title: Cher (rivière)

text: Le Cher traverse les quarante quatre zones hydrographiques suivantes : Le bassin versant du Cher s'insère dans les zones hydrographiques « Le Cher du Polier à la Meuzelle, Le Cher de l'Aumance à la Marmande, Le Cher de la Pree à la Sauldre, Le Cher de la Tartasse à la Tardes, Le Cher du rau Gauthier au Petit Cher, Le Cher du rau de Mont au Polier, Le Cher de la Sauldre au Fouzon, Le Cher du Boron à la Tartasse, Le Cher de l'Arnon à la Pree, Le Cher de la Loubiere au rau de l'Hyvernin, Le Cher de la Meuzelle à la Queugne, Le Cher du Bavet au rau d'Aiguevives, Le Cher du Modon à la Rennes, Le Cher du Petit Cher à la Loire, Le Cher du Fouzon au Mondon, Le Cher de la Margelle à l'Yevre, Le Cher de sa source à la Noisette, Le Cher de la Tardes au rau de Mont, Le Cher de la Noisette à la Pampeluze, Le Cher de la Pampeluze au Boron, Le Cher du rau d'Aiguevives au rau de l'Etang de Brosse, Le Cher de l'Yevre à l'Arnon, Le Cher de la Marmande à la Loubiere, Le Cher du rau de l'Etang de Brosse au rau Gauthier, Le Cher du Trian à la Margelle, Le Cher de la Queugne à l'Aumance, Le Cher du rau de l'Hyvernin au Trian et Le Cher de la Rennes au Bavet », au sein du bassin DCE plus large « La Loire, les cours d'eau côtiers vendéens et bretons ».


title: Cher (rivière)

text: En France, la gestion de l’eau, soumise à une législation nationale et à des directives européennes, se décline par bassin hydrographique, au nombre de sept en France métropolitaine, échelle cohérente écologiquement et adaptée à une gestion des ressources en eau. Le Cher est sur le territoire du bassin Loire-Bretagne et l'organisme de gestion à l'échelle du bassin est l'agence de l'eau Loire-Bretagne.


title: Cher (rivière)

text: Le Cher possède cent soixante-dix-neuf affluents.


title: Cher (rivière)

text: Son rang de Strahler est de six.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Chambonchard (Creuse), au lieu-dit « la Caborne ». Elle fut mise en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Teillet-Argenty (Allier), au barrage de Rochebut. Elle fut mis en service le à 12h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Montluçon (Allier). Elle fut mis en service le à 12h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Saint-Amand-Montrond (Cher). Elle fut mis en service le à 12h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Châteauneuf-sur-Cher (Cher). Elle fut mis en service le à 16h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station sans signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs du cours d'eau uniquement.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Saint-Florent-sur-Cher (Cher). Elle fut mis en service le à 08h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station sans signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs du cours d'eau uniquement.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Vierzon (Cher). Elle fut mis en service le à 12h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Mennetou-sur-Cher (Loir-et-Cher). Elle fut mis en service le à 12h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station sans signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs du cours d'eau uniquement.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Selles-sur-Cher (Loir-et-Cher), au niveau du pont du centre-ville. Elle fut mis en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station sans signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs du cours d'eau uniquement.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Selles-sur-Cher (Loir-et-Cher), au niveau du pont de la route départementale 956A. Elle fut mis en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Châtillon-sur-Cher (Loir-et-Cher). Elle fut mis en service le à 12h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Montrichard (Loir-et-Cher). Elle fut mis en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Cher (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Tours (Indre-et-Loire), au niveau du pont Saint Sauveur. Elle fut mis en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Cher (rivière)

text: Le débit du Cher a été observé durant une période de 43 ans (1966-2008).


title: Cher (rivière)

text: Le module de la rivière à Tours est de .


title: Cher (rivière)

text: Le Cher présente des fluctuations saisonnières importantes et nettement supérieures à celles de la Loire (en amont de Tours) qu'il ne contribue donc pas à régulariser, avec des hautes eaux d'hiver-printemps portant le débit mensuel moyen à un niveau de 112 à , de décembre à mai inclus (avec un maximum de janvier à mars, surtout en février), et des basses eaux d'été, de juillet à septembre inclus, avec un minimum mensuel moyen de au mois d'août.


title: Cher (rivière)

text: En période d'étiage, le VCN3 peut chuter jusque ( pour la Loire), en cas de période quinquennale sèche.


title: Cher (rivière)

text: Le QIX de temps de retour 2 ans vaut , le QIX 5 en vaut Le QIX 10 est de , tandis que le QIX 20 vaut . Quant au QIX 50, il se monte à .


title: Cher (rivière)

text: Cependant le débit instantané maximal enregistré pendant cette période de 42 ans a été de le , tandis que la valeur journalière maximale était de le . Ces crues se définissent comme vicennales (période de retour de 20 ans) et sont donc relativement habituelles pour la rivière.


title: Cher (rivière)

text: Le Cher est une rivière moyennement abondante. La lame d'eau écoulée dans son bassin versant est de annuellement, ce qui est nettement inférieur à la moyenne d'ensemble de la France tous bassins confondus, ainsi qu'à celle du bassin de la Loire ( à Montjean-sur-Loire). Le débit spécifique (ou Qsp) est de par seconde et par kilomètre carré de bassin.


title: Cher (rivière)

text: Pour les cours d’eau, la délimitation des masses d’eau est basée principalement sur la taille du cours d’eau et la notion d’hydro-écorégion. Ces masses d’eau servent ainsi d’unité d’évaluation de l’état des eaux dans le cadre de la directive européenne.


title: Cher (rivière)

text: Le Cher fait partie des masses d'eaux codifiée : FRGR0146, FRGR0147, FRGR0148, FRGR0149, FRGR0150a, FRGR0150b et FRGR0150c et dénommée « Le Cher et ses affluents depuis la source jusqu'au complexe de Rochebut, Le Cher depuis le complexe de Rochebut jusqu'a Montluçon, Le Cher depuis Montluçon jusqu'a la confluence avec l'Aumance, Le Cher depuis la confluence de l'Aumance jusqu'a Vierzon, Le Cher depuis Vierzon jusqu'à Chabris, Le Cher depuis Chabris jusqu'a Noyers-sur-Cher et Le Cher depuis Noyers-sur-Cher jusqu'a la confluence avec la Loire ».


title: Cher (rivière)

text: Le schéma directeur d'aménagement et de gestion des eaux (Sdage) Loire-Bretagne est un document de planification dans le domaine de l’eau. Il définit, pour une période de six ans les grandes orientations pour une gestion équilibrée de la ressource en eau ainsi que les objectifs de qualité et de quantité des eaux à atteindre dans le bassin Loire-Bretagne. L'état des lieux 2013 défini dans la SDAGE 2016 – 2021 et les objectifs à atteindre pour cette masse d'eau sont les suivants :


title: Cher (rivière)

text: Le Cher a été canalisé au droit de Tours au cours des années 1960, dans le cadre d'un grand projet urbain visant d'une part à rendre constructibles ses rives et d'autre part à protéger la ville d'inondations qui l'avaient dévastée par le passé comme en 1856. Ces travaux, lancés avec le soutien actif de Jean Royer, alors maire de la ville, ont été un temps le plus grand chantier urbain d'Europe : le cours de la rivière a été détourné, parfois à une distance de du cours initial, sur près de cinq kilomètres. Dans le même temps, une ZUP, le quartier des Rives du Cher, était construite sur la rive nord du nouveau Cher. Une île artificielle a également été créée entre deux bras de la rivière pour accueillir des équipements sportifs. À Saint-Avertin, le lit de l'ancien Cher a été ceinturé et transformé en plan d'eau, le nouveau Cher passant plus au nord. Deux lacs artificiels de grande taille ont dans le même temps été creusés, tandis que de petits barrages étaient construits plus en amont. Plusieurs ouvrages d'art durent être agrandis, notamment sur la ligne de chemin de fer de Paris à Bordeaux. Un pont ferroviaire, le pont de Vendée, dut être détruit et non remplacé, faute d'avoir été allongé. Les travaux de l'autoroute A10 se déroulèrent dans le même temps, les ouvrages de l'autoroute étant calibrés pour passer au-dessus de la nouvelle rivière. Le projet initial de 1965 prévoyait une rectification du Cher sur huit kilomètres, jusqu'à La Riche, avec la création d'une seconde grande île. Il fut cependant abandonné.


title: Cher (rivière)

text: Au haut Moyen Âge, le Cher est appelé "Caris" par Grégoire de Tours, "Cares" par Venance Fortunat, tous deux au . Il est admis que ce nom est forgé sur la racine préceltique "kar" signifiant "pierre".


title: Cher (rivière)

text: La vallée du Cher a été formée à partir du Pléistocène inférieur, soit entre 2,5 millions et avant notre ère.


title: Cher (rivière)

text: Il fut une frontière. De 1940 à 1943, la ligne de démarcation suivait cette rivière sur environ . La galerie du château de Chenonceau a ainsi permis des passages clandestins vers la zone sud.


title: Cher (rivière)

text: La rivière a donné son hydronyme aux vingt et une communes d'Athée-sur-Cher, Azay-sur-Cher, Châteauneuf-sur-Cher, Châtillon-sur-Cher, Châtres-sur-Cher, Crézançay-sur-Cher, Faverolles-sur-Cher, Langon-sur-Cher, Mareuil-sur-Cher, Mennetou-sur-Cher, Méry-sur-Cher, Monthou-sur-Cher, Montrichard Val de Cher, Noyers-sur-Cher, Saint-Florent-sur-Cher, Saint-Georges-sur-Cher, Saint-Julien-sur-Cher, Saint-Romain-sur-Cher, Selles-sur-Cher, Villefranche-sur-Cher et Villeneuve-sur-Cher.


title: Cher (rivière)

text: Le barrage de Rochebut est situé dans la commune de Mazirat dans le département de l'Allier en région Auvergne, à 12 km en amont de Montluçon, a été construit de 1906 à 1909.


title: Cher (rivière)

text: Le barrage de NitrayLe Cher de l'aval du barrage de Prat jusqu'à la confluence avec la Loire et de la source jusqu'à la retenue de Rochebut sont classés dans la liste 1 au titre de l'article L. 214-17 du code de l'environnement sur le Bassin Loire-Bretagne. Du fait de ce classement, aucune autorisation ou concession ne peut être accordée pour la construction de nouveaux ouvrages s'ils constituent un obstacle à la continuité écologique et le renouvellement de la concession ou de l'autorisation des ouvrages existants est subordonné à des prescriptions permettant de maintenir le très bon état écologique des eaux.


title: Cher (rivière)

text: Le cours d'eau est de première catégorie dans les départements de l'Allier (sauf en amont du pont de Ceylat (RD 50, communes de Teillet et de Mazirat) et depuis le barrage de la retenue de Rochebut jusqu'au moulin de Lavault-Sainte-Anne), de la Creuse (sauf de la retenue d'eau du barrage de Rochebut, en aval du pont de Ceylat (CD 20) commune d'Evaux) et du Puy-de-Dôme. Il est de deuxième catégorie sur le reste de son parcours.


title: Cher (rivière)

text: Un cours d’eau est considéré comme réserve biologique lorsqu'il comprend une ou plusieurs zones de reproduction ou d’habitat des espèces de phytoplanctons, de macrophytes et de phytobenthos, de faune benthique invertébrée et l’ichtyofaune, et permet leur répartition dans un ou plusieurs cours d’eau du bassin versant. Les réservoirs biologiques, nécessaires au maintien ou à l’atteinte du bon état écologique des cours d’eau, correspondent donc :


title: Cher (rivière)

text: Dans le cadre des travaux préparatoires à l'élaboration de ce classement au sein du SDAGE Loire-Bretagne 2016-2021, Le Cher et ses affluents depuis la source jusqu'au complexe de Rochebut, sont répertoriés comme réserve biologique, sous l'identifiant RESBIO_292. Les espèces présentes sont : la mulette perlière et la truite fario.


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text: Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10 près est en écriture décimale.


title: Pi

text: De nombreuses formules de physique, d’ingénierie et bien sûr de mathématiques, impliquent , qui est une des constantes les plus importantes des mathématiques.


title: Pi

text: Le nombre est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont soit une racine.


title: Pi

text: La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de , et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’histoire des mathématiques ; la fascination exercée par ce nombre l’a même fait entrer dans la culture populaire.


title: Pi

text: L’usage de la lettre grecque π, première lettre de , n’est apparu qu’au à l'initiative du mathématicien William Jones (et ensuite adopté et popularisé par Euler). Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues.


title: Pi

text: Dans les dictionnaires et ouvrages généralistes, est défini comme le rapport, constant dans le plan usuel qu'est le plan euclidien, entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi, en particulier de sa taille. En effet, tous les cercles sont semblables et pour passer d’un cercle à un autre il suffit de connaître le rapport de la similitude. Par suite, pour tout réel positif , si un cercle possède un rayon (ou un diamètre ) fois plus grand qu’un autre, alors son périmètre sera aussi fois plus grand, ce qui prouve la constance du rapport.


title: Pi

text: Par ailleurs, cette même similitude multipliera l’aire par le carré de , ce qui prouve maintenant que le rapport est constant. On peut montrer, par exemple par la méthode des indivisibles, que cette constante vaut également .


title: Pi

text: Le dessin ci-contre illustre une autre méthode, essentiellement due à Archimède : le périmètre du polygone vaut à peu près alors qu’en redistribuant les triangles formés on remarque que son aire vaut à peu près . Pour formaliser le « à peu près », il faudrait faire tendre le nombre de côtés du polygone vers l’infini, ce qui illustre déjà la nature « analytique » de .


title: Pi

text: La définition géométrique ci-dessus, historiquement la première et très intuitive, n'est pas la plus directe pour définir mathématiquement en toute rigueur. Les ouvrages plus spécialisés, par exemple définissent par l'analyse réelle, parfois à l'aide des fonctions trigonométriques, mais introduites sans référence à la géométrie :Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à calculer le périmètre du cercle, qu’on a défini par la fonction ou la fonction . Le nombre est irrationnel, ce qui signifie qu’on ne peut pas écrire où et seraient des nombres entiers. Al-Khwârizmî, au , est persuadé que est irrationnel. Moïse Maïmonide fait également état de cette idée durant le .


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text: Ce n’est cependant qu’au que Jean-Henri Lambert prouve ce résultat. Il expose, en 1761, un développement en fraction continue généralisée de la fonction tangente. Il en déduit qu'un développement de , avec et entiers non nuls, s’écrit :


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text: Or sous certaines hypothèses — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quand est un rationnel non nul, est irrationnel. Or, vaut ; c’est un rationnel. Par contraposition, cela prouve que n’est pas rationnel.


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text: Au cours du , d’autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du calcul intégral. L’une d’entre elles, due à Ivan Niven, est très largement connue. Une preuve similaire, version simplifiée de celle de Charles Hermite, avait été trouvée quelque temps auparavant par Mary Cartwright.


title: Pi

text: Non seulement le nombre est irrationnel (voir section précédente), mais il est transcendant, c'est-à-dire non algébrique : il n'existe pas de polynôme à coefficients rationnels dont soit une racine.


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text: C'est au que ce résultat est démontré. En 1873, Hermite prouve que la base du logarithme népérien, le , est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann généralise son raisonnement en un théorème (le théorème d'Hermite-Lindemann) qui stipule que, si "x" est algébrique et différent de zéro, alors est transcendant. Or est algébrique (puisqu'il est égal à –1). Par contraposition, est transcendant, donc comme est algébrique, est transcendant.


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text: Une conséquence historiquement importante de la transcendance de est que celui-ci n'est pas constructible. En effet, le théorème de Wantzel énonce en particulier que tout nombre constructible est algébrique. En raison du fait que les coordonnées de tous les points pouvant se construire à la règle et au compas sont des nombres constructibles, la quadrature du cercle est impossible ; autrement dit, il est impossible de construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont l'aire serait égale à celle d'un disque donné.


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text: De façon plus anecdotique, le fait que soit transcendant a permis à Don Coppersmith de montrer que lorsqu'on partitionne un disque par droites concourantes formant toutes entre elles des angles de radians, les deux sommes d'aires obtenues en considérant une part sur deux sont différentes si et seulement si est impair.


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text: Les chiffres de l'écriture décimale de sont (voir les liens externes pour davantage de décimales).


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text: Alors qu'en 2013, on connaissait déjà plus de douze mille milliards de décimales de , les applications concrètes telles que l'estimation de la circonférence d'un cercle n'ont généralement pas besoin de plus d'une dizaine de chiffres.  En 1881, Simon Newcomb relevait ainsi que dix décimales suffisent à calculer la circonférence de la Terre à une fraction de pouce près ; trente décimales, pour obtenir celle de l'univers visible, tel qu'il était appréhendé alors, avec une précision imperceptible au microscope le plus puissant du temps. Dans les années 1990, la représentation décimale de à était estimée suffisante pour calculer la circonférence d'un cercle d'un diamètre du même ordre de grandeur que la taille de l'univers observable avec un degré de précision comparable à celle d'un atome d'hydrogène, compte tenu des estimations alors en vigueur. En 2014, Donald Byrd, chercheur en informatique, revenait sur l'assertion de Newcomb pour l'actualiser à la lumière des avancées de la science depuis 1881 : il en concluait que pour un univers observable de (soit ) et une précision de la longueur de Planck, il suffit d'environ 60 décimales.


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text: Puisque est un nombre irrationnel, sa représentation décimale n'est pas périodique à partir d'un certain rang. La suite des décimales de a toujours fasciné les mathématiciens professionnels et amateurs, et beaucoup d’efforts ont été mis en œuvre afin d'obtenir de plus en plus de décimales et d'en rechercher certaines propriétés, comme l'occurrence de nombres premiers dans les concaténations de ses décimales (voir la section d'article « Nombre premier issu de troncature de constante »).


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text: Malgré les importants travaux d'analyse et les calculs effectués, aucun modèle simple n’a été trouvé pour décrire cette suite de chiffres. Les premières décimales sont disponibles sur de nombreuses pages web, et il existe des logiciels qui peuvent en calculer des milliards et qu'on peut installer sur un ordinateur personnel.


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text: Par ailleurs, le développement décimal de ouvre le champ à d'autres questions, notamment celle de savoir si est un nombre normal, c’est-à-dire que ses successions finies de chiffres en écriture décimale sont équiréparties. A fortiori, serait alors un nombre univers, ce qui signifie qu'on pourrait trouver dans son développement décimal n'importe quelle suite finie de chiffres. En 2006, il n'existait pas de réponse à ces questions.


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text: Les fractions de nombres entiers suivantes sont utilisées pour mémoriser ou approcher dans des calculs (nombre de chiffres significatifs exacts entre parenthèses) :


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text: Voir ci-dessous pour d’autres approches fractionnaires (Histoire, Approximation numérique, fractions continues et Mémorisation de).


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text: On peut trouver une valeur approchée de de façon empirique, en traçant un cercle, puis en mesurant son diamètre et sa circonférence, puis en divisant la circonférence par le diamètre. Une autre approche géométrique, attribuée à Archimède, consiste à calculer le périmètre d’un polygone régulier à "n" côtés et à mesurer le diamètre "d" de son cercle circonscrit, ou celui de son cercle inscrit. Plus le nombre de côtés du polygone est grand, meilleure est la précision obtenue pour la valeur de .


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text: Archimède a utilisé cette approche en comparant les résultats obtenus par la formule en utilisant deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, pour lesquels le cercle est pour l’un circonscrit et pour l’autre inscrit. Il a réussi, avec un polygone à , à déterminer que .


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text: On peut également obtenir des valeurs approchées de en mettant en œuvre des méthodes plus modernes. La plupart des formules utilisées pour calculer se basent sur la trigonométrie et le calcul intégral. Cependant, certaines sont particulièrement simples, comme la « formule de Leibniz » : Cette série converge si lentement que pour calculer avec une précision de six décimales il faut presque deux millions d'itérations. Cependant, il est possible de définir une suite similaire qui converge vers beaucoup plus rapidement, en posant :


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text: et en définissant :


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text: Le calcul de demande alors un temps similaire à celui requis pour calculer les termes de la série initiale, mais la précision est bien meilleure car = 3,141592653… approche avec neuf décimales exactes. On trouvera plus loin des méthodes de calcul plus élaborées, donnant des convergences bien plus rapides encore.


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text: L’histoire ancienne de , qu’on peut retracer grâce aux écrits disponibles, suit approximativement l’avancée des mathématiques dans leur ensemble. Certains auteurs divisent l’histoire de en trois parties : la période antique durant laquelle a été étudié géométriquement, l’ère classique, aux alentours du , où les outils du calcul intégral ont permis des avancées dans la connaissance du nombre , et la période des ordinateurs numériques.


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text: Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu'il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu'entre l'aire du disque et le carré du rayon. Des tablettes babyloniennes datant de et découvertes en 1936 présentent des calculs d'aire conduisant à une valeur de de 3 + 1/8. Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, copié au avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes plus ancien encore. On y trouve utilisée plusieurs fois une méthode pour évaluer l'aire d'un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d'un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de de 256/81.


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text: Une justification possible de celle-ci s'appuie sur le schéma ci-contre. Si le disque a pour l'aire du disque est légèrement supérieure à l'aire de l'octogone (irrégulier) obtenu en rognant les coins du carré de Cet octogone a pour l'aire du disque est alors évaluée à 64, soit l'aire d'un carré de Le rapport entre l'aire du disque et le carré du rayon est alors évalué par 64/(9/2), c'est-à-dire 256/81. Mais l'hypothèse que ce procédé ait conduit à l'approximation du papyrus Rhind ne fait pas l'unanimité chez les historiens.


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text: Vers 700 , le texte indien "Shatapatha Brahmana" donne une approximation de : 25/8 (= 3,125) et le "Baudhāyana Sulbasūtra" en donne deux autres : 900/289 (≈ 3,11) et 1156/361 (≈ 3,20). Des calculs d'astronomie ont ensuite conduit à une autre approximation védique : 339/108 (≈ 3,139). Au début du , Aryabhata donne une approximation plus précise : ≈ 3,1416. Comme il s'agit d'un résultat remarquable, exact à 10 près.


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text: C'est dans le traité d'Archimède (287 à 212 ) intitulé "De la mesure du cercle" que l'on peut lire une démonstration liant l'aire du disque et l'aire du triangle ayant une base de longueur le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon, démontrant ainsi qu'une même constante apparaît dans le rapport entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre.


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text: Cette démonstration s'appuie sur la méthode d'exhaustion et un raisonnement par l'absurde. En partant d'un carré inscrit dans le cercle et d'un carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés, il prouve que l'aire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant. Sa démonstration exploite l'idée du découpage en quartiers : le cercle est découpé en plusieurs quartiers qui, mis bout à bout, dessinent des triangles curvilignes de même hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon ; la somme des bases correspond alors au périmètre du cercle et l'aire est alors de 1/2 de la base multipliée par la hauteur, c'est-à-dire 1/2 du périmètre multiplié par le rayon.


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text: Dans le même traité, Archimède établit un encadrement du périmètre du cercle à l'aide des périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit au cercle et possédant . Pour calculer les périmètres de ces polygones, il part d'hexagones inscrits et circonscrits et met en évidence les formules donnant le périmètre d'un polygone dont le nombre de côtés a doublé. Son calcul revient à démontrer que 3 + 10/71 < < 3 + 1/7. La moyenne de ces deux valeurs est d'environ 3,14185. Archimède s'arrête à car les calculs qu'il est amené à effectuer, avec valeurs approchées, sont déjà longs pour l'époque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui permet en théorie une précision aussi grande que souhaitée. Il faut cependant une précision toujours plus grande dans les premiers calculs à chaque fois que l'on double le nombre de côtés du polygone. Ptolémée, scientifique grec ayant vécu trois siècles après Archimède, donne une valeur de formula_7, qu'il a pu obtenir grâce à Apollonios de Perga, ou bien en utilisant sa table trigonométrique et en multipliant par 360 la longueur de la corde sous-tendue par un angle d'un degré.


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text: Les identités trigonométriques permettent également d'obtenir rapidement ces relations .


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text: La démonstration d'Archimède revient ainsi au calcul et à la justification à chaque étape de valeurs rationnelles par défaut et par excès du périmètre du cercle pour conclure, au bout de "n" = 4 étapes (96 côtés), à l'encadrement souhaité.


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text: Si les calculs pratiques peuvent se faire avec une bonne précision en utilisant la valeur 3,14 comme approximation de , la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. Au , en Chine, Liu Hui, commentateur des "Neuf chapitres", propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d'Archimède mais plus performants et fournit une approximation de de 3,1416. Le mathématicien chinois Zu Chongzhi donne une approximation rationnelle encore plus précise de : (dont les développements décimaux sont identiques jusqu'à la , et ) et montre que , en utilisant l' appliqué à un polygone à . Cette valeur demeure la meilleure approximation de au cours des qui suivent.


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text: Jusqu’en 1400 environ, la précision des approximations de n’excédait pas les . Les progrès en matière de calcul intégral et de séries vont permettre d’améliorer cette précision. Les séries permettent d’approcher avec d’autant plus de précision qu’on utilise de termes de la série pour le calcul. Vers 1400, le mathématicien indien Madhava de Sangamagrama trouve ce qui constitue, en langage moderne, le développement de la fonction arc tangente (redécouvert par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au ) : Le cas particulier est la série de Leibniz mentionnée plus haut — également connue sous le nom de série de Madhava-Leibniz — dont la convergence est trop lente.


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text: Le cas particulier :


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text: converge bien plus vite, ce qui a permis à Madhava de donner une valeur approchée de de 3,141 592 653 59, qui a correctes. Mais ces travaux restèrent inconnus en dehors du Kerala jusqu'au , à la suite de la conquête de l'Inde par les Britanniques. Le record de Madhava a été battu en 1424 par le mathématicien perse Al-Kachi ("Traité de la circonférence"), qui a réussi à donner , en appliquant la méthode d'Archimède à un polygone de


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text: La première contribution importante venant d’Europe depuis Archimède a été faite par François Viète, qui en donne douze décimales, avec un encadrement du reste dans son "Canon mathématique" en 1579. Il est suivi par Adrien Romain, qui donne en 1591, et l’Allemand Ludolph van Ceulen (1540-1610), qui a utilisé la même méthode géométrique afin de donner une estimation de correcte à près. Il a été si fier de son calcul, qui lui a demandé une grande partie de sa vie, qu’il a fait graver les décimales sur sa pierre tombale.


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text: Il est immédiatement suivi par Willebrord Snell, son élève, qui trouve des méthodes plus rapides pour obtenir la même approximation. Dans la même période, les méthodes de calcul intégral et de détermination de séries et produits infinis pour des quantités géométriques ont commencé à émerger en Europe. La première formule de ce type est la formule de Viète :


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text: exposée par Viète en 1593, dans ses "Problèmes variés". Un autre résultat célèbre est le produit de Wallis : que l’on doit à John Wallis, qui l’a mis en évidence en 1655. Isaac Newton lui-même a utilisé le développement en série de pour calculer de ; bien plus tard, il a déclaré :


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text: En 1706, John Machin a été le premier à trouver de , en utilisant la formule :


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text: et le développement ci-dessus en série entière de . Les formules de ce type, maintenant connues sous le nom de formules de Machin, ont été utilisées pour battre plusieurs records de décimales connues de , et demeurent aujourd’hui les formules les plus connues pour calculer grâce à des ordinateurs. Un record remarquable est détenu par le calculateur prodige Johann Dase qui, en 1844, à l’aide d’une formule de Machin, a calculé de , à la demande de Gauss. La meilleure valeur obtenue à la fin du est due à William Shanks, qui a passé quinze ans à calculer puis de , bien qu’à cause d’une erreur, seules les étaient correctes. De nos jours, il est aisé d’éviter de telles erreurs, en faisant faire les calculs par l’ordinateur, et en utilisant deux formules différentes pour éliminer les risques d’erreur de calcul, de programmation, ou du microprocesseur.


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text: Les avancées théoriques du ont amené les mathématiciens à s’interroger sur la nature de , notamment sur l’absence de motifs périodiques dans ses décimales, une hypothèse raisonnable au vu des calculs numériques, mais pour laquelle il fallait une approche radicalement différente pour la prouver rigoureusement. Ce tour de force a été réalisé par Johann Heinrich Lambert en 1761, qui fut ainsi le premier à prouver l’irrationalité de , par la suite Adrien-Marie Legendre a aussi prouvé que aussi était irrationnel. Cette constante () jouait un rôle notable en mathématique, puisqu’elle apparaissait dans la solution du problème de Bâle, qui consistait à trouver la valeur exacte de formula_8 qui est (comme prouvé par Leonhard Euler qui a établi à cette occasion une connexion profonde entre et les nombres premiers). Dans la foulée, Legendre et Euler ont tous les deux conjecturé que était un nombre transcendant, ce qui a finalement été prouvé en 1882 par Ferdinand von Lindemann.


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text: C’est au cours du que s’établit l’usage de la lettre grecque « », première lettre du mot grec ("périphérie", c’est-à-dire "circonférence"), pour le rapport de la circonférence du cercle sur son diamètre.


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text: À partir du , certains mathématiciens utilisent la notation où désigne la circonférence et le diamètre. Le premier à utiliser simplement est William Jones dans son livre publié en 1706, à propos du calcul astucieux de ce nombre par la série de son ami Machin. Les mathématiciens continuent cependant d’utiliser d’autres notations. Parmi ceux-ci Euler se met à la notation de Jones dans sa correspondance à partir de 1736. Il l’adopte dans son livre publié en 1748, ce qui eut certainement une grande influence. La notation finit par s’imposer vers la fin du .


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text: Alors que quelques dizaines de décimales de sont largement suffisantes pour les calculs pratiques qu’effectue un physicien, la conquête des décimales du nombre n’a pas cessé avec l’arrivée des ordinateurs, qui ont permis de calculer un très grand nombre de ces décimales.


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text: En 1949, à l’aide de l’ENIAC, John von Neumann a obtenu décimales de , à la suite d'un calcul qui a duré . Des milliers de décimales supplémentaires ont été trouvées au cours des décennies suivantes, l’étape du million de chiffres ayant été passée en 1973. Les progrès n’ont pas seulement été dus aux ordinateurs de plus en plus rapides, mais aussi aux nouveaux algorithmes utilisés. L’une des avancées les plus significatives a été la découverte de la transformée de Fourier rapide dans les années 1960, qui a permis aux ordinateurs de manipuler rapidement de très grands nombres.


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text: Au début du , le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan a trouvé de nombreuses nouvelles formules faisant intervenir ; certaines d’entre elles sont remarquables par leur élégance et leur profondeur mathématique. L’une de ces formules est la série suivante, donnant 8 nouvelles décimales à chaque nouveau terme :


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text: La formule ci-dessous, possédant un lien étroit avec celle énoncée ci-dessus, a été découverte par David et Gregory Chudnovsky en 1987 :


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text: Cette formule donne décimales de à chaque terme. Vers la fin des années 1980, les frères Chudnovsky l’ont utilisée pour battre plusieurs records de décimales de calculées. Elle demeure la formule la plus utilisée pour calculer sur des ordinateurs personnels.


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text: Alors que les séries permettent d’obtenir des valeurs approchées de avec un taux de précision supplémentaire à chaque terme qui est constant, il existe des algorithmes itératifs qui multiplient le nombre de décimales correctes à chaque étape, avec cependant l’inconvénient que chaque étape demande généralement un calcul « coûteux ». Une grande avancée a eu lieu en 1975 lorsque Richard Brent et ont découvert indépendamment la formule de Brent-Salamin, qui double le nombre de décimales correctes à chaque étape. Il s’appuie sur un vieux résultat pressenti puis démontré par Gauss. En 1818, celui-ci démontre le lien existant entre la moyenne arithmético-géométrique M(1, ) de 1 et — la longueur de la lemniscate de Bernoulli — et . La longueur de la lemniscate est où représente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et où est la constante de la lemniscate. Si on note , la constante de Gauss, c’est-à-dire l’inverse de M(1, ) alors :


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text: Salamin et Brent ont utilisé ce résultat pour construire l’algorithme qui porte leur nom, et grâce auquel la conquête des décimales de va alors avancer conjointement avec celle des décimales de .


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text: L’algorithme consiste à poser :


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text: puis à définir les relations de récurrence suivantes : et enfin à calculer ces valeurs jusqu’à ce que et soient assez proches. On a alors une valeur approchée de donnée par : En utilisant cet algorithme, seules sont nécessaires pour calculer de décimales. Un algorithme similaire qui quadruple la précision à chaque étape a été trouvé par Jonathan et Peter Borwein. C'est grâce à ces méthodes que, de 1981 à 1999, Yasumasa Kanada et ses associés ont battu le record du nombre de décimales de à onze reprises (plus de 2×10 décimales en 1999).


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text: En 1997, la formule BBP, découverte par Simon Plouffe, a fait de nouveau progresser la connaissance de . La formule,


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text: est remarquable car elle permet de calculer n’importe quel chiffre de l’écriture de en base hexadécimale ou binaire, sans calculer les précédents. Entre 1998 et 2000, le projet de calcul distribué PiHex a utilisé une variante de la formule BBP due à Fabrice Bellard pour calculer le chiffre en binaire de , qui s’est révélé être 0.


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text: Si une formule de la forme : était trouvée, avec "b" et "c" des entiers positifs et "p" et "q" des polynômes de degrés fixés à coefficients entiers (comme pour la formule BBP ci-dessus), ce serait l’un des moyens les plus efficaces pour calculer n’importe quel chiffre dans l’écriture de en base "b" (et donc en base "b") sans avoir à calculer les précédents, en un temps dépendant uniquement de l'indice du terme calculé et du degré des polynômes.


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text: En 2006, Simon Plouffe a trouvé plusieurs formules faisant intervenir . En posant "q "= (constante de Gelfond), on a : ainsi que :


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text: où "k" est un nombre impair, et sont des nombres rationnels.


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text: Depuis 2010, les records utilisant le programme "" se succèdent (voir la section « » de l'article « Approximation de »). Fin 2016, le record dépasse 2×10 décimales.


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text: Le 14 mars 2019, jour du Pi Day, Google rend public le nouveau record de décimales calculé par une de ses employées au moyen de puissantes machines. Le nouveau record du monde s'établit à 31 415 milliards de décimales. Il a fallu 111 jours de calculs ininterrompus à Emma Haruka Iwao pour entrer dans le livre Guinness des records.


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text: apparaît dans de nombreuses formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères :


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text: Un nombre complexe peut s’exprimer en coordonnées polaires de la façon suivante : L’apparition fréquente de en analyse complexe a pour origine le comportement de la fonction exponentielle complexe, décrite par la formule d’Euler : ou encore :


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text: Une autre expression de "s", qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par ), conduit au produit infini suivant (formule de François Viète, 1593) : \cdotSuite inspirée de la formule de Brent-Salamin (1975) :


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text: Soient trois suites , et définies simultanément par :


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text: on a : Le nombre de décimales correctes (en ) double presque à chaque itération.Plus généralement, Euler démontra que ζ(2"n") est un multiple rationnel de pour tout entier positif "n".


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text: Soit la suite des itérés de la fonction logistique de paramètre = 4 appliquée à un réel choisi dans l’intervalle (c’est-à-dire qu’on définit, pour tout ≥ 0, formula_16). La suite quitte l’intervalle [0, 1] et diverge pour quasiment toutes les valeurs initiales.


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text: On a formula_17 pour presque toutes les valeurs initiales .


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text: Le nombre apparait également comme étant le double de la limite du sinus intégral à l’infini :


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text: En probabilités et en statistiques, il existe de nombreuses lois qui utilisent la constante , dont :Les deux formules suivantes, tirées de l’analyse, trouvent des applications pratiques en probabilités. L’une permet de montrer la convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss et l’autre permet de calculer la densité d’une loi de Gauss.


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text: D’autre part, il existe diverses expériences probabilistes où intervient dans la probabilité théorique. Elles peuvent donc servir, en effectuant un grand nombre d’épreuves, à déterminer une approximation de .


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text: L’aiguille de Buffon est une expérience de probabilité proposée par Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon et consistant à calculer la probabilité qu’une aiguille de longueur "a", lancée sur un parquet fait de lattes de , soit à cheval sur deux lattes. Cette probabilité "p" est :


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text: même si l'aiguille est courbe.


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text: Cette formule peut être utilisée pour déterminer une valeur approchée de :


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text: où est le nombre d’aiguilles lancées, et celui d’aiguilles qui sont sur deux lattes à la fois.


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text: Cette méthode présente rapidement ses limites ; bien que le résultat soit mathématiquement correct, il ne peut pas être utilisé pour déterminer plus que quelques décimales de expérimentalement. Pour obtenir seulement une valeur approchée de 3,14, il est nécessaire d’effectuer des millions de lancers, et le nombre de lancers nécessaires croît exponentiellement avec le nombre de décimales voulu. De plus, une très faible erreur dans la mesure des longueurs "L" et "a" va se répercuter de façon importante sur la valeur trouvée de . Par exemple, une différence de mesure d’un seul atome sur une aiguille de longueur de va se retrouver dès la neuvième décimale de . En pratique, les cas où l’aiguille semble toucher exactement la limite entre deux lattes va accroître l’imprécision de l’expérience, de sorte que les erreurs apparaîtront bien avant la neuvième décimale.


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text: La méthode de Monte Carlo est une autre expérience probabiliste qui consiste à prendre "au hasard" un point dans un carré de , la probabilité que ce point soit dans le quart de disque de est ; cela peut se comprendre facilement étant donné que l'aire du quart du disque est alors que celle du carré est .


title: Pi

text: Comme est transcendant, il n’existe pas d’expression de ce nombre qui fasse uniquement appel à des nombres et des fonctions algébriques. Les formules de calcul de utilisant l’arithmétique élémentaire impliquent généralement les sommes infinies. Ces formules permettent d’approcher avec une erreur aussi petite que l’on veut, sachant que plus on rajoute de termes dans le calcul, plus le résultat sera proche de .


title: Pi

text: Par conséquent, les calculs numériques doivent utiliser des approximations de .


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text: La première approximation numérique de fut certainement 3. Dans les cas où une situation ne demande que peu de précision, cette valeur peut servir d’approximation convenable. Si 3 est une estimation par défaut, c’est parce qu’il est le rapport entre le périmètre d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle et le diamètre de ce cercle.


title: Pi

text: Dans de nombreux cas, les approximations 3,14 ou 22/7 suffisent, bien que les ingénieurs aient longtemps utilisé 3,1416 ( significatifs) ou 3,14159 ( significatifs) pour plus de précision. Les approximations 22/7 et 355/113, avec respectivement 3 et significatifs, sont obtenues à partir de l’écriture en fraction continue de . Cependant c’est le mathématicien chinois Zu Chongzhi (祖沖之 en sinogrammes traditionnels, 祖冲之 en sinogrammes simplifiés, "Zǔ Chōngzhī" en piyin) (429-500) qui a découvert la fraction 355/113 en utilisant la méthode d’Archimède pour calculer le périmètre du polygone régulier à côtés inscrit dans un cercle. Aujourd'hui, les approximations numériques le plus souvent utilisées par les ingénieurs sont celles de constantes informatiques prédéfinies.


title: Pi

text: L’approximation de en 355/113 est la meilleure qui puisse être exprimée avec uniquement au numérateur et au dénominateur. L’approximation  /  (qui fournit 10 chiffres significatifs) en exige un nombre beaucoup plus important : cela vient de l’apparition du nombre élevé 292 dans le développement en fraction continue de .


title: Pi

text: Dans les calculs numériques usuels sur ordinateur, on utilise plutôt une constante correctement arrondie mais prédéfinie avec une précision d’au moins 16 chiffres significatifs (c’est la meilleure précision représentable par un nombre en virgule flottante au format standard IEEE 754 sur 64 bits, un type généralement désigné « double précision ») et choisie afin que le calcul de son sinus retourne 0 exactement par une fonction définie dans cette même précision. Ainsi le fichier d’entête standard codice_1 utilisé en langage C ou C++ définit la constante codice_2 en double précision (le type flottant utilisé par défaut dans de nombreuses fonctions des bibliothèques mathématiques standards) à la valeur de (parfois avec des chiffres supplémentaires si la plateforme supporte une précision plus étendue pour le type codice_3). La même valeur est utilisée en langage Java, qui s’appuie sur la même norme IEEE 754, avec la constante standard codice_4). On retrouve cette constante définie ainsi dans de nombreux langages de programmation, avec la meilleure précision possible dans les formats de nombres en virgule flottante supportés, puisque le type « double précision » de la norme IEEE 754 s'est imposé comme une référence de précision minimale nécessaire dans de nombreux langages pour d’innombrables applications.


title: Pi

text: Sur des microprocesseurs de la famille x86, les unités de calcul matérielles (FPU) sont capables de représenter des nombres flottants sur 80 bits (utilisables avec cette précision en langage C ou C++ avec le type codice_3 mais sans garantie de support matériel), ce qui porte la précision de à 19 chiffres significatifs. La dernière révision publiée en 2008 de la norme IEEE 754 comporte aussi la définition de nombres en virgule flottante en « quadruple précision » (ou codice_6) codés sur 128 bits, ce qui permettrait de définir une approximation de la constante avec une précision de 34 chiffres significatifs (toutefois cette précision n’est pas encore prise en charge nativement par de nombreux langages de programmation car peu de processeurs permettent cette précision directement au niveau matériel sans un support logiciel supplémentaire).


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text: Pour les plateformes ou langages ne supportant nativement que les nombres en « simple précision », codés dans la norme IEEE 754 sur 32 bits utiles, pourront être pris en charge 7 chiffres significatifs (le minimum de précision supporté en langage C par le type codice_7), c’est-à-dire la constante correctement arrondie à et équivalente en précision à celle donnée par la fraction 355/113 (cette fraction permet aussi des calculs rapides dans des logiciels pour des systèmes légers ne comportant pas d’unité matérielle de calcul en virgule flottante).


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text: La suite des dénominateurs partiels du développement en fraction continue de ne fait apparaître aucun schéma évident :


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text: Cependant :


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text: De nombreuses questions se posent encore : et sont deux nombres transcendants mais sont-ils algébriquement indépendants ou bien existe-t-il une équation polynomiale à deux variables et à coefficients entiers dont le couple soit une solution ? La question est encore en suspens. En 1929, Alexandre Gelfond prouve que est transcendant et en 1996, prouve que et sont algébriquement indépendants.


title: Pi

text: Comme dit précédemment, on ignore encore si est un nombre normal, ou même un nombre univers en .


title: Pi

text: Sans doute en raison de la simplicité de sa définition, le nombre pi et particulièrement son écriture décimale sont ancrés dans la culture populaire à un degré plus élevé que tout autre objet mathématique. D’ailleurs, la découverte d’un plus grand nombre de décimales de fait souvent l’objet d’articles dans la presse généraliste, signe que est un objet familier même à ceux qui ne pratiquent pas les mathématiques.


title: Pi

text: Un lac du Canada, situé au Québec dans le territoire non organisé de Rivière-aux-Outardes, porte le nom de Lac 3.1416.


title: Pi

text: Une tradition anglo-saxonne veut que l’on fête l’anniversaire de dans certains départements mathématiques des universités le 14 mars. Le 14 mars qui est noté « 3/14 » en notation américaine, est donc appelé la journée de pi.


title: Pi

text: Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la présence du nombre dans les pyramides et, plus précisément, que est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides. Il est vrai que la pyramide de Khéops possède une pente de 14/11 et que par conséquent, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 étant une bonne approximation de , le rapport entre le périmètre et le double de la hauteur de la pyramide de Khéops est bien voisin de . Faut-il pour autant y chercher une intention ? Rien n’est moins sûr puisque la pente des pyramides n’est pas constante et que, selon les régions et les époques, on trouve des pentes de 6/5 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khephren) ou 7/5 (pyramide rhomboïdale) qui conduisent à un rapport entre périmètre et double de la hauteur éloigné de .


title: Pi

text: Il est en tout cas certain que est présent dans la culture artistique moderne. Par exemple, dans "Contact", un roman de Carl Sagan, formula_25 joue un rôle clé dans le scénario et il est suggéré qu’il y ait un message enfoui profondément dans les décimales de , placé par celui qui a créé l’univers. Cette partie de l’histoire a été écartée de l’adaptation cinématographique du roman.


title: Pi

text: Sur le plan cinématographique, a servi de titre au premier long-métrage de Darren Aronofsky, à qui l’on doit notamment . "" est un mathématique sur la découverte de la séquence parfaite, révélant ainsi la formule exacte des marchés boursiers de ou encore le véritable nom de Dieu.


title: Pi

text: Dans le registre musical, l’auteur-compositrice-interprète Kate Bush a sorti en 2005 son album , qui contenait le morceau « », dont les paroles sont principalement composées des décimales de .


title: Pi

text: Au-delà de la mémorisation de , usuellement ses 3 à chiffres ou par la remarquable valeur approchée de la fraction 355/113 ( significatifs), la mémorisation d’un nombre record de décimales de a longtemps été et demeure une obsession pour de nombreuses personnes. Le , à Oxford, le jeune autiste Asperger Daniel Tammet récite (en , et ) . Le record de mémorisation de reconnu en 2005 par le "Livre Guinness des records" était de (Lu Chao, un jeune diplômé chinois, en et ). En octobre 2006, Akira Haraguchi, un ingénieur japonais retraité, récite de en et demie, mais cet exploit n'est pas validé par le "Guinness des records". Le record officiel passe en mars 2015 à décimales en 9 h 27 min (Rajveer Meena, un étudiant indien), puis en octobre à en 17 h 14 min (Suresh Kumar Sharma, un autre Indien).


title: Pi

text: Le 17 juin 2009, , un neurochirurgien et professeur ukrainien, affirma avoir mémorisé de décimales de , qui ont été imprimées en . Bien qu’il n’ait pas récité les de chiffres qu’il a dit avoir retenus (ce qui, au demeurant, lui aurait pris plus d'un an), certains médias prétendent qu’il était en mesure de réciter dix décimales sélectionnées aléatoirement parmi les volumes imprimés. La comparaison avec les valeurs officiellement retenues par le "Guinness des records" amène cependant les experts à mettre sérieusement en doute cette affirmation.


title: Pi

text: Il y a plusieurs façons de retenir les décimales de , dont des poèmes dont le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, les mots de dix lettres représentant un 0. En voici un exemple :


title: Pi

text: Cette méthode présente ses limites pour la mémorisation d’un très grand nombre de décimales, où il semble plus opportun d’utiliser des méthodes comme la méthode des loci.


title: Pi

text: En 2001, le mathématicien Robert Palais écrit l'article "", dans lequel il estime que la constante est mal définie et devrait être posée comme le rapport entre le périmètre d'un cercle et son rayon, amenant sa valeur numérique à ..., dans un souci de simplification des formules usuelles qui feraient intervenir plus souvent que . Michael Hartl a repris ses arguments dans le "Tau Manifesto", dans lequel il propose de privilégier l'usage d'une nouvelle constante, . Depuis, des défenseurs de ont créé le "Tau day" au 28 juin (6/28) en concurrence avec le "Pi day" du 14 mars (3/14).


title: Indre (rivière)

text: L' est un cours d'eau français, qui coule dans les départements du Cher, de l'Indre et d'Indre-et-Loire, en région Centre-Val de Loire.


title: Indre (rivière)

text: C'est un affluent de la Loire.


title: Indre (rivière)

text: Le cours d'eau a une longueur de .


title: Indre (rivière)

text: Il prend sa source dans le département du Cher, à d'altitude, prés du lieu-dit « Beaufoin », sur le territoire de la commune de Saint-Priest-la-Marche, puis s'écoule vers le nord-ouest.


title: Indre (rivière)

text: Son confluent avec la Loire, se situe dans le département d'Indre-et-Loire, à , dans le quartier du « Néman », sur le territoire de la commune d'Avoine.


title: Indre (rivière)

text: La rivière traverse cinquante-neuf communes situés dans les départements du Cher, de l'Indre et d'Indre-et-Loire.Les bassins hydrographiques sont découpés dans le référentiel national BD Carthage en éléments de plus en plus fins, emboîtés selon quatre niveaux : régions hydrographiques, secteurs, sous-secteurs et zones hydrographiques.


title: Indre (rivière)

text: L'Indre traverse les vingt deux zones hydrographiques suivantes : Le bassin versant de l'Indre s'insère dans les zones hydrographiques « L'Indre du Ris à la Ringoire, L'Indre de sa source au rau des Palles, L'Indre du rau de Gue Droit au Vieux Cher, L'Indre de la Trégonce au K7229850, L'Indre de l'Echandon au rau de Montison, L'Indre du Vieux Cher à la Veude, L'Indre de la Vauvre au Ris, L'Indre du rau de Montisonau au rau de Gue Droit, L'Indre de la Ringoire à la Trégonce, L'Indre de l'Indrois à l'Echandon, L'Indre de l'Igneraie à la Vauvre, L'Indre du rau de Boutineau à l'Indrois, L'Indre de la Veude à la Loire, L'Indre du rau des Palles à l'Igneraie, L'Indre du K7229850 à l'Ozance, L'Indre du rau de la Fontaine de Saint Flovier au rau de Boutineau et L'Indre de l'Ozance au rau de la Fontaine de Saint Flovier. », au sein du bassin DCE plus large « La Loire, les cours d'eau côtiers vendéens et bretons ».


title: Indre (rivière)

text: En France, la gestion de l’eau, soumise à une législation nationale et à des directives européennes, se décline par bassin hydrographique, au nombre de sept en France métropolitaine, échelle cohérente écologiquement et adaptée à une gestion des ressources en eau. L'Indre est sur le territoire du bassin Loire-Bretagne et l'organisme de gestion à l'échelle du bassin est l'agence de l'eau Loire-Bretagne.


title: Indre (rivière)

text: L'Indre possède cent dix-neuf affluents.


title: Indre (rivière)

text: Son rang de Strahler est de cinq.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Sainte-Sévère-sur-Indre (Indre). Elle fut mise en service le à 12h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station sans signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs du cours d'eau uniquement.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Montgivray (Indre). Elle fut mise en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Mers-sur-Indre (Indre). Elle fut mise en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station sans signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs du cours d'eau uniquement.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est situe dans la commune d'Ardentes (Indre). Elle fut mise en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune d'Ardentes (Indre), au niveau de la mairie. Elle fut mise en service le à 00h00. C'est une station de type « station à débits mesurés » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Châteauroux (Indre). Elle fut mise en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station sans signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs du cours d'eau uniquement.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située sur la commune de Buzançais (Indre). Elle fut mise en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station sans signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs du cours d'eau uniquement.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Buzançais (Indre), au niveau du pont de la voie ferrée. Elle fut mise en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Saint-Cyran-du-Jambot (Indre). Elle fut mise en service le à 12h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Châtillon-sur-Indre (Indre). Elle fut mise en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station sans signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs du cours d'eau uniquement.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Perrusson (Indre-et-Loire). Elle fut mise en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Cormery (Indre-et-Loire). Elle fut mise en service le à 00h00. C'est une station de type « station à une échelle » et son statut est « station sans signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs du cours d'eau uniquement.


title: Indre (rivière)

text: Établie à d'altitude, la station de mesure est située dans la commune de Monts (Indre-et-Loire). Elle fut mise en service le à 18h00. C'est une station de type « station à débits mesurés » et son statut est « station avec signification hydrologique ». Son bassin-versant topographique représente . Cette station mesure les hauteurs et les débit du cours d'eau.


title: Indre (rivière)

text: À l'étiage, le VCN3 peut chuter jusque , en cas de période quinquennale sèche, soit , ce qui n'est guère très sévère, le cours d'eau conservant au pire près de 10 % de son débit moyen.


title: Indre (rivière)

text: Les crues peuvent être importantes compte tenu de la taille déjà grande du bassin versant. Elles sont cependant nettement moindres que celles qui affectent les affluents de plaine de la partie occidentale du bassin de la Loire, celles-ci coulant sur le vieux socle primaire armoricain, imperméable. Les QIX 2 et QIX 5 valent respectivement /s et /s. Le QIX 10 est de /s, le QIX 20 de /s, tandis que le QIX 50 n'a pas été calculé faute de durée d'observation suffisante.


title: Indre (rivière)

text: Le débit instantané maximal enregistré à Lignières-de-Touraine entre 1966 et 1980, a été de /s le , tandis que le débit journalier maximal enregistré était de /s le 22 février de la même année. Si l'on compare la première de ces valeurs à l'échelle des QIX de la rivière, cette crue était nettement supérieure à une crue vicennale, et certainement supérieure au niveau d'une crue cinquantennale, c'est-à-dire exceptionnelle.


title: Indre (rivière)

text: Au total, l'Indre est une rivière médiocrement abondante. La lame d'eau écoulée dans son bassin versant est de annuellement, ce qui est nettement inférieur à la moyenne de la France, tous bassins confondus, ainsi d'ailleurs qu'à la moyenne du bassin de la Loire ( par an), et même nettement moins élevé que la moyenne du bassin du Cher ( par an à Tours). Le débit spécifique de la rivière (ou Qsp) atteint par seconde et par kilomètre carré de bassin.


title: Indre (rivière)

text: Pour les cours d’eau, la délimitation des masses d’eau est basée principalement sur la taille du cours d’eau et la notion d’hydro-écorégion. Ces masses d’eau servent ainsi d’unité d’évaluation de l’état des eaux dans le cadre de la directive européenne.


title: Indre (rivière)

text: L'Indre fait partie des masses d'eaux codifiée : FRGR0349, FRGR0350a, FRGR0350b, FRGR0351a, FRGR0351b, FRGR0351c et FRGR1847  et dénommée « L'Indre depuis Pérassay jusqu'à La Châtre, L'Indre depuis La Châtre jusqu'à Ardentes, L'Indre depuis Ardentes jusqu'à Niherne, L'Indre depuis Niherne jusqu'à Palluau-sur-Indre, L'Indre depuis Palluau-sur-Indre jusqu'à Courçay, L'Indre depuis Courçay jusqu'à la confluence avec la Loire et L'Indre et ses affluents depuis la source jusqu'à Pérassay ».


title: Indre (rivière)

text: Le schéma directeur d'aménagement et de gestion des eaux (Sdage) Loire-Bretagne est un document de planification dans le domaine de l’eau. Il définit, pour une période de six ans les grandes orientations pour une gestion équilibrée de la ressource en eau ainsi que les objectifs de qualité et de quantité des eaux à atteindre dans le bassin Loire-Bretagne. L'état des lieux 2013 défini dans la SDAGE 2016 – 2021 et les objectifs à atteindre pour cette masse d'eau sont les suivants :


title: Indre (rivière)

text: Le nom de la rivière est écrit "Angeris" au par Grégoire de Tours. Sa signification a été analysée comme provenant du gaulois "Ang-eri-s", soit la rivière « où il y a des serpents ».


title: Indre (rivière)

text: La rivière a donné son hydronyme aux dix communes d'Artannes-sur-Indre, Azay-sur-Indre, Chambourg-sur-Indre, Châtillon-sur-Indre, Mers-sur-Indre, Palluau-sur-Indre, Reignac-sur-Indre, Sainte-Sévère-sur-Indre, Verneuil-sur-Indre et Villedieu-sur-Indre.L'Indre de la source jusqu'au pont de RD 940 à La Châtre et de la confluence avec la Ringoire jusqu'à la confluence avec la Loire est classée dans la liste 1 au titre de l'article L. 214-17 du code de l'environnement sur le Bassin Loire-Bretagne. Du fait de ce classement, aucune autorisation ou concession ne peut être accordée pour la construction de nouveaux ouvrages s'ils constituent un obstacle à la continuité écologique et le renouvellement de la concession ou de l'autorisation des ouvrages existants est subordonné à des prescriptions permettant de maintenir le très bon état écologique des eaux.


title: Indre (rivière)

text: Le cours d'eau est de première catégorie de sa source à la confluence avec la Vauvre. Il est de deuxième catégorie sur le reste de son parcours.


title: Indre (rivière)

text: Le castor d’Europe est présent sur les berges de la rivière, dans le département de l'Indre, entre les communes de Fléré-la-Rivière et de Mers-sur-Indre. Cela fait suite au passage en « espèce protégée » en 1968, puis a sa réintroduction par l'homme.


title: Indre (rivière)

text: Un cours d’eau est considéré comme réserve biologique lorsqu'il comprend une ou plusieurs zones de reproduction ou d’habitat des espèces de phytoplanctons, de macrophytes et de phytobenthos, de faune benthique invertébrée et l’ichtyofaune, et permet leur répartition dans un ou plusieurs cours d’eau du bassin versant. Les réservoirs biologiques, nécessaires au maintien ou à l’atteinte du bon état écologique des cours d’eau, correspondent donc :


title: Indre (rivière)

text: Dans le cadre des travaux préparatoires à l'élaboration de ce classement au sein du SDAGE Loire-Bretagne 2016-2021, L'Indre depuis Palluau-sur-Indre jusqu'à Courçay, L'Indre et ses affluents depuis la source jusqu'à Pérassay et l'Indre depuis Pérassay jusqu'à La Châtre, sont répertoriés comme réserve biologique, sous l'identifiant RESBIO_279, RESBIO_670 et RESBIO_278. Les espèces présentes sont : la mulette perlière et la truite fario.


title: Dan Simmons

text: Dan Simmons, né le à Peoria (Illinois), est un écrivain américain connu principalement pour ses romans de science-fiction, d'horreur et policiers. Ses livres sont publiés dans 27 pays.


title: Dan Simmons

text: Dan Simmons reçoit initialement un B.A en anglais du à Crawfordsville, puis est sorti diplômé de l'Université Washington à Saint-Louis, Missouri, en 1971. Par la suite, Dan Simmons a travaillé dans l'éducation jusqu'en 1989. Il a commencé par écrire des nouvelles et c'est en participant à un atelier d'écriture dirigé par Harlan Ellison que celui-ci, impressionné par la qualité de la nouvelle "Le Styx coule à l'envers", le pousse à s'inscrire au concours de "Twilight Zone Magazine" (concours où la nouvelle de Dan Simmons remporta le premier prix) et à se consacrer pleinement à l'écriture. "Le Styx coule à l'envers" paraît en 1982 et son premier roman, "Le Chant de Kali", est publié en 1985.


title: Dan Simmons

text: Il vit à Longmont, près de Denver, dans le Colorado, avec sa femme Karen et sa fille. Son lieu de prédilection pour écrire est sa maison secondaire, située en pleine montagne à Windwalker dans le sud du Parc national de "Rocky Mountain". Près de la maison, une sculpture de représentant le fameux Gritche des "Cantos d'Hypérion" monte la garde.


title: Dan Simmons

text: Il a reçu le prix Hugo du meilleur roman 1990 et le prix Locus du meilleur roman de science-fiction 1990 pour "Hypérion" qui forme avec "La Chute d'Hypérion" le début du récit "Les Cantos d'Hypérion". "Endymion" et "L'Éveil d'Endymion" constituent une suite du diptyque "Hypérion". Les titres de ces livres sont un hommage au poète John Keats qu'il admire.


title: Dan Simmons

text: Son livre "Terreur", paru en 2007 aux États-Unis, est un roman d'horreur retraçant l'expédition de John Franklin dans l'Arctique en 1845 avec deux bâtiments — le "HMS Erebus" et le "HMS Terror" — conçus pour l’exploration polaire où ils ont été piégés dans les glaces près de l'île du Roi-Guillaume et furent abandonnés en 1848.


title: Dan Simmons

text: "Drood", paru en 2009, est basé sur les dernières années de la vie de Charles Dickens menant à l'écriture du roman "Le Mystère d'Edwin Drood", que Charles Dickens avait partiellement terminé au moment de sa mort.


title: Dan Simmons

text: Ses prises de position très républicaines le conduisent en 2009 à une rupture avec son traducteur français, Jean-Daniel Brèque.


title: Vilaine

text: La Vilaine est un fleuve de l’ouest de la France, en Bretagne. Elle prend sa source dans l’ouest du département de la Mayenne avant de traverser l’Ille-et-Vilaine d’est en ouest puis du nord au sud après Rennes. Elle se jette dans l’océan Atlantique entre les communes de Arzal et de Pénestin (Tréhiguier) toutes deux dans le département du Morbihan.


title: Vilaine

text: Elle donne son nom, avec son affluent l'Ille, au département d'Ille-et-Vilaine dont elles arrosent le chef-lieu, Rennes.


title: Vilaine

text: On trouve de nombreuses attestations anciennes :


title: Vilaine

text: En breton, le fleuve se nomme ' avec comme variantes plus rares ' et ".


title: Vilaine

text: Une dédicace à "" () rattache cette rivière au culte du dieu gallo-romain Mars, assimilé à Teutatès, Ésus ou Taranis selon les cas.


title: Vilaine

text: La Vilaine prend sa source dans le département de la Mayenne, à d’altitude, dans les collines de Juvigné, au lieu-dit "la Source". Ce n’est d’abord qu’un ruisseau sans importance formé par les eaux de l’Étang-Neuf ; elle passe, à sa droite, au Sud de Juvigné par la Croixille, puis reçoit, du même côté un petit affluent qui, sur un parcours de plusieurs kilomètres, sert de limite entre la Mayenne et l’Ille-et-Vilaine. Elle entre dans ce dernier département au sud de la commune de Bourgon.


title: Vilaine

text: Elle s’écoule d’Est en Ouest suivant un tracé à méandres qui correspond à l’axe des principaux accidents tectoniques, puis converge, comme l’Ille et la Flûme, vers une zone affaissée en aval immédiat de Rennes. Son tracé y devient déterminé par la pente générale du socle et s’oriente alors Nord-Sud, la vallée s’élargissant en un système de chenaux anastomosés. La présence, au niveau de Rennes, d’un bassin cénozoïque contrôlé par un système de failles majeures de socle suggère que des rejeux récents ont guidé le drainage des cours d’eau de la région.


title: Vilaine

text: Son cours est de . C'est le dixième fleuve le plus important de France métropolitaine si on ne compte que les longueurs sur le territoire national et le douzième si on prend les longueurs totales.


title: Vilaine

text: La Vilaine traverse cinquante-sept communes et quatre départements :


title: Vilaine

text: La Vilaine traverse trente-et-une zones hydrographiques.


title: Vilaine

text: L'organisme gestionnaire est l'EPTB Vilaine, sis à Nantes pour le siège social), à La Roche-Bernard pour les locaux administratifs et techniques et est l'héritière de l'IAV Institution d'Aménagement de la Vilaine. .


title: Vilaine

text: Les affluents de la Vilaine de sa source (Juvigné, Mayenne) à son embouchure (La Roche-Bernard, Morbihan) sont :


title: Vilaine

text: Le Tohon et le Kervilly se jettent dans l’étang de Pen-Mur puis dans le Golfe de Gascogne au débouché de l’estuaire de la Vilaine.


title: Vilaine

text: Son régime hydrologique est dit pluvial océanique.


title: Vilaine

text: Le bassin versant de la Vilaine est de à Rieux, en aval de la confluence avec l'Oust. Le débit moyen inter annuel ou module est de /s. Mais le débit est très irrégulier. Le débit mensuel varie entre /s en période de hautes eaux en hiver et /s à l'étiage en été (voir histogramme ci-dessous). Si l'on considère les valeurs extrêmes les fluctuations sont encore bien plus importantes. Ainsi le débit journalier maximum est de /s (valeur mesurée lors de la crue du 24 janvier 1995) tandis que le débit minimum sur 3 jours consécutifs est de /s (valeur mesurée entre le 27 et le 29 septembre 2003). Le débit spécifique est de ). La lame d'eau écoulée dans son bassin versant annuellement présente une valeur faible. Elle est de seulement contre pour le bassin versant voisin du Blavet à Languidic et pour celui de l'Odet à Quimper.


title: Vilaine

text: Cette valeur faible peut facilement se comprendre. La Vilaine est avant tout un fleuve de plaine. La majeure partie de son bassin est constitué par une zone de faible altitude au relief peu prononcé appelée le "bassin de Rennes".


title: Vilaine

text: Le débit de la Vilaine n'a plus rien de naturel, particulièrement en aval de Redon, et ces données sont à prendre avec prudence car soumises aux services gestionnaires du barrage d'Arzal (voir ci-dessous). Celui-ci modifie fortement l'écoulement de l'eau, transformant un fleuve turbulent qui subissait à l'origine la marée et qui avait ses humeurs, en un fleuve apathique. La Vilaine a connu avant la construction du barrage des remontées de mini raz-de-marée, les mascarets.


title: Vilaine

text: La Vilaine est reliée à la Rance depuis Rennes par le canal d'Ille-et-Rance (qui alimente la Vilaine en eau) jusqu’à la hauteur de la commune d’Évran dans les Côtes-d'Armor. Ce canal assure une continuité navigable entre la côte Sud de la Bretagne (par la Vilaine) et la côte Nord ouverte sur la Manche (par la Rance), en évitant les eaux périlleuses à l’Ouest du Finistère.


title: Vilaine

text: Autrefois très empruntée par des péniches pour le transport de matières premières, céréales et aliments pour bétail, la Vilaine et le canal d’Ille-et-Rance assurent aujourd’hui une navigation essentiellement d’agrément et touristique dans sa partie Nord au mieux jusqu'à Redon. Le canal d’Ille-et-Rance et la Rance sont en revanche d’une navigation plus aisée pour l’agrément, le niveau et le flux des eaux étant mieux contrôlés.


title: Vilaine

text: L’amont de la Vilaine a par contre un débit très irrégulier, parfois contraire à son cours à Rennes du fait des barrages autour de Vitré qui lui laissent un débit très faible en période d’étiage, comparé au débit de l’affluent de l’Ille apporté du Nord par le canal d’Ille-et-Rance; dans ces périodes d’étiage, le lit de la Vilaine subsistant à Vitré est celui d’un ruisseau de faible profondeur, que vient compléter celui également faible de la Cantache lui aussi retenu par un barrage).


title: Vilaine

text: Toutefois, la Vilaine conserve encore dans sa partie Sud un trafic limité pour le transport de sable, graviers, ciments, bois et matériaux de construction, ou déblais (parfois aussi pour le transport de structures métalliques longues, bétons préformés, comme les poutrelles et rails, et plus rarement pour le transport de carburants), essentiellement entre le port du Moustoir à Camoël et la zone industrielle à l’Ouest de Rennes. Sur cet axe toutefois, elle est directement concurrencée par le transport ferré et routier, notamment pour les échanges avec la zone portuaire de Nantes-Saint-Nazaire.


title: Vilaine

text: La Vilaine a constitué une frontière naturelle entre deux territoires. Pendant l’Antiquité, elle séparait le pays des Vénètes, peuple gaulois vivant en Armorique et qui donna son nom à la ville de Vannes, de celui des Namnètes, autre peuple gaulois d’Armorique, qui vivaient autour de l’embouchure de la Loire et donnèrent son nom à la ville de Nantes. Par la suite, la rivière a constitué une limite entre le diocèses de Vannes et le diocèse de Nantes.


title: Vilaine

text: Durant la fin de l’Antiquité et le Haut Moyen Âge, en tant que voie de communication, elle a permis les incursions, ennemies ou non, telles que l’émigration des Bretons vers l’Armorique ou les invasions normandes. Au Moyen Âge, bordée de châteaux et d’abbayes, elle était surnommée la « rivière des ducs de Bretagne ». Pendant la Renaissance, entre 1571 et 1585, la Vilaine fut la première rivière canalisée de France, par douze écluses à sas dont le concept avait été récemment importé en France par Léonard de Vinci. Son eau rapide et impétueuse, désormais contenue, les possibilités du trafic fluvial, apparu dès le , augmentèrent.


title: Vilaine

text: La Roche-Bernard, prend grâce au trafic fluvial un essor important dès le et jusqu’au où son port atteint un développement inégalé. On y trouve alors de nombreux bateaux, caboteurs naviguant de port en port sans s'éloigner des côtes ou chalands, destinés au transport des marchandises. Au , le port héberge un chantier naval prestigieux où, sur ordre de Richelieu, le premier vaisseau de ligne à deux ponts de la Marine royale, la "Couronne", est construit entre 1629 et 1633. En 1759, à la suite de la défaite de la baie de Quiberon, sept vaisseaux et une frégate viennent se réfugier dans l'estuaire pour échapper à la capture ou à la destruction.


title: Vilaine

text: Le port de Redon a connu un développement important après la canalisation de la Vilaine à la fin du . Plus de 150 vaisseaux y abordaient en une seule marée ; les marchands de Rennes, de Saint-Malo, d’Anjou, de Normandie, et de la Mayenne y accouraient, pour de là transporter dans leurs provinces toutes sortes de marchandises qu’on y trouvait en abondance. En effet, ces dernières étaient déchargées à Redon ou transbordées sur des barges qui remontaient la rivière jusqu’à Rennes. Plusieurs maisons d’armateurs ou de négociants des et siècles sont conservées sur le quai Duguay-Trouin ; elles attestent aujourd’hui de l’importante activité du port de Redon à cette époque. Rattaché à l'amirauté de Vannes, Redon était aussi le port d'attache du canot des Fermes qui surveillait la portion du fleuve comprise entre la Roche-Bernard et Redon. Dans la seconde moitié du , la production, mesurée en tonneaux, des chantiers navals de Redon était supérieure à celle d'Auray ainsi qu'à celle de Vannes. Au , les navires remontaient la Vilaine jusqu’à la Roche-Bernard et Redon chargés du sel produit dans les marais salants de Billiers et d’Ambon, de fer d’Espagne, de bois des pays nordiques, de chaux, de vin et de charbon. Ils repartaient avec les productions de pays, essentiellement du blé, et des poteaux de mines destinés à la Grande-Bretagne.


title: Vilaine

text: Mais l’activité commerciale sur la Vilaine a peu à peu périclité entre la fin du et le . Le développement du trafic ferroviaire et routier est à l’origine de ce déclin. Seul le « Saint-Germain » navigue aujourd’hui : il transporte jusqu’à Redon du sable prélevé au large de l’embouchure de la Loire. Il se partage la rivière avec les nombreux bateaux de plaisance amarrés aux ports d’Arzal, la Roche-Bernard et Foleux (commune de Béganne). Leur présence en Vilaine est possible grâce à la retenue d’eau suscitée par le barrage d'Arzal. Mis en eau en 1970, il a permis d’endiguer les fréquentes inondations hivernales dans la région de Rennes et de Vitré. Il se compose de 5 vannes de de large et de haut, pesant chacune, d’une écluse longue de , et d’une digue de terre de de long reposant sur de vase. En amont, en plus d’un bassin de plaisance toujours en eau, il permet une retenue d’eau douce qui, traitée à Férel, approvisionne une grande partie de la région (triangle Auray/Redon/Saint-Nazaire). Avant la construction du barrage et du pont de la Roche-Bernard, achevé en 1839, et après l'abandon du pont de Rieux à la fin du Moyen Âge, la traversée de la Vilaine se faisait en bac. Plusieurs existaient le long de ses rives :


title: Vilaine

text: Au Moyen Âge et jusqu’à la Révolution, les droits prélevés sur ces passages allaient aux moines de l’abbaye de Prières à Billiers. En 1793, le montant de la traversée au Moustoir s’élevait à 0,05 franc pour un cheval ou un mulet plus cavalier et valise, à 0,60 franc pour une voiture suspendue à deux roues. Le bac consistait en un bateau plat dont le fond était souvent rempli d’eau par les vagues de la « Vilaine ». Plusieurs plaintes ont été enregistrées, notamment au ; les passeurs y sont traités d’« abrutis ». Pourtant, ils avaient du mérite puisqu’avant la motorisation des bacs et pendant la seconde guerre mondiale (déficit en essence), la traversée se faisait par la force humaine, quand le courant et la marée le permettaient.


title: Vilaine

text: Des projets, sont lancés en 1783 pour rendre navigable la Vilaine de Vitré jusqu’à Redon, de joindre la Vilaine à la Rance, et à la Mayenne par deux canaux navigables (voir le canal d'Ille-et-Rance).


title: Vilaine

text: Dans les années 1970, un barrage a été construit près de son embouchure à Arzal, afin de canaliser les crues régulières de la Vilaine causées par les remontées des eaux de marées qui limitaient fortement l’écoulement des eaux fluviales. Ce barrage a créé une zone d’eau douce en amont de celui-ci. Les agglomérations de Vannes, La Baule et Saint-Nazaire y captent une partie de leur eau de consommation.


title: Vilaine

text: Le barrage doit concilier deux objectifs prioritaires différents suivant la période de l’année :


title: Vilaine

text: Cependant ce barrage du Sud ne suffit pas à éviter les inondations en Basse-Vilaine lors des crues hivernales, car l’écoulement de ces eaux est lent en période de fortes marées, le barrage d’Arzal restant fermé trop longtemps et assurant un débit trop irrégulier (et dangereux à la navigation en basses eaux lorsque le barrage est ouvert).


title: Vilaine

text: Aussi, trois barrages ont été édifiés autour de l’agglomération de Vitré :


title: Vilaine

text: "Profil altimétrique de la Vilaine de Rennes à la mer, à chaque écluse."


title: Vilaine

text: Dans les années 1970, les études d'impacts écologiques des aménagements comme les barrages étaient très faibles ou nulles. Le barrage d'Arzal a fortement modifié le flux aquatique. Les marées ne remontent plus jusqu'à Redon. Le cours d'eau s'est assagi : à marée basse un mince filet d'eau entre deux flancs vaseux ne remplace plus le fleuve plein de la marée haute. Des espèces de poisson ont été remplacées : les civelles ont disparu, les anguilles ne remontent pratiquement plus. Les espèces animales d'eau douce ont remplacé les espèces de fleuve maritime. La rivière s'enherbe et ses berges se sont fragilisées sous l'attaque conjointe des ragondins et d'un niveau d'eau trop stable. Les marais qui la longent continuent à fournir du foin aux agriculteurs, mais les années sèches, la récolte est plus faible que par le passé. La mise en place des cultures intensives de plantes fourragères comme le maïs qui était un des objectifs secondaires du barrage a échoué. Les impacts sur les bassins versants n'ont pas été étudiés.


title: Vilaine

text: Le barrage d'Arzal a aussi eu un impact humain important. Les riverains en aval de Redon vivaient en harmonie avec la rivière. La pêche de subsistance ou gastronomique y était même très active (civelle, anguille, jusqu'au le saumon). Elle s'est transformée en pêche de loisir sportive depuis les années 1990. La vision subjective de la rivière a aussi changé. La Vilaine n'est plus ressentie comme une rivière vivante qui était respectée. La navigation se faisait au rythme des marées. Les perturbations dues aux inondations découlaient des constructions faites en zones inondables en dépit du bon sens. Les aménagements routiers étaient inadaptés à ce fleuve. Les aménageurs des années 1960 et 1970 ont choisi de modifier le cours de la Vilaine plutôt que de faire des aménagements comme ceux qui longent la Loire.


title: Vilaine

text: L'estuaire de la Vilaine en amont d'Arzal a aussi subi des conséquences écologiques graves. En 1982, une mortalité massive des poissons en baie de Vilaine a déclenché une étude de l'Ifremer qui met en cause la présence du barrage. Une anoxie des eaux de fond du fait du ralentissement des eaux de marée par le barrage en est la cause principale. La quasi-disparition du bouchon vaseux a aggravé fortement la pollution de la baie de Vilaine par les nitrates et par la matière organique.


title: Vilaine

text: Le suivi de la qualité physico-chimique de la Vilaine se fait grâce à des points de prélèvement sur les communes de Bourgon, de Pocé-les-Bois, de Châteaubourg, de Cesson-Sévigné, de Rennes, de Guichen, de Pléchâtel, de Guipry, de Langon, de Sainte-Marie et de Rieux (d'amont en aval), qui donnent les résultats suivants :


title: Vilaine

text: La Vilaine a donné son nom aux rochers qui bordent la Pointe de Pen Lan (Billiers, Morbihan). Le site, d’abord appelé Roche-Vilaine, s’est vu doté d’un complexe hôtelier, imaginé par l’industriel Henri Dresch.


title: Colmar

text: Colmar est une commune française située dans la collectivité européenne d'Alsace, dans la région Grand Est. Elle est la préfecture du Haut-Rhin et, avec près de , la troisième commune alsacienne en nombre d'habitants après Strasbourg et Mulhouse. Ses habitants sont appelés les "Colmariens".


title: Colmar

text: Colmar est mentionnée pour la première fois au . Ville libre du Saint-Empire, elle est membre de la Décapole. Elle connaît un développement rapide à la fin du Moyen Âge et au cours de la Renaissance. Dotée d'une ceinture de remparts, elle souffre néanmoins des troubles liés à la Réforme, de la guerre des Paysans puis de la guerre de Trente Ans, à la suite de laquelle elle est annexée par la France. Colmar est cédée à l'Empire allemand en 1871 puis réannexée à la France à la suite de l'armistice de 1918. Bien que n'étant pas chef-lieu de région, Colmar abrite une cour d'appel. Cette particularité (qu'elle partage notamment avec Aix-en-Provence, Douai ou Riom dans des régions dont le chef-lieu n'est pas non plus siège de Cour d'appel) est due à l'élévation de la ville au rang de capitale judiciaire par l'ancien Conseil souverain d'Alsace en 1698.


title: Colmar

text: La ville possède un riche patrimoine architectural, notamment une ancienne collégiale, plusieurs couvents, un théâtre remarquable, des canaux (petite Venise) et des maisons du Moyen Âge. Sa situation, au centre du vignoble alsacien et proche du piémont vosgien, et son climat particulier propice à la culture de la vigne, lui valent le surnom de « capitale des vins d'Alsace ». C'est également une ville de culture, siège du musée Unterlinden abritant le retable d'Issenheim. Colmar est par ailleurs la ville natale du créateur de la statue de la Liberté à New York, Auguste Bartholdi et de Jean-Jacques Waltz, plus connu sous le nom de Hansi.


title: Colmar

text: La commune appartient à l'Europe rhénane, qui compte près de cent millions de personnes et s'étend des Pays-Bas à la Suisse en passant par la Belgique, le Luxembourg, la Lorraine, l'Alsace et l'ouest de l'Allemagne.


title: Colmar

text: Colmar se situe à mi-distance entre Strasbourg, au nord () et Bâle, au sud (). Fribourg-en-Brisgau est à à l'est. Plus loin, on trouve Zurich à , Luxembourg à , Genève à , Munich à , Innsbruck à , Lyon à , Milan à , Bruxelles à et Paris à . Le territoire de la commune se situe au sein de la plaine d'Alsace. Ce fossé rhénan d'effondrement, séparant le massif des Vosges à l'ouest de celui de la Forêt-Noire à l'est, est né il y a à l'occasion de la surrection des Alpes. Des fissures orientées nord-sud se formèrent alors ; la partie médiane s'effondra et fut envahie par la mer à l'Éocène supérieur (vers ) et à l'Oligocène inférieur (Rupélien, vers ). D'abord comblée par des dépôts marins qui recouvrirent le socle hercynien, la plaine accueillit le cours du Rhin qui y déposa ses alluvions fluviatiles, il y a un million d'années seulement. Dans la bordure ouest du fossé, où se trouve aujourd'hui Colmar, l'épaisseur des dépôts sédimentaires augmente avec des dépôts éocènes et oligocènes issus de l'érosion des Vosges.


title: Colmar

text: Colmar est située au nord du bassin potassique et du bassin houiller sous-vosgien mais également au sud du bassin houiller de la vallée de Villé.


title: Colmar

text: La superficie de la commune est de ; son altitude varie entre .


title: Colmar

text: Le territoire de la commune est, au pied du massif des Vosges, le troisième plus grand d'Alsace après Haguenau () et Strasbourg (), et le premier de son département devant Orbey (), Sainte-Marie-aux-Mines (), Rouffach (), Ensisheim ().


title: Colmar

text: La Lauch et ses affluents (le Brennbaechlein, le Muhlbach, le Sinnbach, le Gerberbach et la Thur) irriguent de nombreux quartiers de Colmar. Le canal du Logelbach, en partie couvert, longe la cité et l'Ill y coule à proximité, à l'est.


title: Colmar

text: Les mesures de Météo-France sont réalisées à la base aérienne de Colmar-Meyenheim, distante d'une vingtaine de kilomètres.


title: Colmar

text: Colmar est sujette à un climat semi-continental d'abri (Köppen: "Cfb"). Elle est située au piémont des Vosges. Les entrées maritimes déversent donc une grande partie de leur eau sur le versant lorrain : en s'élevant sur le versant occidental des Vosges, l'air humide se refroidit, la vapeur d'eau se condense et la pluie se déclenche. L'air redescendant sur le versant oriental est ainsi beaucoup plus sec. Ce phénomène météorologique s'appelle l'effet de foehn. Colmar est ainsi l’une des communes les plus sèches de France avec de pluie par an. À titre de comparaison, il tombe en un an plus d'un mètre d'eau à Épinal, au col de la Schlucht. Le mois de mai présente les pluies les plus abondantes.


title: Colmar

text: Colmar connaît rarement un enneigement important à cause du climat plus sec. Néanmoins de fortes chutes de neige occasionnelles ne sont pas à exclure comme le où plus de de neige sont tombés en l'espace d'une journée, ce qui n'était pas arrivé depuis près de vingt ans.


title: Colmar

text: La station météorologique de Météo-France installée sur la commune et mise en service en 1972 permet de connaître en continu l'évolution des indicateurs météorologiques. Le tableau détaillé pour la période 1981-2010 est présenté ci-après.


title: Colmar

text: L'autoroute A35, appelée également « rocade est » à hauteur de la ville, dispose de quatre échangeurs ( à ) dans le sens sud-nord (Colmar Centre, Colmar Semm, Ladhof et Rozenkranz) et de deux échangeurs ( et ) dans le sens nord-sud (Rosenkranz et Colmar sud). Elle relie Strasbourg () au nord, Mulhouse () et Bâle () au sud.


title: Colmar

text: La rocade ouest permet quant à elle de contourner Colmar par le nord et l'ouest, évitant ainsi tout le transit des poids-lourds. Ce boulevard urbain est à entre le Ladhof et Ingersheim.


title: Colmar

text: Depuis la mise en œuvre du nouveau plan de circulation au centre-ville à l', deux rocades limitent le transit par l'hypercentre. Chacune circule en sens opposé.


title: Colmar

text: La ville compte environ de stationnement sur des parkings gratuits ou à disque, dont une soixantaine pour personnes à mobilité réduite (PMR) (hors stationnement gratuit sur chaussée ou à cheval sur trottoirs). La ville dispose également de six parcs de stationnement payants : le parc de stationnement souterrain de la place Rapp (), le parc de stationnement souterrain et en silo de la place Lacarre (), le parc de stationnement souterrain de la Montagne Verte (), le parc de stationnement ouvert de la place Saint-Josse (), le parc de stationnement souterrain de la place de la Mairie () et le parc de stationnement en silo « Gare/Bleylé » (), situé à côté de la gare de Colmar.


title: Colmar

text: La gare de Colmar est la principale gare de l'agglomération, et sert également de gare routière. Située au milieu de l'axe ferroviaire Strasbourg - Mulhouse - Bâle (TER 200), elle est desservie par des trains régionaux toutes les 30 minutes aux heures de pointe. La commune possède deux autres haltes ferroviaires affectées au trafic TER : les gares de Colmar-Saint-Joseph et Colmar-Mésanges. L'ancienne gare de Colmar-Sud est aujourd'hui fermée. La ligne Colmar - Munster - Metzeral assure une desserte voyageurs de la vallée de Munster.


title: Colmar

text: Depuis le , la ville est reliée à la grande vitesse grâce à la mise en service du premier tronçon de la LGV Est européenne. Deux allers-retours quotidiens vers Paris-Est sont programmés. La seconde phase de cette ligne à grande vitesse, ouverte en juillet 2016, a fait passer le meilleur temps de parcours entre Colmar et Paris à contre plus de auparavant. De plus, Colmar est à de Lyon et à 5h de Marseille depuis la mise en service de la branche Est de la nouvelle ligne à grande vitesse Rhin-Rhône entre Dijon et Mulhouse le .


title: Colmar

text: Une liaison ferroviaire entre Colmar et Fribourg pourrait être rétablie à l'horizon 2026-2027.


title: Colmar

text: Colmar dispose également d'une gare aux marchandises.


title: Colmar

text: Le port de plaisance de Colmar permet l'accostage de sur huit pontons, desservis en eau et en électricité. Il dispose d'une capitainerie avec sanitaires, douches, lingerie, boutique avec accastillage et parking clôturé pour bateaux et voitures.


title: Colmar

text: Il dispose depuis 2006 du pavillon Bleu d'Europe, qui récompense et valorise les communes et les ports de plaisance français qui répondent à des critères d'excellence pour la gestion globale de leur environnement.


title: Colmar

text: Le port collectionne également de nombreux trophées et récompenses en matière de fleurissement.


title: Colmar

text: Le port Rhénan Colmar/Volgelsheim avec de fret ferroviaire par an est la plate-forme logistique « Eau-Fer-Route » du Centre-Alsace.


title: Colmar

text: L'aéroport de Colmar-Houssen a vu le jour en 1953, il est utilisé essentiellement pour l'aviation d'affaires et sportive. Depuis 1960, il permet également l'aviation d'affaire. Utilisé pour le transport médical d'urgence, il est de ce fait ouvert 24h/24. La gestion de la plate-forme aéroportuaire de Colmar, un temps menacée de fermeture, a été confiée depuis 2007 à l'entreprise Liebherr.


title: Colmar

text: Deux aéroports internationaux sont situés à moins de , l'aéroport de Strasbourg-Entzheim et l'aéroport de Bâle-Mulhouse-Fribourg, tous deux en accès direct par l'autoroute A35.


title: Colmar

text: Le premier réseau de transports publics est inauguré en , quand la ville lance une première ligne d'omnibus entre l'ancienne gare et la place du Saumon. Une seconde ligne est ouverte en . Le réseau est exploité successivement par trois sociétés privées.


title: Colmar

text: En 1902, Colmar met en service sa première ligne de tramway. En 1935, elle en comptait trois dont une ligne périurbaine Colmar-Wintzenheim. Dans les années 1960, à la suite de la hausse du prix du pétrole et de l'usage de plus en plus courant de l'automobile, l'exploitation du tramway est arrêtée, comme ce fut le cas également à Mulhouse et Strasbourg.


title: Colmar

text: Le réseau de bus de la TRACE (TRAnsports de Colmar et Environs), créé en 1990, desservait à l'origine trois communes : Colmar, Horbourg-Wihr et Wintzenheim. Actuellement, le réseau en compte vingt-deux pour environ .


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text: En 2015, la TRACE exploite seize lignes du lundi au samedi (neuf , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9) et sept lignes interurbaines (, 21, 22, 23, 24, 25 et 26). S'y ajoutent trois lignes les dimanches et jours fériés (, B et C), une ligne événementielle () ainsi qu'un minibus sur demande pour les personnes a mobilité réduite.


title: Colmar

text: En 2007, ont emprunté les transports publics colmariens.


title: Colmar

text: C'est l'un des premiers réseaux de France à avoir mis en service des bus fonctionnant au gaz naturel (GNV) à partir de 1998. Le réseau Trace est actuellement l'un des réseaux de transport urbain les plus propres de France avec plus de 90 % des bus (37 sur un total de ) circulant avec la motorisation au gaz naturel.


title: Colmar

text: Depuis le 27 avril 2019, des petits bus électriques circulent en centre ville. Leur utilisation est gratuite.


title: Colmar

text: Concernant l'aménagement des arrêts de bus, 73 sont équipés d'un système d'information des voyageurs leur permettant de connaître l'heure d'arrivée du prochain bus en temps réel et 54 % permettent l'accessibilité à des personnes à mobilité réduite.


title: Colmar

text: Une quinzaine de lignes de bus départementales ont leur origine et destination à Colmar. Le point de correspondance de toutes les lignes interurbaines se situe à la gare de Colmar. Les lignes de bus circulant à Colmar sont la (Colmar - Route des vins - Ribeauvillé), la (Colmar - Ribeauvillé - Saint-Hippolyte), la (Colmar - Orbey - Le Bonhomme), la (Colmar - Trois-Épis - Labaroche), la (Colmar - Husseren - Obermorschwihr), la (Colmar - Munster - Soultzeren), la (Colmar - Neuf-Brisach - Balgau), la (Colmar - Neuf-Brisach - Biesheim), la (Colmar - Neuf-Brisach - Baltzenheim), la (Colmar - Neuf-Brisach - Ohnenheim), la (Colmar - Dessenheim - Weckolsheim), la (Colmar - Marckolsheim - Artzenheim), la (Colmar - Ensisheim - Mulhouse), la (Colmar - Ensisheim - Fessenheim) et la (Colmar - Ensisheim - Guebwiller).