title: Pythagore

text: La musique a une dimension cosmique, comme l'astronomie a une dimension musicale : Platon dira que musique et astronomie sont « sciences sœurs » (cf. L'harmonie des sphères, la musique planétaire). Pythagore aurait posé que les distances entre les orbites du Soleil, de la Lune et des étoiles fixes correspondent aux proportions réglant les intervalles de l'octave, de la quinte et de la quarte. Plus tard, « de la voix des sept planètes, de celle de la sphère des [étoiles] fixes » et, en outre, de celle de la sphère au-dessus de nous que l'on appelle « Anti-Terre », il faisait les neuf Muses. L'ordre est (pour Pythagore ou les premiers pythagoriciens) : sphère des étoiles fixes, Saturne, Jupiter, Mars, Soleil, Vénus, Mercure, Lune, Terre, Anti-Terre, Feu central, soit 10 unités. Pythagore retrouve la proportion harmonique où, pour 12 : 8 : 6, on voit que 12:6 est l'octave, 12:8 la quinte, 8:6 la quarte. Si le rayon du Feu central est 1, le rayon de l'orbite de l'Anti-Terre est 3, de la Terre 9, de la Lune 27, de Mercure 81, de Vénus 243, du Soleil 729. Entre la sphère des étoiles fixes et Saturne, entre Saturne et Jupiter, Jupiter et Mars il y a un demi-ton, un ton entre Mars et Soleil, et on obtient une quarte ; entre Soleil et Terre on obtient une quinte, entre étoiles fixes et Terre une octave. « Pythagore tendait son ouïe et fixait son intellect sur les accords célestes de l'univers. Lui seul, à ce qu'il paraissait, entendait et comprenait l'harmonie et l'unisson universels des sphères [planétaires] et des astres. »


title: Pythagore

text: L'école de Pythagore hérite d'une double culture mathématique. La mathématique ionienne, amorcée par Thalès de Milet, lui apporte une orientation géométrique, ainsi qu'une volonté de démonstration. L'héritage mésopotamien offre des procédures de calcul permettant la résolution de l'équation du second degré, ou encore l'évaluation approximative des racines carrées par des fractions.


title: Pythagore

text: Ce double héritage s'associe sur une idée fausse, celle selon laquelle toute longueur peut s'exprimer comme une fraction : Cette erreur est néanmoins fructueuse. Si toute longueur est une fraction et à condition de bien choisir l'unité de la figure, il devient possible de ne travailler que sur des figures dont les longueurs sont entières. Cette approche permet les premières preuves partielles, du théorème de Pythagore, déjà connu par les Égyptiens et les Mésopotamiens mais probablement jamais démontré, dans le bassin méditerranéen. Le type de démonstration est explicité sur la figure de gauche. Un triangle rectangle dont les côtés autres que l'hypoténuse sont de longueurs 3 et 4, possède une hypoténuse de carré (en bleu sur la figure) égal à 25.


title: Pythagore

text: Le calcul mésopotamien permet d'autres progrès. Construire un pentagone régulier suppose la construction de la proportion d'extrême et de moyenne raison, maintenant appelée nombre d'or. Elle correspond au rapport entre une diagonale et un côté. Le calcul mésopotamien permet d'en venir à bout et c'est probablement au pythagoricien Hippase de Métaponte que l'on doit cette découverte. Cependant, ici, la procédure mésopotamienne n'a plus pour objectif un calcul, mais une construction géométrique.


title: Pythagore

text: Cet usage du calcul, permettant de traiter des questions du second degré, met en évidence des proportions qui ne sont pas des fractions. On peut construire ainsi des longueurs, comme la diagonale et le côté d'un pentagone régulier, telles qu'il n'existe aucune unité permettant d'exprimer ces deux longueurs comme des entiers. De telles longueurs sont dites incommensurables. La découverte de ces proportions est probablement l'œuvre des premiers pythagoriciens. On l'attribue parfois à Hippase à l'aide d'un raisonnement sur le pentagone. Cette découverte, que les historiens et Itard qualifient de "viol fécond" engendre initialement une grave crise, puis nourrit et enrichit pendant deux siècles les mathématiques grecques.


title: Pythagore

text: Pythagore apporte une connaissance qui émerveille encore le logicien Frege : l'étoile du soir (celle qu'on voit en premier à la tombée de la nuit) et l'étoile du matin sont une seule et même : Vénus. Cette identité était connue à Babylone depuis -685.


title: Pythagore

text: Pythagore « fut le premier à appeler le ciel "cosmos" (ordre) et à dire que la Terre est ronde » ; mais on attribue plus souvent la théorie de la sphéricité de la Terre à Parménide. Les disciples développent l'astronomie pythagoricienne. Philolaos de Crotone (-470/-fin - s.) affirmerait, le premier, bien avant Copernic, la mobilité de la Terre. Philolaos dit : « C'est le Feu qui occupe le milieu. », . En revanche, la découverte de la rotation de la Terre sur elle-même revient à un autre pythagoricien, Hicétas de Syracuse (400-335), pour qui . Ecphantos, disciple d’Hicétas selon le philologue allemand August Böckh, dit aussi que . Copernic cite les pythagoriciens : (Copernic : Lettre au pape Paul III, préface à "Des révolutions des orbes célestes. De revolutionibus orbium caelestium", 1543).


title: Pythagore

text: Aristarque de Samos, astronome aristotélicien, affirmera le premier, vers -280, la rotation de la Terre sur son propre axe et la translation de la Terre autour du Soleil.


title: Pythagore

text: Pour Pythagore, le corps ("sôma") est un tombeau ("sêma"), à la fois prison et « signe » ou « protection » de l'âme : cela est bien une thèse pythagoricienne, pas orphique. Philolaos : « Les anciens théologiens et devins témoignent eux aussi que c'est en punition de certaines fautes que l'âme a été attelée au corps et ensevelie en lui comme un tombeau. »


title: Pythagore

text: L'âme est un nombre, en ce sens qu'elle est harmonie, bonne proportion, combinaison des propriétés composant le corps (c'est la théorie du pythagoricien Simmias dans le "Phédon", 86 d, de Platon). Elle est vie, car mouvement.


title: Pythagore

text: Pythagore pensait « que l'âme est immortelle ; ensuite, qu'elle passe dans d'autres espèces animales ; en outre, qu'à des périodes déterminées ce qui a été renaît, que rien n'est absolument nouveau, qu'il faut reconnaître la même espèce à tous les êtres qui reçoivent la vie. […] À beaucoup de ceux qui l'abordaient il rappelait la vie antérieure que leur âme avait jadis vécue avant d'être enchaînée à leur corps actuel. Et lui-même, par des preuves irrécusables, démontrait qu'il réincarnait Euphorbe, fils de Panthoos ». L'intervalle entre incarnations serait 216 ans (6 au cube). Et l'explication vient de la nature de l'âme : il y a transmigration de l'âme parce que, par nature, elle est immortelle et mouvante, Pythagore ne fait pas intervenir la justice divine, une rétribution de l'âme, puisque n'importe quelle âme peut entrer dans n'importe quel corps.


title: Pythagore

text: D'où vient à Pythagore sa théorie de la transmigration () des âmes ? d'Orphée ? de Phérécyde de Syros ? depuis l'Inde ? On l'ignore. Pythagore a indiqué ses existences antérieures, dans une liste fixée par Héraclide du Pont : Æthalidès, Euphorbe (prêtre d'Apollon), Hermotime (chamane), Pyrrhus (simple pêcheur). Il est possible que Pythagore n'ait cru à la réincarnation que pour lui-même.


title: Pythagore

text: Dans sa théorie de la transmigration des âmes, Pythagore admet un type de réincarnation comparable à celle conçue dans l'hindouisme ou le jaïnisme, car sa croyance en la métempsycose correspond à une âme qui peut provenir et entrer dans un corps non humain, végétal ou animal :


title: Pythagore

text: Pythagore est considéré dans la tradition occidentale comme le premier adepte du végétarisme de l'humanité "qui ne vit plus dans l'âge d'or", âge d'or où l'on était effectivement végétarien (que ce soit dans la mythologie philosophique gréco-romaine, ou la mythologie hébraïque (Bible), avec Adam et Ève jusqu'au Déluge).


title: Pythagore

text: Les Présocratiques sont zoophiles. C'est Ovide qui défend le végétarisme par le biais de ce passage concernant Pythagore, dans son célèbre ouvrage "les Métamorphoses" :


title: Pythagore

text: Ce végétarisme étant lié à la réincarnation que propose Pythagore dans sa philosophie, pensant ainsi le destin des vivants dans le sens d’une totale interdépendance, le philosophe propose une sensibilité particulière que l'on retrouve habituellement dans la civilisation hindoue (avec l'Ahimsâ et le jaïnisme tout particulièrement) :


title: Pythagore

text: On raconte également que Pythagore aurait converti l'ours de Daunia au végétarisme.


title: Pythagore

text: Le grand principe biologique n'est ni l'harmonie du semblable par le semblable ni la lutte du contraire par le contraire, mais l'harmonie des contraires, l'équilibre des puissances dans le corps. De même que l'âme (confondue avec la vie) se définit comme une bonne proportion des propriétés du corps, la santé est la restauration des bonnes proportions entre les propriétés opposées du corps, à savoir l'humide et le sec, le fluide et le visqueux, l'amer et le doux, le pair et l'impair.


title: Pythagore

text: En médecine, les pythagoriciens ont leurs techniques : régime, cataplasmes, médicaments, refus des incisions et cautérisations, « incantations pour certaines maladies », musique, « vers choisis d'Homère et d'Hésiode ». On trouve la tripartition indo-européenne :


title: Pythagore

text: Alcméon de Crotone, qui semble pythagoricien, pratique la dissection, il place la pensée dans le cerveau, et non plus dans le cœur, comme tous les autres penseurs :


title: Pythagore

text: Bien que l'utilisation de ses incantations peuvent sembler plus mythique que scientifique, nous pouvons également y voir le début des théories concernant le Psychosomatique. En effet, Pythagore soignait l'esprit afin de soigner le corps ; et même si cela pouvait sembler inhabituel pour son époque, nous savons maintenant que certaines douleurs et maladies sont psychosomatiques.


title: Pythagore

text: Selon Jamblique, Pythagore était connu des néoplatoniciens comme le fondateur de la science politique. Une tradition presque unanime qualifie sa vision politique de conservatrice et aristocratique. En effet, il est favorable à ce que le pouvoir soit confié à des gens instruits, puissants et humains qui soient redevables de ce dépôt devant le peuple et qui le transmettent à leur enfant. La politique, comme la musique, doit conduire à l'harmonie et pour exposer ses idées sur la justice, il utilise des parallèles mathématiques. Il est favorable à la proportionnalité du droit politique (à chacun selon son valeur) plutôt qu'à l'égalité prônée par les démocrates.


title: Pythagore

text: Le fonctionnement de la cité doit s'appuyer sur des lois d'origine divine auxquelles tous sont soumis, sénateurs compris. Le bon citoyen doit non seulement les respecter mais les protéger s'il le faut par la dénonciation et la répression. Pour lui, la loi, assimilée, conduit à la liberté. La justice doit s'appliquer de manière égalitaire selon le principe de réciprocité (loi du talion). Ce point est d'ailleurs désapprouvé par Aristote : « C’est la réciprocité qui constitue purement et simplement la justice. Telle était la doctrine des pythagoriciens, qui définissaient le juste simplement comme la réciprocité. Mais la réciprocité ne coïncide ni avec la justice distributive ni même avec la justice corrective ».


title: Pythagore

text: S'il est désormais acquis que les pythagoriciens, organisés en hétairie, ont bien joué un rôle politique déjà du temps de Pythagore, le rôle de celui-ci est sujet à débat : chef politique? législateur? simple inspirateur? Pour Delatte, la conclusion est claire : le plan initial de Pythagore n'était pas politique mais moral mais progressivement ses idées, par le biais de son école, ont envahi le champ politique.


title: Pythagore

text: Archytas de Tarente, stratège de Tarente pendant 7 ans mais aussi savant et philosophe pythagoricien, est le type du philosophe-roi. Platon le rencontre physiquement dès -388 et il imagine le philosophe-roi idéal en -370 dans sa "République" : « Tant que les philosophes ne seront pas rois dans les cités, ou que ceux qu'on appelle aujourd'hui rois et souverains ne seront pas vraiment et sérieusement philosophes… il n'y aura de cesse aux maux des cités » ("La République", V, 473 c).


title: Pythagore

text: Quelques pythagoriens furent cependant démocrates, dont Théagès.


title: Pythagore

text: Pythagore dispense des principes exotériques, connus de tous, par exemple : « Il est interdit de prier pour soi-même », « Entre amis, tout est commun ». Mais d'autres enseignements sont ésotériques, c'est-à-dire réservés aux initiés et d'expression symbolique ; et ils portent sur les secrets de la nature et des dieux. Ces enseignements secrets sont appelés "Mémoires" ("hypomnêmata", Ύπομνήματα), car il faut s'en souvenir, sans les écrire. Ce sont, d'une part, les « "acousmates" » (άκούσματα), des dits (prononcés en grec dorien, la langue des pythagoriciens), des préceptes oraux ; ce sont, d'autre part, les « symboles » (σύμβολα), des formules codées, des sommaires ("kephalaia", κεφάλαια). Car « tout ne peut pas être dit à tout le monde. » « Il y avait chez eux [les pythagoriciens] la règle absolue du silence ».


title: Pythagore

text: Jamblique classe les acousmates en trois types, selon qu'ils révèlent l'essence (« qu'est-ce ? »), l'absolu (« qu'est-ce qui est le plus ? ») ou le devoir (« que faut-il faire ou pas ? »).


title: Pythagore

text: En plus des acousmates, préceptes abstraits, il existe une autre catégorie de préceptes, les symboles, qui sont des préceptes pratiques imagés. Les profanes y voient des superstitions ou des bêtises, mais les initiés (μύσται) savent y déchiffrer une idée ou un acte.


title: Pythagore

text: En plus, il y a les « symboles secrets » (, "aporrêta sumbola") ou « signes de reconnaissance » ("sunthémata", συνθήματα), qui permettaient aux pythagoriciens initiés de se reconnaître entre eux. Les plus célèbres symboles secrets sont le fameux pentagramme à et et la "tétraktys". « Le divin Pythagore […] ne mettait jamais en tête de ses lettres, ni « Joie » ni « Prospérité » ; il commençait toujours par « "hygiainé" ! », (, Santé !). […] Voilà pourquoi le triple triangle enlacé, formé de cinq lignes [le pentagramme], qui servait de symbole à tous ceux de cette secte, était nommé par eux « le signe de la santé ». »


title: Pythagore

text: Les successeurs (diadoques) de Pythagore à la tête de la communauté pythagoricienne furent : Aristée de Crotone (en -494), son fils Mnésarque ou son fils Théagès ; Boulagoras (-380), Gartydas de Crotone, Arésas de Lucanie, Diodore d'Aspendos (-380). Le courant pythagoricien se divise en diverses écoles :


title: Pythagore

text: Manifestement, le pythagorisme a été influencé par l'orphisme, mais aussi par le chamanisme apollinien des Hyperboréens (Aristée de Proconnèse, etc.), certainement par la pensée égyptienne, peut-être par les mathématiques et l'astronomie de Babylone.


title: Pythagore

text: La richesse des travaux entrepris par l'école pythagoricienne a été telle que ses idées et découvertes ont inspiré nombre de courants de pensée. Pythagore a influencé toutes les époques et toutes les cultures d'Occident et d'Orient, toutes les disciplines : mathématiques, musique, philosophie, astronomie, etc. Son encyclopédisme en fait une pensée totale, avec interpénétrations et ramifications.


title: Pythagore

text: En art, Pythagore inspire l'architecte romain Vitruve au puis les théoriciens du nombre d'or comme Luca Pacioli illustré par Léonard de Vinci en 1509.


title: Pythagore

text: Les écoliers qui étudient le théorème de Pythagore ou apprennent la table de multiplication - dite "de Pythagore" - s'inscrivent dans sa lignée.


title: Pythagore

text: Pythagore a fondé une véritable religion, et quantité de légendes. Dans le domaine ésotérique et initiatique, son œuvre continue. Dès 1410, le "manuscrit Cooke" (ligne 216), un document de base de la franc-maçonnerie opérative, mentionne Hermès et « Pictagoras ». Des loges franc-maçonniques se réclament de la pensée pythagoricienne, comme la Grande loge suisse alpine (GLSA), la franc-maçonnerie française ainsi que la Loge italienne.Selon la majorité des auteurs, Pythagore n'aurait rien écrit. Le philosophe Porphyre de Tyr est, à ce sujet, formel : . Ce point est contredit par plusieurs auteurs notamment Héraclite qui attribue à Pythagore les trois traités suivants : "De l'éducation", "De la politique" et "De la nature". Selon Alexandre Polyhistor, Pythagore aurait laissé uniquement cet ouvrage : "Mémoires Pythagoriques". Ces attributions sont fort incertaines, et, dès l'Antiquité, on pensait que ces livres avaient été écrits par des disciples de Pythagore. Et puis, on peut aussi considérer qu'en raison de la coutume persistante de l'ésotérisme chez Pythagore, il n'aurait jamais engagé le moindre écrit de ses pensées.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse (prononcé ; en néerlandais et en allemand, "Maas" ; en wallon, "Moûse" ; en latin "Mosa") est un fleuve européen qui prend sa source en France, dans le village de Pouilly-en-Bassigny, dans la commune du Châtelet-sur-Meuse et se jette dans la mer du Nord après un cours long d'approximativement traversant la France, la Belgique et les Pays-Bas. Son bassin est relativement étroit et est orienté sud - nord bien que, entre Namur et Liège, son cours soit orienté ouest - est et est - ouest depuis un de ses affluents, le Niers, jusqu'à la mer du Nord. Elle prend sa source à d’altitude à Pouilly-en-Bassigny.


title: Meuse (fleuve)

text: Le cours d'eau traverse de nombreuses villes dont l'histoire est directement liée à la Meuse et à ses affluents, telles que Verdun, Charleville-Mézières, Namur, Liège, Maastricht, Venlo ou Nimègue. C'est son parcours entre le sillon Sambre-et-Meuse et son embouchure qui lui apporte une reconnaissance économique importante, avec notamment le port autonome de Liège ou la vallée de la Meuse en Wallonie qui a su faire de la Meuse un atout majeur pour son développement industriel. Aux Pays-Bas, son cours est souvent partagé avec celui du Rhin dont il partage l'embouchure. Plusieurs canaux permettent de rejoindre d'autres cours d'eau européens d'une certaine importance. Sa vallée présente de nombreux paysages variés alliant de hautes falaises et des méandres rocheux à des plaines s'étendant sur des kilomètres.


title: Meuse (fleuve)

text: Son bassin versant occupe une petite surface en France tandis qu'il occupe une grande partie de la superficie de la Région wallonne (botte du Hainaut, province de Namur, Luxembourg belge, une partie de la province de Liège et des bandes plus étroites dans d'autres provinces) et la partie sud des Pays-Bas (principalement les provinces de Limbourg et du Brabant-Septentrional). Sa vallée sert de frontière naturelle entre la France et la Belgique, avec la pointe de Givet, et entre les Pays-Bas et l'Allemagne, tandis que le fleuve en lui-même sépare la Belgique des Pays-Bas au niveau de la région de Maastricht.


title: Meuse (fleuve)

text: Le nom du fleuve est probablement antérieur à la période romaine, avec une origine pré-celtique provenant du mot "mǔso" signifiant « humide ». La première trace écrite mentionnant le fleuve est le mot de genre masculin "Mǒsa, ae", d'origine latine. L'étymologie de "Mosa" est inconnue selon les auteurs classiques. Sur la Table de Peutinger, la Meuse n'est pas appelée "Mosa" mais "Flumen Patabus". Pourtant les termes romans initialement masculins "mosa" et "mosella", ce dernier étant un simple diminutif du premier, sont compris par la tradition paysanne lorraine ; ils désignent des eaux à lisières mouvantes, c'est-à-dire un espace ripuaire qui varie selon les saisons. C'était le cas autrefois pour la Meuse entre Saint-Mihiel et Stenay mais aussi pour une grande partie du cours de la Moselle, au point que les vastes prairies et espaces près des rives étaient occupés par les paysans durant la longue période d'étiage et abandonnés lors des crues rapides ou les hautes eaux se maintenant longtemps. D'ailleurs, les deux cours d'eau mentionnés pouvaient s'appeler originellement et indistinctement "Mosa" avant que quelques auteurs gallo-romains et mérovingiens, parmi lesquels Venance Fortunat, commencent à fixer les appellations respectives.


title: Meuse (fleuve)

text: De l'hydronyme féminisé en latin médiéval "Mosa" est également issu l'adjectif français mosan. Divers toponymes sont également dérivés de la même racine que "mosa" : le nom de la ville de Mouzon signifierait « la mercuriale ou lieu de négoce et de commerce près du marais » que l'on peut simplifier en « marché de la Meuse » (en celtique "Moso-magus"). On peut aussi citer Maastricht (en latin "Mosa Trajectum"), mais aussi une multitude de lieux-dits.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse dans son écriture actuelle se retrouve ainsi dans le nom de nombreuses communes. En France : Ambly-sur-Meuse, Bazoilles-sur-Meuse, Belleville-sur-Meuse, Bogny-sur-Meuse, Boncourt-sur-Meuse, Bourmont-entre-Meuse-et-Mouzon, Brabant-sur-Meuse, Brainville-sur-Meuse, Bras-sur-Meuse, Brieulles-sur-Meuse, Charny-sur-Meuse, Dammartin-sur-Meuse, Dieue-sur-Meuse, Doncourt-sur-Meuse, Dugny-sur-Meuse, Dun-sur-Meuse, Épiez-sur-Meuse, Forges-sur-Meuse, Génicourt-sur-Meuse, Ham-sur-Meuse, Han-sur-Meuse, Joigny-sur-Meuse, Lacroix-sur-Meuse, Laneuville-sur-Meuse, Le Châtelet-sur-Meuse, Malaincourt-sur-Meuse, Martincourt-sur-Meuse, Maxey-sur-Meuse, Montigny-sur-Meuse, Nouvion-sur-Meuse, Ourches-sur-Meuse, Pagny-sur-Meuse, Pont-sur-Meuse, Pouilly-sur-Meuse, Regnéville-sur-Meuse, Romain-sur-Meuse, Rouvrois-sur-Meuse, Saint-Germain-sur-Meuse, Sassey-sur-Meuse, Sivry-sur-Meuse, Thierville-sur-Meuse, Tilly-sur-Meuse, Ugny-sur-Meuse, Val-de-Meuse, Villers-Semeuse, Villers-sur-Meuse et Vrigne-Meuse. En Belgique : Maaseik, Maasmechelen, Jemeppe-sur-Meuse et Saint-Georges-sur-Meuse. Aux Pays-Bas : Horst aan de Maas, Maasdriel, Maasgouw, Maassluis, Maastricht, Peel en Maas et West Maas en Waal. Outre ces toponymies, il existe de nombreux lieux-dits et villages portant le nom du cours d'eau.La Meuse prend sa source en France, dans le village de Pouilly-en-Bassigny, dans la commune du Châtelet-sur-Meuse, à 409 mètres d'altitude. Cette source se situe dans le Bassigny, une micro-région naturelle située dans le sud du département de la Haute-Marne. Cette source, comme celles de la Seine, de la Marne et de l'Aube, se situe sur le plateau de Langres.


title: Meuse (fleuve)

text: Elle traverse le département sur approximativement 50,5 kilomètres. Entre sa source et le village Meuse de la commune Val-de-Meuse, elle prend une direction est - ouest et prend une direction sud - nord entre le village et la frontière avec le département des Vosges. D'un point de vue orthodromique, la source se situe à 32,7 kilomètres du point d'entrée de la Meuse dans les Vosges. Cette différence d'une vingtaine de kilomètres s'explique par l'étroitesse du fleuve et ses nombreux méandres, comme à Val-de-Meuse et Bourmont-entre-Meuse-et-Mouzon.Après avoir rapidement traversé le département de la Haute-Marne, la Meuse traverse le département des Vosges sur environ 32,5 kilomètres en suivant une direction sud - nord. En distance orthodromique, il est distant, de son entrée dans le département à sa sortie, de 21,25 kilomètres. Cette différence d'un dizaine de kilomètres sur une aussi petite distance s'explique là aussi par la présence de méandres mais de plus grandes importances, comme ceux situés au sud de Neufchâteau. C'est d'ailleurs la première ville d'importance que la Meuse traverse et c'est à cette endroit que se jette l'un des premiers grands affluents de la Meuse, le Mouzon. Le Vair, quant à lui, se jette dans la Meuse à Maxey-sur-Meuse. La maison natale de Jeanne d'Arc se situe dans la commune de Domrémy-la-Pucelle, à quelques mètres d'un bras de la Meuse.


title: Meuse (fleuve)

text: C'est dans les Vosges qu'un phénomène géologique particulier se produit, au niveau de Bazoilles-sur-Meuse : les pertes de la Meuse. La Meuse se perd en étiage dans les calcaires bajociens karstifiés qui composent le lit du fleuve. Les eaux s'infiltrent en souterrain et ressortent cinq kilomètres plus au nord dans l'agglomération de Neufchâteau où se situent les sources de Bagatelle.


title: Meuse (fleuve)

text: Au niveau de Neufchâteau, la Meuse quitte une plaine argileuse pour pénétrer dans les côtes de Meuse et s'écoule dans une vallée étroite faite de calcaire. Toujours à Neufchâteau, là où le Mouzon se jette dans la Meuse, se situe sur la rive droite le stade Amarildo Pacini.Son parcours dans le département de la Meuse est le plus long dans une entité administrative ; il y reste pour environ 230 kilomètres dans une direction sud - nord-ouest. La route départementale 964 longe grossièrement la Meuse sur tout son parcours à travers le département.


title: Meuse (fleuve)

text: Au début de son parcours dans le département, il passe non loin de Vaucouleurs puis monte jusqu'à Pagny-sur-Meuse. C'est à ce moment que le fleuve commence à longer le canal de la Marne au Rhin. À Troussey, le canal du Moulin forme l'île "Le Châtelet". Non loin de là, le canal de la Marne au Rhin passe par-dessus la Meuse, ce qui en fait un bel ouvrage d'ingénierie ; il commence dès lors à longer la Branche Nord du canal de l'Est. Entre Pagny-sur-Meuse et Void, la Meuse est parallèle à la route nationale 4 (rejoignant Nancy à Paris).


title: Meuse (fleuve)

text: Au sud de Commercy, le canal de l'Est rejoint la Meuse avant de s'en séparer peu avant son entrée dans la ville pour de nouveau rejoindre la Meuse au nord de la ville avant de quitter de nouveau le fleuve quelques centaines de mètres plus loin. Le canal se trouve dès lors à gauche du fleuve. Au niveau de Bislée, le canal de l'Est rejoint une fois de plus la Meuse avant d'en devenir un bras au niveau de Menonville, à l'ouest de Saint-Mihiel, et de rejoindre le fleuve à Saint-Mihiel. C'est au nord de cette dernière que le canal se détache de la Meuse et longe le fleuve sur sa rive droite.


title: Meuse (fleuve)

text: À Dieue-sur-Meuse, le fleuve, le canal et la départementale sont quasi côte à côte. L'autoroute A4, à Dugny-sur-Meuse, traverse la Meuse, elle permet de rejoindre Strasbourg à Paris. Au sud de Verdun, le canal de l'Est rejoint la Meuse. Une île allant du sud au centre de la ville est formée par le canal-fleuve et la Sainte-Vanne ; à droite de la ville, le canal Saint-Alny crée également des îles à Verdun. Au nord de cette dernière, le canal se détache de la Meuse. C'est à Brabant-sur-Meuse, quelques kilomètres plus au nord, que le canal rejoint de nouveau la Meuse. À Consenvoye, la Meuse crée plusieurs îles et au nord de celles-ci, le canal se détache encore de la Meuse pour longer Sivry-sur-Meuse avant de rejoindre le fleuve au nord de la commune et de s'y en détacher quelques mètres plus loin. Au sud de Dun-sur-Meuse, le canal rejoint une fois de plus le fleuve. C'est à ce niveau là que plusieurs affluents se jettent dans la Meuse en créant des lacs, dont le Lac Vert, le Breuil et le Pâquis, et des bras de Meuse dont la Vieille Meuse. Au niveau du lac Pâquis, au nord de la commune, le canal quitte le cours du fleuve et laisse la Meuse se perdre dans des méandres s'étendant de Sassey-sur-Meuse au nord de Mouzay, là où le canal rejoint la Meuse. Toujours à Dun-sur-Meuse, la Meuse quitte les Côtes de Meuse pour s'enfoncer dans la plaine argileuse de la Woëvre. À Stenay, la Meuse et le canal forment de nombreuses îles et c'est au nord de ces dernières que le canal quitte la Meuse pour la rejoindre quelques centaines de mètres plus loin à Inor ; c'est à Stenay que la Meuse traverse un front de côtes, ceux de la Moselle. C'est à Pouilly-sur-Meuse que son parcours se termine dans le département.Sur 3,7 kilomètres environs, la Meuse sert de frontière entre les départements de la Meuse et des Ardennes. Son parcours suit trois méandres mais la frontière entre les départements suit un ancien méandre (un bras mort) dont la frontière n'a pas été retracée.C'est dans le département des Ardennes que commence à apparaitre les grandes méandres. La Meuse parcours le département sur plus de 168 kilomètres (sans comprendre la frontière partagée avec le département de la Meuse et la Belgique) contre seulement 68, 85 kilomètres en distance orthodromique.


title: Meuse (fleuve)

text: Au nord de Beaumont-en-Argonne, le canal de l'Est quitte la Meuse pour la rejoindre quelques centaines de mètres plus loin. Cela lui permet de franchir quelques méandres très étroits. Mouzon, quant à elle, est située sur une île formée par la Meuse qui devient un fleuve chevelu sur quelques centaines de mètres sur une plaine herbeuse et argileuse. Ensuite, au niveau d'Autrecourt-et-Pourron, le canal forme ce qu'on appelle la coupure de Villers qui coupe simplement un méandre faisant de lui une sorte de bras mort bien que connecté à la Meuse sur un côté. Au nord de cette coupure, un canal nommé coupure de Remilly quitte la Meuse évitant ainsi une série de méandres sur plusieurs kilomètres. C'est dans un de ces méandres que se jette un de ses principaux affluents, la Chiers. La coupure rejoint la Meuse avant de la quitter pour couper une méandre à l'est de Pont-Maugis.


title: Meuse (fleuve)

text: Une fois arrivé à Sedan, le canal de l'Est coupe un méandre en plein centre-ville formant une grande île où est établie l'université urbaine de Sedan. Au nord de Sedan, à Glaire, un canal coupe un méandre long de plusieurs kilomètres pour rejoindre la Meuse au sud de la Villette. Au niveau de Donchery, la Meuse devient chevelue et forme quelques îles. C'est à l'ouest de cette commune, à Pont à Bar, qu'une coupure coupe un méandre de la Meuse et que la Bar se jette dans le fleuve. C'est également non loin de là que la Meuse est rejoint par le canal des Ardennes.


title: Meuse (fleuve)

text: Au sud de Lumes, un ancien canal coupait un long méandre. Il est aujourd'hui à l'abandon dans l'optique de recréer le cours naturel de la Meuse. Ce retour à la norme a créé de nombreux lacs artificiels le long du méandre. La dérivation de Romery, à Romery, raccourcit un peu le trajet de la Meuse.


title: Meuse (fleuve)

text: C'est à Charleville-Mézières qu'on remarque les grands méandres de la Meuse. En effet, la ville est coupée quatre fois par le fleuve autour de trois méandres de grandes tailles. Pour éviter plusieurs kilomètres de navigation sur le premier méandre, deux canaux furent créés sur quelques mètres pour rejoindre la Meuse, formant une petite île au centre de la ville. Au sud du méandre, il y a la base de loisirs de la Warenne avec son étang. C'est toujours dans ce long méandre que vient se jeter la Sormonne. Le canal de l'Est permet de couper le troisième grand méandre pour éviter aux bateaux une longue boucle. Entre Charleville-Mézières et Givet, la Meuse est longée par la Voie verte Trans-Ardennes ainsi qu'une voie de chemin de fer. À partir de là, elle traverse des sols de schistes noirs. Après avoir traversé Charleville-Mézières, la Meuse traverse le parc naturel régional des Ardennes jusqu'à la frontière belge. C'est à Nouzonville que la Goutelle se jette dans le fleuve. La Semois est la première grande rivière qui viendra se jeter dans la Meuse, à Monthermé ; un point de vue particulièrement haut, à 230 mètres, surplombe la vallée et permet d'admirer les alentours. Non loin de là, le canal de l'Est resurgit pour longer la Meuse dans un méandre sur quelques centaines de mètres. Il resurgit de nouveau au nord de Laifour. À l'ouest de Revin, la Meuse reçoit un cours d'eau qui descend directement du Bassin de Whitaker, formé par une centrale appartenant à EDF. Entre Fépin et Montigny-sur-Meuse, il reçoit le Risdoux sur la rive droite, où se situe le château du Risdoux. Le Viroin se jette quant à lui à Vireux-Molhain. C'est dans le méandre de Chooz que se situe la centrale nucléaire éponyme, à quelques kilomètres de la frontière belge et à quelques kilomètres de Givet. Dans cette dernière passe un méandre où se jette la Houille. Dans sa partie ardennaise, la Meuse est bordée par la Voie verte de Montcy-Notre-Dame à Givet.Sur environ deux kilomètres, la Meuse partage sa frontière avec la Belgique, et plus particulièrement, la province de Namur. Elle quitte ainsi la France en passant par la dernière commune française sur son tracé, Givet, et traverse la première commune belge de son tracé, Hastière. La Meuse aura parcouru une distance totale d'approximativement 486 kilomètres en suivant grossièrement une direction sud - nord.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse traverse la Wallonie, entre Hastière et Visé, sur 127,8 kilomètres de long et traverse les provinces de Namur et de Liège.


title: Meuse (fleuve)

text: Son tracé débute à Heer, une section de Hastière, en province de Namur, à 98 mètres d'altitude. Dans cette même commune vient se jeter la Soumié. Dans un des grands méandres traversant la commune, plusieurs îles se forment. C'est le long de la Meuse, toujours à Hastière, qu'on peut admirer sur la rive gauche de château de Freÿr et sur la rive droite, un point de vue sur des rochers assez élevés. Hastière, et par conséquent la Meuse, traverse la région géographique de la Fagne-Famenne et du Condroz, entre les rochers de Freÿr.


title: Meuse (fleuve)

text: Au sud de Dinant se jette la Lesse au niveau des îles du méandre sud de la ville. On trouve à droite le rocher Bayard qui selon la légende aurait été brisé en deux par un coup de sabot du cheval Bayard. Un peu plus au nord, on trouve sur la rive droite la collégiale et la citadelle de la ville de Dinant mais aussi la maison d'Adolphe Sax, l'inventeur du saxophone.


title: Meuse (fleuve)

text: Le Flavion se jette au sud de l'Île d'Yvoir, à Yvoir. Au nord de la même île, la Meuse reçoit le Bocq tandis qu'à Godinne, dans la commune d'Yvoir, des îles se sont formées.


title: Meuse (fleuve)

text: Le Bumor se jette à hauteur de Profondeville et le tracé se rapproche tout doucement de Namur. Le site de Godinne du CHU UCL de Namur longe la Meuse non loin de là. Le château de Rougemont se situe sur un promontoire rocheux sur la rive gauche de la Meuse.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse reçoit la Sambre au centre-ville de Namur. Le long des quais, en contrebas de la citadelle, se situe le siège du Gouvernement wallon. Namur doit sa reconnaissance à la Meuse et à la Sambre, donc au sillon Sambre-et-Meuse. En effet, la grande partie du transport économique fluvial quitte la Meuse pour emprunter la Sambre pour rejoindre Charleroi située plus à l'ouest.


title: Meuse (fleuve)

text: Elle est selon Jean-Pol Hiernaux, « à l'articulation de toutes ses provinces et au confluent de la Sambre et de la Meuse où elle unit les bassins liégeois et hainuyer ». François Bovesse estime que « Namur unit la Sambre et la Meuse à ses pieds et tout le sang wallon y bat comme en un cœur ».


title: Meuse (fleuve)

text: Dans la province de Liège, la Meuse traverse l'ancien bassin houiller wallon. Elle reçoit la Mehaigne sur sa rive gauche puis arrose Huy, où elle reçoit le Hoyoux sur sa rive droite. Un peu plus loin, elle aide au refroidissement de la centrale nucléaire de Tihange.


title: Meuse (fleuve)

text: Dans un cadre de plus en plus industrialisé, elle longe ensuite les installations sidérurgiques de Seraing. À Liège, elle reçoit l'Ourthe par la droite et coule de nouveau vers le Nord.


title: Meuse (fleuve)

text: Un peu avant Herstal, ses eaux sont utilisées pour alimenter le canal Albert. L'important port autonome de Liège s'est implanté entre ces deux voies d'eau. La Meuse sépare à ce moment la fin du plateau hesbignon en rive gauche et le Pays de Herve en rive droite.


title: Meuse (fleuve)

text: Le fleuve quitte la Wallonie à Visé, après un parcours de et à une altitude de . De Namur à Visé, la Meuse sert à la production d'électricité avec six centrales hydroélectriques.


title: Meuse (fleuve)

text: C'est en Wallonie que le bassin versant de la Meuse est le plus étendu puisqu'il y est de , soit le tiers de sa superficie totale.


title: Meuse (fleuve)

text: C'est là aussi que se situe le port fluvial le plus important de tout son parcours et qui est aussi l'un des ports fluviaux le plus important d'Europe, le port autonome de Liège.


title: Meuse (fleuve)

text: Le total des marchandises transportées en Wallonie était en 2014 de quelque 40 millions de tonnes, principalement sur la Meuse et la Sambre.


title: Meuse (fleuve)

text: Après une brève incursion aux Pays-Bas, via Maastricht, la Meuse sert de frontière entre la Belgique et les Pays-Bas au niveau de leurs provinces de Limbourg respectives. Elle arrose Maasmechelen puis Maaseik, avant de quitter définitivement le territoire belge qu'elle a parcouru au total sur .


title: Meuse (fleuve)

text: Après avoir commencé à faire office de frontière entre la province belge de Liège et la province néerlandaise de Limbourg à Eijsden, la Meuse arrose la ville néerlandaise de Maastricht. À partir de là, elle fait office de frontière entre la province flamande de Limbourg et son homonyme néerlandaise, jusqu'à une dizaine de kilomètres après Maaseik, où la frontière néerlando-belge s’oriente vers l'Ouest. La Meuse poursuit son cours vers le Nord, en s'orientant légèrement vers l'Est et la frontière néerlando-allemande, qu'elle suivra sur une centaine de kilomètres. Après avoir passé à l'ouest la ville limbourgeoise de Ruremonde et traversé la ville de Venlo, elle parcourt encore une cinquantaine de kilomètres jusqu'à la frontière entre les provinces de Limbourg et de Brabant-Septentrional. Elle s’incurve pour prendre la direction de l'ouest et sert de frontière entre les provinces de Gueldre (au nord) et de Brabant-Septentrional. Un peu plus au nord, un des principaux bras du Rhin, le Waal, s'écoule plus ou moins parallèlement vers l'ouest. Le Rhin inférieur coule encore plus loin au nord. Le Waal et la Meuse sont reliés par le canal de la Meuse au Waal au niveau de Nimègue. Le fleuve continue à s'écouler droit vers l'ouest. Son nom change plusieurs fois, avant qu'il ne se jette dans la mer. Ces noms sont successivement :


title: Meuse (fleuve)

text: Toutefois lorsque le débit est faible, le Haringvlietdam est fermé. Les eaux rejoignent alors la Vieille Meuse et le Nieuwe Waterweg.


title: Meuse (fleuve)

text: Avant la réalisation du plan Delta, l'île d'Overflakkee séparait le flux en deux bras de mer : au Nord, le Haringvliet et au Sud le Volkerak, puis le Krammer et le Grevelingen. Mais aujourd'hui, avec la construction du barrage du Philipsdam, les eaux de la Meuse ne vont plus dans le Volkerak.


title: Meuse (fleuve)

text: Actuellement, l'embouchure de la Meuse est donc le bras de mer Haringvliet. Celui-ci se trouve à une distance considérable au Sud du Nieuwe Waterweg, l'embouchure principale du Rhin, qui se jette dans la mer du Nord une trentaine de kilomètres après être passé au sud de Rotterdam. Plusieurs bras d'eau qui correspondent à l'ancien cours de la Meuse portent encore son nom, même si, lorsque le Haringvlietdam est ouvert, l'eau provenant réellement du fleuve ne les traverse plus :


title: Meuse (fleuve)

text: L'embouchure de la Meuse forme avec celle de l'Escaut (« de Schelde » en néerlandais) et celle du Rhin un large delta, partiellement barré par les ouvrages du plan Delta, avant de se jeter dans la mer du Nord au bout d'un cours de . Toutefois les eaux de l'Escaut ne se mélangent plus à celles de la Meuse et du Rhin depuis que les îles de Walcheren et Zuid-Beveland sont devenues une presqu'île, séparant l'Escaut oriental de son alimentation historique.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse est souvent considérée à tort comme une rivière confluente du Rhin et non comme un fleuve. En particulier, elle ne fait pas partie des grands fleuves français enseignés à l'école primaire en France car elle n'y fait que la moitié de son parcours total et son bassin y est relativement étroit (pour des raisons géologiques et physiques elle ne reçoit pas un affluent important du Rhin : la Moselle), par conséquent son débit est plutôt faible. Par contre, en Belgique et aux Pays-Bas, elle est considérée comme un fleuve important, car elle sert de façon primordiale au transport de marchandises, elle a façonné l'histoire et la géographie de ces pays. Pour des raisons historiques, les géographes néerlandais considèrent même que le Rhin se jette dans la Meuse, puisque le bras principal du Rhin se nomme la Nouvelle Meuse, ce qui n'est pas justifié hydrauliquement. Par contre le plus ancien cours du Rhin, à savoir le Vieux Rhin, indiqué par une longue ligne jaune sur la carte ci-contre, qui se jette dans la mer du Nord à Katwijk (Hollande-Méridionale), ne reçoit plus rien des eaux du Rhin bien que plusieurs des villages qu'il arrose aient conservé leur nom terminé par "aan den Rijn", c'est-à-dire "-sur-Rhin".


title: Meuse (fleuve)

text: L'EPAMA ou Etablissement Public d'Aménagement de la Meuse et de ses Affluents est un syndicat mixte créé le . Le contrat de modernisation des barrages de navigation sur la Meuse


title: Meuse (fleuve)

text: Le , Voies Navigables de France (VNF) a signé avec la Société BAMEO le premier partenariat public privé (PPP) sur voies navigables pour la modernisation de 25 barrages fluviaux sur la Meuse équipés de bouchures en élastomère gonflables à l’eau, en remplacement des barrages manuels à aiguilles construits en 1870.


title: Meuse (fleuve)

text: Le contrat de PPP de 312 millions d’Euros d’une durée de 30 ans porte sur la conception, la construction, le financement, l’exploitation, la maintenance et le gros entretien renouvellement des ouvrages.


title: Meuse (fleuve)

text: Il constitue un enjeu majeur en termes de navigabilité, de sécurité et de biodiversité.


title: Meuse (fleuve)

text: L’automatisation des barrages permet de sécuriser le travail des techniciens et de réguler la ligne d’eau pour la navigation. La modernisation des barrages s’accompagne du rétablissement de la continuité écologique des cours d’eau grâce à la construction de passes à poissons sur chacun des ouvrages ainsi que de la production d’énergie verte avec la création de 3 centrales hydro-électriques à Givet, Ham-sur-Meuse et Fumay et la mise en conformité de la microcentrale de Revin (anciennement FHYM- Forces Hydrauliques de la Meuse).


title: Meuse (fleuve)

text: Le bassin versant de la Meuse a une superficie de , dont un tiers en Région wallonne : un accord a été signé en 2002 (Accord international sur la Meuse ou accord de Gand) par la France, la Région flamande, la Région wallonne et la Région Bruxelles-Capitale (trois entités fédérées de Belgique), le grand-duché de Luxembourg, les Pays-Bas et l’Allemagne en vue de gérer toutes les questions relatives à ce cours d’eau, jusque dans la manière dont les autorités politiques concernées s’entendent pour en préserver les intérêts qu’elles partagent. La carte jointe à l'accord ne mentionne d'ailleurs pour la Belgique que ces entités, même si les parties contractantes ont tenu ensuite, pour des raisons formelles, à ce que l’État belge y figure aussi.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse a constitué l’une des frontières entre le Saint-Empire romain germanique et la France au Moyen Âge et l'est restée dans les faits jusqu'au .


title: Meuse (fleuve)

text: Par ailleurs, ce fleuve est considéré comme étant le plus vieux fleuve du monde. Le fait que la Meuse traverse le massif ardennais, formé durant le Paléozoïque, explique pour partie cette interprétation.


title: Meuse (fleuve)

text: L'historien Marc Suttor considère que le fleuve au Moyen Âge, de Sedan à Maastricht, se comparait en importance par le trafic à la Seine et au Rhin, fleuves qui permettent encore aujourd'hui l'acheminement des marchandises vers les trois ports fluviaux les plus importants d'Europe, Paris, Duisbourg et Liège.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse a fait l'objet d'un documentaire, "Les gens du fleuve", réalisé en 2012 par Xavier Istasse.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse traverse des régions très arrosées, notamment le massif des Ardennes, et possède des affluents nombreux et souvent abondants mais assez courts. Ses principaux affluents sont : la Saônelle, le Mouzon, le Vair, la Chiers, la Semois, la Lesse, le Bocq, le Hoyoux, l'Ourthe et la Roer sur la rive droite, la Bar, la Sormonne, le Viroin, la Molignée, la Sambre, la Mehaigne, le Rida et le Geer sur la rive gauche.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse a été très artificialisée sur une partie de son parcours par des barrages et des berges artificielles et un contrôle de son niveau.


title: Meuse (fleuve)

text: Au , hormis dans les bras de l'ancienne Meuse très en aval, les saumons y sont devenus rares et les truites également. Certaines sections étaient très polluées (biologiquement presque désertes ou colonisées par quelques organismes très résistants à la pollution, dont tubifex et larve d'un chironome), et les mise en chômage du fleuve (ouverture des barrages pour entretien) mettaient à nu une grande partie des fonds et berges en y tuant de nombreux organismes aquatiques. Juste en aval des barrages, de grandes quantités d'organismes profitaient de la réoxygénation de l'eau et pouvaient être présents en très grande quantité (par exemple H Damas décrivait en 1941 les fonds pierreux situés en aval des barrages de la Meuse belge (où l'eau se réoxygène) comme grouillante de milliers d'individus de 3 espèces de gammares ("Rivulogammarus puler, Echinogammarus berilloni "et" Carinogammarus roeselli") y grouillent). D'autres curiosités sont également signalées au début du par l'inventaire biologique, dont :


title: Meuse (fleuve)

text: Depuis, le "Castor fiber" recolonise progressivement les berges de la Meuse depuis quelques décennies (sans y construire de barrages de castors en raison de la profondeur de l'eau).


title: Meuse (fleuve)

text: On a montré en Belgique que la diversité et les patrons (patterns) génétiques de plantes qu'on pensait uniquement ou principalement hydrochores ne confirmaient pas l'hypothèse d'un flux descendant très marqué, soit (conclut l'étude) parce qu'on a sous-estimé l'importance d'un transport de graines vers l'amont (par zoochorie "a priori") pour ces plantes (ex : "Rorippa sylvestris", une sorte de cresson sauvage), soit que des phénomènes récurrents d'extinction/recolonisation de sous-populations au sein de la métapopulation aient fortement hétérogénéisé cette flore, ces deux explications pouvant s'additionner.


title: Meuse (fleuve)

text: La biodiversité de la Meuse est partiellement protégée par la création du parc naturel régional des Ardennes qui se traverse par la voie verte Trans-Ardennes. Le fleuve suit d'abord son cours naturel, soumis à des étiages bas et des crues importantes et n'est plus navigable que par portions.


title: Meuse (fleuve)

text: Plus en aval, toujours sur le territoire français, il est canalisé — en empruntant parfois la branche nord du canal de l'Est.


title: Meuse (fleuve)

text: Après Saint-Mihiel, il permet le gabarit Freycinet ( à d'enfoncement). À partir de Givet, il devient navigable pour les péniches de .


title: Meuse (fleuve)

text: Puis du port autonome de Liège jusqu'à Rotterdam, il admet des bateaux de type rhénan () et des barges 2 × .


title: Meuse (fleuve)

text: Le canal des Ardennes relie la Meuse à l'Aisne et donc à la Seine.


title: Meuse (fleuve)

text: Le canal Albert relie la Meuse (à partir de Liège) à l'Escaut (et Anvers), en passant par le bouchon de Lanaye.


title: Meuse (fleuve)

text: Le projet avorté du canal de l'Ourthe prend également naissance à Liège. Il devait initialement permettre d'atteindre le bassin rhénan et desservir l'actuel Luxembourg grâce à une liaison Meuse-Moselle.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse est parcourue par de nombreuses embarcations de plaisance. Ses profonds méandres lors de la traversée du massif des Ardennes sont autant de lieux touristiques.


title: Meuse (fleuve)

text: Une grande crue eut lieu en janvier et , elle a dépassé celle de 1886 à Nouzon.La Meuse n'est pas un fleuve très régulier. Son débit a été observé durant 56 ans (1953-2008), à Chooz, localité du département des Ardennes située en amont de la ville de Givet, c'est-à-dire à peu de distance de la frontière franco-belge. La surface ainsi étudiée est de , mais ne comprend pas les bassins de la Houille, de l'Alyse et de quelques autres ruisseaux.


title: Meuse (fleuve)

text: Le module du fleuve à Chooz est de (non compris les débits de la Houille, de l'Alyse, etc.).


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse présente des fluctuations saisonnières de débit bien marquées. Les hautes eaux se déroulent en hiver et au tout début du printemps, et se caractérisent par des débits mensuels moyens allant de 225 à , de décembre à mars inclus (avec un maximum en février). À partir du mois d'avril, le débit diminue rapidement jusqu'aux basses eaux d'été qui ont lieu de juin à octobre, entraînant une baisse du débit mensuel moyen jusqu'au plancher de au mois d'août et au mois de septembre. Mais ces moyennes mensuelles cachent des fluctuations plus prononcées sur de courtes périodes ou selon les années.


title: Meuse (fleuve)

text: Aux étiages, le VCN3 peut chuter jusque en cas de période quinquennale sèche, ce qui peut être considéré comme sévère pour un aussi puissant cours d'eau.


title: Meuse (fleuve)

text: Les crues peuvent être extrêmement importantes. Les QIX 2 et QIX 5 valent respectivement 690 et . Le QIX 10 est de , le QIX 20 de , tandis que le QIX 50 se monte à . Ce qui signifie par exemple que tous les 50 ans (en moyenne), il faut s'attendre à une crue de l'ordre de , ce qui correspond au débit moyen du Rhône à Valence après avoir reçu les eaux de l'Isère.


title: Meuse (fleuve)

text: Le débit instantané maximal enregistré à Chooz a été de le , tandis que la valeur journalière maximale était de le même jour. Si l'on compare la première de ces valeurs à l'échelle des QIX du fleuve, l'on constate que cette crue était nettement supérieure au niveau cinquantennal défini par le QIX 50, et donc tout à fait exceptionnelle.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse est un fleuve abondant. La lame d'eau écoulée dans cette partie essentiellement française de son bassin versant est de annuellement, ce qui est nettement supérieur à la moyenne d'ensemble de la France (). Le débit spécifique (ou Qsp) atteint par seconde et par kilomètre carré de bassin.


title: Meuse (fleuve)

text: La traversée du sud au nord du massif ardennais par le cours de la Meuse est une particularité remarquable de ce fleuve. Habituellement, les cours d'eau partent d'un massif pour rejoindre la plaine et ensuite la mer.


title: Meuse (fleuve)

text: Le creusement de cette vallée est dû à une chronologie particulière des évènements géomorphologiques de la région :


title: Meuse (fleuve)

text: Cela explique comment ce cours d'eau a pu garder sa pente alors que le relief l'entourant a pris une pente inverse. Par exemple, la Sormonne et ses affluents de la rive gauche (l'Ormeau, le rau de Bassigny, le rau de Charoué, le ruisseau de la Bassée) coulent dans une direction générale inverse à celle de la Meuse.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse commence à pénétrer le massif à la sortie de Charleville. Le « chemin sous les roches » constitue le premier escarpement après plusieurs centaines de kilomètres de plaine, où la Meuse contourne le « Mont-Olympe ». Arrive ensuite la boucle de Montcy puis Aiglemont : c'est là que commence vraiment ce que les locaux appellent « la Vallée ». La rivière est à 139 m d'altitude et le relief autour à 190 m. À Revin, la Meuse est descendue à 120 m et le relief autour est monté à 420 m. À Givet, la Meuse est à 95 m et le relief n'est plus qu'à 170 m. Toutefois, les escarpements de la vallée se poursuivent à Dinant et Namur. Cette traversée du massif ardennais produit, en outre, des situations étranges dans le réseau hydrographique, avec des affluents qui coulent en sens inverse de la Meuse. Avant même Aiglemont, face à Montcy-Notre Dame, en rive droite, le ruisseau du Vivier-Guyon formait un angle obtus avec la Meuse, c'est-à-dire qu'il se jette « à l'envers » dans la Meuse. Cette étrangeté est visible sur les cartes de Cassini et d'État-Major ; toutefois, le cours de la Meuse ayant été modifié lors de la formation du chemin de fer vers Nouzonville (la carte d'État-Major présente l'ancien et le nouveau cours), il n'est plus observable aujourd'hui.


title: Meuse (fleuve)

text: À Deville, en rive gauche, le ruisseau du Bois de Waibes forme un confluent en angle obtus avec la Meuse ; le ruisseau de Maubié s'approche de la Meuse aussi en angle obtus mais il est canalisé ; toutefois, sur la carte d'état major, il formait un confluent en angle obtus. En rive droite, à Laifour, la source ferrugineuse donne naissance à un ruisseau qui, sur ses derniers mètres, coule en sens inverse de la Meuse ; il ne forme pas de confuent du fait de la présence de la voie verte trans-Ardennes qui coupe son cours et sous laquelle il est obligé de s'infiltrer. En rive droite encore, le ruisseau de La Jauny ou de la Janny (et plus en aval où il rejoint le ruisseau de la Petite Commune) coule du nord vers le sud alors que la Meuse coule du sud vers le nord et ne se détourne vers l'ouest que sur les deux cents derniers mètres de son cours : il approche avec un angle obtus mais les derniers mètres avant le confluent, sous la voie verte, sont canalisés. Toutefois, sur la carte de Cassini comme sur la carte d'état major du , c'est bien un angle obtus qui forme le confluent. En rive gauche, juste après le pont de la D1 depuis Laifour en direction de Revin, en face de la route descendant vers la voie verte trans-ardennes, un ruisseau sans hydronyme arrive dans le Meuse en s'écoulant en sens inverse et avec un angle obtus dépassant les 100 degrés d'arc. À Revin, il en est presque de même en rive gauche avec le rau de la Fallière, même si la position du confluent sur le méandre de Saint-Nicolas ne forme pas d'angle obtus.


title: Meuse (fleuve)

text: Selon certains auteurs, cette situation est instable, le soulèvement se poursuivant encore aujourd'hui. Actuellement, la ligne de partage des eaux avec la Moselle est à 4 km du talweg de la Meuse dans le domaine du fort de Douaumont, au nord de Verdun. Plus en amont, à Ourches-sur-Meuse, la ligne de partage des eaux avec la Moselle est à seulement 800 m du cours de la Meuse. Le réseau hydrographique du bassin devrait ainsi se réorganiser au détriment de la Meuse. D'une part, la partie inférieure de son cours en France deviendra un affluent de l'Aisne, donc de la Seine, dévié vers le sud à l'entrée de l'Ardenne par la vallée de la Bar. D'autre part, son cours supérieur deviendra un affluent de la Moselle, et donc du Rhin, à partir du fossé de Neufchâteau.


title: Meuse (fleuve)

text: Le cours du fleuve a varié au cours de l'histoire récente à cause de la faible altitude de la plaine aval. L'Homme est souvent intervenu.


title: Meuse (fleuve)

text: Le fleuve coulait à travers l'Oude Maasje, puis vers 1273, le lit a dévié via l'actuelle Afgedamde Maas vers le nord-ouest, jusqu'au confluent avec le Waal, cela jusqu'en 1904.


title: Meuse (fleuve)

text: Depuis les inondations de la Sainte-Élisabeth en 1421, le Waal et la Meuse se joignaient à Gorinchem pour former le Merwede.


title: Meuse (fleuve)

text: La Nouvelle Meuse s'est ensablée et le Nieuwe Waterweg, artificiel, a été ouvert en 1872 pour que Rotterdam puisse rester un port maritime.


title: Meuse (fleuve)

text: Le canal de Heusden a été creusé en 1883 quand l'Afgedamde Maas a commencé à s'ensabler.


title: Meuse (fleuve)

text: Afin de lutter contre les inondations, la Meuse a été barrée en 1904, après Well, selon les plans de Cornelis Lely et redirigée vers un nouveau bras artificiel la Bergsche Maas, qui se poursuit ensuite par l'Amer vers le Hollands Diep. La Vieille Meuse est maintenant un des bras du Rhin et ne reçoit plus d'eau de la Meuse, mais continue à garder son nom. La navigation reste possible entre l'Afgedamde Maas, devenu un quasi bras mort et le Rhin. La porte de garde: "Kromme Nolkering" peut s'abaisser en cas de nécessité, tandis que l'écluse Wilhelmine près de Giessen veille à ce que les eaux des deux fleuves soient séparées.


title: Meuse (fleuve)

text: L'embouchure du fleuve jusqu'au , appelée la Meuse de Brielle, a été finalement été barrée en 1950 et forme un bras mort, la Brielse Maas.


title: Meuse (fleuve)

text: De nos jours, une petite partie des eaux du fleuve se déverse dans le Dordtsche Kil, le reste allant dans le Haringvliet ; de là elles se déversent d'une manière artificiellement régulée, à travers le Haringvlietdam, dans la mer du Nord et dans le Spui pour rejoindre la Vieille Meuse.


title: Meuse (fleuve)

text: Artère économique de premier ordre depuis l'Antiquité, la Meuse garda son influence dans les échanges commerciaux noués pendant la période mérovingienne, comme en témoigne la diffusion de techniques et de motifs, attestée dans les fouilles archéologiques. Elle fut aussi la colonne vertébrale de l'évêché de Liège, devenu principauté épiscopale dans la seconde moitié du Moyen Âge. Ainsi l'autorité du Prince-évêque s'étendait-elle sur des faubourgs (ou des villes entières) reliés entre eux par le fleuve : Dinant, Namur, Andenne, Huy. Dans chacune de ces villes, un pont et une église dédiée à Notre-Dame percevaient un droit de passage, alimentant le trésor épiscopal.


title: Meuse (fleuve)

text: Marc Suttor considère que le trafic sur la Meuse se compare avec celui de la Loire, de la Seine et du Rhin, notamment du vin, la principale marchandise transportée sur les grands fleuves européens au Moyen Âge et à la Renaissance, un trafic égal au à la production bordelaise de vins.


title: Meuse (fleuve)

text: Profitant de cet axe commercial, l'orfèvrerie mosane (et notamment la dinanderie, soit le travail du laiton) se développa pendant tout le Moyen Âge. La « légende historique » rapporte que la pratique de la dinanderie opposa Bouvignes à Dinant ; Philippe de Commynes l'a bien raconté dans ses chroniques et Jules Michelet en a été frappé.


title: Meuse (fleuve)

text: À partir de la fin du , la Meuse a été une des Quatre Rivières définissant la limite entre le royaume de France et le Saint-Empire romain germanique. Cette limite, justifiée par le souvenir du traité de Verdun de 843, allait de la source du fleuve à la ville de Mézières et passait au milieu des principautés qu'elle rencontrait, notamment le duché de Bar. Cette frontière était une réalité mais surtout un objet de représentation, stylisant les différentes limites (fiscale, judiciaire et féodale) du royaume . Les riverains du Moyen Âge ont conscience de la divergence entre l'idée officielle d'une limite fluviale et la réalité de frontières complexes. À partir de 1390, dans les enquêtes royales, les témoins affirment que des bornes de bronze sont immergées dans le fleuve, sans que personne ne les ait vues. Ce mythe montre le respect qui entoure cette limite sacrée entre France et Empire.


title: Meuse (fleuve)

text: Après l’annexion de la majeure partie de l’Alsace et des Trois-Évêchés de Metz, Toul et Verdun à la France par le traité de Westphalie en 1648, la Meuse n'était plus frontière de fait, mais elle reste une référence scolaire jusqu'au en France. En Allemagne, le "Deutschlandlied" (« chant d’Allemagne »), devenu l’hymne national allemand officiel en 1922, y fait allusion. La première strophe du poème de Fallersleben fait référence à la distribution des peuples germanophones au début du et l'extension de la Confédération germanique à cette époque, retirée en 1945, qui dit que l’Allemagne s’étend.


title: Meuse (fleuve)

text: Ce souvenir du Saint Empire était aussi la négation des revendications françaises sur la frontière du Rhin.


title: Meuse (fleuve)

text: Le duc de Bourgogne Philippe le Bon prit Dinant en 1466, l'incendia et fit massacrer ses habitants en les jetant liés deux par deux dans la Meuse. Deux ans plus tard, Liège subissait le même sort. Dinant et Liège faisaient toutes les deux partie de la principauté de Liège alors que Bouvignes faisait partie du comté de Namur, déjà bourguignon. Plus qu'une querelle de clocher, il faut y voir des motifs politico-économiques dépassant largement le microcosme dinantais : qui contrôle le fleuve contrôle l'économie.


title: Meuse (fleuve)

text: Industrielle, la Meuse l'est déjà au Moyen Âge et certains historiens découpent ainsi une zone industrielle qui va de Dinant à Liège. Elle le deviendra encore plus avec la révolution industrielle. Les forges et fourneaux de l'Ardenne qui transformèrent le fer à partir du charbon de bois durant des siècles, vont voir leur travail transporté par des petites rivières rapides qu'ils utilisaient pour leur industrie, vers les plus grandes comme la Sambre (qui se jette dans la Meuse à Namur) et la Meuse. Au cours d'une seconde révolution industrielle, que l'on peut faire débuter avec l'avènement de la Belgique, la deuxième puissance industrielle au monde va s'édifier, de Charleroi à Liège, à la verticale des bassins houillers anglais, du Nord français et de la Lorraine franco-allemande. Seule la Haute Meuse échappera à la fièvre houillère, supplantée par la Sambre reliant Charleroi aux débouchés de la mer du Nord. Progressivement, la sidérurgie prit le pas sur l'extraction minière en Belgique, suivant toujours les bassins de la Meuse médiane et de la Sambre. Cette sidérurgie, aujourd'hui en déclin, subsiste toujours malgré tout et a été intégrée dans l'accord Mittal-Arcelor mais souffre de la concurrence internationale et de la crise économique de 2008.


title: Meuse (fleuve)

text: Fleuve tragique, la Meuse a été chaque fois sur le parcours des invasions et des rivalités européennes. Le , les 100, 101, 103, 108, 178, 182 régiments d'infanterie de l’armée impériale allemande, après avoir été rejetés sur la rive est de la Meuse par les soldats français de Franchet d'Esperey (parmi lesquels le lieutenant Charles de Gaulle), les rejettent définitivement sur l'autre rive. Lors de l'assaut français, réussi, la population a fraternisé avec les soldats de Franchet d'Esperey et chanté de multiples fois La Marseillaise. Comme en d'autres villes de Belgique ou de France, les Allemands sont persuadés (à tort) qu'ils ont affaire à des francs-tireurs (souvenirs du conflit de 1870, hantise qui devient hallucination). À Dinant, leur « fausse croyance sincère » va transformer la ville en "enfer de Bosch" : l'État-major allemand donne des ordres pour exécuter la population et incendier les habitations. Le et les jours qui suivent, , femmes et enfants sont exécutés par armes à feu en différents endroits de la ville. Deux tiers des habitations dinantaises sont la proie des flammes. La population civile, désarmée dès le , avait instamment été priée de ne pas s'impliquer dans le combat contre les envahisseurs (→ Sac de Dinant).


title: Meuse (fleuve)

text: En 1939, la France a déclaré la guerre à l'Allemagne et se prépare à repousser l'invasion de celle-ci. Dans le cadre du plan défensif français, la Meuse joue un rôle important puisque c'est sur une bonne partie de son cours supérieur (en France, du confluent avec la Chiers jusqu'à Namur, en Belgique) que le Commandement Français compte arrêter les Allemands dans le cadre du plan Dyle.


title: Meuse (fleuve)

text: Plus en aval, les Belges la défendent notamment par le fort d'Ében-Émael pour protéger Liège.


title: Meuse (fleuve)

text: Ce fort tombera le , lendemain de l'offensive allemande ; les Belges évacueront la position fortifiée de Liège puis celle de Namur, y laissant uniquement des troupes de forteresse.


title: Meuse (fleuve)

text: En amont, prenant de vitesse les Français, le , c'est un peu au Nord de Dinant, à Houx que les premiers fantassins allemands traversent la Meuse. Le lendemain, les troupes allemandes de Guderian franchissent également la Meuse à Sedan provoquant la Percée de Sedan, ainsi qu'à Monthermé. Leur infanterie traverse également à Givet et Profondeville, mais échoue à Nouzonville et Charleville-Mézières avant que les Français n'évacuent leurs dernières positions sur la Meuse le , une brèche large de Namur jusqu'à l'extrémité Ouest de la ligne Maginot a été ouverte dans le front allié, que les Français ne peuvent combler faute de réserves suffisantes. Les unités blindées allemandes s'y engouffrent et atteignent la Manche près d'Abbeville le , prenant à revers les armées alliées dans le nord de la France et la Belgique. La bataille de France est déjà virtuellement perdue.


title: Meuse (fleuve)

text: Un programme d'action a été mis en place pour la période 1998-2003 et en 2002, lors de la signature du Traité de la Meuse, également appelé "Accord de Gand", la France, les Pays-Bas, la Belgique et le Luxembourg ont marqué leur coopération sur la cogestion du fleuve avec les deux États et les deux Régions belges. Les projets incluent le retour des grands salmonidés dans le bassin et la restauration progressive de la libre circulation des poissons dans tout le Benelux, alors qu'une Directive européenne (Directive cadre sur l'eau, ou DCE) demande le retour du Bon état écologique en 2015 (sauf dérogations à justifier).


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse, qui traverse l'Est de la Belgique de part en part, a donné son nom à l’art mosan qui regroupe un ensemble de productions d'inspiration carolingienne, réalisées principalement dans l'ancien diocèse de Liège (400-1559), entre le Saint-Empire romain germanique et la France de 900 à 1600, et qui permet de mettre en perspective l'Histoire de la Wallonie et de la Principauté de Liège dans une longue durée culturelle avec l'architecture et les belles collégiales d'Hastière, de Nivelles, de St-Barthélémy à Liège, le travail du bois, de l'ivoire, des métaux (les fonts baptismaux de St-Barthélémy, la dinanderie, par exemple).


title: Meuse (fleuve)

text: Un exemple en est la "Crucifixion" en calcaire sculpté, de la fin du , provenant de Berne et conservé à Fribourg, dans laquelle le Crucifié tient la tête droite.


title: Meuse (fleuve)

text: Charles Péguy a mis ces vers dans la bouche de Jeanne d'Arc, née à Domrémy sur la Meuse :


title: Meuse (fleuve)

text: "Adieu Meuse endormeuse et douce à mon enfance," "Qui demeures aux prés où tu coules tout bas." "Meuse adieu : j'ai déjà commencé ma partance" "En des pays nouveaux où tu ne coules pas."Dans son livre "Une certaine idée de la Wallonie", qu'il a tenu à illustrer par une peinture d'Henri Blès, Paul-Henry Gendebien décrit la démarche intellectuelle du grand peintre mosan en pensant à tous les lieux en Europe où l'on peut voir ses œuvres :


title: Meuse (fleuve)

text: André Dhôtel est un Mosan qui, de la Meuse française à la Meuse belge, a écrit ce roman extraordinaire dont Bayard est le héros, "Le Pays où l’on n’arrive jamais". Il y a dans ce livre, curieusement, le fantasme de la mer et des grandes villes flamandes ou néerlandaises où la Meuse rejoint la mer parmi les cathédrales et les beffrois.


title: Meuse (fleuve)

text: Il existe de nombreux liens tout au long du parcours de la Meuse tant dans son parcours français que belge. Rita Lejeune a dressé la carte des toponymes liés à la légende de Bayard, du Plateau de Langres à Maastricht.


title: Meuse (fleuve)

text: Jacques Brel évoque la Meuse dans "« Je suis un soir d'été »" ou encore dans "« Il neige sur Liège »".


title: Meuse (fleuve)

text: Dominique A cite la Meuse dans sa chanson "« La pleureuse »", soulignant le côté sombre du cours d'eau comparé au bleu du Danube.


title: Meuse (fleuve)

text: "En plombeur de ces dames" "Ou en consolateur, " "Si tu y trouves ton compte" "J'inonderai ton cœur." "Et que le beau Danube" "Se transforme en la Meuse" "Et je suis ta pleureuse" "Oui, je suis ta pleureuse" "Pour toujours ta pleureuse." Patrick Beurard-Valdoye a consacré l'une de ses œuvres poétiques, "Mossa", à la Meuse.


title: Meuse (fleuve)

text: La Meuse est mentionnée dans le refrain du chant militaire Verdun ! On ne passe pas, écrit en 1916 par Eugène Joullot et Jack Cazol, à l'occasion de la bataille de Verdun.


title: Meuse (fleuve)

text: "Et Verdun, la victorieuse," "Pousse un cri que portent là-bas" "Les échos des bords de la Meuse," "Halte là ! On ne passe pas !"Un reptile marin découvert près de Maastricht, a été nommé "Mosasaurus" (« lézard de la Meuse ») en hommage à ce fleuve traversant la ville où il a été découvert.


title: Théorème de Pythagore

text: Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Il s'énonce fréquemment sous la forme suivante :


title: Théorème de Pythagore

text: Ce théorème permet notamment de calculer l’une des longueurs à partir des deux autres.


title: Théorème de Pythagore

text: Il doit son nom à Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique du , cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie et a vraisemblablement été découvert indépendamment dans plusieurs autres cultures.


title: Théorème de Pythagore

text: La plus ancienne démonstration qui nous soit parvenue est due à Euclide, vers -300. Même si les mathématiciens grecs en connaissaient sûrement une auparavant, rien ne permet de l'attribuer de façon certaine à Pythagore.


title: Théorème de Pythagore

text: Les premières démonstrations historiques reposent en général sur des méthodes de calcul d’aire par découpage et déplacement de figures géométriques. Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de distance qui est définie pour respecter ce théorème.


title: Théorème de Pythagore

text: Divers autres énoncés généralisent le théorème à des triangles quelconques, à des figures de plus grande dimension telles que les tétraèdres, ou en géométrie non euclidienne comme à la surface d’une sphère.


title: Théorème de Pythagore

text: Plus généralement, ce théorème a de nombreuses applications dans divers domaines très différents (architecture, ingénierie...), encore aujourd'hui, et a permis nombres d'avancées technologiques à travers l'histoire.


title: Théorème de Pythagore

text: La forme la plus connue du théorème de Pythagore est la suivante : En particulier, la longueur de l’hypoténuse est donc toujours supérieure à celle de chaque autre côté.


title: Théorème de Pythagore

text: Le terme « longueur » est parfois omis, chaque côté étant assimilé à sa longueur. Toutefois l’élévation au carré (algébrique), qui n’a de sens que pour une grandeur numérique comme la longueur, correspond à la construction d’un carré (géométrique) sur chaque côté du triangle. Certaines démonstrations du théorème s’appuient d’ailleurs sur une égalité d’aires entre le carré construit sur l’hypoténuse et la réunion des carrés construits sur les deux autres côtés.


title: Théorème de Pythagore

text: En nommant les sommets du triangle, le théorème peut se reformuler dans l’implication suivante : Par contraposée : L’implication réciproque est également vraie : Pour une formulation sans notations des sommets, le terme « hypoténuse » n'est utilisable qu'une fois acquis que le triangle est rectangle : Par contraposée de la réciproque : La réciproque se déduit du théorème lui-même et d'un cas d'« égalité » des triangles : si l'on construit un triangle rectangle en de sommets , et , avec , on a par le théorème de Pythagore, donc un triangle isométrique au triangle initial (les trois côtés sont deux à deux de même longueur). L'angle en du triangle initial , identique à celui du triangle , est donc droit.


title: Théorème de Pythagore

text: Comme la réciproque est vraie, on dit que l'on a une équivalence : la propriété sur les carrés des longueurs des côtés du triangle est une condition nécessaire et suffisante pour qu'il soit dit rectangle en : Quand trois nombres entiers vérifient la même relation que celle donnée par le théorème de Pythagore pour les côtés d'un triangle rectangle, c'est-à-dire que le carré du plus grand est la somme des carrés des deux autres, on les nomme « triplets pythagoriciens ». Le plus simple et le plus connu est le triplet (3,4,5) : 3 + 4 = 5. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les longueurs des côtés sont 3, 4 et 5 est rectangle.


title: Théorème de Pythagore

text: D’après la réciproque du théorème de Pythagore, si un triangle a des côtés de longueurs 3, 4 et 5 (par rapport à une unité quelconque) alors il est rectangle.


title: Théorème de Pythagore

text: Ce cas particulier de triplet pythagoricien justifie l’usage de la corde à treize nœuds, qui permettait de mesurer des distances mais aussi d’obtenir un angle droit sans équerre rigide en répartissant les douze intervalles qui séparent les nœuds sur les trois côtés d’un triangle de dimensions 3 – 4 – 5.


title: Théorème de Pythagore

text: Le théorème (ou plutôt sa contraposée) et sa réciproque montrent que la relation donnée entre les longueurs des côtés est une propriété caractéristique des triangles rectangles, ce qui permet de l’utiliser comme test dans la détermination de la nature d’un triangle : En effectuant le test pour le sommet opposé au plus grand côté du triangle (seul sommet susceptible d'abriter l'angle droit), on peut déterminer si le triangle est rectangle ou non à partir des longueurs de ses côtés.


title: Théorème de Pythagore

text: Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la distance entre deux points s’exprime en fonction de leurs coordonnées cartésiennes à l’aide du théorème de Pythagore par :


title: Théorème de Pythagore

text: Cette formule est analogue à celle qui donne la norme d’un vecteur de coordonnées dans une base orthonormée : Ces formules se généralisent en dimension plus grande.


title: Théorème de Pythagore

text: En considérant le cosinus et le sinus d’un angle α comme l'abscisse et l'ordonnée d’un point du cercle trigonométrique repéré par cet angle, et le rayon du cercle trigonométrique de longueur 1 comme l'hypoténuse, le théorème de Pythagore permet d’écrire : formula_1.


title: Théorème de Pythagore

text: Pythagore vivait au , mais l'histoire du théorème de Pythagore commence plus d'un millénaire auparavant, comme en témoignent plusieurs tablettes d'argile de l'époque paléo-babylonienne. Il n'y a aucune preuve archéologique qui permette de remonter plus avant, même si quelques hypothèses existent.


title: Théorème de Pythagore

text: Ainsi les travaux d'Alexander Thom, qui imagine une organisation de sites mégalithiques datant du en Grande-Bretagne et en France utilisant triangles rectangles et triplets pythagoriciens, sont fortement contestés. L'hypothèse parfois avancée que le théorème aurait été connu de l'Égypte ancienne dès le Moyen Empire paraît elle aussi difficile à établir.


title: Théorème de Pythagore

text: Les historiens des mathématiques et assyriologues ont découvert à la fin des années 1920 que s'était forgée en Mésopotamie (l'ancien Irak), à l'époque paléo-babylonienne une culture mathématique dont l'objet n'était pas purement utilitariste.


title: Théorème de Pythagore

text: Plusieurs des tablettes d'argile qui ont été retrouvées et analysées montrent que la relation entre les longueurs des côtés du rectangle et celle de sa diagonale (soit entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle) était connue et utilisée pour résoudre des problèmes calculatoires. La tablette Plimpton 322 datant de vers -1800 donne une liste de nombres associés à des triplets pythagoriciens, soit des entiers satisfaisant la relation . La tablette ne donne que deux nombres du triplet, mais les associe explicitement au plus petit côté et à la diagonale d'un rectangle.


title: Théorème de Pythagore

text: Il n'y a pas trace de l'énoncé d'un théorème, et les historiens préfèrent souvent utiliser un autre mot, certains parlent par exemple de « règle de Pythagore ». Ni celle-ci, ni le principe qui la sous-tend ne sont explicitement énoncés non plus, mais les exemples montrent bien qu'une règle générale est connue.


title: Théorème de Pythagore

text: La datation et l'origine exacte des tablettes d'argile n'est pas toujours évidente, beaucoup de celles-ci ont été achetées sur le marché des antiquités comme la tablette Plimpton 322, mais les historiens peuvent s'appuyer sur des éléments linguistiques, et les similarités avec celles dont l'origine est connue, ayant été obtenues par des fouilles archéologiques régulières. Les traces que l'on a des cultures antérieures rendent peu vraisemblable la découverte de la « règle de Pythagore », avant -2300, celle-ci pourrait apparaître entre -2025 et -1825.


title: Théorème de Pythagore

text: En Inde, un énoncé du théorème, sous sa forme la plus générale, apparait dans l', l'un des Śulba-Sūtras, ces "traités du cordeau" qui codifient les règles des constructions destinées aux rituels védiques. Ceux-ci ont été rédigés entre le et le avant notre ère (par ailleurs certains triplets pythagoriciens sont mentionnés dans des textes bien antérieurs). Les Sulbasutras parlent du rectangle et de sa diagonale, plutôt que de triangle.


title: Théorème de Pythagore

text: Le théorème apparaît également en Chine dans le "Zhoubi suanjing" (« Le Classique mathématique du Gnomon des Zhou »), un des plus anciens ouvrages mathématiques chinois. Ce dernier, écrit probablement durant la dynastie Han (206 av. J.-C. à 220), regroupe des techniques de calcul datant de la dynastie Zhou ( à -256). Le théorème ou procédure s’énonce de la manière suivante :


title: Théorème de Pythagore

text: Mais la question se pose de savoir si ce théorème — ou cette procédure — était muni ou non d’une démonstration. Sur ce point les avis sont partagés. Le théorème, sous le nom de "Gougu" (à partir des mots « base » et « altitude »), est repris dans le "Jiuzhang suanshu" (Les neuf chapitres sur l'art mathématique, 100 av. J.-C. à 50), avec une démonstration, utilisant un découpage et une reconstitution, qui ne ressemble pas à celle d’Euclide et qui illustre l'originalité du système démonstratif chinois.


title: Théorème de Pythagore

text: Aucun texte connu de l'Égypte antique ne permet d'attribuer aux Égyptiens une connaissance en rapport avec le théorème de Pythagore, avant un document écrit sur papyrus en démotique, généralement daté vers 300 av. J.-C. qui mentionne trois triplets pythagoriciens. Ceci peut tenir à la fragilité du support employé : peu de textes mathématiques de l'Égypte antique nous sont parvenus. Mais le plus notable d'entre eux, le papyrus Rhind, une copie effectuée vers 1650 d'un document datant de 1800 av. J.-C., apparaît comme une somme des connaissances mathématiques de l'époque. Or ni triplets pythagoriciens, ni rien en rapport avec le théorème, n'y apparaît, ce qui laisse penser qu'il est ignoré à ces dates.


title: Théorème de Pythagore

text: Il n'est cependant pas impossible que le triangle rectangle 3-4-5, celui dont les côtés correspondent au triplet pythagoricien le plus simple, soit connu en Égypte dès une époque assez ancienne. Plutarque décrit (à la fin du de notre ère) une interprétation symbolique religieuse du triangle. Mais à l'époque de Plutarque, le syncrétisme religieux a cours dans l'Égypte sous domination romaine, après avoir été gouvernée par les Ptolémées, et il est délicat de déterminer l'origine de cette interprétation, encore plus de la dater.


title: Théorème de Pythagore

text: L'hypothèse de l'utilisation en architecture du triangle 3-4-5 obtenu en utilisant des cordes, éventuellement pourvues de nœuds espacés régulièrement, et tendues en particulier pour tracer des angles droits, est pour le moins discutée. Les faces de la pyramide de Khephren ont une pente de 4/3, mais il existe des explications simples pour leur construction, qui ne supposent pas la connaissance du triangle correspondant. Pour les tracés horizontaux, au vu de ce que l'on sait des cordes disponibles à l'époque et de leur élasticité, la précision de la méthode ne paraît pas compatible avec celle des constructions de grande dimension de l'Égypte antique, mais pourrait fonctionner pour des salles ou des édifices de plus petite dimension. Ainsi le tracé d'une voûte elliptique datant de la dynastie découvert par Georges Daressy correspond à une ellipse dont le foyer, le centre et une intersection avec le petit axe, forment un triangle 3-4-5. Par ailleurs une ellipse peut, elle-même, se tracer facilement à l'aide d'une corde tendue.


title: Théorème de Pythagore

text: Il reste que la connaissance de ce que le triangle 3-4-5 est droit, même si elle n'a rien d'invraisemblable, n'attesterait de toute façon nullement que les carrés des côtés aient été comparés, encore moins de la connaissance du théorème de Pythagore.


title: Théorème de Pythagore

text: Le théorème et sa conclusion, accompagnés de démonstrations, concluent le livre I des "Éléments" d'Euclide, rédigés probablement au début du . Le théorème lui-même est donné à la proposition sous la forme suivante :


title: Théorème de Pythagore

text: Sa réciproque est la proposition : Proclus dans ses commentaires (autour de l’an 400) relate, avec scepticisme, que certains attribuent à Pythagore la découverte du théorème, et attribue à Euclide la démonstration qu'il donne dans ses Éléments. Les témoignages connus au sujet des contributions mathématiques de Pythagore sont tardifs : au plus tôt du , alors que Pythagore aurait vécu au avant notre ère. Un distique attribué à Apollodore de Cyzique () et cité par Plutarque ( de notre ère) pourrait faire exception s'il s'agit bien du théorème, mais Plutarque lui-même en doute. L'identité exacte de l'auteur du distique, et donc la date de sa composition, n'ont d'ailleurs elles-mêmes rien d'évident. Il n'y a cependant aucun doute que le théorème était connu des grecs bien avant Euclide, par exemple Hippocrate de Chio (), l'auteur du théorème des deux lunules, ne pouvait l'ignorer. Aussi certains historiens ont tenté de reconstituer leurs démonstrations, celle d'Euclide ayant pu être contrainte par la structure de son traité axiomatique. Ainsi n'a-t-il pas encore abordé les proportions quand il démontre le théorème de l'hypoténuse au livre I, ce qui lui interdit une démonstration analogue à celle par les triangles semblables.


title: Théorème de Pythagore

text: Le théorème de Pythagore joue un rôle dans la découverte par les mathématiciens grecs, probablement au , de grandeurs incommensurables (qui ne peuvent pas être mesurées avec une même unité), prémisse des nombres irrationnels, en particulier à travers le cas particulier du triangle rectangle isocèle, pour lequel on dispose d'une démonstration particulièrement simple par duplication du carré : un carré dont le côté sert d’unité a une diagonale dont le carré de la longueur vaut 2.


title: Théorème de Pythagore

text: L'incommensurabilité a pu être mise en évidence géométriquement, sans qu'il soit question de racine carrée donc sans recourir au théorème de Pythagore, mais le théorème de Pythagore autorise une preuve arithmétique, dans le cas de la diagonale du carré en montrant qu'aucune fraction d’entiers n’a de carré égal à 2, soit l'irrationalité de formula_2 .


title: Théorème de Pythagore

text: Une thèse très répandue chez les historiens jusqu'au milieu du , mais discutée ensuite, est que l'incommensurabilité joue un rôle important dans le développement des mathématiques grecques pré-euclidiennes.


title: Théorème de Pythagore

text: Plusieurs centaines de démonstrations différentes ont été répertoriées pour le théorème de Pythagore. La plupart sont construites sur des égalités d’aires obtenues par découpage et recollement, voire en utilisant des rapports d’aires de triangles semblables. La définition du produit scalaire en géométrie repérée fournit aussi une démonstration purement algébrique. De nombreuses autres démonstrations ont été recensées, utilisant des outils mathématiques variés. Léonard de Vinci et le président américain James Garfield en ont proposé.


title: Théorème de Pythagore

text: Pour un triangle rectangle donné, il est possible de l’inscrire en quatre exemplaires dans les coins d’un carré dont le côté a pour longueur la somme des longueurs des côtés de l'angle droit. Les quatre hypoténuses forment alors un carré, par égalité de longueur et sachant que chacun de ses angles est supplémentaire des deux angles aigus du triangle.


title: Théorème de Pythagore

text: Avec les notations usuelles, l’aire totale du grand carré vaut donc ("a + b") et l’aire du carré intérieur vaut "c". La différence est constituée par quatre triangles d’aire "ab"/2 chacun.


title: Théorème de Pythagore

text: La relation algébrique entre ces aires s’écrit alors , c’est-à-dire , ce qui revient à


title: Théorème de Pythagore

text: Aucun calcul algébrique n'est cependant nécessaire : on peut conclure par un réarrangement des quatre triangles rectangles dans le grand carré, comme celui indiqué sur l'animation ou celui indiqué sur la figure à droite.


title: Théorème de Pythagore

text: Il n’y a pas trace de la démonstration qu’aurait conçue Pythagore et les historiens envisagent deux types de démonstrations : ou bien une démonstration fondée sur un découpage comme celui de la section précédente ou le puzzle de "Gougu", ou bien une démonstration utilisant les proportionnalités des triangles découpés par la hauteur issue de l’angle droit. Une telle démonstration est donnée par Euclide à la proposition 31 du Livre VI des "Éléments" (pour une généralisation du théorème).


title: Théorème de Pythagore

text: En effet, soit H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ACB rectangle en C. Alors les deux triangles rectangles AHC et CHB sont semblables au triangle initial, par égalités des angles, puisqu'ils partagent à chaque fois un des angles non droits.


title: Théorème de Pythagore

text: Ensuite deux variantes sont possibles.


title: Théorème de Pythagore

text: Cette démonstration s'appuie sur L'égalité des aires : Les aires des trois triangles semblables AHC, CHB et ACB, portées par les côtés AC, CB et AB sont proportionnelles aux carrés de ces côtés. L'égalité précédente donne donc le théorème de Pythagore, en simplifiant par le coefficient de proportionnalité : Cette démonstration n'est cependant pas exactement celle du livre VI des "Éléments", même si elle n'utilise que des résultats de l'exposé euclidien disponibles à la .


title: Théorème de Pythagore

text: Dans sa démonstration de la proposition 31, Euclide utilise directement : en montrant que est, relativement à , comme le carré de relativement à celui de , de même que est, relativement à , comme le carré de relativement à celui de d'où le résultat. En détaillant, et modernisant, les triangles HAC et CAB sont semblables donc : De même, les triangles et étant semblables : Comme , en additionnant (1) et (2), on obtient : La démonstration présentée par Euclide dans le livre I des "Éléments" s’appuie sur les précédentes propositions, en particulier la proposition 4 — en termes modernes deux triangles ayant un angle de même mesure entre deux côtés de mêmes longueurs sont isométriques, et la proposition 41 du livre sur aire d'un triangle : Sur les côtés d’un triangle ABC rectangle en A, sont construits extérieurement des carrés BCED, ABFG et ACIH. La hauteur de ABC issue de A coupe le côté opposé [BC] en J et le segment [DE] en K.


title: Théorème de Pythagore

text: Il s’agit de démontrer que l’aire du carré BCED est égale à la somme des aires des carrés ABFG et ACIH.


title: Théorème de Pythagore

text: Les triangles BCF et ABD ont même angle en B (c’est-à-dire l’angle du triangle ABC augmenté d’un angle droit) et par construction, et . Donc les triangles BCF et ABD ont même aire. Or d’après la proposition 41, l’aire du triangle BCF vaut la moitié de celle du carré ABFG et l’aire du triangle ABD vaut la moitié de celle du rectangle BDKJ. Donc le carré ABFG et le rectangle BDKJ ont même aire.


title: Théorème de Pythagore

text: De même, les triangles BCI et ACE ont même angle en C avec les égalités et donc ils ont même aire, donc d’après la proposition 41, le carré ACIH a même aire que le rectangle CEKJ.


title: Théorème de Pythagore

text: Finalement, le carré BCED se décompose en deux rectangles BDKJ et CEKJ, dont les aires sont celles de ABFG et ACIH respectivement, ce qui termine la démonstration.


title: Théorème de Pythagore

text: Pappus d'Alexandrie donne une démonstration de son théorème sur les aires, pour un triangle quelconque sur les côtés duquel sont construits des parallélogrammes, qui fournit en la particularisant au triangle rectangle sur les côtés duquel sont construits des carrés, une démonstration du théorème de Pythagore alternative à celle d'Euclide, qui utilise des parallélogrammes plutôt que des triangles, et qui pourrait s'insérer au même endroit de l'exposé euclidien.


title: Théorème de Pythagore

text: Le théorème de Gougu de "gou" (base) et "gu" (hauteur) est reconstitué d’après les commentaires du mathématicien chinois Liu Hui () sur le "Jiuzhang suanzhu" « Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique » (206 av.–220 apr. J.-C.), et le "Zhoubi Suanjing" , « Le Classique mathématique du Gnomon des Zhou » (un livre d’astronomie). Le neuvième chapitre du livre "Les neuf chapitres", classique mathématique de la Chine ancienne, s’ouvre sur un énoncé du théorème de Pythagore avec le commentaire laconique : . Cette preuve utilise le principe du puzzle : deux surfaces égales après découpage fini et recomposition ont même aire. Euclide, dans sa propriété de cisaillement, utilise le même principe.


title: Théorème de Pythagore

text: L’absence d’illustration associée à ce commentaire réduit les historiens à émettre des conjectures pour sa reconstitution. Le dessin ci-contre est proposé par Jean-Claude Martzloff d’après une édition de 1892 des "Neuf chapitres". Le triangle rectangle y est tracé en gras, le carré de la hauteur a été tracé à l’extérieur du triangle, le carré de la base et celui de l’hypoténuse sont tournés vers le triangle. Les parties des carrés des côtés de l’angle droit qui dépassent du carré de l’hypoténuse ont été découpées et replacées à l’intérieur de ce carré. Le triangle rouge est égal au triangle de départ. Le triangle jaune a pour grand côté de l’angle droit le petit côté du triangle de départ et a mêmes angles que le triangle initial. Le triangle bleu a pour grand côté de l’angle droit, la différence des côtés du triangle initial et a mêmes angles que le triangle initial.


title: Théorème de Pythagore

text: Karine Chemla appuie plutôt son raisonnement sur une figure "fondamentale" associée au texte du "Zhoubi suanjing" et formée d’un triangle 3 - 4 - 5 dans laquelle on peut lire de nombreuses relations liant les trois côtés du triangle rectangle. Elle interprète le commentaire de Liu Hui comme une nouvelle lecture de la figure fondamentale avec déplacement des 3 pièces 1 - 2 - 3 de l’extérieur du carré dans le carré de l’hypoténuse.


title: Théorème de Pythagore

text: Quant à Li Jimin, il attribue au "Zhoubi Suanjian" la paternité de la première démonstration, il s’appuie lui aussi sur la figure fondamentale et fait pivoter les triangles (1-2) et 3 sur leur pointe pour les installer dans le carré de l’hypoténuse. Un tel découpage, avec pivotement des deux triangles, apparait également en Europe au chez George Biddell Airy et Philip Kelland.


title: Théorème de Pythagore

text: Cette preuve s'inscrit dans un contexte tout à fait différent. Dans un espace vectoriel euclidien, les définitions mêmes de la norme, du produit scalaire et de l'orthogonalité sont déjà d'une certaine façon associées à une forme du théorème de Pythagore (voir ci-dessus).


title: Théorème de Pythagore

text: Par bilinéarité du produit scalaire, pour deux vecteurs quelconques formula_3 et formula_4 : soit : ce qui, en définissant l'orthogonalité de deux vecteurs par la nullité de leur produit scalaire, fournit une version vectorielle du théorème de Pythagore (et de sa réciproque).


title: Théorème de Pythagore

text: Dans un espace affine euclidien la longueur d'un segment est la norme du vecteur formula_7. Les vecteurs portés par les côtés d’un triangle vérifient la relation de Chasles : et le résultat précédent donne : autrement dit le théorème de Pythagore et sa réciproque, quand l'orthogonalité est définie par la nullité du produit scalaire.


title: Théorème de Pythagore

text: Le théorème de Pythagore étant un théorème portant sur des aires, celles des carrés dont les bases sont les côtés du triangle, on peut le visualiser grâce à des réservoirs de liquide de volume proportionnel aux différentes aires. On peut alors constater que le volume du plus grand réservoir est égal à la somme des volumes des deux autres réservoirs plus petits. Il ne s'agit cependant pas d'une démonstration. On peut également citer d'autres méthodes non mathématiques, par exemple il en existe une mécanique utilisant un équilibre de forces.


title: Théorème de Pythagore

text: La loi des cosinus ou théorème d'Al-Kashi donne une formule faisant intervenir les longueurs des côtés et le cosinus de l'un des angles d'un triangle quelconque. L’angle de mesure , le côté opposé de longueur "c" et les deux autres côtés de longueurs respectives "a" et "b" sont reliés par la relation :


title: Théorème de Pythagore

text: Si l’angle γ est droit, son cosinus est nul et la formule se réduit à la relation du théorème de Pythagore. S'il n'est pas droit, le cosinus de l'angle γ est non nul, ce qui donne la réciproque. Cette généralisation permet de traiter des problèmes de calcul d’angles et de distances dans un triangle quelconque. Euclide mentionne dans les "Éléments" (proposition 31 du livre ) :


title: Théorème de Pythagore

text: En appliquant cette généralisation à des demi-disques formés sur chaque côté d’un triangle rectangle, il en découle le théorème des deux lunules, selon lequel l’aire du triangle rectangle est égale à la somme des aires des lunules dessinées sur chaque côté de l’angle droit.


title: Théorème de Pythagore

text: Pappus d'Alexandrie, à la proposition 1 du livre IV de sa "Collection Mathématique", donne une autre généralisation — nommée souvent en France théorème de Clairaut — valable sur un triangle quelconque, sur les côtés duquel sont construits des parallélogrammes : sur le dessin ci-contre, la somme des aires des deux parallélogrammes en gris foncé égale celle du parallélogramme en gris clair. Pappus prenait le parallélogramme BUVC, plutôt que LBCM dont il est le translaté.


title: Théorème de Pythagore

text: L’hypoténuse d’un triangle rectangle pouvant se concevoir comme la diagonale d’un rectangle, une généralisation du théorème en dimension supérieure peut s’énoncer comme suit :


title: Théorème de Pythagore

text: Ce résultat est équivalent au calcul de la longueur d’un segment à partir des coordonnées cartésiennes de ses extrémités dans un repère orthonormé :


title: Théorème de Pythagore

text: ou, en dimension supérieure, si est de coordonnées et de coordonnées :


title: Théorème de Pythagore

text: Cette dernière formule est encore valable dans un espace de Hilbert de dimension infinie et aboutit notamment à la formule de Parseval.


title: Théorème de Pythagore

text: Le théorème de Gua donne une autre généralisation du théorème de Pythagore dans un espace euclidien : si un tétraèdre a toutes ses arêtes orthogonales en un sommet alors le carré de l’aire de la face opposée au coin est la somme des carrés des aires des trois autres faces.


title: Théorème de Pythagore

text: La recherche exhaustive des triplets pythagoriciens est un problème arithmétique à part entière. Elle a pu être motivée par la construction de triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont commensurables. Elle ouvre la porte à la recherche de triplets satisfaisant une équation plus générale : où l’exposant "n" est un entier supérieur à 2. L’absence de solution lorsque l’exposant est supérieur ou égal à 3 est la conjecture de Fermat, qui n’a été définitivement démontrée que plus de trois siècles plus tard par Andrew Wiles.


title: Théorème de Pythagore

text: Le théorème de Pythagore est équivalent (en admettant les autres axiomes de la géométrie) à l'axiome des parallèles, qui peut être rédigé ainsi :


title: Théorème de Pythagore

text: Cela signifie que, dans les axiomes de la géométrie euclidienne, on peut remplacer l'« axiome » des parallèles par le « théorème » de Pythagore sans que les autres résultats de la géométrie soient modifiés. Les statuts d'axiome et de théorème de ces deux résultats sont alors inversés : le « théorème » de Pythagore devient un axiome (une vérité de base, indémontrable, sur laquelle s'appuie la théorie) et l'« axiome » des parallèles devient un théorème, qui peut être démontré à l'aide de Pythagore.


title: Théorème de Pythagore

text: Dans d'autres géométries, l'axiome des parallèles est remplacé par un autre qui le contredit, et le théorème de Pythagore n'est donc plus vrai.


title: Théorème de Pythagore

text: En trigonométrie sphérique, si un triangle est formé par trois arcs de grands cercles à la surface d’une sphère de rayon et si deux de ces arcs se croisent à angle droit, la relation du théorème de Pythagore n’est plus valable, comme dans le cas du triangle équilatéral trirectangle. Elle doit être remplacée par la formule :


title: Théorème de Pythagore

text: où formula_11 est la longueur de l’arc opposé à l’angle droit.


title: Théorème de Pythagore

text: Une relation similaire existe en géométrie hyperbolique pour une courbure constante égale à −1/"R" :


title: Théorème de Pythagore

text: où désigne la fonction cosinus hyperbolique.


title: Théorème de Pythagore

text: Dans les deux cas, un développement limité à l’ordre 2 redonne, pour des triangles de faible dimension, la relation du théorème de Pythagore en géométrie plane.


title: Théorème de Pythagore

text: Plus généralement, la propriété résiste mal au transfert dans d’autres géométries à cause de leur courbure :


title: Théorème de Pythagore

text: Dans le cadre de la relativité générale, l’espace euclidien est remplacé par un espace courbe où les segments sont remplacés par des géodésiques. La théorie de la relativité générale soutient que la matière et l’énergie conduisent l’espace à être non euclidien et le théorème ne s’applique donc pas strictement en présence d’énergie. Cependant, la déviation par rapport à l’espace euclidien est faible sauf auprès d’imposantes sources gravitationnelles comme les trous noirs. Déterminer si le théorème est enfreint sur d’importantes échelles cosmologiques, c’est-à-dire mesurer la courbure de l’Univers, est un problème ouvert pour la cosmologie.