title: Tori Welles

text: Tori Welles (* 17. Juni 1967 im San Fernando Valley, Kalifornien als "Brittania Paris Apstein"); auch bekannt als "Tori Wells"; ist eine US-amerikanische Pornodarstellerin und Regisseurin.


title: Tori Welles

text: Tori verließ mit 18 Jahren die Schule, um Stripperin zu werden. Ein Jahr später kehrte sie an die Schule zurück und machte ihren High-School-Abschluss. Anschließend verfolgte sie zunächst ihre Karriere als Tänzerin, bis ihr im Jahr 1988 eine Rolle in dem Hardcorefilm "Offering" angeboten wurde. Tori gilt als Pornolegende der 1980er- und 1990er-Jahre. Zu ihren bekanntesten Filmen gehören die Klassiker "Night Trips" und "Secrets" von Andrew Blake. Als Regisseurin drehte sie die Filme "Tori Welles Goes Behind the Scenes" (1992) und "Girlfriends" (1990). 1997 veröffentlichte ihr Ehemann gegen ihren Willen unter dem Titel "The Private Diary of Tori Welles" ein intimes Privatvideo.


title: Tori Welles

text: Tori war von 1990 bis 1994 mit dem Regisseur Paul Norman verheiratet. Aus dieser Ehe hat sie zwei Söhne, die 1991 und 1993 geboren wurden. 2001 brachte sie ihren dritten Sohn auf die Welt.


title: Tori Welles

text: Tori wurde sowohl in die AVN Hall of Fame als auch die XRCO Hall Of Fame aufgenommen.


title: Avelar Brandão Vilela

text: Avelar Kardinal Brandão Vilela (* 13. Juni 1912 in Visosa, Brasilien; † 19. Dezember 1986 in Salvador da Bahia) war ein brasilianischer Geistlicher und römisch-katholischer Erzbischof von São Salvador da Bahia.


title: Avelar Brandão Vilela

text: Avelar Brandão Vilela erhielt seine theologische und philosophische Ausbildung in den Priesterseminaren von Maceió und Olinda. Er empfing am 27. Oktober 1935 das Sakrament der Priesterweihe für das Bistum Aracaju und arbeitete anschließend als Dozent und geistlicher Berater in der Priesterausbildung. Darüber hinaus war er als Sekretär und Kaplan der Katholischen Aktion tätig.


title: Avelar Brandão Vilela

text: Papst Pius XII. ernannte ihn am 13. Juni 1946 zum Bischof von Petrolina. Die Bischofsweihe spendete ihm der Bischof von Aracaju, José Tomas Gomes da Silva, am 27. Oktober desselben Jahres. Mitkonsekratoren waren der Bischof von Pesqueira, Adalberto Accioli Sobral, und der Erzbischof von Belém do Pará, Mário de Miranda Vilas-Boas.


title: Avelar Brandão Vilela

text: Am 5. November 1955 ernannte ihn Papst Pius XII. zum Erzbischof von Teresina. Avelar Brandão Vilela nahm in den Jahren 1962 bis 1965 an allen vier Sitzungsperioden des Zweiten Vatikanischen Konzils als Konzilsvater teil. Papst Paul VI. übertrug ihm am 25. März 1971 die Leitung des Erzbistums São Salvador da Bahia und nahm ihn am 5. März 1973 als Kardinalpriester mit der Titelkirche "Santi Bonifacio ed Alessio" in das Kardinalskollegium auf. Am 25. Oktober 1980 wurde dem Bischofssitz von São Salvador da Bahia durch Papst Johannes Paul II. der Rang des „Primas von Brasilien“ beigefügt und Avelar Kardinal Brandão Vilela wurde der erste Träger dieses Titels. Er starb am 19. Dezember 1986 in São Salvador da Bahia und wurde in der Kathedrale von Salvador bestattet.


title: Augusto Álvaro da Silva

text: Augusto Álvaro da Silva erhielt seine philosophische und theologische Ausbildung im Priesterseminar von Olinda. Er empfing am 5. März 1899 das Sakrament der Priesterweihe und arbeitete anschließend als Gemeindeseelsorger und Kathedral-Zeremoniar in Olinda.


title: Augusto Álvaro da Silva

text: Papst Pius X. ernannte ihn am 12. Mai 1911 zum ersten Bischof des am Ende des Vorjahres errichteten Bistums Floresta. Die Bischofsweihe spendete ihm der Erzbischof von Olinda, Luís Raimundo da Silva Brito, am 22. Oktober desselben Jahres; Mitkonsekratoren waren der Bischof von São Luís do Maranhão, Francisco de Paula e Silva CM, und der Bischof von Natal, Joaquim Antônio de Almeida. Die Amtseinführung im Bistum Floresta fand am 23. November 1911 statt.


title: Augusto Álvaro da Silva

text: Papst Benedikt XV. übertrug ihm 1915 die Leitung des Bistums Barra do Rio Grande, Papst Pius XI. ernannte ihn 1924 zum Erzbischof von São Salvador da Bahia. Papst Pius XII. nahm Augusto Álvaro da Silva am 12. Januar 1953 als Kardinalpriester mit der Titelkirche "Sant’Angelo in Pescheria" in das Kardinalskollegium auf. Er nahm in den Jahren 1962 bis 1965 am Zweiten Vatikanischen Konzil teil. Augusto Álvaro Kardinal da Silva starb am 14. August 1968 in São Salvador da Bahia und wurde in der dortigen Kathedrale bestattet.


title: Isidro Gomá y Tomás

text: Isidro Kardinal Gomá y Tomás (* 19. August 1869 in La Riba, Spanien; † 22. August 1940 in Toledo) war Erzbischof von Toledo.


title: Isidro Gomá y Tomás

text: Isidro Gomá y Tomás studierte in Tarragona und Valencia die Fächer Philosophie und Katholische Theologie. Er empfing am 8. Juni 1895 das Sakrament der Priesterweihe und arbeitete anschließend zwei Jahre lang als Gemeindepriester. Ab 1897 wirkte er in Tarragona in der Priesterausbildung. 1907 wurde er Kanoniker an der Kathedrale von Tarragona, 1908 Offizial der Erzdiözese.


title: Isidro Gomá y Tomás

text: 1927 ernannte ihn Papst Pius XI. zum Bischof von Tarazona. Die Bischofsweihe empfing Isidro Gomá Tomás durch den Erzbischof von Tarragona, Francisco de Asís Kardinal Vidal y Barraquer, Mitkonsekratoren waren Valentín Comellas y Santamaría, Apostolischer Administrator von Solsona, und Manuel Irurita y Almandoz, Bischof von Lérida. Von Dezember 1927 bis Juni 1933 verwaltete Isidro Gomá y Tomás gleichzeitig als Apostolischer Administrator das Bistum Tudela. Am 12. April 1933 ernannte ihn Papst Pius XI. zum Erzbischof von Toledo und nahm ihn am 16. Dezember 1935 als Kardinalpriester mit der Titelkirche "San Pietro in Montorio" in das Kardinalskollegium auf. Während des Spanischen Bürgerkrieges unterstützte Isidro Gomá y Tomás mit Nachdruck die Nationalbewegung. Er nahm am Konklave des Jahres 1939 teil.


title: Isidro Gomá y Tomás

text: Isidro Kardinal Gomá y Tomás starb am 22. August 1940 in Toledo und wurde in der dortigen Kathedrale bestattet.


title: Dreiphasenwechselstrom-Transformator

text: Ein Dreiphasenwechselstrom-Transformator, Dreiphasentransformator oder Drehstromtransformator fasst die zur Transformation in einem Dreiphasensystem notwendigen drei einzelnen Transformatoren zu einem einzigen zusammen. Typischerweise sind Leistungstransformatoren als Dreiphasentransformator ausgeführt. Der erste Dreiphasentransformator wurde 1890 von Michail Dolivo-Dobrowolski bei der AEG in Berlin gebaut, nachdem er dort zuvor das Dreiphasensystem entwickelt hatte. Der erste praktische Einsatz von Dreiphasentransformatoren zur elektrischen Übertragung von Energie mit hochtransformiertem Dreiphasenwechselstrom erfolgte im Jahr darauf bei der Drehstromübertragung Lauffen–Frankfurt im Rahmen der Internationalen Elektrotechnischen Ausstellung 1891.


title: Dreiphasenwechselstrom-Transformator

text: Dreiphasentransformatoren sind ähnlich wie einphasige Transformatoren aufgebaut. Im Unterschied zu diesen bestehen Primär- und Sekundärseite jedoch aus jeweils drei getrennten Wicklungen – üblicherweise mit U, V, W für die Oberspannungsseite und u, v, w für die Unterspannungsseite bezeichnet –, die auf einem weichmagnetischen Eisenkern, der üblicherweise einem „geschlossenen E“ ähnelt, untergebracht sind (siehe nebenstehende Skizze). Die drei mit den Spulen bewickelten Teile des Kernes werden "Schenkel" genannt, die Eisenkern-Brücke über die drei Schenkel "Joch". Die Ober- und Unterspannungswicklung jeder Phase wird im einfachsten, üblichen Fall auf dem gleichen Schenkel angebracht, getrennt durch Isolationsmaterial und im späteren Einsatz bei großen Transformatoren auch Öl. Es gibt aber auch Fünfschenkelkerne (siehe unten). Die Kerne sind aus Texturblech einer Dicke von beispielsweise 0,35 mm so zusammengesetzt, dass der Magnetfluss möglichst in Texturrichtung verläuft.


title: Dreiphasenwechselstrom-Transformator

text: Zur gedanklichen Herleitung des Gesamtaufbaues geht man zunächst von drei Einphasentransformatoren für jeweils eine Phase aus – jeder mit einem Wickel und einem geschlossenen Kern. Der nicht bewickelte Schenkel, der Rückflussschenkel, dient dazu, den magnetischen Kreis zu schließen. Nun denkt man sich die drei Transformatoren sternförmig am Rückflussschenkel aneinander gefügt, sodass ein gemeinsamer Rückflussschenkel für alle drei Transformatoren entsteht. Bei einem symmetrisch belasteten Dreiphasensystem, d. h. bei gleicher Belastung aller drei Außenleiter, heben sich im gemeinsamen Rückflussschenkel des Eisenkerns die magnetischen Flüsse aufgrund der Phasenverschiebung gegenseitig auf, weshalb der Rückflussschenkel entfallen kann. Somit kann der Kern, wie in der Skizze dargestellt, als Dreischenkelkern ausgeführt werden.


title: Dreiphasenwechselstrom-Transformator

text: Der symmetrische Fall ist jedoch im Betrieb nicht immer sicherzustellen, man spricht dann auch von einer Schieflast, die bei einigen Schaltgruppen zu einer unerwünschten Sternpunktverschiebung und einem starken magnetischen Streufluss führt. Zur Vermeidung dieses Zustands werden manche Dreiphasentransformatoren, abhängig von der Schaltgruppe (z. B. Kuppeltransformatoren in der Schaltgruppe „Yy0“) entweder mit einem Fünfschenkelkern mit zwei zusätzlichen äußeren Rückflussschenkeln versehen oder bei Dreischenkelkernausführung mit einer zusätzlichen Tertiärwicklung zur Kompensation ausgeführt. Eine solche Ausgleichswicklung ist in Dreieck geschaltet und führt nur dann einen (Ring-)Strom, wenn Schieflast vorliegt. Sie sorgt für die Stabilität (Symmetrie) des Sternpunktes bei Schieflast. Auch eine der Hauptwicklungen kann diese Funktion für die jeweils andere, in Stern geschaltete Hauptwicklung übernehmen, wenn sie in Dreieck geschaltet ist.


title: Dreiphasenwechselstrom-Transformator

text: Wie die in Summe sechs Anschlüsse je Seite eines Dreiphasentransformators miteinander verschaltet werden, wird durch die Schaltgruppe bestimmt. Übliche Verschaltungen sind Stern- und Dreieckschaltung, die im Prinzip auf beiden Seiten beliebig kombiniert werden können. Dadurch ergeben sich zwischen den Außenleiterspannungen der Ober- bzw. Unterspannungsseite unterschiedliche Phasenverschiebungen, die nicht nur 0° bzw. 180° wie bei einphasigen Transformatoren betragen können. In diesen Fällen wird das Übersetzungsverhältnis durch einen komplexen Faktor ausgedrückt, der zusätzlich die Phasenverschiebung beinhaltet. Aus diesem Grund ist bei Parallelbetrieb von mehreren Dreiphasentransformatoren die Schaltgruppe zu beachten.


title: Dreiphasenwechselstrom-Transformator

text: Die Schaltgruppe "Dyn5" eines Dreiphasenwechselstrom-Transformator bedeutet:Für sehr hohe Spannungen und große Übertragungsleistungen ist es nicht möglich, Dreiphasenwechselstromtransformatoren zu bauen, die auf öffentlichen Verkehrswegen transportiert werden können. Daher werden normalerweise drei einphasige Einheiten eingesetzt.


title: Veronica Hart

text: Veronica Hart (* 27. Oktober 1956 in Las Vegas, Nevada; eigentlich "Jane Esther Hamilton") ist eine US-amerikanische Pornodarstellerin, Schauspielerin, Produzentin, Regisseurin und Drehbuch-Autorin.


title: Veronica Hart

text: Nach Abschluss der High School in Las Vegas besuchte Veronica Hart die University of Nevada und schloss dort 1976 ihr Studium der Theaterwissenschaft ab. Nach ihrem Abschluss lebte sie für drei Jahre in England, wo sie u. a. als Fotomodell arbeitete. Nach ihrer Rückkehr in die USA spielte sie in Las Vegas Theater und zog dann nach New York und spielte dort 1979 in ihrem ersten Hardcorefilm mit. Veronica Hart zählte in den 1980ern zu den gefragtesten Pornodarstellerinnen. Mit dem Regisseur Chuck Vincent drehte sie zahlreiche B-Movies. Außerdem hatte sie kleinere Rollen in Spielfilmen und in Fernsehserien wie "Ruby" und "Six Feet Under".


title: Veronica Hart

text: Als Produzentin und Regisseurin arbeitet sie vor allem für "VCA" und war unter anderem für die Comeback-Filme von Marilyn Chambers und Ginger Lynn verantwortlich. Sie drehte auch Being With Juli Ashton. Veronica Hart ist für ihre "HighClass"-Filme bekannt. In diesen wird vor allem auf nachvollziehbare Handlung, sinnreiche Dialoge und aufwändige Produktion Wert gelegt. Des Weiteren ist sie für "VCA" als Talentsucherin und "Ausbilderin" tätig. Hart war Vorstandsmitglied der Bürgerrechtsbewegung "Free Speech Coalition", die sich für einen offeneren Umgang mit Pornografie in den Medien einsetzt, und unterstützt sie heute noch aktiv.


title: Veronica Hart

text: 2004 führte sie beim Film "Misty Beethoven: The Musical", einem Remake des Klassikers "The Opening of Misty Beethoven" aus dem Jahr 1976, Regie. Wie im Original erzählt auch Veronica Harts Neufassung eine Abwandlung von My Fair Lady.


title: Wolfgang Schröder (Ingenieur)

text: Wolfgang Schröder (* 4. September 1957 in Neuss) ist hauptamtlicher Dekan der Fakultät für Maschinenwesen an der RWTH Aachen und Institutsleiter am Aerodynamischen Institut (AIA) der RWTH Aachen.


title: Wolfgang Schröder (Ingenieur)

text: Wolfgang Schröder studierte von 1975 bis 1983 Maschinenbau an der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule (RWTH) in Aachen und promovierte anschließend am Aerodynamischen Institut auf dem Gebiet der numerischen Strömungsmechanik. In den Jahren 1981/1982 übte er eine Tätigkeit im biomedizinischen Labor aus, bei der er am Aufbau eines Prüfstandes zur Untersuchung der strömungsmechanischen Einflüsse auf künstliche Herzklappen mitwirkte. Er arbeitete bis 1983 in der Abteilung für theoretische Strömungsmechanik und war anschließend bis 1987 Wissenschaftlicher Assistent für Übungs- und Laborbetreuung sowie für die Vorlesungen des Instituts.


title: Wolfgang Schröder (Ingenieur)

text: Im Jahr 1987 ging Schröder als Stipendiat der Deutschen Forschungsgemeinschaft an das California Institute of Technology. Er erhielt 1988 in Gemeinschaft mit D. Hänel und R. Schwane den Hermann-Reissner-Preis der Universität Stuttgart und kehrte ein Jahr später nach Deutschland zurück, um erst für die Messerschmitt-Boelkow-Blohm GmbH und anschließend für die Deutsche Aerospace AG im Rahmen europäischer Raumfahrtprojekte zu arbeiten. Seit 1995 war Schröder als Professor für Mathematik, Finanzmathematik und Statistik an der Fachhochschule Braunschweig/Wolfenbüttel tätig, bis er 1998 einen Lehrstuhl für Strömungslehre an der RWTH Aachen erhielt.


title: Wolfgang Schröder (Ingenieur)

text: 2010 wurde Wolfgang Schröder in die Nordrhein-Westfälische Akademie der Wissenschaften und der Künste gewählt. 2013 erhielt er die Carl-Friedrich-Gauß-Medaille.


title: Wolfgang Schröder (Ingenieur)

text: Seit Dezember 2021 ist Wolfgang Schröder der hauptamtliche Dekan der Fakultät für Maschinenwesen. Er tritt damit die Nachfolge von Jörg Feldhusen an.


title: Slawskoje

text: Slawskoje (russisch "Славское", deutsch "Creuzburg i. Ostpr." (1931–1946 "Kreuzburg (Ostpr.)"), litauisch "Kryžbarkas", polnisch "Krzyżbork"), ist ein Ort in der russischen Oblast Kaliningrad. Er gehört zur Landgemeinde Dolgorukowskoje im Rajon Bagrationowsk.


title: Slawskoje

text: Die Ortschaft liegt in der historischen Region Ostpreußen, etwa 14 km nördlich von Preußisch Eylau (Bagrationowsk), 25 km südlich von Königsberg (Kaliningrad) und 45 km nordöstlich von Braunsberg (Braniewo).


title: Slawskoje

text: Um 1240 errichteten die Ritter des Deutschen Ordens die in ihrer Provinz Natangen gelegene Deutschordensburg Kreuzburg an der Stelle einer alten Festung der Prußen. Diese Burg verfiel schon im Spätmittelalter zur Ruine, doch blieb ihr stilisiertes Abbild im Wappen der Stadt erhalten. Zwischen der Ordensburg im Süden und dem Fluss Pasmar im Norden wurde auf einer hochwassergeschützten Anhöhe die mit eigenen Mauern und Toren gesicherte und um einen rechteckigen Marktplatz im Zentrum angelegte Stadtanlage mit der im Süden befindlichen Stadtkirche besiedelt.


title: Slawskoje

text: Bereits 1315 erhielt Kreuzburg durch den damaligen Ordensmarschall Heinrich von Plötzke die Stadtrechte nach der Kulmer Handfeste.


title: Slawskoje

text: Die beistehende historische Abbildung zeigt die Stadt von Norden mit einer Mühle bei der Pasmar-Brücke sowie der bereits im Verfall befindlichen Stadtmauer und dem Rathaus auf dem Marktplatz und der Stadtkirche.


title: Slawskoje

text: Bedingt durch die landschaftlichen und rauen klimatischen Bedingungen und die relative Nähe zur Großstadt Königsberg blieb die eigene Stadtentwicklung gehemmt, Kreuzburg war eine bescheidene Ackerbürgerstadt, die kaum jemals mehr als 2000 Einwohner in ihren Grenzen beherbergte. Die Stadt war im Königreich Preußen auch Poststation. Das direkte Umland der Stadt blieb nur dünn besiedelt, etwa 20 weilerartige Siedlungen und Güter nutzten die Stadt als Versorgungsmittelpunkt.


title: Slawskoje

text: Neben einigen Mahlmühlen und einem Sägewerk besaß die Stadt um 1900 eine evangelische Kirche, ein Amtsgericht, eine Molkerei, eine Ziegelei, ein Gefängnis und eine Schule. Die nördliche Ausfallstraße führte in Richtung Königsberg, eine östliche Abzweigung nach Tharau. In südlicher Richtung führte diese Hauptstraße weiter nach Preußisch Eylau.


title: Slawskoje

text: Die Preußische Ostbahn wurde an Kreuzburg vorbei gebaut. Erst 1908 erhielt die Stadt Anschluss durch die Kleinbahn Tharau–Kreuzburg nach Tharau an der Staatsbahnstrecke Königsberg-Rastenburg. Mit dem Bau der Reichsautobahn (heute russische Fernstraße R 516) von Königsberg nach Elbing erhielt auch Kreuzburg eine etwa 5 km entfernte Autobahnauffahrt bei dem Dorf Sollnicken. Bis Anfang der 1930er Jahre wurde die Stadt in der Form "Creuzburg in Ostpreußen" geschrieben. Durch das geringe Wirtschaftswachstum blieb die sehr regelmäßige Anlage der Stadt bis 1945 vollständig erhalten.


title: Slawskoje

text: Die Stadt Kreuzburg lag im Regierungsbezirk Königsberg, Kreis Preußisch Eylau.


title: Slawskoje

text: Im Februar 1945 hatte die Kesselschlacht von Heiligenbeil die Stadt fast vollständig zerstört. Von der Stadtkirche blieb nur der Turmstumpf erhalten. Das Kirchenschiff mit der im 16. Jahrhundert von einem Rigaer Meister geschaffenen Kanzel nebst Ratsgestühl brannte vollkommen aus. Heute sind nur zwei Wohnhäuser in der Kirchenstraße aus der Vorkriegszeit erhalten.


title: Slawskoje

text: Nach dem Zweiten Weltkrieg lag Kreuzburg im südlichen Teil des Sperrgebietes um die nun sowjetische Hafenstadt Kaliningrad. Ein Wiederaufbau der Stadt unterblieb, der Ort wurde in Slawskoje umbenannt und verlor das Stadtrecht.


title: Slawskoje

text: Heute gehört das Stadtgebiet, heute als „Siedlung“ (russisch: possjolok) eingestuft, zur russischen Oblast Kaliningrad, Rajon Bagrationowsk. Der ehemalige und nicht näher benannte Wohnplatz im Norden der Stadt und jenseits des Flüsschens Pasmar (russisch: Maiskaja) ist heute eine eigene Siedlung mit Namen Sadowoje, die nun aber nicht – wie Slawskoje – zur Landgemeinde Dolgorukowo "(Domtau)", sondern zur Niwenskoje selskoje posselenije (Landgemeinde Niwenskoje "(Wittenberg)") gehört.


title: Slawskoje

text: Die Kirche stammt aus dem 14. Jahrhundert. Sie wurde im Krieg beschädigt, heute steht nur noch die Turmruine.


title: Slawskoje

text: Kreuzburg war ein altes Kirchdorf und bestand bereits in vorreformatorischer Zeit. Die Reformation fand bereits sehr früh Eingang. War der Ort lange Zeit der Inspektion des Oberhofpredigers in Königsberg (heute russisch: Kaliningrad) unterstellt, so war sie zuletzt bis 1945 in den Kirchenkreis Preußisch Eylau (Bagrationowsk) innerhalb der Kirchenprovinz Ostpreußen der Kirche der Altpreußischen Union zugeordnet.


title: Slawskoje

text: Heute besteht keine evangelische Gemeinde mehr in Slawskoje. Der Ort liegt jetzt im Einzugsbereich der Dorfkirchengemeinde in Gwardeiskoje "(Mühlhausen)", einer Filialgemeinde der Auferstehungskirche in Kaliningrad "(Königsberg)". Sie gehört zur Propstei Kaliningrad in der Evangelisch-lutherischen Kirche Europäisches Russland (ELKER).


title: Slawskoje

text: Zu dem weitflächigen Kirchspiel Kreuzburgs gehörten bis 1945: Von der Reformation bis zum Ende des Zweiten Weltkrieges bestanden in Kreuzburg zwei Pfarrstellen. Es amtierten als evangelische Geistliche:


title: Alan Guth

text: Alan Harvey Guth (* 27. Februar 1947 in New Brunswick, New Jersey, USA) ist ein theoretischer Physiker und Kosmologe. Er wurde auch außerhalb der Fachwelt bekannt durch sein 1981 veröffentlichtes Modell vom inflationären Universum.


title: Alan Guth

text: Alan Guth stammt aus einem einfachen Elternhaus, aus dem er nicht viele Anregungen für seine spätere Laufbahn gewinnen konnte. Sein Vater führte verschiedene Geschäfte in New Brunswick.


title: Alan Guth

text: Guth übersprang die letzte College-Klasse und begann 1964 Physik am Massachusetts Institute of Technology (MIT) zu studieren, wo er 1969 den Masterabschluss machte und 1972 bei Francis Low mit der Arbeit "A Relativistic Quark Model for Mesons Based on Numerical Solutions of the Bethe-Salpeter Equation" promovierte. Er dozierte und forschte an der Princeton University, der Columbia University, der Cornell University und der Stanford University hauptsächlich auf dem Gebiet der Teilchenphysik. 1980 kam er zurück zum MIT, wo er bis heute als Professor den Lehrstuhl von Victor Weisskopf innehat. 1981 erhielt er ein Forschungsstipendium der Alfred P. Sloan Foundation (Sloan Research Fellowship).


title: Alan Guth

text: In Cornell und Stanford entwickelte er unter dem Einfluss von Robert Dicke und Steven Weinberg gemeinsam mit seinem Studienkollegen Henry Tye kosmologische Modelle unter Hinzuziehung von Erkenntnissen aus der Teilchenphysik. Wichtigstes Ergebnis dieser Arbeit war die Erkenntnis, dass das Universum in der frühen Phase kurz nach dem Urknall ein exponentielles Wachstum, angetrieben durch eine negative Vakuumenergiedichte haben musste. Das Modell entwickelte er ab 1979, trug darüber 1980 auf einem SLAC-Seminar vor und veröffentlichte es 1981. Das erste Modell war noch fehlerhaft, wie auch Guth erkannte, und wurde durch Paul Steinhardt und Andreas Albrecht sowie unabhängig durch Andrei Linde 1982 weiterentwickelt (New Inflation oder Slow Roll Inflation). Seitdem entstanden weitere Varianten.


title: Alan Guth

text: Zusammen mit den Astrophysikern Arvind Borde und Alexander Vilenkin entwickelte Guth im Jahr 2003 das Borde-Guth-Vilenkin-Theorem (BGV-Theorem). Dieses mathematisches Theorem der physikalischen Kosmologie geht davon aus, dass jedes Universum, das sich in der Vergangenheit wie inflationäre Universen genügend stark ausgedehnt hat, in der Vergangenheit nicht unendlich sein kann, sondern eine vergangene Raumzeitgrenze haben muss.


title: Alan Guth

text: Guth wurde in die National Academy of Sciences und die American Academy of Arts and Sciences gewählt. Außerdem ist er auswärtiges Mitglied der Norwegischen Akademie der Wissenschaften. 1985 wurde er Fellow der American Physical Society.


title: Alan Guth

text: Sein Sohn Larry Guth ist Mathematiker.


title: Čačak

text: Čačak (; deutsch veraltet "Zazach") ist eine Stadt in Zentralserbien. Sie ist die achtgrößte Stadt Serbiens und der Verwaltungssitz des Okrugs Moravica. Laut der Volkszählung 2011 lebten in der Stadt 72.148 Einwohner.


title: Čačak

text: Im Westen der Stadt liegt der Verwaltungssitz Požega des Okrug Zlatibor. Im Osten liegt die Stadt Knić im Okrug Šumadija und im Südosten der Verwaltungssitz Kraljevo des Okrug Raška.


title: Čačak

text: Der Stadtkern liegt auf einer Höhe von 204 m über dem Meeresspiegel. Die Gesamtfläche der Stadt mit Umgebung erstreckt sich über 636 km² und kann in folgende Landschaften unterteilt werden:Die Namen der umliegenden Berge sind:


title: Čačak

text: Die Westliche Morava fließt quer durch die Gebirgslandschaft.


title: Čačak

text: Die Landschaft Čačanska Kotlina wird hauptsächlich zu landwirtschaftlichen Zwecken genutzt. Die zwei Berge Kablar und Ovčar fallen unter das Naturschutzgesetz Serbiens. Das Naturschutzgebiet, in dem sie gelegen sind, hat den Namen "Ovčarska-Kablanska Klisura". Dieses stark bewaldete Gebiet ist voll pflanzlichen Reichtums und bietet zudem auch Schutz für zum Teil gefährdete Tierarten. Daher besteht besonderer staatlicher Schutz.


title: Čačak

text: Čačak fällt in die kontinentale Klimazone. Die Jahresdurchschnittstemperatur beträgt 10,5 °C und die durchschnittliche Luftfeuchtigkeit 80,7 %. Čačak liegt windgeschützt zwischen vier Bergketten. Die durchschnittliche Windstärke der südlichen Winde beträgt nur 2 m/s, die der östlichen 1,4 m/s.


title: Čačak

text: Die ältesten auf diesem Gebiet gefundenen archäologischen Funde stammen aus der Steinzeit zwischen den Jahren 8000 und 3200 v. Chr. Es wurden auch Schmuckstücke aus der Bronzezeit sowie eine Grabstätte aus der Zeit um 500 v. Chr. gefunden, die anscheinend für frühere Adelige errichtet wurde, da die Gräber voll mit Goldschmuck, Silberschmuck und Münzen waren.


title: Čačak

text: Weiterhin wurden auch landwirtschaftliche Werkzeuge und zahlreiche weitere Artefakte aus römischer Zeit gefunden.


title: Čačak

text: Die ältesten Funde, die darauf schließen lassen, dass sich zu dieser Zeit Serben hier ansiedelten, stammen aus dem 10. Jahrhundert.


title: Čačak

text: Zur Zeit Stefan Nemanjas stand dieses Gebiet zwischen 1168 und 1189 unter der Führung dessen Bruders Stracimir Nemanja, der hier das Kloster Gradac errichtete.


title: Čačak

text: Čačak wird mit dem heutigen Namen das erste Mal am 18. Dezember 1408 in einem Schriftstück des "Dubrovica-Archivs" dokumentiert.


title: Čačak

text: Zur Zeit des Osmanischen Reiches gab es hier eine Vielzahl an Gefechten und Unruhen zwischen den Osmanen und Österreich, besonders während des Wiener Krieges in den Jahren 1683–1699. Damals drang die kaiserliche Armee bis nach Čačak vor, als es auch hier zu vermehrten serbischen Aufständen gegen die Osmanen kam. Doch nach zwei Jahren eroberten die Osmanen das gesamte Gebiet zurück. Im Jahre 1716 kam es erneut zum Krieg. Zu dieser Zeit bestand Čačak lediglich aus ca. 150 Häusern und wurde kurz nach dem Frieden von Passarowitz 1717 befreit. Eine erneute Offensive der Osmanen kurz darauf wurde der Stadt zum Verhängnis, da sie 1738 gänzlich in Brand gesetzt wurde.


title: Čačak

text: Nachdem diese Region wieder in osmanischen Händen war, blieb sie lange Zeit eine Einöde und wurde erst in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts von Siedlern aus dem restlichen Serbien, Montenegro, der Herzegowina, Bosnien und anderen Balkanteilen besiedelt, deren Nachkommen auch heute noch 90 Prozent der Einwohner Čačaks ausmachen. Um 1788 wurde die Innenstadt von Anhängern von Aleks Nenadović in Brand gesetzt.


title: Čačak

text: 1804 wurde die Stadt beim ersten serbischen Aufstand befreit. Nach einer Volkszählung 1808 lebten in Čačak lediglich 250 Menschen.


title: Čačak

text: 1813 wurde Serbien erneut von der Osmanischen Macht angegriffen, und Čačak fiel wieder unter deren Herrschaft. Die darauf folgenden osmanischen Repressalien ließen den Gedanken an einen neuerlichen serbischen Aufstand erstarken.


title: Čačak

text: 1814 kam es zu einem kleinen Aufstand der Bauern in einem Dorf nahe Čačak, doch diese wurden rasch entwaffnet und noch bevor die Bevölkerung Čačaks davon erfuhr, enthauptet. 1815 entstand in Takovo die Keimzelle des zweiten serbischen Aufstandes, dieser breitete sich über einen Großteil Serbiens aus. Die Große Schlacht bei Čačak dauerte vom 24. April bis zum 13. Juni und endete zu Gunsten der Serben, da der osmanische Heeresführer Imsir in der Schlacht fiel und die Reste seiner Armee sich in das Landesinnere zurückzogen.


title: Čačak

text: Nach dem zweiten serbischen Aufstand entwickelte sich die Stadt rasant weiter, obwohl sie nach dem endgültigen Abmarsch der Osmanen aus Serbien nur 900 Einwohner zählte.


title: Čačak

text: 1834 wurde das Alte Kloster gänzlich restauriert. 1837 begann der Bau des neuen Gymnasiums. Bereits zur Mitte des 19. Jahrhunderts zählte die Stadt 1500 Einwohner. Auch heute erinnert die Innere Stadt noch immer an die serbische Architektur des 19. Jahrhunderts und die Herrschaft von Miloš Obrenović.


title: Čačak

text: Nach dem Berliner Kongress und der Unabhängigkeitserklärung Serbiens im Jahre 1878 wurde Čačak das wirtschaftliche und landwirtschaftliche Handelszentrum in West-Serbien.


title: Čačak

text: 1911 wurde die erste schmalspurige Eisenbahnstrecke eröffnet. In Folge entwickelte sich Čačak zu einem wichtigen Eisenbahnknotenpunkt im serbischen bzw. jugoslawischen Eisenbahnnetz. Durch den wirtschaftlichen Aufschwung wuchs die Stadt noch weiter und die Einwohnerzahl verdoppelte und verdreifachte sich von 1830 bis 1890. 1910 betrug die Einwohnerzahl bereits 5.671.


title: Čačak

text: Nach dreijähriger österreichischer Besatzung wurde die Stadt am 25. Oktober 1918 erobert und entwickelte sich fortan rasch weiter, diesmal jedoch in einem gänzlich neuen Umfeld, da die Grenzen Serbiens und des neuen Staates Jugoslawien nun offiziell festgelegt waren.


title: Čačak

text: 1921 wurde die Stadt elektrifiziert. Das hatte zur Folge, dass kurz danach im Jahre 1930 neue Industriebetriebe eröffnet wurden (Papierfabrik, Waffen- und Rüstungsfabrik). Auch die geistige Weiterbildung kam in dieser Zeit nicht zu kurz, da weitere Schulen und Gymnasien gegründet wurden. Das Kloster und die neueren Kirchen wurden restauriert bzw. renoviert. Ab 1927 wurden neue umfangreiche Wohnhausanlagen errichtet. Von 1918 bis 1941 wuchs die Einwohnerzahl von 6.000 auf 13.000 an.


title: Čačak

text: 1941 wurde die Stadt zum Mittelpunkt des Bürgerkrieges zwischen Partisanen und Tschetniks. Während des Zweiten Weltkrieges unterdrückte die deutsche Besatzungsmacht die zivile Bevölkerung, liquidierte viele Einwohner, die sich widersetzten und entwendete wirtschaftliche Güter der Stadt.


title: Čačak

text: Am 4. Dezember 1944 wurde Čačak durch die Alliierten Truppen der Roten Armee und der Partisanen erobert.


title: Čačak

text: Ab 1945 erholte sich die Stadt wie auch nach den zahlreichen Konflikten zuvor. Es wurde wieder gebaut und Unternehmen, kulturelle Einrichtungen, Sporteinrichtungen und mehr geschaffen. Die Einwohnerzahl wuchs weiterhin (1961: 27.642, 1991: 71.392, 2002: 117.072).


title: Čačak

text: Am 4. Juni 2021 kam es in der Munitionsfabrik um 01.30 Uhr zu einer großen und 2 Stunden lang zu einer Reihe weiterer Explosionen im Munitionslager. Die 60 Mitarbeiter der Nachtschicht blieben unverletzt. Čačak gilt innerhalb Serbiens als Hochburg des Basketballs, der in Serbien als Sport wegen vieler internationaler Erfolge einen hohen Stellenwert genießt. Der KK Borac spielt in der höchsten serbischen Liga und hat bedeutsame Spieler hervorgebracht, angeführt von Dragan Kićanović und Željko Obradović. In der jüngeren Vergangenheit gesellten sich dazu weitere aus Čačak gebürtige serbische Auswahlspieler:Der größte Fußballverein der Stadt ist der Borac Čačak.


title: Gerlachov (Poprad)

text: Gerlachov (bis 1927 slowakisch „Gerlachov“; deutsch "Gerlsdorf" und "Gerlachsdorf", ungarisch "Gerlahfalva" – bis 1902 "Gerlachfalu") ist eine kleine Gemeinde im Nordosten der Slowakei mit Einwohnern (Stand ), die zum Okres Poprad, einem Teil des Prešovský kraj gehört.


title: Gerlachov (Poprad)

text: Die Gemeinde befindet sich im Talkessel Podtatranská kotlina, genauer gesagt im Unterteil Popradská kotlina, am Fuße der Hohen Tatra. Sie gehört zur Region Zips und gibt dem nördlich gelegenen Berg Gerlachovský štít ("Gerlsdorfer Spitze", "Gerlachsdorfer Spitze") sowie indirekt den Bergen Gerlachovská veža und Zadný Gerlach den Namen. Das Ortszentrum ist acht Kilometer westlich von Poprad entfernt.


title: Gerlachov (Poprad)

text: Der Ort wurde durch karpathendeutsche Goldschürfer (deshalb im Wappen zwei gekreuzte Bergbauhämmer), genauer durch den Richter "Gerlach" aus "Georgenberg"/"Spišská Sobota" (heute Stadtteil von Poprad) im Auftrag der Adelsfamilie "Máriassy" gegründet und wird 1326 als "Gerlachfewlde" (Gerlachfelde) zum ersten Mal erwähnt. Aus dieser Zeit stammt auch das älteste Bauwerk des Ortes, der Turm einer im 13. Jahrhundert errichteten Kirche. Der Rest der Kirche brannte jedoch wie der gesamte Ort 1876 nieder und wurde neu errichtet. Die evangelische Kirche im Ort wurde 1800 erbaut und 1899 restauriert.


title: Gerlachov (Poprad)

text: Wie in vielen anderen Orten der Zips ging die deutsche Bevölkerung von Gerlsdorf im Laufe der Zeit ganz in der slowakischen Volksgruppe auf. Dieser Prozess war bereits Ende des 18. Jahrhunderts weitgehend abgeschlossen.


title: Gerlachov (Poprad)

text: Heute lebt der Ort vor allem vom Tourismus.


title: Gerlachov (Poprad)

text: Nach der Volkszählung 2011 wohnten in Gerlachov 809 Einwohner, davon 719 Slowaken, 48 Roma, 6 Tschechen, 3 Russinen sowie 4 anderer Ethnie. 36 Einwohner gaben keine Angabe an. 378 Einwohner bekannten sich zur römisch-katholischen Kirche, 255 Einwohner zur evangelischen Kirche, 46 Einwohner zu den Siebenten-Tag-Adventisten, 11 Einwohner zur griechisch-katholischen Kirche, 10 Einwohner zur evangelisch-methodistischen Kirche und 17 Einwohner waren anderer Konfession. 51 Einwohner waren konfessionslos und bei 41 Einwohnern ist die Konfession nicht ermittelt.


title: Gerlachov (Poprad)

text: Ergebnisse nach der Volkszählung 2001 (781 Einwohner):


title: Heike Wilms-Kegel

text: Heike Wilms-Kegel (* 19. Oktober 1952 in Bremen) ist eine deutsche Politikerin (Bündnis 90/Die Grünen und FDP).


title: Heike Wilms-Kegel

text: Nach dem Abitur 1971 am Gymnasium Tannenbusch in Bonn begann Heike Wilms-Kegel ein Studium der Medizin an der Universität Bonn, welches sie 1979 mit der Approbation beendete. Danach war sie als Assistenzärztin in der Chirurgie und von 1980 bis 1982 in der Radiologie, Strahlentherapie und Onkologie tätig. Anschließend war sie bis zu ihrem Einzug in den Bundestag Abteilungsärztin an der psychosomatischen Fachklinik Bad Tönisstein. Nach ihrem Ausscheiden aus dem Bundestag wurde Wilms-Kegel Direktorin bei CARE Deutschland in Moskau; danach leitete sie von 1991 bis Mitte 1997 die Abteilung "Gesundheitspolitik und Kommunikation" der Firma Upjohn GmbH in Heppenheim. 1997 wurde sie Geschäftsführerin des Deutschen Heilbäderverbandes.


title: Heike Wilms-Kegel

text: Heike Wilms-Kegel wurde 1983 Mitglied der Partei Die Grünen. Von 1987 bis 1990 war sie für ihre Partei Mitglied des Deutschen Bundestages. Sie zog über die Landesliste Rheinland-Pfalz ins Parlament ein. Dort war sie Vorsitzende im Ausschuss für Jugend, Familie, Frauen und Gesundheit und für ihre Fraktion gesundheitspolitische Sprecherin. Nach der Bundestagswahl 1990 wechselte sie in die FDP.


title: David Beaton

text: David Beaton (auch "Bethune", * um 1494; † 29. Mai 1546 in St Andrews, Fife) war Erzbischof von Saint Andrews und Kardinal.


title: David Beaton

text: Er entstammte der schottischen Linie des französischen Adelsgeschlechts Béthune. Er war ein jüngerer Sohn des John Bethune (um 1460–1524), 6. Laird der feudalen Baronie "Balfour" in Fife.


title: David Beaton

text: Nach dem Studium an den Universitäten bzw. dem Kollegium von St. Andrews, Paris und Glasgow war Beaton zunächst am französischen Hof tätig als Gesandter und Botschafter der schottischen Regentschaft und 1525 Geheimsiegelbewahrer Jakobs V. von Schottland. Unter dem Schutz von König Franz I. stehend wurde er bald Bischof von Mirepoix im Languedoc, weil er seit 1533 wegen Jakobs Vermählung mit Madeleine de Valois und nach deren Tod 1537 mit Marie de Guise unterhandelte, und später von Papst Paul III. zum Kardinal erhoben. Seit 20. Dezember 1538 „schottischer“ Kardinal (Titelkirche: "Santo Stefano al Monte Celio") von St Andrews und Primas des Reichs, war er seit 1544 päpstlicher Legat.


title: David Beaton

text: Beaton bemächtigte sich ganz des schwachen Königs Jakob, entzweite denselben mit seinem Adel und trieb ihn zur Verfolgung der Protestanten. Nach Jakobs Tod (1542) beanspruchte er auf Grund eines angeblichen Testaments des Königs die Regentschaft für die minderjährige Maria Stuart; allein das Parlament sprach dieselbe dem Earl of Arran zu und ließ Beaton 1543 verhaften. Doch dieser entkam bald, söhnte sich mit Arran aus und war nun der vornehmste Gegner der Verbindung Schottlands mit England und der Pläne Heinrichs VIII., Maria Stuarts Hand für seinen Sohn zu gewinnen. Seine Strenge gegen die Protestanten, deren eifrigen Prediger George Wishart er am 28. März 1546 hinrichten ließ, führte seinen Tod herbei. Von verschworenen Edelleuten in seinem Schloss am 29. Mai 1546 überfallen und ermordet, wurde er im Kardinalsanzug an dasselbe Fenster gehängt, aus welchem er zwei Monate zuvor der Verbrennung Wisharts zugesehen hatte.


title: David Beaton

text: Seine politischen Ansichten entsprachen derjenigen der schottisch-französischen Allianz und waren vom Gegensatz zur anglikanischen Gegenbewegung geprägt.


title: David Beaton

text: 1823 erschien William Tennants Drama "Kardinal Beaton", basierend auf Beatons Leben.


title: David Beaton

text: Mit seiner Mätresse Mariota Ogilvy († 1575), Tochter des James Ogilvy, 1. Lord Ogilvy of Airlie, hatte er vier illegitime Kinder:


title: Huși

text: Huși ([]; ) ist eine Stadt in Rumänien im Kreis Vaslui.


title: Huși

text: Die Stadt liegt im Osten des Landes auf einer Höhe von 120 Metern an der Grenze zur Republik Moldau. Der Grenzfluss Pruth zu Moldau liegt 9 Kilometer östlich. An das Eisenbahnnetz ist die Stadt über die Strecke Iași–Galați angeschlossen.


title: Huși

text: Der Ort ist wahrscheinlich als eine Kolonie der Hussiten gegründet worden.


title: Huși

text: Von historischer Bedeutung ist der Frieden vom Pruth, den Peter der Große hier am 23. Juli 1711 unterzeichnen musste, nachdem seine Truppen zuvor in der Nähe der Stadt von den Türken eingeschlossen worden waren.


title: Huși

text: Im Jahre 1900 betrug die Bevölkerung 15.404 Einwohner, von denen ein Viertel Juden waren.


title: Huși

text: Huși ist der Geburtsort des Malers Ștefan Dimitrescu.


title: Huși

text: Die Stadt Huși ist Bischofssitz des gleichnamigen Bistums ("Episcopia Hușilor") der rumänisch-orthodoxen Kirche.


title: Depilation

text: Der Begriff Depilation bezeichnet mehrere Verfahren der Haarentfernung, bei denen nur der sichtbare Teil des Haares außerhalb der Haut entfernt wird. Die gängigste Depilationsmethode ist die Rasur. Verbreitet ist auch die Anwendung chemischer Mittel, etwa von Enthaarungscreme. Bei beiden Methoden wächst das Haar innerhalb kurzer Zeit wieder nach. Im Unterschied zur Depilation wird bei der Epilation das Haar mitsamt der Haarwurzel entfernt, entweder temporär oder permanent. Depilationen wurden bereits in der Antike durchgeführt.


title: Depilation

text: Jede behaarte Haut kann depiliert werden. Die Rasur des Kopfhaars ist beispielsweise bei buddhistischen Mönchen üblich, bei christlichen Mönchen als Teilrasur in Form der Tonsur und bei Skinheads als Ausdruck der Zugehörigkeit zur Gruppe.


title: Depilation

text: Die Rasur der Körperbehaarung, insbesondere der Achselhaare und der Beinhaare, ist vor allem bei Frauen weit verbreitet. Die Intimrasur, traditionell in einigen Kulturen ebenfalls vor allem bei Frauen beliebt, beginnt zurzeit auch im Westen immer mehr Anhänger zu finden. Die Armrasur findet sich vergleichsweise selten, meistens nur im Zusammenhang mit der Ganzkörperhaarentfernung.


title: Depilation

text: Bei der Rasur wird das Haar mit einer sehr scharfen Klinge (Rasierklinge) unmittelbar an seiner Austrittsstelle aus der Haut abgeschnitten. Die entsprechenden Verfahren sind die Nassrasur mit Rasierschaum oder -gel und die Trockenrasur mit einem elektrischen Rasierapparat.


title: Depilation

text: Ferner wendet man auch chemische Enthaarungsmittel in Form von Creme, Lotion oder Schaum an. Die darin enthaltenen alkalischen Wirkstoffe (ca. pH 12) spalten die Peptidbindungen und Disulfidbrücken des Haarkeratins auf. Der außerhalb der Haut gelegene Teil des Haars zerfällt und wird abgetrennt. Die Haarwurzel wird davon nicht betroffen und neues Haar wächst sofort wieder nach. Als Wirkstoffe werden Salze der Thioglycolsäure und der Thiomilchsäure eingesetzt. Die Anwendung dieser Stoffe wird hinsichtlich der Einsatzmenge und Höhe des pH-Wertes der Formulierungen durch die EG-Kosmetik-Richtlinie geregelt. Nach der Anwendung der Präparate ist gründliches Abwaschen mit Wasser erforderlich. Sauer (ca. pH 4) eingestellte Nachbehandlungs-Präparate helfen bei der Neutralisierung.


title: Depilation

text: Die Depilation hat gegenüber der Epilation den Nachteil, dass das Haar sehr rasch wieder nachwächst und erneut depiliert werden muss. Die Depilation mit dem Rasierer oder Enthaarungscreme ist dafür sehr einfach durchzuführen und schmerzfrei, zum Beispiel in der Dusche oder der Badewanne.


title: Husi

text: Husi ist der Familienname oder Namensteil folgender Personen: Husi steht für: Huși steht für:


title: Pikachu

text: Pikachu (jap. , "Pikachū") ist ein fiktives Wesen und das bekannteste Pokémon aus den gleichnamigen Videospielen der japanischen Videospielentwickler Game Freak sowie eine Kernfigur im zugehörigen Anime. Es gilt als Maskottchen des Pokémon-Franchises und ist oft auf Verpackungen für entsprechende Produkte zu sehen. Der Name „Pikachu“ setzt sich aus den beiden japanischen Schallwörtern "Pika" (), für das Geräusch eines elektrischen Funkens, und "Chū", für das Piepsen einer Maus, zusammen. Japanische Forscher des "Osaka Bioscience Institute" benannten nach dem Pokémon ein neu entdecktes Protein, Pikachurin, welchem eine Rolle beim Bewegungssehen zugeschrieben wird.


title: Pikachu

text: Pikachu hat einen mausähnlichen Körper, gelbes Fell und einen rundlichen Kopf mit roten Pausbacken, schwarzen Knopfaugen und länglichen, in schwarzen Spitzen endenden Ohren. Über seinen Rücken ziehen sich quer zwei braune Streifen und sein flacher Schweif verläuft in einer breiten Blitzform. Weibliche Pikachu haben einen herzförmig gezackten Schweif. Als Teil der Unterart der "Elektro-Pokémon" ist es fähig, elektrische Schläge zu verteilen und Blitze abzugeben. In den Zeichentrickfilmen und der Pokémon-Gelb-Edition gibt das Pikachu, wie die meisten anderen Pokémon auch, keine Tierlaute von sich, sondern spricht (mit einer kindlichen Stimme) seinen Namen oder einzelne Silben davon aus.


title: Pikachu

text: Ursprünglich war Pikachu ein Eichhörnchen. Pikachu basiert auf einem Pfeifhasen, auch Pikas genannt.


title: Pikachu

text: In den Pokémon-Rollenspielen ist das Pikachu ein gewöhnliches Pokémon, das man in vorgegebenen Landschaften öfter antreffen, bekämpfen und einfangen kann. Es ist in allen Versionen des Rollenspiels vorzufinden. Ähnlich den meisten Pokémon ist auch Pikachu Teil einer evolutionären Reihe, im Rahmen derer sich ein Pokémon in ein anderes verwandelt. Die Vorstufe eines Pikachu ist das "Pichu"; ein Pikachu kann sich mit Hilfe eines Donnersteins in ein "Raichu" weiterentwickeln. In manchen Ablegern der Hauptspiele besitzt Pikachu besondere Formen wie das Cosplay-Pikachu in Pokémon Omega Rubin und Alpha Saphir.


title: Pikachu

text: 1998 erschien in Japan für das Nintendo 64 das Spiel "Pikachū Genki dechū" (; Wortspiel auf „Pikachu genki desu“: Pikachu geht es gut), welches 2000 auch im amerikanischen Raum unter dem Titel "Hey You, Pikachu!" vertrieben wurde. Bei dem Titel handelt es sich um eine Form von Lebenssimulation mit Spracherkennung: Der Spieler spricht über das beiliegende Mikrofon Anweisungen aus, die das Pikachu zu unterschiedlichen Aktionen veranlassen, solange dieses ein bestimmtes Mindestmaß an Zufriedenheit hat. Andere Spielabschnitte beinhalten ein Versteckspiel. Im Laufe der Zeit erhält der Spieler Punkte, die seine Freundschaft zu Pikachu darstellen sollen. Das Spiel hat sich laut IGN schwach verkauft. "Fran Mirabella III" (IGN) hielt die Steuerung in der Egoperspektive für sehr schwerfällig, sie hebe zusammen mit Spracherkennungsfehlern den Schwierigkeitsgrad. Die Grafik entspreche einem sehr frühen Zeitpunkt in der Lebensdauer der Spieleplattform und die akustische Untermalung falle mit kurzen Musikschleifen unangenehm auf. Sehr positiv zu bewerten sei die Pikachu-Figur an sich, deren Animationen weich und ausdrucksstark ausfalle, was durch die umfangreichen Formen, seinen eigenen Namen zu sagen, noch aufgewertet werde. Prinzipiell handele es sich bei dem Spiel um ein eher kurzweiliges Vergnügen für junge Kinder.


title: Pikachu

text: Im Jahr 1999 veröffentlichte Nintendo eine modifizierte Version des ursprünglichen Pokémon-Game-Boy-Spiels als "Special Pikachu Edition", die sich an die Pokémon-Zeichentrickserie anlehnt: Man wählt sich zu Beginn des Spiels keines aus den üblichen drei Pokémon aus, sondern erhält ein störrisches Pikachu, welches sich dem Protagonisten gegenüber anfangs abweisend verhält und dessen Zuneigung von den Handlungen des Spielers abhängt; ferner enthält das Spiel auch andere Anleihen aus der Fernsehserie, so etwa das in jeder Folge wiederkehrende, antagonistische "Team Rocket". Der Titel verkaufte sich innerhalb von zwei Wochen über eine Million Mal, langfristig gingen 14,6 Millionen Exemplare über den Ladentisch. In Europa erschien das Spiel ein Jahr später.


title: Pikachu

text: Eines der ersten Spiele für den Nintendo DS war 2005 "Pokémon Dash": Der Spieler steuert ein Pikachu aus der Draufsicht in einem Rennen gegen andere Pokémon, indem er mit dem Stylus ununterbrochen Linien über den Bildschirm des DS zieht und damit die Bewegung des Pikachu vorgibt. Das Spiel stammt aus dem "Ambrella"-Studio, welches bereits für "Hey You, Pikachu!" verantwortlich zeichnete, und erhielt von Kritikern weitestgehend schlechte Bewertungen.


title: Pikachu

text: Das "Pokémon Pikachu" ist ein tragbares Gerät, bei dem man sich – ähnlich wie bei Tamagotchi – um ein virtuelles Pikachu kümmern muss. Das Gerät beinhaltet ein Pedometer mit integrierter Uhr und einem farblosen Flüssigkristallbildschirm, auf dem das Pokémon zu sehen ist. Durch körperliche Bewegung mit dem Pedometer am Gürtel erhält man virtuell Watt-Einheiten, die man Pikachu schenken kann, um sich mit ihm anzufreunden. Das Gerät verkaufte sich in Japan innerhalb der ersten 30 Tage über 2,5 Millionen Mal.


title: Pikachu

text: Der Nachfolger, das "Pokémon Pikachu Color" verfügt über ein Farbdisplay und eine Infrarot-Schnittstelle, über die man Watt auf andere Pokémon Pikachu Colors übertragen kann. Es ist auch möglich, über die Infrarot-Schnittstelle des Game Boy Color Watt auf die Pokémon-Rollenspiele Gold, Silber und Kristall zu übertragen und dort in virtuelle Gegenstände umzutauschen. Mit einem integrierten Minispiel lassen sich zusätzliche Watt-Einheiten erspielen.


title: Pikachu

text: Pikachu ist eine spielbare Figur in allen Teilen der Super-Smash-Bros-Serie und stellt sich dort anderen Nintendo-Spielfiguren mit einem Arsenal an unterschiedlichen, elektrisch basierten Angriffen. Gesprochen wird es, wie auch im Anime, von Ikue Ōtani.


title: Pikachu

text: Weiterhin sind für die Wii-Konsole von Nintendo die Spiele "PokéPark Wii: Pikachus großes Abenteuer" und dessen Nachfolger "PokéPark Wii: Die Dimension der Wünsche" erschienen. In beiden Teilen ist das Pikachu eine spielbare Hauptfigur. Die Spiele simulieren das Leben des Pikachu in einer fiktiven Landschaft, dem titelgebenden "PokéPark". Ziel ist es, gewisse Minispiele zu meistern sowie sich mit anderen Pokémon anzufreunden.


title: Pikachu

text: In dem Videospiel "" ist Pikachu unter anderem die Hauptfigur des Spiels. Es ist das einzige Pokemon, auf das Pokemon-Ami verwendet werden kann, was bedeutet, dass man mit dem Pokemon spielen kann.


title: Pikachu

text: In der Anime-Serie und in den Kinofilmen ist anders als in den Mangas ein Pikachu anstatt eines Piepis der ständige Begleiter des Protagonisten Ash Ketchum und dessen bester Freund. Die Serie beginnt damit, dass Pikachu dem Protagonisten als sein allererstes Pokémon zugeteilt wird, diesen jedoch als seinen "Pokémon-Trainer" abweist, seine Befehle ignoriert und ihn zuweilen angreift. Im Laufe der ersten Folge gewinnt der Hauptdarsteller das Vertrauen seines Pokémon, sodass dieses fortan an seiner Seite verweilt und als sein bevorzugter Kämpfer im Laufe der Serie immer stärker wird. Jedoch vermeidet es jedes Mal die Weiterentwicklung zu Raichu. Da es von seinem Trainer sehr bevorzugt wird, wird es nie mit einem anderen Pokémon eingewechselt. Es erhält, wie in der Serie üblich, keinen Namen und wird stattdessen mit seiner Artenbezeichnung „Pikachu“ gerufen. In fast jeder Folge versucht das "Team Rocket", eine Gruppe von Pokémon-Dieben, Pikachu zu stehlen. Sie scheitert jedoch jedes Mal.


title: Pikachu

text: Das Pikachu der Hauptfigur wird als besonders eigenwilliges Exemplar dargestellt, welches sich gegen seine Aufbewahrung in einem Pokéball, die in der fiktiven Welt der Pokémon gemeinhin üblich ist, wehrt, außerhalb von Kämpfen weitestgehend eigenständig agiert und das Geschehen um sich herum gelegentlich mit niedlicher („kawaii“) Gestik kommentiert oder die Handlung auflockert.


title: Pikachu

text: In der Planungsphase des Zeichentricks suchten die Produzenten ein Pokémon, das im Mittelpunkt der Serie stehen sollte. Pikachu gehörte bereits damals zu den beliebtesten Figuren und galt als potentiell Jungen und Mädchen gleichermaßen zugänglich, weshalb es für diesen Part ausgewählt wurde. Laut Satoshi Tajiri, dem Schöpfer der Pokémon-Spiele, wird Pikachu in Japan und den Vereinigten Staaten unterschiedlich wahrgenommen: Kinder in den USA würden Artikel bevorzugen, die Pikachu zusammen mit seinem Trainer darstellen, während in Japan ein Fokus auf Pikachu allein liege.


title: Pikachu

text: In den Jahren 2003 und 2004 veröffentlichte die Website des Forbes Magazine jeweils eine Übersicht mit den zehn rentabelsten fiktiven Figuren. In beiden wurde Pikachu stellvertretend für die Pokémon-Franchise geführt. In der asiatischen Time-Ausgabe des Dezembers 1999 wurde Pikachu an zweiter Stelle hinter Ricky Martin in der Kategorie “The Best People of 1999” (englisch, übersetzt: „Die besten Leute des Jahres 1999“) genannt. Die Figur "Ling-Ling" der amerikanischen Serie "Drawn Together" ist Pikachu nachempfunden.


title: Pikachu

text: Die autonome Pazifikinsel Niue prägte 2001 Ein-Neuseeland-Dollar-Gedenkmünzen von Pikachu in einer Stückzahl von 100.000 Exemplaren.


title: Pikachu

text: Pikachu war 2014 das offizielle WM-Maskottchen der japanischen Fußball-Nationalmannschaft.


title: Husch

text: Husch ist der Familienname folgender Personen


title: Husch

text: Husch steht für:


title: Husch

text: Siehe auch:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Riemannsche Zeta-Funktion, auch Riemannsche ζ-Funktion oder Riemannsche Zetafunktion (nach Bernhard Riemann), ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte. Bezeichnet wird sie üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben formula_1 (Zeta).


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ihr Definitionsbereich umfasst alle komplexen Zahlen außer der Zahl formula_2. Für Werte formula_3 mit Realteil größer als 1 wird die Riemannsche Zeta-Funktion über eine Dirichlet-Reihe definiert. Mittels analytischer Fortsetzung kann sie zu einer auf formula_4 holomorphen Funktion ausgeweitet werden. Sie erfüllt eine wichtige Funktionalgleichung, mit deren Hilfe sie sogar charakterisiert werden kann.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Von großer Bedeutung für die Zahlentheorie ist, dass die Zeta-Funktion das Gesetz der eindeutigen Zerlegung natürlicher Zahlen in Primfaktoren (damit ist die Zerlegung einer Zahl in „unteilbare“ Elemente gemeint, in etwa 132 = 2 · 2 · 3 · 11) analytisch, also durch eine geschlossene Formel, ausdrückt. Auf dieser Basis konnte Riemann im Jahr 1859 die sehr enge und nicht offensichtliche Beziehung zwischen den Primzahlen und der Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion nachweisen. So folgt aus der Tatsache formula_5 für alle komplexen Zahlen formula_6 mit formula_7 bereits, dass die formula_8-te Primzahl formula_9 „recht genau“ den Wert formula_10 hat – genauer gesagt folgt Hier bezeichnet formula_12 den natürlichen Logarithmus von formula_8. Genauere Informationen über nullstellenfreie Bereiche macht das Bild um die Primzahlverteilung deutlicher. Die bis heute (Stand September 2020) unbewiesene Riemannsche Vermutung sagt aus, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil formula_14 haben, also auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Ob diese Vermutung zutrifft, ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Aufgrund der Bedeutung der Primzahlen für moderne Kryptosysteme (wie in etwa der RSA-Verschlüsselung) genießt die Riemannsche Vermutung auch außerhalb der reinen Zahlentheorie Aufmerksamkeit.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Das Verhalten der Riemannschen Zeta-Funktion gilt in den Bereichen formula_7 und formula_16 als weitgehend verstanden. Jedoch sind ihre Eigenschaften innerhalb des "kritischen Streifens" formula_17 weitestgehend unbekannt und Gegenstand bedeutender Vermutungen. Dies betrifft unter anderem die Fragen nach asymptotischem Wachstum in imaginärer Richtung und der für die Zahlentheorie so wichtigen Nullstellenverteilung. Nach heutigem Wissensstand beschreibt die Zeta-Funktion im Streifen formula_18 im Wesentlichen Chaos. Die Werte der Nullstellen bauen nicht nur Brücken zur Theorie der Primzahlen, sondern höchstwahrscheinlich auch zur modernen Quantenphysik. Weitere Anwendungsgebiete sind die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Theorie der automorphen Formen (insbesondere im Feld des Langlands-Programms).


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Aus Sicht der algebraischen Zahlentheorie ist die Riemannsche Zeta-Funktion nur ein Spezialfall einer ganzen Klasse sogenannter L-Funktionen. So entspricht sie der zum Trivialen Charakter modulo 1 gehörigen Dirichletschen L-Funktion und der zum Zahlkörper formula_19 (rationale Zahlen) korrespondierenden Dedekindschen Zeta-Funktion.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Wegen der überragenden Bedeutung der Riemannschen Vermutung für die Zahlentheorie und deren Anwendungen bleibt der Themenkreis der Riemannschen Zeta-Funktion ein Gebiet intensiver mathematischer Forschung. Entscheidende Fortschritte erzielten Mathematiker wie zum Beispiel Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin und Conrey.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Notation: Im ganzen Artikel bezeichnet formula_20 die imaginäre Einheit und formula_21 die Eulersche Zahl. Zudem wird formula_6 häufig als komplexe Variable verwendet, die oft in formula_23 zerlegt wird.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Des Weiteren wird oft die O-Notation von Landau für die Angabe von Fehlergrößen verwendet. Verhalten sich zwei (unbeschränkte) Funktionen formula_24 und formula_25 für wachsendes Argument gleich, gilt also formula_26, so wird dies mit formula_27 notiert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 … beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11 … Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Bereits Euklid konnte zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, weshalb die Liste 2, 3, 5, 7, 11 … niemals enden wird.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Zum Beispiel gilt 21 = 3 · 7 und 110 = 2 · 5 · 11. Trotz dieser elementaren Eigenschaft ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eine der bedeutendsten offenen Fragen der Mathematik.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Auch wenn das detaillierte Verständnis der Sequenz 2, 3, 5, 7, 11 … unerreichbar fern ist, kann man nach Mustern suchen, wenn man den Blick ausweitet. Dabei hilft zum Beispiel die Vorstellung, dass mit Hilfe statistischer Methoden das Verhalten sehr vieler Menschen (zum Beispiel bezüglich des Konsum- und Wahlverhaltens) oft überraschend präzise beschrieben werden kann, obgleich ein einzelner Mensch äußerst komplex ist. Das hat grob gesagt damit zu tun, dass größer werdende relevante Datenmengen immer zuverlässigere Informationen liefern. Im Falle der Primzahlen führt eine solche Ausweitung unter anderem zu der Frage, "wie viele" Primzahlen es unterhalb einer fest gewählten Zahl gibt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Zum Beispiel sind nur 4 Primzahlen, nämlich 2, 3, 5 und 7, kleiner als die Zahl 10. Im Falle von 50 gibt es schon 15 kleinere Primzahlen, nämlich


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ende des 19. Jahrhunderts konnte als Folgerung des Primzahlsatzes eine verblüffend genaue Abschätzung für die Verteilung der Primzahlen bewiesen werden. Der Primzahlsatz wurde bereits im 18. Jahrhundert vom 15-jährigen Gauß (in den Jahren 1792/93) vermutet. Die Abschätzung wurde bereits vor einem Beweis des Primzahlsatzes von Riemann gegeben und tritt als eine Formel in Erscheinung, die die schnelle Berechnung eines Vorhersagewertes zulässt. Mit dieser Formel kann zu einer gegebenen Zahl die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als diese Zahl sind, in vernünftiger Zeit geschätzt werden. Die Formel zur Vorhersage wird prozentual immer genauer, je größer die Zahl gewählt wird (jedoch mit Schwankungen). Beispielsweise liefert sie für den Wert 50 die Prognose 14,97 (es sind tatsächlich 15 Primzahlen, siehe oben), womit der Fehler bei 0,16 Prozent liegt. Weiter sagt sie rund 78.527 Primzahlen unter der Zahl 1.000.000 voraus – tatsächlich sind es 78.498. Dies entspricht einer Abweichung von 0,037 Prozent.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ein mögliches Werkzeug zum Beweis dieser Formel ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Dabei wird ausgenutzt, dass sie das Gesetz der eindeutigen Primfaktorzerlegung in der Sprache der Analysis ausdrückt. Also werden die Eigenschaften der Primzahlen in dieser Funktion versteckt abgespeichert. Erhöht sich das Wissen um die Zeta-Funktion, so auch das Wissen um die Primzahlen, sogar in detaillierteren Fragestellungen. So können viele Primzahltests, wie der von Miller-Rabin unter Annahme der Riemannschen Vermutung bewiesen bzw. verbessert werden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Nullstellen der Zeta-Funktion erzeugen einen Korrekturterm obiger Formel, der sie in einen "exakten" Ausdruck umwandelt. Diese dadurch entstehende "exakte Formel" kennt also die Verteilung der Primzahlen bis ins letzte Detail. Damit gelten die Fragen um die Primzahlen jedoch nicht als gelöst: der Rechenaufwand nimmt mit steigenden Werten sehr stark zu und somit sind praktische Berechnungen mit dieser Formel nicht effektiv. Für numerische Forschung eignen sich im Gegensatz dazu moderne Primzahltests besser. Die "exakte Formel" ist jedoch von theoretischem Interesse: sie birgt nämlich den Fehlerabstand zwischen der einfachen Vorhersage und der tatsächlichen Primzahlverteilung. Es wird vermutet, dass dieser Fehler (innerhalb des Spektrums aller Möglichkeiten) kleinst möglich ist. Dabei wäre eine Entschlüsselung dieses Fehlers nicht so sehr für die Numerik von Relevanz. Vielmehr ist die reine Mathematik bestrebt, den bisher verborgenen "Grund" zu erfahren, weshalb der Fehler (falls zutreffend) so klein wie möglich ausfällt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Primzahlen sind nicht nur Gegenstand der mathematischen Grundlagenforschung, sondern haben auch praktische Anwendungen. So kommen beispielsweise bei Kryptosystemen wie der RSA-Verschlüsselung sehr große Primzahlen zum Einsatz.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Eine mathematische Funktion ist im Grunde wie eine Rechenmaschine. Man gibt einen Wert in die Funktion ein, und diese liefert dann ein Ergebnis in Abhängigkeit vom Eingabewert, zumindest theoretisch. Damit ist gemeint, dass die Funktion an sich nicht rechnet, sondern meist nur eine Rechenvorschrift formelhaft festhält. Einfaches Beispiel für eine Funktion ist die quadratische Funktion, welche die Eingabe mit sich selbst multipliziert. Formelhaft schreibt man dies als formula_28. Somit ordnet die quadratische Funktion beispielsweise der Zahl formula_29 den Wert formula_30 zu. Rechnet man dies aus, ergibt sich formula_31, also formula_32.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Prinzip funktioniert die Riemannsche Zeta-Funktion genau wie das obere Beispiel, nur dass die Rechenvorschrift etwas komplizierter ist. Um diese zu verstehen, muss das Konzept der unendlichen Reihen bekannt sein. Eine (konvergente) Reihe ist grob gesagt eine Summe von Zahlen, die niemals endet und die sich einer Zahl immer mehr annähert. Ein elementares nicht-triviales Beispiel einer Reihe fußt auf der Zahl formula_33, die in Dezimalschreibweise nicht geschlossen, sondern nur durch die unendliche periodische Entwicklung geschrieben werden kann. Schaut man genauer hin, sieht man, dass dies gerade die Summe aller kehrwertiger 10er-Potenzen ist: Damit sich die unendlich lange Summe einem Wert annähert, muss gewährleistet sein, dass die Summanden „schnell genug klein“ werden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Riemannsche Zeta-Funktion ist nun vergleichbar mit einer Rechenmaschine, die zu einer gegebenen Zahl formula_36 die unendliche Summe der Kehrwerte aller natürlichen Potenzen mit diesem Exponenten bildet. Als mathematische Formel lautet diese Vorschrift Um das besser zu verstehen, betrachtet man das Beispiel der Eingabe formula_38. Die natürlichen Potenzen mit diesem Exponenten sind gerade die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25 … . Damit wäre das Ergebnis der Zeta-Rechenmaschine in Abhängigkeit vom Eingabewert 2 die Reihe Es stellt sich heraus, dass die Ausdrücke formula_40 schnell genug klein werden, so dass diese unendlich lange Summe sich einem gewissen Zahlenwert beliebig annähert, je weiter man summiert. Experimentell kann man festhalten: und wenn man sogar bis zur millionsten Quadratzahl formula_42 geht Da hier bereits sehr viele Terme addiert wurden, kann man vermuten, dass formula_44 dem exakten Ergebnis schon recht nahe ist. Der exakte Grenzwert ist, das konnte Leonhard Euler begründen, die Zahl Dabei ist formula_46 die Kreiszahl. Zwar kannte Euler den Beginn der Dezimalfolge formula_47, doch seine Begründung beruhte letztlich auf mathematischen Argumenten und nicht expliziten Rechnungen, da die Summe ja niemals endet. Somit liefert die Zeta-Funktion für die Eingabe 2 das Ergebnis formula_48. Analog müssen für die Eingabe 3, 4 … usw. entsprechend die Kehrwerte aller Kubikzahlen, Biquadratzahlen usw. addiert werden und es kommen neue Grenzwerte formula_49, formula_50 … usw. zustande.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Gegensatz zu den Primzahlen oder der euklidischen Geometrie ist die mathematische Entdeckungsgeschichte der Riemannschen Zeta-Funktion sehr jung. So sind alle bis heute wesentlichen Entdeckungen zu dieser Funktion in den letzten 250 Jahren gemacht worden. Auf der einen Seite lässt sich die im Verhältnis zur Entstehung einer rigorosen (komplexen) Analysis frühe Entdeckung mit der Einfachheit der Reihe begründen. Auf der anderen Seite lassen sich die späten Resultate mit der Schwierigkeit deren Eigenschaften erklären.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Einer der ersten Mathematiker, der sich mit einem Vorläufer der wie heute definierten Zeta-Funktion intensiv und ausführlich auseinandersetzte, war Leonhard Euler. Seit Mitte des 17. Jahrhunderts versuchten Mathematiker, den exakten Grenzwert der unendlichen Reihe zu bestimmen. Persönlichkeiten wie Pietro Mengoli, der das Basler Problem (wie es später bezeichnet wurde) erstmals formulierte, aber auch Jakob I Bernoulli scheiterten mit ihren Lösungsversuchen. Erst um das Jahr 1734 fand Leonhard Euler die Lösung mit der Kreiszahl formula_53, indem er eine neuartige Technik zur Berechnung der Sinusfunktion entwickelte. Dieser Beweis wurde jedoch nach Veröffentlichung von seinen Zeitgenossen zunächst nicht akzeptiert. Daraufhin konterte er mit der Veröffentlichung eines alternativen Beweises im Jahr 1741. Natürlicherweise war Euler bald darauf an der Untersuchung von Reihen des Typs interessiert. Er hatte die Hoffnung, weitere und außerdem weit bedeutendere Aussagen treffen zu können. Und tatsächlich sollte es nicht nur bei der Lösung des Basler Problems bleiben. Er fand unter anderem die Formeln die 1735 in seiner Arbeit "De Summis Serierum Reciprocarum" erstmals veröffentlicht wurden. Obwohl mit steigenden Eingabezahlen die Funktionswerte komplizierter werden, berechnete Euler von Hand den Wert In seinem Buch "Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum", das 1755 veröffentlicht wurde, bewies er schließlich eine "allgemeine" Formel für formula_58. Diese zeigte auf, dass sich tatsächlich jedes formula_58 stets als ein rationales Vielfaches der Potenz formula_60 schreiben lässt. Nicht erfolgreich war er hingegen bei ungeraden Argumenten, also zum Beispiel bei der Reihe da sich hier keine seiner Techniken anwenden ließ. Jedoch berechnete er die Werte formula_62 für formula_63 bis auf mehrere Dezimalstellen. Außerdem schrieb er einheitlich formula_64, wobei formula_65 im Falle, dass formula_66 eine gerade Zahl ist, rational ist. Für den Fall, dass formula_66 ungerade ist, vermutete Euler, formula_65 sei „eine Funktion von formula_69“. Dies konnte jedoch, ungeachtet der vagen Formulierung Eulers, bis heute nicht bestätigt werden. Die Werte der Reihen für ungerade Argumente größer als 1 sind bis heute (Stand 2020) weitestgehend unbekannt und Gegenstand zahlentheoretischer Vermutungen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Euler gilt als Entdecker der Verbindung zwischen der Zeta-Funktion und den Primzahlen. Diese Verknüpfung wird bis heute als Euler-Produkt bezeichnet. So schrieb er in seiner Arbeit "Variae observationes circa series infinitas:"


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Sofort war sich Euler der Beziehung zwischen den Primzahlen und der Geometrie bewusst, und er schrieb weiter:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Aus der schon damals gut bekannten Tatsache, dass die harmonische Reihe divergent ist, konnte Euler ebenfalls aus dem Euler-Produkt schließen, dass die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen keinen endlichen Grenzwert hat. Bezeichnet wird dieses Resultat auch als Satz von Euler über die Summation der Kehrwerte der Primzahlen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Auch war die von Riemann später bewiesene Funktionalgleichung bereits Euler bekannt. In seiner Arbeit "Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques" beschrieb er diese mathematisch nicht rigoros:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dabei bezog sich Euler eigentlich auf die Dirichletsche Etafunktion, die jedoch bis auf einen Faktor der Riemannschen Zeta-Funktion entspricht. Euler gab keinen rigorosen Beweis einer Funktionalgleichung, sondern hatte diese nur für viele Werte überprüft und anschließend als universell gültig vermutet.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Jahre 1838 gelang dem Mathematiker Peter Dirichlet ein großer Beitrag zur Zahlentheorie. Er bewies eine Vermutung von Fermat, die nun Dirichletscher Primzahlsatz heißt. Diese besagt, dass jede arithmetische Progression formula_70 mit positiven, teilerfremden formula_71 unendlich viele Primzahlen enthält. Ist hier zum Beispiel formula_72 und formula_73, folgt, dass die Liste 1, 5, 9, 13, 17 … unendlich viele Primzahlen beinhaltet.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Schlüssel zum Beweis waren neben der Riemannschen Zeta-Funktion eine ganze Klasse weiterer Funktionen, die ebenfalls in Primzahlprodukte zerfallen und somit eine „große Familie“ bilden. Erst ein Jahrhundert später konnten dank feinerer Methoden die Ergebnisse von Dirichlet durch Siegel und Walfisz deutlich präzisiert werden (Satz von Siegel-Walfisz).


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Jahr 1859 arbeitete Bernhard Riemann in seiner Publikation "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe" den bereits von Euler gegebenen Zusammenhang der Zeta-Funktion zu den Primzahlen entscheidend aus. Die große Leistung bestand darin, die Relevanz der Ausweitung des Definitionsbereichs auf komplexe Zahlen zu erkennen. Erst mit dieser Herangehensweise war es möglich geworden, konkrete Informationen über Primzahlen 2, 3, 5, 7 … selbst zu gewinnen. Das ist insofern bemerkenswert, als Primzahlen reelle Zahlen sind. Riemann, der ein Schüler von Carl Friedrich Gauß war, schrieb in seiner zehnseitigen Arbeit eine funktionentheoretische Interpretation und Auswertung des Euler-Produkts, die einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und den nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion schaffte. Das Hauptresultat war eine Formel, die ohne jeden Fehler die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen (nicht ganzen) positiven Zahl abzählte. Damit war ihm ein völlig neuer Zugang zur Theorie der Primzahlen gelungen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Er etablierte in seiner Arbeit das griechische formula_1 (Zeta) als Funktionssymbol und formulierte außerdem die bis heute unbewiesene nach ihm benannte Riemannsche Vermutung, die eine wichtige Aussage über die genaue Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion behauptet.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Obwohl der Artikel heutzutage als Durch- und Aufbruch zur modernen analytischen Theorie um die Zeta-Funktion gesehen wird, stieß er damals in Mathematikerkreisen bei Weitem nicht nur auf Begeisterung. Schuld daran war in erster Linie, dass Riemann es an den meisten Stellen unterlassen hatte, Beweise für seine aufgestellten Formeln zu hinterlegen. So kam es, dass Godfrey Harold Hardy und John Edensor Littlewood Riemanns Arbeit lediglich als „beachtliche Ansammlung heuristischer Einsichten“ bezeichneten, die englischen Mathematiker waren allerdings in der analytischen Zahlentheorie zu Beginn des 20. Jahrhunderts anfangs noch so rückständig, dass Littlewood sich erinnerte, die Riemannsche Vermutung 1906 von seinem Professor als Übungsaufgabe gestellt bekommen zu haben. Auch Edmund Landau gehörte zu den lautesten Kritikern hinsichtlich der Bedeutung des Artikels. Zwar nannte er ihn zunächst „brillant und fruchtbar“, jedoch schlug sein Lob bald um: Detlef Laugwitz bemerkt dazu in seiner Riemann-Biographie, dass Landau auch Eulers bahnbrechende Arbeiten in seinen Lehrbüchern wenig würdigte, da er tendenziell nur Arbeiten schätzte, in denen jedes Detail ausgearbeitet war. Auf der anderen Seite bewunderten Mathematiker wie Felix Klein, Riemann habe „mit großen allgemeinen Ideen“ gearbeitet und „oft auf seine Intuition“ vertraut. Das war noch bevor Carl Ludwig Siegel durch das Studium des Nachlasses zeigte, wie umfangreich Riemanns analytische Arbeiten zur Zeta-Funktion waren. Die Rechnungen im Nachlass waren allerdings schwer zu entschlüsseln und es bedurfte eines Mathematikers vom Kaliber Siegels, die Ideen Riemanns zu rekonstruieren.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Riemann arbeitete seit dieser Zeit bis zu seinem frühen Tode (er starb mit gerade mal 39 Jahren an den Folgen einer Tuberkulose) nicht mehr an der Zeta-Funktion, es blieb seine einzige Veröffentlichung zur Zahlentheorie. Der Aufsatz von 1859 war nur skizzenhaft ausgeführt, Riemann wollte sich damit für die Aufnahme in die Berliner Akademie der Wissenschaften bedanken.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Viele von Riemanns Aufzeichnungen wurden nach seinem Ableben von seiner Haushälterin verbrannt, bis sie von Mitarbeitern der Göttinger Fakultät gestoppt wurde. Die verbliebenen Schriften wurden seiner Witwe übergeben und verschwanden damit für viele Jahre. Über weitere Resultate zur Zeta-Funktion, die man ohne teilweise Vernichtung der Dokumente gefunden hätte, kann bis heute nur noch spekuliert werden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Jahr 1893 publizierte der Mathematiker Jacques Hadamard eine Arbeit, in welcher der Grundstein eines detaillierteren Verständnisses von Riemanns Arbeit gelegt wurde. Hadamard war es gelungen, eine Formel für die Zeta-Funktion zu beweisen, die ihre Nullstellen beinhaltet. Genau genommen handelte es sich dabei um ein Verfahren, die Zeta-Funktion als Ganzes aus ihren Nullstellen zu konstruieren. Die Existenz einer solchen Formel wurde von Riemann bereits vorausgesetzt, war jedoch bis dato nicht rigoros bewiesen worden. Für die Verifikation der Riemannschen Ideen war sie aber ein substanzieller Teil: das Grundschema der Argumentation für Riemanns Hauptformel lautete nämlich „Primzahlprodukt (Euler) versus Nullstellenprodukt (Riemann/Hadamard)“. Unter anderem deshalb bezeichnete Hans von Mangoldt den Beitrag von Hadamard „als ersten wirklichen Fortschritt in diesem Gebiet seit 34 Jahren“.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Aufbauend auf der Arbeit von Hadamard gelang Hans von Mangoldt nur zwei Jahre später, im Jahre 1895, der Durchbruch zu Riemanns Hauptformel. Allerdings zeigte er diese in einer leicht veränderten Version, die heute als „natürlicher“ angesehen wird. Seiner Leistung zu Ehren wird die Hauptformel heute als Riemann-von-Mangoldt-Formel bezeichnet.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Nachdem von Mangoldt im Jahr 1895 den Beweis der Riemannschen Hauptformel erbracht hatte, fehlte zum Beweis des Primzahlsatzes nicht mehr viel. Dieser Satz trifft eine Aussage darüber, wie häufig Primzahlen durchschnittlich auftauchen. Es blieb lediglich zu zeigen, dass die Zeta-Funktion keine Nullstellen in dem Bereich hat, in dem das Primzahlprodukt von Euler „gerade so nicht mehr gültig ist“. Unabhängig voneinander erbrachten Hadamard und der Belgier Charles-Jean de La Vallée Poussin den Beweis im Jahr 1896. Wichtige Punkte für den Beweis waren Ideen von Franz Mertens und die trigonometrische Identität formula_75.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Obwohl die Aufregung in der Mathematikerwelt groß war, gab es bezüglich der Beweismethode, die stark an die Eigenschaften der schwierigen Zeta-Funktion gebunden war, Bedenken über deren Natürlichkeit. Es wurde als seltsam erachtet, dass eine Aussage über Primzahlen sogar äquivalent zu einer gewissen Verteilung der Nullstellen einer komplexen Funktion war. So äußerte Albert Ingham 1932:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Jahr 1948 wurde schließlich ein elementarer (also gänzlich ohne funktionentheoretische Mittel auskommender) Beweis von Atle Selberg und Paul Erdös gegeben. Hierbei bedeutet „elementar“ jedoch keinesfalls „einfach“. Es wurden im Lauf der Zeit auch erheblich einfachere funktionentheoretische und elementare Beweise des Primzahlsatzes gefunden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Rahmen des 2. Internationalen Mathematikerkongresses des Jahres 1900 in Paris hielt David Hilbert am 8. August einen Vortrag. In diesem formulierte er eine Liste von 23 mathematischen Problemen, die seiner Ansicht nach zu den wichtigsten des kommenden Jahrhunderts zählten. Hilbert zählte zu diesem Zeitpunkt bereits zu den führenden Mathematikern der Gegenwart. Problem Nr. 8 war die Riemannsche Vermutung:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Das hohe Ansehen, das Hilbert genoss, beflügelte die Mathematiker, sich mit seinen Problemen, darunter der Zeta-Funktion, auseinanderzusetzen. Bis heute gelten 15 der 23 Probleme als gelöst, jedoch nicht die Riemannsche Vermutung.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Jahre 1910 veröffentlichte der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan im "Journal of the Indian Mathematical Society" einen Artikel, in dem unter anderem die folgende Gleichung behauptet wurde:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die meisten Mathematiker, die diese Gleichung zu Gesicht bekamen, hatten sie als offensichtlichen Schwachsinn gewertet. So kam es, dass Professor Hill vom University College in London schrieb: Hill verhielt sich jedoch nicht völlig ablehnend und ermutigte Ramanujan, es weiter zu versuchen. Und so schickte dieser seine Ergebnisse direkt an einige Mathematiker in Cambridge. Zwei davon waren nicht in der Lage, die Aussagen hinter Ramanujans verschlüsselten Formeln zu erkennen und lehnten die Bitte um Unterstützung ab. Als Ramanujan jedoch schließlich auch Godfrey Harold Hardy brieflich auf seine Ideen aufmerksam machte, wurde diesem in der Gleichung die korrekte Auswertung des Werts formula_77 bewusst, auch wenn sie bezüglich ihrer mathematischen Formalität natürlich inkorrekt war. In diesem Zusammenhang war die Formel schon Euler bekannt, da sie sich aus formula_78 und der Funktionalgleichung ergibt (beides von Euler gefunden). Ferner erweckte Ramanujans Behauptung, eine Formel zu besitzen, die fast fehlerfrei voraussage, ob eine gegebene Zahl prim sei oder nicht (Ramanujans Formel verwendete jedoch nicht die Nullstellen der Zeta-Funktion) viel Neugier. Auch in einem zweiten Brief gab er jedoch dazu keinen Beweis. Littlewood äußerte:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Der anfänglich ausschließlich schriftliche Austausch gipfelte schließlich in einem Aufenthalt Ramanujans in England, wo sich das Duo aus Ramanujan und Hardy zu einer der produktivsten und außergewöhnlichsten mathematischen Korrespondenzen der Geschichte entwickelte.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Unter anderem nach Auswertung der Tagebücher Ramanujans durch George E. Andrews und Bruce Berndt offenbarten sich die zahlreichen Ideen Ramanujans zur Riemannschen Zeta-Funktion. So fand dieser unabhängig Eulers Formel für formula_79, das Euler-Produkt sowie zahlreiche unendliche Reihen und Integrale, die Zeta-Werte an ganzen und auch halbzahligen Stellen beinhalten.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Fünfzig Jahre nach Riemanns Tod tauchten einige nicht verbrannte Seiten wieder auf. Richard Dedekind, ein Kollege von Riemann hatte einige Seiten des Nachlasses von Riemanns Frau Elise erhalten und einige davon in der Bibliothek von Göttingen hinterlegt. Nachdem der Mathematikhistoriker Erich Bessel-Hagen 1926 die Schriften fand und beim Versuch einer Entschlüsselung der wirren Aufzeichnungen keinen Erfolg hatte, gingen die Dokumente an Carl Ludwig Siegel. Dieser war erstaunt von der Tiefe der Gedanken Riemanns bezüglich der Zeta-Funktion. Dies entkräftigte zugleich viel Kritik an Riemanns Originalarbeit, da die Notizen zeigten, dass Riemanns Behauptungen auf gründlichen Rechnungen beruhten. Jedoch beklagte auch Siegel das Chaos in den Notizen:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Siegel kam dahinter, dass Riemann ausschließlich über handschriftliche Rechnungen mindestens drei nicht-triviale Nullstellen der Zeta-Funktion relativ genau berechnet hatte. Die dafür verwendete Formel wurde durch Siegel ausgearbeitet, 1932 publiziert und wird seit dem auch Riemann-Siegel-Formel genannt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: In der Forschung rund um die Riemannsche Zeta-Funktion werden Computer vor allem dazu benutzt, die Korrektheit der Riemannschen Vermutung für möglichst viele Nullstellen zu überprüfen. Obwohl es sich bei allen Rechnungen um numerische Verfahren handelt, zeigen diese exakt und nicht nur annähernd, dass sich die untersuchten Nullstellen auf der kritischen Geraden befinden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Bereits im Jahr 1936 hatte der in Oxford wirkende Mathematiker Edward Charles Titchmarsh mit einer Maschine, die ursprünglich für astronomische Berechnungen konstruiert worden war, die ersten 1.041 nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion berechnet. Im Jahr 1953 wurden diese Berechnungen von Alan Turing fortgesetzt. Seine Methode wird bis heute benutzt. Erstmals kam dabei ein Computer zum Einsatz.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ab Beginn der 80er Jahre wurden die Computer immer leistungsstärker. Bereits im Jahr 1979 hatte eine Gruppe aus Amsterdam um Herman te Riele und Richard P. Brent 200 Millionen Nullstellen überprüft (etwas später erhöhten sie ihre Rechnung auf 300 Millionen) – alle lagen auf der kritischen Geraden. Damit widersprachen sie einer Vorhersage von Don Zagier, der geäußert hatte, es sei „ein Wunder“, falls diese immer noch ausnahmslos auf der kritischen Geraden lägen. Zagier berief sich dabei auf theoretische Gründe, die zwar die Lage der ersten paar Tausend Nullstellen auf der Geraden bekräftigten, jedoch für steigende Zahlen schwächer – und letztlich sogar dagegen sprechend – auszulegen waren.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Bis 2005 wurden im Rahmen des sog. "ZetaGrid Project" durch verteilte Rechner die ersten 900 Milliarden Nullstellen überprüft. Um dieselbe Zeit berechnete Xavier Gourdon mit Unterstützung von Patrick Demichel die ersten 10 Billionen (formula_80) Nullstellen. Alle lagen auf der kritischen Geraden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Jahr 1972 offenbarte sich durch ein zufälliges Gespräch zwischen dem Physiker Freeman Dyson und dem Mathematiker Hugh Montgomery ein bis dahin unbemerkter Zusammenhang zwischen Quantenphysik und Zahlentheorie. Gegenstand der Diskussion waren die Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion. In deren von Montgomery vermuteten Verteilung erkannte Dyson die Abstände zwischen Paaren von Eigenwerten von Hermitschen Zufallsmatrizen wieder. Diese werden von Quantenphysikern zur Vorhersage der Energieniveaus in einem schweren Atomkern verwendet, wenn dieser mit nieder-energetischen Neutronen bestrahlt wird. Als Montgomery sich die Abstände zwischen den Energieniveaus in dem Atomkern Erbium, dem 68. Element im Periodensystem, anschaute, erkannte er eine auffallende Ähnlichkeit. Die allgemeine Übereinstimmung zwischen einem gewissen Ausschnitt der Nullstellenorte auf der kritischen Geraden und den experimentell bestimmten Energieniveaus zeugte von großer Signifikanz.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Durch umfassenden Einsatz von Computern wurde die Vermutung von Montgomery über die Nullstellenabstände von Andrew Odlyzko überprüft. Die Zahlen sprachen dabei für Montgomerys Annahme. 1987 publizierte Odlyzko seine Ergebnisse.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Trotz starker Evidenzen wurden die Ergebnisse teilweise skeptisch gesehen. Es kam die Frage auf, ob damit irgendwelche Fortschritte in der reinen Mathematik erzielt worden waren. So äußerte der Zahlentheoretiker Peter Sarnak aus Princeton:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Jonathan Keating, ein Schüler des Physikers Michael Berry, lieferte schon bald eine zahlentheoretische Anwendung. Berry hatte sich zuvor schon mit Zusammenhängen zwischen Primzahlen und Quantenphysik beschäftigt (insbesondere Verbindungen zum Quantenchaos). Doch es waren schließlich Keating und seine Doktorandin Nina Snaith, die mit Hilfe statistischer Methoden (die häufig in der Quantenphysik zum Einsatz kommen) eine exakte Formel für das durchschnittliche Verhalten von Potenzen der Absolutwerte der Zeta-Funktion entlang der kritischen Geraden aufstellten. Diese Durchschnittswerte sind für die Zahlentheorie von Bedeutung und haben viele Anwendungen, zum Beispiel auf das Dirichletsche Teilerproblem. Wenige Minuten vor Keatings Vorstellung der Ergebnisse hatte er zusammen mit Snaith die Formel an einer Tafel „getestet“, indem sie schauten, ob ein bereits mühsam erarbeitetes Ergebnis korrekt voraus gesagt würde. Das Besondere an der Herangehensweise von Keating und Snaith, die unter anderem von Atle Selberg gelobt wurde, war, dass sie Primzahlen dabei als Zufallsvariablen, also gewissermaßen Resultate eines Münzwurfes interpretierten. Sarnak lenkte ein, dass ohne diesen fremdartigen Ansatz eine solche Vermutung über die Zeta-Funktion nicht hätte erarbeitet werden können.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Montgomerys Paarkorrelations-Vermutung und das asymptotische Verhalten der Zeta-Momente sind bis heute Gegenstand intensiver Forschung.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Spätestens nachdem Hilbert die Riemannsche Vermutung auf die Liste seiner Probleme genommen hatte, erweckte sie das Interesse zahlreicher Mathematiker. Doch bis heute erweist sich das Problem als außerordentlich schwierig.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Nachdem 1942 Atle Selberg gezeigt hatte, dass ein positiver Anteil der Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen muss, entwickelte sich daraus ein wahrer Wettlauf um die Größe dieses Anteils. Norman Levinson zeigte, dass gut ein Drittel die Vermutung erfüllen, und Brian Conrey zeigte 1989, dass es sogar gut 40 Prozent sind. Ob diese Methoden aber letztlich zu einer Lösung führen, gilt als umstritten. Nicht mal ein solcher Beweis, dass „100 Prozent“ (in einem asymptotischen Sinn) der Nullstellen der Vermutung gehorchen, wäre zwingend zielführend, da die Anzahl der Nullstellen unendlich groß ist. Ähnliche Bedenken existieren gegenüber den unternommenen Anstrengungen, nullstellenfreie Regionen zu optimieren.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Stephen Smale, Träger der Fields-Medaille, veröffentlichte 1998 seine eigene – im Sinne von Hilbert verfasste – Liste von 18 Problemen. Problem Nummer 1 ist die Riemannsche Vermutung. Bisher wurden nur wenige Probleme auf Smales Liste gelöst (siehe Smale-Probleme).


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Weitere Berühmtheit erlangte die Riemannsche Vermutung, als sie im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute (CMI) auf die Liste der Millennium-Probleme gesetzt wurde. Für einen schlüssigen Beweis ist damit ein Preisgeld von 1 Million US-Dollar ausgelobt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Zeta-Funktion wird in der Literatur oft über ihre Darstellung als Dirichlet-Reihe definiert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für komplexe Zahlen formula_81, deren Realteil größer als 1 ist, ist die Zeta-Funktion definiert durch die Dirichlet-Reihe Wie man mittels des Integralkriteriums für unendliche Reihen zeigen kann, ist diese Reihe im angegebenen Bereich absolut konvergent. Zudem ist die Konvergenz auf kompakten Teilmengen gleichmäßig, weshalb nach dem Satz von Weierstraß die dargestellte Funktion holomorph ist. Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist diese Darstellung für alle komplexen Zahlen mit Realteil kleiner oder gleich 1 jedoch "ungültig." In besonderem Maße wird dies für negative Argumente ersichtlich, wenn man zum Beispiel versuchte, die Zeta-Funktion für formula_83 über die Dirichlet-Reihe auszuwerten. Man hätte dann und diese Reihe hat offensichtlich keinen endlichen Grenzwert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dennoch wird die Dirichlet-Reihe aufgrund ihrer Einfachheit und ihrer zahlentheoretischen Relevanz (siehe Euler-Produkt) als Basisdefinition verwendet. Mittels analytischer Fortsetzung (siehe unten) wird eine sinnvolle Berechnung für alle komplexen Zahlen formula_81 mit formula_86 möglich. Damit kann schließlich auch Werten wie formula_77 ein Sinn gegeben werden, es gilt zum Beispiel formula_88.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Eine wesentliche Eigenschaft der Zeta-Funktion ist ihre Verbindung zu den Primzahlen. Euler, der als Erster diesen Zusammenhang entdeckte, betrachtete dafür das später nach ihm benannte Euler-Produkt, das für alle formula_89 mit formula_90 gültig ist: Es ist genau äquivalent zur Dirichlet-Reihe und wird von manchen Autoren als Definition verwendet. Jeder einzelne Faktor des Produktes stellt eine geometrische Reihe formula_92 gebildet über den Wert formula_93 dar, während sich das ganze Produkt über alle Primzahlen formula_94 erstreckt. Das Euler-Produkt ist erstaunlich, weil Primzahlen aufgrund ihrer chaotischen Verteilung sehr schwer in analytischen Ausdrücken unterzubringen sind. Es stellt aber eine überraschend einfache Identität zwischen den „chaotischen Primzahlen“ und einer bekannten Reihe dar.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Das Euler-Produkt konvergiert im betrachteten Bereich formula_95 unbedingt. Da kein Faktor dort den Wert 0 annimmt, ist eine direkte Konsequenz, dass die Zeta-Funktion in diesem Bereich keine Nullstellen besitzt. Mittels des Identitätssatzes für Dirichlet-Reihen lässt sich zeigen, dass das Euler-Produkt und der Fundamentalsatz der Arithmetik zueinander äquivalent sind. Daher wird es zuweilen auch als dessen "analytische Version" bezeichnet.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Mithilfe des Euler-Produkts der Zeta-Funktion kann ein Beweis des Satzes von Euklid mit analytischen Methoden angegeben werden. Der Satz von Euklid besagt, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss und wurde etwa 300 Jahre vor Christus durch Euklid von Alexandria bewiesen. Unter der Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, gilt was ein Widerspruch zur Divergenz der harmonischen Reihe ist. Ähnlich bemerkenswert ist die Argumentation über die Formel Bei endlich vielen Primzahlen wäre die linke Seite eine rationale Zahl, die rechte Seite ist aber aufgrund der Transzendenz der Kreiszahl irrational.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die nach der Definition als Dirichlet-Reihe und dem Euler-Produkt wohl elementarste und wichtigste Darstellung der Zeta-Funktion ist die mit Hilfe eines uneigentlichen Integral-Ausdrucks. Auch diese Darstellung geht direkt aus der Dirichlet-Reihe hervor.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Grundlage dieser Darstellung ist die eulersche Integral-Darstellung der Gamma-Funktion


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: aus dem nach der Substitution formula_99 mit formula_100 und Division durch formula_101 nach beidseitigem Summieren der Ausdruck


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: hervorgeht. Diese Darstellung von formula_103 gilt naturgemäß nur auf der Halbebene formula_104. Die zweite Integraldarstellung von formula_105 bezeichnet man auch als die Mellin-Transformation von formula_106. Das mögliche Vertauschen von Summe und Integral kann mit absoluter Konvergenz und dem Satz von Lebesgue begründet werden. Eine dazu verwandte Form ist mit der Jacobischen Theta-Funktion (eine Modulform halbganzen Gewichts).


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Darstellung der Zeta-Funktion mit Hilfe der Gamma-Funktion und der Mellin-Transformation von formula_106 ist daher zentral, da sie ein Ausgangspunkt für die analytische Fortsetzung der Zeta-Funktion ist. Außerdem können mit ihr charakteristische Funktionalgleichungen und die Beziehung zur Theorie der Modulformen hergeleitet werden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die anfänglich nur für komplexe Zahlen formula_109 definierte Zeta-Funktion kann zu einer in ganz formula_110 holomorphen Funktion ausgeweitet werden. Diese Tatsache mag zunächst ungewöhnlich wirken, da ihre Dirichlet-Reihe an vielen Stellen nicht mehr konvergiert. Tatsächlich aber steht die Dirichlet-Reihe (wie auch Euler-Produkt und Mellin-Transformation aus Gründen der Äquivalenz) nicht überall für die Definition der Zeta-Funktion zur Verfügung.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: An der Stelle formula_111 besitzt die Zeta-Funktion zunächst mit Sicherheit eine Definitionslücke, denn mit der Divergenz der harmonischen Reihe folgt Also wird sie in jedem Intervall formula_113 beliebig anwachsen. Diese Lücke bildet gleichzeitig eine "natürliche Barriere" für die Konvergenz der Dirichlet-Reihe, was aus den Regeln für Abszissen von Dirichlet-Reihen folgt: die betrachtete Dirichlet-Reihe hat Konvergenzabszisse formula_114.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Eine analytische Fortsetzung der im Gebiet formula_115 durch die Reihe formula_116 definierten holomorphen Funktion ist eine auf einem "größeren Gebiet" formula_117 "holomorphe" Funktion, die auf ganz formula_118 mit dieser übereinstimmt. Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen ist eine solche Fortsetzung stets "eindeutig" bestimmt. Damit sind alle Werte der Zeta-Funktion im erweiterten Bereich formula_119 bereits durch die Dirichlet-Reihe festgelegt, obwohl sie hier nicht mehr an allen Stellen konvergiert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Obwohl es für den ganz allgemeinen Fall kein konstruktives Verfahren gibt, Berechnungsformeln für analytische Fortsetzungen anzugeben, ist es durch die Einfachheit der Dirichlet-Reihe formula_116 nicht schwierig, für die Zeta-Funktion eine zu finden. Besonders einfach erweist sich dies für die gelochte Halbebene mittels folgender Beobachtung:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Reihe zur Rechten konvergiert nachweislich in der Halbebene formula_123 gegen eine holomorphe Funktion und wird in der Literatur auch manchmal als Dirichletsche Etafunktion formula_124 bezeichnet. Damit lässt sich die Zeta-Funktion zu einer in ganz formula_119 holomorphen Funktion fortsetzen. Die Lücke in formula_111 wird mittels des Faktors formula_127 gehoben und muss daher ein Pol erster Ordnung sein. Das Residuum der Zeta-Funktion ist dort 1, das heißt, es gilt:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Alle Stellen formula_129 mit formula_130 sind hingegen hebbare Singularitäten, denn es gilt dann formula_131 Dies zeigt man am besten mittels partieller Summation: Für alle formula_132 gilt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für eine weitere holomorphe Ausdehnung des Definitionsbereiches eignen sich nun viele Methoden, die jedoch nach dem Identitätssatz alle dieselbe Funktion darstellen. Eine davon bietet die Anwendung der Eulerschen Reihentransformation auf die obere alternierende Reihe. Man erhält damit eine von Konrad Knopp veröffentlichte und auf ganz formula_134 definierte Reihenidentität Diese wurde 1930 von Helmut Hasse bewiesen. Es treten daher während der weiteren Fortsetzung keine weiteren Lücken bzw. Pole mehr auf. Daraus folgt schließlich Holomorphie in formula_136.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Eine weitere Möglichkeit eine analytische Fortsetzung anzugeben, bietet die Euler-Maclaurin-Summenformel. Diese drückt diskrete Summen explizit in der Sprache der Integralrechnung aus und ist allgemein gegeben durch: Hierbei ist formula_138 eine auf dem Intervall formula_139 mindestens formula_140-mal differenzierbare Funktion und formula_141 eine natürliche Zahl. Es bezeichnen zudem formula_142 die Bernoulli-Polynome und formula_143 den ganzzahligen Anteil von formula_36.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Mit formula_145, formula_146 und formula_147 folgt also Dabei ist das Restglied gegeben durch und konvergiert in der gesamten Halbebene formula_150 (gleichmäßig auf kompakten Teilmengen). Daher stellt diese Formel eine holomorphe Fortsetzung der Zeta-Funktion in die Halbebene formula_150 dar. Lässt man formula_94 gegen unendlich gehen, ergibt sich damit ein holomorpher Ausdruck für ganz formula_110.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Setzt man zum Beispiel formula_154, ergibt sich die in der Literatur häufig zitierte Darstellung die für formula_156 gültig ist.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Eng verwandt mit der Darstellung der Zeta-Funktion mittels der Mellin-Transformation ist eine Darstellung der Funktion mittels eines Kurvenintegrals. Diese wurde von Riemann selbst verwendet, um die Zeta-Funktion in die komplexe Ebene fortzusetzen. Die Funktion formula_157 ist je nach Wahl des Zweiges des Logarithmus in unterschiedlichen Bereichen holomorph. Für die "Hankel-Kontur" (ein spezieller Integrationsweg) ist es von Vorteil, die Gerade formula_158 aus dem Gebiet auszuschließen via: Nun definiert man für formula_160 die Funktion formula_161 als ein Kurvenintegral über formula_162. Die gewählte Kurve formula_163, kommt von formula_164, verläuft mit Abstand formula_165 über der reellen Geraden, umläuft den Ursprung in einem Halbkreis und erstreckt sich dann wieder mit Abstand formula_165 unterhalb der reellen Geraden gegen formula_167: Wegen gleichmäßiger Konvergenz auf kompakten Mengen in formula_169 ist formula_161 eine ganze Funktion. Wählt man nun formula_109, so kann man wegen formula_172 die Schlaufe beliebig zusammenziehen und erhält mit der Mellin-Transformation Daraus ergibt sich mit dem Ergänzungssatz die Formel Ist formula_175, so ist formula_176 innerhalb des gelochten Streifens formula_177 holomorph. Damit lässt sich die Hankel-Kontur zu einer Kreiskurve zusammenziehen, ohne den Wert des Integrals zu verändern. Dies ermöglicht eine schnelle Berechnung der Werte formula_178 für ganze Zahlen formula_66 mittels des Residuensatzes. Unter anderem folgt daraus für alle formula_181 und die enge Beziehung der Werte der Zeta-Funktion an nicht-positiven ganzen Argumenten und den Bernoulli-Zahlen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Diese Darstellungsform kann auch zu einer direkten Herleitung der Funktionalgleichung verwendet werden. Dabei wird die Kurve modifiziert und es kommt der Residuensatz zum Einsatz.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Es werden im Folgenden Anwendungen mit praktischem Bezug gegeben. Beziehungen zur mathematischen und physikalischen Grundlagenforschung finden sich weiter unten in den Bereichen:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ein Primzahltest ist ein Algorithmus, der überprüft, ob eine gegebene Zahl formula_66 eine Primzahl ist. Verfährt man hier völlig naiv, muss dafür nachgerechnet werden, ob eine der Zahlen formula_183 mit formula_184 ein Teiler von formula_66 ist. Teilt keine dieser Zahlen formula_66, so muss es eine Primzahl sein, da jeder Teiler formula_165 größer als formula_188 zu einem Teiler formula_6 kleiner als formula_188 korrespondiert über formula_191. Dieses Verfahren erfordert ca. formula_192 Rechenoperationen, da ungefähr formula_188 Quotienten gebildet und ausgewertet werden müssen. Damit wird es, trotz seiner Einfachheit, als aufwändig erachtet.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Lage der Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion spielt eine Rolle beim Beweis der Existenz schnellerer Primzahltests. Unter der Annahme der "Verallgemeinerten Riemannschen Vermutung" konnte Gary L. Miller 1976 zeigen, dass es einen deterministischen Primzahltest gibt, der in formula_194 Schritten (d. h. „schnell“) prüft, ob formula_66 eine Primzahl ist oder nicht. Der Begriff Verallgemeinerte Riemannsche Vermutung bedeutet, dass nicht nur die Riemannsche Zeta-Funktion, sondern auch sämtliche Dirichletschen L-Funktionen niemals für Argumente formula_6 mit formula_197 den Wert Null annehmen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: 1980 gelang es Michael O. Rabin diesen zu einem probabilistischen Test umzuwandeln, der zwar niemals ein Ergebnis zu 100 Prozent korrekt ausgibt, jedoch nach hinreichend vielen Schritten sehr zuverlässig ist. Dieser funktioniert unabhängig von der Riemannschen Vermutung.