (ou formula_62) : Par exemple :


title: Nombre irrationnel

text: En revanche, la somme et le produit de deux irrationnels peuvent être rationnels : par exemple, formula_72 et formula_73.


title: Nombre irrationnel

text: Un irrationnel (strictement positif) élevé à une puissance irrationnelle peut être rationnel ou irrationnel, voire transcendant. D'après la sous-section suivante, on a même : pour "tout réel" différent de , est transcendant pour « presque tous » les réels (tous sauf un ensemble dénombrable), en particulier pour « presque tout » irrationnel .


title: Nombre irrationnel

text: L'ensemble ℝ\ℚ des irrationnels a la puissance du continu, c'est-à-dire qu'il est en bijection avec ℝ, comme le prouve, au choix, l'un des trois arguments suivants :


title: Nombre irrationnel

text: Les parties ℚ et ℝ\ℚ sont toutes les deux denses pour l'ordre dans ℝ et "a fortiori" denses pour la topologie usuelle de ℝ. Pour tous réels formula_74, il existe un isomorphisme d'ordres entre ℚformula_75 et ℚ (c'est un cas particulier d'un théorème de Cantor, immédiat si formula_76 et formula_77 sont rationnels). Par prolongement canonique, ceci montre que l'ensemble des irrationnels de formula_78 est — au sens de l'ordre et "a fortiori" au sens topologique — dense dans formula_78 et isomorphe à ℝ\ℚ.


title: Nombre irrationnel

text: Alors que ℝ est connexe, le sous-espace des irrationnels est totalement discontinu (puisqu'il ne contient aucun intervalle non trivial).


title: Nombre irrationnel

text: Dans ℝ, les irrationnels forment un G (c'est-à-dire une intersection dénombrable d'ouverts) mais pas un F (c'est-à-dire une union dénombrable de fermés). Autrement dit : l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction à valeurs réelles peut être égal à ℚ mais pas à ℝ\ℚ.


title: Nombre irrationnel

text: Alors que l'espace métrique ℝ est complet, le sous-espace des irrationnels ne l'est pas (puisqu'il n'est pas fermé dans ℝ). Cependant, par la bijection évoquée ci-dessus, cet espace topologique est homéomorphe à l'espace métrique complet formula_80, appelé l'espace de Baire. Ceci démontre que le théorème de Baire s'applique aussi à l'espace des nombres irrationnels.


title: Nombre irrationnel

text: Prouver qu'un réel formula_81 est irrationnel, c'est prouver qu'il n'existe aucun couple d'entier formula_82 tel que formula_83, or un résultat d'inexistence sur un cas particulier est généralement bien plus difficile à établir qu'un résultat d'existence. Ainsi même s'il est possible de montrer qu'un réel formula_81 ne peut pas s'écrire sous la forme formula_83 où formula_86 et formula_87 sont inférieurs à une certaine constante formula_88, cela ne suffit pas pour prouver son irrationalité. Par exemple, on sait que si la constante d'Euler-Mascheroni est rationnelle alors ce ne peut être qu'une fraction dont le dénominateur comporte au moins mais même si cela conduit à supposer son irrationalité, cela n'en constitue aucunement une preuve. Il existe cependant plusieurs techniques de démonstration qui ont permis de statuer sur l'irrationalité de certains cas particuliers.


title: Nombre irrationnel

text: Le nombre est l'un des premiers dont on ait prouvé l'irrationalité. Celle-ci peut en effet être obtenue grâce à des considérations élémentaires de parité:


title: Nombre irrationnel

text: On raisonne par l'absurde. Supposons que formula_89 soit un nombre rationnel, il existe alors deux entiers formula_76 et formula_77 premiers entre eux tels que formula_92 ce qui est équivalent à dire que formula_93. L'entier formula_94 est donc pair, et par conséquent formula_76 est pair, ce qui s'écrit formula_96 où formula_97 est un entier. Mais alors comme formula_93, il s'ensuit que formula_99 et donc formula_100 et formula_77 sont pairs.


title: Nombre irrationnel

text: formula_76 et formula_77 sont donc tous les deux pairs et ne sont donc pas premiers entre eux. On a donc abouti à une contradiction en supposant formula_89 rationnel. C'est donc un nombre irrationnel.


title: Nombre irrationnel

text: Toute fraction continue simple infinie représente un irrationnel, et si cette fraction continue est périodique alors l'irrationnel est quadratique .


title: Nombre irrationnel

text: La fraction continue la plus simple est celle du nombre d'or, que l'on peut obtenir directement à partir de l'équation formula_124 : On retrouve ainsi à nouveau que le nombre algébrique formula_106 est irrationnel.


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text: C'est un corollaire du calcul du degré des nombres algébriques , et pour rationnel, mais on peut aussi le démontrer par une preuve sans mots utilisant la méthode de descente infinie dans un réseau à deux dimensions.


title: Nombre irrationnel

text: Tout rationnel ayant un développement périodique dans toute base, il suffit, pour prouver qu'un réel formula_9 est irrationnel, de montrer que dans une certaine base, son développement n'est pas périodique. Cela peut parfois être fait directement comme dans le cas du théorème suivant :


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text: Ce théorème peut être démontré par l'absurde, en supposant périodique la suite des écarts entre nombres premiers consécutifs puis en obtenant une contradiction.


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text: Un autre exemple est donné par le théorème suivant :


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text: On peut en effet montrer que la suite de Prouhet-Thue-Morse est sans cube, c'est-à-dire qu'aucun bloc ne se répète trois fois consécutivement : "a fortiori" son développement binaire est non-périodique et formula_128 est donc irrationnelle.


title: Nombre irrationnel

text: Dans la pratique, la non-périodicité peut être obtenue en établissant l'existence de suites finies de formula_129 de longueur arbitraire. En effet si le nombre est périodique il ne peut comporter des séquences de zéros plus longues que la longueur de sa période à moins d'avoir un développement décimal fini.


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text: Une application élémentaire est fournie par le résultat suivant :


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text: En effet, son développement en base formula_130 n'est pas périodique parce qu'il contient les entiers de la forme formula_131 pour formula_97 arbitrairement grand, et donc des suites de formula_129 finies arbitrairement longues. Ce nombre est en fait même normal et transcendant.


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text: Un exemple moins trivial est le suivant :


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text: La constante de Copeland-Erdős est définie par formula_134 où formula_135 est le "k"-ième nombre premier, et où formula_136 est la partie entière de son logarithme décimal. C'est-à-dire que le développement décimal de la constante de Copeland-Erdős est la concaténation des éléments de la suite des nombres premiers.


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text: On montre l'irrationalité de formula_137 en exhibant des suites de zéros arbitrairement longues. Pour tout entier naturel formula_138, d'après le théorème de la progression arithmétique, la suite arithmétique formula_139 contient une infinité de nombres premiers, donc au moins un. Il existe donc au moins un nombre premier dont l'écriture en base dix contient une succession d'au moins formula_138 zéros, encadrée par deux chiffres autres que formula_129 (le second étant formula_107). Le développement décimal de formula_137 contient ainsi des suites de zéros finies mais arbitrairement longues, ce qui prouve qu'il n'est pas périodique, et donc que formula_137 n’est pas rationnel. L'irrationalité de formula_137 peut également se déduire du résultat plus général, mais plus difficile à démontrer, selon lequel la constante de Copeland-Erdős est un nombre normal en base 10, joint à la propriété élémentaire suivante :


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text: Fourier redémontre ce résultat d'Euler en utilisant le développement en série entière de la fonction exponentielle, évalué en formula_107 : formula_147.


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text: Cela lui permet de montrer que pour tout entier , le nombre a une partie fractionnaire non nulle donc n'est pas entier, et donc que n'est pas rationnel.


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text: Plus généralement :


title: Nombre irrationnel

text: Il est possible de prouver l'irrationalité d'un réel en exhibant une suite de rationnels formula_152 convergeant vers « suffisamment vite », c'est-à-dire telle que, pour un certain , on ait formula_153 pour tout . C'est grâce à une telle technique que Roger Apéry a montré en 1978 le résultat suivant, sur l'image de 3 par la fonction de Riemann : Dans le cas des suites à croissance double exponentielle, on dispose du théorème suivant:  et formula_154 deux suites d'entiers positifs tels qu'au delà d'un certain rang on ait pour tout formula_55 l'inégalité formula_156. Si la série formula_157 converge vers un nombre rationnel, alors on a pour tout formula_55 au-delà d'un certain rang formula_159 : l'inégalité large est en fait une égalité. En considérant la suite formula_154 constante égale à 1, la contraposée de ce théorème permet de prouver l'irrationalité de la somme des inverses des nombres doubles de Mersenne mais pas de retrouver l'irrationalité de la série des inverses des nombres de Fermat, et ce bien que son terme général croisse comme une exponentielle double ; ce nombre est cependant bien irrationnel et même transcendant, ce qui fut démontré en 1967.Ivan Niven redémontre par l'absurde ce résultat de Lambert, en supposant que formula_163 avec formula_76 et formula_77 entiers et en construisant, à partir de cette hypothèse, une expression qui est égale à un nombre entier tout en pouvant être strictement comprise entre 0 et 1, ce qui est absurde. Supposer que formula_2 est rationnel conduit donc à une contradiction, et donc formula_2 est irrationnel. Hardy et Wright, reprenant la méthode de Niven, démontrent de la façon suivante l'irrationalité de , qui implique celle de .


title: Nombre irrationnel

text: Considérons, pour tout entier naturel formula_55, la fonction polynomiale formula_169 définie par formula_170. Ses dérivées jusqu'à l'ordre formula_171 prennent une valeur entière en formula_129 (donc aussi en formula_107 par symétrie) et la dérivée suivante est nulle.


title: Nombre irrationnel

text: Supposons que formula_174 avec formula_76 et formula_77 entiers strictement positifs et posons formula_177. D'après ce qui précède, formula_178 et formula_179 sont des entiers.


title: Nombre irrationnel

text: De plus, formula_180 (par télescopage) donc


title: Nombre irrationnel

text: Cependant, sur formula_182, la fonction formula_183 est continue et strictement comprise entre formula_129 et formula_185 donc formula_186.


title: Nombre irrationnel

text: De plus, pour formula_55 suffisamment grand, formula_188 (la série est même convergente). L'entier formula_189 est alors strictement compris entre formula_129 et formula_107, ce qui est absurde. Puisque (à part ) toute puissance rationnelle de est irrationnelle , le logarithme népérien de tout rationnel positif est irrationnel. Le nombre  est lui aussi irrationnel puisqu'il n'existe pas d'entiers "a, b" ≠ 0 tels que 2 = 10 ; plus généralement, " m" = est irrationnel pour tous entiers "m, n" > 1 qui n'ont pas le même ensemble de facteurs premiers (ou encore : le même radical). Par exemple : et  sont irrationnels.


title: Nombre irrationnel

text: On ne sait pas si les nombres et sont ou non irrationnels. On conjecture cependant que , et sont ℚ-linéairement indépendants.


title: Nombre irrationnel

text: On ne sait pas plus si , , , la constante de Khintchine ou la constante d'Euler-Mascheroni sont irrationnels. On ignore également, pour tout entier impair , si  est irrationnel. En effet, pour les entiers positifs impairs, seul le cas de est connu grâce au théorème d'Apéry. Cependant, il a été prouvé que prend une valeur irrationnelle pour une infinité de nombres impairs, dont au moins l'un des quatre nombres , , ou . De plus, des calculs en haute précision rendent extrêmement vraisemblable l'irrationalité et même la transcendance de tous ces nombres.


title: Nombre irrationnel

text: Certains problèmes ouverts d'autres domaines des mathématiques peuvent être exprimés comme des problèmes d'irrationalité. Par exemple, si la constante de Brun était irrationnelle, cela impliquerait la conjecture des nombres premiers jumeaux.


title: Control Program/Monitor

text: CP/M, sigle de "Control Program/Monitor ou /Microcomputer", est un système d'exploitation créé en 1974 par Gary Kildall, fondateur de Digital Research.


title: Control Program/Monitor

text: Il est utilisé notamment sur les Amstrad CPC et Amstrad PCW, Commodore 128, TRS-80, l'Osborne 1, BBC Micro, le ZX Spectrum. Il fut utilisé sur PC, notamment livré en standard avec les Amstrad PC-1512 en plus du MS-DOS et de GEM.


title: Control Program/Monitor

text: Pour l'Apple II, Microsoft a créé en 1980 la carte d'extension Z-80 SoftCard qui permettait l'usage du système d'exploitation de Digital Research.


title: Control Program/Monitor

text: Les premières versions de MS-DOS se sont largement inspirées de CP/M.


title: Control Program/Monitor

text: La mémoire d'un ordinateur sous CP/M est divisée en quatre parties :


title: Control Program/Monitor

text: Ce système d'exploitation, enregistre les fichiers sur disquettes suivant une organisation logique spécifique (qui n'a pas été reprise par MS-DOS), et peut remplir les disquettes jusqu'à ce qu'elles soient complètement remplies.


title: Control Program/Monitor

text: CP/M peut aussi gérer des disques durs (en réalité, comme le BIOS est « ouvert » et décrit clairement dans la documentation que Digital Research fournissait avec certains de ses logiciels, il est donc possible d'adapter tout système particulier CP/M à toute mémoire de masse disponible - et aux périphériques dont on dispose). Certains ordinateurs tournant sous CP/M étaient vendus, à l'origine, avec des disques durs (l'Altos en est un exemple).


title: Control Program/Monitor

text: Il existe des implémentations pour le micro-processeur Z80 qui ont un systeme de disques formé de carte SD ou de clées USB (au format FAT16).


title: Control Program/Monitor

text: Chaque fichier a un nom et une extension (plus précisément, la syntaxe est : .).


title: Control Program/Monitor

text: Parmi les extensions les plus habituelles, on trouve :Exemples de noms de fichiers : STAT.COM ; dans le cas de « nomdufichier.ASM », le nom du fichier est trop long, puisqu'il y a un maximum de 8 caractères utilisables à cet effet ; donc il faudrait, par exemple, nommer ce fichier « fichier.ASM » ou « fichier1.ASM ».


title: Control Program/Monitor

text: « READ.ME » est un nom de fichier que beaucoup d'éditeurs utilisent pour attirer l'attention de l'utilisateur sur des aspects très importants de leurs logiciels... ce sont donc des fichiers à lire avant d'utiliser le logiciel en question. Pour lire le contenu d'un tel fichier on peut, en général utiliser la commande :


title: Control Program/Monitor

text: TYPE READ.ME


title: Control Program/Monitor

text: Les invites de commandes des disquettes sont A> pour le lecteur A et B> pour le lecteur B. Comme sous MS-DOS, il faut taper la lettre du disque auquel on veut accéder, suivie de deux points.


title: Control Program/Monitor

text: Les commandes de CP/M peuvent être « internes » ou « externes » (comme ce fut, par la suite, le cas avec MS-DOS). Sous CP/M, pour l'utilisateur, il n'y a pas de différence entre lancer une commande « interne » (par exemple DIR as*.*), « externe » (par exemple STAT as*.*) ou un programme (par exemple LINK).


title: Control Program/Monitor

text: Sous CP/M, le programme « correct » le plus court n'a besoin que d'un octet (C9 en hexadécimal - l'instruction RETurn) qui fait un retour au Système (ce qui est une sortie « normale » pour un programme CP/M). Par contre, il doit être sauvegardé dans un fichier « exécutable » (donc un « .com ») dont la taille minimum est un secteur (donc minimum).


title: Control Program/Monitor

text: Les commandes externes du CP/M ou MP/M appelaient des programmes du même nom qui portaient l'extension .COM ou .PRL (uniquement dans le cas de MP/M). Pour information, le MP/M était relativement semblable au CP/M mais était multi-utilisateurs.Sous CP/M, l'utilisateur peut programmer en utilisant directement le code machine, un assembleur ou un langage de programmation comme le BASIC.


title: Control Program/Monitor

text: Les sources des logiciels écrits par DRI (c'est-à-dire, Digital Research) peuvent se trouver sur Internet (voir, par exemple, DRIPAK.zip).


title: Control Program/Monitor

text: CP/M supporte de nombreux traitements de texte comme WordStar, avec, le cas échéant, leurs systèmes de vérification orthographique, des tableurs comme SuperCalc ou des logiciels combinant ces deux fonctionnalités.


title: Control Program/Monitor

text: Parmi les autres logiciels disponibles, il y avait aussi dBase II, une base de données relationnelle, très interactive.


title: Control Program/Monitor

text: Par ailleurs, des compilateurs CP/M ont été écrits pour de nombreux langages, par exemple : Des langages orientés vers l'« intelligence artificielle », comme muMATH (qui est capable de résoudre des équations formelles) ou muSIMP (voir muMATH) peuvent aussi « tourner » sous CP/M.


title: Control Program/Monitor

text: Le cas du langage PL/M est un peu particulier, puisqu'une partie du logiciel correspondant au système d'exploitation CP/M — et à ses utilitaires — a été écrite en PL/M, pour un compilateur qui tournait sous ISIS II. Il est possible, toutefois, d'émuler ISIS II sous CP/M.


title: Masse atomique

text: La masse atomique relative (ou poids atomique) est la masse d'un atome en particulier ou d'un élément chimique en général (auquel cas on envisage un mélange isotopique) exprimée en tant que multiple d'une masse élémentaire de référence qui se veut proche de celle d'un nucléon unique. En effet, la masse d'un atome est proportionnelle en première approximation au nombre de ses nucléons (protons et neutrons ensemble), dit nombre de masse. La masse élémentaire de référence, appelée unité de masse atomique, est définie depuis les années 1960 comme le douzième de la masse de l'atome de carbone 12.


title: Masse atomique

text: La masse atomique est généralement un nombre décimal, et ce pour plusieurs raisons. Les décimales varient selon l'unité de masse atomique choisie comme référence, ce qui explique en partie les variations historiques de ce choix.


title: Masse atomique

text: Concernant un élément chimique en général, . La masse atomique d'un élément chimique est ainsi la moyenne des masses atomiques de ses isotopes au prorata de leur présence à la surface de la Terre. Ce choix offre un intérêt pratique évident : il permet de calculer précisément les masses en jeu lorsqu'on considère des échantillons non purifiés isotopiquement de l'élément chimique, c'est-à-dire dans la situation expérimentale la plus courante.


title: Masse atomique

text: Concernant un atome en particulier (isotope donné d'un élément donné, caractérisé par un nombre de protons et un nombre de neutrons donnés), seul le carbone 12 possède "a priori" une masse atomique entière, pour la simple raison que l'unité de masse atomique est définie comme 1/ de sa masse. Pour tous les autres atomes, la masse atomique exacte n'est pas un multiple entier de la masse unitaire de référence. En effet, des phénomènes physiques corrélés au nombre de nucléons mais non proportionnels à celui-ci interviennent, de telle sorte que la masse d'un ensemble de nucléons assemblés dans un noyau n'est pas égale à la somme des masses des nucléons isolés : en effet, la masse d'un proton lié dans un noyau n'est pas tout à fait égale à celle d'un proton libre (énergie de liaison, défaut de masse nucléaire...).


title: Masse atomique

text: Comme le nombre des nucléons, la masse atomique relative prend dans la nature une valeur comprise entre 1 et un peu plus de 200. C'est donc un nombre plus facile à imaginer et plus simple à écrire que celui qui caractérise la masse en kilogrammes des atomes, proche de .


title: Masse atomique

text: Par ailleurs, la notion de masse atomique relative est née avant que l'existence de l'atome soit avérée, et donc avant qu'il soit possible de compter ou de peser des atomes. Les chimistes avaient néanmoins observé la quantification des masses des éléments chimiques, par exemple en comparant des volumes identiques de gaz différents. La masse atomique relative décrit efficacement le rapport massique des éléments "indépendamment du nombre de corpuscules concernés".


title: Masse atomique

text: Quand la notion de masse atomique apparut, les premières mesures suggéraient que la masse atomique d'un atome était toujours un multiple entier de celle de l'hydrogène. Le choix de l'hydrogène comme masse atomique unitaire relevait donc plus d'un constat que d'un choix normatif. On démontra dans la première moitié du que les masses atomiques n'étaient pas exactement des multiples entiers de l'unité, quelle qu'en soit la définition. Cela signifiait qu'1/ de la masse de l'oxygène 16 par exemple, n'est pas égal à 1/ de la masse du carbone 12, ni à la masse de l'hydrogène. Il était donc nécessaire de préciser la définition en choisissant un élément de référence. L'oxygène étant fréquemment impliqué dans les réactions chimiques qui nous entourent, son choix comme référence pour la mesure de l'unité de masse atomique simplifiait de nombreux calculs pour les chimistes. Toutefois, ce standard s'est ensuite décliné selon deux interprétations : celle des chimistes, qui prenaient comme référence le mélange isotopique naturel de l'oxygène, et celle des physiciens, qui choisirent plus précisément l'isotope oxygène 16. Il était nécessaire de statuer sur une référence unique. Les valeurs de masse atomique relative obtenues par référence au carbone 12 avaient l'avantage de ne pas trop différer des anciennes valeurs, que celles-ci proviennent de la chimie ou de la physique. Cela facilitait la mise en place de cette nouvelle et ultime référence.


title: Masse atomique

text: Au fur et à mesure que la précision des mesures s'améliore, leurs résultats apparaissent dans des articles dispersés parmi un grand nombre de revues scientifiques. Le Centre de données des masses atomiques (AMDC, pour "Atomic Mass Data Center"), un service de l'Agence internationale de l'énergie atomique (AIEA), en fait la synthèse à intervalles réguliers et met les valeurs numériques des masses atomiques (ainsi que de nombreuses énergies de réaction nucléaire) à la disposition de tous sur Internet. La synthèse la plus récente, qui date de 2016, est disponible sous la forme de tableaux facilement exploitables (format txt) ainsi que sous celles d'un programme pour ordinateur et d'une application pour smartphone.


title: Densité de population

text: La densité de population est une mesure du nombre d'individus ou d'habitants occupant une surface donnée. Elle est le plus souvent exprimée en individus par unité de surface (par exemple, habitants/km).


title: Densité de population

text: La densité de population est une mesure biologique courante et est souvent utilisée par les protecteurs de la nature comme une valeur plus appropriée que les nombres absolus. De faibles densités de population peuvent créer une spirale d'extinction dans la mesure où de faibles densités conduisent à une fertilité de plus en plus réduite. C'est l'effet Allee, d'après W. C. Allee qui l'a mis le premier en lumière. À titre d'exemple :


title: Densité de population

text: Cependant, des espèces différentes présentent à la base des densités différentes. Par exemple, les espèces à stratégie r ont d'ordinaire une densité de population élevée, tandis que les espèces à stratégie K peuvent présenter une densité de population plus faible. Une faible densité de population peut être associée avec une adaptation vers une spécialisation dans la localisation des partenaires reproductifs, comme des pollinisateurs spécialisés tels qu'on en trouve dans la famille des orchidées.


title: Densité de population

text: Il est aussi possible de définir la densité d'une population grâce à sa biomasse. Cette méthode est utile quand il faut comparer des densités d'espèces de taille ou de nature très différentes.


title: Densité de population

text: Pour les êtres humains, on définit la densité de population comme le nombre de personnes par unité de surface (qui peut inclure ou pas les eaux intérieures), bien qu'elle puisse également être exprimée par rapport aux terres habitables, habitées, arables (ou potentiellement arables) ou cultivées.


title: Densité de population

text: Elle est fréquemment exprimée en personnes par kilomètre carré ou par hectare et s'obtient en divisant le nombre de personnes par la surface considérée mesurée en kilomètres carrés ou en hectares. Dans la pratique, on peut calculer ceci pour une ville, une agglomération, un pays ou le monde entier.


title: Densité de population

text: À titre d'exemple, pour la plupart des pays de taille importante en Europe de l'Ouest (intégrant de ce fait des zones denses et d'autres moins peuplées), la densité moyenne oscille entre 100 et 400 habitants par kilomètre carré (118 /km en France, 231 /km en Allemagne, 393 /km aux Pays-Bas, 364 hab./km en Belgique, 244 /km au Royaume-Uni). Un territoire très désertique a une densité proche, voire inférieure à un habitant au kilomètre carré (Groenland : 0,03 /km, Sahara occidental : 1 /km).


title: Densité de population

text: Avec de terres émergées et  sur Terre en octobre 2016, la densité de population sur l'ensemble des terres émergées est de .


title: Densité de population

text: Les pays les plus densément peuplés du monde sont des cités-États : Monaco (), Singapour () et le Vatican (). En excluant les États d'une taille inférieure à , le plus densément peuplé est le Bangladesh, où 147 millions de personnes vivent dans une zone hautement agricole autour de l'embouchure du Gange, avec une densité de population de plus de par km.


title: Densité de population

text: Les villes les plus denses du monde sont Manille aux Philippines (), Bombay en Inde () et Dacca au Bangladesh (). À la fin des années 1980, la citadelle de Kowloon, une enclave chinoise dans Hong Kong sans aucune règlementation et devenue zone de non-droit, a attiré près de (certaines estimations allant jusqu'à ) sur seulement , faisant du quartier la zone la plus densément peuplée de l'Histoire de l'humanité. En effet, la densité de population atteignait au moins . Le quartier a été évacué au début des années 1990.


title: Densité de population

text: Actuellement les quartiers les plus denses du monde sont à Dacca (), à Dubaï () et à Dacca ().


title: Densité de population

text: Compte tenu de l'importance des surfaces non utiles à l'agriculture et à l'élevage, les annuaires de la F.A.O. calculent des superficies utiles.


title: Densité de population

text: Les densités de certains pays deviennent alors très élevées, souvent nettement supérieures à 500 ou utile : le Japon, la Corée, la Chine, le Vietnam, Taïwan, l’Égypte sont par exemple dans ce cas.


title: Densité de population

text: Le cas de l’Égypte est particulièrement illustratif : le pays étant majoritairement désertique, ses de surface utile se resserrent autour du Nil où se concentrent également ses 100 millions d’habitants. L’Égypte présente ainsi une densité utile de , une des plus élevées au monde. En prenant en compte sa surface totale et donc les étendues désertiques, la densité de l’Égypte en 2018 n’est que de .


title: Acari

text: Les acariens (Acari ou Acarina) sont un taxon d'arachnides.


title: Acari

text: Ils sont de taille généralement minuscule : certains sont microscopiques, ne mesurant que quelques dizaines de micromètres, les plus grands ne dépassant pas (sauf les tiques gorgées de sang qui, dans les espèces tropico-équatoriales, peuvent atteindre la taille d'une « belle » cerise).


title: Acari

text: Le corps est particulièrement compact pour un arthropode en raison de la fusion du prosome (l'équivalent du céphalothorax d'autres arthropodes) et de l'opisthosome (ou abdomen) en une masse unique et de la quasi-disparition des traces de segmentation.


title: Acari

text: Il en existe près de espèces répertoriées, mais la diversité réelle du groupe est probablement supérieure au million d'espèces. La variété de leurs modes de vie (habitat, niche écologique, mode d'alimentation…) est sans égale chez les Arachnides.


title: Acari

text: Beaucoup vivent librement dans le sol ou l'eau, mais les acariens ont aussi développé une grande diversité de relations avec d'autres êtres vivants, animaux ou végétaux, allant de la phorésie à l'endoparasitisme. Il existe en particulier un grand nombre d'espèces parasites, éventuellement pathogènes pour les plantes, les animaux ou les êtres humains.


title: Acari

text: Parmi les plus connus, figurent les tiques, le sarcopte responsable de la gale, le "varroa" parasite des abeilles, les acariens des poussières ("Dermatophagoides pteronyssinus" par exemple) susceptibles de provoquer des allergies chez certaines personnes, ou encore les aoûtats.


title: Acari

text: Des téléfilms documentaires comportant des erreurs de traduction de l'anglais "mites" (« acariens »), ont introduit en français une confusion entre les véritables « mites » ("moths" en anglais) et les acariens.


title: Acari

text: Les acariens mesurent entre 0,1 et 0,6 mm : de par leur taille, ils sont à la limite de la microfaune stricto sensu et de ce que l'on appelle communément la mésofaune.


title: Acari

text: En raison de la fusion des différentes régions du corps, la morphologie des acariens est unique. Les seules traces visibles de la segmentation d'origine sont les appendices, pièces buccales et pattes. Les pièces buccales, chélicères et pédipalpes, sont souvent fortement modifiées en relation avec l'alimentation correspondante. Elles constituent un ensemble qui chez les tiques prend le nom de "capitulum" (du latin « tête »), séparé du reste du corps par un sillon. Le reste du corps est nommé "idiosome" chez les tiques.


title: Acari

text: De chaque côté du corps se trouve un stigmate servant d'orifice respiratoire.


title: Acari

text: Les acariens sont essentiellement, sinon exclusivement ovipares. Comme chez les insectes, aux œufs succèdent une larve, puis nymphe et enfin l'adulte. Certains auteurs nuancent chez les acariens la notion de stade et celle de stase, différenciant, au sein de la stase nymphale différents stades, chacun d'eux séparés par une mue, mais de très faible amplitude, bien différente de celle qui transforme la larve en nymphe, et celle-ci en l'adulte. À cause de leur courte durée de vie (2 à 3 mois), les femelles se reproduisent très vite. Ainsi, une femelle peut pondre, à raison de 300 œufs par mois, jusqu'à 900 œufs dans sa vie.


title: Acari

text: Leurs conditions optimales de croissance sont un environnement humide (taux d'humidité de 60 à 80 %) et une température plutôt élevée et stable (26-32 °C), ce qui détermine le maximum d'activité des acariens de mai à septembre dans la nature, en automne et en hiver dans les habitats (temps pluvieux, habitations chauffées)


title: Acari

text: Selon les espèces, l'habitat et le comportement sont extrêmement variés.


title: Acari

text: Les régimes alimentaires des acariens sont très variés selon les espèces ou les groupes : phytophages, prédateurs, hématophages et lymphophages, etc. La nourriture peut être pré-digérée avant l'ingestion, par inoculation de salive.  Certains acariens consomment des aliments solides (animaux et végétaux) en les déchiquetant grâce à leurs chélicères en forme de pince. Les substances solides sont ensuite digérées à l'extérieur du corps grâce à des enzymes sécrétées par les glandes salivaires. D'autres acariens sont des suceurs de sang ou de sève. L'épithélium de l'intestin moyen capte les aliments par phagocytose.


title: Acari

text: Elles peuvent être marines, dulçaquicoles, terrestres. Elles peuvent être carnivores, végétariennes ou détritivores. Certaines provoquent des galles sur les végétaux. D'autres vivent sur les denrées alimentaires comme les acariens du fromage "Tyrolichus casei" pour les fromages à pâte molle et "Acarus siro", dit ciron qui produit les croûtes de fromages durs tels que la Mimolette. Les même peuvent également vivre dans les denrées entreposées comme le blé des silos ou la farine. Une dizaine d'espèces sont responsables d'allergies chez l'humain ("Dermatophagoides", "Acarus siro", "Lepidoglyphus destructor").


title: Acari

text: Sans être des parasites importuns, ils sont transportés par d'autres espèces. Certains sont par exemple des acariens des plumes.


title: Acari

text: Chez les hyménoptères Apocrita (abeilles et guêpes dans leur sens très large), il semble que certains acariens se nourrissent de champignons dans les nids de leurs hôtes (les éloignant ainsi de leurs larves ou de leurs provisions) ou éventuellement d'autres parasites ou acariens dont la présence dans le nid est préjudiciable aux hôtes ou encore de pollen. Dans la plupart des cas, seules les femelles sont concernées car ce sont elles qui construisent et fournissent les nids. Ce mutualisme a mené certaines espèces d'Apocrita à évoluer pour créer une structure anatomique spécialisée qui facilite leur rétention, l'« acarinarium ».


title: Acari

text: Il en existe une grande quantité et elles ne sont pas encore toutes connues.


title: Acari

text: Plusieurs espèces de démodex vivent en association avec des mammifères, soit comme parasites, soit comme symbiotes (ils nettoient les pores d'un excès de sébum). Chez l'être humain, on trouve par exemple "Demodex folliculorum", qui vit dans les glandes sébacées, et "Demodex brevis", qui vit dans les follicules pileux.


title: Acari

text: Le tétranyque tisserand ("Tetranychus urticae") vit sur les feuilles des plantes où il tisse des toiles de soie ; l'acarien rouge des pomacées ("Panonychus ulmi") est pathogène de la vigne et des arbres fruitiers. "Colomerus vitis" provoque l'érinose de la vigne (déformation des feuilles).


title: Acari

text: La famille des Podapolipidae parasite communément les arthropodes dont les abeilles, qui sont affaiblies par la pullulation des varroas, acariens impliqués dans le syndrome d'effondrement des colonies d'abeilles.


title: Acari

text: Les tiques (dont les ixodes) se fixent sur les mammifères et les oiseaux et sucent leur sang (hématophagie). Les tiques peuvent être des vecteurs de virus, de bactéries (spirochètes) et protozoaires pathogènes. Les ixodes peuvent transmettre des bactéries du genre "Brucella", les agents de la brucellose. "Ornithodoros moubata" est une tique africaine transmettant à l'humain "Spirochaeta duttoni" (agent de fièvre récurrente). En Amérique du Nord, les tiques du genre "Dermacentor" transmettent l'agent de la fièvre pourprée des montagnes rocheuses.


title: Acari

text: Les aoûtats ("Trombicula autumnalis") parasitent au stade larvaire les animaux à sang chaud (y compris l'humain).


title: Acari

text: Ils pénètrent dans le derme (ectoparasites).


title: Acari

text: À titre d'exemple, les sarcoptes ("Sarcoptes scabiei") creusent des galeries dans l'épiderme des mammifères et causent la gale (y compris chez l'humain).


title: Acari

text: Les acarologues considèrent les acariens comme une sous-classe divisée en deux Super-ordres, tandis que les autres arachnologues leurs conservent le rang d'ordre. Liste des ordres actuelles selon :


title: Acari

text: Acaridae, Analgidae, Anystidae, Argasidae, Ascouracaridae, Atopomelidae, Bdellidae, Carpoglyphidae, Cheyletidae, Demodicidae, Dermanyssidae, Dermationidae, Epidermoptidae, Eriophyidae, Glycyphagidae, Halarachnidae, Ixodidae, Knemidokoptidae, Kytoditidae, Laelapidae, Laminosioptidae, Leeuwenhoekiidae, Listrophoridae, Macrochelidae, Macronyssidae, Microdispidae, Penthaleidae, Phytoptidae, Phytoseiidae, Psorergatidae, Psoroptidae, Pyemotidae, Pyroglyphidae, Rhinonyssidae, Rhynchaphytoptidae, Sarcoptidae, Sitercoptidae, Tarsonemidae, Tenuipalpidae, Tetranychidae, Trombiculidae, Trombidiidae.


title: Acari

text: Les acaricides Les prédateurs naturels


title: Arachnida

text: Les Arachnides (Arachnida) sont une classe d'arthropodes chélicérés, terrestres ou aquatiques, souvent insectivores. C'est le groupe qui comprend, entre autres, les araignées, les scorpions, les acariens et les opilions. Ils se distinguent au sein de l’embranchement des arthropodes par le fait qu'ils possèdent quatre paires de pattes, qu'ils n'ont ni ailes ni antennes, et que leurs yeux sont simples (ocelles) et non composés. La plupart des arachnides sont ovipares et les sexes sont généralement de morphologies distinctes (dimorphisme sexuel).


title: Arachnida

text: Le nom de la classe tire son origine du mot grec "arachné", qui signifie « araignée ».


title: Arachnida

text: Les premiers arthropodes à pinces du sous-ordre des chélicérés sont apparus il y a environ 540 millions d'années, pendant le Cambrien, la plus ancienne des périodes de l'ère Paléozoïque. La plupart se sont adaptés à la vie terrestre. Puis, pendant le Silurien supérieur (il y a 440 millions d'années), apparaissent les premiers spécimens connus de scorpions et d'araignées fort semblables à ceux que nous pouvons trouver de nos jours.


title: Arachnida

text: On a recensé environ espèces d'arachnides, dont plus de de scorpions et espèces d'araignées, vivant dans tous les biotopes, des régions tropicales aux régions polaires. La plupart des arachnides sont cependant terrestres.


title: Arachnida

text: L'organisation interne est surtout remarquable par les poumons, ou "phyllotrachées", sortes de poches s'ouvrant à l'extérieur par les stigmates, et contenant une série de feuillets parallèles, à paroi mince, à travers lesquels se font les échanges gazeux.


title: Arachnida

text: Le céphalothorax porte les quatre paires de pattes locomotrices, ainsi que les pédipalpes, ou pattes-mâchoires, situés à l'avant du prosoma. Ces pédipalpes jouent un rôle essentiellement tactile. Le prosoma porte également une paire de chélicères, prolongés par un crochet à venin. Le céphalothorax est fortement chitinisé chez les arachnides, procurant à l'animal une protection appréciable. Cependant, la rigidité de cette carapace contraint les membres de cette classe à des mues de croissance périodiques.


title: Arachnida

text: L'abdomen est segmenté chez les scorpions, mais non segmenté chez les araignées et les acariens. Il ne l'est que faiblement chez les opilions. On estime que l'importance de la segmentation abdominale est un indice du degré d’évolution : les scorpions, à l'abdomen très segmenté, sont ainsi considérés comme l'ordre le plus primitif de cette classe ; les acariens, à l'abdomen peu ou apparemment pas segmenté, sont considérés comme l'ordre le plus évolué de la classe. Cette estimation s’appuie sur ces considérations morphogénétiques, mais aussi sur l’âge respectif des fossiles découverts pour les différents arachnides.


title: Arachnida

text: Chez certains ordres comme les solifuges, les pédipalpes sont très développés et ressemblent à des pattes. Il s'agit bien cependant d'organes différents : les pattes comprennent sept articles, tandis que les pédipalpes n'en comprennent que six. En outre, la base des pédipalpes est souvent pourvue de soies en forme de peigne sur la face intérieure, de manière à servir de filtre devant l'orifice buccal. Enfin, les pédipalpes ne jouent aucun rôle dans la locomotion.


title: Arachnida

text: Le langage courant considère souvent que les araignées sont des insectes ; elles se distinguent de ceux-ci par le nombre des pattes : huit chez les arachnides, six chez les insectes.


title: Arachnida

text: Liste des ordres actuels selon :


title: Arachnida

text: Les amateurs élèvent des mygales ou des scorpions.


title: Arachnida

text: Il existe aussi des « fermes à araignées » où on récolte du venin afin de fournir les hôpitaux pour fabriquer des sérums.


title: Astrologie

text: L'astrologie est un ensemble de croyances et de pratiques fondées sur l'interprétation symbolique des correspondances supposées entre les configurations célestes (la position et le mouvement des planètes du système solaire) et les affaires humaines, collectives ou individuelles.


title: Astrologie

text: L'astrologie est désormais considérée comme une pseudoscience relevant du charlatanisme, une croyance indûment présentée comme scientifique, ou comme une superstition.


title: Astrologie

text: L'astrologie se place, par sa méthode même, en dehors du domaine rationnel ou scientifique.


title: Astrologie

text: Pour l'Association française pour l'information scientifique (AFIS) : .


title: Astrologie

text: De nombreux travaux scientifiques ont rigoureusement démonté l'ensemble des croyances associées à l'astrologie. Ainsi, sur la relation entre personnalité des individus et date de naissance, une étude, basée sur deux échantillons de respectivement et , publiée en 2006 et menée par Peter Hartmann du département de psychologie de l'Université d'Aarhus, conclut : . Des résultats similaires avaient été trouvés en 2003 par les psychologues Geoffrey Dean et Ivan Kelly sur un échantillon de . D'autres études et publications ont par ailleurs démontré qu'il n'existait aucune cohérence entre ce que pouvaient affirmer plusieurs astrologues à propos d'une même personne ou encore que la capacité d'un astrologue à déterminer en fonction des signes astraux si une personne était introvertie ou extravertie ne valait pas mieux que le tirage d'une pièce à pile ou face.


title: Astrologie

text: Sur le plan historique, l'astrologie remonte au moins au millénaire avant notre ère. Son origine serait dans les tentatives de prédiction des changements saisonniers et d'interprétation des cycles célestes comme des signes de communication divine. De nombreuses cultures ont accordé de l'importance aux événements astronomiques, et certaines — comme les hindous, les Chinois et les Mayas — ont mis au point des systèmes élaborés pour prévoir les événements terrestres à partir des observations célestes. L'astrologie occidentale, l'un des plus anciens systèmes astrologiques encore en usage, a son origine en Mésopotamie ( au avant notre ère). Elle s'est propagée ensuite au monde hellénistique puis à la Rome antique, au monde arabe et finalement à l'Europe centrale et occidentale.


title: Astrologie

text: L'astrologie occidentale contemporaine est le plus souvent associée à des systèmes d'horoscopes qui prétendent expliquer les aspects de la personnalité d'une personne et prédire des événements significatifs dans leur vie future en fonction de la position des objets célestes.


title: Astrologie

text: Tout au long de son histoire, l'astrologie a appartenu à une tradition savante et était courante dans les milieux universitaires, souvent en relation étroite avec l'astronomie, l'alchimie, la météorologie et la médecine. Elle avait une forte influence sur les milieux politiques. Elle est mentionnée dans divers ouvrages littéraires, de Dante Alighieri et Geoffrey Chaucer à William Shakespeare, Lope de Vega, et Calderón de la Barca.


title: Astrologie

text: À partir de la fin du et de l'adoption de la méthode scientifique, l'astrologie a été vigoureusement contestée et critiquée tant sur ses bases théoriques que sur ses bases expérimentales. La preuve fut amenée que l'astrologie n'avait aucune validité scientifique.


title: Astrologie

text: Sur le plan sociologique, les croyances associées à l'astrologie sont encore très populaires.


title: Astrologie

text: Parallèlement à l'astrologie occidentale, des systèmes différents ont été élaborés en Chine et en Amérique précolombienne mais seules les astrologies d'origine mésopotamienne et chinoise ont perduré jusqu'à nos jours. Tous les systèmes d'astrologie actuellement connus dérivent d'un de ces deux systèmes (ou des deux, cas de l'astrologie tibétaine).


title: Astrologie

text: Le mot « astrologie » vient du latin "astrologia", lui-même dérivé du grec ancien "", composé de " (astron)" « astre, étoile » et de " (logos)" « parole, discours ». Étymologiquement, l'astrologie est donc le « discours sur les astres ». Ces astres sont le Soleil, la Lune et les planètes du système Solaire. Ils sont dits « errants » par opposition aux astres dits « fixes » (les étoiles proprement dites). Lors de la création de l'astrologie, ces astres sont tous visibles à l'œil nu et sont au nombre de sept. L'astrologie va intégrer les découvertes des et ajouter les planètes Uranus (1781) et Neptune (1846). En 1930, est aussi ajoutée Pluton, considérée lors de sa découverte comme une planète (elle sera retirée de la liste des planètes en 2006).


title: Astrologie

text: Les astronomes grecs de l'Antiquité faisaient clairement la différence entre astronomie et astrologie. Ptolémée traite d'astronomie et d'astrologie dans deux ouvrages distincts, respectivement l"'Almageste" et le "Tetrabiblos".


title: Astrologie

text: L'astrologie s'est toujours nourrie des découvertes de l'astronomie. En effet, l'astrologie se fonde sur des calculs astronomiques afin de déterminer les positions des corps célestes et d'établir les thèmes astraux. Elle souhaite donc utiliser les éphémérides les plus précises possible. Avant la diffusion à grande échelle de ces éphémérides (ou des logiciels qui les incluent), l'astrologue devait lui-même, souvent à l'œil nu, déterminer les positions des astres. Il lui fallait donc être astronome avant de prétendre être astrologue.


title: Astrologie

text: Pour l'observateur contemporain comme pour ceux du paléolithique, le ciel nocturne est une source de questionnement.


title: Astrologie

text: L'astrologie serait née de correspondances supposées entre les mouvements célestes et des phénomènes terrestres (saisons, marées, etc.) conduisant à théoriser des liens de cause à effet entre eux et parfois à diviniser les corps célestes.


title: Astrologie

text: L'idée d'une "correspondance symbolique" entre la configuration céleste et les affaires du monde a progressivement conduit à la construction d'un symbolisme astrologique. Cette correspondance n'est d'ailleurs pas toujours analysée comme une "influence" des astres sur les affaires du monde (par laquelle l'humain ou les circonstances seraient déterminés par la position des astres, l'interprétation la plus populaire de l'astrologie), mais comme un "miroir" céleste des affaires du monde, qui ne l'influence pas mais le reflète, une lecture de la vie offerte aux hommes par les forces de la nature.


title: Astrologie

text: Son support étant les astres, l'astrologie est l'une des pratiques divinatoires particulièrement répandues dans l'histoire des cultures. On peut ainsi citer l'existence spécifique d'astrologies maya, arabe, égyptienne, chinoise, indienne et bien sûr occidentale (dont il est principalement question dans cet article).


title: Astrologie

text: Selon Geoffrey Cornelius et Paul Devereux, « plus d'un site archéologique antique présente des preuves irréfutables d'un alignement avec des phénomènes tels les levers de Soleil aux solstices et équinoxes, les couchers de Lune aux maxima et minima de déclinaison et, parfois, avec les étoiles ou les planètes ».


title: Astrologie

text: Les premiers écrits connus concernant les astres remontent à , sous la forme de tablettes d'argile sur lesquelles ont été consignés tous les relevés des mouvements planétaires observés par des prêtres érudits de Mésopotamie. Ces observations auraient été faites dans un cadre religieux. Le mouvement des astres étaient perçu comme dépendant de la volonté divine ; les prêtres servaient de traducteurs. Leurs connaissances étaient celles d'initiés, les enseignements des temples étant tenus secrets. L'astrologie fut longtemps le privilège des seuls souverains. La fonction de prêtre était liée à celle d'astrologue car, dans l'esprit des Babyloniens, des sacrifices ou des rites expiatoires pouvaient concilier les dieux. Le déterminisme astral pouvait, en principe, être , selon eux, par la magie. Le « fatalisme astral » se développa tardivement, après la conquête de la Babylonie par le roi Perse Cyrus en 539 avant notre ère, ce qui amena la confrontation avec la doctrine de Zarathoustra, qui impliquait un destin individuel et non plus seulement collectif.


title: Astrologie

text: La croyance en la prédétermination du caractère et de la destinée ouvrit la voie à l'astrologie individuelle. Bien que ne s'agissant pas à proprement parler d'« horoscopes » (du grec "horoskopos" « qui regarde l'heure) » car il n'y est pas encore question du degré du zodiaque qui se lève à l'horizon (physique), les plus anciens « horoscopes » connus proviennent de Babylone et datent de 410 avant notre ère. L'historien W. E. Peuckert parle d'une première division du zodiaque en onze secteurs opérée par les Sumériens qui serait devenue une division en douze secteurs du fait des Babyloniens. Selon Jean-Pierre Nicola, les premiers thèmes astraux individuels sont apparus lors du avant notre ère, avec une référence à douze signes. Ces douze signes sont énumérés dans un texte cunéiforme datant de 419 ; il s'agissait alors d'un "zodiaque sidéral".


title: Astrologie

text: L'origine babylonienne et chaldéenne des zodiaques est mise en avant par Charles-Hippolyte de Paravey en 1821. Il étudiera les liens avec l'astrologie des Grecs, des Égyptiens et d'autres cultures.


title: Astrologie

text: L'égyptologue controversé Albert Slosman (défenseur de l'origine atlante des anciens Egyptiens) a proposé une interprétation singulière de l'astronomie-astrologie égyptienne.


title: Astrologie

text: Hippocrate (460-377) dit que nul ne peut exercer l'art médical sans connaitre l'astrologie.


title: Astrologie

text: Platon (428/427-348/347) tient les astres pour « vivants divins et éternels » et les considère comme des « dieux visibles » ("Timée", 39e-40d).


title: Astrologie

text: De Chaldée, l'astrologie se répand après les conquêtes d'Alexandre le Grand (356-323) pendant l'époque hellénistique. Elle se diffusera en Grèce, en Égypte ptolémaïque et en Inde.


title: Astrologie

text: Dans son "Histoire de l'astrologie", Wilhelm Knappich a écrit :


title: Astrologie

text: Hipparque (v.190-v.120) découvre la valeur de la précession des équinoxes. Le phénomène lui-même était déjà connu des Babyloniens.


title: Astrologie

text: Du Monde hellénistique, l'astrologie passe au Monde romain.


title: Astrologie

text: En Egypte romaine, en 140, l'alexandrin Claude Ptolémée écrit la première synthèse magistrale de l'astrologie occidentale, le "Tetrabiblos". Il pose les principes de l'astrologie occidentale. Ptolémée laïcise l'astrologie hellénistique, ne faisant pas référence aux dieux grecs dans son exposé, ce qui permettra sa large diffusion dans les mondes arabe et chrétien du Moyen Âge. Compilateur plutôt que praticien, Ptolémée a cherché à bâtir un modèle rationnel d'astrologie basé sur la doctrine aristotélicienne (causaliste). Il a écarté les éléments qui le gênaient comme les maisons astrologiques qui ont une faible importance dans le "Tetrabiblos" Successeur d'Hipparque, Ptolémée remplace le "zodiaque sidéral", qui prenait pour point de repère une étoile fixe (le zodiaque était structuré autour des quatre étoiles dites "royales" : Antarès, Aldébaran, Régulus et Fomalhaut) par le "zodiaque tropical" commençant au point vernal. D'autres l'avaient précédé dans cette démarche mais c'est Ptolémée, le , qui a influencé toute l'astrologie occidentale.


title: Astrologie

text: Vettius Valens (120-175), jugé plus représentatif des pratiques horoscopiques de l'époque, a accordé une grande place aux maisons dans son œuvre.


title: Astrologie

text: En Grèce, Claude Galien (129-201) fera de l'astrologie l'un des fondements de la médecine, associée à la théorie des quatre éléments qui existait déjà auparavant.


title: Astrologie

text: En 447, comme toutes les pratiques divinatoires, l'astrologie est mise au ban de la société par l'Église lors du concile de Tolède : .


title: Astrologie

text: Au , l'astrologie reste un sujet d'étude pour certains penseurs : Albert le Grand (vers 1200-vers 1280), maître de Thomas d'Aquin, est l'auteur d'un traité d'astrologie. Thomas d'Aquin écrit dans sa Somme théologique : « Échappent ensuite à la causalité des corps célestes les actes du libre arbitre, faculté de la volonté et de la raison. L'intellect en effet, ou la raison, n'est pas un corps, ni l'acte d'un organe corporel. La volonté, qui est la tendance correspondant à la raison, ne l'est donc pas davantage. Or, aucun corps ne peut impressionner une réalité incorporelle. Il est donc impossible que les corps célestes fassent directement impression sur l'intelligence et la volonté, car ce serait admettre que l'intelligence ne diffère pas du sens : ce qu'Aristote attribue à ceux qui soutenaient que "la volonté des hommes est modifiée par le père des hommes et des dieux", c'est-à-dire le soleil ou le ciel. Les corps célestes ne peuvent donc être directement causes des opérations du libre arbitre. » Par ailleurs, il précise dans une lettre à Réginald de Piperno : « Loin de nous laisser impressionner par le déterminisme et par la fatalité que propagent les astrologues (même sans le vouloir), libérons-nous, et diminuons les astres. Qu'ils nous éclairent et nous aident, mais sans toucher notre pleine responsabilité et liberté. ».


title: Astrologie

text: Au , plusieurs monarques européens s'y intéressent :


title: Astrologie

text: Au , le roi de France Louis XI (1423-1483) consultait ses astrologues en toutes circonstances.


title: Astrologie

text: Aux , en Roumanie, le monastère orthodoxe Voroneţ construit en 1488 possède une fresque de style byzantin représentant le Jugement dernier.On y voit : à gauche, le Paradis avec les saints et l'Arbre de la Vie ; à droite, les enfers avec des démons et le feu qui descend dans les abysses. En haut, l'image du Christ est entourée, à droite et à gauche, par les signes du zodiaque (voir ci-dessous).


title: Astrologie

text: Au , l'empereur germanique Charles Quint s'intéresse à l'astrologie et prescrit l’enseignement de cette discipline.


title: Astrologie

text: Au , Catherine de Médicis fait élever, dans son hôtel (Hôtel de Soissons), une colonne qui aurait pu servir à consulter les astres. Elle rencontra le célèbre Nostradamus et eut plusieurs astrologues personnels, dont le nommé Côme Ruggieri.


title: Astrologie

text: Au , le roi de France Louis XIII (1601-1643) fut surnommé "le Juste" parce qu’il était né sous le signe de la Balance.


title: Astrologie

text: Elle fut à l’honneur à Rome sous les papes Sixte (pape en 1471), Jules (pape en 1503), Léon (pape en 1513) et Paul (pape en 1534).


title: Astrologie

text: Le judaïsme pour sa part, en dépit de mises en garde dans le Talmud à propos du "Mazal" – terme qui désigne les constellations – fait largement appel, au Moyen Âge, à l'astrologie pour ses commentaires de la Bible, notamment chez Abraham ibn Ezra, par ailleurs auteur de traités d'astrologie qui seront traduits en ancien français et en latin. Mais l'influence de Moïse Maïmonide marquera durablement le judaïsme moderne par son rejet de l'astrologie avec sa Lettre aux Juifs de Provence et son Épître au Yémen, où l'on dénonce l'incapacité des astrologues de Pharaon et de Nabuchodonosor de prévoir leur future débâcle.


title: Astrologie

text: L'invention de l'imprimerie (vers 1450) permit la diffusion d'éphémérides et d'almanachs. Les éphémérides imprimées favorisèrent la précision de plusieurs techniques prévisionnelles, au rang desquelles on compte les progressions et révolutions solaires.


title: Astrologie

text: Voir Thierry Miguet.


title: Astrologie

text: Certains géomanciens ont été influencés par l'astrologie. Au , le mage Edmond semble les associer.


title: Astrologie

text: À la Renaissance, la découverte de l'héliocentrisme du système solaire vient mettre à mal, selon certains, l'anthropocentrisme de l’astrologie : Pic de la Mirandole (dont les arguments seront repris par le religieux Jérôme Savonarole (1452-1498)) l'a condamnée. Des astronomes comme Galilée, Kepler, Tycho Brahe et Cassini (premier directeur de l'Observatoire de Paris) ont eu des positions plus nuancées.


title: Astrologie

text: Galilée ne doutait aucunement de la valeur de l'astrologie, bien au contraire : cela lui valut ses premiers ennuis avec l'Inquisition.


title: Astrologie

text: Depuis le Moyen Âge, et Thomas d'Aquin en particulier, il s'exerçait une lutte d'influence au sujet des événements célestes : Roger Bacon, « père de l'empirisme moderne », en aurait été une des premières victimes, puisqu'il aurait été emprisonné pour avoir osé affirmer que la naissance de Jésus de Nazareth était sous l'influence d'une grande conjonction (conjonction Jupiter-Saturne).  Le clergé surveillait ces astrologues qui, au cours de leurs prédictions, tendraient à franchir la limite qui sépare l'astrologie et la théologie, et remplaceraient la grâce de Dieu par le déterminisme des astres. Galilée, dont on a conservé notamment le thème et celui d'une de ses filles, voyait les planètes comme d'importants facteurs causaux dans le développement de la personnalité, sans toutefois être aussi déterministe que ses accusateurs le prétendaient. En effet, en 1604, un de ses domestiques, Signor Silverstro, l'aurait dénoncé aux autorités entre autres pour avoir professé une doctrine du fatalisme astral, pour ("haver ragionato che le stelle, i pianeti at gl'influssi celestine necessitino." « avoir raisonné que les étoiles, les planètes et les influences célestes déterminaient (les événements) », accusation de la plus grande gravité pour l'Inquisition.


title: Astrologie

text: Loin de se rétracter lors de la publication du texte fondateur de l'astronomie moderne, le "Sidereus nuncius", où il décrit le comportement des corps gravitant autour de Jupiter, il récidive, en appelant, comme il le fera lors de sa confrontation avec Bellarmin, à l'observation plutôt qu'à la théorie, à la persuasion des non-scientifiques plutôt qu'aux argumentations avec les tenants des dogmes établis.


title: Astrologie

text: Dès lors, il peut paraître étonnant que Galilée, tout comme Képler, aient entretenu des doutes sur la place véritable de l'astrologie au sein de la science. Tandis que Képler voyait dans la bonne astrologie une indication de tendances générales, et surtout une branche fondamentale de la philosophie, Galilée exprimait son étonnement devant le déterminisme astral absolu d'un Morin de Villefranche, mathématicien à Paris :


title: Astrologie

text: Dans la préface de ses "Tables rudolphines", Kepler fait observer que « l'astrologie, toute folle qu'elle est, est la fille d'une mère sage, et que la fille folle est indispensable pour soutenir et faire vivre sa mère ». Ce commentaire sera interprété par Voltaire, dans son Traité sur la tolérance (1767), de manière restrictive : « La superstition est à la religion ce que l’astrologie est à l’astronomie, la fille très folle d’une mère très sage ». La citation de Kepler a été souvent déformée pour soutenir la thèse que les grands esprits de la Renaissance comme Galilée, Cassini ou Kepler n'étaient astrologues que par contrainte, pour avoir les moyens de s'adonner à la véritable science : Souvent les travaux astrologiques de Kepler et Tycho Brahe sont invoqués par les défenseurs de cette pseudo-science. Kepler est pourtant très clair sur sa valeur et justifie sans ambiguïté la pratique des prédictions en disant que la vénale astrologie permettrait à l'astronomie de vivre.


title: Astrologie

text: Elle ne visait pourtant que l'astrologie populaire, tant décriée pour ses excès et superstitions : « La philosophie, et par conséquent l'astrologie authentique, témoigne de l'œuvre de Dieu et est donc sacrée. Ce n'est en aucune manière une chose frivole. Pour ma part, je ne souhaite pas la déshonorer. » Dans le titre d'un manifeste adressé aux intellectuels de son temps, Kepler leur demande d'écouter, dans cette controverse sur l'astrologie, une troisième voix, d'où son titre abrégé, "Tertius Interviens" ("Warnung an etliche Gegner der astrologie das Kind nicht mit dem Bade auszuschütten" - « avertissement aux adversaires de l'astrologie afin qu'ils ne jettent pas le bébé avec l'eau du bain »). La première (celle des médecins, philosophes et théologiens) ordonne d'abandonner l'astrologie, qui ne serait qu'une superstition—la « fille folle de l'astronomie ». La seconde, celle des astrologues populaires, voudrait la conserver, avec toutes ses superstitions.


title: Astrologie

text: J'ai souvent exprimé combien il était mal avisé de rejeter une chose complètement à cause de ses imperfections; par ce procédé, même la science médicale n'aurait été épargnée (...) Un nombre modeste de prédictions d'événements (de nature générales) effectuées au moyen de la prédiction des mouvements célestes sont bien fondées dans notre expérience


title: Astrologie

text: Newton étudie l'astrologie « pour voir ce qu'il y a de vrai ». Pour des raisons religieuses, il s'opposait à l'astrologie judiciaire mais ne contestait pas pour autant un lien astrologique entre les astres et les affaires humaines. Dans sa "Chronology of Ancient Kingdoms, Amended" ("Chronologie des anciens royaumes, amendée"), il décrit comment l'astrologie serait née de sa mère, l'astronomie : « After the study of astronomy was set on foot for use of navigation [...] and Nechepsos (sic) or Nicepsos (sic) King of Sais, by the assistance of Petosiris a Priest of Egypt, invented Astrology, grounding it upon the aspects of the Planets, and the qualities of the men and women to whom they were dedicated [...] ».


title: Astrologie

text: Les premières tables lunaires calculées d'après la théorie de Newton auraient été d'abord destinées aux observations des astrologues.


title: Astrologie

text: En France, lors de la création, en 1666, de l'Académie des Sciences et sous la pression des jésuites, Colbert . La même année, le poste d'astrologue royal est supprimé. Un "Essai de justification de l'astrologie judiciaire" (BM. Angoulême MS 23, en 1696) ne sera jamais publié. En Angleterre, elle ne sera rayée des disciplines académiques qu'un siècle plus tard.


title: Astrologie

text: Jean de La Fontaine s'inspire d'une fable d'Ésope pour sa fable "L'Astrologue qui se laisse tomber dans un puits" (Livre , Fable 13).


title: Astrologie

text: L'astrologie est considérée par les penseurs des Lumières comme l'exemple archétypal de la superstition, de la croyance dans des forces occultes et supérieures. Pour eux, combattre l'astrologie semble relever d'un engagement politique en faveur de la laïcité et du rationalisme et du combat contre l'obscurantisme. Cependant, leurs arguments critiques contre l'astrologie paraissent plus rhétoriques que logiques : Dans la toute fin du , époque du rationalisme triomphant, le divorce entre l'astronomie et l'astrologie est finalement prononcé.


title: Astrologie

text: Le est scientiste.


title: Astrologie

text: À partir de 1920, l'astrologie se popularise à nouveau. Elle réapparaît dans des almanachs, magazines, puis émissions radiophoniques.


title: Astrologie

text: Dans les années 1960, l'astrologie trouve sa place dans le mouvement "New Age". Ses nouvelles versions savantes affirment intégrer les valeurs symboliques des planètes orbitant au-delà de Saturne et des astéroïdes ainsi que de nouvelles théories, comme l'astrologie statistique.


title: Astrologie

text: Par ailleurs, à la suite de la naissance de la mécanique quantique développée au début du , les astrologues, qui se targuent de science, revendiquent la remise en cause du principe de séparabilité. En effet, alors que selon la science classique, l'observateur est distinct de la chose observée, l'astrologie considère que l'homme est dans l'Infini et que l'Infini est extérieur à l'homme mais aussi que l'Infini est en l'homme, ce qui fonde une logique astrologique bien distincte de la Logique d'Aristote.


title: Astrologie

text: En 529, l'empereur Justinien fait fermer les écoles de philosophie d'Athènes. Les érudits de l'époque, les maîtres du néo-platonisme, se réfugièrent à Gundishapur chez les Sassanides de Perse. L'astronomie, la médecine, la philosophie, etc. se développèrent intensément dans cette académie de Gundishapur où confluèrent des érudits de tous bords.


title: Astrologie

text: Les musulmans s'emparèrent de Gundishapur et cette école eut une grande influence sur le développement de la civilisation arabo-musulmane.


title: Astrologie

text: L'astrologie arabe s'est développée grâce à l'afflux des érudits perses, syriens, juifs, etc. qui, à partir de 850 affluèrent vers les nouveaux centres intellectuels créés par les califes. Le juif Mashallah, par exemple, vécut à la cour d'Al Mansur. Il fut l'auteur d'une vingtaine de traités d'astrologie.


title: Astrologie

text: À la demande des califes, les auteurs de l'Antiquité, notamment Aristote, furent traduits en arabe, souvent depuis le persan ou le syriaque. Vers 850, Alkindi (c'est-à-dire "Ya' kûb ibn Isâk Sabbâh al Kindi"), originaire de Bassorah, traduisit de nombreux textes en arabe, dont ceux d'Aristote. Il écrivit aussi plus de sur de nombreux sujets, dont l'astronomie. Une de ses contributions la plus importante fut sa doctrine des conjonctions entre les planètes et leur influence sur les phénomènes naturels et sur les impulsions donnant naissance aux grands événements historiques. Son disciple, Albumasar (mort en 886) fut un astrologue de Bagdad qui propagea les idées d'Al-Kindi dans son « "Liber magnarum coniunctionum" », lequel eut une forte influence sur l'astrologie du Moyen Âge.


title: Astrologie

text: Un autre astrologue important fut Thébit (mort en 901). Il était Sabéen, originaire d'Harran où il recueillit les connaissances astrologiques mésopotamiennes qui vinrent enrichir les connaissances arabo-musulmanes. Il vécut à Bagdad et devint l'astrologue du calife. Il enseignait notamment que chaque planète possédait un "daemon", c'est-à-dire un esprit ou une intelligence qui la guidait.


title: Astrologie

text: Aux , le Kitab al-Bulhan est rédigé.


title: Astrologie

text: Les astrologues arabes étaient très friands des "parts dites ", dont est restée la .


title: Astrologie

text: À la suite de l'occupation de l'Espagne par les Maures, l'intérêt pour l'astrologie revient en Occident au Moyen Âge. Pierre A. Riffard date le début de l'astrologie occidentale de 1135 avec la traduction de l'arabe à Tolède.


title: Astrologie

text: L'astrologie et le thème astrologique se basent sur trois séries : Tous ces éléments ont leur symbolique propre.


title: Astrologie

text: Le but de l'astrologie est de valider l'hypothèse que ces éléments sont en relation les uns avec les autres, et que leurs dispositions sont en rapport avec les faits terrestres. Seules les "planètes" sont concrètes. Les constellations ne sont que des formes arbitraires "vues" de la Terre. Dans la réalité, elles sont composées d'étoiles qui ne sont pas dans la même région galactique. Quant aux "maisons", elles n'ont aucune existence réelle.


title: Astrologie

text: Ces différents éléments sont étudiés dans les paragraphes suivants.


title: Astrologie

text: L'écart entre les positions (constellations, signes, planètes, etc.) utilisées par certains astrologues est d'environ 24 degrés par rapport aux positions que l'on peut voir en regardant le ciel. En pratique (astrologie tropicale), ceux qui pensent être dans un signe (position du soleil) rétrogradent dans le signe précédent s'ils appartiennent aux 24 premiers degrés (sur 30) ; seuls ceux qui sont dans les 6 derniers degrés restent dans le même signe, mais passent dans le premier décan.


title: Astrologie

text: Ce décalage est l'argument principal mis en avant par Georges Charpak et Henri Broch dans leur livre "Devenez sorciers, devenez savants" contre l'astrologie contemporaine.


title: Astrologie

text: L'astrologie « sidérale » intègre l'ayanamsa et considère que le zodiaque est lié aux constellations visibles. La plupart des habitants de l'Inde ont recours à une astrologie sidérale (astrologie jyotish). L'astrologie « tropicale » n'intègre pas le décalage de l'ayanamsa et place son premier signe (le Bélier) à l'équinoxe de printemps (21 mars), appelé « point vernal ». l'astrologie populaire (horoscopes des journaux occidentaux) est basée sur l'astrologie tropicale. Jean-Paul Michon, un astrologue québécois, utilise conjointement ces deux zodiaques décalés l'un par rapport à l'autre d'environ 24° à la fin du .


title: Astrologie

text: Ce sont les septs astres visibles à l'œil nu : Soleil, Lune, Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne.


title: Astrologie

text: Aux , ont été ajoutées les planètes Uranus et Neptune, ainsi que Pluton (rétrogradée par les astronomes au rang de planète naine en 2006).


title: Astrologie

text: Certains astrologues ont inclus dans leur thèmes d'autres corps célestes découverts aux (voir, entre autres, (2060) Chiron (1977), Sedna (2003), Éris (2005), etc.).


title: Astrologie

text: Richard Doyle mentionne les astéroïdes.


title: Astrologie

text: D'autres y ajoutent les comètes (voir discussion).


title: Astrologie

text: L'argument d'une influence gravitationnelle a parfois été avancé pour justifier l'existence d'une action à distance et, de ce fait, certains astrologues font des calculs astrologiques sur une base héliocentrique, ce qui pourrait sembler cohérent avec l'explication d'une influence gravitationnelle des configurations planétaires sur l'activité solaire.


title: Astrologie

text: À ce jour, aucun effet direct des planètes sur le corps humain n'a été rigoureusement observé. Par ailleurs, les forces d'attraction gravitationnelle en jeu lors du simple phénomène d'attraction Terre-Lune sont, à l'échelle du nouveau-né, infiniment moins importantes que celles qu'exercerait la sage-femme.


title: Astrologie

text: Les recherches statistiques (voir Étude statistique de l'astrologie), qui auraient pu permettre de déceler une régularité des phénomènes astrologiques (influences), ne permettent pas de conclure à l'existence d'une telle régularité.


title: Astrologie

text: Les constellations et les astérismes sont des regroupements d'étoiles fixes que l'on a assimilé à des formes particulières. Des légendes y ont été associées. Douze constellations particulières, situées sur l'écliptique, ont servi de base aux douze « signes ».


title: Astrologie

text: Le soleil semble se déplacer dans les douze constellations de l'écliptique, le zodiaque.


title: Astrologie

text: Ce système est utilisé par la majorité des astrologues occidentaux à la suite de Claude Ptolémée. La série des signes commence au point vernal (équinoxe de printemps). A cause de l'ayanamsa, ils n'ont plus de rapport avec les constellations astronomiques portant le même nom. L'astrologie commune, dite « tropicale » (voir plus bas) les considère comme des espaces abstraits.


title: Astrologie

text: L'astrologie tropicale soutient que les influences sont le fait des planètes et non des étoiles (qui sont à des années-lumière de nous). Elle ne s'intéresse qu'à des corps appartenant au système solaire et à leurs déplacements par rapport au zodiaque qui est délimité par les axes des solstices et des équinoxes.


title: Astrologie

text: L'astrologie sidérale, popularisée en Occident dans les années 1940, considère que les étoiles ont une influence.


title: Astrologie

text: La constellation du Serpentaire (Ophiuchus) (située entre celles du Scorpion et du Sagittaire) n'a été officialisée qu'en 1930 par les astronomes de l'Union Astronomique Internationale lors de la délimitation des 88 constellations officielles (auparavant ces limites variaient d'un atlas astronomique à l'autre, voire d'une tradition à l'autre).


title: Astrologie

text: Certains astrologues modernes ont donc ajouté le Serpentaire (astrologie) dans leurs travaux.


title: Astrologie

text: Le symbolisme des signes astrologiques est lié à la saison prévalente dans l'hémisphère nord : le Bélier est le signe du printemps, le Capricorne est le signe de l'hiver, etc.). Cependant, dans l'hémisphère sud, les saisons sont inversées, ce qui n'est pas sans poser un problème quant à la validité du modèle astrologique.


title: Astrologie

text: Les éclipses seraient prises en considération par en astrologie boursière.


title: Astrologie

text: L'astrologie, au début du , est composée de pratiques et d'approches très différentes, au point qu'il est plus juste de parler d'astrologies au pluriel.


title: Astrologie

text: Il existe de nombreuses écoles : astrologie psychologique, astrologie conditionaliste, astrologie karmique, astrologie humaniste, astrologie sidérale (cette dernière a été introduite en Occident au milieu du par Cyril Fagan mais elle aurait été pratiquée depuis longtemps en Inde), etc.


title: Astrologie

text: Ces pratiques astrologiques diffèrent à la fois par leurs symboliques, par les techniques utilisées, et selon les objets ou domaines auxquels elles sont appliquées, que ce soit par exemple en psychologie, ou comme technique de prévision (politique, bourse), en médecine ou encore en politique (Astrologie mondiale). La symbolique des astres et de leurs mouvements est très souple, pouvant changer suivant le contexte et l'école de l'astrologue.


title: Astrologie

text: Les astrologies les plus en vogue actuellement en occident sont l'astrologie occidentale, fondée sur le calendrier solaire, et l'astrologie chinoise, fondée sur le calendrier chinois. Cette dernière s'est répandue en Europe occidentale vers la fin des années 1970.


title: Astrologie

text: Si la pratique de base reste l'établissement d'une carte du ciel, l'astrologie occidentale est en constante évolution, ce qui induit un certain nombre de divergences entre astrologues. Ces divergences portent entre autres sur les différentes méthodes pour le calcul des positions des maisons


title: Astrologie

text: Au , l’astrologie a connu un regain d'intérêt avec une approche nouvelle. Des statisticiens abordèrent cette discipline à l'aide d'une approche statistique. Cette démarche eut peu d'écho auprès des premiers concernés : les astrologues. Madame Soleil a déclaré, dans son livre d'entretiens "Le cœur dans les étoiles" (page 212) : . Le « pourquoi ? » ne l'intéresse pas. Elle déclare dans le même livre : ; pour elle, seul compte le « pour quoi ? ».


title: Astrologie

text: Deux types d'astrologues se dégageraient selon le livre le Que sais-je ? de Daniel Kunth et Philippe Zarka paru en 2005 sur l'astrologie : ceux qui se diraient "scientifiques", et ceux qu'ils dénomment . Ces derniers s'appuient sur la mythologie, sur le symbolisme, à l'instar des tarologues, car pour eux, tenants de la synchronicité, il n'y a pas de hasard ; , l'astrologie étant une grille de lecture psychologique. Selon certains astrologues, leur discipline n'a même pas pour but premier la prédiction de l'avenir, l'astrologie pouvant notamment être une voie du développement personnel.


title: Astrologie

text: Aujourd'hui, on peut diviser l'astrologie occidentale en trois branches :


title: Astrologie

text: L'image ci-contre indique les quatre sphères représentant les positions du Soleil au début de chaque saison. Le plan horizontal vert représente la terre ferme (l'horizon physique) pour une personne située sur le parallèle. Noter la trajectoire de ces sphères et la durée de leur trajet au-dessus et en dessous de l'horizon, ainsi que les lieux de leurs couchers et levers. Les cercles verts et rouge représentent les tropiques et l'équateur, respectivement, projetés dans le ciel.