title: Catedral de Ciudad Rodrigo

text: Capilla barroca. Se erigió en tiempos del obispo aragonés Clemente Comenge. Buen retablo barroco obra del ensamblador salmantino Miguel Martínez de la Quintana con las imágenes de San Juan Nepomuceno, San Pedro de Arbués y en el ático San Clemente, patrono del fundador. Además de éste está enterrado aquí el obispo de Ciudad Rodrigo y eminente historiador Demetrio Mansilla Reoyo, que se encargó del "aggiornamiento" del edificio tras el Concilio Vaticano II, a pesar de sus tendencias conservadoras, y responsable del traslado de las rejas de la capilla mayor a esta durante este proceso de reforma.Otra serie de inscripciones en modestas losas incrustadas en la pared recuerdan a otras personalidades enterradas en la seo civitatense. Algunos de ellos tuvieron vistosos monumentos funerarios, pero fueron retirados en las reformas del siglo . Un ejemplo es Marina Alfonso "la coronada".


title: Catedral de Ciudad Rodrigo

text: Tallado a finales del siglo por Rodrigo Alemán en estilo plateresco, con grandes influencias del gótico del norte de Europa. Destaca la calidad de la silla episcopal, la única que cuenta con una imagen en el respaldo (San Pedro), pues las demás tienen una no menos interesante labra gótica. En las paciencias y las misericordias, así como en las barandillas de las escaleras, el autor desplegó su imaginación en un sinfín de imágenes burlescas, eróticas y alusivas a fábulas populares.


title: Catedral de Ciudad Rodrigo

text: De planta cuadrada, cada lado se divide en cinco tramos de arcos apuntados con dos o tres columnas, con capiteles decorados con motivos figurativos y vegetales.


title: Catedral de Ciudad Rodrigo

text: En él trabajaron los arquitectos Benito Sánchez (, al que se deben más partes de la construcción) y Pedro de Güemes ().


title: Catedral de Ciudad Rodrigo

text: Fue inaugurado en 1992 en tiempo del obispo Antonio Ceballos Atienza. Ya comenzado el siglo se comenzó una remodelación gracias a la incentiva del deán Rafael García Cuadrado (1941-2008) y reabrió sus puertas dos años después de su fallecimiento. En una primera sala se expone una interesante colección arqueológica en la que tienen cabida dos tipos de piezas; por una parte, los restos arquitectónicos de las reformas del edificio catedralicio (lápidas de obispos y capiteles del claustro) y, por otra, la colección arqueológica del que fue canónigo de la catedral, Serafín Tella Gallego, en la que destaca la colección numismática o un ara romana de mármol. Le sigue una sala dedicada a la liturgia. Aquí destaca el báculo medieval (siglo ) de la escuela de Limoges, la colección de cruces procesionales y el breviario de Isabel la Católica, una obra impresa en Francia por Philippus Pigouchet y que presenta unos finísimos grabados. En la sala dedicada a la escultura se pueden observar un Cristo de Marfil hispano-filipino de grandes dimensiones, una talla de Santa Catalina de Alejandría (siglo ) y una serie de vírgenes sedentes con la que se puede apreciar la evolución de esta iconografía a lo largo de los siglos. Por último, en el ámbito pictórico, cabría nombrar por la originalidad de la iconografía el Llanto sobre Abel muerto, un lienzo procedente del convento de las Madres Carmelitas y el magnífico San Miguel de Antonio María Esquivel, procedente del Seminario Diocesano. Asimismo, se exponen reproducciones de las tablas del antiguo retablo de Fernando Gallego, así como un audiovisual explicativo en el que los personajes de las tablas cobran vida.


title: Teselación de El Cairo

text: Esta teselación aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en los murales y arte islámico, de ahí su nombre. El pentágono posee aquí 4 lados de la misma medida y dos ángulos rectos. Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.


title: Alfombra de Yazd

text: La alfombra de Yazd es un tipo de alfombra persa. La artesanía de este tipo de alfombras comenzó hace pocos años, tras la disminución de la producción de telas en Yazd, que era una ciudad con gran fama por la calidad de sus tejidos, realizados por reputados artesanos de origen zoroástrico.


title: Alfombra de Yazd

text: Los motivos están tomados de las alfombras de Kermán, principalmente una decoración del medallón central sobre fondo liso. La técnica de trabajo también es la misma que la de Kermán, aunque en general la densidad de nudos es inferior.


title: Luis Pastori

text: Luis Pastori (La Victoria, estado Aragua; - Caracas, Venezuela; ) fue un poeta, economista y académico venezolano.


title: Luis Pastori

text: Estudió economía en la Universidad Central de Venezuela de donde egresó en 1949 junto con el también escritor Domingo Maza Zavala. En la misma institución obtuvo un posgrado en desarrollo económico. En el Banco Central de Venezuela trabajó durante 37 años, tiempo en el cual llegó a ser vicepresidente de la institución. También se desempeñó como Ministro de Estado para la Cultura, Presidente del Centro de Estudios Latinoamericanos Rómulo Gallegos y presidente de la Asociación de Escritores de Venezuela.


title: Luis Pastori

text: Desde los 14 años comenzó a publicar poesía en un diario, hoy desaparecido, de La Victoria llamado "Brotes". A los 20 años publicó su primer libro de poemas. Ha trabajado como traductor de poesía y su propia obra ha sido traducida a más de 12 idiomas, incluido el árabe y el chino. Ha recibido, entre otros galardones, el Premio Municipal de Poesía en 1950, el Premio Nacional de Literatura de Venezuela en 1962, y el Premio Hispanoamericano de Poesía León de Greiff en 1984. Es miembro Número y exdirector de la Academia Venezolana de la Lengua. Fundador de la revista "Letras Nuevas" desde 1999 dirige la revista "BCV Cultural" del Banco Central de Venezuela.


title: Luis Pastori

text: Además de los siguientes libros, Pastori es coautor (letra) del "Himno" de la Universidad Central de Venezuela, al lado de su amigo el también escritor Tomás Alfaro Calatrava, con música de Evencio Castellanos.


title: Luis Pastori

text: Poemarios:


title: Baños (Ecuador)

text: Baños, también conocida como Baños de Agua Santa, es una ciudad ecuatoriana; cabecera cantonal del Cantón Baños, así como la segunda urbe más grande y poblada de la Provincia de Tungurahua. Se localiza al centro de la Región interandina del Ecuador, muy próxima al centro geométrico del territorio ecuatoriano; en los flancos externos de la cordillera oriental de los Andes, entre el río Pastaza, el río Bascún y las faldas del volcán Tungurahua, a una altitud de 1820 msnm y con un clima lluvioso tropical de 19°C en promedio.


title: Baños (Ecuador)

text: Es un centro turístico de importancia del país, también se le conoce como: "El Pedacito de Cielo", "La Puerta de El Dorado" o "Ciudad del Volcán". En el censo de 2010 tenía una población de 12.995 habitantes, lo que la convierte en la septuagésima cuarta ciudad más poblada del país. Forma parte del área metropolitana de Ambato, pues su actividad económica, social y comercial está fuertemente ligada a la capital provincial de Tungurahua, siendo "ciudad dormitorio" para miles de trabajadores que se trasladan a aquella urbe por vía terrestre diariamente. El conglomerado alberga a 489.537 habitantes, y ocupa la quinta posición entre las conurbaciones del Ecuador.


title: Baños (Ecuador)

text: Sus orígenes datan de la época colonial, pero es a mediados del siglo XX, debido a su ubicación geográfica y sus recursos turísticos, presentando un importante crecimiento demográfico hasta establecer un poblado urbano, que sería posteriormente uno de los principales núcleos urbanos de Tungurahua. Es uno de los sitios turísticos más importantes del centro del país.


title: Baños (Ecuador)

text: El nombre de "Baños de Agua Santa" se debe a las aguas termales de la zona, siendo consideradas curativas.


title: Baños (Ecuador)

text: Las crónicas españolas más antiguas hacen referencia a las poblaciones de esta región como habitantes que hablaban lenguas Puruhaes y Panzaleos, el nombre ancestral del Valle era Ipo (en lengua Puruha). La población del valle no era estable y también existían grupos quichuas.


title: Baños (Ecuador)

text: Los primeros habitantes que pueblan Baños casi con seguridad pertenecen al tipo de hombres de Lagoa Santa (Brasil), quienes aventurándose se infiltraron por la cuenca del río Pastaza hasta llegar al límite con los Andes (Restos encontrados en las cuevas de San Pedro en 1919, 44 cráneos, artefactos de piedra y barro que hoy se encuentran en el Museo Jacinto Jijòn y Caamaño de la Universidad Católica de Quito; además de restos arqueológicos hallados en Runrún, Machay, etc)


title: Baños (Ecuador)

text: Baños de Agua Santa según datos históricos fidedignos, no tuvo fundador ni fecha alguna de fundación. Simplemente se fue poblando con la llegada de pequeños grupos dispersos de indios (antes de la conquista) y de españoles y mestizos que en especial comerciaban productos desde el Oriente hacia la Serranía y viceversa.Se hablaba que Baños fue fundada por los españoles en 1553, pero esto no es real. La confusión se da porque en ese año fue cuando la Orden de los dominicos es asignada para evangelizar la región de Canelos y Bobonaza. Cuando los españoles llegan por primera vez a este sitio, al cual lo denominaban Ipo en lengua puruhá, ellos encuentran grupos pequeños de Panzaleos y puruhàes, muchos de ellos, que habían huido de las matanzas de los españoles. Además hallaron a ciertos indígenas venidos del Oriente. Esta población no era estable.


title: Baños (Ecuador)

text: De los siglos XV, XVI y XVII existen poquísimos datos históricos escritos originales, entre los cuales podemos mencionar, a este respecto, los siguientes : En 1541 el Padre Vacas Galindo narra la llegada de Gonzalo Díaz de Pineda, Martín de la Calle, Alonso de Orejuela junto con un contingente de soldados españoles, los cuales venían acompañados de indios huambaloes, quienes les habían indicado que en las faldas del Tungurahua existía una mina de plata. Estos conquistadores, ambiciosos por riquezas, se hacen asignar estas tierras para su explotación, junto con otros allegados suyos, por parte del Cabildo de San Francisco de Quito. El afán por encontrar oro en el país de El Dorado (expediciones por Baeza), hizo que se olvidaran estos señores de estas supuestas minas.


title: Baños (Ecuador)

text: El cronista Isaías Toro Ruiz, nos cuenta que en 1585. Pedro Fernández de Espinoza da en propiedad al presbítero Álvaro Guerrero Zalamea, el cacicazgo de Ipo. Este religioso viene a tomar posesión de esta tierra y la denomina Estancia de Nuestra Señora de Monserratte. Este hombre viene junto a Alonso Guerrero, el cual se posesiona de lo que se llamaría Hacienda de San José de Juivi . Estos dos socios así mismo instalan una fábrica de añil en estos lugares. Se supone que fue justamente Álvaro Guerrero quien inició con el culto a la Virgen María, y es propiamente en estos años cuando se construye la famosa Ermita de la Virgen. Pilar Ponce Leiva (Archivo de Indias), nos relata una crónica que data del año 1604, en la cual manifiesta que cuando arriban a este punto llamado "Asiento de los Baños", ya que a 8 cuadras del pequeñísimo poblado, a los pies de una cascada, se hallaban dos fuentes de agua (cununyacus), encuentran como habitantes a 40 indios cargueros y a unos pocos españoles, quienes se bañan en estas aguas (una poza caliente y una fría, las cuales les mezclan). Para los indios disfrutar de esta agua lo llaman ishpaypae que significa bañarse en los meados de Mama Tungurahua. Casi junto a estas vertientes, nos dice, se halla una pequeña iglesia de adobe con techo de paja ( La Ermita de la Virgen).


title: Baños (Ecuador)

text: En 1694, el nuevo dueño de estas tierras es el General español Antonio Palomino Flores (propietario de las Haciendas San José de Juivi y de San Vicente, de las cuales se componía el Baños de ese entonces) pacta con el clero de este sitio y se compromete en dar cada año la suma de 3.000 pesos para la capellanía y para el mantenimiento del sacerdote. Este polémico trato es visto por unos como un acto propio de un benefactor y por otros simplemente como un acto más de un hacendado explotador. Para 1764 el Padre italiano Mario Cicala en su obra Descripción Histórico Topográfica de la Provincia de Quito, describe a este pueblo de la siguiente forma:


title: Baños (Ecuador)

text: "Es propiamente Los Baños, un lugar de aguas a las que acuden gente de toda la provincia , peregrinos y personajes importantes. Existen unas 300 almas que viven en su casi totalidad en miserables casitas de paja. Casi todos son mestizos. Hay un párroco dominicano. Posee un clima cálido húmedo. Se cultivan en sus terrenos maíz, yuca, camotes, camotillos, plátanos y pimientas de varias especies. Por cerca del poblado pasa el Río Grande de los Baños (Pastaza desde 1778. Longitud hasta el Amazonas 643 km).


title: Baños (Ecuador)

text: Su pequeña iglesia se quemó produciéndose un gran milagro, ya que la imagen de madera de la Virgen quedó intacta. Los fieles se propusieron construir un nuevo templo y están edificando una iglesia de cal y piedra" (la cual fue concluida en 1788). El 4 de febrero de 1773 se produce la primera erupción del Tungurahua históricamente descrita. Una catástrofe para Baños y sus alrededores. Antes de esta erupción, varios cronistas e historiadores, entre ellos el Padre Juan de Velasco, afirman que el volcán tenía la forma de una pirámide terminada en una punta bien pronunciada, lo que hace suponer que el cráter que hoy conocemos comienza a formarse con esta erupción. Nubes ardientes y ríos de lava lanza el coloso. La loma de El Calvario se forma en esta hecatombe. La lava recorre uno de los cauces del Bascún que iba por lo que hoy es la calle Martínez y llega hasta las puertas de la Ermita de la Virgen que estaba algo reconstruida desde su incendio último. Por estos años comienzan a visitar Baños personajes como Pedro Vicente Maldonado y el Primer Marqués de Selva Alegre, Montúfar y Frazo.


title: Baños (Ecuador)

text: El cronista Isaías Toro Ruiz, relata que, en 1585, el encomendero Pedro Fernández de Espinoza cede en propiedad al presbítero Álvaro Guerrero Zalamea, el cacicazgo de Ipo. Este religioso toma posesión de las tierras del valle y las denomina Estancia (hacienda) de Nuestra Señora de Monserratte. Simultáneamente otro encomendero Alonso Guerrero se posesiona de una zona que denomina Hacienda de San José de Juivi. Estas personas se asociaron también para instalar una fábrica para la preparación de añil. Se presume que también fueron los iniciadores del culto a la Virgen María en estos lugares.


title: Baños (Ecuador)

text: En 1694, estas tierras estaban tituladas al General español Antonio Palomino Flores (propietario de las Haciendas San José de Juivi y de San Vicente, de las cuales se componía el Baños de ese entonces) pacta con los representantes del clero y se compromete en dar cada año la suma de 3.000 pesos para la capellanía y para el sustento de un sacerdote.


title: Baños (Ecuador)

text: Durante la segunda mitad del siglo XIX, hubo muchos conflictos políticos y guerras civiles a nivel nacional, Baños se convirtió en un oasis de neutralidad y refugio tanto para conservadores como para liberales, entre ellos, Juan Montalvo (Hacienda de Puntzán). Muchos inmigrantes colombianos toman posesión de tierras y haciendas en el sector con la aprobación del presidente García Moreno, entre otros las familias Romo, Erazo, González, Fierro y Argoti.


title: Baños (Ecuador)

text: Haciendas notables en los alrededores de la villa eran: Ulba, Ulbilla, Valencia, Vizcaya, Agoyán, Puntzán, San Vicente, Illuchi, Juivi. La población de Baños se dividía a comienzos de siglo entre hacendados y obreros rurales.


title: Baños (Ecuador)

text: En 1887, llegó como cura párroco el sacerdote belga Tomás Halflants, persona que asumió también las funciones de alcalde e hizo posible el desarrollo de muchas obras entre las que se destacan: la delineación de las calles de la ciudad, la construcción los puentes de San Francisco, El Topo, San Martín y las Juntas, las primeras captaciones de agua en Chigla, reconstrucción la iglesia antigua, edificación de la Basílica de la Virgen (1904-1944) y la adquisición de la pileta de bronce en la Plaza de El Higuerón. En 1909 le sucede el sacerdote belga Van Shoote. Esto influyó en el carácter religioso de la población.


title: Baños (Ecuador)

text: Desde 1916 a 1920 se produce la segunda erupción contemporánea del Tungurahua, en 1918 se produce una gran explosión que sacude la tierra en Riobamba, lahares y lava bajan hasta Nahuazo. Llueve cascajo en aquel día y ceniza en todo ese tiempo.


title: Baños (Ecuador)

text: En 1928, el presidente Isidro Ayora, construye la antigua carretera Ambato – Baños, consolidándose como el principal acceso a la Región Amazónica del Ecuador. El 16 de diciembre de 1944 se fundó oficialmente el Cantón Baños; el Primer Presidente del Concejo Cantonal fue Pedro Tomás Vargas y el Primer Presidente elegido en votaciones populares fue Carlos González.


title: Baños (Ecuador)

text: El terremoto de Ambato del 5 de agosto de 1949 afectó seriamente a Baños, reduciendo a escombros casi todas las edificaciones de la ciudad. La población disminuyó drásticamente, hubo muchos muertos y gran parte de los sobrevivientes abandonó la ciudad.


title: Baños (Ecuador)

text: En 1999 el volcán Tungurahua se activó y la población de Baños fue evacuada totalmente. Desde ese año, el Tungurahua sigue activo presentando grandes erupciones en 1999, 2000 y 2006.


title: Baños (Ecuador)

text: Situado en los flancos externos de la cordillera oriental de los Andes, en las faldas del volcán Tungurahua, a una altitud de 1820 msnm. Se encuentra a 40 km al este de Ambato, en la provincia de Tungurahua Tiene una gran riqueza hidrológica, con algunos ríos en sus cercanías, como el río Bascún (al oeste), el río Ulba (al oriente de la ciudad) y principalmente, el río Pastaza que limita la ciudad al sur.El volcán Tungurahua y el resto de elevaciones que rodean a la ciudad cubren a Baños de los fuertes vientos. Es una zona climática lluviosa. subtropical, su temperatura habitual es de unos 15 a 25 °C en verano.


title: Baños (Ecuador)

text: Territorialmente, la ciudad de Baños está organizada en una sola parroquia urbana, mientras que existen 4 parroquias rurales con las que complementa el aérea total del Cantón Baños. El término "parroquia" es usado en el Ecuador para referirse a territorios dentro de la división administrativa municipal.


title: Baños (Ecuador)

text: La ciudad y el cantón Baños de Agua Santa, al igual que las demás localidades ecuatorianas, se rige por una municipalidad según lo previsto en la Constitución de la República. El "Gobierno Autónomo Descentralizado Municipal de Baños", es una entidad de gobierno seccional que administra el cantón de forma autónoma al gobierno central. La municipalidad está organizada por la separación de poderes de carácter ejecutivo representado por el alcalde, y otro de carácter legislativo conformado por los miembros del concejo cantonal.


title: Baños (Ecuador)

text: La Municipalidad de Baños, se rige principalmente sobre la base de lo estipulado en los artículos 253 y 264 de la Constitución Política de la República y en la Ley de Régimen Municipal en sus artículos 1 y 16, que establece la autonomía funcional, económica y administrativa de la Entidad.


title: Baños (Ecuador)

text: El poder ejecutivo de la ciudad es desempeñado por un ciudadano con título de Alcalde del cantón Baños de Agua Santa, el cual es elegido por sufragio directo en una sola vuelta electoral sin fórmulas o binomios en las elecciones municipales. El vicealcalde no es elegido de la misma manera, ya que una vez instalado el Concejo Cantonal se elegirá entre los ediles un encargado para aquel cargo. El alcalde y el vicealcalde duran cuatro años en sus funciones, y en el caso del alcalde, tiene la opción de reelección inmediata o sucesiva. El alcalde es el máximo representante de la municipalidad y tiene voto dirimente en el concejo cantonal, mientras que el vicealcalde realiza las funciones del alcalde de modo suplente mientras no pueda ejercer sus funciones el alcalde titular.


title: Baños (Ecuador)

text: El alcalde cuenta con su propio gabinete de administración municipal mediante múltiples direcciones de nivel de asesoría, de apoyo y operativo. Los encargados de aquellas direcciones municipales son designados por el propio alcalde. Actualmente el Alcalde de Baños de Agua Santa es Dr Luis Silva Luna, elegido para el periodo 2019 - 2023.


title: Baños (Ecuador)

text: El poder legislativo de la ciudad es ejercido por el Concejo Cantonal de Bañosde Agua Santa el cual es un pequeño parlamento unicameral que se constituye al igual que en los demás mediante la disposición del artículo 253 de la Constitución Política Nacional. De acuerdo a lo establecido en la ley, la cantidad de miembros del concejo representa proporcionalmente a la población del cantón.


title: Baños (Ecuador)

text: Baños de Agua Santa posee 5 concejales, los cuales son elegidos mediante sufragio (Sistema D'Hondt) y duran en sus funciones cuatro años pudiendo ser reelegidos indefinidamente. De los cinco ediles, 4 representan a la población urbana mientras que uno representa a las 4 parroquias rurales. El alcalde y el vicealcalde presiden el concejo en sus sesiones. Al recién instalarse el concejo cantonal por primera vez los miembros eligen de entre ellos un designado para el cargo de vicealcalde de la ciudad.


title: Baños (Ecuador)

text: El turismo en una de las actividades más importantes de Baños de Agua Santa, por ende, desde los últimos años, se encuentra en constante cambio e innovación. La ciudad se encuentra con una creciente reputación como destino turístico por su privilegiada ubicación en plena entrada a la selva amazónica, una de las siete maravillas naturales del mundo. A través de los años, Baños ha incrementado notablemente su oferta turística; actualmente, el índice turístico creció gracias a la campaña turística emprendida por el gobierno nacional, "All you need is Ecuador". El turismo de la ciudad se enfoca en su belleza natural y los deportes de aventura. En cuanto al turismo ecológico, la urbe cuenta con espaciosas áreas verdes a su alrededor, y la mayoría de los bosques y atractivos turísticos cercanos están bajo su jurisdicción.


title: Baños (Ecuador)

text: El turismo del pueblo se relaciona íntimamente con el resto del cantón; el principal atractivo del cantón es la naturaleza, dotada de una alta biodiversidad. Es una de las poblaciones más turísticas del Ecuador; es también conocida como "La Puerta del Dorado" y también conocida como: "El Pedacito de Cielo" debido a la tranquilidad que brindan su entorno. Además ofrece muchas atracciones: se puede visitar la Basílica de la Virgen del Rosario de Agua Santa, se puede visitar las diferentes cascadas, ascender al Tungurahua (volcán), probar las melcochas (dulces hechos a base de caña de azúcar), hay variedades de artesanías hechas en balsa y de tagua hechas en otros lugares y revendidas en esta localidad.


title: Baños (Ecuador)

text: Baños de Agua Santa es una ciudad apta para practicar varios deportes de aventura tales como: rafting, canyoning, piragüísmo, escalada en roca, salto de puentes, paseos a caballo, caminatas ecológicas, canopy, ciclismo de montaña, etc. Posee 5 balnearios municipales con aguas minerales y sulfurosas que van desde las frías de 18 °C, hasta las termales de 55 °C; emergen de las entrañas del volcán Tungurahua. Cuenta con una zona rosa en donde más de 30 peñas, bares y discotecas. En esta ciudad se pueden acceder a más de 80 restaurantes con variada gastronomía nacional e internacional. Baños es también un centro de peregrinación religiosa ya que los manantiales de aguas termales son popularmente asociados con curas "milagrosas" por la influencia de la comunidad dominica que está asentada en esta zona desde hace mucho tiempo. Desde la entrada occidental a Baños hasta más allá de Cashaurco, existe la Ruta de las Orquídeas, Cascadas y Guayabas, esta ruta pasa por toda la vía Baños - Mera - Puyo. Aquí esta la lista de las cascadas desde el occidente al oriente:


title: Baños (Ecuador)

text: Una opción es visitar la "zona de los bares, peñas y discotecas", ubicada a lo largo de la calle Eloy Alfaro entre Ambato, Oriente y Eugenio Espejo; aquí existen alrededor de 25 establecimientos de diversión nocturna. El funcionamiento de estos establecimientos está regulado por la municipalidad, con el respaldo de la Policía Nacional del Ecuador.Con 20.018 habitantes en censo del 2010 es la tercera ciudad más poblada de la Provincia de Tungurahua, después de Ambato.El transporte público es el principal medio transporte de los habitantes de la ciudad y sus alrededores. La urbe posee un servicio de bus público urbano en expansión, y es una de las pocas ciudades de la provincia que cuenta con uno. El sistema de bus no es amplio y está conformado por pocas empresas de transporte urbano. La tarifa del sistema de bus es de 0,30 USD, con descuento del 50% a grupos prioritarios (menores de edad, adultos mayores, discapacitados, entre otros). Además existen los buses interparroquiales e intercantonales para el transporte a localidades cercanas. La ciudad también cuenta con una empresa de transporte privada "Cooperativa de Transportes y Turismo Baños" que fue fundada hace más de 60 años, actualmente es la empresa líder en el Ecuador con más de 27 agencias a nivel nacional, es la única que une las tres regiones continentales, costa, sierra y oriente.


title: Baños (Ecuador)

text: Todas las calles de la ciudad están pavimentadas o adoquinadas. Cuenta con un Terminal Terrestre ubicado al sur. La ciudad cuenta con buena infraestructura para la educación, tanto pública como privada. La educación pública en la ciudad, al igual que en el resto del país, es gratuita hasta la universidad (tercer nivel) de acuerdo a lo estipulado en el artículo 348 y ratificado en los artículos 356 y 357 de la Constitución Nacional. Varios de los centros educativos de la ciudad cuentan con un gran prestigio. La ciudad está dentro del régimen Sierra por lo que sus clases inician los primeros días de septiembre y luego de 200 días de clases se terminan en el mes de julio.


title: Baños (Ecuador)

text: Baños es una ciudad de amplia actividad comercial. La ciudad es el segundo centro económico y comercial de la provincia de Tungurahua; alberga grandes organismos financieros y comerciales del país. Su economía se basa en el turismo. La actividad comercial y los beneficios que brindan se ven también a nivel corporativo, las oportunidades del sector privado al desarrollar modelos de negocios que generen valor económico, ambiental y social, están reflejadas en el desarrollo de nuevas estructuras, la inversión privada ha formado parte en el proceso del crecimiento de la ciudad, los proyectos inmobiliarios, urbanizaciones privadas, y oficinas, han ido en aumento, convirtiendo a la ciudad en un punto estratégico y atractivo para hacer negocios en la provincia.


title: Baños (Ecuador)

text: La ciudad posee una red de comunicación en continuo desarrollo y modernización. En la ciudad se dispone de varios medios de comunicación como prensa escrita, radio, televisión, telefonía, Internet y mensajería postal.


title: Baños (Ecuador)

text: La "Liga Deportiva Cantonal de Baños de Agua Santa" es el organismo rector del deporte en todo el Cantón Baños y por ende en la urbe se ejerce su autoridad de control. El deporte más popular en la ciudad, al igual que en todo el país, es el fútbol, siendo el deporte con mayor convocatoria. El Club Baños Ciudad de Fuego, es el único equipo baneño activo en la Asociación de Fútbol Profesional de Tungurahua, que participa en el Campeonato Provincial de Segunda Categoría de Tungurahua. Al ser una localidad pequeña en la época de las fundaciones de los grandes equipos del país, Baños carece de un equipo simbólico de la ciudad.


title: Baños (Ecuador)

text: El principal recinto deportivo para la práctica del fútbol es el Estadio Coronel José Silva Romo. Es usado mayoritariamente para la práctica del fútbol, y allí juega como local el Club Baños Ciudad de Fuego; tiene capacidad para 800 espectadores. El estadio es sede de distintos eventos deportivos a nivel local, así como es escenario para varios eventos de tipo cultural, especialmente conciertos musicales.


title: Problema de Apolonio

text: En geometría plana euclidiana, el problema de Apolonio consiste en encontrar las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas. Apolonio de Perge ("circa" 262 a. C.-"circa" 190 a. C.) propuso y resolvió este problema en la obra "Ἐπαφαί", ("Epaphaí", "Tangencias"). Aunque esta obra se ha perdido, se conserva una referencia a ella en un manuscrito redactado en el siglo IV por Papo de Alejandría. Las circunferencias dadas son de radio arbitrario, es decir, incluyen los casos extremos de radio nulo (un punto) y de radio infinito (una recta), lo que proporciona hasta diez tipos de problemas de Apolonio. Excluyendo a las familias de posiciones particulares que presentan infinitas soluciones, o ninguna, y a las familias de posiciones que, por simetría, tienen algunas soluciones equivalentes o prohibidas, la resolución general del problema resulta en ocho circunferencias que son tangentes a las tres circunferencias dadas.


title: Problema de Apolonio

text: En el siglo XVI, Adriaan van Roomen resolvió el problema utilizando la intersección de hipérbolas, pero esta solución no se basa únicamente en construcciones con regla y compás, por lo que puede considerarse menos elegante. François Viète encontró una solución aprovechando la simplificación de los puntos y rectas como casos extremos de circunferencias. El enfoque de Viète, que utiliza casos extremos sencillos para resolver otros más complicados, se considera una reconstrucción plausible del método de Apolonio. A su vez, Isaac Newton simplificó el método de van Roomen y mostró que el problema de Apolonio es equivalente a encontrar una posición conociendo las diferencias de distancias a tres puntos conocidos. Esta formulación tiene aplicaciones en la navegación y en sistemas de posicionamiento como el LORAN —LOng RAnge Navigation, navegación de largo alcance—, y, por otra parte, se han desarrollado generalizaciones del problema para otras superficies diferentes al plano, como puede ser la superficie esférica y otras superficies cuádricas.


title: Problema de Apolonio

text: Algunos matemáticos posteriores introdujeron métodos algebraicos, que transforman el problema geométrico en una ecuación algebraica. A estos métodos se les realizó una abstracción o simplificación, aprovechando las simetrías inherentes al problema de Apolonio: por ejemplo, las circunferencias resolutorias suelen encontrarse en parejas; en una de estas parejas, una circunferencia solución contiene las circunferencias dadas en su interior mientras que la otra no las contiene. Joseph Diaz Gergonne aprovechó esta simetría desarrollando un elegante método para encontrar las soluciones con regla y compás, mientras que otros matemáticos utilizaron transformaciones geométricas como la reflexión en una circunferencia —para que esta se utilice debe haber simetría del problema— para simplificar la disposición de las circunferencias dadas. Estos desarrollos ofrecen una representación geométrica a través de métodos algebraicos (utilizando la geometría de la esfera de Lie, introducida por el noruego Sophus Lie) y una clasificación de soluciones para las treinta y tres disposiciones esencialmente diferentes posibles en la posición inicial de las tres circunferencias.


title: Problema de Apolonio

text: El problema de Apolonio ha impulsado mucha investigación adicional. Se han estudiado generalizaciones en tres dimensiones —la construcción de una esfera tangente a cuatro esferas dadas— y en dimensiones superiores. La disposición de tres circunferencias tangentes entre ellas ha recibido una atención especial. René Descartes dio una fórmula que relaciona los radios de las circunferencias dadas y los de las circunferencias resolutorias, que se conoce actualmente como teorema de Descartes. En este caso, la resolución iterativa del problema de Apolonio lleva a la formación de uno de los primeros fractales descubiertos y dibujados, el tamiz de Apolonio, importante en teoría de números, concretamente en los círculos de Ford y en el método del círculo de Hardy-Littlewood.


title: Problema de Apolonio

text: Su aplicación principal es determinar una posición a partir de las diferencias entre las distancias de, al menos, tres puntos conocidos mediante la trilateración hiperbólica, utilizada en navegación y en los sistemas globales de navegación por satélite como el GPS. Otras aplicaciones incluyen los códigos de corrección de errores utilizados en los discos DVD, así como desarrollos en farmacología.


title: Problema de Apolonio

text: El enunciado original del problema de Apolonio pide la construcción de una o más circunferencias que sean tangentes a tres objetos dados. Los objetos pueden ser rectas, puntos o circunferencias de cualquier tamaño. Estos objetos pueden ser colocados en cualquier disposición y se pueden cortar unos a otros; sin embargo, se suelen tomar diferentes, es decir, que no coincidan. Las soluciones del problema a veces se llaman «circunferencias de Apolonio», aunque este término también se usa para otros tipos de circunferencias asociadas con Apolonio.


title: Problema de Apolonio

text: El enunciado hace uso de la propiedad de tangencia; esta se define a continuación. Por hipótesis, se asume que un punto, recta o circunferencia es tangente a sí mismo, por lo que si una circunferencia dada ya es tangente a los otros dos objetos, se cuenta como solución del problema de Apolonio. Se dice que dos objetos geométricos diferentes intersecan si tienen un punto en común. Por definición, un punto es tangente a una circunferencia o una recta si la interseca, es decir, si se sitúa sobre la misma, así, dos puntos diferentes no pueden ser tangentes. Si el ángulo entre rectas o circunferencias en el punto de intersección es cero, se dice que son tangentes, el punto de intersección se llama punto de tangencia (la palabra «tangente» deriva del participio de presente latino "tangens", que significa «tocante»). En la práctica, dos circunferencias distintas son tangentes si se intersecan en un solo punto, si se intersecan en dos puntos o no se intersecan, entonces no son tangentes. Esto mismo es válido para una recta y una circunferencia. Dos rectas diferentes no pueden ser tangentes en el plano, aunque en geometría inversiva dos rectas paralelas se pueden considerar tangentes en un punto en el infinito.


title: Problema de Apolonio

text: La circunferencia solución debe ser interna o externamente tangente a cada una de las circunferencias dadas. Una tangencia externa es aquella en la que las dos circunferencias se curvan hacia sentidos opuestos en el punto de intersección, se sitúan en los lados opuestos de la recta tangente en ese punto, y se excluyen mutuamente. La distancia entre sus centros es igual a la suma de los radios. Por el contrario, una tangencia interna es aquella en la que las dos circunferencias se curvan hacia el mismo sentido en el punto de intersección correspondiente; las dos circunferencias se sitúan en el mismo lado de la recta tangente, y una de las dos incluye la otra. En este caso, la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de los radios. En la ilustración a la derecha, la circunferencia solución (en color púrpura) es tangente internamente a la circunferencia negra dada de tamaño medio situada a la derecha, mientras que es tangente externamente a las circunferencias dadas más pequeña y más grande situadas a la izquierda.


title: Problema de Apolonio

text: Alternativamente, el problema de Apolonio también se puede formular como el problema de encontrar uno o más puntos tales que las diferencias de sus distancias a tres puntos dados sean iguales a tres valores conocidos. Para ver la equivalencia con el enunciado anterior, sea considerada una circunferencia solución de radio "r" y tres circunferencias dadas de radios "r", "r", "r". Si la circunferencia solución es tangente externamente a las tres circunferencias dadas, entonces las distancias entre el centro de la circunferencia solución y los centros de las circunferencias dadas son: , y , respectivamente. Por tanto, las diferencias entre estas distancias son constantes, es decir, ; dependen sólo de los radios conocidos de las circunferencias dadas y no del radio "r" de la circunferencia solución, que se anula. Este segundo planteamiento del problema de Apolonio se puede generalizar a las circunferencias solución tangentes internamente (para las que la distancia centro-centro es igual a la diferencia de los radios) cambiando las correspondientes diferencias de distancias por sumas de distancias, de modo que el radio de la circunferencia solución "r" se vuelve a anular. La reformulación en términos distancias centro-centro es útil en las resoluciones de Adriaan van Roomen e Isaac Newton que se muestran más abajo, y también en el posicionamiento hiperbólico o trilateración, que consiste en localizar una posición a partir de las diferencias entre las distancias a tres puntos conocidos. Por ejemplo, los sistemas de navegación como el LORAN identifican la posición de un receptor a partir de las diferencias en el tiempo de llegada de las señales emitidas desde tres posiciones fijas, que corresponden a las diferencias en las distancias a los transmisores.


title: Problema de Apolonio

text: Se ha desarrollado un rico repertorio de métodos geométricos y algebraicos para resolver el problema de Apolonio. El enfoque original de Apolonio de Perge se ha perdido, pero François Viète y otros lo reconstruyeron basándose en las pistas de la descripción de Papo de Alejandría. Sin embargo, este último no fue el único que pudo recopilar información sobre esta temática, pues también hubo científicos árabes que hicieron grandes reconstrucciones en torno a la obra de Apolonio. El primer nuevo método de resolución se publicó en 1596, por obra de Adriaan van Roomen, que identificó los centros de las circunferencias solución como puntos de intersección de dos hipérbolas. En 1687 Isaac Newton mejoró el método de Van Roomen en su "Principia", y también John Casey en 1881.


title: Problema de Apolonio

text: A pesar del éxito en la resolución del problema de Apolonio, el método de van Roomen tiene una desventaja. Una propiedad muy apreciada en la geometría euclidiana clásica es la posibilidad de resolver problemas utilizando solo construcciones con regla y compás. Muchas construcciones, como dividir un ángulo en tres partes iguales, son imposibles utilizando solo estas herramientas. Sin embargo, muchos de estos problemas «imposibles» se pueden resolver utilizando la intersección de curvas como las hipérbolas, las elipses y las parábolas (secciones cónicas). Por ejemplo, la duplicación del cubo (el problema que plantea la construcción de un cubo con el doble de volumen de un cubo dado) no se puede resolver utilizando solo regla y compás, pero Menecmo mostró que el problema puede resolverse utilizando la intersección de dos parábolas. Por tanto, la resolución de van Roomen —que utiliza la intersección de dos hipérbolas— no determina si el problema satisface la propiedad de poder ser resuelto mediante construcciones con regla y compás.


title: Problema de Apolonio

text: François Viète, que fue precisamente el primero en convencer a su amigo Van Roomen para trabajar en el problema de Apolonio, desarrolló un método que precisa solamente el uso de construcciones con regla y compás. Antes del método de resolución de Viète, Regiomontanus dudaba de la posibilidad de resolución del problema de Apolonio con regla y compás. Viète resolvió en primer lugar algunos casos especiales sencillos del problema de Apolonio, como encontrar una circunferencia que pase por tres puntos dados, que solo tiene una solución si los puntos son diferentes, formulando soluciones para casos especiales más complicados, en algunos de estos casos mediante la reducción o la ampliación de las circunferencias dadas. Según la descripción de Papo de Alejandría en el siglo IV, el propio libro de Apolonio sobre este problema —titulado "Ἐπαφαί" ("Epaphaí", «Tangencias»; en latín: "De tactionibus", "De contactibus")— seguía una aproximación progresiva similar. Por tanto, la resolución de Viète se considera una reconstrucción plausible de la resolución de Apolonio, aunque también se han publicado otras reconstrucciones hechas independientemente por tres autores más.


title: Problema de Apolonio

text: Durante el siglo XIX se desarrollaron varias resoluciones geométricas del problema de Apolonio. Las más notables son las de Jean-Victor Poncelet (1811) y Joseph Diaz Gergonne (1814). Mientras que la resolución de Poncelet se basa en el uso de centros de homotecia de circunferencias y en el teorema de la potencia de un punto, el método de Gergonne aprovecha la relación conjugada entre las rectas y sus polos en una circunferencia. En 1879 Julius Petersen desarrolló por primera vez métodos que utilizan la inversión de la circunferencia; un ejemplo es el método de solución anular de Harold Scott MacDonald Coxeter. Otra aproximación utiliza la geometría de la esfera de Lie, desarrollada por Sophus Lie.


title: Problema de Apolonio

text: René Descartes e Isabel de Hervorden se convirtieron en los primeros en proporcionar resoluciones algebraicas, aunque los métodos que utilizaban eran bastante complejos. A finales del siglo XVIII y durante el XIX, se desarrollaron otros métodos algebraicos más prácticos por parte de muchos matemáticos, incluyendo Leonhard Euler, Nicolas Fuss, Carl Friedrich Gauss, Lazare Carnot, y Augustin Louis Cauchy.


title: Problema de Apolonio

text: La resolución de Adriaan van Roomen, publicada en 1596, está basada en la intersección de dos hipérbolas. Dadas las circunferencias "C", "C" y "C", Van Room abordó la solución del problema general a través de la resolución de un problema más sencillo, consistente en encontrar las circunferencias que son tangentes a dos circunferencias dadas, como pueden ser, por ejemplo, "C" y "C". Observó que el centro de una circunferencia tangente a las dos circunferencias dadas debía de estar situado en un punto de una hipérbola cuyos focos fueran los centros de las circunferencias dadas. Como se muestra en la ilustración a la derecha, llamamos a los radios de la circunferencia solución y de las dos circunferencias dadas "r", "r" y "r", respectivamente. La distancia "d" entre el centro de la circunferencia solución y el de "C" puede ser o , dependiendo de si se elige que estas circunferencias sean tangentes externa o internamente, de manera respectiva. Del mismo modo, la distancia "d" entre el centro de la circunferencia solución y el de "C" puede ser o , otra vez dependiendo del tipo de la tangencia elegida. Por lo tanto, la diferencia entre estas distancias siempre es una constante que es independiente de "r". Esta propiedad de poseer una diferencia fija entre las distancias al foco caracteriza las hipérbolas, y por esta razón los posibles centros de una circunferencia solución deben estar situados sobre dicha hipérbola. Se puede crear una segunda hipérbola por la pareja de circunferencias dadas "C" y "C", en la que la tangencia externa o interna de la circunferencia solución y "C" se debe elegir de manera consistente con la primera hipérbola. Una intersección de estas dos hipérbolas (si existe) da el centro de una circunferencia solución que tiene las tangencias internas y externas escogidas para las tres circunferencias dadas. El conjunto completo de soluciones al problema de Apolonio se encuentra cuando se consideran todas las combinaciones posibles de tangencias internas y externas de la circunferencia solución con las tres circunferencias dadas.


title: Problema de Apolonio

text: En 1687 Isaac Newton, en sus "Philosophiæ naturalis principia mathematica", refinó el método de van Roomen de manera que los centros de las circunferencias solución se encontrasen en las intersecciones de una recta con una circunferencia. Newton formuló el problema de Apolonio como un problema de trilateración: encontrar un punto "Z" a partir de tres puntos dados "A", "B" y "C", de manera que las diferencias de distancias entre "Z" y los tres puntos dados tengan valores conocidos. Estos cuatro puntos se corresponden con el centro de la circunferencia solución ("Z") y los centros de las tres circunferencias dadas ("A", "B" y "C"). En lugar de resolverlo a través de las dos hipérbolas, Newton construyó sus correspondientes directrices. Para cualquier hipérbola, la razón de distancias desde un punto "Z" al foco "A" y a su directriz es una constante llamada excentricidad. Las dos directrices se intersecan en un punto "T", y a partir de sus razones de distancias conocidas, Newton construyó una recta que pasa por "T" sobre la que debe descansar el centro "Z". No obstante, la razón de distancias TZ/TA también es conocida, por lo que el punto "Z" también está situado en una circunferencia conocida, porque Apolonio ya había demostrado que una circunferencia se puede definir como el conjunto de puntos que tienen una razón de distancias dada a dos puntos (como acotación al margen, esta definición es la base del sistema de coordenadas bipolares). De ese modo, las soluciones del problema de Apolonio se pueden encontrar a partir de las intersecciones de una recta con una circunferencia.


title: Problema de Apolonio

text: Como se explica más abajo, el problema de Apolonio tiene diez casos especiales, dependiendo de la naturaleza de los tres objetos dados, que pueden indistintamente ser circunferencias ("C"), rectas ("R") o puntos ("P"). Habitualmente, estos diez casos se clasifican con un código de tres letras como podría ser "CCP" para el caso de dos circunferencias y un punto. El matemático francés François Viète resolvió los diez casos usando solo construcciones con regla y compás, y utilizó las soluciones de los casos más sencillos para conseguir resolver los más complicados.


title: Problema de Apolonio

text: Viète comenzó resolviendo el caso "PPP" (tres puntos) siguiendo el método de Euclides que se expone en su obra "Elementos". A partir de aquí, derivó un lema correspondiente al teorema de la potencia de un punto, que utilizó para resolver el caso "RPP" (una recta y dos puntos). Siguiendo el método Euclides por segunda vez, Viète resolvió el caso "RRR" (tres rectas) utilizando el teorema de la bisectriz. Entonces derivó un lema para construir la recta perpendicular a una bisectriz que pasa por un punto, que utilizó para resolver el problema "RRP" (dos rectas y un punto). Así ya había resuelto los cuatro primeros casos del problema de Apolonio, los que no contienen circunferencias.


title: Problema de Apolonio

text: Para resolver los problemas restantes, Viète aprovechó el hecho de que se pueden variar a la vez las medidas de las circunferencias dadas y la circunferencia solución mientras se preservan las tangencias (como se ejemplifica en la imagen a la derecha). Si el radio de la circunferencia solución varía un incremento Δ"r", los radios de las circunferencias dadas que son tangentes internamente también deben variar Δ"r", mientras que los radios de las circunferencias dadas que son tangentes externamente deben variar —Δ"r". Dicho de otro modo, para mantener las tangencias al tiempo que la circunferencia solución se agranda, las circunferencias dadas tangentes internamente se han de ampliar y, en cambio, las circunferencias dadas tangentes externamente deben reducirse.


title: Problema de Apolonio

text: Viète utilizó este enfoque para reducir una de las circunferencias a un punto (una circunferencia de radio 0), lo que convertía el problema en un caso más sencillo ya resuelto. En primer lugar resolvió el caso "CRR" (una circunferencia y dos rectas) mediante la reducción de la circunferencia a un punto y transformando esto en un caso "RRP". Después resolvió el caso "CRP" (una circunferencia, una recta y un punto) utilizando tres lemas. Reduciendo de nuevo una circunferencia a un punto, Viète transformó el caso "CCR" en un caso "CRP", ya resuelto. Después resolvió el caso "CPP" (una circunferencia y dos puntos) y el caso "CCP" (dos circunferencias y un punto), el último caso a través de dos lemas. Finalmente, Viète resolvió el caso general "CCC" (tres circunferencias) reduciendo una circunferencia en un punto, que lo transformaba en el caso "CCP" ya resuelto.


title: Problema de Apolonio

text: El problema de Apolonio se puede plantear como un sistema de tres ecuaciones, con el objetivo de encontrar el radio y la posición del centro de la circunferencia solución. Como las tres circunferencias dadas y cualquier circunferencia solución deben estar en el mismo plano, sus posiciones se pueden expresar mediante las coordenadas (x, y) de sus centros. Por ejemplo, las posiciones de los centros de las tres circunferencias dadas se pueden denominar ("x", "y"), ("x", "y") y ("x", "y"), mientras que la posición del centro de la circunferencia solución se puede denominar ("x", "y"). Del mismo modo, los radios de las circunferencias dadas y el de la circunferencia solución se pueden denominar "r", "r", "r" y "r", respectivamente. La condición de que la circunferencia solución sea tangente a cada una de las tres circunferencias dadas se puede expresar con un sistema de tres ecuaciones para las tres incógnitas "x", "y" y "r":


title: Problema de Apolonio

text: Los tres números "s", "s" y "s" del segundo miembro de estas ecuaciones, llamados signos, pueden ser igual a ±1, y especifican si la circunferencia solución deseada es tangente internamente (s = 1) o externamente (s = -1) a la circunferencia dada correspondiente. Por ejemplo, en la imagen que ilustra la sección anterior, la circunferencia solución rosa es tangente internamente a la circunferencia dada de la derecha y tangente externamente a las circunferencias dadas más grande y más pequeña de la izquierda; si las circunferencias dadas están ordenadas según su radio, los signos para esta solución serían «- + -». Como los tres signos se pueden elegir independientemente, hay ocho sistemas de ecuaciones posibles (2 × 2 × 2 = 8), cada uno correspondiente a una de las ocho circunferencias resolutorias posibles.


title: Problema de Apolonio

text: El sistema general de tres ecuaciones de segundo grado se puede resolver por el método de las resultantes. Cuando se multiplican, las tres ecuaciones tienen en el miembro de la izquierda y "r" en el miembro de la derecha. Restando una ecuación de otra, estos términos cuadráticos se anulan, los términos lineales que quedan se pueden reorganizar para dar las fórmulas de las coordenadas "x" e "y":


title: Problema de Apolonio

text: donde "M", "N", "P" y "Q" son funciones conocidas de las circunferencias dadas y la elección de los signos. La sustitución de estas fórmulas en una de las tres ecuaciones iniciales da una ecuación de segundo grado en la que la incógnita "r" se puede resolver mediante la fórmula correspondiente. La sustitución del valor numérico de "r" en las fórmulas lineales proporciona los valores correspondientes a "x" y "y".


title: Problema de Apolonio

text: Los signos "s", "s" y "s" en el miembro de la derecha de las ecuaciones pueden ser elegidos de ocho maneras diferentes, y cada elección de signos da hasta dos soluciones, ya que la ecuación con incógnita "r" es de segundo grado. Esto podría hacer pensar (incorrectamente) que puede haber hasta dieciséis soluciones del problema de Apolonio. Sin embargo, debido a una simetría entre las ecuaciones, si ("r", "x", "y") es una solución, con signos "s", entonces también lo es (−"r", "x", "y"), con los signos opuestos −"s", que representa la misma circunferencia solución. Por tanto, el problema de Apolonio tiene como máximo ocho soluciones independientes. Una manera de evitar este doble recuento es considerar solo las circunferencias solución con radio no negativo.


title: Problema de Apolonio

text: Las dos raíces de cualquier ecuación de segundo grado pueden ser de tres tipos diferentes: dos números reales distintos, dos números reales iguales (es decir, una raíz doble degenerada) o dos raíces complejas conjugadas. El primer caso corresponde a la situación común, cada pareja de raíces corresponde a una pareja de soluciones que están relacionadas por la inversión de la circunferencia, como se muestra más abajo. El segundo caso, en el que las dos raíces son iguales, se corresponde a una circunferencia solución que se transforma en sí misma con la inversión. En este caso, una de las circunferencias dadas es en sí misma una solución del problema de Apolonio y el número de soluciones diferentes se reduce en uno. El tercer caso, de radios complejos conjugados, no corresponde a ninguna solución geométricamente posible del problema de Apolonio, ya que una circunferencia solución no puede tener un radio imaginario, por lo que el número de soluciones se reduce en dos. Curiosamente, el problema de Apolonio no puede tener siete soluciones, aunque puede tener cualquier otro número de soluciones de cero a ocho.


title: Problema de Apolonio

text: Las mismas ecuaciones algebraicas se pueden llevar al contexto de la geometría de la esfera de Lie. Esta geometría representa circunferencias, rectas y puntos de una manera unificada, como un vector de cinco dimensiones "X" = ("v", "c", "c", "w", "s·r"), donde c = ("c", "c") es el centro de la circunferencia y "r" es su radio (no negativo). Si "r" no es cero, el signo "s" puede ser positivo o negativo, para verlo, se representa la orientación de la circunferencia: las circunferencias orientadas en contra del sentido de las agujas del reloj tienen "s" positivo y, en cambio, las que están orientadas en el sentido de las agujas del reloj tienen "s" negativo. El parámetro "w" es cero para las rectas y uno en otro caso.


title: Problema de Apolonio

text: En este mundo de cinco dimensiones, existe un producto bilineal similar al producto escalar:


title: Problema de Apolonio

text: La cuádrica de Lie se define como aquellos vectores cuyo producto consigo mismos (su norma al cuadrado) es cero, ("X"|"X") = 0. Sean "X" y "X" dos vectores pertenecientes a esta cuádrica, la norma de sus diferencias es igual a:


title: Problema de Apolonio

text: El producto tiene la propiedad distributiva respecto a la suma y la resta (más precisamente, es bilineal):


title: Problema de Apolonio

text: Como ("X"|"X") = ("X"|"X") = 0 (ambos pertenecen a la cuádrica de Lie) y "w" = "w" = 1 para circunferencias, el producto de dos vectores tales cualesquiera a la cuádrica es igual a:


Problema de Apolonio


title: Problema de Apolonio

text: donde las barras verticales que contienen representan la longitud de este vector diferencia, es decir, la norma euclidiana. Esta fórmula muestra que si dos vectores cuádricos "X" and "X" son ortogonales (perpendiculares) el uno al otro —esto es, si ("X"|"X")= 0—, entonces sus circunferencias correspondientes son tangentes. En caso de que los dos signos "s" and "s" sean iguales (es decir, que las circunferencias tengan la misma «orientación»), las circunferencias son tangentes internamente, la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre los radios:


title: Problema de Apolonio

text: Por el contrario, si los dos signos "s" and "s" son diferentes (es decir, las circunferencias tienen «orientaciones» contrarias), las circunferencias son tangentes externamente, la distancia entre sus centros es igual a la suma de los radios:


title: Problema de Apolonio

text: Por tanto, el problema de Apolonio se puede formular en términos de la geometría de Lie como el problema de encontrar vectores perpendiculares en la cuádrica de Lie, específicamente, el objetivo es identificar vectores resolutorios "X" que pertenezcan a la cuádrica de Lie y sean también ortogonales (perpendiculares) a los vectores "X", "X" y "X" correspondientes a las circunferencias dadas:


title: Problema de Apolonio

text: La ventaja de esta reformulación es que se pueden aprovechar los teoremas del álgebra lineal sobre el máximo número de vectores linealmente independientes simultáneamente perpendiculares. Esto proporciona otra manera de contar el máximo número de soluciones y extender el teorema a espacios de mayores dimensiones.


title: Problema de Apolonio

text: Un entorno de tratamiento natural para el problema de Apolonio es la geometría inversiva. La estrategia básica de los métodos inversos es transformar un problema de Apolonio dado en otro que sea más sencillo de resolver, las soluciones del problema original se encuentran a partir de las soluciones del problema transformado, al deshacer la transformación. Las transformaciones examinadas deben cambiar un problema de Apolonio en otro; además, deben transformar las circunferencias, rectas y puntos dados en otras circunferencias, rectas y puntos, y no en otras formas. La inversión de la circunferencia tiene esta propiedad y además permite elegir de forma libre el centro y el radio de la circunferencia invertida. Otras transformaciones plausibles podrían ser las isometrías del plano euclídeo, sin embargo, estas no simplifican el problema, pues solo desplazan, giran o hacen una reflexión del problema original.


title: Problema de Apolonio

text: La inversión de la circunferencia de centro "O" y radio "R" consiste en la siguiente operación: a cada punto "P" se le asigna un nuevo punto "P" como "O", "P" y "P'" deben estar alineados, y el producto de las distancias desde "P" y "P"' hasta el centro "O" sea igual al radio "R" al cuadrado:


title: Problema de Apolonio

text: Así, si "P" está fuera de la circunferencia, entonces "P"' queda dentro, y viceversa. Cuando "P" es el mismo que "O", se dice que la inversión envía el punto "P" en el infinito (en análisis complejo, el «infinito» se define en términos de la esfera de Riemann). La inversión tiene la útil propiedad que rectas y circunferencias siempre se transforman en rectas y circunferencias, y que los puntos siempre se transforman en puntos. En la inversión, las circunferencias se suelen transformar en otras circunferencias, sin embargo, si una circunferencia pasa por el centro de la circunferencia de inversión, se transforma en una recta, y viceversa. Es importante destacar que si una circunferencia corta la circunferencia de inversión en ángulos rectos (hay interseca perpendicularmente), no queda afectada por la inversión; se transforma en sí misma.


title: Problema de Apolonio

text: Las inversiones de la circunferencia corresponden a un subconjunto de las transformaciones de Möbius en la esfera de Riemann. El problema de Apolonio en el plano se puede llevar a la esfera con una proyección estereográfica inversa, por lo que las soluciones del problema en el plano corresponden con las soluciones a la esfera. Existen otras resoluciones inversivas del problema aparte de las descritas anteriormente.


title: Problema de Apolonio

text: Las soluciones del problema de Apolonio aparecen a menudo en parejas, por cada circunferencia solución, existe una circunferencia solución conjugada. Una circunferencia solución contiene las circunferencias dadas que la conjugada no contiene, y viceversa. Por ejemplo, la ilustración de la derecha, una circunferencia solución (rosa, arriba a la izquierda) con dos circunferencias dadas (negras), pero no contiene una tercera, al contrario, la solución conjugada (también rosa, abajo a la derecha) contiene la tercera circunferencia dada, pero no contiene las otras dos. Las dos circunferencias resolutorias conjugadas están relacionadas por la inversión, tal como se explica a continuación.


title: Problema de Apolonio

text: En general, dadas tres circunferencias diferentes cualesquiera existe una única circunferencia —la circunferencia radical— que las interseca a todas perpendicularmente; precisamente, el centro de esta circunferencia es el centro radical de las tres circunferencias. Esto se muestra en la ilustración de la derecha, donde la circunferencia naranja interseca las circunferencias negras dadas en ángulos rectos. La inversión en la circunferencia radical no modifica las circunferencias dadas, pero transforma las dos soluciones conjugadas una en la otra. Bajo la misma inversión, los puntos de tangencia correspondientes a las dos circunferencias resolutorias se transforman el uno en el otro, en la ilustración los dos azules situados en cada recta verde se transforman el uno en el otro. Por ello, las rectas que unen estos puntos de tangencia conjugados no varían bajo la inversión, por lo que deben pasar por el centro de inversión, que es el centro radical (las rectas verdes que intersecan en el punto naranja en la ilustración).


title: Problema de Apolonio

text: Si dos de las tres circunferencias dadas no se intersecan, se puede escoger un centro de inversión de modo que estas dos circunferencias dadas queden concéntricas. Bajo esta inversión, las circunferencias soluciones deben situarse dentro del anillo o corona formada por las dos circunferencias concéntricas. Por lo tanto, pertenecen a dos grupos de un solo parámetro. En el primer grupo, las soluciones no contienen la circunferencia concéntrica interna, sino que giran como las bolas de un rodamiento rígido o cojinete de rodaduras en el anillo. En el segundo grupo, las circunferencias soluciones contienen la circunferencia concéntrica interna. En general, existen cuatro soluciones para cada grupo, y por lo tanto hay un total de ocho soluciones posibles, consistente con las resoluciones algebraicas.


title: Problema de Apolonio

text: Cuando dos de las circunferencias dadas son concéntricas, el problema de Apolonio se puede resolver fácilmente siguiendo un método de Gauss, creado por Carl Friedrich Gauss. Los radios de las tres circunferencias dadas son conocidos, como también lo es la distancia "d" del centro concéntrico común y el centro de la circunferencia no concéntrica. La circunferencia solución se puede determinar a partir de su radio "r", el ángulo θ, y las distancias "d" y "d" desde su centro hasta el centro concéntrico común y de este último hasta el centro de la circunferencia no concéntrica, respectivamente. El radio y la distancia "d" son conocidos, y la distancia "d" = "r" ± "r", dependiendo de si la circunferencia solución es tangente interna o externamente a la circunferencia no concéntrica. Por lo tanto, aplicando el teorema del coseno:


title: Problema de Apolonio

text: Aquí, una nueva constante "C" ha sido definida para abreviar esto, con el subíndice que indica si la solución es tangente externamente o interna. Una simple reordenación trigonométrica proporciona las cuatro soluciones,


title: Problema de Apolonio

text: Esta fórmula representa cuatro soluciones, correspondiente a las dos elecciones del signo de θ, y las dos elecciones por "C". Las cuatro soluciones restantes se pueden obtener por el mismo método, utilizando las sustituciones por "r" y "d" indicadas al pie de la imagen que ilustra el segundo grupo. Así, las ocho soluciones que corresponden al problema de Apolonio se pueden encontrar, de manera general, por este método.


title: Problema de Apolonio

text: Dos circunferencias dadas cualesquiera que no se intersecan pueden transformarse en concéntricas de la siguiente manera. Se construye el eje radical de las dos circunferencias dadas, escogiendo dos puntos arbitrarios "P" y "Q" en este eje radical, pudiéndose construir dos circunferencias centradas en "P" y "Q" y que intersecan las dos circunferencias dadas perpendicularmente. Estas dos circunferencias construidas intersecan en dos puntos. La inversión en uno de estos puntos de intersección "F" transforma las circunferencias construidas en rectas que pasan por "F" y las dos circunferencias dadas en circunferencias concéntricas, con la tercera circunferencia dada que se transforma en otra circunferencia (en general). Por este resultado se obtiene que el sistema de circunferencias es equivalente a un conjunto de circunferencias de Apolonio, formando así un sistema de coordenadas bipolares.


title: Problema de Apolonio

text: La utilidad de la inversión se puede incrementar significativamente con los cambios de tamaño. Como se explica en la reconstrucción de Viète, las tres circunferencias dadas y la circunferencia solución se pueden cambiar de tamaño a la vez mientras se mantienen las tangencias. Así, el problema de Apolonio inicial se transforma en otro problema que puede ser más fácil de resolver. Por ejemplo, las cuatro circunferencias se pueden cambiar de tamaño de manera que una circunferencia solución se reduzca a un punto; alternativamente, a menudo dos circunferencias dadas se pueden cambiar de tamaño para que sean tangentes entre ellas. En tercer lugar, las circunferencias dadas que se cortan también se pueden cambiar de tamaño para que no se intersequen, y después de esto se puede aplicar el método de inversión para obtener un anillo. En todos estos casos, la solución del problema de Apolonio original se obtiene a partir de la solución del problema transformado deshaciendo la inversión y los cambios de tamaño.


title: Problema de Apolonio

text: En el primer enfoque, las circunferencias dadas se reducen o aumentan de tamaño (según el tipo de tangencia) hasta que una de las circunferencias dadas se transforma en un punto "P". Así, el problema de Apolonio degenera en el caso especial "CCP", que consiste en encontrar una circunferencia solución tangente a las dos circunferencias dadas restantes y que pase por el punto "P". La inversión en una circunferencia centrada en "P" transforma las dos circunferencias dadas en nuevas circunferencias, y la circunferencia solución en una recta. Por tanto, la solución transformada es una recta tangente a las dos circunferencias dadas transformadas. Pueden existir hasta cuatro rectas resolutorias, que se pueden construir desde los centros homotéticos interno y externo de las dos circunferencias. La reversión de la inversión en "P" y del cambio de tamaño transforma estas rectas resolutorias en las circunferencias soluciones deseadas del problema de Apolonio original. Las ocho soluciones generales se pueden obtener reduciendo o aumentando las circunferencias de acuerdo con las tangencias internas y externas diferentes de cada solución, no obstante, se pueden reducir a un punto las circunferencias diferentes y así obtener soluciones diferentes.


title: Problema de Apolonio

text: En el segundo enfoque, los radios de las circunferencias dadas son modificados en una cantidad Δ"r" de manera que dos de ellas sean tangentes. El punto de tangencia correspondiente se utiliza como centro de inversión en una circunferencia que interseca cada una de las dos circunferencias tangentes en dos puntos. Bajo la inversión, las dos circunferencias tangentes se transforman en dos rectas paralelas: su único punto de intersección se sitúa en el infinito después de la inversión, y por tanto no se pueden encontrar. La misma inversión transforma la tercera circunferencia en otra circunferencia. Las soluciones del problema invertido deben ser (1) rectas paralelas a las dos paralelas dadas y tangentes a la tercera circunferencia transformada, o bien (2) una circunferencia tangente a las dos paralelas (con radio igual a la mitad de distancia entre las paralelas) y tangente a la circunferencia dada transformada. La reversión de la inversión y el reajuste del radio de todas las circunferencias en Δ"r" produce las circunferencias soluciones tangentes a las tres circunferencias originales.


title: Problema de Apolonio

text: El enfoque de Gergonne considera las circunferencias soluciones en parejas. Sean "C" y "C" una pareja de circunferencias soluciones y sean "A", "A", "A", y "B", "B", "B" sus puntos de tangencia con las tres circunferencias dadas, con el orden que corresponde. La solución de Gergonne tiene como objetivo localizar estos seis puntos, y así encontrar las circunferencias soluciones.


title: Problema de Apolonio

text: La idea de Gergonne era que si se pudiera construir una recta "L" de manera que "A" y "B" se pertenecieran, estos dos puntos se podrían identificar como los puntos de intersección de "L" con la circunferencia dada "C". Los otros cuatro puntos de tangencia se podrían situar de manera análoga, construyendo las rectas "L" y "L" que contuvieran "A" y "B", y "A" y "B", respectivamente. Para construir una recta como "L", deben encontrar dos puntos que pertenezcan, pero estos puntos no pueden ser los puntos de tangencia. Gergonne fue capaz de encontrar otros dos puntos por cada una de las tres rectas. Uno de los dos puntos ya es conocido: se trata del centro radical "G" que pertenece a las tres rectas.


title: Problema de Apolonio

text: Para encontrar un segundo punto de las rectas "L", "L" y "L", Gergonne observó una relación recíproca entre estas rectas y el eje radical "R" de las circunferencias solución, "C" y "C". Para entender esta relación recíproca, se pueden considerar las dos rectas tangentes a la circunferencia "C" dibujadas a sus puntos de tangencia "A" y "B" con las circunferencias soluciones, el punto de intersección entre estas dos rectas es el polo de "L" respecto a "C". Como las distancias entre este punto (el polo) y los puntos de tangencia "A" y "B" son iguales, el polo también tiene que estar situado en el eje radical "R" de las circunferencias soluciones, por definición. La relación entre los polos y las respectivas rectas polares es recíproca, si el polo de "L" respecto a "C" pertenece a "I", el polo de "I" respecto a "C" debe pertenecer a "L". Así, si se conoce "R", se puede encontrar su polo "P" respecto a "C", y se obtiene como resultado el segundo punto de "L".


title: Problema de Apolonio

text: Gergonne encontró el eje radical "R" de las circunferencias soluciones desconocidas de la siguiente manera. Cualquier pareja de circunferencias tiene dos centros de semejanza; estos dos puntos son los dos puntos de intersección posibles de las rectas tangentes a las dos circunferencias. Por tanto, las tres circunferencias dadas tienen un total de seis centros de semejanza, dos por cada pareja diferente de circunferencias dadas. Sorprendentemente, estos seis puntos se encuentran en cuatro rectas, tres puntos en cada recta, por otra parte, cada recta corresponde al eje radical de una pareja potencial de circunferencias soluciones. Para demostrar esto, Gergonne consideró rectas que pasaran por los puntos de tangencia de dos de las circunferencias dadas, es decir, la recta determinada por "A","A" y la determinada por "B","B". Sea "X" uno de los dos centros de semejanza de las circunferencias "C" y "C", entonces "A","A" y "B","B" son parejas de puntos antihomólogos; debido a que no existe relación de los lados que en cada una de dos o más figuras geométricas semejantes están colocados en el mismo orden, y las rectas respectivas intersecan a "X". De ello se deduce, por tanto, que los productos de las distancias deben ser iguales:


title: Problema de Apolonio

text: lo cual, implica que "X" esté situado en el eje radical de las dos circunferencias soluciones. El mismo razonamiento se puede aplicar a las otras parejas de circunferencias, de modo que tres centros de semejanza de las tres circunferencias dadas deben encontrarse en el eje radical de parejas de circunferencias soluciones.


title: Problema de Apolonio

text: En resumen, la recta "L" buscada queda determinada por dos puntos: el centro radical "G" de las tres circunferencias dadas y el polo respecto a "C" de una de las cuatro rectas que unen los centros de homotecia. El hecho de encontrar los mismos polos respecto a "C" y "C" permite obtener "L" y "L", respectivamente, así, se pueden situar los seis puntos y encontrar una pareja de circunferencias soluciones. La repetición de este procedimiento con las otras tres rectas que unen los centros de homotecia da seis soluciones más, formando un total de ocho soluciones. Sin embargo, si una recta "L" no interseca la circunferencia correspondiente "C" para algún valor de "k", no existe la pareja de circunferencias soluciones para esta recta de centros de homotecia.


title: Problema de Apolonio

text: El problema de Apolonio consiste en construir una o más circunferencias tangentes a tres objetos dados, que pueden ser circunferencias, puntos o rectas. Esto proporciona hasta diez tipos distintos de problemas de Apolonio, correspondientes a cada combinación de circunferencias, rectas y puntos, a las que se puede designar un código de tres letras, "C", "R" (L en inglés), o bien "P", para denotar si los objetos dados son una circunferencia, una recta o un punto, respectivamente. Por ejemplo, el tipo de problema de Apolonio con una circunferencia, recta y punto dados se indica con el código "CRP". Los puntos y las rectas se pueden considerar casos especiales de las circunferencias, un punto se puede considerar una circunferencia de radio infinitamente pequeño, y una recta se puede concebir como una circunferencia infinitamente grande con el centro también situado en el infinito.


title: Problema de Apolonio

text: Algunos de estos casos especiales son más fáciles de resolver que el caso general de tres circunferencias dadas. Los dos casos más sencillos son los que tratan de dibujar una circunferencia que pase por tres puntos dados ("PPP") o tangente a tres rectas ("RRR"), que Euclides resolvió en la obra "Elementos". Por ejemplo, el caso "PPP" se puede resolver como se explica a continuación. El centro de la circunferencia solución es equidistante a los tres puntos, y por lo tanto, debe situarse sobre la mediatriz del segmento formado por dos de los puntos. En consecuencia, el centro es el punto de intersección de dos de las mediatrices. Del mismo modo, en el caso "RRR", el centro se situará sobre las bisectrices de los ángulos formados en los tres puntos de intersección entre las rectas dadas, por lo que el nuevo centro se sitúa el punto de intersección de dos de estas bisectrices. Como hay dos bisectrices en cada punto de intersección de las tres rectas dadas, existen cuatro soluciones al problema general "RRR".


title: Problema de Apolonio

text: Los otros nueve casos que comportan el uso de rectas y puntos se pueden considerar casos límite del problema general. A menudo estos casos especiales tienen menos soluciones que el problema general, por ejemplo, el reemplazo de una circunferencia dada por un punto deja en la mitad el número de soluciones, ya que un punto se puede concebir como una circunferencia infinitesimal que es a la vez tangente interna y externa.


title: Problema de Apolonio

text: El problema consistente en contar el número de soluciones de diferentes tipos de problemas de Apolonio pertenece al campo de la geometría enumerativa, una rama de la geometría algebraica que busca encontrar el número de soluciones de ciertas cuestiones geométricas por medio de la teoría de intersección; una teoría en la que se calculan intersecciones dentro de un anillo. El número de soluciones general para cada uno de los diez tipos de problema de Apolonio se muestra en la tabla superior. Sin embargo, algunas disposiciones especiales de los objetos dados pueden hacer cambiar el número de soluciones. Por ejemplo, como se muestra en la ilustración de la derecha, el problema de Apolonio no tiene solución si una circunferencia contiene otra; en el otro extremo, si las tres circunferencias dadas son tangentes en el mismo punto cualquier circunferencia tangente al mismo punto es solución, teniendo entonces infinitas soluciones. Si las tres circunferencias dadas son idénticas (están superpuestas), existen también un número infinito de soluciones. Si solo dos de las circunferencias dadas son idénticas, solo hay dos circunferencias diferentes, los centros de las infinitas circunferencias resolutorias forman una hipérbola, lo que se utiliza en la resolución por intersección de hipérbolas.


title: Problema de Apolonio

text: En 1896 Robert Franklin Muirhead realizó una enumeración exhaustiva del número de soluciones para todas las disposiciones posibles de las tres circunferencias, puntos o rectas dadas, aunque la cuestión ya había sido tratada anteriormente por V. Stoll, y Eduard Study. Sin embargo, la lista de Muirhead no estaba completa; y se amplió en 1974 y la enumeración definitiva, con 33 casos diferentes, se publicó en 1983.


title: Problema de Apolonio

text: Aunque normalmente las soluciones del problema de Apolonio van en parejas relacionadas por la inversión, es posible que en algunos casos haya un número impar de soluciones, como la solución única del caso "PPP", o cuando una o tres circunferencias dadas son soluciones por sí mismas (como el teorema de Descartes). Sin embargo, no existe ningún problema de Apolonio con siete soluciones. Otros métodos de resolución alternativos basados en la geometría de circunferencias y esferas han sido desarrollados y utilizados en dimensiones más grandes.


title: Problema de Apolonio

text: Si las tres circunferencias dadas son tangentes entre ellas, el problema de Apolonio tiene cinco soluciones. Tres de las soluciones son las mismas circunferencias dadas, ya que cada una es tangente a sí misma con respecto a las otras dos. Las dos soluciones restantes corresponden a las circunferencias inscrita y circunscrita en la figura, y se llaman circunferencias de Soddy. Este caso especial del problema de Apolonio también se conoce como problema de las cuatro monedas. Las tres circunferencias dadas de este problema de Apolonio forman una cadena de Steiner tangente a las dos circunferencias de Soddy.


title: Problema de Apolonio

text: Cualquier circunferencia de Soddy, junto con las tres circunferencias dadas, produce un conjunto de cuatro circunferencias que son tangentes entre todas ellas en seis puntos. Los radios de estas cuatro circunferencias están relacionados por una ecuación conocida como teorema de Descartes. En una carta del 1643 a la princesa Isabel I de Inglaterra, René Descartes demostró que:


title: Problema de Apolonio

text: donde "k" = 1/"r" y "r" son la curvatura y el radio de la circunferencia solución, respectivamente, y análogamente para las curvaturas "k", "k" y "k" y los radios "r", "r" y "r" de las tres circunferencias dadas. Por cada conjunto de cuatro circunferencias tangentes entre ellas, existe un segundo conjunto de cuatro circunferencias tangentes entre sí en los mismos seis puntos.


title: Problema de Apolonio

text: El teorema de Descartes fue descubierto independientemente en 1826 por Jakob Steiner, en 1842 por Philip Beecroft, y otra vez en 1936 por Frederick Soddy. Soddy publicó el descubrimiento en la revista científica "Nature" en un poema en inglés llamado "The Kiss Precise" (en español, "El beso preciso"). La primera estrofa describe las circunferencias de Soddy, mientras que la segunda formula el teorema de Descartes. En el poema de Soddy, se dice que dos circunferencias "kiss" (se besan) si son tangentes y el término "«bend»" se refiere a la curvatura "k" de la circunferencia.


title: Problema de Apolonio

text: El problema de Apolonio puede generalizarse en construir todas las circunferencias que intersecan tres circunferencias dadas en un ángulo θ preciso, o en tres ángulos especificados θ, θ y θ; el problema de Apolonio ordinario corresponde al caso especial en que el ángulo de cruce es cero para las tres circunferencias dadas. Otra generalización es la dual de la primera extensión, es decir, construir circunferencias con tres distancias tangenciales especificadas de las tres circunferencias dadas, en cuyo caso el problema original es el caso especial en que las distancias son cero.


title: Problema de Apolonio

text: El problema de Apolonio se puede extender del plano a la esfera y otras superficies cuádricas. Para la esfera, el problema consiste en construir todas las circunferencias (los bordes de los casquetes esféricos) que son tangentes a tres circunferencias dadas a la esfera. Este problema esférico puede convertirse en un problema plano correspondiente utilizando una proyección estereográfica. Una vez se han construido las soluciones del problema en el plano, las soluciones correspondientes al problema esférico se pueden determinar invirtiendo la proyección estereográfica. De manera más general, se puede considerar el problema de cuatro curvas tangentes que resultan de la intersección de una superficie cuádrica arbitraria y cuatro planos, un problema que trató por primera vez Charles Dupin.


title: Problema de Apolonio

text: Resolviendo el problema de Apolonio para encontrar la circunferencia inscrita repetidamente, se pueden llenar los intersticios entre las circunferencias mutuamente tangentes tan finamente como se desee, formando así un tamiz de Apolonio, también conocido como empaquetado de Leibniz o empaquetado apoloniano. Este tamiz es un fractal, es autosemejante y tiene una dimensión de Hausdorff, que no se conoce exactamente, pero que se sabe que es alrededor de 1.3, y que es mayor que la de una curva regular o rectificable ("d" = 1), pero más pequeña que la de un plano ("d" = 2). Gottfried Leibniz describió por primera vez el tamiz de Apolonio en el siglo XVII, y es el precursor curvo del triángulo de Sierpinski del siglo XX. El tamiz de Apolonio también posee conexiones profundas con otros campos de las matemáticas, por ejemplo, es el conjunto límite de los grupos kleinianos, un grupo finito tipo Γ generado por la orientación y preservación de ciertos mapas en la 1-esfera formula_15 sobre formula_16. La disposición de una circunferencia tangente a cuatro circunferencias en el plano tiene propiedades especiales, que fueron clarificadas por A. Larmor en 1891 y R. Lachlan en 1893. Esta disposición también es la base del teorema de Casey, que es una generalización del teorema de Ptolomeo.


title: Problema de Apolonio

text: La extensión del problema de Apolonio en tres dimensiones, a saber, el problema de encontrar una esfera que sea tangente a otras cuatro dadas, se puede resolver mediante métodos análogos. Por ejemplo, las circunferencias dadas y las que son solución se pueden cambiar de tamaño de tal manera que una circunferencia dada se reduzca a un punto mientras se mantiene la tangencia. Una inversión en este punto reduce el problema de Apolonio a encontrar un plano tangente a tres esferas dadas. En general existen ocho planos que son tangentes, que se convierten en las soluciones del problema original cuando se deshacen la inversión y los cambios de tamaño. Pierre de Fermat trató este problema, y muchos otros métodos de resolución se han desarrollado a lo largo de los siglos. El problema de Apolonio puede extenderse a "d" dimensiones, y consiste en construir las hiperesferas tangentes a un conjunto dado de hiperesferas. Tras la publicación del redescubrimiento del teorema de Descartes por parte de Frederick Soddy en 1936, otros resolvieron (independientemente) el caso de las circunferencias tangentes correspondientes a las circunferencias de Soddy en "d" dimensiones.


title: Problema de Apolonio

text: La aplicación principal del problema de Apolonio, tal como lo formuló Isaac Newton, es la trilateración hiperbólica, que tiene por objeto determinar una posición a partir de las diferencias entre las distancias de, al menos, tres puntos conocidos. Por ejemplo, cuando se busca determinar la posición de un barco a partir de las diferencias en el tiempo de llegada de señales provenientes de tres transmisores sincronizados. Históricamente, las soluciones al problema de Apolonio se utilizaron durante la Primera Guerra Mundial para determinar la ubicación de una pieza de artillería a partir de la diferencia de tiempo en que se oía el disparo desde tres lugares diferentes, mientras que la trilateración hiperbólica es el principio utilizado por los sistemas de navegación Decca y LORAN. De manera análoga, la ubicación de un avión se puede determinar a partir de la diferencia en el tiempo de llegada de una señal a cuatro estaciones receptoras. Este problema de multilateración es equivalente a la generalización tridimensional del problema de Apolonio y se aplica a sistemas globales de navegación por satélite, como el GPS. También se utiliza para determinar la ubicación de animales que emiten sonidos (como los pájaros o las ballenas), aunque no se corresponde con el problema de Apolonio si la velocidad del sonido varía según la dirección (es decir, cuando el medio de transmisión no es isótropo).


title: Problema de Apolonio

text: El problema de Apolonio tiene otras aplicaciones. En el volumen uno, específicamente en la proposición 21, de la obra "Principia", Newton utilizó la solución del problema para construir una órbita en mecánica celeste a partir del centro de atracción y de la observación de rectas tangentes a la órbita correspondientes a velocidades instantáneas. El caso especial del problema de Apolonio en el que las tres circunferencias son tangentes, se utiliza en el método del círculo de Hardy-Littlewood de teoría analítica de números para construir el contorno de Hans Rademacher para la integración compleja, dados los límites de un conjunto infinito de circunferencias de Ford, cada uno de los cuales toca muchos otros. Finalmente, el problema de Apolonio ha sido aplicado a algunos tipos de problemas de empaquetado, que surgen en campos dispares como los códigos de corrección de errores utilizados en los discos DVD y el diseño de fármacos que se unen a una determinada enzima de una bacteria patógena.


title: Iglesia de San Tirso (Oviedo)

text: La Iglesia de San Tirso el Real es una iglesia y parroquia de la ciudad de Oviedo, Principado de Asturias, España, situada en la Plaza de Alfonso II el Casto y a escasos metros de la catedral.


title: Iglesia de San Tirso (Oviedo)

text: La iglesia es fundación del rey Alfonso II el Casto de Asturias en el siglo IX. Sin embargo ha sufrido diversas modificaciones, ya que fue transformada en su totalidad a finales del siglo XII, en época románica, y en el siglo XIV, cuando se reedificó gran parte del templo. Además la iglesia fue destruida por un incendio en 1521. La última modificación se produjo durante el siglo XX. De la iglesia primitiva únicamente queda el muro testero de la cabecera,siendo visible la parte superior y encontrándose la inferior un metro por debajo del nivel de la calle. La distribución original del templo se desconoce completamente y únicamente cabe imaginar que tuviera la clásica división en tres naves, con una cabecera tripartita típica de las iglesias asturianas de la época.


title: Iglesia de San Tirso (Oviedo)

text: Está catalogada como Bien de Interés Cultural, con la categoría de Monumento, desde el año 1931, figura entonces denominada "Monumento Histórico Artístico".


title: Iglesia de San Tirso (Oviedo)

text: La fundación de la iglesia es atribuida al rey Alfonso II el Casto de Asturias, fue levantada próxima al Palacio Real y a la Cámara Santa y el conjunto catedralicio de la Basílica de San Salvador. Detrás de San Tirso salían las calles que constituían el resto de la ciudad.


title: Iglesia de San Tirso (Oviedo)

text: La iglesia de San Tirso fue enmarcada en el programa constructivo del primitivo complejo palatino y eclesiástico que inició dicho rey al trasladar la capitalidad del reino a la ciudad de Oviedo al comienzo de su reinado en 791. Se construye además de esta iglesia, palacios, la Cámara Santa , la Catedral de San Salvador, la Iglesia de Santa María y una muralla defensiva que rodeaba todo este conjunto. Otras construcciones de la época son San Julián de los Prados, San Pedro de Nora y Santa María de Bendones. Dichas obras fueron dirigidas por el maestro Tioda arquitecto constructor de Alfonso II, con un estilo prerrománico.


title: Iglesia de San Tirso (Oviedo)

text: El muro de la cabecera original contiene un vano triforo por estar formada por tres arcos de medio punto sobre columnas de mármol con collarinos sogeados y bellos capiteles decorados con hojas de acanto (de tradición corintia) y encuadrada en un alfiz.


title: Iglesia de San Tirso (Oviedo)

text: La configuración del muro de la cabecera llegada hasta nosotros conserva el sillarejo original, alternando en las esquinas con sillar. Los aleros de las cubiertas descansan sobre ménsulas que están rematadas en su extremo voladizo, por una forma semicircular ("papo de paloma") y decorada con un característico dibujo estriado.


title: Iglesia de San Tirso (Oviedo)

text: Las crónicas que elogian el edificio son muy parcas en su descripción por lo que dado lo poco que ha llegado de la primitiva basílica su morfología es muy discutida. Del testero superviviente se deduce que era de cabecera única y sin cámara suprabsidal. Se supone que era un edificio de una sola nave central de planta cuadrada o rectangular, con capillas en cada uno de los lados hasta para formar una planta cruciforme de manera semejante a Santa Cristina de Lena.


title: Iglesia de San Tirso (Oviedo)

text: El interior es de planta rectangular, con tres naves(una central y dos laterales), las naves se encuentran divididas por pilares que sujetan arcos de medio punto. En estas naves se encuentran la capilla de Santa Ana al sur, el retablo mayor al frente y al lado norte un corredor lateral al centro, además consta de una cabecera, un pórtico, tres ábsides y contrafuertes en los muros laterales que soportan el peso del techo abovedado. La iglesia cuenta con tres plantas de las cuales dos son subterráneas.


title: Iglesia de San Tirso (Oviedo)

text: A la capilla de Santa Ana del siglo XVI se ingresa a través de un arco de medio punto. El interior está coronado por una bóveda de crucería gótica. La bóveda descansa en ménsulas con ángeles sustentando escudos.


title: Iglesia de San Tirso (Oviedo)

text: Dentro del templo podemos destacar el retablo de la capilla mayor de José Bernardo de la Meana, la imagen de la Asunción en este mismo retablo, la escultura de San Tirso de Antonio Borja, una Piedad, el retablo del Cristo y los trípticos de Francisco Reiter.


title: Iglesia de San Tirso (Oviedo)

text: En esta iglesia se encuentra la tumba de Balesquita Giráldez fundadora de la Capilla de la Balesquida.


Iglesia de San Tirso (Oviedo)


title: Matemática aplicada

text: El vocablo matemática aplicada (o también matemáticas aplicadas) se refiere a aquellos métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o resolución de problemas pertenecientes al área de las ciencias básicas o aplicadas, como el cálculo, el álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales y otros procedimientos ideados desde que se acuñó el concepto.


title: Matemática aplicada

text: Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, ingeniería, medicina, ciencias sociales, informática, economía, finanzas o ecología. Sin embargo, una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas «hacia afuera», es decir su aplicación o transferencia hacia el resto de las áreas. Y en menor grado «hacia dentro» o sea, hacia el desarrollo de la matemática misma. Este último sería el caso de las matemáticas puras o matemáticas elementales.


title: Matemática aplicada

text: Las matemáticas aplicadas se usan con frecuencia en distintas áreas tecnológicas para modelado, simulación y optimización de procesos o fenómenos, como el túnel de viento o el diseño de experimentos. En las últimas décadas, una de las aplicaciones más directas de la matemática tales como: álgebra lineal, geometría plana y del espacio, cálculo y física han sido un fundamento para el desarrollo de simuladores y videojuegos en 3D.


title: Matemática aplicada

text: Históricamente, la matemática aplicada consistía principalmente en análisis aplicado, sobre todo ecuaciones diferenciales; teoría de la aproximación (en sentido amplio, para incluir representacións, métodos asintóticos, métodos variacionales, y análisis numérico); y probabilidad aplicada. Estas áreas de las matemáticas se relacionaron directamente con el desarrollo de la física newtoniana, y de hecho, la distinción entre matemáticos y físicos no fue muy marcada antes de mediados del siglo XIX. Esta historia dejó un legado pedagógico en Estados Unidos: hasta principios del siglo XX, asignaturas como la mecánica clásica solían impartirse en los departamentos de matemáticas aplicadas de las universidades estadounidenses en lugar de en los de física, y la mecánica de fluidos puede seguir impartiéndose en los departamentos de matemáticas aplicadas. Los departamentos de ingeniería y ciencias de la computación han utilizado tradicionalmente las matemáticas aplicadas.


title: Matemática aplicada

text: En la actualidad, el término "matemáticas aplicadas" se utiliza en un sentido más amplio. Incluye las áreas clásicas señaladas anteriormente, así como otras áreas que han adquirido una importancia creciente en las aplicaciones. Incluso campos como la teoría de números que forman parte de las matemáticas puras son ahora importantes en las aplicaciones (como la criptografía), aunque generalmente no se consideran parte del campo de las matemáticas aplicadas "per se".


title: Matemática aplicada

text: No hay consenso sobre cuáles son las distintas ramas de las matemáticas aplicadas. Estas categorizaciones se ven dificultadas por la forma en que las matemáticas y la ciencia cambian con el tiempo, y también por la forma en que las universidades organizan los departamentos, los cursos y las titulaciones.


title: Matemática aplicada

text: Muchos matemáticos distinguen entre las "matemáticas aplicadas", que se ocupan de los métodos matemáticos, y las "aplicaciones de las matemáticas" dentro de la ciencia y la ingeniería. Un biólogo que utilizara un modelo de población y aplicara las matemáticas conocidas no estaría "haciendo" matemáticas aplicadas, sino "utilizándolas"; sin embargo, los biólogos matemáticos han planteado problemas que han estimulado el crecimiento de las matemáticas puras. Matemáticos como Poincaré y Arnold niegan la existencia de las "matemáticas aplicadas" y afirman que sólo hay "aplicaciones de las matemáticas". Del mismo modo, los no matemáticos mezclan las matemáticas aplicadas y las aplicaciones de las matemáticas. El uso y desarrollo de las matemáticas para resolver problemas industriales también se denomina "matemáticas industriales".


title: Matemática aplicada

text: El éxito de los modernos métodos matemáticos numéricos y del software ha llevado a la aparición de la matemática computacional, la ciencia computacional y la ingeniería computacional, que utilizan computación de alto rendimiento para la simulación de fenómenos y la solución de problemas en las ciencias y la ingeniería. A menudo se consideran interdisciplinarias.


title: Matemática aplicada

text: A veces, el término matemáticas aplicables' se utiliza para distinguir entre las matemáticas aplicadas tradicionales que se desarrollaron junto con la física y las muchas áreas de las matemáticas que son aplicables a los problemas del mundo real hoy en día, aunque no hay consenso en cuanto a una definición precisa. A veces el término "matemáticas aplicables" se utiliza para distinguir entre las matemáticas aplicadas tradicionales que se desarrollaron junto con la física y las muchas áreas de las matemáticas que son aplicables a los problemas del mundo real hoy en día.


title: Matemática aplicada

text: Los matemáticos suelen distinguir entre las "matemáticas aplicadas", por un lado, y las "aplicaciones de las matemáticas" o "matemáticas aplicables", tanto dentro como fuera de la ciencia y la ingeniería, por otro. Algunos matemáticos enfatizan el término de matemáticas aplicables para separar o delimitar las áreas aplicadas tradicionales de las nuevas aplicaciones que surgen de campos que antes se consideraban matemáticas puras. Por ejemplo, desde este punto de vista, un ecólogo o geógrafo que utilice modelos de población y aplique matemáticas conocidas no estaría haciendo matemáticas aplicadas, sino aplicables. Incluso campos como la teoría de los números que forman parte de las matemáticas puras son ahora importantes en las aplicaciones (como la criptografía), aunque generalmente no se consideran parte del campo de las matemáticas aplicadas "per se". Tales descripciones pueden llevar a considerar las "matemáticas aplicables" como una colección de métodos matemáticos como el análisis real, el álgebra lineal, la modelización matemática, la optimización, la combinatoria, la probabilidad y la estadística, que son útiles en áreas ajenas a las matemáticas tradicionales y no específicas de la física matemática.


title: Matemática aplicada

text: Otros autores prefieren describir las "matemáticas aplicables" como una unión de "nuevas" aplicaciones matemáticas con los campos tradicionales de las matemáticas aplicadas. Con esta perspectiva, los términos matemática aplicada y matemática aplicable son, pues, intercambiables.


title: Matemática aplicada

text: Históricamente, las matemáticas han sido muy importantes en las ciencias naturales y la ingeniería. Sin embargo, desde la Segunda Guerra Mundial, campos ajenos a las ciencias físicas han propiciado la creación de nuevas áreas de las matemáticas, como la teoría de los juegos y la teoría de la elección social, que surgieron de consideraciones económicas. Además, la utilización y el desarrollo de los métodos matemáticos se extendió a otras áreas, dando lugar a la creación de nuevos campos como las finanzas matemáticas y la ciencia de los datos.


title: Matemática aplicada

text: La llegada del ordenador ha permitido nuevas aplicaciones: estudiar y utilizar la nueva tecnología informática en sí misma (ciencia de la computación) para abordar problemas que surgen en otras áreas de la ciencia (la ciencia computacional), así como las matemáticas de la computación (por ejemplo, la ciencia de la computación teórica, el álgebra computacional, o el análisis numérico). La estadística es probablemente la ciencia matemática más extendida que se utiliza en las ciencias sociales, pero otras áreas de las matemáticas, sobre todo la economía, están resultando cada vez más útiles en estas disciplinas.


title: Matemática aplicada

text: Los matemáticos siempre han tenido opiniones divergentes sobre la distinción entre matemáticas puras y aplicadas. Uno de los ejemplos modernos más famosos (aunque quizás malinterpretado) de este debate se encuentra en la obra de G.H. Hardy "Apología del Matemático".


title: Matemática aplicada

text: La opinión generalizada es que Hardy consideraba que las matemáticas aplicadas eran feas y aburridas. Aunque es cierto que Hardy prefería las matemáticas básicas, que a menudo comparaba con la pintura y la poesía, consideraba que la distinción entre las matemáticas básicas y las aplicadas consistía simplemente en que las matemáticas aplicadas trataban de expresar la verdad "física" en un marco matemático, mientras que las matemáticas básicas expresaban verdades que eran independientes del mundo físico. Hardy hizo una distinción entre lo que llamó matemáticas "reales", "que tienen un valor estético permanente", y "las partes aburridas y elementales de las matemáticas" que tienen un uso práctico.