title: Concorde (avion)

text: Le Concorde détient toujours le record des liaisons commerciales les plus rapides :


title: Concorde (avion)

text: Le passager qui a le plus souvent volé sur Concorde, un Britannique dénommé Fred Finn, a effectué sur Concorde entre 1976 et 2003, dont trois le même jour.


title: Concorde (avion)

text: La vitesse et les horaires de Concorde (départ à de l'aéroport Paris-Charles-de-Gaulle et arrivée à à l'aéroport John-F. Kennedy) ont facilité certaines négociations diplomatiques. Dans des moments critiques pour la paix dans le monde (Yougoslavie et guerre du Golfe), les diplomates et Kofi Annan, ex-secrétaire général de l'ONU, ont utilisé le Concorde dans les deux sens.


title: Concorde (avion)

text: De plus, le passage des chefs d'État et diplomates à Paris pour prendre le Concorde était l'occasion d'une visite au locataire de l'Élysée avant de s'envoler vers leur destination finale.


title: Concorde (avion)

text: En 1991, François Mitterrand a utilisé le Concorde pour se rendre en Arabie saoudite quelques jours avant la guerre du Golfe afin de rencontrer le roi et de soutenir les troupes françaises stationnées dans le Royaume.


title: Concorde (avion)

text: La réaction des riverains d'aéroports contre la perspective d'importantes nuisances sonores dues aux vols a aussi représenté un changement social important. Avant les premiers essais en vol du Concorde, les nouveautés de l'industrie civile aéronautique étaient largement acceptées par les gouvernements démocratiques et leurs électeurs. Les protestations populaires (particulièrement sur le survol de la côte est des États-Unis) contre le bruit du Concorde ont marqué un point de rupture politique. Par la suite, les scientifiques et ingénieurs de domaines variés ont commencé à prendre en compte plus sérieusement les impacts environnementaux et sociaux de leurs innovations.


title: Concorde (avion)

text: De ce point de vue, le grand bond en avant technique incarné par le Concorde a aussi été un bond en avant pour la sensibilisation du public (et des médias) aux conflits entre la technologie et les écosystèmes naturels qui sont toujours d'actualité. Grâce à cela, beaucoup d'avions actuels produisent moins de particules polluantes et de nuisances sonores, et cela est peut-être une partie de l'héritage du Concorde. L'usage et la construction de murs antibruit le long des lignes SNCF de TGV et d'autoroute n'auraient peut-être pas été si développés sans les protestations des années 1970 au sujet de la pollution sonore des avions. Un billet sur une ligne régulière Concorde était un privilège pour les plus aisés. Cependant, certains vols charter circulaires (les boucles supersoniques) ou aller simple (avec retour en voiture, train ou bateau) étaient organisés et accessibles à des passionnés moins fortunés.


title: Concorde (avion)

text: Le Concorde est aussi apparu lors d'événements royaux au Royaume-Uni, volant parfois en formation avec la patrouille des Red Arrows. Il a aussi participé à de nombreux salons aéronautiques, et a été accompagné par la Patrouille de France.


title: Concorde (avion)

text: Un timbre a été édité en France à son effigie, l'exemplaire en photo étant F-BTSC. Un cachet "premier courrier postal supersonique" a également existé pour la première desserte de Rio de Janeiro par courrier postal en Concorde (qui n'eût cependant pas de suite).


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text: La Britannique Barbara Harmer et la Française Béatrice Vialle sont les deux seules femmes pilotes professionnelles du Concorde. Jacqueline Auriol a piloté l'appareil en tant que pilote d'essai.


title: Concorde (avion)

text: En 1992, Aérospatiale Avions a présenté un avant-projet de supersonique « Alliance » dit ATSF pour Avion de Transport Supersonique du Futur. Ce projet devait transporter sur à une vitesse similaire (Mach 2). Grâce à un allongement plus important ( au lieu de ) la finesse aérodynamique aurait été de 10 au lieu de pour le Concorde ; la consommation spécifique (rapportée à la poussée) restant du même ordre, au lieu de , la consommation par passager pour serait descendue de 18 à . Les valeurs actuelles (en 2010) pour les avions subsoniques les plus économes sont de l'ordre de 2,5 à par passager.


title: Concorde (avion)

text: En , la compagnie EADS qui codétient Airbus (avec BAe Systems) annonça qu'elle travaillait avec des compagnies aériennes japonaises pour développer un avion plus grand et deux fois plus rapide (hypersonique) que Concorde. Le projet ZEHST a été présenté au salon international du Bourget en juin 2011.


title: Concorde (avion)

text: Concernant les aides d'État à la recherche, le réseau « Recherche aéronautique sur le supersonique » créé en 2000 par la direction de la Technologie (ministère de la Recherche) a été clos en 2004.


title: Concorde (avion)

text: Un accord de coopération entre le Groupement des industriels français de l'aéronautique et de l'espace (Gifas) et son homologue japonais SJAC a été signé lors du Salon du Bourget 2005. Le supersonique franco-japonais qui pourrait succéder au Concorde devrait transporter entre Mach 1,6 et 1,8 à d'altitude, sur . Son premier vol pourrait s'effectuer en 2017.


title: Concorde (avion)

text: Les projets « hypersoniques » plus futuristes que réalistes étant mis de côté, il semble qu'un avion supersonique « possible » aurait une vitesse d'environ Mach 1,6, et des moteurs à double flux sans réchauffe présentant le meilleur rendement possible en subsonique. La question de la finesse aérodynamique, très inférieure à celle d'un avion subsonique, reste entière.


title: Concorde (avion)

text: La compagnie britannique Reaction Engines Limited est engagée dans un programme de recherche appelé LAPCAT, financé à 50 % par l'Union européenne via l'Agence Spatiale Européenne. Ce projet a pour but d'étudier la possibilité d'un avion fonctionnant à l'hydrogène et transportant , l'A2. Cet avion hypersonique serait capable de voler entre Bruxelles et Sydney à Mach 5 en . Il s'agit seulement d'une application prospective dérivée de leur projet d'avion spatial Skylon comprenant les technologies clefs, notamment le très innovant moteur hybride Sabre dont la variante appliquée à l'avion civil A2 s'appelle Scimitar ; celui-ci autorise l'entrée d'air à haute vitesse dans les moteurs, mais l'air est néanmoins refroidi et ralenti avant d'entrer dans le compresseur du moteur au moyen de l'hydrogène, embarqué dans d'imposants réservoirs, qui sert à la fois de refroidisseur et de carburant.


title: Concorde (avion)

text: Un autre projet encore plus ambitieux est étudié par l'agence spatiale allemande (Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt) et soutenu également par l'Union européenne et l'ESA. Cet avion suborbital, le SpaceLiner, serait capable de relier l'Australie à l'Europe en seulement en atteignant une vitesse maximale supérieure à Mach 20.


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text: La prochaine génération d'avion supersonique pourrait être l'avion "Boom" construit par l'entreprise Boom Technology, ou encore le Lockheed Martin X-59 QueSST (« Quiet Supersonic Transport »).


title: Concorde (avion)

text: La réalisation du Concorde est le résultat d'une coopération interétatique dont le fondement est l'accord du 29 octobre 1962 de Londres conclu entre la France et la Grande-Bretagne « pour la construction d'un avion de transport supersonique civil ». Par ce traité, les gouvernements orchestrent le projet et chapeautent le travail des industriels. D'ailleurs, le traité entérine les accords passés entre industriels, c'est-à-dire entre les constructeurs français et les constructeurs britanniques. Il s'agit de l'accord du 28 novembre 1961 concernant l'ensemble propulsif, passé entre la SNECMA (la société française nationale d'études de construction des moteurs d'avion) et Bristol Siddeley d'une part, et de l'accord du 25 octobre 1962 concernant les éléments de cellule, conclu entre Sud Aviation et British Aircraft Corporation, d'autre part.


title: Concorde (avion)

text: Ce traité a été modifié par 6 annexes ultérieures sur la définition technique des avions (annexe 1), quant à l'organisation au sein des industries nationales (annexes 2 et 3), portant calendrier du programme (annexe 4), définissant un plan de financement et un échéancier des engagements (annexe 5), et enfin relativement au partage du travail (annexe 6).


title: Concorde (avion)

text: Le traité pose un principe d'une égalité parfaite entre les deux États : « le principe de la collaboration est le partage égal entre les deux pays, du travail, des dépenses engagées par les deux pays et du produit des ventes » (article 2).


title: Concorde (avion)

text: À la suite de nombreuses « crises de coopération », en 1964, la Grande-Bretagne souhaite se retirer du programme mais l'accord ne contenant aucune clause de retrait, le projet commun pourra être mené à bien.


title: Concorde (avion)

text: D'après l'article 31 de la Convention Universelle de Chicago de 1944 relative à l'aviation civile internationale : « tout aéronef employé à la navigation internationale doit être muni d'un certificat de navigabilité délivré par l'État dans lequel il est immatriculé ». À cette fin, les États établissent les normes techniques, autrement appelées « règlements de navigabilité », à l'instar de la célèbre « FAR part 25 » (Federal Aviation Regulation 25) contenant les prescriptions techniques de sécurité en matière de conception publiées par l'administration américaine. Les constructeurs se voient délivrer un certificat de navigabilité si leur avion est contrôlé par les États comme conforme à leurs règlements de navigabilité.


title: Concorde (avion)

text: Les constructeurs de Concorde déposent leur demande en 1960 auprès des administrations françaises et britanniques (la DGAC, direction générale de l'aviation civile, et l'ARB, ) et en 1965 auprès de l'administration américaine (la FAA, Federal Aviation Administration). Prévus pour 1966, les essais en vol ont finalement lieu en 1969 et le premier certificat est délivré en 1975. La rédaction de nouvelles normes de navigabilité s'est en effet avérée chronophage, pour combler ce qu'on appelle communément un "vide juridique".


title: Concorde (avion)

text: Dans les années 1960, les règlements de navigabilité nationaux sont adaptés aux caractéristiques des vols subsoniques, et ne peuvent pas répondre aux exigences du transport supersonique. De plus, les États-Unis travaillent aussi à la réalisation de leur programme supersonique (jusqu'en 1971, date de son abandon par le Sénat américain). Ils sont donc eux aussi dans l'obligation de faire évoluer leurs règlements de navigabilité, qui plus est, en commun avec les Anglais et Français.


title: Concorde (avion)

text: D'une part, l'article 33 de la Convention de Chicago relative à l'aviation civile internationale de 1944 pose un principe de reconnaissance mutuelle de la validité des certificats : « Les certificats de navigabilité (...) délivrés ou validés par l’État contractant dans lequel l’aéronef est immatriculé, seront reconnus valables par les autres États contractants si les conditions qui ont régi la délivrance ou la validation de ces certificats (…) sont équivalentes ou supérieures aux normes minimales qui pourraient être établies conformément à la Convention ». Par « normes minimales », on entend notamment les normes fixées à l'annexe 8 (à la convention précitée de 1944) adoptée en 1949. Cette annexe 8 « Navigabilité des aéronefs » comprend les règles minimales en matière de sécurité des aéronefs et en matière de délivrance des certificats. Cette annexe, toujours en vigueur, a pour but d'assurer un standard minimal de sécurité des vols internationaux civils. Cela précisé, le principe de reconnaissance mutuelle n'est pas absolu dans sa portée, notamment au regard de la question de l'importation des avions.


title: Concorde (avion)

text: Et d'autre part, dans les années 1960, des compagnies américaines se sont positionnées pour l'achat d'avions Concorde (notamment la compagnie Braniff). Or, en matière d'avions importés, des accords particuliers ont été conclus, en marge des accords bermudiens. Ici, l'accord du 26 septembre 1973 entre la France et la Grande-Bretagne stipule : « les autorités aéronautiques auront le droit de subordonner leur reconnaissance de toute certification émise par les autorités de l'État exportateur, à l'observation de toute exigence additionnelle que l'État importateur considère comme nécessaire pour être assuré que le produit atteint un niveau de sécurité équivalent à celui auquel conduirait l'application de la législation, de la réglementation et des exigences en vigueur en la matière pour un produit similaire fabriqué dans l'État importateur » (art. 4). L'accord du 28 décembre 1972 conclu entre les États-Unis et la Grande-Bretagne contient une disposition similaire. À travers la disposition précitée, il s'agit de garantir une compétition économique équitable entre avions importés et avions nationaux tout en tirant les standards de sécurité vers le haut.


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text: Ainsi, en vertu de ces accords, les avions Concorde franco-anglais importés peuvent théoriquement se voir opposer par les Américains des prescriptions supplémentaires applicables aux avions supersoniques américains.


title: Concorde (avion)

text: À ce stade de leur programme, les trois États protagonistes ont donc un intérêt commun à établir des normes harmonisées pour supprimer les obstacles juridiques dans la réalisation de leurs programmes technologiquement complexes et coûteux.


title: Concorde (avion)

text: La coopération normative tripartite commence en 1961 avec une première conférence. La seconde se tient en 1963. Réunion des membres de la DGAC, du ARB et la FAA, la conférence prend le nom de « FAUSST » (French, Anglo, US Supersonic Transport), forum visant à créer des règlements de navigabilité harmonisés.


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text: Après , le Forum FAUSST débouche sur l'élaboration de normes communes en 1968 appelées « SST STANDARDS » (supersonic transportation standards) et qui serviront de référentiel de certification.


title: Concorde (avion)

text: Entre 1969 et 1975, deux mille heures de simulateur permettent de lever des doutes sur


title: Concorde (avion)

text: Mille sept (1007) heures de certification seront nécessaires pour lever les . À l'issue de ce travail, Concorde reçoit son certificat de navigabilité de la DGAC () puis du ARB (). Il recevra son certificat américain en le .


title: Concorde (avion)

text: En plus d'un certificat de navigabilité, les aéronefs doivent aussi obtenir un certificat de limitation de nuisance attestant qu'ils respectent les normes en vigueur de limitation de bruit (et de pollution aérienne) ce qui inclut les minima de « bruit des aéronefs » (1971) à la Convention de Chicago. Mais Concorde ne possède aucun certificat de limitation de nuisances. En ce qui concerne le bruit plus particulièrement, la certification franco-britannique ou américaine aurait nécessité l'élaboration de normes acoustiques nouvelles adaptées aux supersoniques. Cependant, les États décident de ne pas se livrer à une telle opération. Concorde bénéficiera donc d'un « traitement de faveur ».


title: Concorde (avion)

text: Notamment, la réglementation des États-Unis, la « FAR part 36 » fixant les niveaux acoustiques, n'a pas été adaptée aux supersoniques. L'administration américaine a décidé que les avions Concorde mis en service avant 1980 – soit tous les avions Concorde – seraient exemptés de plafonds acoustiques. Ils bénéficient de ce qui a été appelé la « clause du grand-père » aux États-Unis (voir ci-après).


title: Concorde (avion)

text: Au sein de l'OACI, ce traitement privilégié se retrouve dans l'ancien chapitre 12.2 de l'annexe 16 « bruit des aéronefs » (actuel chapitre 3 modifié) : pour les demandes de certification de supersoniques introduites avant 1975 (c'est le cas de Concorde), aucun niveau acoustique n'est applicable.


title: Concorde (avion)

text: Pour de nombreux pays de l'époque, accueillir Concorde est un honneur, et ils sont prêts à accepter son atterrissage sur leurs sols, même non muni d'un certificat de nuisances (Brésil, Sénégal, Mexique notamment). Ils se révèlent des « destinations accueillantes ».


title: Concorde (avion)

text: Enfin, les certificats de limitation de nuisances ne bénéficient pas du principe de reconnaissance mutuelle.


title: Concorde (avion)

text: En raison des craintes des populations survolées, le 31 août 1966, un arrêté du Premier Ministre français créé une commission « chargée d'étudier les implications d'une éventuelle expérimentation destinée à étudier la tolérance des populations au bruit engendré par le vol supersonique ».


title: Concorde (avion)

text: L'OACI (Organisation de l'Aviation Civile Internationale) vote également une première résolution n°A-16-4 en septembre 1968 sur le sujet, qui est complétée par une deuxième en 1978 (n°A 22-14) dénommée « problèmes techniques et économiques que pose la mise en service commerciale d'avions supersoniques ». L'OACI y invite les États qui ont entrepris la construction d'avions supersoniques à lui présenter des propositions sur la manière de protéger les populations des effets du bang.


title: Concorde (avion)

text: Finalement, le 28 mars 1973, malgré les espoirs franco-britanniques, la FAA interdit le survol du territoire américain en mode supersonique dans sa réglementation FAR 91. En cette même année 1973, l'Allemagne, le Canada, le Danemark, le Japon, la Norvège, les Pays-Bas, la Suède et la Suisse imitent les États-Unis. Cette interdiction finit par se généraliser dans le monde. Concorde ne pourra survoler à vitesse supersonique que les territoires aériens adjacents à la haute mer (zone internationale). Les terres habitées seront survolées en mode subsonique, le temps de rejoindre la limite externe des mers territoriales. Les routes au-dessus des eaux internationales (océans) seront donc privilégiées pour les vols Concorde. Enfin, la seule compagnie américaine (Braniff) à exploiter l'avion assurera les lignes intérieures américaines en mode subsonique.


title: Concorde (avion)

text: Au moment de délivrer aux compagnies un permis d'exploitation du Concorde sur le sol américain, le contexte américain est assez peu favorable. Sur le plan politique fédéral par exemple, dès 1975 un sénateur et un représentant tentent d'introduire une proposition de loi pour supprimer les aides fédérales aux aéroports laissant atterrir des avions supersoniques ne respectant pas la FAR 36. La tentative échoue, comme les suivantes intentées jusqu'en 1977.


title: Concorde (avion)

text: L'administration américaine délivre finalement aux compagnies Air France et British Airways un permis d'exploitation sur le sol américain. Dans sa décision du 4 février 1976, les deux principaux arguments juridiques de la décision du secrétaire d'État W. T. Coleman sont les suivants :


title: Concorde (avion)

text: Concorde est donc autorisé à atterrir aux États-Unis au titre d'une période test de , puis définitivement en juin 1978.


title: Concorde (avion)

text: La décision administrative « Coleman » fait l'objet d'un recours produit par le Comté de Fairfax dans lequel se situe l'aéroport de Washington Dulles et par une association de protection de l'environnement appelée .


title: Concorde (avion)

text: Finalement, la juridiction américaine saisie confirme la décision Coleman qui devient pleinement exécutoire le .


title: Concorde (avion)

text: Si Concorde peut atterrir à Washington dès le , il devra attendre plus d'un an et demi pour atterrir à New York JFK en raison d'une décision du prise par l'Autorité Portuaire des États de New York et du New Jersey, qui gère l'aéroport de New York JFK.


title: Concorde (avion)

text: Atterrir à New York est évidemment crucial pour la réussite du programme Concorde. Or, le , l'Autorité Portuaire de New York et du New Jersey vote une résolution refusant temporairement l'accès de Concorde aux installations portuaires de l'aéroport JFK de New York. L'autorité motive l'interdiction par le non-respect des limites maximales fixées par l'autorité elle-même (à savoir 112 PN décibels, Perceived Noise Decibels) et par la production de basses fréquences aux effets inconnus sur la santé. À l'époque, les douze commissaires constituant l'Autorité sont directement sous l'autorité de l'État de New York, dont le Gouverneur M. Hugh Carey est un des plus influents détracteurs du Concorde.


title: Concorde (avion)

text: Les compagnies et constructeurs du Concorde s'emploient alors activement à démontrer à l'Autorité que l'avion peut respecter les en utilisant les pistes 31L et 22R avec une procédure de décollage particulière, et que Concorde n'émet pas de basses fréquences dangereuses.


title: Concorde (avion)

text: L'Autorité renouvelle son interdiction le puis le pour une durée indéterminée. Après une campagne active mais infructueuse de communication auprès de l'Autorité, les compagnies, constatant le temps perdu, portent l'affaire devant la justice américaine.


title: Concorde (avion)

text: Tout se joue en appel le . Le juge Kaufmann donne d'abord raison à l'Autorité en rappelant l'affaire City of Burbank vs. Lockheed Air Terminal de 1973. Dans cet arrêt précité, la Cour Suprême admet que la compétence fédérale (à travers la FAR 91 et en particulier la FAR 36) ne fait pas obstacle à celle des propriétaires d'aéroports d'édicter des niveaux acoustiques complémentaires. Cependant, le juge Kaufman pose une réserve à cette compétence : « les propriétaires peuvent refuser l'accès de leurs aéroports à des avions considérés trop bruyants, à condition qu'un tel refus ne soit ni arbitraire ni discriminatoire ». Or, à l'audience, l'Autorité, si elle reconnaît que Concorde peut respecter les , ne parvient toujours pas à démontrer l'existence de basses fréquences dangereuses pour la santé malgré d'études . L'inaction publique est jugée déraisonnable et donc discriminatoire envers un aéronef étranger. Le 17 octobre 1977, la procédure judiciaire se termine et Concorde peut atterrir à New York le 22 novembre 1977.


title: Concorde (avion)

text: Le 2 mars 2019, un peu partout dans le monde on fêtait les du premier vol du Concorde. En effet, ce fut le 2 mars 1969 que s'élançait dans les airs le tout premier "Concorde 001" depuis l'aéroport de Toulouse-Blagnac, à 15 heures passées de .


title: Concorde (avion)

text: Le musée Aeroscopia à Toulouse organise à cette date une journée spéciale où étaient prévues différentes activités. Comme par exemple, la visite du cockpit du "Concorde 201", le premier Concorde de série ou encore une séance de dédicace en présence de Gérard Maoui, le coauteur du livre "Concorde La légende du supersonique" (André Rouayroux et Gérard Maoui, Éditions Privat, 2018).


title: Concorde (avion)

text: Le musée aérospatial de Bristol a organisé un événement singulier. Le nez et la visière du Concorde 216 (immatriculé G-BOAC) ont été mis en mouvement. Pour cela le circuit hydraulique du Concorde a été repressurisé et certains circuits électriques ont dû être réactivés.


title: Axiomes des probabilités

text: En théorie des probabilités, les axiomes de probabilités, également appelés axiomes de Kolmogorov du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov qui les a développés, désignent les propriétés que doit vérifier une application formula_1 afin de formaliser l'idée de probabilité.


title: Axiomes des probabilités

text: Ces propriétés peuvent être résumées ainsi : si formula_1 est une mesure sur un espace mesurable formula_3, alors formula_4 doit être un espace de probabilité.


title: Axiomes des probabilités

text: Le théorème de Cox fournit une autre approche pour formaliser les probabilités, privilégiée par certains bayésiens.


title: Axiomes des probabilités

text: Dans ce qui suit, on considère un ensemble non vide  formula_5 muni d'une tribu formula_6.


title: Axiomes des probabilités

text: On appelle évènements les éléments de formula_6.


title: Axiomes des probabilités

text: Pour tout événement formula_8 :  C'est-à-dire que la probabilité d'un événement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.


title: Axiomes des probabilités

text: formula_10 désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,


title: Axiomes des probabilités

text: C'est-à-dire que la probabilité de l'événement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des événements élémentaires est égale à 1.


title: Axiomes des probabilités

text: Toute famille dénombrable d'événements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), formula_12 satisfait :


title: Axiomes des probabilités

text: C'est-à-dire que la probabilité d'un événement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'événements est égale à la somme des probabilités de ces événements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les événements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).


title: Axiomes des probabilités

text: À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :


title: Axiomes des probabilités

text: Remarque : en particulier, cela interdit à l'univers d'être vide, le deuxième axiome exigeant que sa mesure vaille 1 (et ne soit donc pas nulle "a fortiori").


title: Axiomes des probabilités

text: Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence formula_21. Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de formula_22 et de formula_23


title: Axiomes des probabilités

text: C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas particulier où formula_24, la propriété précédente s'écrit Ceci signifie que la probabilité pour qu'un événement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'événement contraire que celle de l'événement lui-même. Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des événements formula_15 "ou" formula_16 se réalise est égale à la somme des probabilités pour que formula_15 se réalise, et pour que formula_16 se réalise, moins la probabilité pour que formula_15 "et" formula_16 se réalisent simultanément. De même, qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles "non nécessairement disjoints".C'est-à-dire que la probabilité de la limite d'une suite croissante d'événements (qui est dans ce cas la réunion - dénombrable - de tous les événements de cette suite) est égale à la limite de la suite numérique des probabilités de ces événements.C'est-à-dire que la probabilité de la limite d'une suite décroissante d'événements (qui est dans ce cas l'intersection - dénombrable - de tous les événements de cette suite) est égale à la limite de la suite numérique des probabilités de ces événements. De manière équivalente, on définit plus simplement le triplet formula_49 représentant un espace probabilisé, comme un espace mesuré dont la mesure, formula_1, a la particularité d'avoir une masse totale égale à 1 : formula_51


title: Mongols

text: Les Mongols sont un peuple nomade vivant actuellement en Mongolie, en Russie et en Chine. Les quatre ethnies principales sont les Mongols centraux (dont le Khalkha est le dialecte dominant de Mongolie et tchakhar, celui de Mongolie-Intérieure) , les Oïrates, les Bouriates et les Kalmouks. Ils sont actuellement environ 10 millions, dont près de 5,8 millions en Chine. Leurs langues forment un groupe spécifique de la famille altaïque comportant plusieurs langues. Les principales sont le khalkha, dialecte devenu langue vernaculaire de Mongolie, le tchakhar, dialecte vernaculaire de Mongolie-Intérieure, le bouriate, parlé en Bouriatie, dans les deux Mongolies et dans d'autres républiques de Sibérie et le kalmouk, parlé en Kalmoukie. Les Mongols pratiquent traditionnellement un bouddhisme lamaïste (dit tibétain) teinté d'animisme voire de chamanisme.


title: Mongols

text: À l'origine d'un des plus grands empires de tous les temps, qui s'étendit de la mer de Chine méridionale jusqu'au-delà de la Volga au et au , ils conservent encore leur culture, malgré leur éclatement en quatre entités politiques distinctes ; outre la langue et l'histoire, cette culture profondément originale couvre des domaines tels la musique, la religion, les fêtes, les sports, le mode de vie, et enfin l'organisation sociale.


title: Mongols

text: Les Mongols sont répartis principalement dans quatre territoires, dont un seul est souverain : la Mongolie. En Russie, ils disposent de deux républiques disposant d'une autonomie relative : la Bouriatie et la Kalmoukie. En Bouriatie, du fait du processus de colonisation russe, les Bouriates ne représentent que 25 % de la population. Ils se démarquent des autres ethnies mongoles par une certaine conservation des anciennes croyances chamanistes, malgré leur conversion au bouddhisme. En Chine, la majeure partie des Mongols se trouve dans la province autonome de Mongolie-Intérieure, où sont présents plus de 5 millions de Mongols, mais où ils restent une minorité vis-à-vis des Chinois Han. Il existe également des minorités mongoles dans le Xinjiang, le Qinghai et le Gansu.


title: Mongols

text: On compte environ 25 ethnies mongoles au total. Les Khalkhas, principalement urbains, constituent la majorité en Mongolie. Diverses petites ethnies cohabitent dans les monts Altaï, dont les Oïrates, voisins des Kalmouks. Les Oïrates sont à l'origine de l'Empire de Dzoungarie, aux et , vaincu et annexé par la Chine. Les Oïrates émigrèrent alors sur les bords de la Volga, puis une partie d'entre eux repartit en Mongolie, mais ils furent décimés en cours de route par les Kazakhs : ce sont les Oïrates actuels. Les Kalmouks sont littéralement « ceux qui sont restés ». Ces derniers faisaient partie des « peuples punis » par Staline, accusés d'avoir coopéré avec les armées blanches. En Mongolie-Intérieure, il existe diverses ethnies regroupées sous le nom de Mongols Occidentaux. Au nord, ce sont les Bouriates qui dominent.


title: Mongols

text: D'après Jean-Christophe Tamisier, on peut classer les ethnies mongoles comme suit :


title: Mongols

text: Au premier millénaire de notre ère, les Turco-mongols vivaient probablement en chasseurs-cueilleurs en Sibérie orientale, sur le cours supérieur du fleuve Amour. Les Mongols, les Toungouses et les Turcs ne faisaient qu'un. Tandis que les Toungouses restaient, les Mongols et les Turcs s'établirent dans les régions steppiques voire désertiques au Nord de la Chine, où ils devinrent donc nomades.


title: Mongols

text: Pendant toute l'Antiquité, les Turco-Mongols vécurent en guerriers nomades, faisant régulièrement des raids en Chine, et établissant de temps en temps des empires éphémères, dirigés par des hommes de guerre forts mais s'effondrant dès la mort de ceux-ci. Les hommes se divisaient alors en multiples tribus, ce qui les rendait beaucoup plus vulnérables. À l'instar des Romains, les Chinois se servaient parfois d'une de ces tribus pour se protéger d'une autre.


title: Mongols

text: Les Turcs comme les Mongols ont conquis de nombreuses terres en occident. Certains peuples de ces deux cultures se retrouvent en Europe (Huns, Horde d'or…), où à l'Ouest de l'Asie, d'autres sont restés attachés à leur terres comme les Kazakhs et Kirghizes (Turcs) ou certains Mongols.


title: Mongols

text: Au , les Mongols se rassemblèrent sous Gengis Khan (« le roi universel » en mongol, de son vrai nom Temüdjin). Celui-ci soumit la Sibérie méridionale, le nord de la Chine, le royaume Xia (dirigé par les Tanguts), puis le Khara Kitaï et le Khwarezm en Asie Centrale. Ses successeurs bâtirent l'un des plus grands empires ayant jamais existé, en conquérant le reste de l'Asie Centrale et de la Chine, le Moyen-Orient, la Russie. Ils poussèrent à l'ouest jusqu'en Autriche, à l'est ils attaquèrent (en vain) le Japon, la Birmanie au Sud, et allèrent même jusqu'en Indonésie. À son apogée, l'Empire était parvenu à établir une « Pax Mongolica », développant les routes de la soie, les rencontres entre les grandes confessions et les relations entre l'Orient et l'Occident. Mais, après quelques décennies, l'empire ne tarda pas à se fracturer en plusieurs khanats, qui devinrent rivaux. Ainsi affaiblis, les khanats succombèrent l'un après l'autre aux poussées locales. L'élite mongole, de plus en plus réduite, se fondit rapidement dans les cultures locales. Ce fut la Horde d'or, à qui la Russie payait tribut, qui disparut en dernier en 1502, plus de trois siècles après l'apparition de Gengis Khan. À l'époque moderne, il existait encore des États se réclamant de l'héritage mongol : le khanat de Crimée, le khanat d'Astrakhan, les khanats ouzbeks et khazakh...


title: Mongols

text: De manière progressive, les Mongols retournèrent dans leurs terres natales ou se fondirent soit aux Turcs avec qui ils partageaient la même origine et langue, soit aux Iraniens de par la proximité du territoire perse.  Une bonne part des Mongols se convertirent au bouddhisme réformé au .  . Cette dernière contient la plus grande partie du peuple mongol, mais la Russie domina la Mongolie pendant l'ère soviétique (sous le nom de "République populaire de Mongolie"). La Mongolie, encore préservée il y a quelques décennies, doit maintenant faire face à la modernisation : alors que le chômage et la pauvreté sévissent en ville, la plupart des foyers possèdent une télévision, même à la campagne.


title: Mongols

text: Les Turco-Mongols sont traditionnellement des nomades. En effet, les pâtures des prairies sont trop faibles, en dehors de la saison des hautes herbes (de juin à août) pour soutenir en permanence les grands troupeaux de chevaux, de vaches, de moutons ou de chèvres. Cette pauvreté s'agrandit dans les déserts où les Mongols sont obligés de se déplacer fréquemment, parfois chaque semaine.  En général, les Mongols se déplacent par groupes de 2 ou 3 familles dans les steppes herbeuses, au plus une famille dans les déserts. Il y a occasionnellement de grands rassemblements, lors de tournois et de fêtes, notamment pendant Tsagaan Sar, la fête mongole du nouvel an. Le nomadisme décline rapidement en Mongolie et Mongolie-Intérieure du fait d'épisodes climatiques qui ont décimé les cheptels et conduit de nombreux éleveurs à la ruine. Depuis les années 2000, la population urbaine est montée à 50 % en Mongolie ; ce chiffre atteint a 58 % en 2007. La désertification induite, et la disparition concomitante de services aggrave le phénomène. L'attrait des études et de la civilisation occidentale pourrait être un second facteur d'explication. En Chine, où les éleveurs mongols ont vu une partie de leurs terres accaparée par les colons hans, et plus encore en Russie, la sédentarisation est de règle, parfois accompagnée de transhumance. Dans les trois États, le passage d'une économie centralisée à une économie de marché a bouleversé les relations socio-économiques.  Toutefois, une bonne part de la population (environ un quart aujourd'hui) demeure très attachée au mode de vie ancestral dans la steppe, qui procure un grand sentiment de liberté. Les Mongols aiment leur pays, et cela s'est vu lors des conquêtes gengiskhanides : la majorité des troupes souhaitait revenir dans leurs terres natales plutôt que de s'installer en terre conquise.


title: Mongols

text: En Kalmoukie, le nomadisme se maintient avec plus de succès.


title: Mongols

text: Les anciennes tribus turco-mongoles se répartissaient en clans exogames, dirigés par des aristocraties guerrières. L'enlèvement de femmes était courant et facilement accepté, mais pouvait néanmoins susciter des conflits entre clans. D'une manière générale, la Mongolie était caractérisée par une désunion dont savaient tirer profit les Chinois.


title: Mongols

text: Gengis Khan, en unifiant les Turco-Mongols, apaise ces conflits, au prix d'une suite de plusieurs guerres contre des concurrents. Il introduit, pour des raisons militaires, un premier niveau de centralisation et de rationalisation : sous l'Empire, des unités militaires (les "tümen") d'environ guerriers apparaissent, dirigées de manière féodale par des princes (les "noyan"). Elles sont à l'origine des quatre grandes ethnies mongoles orientales : Khalkhas, Tchakhars, Ordosses, Toumètes.


title: Mongols

text: Le centre névralgique de l'Empire Mongol se déplaçant vers Pékin sous Kubilaï Khan, la Mongolie se retrouve de fait sous la domination chinoise. Elle subit au cours des siècles les évolutions de celle-ci. Pendant la majeure partie du , l'ensemble de la région est gouvernée par des États communistes, ce qui la marque profondément.


title: Mongols

text: De nos jours, la Mongolie, bien qu'encore largement structurée par la campagne, tend à se rapprocher du modèle de société occidental, fondé sur la famille, à l'instar des autres pays ex-communistes d'Asie Centrale.


title: Mongols

text: La principale activité des Mongols est l'élevage, qui est véritablement au centre de leur survie. Ils pratiquent un élevage pastoral ancestral, en nomadisant afin de ne pas trop appauvrir la terre. Ils élèvent des moutons surtout, mais aussi des vaches, parfois des chèvres, et bien sûr des chevaux : on compte à peu près autant de chevaux que d'hommes en Mongolie.


title: Mongols

text: Les moutons sont surtout utilisés pour leur viande, leur laine et leur graisse, et les vaches pour leur lait. Les outils, les aliments et les vêtements traditionnels sont tous issus de ces quatre éléments (cf. sections correspondantes). Les chevaux servent pour les déplacements, pour leur peau et le lait des juments. Lorsqu'ils sont en pâture, ils sont laissés dans un état semi-sauvage, étant seulement montés de temps en temps pour éviter qu'ils ne retournent tout à fait à l'état sauvage : les chevaux étant alors récalcitrants, on utilise l"'uurga", c'est-à-dire une perche terminée par un lasso afin de les attraper. Cette activité est devenue un véritable sport occasionnant des défis et des compétitions.


title: Mongols

text: Le principal adversaire pour les troupeaux est le loup, qui peut faire des ravages en hiver lors des famines, si des précautions ne sont pas prises. Le jour, la simple présence d'un homme suffit normalement à décourager une meute, mais la nuit, elle peut se montrer plus hardie, allant jusqu'à attaquer les camps.


title: Mongols

text: Les Mongols sont présents dans trois types d'habitats : la steppe herbeuse (en Mongolie centrale et orientale, en Kalmoukie, et en Mongolie-Intérieure orientale), le désert chaud (désert de Gobi aux paysages divers, à cheval sur la Mongolie et la Mongolie-Intérieure), et les forêts de type boréal dans les montagnes (monts Altaï en Mongolie occidentale, Sibérie Méridionale).  Pour les deux premiers habitats, la yourte, habitation typiquement turco-mongole, est utilisée. Dans les monts Altaï et en Sibérie, on trouvera plutôt des tentes coniques semblables à celles des autres peuples de Sibérie. Certaines ethnies de ces régions se sont tournées vers l'élevage des rennes, comme les Tsaatans ou les Evenks. La yourte (en mongol : , translittération : "ger", signifiant "maison" au sens large) est une habitation familiale facilement démontable, de forme ronde et à taille variable. Le squelette en bois est recouvert d'une toile en peau ou en feutre. Sa forme ne donne aucune prise au vent omniprésent dans la steppe, et le feutre protège très efficacement du froid. Il suffit de 30 minutes pour la (dé)monter et elle pourra alors facilement être transportée dans une charrette. Il existe également des yourtes posées sur des chariots de grande taille, généralement les yourtes des khans. Le chariot est alors directement déplacé, le paysage de steppe permettant de laisser passer de larges véhicules.


title: Mongols

text: À l'intérieur, la disposition des meubles correspond à des règles précises. L'unique porte est toujours placée vers le sud. Le poêle est placé au centre, où un trou a été percé sur le toit pour laisser s'échapper la fumée. Le feu qui y couve est généralement un feu de bouse séchée ("argal"), le bois étant rare, voir complètement absent dans les steppes. Les outils et ustensiles divers sont placés près de la porte, à droite pour ceux des femmes et à gauche pour ceux des hommes. Au fond (au nord), on trouve les lits et les coffres ou armoires qui servent de rangements personnels. Autrefois, quelques tapis et ustensiles constituaient le maigre équipement des yourtes. Aujourd'hui, des meubles et différents objets comme une machine à coudre, par exemple, s'y entassent.


title: Mongols

text: Lors des réunions ou des repas, les femmes sont traditionnellement placées à droite et les hommes à gauche. La place au fond est normalement réservée à l'hôte ou au chef de famille, en signe de respect. L'espace dans la yourte est très hiérarchisé, et sacralisé. Il fait l'objet de nombreuses croyances héritées du chamanisme.


title: Mongols

text: Tous les aliments traditionnels sont issus de l'élevage. Les deux principaux ingrédients utilisés sont la viande de mouton et le lait de vache. Cependant, la marmotte est chassée de temps en temps pour sa viande et sa peau. Les mongols ne mangent traditionnellement que des animaux broutant de l'herbe. Ils ne mangent pas de poisson car ceux-ci peuvent consommer des êtres vivants dans l'eau.


title: Mongols

text: Les produits laitiers sont nombreux. Les femmes mongoles consacrent une grande partie de leur temps à fabriquer crèmes, yaourts, alcools de lait, fromage... Ce dernier est sec et souvent acide. Le lait de vache peut être aussi chauffé et mélangé à de la farine, donnant ainsi une mousse qui se transforme en crème jaune, puis en beurre rance. Le beurre fermenté sert à graisser des plats, il peut servir aussi de cire pour les bougies. La boisson la plus courante est le thé au lait salé, appelé süütei tsai, que l'on boit à toute occasion, mais la boisson nationale est le fameux alcool de lait de jument fermenté ("airag"), difficile à aborder pour certains européens. Il existe aussi en Mongolie-Intérieure un alcool de lait (jument, chamelle, brebis) distillé aux alentours de 50 % d'alcool.


title: Mongols

text: Pour les Mongols, le sang des animaux est sacré et porteur d'énergie, et il serait tabou de le laisser s'écouler sur le sol extérieur. Ils abattent le bétail sans l'égorger. Une fois le ventre de l'animal ouvert, le sacrificateur se saisit du cœur qui bat encore. C'est alors seulement qu'il coupe l'aorte, et que les femmes viennent récupérer le sang en le puisant du ventre, pour le préparer en boudins qui seront consommés.


title: Mongols

text: Le vêtement traditionnel des mongols est le "deel". Il est fabriqué avec des peaux d'agneaux, ou en soie pour les grandes occasions. Les "deel" d'hiver sont rembourrés avec de la laine. Le "deel" est fréquemment accompagné de bottes et d'une ceinture en cuir. Les hivers étant très rudes, on chausse pendant cette période des bottes de laine voire de feutre, et l'on se couvre la tête avec des chapeaux en fourrure de renard ou de zibeline. Dans le désert de Gobi, les Mongols portent des turbans et des écharpes à la manière des touaregs. Enfin, les Mongols produisent du cachemire en duvet de chèvre, vendu à prix d'or en Europe.


title: Mongols

text: La principale fête des Mongols est le "Tsagaan Sar" (littéralement « mois blanc » ou « lune blanche » : fête du Nouvel An). Elle est l'occasion de « festins » où l'on se permet de manger des denrées plus rares, plus sucrées. Il existe trois jeux traditionnels mongols : le tir à l'arc, les courses de chevaux, et la lutte mongole. Ces trois sports sont pratiqués notamment lors de tournois et festivals, le plus célèbre étant le festival de Naadam. Les Mongols sont en effet experts dans l'équitation, car les éleveurs passent la moitié de leur vie sur un cheval, d'où les jambes arquées caractéristiques. Les soldats mongols étaient réputés les meilleurs du monde outre leurs capacités de résistance face à la chaleur comme au froid, leur capacité à se priver de nourriture pendant plusieurs jours, les archers mongols étaient considérés comme étant les meilleurs archers montés du monde, capables de tirer en arrière en se repliant au galop (voir aussi armée mongole). Les courses de chevaux se font en rase campagne, sur des distances comprises entre et suivant l'âge des chevaux. Pour plus de rapidité, les chevaux sont parfois montés par des jeunes de moins de 12 ans... Les mongols mesurent également leur adresse lors de la capture des chevaux à l'aide de lassos. La lutte mongole se fait dans des habits traditionnels, et n'a aucun classement de poids. Le soir venu, les Mongols ont pour habitude de faire des jeux intellectuels dans la yourte, comme les échecs mongols, appelés "Shatar", mais aussi d'autres jeux moins complexes comme l"'ail ger" ou l'"alag malkhii", le plus populaire étant le "shagai", un jeu d'osselets.


title: Mongols

text: La musique est un élément important de la société traditionnelle mongole, et les Mongols pensent qu'elle appelle la bonne fortune. On chante n'importe où, pour passer le temps, bercer les bébés, porter chance ou encourager quelqu'un. Le "khöömei" est un chant diphonique lyrique et puissant, accompagné du luth et de la vièle, hérité des tibétains. Il existe plusieurs instruments traditionnels, dont les principaux sont le "dombra", le "khuuchir", le "limbe", le "morin khuur", le "shanz" et le "yotga".


title: Mongols

text: La population mongole n'est pas unie par la langue, bien que certaines langues jouissent d'une position prépondérante. Les mongols peuvent être divisés en quatre groupes, sur des critères à la fois géographiques, linguistiques, historiques et ethniques. Quatre langues mongoles se démarquent des autres par leur nombre de locuteurs et leur littérature : le kalmouk bien vivace, le khalkha dominant en Mongolie, le tchakhar dominant en Chine, et le bouriate au nord, quoique menacé par le russe.


title: Mongols

text: Le groupe septentrional, largement dominé par le bouriate, s'étend dans les régions du lac Baïkal (comprenant la Bouriatie, le kraï de Transbaïkalie et l'oblast d'Irkoutsk), le nord-est de la Mongolie et le nord de la Mongolie-Intérieure. Il ne comprend que deux langues : le bouriate et le barga, ayant chacune deux dialectes. Les Bouriates sont divisés en deux groupes sur des bases géographiques et socio-économiques, ayant chacun leur dialecte : les Ekhirit-Bulagat, en Cisbaïkalie (à l'ouest et au nord du lac Baïkal), et les Khori en Transbaïkalie et en Mongolie. Il existe une littérature bouriate (écrite en cyrillique), et la langue est officielle dans la République de Bouriatie (elle l'était également dans les anciens okrugs autonomes d'Oust-Orda et d'Aga-Bouriatie). Les Bargas, de même, se divisent entre Nouveaux-Bargas et Vieux-Bargas, sur des bases historiques. Ils sont présents en Mongolie-Intérieure du Nord.


title: Mongols

text: Le groupe occidental, qui est le groupe des Oïrates, rassemble le plus grand nombre d'ethnies. Il s'étendent en Mongolie Occidentale, en Dzoungarie, dans le Xinjiang (Turkestan), et dans le Qinghai, ainsi qu'en Kalmoukie. Mais, à part le kalmouk isolé, les langues oïrates ne sont plus vivaces et sont de plus en plus imprégnées par le khalkha, le chinois, et le turc. Le kalmouk (ou "kalmyk"), officiel en Kalmoukie, reste bien vivant et bénéficie d'une littérature suffisamment riche. Il s'écrit en alphabet cyrillique et est un peu influencé par le russe. Les autres langues occidentales, en revanche, ont leur écriture propre, appelée « écriture claire » ("todo üseg"). Elle a été créée par le moine bouddhiste Zaya Pandita.


title: Mongols

text: Le groupe oriental se compose de cinq langues : le khalkha, le tchakhar, l'ordosse, le toumète et le dariganga. Le khalkha, langue officielle de la Mongolie, correspond normalement à ce que nous désignons comme la langue mongole, c'est-à-dire celle apprise par les étrangers. En effet, les Khalkhas dominant la Mongolie par leur urbanisation, ils se sont servis de leur langue comme base d'homogénéisation des langues mongoles. Ils sont majoritaires en Mongolie, et de ce fait leur langue n'est pas menacée et bénéficie d'une littérature riche. Le tchakhar, quant à lui, jouit d'une situation similaire en Mongolie-Intérieure, bien que concurrencé par le chinois. Il a servi de base, avec le toumète, pour la formation de la langue officielle de la région autonome.


title: Mongols

text: Enfin, le groupe méridional, situé entre le Qinghai et le Gansu, est un amas de langues mineures aux influences diverses. Leurs situations sont variées. Le groupe se compose du baoan, du dongxiang, du monguor, du youghour et du kangjia.


title: Mongols

text: Les langues mongoles constituent l'une des trois branches de la famille altaïque : les deux autres sont le turc et le toungouse. Les ressemblances entre ces trois branches sont surtout structurelles plutôt que lexicales. Des ressemblances ont également été constatées avec le coréen et le japonais, ce qui a amené certains linguistes à les faire rejoindre la famille altaïque. Des analogies structurelles ont été remarquées aussi pour les langues ouraliennes, la principale étant la construction du lexique par agglutination (c'est-à-dire en ajoutant des suffixes et préfixes sans modifier le radical, contrairement aux langues indo-européennes qui sont flexionnelles). Enfin, comme les autres langues altaïques, le mongol a une harmonie vocalique et a sept cas: nominatif, génitif, accusatif, datif, ablatif, instrumental et comitatif.


title: Mongols

text: Il existe plusieurs alphabets associé au mongol. L'écriture Phagspa (ou écriture carrée), créée par le tibétain du même nom, était utilisée sous l'Empire Yuan en Chine (dynastie fondée par Kubilaï Khan, descendant de Gengis Khan). Les oïrates, quant à eux, utilisaient un autre alphabet venu du Tibet, l'« écriture claire » ("todo üseg"), toujours en vigueur (sauf pour les kalmouks). À l'époque soviétique, les langues mongoles utilisaient un alphabet cyrillique modifié. Enfin, à l'effondrement de l'URSS, les khalkhas se sont inscrits dans une logique d'occidentalisation accélérée tout en revenant sur une identité plus ancienne, basée sur l'Empire Mongol et les croyances traditionnelles. Ainsi, l'enseignement de l'alphabet traditionnel mongol, qui s'écrit verticalement, a été rétabli en 1990. Apparu au , il est dérivé de l'ancien alphabet ouïghour. Celui-ci venait de l'alphabet sogdien, en Asie Centrale, lui-même tirant ses origines dans l'alphabet syriaque, voisin de l'alphabet arabe. Cette origine sémitique explique notamment le caractère changeant des lettres suivant leur place dans le mot. Par ailleurs, remis à l'horizontale, l'écriture mongole rappelle un peu par son apparence l'alphabet arabe. En 2012, l'alphabet officiel reste l'alphabet cyrillique modifié.Les premiers temples bouddhistes en Mongolie ont été construits durant la période des Huns, qui débuta lors du avant Jésus-Christ. Bien que le bouddhisme ait été plusieurs fois officialisé en Mongolie à travers l'Histoire, il ne fut réellement pratiqué par le peuple qu'à partir du . Le sommet du développement du Bouddhisme en Mongolie fut atteint à la fin du - début du . Les monastères se sont multipliés, accueillant de nombreux lamas. À la suite de la révolution populaire de 1921, le Bouddhisme commença toutefois à décliner, et dans les années 1930 et 1940, la quasi-totalité des monastères mongols furent détruits par le gouvernement dans un effort pour abolir la religion de l'état.


title: Mongols

text: La forme du bouddhisme pratiquée en Mongolie a extrêmement été influencée par les pratiques rituelles et mystiques du tantrisme, reflété concrètement par le pouvoir surnaturel des mots sacrés. Cette croyance prend la forme de livres ou drapeaux imprimés et de mantras récités. Dans l'école gelugpa du bouddhisme tibétain, le livre est l'objet le plus sacré. Il est la source de sagesse aidant l'Homme à échapper à sa souffrance. En cas de maladie ou de malheur, ainsi qu'aux périodes indiquées par les tables astrologiques, les Mongols considèrent opportun de faire lire des livres par des lamas.


title: Mongols

text: Les Mongols croient également que placer un drapeau de prière ("khiimoriin dartsag") sur un poteau à l'arrière de leur yourte leur apportera soutien dans leur vie quotidienne. Les mots inscrits sur leur drapeau sont supposés être « activés » par le souffle continu du vent. De la même manière, les prières peuvent être activés en portant un livre à la tête, ou en faisant tourner un « moulin à prières » contenant des centaines de prières.


title: Xi'an

text: Xi'an ( ; ) est la capitale de la province du Shaanxi en Chine. Elle a le statut de ville sous-provinciale.


title: Xi'an

text: Cette ville, qui a une histoire de plus de , a été la capitale de la Chine sous les dynasties Qin, Han et Tang et se nommait alors Chang'an ou Xianyang. À l'époque Zhou, cette capitale occupait le site voisin de . L'actuelle Xi'an est une des dix plus grandes villes chinoises. Elle compte plus de huit millions d'habitants enregistrés.


title: Xi'an

text: Xi'an s'élève à au-dessus du niveau de la mer, et la ville elle-même couvre .


title: Xi'an

text: Le climat est de type subtropical humide (Köppen : Cwa ou Cfa ), qui se caractérise par des étés chauds et humides et des hivers frais. Les températures moyennes vont d'environ pour le mois le plus froid à pour le mois le plus chaud, avec une moyenne annuelle de ; la pluviométrie y est de par an.


title: Xi'an

text: La région est donc relativement sèche : depuis 2001, un canal de lui apporte annuellement de d'eau en provenance du Fleuve Jaune.


title: Xi'an

text: Autrefois nommé Hao () ou Zongzhou (), pendant la dynastie Zhou, elle fut la capitale de la Chine pour la période des Zhou occidentaux. À la suite de la folie du roi Zhou Youwang, la ville fut incendiée et pillée par les barbares Rong.


title: Xi'an

text: Xi'an est l'extrémité est de la route de la soie considérée comme ayant été « ouverte » par le général chinois Zhang Qian au C'était l'une des Quatre Grandes Capitales Anciennes car ce fut la capitale de la Dynastie Qin (221 — 210 av. J.-C.), des Han (202 av. J.-C. — 220), alors connue sous le nom de Chang'an, et des Tang (618-907). Sous cette dernière dynastie, c'est l'une des plus grandes villes du monde (deux millions d'habitants, soit dix fois plus que Constantinople ou Cordoue, mille fois plus qu'Aix-la-Chapelle au temps de Charlemagne). En 763, les cavaliers de Trisong Detsen (740 — 797), empereur de l'Empire du Tibet, envahissent Xi'an. L'empereur chinois Daizong de la dynastie Tang s'étant enfui, les Tibétains nommèrent un nouvel empereur.


title: Xi'an

text: À Xi'an se trouve une stèle de pierre qui prouve la présence de chrétiens nestoriens en Chine dès le , probablement venus de Perse par la route de la soie.


title: Xi'an

text: À la suite du traité de paix sino-tibétain de 822, une stèle connue sous le nom de « Tablette de pierre de l’Unité du long Terme » fut érigée devant la porte principale du Temple de Jokhang à Lhassa et dont il existerait deux autres copies, l'une à Xi'an (Chang'an) à la porte de l'empereur, et l'autre à la frontière tibéto-chinoise d'alors (Songpan ?). Y sont inscrits les termes du traité d'alliance.


title: Xi'an

text: Cette ville possède une communauté musulmane dont la présence remonte aux commerçants arabes ou persans venus par la Route de la Soie au Moyen Âge. Elle possède une étonnante mosquée de style chinois très ancienne.


title: Xi'an

text: Le célèbre moine Xuanzang y traduisit de 645 à sa mort en 664 les textes sacrés bouddhiques qu'il avait rapportés de son voyage en Inde, commencé en 629.


title: Xi'an

text: La cité a plus de d'histoire et elle possède encore son enceinte fortifiée très visible par photo satellite.


title: Xi'an

text: C'est l'endroit où se déroule en 1936 l'incident de Xi'an, puis est signé l'Accord du même nom : il met en place une trêve entre le Parti communiste chinois et le Kuomintang et permet aux deux camps de se consacrer à la guerre contre le Japon.


title: Xi'an

text: La ville sous-provinciale de Xi'an exerce sa juridiction sur treize subdivisions - neuf districts et quatre "xian" :La population résidente de la préfecture était, en 2010, d'après le recensement officiel de , et celle de la ville de Xi'an de .


title: Xi'an

text: On y parle le dialecte de Xi'an du mandarin zhongyuan.


title: Xi'an

text: Longtemps capitale de la Chine ancienne, la ville a été construite selon les plans d'urbanisme traditionnels en damier, avec une vieille-ville au centre et un palais impérial. Cette configuration typique se retrouve également à Pékin, avec qui Xi'an partage de nombreux points communs (muraille de ville, portes). En revanche, la particularité de Xi'an est la préservation intacte de la muraille de la ville, qui entoure toujours la vieille-ville. De nos jours, on peut y faire du vélo.


title: Xi'an

text: Comme dans toutes les grandes villes chinoises un grand nombre de gratte-ciel ont été construits à Xi'an depuis les années 1980. Le plus haut gratte-ciel de la ville est le Greenland Center (Xi'an) haut de et achevé en 2016. Dans la ville elle-même, plusieurs bâtiments datent de la dynastie Tang : la grande pagode de l'oie sauvage, la petite pagode de l'oie sauvage, la forêt de stèles (un musée de calligraphie) et la grande mosquée. Les remparts de Xi'an datent de la dynastie Ming, tout comme la tour de la cloche et la tour du tambour. Le musée de l'histoire du Shaanxi rassemble des pièces de collection de toutes les dynasties chinoises.


title: Xi'an

text: La stèle nestorienne de Xi'an exposée dans le musée de la Forêt de stèles est un témoin exceptionnel de la présence de chrétiens nestoriens en Chine dès le .


title: Xi'an

text: Dans les environs, le site le plus extraordinaire à visiter est le mausolée de l'empereur Qin, célèbre pour son armée enterrée composée de et chevaux en terre cuite de grandeur nature ; vieille de , elle ne fut découverte qu'en 1974 par des paysans alors qu'ils construisaient un puits. En revanche, sa tombe, située à environ à l'ouest, et recouverte d'un tumulus, n'a pas encore été fouillée par les archéologues, et n'est pas ouverte aux visiteurs.


title: Xi'an

text: Les mausolées des empereurs des Han occidentaux et des Tang se trouvent également dans les environs, mais peu d'entre eux sont fouillés jusqu'à nos jours faute de techniques de protection de ces immenses richesses culturelles enterrées. Les sites sont néanmoins devenus des curiosités touristiques telles que le mausolée de Qianling (qui contient la tombe de Wu Zetian) et ceux de Jingdi et Wudi de la dynastie Han.


title: Xi'an

text: À environ à l'ouest de Xi'an se trouve le temple Famen qui comporte deux parties. L'une date de la dynastie Zhou du Nord et l'autre, très moderne, est un nouveau complexe achevé en mai 2009, surmonté d'une pagode de de haut.


title: Xi'an

text: Le temple Guangren (广仁寺) est un temple lamaïque (bouddhisme du Tibet et Mongolie).


title: Xi'an

text: La ville est considérée comme une « cité gastronomique », où se trouvent réunies toutes les cuisines de la province du Shaanxi.


title: Xi'an

text: Xi'an est l'un des pôles majeurs dans la Chine centrale. Une bonne desserte en train ou en avion existe pour parcourir la Chine.


title: Xi'an

text: Il est possible de se déplacer dans la ville via les nombreuses lignes de bus, des taxis ou de tuk-tuk.


title: Xi'an

text: La plupart des scooters sont électriques. Le métro de Xi'an est le réseau principal de transport urbain. .


title: Xi'an

text: Xi'an possède une desserte aérienne internationale via l'aéroport international Xi'an-Xianyang, situé à environ au nord-ouest du centre-ville. L'aéroport est desservi par les principales compagnies aériennes chinoises et quelques compagnies internationales.


title: Xi'an

text: La ville comporte deux gares :Des liaisons en TGV existent vers différentes villes, comme notamment Beijing, Wuhan, Changsha, Guangzhou, Zhengzhou. La plus éloignée est Shenzhen, à 9 heures de TGV. La ville la plus proche est Weinan à 20 minutes de train.


title: Xi'an

text: Dans la province du Shaanxi, d'autres lignes à grande vitesse sont prévues: Xi'an-Baotou, Xi'an-Ankang et Xi'an-Chengdu, Xi'an-Yinchuan, Xi'an-Wuhan, Xi'an-Chongqing ou encore Xi'an-Nanjing. Xi'an est jumelée avec


title: Théorie des probabilités

text: La théorie des probabilités en mathématiques est l'étude des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Elle forme avec la statistique les deux "sciences du hasard" qui sont partie intégrante des mathématiques. Les débuts de l'étude des probabilités correspondent aux premières observations du hasard dans les jeux ou dans les phénomènes climatiques par exemple.


title: Théorie des probabilités

text: Bien que le calcul de probabilités sur des questions liées au hasard existe depuis longtemps, la formalisation mathématique n'est que récente. Elle date du début du avec l'axiomatique de Kolmogorov. Des objets tels que les événements, les mesures de probabilité, les espaces probabilisés ou les variables aléatoires sont centraux dans la théorie. Ils permettent de traduire de manière abstraite les comportements ou des quantités mesurées qui peuvent être supposés aléatoires. En fonction du nombre de valeurs possibles pour le phénomène aléatoire étudié, la théorie des probabilités est dite "discrète" ou "continue". Dans le cas discret, c'est-à-dire pour un nombre au plus dénombrable d'états possibles, la théorie des probabilités se rapproche de la théorie du dénombrement ; alors que dans le cas continu, la théorie de l'intégration et la théorie de la mesure donnent les outils nécessaires.


title: Théorie des probabilités

text: Les objets et résultats probabilistes sont un support nécessaire à la statistique, c'est le cas par exemple du théorème de Bayes, de l'évaluation des quantiles ou du théorème central limite et de la loi normale. Cette modélisation du hasard permet également de résoudre plusieurs paradoxes probabilistes.


title: Théorie des probabilités

text: Qu'il soit discret ou continu, le calcul stochastique est l'étude des phénomènes aléatoires qui dépendent du temps. La notion d'intégrale stochastique et d'équation différentielle stochastique font partie de cette branche de la théorie des probabilités. Ces processus aléatoires permettent de faire des liens avec plusieurs domaines plus appliqués tels que les mathématiques financières, la mécanique statistique, le traitement d'images, etc.


title: Théorie des probabilités

text: Avant que l'étude des probabilités soit considérée comme une science, l'observation du hasard dans les événements naturels a amené les philosophes et les scientifiques à réfléchir sur la notion de liens entre événements, causes et conséquences, et lois de la nature. Les jeux de hasard, les situations météorologiques ou les trajectoires des astres ont fait partie des domaines étudiés. Les explications données sont alors liées au destin, à une colère céleste ou à une présence divine.


title: Théorie des probabilités

text: Il est communément admis que le début de la science des probabilités se situe au avec l'analyse de jeux de hasard par Jérôme Cardan et au avec les discussions entre Pierre de Fermat et Blaise Pascal au sujet du problème des partis posé par Antoine Gombaud, chevalier de Méré : comment partager les gains quand la partie est interrompue à un moment quelconque. Cette nouvelle théorie est nommée "géométrie aléatoire" par le chevalier de Méré en 1654, elle est appelée par la suite "calcul conjectural", "arithmétique politique" et plus communément aujourd'hui "théorie des probabilités". Cette théorie, dite des probabilités modernes, est alors étudiée par de nombreux penseurs jusqu'au : Kepler, Galilée, Leibniz, Huygens, Halley, Buffon, les frères Bernoulli, Moivre, Euler, D'Alembert, Condorcet, Laplace, Fourier. Elle est principalement basée sur les événements discrets et la combinatoire.


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text: Au début du , Kolmogorov fit la connexion entre la théorie de la mesure de Borel, la théorie de l'intégration de Lebesgue et les probabilités.


title: Théorie des probabilités

text: Des considérations analytiques ont forcé l'introduction de variables aléatoires continues dans la théorie. Cette idée prend tout son essor dans la théorie moderne des probabilités, dont les fondations ont été posées par Andreï Nikolaevich Kolmogorov. Kolmogorov combina la notion d'univers, introduite par Richard von Mises et la théorie de la mesure pour présenter son système d'axiomes pour la théorie des probabilités en 1933. Très vite, son approche devint la base incontestée des probabilités modernes.


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text: Le voit également le développement de l'application de la théorie des probabilités dans plusieurs sciences.


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text: Avec la mécanique newtonienne, la théorie du champ électromagnétique ou la thermodynamique, la physique classique est la théorie utilisée jusqu'à la fin du . En 1929, Erwin Schrödinger étudie l'équation qui détermine l'évolution d'une onde au cours du temps : l'équation de Schrödinger. Max Born utilise cette équation pour décrire une collision entre des particules telles que des électrons ou des atomes. Les observations de ses expériences l'amène à supposer que la fonction d'onde est la probabilité que la particule soit détectée en un point de l'espace. C'est le début d'une nouvelle approche de la physique quantique.


title: Théorie des probabilités

text: En 1900, Louis Bachelier fut un des premiers mathématiciens à modéliser les variations de prix boursiers grâce à des variables aléatoires. « le marché n'obéit qu'à une seule loi : la loi du hasard ». Bachelier utilise alors le calcul stochastique pour étudier les variations boursières au cours du temps. En 1970, Fischer Black et Myron Scholes reprennent les idées de Bachelier pour modéliser les rendements d'une action grâce à leur modèle Black-Scholes.


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text: L'utilisation des probabilités en biologie a pris un essor dans les années 1970, notamment dans l'étude de l'évolution des espèces. La reproduction des individus est modélisée par un choix aléatoire des gènes transmis ainsi que des mutations apparaissant de manière aléatoire sur les individus. L'extinction des espèces ou des gènes est alors étudiée en fonction des effets stochastiques.


title: Théorie des probabilités

text: Suivant les époques ou les domaines d'application, la théorie des probabilités peut prendre des noms différents : la théorie de la probabilité mathématique, le calcul des probabilités, ou plus simplement les probabilités bien qu'il ne faille pas confondre avec "une probabilité" qui est une loi (ou mesure) de probabilité ou "la probabilité" d'un événement qui est l'évaluation de son caractère probable. Pour ce dernier terme, voir les différentes approches d'une probabilité.


title: Théorie des probabilités

text: La théorie des probabilités a évolué au cours de son existence. Dans son cours vers 1893, Henri Poincaré s'exprime ainsi : « On ne peut guère donner de définition satisfaisante de la Probabilité. On dit généralement ... etc. ». Cependant, il est toujours fait mention de l'étude de notions comme le hasard, l'aléa, la chance ou encore le caractère d'un événement. Une définition peut être donnée sous la forme : C'est-à-dire que la théorie des probabilités est un domaine des mathématiques. Ce n'a pas toujours été le cas, cette théorie a été rattachée à la théorie des jeux de hasard, à la philosophie, les géomètres ont été parmi les premiers scientifiques à utiliser le calcul des probabilités. Il est à noter que le groupe mathématique Bourbaki, créé en 1930 et dont le but est de proposer une présentation cohérente des mathématiques, a été critiqué pour ne pas avoir pris suffisamment en considération la théorie des probabilités : « Bourbaki s'est écarté des probabilités, les a rejetées, les a considérées comme non rigoureuses et, par son influence considérable, a dirigé la jeunesse hors du sentier des probabilités. » soulignait Laurent Schwartz dans son autobiographie.


title: Théorie des probabilités

text: Pour pleinement appartenir aux mathématiques, la théorie des probabilités a eu besoin d'une axiomatique. Plusieurs constructions sont proposées au début du comme la "théorie des collectifs" de Richard von Mises ou l'axiomatique de Andreï Kolmogorov. Cette dernière étant la plus pratique des axiomatiques disponibles à l'époque a été adoptée définitivement par les scientifiques à partir de 1950. Elle a permis d'étudier le calcul des probabilités au-delà des probabilités finies, dites "théorie discrète des probabilités" et de considérer un cadre plus général pour la théorie des probabilités. Dans cette axiomatique, la théorie des probabilités est basée sur un espace probabilisé et ainsi beaucoup de notions correspondent à des notions de la théorie de l'intégration. Cependant dans la théorie des probabilités, le but est de proposer un modèle prédictif pour une expérience aléatoire.


title: Théorie des probabilités

text: L'intérêt de cette construction plutôt abstraite est qu'elle permet une explication globale des calculs de probabilités notamment de pouvoir considérer à la fois les théories des probabilités discrète et continue (voir sections suivantes). Elle permet également de résoudre des problèmes probabilistes en cours au début du comme les paradoxes qui occupaient tant les scientifiques tels que Joseph Bertrand (voir le paradoxe de Bertrand), Émile Borel (voir le paradoxe du singe savant).


title: Théorie des probabilités

text: Donnons une modélisation sous forme d'espace probabilisé d'un exemple simple : le lancer d'un dé usuel cubique parfaitement équilibré.


title: Théorie des probabilités

text: Cependant cette axiomatique n'est pas nécessaire pour calculer des probabilités dans des cas simples notamment dans le cas discret : il est facile de calculer que la probabilité d'obtenir un numéro pair dans le lancer de dé précédent est de 1/2.


title: Théorie des probabilités

text: Il est également possible de décrire une situation plus complexe. On considère le déplacement d'une particule soumise à des perturbations aléatoires. Si on se limite à l'espace de temps formula_19, l'espace de probabilité naturel est l'ensemble des fonctions continues à valeurs dans formula_20. Autrement dit, un élément de formula_1 est une fonction continue formula_22. La tribu associée à cet espace est la plus petite tribu qui rende toutes les applications formula_23 mesurables. Reste à définir la mesure de probabilité; un exemple est de prendre la mesure de Wiener, c'est-à-dire la loi d'un mouvement brownien. Le choix de cet espace n'est généralement pas donné, on s'intéresse directement aux propriétés des fonctions définies sur cet espace.


title: Théorie des probabilités

text: L'espace probabilisé formula_24 construit dans la section précédente est un espace abstrait. Il n'est pas forcément adapté pour effectuer des calculs. Lorsque les résultats possibles de l'expérience aléatoire ne sont pas des nombres, c'est le cas des résultats "pile" et "face" dans un lancer de pièce, il est utile de pouvoir associer une valeur numérique à chaque résultat. Une variable aléatoire remplit ce rôle.


title: Théorie des probabilités

text: Une variable aléatoire est une application mesurable formula_25 où formula_26 est un espace mesurable. C'est-à-dire qu'à chaque éventualité formula_27 est associée une valeur formula_28. Si cette valeur est réelle, la variable aléatoire est dite réelle.


title: Théorie des probabilités

text: Comme précisé précédemment, il n'est pas toujours utile de définir l'espace probabilisé formula_24, mais il est possible de donner directement les variables aléatoires sur l'espace formula_26. La variable aléatoire s'écrit simplement formula_31 au lieu de formula_28.


title: Théorie des probabilités

text: De la même manière qu'il existe des cas continus et discrets pour la théorie des probabilités, il existe des variables aléatoires discrètes et continues. Il est possible de considérer un vecteur aléatoire comme une variable aléatoire multidimensionnelle : formula_33. Lorsque la dimension "n" du vecteur n'est plus finie mais infinie, on parle de marche aléatoire ; lorsque la dimension est infinie non dénombrable, on parle de processus stochastique (voir la section "Calcul stochastique" ci-dessous).


title: Théorie des probabilités

text: Donnons un exemple simple du lancer de deux dés, ce qui est équivalent à lancer deux fois un dé. Une première variable formula_34 aléatoire donne le résultat du premier lancer, une deuxième formula_35 donne le résultat du deuxième lancer, c'est-à-dire formula_36 et formula_37 que l'on note plus simplement formula_38 et formula_39.


title: Théorie des probabilités

text: Il est possible de s'intéresser à la somme des deux résultats, qui peut être notée par une variable aléatoire : formula_40.


title: Théorie des probabilités

text: La théorie des probabilités est dite discrète lorsque l'ensemble formula_1 de l'espace probabilisé est fini ou dénombrable. Le plus simple exemple d'étude en théorie des probabilités discrète est le jeu de pile ou face, dans ce cas l'univers formula_1 ne contient que deux éléments : "pile" et "face". Les études d'un lancer de dé, d'un tirage d'une carte dans un jeu de cartes ou par exemple du loto font également partie de la théorie des probabilités discrète.


title: Théorie des probabilités

text: Avant que la théorie de la mesure soit introduite, la probabilité d'un événement a été définie comme le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. De manière plus pratique, une expérience aléatoire était répétée un nombre "N" de fois, le nombre de fois où l'événement "A" est réalisé est noté formula_43. Lorsque "N" tend vers l'infini, la proportion formula_44 converge vers une valeur dite probabilité de "A".


title: Théorie des probabilités

text: Cependant ce raisonnement n'est pas si simple pour toute question relative à une expérience aléatoire. Les différentes manières de compter ont amené des paradoxes probabilistes. L'axiomatique de Kolmogorov (voir la section ci-dessus) a permis de résoudre ces problèmes. Dans le cas de la théorie discrète, pour une expérience non répétée, l'axiomatique s'écrit : où le choix formula_46 peut être effectué pour représenter les différents résultats équiprobables de l'expérience. Plusieurs choix de tribu sont possibles, cependant il est raisonnable pour une étude discrète de choisir la tribu de l'ensemble des parties puisqu'elle contient tous les événements possibles : Dans le cas de la théorie discrète, la mesure de probabilité possède la particularité de pouvoir être définie uniquement sur les singletons : formula_48. Les probabilités des autres événements s'obtiennent grâce aux axiomes des probabilités (voir la section ci-dessus).


title: Théorie des probabilités

text: Lorsque l'univers formula_1 est fini, contenant "n" éléments, il est possible de choisir la mesure uniforme : formula_50 et ainsi obtenir la formule utile et cohérente à l'intuition des scientifiques plus anciens : Grâce à l'utilisation de ces formules, la théorie des probabilités discrète repose sur la théorie des combinaisons, aujourd'hui appelée la combinatoire et le dénombrement.


title: Théorie des probabilités

text: Reprenons l'exemple du lancer de deux dés. L'ensemble de tous les possibles est : C'est-à-dire que formula_1 contient tous les couples de deux chiffres, le premier correspondant au résultat du premier dé, le deuxième au résultat du deuxième. Un choix possible pour la tribu formula_2 est l'ensemble des parties : Le choix de l'espace formula_6 est fait de telle sorte que les singletons de formula_1 aient tous la même probabilité : ils sont dits équiprobables. Il est alors possible de calculer les probabilités de plusieurs événements comme


title: Théorie des probabilités

text: La théorie des probabilités est dite continue lorsque l'univers formula_1 n'est plus dénombrable mais quelconque, possiblement non topologique. C'est-à-dire lorsque la théorie des probabilités n'est plus discrète.


title: Théorie des probabilités

text: Il est possible de choisir plusieurs tribus, cependant lorsque l'univers est l'ensemble des réels, il est classique de lui munir la tribu borélienne qui possède de bonnes propriétés. Si ce n'est pas le cas, l'utilisation des variables aléatoires permet de représenter l'univers par l'ensemble des réels formula_66. Le terme théorie des probabilités continue est également utilisé pour désigner le cas où la variable aléatoire, ou la loi de probabilité, associée est absolument continue, c'est-à-dire qu'elle possède une densité.


title: Théorie des probabilités

text: La mesure de probabilité se définit plus facilement sur formula_66, c'est-à-dire qu'il est plus facile de définir la loi de probabilité de la variable aléatoire :


title: Théorie des probabilités

text: Dans certains cas de la théorie des probabilités continue, la variable aléatoire réelle est dite absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, c'est-à-dire qu'il existe une fonction formula_74 telle que : où le terme formula_76 dans l'intégrale est une indicatrice. La fonction formula_77 est appelée la densité de probabilité de formula_31.


title: Théorie des probabilités

text: Grâce à l'utilisation de ces formules, la théorie des probabilités continue repose sur la théorie de l'intégration.


title: Théorie des probabilités

text: Des algorithmes de calcul utilisent des valeurs choisies de manière uniforme entre 0 et 1. C'est-à-dire que l'on choisit (aléatoirement) une valeur réelle entre 0 et 1 telle qu'aucune des valeurs n'ait plus de chance d'apparaître qu'une autre. Pour formaliser cette expérience, il y a un espace probabilisé formula_79 non détaillé ici, cependant on se donne une variable aléatoire formula_31 à valeurs dans formula_81 muni de sa tribu borélienne formula_82 ainsi que les probabilités :


title: Théorie des probabilités

text: Plusieurs formules dites élémentaires se déduisent des axiomes des probabilités (voir la section ci-dessus). Certaines sont intuitives, d'autres le sont moins.


title: Théorie des probabilités

text: Il est à noter que toute tribu contenant l'ensemble vide, le deuxième axiome des probabilités permet d'obtenir sa probabilité : formula_86. Un événement de probabilité nulle est appelé ensemble négligeable, ensemble formula_8-négligeable, ou ensemble impossible. Il existe des ensembles négligeables autres que l'ensemble vide. Par exemple la probabilité d'obtenir le résultat pile à chaque lancer lors d'une infinité de lancers de pile ou face est nulle.


title: Théorie des probabilités

text: Il est possible de calculer la probabilité de la négation d'une proposition ; mathématiquement, c'est la probabilité du complémentaire d'un ensemble. Il est également possible d'obtenir la probabilité de se trouver dans une configuration ou dans une autre, cela correspond à une union de deux ensembles. Quant à la probabilité de se retrouver dans deux situations simultanément, c'est la probabilité de l'intersection des deux ensembles. Elle est nulle si et seulement si ces deux ensembles ont une intersection négligeable; c'est le cas en particulier s'ils sont disjoints. En notant formula_88 le complémentaire d'un événement formula_71 et respectivement formula_90 et formula_91 la réunion et l'intersection de deux événements formula_71 et formula_93, on a :


title: Théorie des probabilités

text: Reprenons l'exemple du lancer de deux dés.


title: Théorie des probabilités

text: La probabilité d'obtenir au moins une fois un 6 peut se calculer à partir de la probabilité de ne pas obtenir de 6 lors des deux lancers : Cet événement est le même qu'obtenir un 6 au premier lancer ou un 6 au deuxième lancer. Sa probabilité s'obtient également par le calcul de la probabilité de l'union :


title: Théorie des probabilités

text: La notion d'indépendance est une hypothèse utilisée depuis longtemps en théorie des probabilités. On dit que deux événements sont indépendants lorsque le fait de connaître le résultat du premier événement ne nous aide pas pour prévoir le second et inversement. Plusieurs lancers de dés successifs sont considérés indépendants. Dans ce cas l'hypothèse est raisonnable, cependant d'autres situations d'indépendance peuvent paraître indépendantes alors qu'elles ne le sont pas. C'est le cas par exemple du problème de Monty Hall. L'indépendance n'est pas toujours intuitive et demande alors à être étudiée.


title: Théorie des probabilités

text: L'indépendance peut se définir sur les ensembles; deux événements "A" et "B" sont dits indépendants si la probabilité que "A" apparaisse ne dépend pas de la connaissance de l'obtention de "B". Mathématiquement, les événements sont indépendants si et seulement si la probabilité de leur intersection est égale au produit de leur probabilité : L'indépendance se définit également pour les variables aléatoires en utilisant la formule précédente. Les variables aléatoires "X" et "Y" sont indépendantes si : en reprenant les notations de la section "variable aléatoire" et formula_103 pour les variables aléatoires réelles.


title: Théorie des probabilités

text: De même, des tribus formula_104 et formula_105 sont dites indépendantes si :


title: Théorie des probabilités

text: Lorsque l'on considère plusieurs événements, variables aléatoires ou tribus, il existe plusieurs notions d'indépendance. Les événements "A", "B" et "C" sont dits Ces définitions se généralisent pour plus de trois événements, variables aléatoires ou tribus, possiblement un nombre infini.


title: Théorie des probabilités

text: À partir des probabilités élémentaires, il est possible de définir la probabilité conditionnelle d'un événement "A" sachant qu'un autre événement "B" est réalisé, notée formula_111 ou formula_112. Si formula_113 alors la probabilité de "A" sachant "B" est définie par : Plus mathématiquement, formula_115 est une nouvelle mesure de probabilité, elle permet de définir des espérances conditionnelles ou des lois conditionnelles. De manière plus générale, il est possible de définir la probabilité conditionnelle sachant une variable aléatoire, une probabilité conditionnelle sachant une tribu, une densité conditionnelle, etc.


title: Théorie des probabilités

text: Cette formule simple permet de faire le lien entre formula_111 et formula_117 par le très utile théorème de Bayes : De même que la remarque précédente, il est possible de donner d'autres versions du théorème de Bayes par un conditionnement utilisant des variables aléatoires, des tribus ou par l'intermédiaire de lois de probabilité.


title: Théorie des probabilités

text: Il est possible de décomposer la probabilité d'un événement en probabilités conditionnelles sachant toutes les situations possibles. C'est le rôle de la formule des probabilités totales : pour une partition d'événements formula_119, possiblement infinie, Une manière de représenter cette formule est un arbre de probabilité, chaque branche représente un cas possible.


title: Théorie des probabilités

text: Reprenons l'exemple des deux dés. Considérons les deux événements formula_121 : « le résultat du premier lancer est i », "B" : « le résultat de la somme des deux lancers est 7 » et "C" : « le résultat du premier lancer est pair ». Il est facile de calculer les probabilités : formula_122, formula_123 et formula_124. La formule des probabilités totales permet d'obtenir : Le théorème de Bayes permet d'obtenir la probabilité d'avoir eu un résultat pair au premier lancer sachant que la somme des deux résultats est de 7 :


title: Théorie des probabilités

text: Comme précisé dans les sections ci-dessus, le choix de la mesure de probabilité pour l'espace probabilisé peut se faire en donnant directement les probabilités formula_128 d'une variable aléatoire "X". Ainsi la mesure de probabilité donnée par :


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text: est appelée la loi de probabilité de la variable "X". Elle décrit complètement le comportement de la variable "X". De manière plus générale, une loi de probabilité est une mesure décrivant le comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard, c'est-à-dire qu'elle n'est pas toujours définie à partir d'une variable aléatoire. Cependant pour une loi de probabilité donnée, il existe une variable aléatoire dont la loi est la loi de probabilité précédente. La représentation d'une loi par une variable aléatoire n'est pas unique, c'est-à-dire que deux variables aléatoires différentes peuvent avoir la même loi. Comme mentionné dans les sections précédentes, il existe des lois discrètes, des lois absolument continues, mais il existe également des lois plus générales. Les lois discrètes et les lois absolument continues peuvent s'écrire respectivement sous la forme :


title: Théorie des probabilités

text: Certaines lois de probabilité sont fréquemment rencontrées en théorie des probabilités car on les retrouve dans de nombreux processus naturels. Les lois discrètes les plus fréquentes sont la loi uniforme discrète, la loi de Bernoulli, ainsi que les lois binomiale, de Poisson et géométrique. Les lois uniforme continue, normale, exponentielle et gamma sont parmi les plus importantes lois continues.


title: Théorie des probabilités

text: Plusieurs outils permettent de définir et étudier ces lois. La fonction de répartition, la fonction caractéristique, la fonction génératrice, la fonction quantile, la densité de probabilité (pour les lois continues), la fonction de masse (pour les lois discrètes) en sont les exemples principaux.


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text: L'espérance est une propriété des lois de probabilités mais elle s'écrit plus simplement en utilisant une variable aléatoire. Elle donne la moyenne de la variable aléatoire "X". L'espérance de la variable aléatoire "X" de loi formula_132 est donnée par : Cette expression s'écrit de manière plus simple dans le cas des variables discrètes et des variables continues (en reprenant les notations de la section "Lois de probabilité") : formula_134 pour le cas discret et formula_135 pour le cas continu, si les séries et intégrales convergent.


title: Théorie des probabilités

text: Il est possible de calculer l'espérance d'une fonction de la variable aléatoire par la formule : pour toute fonction formula_136 mesurable Lorsque la fonction formula_138 est suffisamment générale, alors formula_139 permet de récupérer la loi de "X". Pour la fonction indicatrice formula_140, l'espérance redonne la probabilité : formula_141. Pour les fonctions formula_142, les valeurs formula_143 sont les moments de la loi de "X".


title: Théorie des probabilités

text: Ces définitions sont valides pour tout espace de valeurs de la variable aléatoire. Dans le cas multidimensionnel, c'est-à-dire de vecteurs aléatoires réels, la notion d'espérance se généralise en vecteur des moyennes et la variance en matrice de variance-covariance qui donne les variances des coordonnées sur la diagonale et les covariances entre coordonnées dans le reste de la matrice.


title: Théorie des probabilités

text: L'espérance et les moments permettent d'obtenir des inégalités : sans préciser les conditions d'existence, Ces inégalités sont très utiles pour estimer la queue de la loi d'une variable aléatoire, c'est-à-dire le comportement de la variable aléatoire lorsqu'elle prend des valeurs éloignées de sa moyenne.


title: Théorie des probabilités

text: Lorsque l'on considère un nombre infini de données aléatoires, elles sont modélisées par une suite (infinie) de variables aléatoires. Il peut être utile d'étudier le comportement limite de cette suite. Plusieurs notions de convergences de variables aléatoires ont été définies et des théorèmes limites renseignent sur les résultats asymptotiques.


title: Théorie des probabilités

text: Une suite de variables aléatoires formula_146 :


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text: Donnons quelques théorèmes limites importants : Pour pouvoir utiliser ces théorèmes de convergence dans les applications, notamment informatiques, il est utile de connaître leur vitesse de convergence : c'est l'étude du principe de grandes déviations.


title: Théorie des probabilités

text: Le calcul stochastique est l'étude des phénomènes qui évoluent au cours du temps de manière aléatoire. Le temps peut être modélisé de manière discrète, c'est-à-dire par les valeurs entières : formula_172, dans ce cas le phénomène est représenté par une suite (infinie) de variables aléatoires : formula_173, c'est une marche aléatoire. Le temps peut également être modélisé de manière continue c'est-à-dire par des valeurs réelles formula_174 ou formula_175, il s'agit alors de processus stochastique formula_176.


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text: Parmi les modélisations de phénomènes aléatoires dépendant du temps, certaines l'ont été par un temps discret, c'est-à-dire à valeurs entières : formula_177. Un processus formula_159 est appelé marche aléatoire partant d'un point formula_179 lorsque la variable formula_180 s'écrit sous la forme d'une somme de "pas" aléatoires donnée par des variables : L'espace de probabilité et la tribu sur lequel le processus est défini ne sont pas triviaux, et la notion de filtration a donc été introduite. C'est une suite de tribus prévue pour que la marche aléatoire puisse être définie sur chaque tribu de la suite: le processus est dit "adapté".


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text: Une propriété particulière des marches aléatoires est régulièrement utilisée. Une marche aléatoire est appelée chaîne de Markov si elle possède la propriété de Markov, c'est-à-dire que le "n"-ième pas ne dépend pas du comportement du processus avant ce pas. Autrement dit, le comportement à venir ne dépend que du temps présent et non du temps passé. Plusieurs expressions mathématiques traduisent cette propriété; en voici une courante grâce aux probabilités conditionnelles : La probabilité formula_185 est appelée la "probabilité de transition" de l'état formula_179 à l'état formula_187. Lorsque le nombre d'états possibles est fini, toutes ces probabilités sont résumées dans une matrice stochastique, ou matrice de transition. Elle représente à elle seule la chaîne de Markov. La chaîne de Markov dont les états possibles sont les valeurs entières et telle que les probabilités d'aller vers les plus proches voisins sont identiques est appelée la "chaîne de Markov simple sur formula_188".


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text: Les récurrence et transience d'une chaîne de Markov sont également étudiées. Si une marche aléatoire revient indéfiniment au point de départ, elle est dite récurrente, sinon elle est transiente. Les temps d'arrêt représentent le temps en lequel la marche possède pour la première fois une certaine propriété.


title: Théorie des probabilités

text: Ces notions se généralisent de plusieurs manières : les pas peuvent être des vecteurs aléatoires multidimensionnels ; les états possibles peuvent être les points d'un graphe plus général : ceci introduit, entre autres, la théorie des graphes aléatoires et la théorie de la percolation qui font partie de la théorie des systèmes dynamiques ; le "n"-ième pas peut être la somme d'un nombre aléatoire de variables, c'est le cas des processus de branchement.


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text: L'étude du comportement de la marche aléatoire lorsque le temps devient grand amène à considérer des théorèmes limites sur les processus, tels que le théorème de Donsker ou le théorème de Glivenko-Cantelli très utilisés en statistique. Apparaissent alors des processus aléatoires dont le temps n'est plus discret mais continu.


title: Théorie des probabilités

text: L'introduction des processus aléatoires à temps continu a été possible notamment grâce à l'axiomatique de Kolmogorov. Les processus stochastiques sont des familles de variables aléatoires indexées par un indice réel : formula_189. De même que dans le cas du temps discret, les notions de filtration et de processus adapté, permettent de définir mathématiquement le processus. Les théorèmes d'extension de Kolmogorov et d'extension de Carathéodory permettent de donner l'existence via les lois finies dimensionnelles, c'est-à-dire que le processus est défini par la donnée d'un nombre fini de ses accroissements :


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text: Des probabilités de transitions sont données par des fonctions du type formula_191 qui donnent la probabilité que le processus soit dans un des états de l'ensemble "A" au temps formula_192 sachant qu'au temps formula_193 le processus était en formula_179. Elle doit vérifier l'équation de Chapman-Kolmogorov :


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text: Un exemple important de processus stochastique est le mouvement brownien, il apparait comme limite (en loi) d'une suite de marches aléatoires via le théorème de Donsker, il est également un objet central puisque ses lois finies dimensionnelles sont des lois normales, c'est-à-dire que ses accroissements sont gaussiens. La loi du processus est appelée "mesure de Wiener". Le mouvement brownien a été beaucoup étudié et nombreux objets mathématiques lui sont liés : bruit blanc, mouvement brownien fractionnaire, processus de Lévy, pont brownien, arbre brownien, processus stationnaire, etc. Le processus de Poisson est un processus de Markov dont les accroissements sont de loi de Poisson, ce processus de comptage est un processus de sauts.


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text: Différentes méthodes de définition existent : le de Feller est un processus de Markov dont les probabilités de transition possède une propriété dite de Feller, le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est défini à partir d'une équation différentielle stochastique (voir la section ci-dessous), les processus ponctuels sont définis sur des espaces plus généraux, l'espace des excursions par exemple. Une autre manière est l'utilisation de générateurs infinitésimaux, c'est une fonctionnelle sur les fonctions continues qui décrit comment le processus se déplace de points en points. Le générateur infinitésimal d'un processus de Markov "X" est l'opérateur "A" tel que :


title: Théorie des probabilités

text: Les processus stochastiques sont utilisés dans de nombreux domaines : historiquement le mouvement brownien a été utilisé pour modéliser des trajectoires de particules ou pour calculer le nombre d'Avogadro, il est également utilisé pour modéliser des phénomènes tels que les marchés financiers dont les premiers travaux sont dus à Louis Bachelier ou les travaux en physique par les travaux de Sydney Chapman.


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text: Parmi les processus stochastiques à temps discret et à temps continu, certains possèdent une propriété liée à la filtration formula_198 sur laquelle ils sont définis. Un processus formula_159 est appelé une "martingale" si : Cette définition se généralise pour un processus stochastique en temps continu. Le processus est une "sur-martingale" si formula_201 et une "sous-martingale" si formula_202. Intuitivement la valeur moyenne du processus à un temps futur "n" + 1 connaissant le passé est égale à la valeur présente du processus. C'est une représentation du bénéfice dans un jeu équitable, c'est de cette correspondance que provient le nom martingale. Une sous-martingale correspond à un jeu favorable et une sur-martingale à un jeu défavorable.


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text: Les martingales ont donc une moyenne constante en tout temps ainsi qu'en certains temps aléatoires : les temps d'arrêt, c'est ce qu'annonce le théorème d'arrêt de Doob.


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text: Les bonnes propriétés des martingales permettent d'obtenir des inégalités ainsi que des résultats de convergence.


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text: Une intégrale stochastique est soit l'intégration d'un processus aléatoire par rapport à une mesure (non aléatoire), soit l'intégration d'une fonction (localement bornée) par rapport à un processus stochastique (semi-martingale continue). Dans le cas où la fonction est étagée, l'intégrale se définit simplement par une formule du type : De manière plus générale, l'intégrale se définit à partir d'un objet appelé crochet de martingale. L'intégrale formula_204 s'écrit alors de manière plus simple avec la notation : formula_205. En particulier on obtient formula_206.


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text: La formule d'Itô dans sa formule générale la plus courante s'écrit sous la forme : pour une fonction formula_207 de classe C1 en formula_192 et de classe C2 en formula_179 : où formula_211 est un mouvement brownien et "X" est un processus stochastique solution de l'équation différentielle stochastique :


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text: Cette formule permet d'obtenir des formules utiles dans le cas du mouvement brownien formula_213 par exemple :


title: Théorie des probabilités

text: Le Calcul de Malliavin, également connu sous le nom calcul stochastique des variations, est une méthode de calculer grâce à des opérateurs différentiels de dimension infinie sur l'espace de Wiener. Il a été initié par Paul Malliavin pour étudier les propriétés des fonctionnelles appliquées au processus de Wiener. Le calcul de Malliavin comprend l'utilisation d'un opérateur différentiel, une formule d'intégration par parties liées aux intégrales stochastiques mais également la notion de matrice de covariance.


title: Théorie des probabilités

text: Les domaines liés avec la théories des probabilités sont nombreux, donnons ici quelques exemples.


title: Théorie des probabilités

text: La statistique et la théorie des probabilités forment les "sciences de l'aléatoire". Ces deux sciences utilisent les mêmes outils aléatoires (loi de probabilité, espérance, écart-type, etc), les frontières entre ces deux domaines sont assez floues. Une des différences entre statistique et probabilité vient de l'interprétation faite du hasard : c'est la différence entre probabilité "a priori" et probabilité "a posteriori". Intuitivement, les probabilités permettent d'évaluer les chances de réalisation d'un évènement dans un cadre prédéfini alors que la statistique est l'étude et l'analyse de caractères à partir de données récoltées.


title: Théorie des probabilités

text: Les notions de la théorie des probabilités sont les outils à la base de la théorie statistique. Certaines lois de probabilités ont même une utilisation principalement en statistique plutôt que dans la modélisation directe d'un phénomène.


title: Théorie des probabilités

text: Les jeux de hasard ont été une des premières motivations pour développer le calcul des probabilités, avec notamment le problème des partis. Les raisonnements au début faits de manière peu rigoureuse sont devenus plus élaborés avec l'arrivée de l'axiomatique de Kolmogorov. Cette écriture scientifique permet dorénavant de pouvoir faire des calculs plus précis sur des questions autour des jeux de hasard : calcul de probabilité dans les jeux de dés, dans les jeux de pile ou face, pour les paris à la loterie, etc. Ces études ont alors donné naissance à une théorie : la théorie des jeux.