title: Oscilación

text: El análisis de las oscilaciones requiere el uso de unas magnitudes físicas propias entre las que destacan la frecuencia, el periodo o la diferencia de fase. Otras magnitudes físicas como la energía o la potencia presentan su propia expresión al ser aplicadas a las oscilaciones. El tratamiento matemático empleado también es propio de las oscilaciones. Existen varias alternativas que contribuyen a abordar el tratamiento desde diferentes puntos de vista y facilitar en cada caso la interpretación física del fenómeno. El tratamiento algebraico ordinario, el empleo de magnitudes complejas o el uso de vectores rotatorios o bien se emplearán, o bien se indicará en el artículo cómo hacerlo.


title: Oscilación

text: Aunque el tratamiento matemático de los sistemas oscilatorios es el mismo, dependiendo del propio sistema oscilatorio pueden manejarse unas magnitudes físicas u otras. Así como en el sistema mecánico aparecen fuerzas, desplazamientos, velocidades o aceleraciones, en el eléctrico son cargas, corrientes, potenciales, resistencias, capacidades o autoinducciones las variables a considerar. Con todo, en la expresión matemática de las oscilaciones siempre aparecerán la frecuencia o bien el periodo, y la dependencia temporal. Naturalmente son oscilaciones que evolucionan con la variable tiempo. Pero también podemos tener oscilaciones en una variable espacial, por ejemplo, en la coordenada x (eje horizontal) siendo la coordenada y el eje vertical, como se aprecia en el siguiente ejemplo. Si se dispone de una cuerda fija por un extremo, se tensa con la mano manteniéndola horizontal y se generan oscilaciones verticales (a lo largo del eje y), sucede lo siguiente. Cada elemento de la misma genera oscilaciones hacia arriba y hacia abajo, son desplazamientos temporales y(t). En cambio, si en un instante dado, se realiza una fotografía de la misma, se observa en ella una serie de oscilaciones que ya no son función del tiempo t sino que lo son de la posición x, en la forma y(x). No obstante, como ya se ha comentado, en el artículo se tratarán las oscilaciones en el tiempo que dan lugar a numerosos fenómenos en la ciencia y tecnología. Un fenómeno importante que surge al estudiar las oscilaciones es el de la resonancia. Dado el interés que presenta en la práctica, se ha procedido a considerar dentro del artículo. Su gran alcance, sin embargo, no permite dedicarle toda la atención requerida en un artículo general de oscilaciones.


title: Oscilación

text: Relacionado con las oscilaciones, un fenómeno físico, de gran interés, son las ondas. Si se toma, por ejemplo, un boya que está oscilando en la superficie del agua, ésta genera oscilaciones hacia arriba y hacia abajo en la posición donde está localizada y estás oscilaciones se propagan en forma de ondas circulares, con centro en la boya, sobre la superficie del agua. Es decir que las ondas se caracterizan por estar generadas a partir de movimientos oscilatorios. En el artículo se hará alusión a las ondas no solo porque un generador de ondas, como la boya, o un receptor de las mismas como una radio convencional, realicen oscilaciones al captar las mismas, sino porque las ondas, al representar perturbaciones periódicas en el espacio y el tiempo, si se fija una de las dos variables (espacio o tiempo), la función resultante, representa una oscilación en la variable restante. Por ello las oscilaciones van a servir también como ladrillo para construir las ondas. De ahí otro aspecto o faceta de la importancia de las oscilaciones. Pero también otros fenómenos físicos como son el de interferencia, el de polarización o el de pulsaciones de las ondas, se pueden tratar matemáticamente y analizar físicamente por medio de oscilaciones en una posición determinada del espacio donde se superponen las ondas en cuestión. En el artículo se incluyen tres ejemplos de superposición de oscilaciones que aclaran estos conceptos. En todos los temas son importantes las figuras, gráficos y animaciones, pero en este de Oscilaciones, son de especial interés para la comprensión de los diferentes aspectos del fenómeno ondulatorio y su tratamiento matemático.


title: Oscilación

text: Las oscilaciones libres más sencillas, o movimientos armónicos simples (M.A.S.), son el resultado de perturbar un sistema inicialmente en un equilibrio estable, de manera que empieza a "oscilar" en torno a ese punto de equilibrio, siempre con una frecuencia, una amplitud y una energía constantes. Esto es, por ejemplo, lo que ocurre con el movimiento de un niño al columpiarse o con el movimiento de un péndulo simple (en el supuesto de que no hay rozamiento).


title: Oscilación

text: Se va a analizar el movimiento oscilatorio con ayuda de la segunda Ley de Newton, responsable de la dinámica del movimiento al actuar una fuerza, con un modelo sencillo, como es el de un muelle con una masa sujeta en un extremo del mismo, estando fijo el otro extremo. Cuando se estira la masa sujeta al muelle, separándola de su posición de equilibrio, el muelle ejercerá una fuerza elástica sobre la masa, que actuará de fuerza recuperadora, para oponerse al estiramiento. Así, al desplazar la masa separándola de su posición de equilibrio, si no hay disipación, ésta realizará un movimiento armónico simple en torno a la posición de equilibrio.


title: Oscilación

text: La fuerza aplicada por el muelle a la masa es proporcional al desplazamiento formula_3 del muelle respecto de su posición de equilibrio formula_4. La constante de proporcionalidad, , es la llamada rigidez del muelle y posee unidades de fuerza/distancia (p. ej.formula_5). El signo negativo indica que la fuerza siempre se opone al desplazamiento de la masa que tiene sujeta, o dicho de otra forma, se trata de una fuerza recuperadora.


Oscilación


title: Oscilación

text: Con esta fuerza elástica que actúa sobre la masa se aplica la segunda ley de Newton:


title: Oscilación

text: Debido a que se supone despreciable la fuerza de rozamiento, en este caso la resultante de las fuerzas que actúan sobre la masa, es sólo la debida al muelle, de modo que formula_8, lo que conduce a la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden formula_9.


title: Oscilación

text: La solución de la ecuación diferencial anterior es:


title: Oscilación

text: Esta solución indica que la masa formula_1 oscilará con un movimiento armónico simple de amplitud formula_12 y frecuencia formula_13, llamada frecuencia natural sin amortiguamiento.


title: Oscilación

text: Para el caso sencillo de una masa oscilando en un muelle, viene dada por:


title: Oscilación

text: La frecuencia angular formula_15 formula_16, que viene expresada en radianes por segundo, se emplea frecuentemente en las ecuaciones para simplificar la notación, pero se suele convertir a la frecuencia ordinaria (en Hz, ciclos por segundo o revoluciones por minuto) cuando se describe el funcionamiento de un sistema. De este modo, si se conocen la masa formula_1 y la constante formula_18 del sistema, se puede conocer cómo se va a comportar una vez que se provoca la perturbación inicial. Así se explica, por ejemplo, que un coche cargado y, por tanto, con más masa que un coche vacío, note una amortiguación más suave, y la frecuencia de oscilación del coche sea menor.


title: Oscilación

text: Dado que la velocidad angular se puede expresar como formula_19, la solución de la ecuación diferencial se puede expresar como:


title: Oscilación

text: El argumento del coseno (formula_21) se denomina fase. Está formada por una componente que varía con el tiempo (formula_22), y otra constante (formula_23). A esta última se le llama fase inicial, y es la que determina cómo se encuentra la oscilación en formula_24. Utilizando la forma coseno, la fase inicial será 0 si el cuerpo que oscila comienza su movimiento en la condición de mayor estiramiento formula_25.


title: Oscilación

text: En un movimiento oscilatorio libre, si se dispone de dos masas sujetas a muelles idénticos, y se estira la primera una distancia de 5 cm y la segunda 10 cm, podríamos preguntar qué masa es la que primero llega al punto de equilibrio. Parecería lógico pensar que al estar más cerca la primera masa, esta va a llegar antes que la segunda. Sin embargo, si se observan las ecuaciones, se deduce que la frecuencia de la oscilación no depende de la amplitud, sino únicamente de la constante del muelle y de la masa. Luego, no importa la amplitud que se le proporcione al oscilador, puesto que ambas masas llegarán al punto de equilibrio al mismo tiempo. Esto define una propiedad muy importante de la oscilación libre:


title: Oscilación

text: En el movimiento armónico simple, la frecuencia —y por lo tanto el periodo y la velocidad angular— son independientes de la amplitud.


title: Oscilación

text: La oscilación de un muelle sin rozamiento puede interpretarse también desde el punto de vista de la energía. La fuerza elástica del muelle es conservativa, y por lo tanto puede expresarse como menos el gradiente de la energía potencial (formula_26) —lo que en una dimensión se simplifica a formula_27—. De aquí se deduce que para una fuerza elástica cuya expresión es formula_28, la energía potencial elástica adquiere el valor de formula_29. Al ser conservativa la única fuerza que actúa, se conservará la energía mecánica. Esto implica que en cualquier momento de la oscilación se cumple formula_30, donde 'v' es el módulo de la velocidad en ese punto. Es interesante analizar los extremos de la oscilación, cuando formula_31, y el punto de equilibrio, formula_4. En los dos extremos la energía cinética es cero porque son los puntos de retorno, donde la energía mecánica es toda potencial formula_33. El otro punto de interés, cuando formula_34, proporciona la ecuación formula_35, donde formula_36 es la velocidad máxima que alcanzará la partícula que oscila. De este modelo se desprende que la partícula oscilará sin fin entre los puntos formula_37 y formula_38, de acuerdo con el resultado obtenido de la ecuación diferencial.


title: Oscilación

text: La solución de la ecuación del movimiento de una oscilación libre se ha visto que es de la forma formula_39, donde formula_40, es decir, solo depende de la constante del muelle y de la masa colocada. A la vista de esto, se observa que los únicos parámetros por determinar con un muelle concreto y una masa concreta son formula_12 y formula_23. ¿Cómo quedan determinadas esas variables entonces?


title: Oscilación

text: Puesto que existen dos parámetros formula_12 y formula_23 a determinar, será preciso el conocimiento de dos condiciones temporales, una para la posición y otra para la velocidad del sistema para obtener una única solución para la oscilación. En general estas dos condiciones se dan a formula_45 y por eso se llaman condiciones iniciales. Este tema se considerará con más extensión más adelante.


title: Oscilación

text: Los muelles y péndulos que oscilan libremente se detienen al cabo de un tiempo debido a la pérdida de energía mecánica disipada por las fuerzas de rozamiento. A este tipo de movimiento se le denomina amortiguado. Dependiendo del grado de amortiguamiento del sistema oscilatorio se pueden distinguir tres tipos de movimientos amortiguados: Subamortiguado donde la fricción es pequeña y el sistema oscila con amplitudes decrecientes con el tiempo hasta alcanzar la posición de equilibrio. Sobreamortiguado donde la fricción es grande y el sistema tiende a la posición de equilibrio sin oscilar. Existe una situación frontera entre los dos casos anteriores que se conoce como amortiguamiento crítico donde el sistema no llega a realizar una oscilación completa, tendiendo hacia la posición de equilibrio más rápidamente que en el caso sobreamortiguado.


title: Oscilación

text: La fuerza de fricción en este movimiento responde a la expresión:


title: Oscilación

text: donde formula_47 es el llamado coeficiente de amortiguamiento, cuyas unidades son (formula_48). Esta fuerza se opone al movimiento, por lo que el trabajo que realiza es negativo y hace disminuir la energía mecánica del sistema.


title: Oscilación

text: La ecuación del movimiento amortiguado (o ecuación diferencial del movimiento) para un sistema en el que una masa formula_1 esta ligada a un muelle de constante k se deduce de la segunda ley de Newton cuando se considera que la masa sujeta al muelle está en un medio resistente, puede ser la misma resistencia del aire y, en consecuencia, tiene aplicada, además, la fuerza de rozamiento proporcional a su velocidad.


title: Oscilación

text: Dicha ecuación diferencial, ordenada, queda de la forma: formula_50


title: Oscilación

text: Dividiendo por formula_1 queda en la forma: formula_52


title: Oscilación

text: o también formula_53


title: Oscilación

text: donde formula_54 recibe el nombre de índice de amortiguamiento formula_55


title: Oscilación

text: y formula_56 es la frecuencia angular del movimiento oscilatorio sin rozamiento.


title: Oscilación

text: Esta ecuación diferencial de segundo orden que expresa la dinámica del movimiento del oscilador formula_57, tiene tres posibles formas de solución según sea el movimiento, subamortiguado,amortiguado crítico o sobreamortiguado.


title: Oscilación

text: Según la relación entre los valores de la pulsación y del índice de amortiguamiento aparecen los diferentes tipos de solución en el tiempo, dependiendo de si el amortiguamiento es menor, igual o mayor que la pulsación libre formula_58.


title: Oscilación

text: La solución de la ecuación para el caso subamortiguado es:


Oscilación


title: Oscilación

text: donde formula_60 es la amplitud máxima. Se trata de una función armónica en el tiempo cuya amplitud decrece exponencialmente. El valor de la amplitud máxima formula_60, y formula_23, el desfase inicial, vienen determinados por el alargamiento del muelle y su velocidad en el instante inicial. Es importante tener en cuenta la forma de la solución que como se ha comentado, contiene un término exponencial multiplicando a una función armónica. El término exponencial indica la rapidez con que actúa el amortiguamiento -- a mayor índice de amortiguamiento formula_54, más rápido decrecerá el oscilador amortiguado. La función armónica (en este caso el seno) representa la parte oscilatoria de la solución. Sin embargo, la frecuencia de la oscilación es diferente (inferior) a la del oscilador sin amortiguamiento.  Como ejemplo, las estructuras metálicas(fuselajes de avión, cigüeñales de motores, etc.) poseen un índice de amortiguamiento inferior a 0.05, mientras que las suspensiones de los automóviles se encuentran entre 0.2-0.3.


title: Oscilación

text: La frecuencia angular formula_64 recibe el nombre de "frecuencia natural amortiguada" y está relacionada con la frecuencia natural formula_15 no amortiguada mediante la siguiente  fórmula:


title: Oscilación

text: formula_66 [1]


title: Oscilación

text: Para un amortiguamiento débil, donde formula_67 y formula_64 vale aproximadamente lo mismo que formula_56. Por otro lado, la amplitud en un sistema subamortiguado viene dada por la expresión:


title: Oscilación

text: La solución de la ecuación diferencial para un oscilador amortiguado crítico es:


title: Oscilación

text: Como se puede ver en el gráfico, el oscilador puede realizar media oscilación como máximo antes de reducir su amplitud a cero. La amplitud de un oscilador amortiguado crítico decrece de manera exponencial, es decir, la amplitud tenderá rápidamente a cero.


title: Oscilación

text: La solución de la ecuación diferencial para un oscilador sobreamortiguado será:


title: Oscilación

text: donde formula_73


title: Oscilación

text: y formula_60 y formula_75son dos coeficientes constantes


title: Oscilación

text: La elongación, al igual que en el amortiguado crítico, decrece de manera exponencial; sin embargo, en el caso sobreamortiguado lo hace más lentamente.


title: Oscilación

text: Si se sustituye el coeficiente que hace el papel de amplitud del oscilador amortiguado en la ecuación que determina la energía potencial se obtiene:


title: Oscilación

text: formula_76 [3]


title: Oscilación

text: donde formula_77 representa la energía disponible inicialmente por el oscilador, y formula_78 se conoce como tiempo de relajación del oscilador.


title: Oscilación

text: Los osciladores amortiguados pueden quedar descritos por un factor de calidad formula_79


title: Oscilación

text: Este factor es adimensional y se puede relacionar con la pérdida de energía por ciclo de oscilación, diferenciando [3]:


title: Oscilación

text: Si el amortiguamiento es pequeño, se puede sustituir formula_82 por formula_83 y tomar para formula_84 el valor del período formula_85, para así expresar la pérdida de energía por ciclo como:


Oscilación


title: Oscilación

text: Se puede afirmar así que un oscilador es tanto mejor cuanto mayor sea su factor de calidad.


title: Oscilación

text: Para mantener en funcionamiento un sistema amortiguado se le debe ir suministrando energía, para compensar la que va perdiendo por la fricción, es lo que se conoce como un oscilador forzado. Por ejemplo, cuando se hace oscilar un columpio. Si la energía aportada coincide con la disipada, la amplitud de las oscilaciones se mantiene constante. Entonces se dice que el oscilador se encuentra en estado estacionario.


title: Oscilación

text: La amplitud, y por tanto la energía de un sistema en estado estacionario, no solo depende de la amplitud y la frecuencia con que actúa el sino también de la frecuencia natural del sistema impulsado. La frecuencia natural formula_15 se define como la frecuencia del sistema oscilador, en ausencia del sistema impulsor y del amortiguamiento.


title: Oscilación

text: Para el estudio matemático del oscilador forzado se suele partir de un sistema oscilatorio con una fricción débil, de forma que si oscilara libremente lo haría con un movimiento periódico amortiguado. A este sistema se le añade una fuerza exterior:


title: Oscilación

text: siendo formula_89 el módulo de la fuerza impulsora.


title: Oscilación

text: y formula_90 la frecuencia angular de la fuerza impulsora.


title: Oscilación

text: Aplicando la segunda ley de Newton al sistema así constituido se obtiene:


title: Oscilación

text: Sabiendo que formula_92, se sustituye k por formula_93 y ordenando los términos se obtiene:


title: Oscilación

text: La solución completa de la ecuación anterior consta de un término transitorio correspondiente al movimiento libre del sistema y un término permanente generado por la fuerza exterior. La parte transitoria depende de las condiciones iniciales y disminuye con el tiempo. Así transcurrido un cierto tiempo, sólo queda la solución permanente que depende de las características del sistema y de la fuerza exterior y puede expresarse de la siguiente forma:


title: Oscilación

text: Por otro lado, la parte transitoria sería:


title: Oscilación

text: con formula_97


title: Oscilación

text: y formula_98


title: Oscilación

text: De tal manera que la solución completa es:


title: Oscilación

text: La amplitud A del término permanente viene dada por:


title: Oscilación

text: Y la fase formula_101 se deduce de:


title: Oscilación

text: Se puede observar que tanto el sistema forzado como la fuerza impulsora oscilan con la misma pulsación formula_90 pero con un desfase entre ambas de formula_101 radianes. Si se representa la amplitud A en función de la pulsación formula_90 de la fuerza exterior se observa la aparición de un pico pronunciado con un máximo cuando formula_106, situación que recibe el nombre de resonancia. Llevando esta condición a las expresiones analíticas de formula_12 y de formula_108 se obtiene para la situación de resonancia:


title: Oscilación

text: formula_109 y formula_110


title: Oscilación

text: El fenómeno de la resonancia es importante y su tratamiento merece una consideración especial . Analíticamente se comprueba que cuando la frecuencia angular de la fuerza impulsora formula_111 sea igual a la frecuencia natural del oscilador formula_112, la energía absorbida por el último en cada ciclo será máxima . El fenómeno de la resonancia afecta no solo a la amplitud de la oscilación en régimen permanente sino también a otras magnitudes implicadas en el fenómeno físico como son la velocidad que adquiere la masa m o la potencia puesta en juego para el desarrollo del movimiento. La representación gráfica de la amplitud del desplazamiento A, la amplitud de la velocidad o la potencia en función de la pulsación de la fuerza aplicada formula_111, dan origen a tres familias de curvas de resonancia, si bien se pueden considerar el caso de más magnitudes físicas representativas del comportamiento del sistema. En cada una de las familias de curvas que se consideran para cada magnitud en estudio se seleccionan varias de las curvas a las que se asocian los valores del índice de amortiguamiento formula_114. Por ejemplo, si se dibuja el diagrama representando la potencia media formula_115 transmitida a un oscilador en función de la frecuencia de la fuerza impulsora formula_111, se visualizaría una curva de resonancia con su forma de campana característica. Cuando el amortiguamiento es pequeño, la altura del pico es elevada y su anchura estrecha, en cambio, cuando el amortiguamiento es grande, la altura del pico es baja y su anchura más amplia. Para el caso de amortiguamientos razonablemente pequeños, se puede retomar la noción del factor de calidad o formula_117 introducida al hablar de la energía en los movimientos oscilatorios. Esta misma magnitud cuando se aplica a la curva de resonancia de la potencia absorbida por el oscilador, se puede expresar:


title: Oscilación

text: formula_118 donde aquí formula_119 representa la anchura del pico tomada a mitad de su altura.


title: Oscilación

text: De esta manera un valor alto de formula_117 también refleja la agudeza y estrechez de los picos de la resonancia.


title: Oscilación

text: Los movimientos oscilatorios básicos como puede ser el M.A.S., se pueden superponer para generar oscilaciones más elaboradas que respondan a nuevos fenómenos oscilatorios más complejos algunos de los cuales presentan un gran interés en ciencia y tecnología. El estudio y análisis de la composición de oscilaciones y sus aplicaciones, es un tema amplio. En la práctica se puede tratar la superposición de oscilaciones con diferentes pulsaciones, desfases o amplitudes, bien en la misma dirección, bien en diferentes direcciones dentro del plano o más complejo todavía, situar dicha superposición en el espacio de tres dimensiones.  El campo de la superposición de oscilaciones es muy amplio. En la práctica se pueden superponer varios M.A.S., de diferentes pulsaciones y con diferentes orientaciones entre sí. Sin embargo, aquí solo se van a exponer los que presentan más interés en la práctica, que, por ende, son los que resultan más sencillos de tratar matemática y físicamente: superposición de dos M.A.S. en la misma dirección con la misma pulsación o con pulsaciones diferentes pero próximas y en direcciones perpendiculares(de la misma pulsación o de pulsaciones múltiplo la una de la otra).


title: Oscilación

text: Las superposiciones más básicas son las de dos osciladores que realizan cada uno un M.A.S. El resultado, en general, ya no es un M.A.S. pero la oscilación resultante puede ser de gran interés tanto práctico como de fundamento para comprender el fenómeno ondulatorio. Entre ellas, las de más interés que se detallarán más adelante, son básicamente de tres tipos:


title: Oscilación

text: Si se libera la imposición, para ambas oscilaciones de partida, de que tengan la misma pulsación ω, el movimiento resultante, más complejo todavía, podría realizarse de manera “caótica” rellenando un espacio acotado por las amplitudes de las oscilaciones que se superponen. Pero si la relación entre pulsaciones es un número entero (una es un múltiplo de la otra) entonces dará lugar a unas curvas especiales denominadas figuras de Lissajouss. Estas dos propiedades importantes, la polarización de ondas (al observarla en una posición dada, la onda es ya una oscilación) y las figuras de Lissajouss, surgen del mismo tratamiento matemático de la superposición de oscilaciones. Tanto para analizar la superposición de oscilaciones como para las oscilaciones en general, se pueden emplear diversos procedimientos matemáticos que pueden contribuir a facilitar el estudio y comprender mejor el significado físico de los mismos. El más inmediato consiste en manejar las expresiones algébricas, para las diferentes composiciones, como se ha venido realizando hasta ahora. Otros procedimientos consisten en analizar las oscilaciones en el plano complejo, empleando exponenciales imaginarias, o bien operar con fasores en dicho plano complejo CITA. Los fasores, son números complejos z=a+ib tal que i es la unidad imaginaria, que están representados en el plano complejo por un módulo y un argumento a modo de un vector que gira con velocidad angular ω. De esta manera podremos, por ejemplo, sumar dos fasores a modo de vectores. Sin embargo, a diferencia de los vectores en el plano, los fasores si tienen definida la operación ‘inverso de un fasor z’, ya que el plano complejo, a su vez, tiene la estructura matemática de cuerpo. Ventaja que se aprovecha para operar con la ley de Ohm en el plano complejo en análisis de circuitos eléctricos, operando así de forma simultánea, en las operaciones de multiplicación y división, con todo el fasor ( módulo y el ángulo de fase del fasor o argumento). Por el contrario, no está definida la operación del inverso de un vector por lo que la equivalencia de un fasor con un vector en el plano, tiene lugar solamente en las operaciones de suma y resta.


title: Oscilación

text: Una forma gráfica de introducir estos procedimientos y conceptos, como hemos comentado anteriormente, consiste en comprobar que la proyección de un movimiento circular uniforme de velocidad angular ω sobre un diámetro cualquiera de la trayectoria circular, es un M.A.S. de pulsación ω. Dicha proyección se suele realizar a lo largo de uno de los ejes coordenados en el plano. La facilidad para comprender las oscilaciones y su composición, viene de la mano del conocimiento del movimiento circular uniforme y conduce al empleo de estas técnicas.


title: Oscilación

text: Si bien esta composición de oscilaciones implica la realización de una serie de operaciones matemáticas, conviene no perder de vista las aplicaciones físicas básicas que traen consigo. Como ejemplo de esta composición, se puede imaginar el movimiento de la aguja de un trazador gráfico o Plóter. Por un lado éste debe dibujar un M.A.S. a lo largo del eje horizontal y por otro lado, debe dibujar un M.A.S. en la dirección del eje vertical, ambos con la misma pulsación ω y este segundo con un desfase relativo δ respecto del primero, de manera que el origen de coordenadas para ambos movimientos sea el (x,y)= (0,0). Se plantean dos preguntas: ¿qué movimiento resultante realizará? Y ¿qué dibujo resultará? El resultado depende del desfase relativo δ entre ambos movimientos. Si, por ejemplo, se supone δ=0, esto significa que para t=0 el dibujo comienza en el origen de coordenadas. Si, por ejemplo, δ=π/2, significa que el movimiento en "x", para comenzar el dibujo, parte de x=0, sin embargo, el movimiento vertical, para comenzar el dibujo, parte del valor máximo y=B; por tanto, el movimiento parte del punto (0, B). Se van a superponer las dos oscilaciones x(t) e y(t), formula_121, formula_122 y a comprobar matemáticamente cuál es el resultado de la composición. Para ello, se van a desarrollar las expresiones armónicas en seno y coseno con la finalidad de eliminar el tiempo para obtener y (x). Sustituyendo la variable ‘y’ como función de la ‘x’ eliminando el tiempo entre las dos expresiones, se puede obtener la trayectoria descrita por la aguja en el plano (x,y). En efecto,


title: Oscilación

text: formula_123, es decir,


title: Oscilación

text: formula_124 .


title: Oscilación

text: Si ahora se opera con la variable ‘y’ como función de la variable ‘x’, dejando en un miembro solamente el término de la raíz cuadrada y elevando toda la expresión que resulta al cuadrado, obtenemos el siguiente resultado:


title: Oscilación

text: formula_125 .


title: Oscilación

text: Esta expresión obtenida es una función cuadrática en ‘x’ e ‘y’ que se puede explorar dando valores al desfase relativo δ. Se observa fácilmente que si δ=0, π, el resultado es la ecuación. Con el signo + (δ=0) es la ecuación de una recta que representa la diagonal de pendiente positiva del rectángulo de lados A,B centrado en el origen de coordenadas y con el signo - (δ= π) representa la ecuación de una recta que es la diagonal de pendiente negativa del citado rectángulo. El movimiento resultante, es periódico y se realiza sobre el citado segmento de recta. Por ello, cuando se aplica al fenómeno ondulatorio y las ondas que se superponen en un punto del espacio son transversales, dará lugar en dicho punto a la polarización rectilínea de la onda. Al poder oscilar transversalmente a la dirección del movimiento, por ejemplo eje "x", la oscilación resultante se puede realizar en el plano perpendicular, plano yz. Sin embargo, este resultado implica que su oscilación en el tiempo queda confinado a una recta (en el caso analizado siguiendo las dos rectas de pendiente positiva y negativa respectivamente). Se puede estudiar también los otros dos casos de interés, cuando δ= π/2, 3π/2. Si se sustituyen estos valores de δ en la función cuadrática en ‘x’ e ‘y’ obtenida, resulta la siguiente ecuación : .


title: Oscilación

text: Es la ecuación canónica de una elipse de ejes principales, los ejes coordenados. Si A=B, el resultado es la ecuación de una circunferencia de radio A. La oscilación resultante evolucionará en el tiempo dando los valores de la elipse o de la circunferencia, en su caso, para cada ‘y’ en función de ‘x’, dependiendo de los valores de las amplitudes A y B. Al tratar con la superposición de las ondas en una posición fija y con las citadas condiciones, el resultado será el de una onda resultante polarizada elíptica, o circularmente, respectivamente. A través del ejemplo de la trazadora gráfica y operando con la superposición de dos M.A.S. con la misma pulsación ω y en direcciones perpendiculares se puede apreciar en el plano un resultado que corresponde al del fenómeno de polarización de la onda resultante, en el punto dado del espacio, cuando interfieren dos ondas transversales, por ejemplo las ondas electromagnéticas. Esta composición también se puede apreciar gráficamente al evolucionar el punto que describe el movimiento resultante en la tercera dirección del espacio, el eje z, en función del tiempo con velocidad v constante. En caso de una circunferencia (segundo caso), el resultado será un movimiento helicoidal uniforme con un paso de la hélice p = v.T= v (2π/ω).


title: Oscilación

text: Es un caso sencillo pero importante. Se consideran dos M.A.S. de la misma frecuencia angular ω pero con diferentes amplitudes y fases, ambos orientados en la dirección x


title: Oscilación

text: formula_126 y formula_127


title: Oscilación

text: Si se emplea la notación de los vectores rotatorios, en la figura se observa que el primer M.A.S. viene representado por el vector giratorio azul y el segundo M.A.S por el vector giratorio rojo. El ángulo formado por el vector azul con el origen de ángulos es formula_128 y el formado por el vector rojo es formula_129. Los dos vectores giran con la misma ω luego su posición relativa se mantiene constante, con un ángulo de fase constante formula_130. El M.A.S. resultante se obtendrá mediante la superposición


Oscilación


title: Oscilación

text: La superposición de los dos M.A.S. se puede realizar geométricamente sumando vectorialmente los dos vectores componentes tal como se puede observar en la construcción vectorial de la figura. El resultado de la suma es el vector de color violeta que también girará con la misma velocidad angular ω. El argumento del vector giratorio violeta, será de la forma formula_132 y el diagrama vectorial permitirá determinar formula_133.


title: Oscilación

text: y la amplitud formula_135


title: Oscilación

text: Más interesante que expresar las fases de forma absolutaformula_137 y formula_138 resulta elegir las expresiones de los M.A.S. en función de la diferencia de fase entre ambos formula_139. Las fórmulas anteriores quedan así:


title: Oscilación

text: Tres casos importantes se pueden deducir:


title: Oscilación

text: 1º.- Dos M.A.S. en fase (formula_143) caso que proporciona formula_144 y formula_145. Los fasores asociados a A1 y A2 estarían en la misma dirección y el mismo sentido, sumándose directamente.


title: Oscilación

text: 2º.- Dos M.A.S. en oposición de fase (formula_146)caso que proporciona formula_144 y formula_148. Los fasores asociados a A1 y A2 estarían en la misma dirección y sentidos opuestos, restándose directamente.


title: Oscilación

text: 3º.- Dos M.A.S. en cuadratura (formula_149)caso que proporciona formula_150y formula_151 si en este segundo caso se verifica además formula_152 entonces formula_153 (formula_154)y formula_155.


title: Oscilación

text: Esta composición es importante como aplicación al fenómeno de interferencia de ondas de cualquier tipo, procedentes de dos focos puntuales distintos . Si las ondas procedentes de los dos focos tienen la misma pulsación formula_156, los dos focos mantienen una diferencia de fase constante entre ellos (condición de coherencia) y se superponen en una posición dada del espacio, el efecto resultante, es un movimiento oscilatorio con la misma pulsación formula_156 y la intensidad media de la onda resultante en el citado punto formula_158 es proporcional a la amplitud resultante al cuadrado:formula_159, donde c es una constante. La superposición de las ondas que cumplen la condición de coherencia formarán un patrón de interferencias cuya distribución de intensidad es estable. La amplitud de la oscilación resultante en cada punto se obtiene fácilmente con la técnica de fasores como se puede apreciar en la figura de la composición, ya que dependerá del desfase de los movimientos que se componen. Analíticamente:


title: Oscilación

text: A partir de la última expresión se pueden obtener los máximos y los mínimos de intensidad en la región de la superposición:


title: Oscilación

text: Máximos de Intensidad : formula_161 => formula_162; n=0,1,2...


title: Oscilación

text: Mínimos de Intensidad: formula_163 => formula_164; n=0,1,2...


title: Oscilación

text: Las pulsaciones o batidos es un fenómeno ondulatorio que se puede apreciar con ondas sonoras. Se genera al superponer en un punto del espacio dos ondas sinusoidales con frecuencias ligeramente distintas. Al realizar la superposición en un punto del espacio fijo lo que tiene lugar en ese punto es la superposición de dos oscilaciones en el tiempo.


title: Oscilación

text: Por tanto, se van a considerar dos M.A.S. con la misma fase inicial y distinta pulsación:


title: Oscilación

text: La superposición de ambos puede expresar como:


title: Oscilación

text: y da origen a la pulsación:


title: Oscilación

text: en la que A(t) es la amplitud dependiente del tiempo en forma armónica:


Oscilación


title: Oscilación

text: Es importante resaltar que el resultado de la composición ya no es M.A.S ya que su amplitud A, como se ha comentado, no es constante sino que depende de forma armónica en el tiempo resultando una oscilación en forma de pulsos. En particular, cuando formula_170, el movimiento resultante tiene la siguiente expresión:


title: Oscilación

text: formula_171 ,


title: Oscilación

text: con una pulsación para el movimiento resultante:


title: Oscilación

text: formula_172 ,


title: Oscilación

text: y la pulsación para la amplitud A(t) (que tiene la forma de un M.A.S.): formula_173 .


title: Oscilación

text: El fenómeno oscilatorio recogido aquí también se puede aplicar a la Amplitud_modulada AM que se realiza con ondas de radio y TV y que se puede apreciar en la figura.


title: Oscilación

text: Es interesante reflexionar sobre el contenido físico de las oscilaciones y como queda recogido en las expresiones analíticas que las describen. Resulta muy cómodo esforzarse por encontrar un buen modelo matemático para describir un fenómeno físico y a partir de ese momento pasar el trabajo a depender de una aplicación sistemática de las matemáticas. No es bueno, sin embargo, perder de vista o dejar aplazado el sentido físico del problema. Un seguimiento físico de la evolución de las ecuaciones puede ayudar a evitar errores analíticos o de cálculo. Por otro lado es interesante consignar que cuando los matemáticos toman en consideración el estudio, por ejemplo, de una ecuación diferencial modelo y a pesar de su razonamiento más abstracto, procuran resaltar el papel desarrollado por la misma en el campo de las ciencias o las técnicas. El tema de las oscilaciones se presta muy bien a razonar sobre las ecuaciones diferenciales que las describen, las soluciones de las mismas y la repercusión del propio sistema físico o del papel del experimentador en sus expresiones analíticas. Dentro del campo de las oscilaciones se han manejado tres ecuaciones diferenciales modelo correspondientes a: En los tres casos existe una interpretación física directamente implicada en su formulación matemática y una necesidad de incorporar unas condiciones iniciales ( en un caso general unas condiciones temporales ) para la descripción analítica completa del fenómeno. Aquí se reúnen las ecuaciones diferenciales que describen los tres tipos de oscilaciones referidas a un ejemplo estándar ampliamente empleado para introducir el estudio de estas como es el caso del resorte de constante recuperadora k con una masa m en su extremo:


title: Oscilación

text: Al observar conjuntamente las tres ecuaciones se pueden hacer algunas observaciones. Todos los términos de las ecuaciones así expresadas son fuerzas o poseen dimensiones de fuerzas, sus coeficientes son características propias del sistema físico y cada ecuación procede de una aplicación de la segunda ley de Newton al sistema físico correspondiente. También se observa cómo se va pasando del sistema con una sola fuerza elástica recuperadora formula_177, al sistema con una fuerza añadida de rozamiento viscoso formula_178y posteriormente, al sistema con una fuerza externa superpuesta de naturaleza periódica formula_179. Es lógico pensar, como así sucede, que en las soluciones de las tres ecuaciones figuren explícitamente las tres características del sistema físico formula_1, formula_2 y formula_47 así como las de la fuerza exterior aplicada formula_89 y formula_90.


title: Oscilación

text: La solución de la ecuación 1) es, en una de sus formas más empleada ( porque existen otras),  formula_185 donde formula_186. Por consiguiente formula_56 es una constante magnitud característica del sistema. Sin embargo las constantes formula_12 y formula_23, amplitud y fase, respectivamente, del movimiento armónico simple, no dependen del sistema. Para determinarlas se debe acudir a dos condiciones temporales a las que se debe someter la solución formula_190 o sus derivadas formula_191 y formula_192, velocidad y aceleración, respectivamente. Entre la forma de seleccionar las condiciones temporales predomina el caso de elegir dos condiciones iniciales ( para formula_45 ). Por ejemplo el caso muy frecuente de dar los valores de formula_194 y formula_195. Hablando en términos físicos, estableciendo los valores de la posición y la velocidad iniciales. Lo cual no es óbice para que en un caso general pudiera interesar facilitar, por ejemplo, las siguientes condiciones temporales formula_196 y formula_197 o estas otras formula_194 y formula_199.


title: Oscilación

text: En el caso de las fuerzas de rozamiento débiles, la solución de la ecuación 2) es formula_200 con formula_97 y formula_98. Se observa nuevamente que tanto γ como formula_203dependen del sistema y poseen dimensiones de tiempo a la menos uno, mientras que A y formula_23 van a depender de dos condiciones iniciales ( o temporales, en general ). También se observa que la solución es decreciente con el tiempo lo que será común a todos los tipos de solución de la ecuación 2) debido a la existencia de la fuerza de fricción formula_205.


title: Oscilación

text: También en el caso de fuerzas de rozamiento débiles, la solución de la ecuación 3) es formula_206 que resulta de la superposición de la solución decreciente de 2), llamada solución general, más una solución, llamada solución particular de la ecuación con segundo miembro donde aparecen tres constantes B, formula_156 y formula_208. De las tres se identifica a formula_156 como la frecuencia angular de la fuerza armónica exterior. Las otras dos constantes tienen las expresiones  formula_210 y formula_211y dimensiones respectivas de longitud y radianes. Estas últimas dependen de las características del sistema ( formula_1, formula_2 y formula_47 ) y de la fuerza armónica aplicada ( formula_89 y formula_90 ) pero no dependen de las condiciones iniciales, o temporales, en general. Las expresiones de las velocidades son las siguientes:Se ha prestado una atención especial al caso definido como descrito por unas fuerzas disipadoras débiles el cuál conserva una cierta naturaleza periódica. Es el caso que mayor interés suele ofrecer en la práctica y el más estudiado, por tanto. Analíticamente se podría describir un caso donde formula_220 y, por tanto formula_221. También puede darse el caso de un sistema sometido a unas fuerzas de fricción intensas ( formula_222 ) en cuyo caso formula_223 adquiere un valor imaginario y, por tanto, la solución ya no posee naturaleza periódica. También carece de naturaleza armónica el caso de transición entre ambos extremos, el caso de formula_224. Los movimientos originados en estos dos casos se llaman aperiódicos y, concretamente, el de transición, aperiódico crítico. Las soluciones analíticas correspondientes a estos dos casos son decrecientes y vienen dadas por las expresiones:


title: Oscilación

text: formula_225 para formula_226 y  formula_227 para formula_228


title: Oscilación

text: Como en los casos anteriores también ahora figuran explícitamente los parámetros característicos del sistema formula_54 y formula_230, y dos constantes A y B para ser determinadas por dos condiciones temporales, generalmente dos condiciones iniciales. Aunque las constantes en ambas soluciones han recibido los mismo nombres A y B, obsérvese que todas ellas poseen dimensiones de longitud, excepto la A de la segunda solución que posee dimensiones de velocidad. Las expresiones de la velocidad v de los dos casos son las siguientes:


title: Oscilación

text: formula_231 para formula_226 y


title: Oscilación

text: formula_233 para formula_234. Al igual que las elongaciones, también las velocidades son decrecientes con el tiempo.


title: Oscilación

text: Un sistema oscilante muy ilustrativo consiste en un circuito eléctrico donde se combinan en serie un condensador de capacidad C, una autoinducción L y una resistencia R . Hay muchas otras variantes de circuitos eléctricos oscilantes, pero el descrito es el más sencillo de estudiar tanto en el aspecto físico como matemático. Como en el modelo mecánico seleccionado entre otros muchos, el eléctrico citado permite su implementación simple y su estudio en el laboratorio. También aquí se pueden estudiar los regímenes libres o el  régimen forzado si se eligen convenientemente los valores de las componentes del circuito. Una forma cómoda de iniciar el estudio consiste en montar en serie un condensador con una resistencia y una autoinducción. Con un sentido práctico se añade un  interruptor que permanece abierto hasta dar comienzo el estudio del fenómeno libre. Para empezar y antes de que el circuito comience a evolucionar, se debe suministrar energía al circuito. Una forma cómoda de hacerlo consiste en cargar el condensador inicialmente con una carga Q. Al cerrar el interruptor la carga del condensador inicialmente "Q", empieza a pasar al circuito en forma de una corriente i y se desencadena un régimen decreciente, tanto de la corriente como de la carga del condensador y otras variables eléctricas. La existencia de una resistencia como elemento disipador de la energía es la que anuncia la aparición de un régimen decreciente. El que sea de naturaleza oscilante o no depende de los valores concretos de "R", "L", y "C". La ecuación que describe el comportamiento del circuito a partir del instante en que se cierra el interruptor consiste en una Ley de Ohm adaptada al circuito:


Oscilación


title: Oscilación

text: Donde "q" representa la carga que conserva el condensador e "i" la corriente que circula por el circuito, ambas en un instante "t".


title: Oscilación

text: El primer miembro representa el término que hace el papel de fuerza electromotriz de alimentación del circuito en un instante t formula_236 seguido de la fuerza contraelectromotriz inducida generada en la autoinducción al paso de la corriente "i" de descarga del condensador formula_237. Conviene emplear una sola variable independiente. Para relacionar la carga del condensador con la corriente del circuito "i", hay que tener en cuenta que la carga que el condensador ha cedido al circuito es "Q-q" por lo tanto:


title: Oscilación

text: Y también:


title: Oscilación

text: Llevando estos valores a la ley de Ohm de partida se obtiene:


title: Oscilación

text: Se puede observar que esta ecuación corresponde al régimen decreciente descrito por la carga "q" del condensador. La misma ecuación puede ser expresada en términos de la corriente "i":


title: Oscilación

text: Esta es una ecuación íntegro-diferencial donde cada término representa el potencial en cada uno de los tres elementos del circuito. Para su resolución se suele derivar respecto al tiempo, quedando:


title: Oscilación

text: La ecuación obtenida no tiene un sentido físico claro como las ecuaciones precedentes, la ecuación íntegro-diferencial o la ecuación en "q", sin embargo se presta a su resolución de forma inmediata. Una forma equivalente es:


title: Oscilación

text: Al analizar esta ecuación diferencial de segundo orden y coeficientes constantes se observa que los regímenes que puede sufrir son los mismos que en el sistema mecánico estudiado consistente en una masa m en el extremo de un resorte de constante recuperadora "k" y una fuerza de rozamiento viscosa. Los parámetros que describen el sistema adquieren ahora los valores:


title: Oscilación

text: formula_244, formula_245, formula_246


title: Oscilación

text: La ecuación anterior se puede poner en la forma:


title: Oscilación

text: Y es la que se suele emplear para caracterizar el circuito "R, L, C" serie. Si se compara con la del resorte (formula_28) se observa que es la misma salvo que allí la variable es "x", posición de la masa "m", y aquí es la corriente que circula por el circuito "R, L, C" serie. La solución de la ecuación en el caso formula_220 correspondería al régimen oscilante decreciente:


title: Oscilación

text: Donde ahora la amplitud formula_251 representa la corriente que circula por el circuito en "t = 0". Para generar un régimen forzado habría que colocar un generador de fuerza electromotriz formula_252 en serie con "R, L y C" y se tendría la siguiente ecuación diferencial:


title: Oscilación

text: formula_253 donde todos los términos tienen un sentido físico claro. Si se deriva respecto al tiempo miembro a miembro


title: Oscilación

text: formula_254 y se divide por "L" adquiere la forma formula_255 ecuación que resuelta proporciona la corriente que circulará por el circuito "R, L, C" forzado. Este circuito "R, L, C" forzado una f.e.m. alterna en serie, se conoce también como circuito "R, L, C" serie de corriente alterna (c.a.). La solución completa será la suma de una corriente decreciente correspondiente al  régimen libre formula_256 y una corriente formula_257 oscilatoria y permanente de pulsación (formula_258) correspondiente al  régimen forzado que es la que predomina al cabo de un tiempo largo cuando desaparece el transitorio. En el supuesto de un régimen oscilante decreciente formula_259, que es la parte del transitorio, la solución completa tiene la forma:


title: Oscilación

text: Donde formula_261 y formula_262.


title: Oscilación

text: Al cabo de un tiempo suficientemente largo, desaparece el transitorio y queda la solución formula_263 del régimen forzado permanente para el circuito "R, L, C" serie de c.a.


title: Oscilación

text: La amplitud de la corriente en el circuito R, L, C forzado formula_264 sigue una ley que presenta un pico de resonancia . El citado pico aparece cuando la frecuencia angular externa formula_265 es igual a la pulsación natural del circuito formula_15, esto es, formula_267, con un valor correspondiente para la corriente igual a la máxima de formula_268. Esta es la condición de resonancia del circuito de c.a. R, L, C serie, de tanto interés, por ejemplo, en los circuitos sintonizadores de antena para receptores de radio y televisión. Variando la pulsación exterior en formula_269 se anula formula_264. Se trataría en este caso de intentar alimentar el circuito R, L, C con una tensión constante y el condensador impediría la circulación de la corriente en régimen permanente.


title: Oscilación

text: El único elemento del circuito que consume energía es la resistencia. La potencia instantánea consumida en el circuito R, L, C serie será  formula_271 Y la potencia media absorbida por el circuito en un periodo se consume íntegramente en la resistencia. También sigue una ley formula_272 que presenta un pico de resonancia formula_273


title: Oscilación

text: formula_274 representa el valor de la potencia media máxima, formula_275 que tiene lugar en el pico de la resonancia el cual se presenta para formula_276. La curva de resonancia en potencia media consumida formula_277 también pasa por el origen formula_278.


title: Oscilación

text: La anchura de banda formula_119 (que representa el rango de frecuencias en las que el circuito absorbe energía de manera importante) en función del factor de calidad Q se puede expresar de la siguiente forma: formula_118 donde formula_119 representa la anchura del pico tomada a mitad de su altura (ver figura). Por ello, un valor alto de formula_117 reflejará la agudeza y estrechez del pico de la resonancia indicando la bondad del oscilador, poco amortiguado. Fijada la frecuencia de oscilación del circuito, a mayor Q, menor ancho de banda y viceversa.


title: Oscilación

text: El factor de calidad Q indica la calidad de un oscilador, a mayor valor, menos amortiguado y, por tanto, mejor oscilador es y viceversa. Se va a desarrollar su expresión para el oscilador eléctrico R, L, C serie que ofrece gran interés interés en frecuencias próximas a la de resonancia debido a la forma de la curva de la resonancia en el entorno de su máximo y al papel jugado por el ancho de banda de la curva de resonancia. Situados sobre las curvas de resonancia para la potencia formula_277 se verificará para el factor de calidad formula_284 donde formula_285 representa la anchura del pico de la resonancia a mitad de su altura formula_286. Sustituyendo los valores de la pulsación de resonancia y el coeficiente de atenuación que corresponden al circuito R, L, C serie se obtiene el factor de calidad, formula_287 donde se observa que el factor de calidad es inversamente proporcional al valor del elemento disipativo de la energía del circuito, que es la resistencia.


title: Oscilación

text: Los circuitos serie se utilizan para responder selectivamente a las señales eléctricas de una frecuendia dada (para esta aporta una potencia elevada), mientras discrimina las señales de otras frecuencias (les aporta una potencia muy débil). El "factor de calidad" Q es una forma de medir esa selectividad.


title: Oscilación

text: Otra característica de estos circuitos es la anchura de banda que se representa por formula_288 y así aparece en la curva de resonancia para la formula_277. Representa el margen de frecuencias dentro del cual el circuito trabaja con valores razonables de potencia (superiores a formula_290). De la propia expresión del formula_79 se deduce el producto formula_292, lo que indica que, para un circuito R,L,C dado y, por tanto, con un valor de formula_293 determinado, un factor de calidad alto exige una anchura de banda estrecha y viceversa, una anchura de banda amplia conduce a un factor de calidad bajo.


title: Oscilación

text: Con frecuencia se expresan formula_274 y formula_277 en función del formula_79. La primera de ellas  formula_297 indica que la altura es directamente proporcional al formula_79. La segunda dependencia  formula_299 permite trazar la familia de curvas de resonancia del circuito R, L, C serie para la potencia media formula_277 en función de la frecuencia angular forzada formula_90 para curvas con diferentes valores de formula_79.


title: Oscilación

text: Una interesante aplicación del concepto de resonancia eléctrica aparece en el fundamento de la radio, en concreto en la operación de "sintonizar la radio". En esta operación se mueve el dial de la radio ajustando la frecuencia natural del circuito formula_303 a la portadora de la emisora que se desea formula_15, obteniendo en ese momento, formula_305. Representa la situación de sintonía de la radio, en las proximidades del pico de la resonancia, es cuando será mayor la amplitud de la señal captada. El mismo concepto está implicado en cualquier sintonizador de ondas e-m, por ejemplo, en la sintonización de la TV. Cuanto mayor sea el formula_79 del circuito de sintonización, mayor será la potencia de la señal captada.


title: Oscilación

text: Se denomina resonancia orbital al fenómeno en el que dos cuerpos celestes presentan períodos (tiempo de recorrido de sus órbitas) cuya razón es una fracción racional de dos números enteros, que puede reforzar y estabilizar sus órbitas o bien, contribuir a su desestabilización. Esta relación entre periodos es la inversa de la relación entre sus frecuencias de giro, que también se usa como referencia, como se hará en esta sección. Conviene recordar aquí la relación directa que hay entre los movimientos oscilatorios y los movimientos circulares no solo por ser periódicos sino porque un movimiento oscilatorio armónico se puede representar de manera unívoca como la proyección en un eje de un movimiento circular uniforme, como se puede apreciar en la imagen de la sección 6.2B. Además, las trayectorias de la mayoría de los cuerpos celestes que forman el sistema solar, si bien son elípticas, se aproximan bastante a trayectorias circulares debido a su pequeña excentricidad. Un ejemplo de resonancia orbital es la resonancia 5:2 existente entre Júpiter y Saturno, es decir, cada 5 vueltas de Júpiter alrededor del Sol, Saturno da 2 (esta es una relación entre sus frecuencias). Esta resonancia fue la causante de la creación de los anillos de Saturno. Dichos anillos están formados por fragmentos de objetos que se encontraban en el Cinturón de Kuiper. La órbita de estos objetos se distorsionó debido a la resonancia entre Júpiter y Saturno, atrayéndolos hacia el interior del Sistema Solar. Sería en este viaje hacia el interior donde quedarían orbitando alrededor de Saturno, creando los anillos del planeta.


title: Oscilación

text: La resonancia orbital, en un sistema planetario, actúa en ocasiones como agente estabilizador de determinadas órbitas, y en otras, por el contrario, desestabilizador de las mismas, como sucede en la formación de la gran separación o hueco que hay entre los anillos A (exterior) y B (interior) de Saturno que forman la división de Cassini. También ocurre en la formación de los huecos de Kirkwood. Júpiter, además de su resonancia con Saturno, tiene asociado otro fenómeno relacionado con la resonancia orbital, los huecos de Kirkwood en el cinturón principal de Asteroides del sistema solar. Estos huecos coinciden con las resonancias 3:1, 5:2, 7:3 y 2:1. Si algún asteroide intentara alojarse en alguna de estas órbitas, la cercanía de Júpiter provocaría que saliese expulsado a otras órbitas.


title: Oscilación

text: En el estudio de la resonancia orbital de satélites bajo la acción de su planeta y del sol (en el sistema solar) es importante tener en cuenta el efecto de la presión de radiación debida al sol (Efecto Poynting-Robertson). En el caso de la Tierra afecta al movimiento de los satélites geosíncronos. Siendo, en definitiva, la resonancia orbital responsable, en gran parte, de la formación y funcionamiento de nuestro sistema solar y también de interés en las posibles aplicaciones a satélites artificiales.


title: Independência total

text: Independência total (en portugués: "Independencia total") es el himno nacional de Santo Tomé y Príncipe: Coro: I Coro:


title: Independência total

text: II


title: Independência total

text: Coro: Coro: I Coro: II Coro:


title: Erubiel Durazo

text: Erubiel Durazo Cárdenas (Hermosillo, Sonora; 23 de enero de 1974) es un jugador mexicano de béisbol.


title: Erubiel Durazo

text: Estudió su secundaria en el Amphitheater High School en Tucson, Arizona y bachillerato en Pima Community College, al no ser elegido para integrarse a algún equipo decidió regresar a México a dedicarse a los negocios de la familia, pero fue firmado por los Sultanes de Monterrey de la Liga Mexicana de Béisbol e n 1997 obteniendo los títulos de Novato del Año tanto en la liga de verano, en la cual bateó para 0.282 con 8 home runs e impulsando 61 carreras en 110 juegos, como en la Liga Mexicana del Pacífico jugando para los Naranjeros de Hermosillo, que ahorita tienen el récord de más campeonatos ganados con 16 campeonatos.


title: Erubiel Durazo

text: En 1998 continuó su carrera en la Liga Mexicana mejorando sus números con un porcentaje de bateo de 0.350, 19 cuadrangulares y 98 remolcadas en 119 encuentros para terminar como el noveno mejor bateador del circuito.


title: Erubiel Durazo

text: Gracias a Derek Bryant, en esa época director de personal de los Naranjeros y ex manejador de equipos de Ligas Menores de la organización de los Arizona Daimondbacks fue firmado por éstos para la temporada de 1999.


title: Erubiel Durazo

text: En 2001 participó en la Serie Mundial ganándola con Arizona sobre los New York Yankees, acumulando en la serie 4 imparables en 11 turnos, para un porcentaje de 0.364 con una carrera impulsada en 4 juegos.


title: Erubiel Durazo

text: Posteriormente jugó para los Oakland Athletics y Texas Rangers en las Ligas Mayores y los Oklahoma Redhawks de Ligas Menores de la organización de los Rangers; el 22 de mayo de 2006 firmó un contrato de Ligas Menores con los Yankees de Nueva York.


title: Erubiel Durazo

text: Actualmente, participa de tiempo completo en la Liga Mexicana, jugando en verano para los Sultanes de Monterrey.


title: Erubiel Durazo

text: En el 2009 representó a los Naranjeros de Hermosillo en el Béisbol Fest 2009 en Tijuana.Actualmente en octubre del 2010 representa a los Naranjeros de Hermosillo una vez más en la segunda edición del Béisbol Fest 2010 en Tijuana participando como bateador designado.


title: Erubiel Durazo

text: Entre sus hechos memorables se recuerda aquel 21 de octubre de 2001, conectándole jonrón al pitcher zurdo Tom Glavine para poner la pizarra 3-1 y con eso, le dio el pase a Arizona a la serie mundial, en el campeonato de Liga Nacional entre Diamondbacks de Arizona vs Bravos de Atlanta. También es de los pocos con el honor de dar 3 jonrones en un mismo juego con Diamondbacks, Atléticos y Naranjeros de Hermosillo.


title: Municipio de Paul

text: Paul, es el nombre de un municipio situado en la nordeste de isla de Santo Antão, en Cabo Verde. La capital del municipio es la localidad de Vila das Pombas, situada en la costa. Es un municipio esencialmente agrícola, especialmente el Valle de Paul, frondoso y rico, donde se concentra la mayor parte de la población.


title: Municipio de Paul

text: Territorialmente corresponde con las cuencas hidrográficas de los ríos Paul, Janela y Penedo, más la línea de costa que une las mismas. Aparte de la capital, las principales localidades del municipio son Janela, Eito, Passagem (conocida también como Cabo da Ribeira), Rocha Grande y otras de menor entidad. El municipio contiene una única freguesía o parroquia, subdivisión territorial inferior, llamada de Santo António das Pombas.


title: Municipio de Paul

text: El municipio de Paul fue creado en abril de 1867, aunque al final del siglo XIX se unió al antiguo Concelho da Ribeira Grande, pasando los dos a formar el Municipio de Santo Antão. En 1971 este se dividió en tres municipios: los citados, más Porto Novo.


title: Municipio de Paul

text: En la localidad de Ribeira de Penedo, cerca de Janela, puede observarse la llamada "Piedra Escrita" (tal como es conocida por la población local) cuyas inscripciones han dividido a los especialistas en cuanto a su origen y significado, aún no resuelto.


title: Municipio de Paul

text: Es el municipio con mayor densidad de población de la isla, aunque no el más poblado. Su población permaneció relativamente estabilizada desde los años 1970, hasta finales del siglo XX. Después se ha producido un descenso marcado, debido a la importante emigración registrada, bien hacia Porto Novo y Mindelo, bien al extranjero. El 13 de junio son las fiestas de Santo Antonio de las Pombas.


title: Transporte de Asturias

text: La comunidad autónoma del Principado de Asturias está situada en la costa cantábrica del norte de España. Su orografía es muy accidentada, se encuentra separada de la meseta por la Cordillera Cantábrica y sus núcleos de población, si bien están más concentrados en el centro de la provincia, están dispersos a lo largo de toda ella. Esto hace que Asturias tenga, desde siempre, un déficit en cuanto a infraestructuras de transporte que en los últimos años se ha intentado corregir con varias obras y proyectos. Entre los proyectos realizados o proyectados actualmente en Asturias destacan: la Autovía del Cantábrico (A-8), la A-63 Oviedo-La Espina, desdoblamiento de la AS-18 Oviedo-Gijón (actualmente denominada AS-II ), la variante de Pajares para enlazar con la alta velocidad (destacando los túneles de Pajares), el proyecto del Metrotrén Asturias, la ampliación del puerto de El Musel, etc.


title: Transporte de Asturias

text: En cuanto a transporte por carretera hay tres ejes tradicionales de comunicación en Asturias que suponían las antiguas carreteras nacionales: el eje de la costa, N-632 de Luarca a Ribadesella; la N-634 de Ribadeo - La Espina - Oviedo - Ribadesella - Unquera y el eje Gijón - Oviedo - Meseta, N-630.


title: Transporte de Asturias

text: Estos ejes se han modificado con la actuación en la década de 1990 y la primera década del siglo XXI de forma que todos los tramos de carretera nacional están pasando a autovía o autopista y se ha añadido un nuevo eje que constituye la Autovía Minera. Estas son las autopistas o autovías de Asturias:


title: Transporte de Asturias

text: En Asturias operan dos compañías de ferrocarril: Renfe y FEVE. Ambas ofrecen un servicio de cercanías, regional y nacional de transporte de personas y mercancías, si bien desde hace muchos años el transporte de mercancías por ferrocarril ha ido perdiendo su importancia ya que la mejora del transporte por carretera, por un lado, y el descenso del nivel de industrialización de la provincia, sobre todo en lo que afecta a siderurgia y minería, le han restado interés.


title: Transporte de Asturias

text: Los dos puertos más importantes de Asturias son el puerto de Avilés (Avilés) y el puerto de El Musel (Gijón).


title: Transporte de Asturias

text: Dispone de una terminal de Ro-Ro perteneciente a la Línea Atlántica Ro-Ro. Dispone de terminales para graneles sólidos, contenedores, carga general, productos siderúrgicos, graneles líquidos y pesca. Está situado en la Ría de Avilés y dispone de las siguientes instalaciones: Muelles de San Agustín, Muelle pesquero, Muelles de Raíces, Ampliación del Muelles de Raíces, Dársena de San Juan de Nieva y Muelle de Inespal. Dispone también de Terminal de contenedores, tráfico de graneles y productos siderúrgicos. En Asturias hay un aeropuerto perteneciente a AENA, el Aeropuerto de Asturias, en Castrillón. Existe además un aeródromo, el de La Morgal, en Llanera.


title: Transporte de Asturias

text: El Aeropuerto de Asturias es un aeropuerto Nacional de AENA. Con más de un millón de pasajeros al año, ha aumentado el número de éstos gracias a la creación de nuevos destinos y al aumento de la frecuencia de vuelo con los ya existentes. Opera con las compañías Iberia LAE, Air Europa, Air Nostrum y Easy Jet y da servicio a los siguientes destinos: Madrid, Barcelona, Alicante, Lanzarote, Málaga, Palma de Mallorca, Sevilla, Tenerife, Valencia, París y Londres.


title: Transporte de Asturias

text: Dotado de una pista de aterrizaje de 930 m y de un helipuerto. Está dedicado a la aviación no comercial y deportiva. Es la base del helicóptero de los Bomberos del Principado de Asturias y el 112 Asturias.


title: Transporte de Asturias

text: El Consorcio de Transportes de Asturias (CTA) es un ente público del Principado de Asturias creado por la Ley 1/2002 del Gobierno del Principado de Asturias. En el Consorcio están integrados, además del Gobierno del Principado, 14 ayuntamientos de otros tantos municipios asturianos para coordinar y gestionar los transportes así como desarrollar políticas concertadas de ordenación del transporte de viajeros en el Principado de Asturias.


title: Transporte de Asturias

text: El Consorcio tiene suscritos acuerdos con distintas operadores de viajes por carretera y ferrocarril para que los viajeros que dispongan de tarjetas de transporte del CTA se desplacen en los distintos autobuses urbanos, interurbanos o trenes a un mismo precio.


title: Ignacio Warnes

text: Ignacio José Javier Warnes (Buenos Aires, Gobernación del Río de la Plata, 27 de noviembre de 1770 – Batalla de El Pari, 21 de noviembre de 1816) fue un militar argentino que participó en la lucha contra las invasiones inglesas y en la Guerra de Independencia de la Argentina.


title: Ignacio Warnes

text: Durante la resistencia independentista del norte, Manuel Belgrano lo nombró gobernador y comandante de Santa Cruz, adscrita a las Provincias Unidas del Río de la Plata. Murió en la batalla de El Pari, una de las más sangrientas de la historia. Warnes es considerado uno de los grandes próceres de la independencia por haber liderado la Republiqueta de Santa Cruz entre 1813 y 1816.


title: Ignacio Warnes

text: Nació en Buenos Aires, era hijo de Manuel Antonio Warnes y Ana García de Zúñiga, miembro de una de las familias más ricas del virreinato. Entre algunos de sus hermanos se encuentran el sargento Martín Warnes, Manuela Warnes, primera dama de Chile por ser cónyuge del general José Joaquín Prieto, y Martina Warnes, considerada una de las patricias de Argentina.


title: Ignacio Warnes

text: Fue sobrino de Esteban y Juan Francisco García de Zúñiga, y primo –al mismo tiempo que tío– de Victorio y Tomás García de Zúñiga.


title: Ignacio Warnes

text: Se ha probado la unión de Ignacio con doña Micaela Montero Vaca, hacia 1815, con quien tuvo por hija a Manuela Antonia Warnes, quien de niña sufrió prisión junto a su madre, después de la Batalla de El Pari.


title: Ignacio Warnes

text: Muy joven ingresó como cadete en el Cuerpo de Blandengues de Montevideo, destinado a cuidar las fronteras. El 2 de enero de 1799 el Rey lo nombró alférez del Cuerpo de Blandengues de Buenos Aires. Entre 1806 y 1807 combatió durante las Invasiones Inglesas bajo bandera del cuerpo de caballería de frontera del que formaba parte. En 1810 adhirió decididamente a la Revolución de Mayo, alistándose en los ejércitos de la emancipación; revistó como uno de los lugartenientes del general Manuel Belgrano y como su secretario en la pequeña tropa que marchó a la expedición al Paraguay.


title: Ignacio Warnes

text: En esa campaña fue comisionado como embajador parlamentario y cayó prisionero el 6 de diciembre de 1810. Ese día desde Candelaria, Belgrano dirigió un oficio al gobernador del Paraguay Bernardo de Velasco, al Cabildo de Asunción y al obispo, pidiéndoles un acuerdo para evitar el derramamiento de sangre, e invitándolos al sometimiento a la Junta y el envío de un diputado. El capitán Ignacio Warnes, secretario de Belgrano, llevó el parlamento, pero fue apresado por Pablo Thompson, jefe de un destacamento paraguayo de 500 hombres apostado en la margen opuesta del río y remitido engrillado a Asunción, desde donde fue enviado a Montevideo. Luego logró ser liberado, reintegrándose a las fuerzas que luego participarían de las campañas del Ejército del Norte a las órdenes de Belgrano, ya con el grado de teniente coronel.


title: Ignacio Warnes

text: Warnes fue nombrado jefe del Regimiento N° 6 de Infantería, conocido como "6 del Perú". Se destacó en las exitosas batallas de Tucumán (septiembre de 1812) y Salta (febrero de 1813), como secretario y ayudante del general Manuel Belgrano, batallas luego de las cuales el Ejército del Norte reintentó la liberación del Alto Perú.


title: Ignacio Warnes

text: Tras estos sucesos, Belgrano lo comisionó en 1813 desde Potosí, para que avanzara por el Chaco Boreal y ocupara la ciudad de Santa Cruz de la Sierra, nombrándolo Gobernador y comandante. Warnes logró su cometido, asumiendo el gobierno en esa ciudad bajo la autoridad de las Provincias Unidas del Río de la Plata, pero en la práctica se manejó con absoluta independencia.


title: Ignacio Warnes

text: Organizó allí un ejército formal, instruyendo personalmente a sus hombres y fabricando allí su armamento. Mientras el resto del Ejército se retiraba a Salta, Warnes logró mantener el control de su provincia. Se mostró como un brillante organizador militar; reforzó tanto la caballería como la artillería, y aumentó la infantería creando el batallón de "Pardos y Morenos", al estilo de los de Buenos Aires, decretando la libertad inmediata de todos los esclavos de la provincia.


title: Ignacio Warnes

text: Aunque mantenía correspondencia con Belgrano y Güemes, mantuvo un gobierno autónomo, y no coordinó sus acciones con el jefe de la región de La Laguna, Manuel Ascensio Padilla, el esposo de la famosa Juana Azurduy.


title: Ignacio Warnes

text: A pesar de presentarse conflictos en la relación con Juan Antonio Álvarez de Arenales, gobernador de Cochabamba, Warnes se mostró generoso y se apuró a ayudarlo cuando este debió evacuar la ciudad y luego fue vencido por el coronel José Joaquín Blanco en el combate de Angostura. Juntos derrotaron a los realistas en la batalla de La Florida, el 25 de mayo de 1814. En esa batalla, Arenales fue alcanzado por una partida enemiga, y dejado por muerto con varios cortes de sable en la cabeza, pero salvó la vida. Por ello, cuando la batalla estaba casi terminada, Warnes desafió y mató en duelo de sables al comandante, coronel Blanco.


title: Ignacio Warnes

text: A su retorno a Santa Cruz, se presentaron problemas políticos internos y Warnes optó por presentar su renuncia. Sin embargo el pueblo lo reeligió de manera soberana en agosto de 1815. Fue posesionado con la ceremonia de rigor y el vecindario decidió costear la campaña a Chiquitos, donde se encontraban los realistas Udaeta y Altolaguirre con 5000 hombres armados.


title: Ignacio Warnes

text: Regresado el Ejército del Norte, entró en contacto con el general José Rondeau, ofreciéndole caballos y tropas de caballería, además de servicios de mensajes y coordinación. Rondeau rechazó el ofrecimiento y decidió enviar al exgobernador cordobés Santiago Carrera a reemplazarlo en el gobierno de Santa Cruz. Warnes estaba en la zona selvática de Chiquitos persiguiendo a una división realista, por lo que Carrera pudo entrar en la ciudad. Pero los partidarios de Warnes provocaron una revuelta, en que Carrera fue muerto con varios de sus acompañantes.


title: Ignacio Warnes

text: Mientras tanto, Warnes alcanzaba y derrotaba a los realistas de Chiquitos, el 7 de octubre, en la batalla de Santa Bárbara.


title: Ignacio Warnes

text: Pocos días más tarde, derrotado Rondeau en la Batalla de Sipe Sipe, quedó Warnes nuevamente a cargo de Santa Cruz "hasta que, repuestas su fuerzas, pueda este Ejército volver...", como le dejó dicho Rondeau. Pero el Ejército del Norte nunca regresó, y Warnes y Padilla se vieron cada día más presionados por el avance de los realistas.


title: Ignacio Warnes

text: El general Pezuela puso sus ojos en el centro del continente, y en diciembre desplazó al batallón Fernando VII en persecución de los patriotas, instruyendo su aumento y reforzamiento en la marcha.


title: Ignacio Warnes

text: En 1816 se reunió en San Miguel de Tucumán el Congreso en el mes de julio declaró la "Independencia de las Provincias Unidas en Sudamérica". El general Belgrano envió copia del Acta al gobernador Warnes en Santa Cruz, como consta en su correspondencia dirigida a Güemes.


title: Ignacio Warnes

text: En septiembre de 1816, el coronel realista Francisco Javier Aguilera, nacido en Santa Cruz, derrotó y ejecutó a Padilla en La Laguna, junto a 700 de sus hombres, que murieron con las armas en la mano. En noviembre avanzó hacia su ciudad natal con 1600 hombres.


title: Ignacio Warnes

text: Warnes salió con más de 1200 soldados al encuentro de Aguilera en la batalla de El Pari. La caballería realista fue vencida y perseguida hasta el pueblo de Peji, y la división de Aguilera perdió la mayor parte de sus hombres, pero Warnes fue alcanzado por una bala de cañón y muerto. La infantería patriota siguió el combate hasta caer la noche. Cuando la victoriosa caballería, comandada por el coronel José Manuel Mercado, llegó al campo de El Pari, ya no era posible combatir y la falta del líder mermó los ánimos del comandante de la infantería Saturnino Salazar. Fue la batalla más sangrienta de la emancipación y una de las más largas, pues comenzó a las 11 de la mañana y continuó hasta la noche. El propio comandante realista escribió: “…después de la más sangrienta batalla… violenta y rigurosa hasta las seis de ella, y subsiguiente sin intervalos toda la noche…” (Aguilera).


title: Ignacio Warnes

text: En vano se intentó definir la batalla a bayoneta. En el Campo del Pari quedaron tendidos más de 2000 hombres, de ambos bandos, y varias mujeres cruceñas que asistían como auxiliares. Allí sucumbió totalmente el famoso batallón Fernando VII, en manos de los Pardos Libres de Santa Cruz, del que sobrevivió solo un soldado. También fue aniquilado gran parte del batallón Talavera de la reina, frente a la infantería de los Voluntarios de Santa Cruz.


title: Ignacio Warnes

text: Aguilera entró a su ciudad dos días después con sólo 200 sobrevivientes y un solo comandante de apellido Rocabado. Ordenó clavar la cabeza de Warnes en una pica, y colocarla en la plaza de Santa Cruz de la Sierra.


title: Ignacio Warnes

text: No obstante, el retraso causado por la campaña de Aguilera y la pérdida de casi todos sus hombres, en esta batalla se frustraron los planes de Pezuela de invadir Salta y las provincias del sur por ese flanco.


title: Ignacio Warnes

text: En los siguientes meses vinieron los fusilamientos y la persecución de mujeres por parte de los "tablas", pese a las prohibiciones del nuevo gobernador. Aquellas valientes viudas de El Pari, se habían refugiado en la campiña y ante el acoso de los soldados los fueron matando uno a uno, quedando solo 13 con vida. Así el ejército invasor acabó en Santa Cruz y Aguilera dedicó más tiempo a obras de desarrollo.


title: Ignacio Warnes

text: La caballería y el resto de la infantería patriota sobreviviente sumaron 350 hombres, quienes se refugiaron en el fuerte de Saipurú (provincia Cordillera) y desde allí continuaron la lucha hasta vencer y tomar la plaza de Santa Cruz el 14 de febrero de 1825. Semanas después se realizó el sepelio de Warnes con honores.


title: Ignacio Warnes

text: Aguilera logró escapar y fiel a sus ideales intentó un levantamiento a favor de la corona en 1828. Fue ejecutado y su cabeza colocada en una pica en la plaza de Vallegrande.


title: Ignacio Warnes

text: Carta del Gral. Belgrano a la Sra. madre del Coronel Warnes.


title: Ignacio Warnes

text: "Muy Señora mía; Dudé mucho tiempo de la suerte de nuestro Ignacio, y hasta que por conducto fidedigno no supe la gloria con que cubrió su carrera, no quería creer que Vd. y la Patria hubiesen perdido un hijo tan digno y yo un verdadero amigo.


title: Ignacio Warnes

text: Cuan sensible me es renovar a Vd. memoria tan amarga. Pero no me equivoco; todo debe consolar a Vd, acabó en defensa de la Patria, por consiguiente, Dios lo ha premiado, y el mundo verá en él un héroe que representará a los venideros por ejemplo. Quiera Vd. permitirme que salga de la rutina de los pésame, y que si concede a Vd. los sentimientos de una tierna madre, también exija los de una heroína cristiana que debe ver en todo la mano del Altísimo y en este caso el fin de un hijo de la Patria, más que de Vd. conseguido en su honor."


title: Ignacio Warnes

text: "Firmado: M. Belgrano, Tucumán, 10 de Enero de 1818."


title: Ignacio Warnes

text: Ignacio Warnes ha pasado a ser considerado un prócer tanto en la Argentina como en Bolivia, y en especial es considerado el Libertador de la región cruceña, de modo que una ciudad y una provincia de tal región le conmemoran, teniéndolo por epónimo. Además, un monumento con su figura y su espada apunta a la zona de El Pari en el Centro Cívico de la Plaza 24 de Septiembre de la ciudad de Santa Cruz de la Sierra.


title: Ignacio Warnes

text: En la Provincia de Buenos Aires (Argentina) ha sido homenajeado con la denominación de la localidad de Warnes, perteneciente al Partido de Bragado. Calles en varias ciudades, y una importante avenida en Buenos Aires homenajean también a este militar.


title: Ignacio Warnes

text: El Regimiento de Infantería de Monte 29 del Ejército Argentino tiene el nombre "Coronel Ignacio José Warnes".


title: Ignacio Warnes

text: El año 2003 el Congreso de la República de Bolivia le reconoció su ascenso póstumo al grado de general, por victoria de Florida. El ascenso póstumo en la República Argentina aún está en proceso, gestionado por diversas instituciones civiles.


title: Piscis (constelación)

text: Pisces (los peces) es una constelación del zodiaco ubicada entre Aquarius al oeste y Aries hacia el este.


title: Piscis (constelación)

text: Con magnitud 3,62, su estrella más brillante es η Piscium, denominada oficialmente Alpherg. Es una gigante luminosa amarilla de tipo espectral G7IIa con una temperatura superficial de 4930 K. Le siguen en brillo γ Piscium —una gigante amarillo-naranja de tipo espectral G9III—, ω Piscium —clasificada como subgigante F4IV— e ι Piscium, una enana amarilla de tipo F7V con una temperatura de 6300 K que se encuentra a 45 años luz de la Tierra.


title: Piscis (constelación)

text: Alrescha (α Piscium) es una estrella binaria cuyo nombre proviene del árabe y significa «cuerda». Las dos componentes son estrellas blancas de la secuencia principal químicamente peculiares: una es una estrella Ap con un gran campo magnético y la otra es una estrella Am.


title: Piscis (constelación)

text: Otra estrella con nombre propio es Fumalsamakah (β Piscium), una estrella Be —cuyo espectro muestra líneas de emisión de hidrógeno— de tipo B6Ve. Por el contrario, Torcular (ο Piscium) es una gigante amarilla de tipo G8III, parecida a Alpherg pero significativamente menos luminosa.


title: Piscis (constelación)

text: Entre las variables de Piscis están Z Piscium y TX Piscium (19 Piscium), estrellas de carbono —así llamadas porque su atmósfera contiene más carbono que oxígeno— de tipo espectral CV2 y C5II respectivamente. Son estrellas muy frías, con una temperatura superficial algo superior a los 3000 K.


title: Piscis (constelación)

text: Alrededor de 54 Piscium y 109 Piscium se han detectado planetas extrasolares. HD 217107 es una subgigante amarilla de elevada metalicidad ([Fe/H] = +0,37) que tiene dos planetas que orbitan a 0,075 y 4,3 ua de la estrella. Ebla (HD 218566) es una enana naranja de tipo K3V con un planeta extrasolar cuyo período orbital es de 226 días. Asimismo, Bélénos —nombre oficial de HD 8574— es otra estrella alrededor de la cual se ha descubierto un planeta.


title: Piscis (constelación)

text: La Estrella de Van Maanen, la tercera enana blanca más cercana a la Tierra, se encuentra en esta constelación. A 14,1 años luz de distancia, es la enana blanca solitaria —sin otra estrella acompañante— más cercana a nosotros. Su temperatura relativamente baja —6770 K— sugiere que se trata de un objeto muy antiguo, con una edad estimada en torno a 10 000 millones de años; sin embargo, estudios recientes consideran una edad notablemente inferior, entre 3700 y 5000 millones de años.


title: Piscis (constelación)

text: El único objeto del catálogo Messier en Piscis es M74, una galaxia espiral situada a 32 millones de años luz de distancia. Esta galaxia tiene dos brazos espirales claramente definidos y se estima que contiene 100 000 millones de estrellas. Otras galaxias, también espirales, en esta constelación son NGC 60 y NGC 488. Esta última se encuentra a una distancia aproximada de 90 millones de años luz y posee un gran bulbo central así como múltiples brazos espirales.


title: Piscis (constelación)

text: Asimismo, el objeto NGC 520 son dos galaxias espirales, muy próximas entre sí, interactuando y posiblemente en colisión. Se cree que los dos discos galácticos comenzaron a interactuar hace unos 300 millones de años, por lo que el sistema aún se encuentra en una etapa temprana de la fusión. NGC 7714 y NGC 7715 son otras dos galaxias en interacción, en un proceso que comenzó hace ahora entre 100 y 200 millones de años. Como resultado de ello se ha formado un anillo y dos largas colas de estrellas que emergen desde NGC 7714, creando un puente entre ambas galaxias.


title: Piscis (constelación)

text: NGC 383 es una galaxia lenticular que se encuentra a 217 millones de años luz de distancia, siendo la galaxia más brillante de un grupo de galaxias que que lleva su nombre. Alberga un núcleo galáctico activo brillante en frecuencias de radio que muestra espectaculares «jets» de radio. La radiofuente asociada recibe el nombre de 3C 31.


title: Piscis (constelación)

text: Mucho más próxima a nosotros, la Enana de Piscis es una galaxia enana irregular distante 2,51 millones de años luz de la Tierra. Se piensa que es satélite de la galaxia del Triángulo.


title: Piscis (constelación)

text: El astrónomo griego Eratóstenes (nacido en el año 276 a. C.) nos cuenta que el origen del simbolismo del pez está en un gran pez que salvó a Derceto (una diosa asiria que era mitad pez mitad mujer), cuando esta cayó en una laguna. En esta versión, Derceto era considerada hija de Afrodita.


title: Piscis (constelación)

text: La versión de Higino, en cambio, se basaba en el mito de Venus y su hijo Cupido (en la mitología griega, Afrodita y Eros). Estas dos figuras mitológicas fueron sorprendidas por el monstruo Tifón, pero Venus sabía que podrían escapar por el agua. Cogió a Cupido y se sumergió en el agua, donde los dos se transformaron en peces. Para asegurarse de que no se perdían, se ataron con una cuerda. En el cielo vemos, por lo tanto, a madre e hijo, unidos por una cuerda.


title: Gastritis

text: La gastritis es una enfermedad del estómago que se define como la inflamación aguda o crónica de la mucosa gástrica. El diagnóstico preciso se obtiene por exploración endoscópica. Dependiendo del aspecto de la mucosa se ha clasificado en gastritis erosivas y no erosivas. También se clasifican en agudas y crónicas, en esta última puede existir algún grado de atrofia (gastritis atrófica). Las causas son muy variadas, entre ellas, los malos hábitos alimentarios, el estrés, el abuso en el consumo de antiinflamatorios no esteroideos (aspirina, piroxicam, indometacina, ketoprofeno, etc.), infección por "Helicobacter pylori" y trastornos autoinmunes como en la gastritis atrófica con presencia de autoanticuerpos y la enfermedad celíaca.


title: Gastritis

text: Las causas de gastritis son diversas dependiendo del tipo de afección. Entre los factores causales más frecuentes se encuentra el consumo de medicamentos antiinflamatorios no esteroideos como la aspirina, la infección por "Helicobacter pylori" y la existencia de fenómenos de autoinmunidad, como en la enfermedad celíaca o en la gastritis atrófica con presencia de anticuerpos contra las células parietales, degeneración del revestimiento del estómago por la edad o por reflujo biliar crónico. No se debe confundir el reflujo biliar con el reflujo gastroesofágico.


title: Gastritis

text: Los síntomas son muy variables dependiendo del tipo de gastritis, en muchas ocasiones no se presentan síntomas o son muy leves. Puede existir pirosis, dolor estomacal localizado en epigastrio, náuseas y vómitos. En determinadas gastritis que impiden la absorción de vitamina B se produce anemia perniciosa. Ciertas gastritis como la gastritis erosiva pueden provocar hemorragia digestiva. Algunas formas raras como la gastritis flemonosa tienen una elevada mortalidad. La gastritis erosiva a pesar de ser menos grave, tiene síntomas más intensos: diarrea importante, vómitos intensos, náuseas y un malestar estomacal muy intenso.


title: Gastritis

text: El diagnóstico se realiza por medio de la endoscopia del aparato digestivo superior. En el examen histopatológico de los tejidos se observa infiltración de leucocitos polimorfonucleares.


title: Gastritis

text: La clasificación de la gastritis se basa en la evolución, histología y la patogenia. Existen diferentes tipos de clasificación, generalmente se dividen en gastritis aguda cuando son de corta duración y gastritis crónica cuando persiste durante un periodo de tiempo prolongado. Con arreglo al aspecto de la mucosa pueden dividirse en erosivas y no erosivas.


title: Gastritis

text: I. Gastritis agudaII. Gastritis atrófica crónica


title: Gastritis

text: III. Formas poco frecuentes de gastritis Incluye la gastritis linfocítica, gastritis eosinófila, gastritis flemonosa, gastritis en la enfermedad de Crohn, sarcoidosis y gastritis granulomatosa aislada.La mayor parte de las gastritis mejoran rápidamente con el tratamiento. El pronóstico depende de la causa subyacente. La mayor parte de las gastritis crónicas son asintomáticas y no provocan enfermedad significativa.


title: Gastritis

text: Las complicaciones potenciales son hemorragia digestiva en la gastritis erosiva, anemia perniciosa y un aumento del riesgo de cáncer gástrico en la gastritis atrófica.


title: Gastritis

text: El tratamiento depende de la causa de la gastritis. Se debe buscar asistencia médica si los síntomas de gastritis son persistentes o cuando se presenta vómito con sangre o deposición sanguinolenta.


title: Arroba (unidad de medida)

text: La arroba es una antigua unidad de medida usada en la península ibérica y en América Latina, usada tanto para masa como para volumen. Consúltense los siguientes artículos:


title: Herbert Alexander Simon

text: Herbert Alexander Simon (15 de junio de 1916-9 de febrero de 2001), fue un economista, politólogo y teórico de las ciencias sociales estadounidense.


title: Herbert Alexander Simon

text: En 1978 fue laureado con el Premio del Banco de Suecia en Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel por ser «uno de los investigadores más importantes en el terreno interdisciplinario» y «porque su trabajo ha contribuido a racionalizar el proceso de toma de decisiones».


title: Herbert Alexander Simon

text: Herbert A. Simon nació en Milwaukee, Wisconsin. Estudió en la Universidad de Chicago, donde se graduó en 1936 y se doctoró en 1943. Trabajó como asistente de esa universidad (1936-1938) y también en organizaciones ligadas a la gestión de organismos públicos, en la "International City Managers's Association" (1938-1939) y en el "Bureau of Public Administration" de la Universidad de California en Berkeley (1939-1942), dónde dirigió los "Administrative Measurement Studies".


title: Herbert Alexander Simon

text: Después de esta experiencia profesional volvió a la universidad. Fue profesor auxiliar (1942-1947) y profesor titular (1947-1949) de ciencias políticas en el Instituto de Tecnología ("Institute of Technology"). En 1949 comenzó a trabajar "Carnegie Institute of Technology" para enseñar administración y psicología y, después de 1966, enseñó ciencia de la computación y psicología en la Carnegie-Mellon (Pittsburgh).


title: Herbert Alexander Simon

text: Además dedicó gran cantidad de tiempo a ser consejero de instituciones públicas y privadas. Recibió el Premio Turing de la ACM en 1975, junto con Allen Newell por hacer «contribuciones básicas a la inteligencia artificial, la psicología cognitiva humana y el procesamiento de listas», y el "Award for Distinguished Scientific Contribution" de la Asociación Norteamericana de Psicología (APA) en 1969. Además fue designado Miembro Distinguido (Distinguished Fellow) de la Asociación Norteamericana de Economía.


title: Herbert Alexander Simon

text: Libro Herbert Alexander Simon se tomó muy en serio la estructura básica de la ciencia económica, esforzándose en definirla como la ciencia de la elección, para lo cual trabajó sobre el proceso psicológico de la toma de decisiones. Según Simon la hipótesis básica de la economía neoclásica, la de que los agentes tienden a maximizar los resultados de sus comportamientos, es muy limitada. En la práctica ningún ser humano está continuamente buscando la solución óptima. Aunque deseara hacerlo, el coste de informarse sobre todas las alternativas y la incertidumbre sobre el futuro lo harían imposible.


title: Herbert Alexander Simon

text: De acuerdo con Simon, las personas simplemente intentan buscar una mínima satisfacción, es decir, tratan de alcanzar ciertos niveles de éxito para después, poco a poco, ir ajustando esa solución. Esta estructura de pensamiento, que Simon denominó racionalidad limitada estimuló muchos trabajos posteriores sobre el comportamiento de los individuos, las organizaciones y la sociedad.


title: Herbert Alexander Simon

text: Simon fue pionero en investigar la forma en que deben tomarse decisiones en organizaciones económicas complejas (empresas públicas, multinacionales, etc.). Su obra más celebrada es "Administrative Behavior: A Study of Decision-making Processes in Administrative Organization" (1947) en la cual, en contra de la concepción clásica sobre la existencia de unos responsables en tomar decisiones que conocen todas las opciones, elabora un modelo o proceso racional de adopción de decisiones «satisfactorias». Su "Spurious Correlation: A Causal Interpretation" (1954), publicado en el "Journal of the American Statistical Association", constituyó un primer avance metodológico en el análisis de encuestas. También es importante su "The New Science of Management Decision" (1960).


title: Herbert Alexander Simon

text: "Administrative Behavior", publicado por primera vez en 1947 y actualizado a lo largo de los años se basó en la disertación doctoral de Simon. Sirvió como la base para el trabajo de su vida. La pieza central de este libro son los procesos conductuales y cognitivos de los seres humanos que toman decisiones racionales. Según su definición, una decisión operativa debe ser correcta y eficiente, y debe ser práctica para implementar con un conjunto de medios coordinados.


title: Herbert Alexander Simon

text: Simon reconoció que una "Teoría de la administración" es en gran parte una teoría de la toma de decisiones humanas, y como tal debe basarse tanto en la economía como en la psicología. El afirma al respecto:


title: Herbert Alexander Simon

text: "[Si] no hubiera límites para la racionalidad humana, la teoría administrativa sería estéril. Consistiría en un precepto único: siempre seleccione esa alternativa, entre las disponibles, lo que conducirá al logro más completo de sus objetivos".


title: Herbert Alexander Simon

text: Contrariamente al estereotipo de "homo economicus", Simon argumentó que las alternativas y las consecuencias pueden ser parcialmente conocidas, y los medios y fines son imperfectamente diferenciados, están incompletamente relacionados o son poco detallados.


title: Herbert Alexander Simon

text: Simons definió que la tarea de la toma racional de decisiones consiste en seleccionar la alternativa que da como resultado el conjunto más preferido de todas las posibles consecuencias. La corrección de las decisiones administrativas se midió así: La tarea de elección se dividió en tres pasos obligatorios: Cualquier persona u organización que intente implementar este modelo en una situación real no podrá cumplir con los tres requisitos. Simon argumentó que el conocimiento de todas las alternativas, o todas las consecuencias que siguen de cada alternativa es imposible en muchos casos reales.


title: Herbert Alexander Simon

text: Simon intentó determinar las técnicas y / o los procesos de comportamiento que una persona u organización podría aplicar para lograr aproximadamente el mejor resultado dados los límites en la toma racional de decisiones. Simon escribe al respecto:


title: Herbert Alexander Simon

text: "El ser humano que lucha por la racionalidad y se restringe dentro de los límites de su conocimiento ha desarrollado algunos procedimientos de trabajo que superan parcialmente estas dificultades. Estos procedimientos consisten en suponer que puede aislar del resto del mundo un sistema cerrado que contiene un número limitado de variables y un rango limitado de consecuencias".


title: Herbert Alexander Simon

text: Por lo tanto, Simon describe el trabajo en términos de un marco económico, condicionado a las limitaciones cognitivas humanas: hombre económico y hombre administrativo.


title: Herbert Alexander Simon

text: El comportamiento administrativo aborda una amplia gama de comportamientos humanos, habilidades cognitivas, técnicas de gestión, políticas de personal, objetivos y procedimientos de capacitación, funciones especializadas, criterios para la evaluación de la precisión y la eficiencia, y todas las ramificaciones de los procesos de comunicación. Simon está particularmente interesado en cómo estos factores influyen en la toma de decisiones, tanto directa como indirectamente.


title: Herbert Alexander Simon

text: Simons argumentó que los dos posibles resultados de una elección requieren monitoreo y que se esperaría que muchos miembros de la organización se centren en la adecuación, pero que la administración debe prestar especial atención a la eficiencia con la que se obtuvo el resultado deseado.


title: Herbert Alexander Simon

text: Simon siguió a Chester Barnard, quien señaló que "las decisiones que toma una persona como miembro de una organización son bastante distintas de sus decisiones personales". Las elecciones personales pueden determinarse ya sea que un individuo se una a una organización en particular y continúe haciéndolo en su vida privada extra-organizacional. Sin embargo, como miembro de una organización, ese individuo toma decisiones que no están relacionadas con las necesidades y resultados personales, sino en un sentido impersonal como parte de los objetivos, el propósito y el efecto de la organización. Los incentivos, recompensas y sanciones organizacionales están diseñados para formar, fortalecer y mantener esta identificación.


title: Herbert Alexander Simon

text: Simon vio dos elementos universales del comportamiento social humano como clave para crear la posibilidad de un comportamiento organizacional en los individuos humanos: Autoridad (abordada en el Capítulo VII - El Papel de la Autoridad) y Lealtad e Identificación (Abordada en el Capítulo X: Lealtad, e Identificación Organizacional).


title: Herbert Alexander Simon

text: La autoridad es una marca primaria, bien estudiada, del comportamiento organizacional, claramente definida en el contexto organizacional como la capacidad y el derecho de un individuo de rango superior para guiar las decisiones de un individuo de rango inferior. Las acciones, actitudes y relaciones de las personas dominantes y subordinadas constituyen componentes del comportamiento de roles que pueden variar ampliamente en forma, estilo y contenido, pero no varían en la expectativa de obediencia por parte del estado superior y la voluntad de obedecer del subordinado.


title: Herbert Alexander Simon

text: La lealtad fue definida por Simon como el "proceso por el cual el individuo sustituye los objetivos organizacionales (objetivos de servicio u objetivos de conservación) por sus propios objetivos como los índices de valor que determinan sus decisiones organizacionales". Esto implicó la evaluación de opciones alternativas en términos de sus consecuencias para el grupo en lugar de solo para uno mismo o su familia.


title: Herbert Alexander Simon

text: Las decisiones pueden ser mezclas complejas de hechos y valores. La información sobre los hechos, especialmente los hechos o hechos probados empíricamente derivados de la experiencia especializada, se transmiten más fácilmente en el ejercicio de la autoridad que las expresiones de valores. A Simon le interesa principalmente buscar la identificación del empleado individual con los objetivos y valores de la organización. Siguiendo a Lasswell, afirma que "una persona se identifica con un grupo cuando, al tomar una decisión, evalúa las diversas alternativas de elección en términos de sus consecuencias para el grupo especificado". Una persona puede identificarse con cualquier número de grupos sociales, geográficos, económicos, raciales, religiosos, familiares, educativos, de género, políticos y deportivos. De hecho, el número y la variedad son ilimitados. El problema fundamental para las organizaciones es reconocer que las identificaciones personales y grupales pueden facilitar u obstaculizar la correcta toma de decisiones de la organización. Una organización específica tiene que determinar deliberadamente, y especificar con el detalle apropiado y un lenguaje claro, sus propias metas, objetivos, medios, fines y valores.


title: Herbert Alexander Simon

text: Simon ha criticado la comprensión elemental de la economía tradicional sobre la toma de decisiones y argumenta que "es demasiado rápida para construir una imagen idealista e irreal del proceso de toma de decisiones y luego prescribir sobre la base de una imagen tan poco realista". Sus contribuciones a la investigación en el área de la toma de decisiones administrativas se han vuelto cada vez más comunes en la comunidad empresarial.


title: Herbert Alexander Simon

text: Simon ha sido acreditado por algunos cambios revolucionarios en microeconomía. Él es responsable del concepto de toma de decisiones organizacionales como se lo conoce hoy. También fue el primero en discutir este concepto en términos de incertidumbre; es decir, es imposible tener información perfecta y completa en un momento dado para tomar una decisión. Si bien esta noción no era del todo nueva, Simon fue el que teorizó de manera consistente al respecto. Fue en esta área en la que recibió el Premio del Banco de Suecia en Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel en 1978.