title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Große Primzahlen werden bei der Verschlüsselung von Daten (zum Beispiel im Internet) verwendet. Die Sicherheit solcher Systeme beruht auf der Annahme, dass es kein schnelles Verfahren gibt, eine Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Beim RSA-Kryptosystem nimmt eine Person, die eine Nachricht verschlüsseln möchte zwei große Primzahlen formula_94 und formula_188 mit großem Abstand zueinander, und bildet die zusammengesetzte Zahl formula_200. Mit Hilfe dieser können nun Nachrichten (wenn zuvor in Zahlen umgewandelt) durch einen öffentlichen Schlüssel, der aus formula_94 und formula_202 erzeugt wurde, verschlüsselt werden. Dieser Schlüssel steht jedermann zur Verfügung, gibt jedoch keine Einsicht in das Kryptosystem an sich. Mit dem Wissen um formula_203 und formula_202 kann eine Nachricht aus der Öffentlichkeit an den Privatmenschen anschließend wieder entschlüsselt werden, da mit dem Wissen um formula_140 und formula_206 auch der „Gegenschlüssel“ erzeugt werden kann, der den Klartext wieder herstellt. Dieser Gegenschlüssel steht nur der Privatperson zur Verfügung und ist daher ein privater Schlüssel. Zum Brechen des Systems ist folglich die Faktorisierung von formula_65 erforderlich.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: In der Physik spielt die Riemannsche Zeta-Funktion eine vielseitige Rolle. Anwendungen haben etwa spezielle Funktionswerte:Zudem spielt die sog. Zetafunktions-Regularisierung ("Zeta function regularization") eine Rolle in der Regularisierung von Divergenzen in der Quantenfeldtheorie. Dabei werden, ähnlich wie es bereits Ramanujan tat, divergenten Reihen endliche Werte zugeordnet. Ein Anwendungsbeispiel einer solchen Regularisierung betrifft den Casimir-Effekt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Formel von Ramanujan und Euler für formula_212 kann heuristisch dazu dienen, auf einfache Weise die Notwendigkeit von 26 Raum-Zeit-Dimensionen in der bosonischen Stringtheorie abzuleiten.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Das Zipfsche Gesetz wurde ursprünglich in der quantitativen Linguistik formuliert und besagt, dass bei einem Korpus von natürlichsprachlichen Äußerungen die Häufigkeit eines Wortes umgekehrt proportional zu seinem Rang in der Häufigkeitstabelle ist. So wird das häufigste Wort etwa doppelt so oft vorkommen wie das zweithäufigste Wort, dreimal so oft wie das dritthäufigste Wort usw. Bei der Verwendung von formula_213 verschiedenen Wörtern hat dies eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von mit der harmonischen Folge formula_215 zur Konsequenz. Je nach Art des Datensatzes kann es aber sein, dass ein anderer Exponent gebraucht wird. Mit der verallgemeinerten harmonischen Folge formula_216 lässt sich für "reelle" Parameter formula_217 die verallgemeinerte Verteilung beschreiben. Im Falle von formula_219 lässt sich damit die für „unendlich viele Wörter“ geeignete Zeta-Verteilung erzeugen:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Folgenden bezeichnet formula_221 die Gammafunktion, die die Fakultät auf komplexe Zahlen verallgemeinert. Auf ganz formula_222 gilt als Identität zwischen meromorphen Funktionen


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Aus dieser geht durch einfache Umformung die alternative Darstellung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: für alle formula_225 hervor. Oft wird auch die "symmetrische" Variante der Funktionalgleichung, nämlich


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: in der Literatur zitiert. Man beachte die Invarianz, die unter der Variablentransformation formula_227 entsteht. Aus der symmetrischen Variante können die oberen Gleichungen mittels der Legendreschen Duplikationsformel und des Eulerschen Ergänzungssatzes hergeleitet werden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Erfüllung einer Funktionalgleichung obigen Typs ist charakteristisch für L-Funktionen (spezielle Dirichlet-Reihen unter anderem mit analytischer Fortsetzung). Diese stehen wegen ihres Transformationsverhaltens oft in Beziehung mit Modulformen. Beispielsweise korrespondiert die Zeta-Funktion zur Jacobischen Theta-Funktion, einer Modulform halbganzen Gewichts. Aus dieser Beziehung geht, startet man mit dem Transformationsverhalten der Theta-Funktion, die Funktionalgleichung hervor.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Funktionalgleichung schafft einen Zusammenhang zwischen bedeutenden mathematischen Funktionen und zieht wichtige Resultate bezüglich Nullstellen- und Wachstumsverhalten der Zeta-Funktion nach sich. Sehr vielen Schlussfolgerungen ist dabei folgendes Prinzip gemein: Durch das (wegen absoluter Konvergenz der Dirichlet-Reihe) einfache Verhalten der Zeta-Funktion in der Halbebene formula_109 wird automatisch eine Trivialisierung der mittels formula_229 gespiegelten Halbebene formula_230 erreicht.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: In seiner Arbeit definierte Riemann ursprünglich für formula_231 die ganze Funktion


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: In der heutigen Konvention ist es allerdings üblicher, statt formula_233 die Variable formula_6 zu verwenden; man setzt dann formula_235. In dieser neuen Notation gilt dann die Reflexion


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Beide Interpretationen werden heutzutage als Riemannsche Xi-Funktion bezeichnet.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Funktionalgleichung war schon Euler (1749) bekannt, wenn er sie auch nicht für komplexe Argumente formulierte und nicht bewies, sondern nur in einer so großen Zahl von Fällen überprüfte, dass nach seinen Worten kein Zweifel an ihrer Gültigkeit bliebe. Beweise wurden auch 1858 von Oskar Schlömilch veröffentlicht und von Carl Johan Malmstén (1849). André Weil hat darauf hingewiesen, dass ein Beweis der Funktionalgleichung mit der Mellin-Transformation schon in einem Handexemplar der Gauß’schen Disquisitiones Arithmeticae von Gotthold Eisenstein niedergeschrieben ist, mit dem Riemann in seiner Berliner Zeit eng befreundet war.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Jahre 1921 gelang es Hans Hamburger, die Riemannsche Zeta-Funktion anhand ihrer Funktionalgleichung wie folgt zu charakterisieren.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Es sei formula_237, wobei formula_238 eine ganze Funktion endlicher Ordnung und formula_239 eine Polynomfunktion ist, für formula_109 durch die Dirichlet-Reihe formula_241 darstellbar. Ferner gelte die Funktionalgleichung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: wobei formula_243 ebenfalls auf der Halbebene formula_109 als Dirichlet-Reihe formula_245 darstellbar sei. Dann folgt bereits die Identität formula_246.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Riemannsche Zeta-Funktion gehört zur Klasse der transzendenten Funktionen und sogar der hypertranszendenten Funktionen. Das bedeutet, dass sie keiner Polynomgleichung und auch keiner algebraischen Differentialgleichung (mit Koeffizienten in formula_247 und algebraischen Startwerten) genügt. Dies wurde von V. E. E. Stadigh im Jahre 1902 bewiesen. Entscheidend für den Beweis war die Funktionalgleichung und ein analoges Resultat von Otto Hölder aus dem Jahr 1887 über die Gammafunktion:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Als auf formula_248 holomorphe Funktion mit einfachem Pol in 1 kann man die Riemannsche Zeta-Funktion um ihre Singularität in eine "global konvergente" Laurent-Reihe (also mit Konvergenzradius formula_249) entwickeln. Diese hat die Form Bei den Koeffizienten handelt es sich um die Stieltjes-Konstanten, wobei formula_252 die Euler-Mascheroni-Konstante ist, für die sich daraus insbesondere der Ausdruck ergibt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Funktion formula_254 ist ganz und hat die Wachstumsordnung 1. Das heißt, für jedes formula_255 gibt es Konstanten formula_256 und formula_257, sodass für alle formula_3: Hierbei ist formula_260 eine andere Schreibweise für formula_261, die Exponentialfunktion. Die Bestimmung der Wachstumsordnung ist ein Zwischenschritt beim Produktsatz von Hadamard, der zur Herleitung von Riemanns Hauptformel gebraucht wird.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Auf dem offenen Intervall formula_262 ist die Zeta-Funktion eine unbeschränkte, reellwertige und streng monoton fallende Funktion. Insbesondere ist sie in diesem Bereich injektiv. Dabei ist 1 ihre größte untere Schranke, weshalb sie (wegen ihrer Stetigkeit) das Intervall formula_262 bijektiv auf sich selbst abbildet. Aus ihrer Holomorphie folgt unterdessen sofort, dass sie auf formula_262 beliebig oft reell differenzierbar (also glatt) ist.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Da formula_265, folgt bereits formula_266. Eine Eigenschaft analytischer Funktionen ist, unter diesen Voraussetzungen ein Spiegelungsgesetz unter der komplexen Konjugation zu erfüllen: Es gilt formula_267. Dies hat wichtige Konsequenzen für die Nullstellenverteilung, da die Nullstellen an der reellen Achse gespiegelt werden und damit paarweise auftreten.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die reelle Dirichlet-Reihe lässt sich in ihrem Konvergenzbereich durch rationale Funktionen einschließen. Es gilt für alle formula_268 die Abschätzung Ebenfalls interessant in diesem Bereich ist die Ungleichung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Definiert man formula_271 so gilt für alle formula_272 wobei formula_274 endlich. Die Notation formula_275 ist dabei historisch bedingt. Sie ist ein Maß dafür, wie schnell die Riemannsche Zeta-Funktion entlang vertikaler Geraden anwächst. Für reelle Zahlen "außerhalb" des kritischen Streifens formula_276 lässt sich formula_277 leicht berechnen. Für formula_268 gilt formula_279, da für alle Werte formula_6 mit formula_109 nach Abschätzung der Summe mittels absoluter Konvergenz formula_282 folgt, erhält man formula_283. Über die Möbius-Funktion folgt andererseits die untere Schranke formula_284, weshalb gleichzeitig formula_285 und damit formula_286 bewiesen ist. Zusammen mit diesem Resultat folgt über die Stirlingsche Formel und die Funktionalgleichung der Zeta-Funktion formula_287 für alle formula_288. Ebenfalls gesichert sind die Randwerte formula_289 sowie formula_290. Die genauen Werte von formula_277 für kritische Werte formula_276 sind bis heute (Dezember 2019) unbekannt. Schuld daran ist, dass Größencharakterisierungen dieser Genauigkeit ohne absolute Konvergenz sehr schwierig und mitunter unmöglich sind. Es wird vermutet, dass die Zeta-Funktion in den vertikalen Bereichen zu formula_293 weiterhin "langsam" anwächst, also formula_286 gilt, jedoch nicht mehr zwangsläufig durch eine Konstante beschränkt ist. Dies ist äquivalent zu formula_295 für alle formula_255. Diese Aussage wird auch als Lindelöfsche Vermutung (nach Ernst Leonard Lindelöf) bezeichnet und ist bis heute unbewiesen. Es ist aber bekannt, dass die Funktion formula_297 auf "jeder" vertikalen Geraden formula_298 mit formula_299 unbeschränkt ist.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Trotz allem kann man Abschätzungen für das Verhalten von formula_300 angeben. Über die Approximate functional equation folgert man beispielsweise Man kann außerdem zeigen, dass formula_302 konvex ist und dass die folgende Abschätzung nach unten gilt: Die Lindelöfsche Vermutung ist äquivalent dazu, dass in der letzten Ungleichung stets Gleichheit gilt. Wegen der Konvexität von formula_302 und der Funktionalgleichung der Zeta-Funktion ist dies bereits gleichbedeutend mit formula_305.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die zahlentheoretische Bedeutung der Lindelöfschen Vermutung wird durch einen Zusammenhang zu den Potenzmomenten der Zeta-Funktion entlang der kritischen Geraden ersichtlich. Definiert man so ist sie äquivalent zu der Aussage formula_307 für alle Werte formula_308. Die Potenzmomente tauchen unter anderem bei Fehlerabschätzungen im Dirichletschen Teilerproblem und in der Statistik auf. Explizit gilt und Heath-Brown zeigte 1979 mit formula_311 und berechenbaren formula_312. Die Momente der Zeta-Funktion sind, besonders für große Werte formula_313 (wo die Theorie deutlich schwieriger ist), ein hochaktuelles Forschungsgebiet. Beiträge lieferten Conrey, Gonek für große Werte formula_314 und Heath-Brown für rationale formula_315. Im Zusammenhang mit der Theorie der Zufallsmatrizen haben Keating und Snaith eine Vermutung über das genaue asymptotische Verhalten der Potenzmomente formuliert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Zwischen dem Wachstum einer analytischen Funktion und der Anzahl ihrer Nullstellen besteht wegen der Jensenschen Formel ein Zusammenhang. Tatsächlich gilt die Lindelöfsche Vermutung genau dann, wenn für alle formula_316 gilt: Dies wurde erstmals 1918 von Backlund bewiesen. Ist die Riemannsche Vermutung richtig, so wäre der Zähler stets 0, womit die Lindelöfsche Vermutung direkt folgt. Jedoch kann aus der Gültigkeit der Lindelöfschen Vermutung nicht die der Riemannschen Vermutung gefolgert werden, da schon eine einzige nicht-triviale Nullstelle mit Realteil ungleich formula_14 genügt, um letztere zu widerlegen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Falle, dass die Riemannsche Vermutung wahr ist, zeigte Littlewood mit einer positiven Konstanten formula_320. Soundararajan zeigte, dass formula_321 gesetzt werden kann.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Der Verlauf der Zeta-Funktion in der komplexen Ebene, besonders entlang parallel zur imaginären Achse verlaufender Streifen, wird wegen des Zusammenhangs mit der Primzahlverteilung und des davon unmittelbar betroffenen sogenannten Faktorisierungsproblems in den 2000er Jahren auch gezielt experimentell mit quantenoptischen Methoden untersucht, und zwar mit Interferenzmethoden analog zur Holographie. Man teilt dazu die definierende Summe in zwei Teile mit positiver bzw. negativer Phase auf, formula_322 bzw. formula_323, die man anschließend zur Interferenz bringt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Wie bereits der 15-jährige Gauß vermutete, wächst die Anzahl aller Primzahlen formula_324 unter einer gegebenen Schranke formula_325 asymptotisch gleich wie der Ausdruck formula_326. Es gilt also: Dieser sogenannte Primzahlsatz wurde jedoch erst hundert Jahre später unabhängig von Hadamard und Poussin bewiesen. Für einen Beweis kann die zwischen der Riemannschen Zeta-Funktion und der Primzetafunktion geltende Identität genutzt werden, die ihren Ursprung im Euler-Produkt findet. Weiß man nun, dass formula_5 für alle formula_7, so folgt, dass sich formula_239 auf das Geradenstück formula_332 holomorph fortsetzen lässt und in einer Umgebung von formula_111 in der Form formula_334 mit einer holomorphen Funktion formula_25 geschrieben werden kann. Mit dem Taubersatz von Delange folgt damit bereits


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dabei bezeichnet formula_337 den Integrallogarithmus. Ein anderer elementarerer Ansatz verwendet die Mangoldt-Funktion und den Taubersatz von Wiener-Ikehara. Eine „schnelle“ Methode stammt von Donald Newman und verwendet die Möbiusfunktion. Diese wurde 1997 von Don Zagier noch weiter verkürzt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Aus der unbedingten Konvergenz des Euler-Produktes folgt unmittelbar, dass formula_338 auf der Halbebene formula_339 keine Nullstellen besitzt. Ferner gilt dort die Identität formula_340 woraus Riemann schließlich den für alle formula_341 gültigen, zahlentheoretisch sehr wichtigen Ausdruck


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: mittels inverser Mellin-Transformation hervorbringen konnte. Die Summe auf der linken Seite liefert für jede Primzahlpotenz formula_343 jeweils den Beitrag formula_344, kann also mit formula_345 identifiziert werden. Hierbei bezeichnet formula_324 die Primzahlfunktion, die zählt, wie viele Primzahlen kleiner als formula_325 sind. Riemann berechnete das rechte Integral mittels eines Vorläufers des Hadamard-Produktes und fand damit die für nicht-ganze Zahlen formula_348 gültige explizite Formel wobei formula_350 den Integrallogarithmus bezeichnet. Über Möbius-Inversion kann aus formula_351 der Wert formula_352 rekonstruiert werden: Hierbei ist formula_354 die Möbiusfunktion. Über die nicht-trivialen Nullstellen kann also der Wert der Primzahlfunktion formula_324 an der Stelle formula_325 "exakt" berechnet werden. Insbesondere ist eine vollständige Fehlerkorrektur des Primzahlsatzes möglich. Bezüglich Konvergenz ist zu beachten, dass die Summe über formula_357 die Nullstellen nach ihrer Konjugation paarweise addiert. Des Weiteren sind die Terme in der Summe als formula_358 zu verstehen (hier bezeichnet formula_359 die (komplexe) Integralexponentialfunktion), denn: Verwechslungen können bei der Auswertung von formula_360 über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus entstehen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Den „reellen Hauptteil“ seiner Formel interpretierte Riemann als bessere Approximation als formula_350 an formula_362. Er hob auch die mögliche Bedeutung der Nullstellen („periodische Glieder“) bei der Entschlüsselung der unregelmäßigen Abstände zwischen Primzahlen hervor:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die von Riemann angesprochene Funktion wird heutzutage als Riemannsche R-Funktion bezeichnet und liefert für die ersten Werte formula_325 eine (stellenweise deutlich) bessere Approximation von formula_352 als formula_366. Da jedoch Littlewood zeigen konnte, dass die Funktion formula_367 unendlich viele Nullstellen besitzt, kann das nicht für alle formula_36 der Fall sein. Lediglich denkbar wäre eine „durchschnittlich“ bessere Annäherung im Sinne für alle (hinreichend großen) formula_325, aber das ist bis heute unbekannt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Bei der Selberg-Delange-Methode handelt es sich um eine Technik, die mittlere Ordnung einer zahlentheoretischen Funktion zu bestimmen, solange ihre erzeugte Dirichlet-Reihe hinreichend gute Eigenschaften besitzt. Hierbei macht man sich komplexe Potenzen der Zeta-Funktion zunutze. Für formula_371 betrachtet man formula_372 und findet mit dem Euler-Produkt für alle formula_373:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Sei dafür formula_375 eine Dirichlet-Reihe, die auf der Halbebene formula_373 konvergiert. Falls sich für ein formula_377 die Funktion formula_378 holomorph in eine nullstellenfreie Region von formula_338 fortsetzen lässt und dort ein gut kontrolliertes Wachstum besitzt, kann die Summe explizit geschätzt werden. Der Fehler hängt dabei von der Größe des nullstellenfreien Gebietes von formula_381 ab. Ein Vorteil dieser Methode ist, dass bis auf Konvergenz der Reihe keine wesentlichen Voraussetzungen an die Terme formula_382 gestellt werden. Nachteilig ist die notwendige Wachstumsbedingung an die Funktion formula_238.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ein Anwendungsbeispiel der Selberg-Delange-Methode ist ein Resultat von Paul Bateman bezüglich der Eulerschen Phi-Funktion. Dieses besagt, dass die Anzahl der natürlichen Zahlen formula_66, für die formula_385 gilt, asymptotisch durch gegeben ist, wobei formula_387 eine Konstante ist. Die dafür betrachtete Dirichlet-Reihe hat für formula_109 die Gestalt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Lindelöfsche Vermutung ist bereits eine zahlentheoretische Aussage. Sie kann dazu verwendet werden, die Natur von Teilersummen recht detailliert zu beschreiben. Diese Summen sind Gegenstand des "Dirichletschen Teilerproblems", das in der klassischen Variante nach der Größenordnung der Summe fragt, wobei formula_391 hier die Anzahl der positiven Teiler von formula_66 bezeichnet. In etwa ist formula_393, da die 6 die Teiler 1,2,3 und 6 hat. Bereits Peter Gustav Lejeune Dirichlet zeigte: mit formula_395. Das Teilerproblem fragt nun nach der Natur der Zahlen formula_396, die in diese Gleichung eingesetzt werden dürfen. Im Jahr 1922 zeigte J. van der Corput formula_397 und die Abschätzung formula_398 wurde von M. N. Huxley im Jahr 2003 angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass formula_399 gelten muss.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dieses Problem lässt sich sogar noch verallgemeinern. Dazu definiert man


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Während formula_401 ist und alle Paare formula_402 mit formula_403 abzählt (mit anderen Worten die Teiler von formula_66), zählt formula_405 alle Tupel formula_406 mit formula_407 ab.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Mit Hilfe der Potenzmomente der Riemannschen Zeta-Funktion kann die allgemeine Aussage getroffen werden. Der Term formula_409 ist durch das Residuum der Funktion formula_410 an der Stelle 1 gegeben. Hintergrund dieses Zusammenhangs ist, dass die Dirichlet-Reihe der Funktion formula_411 durch die formula_412 erzeugt wird. Falls nun aber die Lindelöfsche Vermutung wahr ist, und nur dann, kann dieser Fehler für alle formula_413 durch formula_414 für alle formula_415 ersetzt werden. Aus formula_416 mit einem Polynom formula_417 vierten Grades folgt beispielsweise formula_418


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Eine Produktkomposition der natürlichen Zahl formula_66 ist von der Form formula_420 mit natürlichen Zahlen formula_421. Bezeichnet formula_422 die Anzahl aller Produktkompositionen (die Reihenfolge der Faktoren spiele eine Rolle) von formula_423, so gilt für Zahlen formula_6 mit hinreichend großem Realteil, wenn man formula_425 fordert, Dies wurde von László Kalmár genutzt, die folgende asymptotische, für jedes formula_427 gültige, Formel zu entwickeln: Dabei ist formula_429 die einzige Lösung der Gleichung formula_430 im Intervall formula_431. Diese wird heutzutage auch als "Kalmársche Kompositionskonstante" bezeichnet. Kalmár selbst gab die Abschätzung formula_432. Inzwischen wurden die Ergebnisse weiter verfeinert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Taubersätze für Dirichlet-Reihen formula_433 mit formula_434 gelten bereits unter recht schwachen Voraussetzungen. So lassen sich Wachstumsformeln für summatorische Funktionen bereits daraus ableiten, dass die zugehörigen Dirichlet-Reihen auf einer Halbebene formula_436 konvergieren, an der Stelle formula_437 einen "singulären Punkt" haben (d. h., dass sich die durch die Dirichlet-Reihe dargestellte holomorphe Funktion für "keine" offene Menge formula_438 holomorph nach formula_439 fortsetzen lässt) und sich ansonsten von rechts holomorph auf die Gerade formula_440 fortsetzen lassen. Kompositionen der Riemannschen Zeta-Funktionen erfüllen sehr oft diese Bedingungen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: So folgt aus formula_441 für reellwertige formula_442 bereits Für die Phi-Funktion ergibt sich mit formula_444 Gutes Werkzeug zur Herleitung dieser Identitäten ist der Taubersatz von Delange. Für den Fall, dass die betrachtete zahlentheoretische Funktion gerade Indikatorfunktion einer Teilmenge formula_446 ist, geben Taubersätze Auskunft über deren asymptotische Dichte. Der Primzahlsatz, der den Fall formula_447 (Menge der Primzahlen) behandelt, ist ein solches Dichteresultat.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine spezielle Dirichletsche L-Funktion. Sie korrespondiert zum sog. trivialen Charakter formula_448 für alle Werte formula_66. Aus diesem Grunde ist sie zentraler Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie, die sich mit der Struktur von Charakteren zu gewissen Gruppen befasst.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Dedekindsche Zeta-Funktion formula_450 eines Zahlkörpers formula_451 verallgemeinert die Riemannsche Zeta-Funktion. Dabei befasst sich formula_452 mit der „Primfaktorzerlegung“ im Ganzheitsring formula_453 von formula_454. Der Ring formula_455 ist die Menge aller Elemente formula_456, die Lösung einer Polynomgleichung formula_457 mit ganzen Zahlen formula_458 sind. Zum Beispiel ist formula_459 und formula_460. Die Frage, ob es allgemein in formula_453 eine eindeutige Zerlegung in Primelemente gibt, ist von zahlentheoretischer Relevanz und ihre Antwort lautet im Allgemeinen „Nein“. So sind die Zahlen formula_462 zwar alle prim und paarweise verschieden in formula_463, jedoch gilt Um Eindeutigkeit wieder herzustellen, wird auf die Ideale von formula_453 übergegangen. Vor diesem Hintergrund entwickelte Ernst Eduard Kummer die Idee der „idealen Zahlen“, die jedoch als überholt gilt. Es kann gezeigt werden, dass jedes nicht-triviale ganze Ideal formula_466 eine eindeutige multiplikative Zerlegung in Primideale besitzt. Dies ermöglicht schließlich die Definition einer Zeta-Funktion die in ein Euler-Produkt über die Primideale zerfällt: Hierbei bezeichnet die natürliche Zahl formula_469 die Norm des Ideals formula_470 (ein Maß für seine „Dichte“ in formula_453).


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Funktion formula_452 besitzt eine holomorphe Fortsetzung nach formula_4, hat einen Pol erster Ordnung in formula_474 und erfüllt eine Funktionalgleichung. Sie besitzt große zahlentheoretische Relevanz, da sie einerseits das Konzept der Riemannschen Vermutung auf Zahlkörper ausweitet, andererseits in der Klassenzahlformel kodiert, „wie stark“ die Primfaktorzerlegung in formula_453 von der Eindeutigkeit abweicht. Dieses Maß ist auch als Klassenzahl bekannt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Falle formula_476 ist die Dedekindsche Zeta-Funktion formula_477 gerade die Riemannsche Zeta-Funktion. Insbesondere hängt diese mit den Primelementen in deren Ganzheitsring formula_478 zusammen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ist formula_479 eine quadratische Erweiterung von formula_19 mit Diskriminante formula_119, so gibt es einen Dirichlet-Charakter formula_482 modulo formula_483, sodass wobei formula_485 die zu formula_482 gehörige Dirichletsche L-Funktion bezeichnet.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ein wichtiger Spezialfall ist formula_487. Die dazu korrespondierende Zeta-Funktion ist gegeben durch


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: wobei die Dirichletsche Betafunktion formula_489 zum Charakter formula_490 modulo 4 korrespondiert. Daraus ergibt sich direkt die folgende Identität für die Dirichlet-Reihe der Quadratsummen-Funktion formula_491: Über einen Koeffizientenvergleich kann man damit auf eine geschlossene Formel für die formula_493 schließen. Dies liefert unter anderem einen analytischen Beweis dafür, dass eine Primzahl formula_94 "genau dann" Summe zweier Quadrate ist, also formula_495, wenn formula_496


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ist formula_497 der Körper der formula_498-ten Einheitswurzeln, auch genannt Kreisteilungskörper, dann gilt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Das Produkt durchläuft hierbei alle primitiven Charaktere modulo formula_500 sodass formula_501 mit Ausnahme des trivialen Charakters formula_502, der nur den Wert 1 annimmt. Da sowohl formula_338 als auch formula_452 einfache Pole bei formula_111 besitzen, folgt, dass formula_506 gilt für alle Charaktere. Eine Konsequenz dieser Aussage ist der Dirichletsche Primzahlsatz.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Falle, dass formula_479 eine Abelsche Erweiterung ist, ist der Quotient formula_508 eine ganze Funktion. D. h. gewissermaßen, dass die Riemannsche Zeta-Funktion in diesem Falle ein „Teiler von formula_509“ ist (Satz von Aramata-Brauer). Dass dies auch für nicht-abelsche Erweiterungen richtig ist, ist Gegenstand tiefer zahlentheoretischer Vermutungen, zum Beispiel der Dedekindschen Vermutung oder der Artinschen Vermutung.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Über das Cayley-Dickson-Verfahren kann man aus den Quaternionen und Oktaven Dirichlet-Reihen bestimmen, welche die Quadratsummen-Funktion formula_510 bzw. formula_511 beinhalten, nämlich und auch


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Daraus folgt unter anderem unmittelbar der Vier-Quadrate-Satz und der Satz von Jacobi.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: In der Theorie der für die Zahlentheorie wichtigen Modulformen taucht die Riemannsche Zeta-Funktion an einigen Stellen auf.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für die Gewichte formula_514 werden die normierten Eisensteinreihen zur vollen Modulgruppe formula_515 wie folgt definiert: Bei letzterem Ausdruck handelt es sich um eine Darstellung als Fourierreihe. Diese ist charakteristisch für Modulformen. Aufgrund der Normierung mittels des Faktors formula_517 hat diese nun ausschließlich rationale Koeffizienten. Das wird in der Zahlentheorie u. a. dazu benutzt, ganzzahlige Identitäten zwischen Teilerfunktionen zu beweisen. Wegen ihrer Beziehung zu Teilerfunktionen (die Koeffizienten der zu den formula_518 gehörigen Fourierreihen) sind formula_519 die zu formula_520 gehörigen L-Funktionen. Dieses Prinzip verallgemeinert sich für Eisensteinreihen zu Kongruenzuntergruppen. Hier hängen die konstanten Koeffizienten mit Werten von L-Funktionen zu Dirichlet-Charakteren zusammen.


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text: 1987 konnte Frits Beukers die Irrationalität von formula_49 mit Hilfe der Theorie der Eisensteinreihen beweisen. Dafür betrachtete er die Funktion


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text: die eine Modulform zum Gewicht 4 für die Kongruenzuntergruppe formula_523 ist. Die zu diesem formula_524 korrespondierende L-Funktion ist dann


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Das Argument bezieht sich letztlich auf eine Technik, die Konvergenzradien von Umkehrfunktionen lokal injektiver, meromorpher Funktionen ausnutzt. Mit der gleichen Methode lassen sich auch formula_526 und formula_527 zeigen, wobei der Charakter formula_528 das Legendre-Symbol modulo 5 ist. Die Techniken lassen sich jedoch laut Beukers selbst höchstwahrscheinlich nicht auf die Fälle formula_529 übertragen, geben jedoch Einblick in algebraisch geometrische und modulare Interpretationen der Apery-Zahlen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für komplexe Zahlen formula_530 mit formula_531 und formula_6 mit formula_109 konvergiert die Eisensteinreihe


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: absolut. Die dadurch definierte Funktion ist nicht-holomorph und zudem (für fixierte formula_6) invariant in formula_536 unter Wirkung der vollen Modulgruppe. Zudem lässt sie sich (für fixierte formula_536) in formula_6 meromorph in die gesamte Ebene fortsetzen mit einfachen Polen in formula_539 und formula_111, es gilt die Funktionalgleichung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Diese Parallele zur Theorie der Zeta-Funktion lässt bereits einen Zusammenhang vermuten. Es gilt die Darstellung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: wobei formula_543 die Untergruppe der Translationen von formula_544 bezeichnet. Betrachtet man zudem die Fourierentwicklung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: so gilt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Nicht-holomorphe Eisensteinreihen, und damit auch die Zeta-Funktion selbst, spielen eine fundamentale Rolle bei der sogenannten Rankin-Selberg-Methode, die sich als mächtiges Werkzeug bei Untersuchungen im Rahmen des Langlands-Programms herauskristallisiert hat.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Eine sehr wichtige Eigenschaft der Riemannschen Zeta-Funktion ist ihre Funktionalgleichung. Diese drückt sich am einfachsten über aus und es ist zu bemerken, dass auf der rechten Seite erstaunlicherweise die komplexe Variable formula_6 einfach durch formula_549 ersetzt wird.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Es gibt mehrere Herleitungsvarianten zum Auffinden dieser Gleichung. Zwei verschiedene zeigte bereits Riemann. Eine davon schließt einen einfachen Spezialfall der Jacobischen Theta-Funktion direkt mit ein. Von Vorteil ist die Modifizierung formula_551, es gilt formula_552. Die Theta-Funktion ist dabei eine Modulform halbganzen Gewichts: Mit der Poissonschen Summenformel fand bereits Jacobi die Identität formula_553, woraus sofort formula_554 folgt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ausgangspunkt ist die Integraldarstellung Der folgende Trick ist eine Standardumformung beim Beweis des Heckeschen Umkehrsatzes. Durch eine Aufspaltung des Integrals in die Intervalle formula_556 und formula_557, wobei in letzteres die Substitution formula_558 vorgenommen wird, folgt: Das zweite Integral kann elementar berechnet werden: Wie man leicht erkennt, ist die rechte Seite unter der Abbildung formula_227 unverändert, woraus schon die Funktionalgleichung folgt. Diese Argumentation ist gerechtfertigt, weil das Integral auf der rechten Seite nun für alle formula_562 existiert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Werte der Riemannschen Zeta-Funktion an positiven geraden Stellen sind rationale Vielfache entsprechender formula_563-Potenzen. Diese Werte haben in mancherlei Weise eine geometrische Interpretation.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Zum Beispiel tauchen sie in der Formel für das symplektische Volumen des Fundamentalbereichs formula_564 der Siegelschen Modulgruppe auf der Siegelschen oberen Halbebene formula_565 auf. Genau genommen zeigte Siegel die Formel Im einfachsten Falle formula_567 reduziert sich diese Formel auf das hyperbolische Volumen des Fundamentalbereichs der vollen Modulgruppe. Dieser Fall wurde von Don Zagier auf allgemeinere hyperbolische Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. Hier hängen die Volumina mit Werten formula_568 der Dedekindschen Zeta-Funktion zusammen. Entsprechende höherdimensionale Verallgemeinerungen führen außerdem zu weitreichenden Vermutungen im Umfeld der K-Theorie und der Bloch-Gruppen. Eine Übersichts-Arbeit hierzu aus dem Jahr 2000 stammt von Herbert Gangl und Don Zagier.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Über die Werte formula_569 für formula_570 haben Beilinson, Bloch und Kato weiteren Aufschluss gefunden. Dabei spielen die höheren K-Gruppen formula_571 der algebraischen K-Theorie eine wichtige Rolle. Für diese existiert ein Isomorphismus Hier ist formula_573 das Tensorprodukt zweier formula_574-Moduln. Das Bild formula_575 eines von Null verschiedenen Elementes in formula_576 heißt der formula_577-te "Regulator". Er ist bis auf einen rationalen Faktor eindeutig bestimmt und es gilt Diese Entdeckung von Armand Borel hatte auf die weitere Forschung große Auswirkungen und gab tiefe Einblicke in die arithmetische Natur von Zeta- und L-Werten. Diese wurden schließlich in der sog. Beilinson-Vermutung vereinigt. Spencer Bloch und Kazuya Kato haben eine vollständige Beschreibung der Werte formula_579 (also nicht nur mod formula_580) durch eine neue Theorie von sog. Tamagawa-Maßen gegeben.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die (globale) Hasse-Weil formula_581-Funktion einer elliptischen Kurve über formula_582 hat die Gestalt wobei formula_584 die lokalen Zeta-Funktionen zu formula_585 bezeichnen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ein Dreieck wird als kongruent bezeichnet, falls es rechtwinklig ist, ausschließlich rationale Seitenlängen und einen ganzzahligen Flächeninhalt formula_66 besitzt. Die Zahl formula_66 wird entsprechend als kongruente Zahl bezeichnet. Eine Zahl formula_423 ist genau dann eine kongruente Zahl, falls die zugehörige elliptische Kurve formula_589 unendlich viele rationale Punkte besitzt. Gilt die schwache Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, ist dies genau dann der Fall, falls formula_590. Unter dieser Voraussetzung kodiert die oben definierte Hasse-Weil formula_581-Funktion die geometrischen Eigenschaften der Zahlen formula_8 bezüglich Kongruenz.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Zeta-Funktion eines Schemas formula_593 (von endlichem Typ über den ganzen Zahlen) ist definiert durch das Euler-Produkt Das Produkt durchläuft hierbei alle abgeschlossenen Punkte des Schemas, also jene, deren zugehöriger Restklassenkörper endlich ist. formula_595 bezeichnet die Anzahl der Elemente dieses Körpers. Dem affinen Schema formula_596 zugehörig ist dann die Riemannsche Zeta-Funktion.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Es gibt eine reichhaltige Fülle an besonderen unendlichen Reihen, die die Zeta-Funktion beinhalten. Im Folgenden kann nur ein kleiner Teil davon zitiert werden, doch viele Zahlenbeispiele aus der Literatur sind Konsequenz solcher allgemeiner Formeln. So gilt beispielsweise


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: und auch


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Es ist dabei zu beachten, dass sich die Funktionen zur Rechten holomorph in ganz formula_599 fortsetzen lassen. Für ganze Zahlen formula_600 gilt wobei formula_603 die Stirling-Zahlen zweiter Art sind.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Zusammen mit der Euler-Mascheroni-Konstanten formula_604 gibt es unzählige Formeln, so hat man zum Beispiel: Eine Zusammenstellung zahlreicher weiterer Formeln stammt von Pascal Sebah und Xavier Gourdon. Auch für die Catalansche Konstante formula_606 existieren solche Reihen:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Zusammen mit der verallgemeinerten harmonischen Folge formula_608 erhält man aus einer Integralgleichung (im Zusammenhang mit dem Polylogarithmus) für ganze Zahlen formula_609 die Symmetrieformel


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Auch einige Wahrscheinlichkeitsgesetze aus der Zahlentheorie stehen in engem Zusammenhang zu der Zeta-Funktion. Ein Satz von Ernesto Cesàro besagt, dass die asymptotische Dichte von Paaren ganzer Zahlen, die teilerfremd sind, gleich


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: ist, d. h., der Anteil solcher Paare in einem Intervall ganzer Zahlen formula_612 konvergiert gegen formula_613, wenn formula_8 gegen formula_615 geht. Dasselbe gilt für die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Allgemeiner ist formula_616 die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass formula_8 positive ganze Zahlen keine formula_313-te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Jahr 1972 beschrieb der Mathematiker Hugh Montgomery am Princeton Institute for Advanced Studies während einer Teepause einem Kollegen, dem Quantenphysiker Freeman Dyson, sein Modell für die Paarkorrelation von Nullstellen der Zeta-Funktion. Unter Annahme der Riemannschen Vermutung lassen sich die nicht-trivialen Nullstellen formula_619 mit reellen formula_620 schreiben. Im Folgenden wird die Normalisierung betrachtet. Zusammen mit formula_622 erhält man formula_623 Als weiteres Vorgehen kann für Zahlen formula_624 die Paarkorrelation formula_625 und allgemeiner der lineare Operator für Funktionen formula_626 studiert werden. Der folgende Satz von Montgomery, unter Annahme der Riemannschen Vermutung bewiesen, klassifiziert das asymptotische Verhalten der formula_628 für eine weite Klasse von Funktionen formula_24: Hat die Fourier-Transformation von formula_24 kompakten Träger formula_631 mit formula_632, so folgt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dyson, einer der Gründer der Theorie der Zufallsmatrizen, erkannte sogleich einen Zusammenhang. Sind nämlich formula_634 mit formula_635 die Eigenwerte eines Elementes formula_636 der unitären Gruppe formula_637 und wird formula_638 gesetzt, so folgt wie oben


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Hierbei bezeichnet formula_640 das Haar-Maß auf formula_637. Die Ähnlichkeit beider Formeln deutet auf eine starke Verbindung der Theorie der Zeta-Funktion zur Theorie unitärer Zufallsmatrizen hin. Diese Verbindung wird durch das sog. Polya-Hilbert-Programm unterstrichen: lassen sich die Werte formula_642 aller nicht-trivialer Nullstellen formula_643 als Eigenwerte eines (selbstadjungierten) Hamilton-Operators schreiben, folgt die Riemannsche Vermutung.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Keating und Snaith haben eine Vermutung über das asymptotische Wachstum der Potenzmomente formula_644 der Zeta-Funktion formuliert. Diese sagt aus, dass für alle formula_600 gilt: mit dem "arithmetischen Faktor" und dem "Matrizen-Faktor" Um den Weg bis zu dieser Vermutung und deren Bezug zur Statistik zu verstehen, ist das folgende sehr heuristische Argument hilfreich. Geht man davon aus, dass alle Primzahlen „unabhängig verteilt“ sind, so folgt mittels Euler-Produkt für den Erwartungswert (bezüglich des Lebesgue-Maßes formula_649 auf formula_650) und daraus gewinnt man letztlich die von Keating und Snaith gegebenen Terme, wobei der Matrizen-Faktor nur ein Korrekturterm innerhalb dieses „Unabhängigkeitsmodells“ ist.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für eine schnelle numerische Berechnung der Funktion formula_338 sind viele klassische Darstellungsformen unbrauchbar. Dazu zählen etwa im Besonderen die Dirichlet-Reihe, das Euler-Produkt, die Darstellung als Mellin-Transformation und das Hadamard-Produkt. Für effiziente Leistung ist ein endlicher approximativer Summenausdruck mit hoher Konvergenzgeschwindigkeit am geeignetsten.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Als gute und historisch betrachtet früh verwendete Methode erweist sich die „abgebrochene“ Summenformel, die mit Hilfe der Euler-Maclaurin-Summenformel gewonnen wird. Generell wird zunächst eine beliebige natürliche Zahl formula_65 festgelegt, für die außerdem formula_654 gelten sollte. Es gilt dann: Dabei gilt für das Restglied Bei der (freien) Wahl von formula_657 ist außerdem zu beachten, dass das Restglied nur auf der Halbebene formula_658 konvergiert. Daher muss stets formula_659 gelten. Für größer werdende Werte von formula_65 verkleinert sich der Fehler formula_661 demnach rapide.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Durch Anwendung der Funktionalgleichung (eine schnelle Berechnung der Gamma-Funktion und der Exponentialfunktion formula_662 ist leicht zu implementieren), kann zudem ohne Einschränkung formula_663 angenommen werden. Hier ist die Summenformel deutlich schneller. Ein Nachteil dieser Methode ist aber, dass sie für wachsende Imaginärteile an Effizienz einbüßt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ein Verfahren mittels abgebrochener alternierender Reihen stammt von Borwein. Dieses nutzt die für formula_664 gültige Formel


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: wobei formula_666 ebenfalls von der Wahl von formula_65 abhängt. Der Fehler formula_668 fällt mit exponentieller Geschwindigkeit. Jedoch gilt auch hier, dass das Verfahren für größer werdende Imaginärteile an Effizienz verliert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Viele Methoden verlieren an Präzision, wenn der Imaginärteil des Arguments sehr groß gewählt wird, was bei der Nullstellensuche entlang der kritischen Geraden problematisch ist. Daher greift man hier auf andere Methoden zurück, eine davon ist die Riemann-Siegel-Formel. Diese lässt sich über die Riemann-Siegelsche formula_669-Funktion herleiten:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dabei wird formula_671 auch als Riemann-Siegelsche Theta-Funktion bezeichnet. Für Werte formula_672 folgt mit der Approximate functional equation


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Der Fehlerterm formula_674 kann durch eine asymptotische Entwicklung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: beliebig verbessert werden. Die Terme formula_676 sind elementar berechenbar, werden jedoch mit wachsendem Index komplizierter. Insgesamt ergibt sich für eine ziemlich präzise Berechnung ein Aufwand von formula_677 Rechenoperationen in Form von Termberechnungen mit anschließender Addition. Um Nullstellen zu finden, reicht es schon aus, Bereiche mit Vorzeichenwechsel zu identifizieren (und für deren präzise Bestimmung dann eine Intervallschachtelung durchzuführen).


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Jahr 1988 entwickelten A. M. Odlyzko und A. Schönhage ein sehr schnelles Verfahren, um Werte der Riemannschen Zeta-Funktion auf der kritischen Geraden zu bestimmen. Dieses basiert auf den Ideen der Riemann-Siegel-Formel, benötigt jedoch nur noch formula_678 anstatt formula_679 Rechenoperationen, wobei formula_255 beliebig klein gewählt werden kann. Die Verfeinerung der Rechentechniken basiert auf der schnellen Fouriertransformation.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Neben ihrer elementaren Reihendarstellung besitzt die Zeta-Funktion eine reiche Fülle an weiteren Ausdrücken, von denen einige im Folgenden aufgeführt werden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Erwähnenswert ist der Reihenausdruck der für alle Werte formula_682 definiert ist. Interessant daran ist, dass sich damit die Zeta-Funktion rekursiv auf die ganze Zahlenebene fortsetzen lässt, da für die Berechnung von formula_338 lediglich die Werte formula_684 benötigt werden.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Von Helmut Hasse stammt die global konvergente Reihe


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Blagouchine gab 2018 zahlreiche Variationen und Verallgemeinerungen solcher Reihentypen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ein exotischer und global konvergenter Ausdruck ergibt sich, wenn man direkt die elementare Reihendarstellung der Zeta-Funktion in die Abel-Plana-Summenformel einsetzt:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ganz ähnlich dazu gilt beispielsweise Dabei wird ausgenutzt, dass formula_688 eine ganze Funktion ist.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: In dem Wunsch, die Definition der Riemannschen Zeta-Funktion zu verallgemeinern oder zu variieren, wurden zahlreiche verwandte Funktionen eingeführt und untersucht. Häufig tragen diese ebenfalls den Namen „Zeta-Funktion“, verbunden mit dem Namen ihres „Entdeckers“. Vorweg sei vor diesem Hintergrund auch auf die Liste von Zeta-Funktionen verwiesen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Es gilt wobei formula_690 und formula_691 die "Dirichletsche Eta-" bzw. "Lambda-Funktion" bezeichnet.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Definiert wird die Hurwitzsche Zeta-Funktion für formula_109 und formula_693 durch Für festes formula_188 besitzt sie eine analytische Fortsetzung auf formula_110 mit einem einfachen Pol in formula_697. Für formula_698 gilt nun: Mit Hilfe der Hurwitzschen Zeta-Funktion lassen sich die Riemannsche Zeta-Funktion und die Dirichletschen L-Funktionen einheitlich behandeln. Dies ist vor allen Dingen bezüglich deren "verallgemeinerter Funktionalgleichung" von Nutzen.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Sogar noch allgemeiner als die Hurwitzsche Zeta-Funktion ist die Lerchsche Zeta-Funktion, welche für formula_109, formula_693 und formula_702 gegeben ist durch Es gilt dann Die weitreichende Definition der Lerchschen Zeta-Funktion gestattet nicht nur Spezialisierungen zur Hurwitzschen und somit auch zur Riemannschen Zeta-Funktion, sondern beinhaltet noch viele andere wichtige Funktionen als Spezialfälle. Ähnlich definierte „verallgemeinerte Zeta-Funktionen“ werden auch in der theoretischen Physik verwendet, und zwar im Zusammenhang mit der systematischen sogenannten semiklassischen Näherung quantenmechanischer Resultate.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für alle formula_6 mit formula_95 gilt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: wobei formula_239 mit formula_709 die Primzetafunktion bezeichnet. Mit Hilfe von Möbius-Inversion lässt sich daraus eine Möglichkeit ableiten, die Primzetafunktion schnell aus einer Reihe über logarithmierte Zeta-Funktionen zu gewinnen:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dies ermöglicht eine (analytische) Fortsetzung der Primzetafunktion in elementare Bereiche der Halbebene formula_711, in denen alle Funktionen formula_712 mit formula_100 holomorph sind. Außerdem kann die Formel für eine schnelle numerische Berechnung der Primzetafunktion herangezogen werden. Zum Beispiel fand Henri Cohen innerhalb weniger Millisekunden:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Ferner folgt aus formula_715 für formula_716, dass die Reihe formula_717 der reziproken Primzahlen divergiert.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Der Polylogarithmus verallgemeinert unter anderen den natürlichen Logarithmus und ist für formula_718 gegeben durch die Potenzreihe Ist zudem formula_272, so ist diese Reihe auch an den Randwerten formula_721 (außer bei formula_722) konvergent. Generell ist für feste formula_6 eine analytische Fortsetzung in formula_536 auf die Menge formula_725 möglich. Es gilt für alle formula_109 aber auch für Werte formula_729 mit formula_730. Insbesondere gilt für "alle" formula_3 der Grenzwert:


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Funktion formula_733 ist auf der gesamten Halbebene formula_734 holomorph, da der logarithmierte Teil formula_735 dort keine Null- oder Polstellen besitzt. Folglich kann formula_24 um den Punkt formula_737 in eine Taylor-Reihe entwickelt werden. Die Koeffizienten dieser Reihe hängen direkt mit den Werten der Zeta-Funktion an positiven ganzen Stellen zusammen: Es gilt für alle formula_536 mit formula_718 die Formel


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für die Digammafunktion gilt


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: und allgemein für natürliche Zahlen formula_742


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dies schafft auf den ersten Blick eine Verbindung zur Theorie der Polygammafunktionen, die aus den Ableitungen der Funktion formula_744 per definitionem hervorgehen. Die formula_423-te Ableitung von formula_744 entspricht dabei gerade der formula_8-ten Polygammafunktion formula_748. Entsprechend nicht-trivial ist die Frage, wie sich eine allgemeine Polygammafunktion formula_749 entwickeln ließe, die auch beliebige komplexwertige Argumente formula_6 auswerten kann und weiterhin eine möglichst analytische Struktur trägt. Dies hat den Grund, dass der naheliegende Ansatz, eine formula_217-te Ableitung zu erklären, nicht leicht umzusetzen ist. Es stellt sich jedoch heraus, dass obige Taylor-Reihe, wenn die guten Eigenschaften der Zeta-Funktion herangezogen werden, relativ direkt eine gute Verallgemeinerung liefert. Espinosa und Moll haben 2003 eine solche verallgemeinerte Polygammafunktion formula_752 eingeführt, die nun sogar für alle komplexen Werte formula_6 definiert ist. Diese hat für formula_754 die allgemeine Taylor-Entwicklung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: gültig im Bereich formula_718. Diese Verallgemeinerung nutzt jedoch nicht fraktionale Infinitesimalrechnung. Ein solcher Ansatz wurde von Grossman gewählt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Werte der Riemannschen Zeta-Funktion tauchen auch als Funktionswerte der Polygammafunktion auf. Erwähnenswert ist in diesem Kontext eine Schar von Formeln, die für jedes natürliche formula_757 gegeben sind durch


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: In den vergangenen Jahrzehnten wurde auch immer verstärkter über die Eigenschaften der Ableitung formula_759 geforscht.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Funktion formula_759 besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf ganz formula_110 mit einem Pol zweiter Ordnung in formula_697. Auch sie erfüllt eine Funktionalgleichung, welche sich durch beidseitiges Ableiten der gewöhnlichen Funktionalgleichung der Zeta-Funktion ergibt.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Zwar besitzt die Ableitung keine Darstellung als ein Euler-Produkt, jedoch gibt es auch hier Zusammenhänge zu den Primzahlen. Eine solche Formel lässt sich mittels logarithmischer Ableitung gewinnen, also über die Identität


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Setzt man hier


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: für die formula_765-te Primzahl, ergibt sich


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Auch für die Ableitung sind die Nullstellen von zahlentheoretischem Interesse. So ist die Aussage formula_767 im Streifen formula_768 äquivalent zur Riemannschen Vermutung. Die reellen Nullstellen im negativen Bereich sind asymptotisch gegeben durch


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Dabei ist formula_770 und formula_771.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Für alle negativen ganzen Zahlen formula_772 erhält man über die Funktionalgleichung


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Andere Werte sind


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: wobei formula_636 hier die Glaisher-Kinkelin-Konstante bezeichnet.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Im Film "Die Poesie des Unendlichen" ist im Büro von Godfrey Harold Hardy im Hintergrund auf einer Tafel die Euler-Produkt-Entwicklung der Riemannschen Zeta-Funktion angeschrieben.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: In Neal Stephensons Roman "Cryptonomicon" wird die Riemannsche Zeta-Funktion mehrfach in Zusammenhang mit den fiktiven Kryptocodes "Azure", "Pufferfish" und "Arethusa" erwähnt.Zur Mathematik


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Die Fachliteratur zur Mathematik der Riemannschen Zetafunktion wurde zu einem großen Teil in englischer Sprache verfasst. Es existiert vergleichsweise wenig deutschsprachige Fachliteratur zu diesem Thema. Wegen des engen Zusammenhangs zwischen Riemannscher Zeta-Funktion, Riemannscher Vermutung, Primzahlen und Primzahlsatz behandelt Fachliteratur zu einem der drei zuletzt genannten Themen häufig auch die Riemannsche Zeta-Funktion. Lehrbücher zur analytischen Zahlentheorie enthalten in der Regel eine Darstellung der Riemannschen Zeta-Funktion. Mitunter gilt dies sogar für Lehrbücher zur algebraischen Zahlentheorie.


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Zur Geschichte


title: Riemannsche Zeta-Funktion

text: Deutschsprachige Weblinks: Englischsprachige Weblinks: Mathematische Fachartikel:


title: Isonomie

text: Isonomia (gr. ἰσονομία, von ἴσος "ísos," „gleich“, und νόμος "nómos," „Gesetz“) bezeichnete im antiken Griechenland die politische Gleichheit aller Vollbürger einer Polis vor dem Gesetz. Dementsprechend waren Sklaven, Frauen und Metöken (Ortsfremde) von der Isonomie ausgeschlossen.


title: Isonomie

text: Die Isonomie bildete die Grundlage der Demokratie in den antiken griechischen Poleis, wobei jedoch die antike Demokratie nicht mit dem modernen Demokratiebegriff gleichgesetzt werden kann (etwa aufgrund der fehlenden Gewaltenteilung). Etwa 508/507 v. Chr. führte Kleisthenes in Athen Reformen durch, die auf der Isonomia („Gleichheit vor dem Recht, Gleichberechtigung“) und Isegoria („gleiche Freiheit zu reden, gleiches Recht auf Meinungsäußerung“) basierten. Isonomia verstand sich als Gegensatz zur "Eunomia" („gute Ordnung“), der von Solon 594 v. Chr. eingeführten Gesellschaftsordnung, und zielte primär darauf ab, die Tyrannis und die Herrschaft von Adelscliquen zu verhindern. Einen der Hintergründe bildete die Verschiebung des militärischen Gewichts von der vom Adel gestellten Reiterei zum schwer bewaffneten Fußvolk, den Hopliten, die ihre Ausrüstung selbst beschafften und deren Kriegsleistungen ein Mehr an Teilhabe implizierten.


title: Isonomie

text: Es fanden nun Wahlen statt, die meisten Beamten wurden aber durch das Los gewählt. Ebenso wurden Beamte darauf vereidigt, die Interessen der Bürger zu vertreten. Den Endpunkt dieser Entwicklung stellte schließlich die um die Mitte des 5. Jahrhunderts v. Chr. in Athen etablierte attische Demokratie dar. Diese basierte nach Meinung des Aristoteles auf einer erneuten Verschiebung des Gewichts von der kleinen Gruppe schwer bewaffneter Hopliten zu einem größeren Heer von Leichtbewaffneten und zur Marine.


title: Isonomie

text: Die Idee der Isonomie wurde in Europa während der Aufklärung wieder aufgegriffen.


title: Waldemar (Brandenburg)

text: Waldemar der Große (auch "Woldemar"; * um 1280; † 14. August 1319 in Bärwalde) aus dem Geschlecht der Askanier war ab 1302 als Mitherrscher Markgraf der Mark Brandenburg und ab Mai 1309 Alleinherrscher von Brandenburg, sowohl der Gebiete der Johanneischen Linie sowie als Vormund des noch unmündigen Johann, Sohn Hermanns „des Langen“, Regent der Landschaften aus der Ottonischen Linie. Er war von 1318 bis 1319 Vormund für seinen Vetter Heinrich II.


title: Waldemar (Brandenburg)

text: Waldemars Eltern waren Markgraf Konrad I. (* um 1240; † 1304) von Brandenburg ⚭ 1260 Constantia von Polen († 1281), deren Vater Herzog Przemysł I. von Großpolen war.


title: Waldemar (Brandenburg)

text: Im Vertrag von Soldin trat Waldemar 1309 seine Ansprüche auf das Herzogtum Pommerellen mit Danzig gegen eine Zahlung von 10.000 Mark Silber an den Deutschen Orden ab, doch blieben die Burgbezirke Stolp und Schlawe zunächst bei Brandenburg. Diese Länder wurden 1317 zusammen mit Rügenwalde an Herzog Wartislaw IV. von Pommern in Wolgast abgetreten.


title: Waldemar (Brandenburg)

text: 1312 führte er Krieg mit dem Markgrafen von Meißen, Friedrich dem Gebissenen, nahm ihn gefangen und zwang ihm am 14. April 1312 den Vertrag zu Tangermünde auf. 1316 besetzte er Dresden. 1319 erwarb Waldemar für Brandenburg Züllichau und Schwiebus durch Tausch gegen das Land Crossen.


title: Waldemar (Brandenburg)

text: 1315 besetzte Waldemar im sogenannten Markgrafenkrieg die Herrschaft Stargard, verlor aber gegen Heinrich II. von Mecklenburg die Schlacht bei Gransee und musste nach dem Templiner Frieden vom 25. November 1317 das Land Stargard an Heinrich II. zurückgeben.


title: Waldemar (Brandenburg)

text: 1309 vermählte Waldemar sich mit Agnes von Brandenburg (~1298–1334), einer Tochter von Markgraf Hermann. Durch diese Heirat, wegen der nahen Verwandtschaft musste ein päpstlicher Dispens eingeholt werden, konnte er die zuvor übernommene Vormundschaft von Johann, seinem unmündigen Schwager umsetzen, wogegen sich zuvor die vom verstorbene Vater bestellten Vormünder, eine Auswahl altmärkischer Adliger, vehement wehrten. Hierdurch vereinigte er unter seinem Regiment bis zur Volljährigkeit (1315) des Mündels, die Landschaften beider brandenburgischen Linien (Stendaler Linie und Salzwedeler Linie, auch Johanneische Linie & Ottonische Linie genannt). Jener Johann (V.) starb 1317 mit 15 Jahren, womit die Ottonische Linie ausstarb und die seit 1258 eingeleitete brandenburgische Landesteilung praktisch beendet war.


title: Waldemar (Brandenburg)

text: 1319 starb Markgraf Waldemar ohne eigenen Erben. Sein noch unmündiger Vetter Heinrich II. von Brandenburg folgte ihm nach. Es brachen augenblicklich schwere Konflikte hinsichtlich der Ausübung des Vormundschaftsrechts und demgemäß der Landesverwesung aus. Mit Heinrichs sehr frühem Tod, nur ein Jahr später, erlosch 1320 die Linie der Askanier als Markgrafen von Brandenburg.


title: Waldemar (Brandenburg)

text: Waldemar war zeitlebens in nahezu ständigen Geldverlegenheiten. Zur Finanzierung seines überaus prächtigen Habitus als Landesfürst und seiner zahlreichen Kriegszüge verpfändete oder verkaufte er wiederholt Landschaften oder landesherrliche Regalien.


title: Waldemar (Brandenburg)

text: Im Jahre 1348 meldete sich ein alter Mann beim Erzbischof von Magdeburg und behauptete, er sei der wirkliche Markgraf Waldemar, soeben erst von einer Pilgerfahrt aus dem Heiligen Land zurückgekehrt. Man habe 1319 den Falschen bestattet. König Karl IV. belehnte ihn daraufhin mit der Mark Brandenburg, bis er 1350 als Hochstapler entlarvt wurde; vgl. Falscher Woldemar.


title: Ignaz von Kolisch

text: Baron Ignaz von Kolisch, manchmal auch "Ignatz von Kolisch" (* 6. April 1837 in Pressburg; † 30. April 1889 in Wien) war ein österreichisch-ungarischer Bankier und Schachmeister.


title: Ignaz von Kolisch

text: Bevor Kolisch ein Vermögen an der Börse machte und in den Freiherrnstand erhoben wurde, war er der damaligen Schachwelt als Berufsspieler und Journalist bekannt. Kolisch stammte aus bescheidenen Verhältnissen. Schon als 17-Jähriger spielte er im Wiener Silbernen Kaffeehaus in der Plankengasse erfolgreich mit Ernst Falkbeer. Zu derselben Zeit verfasste er unter dem Pseudonym „Ideka“ Schachrubriken für verschiedene Wiener Zeitungen.


title: Ignaz von Kolisch

text: In Paris gewann er 1867 eines der stärksten internationalen Schachturniere des 19. Jahrhunderts. Nach diesem Höhepunkt seiner Schachlaufbahn spielte Kolisch kein Turnierschach mehr, obwohl er noch oft als Mäzen des königlichen Spiels in Erscheinung trat. So war er, selbst Ehrenmitglied der "Wiener Schachgesellschaft", im Organisationskomitee und auch einer der hauptsächlichen Geldgeber des II. Internationalen Schachmeisterturniers zu Wien 1882. Über das Schachspiel wurden der Rechtsanwalt Jules Grévy, späterer französischer Staatspräsident, und der Multimillionär Albert Rothschild seine Freunde. Baron Rothschild, der Kolischs Karriere in der Finanzwelt entscheidend förderte, war seit 1872 Präsident und Schirmherr der Wiener Schachgesellschaft.


title: Ignaz von Kolisch

text: Spekulationen an der Börse in Paris hatten ihn zu einem reichen Mann gemacht. Nachdem ihn der Herzog von Sachsen-Meiningen im Jahr 1881 mit dem Titel Baron beehrt hatte, zog Kolisch nach Wien, wo er unter anderem die "Wiener Allgemeine Zeitung" (bis 1888) besaß.


title: Ignaz von Kolisch

text: Er starb 1889 an einer Nierenerkrankung und fand seine letzte Ruhestätte in der alten israelitischen Abteilung des Wiener Zentralfriedhofs. Kolisch ist der Held der Novelle Schachbaron von Ferenc Móra.


title: Ignaz von Kolisch

text: Seine internationale Schachspielerlaufbahn begann 1859 in Paris, als er dem Champion des Café de la Régence, Daniel Harrwitz, den Rang ablief, woraufhin dieser seine Tätigkeit nach London verlegte. Ostern 1860 spielte Kolisch in Paris gegen Adolf Anderssen elf Partien, von denen jeder fünf gewann und eine remis endete. Im selben Jahr reiste er nach England, wo er in London 10:1 (+10, −1) gegen Thomas Wilson Barnes und in Manchester 3:1 (+3, −1) gegen Bernhard Horwitz gewann.


title: Ignaz von Kolisch

text: Zwei Einladungen an Paul Morphy lehnte der amerikanische Meister ab, der sich vom Schach bereits zurückgezogen hatte. Im Jahr 1861 spielte Kolisch zwei Wettkämpfe in London gegen Adolf Anderssen und Louis Paulsen. Beiden unterlag er nur knapp: Anderssen mit 4:5 (+3 =2 −4), Paulsen mit 15:16 (+6 =18 −7). 1862 begab Kolisch sich nach Sankt Petersburg, wo er auf die russischen Schachmeister Carl Ferdinand Jänisch, Ilja Schumow und Sergei Urussow traf. Er besiegte Schumow mit 6:2 (+6, −2) und spielte 2:2 (+2, −2) gegen Urussow.


title: Ignaz von Kolisch

text: Ab 1864 wohnte er wieder in Paris. In diesem Jahr spielte er in der französischen Hauptstadt einen leichten Wettkampf gegen den preußischen Meister Philipp Hirschfeld 4:4 und schlug den polnischen Emigranten Samuel Rosenthal vernichtend mit 7:1.


title: Ignaz von Kolisch

text: Seinen größten Triumph feierte er 1867, beim internationalen Turnier anlässlich der Weltausstellung in Paris. In einem sehr stark besetzten Turnier setzte Kolisch sich gegen Spieler wie Wilhelm Steinitz, Szymon Winawer und Gustav Neumann durch und errang den alleinigen ersten Platz. Als Preis erhielt er 500 Francs in bar und eine Sèvres-Vase im Wert von 5000 Francs, die von Kaiser Napoleon III. gestiftet wurde.


title: Ignaz von Kolisch

text: Nach Chessmetrics war er im Zeitraum von Juli 1867 bis November 1868 die Nummer eins der Welt. Auch laut „Edo Historical Chess Ratings“ war er in den Jahren 1866 und 1867 der beste Spieler der Welt.


title: Ignaz von Kolisch

text: Von dem ungarischen Meisterspieler Isidor Gunsberg ist der folgende Ausspruch überliefert: „Ich habe in sechzig Jahren nur einen Schachspieler gesehen, der aus dem Schachspiel Geld geholt und es auch bewahrt hat. Kolisch war der Mann.“


title: Eishockey-Bundesliga 1974/75

text: Die Saison 1974/75 der Eishockey-Bundesliga war die 17. Spielzeit der höchsten deutschen Eishockeyliga. Deutscher Meister wurde die Düsseldorfer EG, die die Saison vor dem Titelverteidiger Berliner SC beendete und damit ihren dritten Titel gewinnen konnte. Zum ersten Mal seit Bestehen der Bundesliga landete kein bayerischer Verein unter den ersten Drei, dafür kamen die drei Letztplatzierten allesamt aus Bayern. Absteigen musste der ESV Kaufbeuren, der durch Meister der 2. Bundesliga, den EV Rosenheim, ersetzt wurde.


title: Eishockey-Bundesliga 1974/75

text: Wie im Vorjahr spielten die zehn Mannschaften in einer Doppelrunde den Deutschen Meister aus, sodass jeder Verein jeweils zwei Heim- und zwei Auswärtsspiele gegen die übrigen Mannschaften bestritt. Der Letztplatzierte musste am Ende der Saison absteigen und wurde durch den Meister der 2. Bundesliga ersetzt.


title: Makatel

text: Makatel (Abkürzung für: "Magnetkartentelefon") bezeichnet ein Verfahren zum bargeldlosen Bezahlen mit Kreditkarte. Dieses Verfahren ist heute veraltet und wird nicht mehr für Neuinstallationen angeboten. Es wird von den Netzbetreibern nur noch teilweise und widerwillig unterstützt. Der Begriff Makatel wird sowohl für das erforderliche Gerät als auch für das verwendete Datenübertragungsprotokoll verwendet.


title: Makatel

text: Es handelt sich um eine Kombination aus Telefon, Kartenleser und Modem. Nach dem Durchziehen der Karte und dem Einleiten der Zahlung wird eine Datenverbindung zum Netzbetreiber aufgebaut und die Zahlung autorisiert oder abgelehnt.


title: Makatel

text: Bei DFÜ-Fehlern, Kartenlesefehlern oder aus anderen Gründen kann der Händler versuchen, beim Netzbetreiber anzurufen und die Daten der Karte mündlich durchzugeben. Er erhält daraufhin einen telefonischen Autorisierungscode, mit dem er die Zahlung als autorisiert verbuchen kann.


title: Makatel

text: Das verwendete DFÜ-Protokoll basiert auf der Datenübertragung per Modem. Andere Übertragungswege (z. B. TCP/IP, ISDN) sind nicht vorgesehen. Es gibt verschiedene Arten von Geschäftsvorfällen (Zahlung, Storno, Gutschrift), welche im Makatel-Standard definiert sind.


title: Makatel

text: Makatel spielt heute keine Rolle mehr (mit Ausnahme eventueller Altinstallationen). Abgelöst wurde es durch modernere Verfahren wie POZ, ec-cash oder GICC.


title: Kloster Arnstein

text: Kloster Arnstein war eine Prämonstratenserabtei an der Lahn, südlich von Obernhof in der Nähe von Nassau. Sie war bis Ende 2018 ein Kloster der "Ordensgemeinschaft von den Heiligsten Herzen Jesu und Mariens (SSCC)", die in Deutschland unter dem Namen Arnsteiner Patres bekannt ist. Seit dem 1. Juni 2019 bewohnen zwölf griechisch-orthodoxe Schwestern das Kloster.


title: Kloster Arnstein

text: Die Geschichte des Klosters geht bis in die zweite Hälfte des 11. Jahrhunderts zurück: Im Jahr 1052 ist eine "Burg Arnstein an der Lahn" als Sitz der Grafen von Arnstein erstmals erwähnt. Es ist die älteste Erwähnung einer Burg an diesem Fluss, von der nur noch Mauerreste erhalten sind, die keine Rückschlüsse auf das Aussehen der Anlage zulassen.


title: Kloster Arnstein

text: 1139 wandelte Ludwig III., der letzte Graf von Arnstein, seine Burg in ein Prämonstratenser-Kloster um und trat selbst dort ein. Seine Gemahlin lebte bis zu ihrem Tod als Klausnerin in der Nähe des Klosters. Im gleichen Jahr begann der Teilabriss der Burg. 1145 bestätigte König Konrad III. die Abtei als reichsunmittelbar. Seit 1236 bestand auch ein Filialkloster unter dem Patronat des nassauischen Grafen- bzw. Fürstenhauses, das Keppel bei Hilchenbach.


title: Kloster Arnstein

text: Von 1140 bis 1478 gehörte das pfälzische Dorf Bubenheim dem Kloster Arnstein, das dort 1163, durch seinen Kleriker Gottfried von Beselich, die heutige St. Peterskirche erbauen ließ, welche als älteste romanische Dorfkirche der Pfalz gilt. Das Kloster zur allerheiligsten Jungfrau Maria und den Heiligen Aposteln Petrus und Paulus der Prämonstratenser-Chorfrauen zu Beselich wurde von der Abtei Arnstein um das Jahr 1170 auf dem Beselicher Kopf begründet. Alle Güter des Klosters Beselich gelangten nach langwierigen Streitigkeiten zwischen dem Prämonstratenser-Abt von Arnstein und dem Haus Nassau-Hadamar am 3. Oktober 1652 durch eine Stiftungsurkunde in den Besitz der Jesuiten von Hadamar. Mit dem Übertritt der Fürsten von Nassau zum Protestantismus unterstellte sich die Abtei unter ihrem Abt Petrus Marmagen († 1604) der Schutzherrschaft des Trierer Erzstiftes.


title: Kloster Arnstein

text: 1803 wurde das Kloster im Zuge der Säkularisation aufgehoben. Die weltliche Herrschaft fiel an das Herzogtum Nassau, die kirchliche Jurisdiktion an das 1827 begründete Bistum Limburg. 1817 verkaufte die nassauische Regierung Kirche und Kloster auf Abbruch, d. h. mit der Maßgabe, dass die Gebäude nicht kirchlich genutzt würden.


title: Kloster Arnstein

text: Von 1869 bis 1871 siedelte sich in Arnstein kurzzeitig ein Benediktiner-Priorat der Beuroner Kongregation unter Placidus Wolter an, wurde wegen Nachwuchsmangel und Baufälligkeit der Anlage jedoch wieder geschlossen.


title: Kloster Arnstein

text: Die Kirche des Klosters ist das eindrucksvollste mittelalterliche Bauwerk an der unteren Lahn, das weithin sichtbar zwei Baustile vereint: die Romanik der Westtürme und die Gotik der achteckigen Osttürme. Ihr Bau begann 1132, nachdem alte Burgmauern und Fels beseitigt waren. Bis zur Konsekration 1208 dauerte es 76 Jahre. Es ist eine dreischiffige Basilika mit einem Querschiff und einem großen Ostchor, dem kleinere Apsiden angegliedert sind, sowie einem Westchor. Haupt- und Querschiff hatten zunächst flache Holzdecken, im Gegensatz zu den schon früher vorhandenen Kreuzgewölben in den Seitenschiffen.


title: Kloster Arnstein

text: Der große Barockaltar von 1760 ist das Werk eines unbekannten Künstlers. Er ist aus Holz gearbeitet; nur der Tabernakel und der Altartisch sind aus buntem Marmor. Mittelpunkt des Altars war ursprünglich eine Mariendarstellung, die verschollen ist. Im 19. Jahrhundert wurde sie durch die Kopie eines Gemäldes des Koblenzer Malers Caspar Friedrich Heising ersetzt. An deren Stelle trat 1924 ein großes Herz-Jesu-Relief, das der Aachener Bildhauer Lambert Piedboeuf schuf. Vom selben Künstler sind die Posaunenengel über dem Relief, die der Welt das Königtum Christi verkünden sollen. 1971 wurde der Altar restauriert.


title: Kloster Arnstein

text: Zur weiteren Ausstattung der Kirche gehören das Chorgestühl aus dem 13. Jahrhundert, im südlichen Seitenschiff ein romanischer Steinaltar mit einer barocken Nikolausstatue, des Weiteren Tafelgemälde und mehrere Epitaphe sowie die Orgel aus der Zeit um 1700. Ähnlich wertvoll wie der barocke Hauptaltar ist die Rokokokanzel aus dem Jahr 1757. Auf dem Kanzeldeckel zeigt sie das Symbol der heiligen Dreifaltigkeit, die Bundeslade mit den Gesetzestafeln und die Symbole der vier Evangelisten. An der Rückwand der Kanzel ist wie auch über dem Westchor das Arnsteiner Wappen angebracht.


title: Kloster Arnstein

text: Im Turm des nördlichen Seitenschiffs steht ein Tafelaltar von 1646. Das bedeutendste Kunstwerk ist das sogenannte „Arnsteiner Kreuz“ von etwa 1520 mit einem 2,20 Meter großen holzgeschnitzten Corpus.


title: Kloster Arnstein

text: 1919 kam es zur Errichtung des ersten Konvents der "Arnsteiner Patres" in Deutschland. Der Superior und Vizeprovinzial Pater Alfons Spix wurde 1942 von den Nationalsozialisten verurteilt, weil er wiederholt polnische Zwangsarbeiter am Gemeindegottesdienst hatte teilnehmen lassen und sie beköstigt hatte. Er starb im Konzentrationslager Dachau. Pater Chrysostomus Lauenroth war bereits 1936 wegen angeblicher Devisenvergehen zu einer Zuchthausstrafe verurteilt worden.


title: Kloster Arnstein

text: Im Jahr 1924 ist eine Herz-Jesu-Wallfahrt entstanden, die alljährlich zahlreiche Pilger anzieht.


title: Kloster Arnstein

text: Im Oktober 2015 teilten die Arnsteiner Patres dem Bistum Limburg mit, dass sie das Kloster zum 31. Dezember 2018 aufgeben werden. Als Grund wurden die personellen und finanziellen Ressourcen der Ordensgemeinschaft genannt. Am 16. Dezember 2018 fand in Anwesenheit des Generalobereren Alberto Toutin Cataldo und des Limburger Generalvikars Wolfgang Rösch ein feierlicher Gottesdienst zum Abschied von Kloster Arnstein statt.


title: Kloster Arnstein

text: Zum 1. Juni 2019 bezog eine griechisch-orthodoxe Schwesterngemeinschaft das Kloster. Seitdem heißt es „Heiliges Kloster Dionysios Trikkis & Stagon“. Es ist als Verein zur Förderung orthodoxen Mönchtums in Deutschland beim Amtsgericht Montabaur eingetragen. Die althergebrachten Wallfahrten nach Kloster Arnstein sind weiterhin möglich.


title: Kloster Arnstein

text: Lahnhöhenweg und Lahn-Camino von Wetzlar nach Lahnstein, Burg Lahneck


title: Java Transaction Service

text: Java Transaction Service (JTS) ist ein Begriff aus der Softwareentwicklung mit Java. Bei der Kommunikation von mehreren Komponenten einer oder mehrerer Anwendungen miteinander kommt es häufig darauf an, diese Kommunikation und die daraus resultierenden Arbeitsschritte in den Anwendungen innerhalb einer gemeinsamen Transaktion abzuwickeln. JTS beschreibt einen Dienst (im Sinne einer Software-Anwendung), der die Transaktionen kontrolliert. Die Kommunikation zwischen den in Java implementierten Anwendungen und dem JTS geschieht über ein Protokoll namens Java Transaction API (JTA).


title: Poulsard

text: Poulsard ist eine seltene Rotweinsorte aus dem Jura. Die Spezialität gedeiht besonders gut in den nördlichen Regionen des Jura. Poulsard gibt einen hellen, duftigen Wein. Die Schale ist sehr arm an Pigmenten (siehe auch den Artikel Phenole im Wein), so dass der Wein oftmals eher einem Roséwein ähnelt. Dennoch verfügt der Wein über ein Alterungsvermögen von etwa fünf bis acht Jahren. Aufgrund seines duftigen Aromas wird er gerne im Verschnitt mit Trousseau oder Pinot Noir eingesetzt. Im Jahr 2007 wurde eine bestockte Rebfläche von 313 Hektar erhoben. (Quelle ONIVINS)


title: Poulsard

text: Der Poulsard wird auch manchmal "Ploussard" genannt. Gastronomisch begleitet er hervorragend Grillgerichte, Raclette, Geflügelgerichte und Wurstwaren.


title: Poulsard

text: Neben der roten Sorte gibt es auch noch die graue (Ploussard Gris) sowie die weiße Spielart (Ploussard Blanc) des Ploussard. Beide Varietäten sind ebenfalls im Jura zu finden.


title: Poulsard

text: Siehe auch den Artikel Weinbau in Frankreich sowie die Liste von Rebsorten.


title: Poulsard

text: Die Rebsorte Poulsard ist auch unter den Namen Belossard, Blussart, Cornelle, Drille-de-Coq, Mècle, Mescle, Méthie, Miècle, Olivette, Pelossard, Peloussard, Pendulot, Plant d'Arbois, Pleusard, Ploussard, Plussart, Pulceau, Pulsard, Quille de coq und Raisin Perle bekannt.


title: Taylor Hayes

text: Taylor Hayes (* 14. Januar 1975 in Grosse Pointe, Michigan als "Tara Ellyn Smith") ist eine ehemalige US-amerikanische Pornodarstellerin.


title: Taylor Hayes

text: Nach dem Besuch der Newman Smith High School in Texas begann Taylor Hayes ihre Karriere 1995 mit dem Film „Boobtown“ des Regisseurs Bud Lee. Später drehte sie Filme für den Regisseur Seymore Butts, mit dem sie auch liiert war und ein Kind hat. In der Folgezeit unterschrieb Taylor einen Vertrag als „Vivid Girl“ bei der Produktionsfirma Vivid Video. Zu ihren bekanntesten Darstellungen gehört die Rolle als Molly Jekyll in „Jekyll & Hyde“, einer Porno-Adaption von "Der seltsame Fall des Dr. Jekyll und Mr. Hyde" von Robert Louis Stevenson, mit der sie 2001 den AVN Award „Best Actress Film“ gewann. 2002 gewann sie den XRCO Award „Best Actress“ für ihre Darstellung der Hauptrolle in Fade to Black von Paul Thomas, einem der erfolgreichsten Hardcorefilme, der insgesamt acht AVN Awards gewann.


title: Taylor Hayes

text: Taylor Hayes hatte am 18. Juni 2002, 17. Juni 2002 und am 25. Oktober 2001 Auftritte in der Howard Stern Show.Taylor Hayes wurde 2007 in die AVN Hall of Fame aufgenommen.


title: Gasfeld Urengoi

text: Das Gasfeld Urengoi ist mit über 8,5 Billionen Kubikmeter (300 TCF = 300 10¹² Kubikfuß) eines der größten zusammenhängenden Erdgasvorkommen der Welt. Es liegt in Russland im Autonomen Kreis der Jamal-Nenzen der Oblast Tjumen (Sibirien) südlich des arktischen Polarkreises. Derzeit werden etwa 200 Milliarden m³ Erdgas jährlich gefördert.


title: Gasfeld Urengoi

text: Es wurde im Juni 1966 entdeckt und die Produktion im Jahre 1978 begonnen. Zur Erschließung des Gasfeldes wurde die Stadt Nowy Urengoi gegründet. Die Exploration wird von "Urengoigasprom", einer Tochtergesellschaft von Gazprom, durchgeführt. Von Januar 1984 an wurde über die Erdgastrasse Urengoi – Uschhorod (Ukraine) der Export nach Westeuropa aufgenommen.


title: Gasfeld Urengoi

text: Die Entstehung des Gasfeldes konnte durch Beckenstudien zunächst nicht erklärt werden. Zwischen 1995 und 1997 erfolgte eine gemeinschaftliche Untersuchung durch das deutsche Institut für Erdöl und Organische Geochemie mit zwei russischen Forschungsinstituten. 1997 lieferte Bernhard Cramer dabei als Erklärung die Migration von im Grundwasser gelösten Erdgas aus südlicher Richtung in einen 2500 m starken Grundwasserleiter sowie eine im Känozoikum erfolgte Hebung des Deckgebirges.


title: Anlage 615

text: Die Anlage 615 ist eine Drehstrom-Hochspannungs-Übertragung-Freileitung in Baden-Württemberg. Im Verlauf dieser von Netze BW (eine 100-%-Tochter des EnBW-Konzerns) betriebenen Leitung befinden sich die beiden längsten Spannfelder aller Freileitungen in Deutschland.


title: Anlage 615

text: Die Leitung beginnt am 20-/110-kV-Umspannwerk Calmbach (), das sich östlich des Bad Wildbader Ortsteiles im Tal des gleichnamigen Baches befindet, als Fortsetzung einer von Merklingen her kommenden 110-kV-Leitung. Die ersten ca. zwei Kilometer bis zur Enztalquerung führt sie Richtung Nordwesten und es werden Masten verwendet, die mit zwei Traversen ausgestattet sind. Auf der oberen Traverse werden die beiden Stromkreise Richtung Pforzheim geführt, auf der unteren eine 20-kV-Mittelspannungsleitung, die bei Calmbach am östlichen Mast der Enztalüberspannung abzweigt und zu einer Kläranlage führt.


title: Anlage 615

text: Der östliche Mast der 1373 Meter langen Enztalüberquerung, welcher die Nummer 11 trägt, ist 72,27 Meter hoch und wurde 1966 errichtet. Bis 1992 war nur der Mittelspannungskreis in Betrieb, allerdings wurden die beiden 110-kV-Stromkreise schon damals als Bauvorleistung auf der obersten Traverse installiert. Das westliche Ende der Enztalüberquerung wird von einem 70,59 Meter hohen Abspannmast gebildet. Er ist Mast Nummer 12 und hat zwei Traversen: die unterste trägt 2, die oberste 4 Leiterseile.


title: Anlage 615

text: Etwa 750 Meter nordwestlich der Enztalquerung () folgt die Eyachtalquerung (). Diese verwendet als Kreuzungsmasten zwei umgedrehte Donaumasten, die beide 70 Meter hoch sind und die Nummern 15 (Südlicher Mast) und 16 (Nördlicher Mast) tragen. Der Rest der Leitung führt auf Einebenenmasten. Sie dreht nach Nordosten, an Neuenbürg vorbei und endet im Umspannwerk Schwann.


title: Anlage 615

text: Die Leitungsstrecke wurde 1992 fertiggestellt. Sie dient neben der Versorgung des nördlichen Schwarzwaldes auch als Ersatz einer 110-kV-Leitung zwischen Enzberg und Pforzheim. Letztere wurde im Jahr 1928 als Teilstück einer 110-kV-Leitung zwischen Pforzheim und Hoheneck errichtet und war die erste Verbundleitung zwischen Badenwerk und Württembergischer Landeselektrizitäts AG (WLAG). Das ersetzte Teilstück wurde allerdings erst Anfang der 2000er Jahre abgebaut, auf Luftbildaufnahmen aus dem Jahre 2000 ist die Leitung noch als einsystemige 110-kV-Verbindung zu erkennen.


title: Anlage 615

text: Obwohl die Anlage 615 durchgängig für eine Betriebsspannung von 110 kV auf beiden Stromkreisen ausgelegt wurde, wird der östliche Stromkreis zurzeit mit einer Spannung von nur 20 kV (Mittelspannung) betrieben.


title: Anlage 615

text: Im Leitungsverlauf befinden sich zwei markante Kreuzungen von Flusstälern. Dies sindBei letzterer handelt es sich um die längste Spannweite einer Freileitung in Deutschland. Die Abspannmasten an beiden Enden des jeweiligen Spannfeldes wurden infolge der großen Spannweite als so genannte Weitabspannmasten ausgebildet und als freistehende Stahlfachwerktürme ausgeführt. Im Unterschied zur Elbekreuzung 1 und Elbekreuzung 2 konnten die Spannmasten der beiden Talüberspannungen verhältnismäßig niedrig angeordnet werden, was durch Ausnutzung der gebirgigen Topographie des Schwarzwaldes ermöglicht wurde. Bei der Eyachtal-Überspannung, dem größten deutschen Spannfeld, beträgt deren Höhe 70 Meter.


title: Stephen von Tetzchner

text: Stephen von Tetzchner (* 1946) ist ein norwegischer Psychologe und Professor für Entwicklungspsychologie an der Universität Oslo.


title: Stephen von Tetzchner

text: Er ist Schöpfer von Computer-Software für Kinder mit kognitiver Behinderung und Mitbegründer des Konzepts „Unterstützte Kommunikation“. Er ist der Vater von Jon Stephenson von Tetzchner, dem Begründer des Opera-Webbrowsers.


title: Heeresgruppe A

text: Die Heeresgruppe A war ein Großverband des Heeres der Wehrmacht während des Zweiten Weltkrieges. Sie war Oberkommando jeweils wechselnder Armeen sowie zahlreicher Spezialtruppen.


title: Heeresgruppe A

text: Die Heeresgruppe A entstand im Oktober 1939 durch Umbenennung der zuvor beim Überfall auf Polen eingesetzten Heeresgruppe Süd und übernahm die Führung der an der Westfront eingesetzten 12. und 16. Armee gegenüber Belgien und Luxemburg, später auch der nördlich angelehnten 4. Armee. Ab dem 10. Mai 1940 wurde sie im Schwerpunkt der ersten Phase des Westfeldzuges („Fall Gelb“) eingesetzt, um mit der Masse der gepanzerten und motorisierten Kräfte des Heeres durch die Ardennen hindurch, über die Maas hinweg an die Sommemündung vorzustoßen und so die alliierten Kräfte in Nordfrankreich und Belgien abzuschneiden und zu vernichten („Sichelschnittplan“). Ab dem 5. Juni 1940 griff die Heeresgruppe in der Schlacht um Frankreich („Fall Rot“) aus Stellungen nördlich der Aisne heraus auf Reims an, durchbrach die Stellungen der verbliebenen französischen Kräfte und stieß tief nach Süden und Südosten vor, wodurch die französischen Kräfte in der Maginot-Linie abgeschnitten und im Rücken gefasst wurden. Nach Beendigung des Frankreichfeldzugs stellte die Heeresgruppe ab Oktober 1940 den Oberbefehlshaber West. Im April 1941 verlegte das Heeresgruppenkommando die Heeresgruppe A nach Polen, wo mit Beginn des deutschen Angriffs auf die Sowjetunion am 22. Juni die Umbenennung in Heeresgruppe Süd erfolgte.


title: Heeresgruppe A

text: Die Heeresgruppe A entstand neu im Juli 1942 durch die Aufteilung der in Südrussland und der Ukraine kämpfenden Heeresgruppe Süd in die Heeresgruppen A und B. Sie griff mit der 1. Panzerarmee und der 17. Armee (von August bis September 1942 waren die 17. Armee und die 3. rumänische Armee zur Armeegruppe Ruoff zusammengefasst) aus dem Raum des unteren Don heraus auf den Kaukasus und das Erdölgebiet von Baku am Kaspischen Meer an („Unternehmen Edelweiß“). Dieser Angriff kam im Oktober/November 1942 aus Kräftemangel und aufgrund des sich versteifenden sowjetischen Widerstandes am Nordhang des Kaukasus und vor Grosny zum Stehen. Trotz der sich abzeichnenden Katastrophe der 6. Armee bei Stalingrad wurde die Heeresgruppe bis Dezember 1942 in ihren Stellungen belassen. Erst Anfang 1943 wurde die 1. Panzerarmee an die Heeresgruppe Süd (ehemals Heeresgruppe Don) abgegeben. Die bei der Heeresgruppe A verbliebene 17. Armee zog sich ab Januar 1943 in den Kuban-Brückenkopf zurück, während der Befehlshaber der Krim die Halbinsel verteidigte. Im September 1943 wurde die 17. Armee auf die Krim zurückgezogen. Der Heeresgruppe wurde im Oktober 1943 von der Heeresgruppe Süd die (neuaufgestellte) 6. Armee übertragen, die zunächst die Nogaische Steppe zwischen Dnepr und Asowschem Meer beiderseits Melitopol verteidigte, sich jedoch im Oktober 1943 hinter den Unterlauf des Dnjepr zurückziehen musste. Die 17. Armee wurde damit auf der Krim isoliert, wo sie im Mai 1944 fast vollständig vernichtet wurde. Im März 1944 wurde der Heeresgruppe zusätzlich die 8. Armee in Nordbessarabien unterstellt, die von der Heeresgruppe Süd abgesprengt worden war. Am 1. April 1944 wurde die Heeresgruppe A umbenannt in Heeresgruppe Südukraine.


title: Heeresgruppe A

text: Im September 1944 wurde die Heeresgruppe A durch Umbenennung der Heeresgruppe Nordukraine (ehemals Heeresgruppe Süd) wieder gebildet. Sie verteidigte Südpolen und die Slowakei mit der 9. Armee (von Heeresgruppe Mitte) und der 4. Panzerarmee hinter der Weichsel, der 17. Armee zwischen Weichsel und Beskiden und der 1. Panzerarmee in der Slowakei. Anfang Januar 1945 wurde die Heeresgruppe während der Weichsel-Oder-Operation durch die Offensive der 1. Ukrainischen Front, der aus dem Weichsel Brückenkopf von Baranów Sandomierski erfolgte, fast vollständig zerschlagen. Am 25. Januar 1945 erfolgte die letzte Umbenennung, diesmal in Heeresgruppe Mitte.


title: Kollineation

text: Mit Kollineation bezeichnet man in den mathematischen Gebieten Geometrie und lineare Algebra eine bijektive Abbildung eines affinen oder projektiven Raumes auf sich selbst, bei der jede Gerade auf eine Gerade abgebildet wird, die also geradentreu ist. Die Menge der Kollineationen eines Raumes bildet eine Gruppe, insbesondere sind die Umkehrungen von Kollineationen stets Kollineationen.


title: Kollineation

text: Damit fällt der Begriff für eindimensionale Räume mit dem Begriff der "Bijektion" der betreffenden Geraden zusammen. Daher werden meist nur Kollineationen auf mindestens zweidimensionalen Räumen studiert.


title: Kollineation

text: Gelegentlich wird der Begriff "Kollineation" auch für eine bijektive oder auch nur injektive geradentreue Abbildung eines affinen oder projektiven Raumes in einen "anderen" Raum benutzt. Der vorliegende Artikel befasst sich ausschließlich mit Kollineationen, die geradentreue, bijektive "Selbst"abbildungen eines Raumes sind.


title: Kollineation

text: → In einem allgemeineren Sinn werden auch die Automorphismen endlicher Inzidenzstrukturen als "Kollineationen" bezeichnet. Siehe dazu Endliche Geometrie#Automorphismen.


title: Kollineation

text: In der synthetischen Geometrie werden in der Regel Kollineationen auf zweidimensionalen Räumen (Ebenen) untersucht. Da für die nichtdesargueschen Ebenen die Gruppe der Affinitäten bzw. Projektivitäten oft nicht reichhaltig genug ist, um die Struktur der Ebene zu untersuchen, tritt hier die Gruppe der Kollineationen an deren Stelle. In einer abstrakten Inzidenzgeometrie bildet diese Gruppe die charakteristische Automorphismengruppe, da hier die „Lage von Punkten auf einer gemeinsamen Geraden (Kollinearität)“ die einzige Struktur auf dem Raum und damit – im Sinne des Erlanger Programms – die einzige den Raum, also hier die Ebene, charakterisierende Invariante ist.In der synthetischen wie in der analytischen Geometrie verallgemeinert "Kollineation" Abbildungsbegriffe, bei denen zusätzliche Invarianten gefordert werden: Affinitäten und Projektivitäten sind immer spezielle Kollineationen. Sie bilden in allen Fällen eine Untergruppe und sogar einen Normalteiler der Gruppe aller (ebenentreuen) Kollineationen des Raumes, sofern dieser mindestens zweidimensional ist.


title: Kollineation

text: Kollineationen auf affinen und projektiven Räumen endlicher Dimension formula_5 über einem Körper, allgemeiner sogar über einem Schiefkörper, können durch Affinitäten bzw. Projektivitäten und einen (Schief-)Körperautomorphismus formula_6 des Koordinatenbereiches ausgedrückt werden. In der linearen Algebra beschränkt man sich in der Regel auf kommutative Schiefkörper, also "Körper" als Koordinatenbereiche. Sei formula_7 ein Körper oder Schiefkörper, dann gilt: In beiden Darstellungen ist der Automorphismus formula_6 unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems. Das Teil- bzw. Doppelverhältnis formula_24 von Punkten, das koordinatenunabhängig ist, wird zu formula_25, wenn auf die Punkte die Kollineation formula_1 angewendet wird.


title: Kollineation

text: Auch für diese Folgerungen müssen die affinen Räume über dem Körper formula_37 ausgenommen werden: Ist die Dimension des Raumes größer oder gleich drei, dann treffen diese Aussagen im Allgemeinen hier "nicht" zu!


title: Kollineation

text: Jede Kollineation eines projektiven Raumes der Dimension größer oder gleich 2 ist eine semilineare Abbildung. Man hat also für formula_38 für die Gruppe der Kollineationen formula_40 und die projektive semilineare Gruppe formula_41.


title: Kollineation

text: Die in den folgenden Beispielen betrachteten Räume sind immer affine Räume über einem Körper mit mehr als zwei Elementen bzw. projektive Räume über einem beliebigen Körper, die Dimension der Räume ist endlich, aber mindestens 2, "Verhältnis" bezeichnet das Teil- bzw. Doppelverhältnis:


title: Kollineation

text: Jede formula_52-dimensionale affine Geometrie (formula_53) mit genau zwei Punkten auf jeder Geraden ist ein affiner Raum über dem Restklassenkörper formula_54. Dies sind für formula_55 durchweg desarguesche affine Geometrien, aber das übliche Teilverhältnis ist degeneriert, da es ja gar keine Tripel von "verschiedenen" kollinearen Punkten gibt. In diesen speziellen Fällen gilt: Dagegen ist die Gruppe der Affinitäten (sie hat formula_59 Elemente, vergleiche Lineare Gruppe) für formula_58 eine "echte" Untergruppe der formula_56.


title: Böttigheim

text: Böttigheim ist ein Gemeindeteil von Neubrunn im Landkreis Würzburg und hat etwa 580 Einwohner.


title: Böttigheim

text: Der Name kommt von Böttcher, dem handwerklichen Beruf des Fassmachers.


title: Böttigheim

text: Schon vor 7000 Jahren in der Steinzeit gab es dort Menschen, wie der Fund eines Faustkeils beweist.


title: Böttigheim

text: Die erste urkundliche Erwähnung des Dorfes stammt aus dem Jahr 1284. Bis zur Gebietsreform in Bayern war Böttigheim eine eigenständige Gemeinde. Am 1. Mai 1978 wurde sie in den Markt Neubrunn eingemeindet. Böttigheim ist über seine Grenzen hinaus für seine einzigartige Tier- und Pflanzenwelt bekannt. So wachsen auf seinen Trockenrasenhängen Diptam ("Dictamnus albus") und seltene Orchideen wie die Bienen-Ragwurz ("Ophrys apifera") oder die Spinnen-Ragwurz ("Ophrys sphegodes").


title: Böttigheim

text: Neben seltenen Pflanzen gibt es auch seltene Tierarten, wie den Hirschkäfer. Außerdem brütet seit 2002 regelmäßig ein Uhu-Pärchen in einem Steinbruch.Böttigheim liegt am etwa 180 Kilometer langen Jakobsweg Main-Taubertal.


title: Diskreter Bewertungsring

text: Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra sind diskrete Bewertungsringe spezielle lokale Ringe mit besonders guten Eigenschaften.


title: Diskreter Bewertungsring

text: Ein "diskreter Bewertungsring" ist ein lokaler Hauptidealring, der kein Körper ist.


title: Diskreter Bewertungsring

text: Ein Erzeuger des maximalen Ideals heißt "uniformisierendes Element" oder kurz "Uniformisierendes". Man schreibt auch kurz DVR (für "discrete valuation ring") oder DBR.


title: Kulturbeutel

text: Ein Kulturbeutel oder Necessaire ist ein kleiner Behälter zur Aufbewahrung von Hygiene-Artikeln, zum Beispiel Zahnbürste und Zahnpasta, oder Utensilien zur Nagelpflege wie Nagelfeile und Nagelschere. Der Beutel wird häufig auf Reisen mitgenommen. Der Begriff "Necessaire" findet teilweise auch Anwendung für kleine Behälter für Nähzeug.


title: Kulturbeutel

text: Die Bezeichnung ist erst seit Mitte des 20. Jahrhunderts im Gebrauch und beruht auf einer Verkürzung des Begriffs „Körperkultur“. Weitere gängige Ausdrücke für den Kulturbeutel sind "Kulturtasche", "Badetasche", "Waschtasche", "Waschbeutel" und "Toilettentasche". Im deutschen Sprachraum der Schweiz und im Rheinland ist der Ausdruck "Necessaire" ([], von frz. "" für „notwendig“) geläufig; eine veraltete Schreibweise ist "Nessessär".


title: Kulturbeutel

text: Im Russischen hat sich "Nesesser" (несессер) als Lehnwort etabliert. Fluggesellschaften verwenden für kostenlos an Passagiere verteilte Kulturbeutel bevorzugt die Begriffe "amenity kit" oder "amenity bag" anstelle der sonst im Englischen üblichen Bezeichnungen wie "body hygiene kit", "toilet bag" oder "travel kit".


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Als Einheitswagen (EW) werden Personenwagen der Schweizerischen Bundesbahnen (SBB) und verschiedener Schweizer Privatbahnen für den Inlandverkehr bezeichnet.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Alle Serien von Einheitswagen haben folgende Merkmale:


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Die Einheitswagen lösten die letzten Holzkastenwagen und die schweren Stahlwagen ab und wurden lange gemeinsam mit den Leichtstahlwagen eingesetzt. Nach Einführung des Taktfahrplans im Jahre 1982 wurden die Wagen vermehrt typenrein eingesetzt. Von den Einheitswagen gab es vier Serien.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Die Einheitswagen I sind die Nachfolger der Leichtstahlwagen und wurden zwischen 1956 und 1967 gebaut. Sie waren ursprünglich in SBB-Grün lackiert und hatten ein Gewicht von 28 bis 32 Tonnen, eine Länge von 23,7 m und eine zulässige Höchstgeschwindigkeit von 140 km/h. Die ersten vier Einheitswagen erschienen 1956, kurz vor der Abschaffung der dritten Wagenklasse noch als C.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Damit die Einstiege über dem Drehgestell angeordnet werden konnten, mussten die Drehgestellrahmen in der Mitte gekröpft ausgeführt werden. Die Primärfederung (zwischen Rad und Drehgestellrahmen) erfolgt durch Schraubenfedern, für die Sekundärfederung (zwischen Drehgestellrahmen und Wagenkasten) kamen zwei Varianten zur Ausführung:


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Die grösste Serie bei den SBB-Personenwagen waren die Zweitklass-Einheitswagen I, von denen in zwölf Jahren 1028 Stück gebaut wurden (drei davon allerdings mit Aluminiumkasten). Die Sitze der EW I hatten in der zweiten Klasse ursprünglich braune Kunstlederpolsterungen. Bei ihrer Hauptrevision in den 1970er-Jahren bekamen sie wie die EW II in Nichtraucherabteilen einen grünen und in Raucherabteilen einen roten Sitzbezug. Die ursprünglichen Faltenbalgübergänge wurden durch Gummiwulstübergänge und die bislang eingebaute Glühlampenbeleuchtung durch eine Beleuchtung mit Leuchtstofflampen wie in den EW II ersetzt. Ausserdem wurden die Wagen mit einer Apparateluftleitung (weisse Absperrhähne und Schlauchkupplungen) versehen und der spätere Einbau einer UIC-Tür- und Beleuchtungssteuerung sowie einer UIC-Lautsprecheranlage, jedoch ohne Sprechstellen in den Personenwagen, wurde vorbereitet.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Bei einer weiteren Modernisierung ab Ende der 1980er Jahre erhielten die Wagen der ersten Klasse graue Stoffbezüge bzw. wurden bei den für den Nahverkehr vorgesehenen Wagen neue Sitze in 2+2-Anordnung eingebaut, in der zweiten Klasse kamen blau-rot gemusterte Stoffbezüge mit blauen Kopfstützen. Die Stirnwände wurden im Nichtraucherbereich blau und im Raucherbereich rot.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Fahrzeuge, die mit der Fern- und Vielfachsteuerleitung III und mit einer Apparateluftleitung für Pendelzüge ausgestattet waren, trugen Nummern über 500. Diese Wagen besassen von Anfang an eine Tür- und Beleuchtungssteuerung, die vom Lokomotivführer fernbedient wurde. Ausserdem gab es an den Seitenwänden neben den Einstiegstüren Abfertigungsschalter, mit denen dem Lokomotivführer der Abfahrtsauftrag erteilt werden konnte. In diese pendelzugtauglichen Wagen wurde die oben beschriebene UIC-Vollausrüstung zusätzlich zu den schon vorhandenen Einrichtungen ergänzend eingebaut.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Bei dem später erfolgten Umbau auf kondukteurlosen Betrieb wurden alle dazu ausgewählten Wagen auch für den Betrieb in Pendelzügen umgebaut; diese Wagen (ausser den Steuerwagen) haben eine 5 auf der achten Stelle der UIC-Nummer (z. B. 50 85 20-35 000). Bei diesem Umbau wurden auch die ursprünglich eingebauten Achsgeneratoren mitsamt Laderegler durch elektronische Batterieladegeräte ersetzt, die aus der Zugsammelschiene, früher Heizleitung genannt, versorgt werden (ee-Kennzeichen im Anschriftenfeld).


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Die Senkfenster sind einteilig, einfach verglast und rahmenlos; die Scheiben werden beim Öffnen bis zur Hälfte in die Wagenseitenwand versenkt. Die 1962 gebauten Wagen B 50 85 20-33 420 bis 444 wurden versuchsweise wie die Speisewagen mit Übersetzfenstern ausgestattet.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Die Speisewagen EW I unterschieden sich von ihren Vorgängern der Leichtstahlbauart vor allem durch das gesickte Dach und die Türen; ausserdem waren sie 80 cm länger. Alle Speisewagen, auch die Leichtstahlspeisewagen ab Baujahr 1944, wurden einem ähnlichen Umbau wie die Einheitswagen I unterzogen.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: 2021 nahmen die SBB die letzten Einheitswagen I aus dem Verkehr.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Diese Bauart von Einheitswagen wurde bis 1981 auch von vielen Privatbahnen beschafft, wobei diese Wagen sich in Details (z. B. doppelverglaste Fenster, Gummiwulstübergänge, Röhrenbeleuchtung, Anordnung der Lüftungsgitter über den Einstiegstüren) zum Teil von denjenigen den SBB unterschieden. Die Privatbahnen haben damit verschiedene Neuerungen, welche die SBB erst mit den EW II einführten, vorweggenommen. Die BLS ging (ab 1990) auch voraus beim Einbau aussenbündiger Türen für NPZ.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Mit einigen Anpassungen wie sie bei Privatbahnen vorgenommen wurden, übernahmen auch die Österreichischen Bundesbahnen das Baumuster, liess die Wagen aber in Lizenz im eigenen Land anfertigen. Bekannt wurde der von 1965 bis 1981 gebaute Wagentyp in Österreich unter dem Namen Schlierenwagen.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Bei den Hauptrevisionen in den 1970er Jahren wurden die Faltenbälge an den Wagenübergängen durch Gummiwülste ersetzt und die Wagenkästen an beiden Enden etwas verlängert. Zudem erhielten die Wagen bei diesen Umbauten an beiden Stirnseiten je zwei rote Zugschlussleuchten.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Der grösste Umbau geht auf einen Vorschlag der Schweizer Wagenindustrie zurück. In den vollkommen ausgeräumten und von Asbest befreiten Wagenkasten wurde ein neuer Innenausbau mit geschlossenem Toilettensystem und einer Klimaanlage eingebaut; überdies wurden neue Drehgestelle untergesetzt. Diesen «Revvivo» getauften Umbauwagen beschafften BT (acht Wagen) und SOB (13 Wagen), heute Südostbahn (SOB), zusammen mit den SBB (elf Wagen) 1997–2000 für den Voralpen-Express. Zwei Wagen der SOB erhielten keine neuen Drehgestelle. Seit Dezember 2013 gehören alle 32 Revvivo-Wagen der SOB, wobei aber der Prototyp aufgrund seines schlechten Zustands abgestellt wurde. Im Dezember 2019 wurden die Revvivo-Wagen durch neue Traverso-Triebzüge ersetzt.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: Die BLS Lötschbergbahn liess durch Bombardier Villeneuve ab 2003 aus Wagenkasten und Drehgestellen von Einheitswagen I Niederflur-Gelenkwagen herstellen, welche sie als «Jumbo»-Wagen bezeichnet. Dabei wurde (ausser beim Prototyp) der mittlere, niederflurige Teil inklusive Drehgestell vollständig neu gebaut.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: 2018 existierten im Flottenbestand des SBB-Personalverkehrs in der ersten Klasse (A) noch 27 Einheitswagen I, davon 24 in der NPZ-Ausführung; in der zweiten Klasse (B) existieren 64 Stück, alle in der NPZ-Ausführung; dazu kommen 19 Steuerwagen (BDt). Von den in den 1990er-Jahren umgebauten AB-Wagen existieren 7 Exemplare. Der älteste Wagen im Bestand ist "B 50 85 20-35 173-7" (NPZ) mit Ablieferungsdatum 30. Dezember 1957.


title: Einheitswagen (Schweiz, Normalspur)

text: = Doppeltür, reduzierte Abteilzahl = Aussenbündige Doppeltür, reduzierte Abteilzahl = Mitteleinstieg