title: Aalto-hiukkasdualismi

text:
Myöhemmin ilmiö selitettiin valon aalto-ominaisuuksien avulla: kyse on interferenssistä. Jos ensimmäisestä ja toisesta pinnasta heijastuneet valoaallot ovat eri vaiheissa, ne sammuttavat toisensa (valoa ei heijastu lainkaan), samassa vaiheessa olevat puolestaan vahvistavat (valoa heijastuu paljon). Sen jälkeen kun Thomas Young oli vuonna 1803 keksinyt Youngin kaksoisrakokokeen, jossa valo taipui hilassa, kysymystä pidettiin jo ratkaistuna: valo oli aaltoliikettä. Myöhemmin James Clerk Maxwellin sähkömagnetismin teoria täsmensi, että valoaallot ovat sähkömagneettisia aaltoja, jotka muodostuvat tietyllä taajuudella värähtelevistä sähkö- ja magneettikentistä.
1900-luvun vaihteessa ilmeni kuitenkin seikkoja, jotka viittasivat siihen, että valolla on myös hiukkasmaisia ominaisuuksia. Albert Einstein onnistui vuonna 1905 selittämään valosähköisen ilmiön, jossa metallista irtoaa elektroneja kun sitä valaistaan tietyn aallonpituuden alittavalla valolla. Einstein keksi, että tuleva valo absorboituu kvantteina, ja vain tietyn energian ylittävä valopaketti, fotoni, pystyy irrottamaan elektronin metallista. Fotonin energia formula_1 voidaan ilmaista taajuuden formula_2 suhteen yhtälöllä
missä formula_4 on Planckin vakio.
Ajatus oli käänteentekevä, sillä valoa oli jo kauan pidetty aaltoliikkeenä. Valon täytyy siis olla yhtä aikaa aaltoliikettä ja hiukkasia. Väite herätti tiukkaa vastarintaa ja useat fyysikot, mm. Robert Millikan ja Niels Bohr näkivät sen vieraana ja outona.


title: Aalto-hiukkasdualismi

text: Einstein sai valosähköisen ilmiön selvittämisestä Nobelin palkinnon vuonna 1921. Nobel-komitea näki kuitenkin parhaaksi sanoa itsensä irti valon hiukkasluonteesta ja myönsi palkinnon vain matemaattisen teorian pohjalta, jossa hiukkasluonne nähtiin vain keinona kuvata havaittuja ilmiöitä.


title: Aalto-hiukkasdualismi

text:
Vuonna 1923 Louis de Broglie ehdotti, että aalto-hiukkasdualismi ei koske vain valoa, vaan että myös ainehiukkasilla kuten elektroneilla on aaltoluonne. De Broglien teorian mukaan sama kaava
jonka Einstein oli esittänyt säteilykvanteille ja jonka mukaan niiden aallonpituus on Planckin vakio jaettuna hiukkasen liikemäärällä, pätee myös ainehiukkasille. De Broglien teoria perustui enemmänkin symmetrian kaipuuseen kuin mihinkään empiiriseen havaintoaineistoon, mutta oletus osoittautui oikeaksi. Elektronien aaltoluonne voidaan saada näkyviin esimerkiksi tarkastelemalla elektronisuihkun sirontaa kiteisen aineen pinnasta. Sen tärkeä sovellus on elektronimikroskooppi.


title: Pähkinäsaaren rauha

text: Pähkinäsaaren rauha on Ruotsin alaikäistä kuningas Maunu Eerikinpoikaa ohjanneen holhoojahallituksen ja Novgorodin tasavallan välillä 12. elokuuta 1323 solmittu rauhansopimus. Sopimus sai nimensä solmimispaikastaan, Pähkinälinnan (, ) linnoituksesta, joka sijaitsee Laatokan Pähkinäsaaressa Nevajoen niskassa. Pähkinäsaaren rauhan raja oli voimassa 272 vuotta aina Täyssinän rauhaan saakka.


title: Pähkinäsaaren rauha

text: Rauhansopimus päätti pitkähkön sotajakson Ruotsin kuningaskunnan ja Novgorodin välillä. Se on vanhin tunnettu Ruotsille itärajan määrittelevä rauhansopimus. Varsinaista alkuperäistä rauhansopimusta ei ole säilynyt nykyaikoihin. Tallella on ainoastaan erikielisiä myöhäisiä versioita, jotka eroavat jossain määrin toisistaan. On myös mahdollista, että rauhansopimus oli alun perin suullinen. Tämä selittäisi, miksi myöhemmät kirjoitetut sopimuksen versiot poikkeavat toisistaan.


title: Pähkinäsaaren rauha

text: Rauhansopimuksessa Karjalan jaettiin kahteen osaan. Sen perusteella Ruotsi sai etupiiriinsä Äyräpään, Jääsken ja Savilahden kihlakunnat. Merkittävämmät Itä-Kannaksen ja Laatokan Karjalan asutusalueet jäivät Novgorodille vaikka sopimus ei erikseen niitä listaakaan. Rajan länsipuolen väestö oli pääosiltaan lähtöisin Länsi-Suomesta ja itäpuolen asukkaat Karjalan suunnalta. Aluejakojen lisäksi rauhansopimuksella turvattiin Novgorodin, Ruotsin sekä Lyypekin ja Gotlannin kauppiaille vapaa kulku Nevajoella ja Itämerellä.


title: Pähkinäsaaren rauha

text: Pähkinäsaaren rauhassa sovitun rajan linjasta on useita erilaisia tulkintoja. Kiistaton on vain rajalinjan eteläisin osa, joka ulottui Viipurin itä- ja pohjoispuolelta Saimaan etelärannalle. Useimmin toistetun tulkinnan mukaan raja jatkui sieltä nykyisen Savon ja Keski-Suomen halki päättyen lopulta Pohjanlahteen Pattijoella Raahen pohjoispuolella. Toisaalta rajan pohjoispää on todettu ainoastaan sanamuodolla "mereen pohjoisessa" ("norr i haffvet)", mikä voi tarkoittaa Pohjanlahden sijaan myös Jäämerta.


title: Pähkinäsaaren rauha

text: Vallitsevan käsityksen mukaan rajalla oli pohjoisessa kaksi haaraa, joiden väliin jäänyt alue oli Länsi-Suomen ja Ruotsin sekä Novgorodin ja Laatokan karjalaisten yhteisnautintaalueena. Tämän teorian esittivät suomalainen Jarl Gallén ja tanskalainen John Lind joiden mukaan itäisempi raja kulkisi Vienanmerelle Kantalahden seudulle. Novgorodin ja Norjan välillä oli sopimus samanlaisesta yhteisverotusalueesta Finnmarkissa. Gallénin-Lindin teoriaan on kohdistettu kritiikkiä, mutta se on saanut myös kannatusta tutkijoiden keskuudessa. Suurlähettiläs Heikki Talvitien käsityksen mukaan ainakin novgorodilaisten mielestä Pähkinäsaaren rauhalla oli kaksi rajaa, Ruotsin raja Kannakselta Perämerelle ja Novgorodin raja etelässä sama, mutta kääntyen Kuopion seudulta pohjoiseen jäämerelle. Itse asiassa Suomen itäraja pohjoisosistaan käytiin vasta 1800-luvulla suuriruhtinaskunnan ja emämaa Venäjän välillä. Talvitien mukaan ruotsalaiset väärensivät asiakirjoja, ja näiden väärennösten mukaan Olavinlinnan alue kuului yhteisiin nautinta-alueisiin Täyssinän rauhaan 1595 saakka, ja väliin jäävälle alueelle Ruotsi pyrki saamaan asutusta. Toisaalta Olavinlinna rakennettiin vasta 1400-luvun lopulla.


title: Pähkinäsaaren rauha

text: Pähkinäsaaren rauhan rajalinjaus Raahen pohjoispuolelle Pattijoelle on saanut rinnalleen vaihtoehtoisia näkemyksiä. Kustaa Vilkuna esitti, että Pähkinäsaaren raja olisi kulkenut pitkin Pyhäjokea jättäen kuitenkin jokiuoman Novgorodin reitiksi Pohjanlahdelle. Rajasopimuksen "Petajoki" tarkoittaisi Pyhäjoen Yppärissä Petäjäisojaa, jolloin raja päättyisi Rajaniemeen jättäen Pyhäjokisuun novgorodilaisten hallintaan. Kyösti Julku yhtyi myöhemmin tähän käsitykseen.


title: Pähkinäsaaren rauha

text: Suomalaisista nykytutkijoista Jukka Korpela on katsonut, että ajatus selkeästi määritellystä rajalinjasta on 1300-luvun oloissa anakronismi Karjalankannasta ja Etelä-Savoa lukuun ottamatta. Näilläkään alueilla rajaa ei juurikaan vartioitu eikä se estänyt vuorovaikutusta, liikennettä, kaupankäyntiä tai kulttuurivaihtoa. Tavallisten 1300-luvun ihmisten näkökulmasta rajaa ei Korpelan mukaan ollut edes olemassa. Rajasopimuksella oli merkitystä vain etäisille valtakeskuksille, jotka riitelivät verotusalueista.


title: Pähkinäsaaren rauha

text: Valtaosa raja-alueesta oli 1320-luvulla erämaata, joten rajalinjaa ei juurikaan merkitty, eikä rajasopimuksessa mainittuja maastomerkkejä voida tunnistaa varmuudella. Raja jäi siis suurelta osin epämääräiseksi. 1300-luvulla rajalla ei vielä ollut sitä merkitystä, minkä se sai puolitoista vuosisataa myöhemmin asutuksen tiivistymisen ja territoriaalivaltioiden synnyn myötä. Rauha Ruotsin ja Novgorodin välillä rikkoutui jo 1348, kun kuningas Maunu Eerikinpoika hyökkäsi Novgorodia vastaan.


title: Pähkinäsaaren rauha

text: Pähkinäsaaren rauhassa kiellettiin linnojen rakentaminen Karjalaan. Vuonna 1475 ruotsalaiset alkoivat rakentaa tästä huolimatta Olavinlinnaa nykyisen Savonlinnan kohdalla alueelle, jota Novgorodin seuraajavaltio Moskovan suuriruhtinaskunta piti rajatulkintansa mukaan itselleen kuuluvana. Toisaalta alue oli jo silloin savolaisten asuttama.


title: Pähkinäsaaren rauha

text: Pähkinäsaaren rauhan jälkeen Ruotsin kuningaskunnan ja Novgorodinmaan kesken tapahtui joitain aseellisia yhteenottoja. Novgorodi antoi Käkisalmen läänin läänitykseksi liettualaiselle ruhtinaalle, jonka ankarasta verotuksesta seurasi karjalaisten Käkisalmen kapina. Ruotsin kuningaskunta lähetti Viipurista avuksi sotajoukon, joille Käkisalmen linnan päällikkö, Vallittu, luovutti. Novgorodinmaa kuitenkin valloitti linnan takaisin vakiinnuttaen valtansa uudelleen. Epäonnistuneen kapinan seurauksena karjalaisia pakeni Käkisalmen linnaläänistä Ruotsin kuningaskunnan puolella Viipurin linnalääniin, Pohjois-Karjalan erämaihin ja Vienanmerelle saakka. Pähkinäsaaren rauhan palauttanut aselepo solmittiin 1339, mikä tarkoitti Pähkinäsaaren rauhan rajan jäämistä ennalleen.


title: Pähkinäsaaren rauha

text: Ruotsin puolelta hyökättiin 1396 Käkisalmen lääniin, mistä on tuohikirje dokumenttina. 1411 ruotsalaiset tuhosivat Tiurin linnan, venäjäksi Tiverskin, linnan, Räisälässä. Linna sijaitsi vanhan Vuoksen saarella. Mainintoja linnoista on venäläisissä asiakirjoissa vuosilta 1390 ja 1404.


title: Pähkinäsaaren rauha

text: 1478 Moskovan suuriruhtinaskunta valloittaa Novgorodin ja alkaa sotia Ruotsia etäämmälle. 1495 sotatoimista seurasi Viipurin pamaus. Vuonna 1595 Venäjä myöntyi Täyssinän rauhassa uuteen rajasopimukseen, joka vahvisti Savon ja Pohjois-Suomen kuulumisen Ruotsille.


title: Ruotsalainen vapaamielinen puolue

text: Ruotsalainen vapaamielinen puolue (RVP, ) oli suomalainen ruotsinkielisten puolue. Järjestö perustettiin vuonna 1919 nimellä Ruotsalainen vasemmisto (RV, ) Ruotsalaisen kansanpuolueen jakauduttua valtiomuotokysymyksen takia. RV kannatti tasavaltaa, RKP:n enemmistö monarkiaa. Ryhmittymä toimi RKP:n sisällä vuoteen 1931, jolloin se muodosti erillisen puolueensa. Vuonna 1947 nimeksi vaihdettiin RVP. Puolue lopetti toimintansa vuonna 1951.


title: Ruotsalainen vapaamielinen puolue

text: Vuoden 1919 vaaleissa Ruotsalainen vasemmisto sai kaksi kansanedustajaa, professori Georg von Wendtin Vaasan vaalipiiristä ja FT Georg Schaumanin Uudenmaan vaalipiiristä. Wendt istui eduskunnassa vuoteen 1922 ja Schauman vuoteen 1930. Vuonna 1926 eduskuntaan nousi varasijalta RV:n Maximilian Sergelius (Uusimaa), joka oli kansanedustajana vuosina 1926–1939 ja 1945–1948.


title: Ruotsalainen vapaamielinen puolue

text: Puolue osallistui eduskuntavaaleihin omalla listallaan vuosina 1930, 1939 ja 1945. Muissa vaaleissa se oli vaaliliitossa RKP:n kanssa. Vuoden 1937 presidentinvaaleissa puolue tuki K. J. Ståhlbergiä ja vuonna 1950 J. K. Paasikiveä.


title: Torkkeli Knuutinpoika

text: Torkkeli Knuutinpoika (myös Tyrgils, ; k. helmikuu 1306 Tukholma) oli ruotsalainen valtaneuvos, joka toimi marskina ja Ruotsin holhoojahallituksen johtavana jäsenenä kuningas Birger Maununpojan alaikäisyyden aikana vuosina 1290–1298. Torkkeli Knuutinpoika syrjäytettiin ja teloitettiin vuonna 1306, kun hän oli joutunut Birger Maununpojan epäsuosioon.


title: Torkkeli Knuutinpoika

text: Perinteisen, nyttemmin kyseenalaistetun näkemyksen mukaan Torkkeli Knuutinpoika johti vuonna 1293 Karjalaan suuntautunutta sotaretkeä eli niin sanottua kolmatta ristiretkeä Suomeen ja perusti sen aikana Viipurin linnan karjalaisten aiemman linnoituksen paikalle. Häntä on siksi perinteisesti pidetty koko Viipurin perustajana. 1300-luvulla kirjoitetun Eerikinkronikan kuvaus sotaretkestä mainitsee kuitenkin vain linnan perustamisen. Lisäksi arkeologisten kaivausten perusteella Viipurissa oli karjalainen kauppapaikka jo 900-luvulla.


title: Torkkeli Knuutinpoika

text: Torkkeli Knuutinpojan syntymäaikaa ei tiedetä, mutta se lienee aikaisintaan 1250-luvulla. Hänen isänsä oli tuntemattomaan sukuun kuulunut Knut-niminen henkilö. Hänen äitinsä oli todennäköisesti nimeltä tuntematon Birger Jaarlin sisarpuolen Sigtrygg Bobergin tytär, mikä teki hänestä Ruotsin kuningasperheen etäisen sukulaisen. Hänet mainitaan ensimmäisen kerran vuonna 1283 ja hänen tiedetään kuuluneen kuningas Maunu Ladonlukon seurueeseen vuonna 1285 ja olleen valtaneuvos jo vuonna 1288. Samoihin aikoihin hänet myös lyötiin ritariksi. Eerikinkronikassa annetaan ymmärtää Maunu Ladonlukon nimenneen Knuutinpojan kuolinvuoteellaan 1290 alaikäisen poikansa Birger Maununpojan pääholhoojaksi ja eräät toiset lähteet mainitsevat hänet samana vuonna myös drotsina, mutta kumpaakin tietoa on epäilty. Joka tapauksessa hänen tiedetään olleen marski viimeistään elokuussa 1291 ja tuon vuoden aikana hänen asemansa korostui useiden muiden merkkimiesten kuollessa tautiepidemiaan. Knuutinpoika ei liene kuitenkaan vielä tässä vaiheessa ollut holhoojahallituksen johtaja.


title: Torkkeli Knuutinpoika

text: Novgorodilaisten tehtyä kevättalvella 1292 hävitysretken Hämeeseen ruotsalaiset vastasivat tekemällä ensin Karjalaan ja Inkeriin pienemmän vastahyökkäyksen, johon Knuutinpoika tuskin osallistui. Novgorodin kronikka mainitsee ruotsalaisten tehneen kevään 1293 ja kevään 1294 välisenä vuonna uuden retken, jonka aikana he perustivat uuden linnan Karjalaan; sama todetaan Eerikinkronikassa mainitsematta vuotta tai retken johtajaa. Vasta 1400-luvulla elänyt historioitsija Ericus Olai mainitsee Torkkeli Knuutinpojan sekä Västeråsin piispan Peterin vuonna 1293 tehdyn retken alkuunpanijoina. Knuutinpojan tiedetään olleen Tukholmassa saman vuoden helluntain aikoihin, mutta koska hänen toiminnastaan Ruotsissa ei sen jälkeen ole mainintoja ennen vuotta 1295, on hänen oletettu johtaneen retkeä itse. On mahdollista, että Viipurin kohdalla oli jo entuudestaan karjalaisten varustus ja kenties myös suomalaista tai ruotsalaista asutusta, mutta kivisen linnan rakentaminen alkoi joka tapauksessa tämän retken yhteydessä. Ruotsalaiset kävivät myös valtaamassa Käkisalmessa olleen varustuksen, jonka novgorodilaiset kuitenkin valtasivat takaisin jo 1295. Sotaretki nähtiin Ruotsissa ristiretkenä, ja sillä samalla myös varmistettiin Ruotsille jalansija Karjalassa.


title: Torkkeli Knuutinpoika

text: Torkkeli Knuutinpoika teki vuonna 1300 uuden sotaretken Neva-joelle. Sen aikana hän rakennutti Neva- ja Ohtajokien väliselle niemelle Maankruunun puuvarustuksen ja jatkoi hävitysretkeä Laatokalle, Inkeriin ja Vatjaan. Maankruunu joutui kuitenkin jo seuraavana vuonna antautumaan novgorodilaisille.


title: Torkkeli Knuutinpoika

text: Kolmannen ristiretken jälkeen Torkkeli Knuutinpoika vakiinnutti asemansa Ruotsin tosiasiallisena johtohenkilönä, jopa Birger Maununpojan täysi-ikäiseksi tulon jälkeenkin. Hän kiristi otettaan kirkosta ja vähensi sen etuoikeuksia, mikä toi hänelle monien ylimysten tuen. Hänen johtamansa holhoojahallitus sääti vuonna 1296 niin sanotun Uplannin lain. Pian vuoden 1300 Nevan retken jälkeen Knuutinpojan asema Ruotsissa kuitenkin heikkeni. Birger Maununpojan ja hänen kahden nuoremman veljensä, herttua Valdemar Maununpojan ja herttua Eerik Maununpojan välille vuosina 1304–1305 syntyneessä valtakamppailussa Torkkeli Knuutinpoika asettui kuninkaan puolelle. Kun herttuat pian sopivat välinsä kuningas Birgerin kanssa, he saivat käännettyä kuninkaan Knuutinpoikaa vastaan. Knuutinpoika yritti turhaan etsiä tukea kirkolta lupaamalla palauttaa sille edellisellä vuosikymmenellä lakkautettuja privilegioita. Kuninkaan luottamuksen menettänyt Torkkeli Knuutinpoika vangittiin joulukuussa 1305 tilallaan Länsi-Götanmaan Lenassa. Hänet tuomittiin kuolemaan ja mestattiin Tukholmassa todennäköisesti 9.–11. helmikuuta 1306 välisenä aikana. Hänet haudattiin Tukholman fransiskaaniluostarin kirkkoon.


title: Torkkeli Knuutinpoika

text: Torkkeli Knuutinpojan ensimmäinen, vuonna 1303 kuollut puoliso oli mahdollisesti prinsessa Birgitta, joka lienee ollut joko kuningas Birger Maununpojan sisar tai tämän veljen Valdemar Maununpojan tytär. Birgittan kuoltua Knuutinpoika meni vuonna 1303 naimisiin kreivitär Hedwig von Ravensbergin kanssa. Torkkeli Knuutinpojalla oli kaksi tytärtä, joista vanhempi, Kristina (1297–1356) naitettiin Valdemar Maununpojalle. Nuorempi tytär Margareta (k. 1319) oli naimisissa valtaneuvos Knut Folkenpojan kanssa.


title: Torkkeli Knuutinpoika

text: Helsingissä ja Viipurissa olevat Torkkeli-alkuiset paikannimet (kuten Torkkelinmäki ja Torkkelinpuisto) on nimetty Torkkeli Knuutinpojan mukaan. Vuonna 1908 Viipurin vanhalle raatihuoneentorille linnaa vastapäätä pystytettiin Ville Vallgrenin veistämä "Torkkeli Knuutinpojan patsas". Se poistettiin paikaltaan neuvostoaikana, mutta palautettiin linnan 700-vuotisjuhlien yhteydessä 1993.


title: Indikaattorifunktio

text: Olkoon formula_1 joukko ja formula_2. Indikaattorifunktio, matematiikassa lyhyemmin indikaattori, on kuvaus formula_3, jota merkitään yleensä formula_4 tai formula_5, ja jonka arvo pisteellä formula_6 on


Indikaattorifunktio


title: Indikaattorifunktio

text: Indikaattorifunktiota kutsutaan joskus karakteristiseksi funktioksi. Tällöin sille tavataan käyttää merkintää formula_8. Käyttö on kuitenkin vähenemässä, sillä symboli on varattu todennäköisyyslaskennassa muuhun käyttöön.


title: Indikaattorifunktio

text: Olkoon formula_1 joukko, ja formula_10. Tällöin


title: Indikaattorifunktio

text:
formula_11
formula_12
formula_13


title: Eero Erkko

text: Eero Erkko (18. toukokuuta 1860 Orimattila – 14. lokakuuta 1927 Helsinki) oli suomalainen sanomalehtimies ja poliitikko. Erkko tunnetaan "Päivälehden" (myöh. "Helsingin Sanomat") perustajajäsenenä ja päätoimittajana. Hän toimi myös Suomen itsenäisyyden alkuvuosina nuorsuomalaisia edustaneena kansanedustajana ja ministerinä.


title: Eero Erkko

text: Eero Erkko kuului 1889 "Päivälehden" (sittemmin "Helsingin Sanomat") perustajiin. Hänestä tuli lehden päätoimittaja ja sen keskeinen omistaja. Hän oli samalla nuorsuomalaisen puolueen perustajia ja pitkään sen puheenjohtajana. Päivälehti ja Helsingin Sanomat olivat puolestaan puolueen pää-äänenkannattajia, joten Erkolla oli suuri vaikutus puolueen linjaan. Alkuvuosina puolueella ei ollut puoluetoimistoa, joten sitä johdettiin käytännössä lehden toimituksesta käsin.


title: Eero Erkko

text: Erkko oli porvarissäädyn edustajana 1894 alkaen useilla valtiopäivillä ja kansanedustajana 1907–1919. Hän kuului nuorsuomalaisten sisällä K. J. Ståhlbergin johtamaan vasempaan eli ns. varpus-siipeen, joka kannatti sosiaalisia uudistuksia. Kenraalikuvernööri Nikolai Bobrikov karkotti perustuslaillisiin kuuluneen Erkon maanpakoon ja hän vietti vuodet 1903–1905 Yhdysvalloissa ja Kuubassa. Vuonna 1903 hän perusti New Yorkiin "Amerikan Kaiku" -nimisen lehden. Maanpakolaisvuosinaan hän myös suunnitteli Kuuban Itaboon perustettavaa vastaavien pakolaisten siirtokuntaa ja "jääkäriliikemäistä" sotilaskoulutuskeskusta. Päivälehti lakkautettiin 1904, kun se oli viitannut myönteisesti Eugen Schaumanin tekemään kenraalikuvernöörin murhaan. Erkko palasi uudestaan 1908 päätoimittajaksi lehteen, jonka nimeksi oli nyt vaihtunut "Helsingin Sanomat", ja jatkoi tehtävässä pienin keskeytyksin kuolemaansa asti.


title: Eero Erkko

text: Suomen sisällissodan ajan Erkko vietti punakaartilaisten pidättämänä Katajanokan vankilassa, joskin hyvin kohdeltuna – Helsingin Sanomien paino oli tuolloin takavarikoitu Suomen Kansanvaltuuskunnan Tiedonantajan käyttöön. Valtiomuotokiistassa 1918 Erkko oli lehtineen tasavallan kannalla ja siirtyi sen jälkeen Kansalliseen Edistyspuolueeseen, jonka pääkannattajaksi myös Helsingin Sanomat siten tuli. Tässä puolueessa hän edusti oikeampaa puoliskoa. Erkko oli vielä hallituksessa sosiaaliministerinä 1918–1919, kulkulaitosten ja yleisten töiden ministerinä 1919 sekä kauppa- ja teollisuusministerinä 1919–1920.


title: Eero Erkko

text: Erkko suomensi ensimmäisen Émile Zolan suomeksi ilmestyneen teoksen "Kertomuksia" (1888). Hän toimitti myös 1904 amerikansuomalaisia kuvaavan "Amerikan albumin". Erkon muistelmat ilmestyivät vasta hänen kuolemansa jälkeen 1929 nimellä "Muistelmia Päivälehden perustamisesta".


title: Eero Erkko

text: Eero Erkko on J. H. Erkon veli, Eljas Erkon isä ja Aatos Erkon isoisä. Sekä pojasta että pojanpojasta tuli aikanaan Helsingin Sanomien päätoimittajia. Muutamaa vuotta isänsä kuoleman jälkeen Eljas Erkko julisti lehden sitoutumattomaksi. Erkon jälkeläiset ovat edelleen pääomistajina Sanoma-konsernissa.


title: Liberal International

text: Liberal International on liberaalipuolueiden kansainvälinen kattojärjestö. Sen päämaja on Lontoossa.


title: Liberal International

text: Järjestö perustettiin Oxfordissa vuonna 1947. Suomesta järjestön perustamisessa oli mukana kansanedustaja Rolf B. Berner, joka edusti Edistyspuoluetta. Sittemmin hän ja edustus siirtyivät Vapaamielisten Liitolle.


title: Liberal International

text: Nykyään Liberal Internationalin suomalaisia jäsenpuolueita ovat keskusta ja RKP.


title: Rolf B. Berner

text: Rolf Brostrup Berner (20. kesäkuuta 1894 Helsinki – 26. elokuuta 1978 Lahti) oli Edistyspuolueen kansanedustaja vuosina 1945–1951 ja hänet oli valittu Kymen läänin vaalipiiristä. Bernerin vanhemmat olivat kauppias Sören Berner ja Bertha Lagus. Bernerille myönnettiin kauppaneuvoksen arvonimi vuonna 1954.


title: Rolf B. Berner

text: Berner kilpaili nuoruudessaan keskimatkojen juoksussa. Hän saavutti 800 metrin juoksussa SM-kultaa 1913 ja SM-hopeaa 1912. Lisäksi hän voitti HIFK:n joukkueessa SM-kultaa 4 × 100 metrin viestissä vuonna 1911.


title: Rolf B. Berner

text: Kansanedustajana ja ministerinä toiminut Arne Berner oli Rolf B. Bernerin poika.


title: Arkkipiispa

text: Arkkipiispa (kreik. "arche" ’ensimmäinen’ ja "episkopos" ’kaitsija’) on kristillisen kirkon piispa sellaisessa hiippakunnassa, joka on erityisen tärkeä esimerkiksi kokonsa tai historiansa puolesta. Arkkipiispa on kirkolliselta vihkimykseltään piispa; kun tavallisen hiippakunnan piispa valitaan jokin toisen hiippakunnan arkkipiispaksi, häntä ei uudelleen vihitä piispaksi. Klassisesti arkkipiispan toimivalta kuvataan lauseella "primus inter pares", ensimmäinen vertaistensa joukossa. Tämä tarkoittaa, että arkkipiispalla on ensimmäisenä piispana kunniasija ja siihen liittyviä tehtäviä, mutta ei piispallista toimivaltaa hiippakuntansa ulkopuolella.


title: Arkkipiispa

text: Suomen evankelis-luterilaisessa kirkossa arkkipiispa toimii kirkolliskokouksen, piispainkokouksen, kirkkohallituksen ja kirkon ulkoasiain neuvoston puheenjohtajana, mutta valvonta- tai johtotehtäviä hänellä ei ole. Arkkipiispa hoitaa kirkon suhteita toisiin kirkkoihin koti- ja ulkomaille. Arkkipiispan arvonimi on käytössä Ruotsin, Suomen, Latvian ja Viron luterilaisissa kirkoissa. Suomen kirkon arkkipiispa on Turun arkkipiispa. Nykyinen arkkipiispa on Tapio Luoma (2018−).


title: Arkkipiispa

text: Suomen ensimmäinen arkkipiispa oli Jakob Tengström, joka vihittiin tehtäväänsä vuonna 1817. Venäläisten ottaessa eteläisen Suomen haltuunsa Suomen sodan alkuvaiheissa 1808 Turun piispa Tengström ja Porvoon piispa Zacharias Cygnaeus ymmärsivät, että Suomesta tulisi osa Venäjää. Tämän jälkeen Tengström tähtäsi toiminnassaan siihen, että Suomessa sopeuduttaisiin uuteen tilanteeseen ja venäläisten näkemyksiin. Venäläisten saavuttua Turkuun Tengström kävi venäläisten ylipäällikön luona tervehdyskäynnillä. Puheessaan hän lausui ilonsa sen johdosta, että keisari oli luvannut säilyttää Suomessa luterilaisen uskon ja perinnäisen kirkollisen järjestyksen.


title: Arkkipiispa

text: Ortodoksisessa kirkossa arkkipiispa on perinteisesti käytettynä autokefaalisen tai autonomisen kirkon (kirkkokunnan) johtavan piispan nimitys. Vaikka kaikki piispat ovat vihkimykseltään samanarvoisia, on kirkon järjestyksen ja toiminnan kannalta ollut tarpeellista asettaa jotkut piispat tehtäviltään tai vastuiltaan merkittävämpään asemaan.


title: Arkkipiispa

text: Suomen ortodoksisen kirkon arkkipiispa on Helsingin hiippakunnan piispa ja hänen arvonimenään on "korkeasti pyhitetty Helsingin ja koko Suomen arkkipiispa". Nykyinen ortodoksinen arkkipiispa on arkkipiispa Leo. Ekumeenisen patriarkan siunauksesta hän saa käyttää arvonsa tunnuksena valkoista klobukkia. Arkkipiispa Leo on ortodoksisen kirkollishallituksen ja kirkolliskokouksen sekä ortodoksisten piispainkokouksen puheenjohtaja.


title: Satunnaismuuttuja

text: Satunnaismuuttuja ( ) eli stokastinen muuttuja on todennäköisyyslaskennan peruskäsite, joka tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää "lukua". Jos tunnetaan satunnaismuuttujan taustalla olevan satunnaisilmiön perusjoukko, on satunnaismuuttuja funktio, joka liittää jokaiseen perusjoukon alkeistapaukseen formula_1 reaaliluvun. Funktion formula_2 tulee kuitenkin olla mitallinen funktio. Yleensä satunnaismuuttujan merkinnästä jätetään argumentti formula_1 merkitsemättä eli kirjoitetaan formula_4.


title: Satunnaismuuttuja

text: Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreettinen tai jatkuva. Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreettinen) tai painona (jatkuva). Satunnaismuuttujan laskemistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan. Satunnaismuuttujat, jotka eivät ole pelkästään toista tyyppiä, kutsutaan sekatyyppisiksi.


title: Satunnaismuuttuja

text: Sana satunnaismuuttuja lyhennetään joskus s.m.. Yleisin tapa merkitä satunnaismuuttujaa on käyttää suuria aakkosia (esimerkiksi formula_5). Toisinaan näkee myös alleviivattuja pieniä kirjaimia (esimerkiksi formula_6) tai lihavoituja pieniä kirjaimia (kuten x). Kun viitataan satunnaismuuttujan arvoon, merkitään se esimerkiksi formula_7.


title: Satunnaismuuttuja

text: Alkeistapaukset voidaan koodata satunnaismuuttujiksi käyttämällä yksinkertaisia funktioita. Lantinheitossa perusjoukko on formula_8 ja siitä voidaan luoda satunnaismuuttuja formula_5 määrittelemällä esimerkiksi:


title: Satunnaismuuttuja

text: Toisessa esimerkissä kahden nopan heitossa tulokseksi halutaan molemman nopan silmälukujen summa. Silloin perusjoukon alkeistapaukset muodostuvat noppien silmälukupareista formula_11 joista muodostetaan satunnaismuuttuja formula_12: formula_13 Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin formula_14 Nämä esimerkit olivat "yksinkertaisia satunnaismuuttujia", koska perusjoukko oli kooltaan äärellinen.


title: Satunnaismuuttuja

text: Seuraava satunnaismuuttuja muodostuu tapauksista, joita voi olla numeroituvasti ääretön määrä. Heitetään kolikkoa, kunnes saadan ensimmäisen kerran kruuna. Jos kruuna saadaan heti, merkitään satunnaismuuttujan formula_15 arvoksi nolla. Jos saadaan aluksi klaava ja sitten kruuna, merkitään satunnaismuuttujan arvoksi yksi. Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin formula_16


title: Satunnaismuuttuja

text: Esimerkiksi tikanheitto voidaan tulkita jatkuvaksi satunnaisilmiöksi, sillä jokainen osuma seinään ja tauluun voidaan tulkita x-koordinaatiston pisteeksi formula_17. Tason pisteitä on nyt ylinumeroituvasti ääretön määrä ja samoin on myös satunnaismuuttujan arvoja. Jos määritellään satunnaismuuttuja formula_18 siten, että formula_19 kun origo on napakympissä, saadaan Borel-joukko niistä formula_20-säteisistä ympyrälevyistä, missä formula_21 Satunnaismuuttuja saa silloin arvot formula_22


title: Satunnaismuuttuja

text: Satunnaismuuttuja saa yleensä arvot suljetulta väliltä formula_23, puoliavoimelta väleiltä formula_24 tai formula_25 taikka avoimelta väliltä formula_26, missä rajat ovat äärellisiä tai äärettömiä.


title: Satunnaismuuttuja

text: Satunnaismuuttuja formula_27 on mitallinen funktio formula_28, missä määrittelyjoukko formula_29 on todennäköisyyslaskennassa käytettävä perusjoukko ja funktion arvojoukkona ovat reaaliluvut. Jos siis alkeistapaus formula_1 oletetaan valituksi, on satunnaismuuttujan arvo formula_2yksikäsitteisesti määritelty, joten siinä mielessä se ei ole "satunnainen" eikä "muuttuja". Kuvauksen arvojoukko (eli kuva) voi olla reaalilukujen osajoukko formula_32. Satunnaismuuttujan kuvaus yksittäisillä alkeistapauksen tai tapahtuman arvoilla on silloin formula_33 Alkeistapaus tai tapahtuma voidaan ilmaista tämän käänteiskuvauksena formula_34


title: Satunnaismuuttuja

text: Funktio tulee olla mittallinen eli formula_35-mitallinen kuvaus. Tämä tarkoittaa sitä, että jokaisen perusjoukon osajoukko kuuluu sigma-algebraan formula_35. Vain silloin formula_37 on varmasti tapahtuma eli formula_38, joka kuuluu aina Borel-joukkoon.


title: Satunnaismuuttuja

text: Satunnaismuuttujaa on määritelty myös siten, että se on mitallinen funktio todennäköisyysavaruudesta formula_39 mitta-avaruuteen formula_40


title: Satunnaismuuttuja

text: "Todennäköisyysjakauma", usein yksinkertaisesti vain "jakauma", määrittelee satunnaismuuttujien arvojen esiintymistodennäköisyydet ja samalla sen käyttäytymisen oleellisimman piirteen. Satunnaismuuttujat luokitellaankin niiden todennäköisyysjakaumiensa mukaisesti eri tyyppeihin. Jakauma voidaan määritellä kahdella eri tavalla: todennäköisyys- eli tiheysfunktiolla tai kertymä- eli jakaumafunktiolla. Eri tavat ovat hyödyllisiä eri tilanteissa, mutta kummastakin funktiosta voidaan johtaa kaikki satunnaismuuttujan ominaisuudet. Jakaumien rakenteet eroavat toisistaan vielä sen mukaan, onko satunnaismuuttuja diskreetti vai jatkuva.


title: Satunnaismuuttuja

text: Todennäköisyysfunktiot ovat diskreettisellä ja jatkuvalla satunnaismuuttujilla varsin erilaiset.


title: Satunnaismuuttuja

text:
Diskreettisten satunnaismuuttujien jakauma on luettelo, jossa jokaiseen satunnaismuuttujan arvoon formula_41 liitetään todennäköisyyden arvo formula_42. Usein käytetty merkintätapa on
Diskreettien satunnaismuuttujien todennäköisyyksiä kutsutaan myös pistetodennäköisyyksiksi.
Diskreettien satunnaismuuttujien todennäköisyyksiä kutsutaan myös pistetodennäköisyyksiksi.


title: Satunnaismuuttuja

text: Esimerkiksi kahden nopan heitossa, jossa satunnaismuuttujana on noppien silmälukujen summa, saadaan satunnaismuuttujan arvojen perusjoukoksi formula_43 Kuten oheisesta kuvaajasta voi nähdä, noudavat seuraavat pistetodennäköisyydet sen todennäköisyysjakaumaa: formula_44 ja formula_45


title: Satunnaismuuttuja

text:
Todennäköisyysjakauman todennäköisyyksien summa
tulee aina olla yksi.
Jatkuvien satunnaismuuttujien todennäköisyysfunktio on tiheysfunktio formula_47 (joskus formula_48), joka saa satunnaismuuttujan arvoalueella vain positiivisia arvoja ja muualla se saa arvokseen nolla. Se ei voi saada missään negatiivisia arvoja.


title: Satunnaismuuttuja

text: Tiheysfunktion arvot eivät ole todennäköisyyksiä. Jatkuvan satunnaismuuttujan arvot ovat reaalilukuja, joita on yleensä ylinumeroituvasti ääretön lukumäärä. Usein tulkitaankin, että yksittäisen alkeistapauksen satunnaismuuttujan arvon esiintymistodennäköisyys on "nolla". Tässä on kuitenkin ristiriita käytännön kanssa. Satunnaismuuttuja antaa tulokseksi joitakin arvoja, joten ainakaan niiden todennäköisyys ei voi olla "tasan nolla". Silloinhan niitä ei esiintyisi. Koska yksittäiset satunnaismuuttujan arvot ovat selvästi mahdollisia, mutta kuitenkin äärimmäisen epätodennäköisiä, on niiden todennäköisyys "melkein nolla".


title: Satunnaismuuttuja

text:
Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyyksiä lasketaankin vain tapahtumille, jotka ovat satunnaismuuttujan arvojen lukuvälejä formula_23. Tapahtuman lukuvälissä on ylinumeroituvasti ääretön määrä alkeistapauksia, joiden yhteinen todennäköisyys on äärellinen. Tällä lukuvälillä formula_23 otettu tiheysfunktion määrätty integraali onkin todennäköisyyttä merkitsevä numeerinen arvo:
Koko tiheysfunktion yli otettu määrätty integraali on aina arvoltaan yksi
koska sille välille jäävät kaikki alkeistapaukset.


title: Satunnaismuuttuja

text:
Kertymäfunktio eli jakaumafunktio formula_53 määritellään siten, ettei määrättyä integrointia enää tarvita todennäköisyyksiä laskettaessa. On olemassa useita erilaisia kertymäfunktion määrittelytapoja. Yleisin on kuitenkin määrittää todennäköisyys tapahtumalle, joka sisältää kaikki alkeistapaukset vasemmaltapäin päätearvoon formula_54 asti. Sekä diskreettisille että jatkuville satunnaismuuttujille tämä tarkoittaa
Todennäköisyys tapahtumalle formula_23 on silloin laskettavissa ilman määrättyä integrointia
Kertymäfunktiot ovat kasvavia funktioita, jotka saavat vain arvot


title: Satunnaismuuttuja

text: Diskreettisillä satunnaismuuttujilla kertymäfunktiot ovat porrasfunktioita, jotka kasvavat joka "portaalla". Jatkuvilla satunnaismuuttujilla kuvaaja on yleensä kasvavia ja sileä käyriä. Jos kertymäfunktio on derivoituva, saadaan sen derivaatasta tiheysfunktio


title: Satunnaismuuttuja

text: Satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumat riippuvat yleensä vain muutamista parametreista, joilla on usein jokin käytännön merkitys. Esimerkiksi monissa jakaumissa tulee tietää vain sen "keskiarvo". Tämä parametri tunnetaan matematiikassa odotusarvona (merkitään formula_60), jotka toisinaan kutsutaan ensimmäiseksi momentiksi. Muita parametrejä voivat olla esimerkiksi varianssi (merkitään formula_61, toinen momentti) tai vinous (kolmas momentti). Jakauman tarvitsemia parametreja on muitakin, mutta vaihtelevat jakaumittain.


title: Kertymäfunktio

text: Kertymäfunktio eli jakaumafunktio (, cdf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä reaaliarvoisen satunnaismuuttujan todennäköisyyden jakautumista kuvaava funktio. Kertymäfunktion formula_1 arvot ovat todennäköisyyksiä tapahtumissa, jossa satunnaismuuttuja formula_2 saa reuna-arvon formula_3 tai sitä pienempiä arvoja eli formula_4. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kertymäfunktio määritellään tiheysfunktion määrätyn integraalin avulla ja diskreetillä satunnaismuuttujalla pistetodennäköisyyksien summana. Kertymäfunktio on aina oikealta jatkuva, vaikka tiheysfunktio tai pistetodennäköisyysfunktio olisi epäjatkuva.


title: Kertymäfunktio

text:
Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään
missä formula_6 on pistetodennäköisyysfunktion arvo ylärajaa formula_3 pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.


title: Kertymäfunktio

text:
Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään määrättynä integraalina ylärajan formula_3 suhteen
missä formula_10 on satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Tiheysfunktiota havainnollistetaan ajattelemalla sen arvoja "todennäköisyysmassan" korkeutena, missä suuri arvo merkitsee yleistä satunnaismuuttujan arvoa. Kertymäfunktion tapauksessa voidaan edelleen ajatella, että sen arvo tarkoittaisi "todennäköisyysmassan" kokonaismäärää formula_11 kohdassa formula_12 ja sitä pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.


title: Kertymäfunktio

text: Jos tiheysfunktio on jatkuva, saadaan se myös derivoimalla kertymäfunktio muuttujan suhteen


title: Kertymäfunktio

text: Jos halutaan korostaa kertymäfunktion satunnaismuuttujaa, merkitään satunnaismuuttuja usein alaindeksiksi formula_14 ja formula_15 Toisinaan merkitään kertymäfunktio kreikkalaisella aakkosella formula_16 (lue: "fii"), jos tiheysfunktio on ollut formula_17 (pieni kirjain).


title: Kertymäfunktio

text:
Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktiolla saa 10 nollasta eroavaa arvoa
kun formula_19 jotka ovat yhtä suuret eli formula_20 Kertymäfunktio saadaan arvoa "x" pienempien kohtien todennäköisyyksien summasta eli
Tämän porrasfunktion arvot ovat oikealta jatkuvia ja sen kuvaaja on esitetty alla.


title: Kertymäfunktio

text:
Tasaisen jakauman tiheysfunktio välillä [a,b] on
ja sen kertymäfunktioksi saadaan
Sen kuvaaja on alla.


title: Kertymäfunktio

text:
Kertymäfunktio on kuvaus reaaliluvuilta välille formula_24, eli
Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on jatkuva funktio. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on oikealta jatkuva porrasfunktio. Jatkuvuudesta seuraa ominaisuus
Tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa havainnollisemmin
Jatkuvan satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys eli arvo yksittäisessä pisteessä on siten nolla eli
Koska kertymäfunktion arvot ovat tapahtumien todennäköisyyksiä, saa se vain arvoja väliltä
Kertymäfunktio on lisäksi monotoninen funktio, joka on ei-vähenevä eli
Tämän vuoksi kertymäfunktio kasvaa lopulta täyteen arvoonsa, kun ylärajaa kasvatetaan riittävästi
Kertymäfunktio alkaa nollasta jostakin arvosta "a" lähtien. Jos satunnaismuuttuja arvoalue on äärettömän laaja, voidaan tämä ilmaista


title: Kertymäfunktio

text:
Edellä esitelty määritelmä on eräs tapa ilmaista tapahtuma, jossa todennäköisyys lasketaan käyttämällä satunnaismuuttujan ylärajana formula_3 eli
Voidaan osoittaa, että sillä voidaan laskea kaikki sellaiset todennäköisyydet, jossa tapahtumat ovat välejä. Esimerkiksi, koska mielivaltaiselle satunnaismuuttujan arvolle formula_12 pätee
voidaan "vastatapahtuman todennäköisyys" laskea


title: Kertymäfunktio

text:
Toisaalta, koska mielivaltaisille satunnaismuuttujan arvoille formula_12 ja formula_40 pätee
voidaan "välin formula_42 todennäköisyys" laskea


title: Kertymäfunktio

text: Jos kertymäfunktio olisi määritelty toisella tavalla, olisi siihenkin voitu johtaa kaikkien muidenkin välien todennäköisyydet.


title: Tiheysfunktio

text: Tiheysfunktio ( ) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyyden jakautumista kuvaava todennäköisyysfunktio. Tiheysfunktiolla on läheinen yhteys tilastotieteessä käytettävään histogrammiin, jolla havainnollisetaan luokitellun aineiston arvojen jakautumista. Tiheysfunktioiden arvot eivät itsessään ole todennäköisyyksiä, mutta tiheysfunktion avulla voidaan laskea todennäköisyydet käyttämällä määrättyä integraalia. Tiheysfunktio määrittelee satunnaismuuttujan täysin, ja sen avulla voidaan määrittää satunnaismuuttujan kaikki ominaisuudet.


title: Tiheysfunktio

text: Satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio on tiheysfunktiolle yläkäsite, jossa diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on tiheysfunktiolle rinnakkaiskäsite. Tiheys- ja pistetodennäköisyysfunktioilla on varsin erilaiset ominaisuudet ja matemaattiset vaatimukset, joten on perusteltua kutsuakin näitä eri nimillä. Tiheysfunktion nimitykset muilla kielillä ovat suomalaisen nimityksen kanssa vastaavia, mikä voidaan todeta esimerkiksi (eli PDF), (eli WDF) tai .


title: Tiheysfunktio

text: Tiheysfunktiota kutsutaan joskus myös "todennäköisyyden massafunktioksi", jotta nimityksen mieleyhtymä todennäköisyyden kasautumisesta tietyille arvoalueille korostuisi. Samaa yritetään kenties tiheys-sanan käytöllä. Muutamilla muilla käsitteillä, kuten esimerkiksi momenteilla, etsitään kenties vertailukohtia mekaniikasta.


title: Tiheysfunktio

text: Normaalijakauman tiheysfunktion kuvaajaa kutsutaan yleisesti "kellokäyräksi" tai "Gaussin käyräksi".


title: Tiheysfunktio

text:
Satunnaismuuttuja formula_1 on jatkuva, jos on olemassa sellainen funktio formula_2, että kaikille reaaliakselin väleille formula_3 on
Tätä funktiota formula_5 kutsutaan tiheysfunktioksi. Satunnaismuuttujan jatkuvuuden edellytys on, että mitkä tahansa todennäköisyydet tulee voida laskea tiheysfunktion määrättyjen integraalien avulla yksikäsitteisellä tavalla. Samalla käy ilmi tiheysfunktion kytkentä todennäköisyyteen.


title: Tiheysfunktio

text: Kukin yksittäinen satunnaismuuttujan arvo on alkeistapaus. Kaikki mahdolliset alkeistapukset muodostavat yhdessä perusjoukon. Kun ajatellaan tiheysfunktiota, on sen määrittelyjoukko ja satunnaismuuttujan perusjoukko sama joukko. Yksittäiset määrittelyjoukon kohdat ovat satunnaismuuttujan alkeistapauksia. Tapahtumaa, joka koostuu usein useista alkeistapauksista, merkitään tavallisesti lukujoukkona esimerkiksi lukuvälinä. Lukuvälit rajaavat perusjoukosta suuren osan alkeistapauksista itseensä ja loput perusjoukon alkeistapauksista muodostavat vastatapahtuman. Määritelmä esittää, miten lukuvälin arvojen muodostama tapahtumasta voidaan laskea sen todennäköisyys.


title: Tiheysfunktio

text:
Tiheysfunktio voidaan määritellä myös kertymäfunktion (katso alla) derivaattanakin
mikäli se vain on derivoituva funktio.


title: Tiheysfunktio

text: Todennäköisyyksien laskemiseksi tulee tiheysfunktiosta ottaa määrätty integraali. Tämä voi tulla vaivalloiseksi tai se voi olla jopa mahdotontakin, sillä kaikille tiheysfunktioille integraalia ei voida määrittää lausekkeen muodossa (esimerkiksi normaalijakauma). Näiden tapausten todennäköisyydet lasketaan numeerisen analyysin avulla likiarvoina ja tulokset kootaan taulukoiksi.


title: Tiheysfunktio

text: Toistuvan integroimisen välttää antamalla todennäköisyydet valmiiksi integroituna lausekkeena, jota kutsutaan kertymäfunktioksi formula_7. Kertymäfunktion avulla todennäköisyydet saadaan funktioiden arvojen aritmeettisilla laskutoimituksilla. Yleisin tapa on määrittää todennäköisyys tapahtumana, joka sisältää alkeistapaukset tiettyyn arvoon formula_8 asti:


title: Tiheysfunktio

text:
Esimerkiksi eksponenttijakaumassa satunnaismuuttujan formula_1 tiheysfunktio on
joka on määritelty formula_12. Sen kertymäfunktio formula_7 saadaan määritettyä integroimalla se ensin välin formula_14 yli
Kun ylärajaksi merkitään formula_16, saadaan kertymäfunktion lauseke
Kertymäfunktiolla voidaan nyt laskea todennäköisyys integroimatta kertaakaan (parametrilla formula_18)


title: Tiheysfunktio

text: Vaikka kertymäfunktio on todennäköisyyksien laskemisessa käytännöllisempi, tarvitaan tiheysfunktiota edelleen tunnuslukujen laskemisessa.


title: Tiheysfunktio

text: Tasaisen jatkuvan jakauman tiheysfunktio saa saman arvon kaikkialla perusjoukkonsa alueella. Mitä leveämpi on perusjoukko, sen pienempiä ovat tiheysfunktion arvot. Jos tiheysfunktio saa arvoja väliltä formula_20, tulee tiheysfunktion arvoksi 0,25, sillä formula_21 Tasaisen jakauman tiheysfunktion arvot välillä formula_3 ovat aina välin pituuden käänteisluku eli formula_23.


title: Tiheysfunktio

text: Tiheysfunktio voidaan ajatella syntyvän satunnaismuuttujan antamien arvojen eli ulostulojen tilastollisesta histogrammista. Kun ulostulojen määrää kasvatetaan hyvin suureksi, voidaan luokittelua tihentää ja silloin pylväistä tulee hyvin kapeita. Kapeiden pylväiden yläpäät piirtävät melko sileän käyrän, joka tulee pylväiden kaventamisprosessin edetessä lähestymään tiheysfunktiota. Tiheysfunktio edustaa sellaista "histogrammia", jossa on ääretön määrä ulostuloja ja olemattoman kapeat luokat. Histogrammilla voidaan laskea prosentteina erilaisien tapahtumien osuuksia, joita voidaan tulkita tilastollisen todennäköisyyden tulkinnan mukaan todennäköisyyksien likiarvoiksi. Histogrammin alue ja tiheysfunktion alle jäävä alue voidaan siten tulkita samaksi asiaksi. Pinta-alaa, joka jää tiheysfunktion käyrän alle, kutsutaan joskus "todennäköisyysmassaksi". Tiheysfunktion arvo formula_24 tietyssä kohdassa formula_8 kertoo vain "todennäköisyysmassan" korkeuden kyseisessä kohdassa x-akselia.


title: Tiheysfunktio

text:
Tiheysfunktiolta vaaditaan yleisesti, että
kaikille reaaliluvuille. Tämä varmistaa sen, että määrätyt integraalit eli todennäköisyydet olisivat positiivisia tai ainakin ei-negatiivisia.


title: Tiheysfunktio

text: Määrätyn integraalin ominaisuuksista johtuen funktion äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia ei vielä estä integraalin laskemista. Integraalilaskennossa jokainen yksittäisen pisteen integraali saa arvokseen nolla, joten äärellinen määrä puuttuvia pisteitä ei pienennä määrätyn integraalin arvoa. Asia muuttuu silloin, jos epäjätkuvuuskohtia on numeroituvasti tai ylinumeroituvasti ääretön määrä.


title: Tiheysfunktio

text:
Mikä tahansa funktio ei voi olla tiheysfunktio. Ei-negatiivisuuden lisäksi tiheysfunktion avulla muodostettavat todennäköisyydet tulisivat kaikki olla satunnaismuuttujan todennäköisyyksien mukaisia. Tämä ominaisuus johtaa myös siihen, että koko perusjoukon sisältävän välin formula_27 todennäköisyys ja samalla tiheysfunktion määrätyn integraalin arvo tällä välillä on yksi:
Tämä ehto normittaa funktion. Eräissä tapauksissa jälkimmäinen päätepiste voi olla ääretön tai ensimmäinen päätepiste voi olla "miinus ääretön". Silloin tulee myös epäoleellinen integraali toteuttaa ehdon


title: Tiheysfunktio

text: Diskreetin satunnaismuuttujan kullakin yksittäisellä arvolla on nollasta poikkeava todennäköisyys. Tämä johtuu satunnaismuuttujan perusjoukon äärellisestä tai numeroituvasti äärettömästä koosta. Tämän perusteella kukin lukuarvo esiintyy "kohtuullisen" usein satunnaismuuttujan ulostulojen joukossa. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumassa mahdollisia reaalilukuarvoisia arvoja on ylinumeroituvasti ääretön määrä, jolloin yksittäisen lukuarvon esiintyminen on "äärimmäisen harvinaista". Usein tulkitaankin, että sen esiintymistodennäköisyys on "nolla". Tässä on kuitenkin ristiriita käytännön kanssa, sillä satunnaismuuttujahan antaa aina tulokseksi joitakin lukuarvoja. Ainakaan näiden arvojen todennäköisyys ei voi olla "tasan nolla", sillä silloinhan niitä ei esiintyisi ollenkaan. Koska yksittäiset satunnaismuuttujan arvot ovat selvästi mahdollisia, mutta kuitenkin äärimmäisen epätodennäköisiä, voi niiden todennäköisyyttä pitää "melkein nollana". Syntyvä paradoksi kierretään välttämällä jatkuvien satunnaismuuttujien tapauksissa yksittäisten tapauksien todennäköisyyksien laskemista ja summaamista.


title: Tiheysfunktio

text:
Todennäköisyyksiä lasketaankin vain tapahtumille, jotka muodostavat lukusuoralla välejä formula_30. Todennäköisyys, että seuraava satunnaismuuttujan arvo on jokin välin sisältävistä luvuista, lasketaan määrättyllä integraalilla
Huomaa, että edellisen selostuksen nojalla voidaan pitää seuraavia todennäköisyyksiä yhtäsuurina:
sillä avoimella välillä puuttuvan päätepisteen lisäys on todennäköisyydessä vain "nollan" lisäämistä tulokseen. Tämän ymmärtää helposti määrätyn integraalin ominaisuudesta, jossa
Integraalin sisältävä määritelmä on käytännöllinen myös sen vuoksi, että se sallii tiheysfunktiolle joitakin yksittäisiä, eli äärellisen määrän, epäjatkuvuuskohtia ilman, että integraalin laskemisessa tulisi ongelmia.


title: Tiheysfunktio

text:
Jos epäoleelliset integraalit ovat olemassa, voidaan laskea myös
Todennäköisyys, että seuraava satunnaismuuttujan arvo on jokin perusjoukon luvuista, on luonnollisesti yksi (tapahtuu aina). Välin rajat voidaan merkitä äärettömän kauaksi toisistaan, vaikka perusjoukko voikin olla rajoitettu. Tällöin
raja-arvon määrittämässä mielessä.


title: Tiheysfunktio

text:
Jatkuvien satunnaismuuttujien jakaumien tunnuslukuja on lukuisia. Odotusarvo merkitään ja määritellään
Kyseessä on epäoleellinen integraali ja se on olemassa vain, kun se suppenee itseisesti. Mikäli perusjoukko on rajoitettu esimerkiksi välille formula_3, voidaan odotusarvo laskea määrätyllä integraalilla
Odotusarvoa kutsutaan myös "ensimmäiseksi momentiksi", sillä se on ensimmäinen pitkässä momenttien sarjassa. Yleinen määritelmä "n:nelle momentille" on


title: Tiheysfunktio

text:
Keskusmomenteiksi tai keskeismomentiksi kutsutaan niitä odostusarvoja, jotka lasketaan erotuksista formula_41 Ne määritellään muuten samalla tavalla kuin tavalliset momentit eli origomomentit:
Näistä "toinen keskusmomentti" on varianssi:
josta saadaan neliöjuurella keskihajonta
Kaikki momentit saadaan momentit generoivasta funktiosta


title: Arne Berner

text: Arne Morten Berner (15. marraskuuta 1927 Helsinki – 9. joulukuuta 1988 Helsinki) oli suomalainen LKP:n ministeri ja kansanedustaja. Hän edusti vuosina 1966–1971 Kymen läänin vaalipiiriä. Berner toimi kauppa- ja teollisuusministerinä 1970–1971 ja 1976–1977, ministeri ulkoasiainministeriössä 1982–1983 ja II sosiaali- ja terveysministerinä 1970–1971. Presidentin valitsijamies hän oli 1968.


title: Arne Berner

text: Arne Bernerin vanhemmat olivat kansanedustaja ja kauppaneuvos Rolf B. Berner ja Ebba Elise Wilkman. Arne Berner toimi perheyhtiö Berner Osakeyhtiön auto-osaston johtajana 1950–1960-luvulla. Berner kävi seitsemän luokkaa oppikoulua ja hankki autoalan erikoiskoulutusta Yhdysvalloissa vuosina 1949–1950.


title: Arne Berner

text: Vuonna 1962 Arne Berner teki Suomen ensimmäisiin kuuluvan amerikkalaistyylisen vaalikampanjan Kymen vaalipiirissä tuolloin Vapaamielisten Liiton ehdokkaana. Liikkuva kampanja käsitti toritilaisuuksia ja paljon ihmisten tapaamista ja kättelyä. Vapaamielisten Liitolla ei vaalipiirissä ollut minkäänlaista jäsen- tai järjestöpohjaa tukena, vaan kampanjan tukikohtina palvelivat enemmänkin Berner-yhtymän autoliikkeet Kouvolassa ja Lappeenrannassa sekä liiketuttavat ja perheen aiemmat poliittiset tukijat. Vaikkei Berner, vaalipiirissä uuden pienpuolueen ehdokas, silloin päässytkään lävitse, hän keräsi yli kolmetuhatta henkilökohtaista ääntä.


title: Arne Berner

text: Vuoden 1966 eduskuntavaaleissa, yhdistyneen Liberaalisen Kansanpuolueen (joka yhteensä keräsi vaalipiirissä yhteen paikkaan suoraan oikeuttavat yli kymmenentuhatta ääntä) ehdokkaana ollessaan Arne Berner sitten keräsi itse vielä enemmän ääniä kuin neljä vuotta aiemmin ja sai listallaan eniten ääniä nousten eduskuntaan, jossa pysyi kaksi kautta.


title: Arne Berner

text: Eduskunnassa 1970-luvun alussa hän sai osakseen puolueensa uuden nuorison voimakastakin arvostelua joidenkin henkilökohtaisten konservatiivien kantojensa ja äänestämistensä johdosta.


title: Odotusarvo

text: Odotusarvo on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaisilmiön tuottamien lukujen odotettavissa oleva arvo. Numeerisia lukuarvoja tuottavia satunnaisilmiöitä kutsutaan satunnaismuuttujiksi. Satunnaismuuttujan tuottamat luvut ja niiden todennäköisyydet muodostavat yhdessä todennäköisyysjakauman. Odotusarvo on todennäköisyysjakauman ensimmäinen tunnusluku eli momentti.


title: Odotusarvo

text: Keskiarvo ja odotusarvo samaistetaan usein toisiinsa, vaikka odotusarvo on todennäköisyyslaskennan käsite ja keskiarvo lukuihin liittyvä tilastotieteen käsite. Odotusarvo saadaan laskemalla keskiarvo äärettömän monesta, yhden satunnaismuuttujan tuottamasta luvusta. Se voidaan myös tulkita keskiarvoksi äärettömän monesta äärellisen kokoisesta otoskeskiarvosta. Odotusarvolla on sama yksikkö kuin satunnaismuuttujalla.


title: Odotusarvo

text: Odotusarvo voidaan merkitä eri tavoilla formula_1


title: Odotusarvo

text: Matemaattisesti odotusarvo formula_2 määritellään diskreeteille ja jatkuville satunnaismuuttujille erikseen.


title: Odotusarvo

text:
Diskreetin satunnaismuuttujan formula_3 saamien kaikkien arvojen joukkoa kutsutaan todennäköisyyslaskennassa perusjoukoksi ja se merkitään formula_4 Kunkin arvon esiintymistodennäköisyyttä merkitään vastaavasti formula_5 Näitä todennäköisyyksiä kutsutaan usein "pistetodennäköisyyksiksi" ja niitä saatetaan merkitä myös
jossa funktioita formula_7 ja formula_8 kutsutaan pistetodennäköisyysfunktioiksi.


title: Odotusarvo

text: Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo määritellään nyt (eri merkintätapoja käyttäen)


title: Odotusarvo

text:
Pisteluvun odotusarvo kuusitahoiselle nopalle, jonka kaikkien pistelukujen todennäköisyys on yhtä suuri, on
Noppapelissä pelaaja voi odottaa etenevänsä pelilaudalla noin 3,5 askelta kierrosta kohti.


title: Odotusarvo

text: Jatkuvan satunnaismuuttujan formula_3 saamien reaalilukuarvojen joukko muodostaa vähintään yhden yhtenäisen lukuvälin formula_12, joka on reaalilukujen osajoukko. Luvut formula_12 muodostavat satunnaismuuttujan perusjoukon formula_14 ja se voidaan merkitä formula_15. Reaalilukuja ei voida luetella, joten yksittäiseen lukuun liittyvää todennäköisyyttäkään ei voida esittää luettelemalla. Sen sijaan jokaisen välin formula_12 luvulle voidaan liittää lukuarvo käyttämällä funktiota. Tätä funktiota kutsutaan todennäköisyyslaskennassa tiheysfunktioksi. Tiheysfunktion arvot eivät ole suoraan todennäköisyyksiä, mutta sen avulla voidaan eri tapahtumille laskea ne.


title: Odotusarvo

text: Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on formula_17 ja tämän avulla määritellään satunnaismuuttujan odotusarvo


title: Odotusarvo

text: Määritellään satunnaismuuttujan formula_19 odotusarvo integraalina yli satunnaismuuttujan perusjoukon formula_20 todennäköisyysmitan formula_21 suhteen


title: Odotusarvo

text: Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan formula_3 kertymäfunktion formula_24 suhteen Lebesgue–Stieltjes-integraalilla


title: Odotusarvo

text:
Jos formula_26 on mitallinen funktio, voidaan laskea sillekin odotusarvo formula_27 Jos formula_3 on diskreetti satunnaismuuttuja, on odotusarvo
ja jos se on jatkuva, saadaan odotusarvoksi
Tällä ajattelulla on mahdollista määrittää esimerkiksi origomomentteja formula_31 formula_32 tai keskusmomentteja formula_33


title: Odotusarvo

text:
Satunnaismuuttujan formula_3 ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla formula_35 on formula_36-mitallinen satunnaismuuttuja formula_37, jolle yhtälö
pätee kaikilla formula_39. Satunnaismuuttujan formula_3 ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja formula_41 on formula_42, missä formula_43 tarkoittaa satunnaismuuttujan formula_41 virittämää sigma-algebraa.


title: Odotusarvo

text: On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla formula_39 on formula_46, missä formula_47 on reaaliluku.


title: Odotusarvo

text: "Todennäköisyysmassalla" tarkoitetaan todennäköisyyslaskennassa pistetodennäköisyysfunktion pylväikköä tai tiheysfunktion kuvaajan alle jäävää aluetta. Odotusarvo on sellainen satunnaismuuttujan arvo, joka vastaa tämän alueen painopistettä. Symmetrisen jakauman keskikohta on myös jakauman odotusarvo.


title: Odotusarvo

text:
Satunnaismuuttujan formula_3, jonka ulostuloina on vain vakion formula_49 arvoja, odotusarvo on
Tästä seuraa myös, että formula_51


title: Odotusarvo

text:
Todennäköisyysjakaumalla ei välttämättä ole olemassa odotusarvoa, jos jakauma ei toteuta niin sanottua itseistä satunnaismuuttujan odotusarvoa (itseisarvo)
tai jatkuvassa tapauksessa


title: Odotusarvo

text: Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos sen odotusarvo on äärellinen eli formula_54. Jos se ei ole integroituva, on se vielä kvasi-integroituva, jos formula_55 tai formula_56.


title: Odotusarvo

text: Seuraaville satunnaismuuttujille formula_57 ja formula_58 sekä reaaliluvuille formula_59 ja formula_60 voidaan johtaa seuraavia tuloksia.


title: Odotusarvo

text:
Odotusarvo on lineaarinen operaattori, jolloin suorien summien odotusarvo on
ja lineaarikombinaatioiden odotusarvo on
Tällöin useamman satunnaismuuttujan tapauksissa on myös
ja


title: Odotusarvo

text:
Luvun lisääminen satunnaismuuttujien arvoihin vaikuttaa myös sen odotusarvoon
Satunnaismuuttujan ensimmäinen keskusmomentti on aina nolla, koska
jos formula_67


title: Odotusarvo

text:
Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvo on kahden satunnaismuuttujan tapauksessa
ja usean satunnaismuuttujan tapauksessa


title: Odotusarvo

text: Riippuvassa tapauksessa


title: Odotusarvo

text: Lisäksi jos formula_71, niin formula_72, ja yleisemmin jos formula_73, niin formula_74.


title: Odotusarvo

text: Ehdolliselle odotusarvolle pätee niin sanottu iteroidun odotusarvon laki


title: Odotusarvo

text: Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Otoskeskiarvolla tarkoitetaan suppean otoksen keskiarvoa suuremmasta populaatiosta. Sen avulla on mahdollista selvittää odotusarvon suuruus likimääräisesti, mutta kuitenkin "edullisesti". Keskiarvoa on tällöin pidettävä odotusarvon estimaattorina.


title: Odotusarvo

text:
Kun lasketaan otoskeskiarvojen odotusarvoa, saadaan edellisten päättelysääntöjen avulla
Tämä tarkoittaa sitä, että keskiarvon lausekkeella saadaan keskimäärin odotusarvon tuloksia eli estimaattori on harhaton.


title: Odotusarvo

text:
Keskiarvolla on toinen ominaisuus, joka liittyy estimointiin. Kun keskiarvon laskemiseksi kasvataetaan otoksen lukumäärää (otoksen ulostulot ovat riippumattomia toisistaan), käy keskiarvon varianssin
Keskiarvo on tarkentuva odotusarvon estimaattori, koska varianssi pienenee kun otoksen lukumäärä formula_78 kasvaa.


title: Odotusarvo

text: Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on sen odotusarvo ja keskiarvo on siten odotusarvon harhaton ja tarkentuva estimaattori.


title: Varianssi

text: Varianssi on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan hajonnan mitta. Varianssi kuvaa sitä, kuinka paljon satunnaismuuttujan arvot keskimäärin vaihtelevat odotusarvosta. Kun arvot keskittyvät odotusarvon ympärille tiiviisti, on varianssin arvo pieni, ja kun arvot ovat hajallaan odotusarvon ympärillä, on sen arvo suuri. Reaaliarvoisen satunnaismuuttujan varianssi on sen toinen keskusmomentti. Varianssin yksikkö on satunnaismuuttujan yksikkö korotettuna toiseen potenssiin. Varianssin neliöjuurta sanotaan keskihajonnaksi, jonka yksikkö on sama kuin satunnaismuuttujalla.


title: Varianssi

text:
Matemaattisesti varianssi formula_1 määritellään reaaliarvoisen satunnaismuuttujan formula_2 odotusarvon formula_3 avulla
missä formula_5 on satunnaismuuttujan odotusarvo. Varianssin arvo on ääretön, ellei odotusarvo formula_6 ole äärellisenä olemassa. Varianssi voidaan merkitä myös


title: Varianssi

text: Varianssin avulla voidaan esittää myös keskihajonta eli standardipoikkeama formula_8


title: Varianssi

text:
Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi lasketaan
missä formula_10 on jakauman pistetodennäköisyysfunktio.


title: Varianssi

text:
Jatkuvan satunnaismuuttujaparin varianssi on taas
missä formula_10 on jakauman tiheysfunktio.


title: Varianssi

text:
Varianssin lauseketta voidaan kehittää edelleen käyttämällä hyväksi odotusarvon ominaisuuksia:
Ensimmäistä muotoa kutsutaan toiseksi keskusmomentiksi ja viimeisessä muodossa käytetään toista ja ensimmäistä origomomenttia.


title: Varianssi

text: Varianssin laskemiseksi on käytössä myös tekijämomentin sisältävä muoto:


title: Varianssi

text:
Varianssin arvo on aina epänegatiivinen. Kun varianssi on nolla, ei arvoissa esiinny vaihtelua ja satunnaismuuttuja antaa vain samoja arvoja. Siten
Varianssi on kovarianssi kahden identtisen satunnaismuuttujan välillä


title: Varianssi

text:
Jokaisen satunnaismuuttujan arvoon lisätty vakio ei vaikuta varianssin arvoon eli
mutta arvojen kertominen vakiolla kasvattavat formula_18 tai vähentävät formula_19 varianssia
Kahden satunnaismuuttujan lineaarikombinaatiossa varianssiin vaikuttaa myös satunnaismuuttujien kovarianssi
mikä merkitään yleisemmässä tapauksessa
Nämä arvot voidaan käsitellä hallitummin kovarianssimatriisissa. Tämä ominaisuus vaikuttaa myös satunnaismuuttujien summan varianssiin
Kovarianssia ei tarvitse huomioida, mikäli satunnaismuuttujat ovat korreloimattomia formula_24 jolloin
Riippumattomat satunnaismuuttujat ovat aina korreloimattomia. Korreloimattomilla satunnaismuuttujilla välimerkki ei vaikuta varianssin arvoon


title: Varianssi

text: Kahden satunnaismuuttujan tulon varianssi voidaan määrittää odotusarvon ominaisuuksien avulla


title: Varianssi

text:
Varianssi lasketaan äärelliselle populaatiolle formula_28 seuraavasti
missä formula_30 on populaation keskiarvo. Tätä kutsutaan toisinaan otosvarianssiksi, mutta termin käyttö on vaihtelevaa. Kun formula_28 on otos laajemmasta populaatiosta, formula_32 on varianssin tarkentuva mutta harhainen estimaatti. Harhaton estimaatti on
jota yleensä kutsutaan otosvarianssiksi. Suurten otosten tapauksessa ei ole käytännössä merkitystä kumpaa estimaattoria käytetään. Molempien keskihajonta saadaan ottamalla varianssista neliöjuuri.


title: Suurten lukujen laki

text: Suurten lukujen laki on todennäköisyyslaskennan tulos, joiden mukaan sellaisten satunnaismuuttujien jonon keskiarvo, joilla on sama odotusarvo, voidaan tietyin edellytyksin ja tietyssä mielessä sanoa suppenevan kohti niiden odotusarvoa, kun satunnaismuuttujien lukumäärä kasvaa rajatta. Erityisesti toistokokeessa, jossa tietty tulos saadaan joka kerta yhtä suurella todennäköisyydellä, tällaisten tulosten suhteellinen osuus kaikista koetuloksista lähestyy tämän todennäköisyyden osoittamaa lukua, kun toistojen lukumäärä kasvaa.


title: Suurten lukujen laki

text: Suurten lukujen lailla on suuri käytännöllinen merkitys, koska se käytännössä "takaa", että satunnaisten ilmiöiden esiintymistiheys pitkällä aikavälillä voidaan ennustaa. Esimerkiksi vaikka pelikasino voikin menettää rahaa jollakin kerralla, kun rulettia pelataan, suurella määrällä pelikertoja sen kokonaisvoitto voidaan kutakuinkin varmasti ennustaa. Niinpä jollekulle pelaajalle maksettavan voiton korvaavat kasinon pitäjän kannalta käytännössä varmuudella muiden pelaajien maksamat pelimaksut. Yhdessä keskeisen raja-arvolauseen kanssa suurten lukujen laki muodostaakin perustan koko matemaattiselle tilastotieteelle.


title: Suurten lukujen laki

text: Nimensä mukaisesti suurten lukujen laki kuitenkin pätee vasta, kun käsitellään "suurta määrää" havaintoja. Ei ole olemassa sellaista säännönmukaisuutta, jonka mukaan jo pienellä määrällä havaintoja tulosten keskiarvon pitäisi vastata kunkin kerran odotusarvoa tai että satunnaista poikkeamaa keskiarvosta pitäisi välittömästi "tasapainottaa" seuraavan kerran tulos. Virheellistä kuvitelmaa, että sellainen säännönmukaisuus olisi olemassa, sanotaan pelurin virhepäätelmäksi.


title: Suurten lukujen laki

text:
Esimerkiksi heitettäessä tavallista kuusisivuista noppaa yhden kerran saadaan jokin luvuista 1, 2, 3, 4, 5 tai 6, jokainen yhtä suurella todennäköisyydellä (edellyttäen ettei noppa ole "painotettu"). Näin ollen nopanheiton tuloksen odotusarvo on
Suurten lukujen laista seuraa, että jos noppaa heitetään hyvin monta kertaa, heittojen tulosten keskiarvo on todennäköisesti lähellä lukua 3,5, sitä tarkemmin, mitä useampia kertoja noppaa heitetään.
Suurten lukujen laista seuraa, että onnistuminen empiirinen todennäköisyys sarjassa Bernoullin kokeita suppenee kohti teoreettista todennäköisyyttä. Bernoullin satunnaismuuttujan odotusarvo on sama kuin onnistuminen teoreettinen todennäköisyys, ja kun sellaisia satunnaismuuttujia on "n" kappaletta ja ne ovat riippumattomat ja identtisesti jakautuneet, niiden keskiarvo lähestyy tätä arvoa.


title: Suurten lukujen laki

text: Esimerkiksi kolikon heittäminen on Bernoullin koe. Kun "painottamatonta" kolikkoa heitetään kerran, teoreettinen todennäköisyys saada kruuna on 1/2. Niinpä suurten lukujen lain mukaan suuressa määrässä kolikonheittoja kruunien suhteellisuuden osuuden pitäiisi olla noin 1/2. Erityisesti kruunien osuus "n" heiton jälkeen suppenee melkein varmasti kohti arvoa 1/2, kun "n" kasvaa rajatta.


title: Suurten lukujen laki

text: Vaikka kruunien ja myös klaavojen suhteellinen osuus lähestyy arvoa 1/2, samoin ei ole kruunien ja klaavojen lukumäärän "erotuksen" laita. Päin vastoin, se kasvaa itseisarvoltaan melkein varmasti. Toisin sanoen todennäköisyys sille, että näiden lukumäärien erotus olisi itseisarvoltaan tietyn rajan alapuolella, lähestyy nollaa heitotjen lukumäärän kasvaessa. Melkein varmasti myös tämän erotuksen suhde heittojen lukumäärään lähestyy nollaa. Tämä lukumäärien erotus kasvaa kuitenkin hitaammin kuin kaikkien heittojen lukumäärä.


title: Suurten lukujen laki

text: Italialainen matemaatikko Gerolamo Cardano (1501–1576) väitti ilman todistusta, että empiiristen tilastojen pätevyydellä on taipumus kasvaa otoskoon kasvaessa. Tämä väite muotoiltiin sittemmin suurten lukujen laiksi. Jakob Bernoulli todisti suurten lukujen lain erikoistapauksessa, joka koskee kaksiarvoisia satunnaismuuttujia. Häneltä kesti yli 20 vuotta kehittää väitteelle riittävän täsmällinen matemaattinen todistus, jonka hän julkaisi teoksessaan "Ars Conjectandi" vuonna 1713. Hän nimitti sitä "kultaiseksi teoreemaksi", mutta nykyisin se tunnetaan Bernoullin lauseena. (Sitä ei pidä sekoittaa Jakob Bernoullin veljenpojan, Daniel Bernoullin mukaan nimettyyn Bernoullin lakiin fysiikassa.) Vuonna 1837 S. D. Poisson kuvaili tulosta tarkemmin ja antoi sille nimen "suurten lukujen laki" (). Tämän jälkeen tulos tunnettiin molemmilla nimillä, mutta "suurten lukujen laki" on yleisemmin käytetty.


title: Suurten lukujen laki

text:
Bernoullin ja Poissonin todistettua tuloksensa muut matemaatikot kuten Pafnuti Tšebyšov
, Markov, Borel, Cantelli ja Kolmogorov kehittivät vahvempia tuloksia, kunnes lopulta Aleksandr Khintšin lopulta esitti suurten lukujen laille todistuksen, joka pätee mielivaltaisille satunnaismuuttujille. Nämä myöhemmät tutkimukset ovat johtaneet ennen kaikkea kahteen huomattavaan suurten lukujen lain muotoiluun. Toista sanotaan "heikoksi", toista "vahvaksi" laiksi, mitkä viittaavat kahteen erilaiseen tilastollisen suppenemisen muotoon. Kuten jäljempänä osoitetaan, heikko laki on samalla vahvan lain looginen seuraus.


title: Suurten lukujen laki

text: Seuraavassa käsitellään lähinnä kahta suurten lukujen lain muotoilua, "heikkoa" ja "vahvaa" suurten lukujen lakia, sekä heikon lain erikoistapauksena myös Bernoullin lausetta. Lisäksi mainitaan "uniforminen" suurten lukujen laki ja "Borelin suurten lukujen laki."


title: Suurten lukujen laki

text: Lain kaikki versiot ilmaisevat matemaattisesti eri tavoin täsmennettynä periaatteen, että otoksen


title: Suurten lukujen laki

text: keskiarvo suppenee suurella todennäköisyydellä kohti odotusarvoa


title: Suurten lukujen laki

text:
kun "X", "X", ... on päättymätön jono riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo on E("X" = E("X") = ...= "µ".
Oletetaan, että funktiot "X" ovat integroituvia Lebesguen mielessä, jolloin satunnaismuuttujilla on odotusarvo ja se on äärellinen.


title: Suurten lukujen laki

text: Sen sijaan suurten lukujen laki ei välttämättä edellytä, että näillä satunnaismuuttujilla on myös äärellinen varianssi Var("X") = Var("X") = ... = "σ" < ∞. Hyvin suuri tai ääretön varianssi tekee suppenemisen hitaaksi, mutta suurten lukujen laki silti pätee. Tämä oletus kuitenkin usein tehdään, koska todistus on silloin helpompi ja lyhempi.


title: Suurten lukujen laki

text: Vahva ja heikko laki eroavat toisistaan siinä, mitä suppenemisen tilastollisessa mielessä katsotaan merkitsevän.


title: Suurten lukujen laki

text: Heikko suurten lukujen laki eli Khintšinin laki sanoo, että otoksen keskiarvo konvergoi stokastisesti kohti odotusarvoa. Jos "X", "X", ... "X" on joukko pareittain riippumattomia, samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on sama odotusarvo "EX = μ ja varianssi DX = σ ja niiden keskiarvolle käytetään merkintää formula_4, niin


title: Suurten lukujen laki

text: Tämä merkitsee, että jokaiselle positiiviselle luvulle "ε" pätee:


title: Suurten lukujen laki

text: Tulos merkitsee oleellisesti, että valittiinpa mielivaltainen kuinka pieni positiivinen reaaliluku tahansa tarpeeksi suurella otoksella todennäköisyys, että havaintojen keskiarvo poikkeaa odotusarvosta enemmän kuin tämän luvun verran eli jää sen välin ulkopuolelle, joka ulottuu odotusarvosta kyseisen luvun verran kumpaankin suuntaan, lähestyy nollaa.


title: Suurten lukujen laki

text: Tätä "stokasista kongergenssia" eli suppenemista "in probability" (i.p.) sanotaan myös satunnaismuuttujan "heikoksi konvergenssiksi". Tätä suurten lukujen lain muotoa sanotaan heikoksi, koska satunnaismuuttujat voivat supeta heikosti ("in probability") tässä selitetyllä tavalla, vaikka ne eivät suppenisikaan "vahvasti" ("melkein varmasti") jäljempänä selitetyllä tavalla.


title: Suurten lukujen laki

text: Bernoullin lause on suurten lukujen lain kauimmin tunnettu muoto ja itse asiassa heikon suurten lukujen lain erikoistapaus. Se koskee toistokokeita, joissa on vain kaksi mahdollista tulosta: jokin "suotuisa" tulos joko saadaan tai ei. Bernoullin lause sanoo, että jos tällainen koe suoritetaan "n" kertaa ja joka kerta tämä suotuista tulos tietyllä todennäköisyydellä "p", toistokertojen lukumäärän kasvaessa todennäköisyys, että sellaisten kertojen suhteellinen osuus, jolloin tämä tulos saadaan, poikkeaa "p":stä enemmän kuin annetun vakion "ε" verran, lähestyy nollaa. Toisin sanoen:


title: Suurten lukujen laki

text: Tällaisen toistokokeen suorituskerta voidaan nimittäin käsittää diskreetiksi, Bernoullin jakaumaa noudattavaksi satunnaismuuttujaksi, joka voi saada vain kahta arvoa. Jos toista niistä merkitään luvulla 1, toista luvulla 0, ja arvo 1 saadaan joka kerta todennäköisyydellä "p", tämän satunnaismuuttujan odotusarvo on "p".


title: Suurten lukujen laki

text:
Vahva suurten lukujen laki sanoo, että samoilla ehdoilla otoksen keskiarvo
suppenee melkein varmasti (, lyh. "a.s.") kohti odotusarvoa. Jos "X", "X", ... "X" on joukko pareittain riippumattomia, samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on sama odotusarvo "EX = μ ja varianssi DX = σ ja niiden keskiarvolle käytetään merkintää formula_4, niin


title: Suurten lukujen laki

text: Toisin sanoen jono {"X"} suppenee perusjoukon jokaisella alkeistapauksella lukuun ottamatta mahdollisesti tapahtumaa, jonka todennäköisyys on nolla, eli


title: Suurten lukujen laki

text: Tämän todistus on monimutkaisempi kuin heikon lain. Laki oikeuttaa (Lebesguen mielessä integroituvien) satunnaismuuttujien tapauksessa odotusarvon intuitiivisen tulkinnan "pitkän aikavälin keskiarvona."


title: Suurten lukujen laki

text: Melkein varmaa konvergenssia sanotaan myös satunnaismuuttujan vahvaksi konvergenssiksi. Tätä versiota sanotaan "vahvaksi laiksi", koska jokainen satunnaismuuttujien joukko, joka suppenee vahvasti (melkein varmasti), suppenee myös heikosti ("in probablity"). Vahvasta laista seuraakin heikko laki, mutta ei päin vastoin. Kun vahvan lain edellytykset täyttyvät, satunnaismuuttuja suppenee sekä vahvasti (melkein varmasti) että heikosti ("in probability").


title: Suurten lukujen laki

text: Matemaatikkojen keskuudessa on esitetty näkemyksiä, että molemmat lait olisi yhdistettävä ja että heikolla suurten lukujen lailla sellaisenaan on vain vähän mielenkiintoa. Molemmille laeille on kuitenkin olemassa yleistyksiä, jotka osoittavat niiden pätevän tietyillä edellä esitettyjä yleisemmilläkin edellytyksillä. On sellaisiakin tapauksia, joissa heikon lain tulos pätee, mutta vahvan ei.


title: Suurten lukujen laki

text:
Vahvan suurten lukujen lain laajin yleistys on Kolmogorovin lause, joka on samalla
välttämätön ehto satunnaismuuttujien keskiarvon melkein varmalle kongervenssille.
Jos "X", "X", ... "X" on joukko pareittain riippumattomia, samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on sama odotusarvo "EX = μ, niin


title: Suurten lukujen laki

text: jos ja vain jos odotusarvo "EX = μ on olemassa.


title: Suurten lukujen laki

text: "Heikko laki" sanoo, että annetulle suurelle luvulle "n" keskiarvo formula_12 on todennäköisesti lähellä arvoa μ Se jättää siis avoimeksi, voiko tapahtuma, jossa formula_13, sattua vaikka äärettömän monta kertaa, joskin pitkin väliajoin.


title: Suurten lukujen laki

text: "Vahva laki" osoittaa, että niin melkein varmasti ei tapahdu. Erityisesti siitä seuraa, että todennäköisyydellä 1 jokaiselle epäyhtälö formula_14 pätee kaikilla riittävän suurilla arvoilla "n".


title: Suurten lukujen laki

text:
Seuraavissa tapauksissa vahva suurten lukujen laki ei päde, heikko laki kylläkin.
1. Olkoon x eksponenttijakautunut satunnaismuuttuja parametrin arvolla 1. Silloin siitä johdetun satunnaismuuttujan :formula_15 odotusarvo on


title: Suurten lukujen laki

text: 2. Olkoon x geometrisesti jakautunut satunnaismuuttuja parametrin arvolla 0,5. Silloin on


title: Suurten lukujen laki

text: 3. formula_18


title: Suurten lukujen laki

text:
Olkoon "f"("x","θ") jokin joukossa Θ määritelty jatkuva funktio. Olkoon lisäksi jokaisella arvolla formula_20 jono {"f"("X","θ"), "f"("X","θ"), …}
sellainen jono riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, että tämä jono konvergoi stokastisesti ("in probability") kohti arvoa to E["f"("X","θ")]. Tällaista sanotaan "pisteittäiseksi" konvergenssiksi Θ:ssa.


title: Suurten lukujen laki

text: Uniforminen suurten lukujen laki osoittaa ehdot, joilla tämä suppeneminen tapahtuu tasaisesti joukossa Θ. Jos


title: Suurten lukujen laki

text: melkein kaikilla arvoilla "x" ja se on jokaisella θ:n arvolla "x":n mitallinen funktio


title: Suurten lukujen laki

text: Silloin E["f"("X","θ")] on jatkuva joukossa "Θ", ja


title: Suurten lukujen laki

text: Tulos on käyttökelpoinen laajojen estimaattorien luokan johtamisessa.


title: Suurten lukujen laki

text: Borelin suurten lukujen laki, joka on nimetty Émile Borelin mukaan, sanoo, että jos jokin koe toistetaan suuri määrä kertoja, toisistaan riippumatta samanlaisissa olosuhteissa, niiden kertojen lukumäärä, jolloin tietty tapahtuma esiintyy, on likipitäen yhtä suuri kuin tapahtuman todennäköisyys kullakin kerralla; mitä suurempi toistojen lukumäärä on, sitä parempi likiarvo saadaan. Tarkemmin sanottuna, jos "E" merkitsee kyseistä tapahtumaa, "p" sen todennäköisyyttä ja "N"("E") niiden kertojen lukumäärää, joilla tapahtuma "E" sattuu "n" ensimmäisen toistokerran aikana, niin todennäköisyydellä 1 pätee:


title: Suurten lukujen laki

text:
Tämä voidaan todistaa Tšebyšovin epäyhtälön avulla: Olkoon "X" satunnaismuuttuja, jolla on äärellinen odotusarvo "μ ja äärellinen nollasta poikkeva varianssi "σ. Silloin jokaiselle
reaaliluvulle pätee


title: Suurten lukujen laki

text: Tulos vahvistaa intuitiivisen käsityksen todennäköisyydestä tapahtuman esiintymisen pitkäaikaisena suhteellisena frekvenssinä. Se on erikoistapaus useista todennäköisyysteoriassa esiintyvistä yleisimmistä suurten lukujen lain versioista.


title: Suurten lukujen laki

text: Olkoon "X", "X", ... on päättymätön jono riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo on "E(X"")" = "E(X"")" = ... = μ < ∞. Tutkitaan otoksen keskiarvon


title: Suurten lukujen laki

text: suppenemista. Heikko suurten laki merkitsee tällöin seuraavaa:


Suurten lukujen laki


title: Suurten lukujen laki

text: Tämä todistus edellyttää, että satunnaismuuttujilla on äärellinen varianssi formula_28 (kaikilla formula_29). Satunnaismuuttujien riippumattomuus merkitsee, ettei niiden välillä ei ole korrelaatiota, ja tällöin on


title: Suurten lukujen laki

text: Sarjan yhteinen keskiarvo μ on otoksen keskiarvon odotusarvo:


title: Suurten lukujen laki

text: Soveltamalla Tšebyšovin epäyhtälöä keskiarvoon formula_32 saadaan:


title: Suurten lukujen laki

text: Tästä seuraa edelleen:


title: Suurten lukujen laki

text: Kun "n" kasvaa rajatta, tämä lauseke lähestyy arvoa 1. Stokastisen konvergenssin ("in probability") määritelmän mukaan tämä osoittaa, että


title: Suurten lukujen laki

text: M.O.T..


title: Suurten lukujen laki

text: Kompleksifunktioita koskevan Taylorin lauseen mukaan minkä tahansa satunnaismuuttujan "X" karakteristinen funktio äärellisellä keskiarvolla μ voidaan kirjoittaa muotoon


title: Suurten lukujen laki

text: Kaikilla satunnaismuuttujilla "X", "X", ... on sama karakteristinen funktio, joten käytetään sille yksinkertaisesti merkintää "φ".


title: Suurten lukujen laki

text: Karakteristisen funktion perusominaisuuksiin kuuluu, että


title: Suurten lukujen laki

text: Näiden sääntöjen avulla voidaan laskea keskiarvon formula_38 karakteristinen funktio "φ":n avula:


title: Suurten lukujen laki

text: Raja-arvo  "e"  on vakioarvoisen satunnaismuuttujan μ karakteristinen funktio, ja näin ollen Lévyn jatkuvuuslauseen mukaan formula_40 lähestyy rajajakaumaa μ:


title: Suurten lukujen laki

text: Tässä μ on vakio, mistä seuraa, että jakaumakonvergenssi kohti μ:tä ja stokastinen konvergenssi kohti μ:tä ovat yhtäpitäviä ominaisuuksia. Sen vuoksi


title: Suurten lukujen laki

text: Tämä osoittaa, että otoksen keskiarvo konvergoi stokastisesti kohti karakteristisen funktion derivaattaa origoissa niin kauan kuin sellainen on olemassa.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Keskeinen raja-arvolause on todennäköisyyslaskennan tulos, jonka mukaan keskiarvo riittävän suuresta määrästä toisistaan riippumattomia satunnaismuuttujia, joista kullakin on hyvin määritelty odotusarvo ja varianssi, on tietyin edellytyksin likipitäen normaalisti jakautunut riippumatta kunkin satunnaismuuttujan omasta jakaumasta.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Lausetta voi havainnollistaa muodostamalla suuren määrän havaintoja käsittävä otos, jossa kukin havainto on generoitu satunnaisesti muista havaintokerroista riippumatta. Tämän jälkeen lasketaan otoksen eli havaintojen keskiarvo. Jos tämä toistetaan monta kertaa, keskeisen raja-arvolauseen mukaan niiden keskiarvo jakautuu todennäköisesti sitä tarkemmin normaalijakauman eli niin sanotun kellokäyrän mukaisesti. Esimerkiksi jos kolikkoa heitetään erittäin monta kertaa, todennäköisyys saada kruuna tietyllä määrällä kertoja noudattaa normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on puolet heittojen lukumäärästä.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Keskeisestä raja-arvolauseesta on monia muunnelmia. Sen kauimmin tunnettu muoto edellyttää, että satunnaismuuttujat, joiden keskiarvoa tarkastellaan, ovat samoin jakautuneet. Satunnaismuuttujien keskiarvo kuitenkin suppenee kohti normaalijakaumaa tietyin edellytyksin useissa sellaisissakin tapauksissa, joissa ne eivät ole samoin jakautuneet eivätkä edes toisistaan riippumattomat.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Yleisimmässä mielessä "keskeiset raja-arvolauseet" ovat koko joukko todennäköisyyslaskennan raja-arvolauseita. Ne kaikki ilmaisevat eri tavoin, että monen riippumattoman ja identtisesti jakautuneen tai tietyin edellytyksin myös tavalla tai toisella toisistaan riippuvankin satunnaismuuttujan summalla on taipumus noudattaa jakaumaa, joka kuuluu pieneen joukkoon "attraktorijakaumaa". Kun riippumattomien ja identtisten jakautuneiden satunnaismuuttujien varianssi on äärellinen, tämä attraktorijakauma on normaalijakauma. Sitä vastoin jos muodostetaan sellaisten satunnaismuuttujien summa, joilla on potenssilain mukainen, funktion |"x"| mukaisesti (0 < α < 2) pienenevä "häntä" ja joiden varianssi näin ollen on ääretön, se suppenee kohti alfa-vakaata jakaumaa, jonka vakausparametri muuttujien lukumäärän kasvaessa on α


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Tilastotieteessä keskeisellä raja-arvolauseella on perustava merkitys käsiteltäessä suuria otoksia jostakin aineistosta. Sen sijaan pieniä otoksia käsiteltäessä se ei ole yhtä käyttökelpoinen.


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Olkoon {"X", ..., "X"} "n" alkion satunnaisotos, toisin sanoen
jono riippumattomia ja identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia,
joilla kaikilla on sama odotusarvo on μ ja sama äärellinen varianssi σ. Tarkastellaan
näiden satunnaismuuttujien otoskeskiarvoa


title: Keskeinen raja-arvolause

text: suurten lukujen lain mukaan otoskeskiarvo suppenee stokastisesti ja melkein varmasti kohti odotusarvoa "μ", kun "n" kasvaa rajatta. Klassinen keskeinen raja-arvolause kuvaa stokastisten fluktuaatioiden suuruutta ja niiden jakauman muotoa tämä raja-arvon μ molemmin puolin suppenemisen aikana. Tarkemmin sanottuna se sanoo, että kun "n" kasvaa, otoskeskiarvon "S ja sen raja-arvon μ erotuksen jakauma, kun se kerrotaan tekijällä formula_2, toisin sanoen tulon formula_3 jakauma) lähestyy normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on 0 ja varianssi σ. Tarpeeksi suurella "n":n arvolla "S:n jakauma on lähellä normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on μ ja varianssi σ/"n". Tuloksen merkitys perustuu siihen, että lausekkeen formula_3 jakauma lähestyy normaalijakaumaa riippumatta siitä, millainen jakauma alkuperäisillä satunnaismuuttujilla "X" itsellään on. Täsmällisessä muodossa lause voidaan esittää seuraavasti:


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Lindebergin–Lévyn keskeinen raja-arvolause. Olkoon {"X", "X", ...}
jono riippumattomia ja identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia,
joiden edotusarvo on E["X"] = "µ" ja varianssi Var["X"] = σ < ∞. Tällöin kun "n" kasvaa rajatta, satunnaismuuttujat formula_3 konvergoivat jakaumaltaan kohti normaalijakaumaa "N"(0, σ):


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Tapauksessa "s" > 0, jakaumakonvergenssi merkitsee, että lausekkeen formula_3 jakauman kertymäfunktio suppenee pisteittäisesti kohti normaalijakauman N (0, σ kertymäfunktiota jokaisella reaaliluvulla "z",


title: Keskeinen raja-arvolause

text: missä F("x") on normaalijakauman kertymäfunktion arvo pisteessä "x". Suppeneminen on myös tasaista pisteessä "z" siinä mielessä, että


title: Keskeinen raja-arvolause

text: missä sup tarkoittaa joukon pienintä ylärajaa eli supremumia.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Tämä lause on saanut nimensä venäläisen matemaatikko Aleksandr Ljapunovin mukaan. Tämä keskeisen raja-arvolauseen muunnelma edellyttää, että satunnaismuuttujien "X" on oltava riippumattomat, mutta ei välttämättä identtisesti jakautuneet. Lause edellyttää myös, että satunnaismuuttujilla |"X"| on oltava asteiden (2 + δ) momentit ja että näiden momenttien kasvu on rajoitettu jäljempänä selitetyllä Ljapunovin ehdon mukaisella tavalla.


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Ljapunovin keskeinen raja-arvolause.
odotusarvo on µ ja varianssi σ. Määritellään


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Jos jollakin arvolla δ > 0, pätee "Ljapunovin ehto"


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
niin summa ("X" - µ)/"s" konvergoi jakaumaltaan kohti standardia
normaalijakaumaa, kun "n" kasvaa rajatta:


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Käytännössä on tavallisesti helpointa tarkistaa, päteekö Ljapunovin ehto arvolla δ = 1. Jos satunnaismuuttujien jono toteuttaa Ljapunovin ehdon, se toteuttaa myös Lindebergin ehdon. Kääntäen ei kuitenkaan Lindebergin ehdosta seuraa Ljapunovin ehto.


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Suomalainen matemaatikko Jarl Waldemar Lindeberg osoitti vuonna 1920, että keskeisen raja-arvolauseen
edellytyksenä ollut Ljapunovin ehto voidaan korvata heikommalla "Lindebergin ehdolla". Myöhemmin William Feller osoitti, että Lindebergin ehto on myös välttämätön ehto sille, että summa konvergoi jakaumaltaan kohti normaalijakaumaa. Täten kysymyksen siitä, millä ehdoilla keskeinen raja-arvolause pätee, voidaan katsoa saaneen tyhjentävän ratkaisun.


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Olkoon {"X", "X", ...} jono riippumattomia satunnaismuuttujia, joista jokaisen
odotusarvo on µ ja varianssi σ. Oletetaan lisäksi, että


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Tällöin summa ("X" - µ)/"s" konvergoi jakaumaltaan kohti standardia
normaalijakaumaa, kun "n" kasvaa rajatta, jos ja vain jos seuraava "Lindebergin ehto" pätee:


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Todistukset, joissa käytetään karakteristisia funktioita, voidaan yleistää tapauksiin, joissa kukin muuttuja "X" on satunnaisvektori avaruudessa formula_16, jonka vektoriarvoinen odotusarvo on µ = E("X") ja vektorin komponenteista muodostettu kovarianssimatriisi "S", ja nämä satunnaisvektorit ovat riippumattomat ja identtisesti jakautuneet. Näiden vektorien summaus on suoritettava komponenteittain. Moniulotteinen keskeinen raja-arvolause sanoo, että skaalattuina nämä summat suppenevat kohti moniulotteista normaalijakaumaa.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Olkoon


title: Keskeinen raja-arvolause

text: "k"-vektori. Lihavointi merkinnässä X osoittaa, että kyseessä on satunnaisvektori, ei yksiulotteinen satunnaismuuttuja. Tällöin satunnaisvektorien summa on


title: Keskeinen raja-arvolause

text: ja keskiarvo


title: Keskeinen raja-arvolause

text: ja sen vuoksi


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Moniulotteinen keskeinen raja-arvolause osoittaa, että


title: Keskeinen raja-arvolause

text: missä kovarianssimatriisi S on


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Keskeinen raja-arvolause sanoo, että riippumattoman ja identtisesti jakautuneiden satunnaismuuttujien summa, kun niillä on äärellinen varianssi, lähestyy suurella todennäköisyydellä normaalijakaumaa, kun muuttujien lukumäärä kasvaa. Gnedenko ja Kolmogorov keksivät lauseelle
yleistyksen, joka koskee sellaisiakin satunnaismuuttujia, joiden jakaumat ääripäissään pienenevät potenssilain
mukaan kuten |"x"|, missä 0 < a < 2, ja joiden varianssi tämän vuoksi on ääretön; tällainen on
esimerkiksi Pareton jakauma. Tällaisissakin tapauksissa satunnaismuuttujien summa suppenee kohti jotakin
vakaata jakaumaa formula_23, kun yhteenlaskettavien lukumäärä kasvaa. Jos a > 2, tämä summa suppenee kohti vakaata jakaumaa, jonka vakausparametri on arvoltaan 2, toisin sanoen Gaussin jakaumaa.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Keskeisen raja-arvolauseen klassinen voidaan todistaa melko helposti karakterististen funktioiden avulla. Todistus on samantapainen kuin heikon suurten lukujen lain. Taylorin lauseen mukaan jokaisen sellaisen satunnaismuuttujan "Y" karakteristinen funktio, jonka odotusarvo on nolla ja varianssi var("Y") = 1), on


title: Keskeinen raja-arvolause

text: missä "o" on jokin "t":n funktio, joka suppenee kohti nollaa nopeammin kuin "t"".


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Olettamalla, että "Y" on ("X" - µ)/s eli "X":n standardoitu arvo on helppo huomata, että havaintojen "X", "X", ..., "X" standardoitu keskiarvo on


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Karakterististen funktioiden perusominaisuuksien nojalla summan karakteristinen funktio on:


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
niin että kun eksponenttifunktio voidaan esittää raja-arvona
"Z":n karakteristinen funktio on


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Mutta tämä on sama kuin standardin normaalijakauman "N"(0, 1), karakteristinen funktio, ja keskeinen raja-arvolause seuraa Lévyn jatkuvuuslauseesta, joka takaa, että karakterististen funktioiden suppenemisesta seuraa
jakaumien konvergenssi.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Keskeinen raja-arvolause antaa vain asymptoottisen jakauman. Äärelliselle äärelliselle määrälle havaintoja se antaa järkevän likiarvon vain lähellä normaalijakauman huippua; tarvitaan erittäin suuri määrä havaintoja, jotta tulos pätisi myös jakauman kummassakin ääripäässä.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Jos kolmas keskeinen momentti E(("X" - μ)) on olemassa ja se on äärellinen, mainittu suppeneminen on tasaista ja suppenemisvauhti on vähintään luokkaa 1/"n" (katso Berryn-Esseenin lause). Steinin metodia voidaan käyttää, paitsi keskeisen raja-arvolauseen todistamiseen, myös suppenemisvauhdin arvioimiseen valitulla mitta-asteikolla.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Suppeneminen normaalijakaumaa kohti on monotonista siinä mielessä, että "Z":n entropia kasvaa monotonisesti kohti normaalijakauman entropiaa.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Keskeinen raja-arvolause pätee erityisesti myös riippumattomien ja identtisesti jakautuneiden diskreettien satunnaismuuttujien keskiarvolle. Diskreettien satunnaismuuttujien summa on yhä diskreetti satunnaismuuttuja, joten tässä on kysymyksessä jono diskreettejä satunnaismuuttujia, joiden kertymäfunktio suppenee kohti jatkuvan jakauman, nimittäin normaalijakauman kertymäfunktiota. Tämä merkitsee, että jos "n" riippumattoman identtisen satunnaismuuttujan toteutuneista summista laaditaan histogrammi ja piirretään käyrä, joka yhdistää histogrammin muodostavien suorakulmioiden yläreunojen keskipisteet, tämä käyrä muistuttaa muodoltaan Gaussin käyrää sitä tarkemmin, mitä suurempi luku "n" on. Tätä tulosta sanotaan de Moivren–Laplacen lauseeksi. Esimerkiksi jos lasketaan sellaisten satunnaismuuttujien summa, joista kullakin on vain kaksi mahdollista arvoa, tämä summa noudattaa binomijakaumaa, joka lähestyy muodoltaan normaalijakaumaa sitä enemmän, mitä enemmän näitä yhteenlaskettuja satunnaismuuttujia on.


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Keskeisen raja-arvolauseen tavoin myös suurten lukujen laki on osittainen ratkaisu yleiseen ongelmaan: Mitä
riippumattomien ja identtisesti jakautuneiden satunnaismuuttujien summalle "S" tai niiden
keskiarvolle lopulta tapahtuu kun satunnaismuuttujien lukumäärä "n" kasvaa rajatta?


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Matemaattisessa analyysissä asymptoottiset sarjat kuuluvat käytetyimpiin työkaluihin senlaatuisten kysymysten käsittelyssä. Oletetaan, että "f"("n"):llä on asymptoottinen kehitelmä:


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Jakamalla molemmat puolet f("n"):llä ja ottamalla raja-arvo saadaan "a", kehitelmän korkeimman asteen termin kerroin, joka osoittaa, kuinka nopeasti "f"("n"):n johtava termi muuttuu.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Epämuodollisesti voidaan sanoa, että ""f"("n") kasvaa likiptäen samassa tahdissa kuin "a" f("n")". Jos "f"("n"):n ja sen likiarvon erotus jaetaan kehitelmän seuraavalla termillä saadaan "f"("n"):lle tarkempi arvio:


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Tässä voidaan sanoa, että funktion ja sen likiarvon erotus kasvaa likipitäen saman verran kuin "a" f("n"). Ajatuksena on, että kun funktio jaetaan sopivilla normalisointifunktioilla ja tutkitaan, miten näin saadulle funktiolle käy "n":n kasvaessa voidaan päätellä paljon myös siitä, miten alkuperäiselle funktiolle silloin tapahtuu


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Kutakuinkin samaan tapaan voidaan tarkastella myös riippumattomien ja identtisesti jakautuneiden satunaismuuttujien "X", ..., "X" summaa "S". Jos jokaisella "X" on äärellinen odotusarvo μ suurten lukujen lain mukaan niiden keskiarvo lähestyy tätä odotusarvoa eli "S"/"n" → µ. Jos lisäksi jokaisella "X" on äärellinen varianssi σ, niin keskeisen raja-arvolauseen mukaan


title: Keskeinen raja-arvolause

text: missä ξ noudattaa normaalijakaumaa N(0, σ). Tästä saadaan kahden ensimmäisen vakion arvot epämuodollisessa kehitelmässä


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Tapauksessa, jossa satunnaismuuttujilla "X" ei ole äärellistä keskiarvoa tai varianssia, niiden
summalle voidaan silti sopivasti muuntamalla ja uudelleen skaalaamalla saada suppeneva lauseke:


title: Keskeinen raja-arvolause

text: tai vähemmän muodollisesti


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Tällä tavoin saatuja jakaumia Ξ sanotaan "vakaiksi jakaumiksi". Normaalijakauma selvästikin on vakaa, mutta on olemassa muitakin vakaita jakaumia, esimerkiksi Cauchyn jakauma, jolla ei ole odotusarvoa eikä varianssia ja jota sen vuoksi ei sen enempää keskeinen raja-arvolause enempää kuin suurten lukujen lakikaan koske.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Skaalaustekijä "b" saattaa olla verrannollinen lausekkeeseen "n", missä usein "c" = 1/2, mutta se voidaan myös kertoa jollakin "n":n hitaasti vaihtelevalla funktiolla.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Toistettujen logaritmien laki tarkentaa, mitä tapahtuu suurten lukujen lain ja keskeisen raja-arvolauseen "välissä". Erityisesti se osoittaa, että normalisointifunktion formula_36 avulla, joka suuruudeltaan on suurten lukujen laissa esiintyvän lukumäärän "n" ja keskeisessä raja-arvolauseessa esiintyvän neliöjuuren formula_2 välissä, saadaan "n":n kasvaessa ei-triviaaleja tuloksia.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Kahden tai useamman riippumattoman muuttujan summan tiheysfunktio on näiden muuttujien tiheyksien konvoluutio, jos niillä on tiheysfunktiot. Niinä keskeinen raja-arvolauseen voidaan tulkita koskevan näiden tiheysfunktioiden ominaisuuksia konvoluutiossa: tiheysfunktiojoukon konvoluutio lähestyy normaalijakaumaa, kun tiheysfunktioiden lukumäärä kasvaa rajatta. Tällaiset tiheysfunktioiden suppenemista koskevat, niin sanotut "lokaalit keskeiset raja-arvolauseet" kuitenkin pätevät vain tietyin edellytyksin, jotka ovat ankarammat kuin keskeisen raja-arvolauseen edellä esitetyissä versiossa.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Koska konvoluution karakteristinen funktio on siinä mukana olevien tiheysfunktioiden karakterististen funktioiden tulo, keskeisestä raja-arvolauseesta on olemassa myös niitä koskeva muoto: tiheysfunktiojoukon karakterististen funktioiden tulo lähestyy normaalijakauman karakteristista funktiota, kun tiheysfunktioiden lukumäärä kasvaa rajatta, edellä mainituilla edellytyksillä. Tämän tarkentamiseksi on karakterististen funktioiden argumentteja on kuitenkin muunnettava sopivalla skaalaustekijällä.


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Vastaava tulos voidaan esittää myös Fourier-muunnoksille, sillä karakteristinen funktio on
oleellisesti Fourier-muunnos.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Lukujen tulon logaritmi on tulon tekijöiden logaritmien summa. Sen vuoksi sellaisten satunnaismuuttujien tulon logaritmi, joista kukin lähestyy normaalijakaumaa mutta voi saada vain positiivisia arvoja, lähestyy log-normaalijakaumaa. Monet fysikaaliset suureet (erityisesti massa tai pituus, jotka eivät voi olla negatiivisia), ovat monien satunnaisten tekijöiden tuloja, jolloin nämä suureet monissa tilanteissa noudattavat log-normaalijakaumaa.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Sen sijaan että satunnaismuuttujien summaa koskeva keskeinen raja-arvolause edellyttää äärellistä varianssia, vastaava lause niiden tulolle edellyttää, että tiheysfunktioiden neliöt ovat integroituvia.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Asymptoottinen normaalisuus, toisin sanoen suppeneminen sopivien muunnosten ja uudelleenskaalausten jälkeen kohti normaalijakaumaa, on ilmiö, joka esiintyy monessa muussakin kuin edellä käsitellyissä tilanteissa, toisin sanoen satunnaismuuttujien tai -vektoreiden summan tapauksessa. Tilanteita, joissa vastaava ilmiö esiintyy, on aikaa myöten paljastunut jatkuvasti lisää, eikä niitä kaikkia toistaiseksi voida käsitellä yhtenäiseltä pohjalta.


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Salemin–Zygmundin lause. Olkoon "U" satunnaismuuttuja
joka on jakautunut tasaisesti välille (0, 2p), ja "X" = "r" cos("nU" + "a"), missä


title: Keskeinen raja-arvolause

text: konvergoi jakaumaltaan kohti normaalijaumaa "N"(0, 1/2).


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Teoreema: Olkoot "A", ..., "A" riippumattomia satunnaisesti valittuja pisteitä tasossa formula_40, joista jokainen noudattaa kaksiulotteista standardinormaalijakaumaa. Olkoon "K" näiden pisteiden kupera peite ja ""X" alueen "K" pinta-ala. Silloin


title: Keskeinen raja-arvolause

text: suppenee jakaumana kohti normaalijakaumaa "N"(0, 1), kun "n" kasvaa rajatta.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Sama pätee kaikissa ulottuvuuksissa (2, 3, ...).


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Kuperaa polytooppia "K" sanotaan Gaussin satunnaispolytoopiksi.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Vastaava tulos pätee Gaussin polytooppien kärkien, särmien ja sivutahkojenkin lukumäärälle.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Lause. Olkoot satunnaismuuttujat "X", "X", … ∈ "L"(O) sellaisia, että "X" → 0 heikosti joukossa "L"(O) ja "X" → 1 heikosti joukossa "L"(O). Silloin on olemassa sellaiset kokonaisluvut "n" < "n" < …, että formula_42 suppenee kohti jakaumaa "N"(0, 1), kun "k" kasvaa rajatta.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Keskeisestä raja-arvolauseesta on olemassa myös versio, joka koskee yksinkertaista satunnaiskulkua kidehilassa. Kidehilan oletetaan olevan ääretön Abelin verkko, joka peittää äärellisen verkon. Tätä tulosta on käytetty kiteiden rakenteiden kuvaamiseen.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Yksinkertainen esimerkki keskeisestä raja-arvolauseesta saadaan heittämällä suurta määrää samanlaisia, "painottamattomia" noppia. Saatujen silmälukujen summa tai vaihtoehtoisesti keskiarvo noudattaa tällöin likimain normaalijakaumaa. Koska reaalimaailman suureet ovat usein monien havaitsematta jääneiden satunnaisilmiöiden painotettuja keskiarvoja, keskeinen raja-arvolause osaltaan myös selittää, miksi normaalijakauma esiintyy mitä erilaisimmissa ilmiöissä. Siihen perustuu myös normaalijakauman käyttö likiarvona suuria otoksia koskevia kontrolloiduissa tilastollisissa kontrolloiduissa kokeissa.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Julkaistussa kirjallisuudessa on suuri joukko käyttökelpoisia ja mielenkiintoisia esimerkkejä keskeisen raja-arvolauseen sovelluksista. Esimerkkeinä voidaan mainita seuraavat:


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Keskeistä raja-arvolauseesta seuraa, että mielivaltaisten riippumattomien satunnaismuuttujien summa noudattaa
likimain normaalijakaumaa, mikäli niitä yhteenlaskettavia muuttujia on hyvin paljon ja mikäli jokaisen yksityisen
muuttujan vaihtelu on pieni verrattuna summan vaihteluun.


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Täten keskeinen raja-arvolause myös selittää "kellokäyrän" (Gaussin käyrän) yleisen esiintymisen
reaalimaailman aineistoon sovelletuissa tietynlaisen tapauksen esiintyvyyden arvioinneissa. Sen kaltaisissa tapauksissa kuin esimerkiksi elektronisessa hälyssä, tutkintojen arvosanoissa ja monissa muissa voidaan yksittäistä mitattua arvoa usein pitää painotettuna keskiarvona suuresta määrästä pieniä ilmiöitä. Keskeisen raja-arvolauseen yleistysten avulla todetaan, että tämä usein, joskaan ei kaikissa tapauksissa, tuottaa lopullisen jakauman, joka on likipitäen normaali.


title: Keskeinen raja-arvolause

text:
Regressioanalyysi ja varsinkin tavallinen pienimpien neliösummien menetelmä osoittavat, että jos jokin
muuttuja ei ole riippumaton, se yleensä riippuu jonkin funktion mukaisesti yhdestä tai useammasta riippumattomasta muuttujasta, joihin lisäksi liittyy korjaustermi. Useat regressioon perustuvat tilastolliset päätelmät edellyttävät, että korjaustermi on normaalisti jakautunut. Tämä oletus voidaan perustella olettamalla, että korjaustermi itse asiassa on hyvin monien riippumattomien korjaustermien summa; vaikka yksittäiset korjaustermit sinänsä eivät olisikaan normaalisti jakauteet, keskeisen raja-arvolauseen perusteella niiden summaa voidaan kuitenkin approksimoida normaalijakaumalla.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Käsityksen normaalijakauman luonteesta eräänlaisena monen tekijän yhteisvaikutusta kuvaavana rajajakaumana esitti eräissä erikoistapauksissa jo Abraham de Moivre vuonna 1733. Keksintö oli tuolloin pitkälti aikaansa edellä, ja se lähes unohdettiin, kunnes kuuluisa ranskalainen matemaatikko Pierre-Simon Laplace palasi asiaan vuonna 1812 julkaistussa teoksessa "Théorie analytique des probabilités". Laplace kuitenkin onnistui todistamaan lauseen vain binomijakauman tapauksessa. Mutta myöskään Laplacen keksintö ei hänen omana aikanaan saanut paljonkaan huomiota. Vasta 1800-luvun lopulla keskeisen raja-arvolauseen merkitys alettiin yleisesti ymmärtää, ja vuonna 1901 venäläinen matemaatikko Aleksandr Ljapunov määritteli sen yleisin käsittein ja todisti täsmällisesti, miten se matemaattisesti toimii. Nykyisin keskeinen raja-arvolause yhdessä suurten lukujen lain kanssa muodostaa perustan koko matemaattiselle tilastotieteelle.


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Francis Galton kuvaili keskeisen raja-arvolauseen merkitystä seuraavasti:


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Termin "keskeinen raja-arvolause" () otti ensimmäisenä käyttöön George Pólya vuonna 1920 erään tutkielmansa nimessä. Pólya nimitti lausetta "keskeiseksi" sen suuren merkityksen vuoksi, joka sillä todennäköisyysteoriassa on. Le Camin mukaan todennäköisyyslaskennan ranskalainen koulukunta kuitenkin tulkitsee sanan "keskeinen" viittaavan siihen, että lause kuvaa jakauman keskikohdan, ei sen ääripäiden käyttäytymistä. Pólyan vuonna 1920 julkaiseman tutkielman yhteenvedossa sanotaan:


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Gaussin todennäköisyystiheyden 1 = e esiintyminen toistokokeissa ja mittausvirheissä, jotka saadaan yhteistuloksena hyvin monista ja hyvin pienistä virhelähteistä, sekä diffuusioprosesseissa ja niin edelleen voidaan tunnetusti selittää samalla raja-arvolauseella, jolla on keskeinen osa todennäköisyyslaskennassa. Tämän raja-arvolauseen keksijäksi pitää nimetä Laplace; luultavaa on, että sen täsmällisen todistuksen esitti ensimmäisenä Tšebyšov, ja terävin löydettävissä oleva muoto, jonka tunnen, on eräässä Lpapunovin artikkelissa. [...]


title: Keskeinen raja-arvolause

text: Yleisimmässä muodossaan lauseen todisti suomalainen matemaatikko Lindeberg vuonna 1922. Saman tuloksen todisti myöhemmin Lindebergin todistuksesta tietämättä myös Alan Turing vuonna 1934. Vasta lähetettyään tutkielmansa Cambridgen yliopistoon tarkastettavaksi hän sai tietää, että se oli jo aiemmin todistettu, minkä vuoksi Turingin tutkielmaa ei koskaan julkaistu.