title: Heegner-Punkt

text: Im Jahr 1952 veröffentlichte Kurt Heegner eine Arbeit in der "Mathematischen Zeitschrift," innerhalb der er sich mit dem Problem kongruenter Zahlen und elliptischer Kurven beschäftigte. Heegner, ein erfolgreicher Elektroingenieur, der sich aber auch in Mathematik habilitiert hatte, war mit Webers Lehrbuch zur Algebra gut vertraut. Er gab zunächst eine historische Einführung zu kongruenten Zahlen. Eine positive ganze Zahl formula_337 heißt kongruent, falls sie als Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seiten in Erscheinung tritt (Heegner nannte solche Dreiecke Harpedonapten-Dreieck). In seinem Aufsatz zitierte er im Anschluss verschiedene Dinge von Weber und bewies einige Theoreme, die zeigen, dass das Problem kongruenter Zahlen für bestimmte Familien von formula_337 lösbar ist. Schließlich löste er plötzlich das klassische Problem der Charakterisierung aller imaginär-quadratischen Zahlkörper mit Klassenzahl 1. Zu Heegners Nachteil gab es 1952 niemanden mehr, der Webers Algebra ausreichend gut beherrschte, um seine Leistung zu würdigen.


title: Heegner-Punkt

text: Heegners Arbeit war schwer zu folgen, was womöglich ein weiterer Grund war, weshalb sich zu seiner Zeit niemand im Detail damit beschäftigte. Es wurde außerdem davon ausgegangen, dass seine Beweisführungen zum Klassenzahlproblem lückenhaft seien, und, obwohl seine Arbeit über kongruente Zahlen mittlerweile als korrekt anerkannt ist, blieb lange Zeit unentdeckt, dass Heegner den Grundstein einer fundamentalen neuen Methode gelegt hatte – der analytischen Realisierung abelscher Erweiterungen imaginär-quadratischer Zahlkörper, analog zum Kronecker-Weber-Fall über formula_51. Heegner starb in dieser Ungewissheit.


title: Heegner-Punkt

text: Es war Bryan Birch, der in den späten 1970er und frühen 1980er Jahren erstmals Heegner-Punkte auf modularen elliptischen Kurven systematisch untersuchte. Auf der Grundlage der von ihm gesammelten numerischen Beweise stellte er fest, dass die sog. "Höhen" dieser Punkte mit ersten Ableitungen am zentralen kritischen Punkt der Hasse-Weil-Zetafunktion der elliptischen Kurve zusammenzuhängen schienen. Die von Birch initiierte Arbeit sollte eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie der nächsten zwei Jahrzehnte spielen und so grundlegende Fragen wie das Gaußsche Klassenzahlproblem und die Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung beleuchten.


title: Heegner-Punkt

text: Das Studium der Heegner-Punkte nahm Mitte der 1980er Jahre dank zweier Durchbrüche Fahrt auf. Der erste Durchbruch war die Gross-Zagier-Formel, die die Beobachtungen von Birch bestätigte und die Höhen der Heegner-Punkte mittels der ersten Ableitung am zentralen Punkt einer zugehörigen Rankin-L-Reihe ausdrückte. Der zweite kam einige Jahre später, als Victor Kolyvagin zeigte, wie sog. Heegner-Systeme auf einer elliptischen Kurve die Größe und Struktur deren Selmer-Gruppe kontrollieren. Zusammengenommen führten diese beiden Erkenntnisse zu einem vollständigen Beweis der Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung (in ihrer etwas schwächeren Form, die eine Gleichheit zwischen dem Rang der elliptischen Kurve und der Ordnung ihrer L-Reihe bei formula_340 vorschreibt) für alle modularen elliptischen Kurven über formula_51, deren L-Funktion höchstens eine einfache Nullstelle bei formula_340 hat. Die Methode erbrachte einen Beweis der sog. Schafarewitsch-Tate-Vermutung auch für diese Kurven.


title: Heegner-Punkt

text: Der Unterbeweis der Shimura-Taniyama-Vermutung von 1994 zeigte, dass die Ergebnisse von Gross und Zagier sowie von Kolyvagin bedingungslos für alle elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen gelten.


title: Heegner-Punkt

text: Heegner-Punkte formula_76 auf der oberen Halbebene formula_344 können nach Bryan Birch wie folgt definiert werden.


title: Heegner-Punkt

text: Die Diskriminante formula_360 besitzt eine Zerlegung in Faktoren formula_361 mit der sog. Fundamentaldiskriminante formula_362 des Zahlkörpers formula_363. Dabei ist formula_364 die größte Quadratzahl, sodass formula_365 gilt. Die ganze Zahl formula_366 wird auch als "Führer" des Heegner-Punktes bezeichnet. Aus der Definition wird ersichtlich, dass CM- und Heegner-Punkte stark verwandt miteinander sind, obgleich ein Heegner-Punkt stets mit einem Level formula_80 gekoppelt ist. Dies ermöglicht später eine Definition auf der Modulkurve formula_368. Mit dieser Modifizierung wird es dann zweckmäßig, sich einen Heegner-Punkt als eine "Klasse" von CM-Punkten vorzustellen.


title: Heegner-Punkt

text: Benedict Gross definiert Heegner-Punkte anders: Ist formula_119 eine Modulkurve, so ist (gedanklich) jeder Punkt formula_76 auf formula_119 ein Diagramm formula_372 zweier elliptischer Kurven formula_186 und formula_374, wobei der Kern der Isogenie formula_375 isomorph zu formula_376 ist. Dies hat den Hintergrund, dass Modulkurven auch Modulräume sind und in diesem Fall jeder Punkt einer Isogonie zwischen zwei elliptischen Kurven entspricht. Konkret können die Kurven (über formula_377) durch formula_378 resp. formula_379 und die Isogenie als die Einschränkung der Identität formula_380 zwischen Überlagerungen beschrieben werden. Man nennt einen solchen Punkt nun Heegner-Punkt von Level formula_80, falls zusätzlich gilt, dass sowohl formula_186 als auch formula_374 komplexe Multiplikation haben als auch denselben Endomorphismenring, also formula_384 für eine Ordnung formula_385 in einem imaginär-quadratischen Zahlkörper formula_363. Es gilt damit formula_387 für ein formula_366, das auch der "Führer" des Heegner-Punktes genannt wird. Die Zahl formula_366 wird gleichsam Führer der zugehörigen Ordnung formula_385 genannt.


title: Heegner-Punkt

text: In einigen Anwendungen, zum Beispiel bei Henri Darmon, werden Heegner-Punkte auch mit den Punkten assoziiert, die auf elliptischen Kurven entstehen, "nachdem" die Parametrisierung auf die (Heegner-)Punkte formula_76 angewendet wurde (siehe unten). Diese Schreibweise ist vor allen Dingen dann in Gebrauch, wenn Eigenschaften von Heegner-Punkten als Herleitung für Eigenschaften der elliptischen Kurve herangezogen werden, in etwa im Kontext mit "Heegner-Systemen."


title: Heegner-Punkt

text: Der Level eines Heegner-Punktes muss nicht eindeutig sein. So haben beispielsweise alle Heegner-Punkte den Level 1, da offensichtlich stets formula_392 gilt. Interessant sind die Fälle höheren Levels. So kann man zum Beispiel einfache Methoden angeben, aus einem Heegner-Punkt mit Level formula_80 beliebig viele neue Heegner-Punkte mit Level formula_80 zu konstruieren. Zuerst wird beobachtet, dass sich die oben definierte Diskriminante unter unimodularer Transformation nicht ändert. Das bedeutet: Ist formula_395, also eine ganzzahlige Matrix mit Determinante gleich 1 (die volle Modulgruppe formula_396 operiert auf der oberen Halbebene durch Möbius-Transformation), so ist Also ist, wenn formula_76 ein Heegner-Punkt mit Level 1 ist, auch formula_399 ein Heegner-Punkt mit Level 1. Für höhere Level kann ähnlich, jedoch nur selektiver vorgegangen werden. Da die Erhaltung der Level-N-Eigenschaft mit steigenden Werten formula_80 zunehmend „schwieriger“ ist, können hier nur noch bestimmte Matrizen diese Eigenschaft stabil halten. Alle Matrizen aus der Kongruenzuntergruppe formula_401 erfüllen dies – es muss daher nur die Eigenschaft formula_402 vorausgesetzt werden. Ist also formula_76 ein Heegner-Punkt mit Level formula_80 und formula_405 eine Matrix, so ist formula_399 wieder ein Heegner-Punkt mit Level formula_80, und sowohl formula_76 als auch formula_399 haben die gleiche Diskriminante.


title: Heegner-Punkt

text: Die Eigenschaft, dass sowohl Diskriminante als auch Level eines Heegner-Punktes mit Level formula_80 unter Transformationen formula_405 erhalten bleiben, ist für die Zahlentheorie von äußerster Wichtigkeit. Sie erlaubt, das Konzept des Heegner-Punktes (mit Level formula_80) auf der Modulkurve formula_368 zu definieren, da alle entscheidenden Eigenschaften jedes Elements in der Klasse formula_414 unter formula_401 invariant bleiben. Über Möbiustransformation operiert die Gruppe formula_401 auf der oberen Halbebene formula_344 zuzüglich der sog. Spitzen formula_418, also formula_419, und der Quotient formula_420 ist die Menge aller Klassen von Punkten, die über die Operation äquivalent sind.


title: Heegner-Punkt

text: Es ist nicht klar, ob zu gegebenem Level formula_80 und Führer formula_322 ein Heegner-Punkt existiert. Um die Existenz zu gewährleisten, muss die sog. "Heegner-Hypothese" erfüllt sein: Diese ist eine Annahme an die zu formula_322 gehörige Ordnung formula_385. Sie besagt, dass es ein Ideal formula_425 gibt, sodass Dies ist ein Isomorphismus von Gruppen. Dieser kann so interpretiert werden: Das Ideal formula_427 ist so wählbar, dass formula_428 in der Gruppe der gebrochenen Ideale, wobei der Heegner-Punkt formula_76 zu der Isogenie formula_430 korrespondiert. Andersherum hat die Isogenie formula_431 einen Kern, der isomorph zu formula_432 ist. Es kann damit gezeigt werden, dass die Heegner-Hypothese hinreichend und notwendig für die Existenz von Heegner-Punkten ist.


title: Heegner-Punkt

text: Neben dem Level formula_80, das sich auf die Wahl der Modulkurve formula_119 bezieht, besitzen Heegner-Punkte nach ihrer Definition eine weitere Kenngröße, ihren sog. Führer. Dieser wird oft als formula_322 (vom englischen "conductor") bezeichnet. Dessen Bedeutung liegt in der Konstruktion sog. "Ringklassenkörper (ring class fields)" formula_436, gewisser abelscher Erweiterungen des imaginär-quadratischen Grundkörpers formula_363. Diese haben die Eigenschaft, dass der durch den einzelnen Heegner-Punkt formula_76 konstruierte Punkt auf der zugehörigen elliptischen Kurve zunächst über formula_436 definiert ist. Weitere Details hierzu sind in diesem Artikel im Abschnitt über Klassenkörpertheorie beschrieben.


title: Heegner-Punkt

text: In manchen Anwendungen von Heegner-Punkten ist es bedeutsam, zu einem Level formula_80 ganze (unendliche) Systeme von Heegner-Punkten zu betrachten, sog. "Heegner-Systeme." Dabei werden die Punkte mit formula_441 oder alternativ formula_442 beschriftet, wobei formula_105 deren Führer bezeichnet und formula_444 erfüllt. Heegner-Systeme existieren nur unter bestimmten Bedingungen. Mehr Details finden sich in diesem Artikel unter Heegner-Systeme.


title: Heegner-Punkt

text: Von besonderem Interesse ist der Fall formula_445, in dem die gewählte Diskriminante von formula_76 sogar eine "Fundamentaldiskriminante" ist. Der zugehörige Ringklassenkörper ist dann der Hilbertsche Klassenkörper von formula_447, also dessen maximal unverzweigte abelsche Erweiterung.


title: Heegner-Punkt

text: Neben der gegebenen Definition können quadratisch irrationale Heegner-Punkte über elementare Zahlentheorie charakterisiert werden. Ist formula_76 ein quadratisch irrationaler CM-Punkt der oberen Halbebene mit zugehöriger binärer quadratischer Form formula_353, so ist er genau dann ein Heegner-Punkt mit Level formula_80, wenn formula_451 und formula_452.


title: Heegner-Punkt

text: Aus dieser Charakterisierung kann gefolgert werden, dass, falls formula_76 ein Heegner-Punkt mit Level formula_80 und Diskriminante formula_77 ist, auch formula_456 ein Heegner-Punkt mit Level formula_80 und Diskriminante formula_77 ist. Der Operator formula_459 wird auch als "Fricke-Involution" bezeichnet.


title: Heegner-Punkt

text: Werden Level formula_80 und Diskriminante formula_171 (mit den nötigen Eigenschaften) fixiert, so gibt es formula_462 Heegner-Punkte auf der Kurve formula_119. Dabei bezeichnet formula_464 die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von formula_80. Die Punkte werden durch die Gruppenoperation von formula_466 auf formula_119 permutiert, wobei formula_468 die Gruppe der verschiedenen Involutionen auf formula_119 bezeichnet.


title: Heegner-Punkt

text: Heegner-Punkte des Typs formula_470 mit natürlichen Zahlen formula_105 können dabei helfen, Reihen zu finden, die sehr schnell gegen die Kreiszahl formula_5 konvergieren, wie die Brüder David und Gregory Chudnovsky herausfanden. Für den nach ihnen benannten Chudnovsky-Algorithmus nutzten sie des Weiteren aus, dass der Wert von formula_473 für diese Zahlen größtmöglich ganzzahlig ist, weshalb für formula_474 die schnellste Konvergenz erzielt wird. Durch die rasche Konvergenz, also eine starke Annäherung der Reihe schon nach wenigen ihrer Glieder an die Zahl formula_5, kann formula_5 mit einer vorgegebenen Genauigkeit in vergleichsweise wenigen Schritten berechnet werden.


title: Heegner-Punkt

text: Heegner-Punkte spielen eine bedeutende Rolle im Gebiet der Grundlagenforschung rund um elliptische Kurven (insbesondere solcher mit sog. "komplexer Multiplikation"). Elliptische Kurven werden im Rahmen der "Elliptic Curve Cryptography (ECC)" bei der Verschlüsselung von Nachrichten angewandt. Dabei wird die fehlende Effizienz bei der Berechnung diskreter Logarithmen mit Computern ausgenutzt, was ein Brechen des Kryptosystems sehr schwierig macht.


title: Heegner-Punkt

text: Erzeugen Heegner-Punkte rationale Punkte unendlicher Ordnung, ist gewährleistet, dass eine relativ große Anzahl rationaler Punkte auf der betrachteten elliptischen Kurve liegen wird. Wegen der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer besteht (vermutlich) ein enger Zusammenhang zwischen dem globalen und lokalen Fall, also der Anzahl von Punkten elliptischer Kurven über den rationalen Zahlen formula_51 und sog. endlichen Körpern, wobei eine große Anzahl von Punkten im globalen Fall die Anzahl der Punkte in den lokalen Fällen tendenziell erhöht. Dies folgt aus einer Formel, die ein „Lokal-Global-Prinzip“ etabliert: Ist formula_235 eine über den rationalen Zahlen definierte elliptische Kurve, formula_162 eine Primzahl und formula_480 die Anzahl der Punkte auf der zu formula_235 reduzierten Kurve formula_482, so soll gelten: mit einer Konstanten formula_484 und dem Rang formula_485 der elliptischen Kurve formula_186; formula_487 bezeichnet den endlichen Körper mit formula_162 Elementen. Die Formel drückt asymptotische Äquivalenz aus, also strebt der Quotient beider Seiten gegen formula_72, wenn die natürliche Zahl formula_490 unbegrenzt wächst. Numerische Rechnungen stützen diese unbewiesene Behauptung. Eine große Zahl von Punkten im lokalen Fall erlaubt schließlich eine große Auswahl an Möglichkeiten für Geheimtexte und macht eine Brute-Force-Attacke zur Entschlüsselung der Nachrichten sehr zeitaufwendig. Daher sind elliptische Kurven mit dieser Eigenschaft gute Kandidaten für Verschlüsselungsverfahren.


title: Heegner-Punkt

text: Im Jahr 2003 entwickelte David Kohel einen Algorithmus, der mittels Heegner-Punkten auf Modulkurven die Anzahl von Punkten auf elliptischen Kurven über endlichen Körpern abzählt. Dazu werden formula_162-adische Lifts (das sind Objekte, die von einer Abbildung von einem „über der Modulkurve liegenden Objekt“ in die Modulkurve auf Heegner-Punkte gesendet werden) dieser Heegner-Punkte verwendet, wobei formula_162 eine kleine Primzahl ist. Um Kryptosysteme über elliptische Kurven implementieren zu können, sind Algorithmen, die die Anzahl von Punkten auf elliptischen Kurven (über endlichen Körpern) zählen, von großer Wichtigkeit. Kohel gab auch explizite Ausführungen zu den Fällen formula_493.


title: Heegner-Punkt

text: Eine unmittelbare Konsequenz der Formel von Gross und Zagier (siehe unten) ist die Erkennung einer ersten (und derzeit noch einzigen) Klasse von L-Funktionen, deren Ordnung bei formula_340 nachweislich formula_495 ist. Diese Beispiele entstehen durch das Auffinden elliptischer Kurven formula_186 über formula_51, deren L-Funktion formula_498 aufgrund des Vorzeichens in ihrer Funktionsgleichung in ungerader Ordnung verschwindet, und deren zugehöriger Heegner-Punkt auf formula_235 von endlicher Ordnung ist, sodass auch formula_500 ist. Die Existenz einer solchen L-Funktion gibt effektive untere Grenzen für das Wachstum der Klassenzahlen imaginär-quadratischer Körper. Vor einer Arbeit von Dorian Goldfeld waren solche Schranken nur aufgrund der möglichen Existenz von Siegelnullstellen (ineffektiv) bekannt. Goldfelds effektive Lösung des Gaußschen Klassenzahlproblems war eine der frühen Anwendungen der Formel von Gross und Zagier.


title: Heegner-Punkt

text: Mit Hilfe der Theorie der Heegner-Punkte können Vermutungen über bestimmte diophantische Gleichungen attackiert werden. Dies betrifft unter anderem Gleichungen des Typs Ein Problem, das nach Sylvester benannt ist, fragt, welche Primzahlen formula_162 als Summe zweier rationaler Kuben geschrieben werden können. Es fragt also nach der Struktur von formula_503. Zum Beispiel ist Mittels Heegner-Punkten können in den Fällen formula_507 stets nicht-triviale Lösungen konstruiert werden. Dabei macht man sich zunutze, dass die Mordell-Weil-Gruppe formula_503 im Falle formula_509 stets torsionsfrei ist. Ein bis heute unveröffentlichter Beweis dieser Methode stammt von Noam Elkies aus dem Jahr 1994. Elkies konnte sogar formula_510 beweisen.


title: Heegner-Punkt

text: Elliptische Kurven über einem (algebraisch abgeschlossenen) Körper formula_363 sind glatte projektive Kurven von Geschlecht 1 mit einer Gruppenstruktur und mit einem ausgezeichneten formula_363-rationalen Punkt formula_513, der das neutrale Element der Gruppe ist. Für Körper der Charakteristik ungleich 2 und 3 kann eine solche Kurve stets als eine „normalisierte“ affine Gleichung geschrieben werden, mit formula_515 und formula_516.


title: Heegner-Punkt

text: Jeder elliptischen Kurve formula_186 über formula_51 mit Level formula_80 kann eine L-Funktion formula_233 zugeordnet werden, die als analytisches Objekt alle arithmetischen Eigenschaften kodiert. Diese besitzt eine Darstellung als Euler-Produkt: wobei die formula_522 für Primzahlen mit "good reduction" gegeben sind durch formula_523 und formula_482 die Menge der Lösungen formula_525 modulo formula_162 bezeichnet. Für Primzahlen mit "bad reduction" wird eine ähnliche Definition gewählt. Falls die Koeffizienten der Kurve keine ganzen Zahlen sind, muss dafür zunächst eine elementare Umformung über projektive Koordinaten vorgenommen werden. L-Funktionen können auch für den Fall elliptischer Kurven formula_527 über beliebigen Zahlkörpern formula_363 definiert werden. Andrew Wiles und anderen gelang mit dem Beweis des Modularitätssatzes die Bestätigung der Aussage, dass formula_233 zu einer ganzen Funktion fortgesetzt werden kann und einer Funktionalgleichung genügt: Tatsächlich korrespondiert formula_233 mit einer Modulform formula_229 von Gewicht 2, deren Level mit dem Führer der elliptischen Kurve identisch ist. Insbesondere ist formula_230 eine sog. Hecke-Eigenform bezüglich der Kongruenzuntergruppe formula_401. Formelhaft ergibt sich der Zusammenhang zwischen formula_233 und formula_229 via klassischer Mellin-Transformation: Die Funktionalgleichung lautet dann wobei das Vorzeichen formula_538 eine wichtige Rolle für die Arithmetik von formula_235 spielt. Beispielsweise verschwindet formula_540 mit gerader/ungerader Ordnung in formula_340, falls formula_542 den Wert formula_543 bzw. formula_544 annimmt.


title: Heegner-Punkt

text: Es sei formula_170 eine Fundamentaldiskriminante und formula_447 ein imaginär-quadratischer Zahlkörper. Als solcher hat er einen Ganzheitsring, der mit formula_547 bezeichnet werden soll. Dieser besteht aus allen Elementen formula_548, die Lösung eines monischen Polynoms mit ganzen Koeffizienten sind, also formula_549 für irgendwelche formula_550 erfüllen.


title: Heegner-Punkt

text: Ein äußerst wichtiges Resultat der algebraischen Zahlentheorie ist nun, dass die Menge aller gebrochenen Ideale, also aller endlich erzeugten formula_547-Moduln formula_552, eine Gruppe unter der Multiplikation ist. Diese Gruppe wird natürlich unendlich groß sein. Identifiziert man jedoch zwei gebrochene Ideale dann miteinander, wenn sie sich bloß um ein Hauptideal als Faktor unterscheiden (im Falle der gebrochenen Ideale sind das genau alle Ideale formula_553, sodass formula_554 mit einem formula_555 und einem Hauptideal formula_556), und schaut sich die dadurch entstehende Gruppe von Klassen an, so ist diese endlich. Die Elementanzahl der "Klassengruppe" formula_557 heißt dann auch "Klassenzahl" des Körpers formula_363 und wird oft mit formula_559 bezeichnet. Die soweit beschriebenen Resultate gelten jedoch nicht nur für quadratische Körper, sondern allgemein für alle Zahlkörper.


title: Heegner-Punkt

text: Im Folgenden ist mit Ideal stets allgemein ein gebrochenes Ideal gemeint. In den anderen Fällen wird ausdrücklich ganzes Ideal gesagt. Um den Zusammenhang zwischen Heegner-Punkten und quadratischen Zahlkörpern zu fassen, müssen folgende Dinge nacheinander durchdacht werden.


title: Heegner-Punkt

text: 1. Im Falle imaginär-quadratischer Zahlkörper mit Fundamentaldiskriminante formula_171 gilt, zusätzlich zu oben, der Satz, dass die Klassengruppe formula_557 gleichmächtig mit der Menge der Klassen binär quadratischer Formen formula_562 mit Diskriminante formula_171 ist. Die 1:1-Korrepondenz zwischen den beiden Mengen ist wie folgt gegeben: Ist auf der einen Seite formula_564 ein Ideal, ordnet man diesem die binäre quadratische Form formula_353 zu mit Dabei bezeichnet formula_567 die sog. Norm des Ideals formula_553, die für ganze Ideale durch die Anzahl der Elemente des Quotienten formula_569 definiert ist. Für beliebige Ideale kann sie durch multiplikative Fortsetzung berechnet werden, da es für alle Ideale eine eindeutige Zerlegung in Primideale gibt. Ist auf der anderen Seite eine binäre quadratische Form formula_353 gegeben, so wird durch formula_571 das zugehörige Ideal konstruiert. Dass es sich hierbei tatsächlich um eine wohldefinierte Bijektion handelt, kann elementar nachgerechnet werden.


title: Heegner-Punkt

text: 2. Es gibt wiederum eine 1:1-Korrespondenz zwischen Klassen (bezüglich formula_401) von Heegner-Punkten mit Diskriminante formula_170, Level formula_80 und Paaren formula_575, mit Auf der einen Seite gibt es in formula_579 eine positiv definite binäre quadratische Form formula_353 mit formula_451 und formula_583 (beachte, dass formula_584, da formula_585). Zu diesen Daten korrespondiert der Heegner-Punkt formula_586 Es sollte bemerkt werden, dass, falls die unimodulare Transformation formula_587 mit formula_588 Lösung der entsprechenden Form formula_589 ist, dann ebenfalls formula_590, aber auch formula_591 erfüllt ist, womit die Zuordnung auf Klassen von Punkten wohldefiniert ist. Ist auf der anderen Seite eine entsprechende Klasse von Heegner-Punkten formula_414 gegeben, so sind je zwei Repräsentanten formula_593 Lösung von Formen formula_594, sodass formula_595 und formula_596. Man setze formula_597 und formula_598. Auch bei der Wahl des Repräsentantenideals spielt die Wahl des Repräsentanten keine Rolle, da mit formula_599 und der Teilerfremdheit von formula_600 bzw. formula_601 gefolgert wird.


title: Heegner-Punkt

text: Heegner-Punkte sind unter anderem bei der Konstruktion bestimmter Punkte auf elliptischen Kurven von Interesse. Dabei wird ausgenutzt, dass es eine Parametrisierung von der Modulkurve in eine elliptische Kurve formula_186 (mit Führer formula_80) gibt. Im Gegensatz zu der (sehr simplen) Parametrisierung über die Weierstraßsche ℘-Funktion hat formula_606 die Eigenschaft, nicht nur eine holomorphe Abbildung zwischen kompakten Riemannschen Flächen, sondern auch ein Morphismus zwischen Kurven über den rationalen Zahlen zu sein. Werden also Punkte über einem gewissen Erweiterungskörper formula_607 von formula_119 nach formula_186 transportiert, so liegen diese sogar in formula_610, sind also wieder über formula_611 definiert. Nun liegen aber Heegner-Punkte mit Level formula_80 gerade im Bereich der Modulkurve formula_119, weshalb es von Interesse ist, die entsprechenden Bildpunkte formula_614 auf der Kurve formula_186 zu studieren. Der Hauptsatz der komplexen Multiplikation macht nun eine Aussage über die algebraische Natur dieser Bildpunkte formula_614.


title: Heegner-Punkt

text: Um den Hauptsatz der komplexen Multiplikation formulieren und dessen Konsequenzen verstehen zu können, muss die modulare Parametrisierung einer elliptischen Kurve bekannt sein. Zu einer elliptischen Kurve formula_186 existiert eine Modulform formula_229 vom Gewicht 2 bezüglich der Kongruenzuntergruppe formula_401. Eine Modulform ist grob gesagt eine holomorphe Funktion auf der oberen Halbebene, die sich holomorph in die Spitzen formula_418 fortsetzen lässt und Invarianzeigenschaften unter der Operation einer Kongruenzuntergruppe auf ihre Argumente hat. Es ist formula_230 sogar eine sog. Spitzenform, das bedeutet, dass formula_229 in allen Spitzen formula_418 verschwindet. Als solche besitzt formula_230 auf ganz formula_344 eine Entwicklung als Fourier-Reihe: Es soll davon ausgegangen werden, dass alle Koeffizienten formula_627 von formula_230 ganze Zahlen sind – diese entsprechen den Koeffizienten der L-Reihe formula_629. Rein komplex-analytisch betrachtet ist formula_630 eine holomorphe Differentialform auf der kompakten riemannschen Fläche formula_119 und ihr Kurvenintegral ist unabhängig von der Wahl des Integrationsweges zwischen formula_217 und formula_76. Für alle Werte formula_635 kann es explizit durch mit formula_637 berechnet werden. Als Modulform von Gewicht 2 bezüglich formula_401 erfüllt formula_229 die Transformationsformel Aus dieser Eigenschaft kann mittels Substitution eine Periodeneigenschaft des Integrals gefolgert werden: Das erste Integral der rechten Seite liegt stets in einem Gitter formula_642 (dies ist nicht trivial, kann aber mit Hilfe der Wirkung von Hecke-Operatoren gezeigt werden). Dies induziert eine holomorphe Abbildung und mittels der zu formula_642 gehörigen Weierstraßschen ℘-Funktion ergibt sich durch einfache Verkettung Bei dieser Auswertung kann es jedoch theoretisch passieren, dass eine nicht-triviale Konstante auftritt, die sog. "Maninsche Konstante" formula_322. Es wird vermutet, dass stets formula_445 gilt, dies kann aber nicht allgemein gezeigt werden. Jedoch stimmt diese Vermutung für den Fall, dass formula_80 quadratfrei ist. Allgemein muss damit der Term berechnet werden.


title: Heegner-Punkt

text: Beim Studium der Bildpunkte formula_614 eines Heegner-Punktes mit Führer formula_651 tauchen auch sog. Hilbertsche Klassenkörper auf. Ist ein imaginär-quadratischer Zahlkörper formula_447 gegeben, kann gezeigt werden, dass eine endliche abelsche Erweiterung formula_611 von formula_363 existiert mit der Eigenschaft, dass die Galois-Gruppe formula_655 kanonisch isomorph zur Klassengruppe formula_557 ist. Die zugehörige Abbildung wird manchmal mit formula_657 (nach Emil Artin) bezeichnet, also Jedes Ideal in formula_363 wird in formula_611 zu einem Hauptideal. Es kann gezeigt werden, dass, wenn formula_661 ein imaginär-quadratischer Körper ist und formula_662 eine elliptische Kurve mit formula_663, der Körper formula_664 gleich dem Hilbertschen Klassenkörper von formula_363 ist. Hierbei bezeichnet formula_666 die j-Invariante von formula_186. Ist also formula_76 ein Heegner-Punkt mit Diskriminante gleich der Fundamentaldiskriminante von formula_363, so ist formula_670 ein Erzeuger von formula_611 über formula_363. Die Wirkung der Galois-Gruppe auf den Wert formula_670 ist dabei Gegenstand der sog. "Shimura-Reziprozität."


title: Heegner-Punkt

text: Die Resultate können auf Heegner-Punkte mit Führern formula_674 verallgemeinert werden. Dazu ist es notwendig, die Theorie des Hilbertschen Klassenkörpers auf Ringklassenkörper passend zu verallgemeinern. Hürden entstehen aber u. a. beim Begriff der Klassengruppe einer quadratischen Ordnung. Diese werden dadurch umgangen, dass nur noch "passende (proper)" Ideale, zum Beispiel bei der Bildung einer allgemeinen Klassengruppe formula_675, betrachtet werden. Das sind solche, für die die Gleichheit gilt. Der "Ringklassenkörper" zu formula_385 ist die eindeutig bestimmte abelsche Erweiterung formula_436 von formula_363, dass alle Primideale in formula_363, die verzweigt in formula_436 sind, bereits formula_322 teilen und ferner der Artin-Isomorphismus formula_683 gilt. Zu jedem passenden Ideal formula_553 in einer Ordnung formula_385 gibt es ein eindeutig bestimmtes formula_686, sodass für jedes passende Ideal formula_688 erfüllt ist und formula_689 das zu formula_553 konjugierte Ideal bezeichnet. Diese Beziehung gibt schließlich über formula_691 den von der Klassenkörpertheorie vorhergesagten Isomorphismus formula_683 vor. Ist formula_76 ein Heegner-Punkt mit zugehöriger quadratischer Ordnung formula_385, so ist formula_695.


title: Heegner-Punkt

text: Hat eine elliptische Kurve formula_662 allgemein komplexe Multiplikation, so ist der Wert formula_666 eine ganz-algebraische Zahl. Als Konsequenz ist die j-Invariante für Heegner-Punkte ganz-algebraisch. Mit Hilfe der j-Invariante, angewendet an Heegner-Punkten in der Form kann gezeigt werden, dass es genau 9 verschiedene negative quadratfreie Zahlen formula_171 gibt, sodass formula_123 die Klassenzahl 1 hat. Ein von David A. Cox ausgeführter Beweis nutzt zudem einige Modulfunktionen, die auf Heinrich Weber zurückgehen.


title: Heegner-Punkt

text: Ist formula_76 ein Heegner-Punkt zu einer Fundamentaldiskriminante formula_171, der sich mit einem Paar formula_575 identifizieren lässt, so kann mit dem Hilbertschen Klassenkörper formula_611 von formula_363 das Folgende gesagt werden: Es ist stets formula_706 (das Bild formula_614 ist also ein Punkt formula_13, dessen Koordinaten in formula_611 liegen, also insbesondere algebraische Zahlen sind). Außerdem gelten die Rechenregeln:


title: Heegner-Punkt

text: Bewiesen wurde der Satz von Max Deuring und Goro Shimura. Er untermauert das „Wunder“ der komplexen Multiplikation, da von einer transzendenten Funktion normalerweise nicht ohne Weiteres zu erwarten ist, dass sie algebraische Zahlen auf algebraische Zahlen abbildet. Der Hauptsatz kann als eine Verallgemeinerung jenes Prinzips für formula_717 gesehen werden, dass die transzendente Funktion formula_718, die nach der Eulerschen Formel an reellen Argumenten den Kreis mit Radius 1 parametrisiert, an rationalen Stellen algebraische Werte liefert.


title: Heegner-Punkt

text: Die erste Formel des Hauptsatzes liefert explizite Ausdrücke für die Konjugierten unter der Galois-Gruppe und wird auch als Shimura-Reziprozität bezeichnet. Mit ihrer Hilfe kann über die Spurformel ein Punkt formula_34 aus allen Konjugierten von formula_614 berechnet werden: Dieser Punkt wird von der Galois-Wirkung fixiert gelassen und liegt daher sogar in formula_722. Im Fall, dass der formula_542-Faktor der elliptischen Kurve formula_186 den Wert formula_544 hat, kann zudem wegen formula_726 die Gleichheit formula_727 gezeigt werden, woraus schließlich formula_728 folgen muss. Über eine ähnliche Argumentation kann gezeigt werden, dass, falls formula_729, der Punkt formula_34 ein Torsionspunkt ist.


title: Heegner-Punkt

text: Der Hauptsatz der komplexen Multiplikation liefert zwar ein Verfahren zur Konstruktion eines Punktes formula_728, jedoch bleibt die Frage offen, ob es sich dabei um einen „trivialen“ Torsionspunkt handelt. Auch sind die Berechnungen der Spurformeln ohne detaillierte Kenntnisse über die Idealklassen formula_579 schwierig zu beantworten. Die Formel von Gross-Zagier liefert einerseits ein Kriterium, das entscheidet, ob ein durch Heegner-Punkte gefundener Punkt tatsächlich nur ein Torsionspunkt ist, und andererseits Techniken, die eine algorithmische Berechnung vereinfachen.


title: Heegner-Punkt

text: Der entscheidende Punkt in der Formel von Gross und Zagier ist, dass die "Höhe" von formula_34 explizit durch berechenbare Konstanten angegeben wird. Dabei ist die Höhe nach folgendem Prinzip definiert: Zuerst wird ein Maß definiert, wie „kompliziert“ eine rationale Zahl ist (dieses wird auch einfach als "Höhe (height)" bezeichnet). Dabei setzt man für einen vollständig gekürzten Bruch formula_734: Es ist zu beachten, dass die Komplexität eines Bruchs in diesem Fall nicht vom Absolutwert von formula_9 abhängt, sondern vielmehr von der Größe von Nenner und Zähler. So ist die Zahl formula_72 wegen formula_738 „sehr einfach“, während die benachbarte Zahl formula_739 mit formula_740 „deutlich komplizierter“ ist. Das Maß formula_741 wird dazu verwendet, die "kanonische Höhe (canonical height)" eines Punktes formula_34 zu definieren. Dabei reicht es wegen des algebraischen Zusammenhangs zwischen formula_9 und formula_744 aus, die formula_9-Koordinate zu betrachten. Damit setzt man formula_746 und schließlich für die kanonische Höhe Dabei bezeichnet formula_748 die formula_245-fache Summe des Punktes formula_34 mit sich selbst. Es kann gezeigt werden, dass dieser Wert stets existiert und nicht-negativ ist. Ist formula_34 ein Torsionspunkt, also von endlicher Ordnung, gilt also formula_752 für eine gewisse endliche Zahl an Summanden, so folgt damit offenbar formula_753, da der Ausdruck formula_748 periodisch ist. Weniger auf der Hand liegt die Tatsache, dass sich diese Aussage umkehren lässt: Ist formula_753, so muss formula_34 bereits ein Torsionspunkt gewesen sein.


title: Heegner-Punkt

text: Die Formel von Gross und Zagier liefert nun die kanonische Höhe eines Punktes formula_728, gewonnen über Heegner-Punkte nach dem Hauptsatz, in Termen von zu den elliptischen Kurven zugehörigen formula_758-Funktionen an der Stelle formula_340. Ist die Kurve formula_760 gegeben, so bezeichnet formula_761 den "quadratischen Twist" von formula_186 bezüglich einer Fundamentaldiskriminanten formula_171. Hat formula_233 die Reihenentwicklung so kann gezeigt werden, dass mit dem Jacobi-Symbol formula_767. Die Formel von Gross und Zagier lautet nun: Ist formula_768 und formula_769, so gilt explizit Für formula_771 muss die rechte Seite noch mit einem Faktor formula_772 multipliziert werden. Aus diesen Tatsachen folgt zusammen mit der Arbeit von Kolyvagin, dass die Heegner-Punkt-Methode "genau" für den Fall funktioniert, dass formula_186 den Rang 1 hat.


title: Heegner-Punkt

text: In einer folgenden Arbeit von Gross, Kohnen und Zagier ist die Höhenformel in etwas anderer Gestalt gegeben. Dort konnte eine Verallgemeinerung mittels der Theorie der Jacobiformen erreicht werden. Grob gesprochen sagt der Satz von Gross-Kohnen-Zagier aus, dass Höhen zu Heegner-Divisoren die Koeffizienten einer Gewicht-2-Jacobiform beschreiben.


title: Heegner-Punkt

text: Heegner-Punkten können sog. "Heegner-Divisoren" zugeordnet werden. Dafür wird in erster Linie der Satz von Abel verwendet. Ist formula_774 eine kompakte Riemannsche Fläche mit Geschlecht formula_63, so können wir auf dieser die Gruppe formula_776 aller Divisoren betrachten. Ein Divisor ist hierbei nichts anderes als eine endliche formale Summe ganzzahliger Vielfacher von Punkten auf formula_774. Betrachtet werden nun die sog. Nulldivisoren formula_778, welche die Eigenschaft haben, dass die Summe der ganzen Koeffizienten aller Punkte den Wert formula_203 hat. Die Menge der sog. Hauptdivisoren formula_780, welche die Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion auf formula_774 bilden, ist eine Untergruppe von formula_778. Nach dem Satz von Abel gibt es nun einen Isomorphismus zwischen der Jacobi-Varietät formula_783 von formula_774 und dem Quotienten formula_785, der eine Untergruppe der Picard-Gruppe ist: wobei formula_788 ein Basispunkt ist. Es ist zu erwähnen, dass die Varietät formula_783 ein höherdimensionaler komplexer Torus formula_790 mit einem Gitter formula_791 ist und damit eine Gruppenstruktur trägt. Explizit ist sie durch formula_792 gegeben, wobei formula_793 den Vektorraum der global holomorphen Differentialformen auf formula_774 und formula_795 die Untergruppe ist, deren Elemente ein Differential auf ganzzahlige Linearkombinationen von dessen Integralen über die formula_796 (bis auf Homotopie) möglichen geschlossenen Kurven schickt (Periodengitter). Als Folgerung des Satzes von Abel gibt es nun eine injektive Abbildung formula_797, falls formula_798. Ist formula_9 ein Punkt, so kann man diesem die Divisorklasse formula_800 zuordnen.


title: Heegner-Punkt

text: Ist nun formula_801 eine Modulkurve von Geschlecht formula_798 und Level formula_80, so gibt es eine Abbildung formula_804 der Form formula_805, wobei formula_806 eine Spitze von formula_119 ist. Da formula_119 eine algebraische Kurve ist, können deren Heegner-Punkte formula_76 zu einer festen Diskriminante formula_170 mit Punkten über dem Hilbertschen Klassenkörper formula_811 identifiziert werden, da formula_812. Es gibt für festes formula_813 und formula_814 mit formula_815 (formula_816) genau formula_291 solcher Punkte formula_818, und diese definieren einen Divisor formula_819, der als Punkt in formula_820 aufgefasst werden kann – es ist zu beachten, dass formula_821 ebenfalls eine algebraische Kurve, definiert über formula_51, ist. Dieses Prinzip bleibt erhalten, wenn statt formula_119 die Kurve formula_824 gewählt wird, nachdem die Fricke-Involution herausgeteilt wurde. Dies hat den Vorteil, dass der entsprechende Divisor formula_825 invariant unter formula_826 ist und damit über formula_827 definiert ist.


title: Heegner-Punkt

text: Die Formel von Gross und Zagier gibt nun ein Verfahren an, die Höhenpaarung formula_828 (mit zwei Parametern formula_829) explizit zu berechnen, wobei formula_62 eine Heckeeigenform (Neuform mit Führer formula_831) bezüglich formula_401 und formula_833 die sog. "formula_62-Komponente" des Divisors formula_34 ist. Dabei ist zu beachten, dass es eine Isogenie der Jacobischen Varietät in direkte Summanden der Form mit formula_837 gibt. Dabei sind formula_838 die Unteralgebra der von formula_226 generierten Heckealgebra, die formula_62 auf 0 abbildet, und formula_841 die Anzahl der Teiler von formula_842. Die direkte Summe läuft dabei über Äquivalenzklassen von Eigenformen, wobei zwei Eigenformen äquivalent sind, falls sie durch (koeffizientenweise) Konjugation einer Einbettung formula_843 auseinander hervorgehen. Hier ist formula_844 der von den Koeffizienten einer normalisierten Eigenform formula_62 erzeugte Zahlkörper. Die Formel bringt nun die Höhe in Verbindung mit Koeffizienten von Jacobiformen. Es wird die Formel mit formula_847 (formula_848) bewiesen, wobei formula_849 eine Jacobiform bezeichnet, die mit formula_62 über eine Abbildung zusammenhängt. Weiter wird bewiesen, dass alle formula_62-Komponenten von formula_853 auf einer gemeinsamen Geraden in formula_854 liegen und deren Positionen über Koeffizienten einer Jacobiform bestimmt werden. Dieser Zusammenhang wird über die Formel mit formula_856 unabhängig von formula_857 und formula_485 mit ausgedrückt. Dementsprechend hat der Unterraum formula_860, der von allen formula_62-Komponenten von Heegner-Divisoren erzeugt wird, je nach formula_862 oder formula_863 Dimension 1 bzw. 0.


title: Heegner-Punkt

text: Die Arbeiten von Gross, Kohnen und Zagier wurden 1997 (1999 veröffentlicht) von Richard Borcherds anderweitig bewiesen und gleichzeitig auf höherdimensionale Quotienten hermitescher symmetrischer Räume verallgemeinert.


title: Heegner-Punkt

text: Ist formula_186 eine elliptische Kurve über den rationalen Zahlen und formula_363 ein Zahlkörper (mit einem algebraischen Abschluss formula_866), so ist es aus zahlentheoretischer Sicht von Interesse, die Mordell-Weil-Gruppe formula_722 der formula_363-rationalen Punkte auf formula_186 und die Shafarevich-Tate-Gruppe formula_870 zu verstehen. Ist für eine ganze Zahl formula_105 mit formula_872 die Untergruppe einer Gruppe formula_873 gemeint, sodass formula_874 für jedes formula_875 ist, so ist die folgende Sequenz exakt: Durch Bilden der Galois-Kohomologie mit formula_877 entsteht daraus folgende exakte Sequenz: aus der schließlich die kurze exakte Sequenz hervorgeht "(descent sequence)." Nun kann nach dem Lokal-Global-Prinzip verfahren werden. Daraus definiert sich schließlich: Dabei entspricht jedes formula_881 einer Stelle von formula_363. Jedes Element der Gruppe formula_883 "korrespondiert" zu einer Klasse homogener Räume über formula_527 – damit sind glatte Kurven formula_885 gemeint, auf denen die algebraische Gruppe formula_186 eine Operation über formula_363 definiert. Die Klassen werden über mit der Wirkung von formula_186 kompatible Isomorphismen festgelegt. Dabei ist eine Klasse genau dann trivial, falls formula_527 irgendwelche formula_363-rationalen Punkte besitzt.


title: Heegner-Punkt

text: Werden die hinteren Kohomologiegruppen in oberer exakter Sequenz passend eingeschränkt, ergibt sich die erneut exakte Sequenz Hierbei bezeichnet formula_892 die sog. formula_105-Selmer-Gruppe. Diese wird wie folgt definiert: Während gut bekannt ist, dass die formula_105-Selmer-Gruppe formula_892 stets endlich ist (woraus folgt, dass die Gruppen formula_897 stets endlich sind, was ein wichtiger Schritt im Beweis ist, dass formula_722 endlich erzeugte abelsche Gruppen sind), verbleibt die Shaferevich-Tate-Gruppe allgemein mysteriös. Es wird vermutet, dass sich die Gruppen formula_897 und formula_892 nur von einer von formula_105 unabhängigen endlichen Größe unterscheiden und in unendlich vielen Fällen sogar gleich sind. Das wäre gegeben, wenn formula_870 endlich wäre, doch dies verbleibt bis heute unbewiesen. Die Endlichkeit von formula_870 ist Teil der (starken) Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer und wäre zahlentheoretisch von großer Bedeutung: Ihre Größe kodiert nach der Definition, wie stark das Hasse-Minkowski-Prinzip bei der elliptischen Kurve formula_186 scheitert.


title: Heegner-Punkt

text: Heegner-Systeme können nun, im Gegensatz zu den kohomologischen Methoden, dazu verwendet werden, formula_722 und formula_870 gleichzeitig zu studieren, indem die Größe der Selmer-Gruppen beschränkt wird. In seinen einführenden "Lecture Notes" über Euler-Systeme (einem verallgemeinerten Konzept, dem sich Heegner-Systeme unterordnen), betont Barry Mazur die Bedeutung der Heegner-Systeme und gibt über den Vergleich zur Kohomologie folgende „Anschauung“:


title: Heegner-Punkt

text: Heegner-Systeme sind Kollektionen von Heegner-Punkten formula_907, sodass formula_908 den Führer formula_105 besitzt. Wegen der Heegner-Hypothese ist es dabei wichtig anzunehmen, dass Führer und Level teilerfremd sind. Es ist zu beachten, dass dabei Heegner-Punkte als Punkte auf einer elliptischen Kurve (nach Anwendung der Parametrisierung) interpretiert werden. Dies ist pragmatisch, weil Heegner-Systeme ihre wichtigsten Anwendungen auf dieser elliptischen Kurve (und nicht als Teil der Modulkurve) haben. Es gilt stets formula_910, mit dem entsprechenden Ringklassenkörper formula_911. Außerdem müssen noch folgende technischen Bedingungen erfüllt sein:


title: Heegner-Punkt

text: 1. Das System ist nur mit solchen Zahlen formula_105 beschriftet, für die formula_913 gilt, siehe oben.


title: Heegner-Punkt

text: 2. Für eine Primzahl, die nicht über formula_661 zerfällt, gelten die Regeln: Dabei ist formula_916 die Anzahl der Einheiten des Ganzheitsrings von formula_123. Diese Formel soll sogar für den Fall formula_918 gelten, fordert jedoch als zusätzliche Bedingung formula_919 für alle formula_920. Sie ist allerdings nur eine Vermutung und bis heute "unbewiesen." Es ist im Falle der betrachteten Kurve bekannt, dass formula_921 endlich und eine Quadratzahl ist.


title: Heegner-Punkt

text: 3. Das paarweise Anordnen hilft dabei, den großen Rechenaufwand in 4. im Optimalfall zu halbieren. Es ist für die Konvergenzgeschwindigkeit zudem essentiell, die Werte formula_922 minimal zu wählen. Ein Unteralgorithmus, der die Berechnung der geforderten Liste formula_923 von Klassen quadratischer Formen realisiert, wird im Detail von Henri Cohen und Christophe Delaunay beschrieben.


title: Heegner-Punkt

text: 4. Dies ist gerade die Anwendung der bereits oben erwähnten Spurformel. Dieser Schritt benötigt mit Abstand die meiste Zeit.


title: Heegner-Punkt

text: 5. Die komplexe Zahl formula_134 sollte nicht einfach über die Weierstraßsche formula_925-Funktion auf die Kurve formula_926 abgebildet werden, da dies eine sehr hohe Genauigkeit erfordern würde, die entsprechende rationale Zahl zu erkennen. Stattdessen ist es ratsam, nicht direkt formula_34, sondern gleich einen Erzeuger formula_873 der Gruppe formula_235 (modulo Torsion) zu generieren. Daher wird das in Schritt 2. berechnete formula_337 benutzt. Die Torsionspunkte von formula_931 sind gerade die Punkte aus formula_932 (modulo formula_933).


title: Heegner-Punkt

text: In seiner Monographie über "Rationale Punkte auf modularen elliptischen Kurven" nimmt Henri Darmon als Grundlage für eine Rechendemonstration die elliptische Kurve mit Führer formula_935. Der Heegner-Punkt mit Level formula_935 wird gewählt. Entweder durch Zählen von Punkten auf der Kurve formula_186 modulo formula_162 oder über die Identität kann die normierte Hecke-Eigenform von Gewicht 2 bezüglich der Kongruenzuntergruppe formula_941 (also auf formula_942) gefunden werden, wobei formula_943 die Dedekindsche Eta-Funktion bezeichnet. Die numerische Auswertung des Eichler-Integrals liefert für 1000 Summanden: und nach Anwendung der Weierstraß-Parametrisierung den Punkt auf 35 Dezimalstellen genau.


title: Heegner-Punkt

text: Heegner-Punkte können auch auf Shimura-Kurven definiert werden. Diese Kurven erscheinen, ähnlich wie die Modulkurve formula_119, als Quotient der oberen Halbebene mit einer diskret operierenden Gruppe formula_947. Im Unterschied zu formula_119 müssen dem Quotienten nicht noch eine endliche Zahl an Punkten (die sog. Spitzen) hinzugefügt werden, damit die Kurve zu einer kompakten Riemannschen Fläche wird: Es kann gezeigt werden, dass der Quotient formula_949 für solche Kurven stets kompakt ist. Dies vereinfacht auf der einen Seite die Definition einer Modulform formula_950 auf formula_344 bezüglich formula_952, da einzig formula_953 für alle formula_954 (und natürlich Holomorphie) gefordert werden muss. Auf der anderen Seite steht ohne Spitzen jedoch keine kanonische Fourier-Entwicklung zur Verfügung.


title: Heegner-Punkt

text: Von besonderem Interesse sind hierbei diskrete Gruppen formula_955, die mit einer Faktorisierung formula_956 assoziiert sind, sodass formula_957, formula_958 quadratfrei und aus einer geraden Anzahl von Primzahlen besteht. Die Zuordnung erfolgt über Quaternionen-Algebren und wird von Henri Darmon im Detail beschrieben.


title: Heegner-Punkt

text: Bezüglich der Gruppen formula_959 werden besonders die Räume formula_960 studiert, die (wie im klassischen Fall) über das Wedge-Produkt von Differentialformen auf formula_961 natürlicherweise die Struktur eines Hilbertraums tragen. Auch hier lassen sich Hecke-Operatoren formula_962 definieren. Da für formula_913 die formula_964 kommutieren und selbstadjungiert sind, ist der Raum formula_960 unter der Wirkung dieser Operatoren diagonalisierbar, d. h., es kann eine orthonormale Basis von simultanen Hecke-Eigenformen gefunden werden. Ist nun formula_62 eine simultane Eigenform, so kann dieser über die lokalen Euler-Faktoren für Primzahlen, die formula_80 nicht teilen, eine L-Funktion zugeordnet werden.


title: Heegner-Punkt

text: Auch für solche Modulformen gilt der Modularitätssatz: Für eine elliptische Kurve formula_662 mit Führer formula_970 gibt es eine eindeutige Eigenform formula_971, sodass formula_972 für alle formula_973. Dies kann aus dem (klassischen) Modularitätssatz selbst und einem Satz von Hervé Jacquet und Robert Langlands gefolgert werden, der besagt, dass für jede Neuform formula_62 von Gewicht 2 bezüglich formula_401 mit formula_976 eine Eigenform formula_977 gefunden werden kann, sodass formula_978 (bis auf endlich viele Euler-Faktoren).


title: Heegner-Punkt

text: Auf Basis dessen können weitere Parametrisierungen einer elliptischen Kurve formula_662 bestimmt werden. Außerdem ist auch hier die Wahl von Heegner-Punkten formula_980 möglich, obgleich diese wegen der völlig anderen Gruppenform keine Lösungen von quadratischen Gleichungen sind. Mit Hilfe dieser Punkte kann ein Analogon zum Hauptsatz über komplexe Multiplikation für Shimura-Kurven formuliert werden.


title: Heegner-Punkt

text: Heegner-Punkte lassen eine Reihe höherdimensionaler Analogien zu, wie z. B. die arithmetischen Zyklen bei Shimura-Varietäten „vom orthogonalen Typ“. In einer Arbeit gibt Stephen Kudla einen Überblick über sein weitreichendes Programm, in dem er die Höhen (im Sinne Arakelovs) dieser Zyklen mit den Ableitungen der zugehörigen Eisenstein-Reihen in Beziehung setzt; obwohl in dieser Richtung noch enorm viel Mathematik entwickelt werden muss, sind bereits beträchtliche Fortschritte erzielt worden (zum Beispiel durch Tonghai Yang, durch den einer der einfachsten Fälle von Kudlas Programm ausgearbeitet wurde).


title: Heegner-Punkt

text: Heegner-Punkte können als Analogon der elliptischen Kurve von speziellen Einheiten wie "circular" oder "elliptic units" betrachtet werden, deren Logarithmen auf erste Ableitungen der Artinschen L-Funktion bei formula_981 zurückgeführt werden, so wie die Höhen der Heegner-Punkte erste Ableitungen der Rankin-L-Reihe über die Formel von Gross und Zagier kodieren. Ein Artikel von Bertolini, Darmon und Green beschreibt mehrere weitgehend auf Vermutungen basierende analytische Konstruktionen von Punkten vom „Heegner-Typ“, die als Analogon der elliptischen Kurve von Stark-Einheiten angesehen werden könnten. Aus diesem Grund wurde der Begriff „Stark-Heegner-Punkte“ geprägt, um sie zu beschreiben.


title: Armenischer Fußballpokal 2014/15

text: Der armenische Fußballpokal 2014/15 war die 24. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2014/15

text: Teilnehmer waren die acht Mannschaften aus der Bardsragujn chumb 2014/15. Titelverteidiger FC Pjunik Jerewan gewann zum dritten Mal in Folge und zum insgesamt achten Mal den Pokal. Im Finale wurde MIKA Aschtarak mit 3:1 besiegt.


title: Armenischer Fußballpokal 2014/15

text: Der Pokal wurde in drei Runden ausgetragen. Bis zum Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei Torgleichstand entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore, danach eine Verlängerung, wurde in dieser nach zweimal 15 Minuten keine Entscheidung erreicht, folgte ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. Das Finale wurde in einem Spiel in Jerewan ausgetragen.


title: Armenischer Fußballpokal 2015/16

text: Der armenische Fußballpokal 2015/16 war die 25. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2015/16

text: Teilnehmer waren die acht Mannschaften aus der Bardsragujn chumb 2015/16. Der FC Banants Jerewan gewann zum dritten Mal den Pokal. Im Endspiel wurde Vorjahresfinalist MIKA Aschtarak mit 2:0 besiegt.


title: Armenischer Fußballpokal 2015/16


title: Armenischer Fußballpokal 2016/17

text: Der armenische Fußballpokal 2016/17 war die 26. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2016/17

text: Qualifiziert waren die sechs Mannschaften aus der Bardsragujn chumb 2016/17, sowie SC Erebuni Jerewan und FC Kotajk Abowjan aus der Aradschin chumb 2016/17. Während Erebuni zu den ersten beiden Begegnungen nicht antrat, trat Kotajk nur im Hinspiel an. Der FC Schirak Gjumri gewann zum zweiten Mal den Pokal. Im Endspiel wurde der FC Pjunik Jerewan mit 3:0 besiegt.


title: Armenischer Fußballpokal 2016/17


title: Armenischer Fußballpokal 2017/18

text: Der armenische Fußballpokal 2017/18 war die 27. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2017/18

text: Qualifiziert waren die sechs Mannschaften aus der Bardsragujn chumb 2017/18 sowie der FC Arzach Jerewan und FC Ararat-Armenia aus der Aradschin chumb 2017/18. Gandsassar Kapan gewann zum ersten Mal den Pokal. Im Endspiel wurde Alaschkert Martuni nach Elfmeterschießen besiegt.


title: Armenischer Fußballpokal 2017/18


title: Armenischer Fußballpokal 2017/18

text: Die Hinspiele fanden am 7. und 8. März 2018, die Rückspiele am 17. und 18. April 2018 statt.


title: Armenischer Fußballpokal 2018/19

text: Der armenische Fußballpokal 2018/19 war die 28. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2018/19

text: Zwölf Mannschaften nahmen teil. Qualifiziert waren die neun Mannschaften aus der Bardsragujn chumb 2018/19, sowie der FC Junior Sewan, FC Jerewan und FC Lokomotiv Jerewan aus der Aradschin chumb 2018/19. Der letztjährige Finalist FC Alaschkert Martuni gewann zum ersten Mal den Pokal. Im Endspiel wurde der FC Lori Wanadsor mit 1:0 nach Verlängerung besiegt.


title: Armenischer Fußballpokal 2018/19

text: Der Pokal wurde in vier Runden ausgetragen. Bis zum Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei Torgleichstand entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore, danach eine Verlängerung, wurde in dieser nach zweimal 15 Minuten keine Entscheidung erreicht, folgte ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. Das Finale wurde in einem Spiel in Jerewan ausgetragen.


title: Armenischer Fußballpokal 2018/19

text: Der FC Pjunik Jerewan, FC Banants Jerewan, Gandsassar Kapan und FC Alaschkert Martuni hatten für diese Runde ein Freilos.


title: Armenischer Fußballpokal 2019/20

text: Der armenische Fußballpokal 2019/20 war die 29. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2019/20

text: 20 Mannschaften nahmen teil. Qualifiziert waren die zehn Mannschaften aus der Bardsragujn chumb 2019/20, sowie zehn Teams aus der Aradschin chumb 2019/20.


title: Armenischer Fußballpokal 2019/20

text: Der Pokal wurde in fünf Runden ausgetragen. Bis auf die Halbfinalspiele wurden die Sieger in einem Spiel ermittelt. Stand es nach 90 Minuten unentschieden, gab es eine Verlängerung und wenn nötig ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. In den Halbfinalbegegnungen entschied bei Torgleichstand zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore.


title: Armenischer Fußballpokal 2019/20

text: Die Spiele fanden zwischen dem 1. und 3. November 2019 statt.


title: August Adler

text: August Adler ist der Name folgender Personen:


title: August Adler

text: * August Adler (Fotograf) (1842–1916), deutscher Fotograf


title: Tatort: Der letzte Schrey

text: Der letzte Schrey ist ein Fernsehfilm aus der Krimireihe "Tatort". Der vom MDR produzierte Beitrag wurde am 1. Juni 2020 (Pfingstmontag) im Ersten ausgestrahlt. In dieser 1134. "Tatort"-Folge ermitteln die Weimarer Kommissare Lessing und Dorn in ihrem zehnten Fall.


title: Tatort: Der letzte Schrey

text: Freya und Robert, genannt „Zecke“, dringen in das Haus des Ehepaars Schrey, wohlhabende Textilunternehmer, ein. Sie erschlagen den Hund und schlagen Gerd Schrey nieder. Kurz darauf wird Marlies Schrey erschlagen in einem Feld unweit eines Ausflugslokals gefunden. Lessing und Dorn, die gerade Probleme mit ihrer französischen Babysitterin haben, übernehmen die Ermittlungen. Noch am Tatort schlussfolgert Lessing, dass die gefesselte Marlies Schrey aus einem Fahrzeug entkommen, auf die Straße gestürzt und ins Feld geflüchtet sei, wobei sie verfolgt und schließlich erschlagen wurde. Die Befragung der Gäste des nahen Lokals bestätigt diese These.


title: Tatort: Der letzte Schrey

text: Noch während Lessing und Dorn mit Maik Schrey, dem Sohn von Gerd Schrey, sprechen, erhält dieser einen Anruf der Entführer und eine Lösegeldforderung in Höhe von zwei Millionen Euro. Dorn findet eine Versicherungspolice, die eine Entführung der Schreys mit einer Lösegeldsumme bis zu einer Million Euro je Entführtem absichert. In einem weiteren Telefonat erklärt Maik Schrey, vom Tod seiner Stiefmutter Marlies ungerührt, dass er nur eine Million Euro zur Verfügung habe und auch nicht mehr zahle, da Marlies tot ist. Das Entführerpaar, das sich auf einem Bauernhof in Ulla versteckt hält, stimmt der Minderung der Lösegeldsumme zu. Aus Wut über die entgangene zweite Million und über das wiederholt ungeschickte Agieren seiner Komplizin geraten die beiden Entführer in Streit. Zecke erschlägt Freya und versteckt sie in der Güllegrube des Hofes. Mit Maik Schrey vereinbart Zecke, dass das Lösegeld von Gerd Schreys Privatflugzeug aus außerhalb von Weimar abgeworfen werden soll.


title: Tatort: Der letzte Schrey

text: Der Abwurf des Geldes gelingt, jedoch verfängt sich die Tasche mit dem Lösegeld in einem Hochspannungsmast. Zecke klettert auf den Mast. Nachdem er die Tasche freigeschnitten und zu Boden hat fallen lassen, kommt er jedoch aus Leichtsinn ums Leben. Gerd Schrey flieht mit dem Geld und versteckt es in den Ruinen der Sophienheilstätte in München, einem Ortsteil von Bad Berka. Dann lässt er sich von einem LKW-Fahrer zurück nach Weimar bringen und geht zur Polizei, wo gerade sein Sohn Maik vernommen wird, da Dorn und Lessing den Verdacht hegen, dass die Entführung von Maik oder Gerd initiiert worden sein könnte. Erst hier erfährt Gerd, der am Anfang der Entführung bewusstlos geschlagen worden war, vom Tod seiner Frau und bricht zusammen.


title: Tatort: Der letzte Schrey

text: Nach dem Verhör treffen Dorn und Lessing auf der Polizeidienststelle ihre Babysitterin Adrienne wieder, die ihren Freund vermisst melden möchte. Es stellt sich heraus, dass es sich bei diesem um den Entführer Robert handelt. Durch einen Hinweis ihres Kollegen Lupo erfahren Dorn und Lessing außerdem, dass dieser der Bruder von Maik Schreys Freundin Doreen ist. Dadurch kommt diese als Drahtzieherin der Entführung in Frage und wird zur Fahndung ausgeschrieben.


title: Tatort: Der letzte Schrey

text: Nachdem Gerd Schrey nach Hause zurückgekehrt ist, wird er dort von Doreen aufgesucht und unter Waffengewalt gezwungen, sie zu dem Lösegeld zu führen. Sie offenbart Gerd, dass sie sich an ihm rächen will. Marlies war ihre Mutter und hatte ihre Familie wegen Gerd verlassen. Nach dem Suizid des Vaters kam Doreen zu Adoptiveltern und Robert in ein Heim. Gerd versichert Doreen, nie gewusst zu haben, dass Marlies bereits eine Familie hatte, als er sie kennenlernte. Er selbst war verwitwet, nachdem seine erste Frau bei der Geburt von Maik verstorben war. Dies hatte das Verhältnis des Vaters zum Sohn stets belastet. Gerd und Doreen begeben sich zur Sophienheilstätte, wo Doreen schließlich festgenommen werden kann.


title: Tatort: Der letzte Schrey

text: Der Film wurde vom 21. Mai 2019 bis zum 20. Juni 2019 in Weimar und Umgebung gedreht, unter anderem in der Sophienheilstätte im Bad Berkaer Ortsteil München.


title: Tatort: Der letzte Schrey

text: Wie für den Tatort aus Weimar üblich, wird auch in dieser Folge ein Literaturklassiker verwendet. Lessing zitiert in Anspielung auf das angespannte Verhältnis zwischen Gerd Schrey und seinem Sohn Maik einen Satz aus Schillers Räuber: „Nicht Fleisch und Blut, das Herz macht uns zu Vätern und Söhnen.“


title: Tatort: Der letzte Schrey

text: Als Hintergrundmusik läuft in dieser Folge fast immer das Schlagzeugintro der Serie jerks., in der Hauptdarsteller Christian Ulmen ebenfalls mitspielt.


title: Tatort: Der letzte Schrey

text: Die Erstausstrahlung von "Der letzte Schrey" am 1. Juni 2020 wurde in Deutschland von 7,61 Millionen Zuschauern gesehen und erreichte einen Marktanteil von 25,2 % für Das Erste.


title: Carl Ludwig Richter

text: Carl Ludwig Richter (* 22. August 1737 in Halle; † 9. Mai 1802 in Kassel) war ein Theologe und Pädagoge, von Michaelis 1779 bis zu seinem Tod Rektor des Lyceums Fridericianum in Kassel.


title: Carl Ludwig Richter

text: Er war ein Sohn des beim Amt Giebichenstein im Herzogtum Magdeburg angestellten Aktuars Johann Adolph Richter und erhielt seine schulische Ausbildung ab 1744 an der Lateinschule in Halle. Danach studierte er von Ostern 1753 bis September 1757 Theologie an der Friedrichs-Universität in Halle.


title: Carl Ludwig Richter

text: Nach erfolgreichem Abschluss seines Studiums trat er zu Michaelis 1757 eine Anstellung als Hauslehrer des Sohnes des preußischen Generals Friedrich Christian von Hauss, dem damaligen Militärkommandanten von Leipzig, an. 1760 erhielt er die Stelle als Vierter Lehrer („Quartus“) an der städtischen Lateinschule in Kassel, wohl auch auf Empfehlung seines älteren Bruders, des Hofgerichtsrats Johann Adolph Richter († 1775). Er trat diese Stelle zu Michaelis 1760 an, bewarb sich danach allerdings mehrfach vergeblich um Stellen als Prediger, da ihn die Anstellung als Quartus wohl finanziell nicht befriedigte. Nach dem Tod des seit 1736 amtierenden Rektors Justus Heinrich Wetzel 1771 wurde Richter im Mai 1772 als neuer Rektor vorgeschlagen, aber vom zuständigen Konsistorium nicht akzeptiert, dann aber im August 1772 zum Konrektor ernannt.


title: Carl Ludwig Richter

text: Sieben Jahre später, wenige Wochen nach der am 14. August 1779 erfolgten Einweihung des von Landgraf Friedrich II. von Hessen-Kassel durch Umwandlung der Lateinschule gegründeten „Lyceums Fridericianum“, einer sogenannte Gelehrtenschule zur Vorbereitung auf ein Universitätsstudium, wurde Richter als Nachfolger des aus gesundheitlichen Gründen ausscheidenden Paul Veit zum Rektor ernannt. 1796 erhielt er den Charakter eines Professors.


title: Carl Ludwig Richter

text: Richter war zeitlebens unverheiratet. Er starb am 9. Mai 1802 an einer Lungenentzündung und wurde auf eigenen Wunsch in aller Stille beigesetzt. Zu seinem Gedenken wurde die Richter-Denkmünze gestiftet, die jährlich an den besten Abiturienten des Lyceums vergeben wurde. Richters Nachfolger als Rektor am Lyceum Fridericianum wurde Nathanael Cäsar.


title: UEFA Champions League 2007/08/Manchester United

text: Der nachstehende Artikel behandelt die Spielstatistiken der Champions League-Spiele des späteren Siegers Manchester United aus der Saison 2007/08.


text: Als englischer Meister der Saison 2006/07 war Manchester United automatisch für die Gruppenphase der Champions League qualifiziert.


title: Interzonenturnier Biel 1993

text: Das Interzonenturnier Biel 1993 wurde im Juli 1993 in Biel ausgetragen. Es wurde vom Weltschachbund FIDE organisiert und sollte zehn Teilnehmer der Kandidatenwettkämpfe zur FIDE-Weltmeisterschaft 1996 ermitteln. Das Interzonenturnier wurde im Schweizer System über 13 Runden ausgetragen. Es nahmen 73 Spieler teil. Der ebenfalls gemeldete Spieler Esam Aly Ahmed aus Ägypten trat nicht an. Durch die ungerade Teilnehmerzahl bedingt, war in jeder Runde ein Spieler spielfrei.


title: Interzonenturnier Biel 1993

text: In der nachfolgenden Tabelle bedeuten die Zeichen +, = und − jeweils einen Sieg, ein Unentschieden oder eine Niederlage des Spielers. Die danach stehende Zahl bezeichnet die Platznummer des Gegners. Ein Pluszeichen ohne nachfolgende Zahl kennzeichnet den spielfreien Spieler.


title: Pocher – gefährlich ehrlich!

text: Pocher – gefährlich ehrlich! (Eigenschreibweise: "POCHER – GEFÄHRLICH EHRLICH!") ist eine seit 2020 auf RTL ausgestrahlte Late-Night-Show des Comedians Oliver Pocher. Im Wesentlichen kommentiert der Moderator in der Sendung, in der immer auch seine Ehefrau Amira Pocher zu sehen ist, das aktuelle Zeitgeschehen. Dabei soll es sich um eine humorvolle Art und Weise handeln.


title: Pocher – gefährlich ehrlich!

text: In der letzten Ausgabe von 2020 kündigte Oliver Pocher eine Fortsetzung der Sendung im Frühjahr 2021 an. Ende Mai 2021 wurde jedoch bekannt, dass man im Zuge der Neuaufstellung des Senders die Sendung nicht weiter fortführen wird.


title: Pocher – gefährlich ehrlich!

text: In der Sendung, die donnerstags abends live ausgestrahlt wurde, setzte sich der Comedian Oliver Pocher vorwiegend mit aktuellen Geschehnissen auseinander. Nicht selten waren hierbei Parodien anderer Prominenter. Die während der Corona-Krise ins Leben gerufene Sendung war inhaltlich stark an dieser ausgerichtet. So besuchte Pocher beispielsweise Demonstrationen gegen die Corona-Auflagen und traf sich vor dem Reichstag mit Attila Hildmann, der während der Pandemie mit verschwörungstheoretischen Ansichten in die Medien kam.


title: Pocher – gefährlich ehrlich!

text: Außerdem belebte die Sendung das zuvor bei ProSieben als eigene Sendung ausgestrahlte Format "Rent a Pocher" mit einzelnen Beiträgen wieder. Sidekick von Oliver Pocher war seine Frau Amira Pocher.


title: Pocher – gefährlich ehrlich!

text: Regelmäßig waren auch prominente Gäste für verschiedene Studioaktionen eingeladen.


title: Pocher – gefährlich ehrlich!

text: Die erste Staffel der Sendung umfasste vier Folgen, die erste wurde am Freitagabend, dem 15. Mai 2020, ausgestrahlt, ab der zweiten Folge im wöchentlichen Turnus am Donnerstagabend bis zum 4. Juni. Aufgrund des Erfolgs hatte sich der Sender kurzfristig nach den vier Folgen der ersten Staffel entschieden, das Format mit einer zweiten Staffel weiterzuführen. Diese lief ab dem 18. Juni 2020 ebenfalls jeweils donnerstags abends.


title: Pocher – gefährlich ehrlich!

text: Nachdem RTL weiteren Erfolg mit der Sendung verzeichnete, startete am 27. August 2020 die 3. Staffel der Sendung. Zusätzlich zum Donnerstagabend wird die Sendung wöchentlich nun auch Sonntagabends ausgestrahlt. Am 8. Oktober 2020 wurde angesichts von fragwürdigen Äußerungen in Bezug auf die Corona-Pandemie und den entsprechenden Maßnahmen der deutschen Regierung von Michael Wendler eine Sonderausgabe mit dem Manager des Sängers gesendet. Durch den Start der RTL-Sendung "Temptation Island VIP" ab dem 18. Oktober 2020 wurde der Sendeplatz am Sonntag auf 23.55 Uhr verlegt.


title: Pocher – gefährlich ehrlich!

text: Aufgrund des weiteren Erfolgs wurde entschieden, das Format ab dem 5. November 2020 mit einer vierten Staffel weiterzuführen. Die Ausstrahlung beschränkt sich wieder auf eine Folge pro Woche jeden Donnerstagabend. Abgeschlossen wurde die Staffel mit einem Jahresrückblick am 17. Dezember.


title: Pocher – gefährlich ehrlich!

text: In einer Rezension der Auftaktfolge hob David Grzeschik von Quotenmeter.de hervor, dass sich die Sendung als „ausgesprochen aktuell“ erweise und „relevanter daherkommt als gedacht. Denn statt Influencer wie Johannes Haller oder Jörn Schlönvoigt ein weiteres Mal vorzuführen, knöpfte sich Pocher Verschwörungstheoretiker wie Attila Hildmann vor. Pocher zeigt in seiner RTL-Show Ausschnitte aus der jüngsten ‘Spiegel TV’-Folge und macht sich dabei über jene kruden Theorien lustig, die (…) erschreckend viele Menschen als realistisch betrachten.“


title: Pocher – gefährlich ehrlich!

text: Andererseits wurde Pocher für einzelne Witze oder Videos, die er auch auf seinem Instagram-Account veröffentlichte, stark kritisiert. Mit teilweise sexistischen und rassistischen Ausdrücken beleidigte er im Format "Pochers Bildschirmkontrolle" andere prominente Personen, besonders auf Influencerinnen wie Anne Wünsche schien er es abgesehen zu haben, was nichts mehr mit Unterhaltung zu tun habe, wie Theresia Enzensberger in einem Kommentar in der Zeit urteilte.


title: Naturschutzgebiet In der Laake

text: Das Naturschutzgebiet In der Laake liegt auf dem Gebiet der Stadt Lünen im Kreis Unna in Nordrhein-Westfalen. Das etwa 16 ha große Gebiet wurde im Jahr 2007 unter der Schlüsselnummer UN-010 unter Naturschutz gestellt. Es erstreckt sich östlich der Kernstadt Lünen und westlich von Beckinghausen, zwischen der Kamener Straße (L654) im Norden und der Bahnstrecke Oberhausen-Osterfeld–Hamm im Süden.


title: Naturschutzgebiet In der Laake

text: Das Naturschutzgebiet besteht aus zwei Teilen, beidseits des Datteln-Hamm Kanals.


title: Naturschutzgebiet In der Laake

text: Das Feuchtgebiet der östlichen Teilfläche wird von einer Nasswiese bis Nassbrache eingenommen. Die Fläche wird nicht mehr bewirtschaftet, allerdings erfolgt ein Pflegeschnitt, wobei das Mähgut im NSG verbleibt (verrottende Grashaufen). Die Brachfläche ist schwach mit Weiden verbuscht (ca. 10 %), vegetationsbestimmend ist häufig ein Gemisch aus Sumpf-Schachtelhalm, Zottigem Weidenröschen und Sumpfdotterblume. Die Vegetationsdecke ist partiell lückig und stark vermoost. Am Nordostrand stockt ein nahezu durchgängiger Gehölzstreifen, in dem über weite Strecken die Bruch-Weide dominiert. Am Südrand stehen einzelne Erlen, Weiden und Pappeln sowie – im Südwesten – eine Baumweidengruppe.


title: Naturschutzgebiet In der Laake

text: Die Vegetation der westlichen Teilfläche besteht vor allem aus größeren Gehölzbeständen, Feuchtbrachen, flächigen Weidengebüschen und trockeneren Wiesenbereichen. Der Nordwesten und Westen des Gebietes sind überwiegend gehölzbestanden. Es dominiert ein strauch- und krautreicher Pappelmischforst, kleinflächiger sind Ahorn- und Eichenbestände vertreten. Nördlich des Fußweges ist der Bestand nach Holzentnahme verlichtet. Südlich des Weges finden sich mehrere, teils von Baumweiden umgebene Bombentrichter von ca. 10–15 m Durchmesser mit viel Totholz. Das Wasser ist trüb, eine Wasser- und Röhrichtvegetation fehlt. Nach Osten geht der Gehölzbestand in eine Feuchtbrache mit z. T. anstehendem Wasser und in ein größeres Weidengebüsch über. Auf den höher gelegenen Flächen im Nordosten sind glatthafer- und fuchsschwanzreiche Wiesen sowie kleinere Gehölzbestände anzutreffen. Am Südostrand des Gebietes liegen ein neuer, befestigter Weg (errichtet bei den Arbeiten zur Dammerhöhung des Kanals) und ein frisch ausgehobener Teich. Beide Teilgebiete werden vor allem randlich von Gräben begleitet.


title: Naturschutzgebiet In der Laake

text: Biotoptypen nach Paragraph 20c BNatSchG: Sumpf mit Nassbrachen- und Nasswiesenvegetation  Sicherung und Optimierung eines Feuchtgebietskomplexes aus artenreichen Feuchtbrachen und einem vernässten Waldgebiet.


title: Naturschutzgebiet In der Laake

text: • Altholz erhalten • Beseitigung von Gehölzen • Erhaltung der Gewässer • extensive Grünlandbewirtschaftung • keine Beweidung • keine Düngung • keine Entwässerung • Pufferzone anlegen • Totholz erhalten • Umwandlung in bodenständigen Gehölzbestand • Vegetationskontrolle • Verbesserung der Wasserqualität • Wiedervernässung.


title: Gesandtenstelen

text: Als Gesandtenstelen werden zwei Grabmonumente auf dem Kerameikos, dem bedeutendsten und größten antiken Friedhof von Athen, bezeichnet. Hinzu kommt im weiteren eine in deren Umfeld gefundene Inschrift.


title: Gesandtenstelen

text: Die Gesandtenstelen wurden am Südhügel des Kerameikos gefunden. Beide Stelen stehen bis heute aufrecht an ihren Fundorten, die zugleich auch die Aufstellungsorte in der Antike waren. Sie gehören zu zwei Gräbern für Gesandte, ein drittes Grab für einen Gesandten fand sich leicht westlich davon.


title: Gesandtenstelen

text: In seinem Dialog Kritias beschreibt Platon vier verschiedene Gruppen von Fremden in einer Gemeinschaft und wie mit diesen umzugehen sei. Gesandte und wie sie behandelt werden sollen, wird in den Erläuterungen zur dritten Gruppe erklärt. Danach besitzen Gesandte, die in offiziellem Auftrag in Athen weilten, einen besonderen Schutz und müssen von hochrangigen Würdenträgern – Strategen, Hipparchen und Taxiarchen – untergebracht, versorgt und betreut werden. Diese Betreuung gilt auch insbesondere im Todesfall, bei dem diese Personen beziehungsweise der attische Staat für die Bestattung der Verstorbenen zu sorgen hatten. Der Staat übernahm die Kosten für die Bestattung selbst sowie für Grabdenkmale und Inschriften. Ehrende Epigramme schilderten nicht nur den Grund der Grabanlage, sondern berichteten auch von der Verpflichtung der Polis Athen, die mit der Bestattung erfüllt wurde. Nach Ausweis der Fundumstände gab es auf dem Kerameikos einen eigenen Grabbezirk für solche Verstorbenen, der insbesondere im 5. und 4. Jahrhundert v. Chr. für derartige Fälle reserviert war. Schon die Lage nahe dem Stadttor, gegenüber dem Tritopatreion an der sehr verkehrsreichen Straße, wo sich die Gräberstraße von der Heiligen Straße trennte, legt eine besondere Bedeutung dieser Grabstätten und damit auch die Bedeutung der damit verbundenen Handlungen nahe. Der Staat der Athener kam somit einem besonderen Anliegen des Grabkultes nach, die Namen der Verstorbenen weiter im Gedächtnis zu halten.


title: Gesandtenstelen

text: Das östlichste Grab war das mit der Stele des Konsuls Pythagoras aus Selymbria. Mittig lag das Grab mit der Stele für die Gesandten Thersandros und Simylos aus Kerkyra, im Westen folgte schließlich das Grab, von dem noch die Inschrift für Silenos aus Rhegion erhalten ist. Die Region mit den Gesandtenstelen wurde schon vergleichsweise früh während der Erforschung des Kerameikos entdeckt. Entdeckt und ausgegraben wurden sie 1870 durch Stefanos Koumanoudis. 1971 folgten Nachuntersuchungen unter der Leitung von Ursula Knigge.


title: Gmina Mosina

text: Die Gmina Mosina [] ist eine Stadt-und-Land-Gemeinde im Powiat Poznański der Woiwodschaft Großpolen in Polen. Ihr Sitz ist die gleichnamige Stadt ( "Moschin") mit etwa 14.000 Einwohnern.


title: Gmina Mosina

text: Die Gemeinde liegt zentral in der Woiwodschaft. Sie grenzt im Nordosten an die kreisfreie Woiwodschafts-Hauptstadt Posen (Sitz des Powiats). Die weiteren Nachbargemeinden sind die Gemeinden: Kórnik im Osten, Brodnica im Süden, Czempiń im Südwesten, Stęszew im Westen sowie Komorniki, Puszczykowo, Komorniki (2.) und Luboń im Norden.


title: Gmina Mosina

text: Die Warthe fließt durch den östlichen Teil der Gemeinde und bildet im Norden die Westgrenze der Gemeinde. Ihre Zuflüsse Samica Stęszewska mit 37 und Kopel mit 34 Kilometer Länge münden auf Gemeindegebiet in die Warthe. Dieses gehört zur großpolnischen Seenplatte ( Pojezierze Wielkopolskie). Die Rinnenseen Jezioro Dymaczewskie mit 120 Hektar Wasserfläche und Jezioro Góreckie (100 ha) gehören zum Nationalpark Großpolen im Westen der Gemeinde. Daneben gibt es eine Reihe sehr viel kleinerer Seen.


title: Gmina Mosina

text: Die Gemeinde hat eine Fläche von 170,9 km², von der 49 Prozent land- und 38 Prozent forstwirtschaftlich genutzt werden.


title: Gmina Mosina

text: Das heutige Gemeindegebiet gehörte, unterbrochen durch die deutsche Besatzungszeit im Zweiten Weltkrieg, von 1919 bis 1957 zum Powiat Śremski und zur Woiwodschaft Posen mit unterschiedlichen Zuschnitt. Im Jahr 1954 wurden die Landgemeinden in Gromadas geteilt und 1958 kam das Gebiet zum ehemaligen Powiat Poznański. – Die deutsche Minderheit wurde nach dem Weltkrieg vertrieben.


title: Gmina Mosina

text: Zum 1. Januar 1973 wurde die Landgemeinde Mosina wieder eingerichtet. Von 1975 bis 1998 kam das Gemeindegebiet zur stark verkleinerten Woiwodschaft Posen. Der Powiat wurde in dieser Zeit aufgelöst. Stadt- und Landgemeinde Mosina wurden 1990/1991 zur Stadt-und-Land-Gemeinde zusammengelegt. Diese gehört seit 1999 zur Woiwodschaft Großpolen und zum Powiat Poznański aktuellen Zuschnitts, die neu gebildet wurden.Zur Stadt-und-Land-Gemeinde (gmina miejsko-wiejska) Mosina mit Einwohnern (Stand ) gehören die Stadt selbst und 21 Dörfer mit Schulzenämtern (sołectwa):


title: Gmina Mosina

text: Den Schulzenämtern bzw. der Stadt sind die folgenden, kleineren Orte zugeordnet:


title: Gmina Mosina

text: Die Woiwodschaftsstraße DW430 führt über die Nachbarstädte Puszczykowo und Luboń "(Luban)" nach Posen, wo Autobahnen und Landesstraßen (droga krajowa) erreicht werden. Die DW431 verbindet Mosina mit Kórnik "(Kurnik)" im Osten und mit Granowo im Westen, dabei umfährt sie den Nationalpark.


title: Gmina Mosina

text: An der Bahnstrecke Posen–Breslau bestehen der Bahnhof Mosina und der Haltepunkt "Drużyna Poznańska" im Dorf Drużyna.


title: Gmina Mosina

text: Der nächste internationale Flughafen ist Poznań-Ławica.


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Pierre-Philippe Grappin, bekannt unter dem Namen "Dom Grappin" (* 1. Februar 1738 in Ainvelle (Haute-Saône); † 20. November 1833 in Besançon) war ein französischer Benediktinermönch, Historiker und Schriftsteller. Bis zum Jahr 1791 war er Benediktiner der Kongregation von Saint-Vanne et Saint-Hydulphe, von 1771 bis 1777 und von 1783 bis 1789 Leiter des Kollegs von Saint-Ferjeux, nach dem Ausbruch der Französischen Revolution von 1791 bis 1801 Priester der konstitutionellen Diözese Doubs sowie von 1802 bis 1815 Generalvikar der Diözese von Besançon. Auch war er Mitglied mehrerer Akademien und führte u. a. eine bedeutende Korrespondenz mit dem Abbé Grégoire.


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Pierre-Philippe Grappin entstammte einer angesehenen bürgerlichen Familie; sein Vater war Notar. Er schlug die geistliche Laufbahn ein, trat in seinem 18. Lebensjahr in den Benediktinerorden ein und wurde Novize in der Abtei zu Luxeuil. Anschließend begann er unter der Leitung von Anselm Berthod, des Priors der Abtei, das Studium der Geschichte und Diplomatik. Infolge seines hierdurch erworbenen Wissens konnte er von seinen Oberen schon einige Jahre später nach Faverney entsendet werden, um die Archive dieser Abtei zu ordnen.


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Als um dieselbe Zeit die neu gegründete "Académie des sciences, belles-lettres et arts de Besançon et de Franche-Comté" sich mit der Sammlung von Material für die Geschichte der Provinz beschäftigte und einen Preis für die Abfassung einer Spezialgeschichte einer Stadt oder Abtei der Grafschaft Burgund auf das Jahr 1770 aussetzte, schrieb Grappin zwei Denkschriften über die Abteien Luxeuil und Faverney. Hierbei stützte er sich auf Urkunden, die sich unter seiner Aufsicht befanden. Die erste dieser Arbeiten gewann den Preis, wurde aber nicht gedruckt; die zweite erschien unter dem Titel "Mémoire sur la ville et abbaye de Faverney" (Besançon 1771), erhielt den Nebenpreis und verbreitete den literarischen Ruf des Verfassers. Bereits drei Jahre zuvor hatte Grappin eine Streitschrift gegen seinen unzufriedenen Ordensgenossen Dom Jean-Joseph Cajot ("Lettre à l’auteur de „l’examen philosophique de la règle de Saint-Benoît“, ou examen religieux de l’examen philosophique", Besançon 1768) verfasst. In diesem Pamphlet hatte er sich Unhöflichkeiten gegenüber Cajot erlaubt, aber dessen Behauptungen nicht gänzlich zu entkräften vermocht und sich deswegen selbst heftige Kritik zugezogen. Eine geschichtliche Arbeit hatte Grappin unter dem Titel "Mémoires historiques sur les guerres de seizième siècle dans le comté de Bourgogne" (Besançon 1768) vorgelegt.


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Sowohl die bereits erwähnten Abhandlungen als auch die "Histoire abrégée du comté de Bourgogne" (Avignon 1773; zweite vermehrte Auflage Besançon 1780) und alle folgenden Schriften gab Grappin anonym heraus, doch war der Verfasser in den beteiligten Kreisen gut bekannt, da er ein fleißiger Mitarbeiter des damals vielgelesenen "Journal ecclésiastique" war. Für diese Zeitschrift verfasste er u. a. folgende Artikel:


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Auch lieferte Grappin zugleich Beiträge für die "Annales de la Religion", für die "France catholique", für die "Affiches de Franche-Comté" und für die "Chronique religieuse", in der besonders das "Mémoire sur les sorciers d’Arras et de Franche-Comté" erwähnenswert sind.


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Diese literarische Tätigkeit lenkte die Aufmerksamkeit der Ordensoberen auf den jungen Mönch und veranlasste seine Ernennung zum Professor am Kolleg der Benediktinerabtei bei Besançon. Neben der Erfüllung der Pflichten seines Amts setzte er seine historischen Forschungen in seiner Freizeit fort. Mit einem Preis gewürdigt wurde Grappins Lösung der von der Akademie zu Besançon in den Jahren 1774 und 1778 vorgelegten Fragen über den Ursprung der Rechte der Toten Hand in den Provinzen des früheren Königreichs Burgund ("Quelle est l’origine des droits de main-morte dans les provinces qui ont composé le premier royaume de Bourgogne", Besançon und Paris 1779) und über das Münzwesen der Grafschaft Burgund ("Recherches sur les anciennes monnaies, poids et mesures du comté de Bourgogne", Besançon und Paris 1782).


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Neben diesen Arbeiten war Grappin schon mehrere Jahre mit seinem Lehrer und Freund Berthod beschäftigt, ein Inventar über alle öffentlichen und Privatarchive der Provinz anzufertigen und von den wichtigsten Urkunden Abschriften zu machen, um sie an ein vom Minister Bertin angeregtes allgemeines Urkundendepot einzusenden. Als Berthod 1784 nach Brüssel abreiste, um dort an der Fortsetzung der durch die Aufhebung des Jesuitenordens unterbrochenen "Acta Sanctorum" teilzunehmen, setzte Grappin allein die Aufnahme und Ausbeutung der Archive fort, wofür er vom Minister wiederholte Belobigungsschreiben erhielt. Durch Berthods Abgang war eine Stelle in der Akademie von Besançon freigeworden, die Grappin übertragen bekam. Dieser rechtfertigte seine Wahl durch mehrere gediegene Vorträge, unter denen vor allem eine auch gesondert gedruckte Abhandlung über den Kardinal Granvelle und dessen Teilnahme an den Unruhe in den Niederlanden ("Mémoire historique, où l’on essaie de prouver que le cardinal de Granvelle n’eut point de part aux troubles des Pays-Bas dans le seizième siècle", Besançon 1788) erwähnenswert ist. Er hatte die Bedeutung der erst im 19. Jahrhundert herausgegebenen Memoiren und Staatsschriften des Kardinals für die Geschichte des 16. Jahrhunderts erkannt und dem Minister Bertin deren Veröffentlichung empfohlen, doch konnte der Minister aufgrund des hohen Staatsdefizits nicht die nötigen Finanzmittel dafür aufbringen.


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Zur damaligen Zeit erschienen auch die beiden Jahrgänge von Grappins historischem Taschenbuch von Besançon ("Almanach historique de Besançon et de la Franche-Comté, pour les années 1785 et 1786"), die eine genaue Beschreibung der Städte und Dörfer der Provinz enthalten, sowie die Lobreden auf den Kardinal Jean Jouffroy ("Éloge historique de Jean Jouffroy, cardinal d’Alby, lu à l’académie des sciences de Besançon le 23 avril 1785", Besançon 1785) und den Geschichtsforscher Philippe-André Grandidier ("Éloge historique de M. l’abbé Grandidier", Straßburg 1788).


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Als bei der problematischen Finanzlage Frankreichs über die Einberufung der Reichsstände diskutiert wurde, verlangte der Minister wegen seiner Zweifel an der Zweckmäßigkeit dieser Maßnahme, dass Grappin eine Denkschrift über die alten Stände der Provinz Franche-Comté publizieren solle. Mit dieser ersten Arbeit zufrieden, erteilte ihm der Siegelbewahrer den Auftrag zur Abfassung und Verbreitung mehrerer populärer Schriften, wodurch die öffentliche Meinung auf jene Veränderungen vorbereitet werden sollte, die bei der Besteuerung notwendig vorgenommen werden mussten, aber auf den erbitterten Widerstand der privilegierten Stände stießen. Grappin beschäftigte sich daher nun mit politischen Fragen, einem ihm bis dahin fremd gebliebenen Gebiet. So wurde er allmählich in die Wirren der damals ausgebrochenen Französischen Revolution hineingezogen, in der er zuerst einen energischen Schritt gegen herrschende Missstände sah. Bald registrierte er aber auch deren negativen Auswüchse.


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Grappin leistete den von den Priestern verlangten Bürgereid und wurde zum Metropolitan-Vikar von Besançon ernannt. Er nahm aber keinen Anteil an der Verwaltung der Diözese, sondern zog sich wegen seiner zunehmenden Furcht vor dem Verlauf der Ereignisse in das Haus seiner am Fuß der Vogesen wohnenden Familie zurück, nachdem er in einer Flugschrift gegen die der Geistlichkeit gemachten Vorwürfe Stellung bezogen hatte. Nach der Terrorherrschaft wurde er 1797 von den konstitutionellen Priestern des Départements Haute-Saône auf jene Versammlung geschickt, die den Namen "Nationalkonzil" erhielt. Die Versammlung wählte ihn zu einem ihrer Sekretäre. Dieses Amt versah er auch noch auf dem Konzil von 1801, auf dem er den Abbé Grégoire und die anderen Führer der konstitutionellen Kirche Frankreichs näher kennenlernte und mit denen er von dieser Zeit an einen lebhaften Briefwechsel unterhielt.


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Als der konstitutionelle Bischof Claude Le Coz infolge des 1801 abgeschlossenen Konkordats Erzbischof von Besançon wurde, ernannte er Grappin zu einem seiner Generalvikare und befolgte bei der neuen Einrichtung der Diözese oft dessen Rat. Neben dieser Tätigkeit nahm Grappin seine Studien wieder auf und nutzte seinen Einfluss, um die frühere Akademie von Besançon wiederherzustellen, die ihn zu ihrem ständigen Sekretär ernannte. Er versah trotz seines hohen Alters eifrig dieses Ehrenamt und verfasste nach altem Brauch Lobreden auf mehrere verstorbene Mitglieder. Außerdem teilte er historische Notizen mit über Trouillet, David de St. George, d’Usies, den Pater Chrysologue, de Grandfontaine, Requet, Ronotte, Palliot, Charles und Dom Sornet. Diese Lobreden und Notizen wurden in die Denkschriften der Akademie aufgenommen.


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Nach dem Tod seines Gönners Le Coz (1815) verließ Grappin das Erzbistum, da seine Stellung unangenehm wurde. Fortan beschäftigte er sich nur noch mit gelehrten Studien. Während seines Generalvikariats hatte er eine französische Übersetzung der Schrift Antonio Pereiras über die Macht der Bischöfe ("Traité du pouvoir des évêques", Paris 1803) herausgegeben. Nach dem Tod von Le Coz veröffentlichte er dessen Bemerkungen über La Tour d’Auvergne ("Quelques détails sur Latour d’Auvergne, Corret, premier grenadier de France", Besançon 1815).


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Bald danach zog sich Grappin durch einen unglücklichen Sturz solche bleibenden gesundheitlichen Schäden zu, dass er nur noch selten sein Zimmer verlassen konnte. Er beschäftigte sich nun noch intensiver mit seinen Büchern, lud wissbegierige junge Leute ein, die er zu historischen Studien anfeuerte, und arbeitete zahlreiche Artikel für Fachzeitschriften aus. Am 20. November 1833 starb Grappin, der Mitglied vieler Akademien und literarischer Gesellschaften war, im Alter von 95 Jahren in Besançon.


title: Pierre-Philippe Grappin

text: In seinem Nachlass fanden sich mehrere gut ausgearbeitete historische Schriften aus allen Perioden seines Lebens, darunter:


title: Pierre-Philippe Grappin

text: Grappin versuchte sich auch als Dichter. In der Revolutionszeit gab er mehrere Oden ("Ode à la religion", "Ode aux états-généraux", "Ode contre le duel", "Ode sur la question") heraus. Handschriftlich hinterließ er auf dem poetischen Gebiet ferner "Loisirs du chevalier de ***". Ebenfalls nicht gedruckt wurden seine kleinen Bühnenstücke ("Le nouveau bourgois gentilhomme"; "Le serment civique"; "Le retour à la raison", 1790).


title: Hasenbargbunker

text: Der Hasenbargbunker ist eine ehemalige Postverstärkerstelle bei Groß Wittensee, die seit 2019 als Quartier für Fledermäuse dient.


title: Flughafen Bahía Blanca

text: Der Flughafen Bahía Blanca (offiziell: Aeropuerto Comandante Espora) ist ein argentinischer Flughafen nahe der Stadt Bahía Blanca in der Provinz Buenos Aires. Neben seiner Nutzung als regulärer Verkehrsflughafen wird er auch militärisch genutzt. So ist dort aktuell das Zentrum der argentinischen Marineflieger stationiert.


title: Giulia Zanderighi

text: Giulia Zanderighi (* 1974 in Mailand) ist eine italienische Physikerin. Seit 2019 ist sie Direktorin am Max-Planck-Institut für Physik.


title: Giulia Zanderighi

text: Zanderighi studierte Physik an der Universität Mailand und promovierte an der Università degli Studi in Pavia. Sie forschte am Institute for Particle Physics Phenomenology in der Durham University und am Fermilab in Batavia. 2005 wurde sie Fellow am CERN.


title: Giulia Zanderighi

text: 2007 wechselte sie an die Universität Oxford, zunächst als Juniorprofessorin und Tutorial Fellow im Wadham College. 2010 wurde sie dort Professorin für Physik. 2014 ließ sie sich für fünf Jahre von der Universität Oxford beurlauben, um eine Stelle als Staff Member in der Abteilung für theoretische Physik am CERN anzunehmen. 2019 trat sie ihr Amt als Direktorin am Max-Planck-Institut für Physik an. Dort leitet sie die Abteilung „Innovative Berechnungsmethoden in der Teilchenphysik“.


title: Giulia Zanderighi

text: Zanderighis Forschungsschwerpunkt ist das Gebiet der Beschleuniger-Phänomenologie. Diese theoretische Disziplin untersucht Elementarteilchen und ihre fundamentalen Wechselwirkungen. Sie befasst sich mit theoretischen Vorhersagen für Teilchenkollisionen im Large Hadron Collider (LHC) am CERN. Mit hochpräzisen Berechnungen hat sich Zanderighi einen Namen gemacht. Diese geben Auskunft, welche Ergebnisse bei den Kollisionen zu erwarten sind, zum Beispiel bei der Produktion oder beim Zerfall des Higgs-Bosons.


title: Beatrix von Ragué

text: Beatrix von Ragué (geboren 16. Juli 1920 in Barmen; gestorben 22. Januar 2006 in Bonn) war eine deutsche Kunstwissenschaftlerin und Direktorin des Museums für Ostasiatische Kunst (jetzt Teil des Museums für Asiatische Kunst) in Berlin.


title: Beatrix von Ragué

text: Beatrix von Ragué begann 1939 ein Studium der Bibliothekswissenschaften an der Deutschen Bücherei in Leipzig, das sie 1941 an der Staatsbibliothek Berlin abschloss. 1943 begann sie ein Studium der Kunstgeschichte an der Universität Bonn und dann in Freiburg, das sie aber kriegsbedingt nicht weiterführen konnte. Nach dem Zweiten Weltkrieg setzte von Ragué ihr Studium in Bonn fort und wurde 1950 bei Herbert von Einem mit der Dissertation „Das Verhältnis von Kunst und Christentum bei Philipp Otto Runge“ promoviert.


title: Beatrix von Ragué

text: In den Jahren 1959 bis 1961 bildete sich von Ragué mit einem Stipendium der japanischen Regierung in Japan weiter. Nach ihrer Rückkehr wurde sie 1962 wissenschaftliche Mitarbeiterin bei Roger Goepper am Museum für Ostasiatische Kunst in Berlin. Der Bestand des Museums in der Jebensstraße war durch den Beutezug der russischen Armee 1945 auf wenige hundert Objekte geschrumpft. Als Goepper 1965 nach Köln ging, um dort das Museum für Ostasiatische Kunst zu übernehmen, wurde von Ragué 1966 Direktorin in Berlin.


title: Beatrix von Ragué

text: 1967 konnte von Ragué die Sammlung japanischer und chinesischer Graphik der Kunstbibliothek übernehmen. Damit kam von dort auch die Kunsthistorikerin Steffi Schmidt, die sie von früher kannte, ins Museum. Mit der Fertigstellung des neuen Museumskomplexes in Dahlem 1971 konnten endlich repräsentative Räume bezogen werden. Von Ragués Augenmerk galt auch der Bibliothek, die sie zu einer der besten Fachbibliotheken in Deutschland ausbaute.


title: Beatrix von Ragué

text: Frau von Ragué gelang es während ihrer Amtszeit, die Sammlung um bedeutende Neuerwerbungen zu erweitern. Ein Beispiel ist das Reisethron-Ensemble des Kaisers Kangxi (1654–1722), ein weiteres die mit rotem Schnitzlack verzierte Fußbank aus der Zeit des Kaisers Yongle, der von 1403 bis 1424 regierte. Ein Beispiel für die Erweiterung der japanischen Bestände ist das Hängerollen-Paar „Drache und Tiger“, geschaffen von Oguri Sōritsu.


title: Beatrix von Ragué

text: 1983 wurde von Ragué mit dem Bundesverdienstkreuz ausgezeichnet. 1985 trat sie in den Ruhestand.


title: Kardashian (Familie)

text: Die Kardashian-Jenner-Familie, vor allem als Kardashian-Familie oder Kardashians bekannt, ist eine US-amerikanische Patchworkfamilie. In den Vereinigten Staaten zählen die als Influencer, Unternehmer und Fernsehdarsteller tätigen Familienmitglieder derzeit zu den bekanntesten Familien überhaupt.


title: Kardashian (Familie)

text: Der Erfolg der Familie gründet sich vor allem in der Vermarktung der eigenen Privatsphäre und einer daraus resultierenden hohen Medienpräsenz. Neben der medialen Selbstdarstellung haben die Familienmitglieder teilweise sehr erfolgreiche Unternehmen aufgebaut. Kylie Jenner galt durch den Erfolg ihres Kosmetikunternehmens Kylie Cosmetics zeitweise als jüngste Selfmade-Milliardärin in der Geschichte. Das gesamte Vermögen der Familie wird auf 1,4 Milliarden US-Dollar geschätzt. Die 2007 gestartete Reality-Show Keeping Up with the Kardashians handelt von Erlebnissen der Familienmitglieder und wird seit März 2021 in der 20. Staffel ausgestrahlt.


title: Kardashian (Familie)

text: Robert Kardashian heiratete 1978 Kris Houghton, heute bekannt als Kris Jenner. Aus der Ehe gingen die Kinder Kourtney, Kim, Khloé und Rob hervor. 1991 ließ sich das Paar scheiden. Als Verteidiger im Strafprozess gegen O. J. Simpson erlangte Robert Kardashian erstmals nationale Bekanntheit. Er starb 2003 im Alter von 59 Jahren an Speiseröhrenkrebs. 1991 heiratete Kris Jenner den Olympia-Sportler Bruce Jenner, die heute als Caitlyn Jenner bekannt ist. Das Paar bekam die Kinder Kendall und Kylie.


title: Kardashian (Familie)

text: Kim Kardashian trat ab 2003 in der Reality-Show "The Simple Life" von Paris Hilton auf und fungierte als ihre Assistentin, wodurch sie erstmals größere Aufmerksamkeit erfuhr. 2006 eröffneten die Kardashian-Schwestern Khloé, Kim und Kourtney in Los Angeles ihre erste Modeboutique DASH. Größere Aufmerksamkeit erlangte Kim Kardashian 2007, als ein privates Sexvideo mit ihrem ehemaligen Freund Ray J an die Öffentlichkeit gelangte. Wenige Monate später startete die Reality-Show "Keeping Up with the Kardashians". Die Sendung zeigt Einblicke in das Leben der Kardashian-Jenner-Familie. Erst Kris Jenner ermöglichte das Format, indem sie den US-amerikanischen Moderator Ryan Seacrest dazu überredete, die Sendung zu produzieren. Sie schien dabei sehr bewusst Kim Kardashians mediale Aufmerksamkeit durch das veröffentlichte Sexvideo zu nutzen, um die Fernsehsendung starten zu können.


title: Kardashian (Familie)

text: Die eigene Fernsehsendung der Familie blieb durch intensive Vermarktung mit Ereignissen wie den zahlreichen Geburten der Kardashian-Jenner-Schwestern und der Hochzeit von Kim Kardashian und Kanye West trotz des langen Ausstrahlungszeitraums im Fokus der Öffentlichkeit. Parallel nahm auch die Bedeutung der sozialen Medien für die Vermarktung der Familie mit den Jahren zu. Mit Kylie Jenner und Kim Kardashian gehörten im März 2020 die Instagramkonten zweier Familienmitglieder zu den zehn beliebtesten weltweit. Drei Mitglieder der Kardashian-Jenner-Familie gehören gleichzeitig zu den zehn Personen weltweit, die am meisten mit Produktwerbung auf Instagram verdienen. Seither haben die Familienmitglieder unterschiedliche Unternehmen aufgebaut. Die erfolgreichste Unternehmensgründung ist dabei der Kosmetikhersteller Kylie Cosmetics von Kylie Jenner im Jahr 2015. Kim Kardashian wirkte bei der 2014 veröffentlichten App "Hollywood" mit, mit der sie einen großen Teil ihrer Einnahmen generiert. Die erfolgreiche Vermarktung der Familie in den letzten Jahrzehnten wird zu großen Teilen Kris Jenner zugeschrieben, die als ausführende Produzentin der Familien-Reality-Show und Managerin ihrer Töchter aktiv ist. Im September 2020 gab Kim Kardashian bekannt, dass 2021 die letzte Staffel der Familien-Reality-Show "Keeping Up with the Karadashians", die die Familie weltweit berühmt machte, ausgestrahlt wird. Quelle: "Kardashian Family Tree: Who's who in America's most famous family" (2020)


title: Olga Brückner

text: Olga Elsa Brückner (* 25. Dezember 1899 in Sonneberg; † 22. April 1980 ebenda) war eine deutsche Politikerin (SPD, SED).


title: Olga Brückner

text: Olga Brückner besuchte die Volksschule in Sonneberg von 1906 bis 1914. Danach arbeitete sie bis 1919 als Näherin in der Sonneberger Spielwarenindustrie, u. a. bei Fa. Carl Heumann, in der Kriegsnähstube und bei Fa. Bierschenk.


title: Olga Brückner

text: Zwischen 1919 und 1923 und wieder ab 1925 arbeitete sie in den Siemens-Schuckert-Werken in Sonneberg zunächst als Montiererin, später als Silberlagerverwalterin und als technische Angestellte. Zeitweise war sie Betriebsratsvorsitzende. Von 1923 bis 1925 war sie Bürogehilfen beim Fabrikarbeiterverband in Sonneberg.


title: Olga Brückner

text: Nach dem Zweiten Weltkrieg wurde sie 1946 Kreisfrauenreferentin beim Kreisamt in Sonneberg, ehe sie 1949 bis Ende 1950 die Stelle der Personalleiterin übernahm.


title: Olga Brückner

text: Brückner engagierte sich auch in Gewerkschaften. So war sie 1918 bis 1927 Mitglied des Fabrikarbeiterverbandes, 1927 bis 1933 Mitglied im Zentralverband der Angestellten und 1933 bis 1945 Mitglied der DAF. 1945 wurde sie Mitglied im FDGB, 1946 in der KG, 1947 im DFD und in der Gesellschaft für Deutsch-Sowjetische Freundschaft, in der sie 1950 bis 1952 Kreisvorsitzende war. 1951 wurde sie Mitglied im Kulturbund der DDR und 1962 ehrenamtliche Vorsitzende des Friedensrates im Kreis Sonneberg.


title: Olga Brückner

text: Schon im Jugendalter wurde Brückner 1914 Mitglied in der SAJ, ehe sie 1918 in die SPD eintrat. Bis 1933 übte sie verschiedene Vorstandsämter in der SPD Sonneberg aus. 1946 wurde Brückner Mitglied der SED, in der sie bis 1969 Sekretariats- bzw. Kreisleitungsmitglied in Sonneberg war.


title: Olga Brückner

text: Von Dezember 1950 bis Dezember 1951 war Olga Brückner Bürgermeisterin der Stadt Sonneberg, dann bis August 1952 Landrätin des Landkreises Sonneberg und schließlich bis April 1960 Vorsitzende des Rates des Kreises Sonneberg, der nach der Kreisreform in der DDR 1952 einen verkleinerten Landkreis Sonneberg darstellte.


title: Olga Brückner

text: Brückner war von 1946 bis 1960 Mitglied des Kreistages Sonneberg und von 1946 bis 1950 Mitglied im Thüringer Landtag in der ersten Wahlperiode.


title: Olga Brückner

text: Olga Brückner erhielt eine Reihe von Auszeichnungen: 1944 eine Kriegsverdienstmedaille, 1959 den Vaterländischen Verdienstorden in Bronze, 1975 in Silber und 1959 die Verdienstmedaille der DDR.


title: Olga Brückner

text: Brückner sollte 1963 für das Ministerium für Staatssicherheit Inhaberin einer Konspirativen Wohnung werden, nach über einem Jahr ohne Ergebnis (es war keine Einigung mit Brückner möglich) wurde dieser Plan jedoch fallen gelassen.


title: Heidi Nordby Lunde

text: Heidi Nordby Lunde (* 3. Februar 1973 in Oslo) ist eine norwegische Politikerin der konservativen Partei Høyre. Seit 2013 ist sie Abgeordnete im Storting.


title: Heidi Nordby Lunde

text: Lunde wurde als Autorin, Moderatorin und Rednerin bekannt. Als Bloggerin war sie mit dem Pseudonym "VamPus" aktiv. Im Jahr 2005 erhielt sie dafür den Bloggerpreis "Gullbloggen" und sie begründete ihren Gebrauch eines Pseudonyms unter anderem damit, dass ihr Arbeitgeber nicht mit ihren Beiträgen in Verbindung gebracht werden sollte. Lunde befasste sich unter anderem mit digitalen und sozialen Medien. Ab 2003 arbeitete sie in unterschiedlichen Positionen in der Medienbranche. Im Jahr 1993 war sie als Mitglied der Fremskrittspartiet (FrP) im Wahlkampf um einen Sitz im norwegischen Nationalparlament Storting angetreten, verfehlte diesen allerdings. Später wechselte sie zur konservativen Partei Høyre.


title: Heidi Nordby Lunde

text: Bei der Parlamentswahl 2013 verpasste sie erneut den direkten Einzug ins Storting und sie wurde sogenannte Vararepresentantin, also mögliche Ersatzabgeordnete. Lunde übernahm so ab Oktober 2013 den Platz ihrer Parteikollegin Ine Marie Eriksen Søreide, die als Mitglied der Regierung ihr Mandat für die restliche Legislaturperiode ruhen lassen musste. Lunde wurde Mitglied im Finanzausschuss. Bei der Wahl 2017 zog sie schließlich für den Wahlkreis Oslo direkt ins Parlament ein und sie wechselte in den Arbeits- und Sozialausschuss. Dort fungierte sie für die gesamte Legislaturperiode als stellvertretende Vorsitzende.


title: Heidi Nordby Lunde

text: Im Oktober 2017 übernahm sie den Vorsitz der pro-europäischen Bewegung Europabevegelsen. Im Januar 2018 wurde sie zur neuen Vorsitzenden ihrer Partei Høyre in Oslo gewählt. Nach der Stortingswahl 2021 wechselte Lund in den Finanzausschuss.