title: Armenischer Fußballpokal 2001

text: Der Pokal wurde in vier Runden ausgetragen. Bis zum Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei Torgleichstand entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore, danach eine Verlängerung, wurde in dieser nach zweimal 15 Minuten keine Entscheidung erreicht, folgte ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. Das Finale wurde in einem Spiel in Jerewan ausgetragen.


title: Armenischer Fußballpokal 2002

text: Der armenische Fußballpokal 2002 war die elfte Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2002

text: 16 Mannschaften waren startberechtigt. Der FC Pjunik Jerewan gewann zum zweiten Mal den Pokal. Im Finale wurde der FC Zvartnots-AAL Jerewan mit 2:0 bezwungen.


title: Armenischer Fußballpokal 2002


title: Armenischer Fußballpokal 2003

text: Der armenische Fußballpokal 2003 war die zwölfte Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2003

text: 16 Mannschaften waren startberechtigt. MIKA Aschtarak gewann zum dritten Mal den Pokal. Im Finale wurde der FC Banants Jerewan mit 1:0 bezwungen. MIKA nahm damit am UEFA-Pokal teil.


title: Armenischer Fußballpokal 2003


title: Georg Ludwig Oeckler

text: Georg Ludwig Oeckler (* 29. Januar 1918 in Langquaid; † 1. Januar 2004 in Schwenningen) war ein deutscher Arzt und Politiker der SPD, der von 1954 bis 1962 dem Bayerischen Landtag angehörte.


title: Georg Ludwig Oeckler

text: Nach dem Besuch des Humanistischen Gymnasiums in Straubing trat er freiwillig in den Reichsarbeitsdienst sowie den aktiven Wehrdienst bei der Luftwaffe ein. Später studierte er Medizin an den Universitäten in München, Straßburg und Innsbruck. Im Oktober 1939 wurde er in den Kriegsdienst eingezogen, zeitweilig wurde er jedoch zur Fortsetzung seines Studiums abkommandiert. Er schloss mit Staatsexamen und Promotion ab, besuchte anschließend die Kriegsschule und war als Hilfsarzt in verschiedenen Luftwaffenlazaretten tätig, zuletzt als Truppenarzt in einem Nachtjagdgeschwader. Im April 1945 geriet er bei Bad Kreuznach in amerikanische Kriegsgefangenschaft. Nach seiner Entlassung ließ er sich als praktischer Arzt und Geburtshelfer in Lappersdorf nieder. Später lebte und wirkte er in Wasserburg am Bodensee.


title: Georg Ludwig Oeckler

text: Oeckler trat 1946 in die SPD ein, für die er dem Kreistag des Landkreises Regensburg angehörte. Ebenfalls war er seit Bestehen Mitglied des Bayerischen Landesgesundheitsrates und seit 1954 dessen stellvertretender Vorsitzender. Im selben Jahr wurde er bei der Landtagswahl über ein Mandat im Wahlkreis Oberpfalz in den Bayerischen Landtag gewählt. 1958 wurde er wiedergewählt und gehörte dem Parlament bis 1962 an.


title: Ausstellung des sächsischen Handwerks und Kunstgewerbes 1896

text: Die Ausstellung des sächsischen Handwerks und Kunstgewerbes in der sächsischen Residenzstadt Dresden fand vom 20. Juni bis zum 28. September 1896 statt. Sie lehnte sich an ähnliche Ausstellung dieser Zeit im Deutschen Reich an. Das Außengelände, das die Bezeichnung "Die alte Stadt" trug, beeinflusste nachhaltig die Ausprägung der späthistoristischen Architektur in der Stadt Dresden.


text: Die Ausstellung, die hauptsächlich vom Dresdner Kunstgewerbeverein organisiert worden war, fand im neueröffneten Ausstellungspalastes der Stadt Dresden an der Südostecke des Straßburger Platzes und vor allem auf dessen Außengelände statt. Dort war eine "alte Stadt" sowie auch eine alte Dorfanlage größtenteils detailgetreu nachgebaut worden, die begehbar waren. Um einen Marktplatz mit Brunnen gruppierten sich ein altertümliches Rathaus mit Ratskeller, ein hoher Stadtturm, der Gasthof "Adler" und der "Winkelkrug" sowie mehrere Brau- und Bürgerhäuser. Dem Dorf waren u. a. ein wendisches Bauernhaus, ein Pillnitzer Haus, ein Spreewaldhaus und eine Windmühle zu sehen. Daneben gab es ein von Arnošt Muka konzipiertes "Wendisches Volks-Museum", dessen Sammlung die Grundlage für das spätere Wendische Museum in Bautzen bilden sollte. Am Wassergraben, über den eine Brücke führte, war ein Belvedere nachgebildet. Ferner war auch des Wilsdruffer Tor und die Torgasse in Dresden nachgebildet worden.


text: Die Eröffnung der Ausstellung nahm am 20. Juni 1896 der sächsische König Albert vor, unter dessen Protektorat sie stand. Die Ausstellung wurde ein großer Publikumserfolg, denn die Bauten aus einer längst vergangenen Zeiten hatten nicht nur für die Dresdner eine große Anziehungskraft.


title: Rewa River

text: Rewa River ist die Bezeichnung der Flüsse:


title: Rewa River

text: sowie der alte Name des Flusses


title: Armenischer Fußballpokal 2004

text: Der armenische Fußballpokal 2004 war die 13. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2004

text: 18 Mannschaften nahmen teil. FC Pjunik Jerewan gewann zum dritten Mal den Pokal. Im Finale wurde der FC Banants Jerewan nach Elfmeterschießen besiegt. Banants war als unterlegener Finalist für den UEFA-Pokal qualifiziert, da Double-Sieger Pjunik bereits für die Champions League gemeldet hatte.


title: Armenischer Fußballpokal 2004

text: Der Pokal wurde einschließlich der Qualifikation in fünf Runden ausgetragen. War ein Spiel nach Ablauf der regulären Spielzeit unentschieden, wurde es um zweimal 15 Minuten verlängert. War auch nach der Verlängerung keine Entscheidung gefallen, so wurde der Sieger der Begegnung im Elfmeterschießen ermittelt.


title: Armenischer Fußballpokal 2004

text: Vom Achtel- bis Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei diesen Begegnungen entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore.


title: Armenischer Fußballpokal 2005

text: Der armenische Fußballpokal 2005 war die 14. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2005

text: 17 Mannschaften nahmen teil. MIKA Aschtarak gewann zum vierten Mal den Pokal. Im Finale wurde der FC Kilikia Jerewan mit 2:0 besiegt. MIKA nahm am UEFA-Pokal teil.


title: Armenischer Fußballpokal 2005

text: Der Pokal wurde einschließlich der Qualifikation in fünf Runden ausgetragen. Bis zum Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei Torgleichstand entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore, danach eine Verlängerung, wurde in dieser nach zweimal 15 Minuten keine Entscheidung erreicht, folgte ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. Das Finale wurde in einem Spiel in Jerewan ausgetragen.


title: Mark Peskanov

text: Mark Peskanov (* um 1958 in Odessa) ist ein US-amerikanischer Geiger russischer Herkunft.


title: Mark Peskanov

text: Peskanov besuchte die Musikschule von Pjotr Stoljarski, bevor er 1973 fünfzehnjährig in die USA auswanderte. Dort setzte er seine Ausbildung beim AMFD und an der Juilliard School bis 1978 fort und gewann bald die Aufmerksamkeit von Isaac Stern und Mstislaw Rostropowitsch. Mit großem Erfolg debütierte er mit dem Chicago Symphony Orchestra und in der Carnegie Hall.


title: Mark Peskanov

text: Es folgten Auftritte mit namhaften Orchestern der USA, Europas, des Mittleren Ostens, Australiens, Südamerikas und Japans, und Peskanov wurde mit dem "Avery Fischer Career Grant", dem "Frederick R. Mann Award" und dem "Isaac Stern Award" der Carnegie Hall ausgezeichnet. Sein besonderes Interesse gilt der zeitgenössischen Musik, und er spielte die Uraufführungen von John Williams' Violinkonzert mit dem St. Louis Symphony Orchestra und von Stanley Wolfes ihm gewidmeten Violinkonzert mit dem New York Philharmonic Orchestra.


title: Mark Peskanov

text: Er gab mit Yo-Yo Ma und Isaac Stern das Konzert zur Eröffnung der Suntory Hall in Tokio und mit Stern, Midori und Gil Shaham das Eröffnungskonzert für die "Weill Recital Hall" in New York. Seit 1995 ist er Präsident und künstlerischer Leiter von "Bargemusic", der schwimmenden Konzerthalle unter der Brooklyn Bridge, für die er jährlich mehr als 200 Konzerte organisiert.


title: Armenischer Fußballpokal 2006

text: Der armenische Fußballpokal 2006 war die 15. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2006

text: 12 Mannschaften, davon vier Reserveteams nahmen teil. Titelverteidiger MIKA Aschtarak gewann zum fünften Mal den Pokal. Im Finale wurde der FC Pjunik Jerewan mit 1:0 besiegt. MIKA nahm am UEFA-Pokal teil.


title: Armenischer Fußballpokal 2006

text: Der Pokal wurde in vier Runden ausgetragen. Bis zum Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei Torgleichstand entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore, danach eine Verlängerung, wurde in dieser nach zweimal 15 Minuten keine Entscheidung erreicht, folgte ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. Das Finale wurde in einem Spiel in Jerewan ausgetragen.


title: Armenischer Fußballpokal 2006

text: Folgende Vereine hatten ein Freilos: FC Banants Jerewan, FC Kilikia Jerewan, MIKA Aschtarak und FC Pjunik Jerewan.


title: Ho-Chi-Minh-Philosophie

text: Die Ho-Chi-Minh-Philosophie (Vietnamesisch: "Tư tưởng Hồ Chí Minh)", auch Ho-Chi-Minh-Ideologie genannt, ist eine politische Philosophie, die auf Marxismus-Leninismus und der Ideologie von Ho Chi Minh basiert. Sie wurde durch die Kommunistische Partei Vietnams 1991 erstmals formalisiert und festgelegt. Damit wird ein breites Spektrum von Politiken und Theorien im Zusammenhang von Marxismus-Leninismus zusammengefasst und angepasst an vietnamesische Verhältnisse. Dabei fließen die Bedingungen des vietnamesischen Freiheitskampfes (Indochinakrieg und Vietnamkrieg) und damit zusammenhängenden sozialen Begebenheiten und Veränderungen ein. Die kommunistische Partei Vietnams schreibt sämtliche Siege im Kampf um die Unabhängigkeit diesem Gedankengut zu, versteht es als Anleitung und nutzt es als Parteilinie. Trotz des Namens stammt diese Ideologie nicht rein von Ho Chi Minh, sondern ist von der Kommunistischen Partei Vietnams im Laufe der Zeit erweitert worden.


title: Ho-Chi-Minh-Philosophie

text: Grundsätzlich ist die Ideologie von Ho Chi Minh aufgrund seiner Herkunft, durch die vietnamesische Kultur und aufgrund seiner Jahre im Exil durch die Ideen der Französischen Revolution und den Marxismus-Leninismus beeinflusst. Aufgrund des hohen Anteils an ländlicher Bevölkerung und des niedrigen Industrialisierungsgrades sah Ho Chi Minh nicht die Arbeiterklasse als Hauptträger der Revolution, sondern den Bauernstand (vergleichbar zum Maoismus in China).


title: Ho-Chi-Minh-Philosophie

text: Die Ideologie basiert auf:Als Sohn eines konfuzianischen Gelehrten setzte er sich sein ganzes Leben lang mit dem Konfuzianismus auseinander. Obwohl er sich offen gegen die Ethik des Konfuzianismus aussprach, begründen einige Historiker, dass eben jene konfuzianistischen Werte ein Element in Ho Chi Minhs Moral waren und nach wie vor in der Linie der Partei sind. Dies widerspricht jedoch den offiziellen Aufzeichnungen der vietnamesischen kommunistischen Partei und Ho Chi Minhs.


title: Ho-Chi-Minh-Philosophie

text: Ho Chi Minhs Aufzeichnungen nach 30 Jahren konfuzianistischer Lehren schlussfolgern schließlich: Die Ho-Chi-Minh-Philosophie, wie sie von der vietnamesischen kommunistischen Partei definiert ist, sieht als Kernpunkte:Eng verbunden mit der Ho-Chi-Minh-Philosophie ist die kommunistische Partei das Zentrum des nationalen Befreiungskampfes. Die Philosophie argumentiert, dass zwar revolutionäre Gewalt und humanitärer Frieden sich widersprechen, der Ausgang ihres Kampfes jedoch würde Frieden, Freiheit und nationale Selbstbestimmung bringen.


title: Ho-Chi-Minh-Philosophie

text: In Bezug auf Sozialismus und Wirtschaft sieht die Ideologie Folgendes zum Aufbau und zu den Charakteristika der sozialistischen Gesellschaft vor: Es wird dabei hervorgehoben, dass der Übergang zum Sozialismus schrittweise erfolgen muss. Ähnlich wie beim Sozialismus mit chinesischen Charakteristiken, wird die Entwicklung der Produktivität mit der Entwicklung des Sozialismus verbunden.


title: Ho-Chi-Minh-Philosophie

text: Laut Ho Chi Minh befand sich die vietnamesische Wirtschaft in schlechter Verfassung, als der Übergang zum Sozialismus begann; eine veraltete, stark agrarische Wirtschaft, die noch nicht der kapitalistischen Entwicklung unterzogen war. Ho Chi Minh selbst achtete besonders auf die fundamentalen Widersprüche der Übergangszeit, zwischen notwendiger Modernisierung und Entwicklung sowie den sozio-ökonomischen Bedürfnissen der Arbeiter und Bauern. In der Ideologie wird auch betont, dass man aus den Erfahrungen anderer Länder Lehren ziehen und Hilfe von außen annehmen soll.


title: Ho-Chi-Minh-Philosophie

text: Ho Chi Minh selbst vertrat den Standpunkt, dass der Übergang 1954 begann. Er war überzeugt, dass nach wie vor ein „demokratisches Regime unter der Macht des Volkes“ und nicht der Sozialismus herrschte. Als wichtigster Punkt im Aufbau des Sozialismus ist der Ausbau der staatlichen Industrie, da man nur so den Sozialismus stärken kann. Gelingt das nicht, dann scheitert der Übergang.


title: Ho-Chi-Minh-Philosophie

text: Eine Besonderheit in der Ho-Chi-Minh-Philosophie ist die hohe Stellung von persönlicher Moral und Ethik. Die persönlichen Werte Ho Chi Minhs werden durch die Partei verbreitet und Parteimitglieder sollen nach diesem Vorbild die folgenden Werte vertreten:


title: Ho-Chi-Minh-Philosophie

text: Zentral in diesen Werten gilt es, ein bescheidenes und immaterielles sowie dem Sozialismus und dem Gemeinwohl verschriebenes – Ho Chi Minh hat in seinem Leben den Individualismus kritisiert – Leben zu leben. Die persönliche Moral von Ho Chi Minh wird in vietnamesischen Schulen in Pflichtfächern behandelt und vermittelt.


title: Ho-Chi-Minh-Philosophie

text: Beim siebten Nationalkongress der kommunistischen Partei Vietnams wurden Marxismus-Leninismus und die Ho-Chi-Minh-Philosophie als Basis der Parteilinie festgelegt. Seit dem Kongress wird an allen Universitäten in jeder Fakultät verpflichtend die Ho-Chi-Minh-Ideologie gelehrt. Die formelle Ausbildung dazu geschah ab 1997 an der Universität von Hanoi. Es gibt einige Abhandlungen zu diesem Thema von Weggenossen Ho Chi Minhs, darunter z. B. Vo Nguyen Giap.


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Nichts ist, wie es scheint ist eine Studie von Michael Butter, die 2018 veröffentlicht wurde. Butter analysiert in dieser Publikation die allgemeinen Merkmale und Mechanismen von Verschwörungstheorien.


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Dorothee Riese und Johannes M. Kies resümieren in ihrer socialnet-Rezension die fünf Kapitel seines Buches, die jeweils einen Aspekt des Themas darstellen: Verschwörungstheorien werden im ersten Kapitel klassifiziert als solche von oben (Regierung) oder unten (Bevölkerung), innen (Inland) oder außen (Ausland). Butter differenziere außerdem reale Theorien der Verschwörung (begrenzte räumliche und zeitliche Reichweite, überschaubarer Täterkreis, Beispiel Watergate) von irrealen Verschwörungstheorien (zeitlich und räumlich allumfassend, unüberschaubarer Kreis von Verantwortlichen).


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Im zweiten Kapitel untersuche Butter Methoden, die dazu dienen, einen Schein von Seriosität zu vermitteln, und stellt finanzielle Interessen als häufiges Motiv hinter der Theoriebildung und -verbreitung dar. Kapitel drei untersuche die Motive von Menschen, an Verschwörungstheorien glauben zu wollen: Unterlegenheitsgefühle, Gruppenkohäsion und Identitätsbildung. Basis sei oft ein sehr traditionelles Weltbild, das die Komplexität der modernen Welt nicht verstehe und weiterhin von der Bedeutung einzelner Akteure und ihrer Absichten ausgehe. In den letzten beiden Kapiteln werde die historische Entwicklung nachgezeichnet und die Bedeutung des Internets dargestellt. Als Maßnahmen zum Schutz vor Verschwörungstheorien empfehle Butter "historical literacy, media literacy" und "social literacy".


title: Nichts ist, wie es scheint

text: In der "Politischen Vierteljahresschrift" lobt Eva Marlene Hausteiner Butters begriffliche Differenzierung und seine gehaltvollen Fallstudien zu Eva Herman, Donald Trump und zu Daniele Gansers „Wissenschaftlichkeitssimulationen“. Kritisch sieht sie jedoch die enge Auslegung des Verschwörungsbegriffs (Konzentration auf einzelne Ereignisse und Institutionen), die offen lasse, ob Verschwörungstheorien nicht auch gelegentlich reale „Verschwörungen“ einer Regierung entlarven und so eine machtkritische Waffe im Dienste demokratischer Transparenz darstellen könnten.


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Überrascht ist sie von Butters Angleichung der Verschwörungstheorien an wissenschaftliche Theorien: „Zwar unterschieden sich Verschwörungstheorien von aktuellen wissenschaftlichen Theorien nicht zuletzt durch ihr unterkomplexes Weltbild und Kausalitätsverständnis, doch beide seien sinnstiftend, komplexitätsreduzierend und durchaus, entgegen mancher Deutungen, falsifizierbar“.


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Kontrovers findet Hausteiner die Thesen Butters über Stigmatisierung und Bedeutungsverlust der Verschwörungstheorien und die behauptete nicht empirische, aber funktionale Allianz mit dem Populismus. Hausteiner relativiert die Bildungstherapie Butters (historical, media, and social literacy): „Die AnhängerInnen eines verschwörungstheoretisch angereicherten Populismus sind nicht sämtlich bildungsfern, und auch ein Bildungshintergrund schützt nicht automatisch vor der Versuchung schlichter Feindbilder. Verschwörungstheorien machen nicht allein als Wissensform Politik, sondern auch als emotionale Ressource, der mit Rationalität und Gegenwissen nicht allein beizukommen sein wird.“


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Gelegentlich laufe der Autor auch Gefahr, so Hausteiner, die „Spezifik verschwörungstheoretischer Elemente“, die sprachlichen Ausdrucksformen des verschwörungstheoretischen Stils, zu überschätzen.


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Anton und Schink stellen in ihrer Rezension 2019 kritisch die Defizite der „griffigen“ Definition Butters und Michael Barkuns heraus, ihre Merkmalszuschreibungen seien analytisch letztlich wertlos, da sie sich auf unbestimmbare Größen („Nichts“, „Alles“) bezögen. Das größte Manko stelle Butters äußerst enge Definition von Verschwörungstheorien dar, nach der es ein wesentliches Merkmal verschwörungstheoretischer Deutungen ist, dass sie immer falsch sind.


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Die „essentialistische“ Herangehensweise führe Butter in offene Widersprüche, etwa wenn er schreibt, dass sich sogenannte Ereignisverschwörungstheorien vielleicht doch als wahr herausstellen könnten. Sein Verständnis führe ihn zur Tautologie: Da Verschwörungstheorien immer falsch seien, habe sich auch noch nie eine Verschwörungstheorie im Nachhinein als wahr herausgestellt. Die Rezensenten kritisieren die einseitige Auswahl von Sekundärliteratur, da etwa George Cubitt nur verkürzt, andere gar nicht berücksichtigt wurden. Jack Bratich sei missverstanden worden.Insgesamt entsteht der Eindruck, dass das Werk mit heißer Nadel gestrickt wurde und dem Autor nicht genügend Zeit blieb, um auf elementare Begriffsarbeit, Tiefenschärfe und logische Stringenz zu achten. Lesenswert ist es aber allein schon deshalb, weil es aktuell eine zentrale Referenz in der deutschsprachigen wissenschaftlichen Diskussion über Verschwörungstheorien bildet und vermutlich auch künftig bilden wird.


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Tobias Sedelmaier von der NZZ findet die Darstellung Butters erhellend. Er arbeite Grundkonstanten der Verschwörungstheorien heraus, zu denen neben Heimlichkeit und Absicht als dritte Komponente ein absolutes manichäisches Gut-Böse-Schema gehöre. Am Anfang stehe stets die Frage „cui bono“ (Wem nutzt es)? Verschwörungstheoretiker seien damit, so Sedelmaier, „gedankliche Geisterfahrer, die den Weg der Deduktion als Einbahnstrasse nutzen“. Das utopische Element dieser Theorien liege darin, durch Vereinfachung der Tatsachen (Komplexitätsreduktion) den falschen Glauben zu erzeugen, Menschen könnten aktiv etwas an den Verhältnissen ändern: „Die Reduktion einer sonst kaum aufzulösenden Komplexität suggeriert Handlungsfähigkeit. Wenn statt diffiziler geostrategischer, kultureller und sozialer Prozesse in erster Linie Angela Merkel an der Flüchtlingskrise in Deutschland schuld ist, so kann aktiv dagegen etwas unternommen werden, etwa die Verweigerung ihrer Wahl.“ Noch wesentlicher zur Bestimmung der Verschwörungstheorien ist nach Sedelmaiers Auffassung die Fehleinschätzung zeitlicher und personeller Dimensionen. Bestimmend sei hier der Glauben, einzelne Akteure stünden hinter den Verschwörungen und ihre Machenschaften könnten jahrzehntelang geheimgehalten werden.


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Helmut Mayer (FAZ) geht von der Migrationsthematik aus, die er als Anlass zu Verschwörungstheorien sieht, und mahnt mit Butter zur Vorsicht, hohe Umfragewerte zugunsten dieser Theorien fehlzuinterpretieren. In Wirklichkeit drückten diese Werte oft nur Verunsicherung aus, aber noch keine Zustimmung zu expliziten Theorien einer „Gruppe untereinander verständigter, hinter den Kulissen agierender Strippenzieher“. Populistische Anprangerung von Eliten sei per se noch keine Verschwörungstheorie. Mayer schätzt Butters Untersuchung, da sie für solche Differenzierungen den Sinn schärfe. Er stellt weiter dar, dass Butter den Eindruck weitflächiger Zustimmung vor allem auf Effekte der Propagierung im Internet zurückführt und damit relativiert. Die mediale Resonanz verschleiere, dass Verschwörungstheorien als ungerechtfertigte Wissensansprüche stigmatisiert seien, „während sie bis in die ersten Jahrzehnte des vorigen Jahrhunderts – zumindest in Europa und den Vereinigten Staaten – als legitime Formen behaupteten Wissens auftreten konnten“.


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Der "Zeit"-Rezension von Tobias Haberkorn zufolge revidiert Butter ein Stück weit die „klassische Deutung des Konspirationsglaubens als eine(r) geistige(n) Pathologie“, wie sie Richard Hofstadter in seiner Schrift über den paranoiden Stil entwickelt habe. Verschwörungstheorien seien für Butter „stigmatisiertes Wissen“, das wissenschaftlich nachweisbar falsch sei, damit aber noch nichts über die psychologische Funktion für ihre Anhänger, über ihre kulturelle Bedeutung und ihre Geschichte aussage. Verschwörungstheoretiker verabsolutieren Butters Auffassung nach übliche wissenschaftliche Vorgehensweisen auf völlig unrealistische Weise, indem sie etwa die Einflussmöglichkeiten einzelner Personen oder Gruppen auf den Lauf der Geschichte überschätzten („Nichts geschieht durch Zufall“) oder tatsächliche Interdependenz zu totaler kausaler Determination übertrieben („Alles ist miteinander verbunden“). Der falsche Schein unfertiger Darstellungen von Sachverhalten sei für Verschwörungstheoretiker nicht Ausdruck von Unkenntnis, sondern Täuschungsabsicht („Nichts ist, wie es scheint“). Diese drei Eigenschaften wie auch die Typologie hatte schon Michael Barkun herausgearbeitet, auf den sich Butter häufig bezieht.


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Butter unterscheide gefährliche von ungefährlichen Theorien und warne vor „Verschwörungspanik“: Uneinigkeit über die Funktionsweise der Welt und der Gesellschaft gebe es auch zwischen Menschen, die nicht an Verschwörungstheorien glaubten, und dies sei „für die Demokratie am Ende bedrohlicher“. Verschwörungstheorien seien ein „Indiz für die demokratiegefährdende Fragmentierung der Gesellschaft“.


title: Nichts ist, wie es scheint

text: Nach Butter waren Verschwörungstheorien in der Vergangenheit viel verbreiteter als heute, sie seien üblicher Bestandteil offizieller Politik gewesen, wie etwa Abraham Lincolns Theorie einer Verschwörung der Sklavenhalter. Philipp Schnee vom Deutschlandfunk stimmt dieser Darstellung grundsätzlich zu, sie wirke jedoch stellenweise wie ein erster Entwurf. Etwas kurz komme etwa die Frage, „wie verschwörungstheoretisches Wissen funktioniert, oder warum so viele Menschen Komplexität und Unübersichtlichkeit nur schwer aushalten.“


title: Nichts ist, wie es scheint

text: In seinem Interview mit der "Wirtschaftswoche" vom 20. April 2018 führte Butter aus, bis in die 1960er Jahre seien Verschwörungstheorien Teil des öffentlichen Diskurses gewesen und jahrhundertelang von Eliten und Regierungen bewusst verbreitet worden; danach seien sie in die Subkulturen abgewandert, um heute vor allem elite- und regierungskritisch über das Internet verbreitet zu werden. Dabei werde die Zahl der Anhänger heutiger Verschwörungstheorien überschätzt. 1918 oder 1818 sei die Anhängerschaft von offiziellen Verschwörungstheorien, die vorwiegend von Regierungsseite aus verbreitet wurden, im Vergleich zu den heutigen aus dem Internet viel größer gewesen.


title: Nichts ist, wie es scheint

text: „Nahezu jeder US-Präsident, von Washington über Lincoln bis Eisenhower, war ein Verschwörungsanhänger. Das war früher völlig etabliert“, zitiert die Welt am Sonntag aus Butters Werk. Verschwörungstheorien lieferten „in einer unübersichtlichen, multikausalen und chaotischen Umfeld den Schlüssel zu einem rar gewordenen Gut – Gewissheit“. Wichtig sei Butter auch das Radikalisierungspotential in diesen Theorien und der kulturelle Bezug.


title: Armenischer Fußballpokal 2007

text: Der armenische Fußballpokal 2007 war die 16. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2007

text: 14 Mannschaften nahmen teil. Der FC Banants Jerewan gewann zum zweiten Mal den Pokal. Im Finale wurde der FA Ararat Jerewan mit 3:1 nach Verlängerung besiegt. Banants nahm am UEFA-Pokal teil. Der Pokalverteidiger MIKA Aschtarak und Meister FC Pjunik Jerewan hatten für das Achtelfinale ein Freilos.


title: Armenischer Fußballpokal 2007

text: Der Pokal wurde in vier Runden ausgetragen. Bis zum Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei Torgleichstand entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore, danach eine Verlängerung, wurde in dieser nach zweimal 15 Minuten keine Entscheidung erreicht, folgte ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. Das Finale wurde in einem Spiel in Jerewan ausgetragen.


title: The Man Who Was Nobody

text: The Man Who Was Nobody (übersetzt „Der Mann, der niemand war“) ist ein britischer Kriminalfilm von Montgomery Tully aus dem Jahr 1960. Produziert wurde er von der Filmgesellschaft Merton Park Studios. Das Drehbuch stammt von James Eastwood und baut auf dem gleichnamigen Roman (dt. "Der Mann, der seinen Namen änderte") von Edgar Wallace auf. Der Film war der einer der ersten Teile der Edgar Wallace Mysteries, einer Serie von 47 Edgar-Wallace-Verfilmungen der Merton Park Studios zwischen 1960 und 1965; in Deutschland wurde er nie gezeigt.


title: The Man Who Was Nobody

text: Marjorie Stedman ist Privatdetektivin und bekommt den Auftrag, einen Mr. Tynewood zu finden. Mit der Hilfe des mysteriösen „South Africa Smith“ findet sie heraus, dass Tynewood von dem Diamantenschmuggler Franz Reuter getötet worden sein soll. Smith stellt sich allerdings als Tynewood heraus und gemeinsam gelingt es ihnen, Reuter zu stellen. Er liefert sich ein Feuergefecht mit der Polizei und wird dabei erschossen. Derweil verlieben sich Stedman und Tynewood und beschließen, zusammenzubleiben.


title: The Man Who Was Nobody

text: Joachim Kramp und Jürgen Wehnert zitieren in ihrem "Das Edgar Wallace Lexikon" von 2004 eine Kritik des Monthly Film Bulletin zum Film. Der Film sei „eine freie und auch sehr verworrene Adaption eines Romans von Edgar Wallace, in der eine von Hazel Court gespielte private-eye-Heldin mit ihrer vornehmen Erziehung hausieren geht wie mit einer überdimensionalen Flagge.“ Sie ergänzen, dass der Regisseur mir seinen „Vorstellungen von Unterwelt und Oberwelt in Chelsea“ nahelegen, „daß er selbst eine sehr heile Welt erlebt hat“.


title: Julius von Puttkamer

text: Ernst Julius von Puttkamer (* 19. Mai 1822 in Pansin, Kreis Saatzig; † 16. Januar 1905 in Stettin) war ein preußischer Fideikommissbesitzer und Politiker.


title: Julius von Puttkamer

text: Er stammte aus der pommerschen uradligen Familie Puttkamer und war der Sohn des Ernst Friedrich Georg von Puttkamer (1787–1824), Gutsherrn auf Pansin mit Anteil Henkenhagen und anderen Gütern, und dessen Ehefrau Friederike Johanne Helene, geborene von Lettow-Vorbeck (1796–1880).


title: Julius von Puttkamer

text: Puttkamer war Fideikommissbesitzer von Schlackow als landtagsfähiges Gut im Kreis Stolp, ab 1890 königlicher Kammerherr und Rechtsritter des Johanniterordens. Ferner war er Herr auf Henkenhagen im Kreis Regenwalde und auf Peest. In der preußischen Armee erreichte er den Dienstgrad eines Oberleutnants.


title: Julius von Puttkamer

text: Im Jahre 1854 wurde Puttkamer auf Präsentation des alten und des befestigten Grundbesitzes im Landschaftsbezirk Herzogtum Wenden Mitglied des Preußischen Herrenhauses. Wegen Veräußerung des Fideikommiss schied er 1903 aus Herrenhaus aus, da er das Fideikommiss an seinen Sohn Günther übertragen hatte.


title: Julius von Puttkamer

text: Julius von Puttkamer war seit 1846 mit Bertha von Bockelberg (1825–1891) verheiratet. Aus der Ehe gingen der Sohn Günther Georg Peter von Puttkamer (1861–1921) und eine Tochter hervor.


title: Fabio Roscioli (Radsportler)

text: Fabio Roscioli (* 18. Juli 1965 in Grottammare) ist ein ehemaliger italienischer Radrennfahrer. Er war von 1987 bis 2001 Profi.


title: Fabio Roscioli (Radsportler)

text: Roscioli wurde 1987 Profi und bereits 1988 wurde er bei Mailand-San Remo Vierter. 1993 gewann er die 12. Etappe der Tour de France nach einer Alleinfahrt von über 100 km. Im darauffolgendem Jahr gewann er die Drei Tage von De Panne und eine Etappe bei der Tour de Suisse. 1999 konnte er seinen letzten großen Erfolg feiern mit dem Sieg auf der 14. Etappe der Vuelta a España. Insgesamt nahm Roscioli 15-mal an den großen Landesrundfahrten teil (4× Tour de France / 7× Giro d'Italia / 4× Vuelta a España).


title: Pegel Eckernförde

text: Der Pegel Eckernförde steht im Eckernförder Binnenhafen und misst den Wasserstand der Ostsee. Er ist einer von 32 Pegeln der Ostsee in Deutschland und wird vom Wasserstraßen- und Schifffahrtsamt Ostsee betrieben. Die Messstellennummer lautet 9610045 (DGW). Messwerte stehen seit 1921 lückenlos zur Verfügung und sind daher für statistische Analysen geeignet. Als Pegel an einer Innenküste (am Ende der Eckernförder Bucht) fallen Hochwasserstände in der Regel durch Windstauwirkung höher aus als an Pegeln an offenen Küstenlinien.


title: Rewa River (Guyana)

text: Der Rewa River ist ein Fluss im Südosten von Guyana in der Region Upper Takutu-Upper Essequibo.


title: Rewa River (Guyana)

text: Der Rewa Rivery entspringt auf dem hügeligen Plateau im Südosten des Landes und verläuft in wilden Schlingen nach Norden. Er mündet von rechts und Süden in den Rupununi River.


title: Rewa River (Guyana)

text: An der Mündung befindet sich die Rewa Eco-Lodge.


title: Olympische Sommerspiele 1924/Teilnehmer (Finnland)

text: Finnland nahm an den Olympischen Sommerspielen 1924 in Paris mit einer Delegation von 121 männlichen Athleten an 69 Wettkämpfen in zwölf Wettbewerben teil.


text: Die finnischen Sportler gewannen 14 Gold-, 13 Silber- und 10 Bronzemedaillen. Im Medaillenspiegel belegte Finnland damit den zweiten Platz. Olympiasieger wurden die griechisch-römischen Ringer Kalle Anttila im Federgewicht, Oskar Friman im Leichtgewicht und Edvard Vesterlund im Mittelgewicht, der Freistilringer Kustaa Pihlajamäki im Bantamgewicht und die Leichtathleten Paavo Nurmi jeweils über 1500 Meter, 5000 Meter und im Geländelauf, Ville Ritola über 10.000 Meter und 3000 Meter Hindernis, Jonni Myyrä im Speerwurf, Eero Lehtonen im Fünfkampf, Albin Stenroos im Marathon, Elias Katz, Paavo Nurmi und Ville Ritola im Mannschaftswettkampf über 3000 Meter sowie Heikki Liimatainen, Paavo Nurmi und Ville Ritola in der Mannschaftswertung des Geländelaufs.


title: Armenischer Fußballpokal 2008

text: Der armenische Fußballpokal 2008 war die 17. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2008

text: 14 Mannschaften nahmen teil. Der FA Ararat Jerewan gewann zum fünften Mal den Pokal. Im Finale kam es zur Neuauflage des Vorjahresfinales. Ararat konnte erfolgreich Revanche nehmen und gewann mit 2:1 nach Verlängerung gegen FC Banants Jerewan. Ararat nahm am UEFA-Pokal teil. Die beiden Finalisten des Vorjahres FC Banants Jerewan und FA Ararat Jerewan hatten für das Achtelfinale ein Freilos.


title: Armenischer Fußballpokal 2008

text: Der Pokal wurde in vier Runden ausgetragen. Bis zum Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei Torgleichstand entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore, danach eine Verlängerung, wurde in dieser nach zweimal 15 Minuten keine Entscheidung erreicht, folgte ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. Das Finale wurde in einem Spiel in Idschewan ausgetragen.


title: Armenischer Fußballpokal 2009

text: Der armenische Fußballpokal 2009 war die 18. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2009

text: Acht Mannschaften nahmen teil. Der FC Pjunik Jerewan gewann zum vierten Mal den Pokal. Im Finale wurde der FC Banants Jerewan durch ein Tor von Henrich Mchitarjan in der Nachspielzeit mit 1:0 besiegt. Banants war als unterlegener Finalist für die Europa League qualifiziert, da Double-Sieger Pjunik bereits für die Champions League gemeldet hatte.


title: Armenischer Fußballpokal 2009

text: Der Pokal wurde in drei Runden ausgetragen. Bis zum Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei Torgleichstand entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore, danach eine Verlängerung, wurde in dieser nach zweimal 15 Minuten keine Entscheidung erreicht, folgte ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. Das Finale wurde in einem Spiel in Jerewan ausgetragen.


title: Ernst Friedrich Mylius

text: Ernst Friedrich Mylius (* 12. Juni 1710 in Lühe; † 15. Dezember 1774 in Hamburg) war ein deutscher evangelisch-lutherischer Geistlicher und Hauptpastor in Hamburg.


title: Ernst Friedrich Mylius

text: Ernst Friedrich Mylius war der Sohn eines Zolleinnehmers. Während des dänischen Feldzugs im Verlauf des Großen Nordischen Kriegs gegen die beiden Herzogtümer Verden und Bremen und der Belagerung von Stade 1712 floh seine Mutter mit ihm zu Verwandten nach Hamburg. Hier blieb er bis 1726, schloss dann seine Schulbildung an der Domschule in Bremen ab und studierte ab 1730 Evangelische Theologie an der Universität Helmstedt, vor allem bei Johann Lorenz von Mosheim, und 1732 bis 1734 an der Universität Jena. Nach vier Jahren Tätigkeit als Hauslehrer beim Amtmann Gebhardi in Verden wurde er 1738 er Diaconus (2. Pastor) an St. Johannis (Verden) und Konrektor am Domgymnasium Verden. 1742 wurde er als Diaconus an die Hauptkirche Sankt Petri in Hamburg berufen. Als 1744 der eigentlich gewählte Melchior Gottlieb Minor verzichtete, wurde er am 7. Juni 1744 als Nachfolger von Johann Georg Palm zum Hauptpastor an St. Petri erwählt. Seine Berufung zum Senior des Hamburgischen Geistlichen Ministeriums als Nachfolger des verstorbenen Friedrich Wagner 1760 lehnte er aus Gesundheitsgründen ab.


title: Ernst Friedrich Mylius

text: Seit 1745 war er verheiratet mit Margaretha Catharina Sophia, geb. Löwe, einer Tochter des Hamburgischen Münzmeisters J.H. Löwe.


title: Ernst Friedrich Mylius

text: Seine nachgelassene reichhaltige Bibliothek wurde am 8. Juni 1775 versteigert.


title: Justizministerium Osttimors

text: Das Justizministerium Osttimors (; ; kurz: MJ) ist die osttimoresische Regierungsbehörde für die Rechtspolitik des Landes. Die Leitung obliegt dem Justizminister des Landes. Der Sitz des Justizministeriums befindet sich in der Rua da Justiça, an der Ecke zur Rua de Moçambique, in Dilis Stadtteil Colmera.


title: Justizministerium Osttimors

text: Das Justizministerium ist die Regierungsabteilung, die für die Konzeption, Umsetzung, Koordinierung und Bewertung der vom Ministerrat festgelegten und genehmigten Politik im Bereich Justiz, Recht und Menschenrechte sowie Land und Eigentum zuständig ist.


title: Justizministerium Osttimors

text: Zu den Aufgaben gehören: Vorschläge in diesem Bereich zu erstellen und die für ihre Verantwortungsbereiche erforderlichen Gesetze und Vorschriften auszuarbeiten, in Abstimmung mit anderen betroffenen Ministerien Maßnahmen zur Definition von Mechanismen zur Regulierung der traditionellen Justiz und ihrer Interaktion mit dem formellen System vorzuschlagen, Maßnahmen zur Erweiterung der Justiz vorzuschlagen und umzusetzen, die Definition der Kriminalpolitik vorzuschlagen und deren Umsetzung und ordnungsgemäße Rechtspflege sicherzustellen, Regulierung und Verwaltung des Zentrums für rechtliche und juristische Ausbildung und Förderung der Ausbildung von Humanressourcen für die verschiedenen Tätigkeitsbereiche im Justizsektor, Förderung der Koordinierung und des Dialogs zwischen allen Akteuren der Justiz und Gewährleistung ihrer Teilnahme an der Erörterung und Ausarbeitung von Vorschlägen für Rechtsvorschriften im Justizbereich, Regulierung und Verwaltung des Gefängnissystems, Vollstreckung von Haftstrafen und soziale Wiedereingliederungsdienste, Gewährleistung angemessener Mechanismen für den Zugang zum Gesetz und zu den Gerichten, insbesondere für die am stärksten benachteiligten Bürger, in den Bereichen Rechtsinformation, Rechtsberatung und Rechtshilfe, insbesondere durch den öffentlichen Verteidiger und andere Justizbehörden und -strukturen, Schaffung und Gewährleistung angemessener Mechanismen zur Gewährleistung der Bürgerrechte und zur Förderung der Verbreitung der geltenden Gesetze und Vorschriften; Organisation der Kartographie und des Katasterregisters von Grundstücken und Gebäuden sowie der Registrierung von Immobilien, als Mittel zur Förderung des Zugangs der Bürger zum Recht einen spezialisierten Rechtsübersetzungsdienst zu gewährleisten, der für die Verwendung von Amtssprachen in den Bereichen Recht und Justiz zuständig ist, Verwaltung und Überwachung des Registrierungs- und notariell beglaubigten Dienstleistungssystems, das Immobilienvermögen des Staates zu verwalten, Förderung und Anleitung der juristischen Ausbildung von Justizkarrieren und anderen Beamten, Gewährleistung der Beziehungen auf internationaler Ebene im Bereich der Justizpolitik, insbesondere zu anderen Regierungen und internationalen Organisationen, ohne Eingriff in die Kompetenzen und besonderen Befugnisse des Außenministeriums und Mechanismen der Zusammenarbeit und Koordinierung mit anderen Regierungsstellen einzurichten, die die verwandten Bereiche überwachen.


title: Justizministerium Osttimors

text: Kraft Amtes ist der Justizminister Mitglied des Konsellu Superior Defeza no Seguransa (KSDS).


title: Justizministerium Osttimors

text: Dem Justizministerium unterstehen das Zentrum für rechtliche und juristische Ausbildung, die Kriminalpolizei (Polícia Científica de Investigação Criminal PCIC/Polísia Sientífika Investigasaun Kriminál PSIK) und die Öffentliche Verteidigung (Defensoria Pública).


title: Justizministerium Osttimors

text: Im Regierungskabinett war in der V., VI. und VIII. Regierung der Staatssekretär für Grundbesitz und Eigentum (SETP) dem Justizminister unterstellt.


title: Tanja Weil

text: Tanja Weil (* 16. September 1973) ist eine deutsche Chemikerin. Seit 2017 ist sie Direktorin am Max-Planck-Institut für Polymerforschung.


title: Tanja Weil

text: Weil studierte Chemie an der Technischen Universität Braunschweig und promovierte am Max-Planck-Institut für Polymerforschung. Zwischen 2002 und 2008 hatte sie verschiedene leitende Positionen bei der Merz Pharmaceuticals GmbH in Frankfurt am Main inne. 2008 wurde sie als Associate Professor an die National University of Singapore berufen und kam 2010 als Direktorin des Instituts für Organische Chemie III / Makromolekulare Chemie an die Universität Ulm. Tanja Weil ist Mitherausgeberin bei ACS Nano, Mitglied des Redaktionsbeirats von J. Am. Chemie. Soc. und des Kuratoriums der Angewandten Chemie. Seit 2017 ist sie Direktorin am Max-Planck-Institut für Polymerforschung und leitet den Arbeitskreis „Synthese von Makromolekülen“.


title: Tanja Weil

text: Ihr wissenschaftliches Interesse gilt innovativen Synthesekonzepten zur Herstellung funktioneller Makromoleküle und Hybridmaterialien zur Lösung aktueller Herausforderungen in der Biomedizin und Materialwissenschaft.


title: Paasbach

text: Der Paasbach ist ein Fließgewässer in Sprockhövel und Hattingen, Ennepe-Ruhr-Kreis. Er ist ein Zulauf des Sprockhöveler Bachs, der in Hattingen in die Ruhr mündet. Während dies so dem örtlichen Verständnis und den üblichen topografischen Karten (Deutsche Grundkarte) entspricht, wird im Wasserbuch Nordrhein-Westfalens der Sprockhöveler Bach als Zulauf und der Paasbach als Hauptgewässer angesehen, der in die Ruhr mündet.


title: Paasbach

text: Der Paasbach entspringt am Winterberg in Stüter. Danach fließt er durch das Naturschutzgebiet Wald am oberen Paasbach in nordöstliche Richtung. Im "Vogelbruch" nimmt er den Bach Am Vogelbruch und die Heimbecke auf und fließt der "Paasmühle" zu. Hier befindet sich auch der Hof "Paas" nach dem der Bach benannt ist.


title: Paasbach

text: Hinter der Paasmühle wendet sich nach Norden. Er durchbricht hier das Steinkohlengebirge, in dem die Zeche Alte Haase seit alter Zeit schon Ihre Kohlen abbaute. Hinter dem Hof "Am Waskönige" wendet der Bach sich nach Nordwesten. Hinter dem Bahndamm der Bahnstrecke Hattingen–Wuppertal erreicht er den Ort Bredenscheid und vereint sich dort mit dem Sprockhöveler Bach.


title: Paasbach

text: In Bredenscheid fanden 2020 Sanierungsarbeiten am Paasbach statt.


title: Jordan Airways

text: Jordan Airways war eine jordanische Fluggesellschaft mit Sitz in Amman und Basis auf dem dortigen Flughafen Marka. Das Unternehmen hat seinen Betrieb im Dezember 1963 eingestellt.


title: Jordan Airways

text: Die Linienfluggesellschaft Jordan Airways wurde am 1. September 1961 in Amman gegründet. An dem Unternehmen waren der Staat Jordanien zu 35 % und die libanesische Middle East Airlines (MEA) zu 25 % beteiligt, die restlichen Anteile hielten Privatinvestoren. Parallel zur Gründung entzog die jordanische Regierung allen anderen Fluggesellschaften des Landes das Betreiberzeugnis. Hiervon betroffen waren die 1950 gegründete Air Jordan und die 1954 gegründete Jordan International Airlines, die beide den Betrieb zum 13. September 1961 einstellen mussten.


title: Jordan Airways

text: Jordan Airways nahm ihren Flugbetrieb am 29. September 1961 mit einer von MEA geleasten Douglas C-47 (DC-3) auf. Einen Tag später erhielt die Gesellschaft die erste geleaste Vickers 754D Viscount von MEA, eine zweite Viscount folgte am 7. Oktober 1961. Im Mai 1962 umfasste das von Amman ausgehende Liniennetz der Jordan Airways die Zielorte Beirut, Damaskus, Doha, Dschidda, Jerusalem (damals zu Jordanien gehörend), Kairo und Kuwait.


title: Jordan Airways

text: Im Jahr 1963 beschloss König Hussein, die Kooperation mit MEA zu beenden und stattdessen eine neue jordanische Fluggesellschaft zu gründen. Hieraus ging am 9. Dezember 1963 die Alia Royal Jordanian Airlines hervor, die ihren Flugbetrieb am 15. Dezember 1963 eröffnete und dabei das Streckennetz sowie die zwei geleasten Vickers Viscount der Jordan Airways übernahm.


title: Jordan Airways

text: Jordan Airways setzte im Lauf ihres Bestehens folgende Flugzeuge ein:


title: Armenischer Fußballpokal 2010

text: Der armenische Fußballpokal 2010 war die 19. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2010

text: Acht Mannschaften nahmen teil. Titelverteidiger FC Pjunik Jerewan gewann zum fünften Mal den Pokal. Gegner im Finale war wie im Jahr zuvor der FC Banants Jerewan, der diesmal mit 4:0 besiegt wurde. Banants war als unterlegener Finalist für die Europa League qualifiziert, da Double-Sieger Pjunik bereits für die Champions League gemeldet hatte.


title: Armenischer Fußballpokal 2010

text: Der Pokal wurde in drei Runden ausgetragen. Bis zum Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei Torgleichstand entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore, danach eine Verlängerung, wurde in dieser nach zweimal 15 Minuten keine Entscheidung erreicht, folgte ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. Das Finale wurde in einem Spiel in Jerewan ausgetragen.


title: Tatort: Lass den Mond am Himmel stehn

text: Lass den Mond am Himmel stehn ist ein Fernsehfilm aus der Krimireihe "Tatort". Der vom Bayerischen Rundfunk produzierte Beitrag ist die 1135. "Tatort"-Episode und wurde am 7. Juni 2020 im Programm Das Erste gesendet. Das Münchner Ermittlerduo Batic und Leitmayr ermittelt seinen 84. Fall.


title: Tatort: Lass den Mond am Himmel stehn

text: Judith Kovacic, Ehefrau des Herzchirurgen David Kovacic, ist besorgt, weil ihr Sohn aus erster Ehe, der 13-jährige Emil Ritter, eines Morgens nicht in seinem Bett liegt. Am Vortag war Emil bei seinem Freund Basti Schellenberg zum Computerspielen, hat dort aber anscheinend nicht übernachtet. Da wird Emil tot in der Isar aufgefunden. Seine Handyspur endet an einem Parkplatz, der als Treffpunkt für anonymen Sex bekannt ist. In der Nähe dieses Orts wird Emils Fahrrad entdeckt. Da sein Handy verschwunden bleibt, vermuten die Hauptkommissare Batic und Leitmayr, dass Emil auf dem Parkplatz etwas Kompromittierendes gefilmt hat. Diese Spur verdichtet sich jedoch nicht, trotz sorgfältiger Ermittlungen.


title: Tatort: Lass den Mond am Himmel stehn

text: Allerdings stellt sich heraus, dass Emil für die gerade 18 Jahre alt gewordene Hannah Schellenberg verliebte Gefühle hegte und sie heimlich beobachtete. Er hat ein Foto gemacht, das Hannah mit David Kovacic zeigt, der sie vom Bahnhof abholte. Sie hatte ein Tenniscamp am Gardasee abgekürzt, um den Nachbarn zu treffen. Die Ermittler konfrontieren Hannah mit dem Foto, ohne den anwesenden Eltern zu sagen, wen es zeigt. Hannahs Vater findet ein Bild des Arztes bei den Sachen seiner Tochter und ist empört. Er lauert David auf und wird handgreiflich. David möchte die Affäre mit der jungen Nachbarstochter beenden, die ihn im Krankenhaus besucht, kurz bevor die Ermittler dort erscheinen. David leugnet die Intimität, die dem Zuschauer jedoch durch eine Rückblende vermittelt wird: Emil hatte beide beobachtet.


title: Tatort: Lass den Mond am Himmel stehn

text: Das Alibi des Arztes für die Tatzeit ist jedoch zutreffend, sodass jetzt die Familie Schellenberg unter Verdacht gerät. Eine Untersuchung des Jugendzimmers des 13-jährigen Basti ergibt, dass Emil dort verblutete. Im Verhör räumen die Eltern, getrennt befragt, die Strafvereitelung zugunsten ihres Sohnes ein. Als Anwältin weiß Bastis Mutter Antonia aber auch, dass ihr Sohn gemäß § 19 StGB noch nicht strafmündig ist und sie und ihr Mann Martin gemäß § 258 Abs. 6 StGB als Angehörige straffrei bleiben. Basti hatte seinen Freund spontan während des gemeinsamen Computerspiels mit seinem Skateboard erschlagen. Anschließend transportierten seine Eltern Emils Leiche zur Isar, sein Fahrrad aber an den Sex-Parkplatz. Bastis Beweggründe für die Tat bleiben bis zum Schluss unklar, da er Batics Frage danach nicht beantwortet. Sowohl er als auch seine Eltern sind noch bei der Aufklärung der Tat völlig kalt, was vor allem Kalli sichtlich schockiert. Hannah jedoch packt ihre Sachen und verlässt die Familie mit unklarem Ziel.


title: Tatort: Lass den Mond am Himmel stehn

text: Der Film wurde vom 9. September 2019 bis zum 10. Oktober 2019 in München und Umgebung gedreht.


title: Tatort: Lass den Mond am Himmel stehn

text: Der Titel der Tatortfolge ist eine Verszeile aus dem vierstrophigen Gedicht "Müde bin ich, geh zur Ruh", das die religiöse Dichterin Luise Hensel im Jahr 1816 schrieb und das sich zu einem populären Abendgebet für Kinder entwickelte. Die Zeile stammt aus der letzten Strophe: "Müden Herzen sende Ruh / nasse Augen schließe zu / Lass den Mond am Himmel stehn / und die stille Welt besehn."


title: Tatort: Lass den Mond am Himmel stehn

text: Die Erstausstrahlung von "Lass den Mond am Himmel stehn" am 7. Juni 2020 wurde in Deutschland von 9,84 Millionen Zuschauern gesehen und erreichte einen Marktanteil von 28,7 % für Das Erste.


title: Zirmsee

text: Der Zirmsee ist ein Stausee mit einem Stauziel von , der sich innerhalb der Goldberggruppe in der Gemeinde Heiligenblut am Großglockner befindet. Er verfügt über ein Speichervolumen von 8,65 hm³ und liegt im Einzugsgebiet des Kleinfleißbachs.


title: Zirmsee

text: Der ursprünglich natürliche Karsee () wurde in den Jahren 1981 bis 1983 durch den Bau eines Felsschüttdamms mit einer Oberflächendichtung aus Asphaltbeton und einer 315 m langen Krone vergrößert. Er dient in der Kraftwerksgruppe Fragant der Kelag als Jahresspeicher der Speicherkraftwerke Zirknitz (32 MW), Innerfragant (Stufe Wurten, 66 MW) und Außerfragant (96 MW).


title: Armenischer Fußballpokal 2011

text: Der armenische Fußballpokal 2011 war die 20. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2011

text: Acht Mannschaften nahmen teil. MIKA Aschtarak gewann zum sechsten Mal den Pokal. Gegner im Finale war der FC Schirak Gjumri, der mit 4:1 besiegt wurde. MIKA nahm an der Europa League teil.


title: Armenischer Fußballpokal 2011


title: Bahnstrecke Weiden–Neuenmarkt-Wirsberg

text: Die Bahnstrecke Weiden–Neuenmarkt-Wirsberg verbindet Weiden in der Oberpfalz an der Bahnstrecke Regensburg–Hof über Bayreuth mit dem Bahnhof Neuenmarkt-Wirsberg an der Bahnstrecke Bamberg–Hof.


title: Bahnstrecke Weiden–Neuenmarkt-Wirsberg

text: Sie besteht aus zwei Abschnitten, die zu unterschiedlichen Zeiten gebaut und zunächst von verschiedenen Eisenbahnunternehmen betrieben wurden.


title: Bahnstrecke Weiden–Neuenmarkt-Wirsberg

text: Im Bayreuther Bahnhof hatten die beiden Unternehmen zunächst getrennte Anlagen. Durchgehende Züge gab es nicht, auch die Notwendigkeit passender Anschlüsse für Umsteiger wurde noch nicht erkannt. Der Personenverkehr wurde aus Kostengründen aber von Anfang an am Bahnsteig der seit 1853 bestehenden „Pachtbahn“ abgewickelt.


title: Bahnstrecke Weiden–Neuenmarkt-Wirsberg

text: Im Jahr 2020 existieren im Personenverkehr nur wenige durchgehende Verbindung zwischen Weiden und Neuenmarkt-Wirsberg. Die von Weiden kommenden Nahverkehrstriebwagen von Agilis fahren über Bayreuth hinaus überwiegend nach Weidenberg. Weitere Agilis-Verbindungen werden zwischen Marktredwitz, Kirchenlaibach und Bayreuth sowie Bayreuth, Neuenmarkt-Wirsberg und Coburg angeboten. Dabei verkehren mehrere Züge durchgehend von Marktredwitz bis Coburg und zurück, vereinzelt aber auch zwischen Weiden und Coburg. Die Züge der DB Regio aus Neuenmarkt-Wirsberg verkehren ab Bayreuth über die Bahnstrecke Schnabelwaid–Bayreuth weiter in Richtung Nürnberg.


title: Varidnaviria

text: Varidnaviria ist ein Realm von Viren. Die Viren aus diesem Realm sind gekennzeichnet durch vertikal gefaltete -Kapside mit pseudohexameren (aus drei verschiedenen Dimeren oder zwei verschiedenen Trimeren bestehenden) Kapsomeren. In dem Realm sind auch Vertreter, die keine solchen Strukturen aufweisen, deren evolutionäre Verwandtschaft mit Mitgliedern des Reiches aber klar nachgewiesen werden kann — höchstwahrscheinlich haben sie diese im Lauf der Evolution verloren.


title: Varidnaviria

text: Der erste Teil des Namens (vari) kommt aus dem Englischen (); der mittlere Teil (dna) bezieht sich auf die Desoxyribonukleinsäure (DNA), da alle Mitglieder des Realm doppelsträngige DNA-Viren (dsDNA) sind; und der letzte Teil (viria) ist das Suffix für Realm. Ein früherer Namensvorschlag für diesen Realm hatte ähnlich auf "Divdnaviria" gelautet (mit div für ). Die "Varidnaviria" gehören als doppelsträngige DNA-Viren in der Baltimore-Klassifikation zur Gruppe I.


title: Varidnaviria

text: Im Realm "Varidnaviria" sind (mit Stand März 2020) die folgenden Reiche durch das bestätigt:


title: Armenischer Fußballpokal 2011/12

text: Der armenische Fußballpokal 2011/12 war die 21. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2011/12

text: Acht Mannschaften nahmen teil. Der FC Schirak Gjumri gewann bei seiner fünften Finalteilnahme zum ersten Mal den Pokal. Gegner Impuls Dilidschan wurde mit 1:0 besiegt. Schirak nahm an der Europa League teil.


title: Armenischer Fußballpokal 2011/12

text: Der Pokal wurde in drei Runden ausgetragen. Bis zum Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei Torgleichstand entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore, danach eine Verlängerung, wurde in dieser nach zweimal 15 Minuten keine Entscheidung erreicht, folgte ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. Das Finale wurde in einem Spiel in Gjumri ausgetragen.


title: Armenischer Fußballpokal 2012/13

text: Der armenische Fußballpokal 2012/13 war die 22. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2012/13

text: Neun Mannschaften nahmen teil, die acht Teams aus der höchsten Liga, sowie der Meister der zweiten Liga. Der FC Pjunik Jerewan gewann zum sechsten Mal den Pokal. Im Finale wurde Titelverteidiger FC Schirak Gjumri mit 1:0 besiegt. Pjunik nahm an der Europa League teil.


title: Armenischer Fußballpokal 2012/13

text: Der Pokal wurde in vier Runden ausgetragen. Bis zum Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei Torgleichstand entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore, danach eine Verlängerung, wurde in dieser nach zweimal 15 Minuten keine Entscheidung erreicht, folgte ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. Das Finale wurde in einem Spiel in Jerewan ausgetragen.


title: Armenischer Fußballpokal 2012/13

text: Banants spielte hierbei gegen den Meister der zweiten Liga.


title: Armenischer Fußballpokal 2012/13

text: Die verbliebenen sieben Mannschaften der höchsten Liga hatten für das Achtelfinale ein Freilos.


title: Armenischer Fußballpokal 2013/14

text: Der armenische Fußballpokal 2013/14 war die 23. Austragung des Pokalwettbewerbs in Armenien.


title: Armenischer Fußballpokal 2013/14

text: Teilnehmer waren die acht Mannschaften aus der Bardsragujn chumb 2013/14. Titelverteidiger FC Pjunik Jerewan gewann zum siebten Mal den Pokal. Im Finale wurde Gandsassar Kapan mit 2:1 besiegt. Pjunik nahm an der Europa League teil.


title: Armenischer Fußballpokal 2013/14

text: Der Pokal wurde in drei Runden ausgetragen. Bis zum Halbfinale wurden die Sieger in Hin- und Rückspiel ermittelt. Bei Torgleichstand entschied zunächst die Anzahl der Auswärts erzielten Tore, danach eine Verlängerung, wurde in dieser nach zweimal 15 Minuten keine Entscheidung erreicht, folgte ein Elfmeterschießen, bis der Sieger ermittelt war. Das Finale wurde in einem Spiel in Jerewan ausgetragen.


title: August Adler (Fotograf)

text: August Adler (* 1842 in Mühlhausen, Vogtland; † 18. Januar 1916 in Dresden) war ein deutscher Fotograf, der den Titel "Hofphotograph" führte und hauptsächlich Porträts anfertigte.


title: August Adler (Fotograf)

text: Er war der Sohn des Landwirts Johann Gottlieb Adler aus dem sächsischen Vogtland. Nach dem Schulbesuch schlug er eine Lehre zum Fotografen ein. Er trat am 18. Februar 1870 in die ein Jahr zuvor gegründete "Photographische Gesellschaft Dresden" (Gründung 15. Oktober 1869) ein und eröffnete gemeinsam mit Eduard Kühnel in der Victoriastraße 21 (im Jahre 1893 geändert in Nr. 22) das Photographische Atelier "Adler & Kühnel" in Dresden. Nachdem Ende 1873 Eduard Kühnel aus dem Geschäft ausstieg, führte August Adler das Fotoatelier allein weiter.


title: August Adler (Fotograf)

text: Bekanntheit erlangte er u. a. durch seine Beteiligung an der Ausstellung des sächsischen Handwerks und Kunstgewerbes 1896, die er durch Fotografien in Platin-, Pastell-, Aquarell- und Ölfarbenübermalung bereicherte.


title: August Adler (Fotograf)

text: Im Jahre 1898 setzte er sich im Alter von 56 Jahren zur Ruhe und verkaufte sein Geschäft an den Fotografen Raphael Arthur Bossard-Schlegel, den Sohn von Raphael Schlegel. Dieser führte das Fotoatelier unter der Bezeichnung „Aug. Adler Nachf.“ bis Ende 1910 weiter.


title: August Adler (Fotograf)

text: Das Fotoatelier in der Viktoriastraße 22 bestand noch bis 1932 an dieser Stelle, zuletzt im Besitz von Alois Wagner, der hier ein Photographie- und Schmuckwarengeschäft betrieb und darin u. a. um 1930 für eine "Proletarische Weihnacht" warb. Das Haus wurde beim Bombenangriff am 13./14. Februar 1945 zerstört.


title: Heegner-Punkt

text: Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) sind Zahlen, die quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten lösen, und die mit Punkten auf geometrischen Figuren, nämlich Modulkurven, verknüpft werden können. Die mittels der Verknüpfung gegebenen Punkte auf Modulkurven werden ebenfalls Heegner-Punkte genannt und sind Gegenstand der arithmetischen Geometrie. Sie spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie. Heegner-Punkte unterscheiden sich von den namensähnlichen Heegner-"Zahlen".


title: Heegner-Punkt

text: Die als Heegner-Punkte bezeichneten Lösungen der quadratischen Gleichung sind komplexe Zahlen mit ausschließlich positivem Imaginärteil. Beispielsweise ist die Zahl formula_1 ein Heegner-Punkt, da sie den positiven Imaginärteil formula_2 besitzt und die Gleichung formula_3 erfüllt. Die Lösungen werden verwendet, um Punkte zu erzeugen, die die komplizierteren Gleichungen von Modulkurven oder elliptischen Kurven erfüllen. Der Mehrwert dieser Methode liegt darin, dass Heegner-Punkte anhand der quadratischen Gleichung einfach bestimmt werden können. Die damit erzeugten Punkte geben letztlich einige Auskunft über Fragestellungen aus der Zahlentheorie. Kurt Heegner verwendete sie, um Fragen der Zerlegung von Zahlen in elementarere multiplikative Bausteine nachzugehen, die analog zur Theorie der Primzahlen sind.


title: Heegner-Punkt

text: Indirekt sind Heegner-Punkte in Ideen involviert, die Kreiszahl formula_4 auf viele Stellen nach dem Komma zu ermitteln. Sie sind ein Ausgangspunkt für den Chudnovsky-Algorithmus, mit dessen Hilfe bis heute (Stand 2021) über 62 Billionen Dezimalstellen von formula_5 berechnet wurden.


title: Heegner-Punkt

text: Besondere Prominenz erhalten Heegner-Punkte im Themenkreis rund um die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik. Sie spielten die Schlüsselrolle bei der Frage, warum diese bis heute im Allgemeinen unbewiesene Hypothese nur in ganz bestimmten Fällen mit den bisher errungenen Erkenntnissen bewiesen werden konnte. Dies sind genau die Fälle, in denen die zugehörigen elliptischen Kurven – dies sind die Gegenstände der Vermutung – einen „unmittelbaren Bezug“ zu Heegner-Punkten haben. Über die Betrachtung unendlich vieler Heegner-Punkte gleichzeitig, sogenannter Heegner-Systeme, konnte Victor Kolyvagin in Kombination mit Resultaten von Benedict Gross und Don Zagier im Jahr 1988 zeigen, dass die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer im Falle der analytischen Ränge formula_6 und formula_7 wahr ist.


title: Heegner-Punkt

text: Bis heute gelten Heegner-Punkte als Objekte mathematischen Interesses, auch bei der Verwendung von Algorithmen, also rechnerischen Verfahren. Wichtige Beiträge zu deren Erforschung lieferten Bryan Birch, Henri Darmon, Peter Swinnerton-Dyer, Benedict Gross, Kurt Heegner, Winfried Kohnen, Victor Kolyvagin, Barry Mazur, Heinrich Weber, Zhang Wei, Don Zagier und Shou-Wu Zhang.


title: Heegner-Punkt

text: Eine algebraische Kurve ist im Prinzip eine große Familie von Punkten, die alle eine gemeinsame algebraische Relation erfüllen. Das bedeutet, dass es eine Gleichung zu Null gibt, in der ausschließlich addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert wird, die von allen Punkten gleichzeitig erfüllt wird. Ein Beispiel ist die Gleichung formula_8 (formula_9 wird lediglich mit sich selbst "multipliziert" und anschließend wird 1 vom Ergebnis "subtrahiert"), die genau von formula_10 gelöst wird. Somit bildet die Familie formula_11 die „Vorstufe“ einer Kurve, obgleich zwei Punkte noch nicht eine „kurvige“ Anschauung hervorrufen.


title: Heegner-Punkt

text: Ein erstes nicht-triviales und häufig genanntes Beispiel einer Kurve ist der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt formula_12 in der Zahlenebene, der genau durch die Punkte formula_13 gegeben ist, welche die Relation formula_14 erfüllen. Es können also auch Punkte mit mehr als einer Koordinate Kurven bilden, und tatsächlich wird es auch erst hier „reichhaltiger“. Dass die reellen Lösungen der Gleichung formula_14 einen Kreis bilden, kann mit dem Satz des Pythagoras bewiesen werden. Von Interesse ist, dass eine eigentlich geometrische Figur wie der Kreis von einer algebraischen Relation herrührt. Auch anderen Gebilden wie Geraden, Ebenen, Hyperbeln etc. liegen algebraische Gleichungen zugrunde.


title: Heegner-Punkt

text: Während der Kreis erst durch Betrachtung aller reellen Zahlen „lückenlos“ entstehen kann, so liegt etwa formula_16 auf dem Kreis, da ist es für die Zahlentheorie von Interesse, Punkte auf Kurven zu finden, die ganz besonders „einfach“ sind. Damit sind zum Beispiel rationale Punkte gemeint, die neben der ohnehin schon restriktiven Kurvenlage die Eigenschaft haben sollen, dass ihre Koordinaten durch Quotienten ganzer Zahlen beschrieben werden können. So ist es eine klassische Frage der Zahlentheorie, welche rationalen Punkte auf dem Kreis formula_14 liegen. Zum Beispiel ist formula_16 "kein" rationaler Punkt, da man weiß, dass die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. Beispiele für rationale Punkte sind formula_20, da aber auch formula_22 sowie formula_23. Diese Punkte leiten sich aus den pythagoreischen Tripeln ab, also nicht-trivialen ganzen Zahlen formula_24 mit formula_25. Es kann über elementare Methoden gezeigt werden, dass es unendlich viele "primitive" pythagoreische Tripel gibt, also solche, die nicht ganze Vielfache anderer Tripel sind, weshalb der Kreis tatsächlich „übersät“ mit rationalen Punkten ist, siehe dazu auch in den Artikel Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis. Allgemein gelten quadratische Kurven hinsichtlich rationaler Punkte als weitgehend verstanden.


title: Heegner-Punkt

text: Bereits durch dieses Beispiel wird eine Synthese aus Geometrie (Figuren, hier ein Kreis), Algebra (Gleichungen, die nur Grundrechenarten verwenden) und Zahlentheorie (rationale Zahlen) erkennbar.


title: Heegner-Punkt

text: Bei Weitem nicht so zugänglich sind sogenannte elliptische Kurven (über den rationalen Zahlen), die allgemein in der Form formula_26 mit rationalen Zahlen formula_27 beschrieben werden können. Während der geometrischen Figur des Kreises eine "quadratische" Gleichung zugrunde lag, handelt es sich bei einer elliptischen Kurve um eine "kubische" Gleichung (also mit Termen "hoch 3"). Das Besondere an elliptischen Kurven ist, dass man aus zwei bereits bekannten (rationalen) Punkten formula_28 und formula_29 über eine Verknüpfung formula_30 einen neuen rationalen Punkt formula_31 berechnen kann, genauso wie man aus zwei ganzen Zahlen mit der Addition eine neue ganze Zahl erzeugen kann. Bei der Addition eines rationalen Punktes zu sich selbst können zwei Situationen eintreten: Entweder der betrachtete Punkt ist von "endlicher Ordnung" und schließt einen endlichen Zyklus, d. h., irgendwann tritt die Situation formula_32 ein und es geht von vorne los, oder es entstehen bis ins Unendliche immer neue Punkte, was vergleichbar mit der Erzeugung aller natürlicher Zahlen durch formula_33 ist. In diesem Fall sagt man, dass formula_34 "unendliche Ordnung" hat. Gelegentlich spricht man bei Punkten endlicher Ordnung auch von "trivialen" und bei welchen mit unendlicher Ordnung auch von "nicht-trivialen" Punkten.


title: Heegner-Punkt

text: Die Theorie der elliptischen Kurven ist äußerst umfangreich, zahlentheoretisch im Zusammenhang mit dem großen Satz von Fermat von Bedeutung und wird von Mathematikern wie Henri Cohen auf den Umfang vieler tausend Seiten (in moderner mathematischer Sprache) geschätzt. Trotz ihrer Strukturen sind manche ihrer Eigenschaften bis heute nicht geklärt. So kennt man bis heute keinen "allgemeinen" Algorithmus, der endlich viele rationale Punkte liefert, mit deren Hilfe "alle anderen" rationalen Punkte auf der Kurve durch Verknüpfung gewonnen werden können (eine positive Antwort auf die "starke" Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde jedoch einen solchen Algorithmus liefern). Jedoch können "Heegner-Punkte" in manchen Fällen dabei helfen, nicht-triviale rationale Punkte zu erzeugen.


title: Heegner-Punkt

text: Was elliptische Kurven über den rationalen Zahlen, neben ihrer Fähigkeit einer Punktaddition, so in den Fokus des Interesses rückt, ist die Tatsache, dass sie die einzigen Kurven sind, die endlich, aber auch unendlich viele rationale Punkte haben können. Elliptische Kurven haben nämlich das Geschlecht formula_35 und nach der Vermutung von Mordell, bewiesen von Gerd Faltings, haben Kurven von Geschlecht formula_36 mit einem rationalen Punkt bereits unendlich viele rationale Punkte, während Kurven von Geschlecht formula_37 stets nur endlich viele rationale Punkte haben können. Für seine Leistung wurde Faltings 1986 mit der Fields-Medaille geehrt.


title: Heegner-Punkt

text: Die Eigenschaft einer elliptischen Kurve, über den komplexen Zahlen ein Donut zu sein, kann dadurch erklärt werden, wie sich diese parametrisieren lässt.


title: Heegner-Punkt

text: Eine Parametrisierung ist eine Abbildung von einem „einfachen“ Parameterobjekt in ein „kompliziertes“ Zielobjekt, mit dessen Hilfe durch Einsetzen von beliebigen Eingaben (Parametern) des Parameterobjekts beliebige nicht-triviale Teile des Zielobjekts erzeugt werden können. Mit „einfach“ ist gemeint, dass das Parameterobjekt in erster Linie ein „bekanntes Parameterobjekt“ ist, über das genügend Wissen vorhanden ist und aus dessen Vorrat nun nacheinander Werte eingesetzt werden, um damit ein anderes (unbekanntes, komplizierteres oder strukturell anspruchsvolleres) Objekt aufzubauen. Oft handelt es sich sowohl bei den Ein- als auch bei den Ausgaben um Punkte, die in ihrer Kollektion ein geometrisches Objekt darstellen.


title: Heegner-Punkt

text: Ein Beispiel einer Parametrisierung ist die des Kreises: Das „einfache“ Parameterobjekt ist hierbei das Intervall formula_38, also alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1, über dessen Inhalt wir kanonisch verfügen, und das „komplizierte“ Zielobjekt der Kreis, wobei eine mögliche Abbildung ist. Nach dem Satz des Pythagoras ist formula_40 unabhängig von der Eingabe formula_41, womit aufgrund der Periodizität und Stetigkeit von Sinus und Kosinus der gesamte Kreis erzeugt wird. Nutzt man die Veranschaulichung der "komplexen Zahlen" formula_42 (mit reellen Zahlen formula_43) als "Punkte" formula_44, vereinfacht sich die Parametrisierung zu Für den Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und der komplexen Exponentialfunktion siehe auch Eulersche Formel. Aus geometrischer bzw. topologischer Sicht wird das Intervall formula_38, ein „Faden“ mit einer Längeneinheit, an beiden Enden genommen und zu einem Kreis zusammengeschlossen.


title: Heegner-Punkt

text: Das Besondere an der Kreisparametrisierung ist, dass sie von einer transzendenten Funktion generiert wird, nämlich formula_47. Dabei bedeutet "transzendent," dass es kein allgemeines Prinzip gibt, die Funktionswerte formula_48 durch "endlich viele" Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen oder Divisionen aus den Eingaben formula_49 und festen Zahlen zu erzeugen. Unter diesen Umständen ist eigentlich zu erwarten, dass die Funktionswerte unter rationalen Eingaben formula_49 keine besondere Struktur haben (es ist formula_51 zwar ein Körper, aber es wird nicht gefordert, dass dieser unter "unendlich" vielen algebraischen Operationen immer noch abgeschlossen sein muss). Erschwerend machen die algebraischen Zahlen im asymptotischen Sinne 0 % aller komplexen Zahlen aus, weshalb ein „Zufall“ ausgeschlossen wäre. Tatsächlich aber kann mittels Potenzgesetzen gezeigt werden, dass jeder der Werte formula_52 mit rationalen Zahlen formula_53 eine algebraische Zahl ist, nämlich der Gleichung formula_54 genügt. Die Algebraizität überträgt sich dann auf die einzelnen Komponenten formula_55 und formula_56. Demnach sind alle rationalen Zahlen formula_51 in gewisser Weise die „Heegner-Punkte des Kreises“, da diese unter der Parametrisierung algebraische Punkte auf dem Kreis erzeugen. Beispielsweise ist wobei formula_59 auf dem Einheitskreis liegt (siehe oben).


title: Heegner-Punkt

text: Bei der Parametrisierung einer Menge von Punkten formula_13, die alle gemeinsam eine Gleichung formula_26 erfüllen, also einer elliptischen Kurve, wird im Prinzip genauso verfahren. Da diese mittels elliptischer Funktionen erfolgt, werden statt reeller Werte dieses Mal komplexe Zahlen in die Parameterfunktionen eingesetzt. Gesucht ist auch hier ein Funktionenpaar formula_62 und formula_63, ähnlich wie Sinus und Kosinus, sodass für jedes formula_49 aus den komplexen Zahlen formula_65 gilt. Nach Einsetzen eines Wertes formula_49 lassen sich auch dann Koordinaten formula_67 der Kurve abschreiben. Auch hier bedient man sich periodischer Funktionen, die jedoch von vornherein auf den komplexen Zahlen definiert werden. Als solche ordnen sie jedem "Punkt einer Ebene" (= jeder "komplexen Zahl") eine komplexe Zahl zu. Als passende Objekte bieten sich die Weierstraßschen ℘-Funktionen an.


title: Heegner-Punkt

text: Diese Form der Parametrisierung ist aus Sicht der Funktionentheorie elementar, gibt aber noch keine Auskünfte über rationale Punkte auf der Kurve. Dafür muss eine andere, weit schwierigere, Parametrisierung betrachtet werden, siehe unten.


title: Heegner-Punkt

text: Heegner-Punkte sind komplexe Zahlen mit positivem Imaginärteil, die irgendeine quadratische Gleichung der Form formula_68 mit ganzen Zahlen formula_69 lösen. Es wird stets davon ausgegangen, dass formula_70 und formula_71 als größten gemeinsamen Teiler die formula_72 haben. Wegen der Lösungsformel/Mitternachtsformel drückt sich die Lösung mit positivem Imaginärteil der quadratischen Gleichung durch aus, wobei im letzten Schritt formula_74 gesetzt wurde. Die Zahl unter der Wurzel, nämlich formula_75 wird als negativ gefordert, da sonst die Wurzel keine imaginäre Zahl erzeugen würde. Sie heißt auch die "Diskriminante" des Heegner-Punktes formula_76 und wird manchmal als formula_77 notiert.


title: Heegner-Punkt

text: Darüber hinaus ist es entscheidend, Heegner-Punkten, neben ihrer Diskriminanten, weitere Daten zuzuordnen. Dies geschieht, um sie bei späteren Rechnungen mit passenden Objekten in Verbindung bringen zu können. Ferner sind diese Daten Teil der vollständigen Definition eines Heegner-Punktes und geben Auskunft darüber, auf welcher geometrischen Figur er später „gefunden“ werden kann. Zum Einen hat man das "Level" von formula_76, das aus der Gleichung formula_68 abgelesen werden kann. Es ist eine positive ganze Zahl formula_80, die formula_81 teilt, sodass der größte gemeinsame Teiler von formula_82 und formula_83 gleich formula_72 ist. Es hat die Eigenschaft, dass der Heegner-Punkt formula_85 die gleiche Diskriminante hat wie formula_76. Eine sehr wichtige Eigenschaft von Heegner-Punkten formula_76 des Levels formula_80 und der Diskriminante formula_77 ist, dass "jede" aus diesen umgeformte Zahl mit ganzen Zahlen formula_91, sodass formula_92 gilt, "wieder" ein Heegner-Punkt von Level formula_80 und Diskriminante formula_77 ist. Dabei handelt es sich um eine Transformation mittels sog. Kongruenzuntergruppen. Es ist sogar möglich, formula_76 mit all diesen Punkten zu "identifizieren", da all diese wichtigen Eigenschaften nach der Transformation erhalten bleiben. Man nennt zwei miteinander identifizierte Punkte äquivalent. Beispielsweise sind auf Ebene von Level 1 die Punkte formula_96, formula_97 und formula_98 zueinander äquivalent. Jedoch sind formula_96 und formula_97 "nicht" äquivalent bei Level 11, jedoch noch formula_96 und formula_98. Generell steigt die Anzahl der möglichen Äquivalenzklassen mit dem Level an.


title: Heegner-Punkt

text: Dadurch wird motiviert, dass nur ein kleiner Teil von Heegner-Punkten auf der oberen Halbebene überhaupt betrachtet werden muss, da die dazu äquivalenten wegfallen. Man sagt auch, dass man die Klassen zueinander äquivalenter Punkte betrachtet. Dieses Identifizierungs-Prinzip lässt sich durch ein bekannteres Beispiel veranschaulichen: Es ist möglich eine beliebige reelle Zahl formula_9 mit allen Zahlen zu identifizieren, die von der Form formula_104 sind, wobei formula_105 eine ganze Zahl ist. Somit hätten formula_106 und formula_2 dieselben „Eigenschaften“. Nach Berücksichtigung dieser Äquivalenz ist es ausreichend, das Intervall formula_108 statt ganz formula_109 zu studieren und 1-periodische Funktionen wie formula_110 behandeln äquivalente Punkte gleich. Der auf dem rechten Bild gezeigte graue Bereich ist eine Fläche, auf der die Klassen bezüglich Level 1 zusammengefasst sind – jedoch wäre auch jeder andere von blauen Linien umrandete Bereich wählbar. Es ist daher naheliegend, Funktionen auf der oberen Halbebene zu betrachten, die beim Wechsel zwischen zueinander äquivalenten (Heegner-)Punkten bzw. zwischen verschiedenen Identifizierungsbereichen ihren Wert nicht ändern, so wie formula_110 seinen Wert beim Wechsel formula_112 von formula_108 zu formula_114 nicht ändert. Für die Level-1-Klassen ist eine solche "invariante" Funktion die sog. j-Funktion. Zum Beispiel ist usw. Und genau wie formula_116 aus formula_108 einen Kreis – durch Biegen und an beiden Enden verkleben – parametrisiert, formt formula_118 aus dem Level-N-Identifizierungsbereich eine "Modulkurve". Diese nennt man auch formula_119. Unter dieser Abbildung verwandeln sich Heegner-Punkte formula_76 mit Level formula_80 zu Punkten formula_122 auf der entsprechenden Modulkurve, werden aber weiterhin so bezeichnet. Als Kurven bestehen Modulkurven aus Punkten, die eine algebraische Gleichung lösen, siehe unten.


title: Heegner-Punkt

text: Die Anzahl der Klassen von Heegner-Punkten unter obiger Identifizierung hängt nach fester Wahl einer Diskriminante eng mit der Klassenzahl des Körpers formula_123 zusammen. Fixiert man eine Diskriminante, so liegen außerdem stets nur endlich viele Heegner-Punkte des betrachteten Levels und dieser Diskriminante in einem Identifizierungsbereich. Es gilt, dass die Anzahl „im Wesentlichen“ "genau" der Klassenzahl entspricht – hier wurden jedoch gewisse Transformationen ähnlich zu denen der Kongruenzuntergruppen noch nicht berücksichtigt, die ebenfalls Heegner-Punkte auf solche mit gleichen Eigenschaften senden. Diese nennt man auch "Involutionen." Da sie aber nicht Teil der Kongruenzuntergruppen sind, werden die dadurch verwandten Punkte auch nach der Identifizierung durch die Kongruenzuntergruppe noch unterschieden. Erst nach "erneuter" Identifizierung von Klassen, die mit Involutionen auseinander hervorgehen, sind es schließlich genau so viele Klassen wie die Klassenzahl von formula_123.


title: Heegner-Punkt

text: Der bereits in der Einleitung gezeigte Punkt ist ein Heegner-Punkt mit Level 1, denn es gilt


title: Heegner-Punkt

text: Ein Beispiel für einen Heegner-Punkt mit Level 3 ist der mit der quadratischen Form formula_128 mit Diskriminante formula_129 korrespondiert. Ferner ergibt sich, dass zum Beispiel auch ein Heegner-Punkt mit Level 3 und Diskriminante formula_131 ist, denn formula_132.


title: Heegner-Punkt

text: Die Parametrisierung formula_133, mit der Weierstraßschen ℘-Funktion, beschreibt zwar die Figur einer elliptischen Kurve, bringt aber keine zahlentheoretischen Informationen. Um rationale Punkte auf einer elliptischen Kurve konstruieren zu können, müssten einfache Punkte formula_134 auf der Periodenmasche bekannt sein, sodass die Koordinaten formula_135 rational sind. Solche hypothetischen „Heegner-Punkte“ gibt es im Allgemeinen jedoch nicht, bzw. sie können nicht einfach erraten werden. Dank des Modularitätssatzes, der nach längerer Zeit von Andrew Wiles und anderen bewiesen werden konnte, ist allerdings bekannt, dass es noch eine weitere Art gibt, elliptische Kurven formula_26, die über den rationalen Zahlen definiert sind (also mit formula_137), zu parametrisieren. Auch in diesem Falle ist die Funktion, die bei der Abbildung eine Rolle spielt, periodisch und transzendent. Jedoch ist die Abbildung deutlich komplizierter als die Variante mittels der Weierstraßschen ℘-Funktionen. Beim Parameterobjekt handelt es sich um die obere Halbebene, also alle komplexen Zahlen mit positivem Imaginärteil.


title: Heegner-Punkt

text: Dafür wird der Führer formula_80 der elliptischen Kurve ausgerechnet, eine positive ganze Zahl. Dieser sagt aus, dass die elliptische Kurve von der Modulkurve formula_119 parametrisiert wird: Da die parametrisierende Funktion auf der oberen Halbebene unter Substitution formula_140 mit ganzen Zahlen formula_92 auf der elliptischen Kurve unverändert bleibt, ist dies mathematisch sinnvoll. Zwar wirkt das Parameterobjekt jetzt viel komplizierter, aber im Gegensatz zur elliptischen Kurve bzw. Periodenmasche können auf diesem Objekt manche algebraischen Punkte (ggf. sogar rationale Punkte) "direkt erraten" werden – die sog. "Heegner-Punkte." Der Schlüssel zu der Erkenntnis, dass die Punkte formula_142 mit einem Level-N-Heegner-Punkt algebraische Koordinaten haben, ist, dass sich die quadratische Gleichung formula_68 zu umformen lässt. Aus den Invarianzeigenschaften von formula_145 kann argumentiert werden, dass es dann bereits ganze Zahlen formula_146 gibt, sodass ist. Ähnliches gilt für formula_85. Die von Wiles vorhergesagte "direkte, transzendente" Parametrisierung kann damit in zwei, in der Theorie, einfachere Abbildungen zerlegt werden, von denen die erste eine Zwischenparametrisierung der Modulkurve vorsieht. Dadurch wird der algebraische Charakter der Gesamtabbildung an den Heegner-Punkten sichtbar. Durch die Unterteilung geht die Abbildung von der "oberen Halbebene" in die "Modulkurve" und von der "Modulkurve" in die "elliptische Kurve" anstatt von der "oberen Halbebene" direkt in die "elliptische Kurve:"Es ist in der Praxis schwierig, sowohl die Gleichung der Modulkurven als auch die Polynome formula_162 und formula_163 explizit anzugeben, da diese mit steigendem Führer schnell kompliziert werden. Es wird daher bei berechnenden Algorithmen stets der Weg von der oberen Halbebene "direkt" in die elliptische Kurve gewählt, siehe unten.


title: Heegner-Punkt

text: Zusammenfassend: Da algebraische Punkte auf der Modulkurve mittels Heegner-Punkten und der j-Funktion „direkt ausgerechnet“ werden können und die folgende "algebraische" Abbildung von der Modulkurve in die elliptische Kurve die Algebraizität beibehält, werden durch dieses Verfahren algebraische Punkte auf der elliptischen Kurve generiert. Dies ist der analoge Teil zum Kreis – hier konnten mittels der transzendenten Funktion formula_164 direkt algebraische Werte auf dem Kreis ausgerechnet werden (also spielt das Intervall formula_38 hier die Rolle der oberen Halbebene).


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text: Es ist selbst in der Praxis unüblich, die Gleichungen, die eine Modulkurve formula_119 definieren, hinzuschreiben, da diese sog. "modular equations" sehr schnell sehr kompliziert werden. Bereits im Fall formula_167 findet man


title: Heegner-Punkt

text: Durch einen einzelnen Heegner-Punkt wird zunächst noch kein "rationaler" Punkt auf der elliptischen Kurve geboren. Auch im Gegensatz zum Kreis stammen Heegner-Punkte nicht aus den rationalen Zahlen, sondern liegen, wenn in der oberen Halbebene und nicht auf der Modulkurve startend, in einem quadratischen Körper formula_123 mit einer ganzen Zahl formula_170. Dann ist formula_171 die betreffende Diskriminante. Werden jedoch mehrere verwandte Heegner-Punkte geschickt miteinander verrechnet, kann in manchen Fällen gewährleistet werden, dass die damit erzeugten Punkte auf der elliptischen Kurve sogar rational sind. Die Anzahl der Heegner-Punkte, die benötigt wird, hängt dabei von der Klassenzahl des quadratischen Körpers ab, in dem sie liegen.


title: Heegner-Punkt

text: Die betrachtete Parametrisierung kann also, mitsamt diesem Prinzip, als eine verallgemeinerte Version von formula_48 angesehen werden.


title: Heegner-Punkt

text: Es ist bei der Berechnung rationaler Punkte auf elliptischen Kurven nicht sinnvoll, über die Gleichungen zu gehen, die Modulkurven definieren, siehe oben, sondern stattdessen wird direkt von der oberen Halbebene aus parametrisiert. Mittels der Parametrisierung formula_173 von Wiles werden Heegner-Punkte, also Lösungen quadratischer Gleichungen mit positivem Imaginärteil, durch die Funktion formula_173 auf einen Wert gesendet, der auf der zur elliptischen Kurve gehörigen Periodenmasche liegt. Von dort aus kann formula_173 über Anwendung der entsprechenden ℘-Funktionen auf ein Tupel formula_176 gesendet werden, sodass formula_177. Gleichzeitig haben diese ausgewählten formula_178 und formula_179 beide gute algebraische Eigenschaften, erfüllen für sich genommen also eine algebraische Gleichung. Im besten Falle handelt es sich bei formula_180 um einen rationalen Punkt.


title: Heegner-Punkt

text: Aus den Daten formula_181 kann, das konnte Wiles zeigen, mittels eines Algorithmus die Parametrisierung formula_173 gewonnen werden. Für diesen ist es zunächst wichtig, dass formula_27 beide rational sind. Zum Beispiel trifft dies bei der Kurve formula_184 zu. Für die Konstruktion von formula_62 muss formula_186 "über Primzahlen" betrachtet werden. Das bedeutet, dass bei einer Primzahl formula_162 nur noch mit den Restklassen formula_188 bei Teilung durch formula_162 gerechnet wird. Zum Beispiel ist formula_190 modulo formula_191, da formula_192 durch formula_191 teilbar ist, also sowohl formula_194 als auch formula_195 nach Division mit formula_191 den gleichen Rest lassen. Bei der Konstruktion von formula_173 muss die Gleichung formula_198 nur noch unter Aspekten der Restgleichheit betrachtet werden, aber theoretisch für "alle" Primzahlen nacheinander. Beispielsweise hätte man für formula_199 nur zu prüfen, ob die vier Punkte formula_200 auf der modulo formula_195 reduzierten Kurve formula_198 liegen, da formula_203 und formula_72 die einzigen Reste modulo formula_195 sind. Durch Einsetzen in oberer Reihenfolge in formula_184 findet man formula_207, wobei die Aussagen formula_208 und formula_209 modulo formula_195 beide wahr sind, da die Restklassen übereinstimmen. Also liegen hier 2 Punkte auf der Kurve. Ähnlich kann modulo beliebiger Primzahlen verfahren werden, und damit wird eine Folge ganzer Zahlen über die Lösungsanzahlen erzeugt. Aus dieser Folge kann wiederum eine Folge formula_211 ganzer Zahlen ermittelt werden, welche die Funktion formula_212 kodiert, die später zum Aufbau der Parametrisierung eingesetzt werden kann. Sie entsteht durch Bilden der Fourierreihe Außerdem konnte Wiles beweisen, dass diese Funktion nicht nur, wegen der Fourierreihe, periodisch ist, sondern sogar noch weitere Transformationseigenschaften hat. Diese Transformationseigenschaften machen formula_212 zu einer Modulform und erlauben es, formula_212 dafür zu benutzen, auf der oben beschriebenen Modulkurve Integrale auszurechnen. Setzt man in das Integral einen Heegner-Punkt ein, wobei formula_217 der Punkt unendlich weit oben auf der oberen Halbebene ist, ist das Ergebnis zunächst eindeutig bestimmt. Die Summe als Ergebnis des Integrals wurde durch summandenweise Anwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Regel, dass formula_218 Stammfunktion von formula_219 ist, gewonnen. Man will jedoch nicht mehr die obere Halbebene, sondern die Modulkurve betrachten, denn Wiles’ Parametrisierung ist eine zwischen algebraischen Kurven und nur als solche kann sie eine algebraische Abbildung darstellen. Demnach müsste das Integral eigentlich unverändert bleiben, wenn man statt formula_76 Heegner-Punkte einsetzt, die mit formula_76 nach Verbiegen und Falten von Fundamentalbereichen zu einem Donut identifiziert werden. Man kann zeigen, dass die Eindeutigkeit als komplexe Zahl zwar verloren geht, jedoch wieder hergestellt wird, falls man das Ergebnis auf einer Periodenmasche sieht und es egal ist, welche Masche genau gewählt ist. Diese Periodenmasche gehört im Regelfall genau zur zu Beginn betrachteten expliziten elliptischen Kurve. Damit liegt das Ergebnis aber schon auf der betrachteten elliptischen Kurve und hat dort gute Eigenschaften.


title: Heegner-Punkt

text: Im Umfeld der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, benannt nach Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer, spielen Heegner-Punkte eine wichtige Rolle. Diese Vermutung trifft eine Aussage über den sog. "Rang" einer elliptischen Kurve über den "rationalen Zahlen." Der Rang ist eine nicht-negative ganze Zahl und beschreibt die Größenordnung der Anzahl rationaler Punkte auf einer elliptischen Kurve.


title: Heegner-Punkt

text: Ein Rang von 0 bedeutet dabei, dass "nur endlich viele" rationale Punkte auf der Kurve liegen. Das hat zur Konsequenz, dass "jeder" rationaler Punkt "endliche" Ordnung haben muss, also bei beliebig häufiger Addition mit sich selbst in ein sich wiederholendes Muster verfällt.


title: Heegner-Punkt

text: Ab Rang 1 haben die Kurven stets unendlich viele Punkte. Dennoch kann hier noch zwischen dem "Ausmaß des Unendlichen" differenziert werden. Je höher der Rang, desto „mehr“ Punkte hat die Kurve. Das Ausmaß der Häufigkeit wird daran bemessen, wie viele Punkte benötigt werden, um "alle" Punkte der Kurve durch Addieren und Subtrahieren dieser ausgewählten Punkte zu erzeugen. Ganz in diesem Sinne hat die Menge formula_222 der unendlich vielen ganzzahligen 2-Tupel Rang 2, denn man benötigt "zwei" Punkte, um additiv alle Punkte durch Addieren und Subtrahieren zu gewinnen, etwa formula_223 und formula_224, zum Beispiel ist durch komponentenweise Addition. Hingegen hat formula_226 nur den Rang 1, da jede ganze Zahl durch Additionen oder Subtraktionen der formula_72 mit sich selbst erzeugt werden kann – also nur "einem" Element.


title: Heegner-Punkt

text: Die eigentliche Vermutung sagt aus, dass der Rang einer elliptischen Kurve formula_186 über den rationalen Zahlen aus deren „analytischen Daten“ abgelesen werden kann. Damit ist genau die von Wiles erzeugte Modulform formula_229 gemeint, die ein Objekt der komplexen Analysis und „nicht der Algebra“ ist. Aus formula_230 kann die sog. "L-Funktion der zugehörigen elliptischen Kurve" berechnet werden: Sie entsteht auch aus den Zahlen formula_231 Es handelt sich hierbei um eine sog. Dirichletreihe. Diese lässt sich nach Wiles zu einer für alle komplexen Zahlen gültigen Funktion ausweiten. Die Vermutung sagt aus, dass die Nullstellenordnung von formula_233 im Punkt formula_234 gerade dem Rang von formula_235 entspricht. Sie gehört zu den wichtigsten Problemen der Mathematik und verbleibt bis heute ungeklärt.


title: Heegner-Punkt

text: Jedoch konnte dieses Problem im Falle der Ränge 0 und 1 mit Hilfe von Heegner-Punkten gelöst werden. Den Durchbruch lieferte die Kombination zweier mathematischer Aufsätze, der eine von Benedict Gross und Don Zagier, der andere von Victor Kolyvagin. Die Leistung von Gross und Zagier bestand darin, zu erkennen, dass sich die "kanonische Höhe" der durch Heegner-Punkte konstruierten rationalen Punkte auf einer elliptischen Kurve durch L-Funktionen an der Stelle formula_234 ausdrücken lässt. Dabei ist die kanonische Höhe ein Maß für die Komplexität eines Punktes auf der Kurve. Für die Definition der kanonischen Höhe definiert man zuerst eine "naive Höhe," die jedem Punkt zuordnet, wie schwierig die in ihm enthaltenen rationalen Zahlen sind. Beispielsweise ist formula_237 eine „einfachere“ rationale Zahl als formula_238, da die benötigten Zahlen bei den vollständig gekürzten Brüchen im ersten Fall kleiner waren. Man schreibt dann formula_239 als naive Höhe des Punktes formula_34 und hätte rein exemplarisch durch logarithmischen Zuwachs in der größten auftauchenden Zahl Die kanonische Höhe formula_242 von formula_34 wird nun definiert durch wobei also im rechten Bruch der Parameter formula_245 gegen Unendlich strebt. Die Idee ist, dass die kanonische Höhe für einen sich in der Addition ständig wiederholenden Torsionspunkt einfach formula_203 ist, da sich dann der Zähler des Bruchs wiederholt und damit beschränkt ist, während der Nenner wegen formula_247 immer größer wird. Andersherum kann gezeigt werden, dass im Falle eines Punktes formula_34 unendlicher Ordnung ein Wert größer als formula_203 heraus kommt, da die Summen formula_250, formula_251, formula_252 usw. immer kompliziertere rationale Komponenten enthalten. Gross und Zagier konnten beweisen, dass formula_242 bis auf einen Vorfaktor der Größe formula_254 entspricht. Hat formula_233 nun eine Nullstelle der Ordnung 1 in formula_234, dann hat ihre Ableitung "keine" Nullstelle in formula_234.


title: Heegner-Punkt

text: Victor Kolyvagin zeigte aber, dass wenn der durch Heegner-Punkte generierte rationale Punkt unendliche Ordnung hat, die Kurve tatsächlich schon den Rang 1 hat. Aus der Formel von Gross und Zagier kann dieses Szenario dann aber anhand der L-Funktion abgelesen werden, nämlich nur dann, wenn die L-Funktion die Ordnung 1 in formula_234 hat, und somit ist die von Birch und Swinnerton-Dyer vorhergesagte Beziehung zwischen Rang und Nullstellenordnung einer L-Funktion hier hergestellt.


title: Heegner-Punkt

text: In der Mathematik ist man an Mengen interessiert, die bezüglich möglichst vieler Strukturen abgeschlossen sind. Eine Menge erhält dann zusätzliche Struktur, wenn es Verknüpfungen zwischen ihren Elementen gibt. Betrachtet man zum Beispiel die Menge der ganzen Zahlen formula_259, so fällt auf, dass diese unter den Verknüpfungen Addition und Multiplikation abgeschlossen ist: Addiert oder multipliziert man zwei ganze Zahlen, wird das Ergebnis wieder eine ganze Zahl sein und man hat die ursprüngliche Menge nicht verlassen. Noch strukturierter ist es jedoch, wenn man auch dividieren darf. Dies wird in den ganzen Zahlen jedoch nicht immer möglich sein, da zum Beispiel formula_260 keine ganze Zahl ist. Daher muss hier der Bereich erweitert werden, um auch eine Abgeschlossenheit unter Division zu erhalten. Im Falle von formula_226 gelangt man damit zu den rationalen Zahlen formula_51. Es muss noch gefordert werden, dass es eine „0“ und eine „1“ gibt (neutrale Elemente der Addition und Multiplikation), sodass man mit der Tatsache/Regel formula_263 für alle Zahlen formula_264 eine algebraische Struktur erhält, die auch Körper genannt wird.


title: Heegner-Punkt

text: Natürlich ist formula_51 nicht der einzige Körper. So ist die Menge der reellen Zahlen formula_109 ebenfalls ein Körper, da auch hier die oben beschriebenen Regeln gelten. Jedoch gibt es weit mehr reelle als rationale Zahlen, weshalb viele Fragestellungen der Zahlentheorie, gerade bezogen auf Zerlegung von Zahlen in „elementarere Zahlen“, hier nicht mehr sinnvoll sind. In der Zahlentheorie interessiert man sich daher besonders für Körper, die dem der rationalen Zahlen viel mehr ähneln als die reellen Zahlen. Denkbar ist es, sich einzelne nicht-rationale Zahlen hinzuzunehmen, und daraus durch Bilden aller möglichen Summen, Produkte und Quotienten einen neuen Körper zu konstruieren. So ist zum Beispiel die Menge formula_267, bestehend aus allen Zahlen der Form formula_268 mit rationalen Zahlen formula_269, wieder ein Körper. Man spricht bei einer solchen Erweiterung der rationalen Zahlen von einem Zahlkörper.


title: Heegner-Punkt

text: Die Klassenzahl und damit Heegner-Punkte kommen dort ins Spiel, wo es darum geht, die ganzen Zahlen formula_226 als Verwandten der rationalen Zahlen formula_51 zu sehen, da letztere gewissermaßen durch Quotientenbildung aus ihnen hervorgehen. Auch bei Zahlkörpern kann man solche zugehörigen „ganzen Zahlen“ finden, jedoch müssen diese nicht mehr nur formula_226 sein, sondern können weitere Elemente enthalten. Ganze Zahlen im Körper formula_267 wären in etwa im Gegensatz zu allgemeinen Körperelementen wie Auch bei Arten verallgemeinerter ganzer Zahlen kann untersucht werden, ob es eine (bis auf Elemente wie einfache Vorzeichen formula_276 und natürlich Reihenfolge) eindeutige Zerlegung in „Primzahlen“ gibt. In formula_226 ist dies bekanntermaßen der Fall, zum Beispiel ist formula_278 mit den Primzahlen formula_195 und formula_191, und es gibt keine anderen Zerlegungsmöglichkeiten, außer Vorzeichen- und Reihenfolgenwechsel wie zum Beispiel formula_281. Also ist formula_226 gewissermaßen zahlentheoretisch „gutartig“ – es gibt nur "eine" Klasse von Zerlegungsmöglichkeiten. Im Falle beliebiger Zahlkörper kann es aber passieren, dass es in deren ganzen Zahlen keine eindeutige Zerlegbarkeit mehr in „Primzahlen“ (allgemeiner Primelemente genannt) gibt. Ein Beispiel für fehlende Eindeutigkeit ist mit den vier Primelementen formula_284 in den ganzen Zahlen von formula_285. Für die letzte Umformung kann formula_286 als Differenz formula_287 zweier Quadrate geschrieben werden, was sich dann zum Produkt aus Summe und Differenz der beiden Basen formula_288 und formula_289 faktorisieren lässt. Es kann nun gemessen werden, wie stark die Situation vom „Idealfall“ einer eindeutigen Zerlegbarkeit abweicht. Dieser Fehler wird als Klassenzahl des Zahlkörpers bezeichnet und ist eine natürliche Zahl. Zum Beispiel hat der Körper der rationalen Zahlen die Klassenzahl 1.


title: Heegner-Punkt

text: Die Bestimmung der Klassenzahl eines Zahlkörpers ist im Allgemeinen ein sehr schwieriges Unterfangen und es gibt bis heute viele ungelöste Probleme in diesem Bereich. "Heegner-Punkte" können (indirekt) dazu verwendet werden, die Klassenzahl einiger Körper zu bestimmen. Es lässt sich zum Beispiel zeigen, dass die einzigen quadratischen Zahlkörper mit imaginären Zahlen, in denen eine eindeutige Zerlegung in Primelemente existiert, genau die Körper sind.


title: Heegner-Punkt

text: Möchte man versuchen, einen nicht-trivialen rationalen Punkt auf einer elliptischen Kurve über den rationalen Zahlen mittels Heegner-Punkten zu finden, ist der Ausgangspunkt die Gleichung der Kurve. Dabei ist für die Rationalität des erzeugten Punktes wichtig, dass "alle" Heegner-Punkte eines Levels und einer bestimmten Diskriminante auf der Modulkurve einfließen. Dabei wurden Äquivalenzen bezüglich Involutionen schon berücksichtigt, was bedeutet, dass immer formula_291 (Klassenzahl) Punkte in den Algorithmus gepackt werden. Es wird exemplarisch das Beispiel gewählt. Der erste Schritt ist, das Level dieser Kurve zu bestimmen. Dieses ist eine positive ganze Zahl und bestimmt nachher darüber, welche Heegner-Punkte für die Konstruktion in Frage kommen können – nämlich solche, die "gleiches" Level wie die Kurve haben. Das Level formula_80 der elliptischen Kurve gibt die eindeutige Zahl, sodass die von Wiles genannte Parametrisierung formula_294 von der Modulkurve formula_119 in die Kurve formula_186 existiert. Es kann mittels eines Algorithmus von John T. Tate aus den Koeffizienten der algebraischen Gleichung von formula_186 berechnet werden. Im Falle von formula_298 erhält man formula_299. Nun müssen systematisch zum Level passende Diskriminanten formula_170 durchgegangen werden, die in die Formel von Gross und Zagier eingesetzt werden, um numerisch zu prüfen, ob für die kanonische Höhe des späteren rationalen Punktes formula_203 herauskommt oder nicht. Zum Beispiel liefert die Formel für formula_302 ein Ergebnis sehr nahe an formula_203, weshalb hier höchstwahrscheinlich ein Torsionspunkt herauskommt, der trivial ist. Bei formula_304 kommt jedoch nicht formula_203 heraus, also kann diese Diskriminante gewählt werden. Gesucht sind nun Heegner-Punkte des Levels formula_306 und Diskriminante formula_304. Die Klassenzahl von formula_308 ist 4, weshalb theoretisch 4 nicht zueinander äquivalente Heegner-Punkte gebraucht werden, jedoch kann der Algorithmus dies auf die 2 Punkte und reduzieren. Dahinter verbirgt sich ein Rechentrick, der Symmetrien zwischen je zwei betrachteten Punkten ausnutzt. Diese lösen die quadratischen Gleichungen formula_311 und formula_312. Für die weiteren Rechnungen muss die zu formula_186 zugehörige Modulform formula_230 numerisch hinreichend gut ermittelt werden. Dann werden die Punkte formula_315 und formula_316 in die Parametrisierungen eingesetzt und durch eine Umformung wird alles in die Form gebracht, als wenn alle 4 inäquivalenten Punkte eingesetzt worden wären. Das Ergebnis ist nun Teil der Periodenmasche zur elliptischen Kurve, kann jedoch mittels formula_133 auf die eigentliche Kurve transportiert werden. Der durch diese Heegner-Punkte konstruierte rationale Punkt ist schließlich Dieser rationale Punkt beweist nach einem Satz von Tunnell, dass es zu formula_319 ein rechtwinkliges Dreieck gibt, das ausschließlich "rationale" Seitenlängen und den Flächeninhalt formula_320 hat. Das zugeordnete rechtwinkelige Dreieck, berechnet von Don Zagier, hat die Seitenlängen (formula_43 Katheten, formula_322 Hypotenuse):


title: Heegner-Punkt

text: Der Grundstein der Theorie um Heegner-Punkte wurde bereits 1908 in Heinrich Webers Werk "Lehrbuch der Algebra" gelegt. In diesem beschäftigte Weber sich intensiv mit der j-Funktion und ihrer Verbindung zur Klassenkörpertheorie. Er gilt als Entdecker der Theorie der komplexen Multiplikation. Komplexe Multiplikation bezieht sich dabei auf elliptische Kurven, auf denen Punkte nicht nur ganzzahlig vervielfacht werden können, etwa formula_326, sondern wo es auch eine Multiplikation mit "bestimmten" imaginären Zahlen gibt, also exemplarisch formula_327. Die Theorie der komplexen Multiplikation, wie sie von Weber entwickelt wurde, gibt Auskunft über den Körper, in dem formula_328 lebt, wenn formula_81 ein Ideal eines gegebenen komplexen quadratischen Rings ist. Zum Beispiel bewies Weber die Identität im Rahmen dieser von formula_145 erzeugten Körpererweiterungen. Während es sich bei der Eingabe von formula_145 um den Heegner-Punkt formula_333 (hier in der Schreibweise formula_334) handelt, ist die rechte Seite als Verkettung von Wurzelausdrücken und ganzen Zahlen eine algebraische Zahl, löst also eine algebraische Gleichung. Adjungiert man diese Zahl zu dem zur Diskriminante des Heegner-Punkts gehörigen quadratischen Zahlkörper hinzu, ergibt sich die abelsche Körpererweiterung formula_335 des Zahlkörpers formula_336. Dieses Programm wurde von Weber jedoch in größerer Allgemeinheit als nur zur vollen Modulgruppe verfolgt und später von Heegner wieder aufgegriffen.


title: Heegner-Punkt

text: Jedoch kam die Theorie der Modulfunktionen ziemlich abrupt völlig aus der Mode. Erich Hecke und Robert Alexander Rankin leisteten zwar wichtige Beiträge, jedoch geht aus den damaligen Publikationen hervor, dass die meisten Mathematiker ein halbes Jahrhundert lang kaum wussten, dass die Theorie der Modulfunktionen überhaupt jemals existiert hatte.