title: Jindřichov (Velká Bíteš)

text: Jindřichov (deutsch "Heinrichsdorf") ist ein Ortsteil der Stadt Velká Bíteš in Tschechien. Er liegt vier Kilometer südwestlich von Velká Bíteš und gehört zum Okres Žďár nad Sázavou.


title: Jindřichov (Velká Bíteš)

text: Jindřichov befindet sich in der Křižanovská vrchovina ("Krischanauer Bergland") im Süden der Böhmisch-Mährischen Höhe. Das an drei Seiten von Wäldern umschlossene Dorf liegt zwischen den Tälern der Bäche Jestřábský potok und Jindřichovský potok auf einer Hochebene. Nördlich verläuft die Autobahn D 1.


title: Jindřichov (Velká Bíteš)

text: Nachbarorte sind Demáčky, Nové Sady und Lánice im Norden, Velká Bíteš, Janovice und Otmarov im Nordosten, Košíkov im Osten, Ludvíkov, Stanoviště, Krokočín und Hluboké im Südosten, Křemelík und Jinošov im Süden, Pucov und Jasenice im Südwesten, Čikov im Westen sowie Holubí Zhoř, Březka und Jestřabí im Nordwesten.


title: Jindřichov (Velká Bíteš)

text: "Heinrichsdorf" wurde 1780 zusammen mit "Ludwigsdorf" ("Ludvíkov") durch den Besitzer der Herrschaft Herrschaft Namiest, Karl Wilhelm Sigismund Graf von Haugwitz, gegründet. Das Dorf ist eine von mehreren im 18. Jahrhundert auf herrschaftlichen Fluren neu gegründeten Kolonien, mit denen Bewohnern der übervölkerten alten Dörfer eine ausreichende Lebensgrundlage geboten werden sollte. Das Gassendorf "Heinrichsdorf" entstand am Westrand des herrschaftlichen Koschkower Waldes ("Košíkovský les") und wurde nur mit geringer Feldflur ausgestattet. Entlang des Angers wurden 21 giebelständige gezimmerte Häuser gleicher Bauart mit Vorgarten und einem kleinen Stall errichtet. Benannt wurde die Kolonie zu Ehren von Haugwitz´s einzigem Sohn Heinrich Wilhelm. Zu einem späteren Zeitpunkt wurden hinter den Häusern noch Scheunen errichtet.


title: Jindřichov (Velká Bíteš)

text: Im Jahre 1837 bestand das im Znaimer Kreis gelegene Dorf "Heinrichsdorf" bzw. "Gindřichow" aus 22 Häusern, in denen 142 Personen lebten. Pfarr- und Schulort war Jeneschau. Bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts blieb "Heinrichsdorf" der Fideikommissgrafschaft Namiest untertänig.


title: Jindřichov (Velká Bíteš)

text: Nach der Aufhebung der Patrimonialherrschaften bildete "Jindřichov" / "Heinrichsdorf" ab 1849 einen Ortsteil der Gemeinde Jesenice im Gerichtsbezirk Namiest. Ab 1869 gehörte Jindřichov zum Bezirk Trebitsch. Zu dieser Zeit hatte das Dorf 153 Einwohner und bestand aus 23 Häusern. 1892 lösten sich Březka, Jestřabí und Jindřichov von Jesenice los und bildeten die Gemeinde Březka. 1896 wurde Jindřichov in den Bezirk Groß Meseritsch und Gerichtsbezirk Groß Bittesch umgegliedert. Im Jahre 1900 lebten in Jindřichov 153 Personen; 1910 waren es 145. Im Jahre 1920 entstand die Gemeinde Jindřichov, zu der der Ortsteil Jestřabí gehörte. Beim Zensus von 1921 lebten in den 40 Häusern der Gemeinde 231 Tschechen; in den 26 Häusern von Jindřichov waren es 148. Im Jahre 1930 bestand Jindřichov aus 27 Häusern und hatte 129 Einwohner. Zwischen 1939 und 1945 gehörte Jindřichov / Heinrichsdorf zum Protektorat Böhmen und Mähren. 1948 wurde die Gemeinde dem Okres Velká Bíteš zugeordnet. Im Jahre 1950 hatte Jindřichov 117 Einwohner. Im Zuge der Gebietsreform und der Aufhebung des Okres Velká Bíteš wurde die Gemeinde am 1. Juli 1960 dem Okres Žďár nad Sázavou zugewiesen. Am 1. Juli 1980 erfolgte die Eingemeindung nach Velká Bíteš. Beim Zensus von 2001 lebten in den 27 Häusern von Jindřichov 84 Personen. Zu Beginn des Jahres 2010 hatte das Dorf 77 Einwohner.


title: Jindřichov (Velká Bíteš)

text: Zu Jindřichov gehört die Einschicht Demáčky. Der Ortsteil bildet den Katastralbezirk "Jindřichov u Velké Bíteše".


title: Henry Noel Brailsford

text: H. N. Brailsford (* 25. Dezember 1873 in Yorkshire; † 23. März 1958) war ein britischer Journalist.


title: Henry Noel Brailsford

text: Brailsford war der Sohn eines methodistischen Predigers. Er besuchte die High School in Dundee. Die ursprünglich von ihm angestrebte akademische Laufbahn brach er ab, um stattdessen Journalist zu werden.


title: Henry Noel Brailsford

text: In den 1890er Jahren wurde Brailsford als Auslandskorrespondent des "Manchester Guardian" zu einer bekannten Persönlichkeit 1899 ließ er sich in London nieder, wo er in den folgenden Jahren für den "Morning Leader" und die "Daily News" schrieb. Als Anhänger der Wahlrechtsbewegung für Frauen quittierte Brailsford die Arbeit für die Daily News 1909 aus Protest gegen die Befürwortung der zwangsweisen Ernährung von hungerstreikenden Suffragetten durch diese Zeitung. Bereits 1907 hatte Brailsford sich an dr Gründung der "Men's League for Women's Suffrage", der Organisation männlicher Befürworter des Frauenwahlrechts beteiligt. Politisch war er seit demselben Jahr in der Independent Labour Party organisiert.


title: Henry Noel Brailsford

text: Parallel zu seiner journalistischen Tätigkeit veröffentlichte Brailsford eine große Zahl von Büchern.


title: Henry Noel Brailsford

text: Von 1913 bis 1914 war Brailsford neben Pawel Miljukow, Josef Redlich, Samuel Train Dutton und Justin Godart ein Mitglied der von der Carnegie Stiftung für Internationalen Frieden finanzierten internationalen Kommission zur Untersuchung der damaligen Balkankriege welche Südosteuropa besuchte. Der so genannte Carnegie-Bericht der Kommission wurde im Frühjahr 1914 veröffentlicht.


title: Henry Noel Brailsford

text: Anlässlich der Unterhauswahl des Jahres 1918 kandidierte Brailsford erfolglos für einen Sitz im britischen Parlament für die Labour Party. Stattdessen bereiste er während der Jahre 1919 und 1920 die unterlegenen Länder des gerade beendeten Weltkrieges. In zwei Büchern – "Across the Blockade" und "After the Peace" (1920) – schilderte er die verheerenden Lebensbedingungen die in den besiegten Staaten infolge der Einfuhrblockade mit der die britische Marine den europäischen Kontinent während der Kriegsjahre belegt hatte, herrschten.


title: Henry Noel Brailsford

text: 1920 und 1926 unternahm Brailsford Reisen in die Sowjetunion. Er veröffentlichte später zwei Bücher über seine Wahrnehmungen dort.


title: Henry Noel Brailsford

text: Von 1922 bis 1926 war Brailsford Herausgeber der Zeitung "New Leader". Während der 1930er Jahre war er regulärer Beiträger der Zeitschriften "Reynold's News" und "New Statesman".


title: Henry Noel Brailsford

text: Brailsford war ein dezidierter Kritiker des faschistischen Italiens und des nationalsozialistischen Deutschlands. Zudem veröffentlichte er antikolonialistische, antimilitaristische und antimilitaristische Bücher wie "Rebel India" (1931) und "Property or Peace?" (1934).


title: Henry Noel Brailsford

text: Infolge seiner exponierten Gegnerschaft zum NS-Regime und seiner antimilitaristischen Gesinnung wurde Brailsford von den nationalsozialistischen Polizeiorganen als ein Staatsfeind des Deutschen Reiches eingestuft: Im Frühjahr 1940 setzte das Reichssicherheitshauptamt in Berlin ihn daher auf die Sonderfahndungsliste G.B., ein Verzeichnis von Personen, die im Falle einer erfolgreichen Invasion und Besetzung der britischen Inseln durch die Wehrmacht von den Besatzungstruppen nachfolgenden Sonderkommandos der SS mit besonderer Priorität ausfindig gemacht und verhaftet werden sollten.


title: Henry Noel Brailsford

text: Während der Kriegsjahre steuerte Brailsford eine wöchentliche Kolumne für die Reynold's News bei.


title: Henry Noel Brailsford

text: In erster Ehe heiratete Brailsford 1898 die Frauenrechtsaktivistin Jane Esdon Malloch. Beide trennten sich schließlich ließen sich aber nicht scheiden. Sie starb 1937 nach vielen Jahren heftigen Alkoholkonsums.


title: Henry Noel Brailsford

text: 1944 heiratete Brailsford in zweiter Ehe Evamaria Perlmann, die als Flüchtling aus Deutschland nach Großbritannien gekommen war.


title: Felipe Meligeni Alves

text: Felipe Meligeni Rodrigues Alves (* 19. Februar 1998 in Campinas) ist ein brasilianischer Tennisspieler.


title: Felipe Meligeni Alves

text: Seine Schwester Carolina Meligeni Alves ist ebenfalls Tennisspielerin. Ihr gemeinsamer Onkel Fernando Meligeni war in den 1990er-Jahren ein erfolgreicher Tennisspieler, der 1999 das Halbfinale der French Open erreichte.


title: Felipe Meligeni Alves

text: Der Brasilianer spielte auf der ITF Junior Tour ab 2015 und konnte in seinem ersten Jahr dort Platz 103 der Junior-Rangliste erreichen. 2016 stand er mit Platz 31 an seiner besten Position. Sein größter Erfolg war als vierter Brasilianer der Gewinn eines Junior-Grand-Slam-Turniers, den Australian Open 2016 in der Doppelkonkurrenz. An der Seite des Bolivianers Juan Carlos Aguilar schlug er die kanadische Paarung aus Benjamin Sigouin und Félix Auger-Aliassime in zwei Sätzen.


title: Felipe Meligeni Alves

text: Ab 2016 trat er bei Profiturnieren an. 2017 gewann er im Doppel seine zwei ersten Titel auf der drittklassigen ITF Future Tour. 2018 kamen im Einzel einer, im Doppel drei Titel dazu, im Doppel stieg er Ende des Jahres in die Top 500 der Weltrangliste ein. Nach drei Titeln im Einzel sowie zwei weiteren erreichten Finals zog er im Einzel 2019 unter die Top 400 und konnte so häufiger an Turnieren der ATP Challenger Tour teilnehmen. Im Doppel gewann er elf Futures und konnte sich ebenfalls bei Challengers etablieren. In Segovia und Lima stand er im Doppel zweimal im Finale, jeweils ohne Titel und kam auf fünf weitere Halbfinals. Das Jahr beendete er auf Rang 391 im Einzel bzw. 178 im Doppel.


title: Felipe Meligeni Alves

text: Im Jahr 2020 folgten seine bis dato besten Resultate. Im Einzel schaffte er in Punta del Este das erste Mal ein Challenger-Halbfinale zu erreichen. Im Februar konnte er dank einer Wildcard an beiden Konkurrenzen der Rio Open teilnehmen, seinem ersten Turnier auf der ATP Tour. Hier konnte er gegen den Weltranglisten-Vierten Dominic Thiem immerhin einen Satz gewinnen. Im Doppel zog er mit Thiago Monteiro ins Halbfinale ein, wodurch er in der Weltrangliste einen Spruch auf Platz 132 machte. In der Folgewoche gab er sein Debüt für die brasilianische Davis-Cup-Mannschaft, als er in der Partie gegen Australien sein Doppelmatch gewann.


title: Meligeni Alves

text: Meligeni Alves ist der Familienname folgender Personen:


title: Meligeni Alves

text: * Carolina Meligeni Alves (* 1996), brasilianische Tennisspielerin


title: Mount Washington (Los Angeles)

text: Mount Washington ist ein Stadtteil im Nordosten der US-amerikanischen Millionenstadt Los Angeles.


title: Mount Washington (Los Angeles)

text: Mount Washington grenzt an die Stadtteile Eagle Rock im Norden und Highland Park im Norden und Nordosten, Montecito Heights und Lincoln Heights im Osten, Cypress Park im Süden und Glassell Park im Osten. Das Viertel erstreckt sich über den als Mount Washington bezeichneten Hügel und bietet hierdurch eine Aussicht über das Los-Angeles-Becken bis hin zum Hafen Los Angeles bei San Pedro.


title: Mount Washington (Los Angeles)

text: Laut der Volkszählung 2000 lebten zu diesem Zeitpunkt 12.728 Personen in Mount Washington. Nach Schätzungen der Planungskommission der Stadt Los Angeles lebten 2008 dort 13.531 Einwohner in dem Viertel. Die Mehrheit der Bewohner (61,2 %) waren 2000 Latinos, 20,8 % waren weiß. 41,5 % wurden außerhalb der USA geboren.


title: Mount Washington (Los Angeles)

text: Die Entwicklung des Viertels begann 1909, als Robert Marsh auf der Spitze des Mount Washington ein Hotel errichtete. Er hat das Land des heutigen Stadtteils mit einem Partner erworben. Das Hotel war nach dem Vorbild des Angels Flight durch eine Standseilbahn mit einer Station am Fuße der Erhebung verbunden. Das Hotel sollte als Werbung für den Verkauf der Grundstücke drumherum dienen. Unterstützt wurde dies durch eine Anzeigenkampagne. 1912 wurde die "Eldred Street" angelegt, die zur Spitze des Mount Washington führt. Diese Straße ist mit einer Steigung von 33 % kurz vor der "Baxter Street" in Echo Park (32 %) die steilste Straße in Los Angeles, und zusätzlich die steilste Straße in Kalifornien. Das Hotel schloss 1916. Das Gebäude wurde kurzzeitig von der Jungenschule "Mount Washington Military School" und dann als Krankenhaus genutzt, stand aber ab 1925 leer. Die Standseilbahn wurde wegen Sicherheitsbedenken 1918 durch Inspektoren der Stadt Los Angeles geschlossen. Das ehemalige Hotel wurde schließlich von dem indischen Yoga-Lehrer Paramahansa Yogananda erworben und wird seither von der Self-Realization Fellowship als Zentrum genutzt.


title: Mount Washington (Los Angeles)

text: Die im Laufe der Zeit entstandene Bebauung reicht von einfachen Häusern, bis zu teuren Villen und umfasst stilistisch Häuser im Craftman-Stil und Werke von Architekten der Moderne wie Richard Neutra, Gregory Ain oder John Lautner.


title: Thomas Nikel

text: Thomas Nikel (* 5. August 1946 in München) ist ein deutscher Filmregisseur und Filmeditor, dessen Wirkungsfeld sich in erster Linie auf deutsche Fernsehserien und Fernsehfilme konzentriert.


title: Thomas Nikel

text: Thomas Nikel trat erstmals 1973 als Synchronregisseur bei drei Folgen von Peter Frankenfelds Sendung "Peters Bastelstunde" in Erscheinung. Daran schlossen sich Arbeiten für Fernsehserien an, bei denen er entweder dem Regisseur assistierte oder als Editor tätig war. So bei den "Tatort"-Folgen "" (1976) und "" (1978) mit Hansjörg Felmy als Kommissar Haferkamp. Bei Niklaus Schillings Kinofilm "Rheingold" von 1978, der auf der 28. Berlinale vorgestellt wurde, war Nikel zusammen mit Angelika Gruber für den Schnitt verantwortlich. Bei dem US-amerikanisch-deutschen Science-Fiction-Film "Enemy Mine – Geliebter Feind" von Wolfgang Petersen war Thomas Nikel an der Seite von Hannes Nikel 1985 zusätzlich am Schnitt beteiligt wie zuvor schon 1981 an Petersens Film "Das Boot".


title: Thomas Nikel

text: Im Jahr 1981 führte Nikel dann erstmals Regie, und zwar bei fünf Folgen der Kriminalfilm-Reihe "Achtung Zoll!", die im Vorabendprogramm des Fernsehens ausgestrahlt wurden. Nikel war für die Folgen des damaligen Regionalsenders SDR verantwortlich. Daran schlossen sich weitere Arbeiten fürs Fernsehen an, so beispielsweise für die Serien "Jakob und Adele" (1989) mit Carl-Heinz Schroth und Brigitte Horney, "Ein Heim für Tiere" (1989) mit Siegfried Wischnewski als Dr. Willi Bayer, 33 Folgen der Kriminalfilmreihe "SOKO München" (1991–1997) sowie die Familienserien "Forsthaus Falkenau" (1993) mit Christian Wolff und "Wildbach" (1994) mit Siegfried Rauch.


title: Thomas Nikel

text: Der Film "Lichterspiele" von 1996, der unter dem Arbeitstitel "Another View" von Nikel inszeniert wurde, beruht auf einem Roman von Rosamunde Pilcher. Anja Kling spielt darin die Tochter eines berühmten Malers, der nur wenig Zeit für sie aufbringt. Von 1998 bis 2006 drehte Nikel 42 Episoden der Fernsehserie "Medicopter 117 – Jedes Leben zählt", in der über den riskanten Einsatz zweier Rettungshubschrauber-Teams berichtet wird. Eine ähnliche Thematik war der Fernsehserie "Die Rettungsflieger" zu eigen, in der fiktive Einsätze eines Rettungshubschraubers nachgestellt wurden. Nikel übernahm von 2004 bis 2007 in 11 Episoden der Serie die Regie.


title: Thomas Nikel

text: "– Regie, wenn nicht anders angegeben –"


title: Amedeo Nasalli Rocca

text: Amedeo Nasalli-Rocca (* 2. August 1852 in Piacenza; † 1926 in Pisa) war ein Präfekt im Königreich Italien.


title: Amedeo Nasalli Rocca

text: Er war der Sohn von Conte Giuseppe Nasalli Rocca (1823–1909). Er war verheiratet mit:


title: Amedeo Nasalli Rocca

text: Vom 1901 bis 10. Dezember 1903 war er Präfekt der Region Kalabrien.


title: Amedeo Nasalli Rocca

text: Von 10. Oktober 1907 bis 15. August 1911 war er Präfekt von Venedig. Anschließend wurde er beurlaubt. (collocato in aspettativa per ragioni di servizio) Die Periode 30. März 1911 bis 29. September 1913 gehörte zu den Regierungszeiten von Giovanni Giolitti als Vorsitzenden des Ministerrates. Innenminister war Luigi Luzzatti. Dieser hatte in einem Artikel vom 7. Januar 1911 in "La Stampa" Die "Befreiung" Italiens von den Zigeunern propagiert, denen er vorwarf die, Cholera nach Apulien importiert zu haben. 1911 machte Giolitti die Zensur der Cholera in Venedig zur Staatsraison.


title: Amedeo Nasalli Rocca

text: Graf Amedeo Nasalli Rocca, von Oktober 1907 bis zu seiner Pensionierung am 15. August 1911 (offiziell – innerhalb einer Woche – aus gesundheitlichen Gründen), Anfang Juni 1911 war Nasalli Rocca bekannt, dass 41 Fälle von Cholera vom 22. Mai bis 9. Juni diagnostiziert worden waren. Die Mehrheit der Opfer waren arm und weiblich und im allen Teilen Venedig wohnend: Castello, Cannaregio, Murno, Burano und Pellestrina. Die Sterblichkeitsrate wurde mit 26 Prozent angegeben was unter der der vergangenen Ausbrüche lag. Die fügsame Bevölkerung ertrug die Epidemie und gegen Nasalli Roccas Plan, die Opfer auf Sacca Sessola zu isolieren, obwohl dieses Sakralbau schlecht mit Strom und Trinkwasser versorgt war, regte sich kein Widerstand. Neben seinen Aktivitäten zum Eindämmen der Krankheit bemühte sich der Präfekt, die ausländische Presse über die Vorgänge zum Schweigen zubringen und stellte Berichte in Berlin und Wien als Kampagne gegen die Interessen und Wohlstand von Venedig dar. Bei der lokalen Presse verfing das Argument eine Panik zu vermeiden, worauf diese das Thema pflichtbewusst ignorierte. Amedeo Nasalli Rocca reichte die Daten über die Opfer an die Regierung in Rom weiter. Worauf er vom neuen Premierminister Giolitti, als unklug und taktlos, ein solches Thema in Rom vorzubringen qualifiziert wurde.


title: Amedeo Nasalli Rocca

text: Ende Mai 1911 lagen in Venedig zwei Fälle von asiatischer Cholera, welche durch Kochs Labortests "bakteriologisch bestätigt" waren vor. Beunruhigt über die Cholera und das Verschweigen, trat die "Associazione medica della città e provincia di Venezia" unter dem Vorsitz von Davide Giordano am 31. Mai 1911 zusammen, protestierte gegen die offizielle Geheimhaltungspolitik, forderte eine öffentliche Informationskampagne zur Gesundheitserziehung und veröffentlichte eine Erklärung:


title: Amedeo Nasalli Rocca

text: In der Neuen Freien Presse vom 9. Juni 1911 wurde die außerordentliche Sitzung der Camera Sanitaria z. B. so kommentiert: Aus Venedig wird berichtet: Die Ärztekammer der Stadt und Provinz Venedig hat in einer eigens hierzu einberufenen Sitzung am 31. Mai 1911 ihrem Bedauern darüber Ausdruck gegeben, dass angesichts der herrschenden Choleraepidemie infolge der Ungeschicklichkeit der Behörden die tatsächlichen Gesundheitsverhältnisse der Stadt Venedig verschwiegen wurden. Hierdurch werde die Tätigkeit der berufenen Sanitätsbehörde gehemmt. Die Kammer fordert ihren Vorstand auf, alle Mittel zur Aufklärung und hygienischen Prophylaxe zu ergreifen, beziehungsweise durchzusetzen, die zur Eindämmung der Krankheit erforderlich sind.


title: Amedeo Nasalli Rocca

text: Als der Artikel erschien, war Davide Giordano bereits von seinem Amt als Präsident der "Camera Sanitaria della Città e Provincia di Venezia" zurückgetreten. In der Entschließung wurden „Mittel zur hygienischen Propaganda und Präventivmedizin“ gefordert.


title: Amedeo Nasalli Rocca

text: Die "Associazione medica della città e provincia di Venezia" druckte 2000 Exemplare der Erklärung.


title: Amedeo Nasalli Rocca

text: Präfekt Nasalli ließ Postsendungen auf der Zentral Post und auf dem Bahnhof nach Ausdrucken der Erklärung durchsuchen, beschlagnahmen, beantragte das Vorgehen bei der Staatsanwaltschaft und intervenierte bei der lokalen Presse, um jegliche Erwähnung des Ereignisses zu verhindern. Giolitti nahm das Geschehen sorgfältig zur Kenntnis und wies Nasalli telegrafisch zum Vorgehen an: „Ich bedaure zutiefst den Ausschlag und die kriminelle Aufregung der Krankenhausärzte. Rufen Sie die Führer der Bewegung sofort zusammen und informieren Sie sie über die Verantwortlichkeiten, denen sie gegenüberstehen, wenn sie in einer Agitation bleiben, die ein tatsächliches Verbrechen gegen ihre Stadt und ihren Königshof darstellt.“ Die harten Maßnahmen, welche dem Präfekten bei ihrer Auseinandersetzung mit widerspenstigen Ärzten zur Verfügung stehen, wurden im Rahmen einer parlamentarischen Anhörung von Antonio Casolini (* 4. April 1855 in Sersale (Catanzaro); 11. Juli 1932 in Catanzaro) einem Abgeordneten aus Catanzaro, erläutert. Für die öffentliche Äußerung alarmistischer Ansichten zu medizinischen Angelegenheiten könnten Ärzte verhaftet und nach dem Strafgesetzbuch wegen Anstiftung zur Straftaten angeklagt werden.


title: Amedeo Nasalli Rocca

text: In seiner Autobiographie (Nasalli Rocca, 1946, S. 285) macht Nasalli Giolitti dafür verantwortlich, dass es die Cholera in Venedig offiziell nicht gab: „Cosicche a Venezia il colera in modo ufficiale non esistette mai.“ Vivante, 1917, S. 74


title: Amedeo Nasalli Rocca

text: Von Seiten der Irredentisten wurde er als Österreicher anprangert und vorgeworfen er sei „von Österreich bezahlt worden, um die Italienerin der nicht eingelösten Gebiete zu unterdrücken.“


title: MFF Charity Cup

text: Der MFF Charity Cup ist ein Fußballpokalwettbewerb in Myanmar. Der Charity Cup wird vom myanmarischen Fußballverband, der Myanmar Football Federation, organisiert. Bei dem Spiel treffen der Meister der Myanmar National League und der Gewinner des General Aung San Shield aufeinander. Erstmals wurde der MFF Charity Cup 2012 ausgetragen.


title: Franz Leiner

text: Franz Leiner (* 8. November 1877 in Schillehnen (Ostpreußen); † 1951 in Ritzow) war ein deutscher Wasserbauingenieur und Hochschullehrer.


title: Franz Leiner

text: Nach dem Studium ging er in die Bauverwaltung und war als Regierungsbauführer in Tilsit beschäftigt. 1909 wurde er an der Herzoglich Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina in Braunschweig promoviert. Als Regierungsbaumeister a. D. war er in der Folgezeit 1912 in Pillau und 1913 in Berlin tätig. 1918 habilitierte er an der königlich bayerischen Technischen Hochschule in München. Von 1919 bis 1925 dozierte er zu wirtschaftlichen Untersuchungen beim Wasserkraftausbau. Anschließend war er als Zivilingenieur in Stolp-Ritzow in Pommern.


title: Michel Seydoux

text: Michel Seydoux (* 11. September 1947 in Paris) ist ein französischer Filmproduzent und Unternehmer. Er ist der Großonkel der Schauspielerin Léa Seydoux.


title: Michel Seydoux

text: Michel Ledoux ist seit 1971 mit der Gründung seiner Firma "Caméra One" als Filmproduzent tätig. Er war auch im Aufsichtsrat der Filmfirmen Gaumont und Pathé. Mit "Cyrano von Bergerac" (1990) und "Die Sonne, die uns täuscht" (1994) war er für den British Academy Film Award für den Besten nicht-englischsprachiger Film nominiert. Für "Urga" wurde er 1993 mit dem Europäischen Filmpreis ausgezeichnet.


title: Michel Seydoux

text: Von 2002 bis 2017 war er Präsident des Fußballvereins OSC Lille.


title: Friedrich Roßmäßler

text: Friedrich Roßmäßler (* um 1775 in Leipzig; † 1858 ebenda) war ein deutscher Kupferstecher und Zeichner.


title: Friedrich Roßmäßler

text: Johann Friedrich Roßmäßler hielt sich längere Zeit in München, Berlin und Dresden auf und widmete sich der Kunst des Stahlstichs. Die Kupferstecher August (1752–1783) und Adolf Roßmäßler (1770–1821) waren seine Brüder.


title: Play Morricone

text: Play Morricone ist ein Album von Enrico Pieranunzi, Marc Johnson und Joey Baron mit Kompositionen von Ennio Morricone. Die Aufnahmen des Trios, die vom 15. und 16. Februar 2001 in den Sonic Recording Studio in Rom entstanden waren, erschienen 2001 bei CAM Jazz.


title: Play Morricone

text: Die Zusammenarbeit von Enrico Pierananuzi mit Marc Johnson und Joey Baron geht auf das Jahr 1984 zurück: Damals weilten die beiden Musiker in Italien, um eine Tour mit dem Pianisten Kenny Drew zu beginnen, als Drews Frau plötzlich krank wurde. Als Drew nach Dänemark zurückkehrte, hatten Johnson und Baron nur noch wenige Möglichkeiten. Als dann der Pianist Enrico Pieranunzi auftauchte, nachdem er einen Anruf von jemandem aus dem Club erhalten hatte, der fragte, ob er abstelle von Drew spielen möchte, nutzte der von Bill Evans beeinflusste Pieranunzi die Gelegenheit, mit Johnson zu spielen – dem Bassisten des verstorbenen Pianisten in den letzten Jahren dessen Lebens. Der Zufall dieses Treffens hat zu einem Trio geführt, das in den folgenden Jahren regelmäßig aufnahm und tourte.


title: Play Morricone

text: Ihre Zusammenarbeit setzten Pierananuzi, Johnson und Baron im November 2001 mit dem in Tokyo entstandenen Album "Current Conditions" (CAM Jazz) fort. Die US-Version von "Play Morricone" ist eine Zusammenstellung von zwei CDs – "Play Morricone" (Cam Jazz, 2002) und "Play Morricone 2" (Cam Jazz, 2004) – veröffentlicht von US-Distributor des CAM-Labels, Sunnyside Records. Die Erfahrung, Filmmusik für eine Jazz-bezogene Interpretation zu nutzen, setzte der Pianist hatte mit dem Album "FelliniJazz" (Cam Jazz, 2003) fort, in dem er Musikstücke aus Filmen des Regisseurs Federico Fellini interpretierte.Scott Yanow verlieh dem Album vier Sterne und meinte in Allmusic, da keines der verwendete Stücke Morricones ein bekannter Standard war, konnten die Musiker die ausgewählten Stücke leicht an den Jazz anpassen. Die Musik reiche von wilden Toben über Walzer bis hin zu Stimmungsstücken und sei – nicht allzu überraschend – oft filmisch und episodisch, aber die Stücke stünden unabhängig von den Filmen gut da. „Einige der Stücke verdienen es, von anderen Jazzmusikern gecovert zu werden, die nach frischem Material suchen. Während Pieranunzi die Hauptstimme ist, leisten Johnson und Baron wichtige Beiträge zur swingenden Musik.“


title: Play Morricone

text: John Kelman vergab an das Album in All About Jazz 4½ (von fünf) Sterne und schrieb: „Morricones inhärente Lyrik bleibt in der melancholischen Ballade ‚Addio Fratello Crudele‘, in der Barons zarte Besenführung und Johnsons Eleganz eng mit Pieranunzis sanfter Reinheit zusammenarbeiten, fast unberührt. ‚La Domenica Specialmente‘ wurde ebenso wie das hart swingende ‚I Malamondo‘ deutlicher überarbeitet und reharmonisiert.“ Pieranunzis dissonante Interpretation verleihe „Mio Caro Dottor Grässler“ Humor, eine Melodie, deren zurückhaltende Magie von Baron als Höhepunkt der Sessions gebracht werde, meint Kelman.


title: Play Morricone

text: Mit dem bereits etablierten Ruf von Johnson und Baron in Nordamerika erhalte Pieranunzi nach Ansicht des Autors die Anerkennung, die er verdient, vor allem durch Sunnysides Vertrieb seiner bemerkenswerteren Cam Jazz-Titel. Ähnlich wie bei dem britischen Pianisten John Taylor bleibe seine größere Statur in Europa und sein relativ unbekannter Status in Nordamerika für Fans des Mainstream-zentrierten, aber immer zukunftsorientierten Piano-Jazz merkwürdig bedauerlich.


title: A2 road

text: A2 road steht für:


title: A2 road (Nordirland)

text: In Nordirland wurde 1923 eine A2 festgelegt. Es handelt sich hierbei um eine Küstenstraße und sie verläuft zwischen Londonderry und Newry. Sie war zunächst zweigeteilt. Die Lücke lag zwischen Donaghdee und Clough und wurde durch die B11 überbrückt, die auf diesem Weg durch eine Fähre zweigeteilt war. Die A2 übernahm bald die B11 komplett in ihren Laufweg.


title: Werner Wolf (Anglist)

text: Werner Wolf (* 11. März 1955 in München) ist ein deutscher Anglist.


title: Werner Wolf (Anglist)

text: Er studierte Englisch und Französisch an den Universitäten München, Canterbury und Toulouse und promovierte 1984 mit einer Dissertation über das französische sentimentale Drama des 18. Jahrhunderts (Ursprungs und Formen der Empfindsamkeit im bekannten Drama). Während seines Studiums war er Mitglied der Studienstiftung des Deutschen Volkes. Nachdem er 1981 und 1985 das erste und das zweite Staatsexamen für Gymnasiallehrer bestanden hatte, war er von 1985 bis 1994 Assistenzprofessor am Institut für Englisch der Universität München. 1991 erhielt er seine Habilitation mit einer preisgekrönten Monographie über Theorie und Geschichte der ästhetischen Illusion und des Brechens der Illusion in der Fiktion (Ästhetische Illusion und Illusionsdurchbrechung in der Erzählkunst. Theorie und Geschichte).


title: Werner Wolf (Anglist)

text: Ihm wurden Professuren und Lehrstühle an der Humboldt-Universität sowie an den Universitäten Tübingen und Heidelberg angeboten und ist seit 1994 Lehrstuhl für Englische und Allgemeine Literatur an der Universität Graz.


title: Mbari

text: Mbari steht für:


title: South Stork

text: Der South Stork ist ein Berggipfel im Südosten der Adelaide-Insel westlich der Antarktischen Halbinsel. Er ragt im Südwesten des Stork Ridge nahe der Rothera-Station auf.


title: South Stork

text: Luftaufnahmen entstanden 1957 bei der Falkland Islands and Dependencies Aerial Survey Expedition. Das UK Antarctic Place-Names Committee benannte ihn 2004.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Das wissenschaftliche Werk von Leonhard Euler ist das umfangreichste von einem Mathematiker jemals geschaffene. Es umfasst unter anderem grundlegende Resultate in den Bereichen Infinitesimalrechnung, Analysis, Mechanik, Astronomie, Geodäsie, Zahlentheorie, Algebra, Trigonometrie, Geometrie, Musiktheorie und Optik.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Zu Eulers berühmtesten Resultaten zählen die Lösung des Basler Problems, der Polyedersatz und die Eulersche Identität, wobei letztere eine enge Verbindung zwischen zahlreichen fundamentalen mathematischen Konstanten zieht. Für diese und andere Ergebnisse erhielt Euler auch posthum viele Ehrungen.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Eulers Forschung war sehr vielseitig. Er arbeitete in fast allen Bereichen der Mathematik und gilt als einer der produktivsten Mathematiker der Geschichte. Seine gesammelten Schriften der "Opera omnia" umfassen bisher 76 Bände. Insgesamt gibt es 866 Publikationen von ihm. Eulers Name ist mit einer großen Anzahl von Resultaten und wissenschaftlichen Themenbereichen verbunden.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Nach Leonhard Euler sind gleich zwei mathematische Konstanten benannt: die Eulersche Zahl formula_1 aus der Analysis (siehe Exponentialfunktion) und die Euler-Mascheroni-Konstante γ (Gamma) aus der Zahlentheorie, die manchmal nur als "Eulersche Konstante" bezeichnet wird und ungefähr gleich 0,57721 ist. Es ist nicht bekannt, ob γ rational oder irrational ist. Im Gegensatz dazu ist die Irrationalität der Zahl "e" bekannt und wurde zuerst von Euler gezeigt (siehe auch: Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl).


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Eine breitere Leserschaft erlangte zudem seine populärwissenschaftliche Schrift "Lettres à une princesse d’Allemagne" von 1768, in der er in Form von Briefen an die Prinzessin Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt, eine Nichte 2. Grades Friedrichs II., die Grundzüge der Physik, der Astronomie, der Mathematik, der Philosophie und der Theologie vermittelte.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Leonhard Eulers Werk beeinflusste viele Generationen an Mathematikern nachhaltig. So sagte Carl Friedrich Gauß: „Das Studium der Werke Eulers bleibt die beste Schule in den verschiedenen Gebieten der Mathematik und kann durch nichts anderes ersetzt werden“. Wegen der großen Zahl an Publikationen und Korrespondenzen zu anderen Mathematikern und Persönlichkeiten, ziehen sich Bestrebungen, ein Eulersches Gesamtwerk herauszugeben, bis in die heutige Zeit hinein. Durch die Herausgabe der "Opera Omnia" über die Euler-Kommission gilt dieses Unterfangen jedoch als weitestgehend umgesetzt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler führte in seinen zahlreichen Lehrbüchern mehrere Notationskonventionen ein. Durch die weite Verbreitung der Bücher setzten sich viele seiner Notationen nachhaltig durch. Er führte das Konzept der mathematischen Funktion ein und schrieb als erster "f(x)", um die Funktion "f" zu bezeichnen, die auf das Argument "x" angewandt wird. Der „formale“ von Euler verwendete Funktionsbegriff war ein wichtiger Meilenstein in Richtung der heutigen Definition:


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text: Von ihm stammen auch die bis heute gebräuchlichen Notationen für die trigonometrischen Funktionen, der Buchstabe "e" für die Basis des natürlichen Logarithmus, der griechische Buchstabe Σ (Sigma) für Summen und der Buchstabe "i" zur Bezeichnung der imaginären Einheit; das Zeichen Δ (Delta) für die Differenz stammt ebenfalls von Euler. Die Verwendung des griechischen Buchstabens π zur Bezeichnung des Verhältnisses von Kreisumfang und -durchmesser (Kreiszahl) wurde ebenfalls von Euler popularisiert, obwohl sie ursprünglich auf den walisischen Mathematiker William Jones zurückgeht.


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text: Euler kann als einer der Begründer der Analysis angesehen werden. Der Mathematikhistoriker Thomas Sonar beschreibt in seinem Buch "3000 Jahre Analysis" (2011) Leonhard Euler als einen „echten Giganten für die Analysis“. Eulers Bedeutung für dieses Feld wird nicht nur über die Einführung eines rigorosen Funktionsbegriffs hervorgehoben. So sei er „ungeschlagener Meister“ im Umgang mit Potenzreihen, die er als „unendliches Polynom verstanden“ zu seinem ständigen „Arbeitspferd“ machte.


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text: Euler leistete Pionierarbeit bei der Verwendung analytischer Methoden zur Lösung von Problemen der Zahlentheorie. Damit vereinte er zwei ungleiche Zweige der Mathematik und führte ein neues Studiengebiet ein, die analytische Zahlentheorie.


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text: Wegen anhaltender Forschung war die Infinitesimalrechnung im 18. Jahrhundert auf dem Vormarsch. Insbesondere Eulers Freunde, die Bernoullis, waren für einen Großteil der frühen Fortschritte auf diesem Gebiet verantwortlich. Dank ihres Einflusses wurde das Studium der Infinitesimalrechnung zum Hauptschwerpunkt von Eulers Arbeit. In seinem Werk "Institutiones calculi differentialis" (1755) beschäftigte er sich systematisch mit der Differentialrechnung. Euler wählte die Interpretation: „Kleiner als jede angebbare Größe“ für infinitesimale Größen. In den "Institutiones calculi differentialis" aus dem Jahr 1755 definiert Euler:


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text: Euler betrachtet also das Rechnen mit unendlich kleinen Größen als „Nullenrechnung“. Für diese führte er eine „unendlich kleine“ Größe formula_2 und eine „unendlich große“ Größe formula_3 (nicht zu verwechseln mit der imaginären Einheit) ein – und nutzte diese für Herleitungen korrekter Aussagen. So nutzte Euler mit formula_4 den für „eine zunächst beliebige Zahl formula_5 gültigen Ansatz“ um die für die Eulersche Zahl formula_7 geltende Reihe herzuleiten. Diese Formel liefert eine äußerst schnell konvergente Reihe für die Zahl formula_7, es gilt zum Beispiel Vor dem Hintergrund zu Eulers Formel für formula_11 ist zu erwähnen, dass für formula_12 der Grenzwert gültig ist, was seine formula_3-Notation in die moderne Sprache eines mathematischen Limes einordnet.


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text: Euler ist in diesem Kontext für die Entwicklung und häufige Verwendung von Potenzreihen bekannt. Diese können als „unendlich lange Polynome“ aufgefasst werden, aus denen sich eine Funktion aus ihrem lokalen Verhalten (d. h. unter Kenntnis all ihrer Ableitungen und einem Punkt) in manchen Fällen „global rekonstruieren“ lässt. Unter anderem gab er direkte Beweise für Taylorreihen der Exponentialfunktion und der Arkustangensfunktion. Indirekte Beweise stammen von Newton und Leibniz aus der Zeit 1665 bis 1680. Ebenso entwickelte Euler die Sinus- und Kosinusfunktion in ihre Taylor-Reihen um den Entwicklungspunkt 0: Diese benutzte er, um mittels einfachen Einsetzens die Eulersche Formel für die Exponentialfunktion herzuleiten.


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text: 1736 fand er (ebenfalls durch Verwendung von Potenzreihen) den lange gesuchten Grenzwert für die unendliche Summe der reziproken Quadratzahlen:


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text: Summiert man also „alle“ (unendlich vielen) Kehrwerte der Quadratzahlen auf, ist das Ergebnis die Zahl formula_19. Das bedeutet, dass für jede noch so kleine Zahl formula_20 (etwa formula_21) eine Quadratzahl formula_22 existiert, so dass für "alle" folgenden Quadratzahlen formula_23 gilt Da er für dieses Ergebnis bis dato nicht bekannte Manipulationstechniken für Potenzreihen verwendet hatte, wurde sein ursprünglicher Beweis nicht akzeptiert. Jedoch veröffentlichte Euler im Jahr 1743 einen anderen Beweis. Aus einer Verallgemeinerung dieses sogenannten Basler Problems leitete er eine geschlossene Darstellung für die geraden Bernoulli-Zahlen formula_25 ab. Er zeigte beispielsweise, dass die Summe der Kehrwerte aller vierten Potenzen und sechsten Potenzen ebenfalls gegen rationale Vielfache entsprechender Potenzen von formula_26 streben. und ganz allgemein Diese galt sehr lange als beste Methode für die Berechnung der Bernoulli-Zahlen formula_30.


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text: Er nutzte die Identität


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text: mit dem Arkustangens um eine schnell konvergierende Reihe für formula_32 herzuleiten. Unendliche Reihen wie zum Beispiel oder auch mit der Riemannschen Zeta-Funktion formula_36 gehen ebenfalls auf Euler zurück. Es war Euler, der als erster divergente Reihen systematisch untersuchte.


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text: Euler ist der erste Autor, der die Winkelfunktionen auf einen Kreis mit Radius 1 bezieht und sie dadurch normiert. Das geschieht im sechsten Kapitel der "Introductio". Insbesondere folgt nach dem Satz des Pythagoras dann sofort


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text: Eine Reihe von Grundformeln der Trigonometrie wurden systematisch von Euler hergeleitet. Er benutzte die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen und gab als erster einen einfachen und klaren Beweis der bekannten Formel von De Moivre. Dieser Beweis gilt auch aus heutiger Sicht als streng, falls man davon absieht, dass die vollständige Induktion formal nicht abgeschlossen wurde. Euler erhielt aus diesen Formeln die Entwicklung der trigonometrischen Funktionen in Potenzreihen, indem er dasselbe Verfahren wie im Falle der Exponentialfunktion benutzte.


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text: Auch die Partialbruchzerlegung des Kotangens war Gegenstand von Eulers Forschung. Diese diskutierte er unter anderem in einem Brief an Christian Goldbach vom 30. Juni 1742.


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text: Im Kontext mit seinen Studien über Funktionen einer komplexen Variablen, die teilweise von d’Alembert antizipiert wurden, gelangte Euler mittels einer schon von Johann Bernoulli verwendeten nicht-reellen Substitution zum Resultat In diesem Zusammenhang ist erwähnenswert, dass Euler mittels mehrfacher Anwendung des Additionstheorems formula_39 auf die Funktionen formula_40 die Produktformel generierte.


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text: Euler verwendete erstmals die Exponentialfunktion und Logarithmen in analytischen Beweisen und definierte sie erfolgreich für komplexe Zahlen. Dadurch wurde deren Anwendungsbereich stark erweitert. Damit fand er die enge Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen. Für jede reelle Zahl formula_42 (im Bogenmaß) besagt die Eulersche Formel, dass die komplexe Exponentialfunktion die Gleichung erfüllt. Ein spezieller Fall der obigen Formel ist als die Eulersche Identität bekannt. Eulers Formel zieht Beweise der Additionstheoreme und die Formel von De Moivre nach sich. So gilt zum einen Auch bezüglich der Additionstheoreme bedient man sich der Multiplikativität der Exponentialfunktion. Zum andern haben wir demnach Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn Real- und Imaginärteil übereinstimmen – zum Beispiel gilt also formula_47.


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text: Euler gilt neben Lagrange als einer der Begründer der Variationsrechnung. An verschiedene Problemstellungen und Ideen von Jakob und Johann Bernoulli anknüpfend, formulierte Euler schon sehr früh deren Hauptprobleme und entwickelte allgemeine Methoden zu deren Lösung. Dies geschah in seiner 1744 herausgebrachten "Methodus inveniendi lineas curvas". Diese Spezialdisziplin (von den Brüdern Bernoulli ansatzweise initiiert) wurde von Euler erstmals konzipiert und systematisiert. Sie beschäftigt sich mit "Extremwertproblemen allgemeinster Art". Im Gegensatz zur Differentialrechnung, bei der oft lokale Maxima oder Minima von Funktionen bestimmt werden, ist die Variationsrechnung durch Probleme charakterisiert, bei denen eine oder mehrere "unbekannte Funktionen" derart zu bestimmen sind, dass ein gegebenes, "von diesen Funktionen abhängiges" bestimmtes Integral extremale Werte annimmt.


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text: Nach Euler ist die in der Variationsrechnung gebräuchliche Euler-Lagrange-Gleichung benannt.


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text: Von Carl Gustav Jacobi stammt folgende Einschätzung:


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text: In seinem Werk "Institutiones calculi integralis" (1768–1770), erschienen in drei Bänden, beschäftigte sich Euler mit der Integralrechnung. Darin finden sich die Methoden der unbestimmten Integration in moderner Form erschöpfend dargestellt für die Fälle, in denen die Integration auf elementare Funktionen führt. Viele Methoden sind erst von Euler entwickelt worden, und noch heute ist die Eulersche Substitution, mit deren Hilfe gewisse irrationale Differentiale rationalisiert werden können, ein Begriff. Er fand einen Weg, Integrale mit komplexen Grenzen zu berechnen, womit er wichtige Teile der Entwicklung der komplexen Analysis vorwegnahm.


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text: Es ist zu bemerken, dass ein Vorläufer der nach Laplace benannten Laplace-Transformation bereits 1766 von Euler in seiner "Institutiones calculi integralis" studiert worden war. Laplace hatte sie erstmals im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie angewandt.


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text: Euler arbeitete auch im Bereich der Fourierreihen. Er leitete die für Werte formula_48 gültige Formel aus der Reihe an der Stelle formula_51 her: Obwohl die Reihe zur Rechten nirgends konvergiert, lieferte beidseitiges Integrieren, nach Wahl der richtigen Integrationskonstanten, die heute als korrekt bekannte Eulersche Reihe.


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text: Dies ist ein typisches Beispiel der von Euler zugrunde gelegten „Allgemeinheit der Algebra“. Obwohl einige von Eulers Beweisen nach modernen Standards der mathematischen Strenge nicht akzeptabel sind, führten seine Ideen, wie eben demonstriert, zu vielen Fortschritten.


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text: Als Vorreiter auf diesem neuen Gebiet schuf Euler die Theorie der hypergeometrischen Reihen, der q-Reihen und der hyperbolischen trigonometrischen Funktionen.


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text: Auch die Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion formula_53, die Euler für die verwandte Funktion in der Form angab, sowie einige deren Werte an negativen Stellen, waren Euler bereits bekannt. Dabei handelt es sich "nicht" um eine klassische Gleichung, wie etwa formula_56, die nur vom Wert formula_57 gelöst wird, sondern um eine Identität, d. h. die Gleichung stimmt, egal was eingesetzt wird. Beispielsweise ist formula_58 eine (triviale) Identität, und im Falle der Zeta-Funktion stellte Euler einen für alle formula_59 gültigen Zusammenhang zwischen den Werten formula_36 und formula_61 her. Diese vermutete er nach umfassenden numerischen Berechnungen, die auf der heute als richtig bekannten Darstellung beruhten. Die Riemannsche Zeta-Funktion spielt eine sehr wichtige Rolle in der Zahlentheorie und die Funktionalgleichung wurde von Bernhard Riemann, der erstmals einen strengen Beweis vorlegte, benutzt, um seine Theorie über Primzahlen aufzubauen.


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text: Bereits im Jahr 1729 entwickelte Euler unter Hilfenahme des binomischen Lehrsatzes die für natürliche Zahlen formula_63 gültige Formel Daraus leitete er eine Integraldarstellung für die Fakultätsfunktion ab: Diese Resultate führten zur Entdeckung der Beta- und Gammafunktion durch Euler, der ihre grundlegenden Eigenschaften studierte. In Korrespondenz mit Christian Goldbach im Jahr 1729 verallgemeinerte Euler zunächst die Fakultät und führte 1730 das Euler-Integral der zweiten Art ein, das für komplexe Werte formula_66 mit positivem Realteil die Euler-Gammafunktion darstellt: Bereits in einem Brief von 1729 an Christian Goldbach hatte Euler eine Formel für die "halbzahlige Fakultät" erwähnt in der Form: formula_68. Das Integral erster Art stellt die Beta-Funktion für formula_69 dar: Aus den besonderen Eigenschaften dieser Funktionen leitete Euler nicht nur Beziehungen zur Euler-Mascheroni-Konstanten ab, sondern gab auch die Produktformeln und wobei letztere als Eulerscher Ergänzungssatz "(Euler reflection formula)" bekannt ist. Die Beta-Funktion ist die Grundlage der Beta-Verteilung aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Gamma-Funktion taucht bei der Gamma-Verteilung auf, spielt aber auch in Funktionen- und Zahlentheorie unter anderem im Kontext vervollständigter L-Funktionen eine wichtige Rolle.


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text: Eulers großes Interesse an elliptischen Integralen und elliptischen Funktionen geht auf seine frühen Jahre bei Johann Bernoulli zurück. Während seines Studiums an der Berliner Akademie erhielt Euler am 23. Dezember 1751 ein zweibändiges Werk von Giulio Fagnano mit dem Titel "Produzioni Matematiche", das 1750 für seine formale Überprüfung veröffentlicht wurde. Diese Arbeit enthielt die Formel für die Verdoppelung der Bogenlänge der Lemniskate, deren Polarkoordinatengleichung formula_73, und deren algebraische Gleichung formula_74 lautet. Euler wurde durch diese Arbeit enorm inspiriert und half, einen neuen Bereich algebraischer Funktionen zu schaffen.


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text: Euler war imstande, das heute als Additionstheorem für elliptische Integrale (erster Gattung) bekannte Resultat zu beweisen. Setzt man formula_75 mit ganzen Zahlen formula_63, so folgt aus der Gleichheit bereits Dies wird Eulersches Additionstheorem "(Euler addition theorem)" genannt. Im Jahre 1753 entdeckte Euler viele Additionsformeln für elliptische Integrale, die gewöhnlich in direktem Bezug zum Additionstheorem stehen.


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text: Eulers Interesse an der Zahlentheorie lässt sich auf den Einfluss von Christian Goldbach, seinem Freund in der Sankt Petersburger Akademie, zurückführen. Dabei ist Zahlentheorie im Grunde die Wissenschaft der natürlichen Zahlen formula_79 und deren Eigenschaften. Eine "zahlentheoretische Eigenschaft" einer Zahl ist dabei zum Beispiel, ob sie durch eine andere Zahl geteilt werden kann oder durch wie viele Zahlen sie geteilt werden kann. Beispielsweise hatte Euler die Einsicht, dass eine "ungerade" Zahl größer als formula_80 nur durch formula_80 und sich selbst teilbar ist (eine Primzahl ist), wenn es bis auf Reihenfolge nur "eine" Möglichkeit gibt, sie als Summe von zwei teilerfremden positiven Quadratzahlen zu schreiben. Damit ist sie gleichzeitig darstellbar als formula_82 mit einer natürlichen Zahl formula_83. (Gleiches gilt sinngemäß für die Quadratzahlen von Primzahlen, etwa formula_84). So besitzt in etwa die Zahl formula_85 einen nicht-trivialen Teiler, ist also keine Primzahl, da Aber im Falle formula_87 gilt formula_88, die Zahlen formula_89 und formula_90 sind teilerfremd, und sonst gibt es keine weitere Möglichkeit zu einer Zerlegung in zwei nicht-triviale Quadrate. Also ist formula_87 eine Primzahl. Zu beachten ist jedoch, dass auf der anderen Seite nicht jede Primzahl als Summe zweier Quadrate geschrieben werden kann. Lediglich die Primzahlen der Form formula_92 sind stets die Summe zweier Quadratzahlen. Viele von Eulers frühen Arbeiten zur Zahlentheorie basieren auf den Werken von Pierre de Fermat. Euler entwickelte einige von Fermats Ideen und widerlegte manche seiner Vermutungen.


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text: Nach Euler sind verschiedene Zahlen und Zahlenfolgen benannt, siehe dazu Eulersche Zahlen (Begriffsklärung).


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text: Zum Beispiel widerlegte er Fermats Vermutung, alle Fermat-Zahlen seien ebenfalls Primzahlen, indem er zeigte, dass die Zahl formula_93 durch 641 teilbar ist.


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text: Er trug wesentlich zur Theorie der vollkommenen Zahlen bei, die die Mathematiker seit Euklid fasziniert hatten. Euler bewies, dass die von Euklid gezeigte Beziehung zwischen (geraden) vollkommenen Zahlen und Mersenne-Primzahlen sogar eins zu eins ist, ein Ergebnis, das als Euklid-Euler-Satz bekannt ist. 1772 hatte Euler in einem Brief an Goldbach korrekt behauptet, dass formula_94 2.147.483.647 eine Mersenne-Primzahl ist. Sie galt bis 1867 als die größte gefundene Primzahl. Bereits 1732 konnte er die 19-stellige vollkommene Zahl konstruieren.


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text: Er gab gleich mehrere Beweise für den kleinen Fermatschen Satz und war der erste, der einen Beweis publizierte (der von Leibniz im Jahr 1683 geführte Beweis tauchte erst 1894 auf). Sein erster Beweis wurde mittels Induktion geführt, was für die damalige Zeit ungewöhnlich war. Er führte auch die Eulersche Phi-Funktion ein. Mit Hilfe der Eigenschaften dieser Funktion verallgemeinerte er Fermats kleinen Satz zu dem, was heute als Satz von Euler bekannt ist.


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text: Euler leistete wichtige Vorarbeit zu Lagranges Vier-Quadrate-Satz, indem er 1751 bewies, dass sich jede positive rationale Zahl als Summe vierer rationaler Quadrate schreiben lässt. Bereits zuvor, im Jahre 1748, hatte er in einem Brief an Goldbach die Identität erwähnt, womit sich das Problem auf Primzahlen reduzieren ließ. Nachdem Lagrange gezeigt hatte, dass sich jede positive "ganze" Zahl als Summe vierer "ganzer" Quadrate schreiben lässt, lieferte Euler kurz darauf einen einfacheren Beweis. Es gilt zum Beispiel Bemerkenswert ist eine weitere Idee Eulers, die aus seiner Beschäftigung mit der "Partitio numerorum" hervorging, den Satz von Lagrange zu beweisen. Dafür betrachtete er die Potenzreihe wobei für den Vier-Quadrate-Satz formula_103 für alle "n" hinreichend ist. Diese Beweisidee deutete Euler in Briefen an Goldbach und in einigen Arbeiten (wie E394, E586) an. So schrieb er im August 1750: „Dieser Weg deucht mir noch der natürlichste zu sein, um zum Beweis […] zu gelangen“. Bei der betrachteten Potenzreihe handelt es sich um die vierte Potenz einer modifizierten Thetareihe – Jacobi ging später diesen Weg um den Satz von Lagrange rein analytisch zu beweisen.


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text: Ebenso zeigte er Fermats Satz über die Summe zweier Quadrate. Dieser liefert ein Kriterium, wann sich eine positive ganze Zahl als Summe zweier ganzer Quadrate schreiben lässt. Beispielsweise gilt formula_104, jedoch gibt es für die Zahl formula_105 keine Möglichkeit für eine solche Zerlegung.


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text: Euler zeigte den großen Fermatschen Satz für die Fälle formula_106 und formula_107. Er bewies, dass "keine" Quadratzahl größer als Null als Summe zweier Biquadrate größer als Null geschrieben werden kann, womit bereits folgt, dass die Gleichung formula_108 keine positiven ganzzahligen Lösungen besitzt. Im Fall formula_109 faktorisierte Euler formula_110 zu formula_111. Durch die Verwendung dieser Variante der Gaußschen Zahlen und einer impliziten Annahme der eindeutigen Faktorisierung konnte Euler einen Beweis konstruieren, der die Unmöglichkeit des Falls formula_112 zeigte. Wie bei seinem Beweis für den Fall formula_113 beruhte der von Euler geführte Beweis in erster Linie auf Manipulationen algebraischer Symbole und Paritätsargumenten und führte wenig neue Methoden ein. Wie Generationen von Mathematikern nach ihm scheiterte Euler jedoch am allgemeinen Beweis des großen Fermatschen Satzes. Ein vollständiger Beweis wurde erst 1995 durch Andrew Wiles und Richard Taylor als Konsequenz des Modularitätssatzes für semi-stabile elliptische Kurven erbracht.


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text: Euler vermutete das Gesetz der quadratischen Reziprozität, das später durch Carl Friedrich Gauß bewiesen wurde. Dabei handelt es sich um eines der grundlegendsten Konzepte der Zahlentheorie.


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text: Obwohl die Kombinatorik erst später zu einem neuen modernen Zweig der Mathematik wurde, haben Probleme des Zählens eine lange und frühe Geschichte. Euler betrachtete Probleme der Permutationen und Kombinationen und formulierte ein bestimmtes Problem wie folgt: Angesichts einer beliebigen Folge von formula_83 Buchstaben formula_115, wie viele Möglichkeiten gibt es, sie neu anzuordnen, sodass keine wieder auf die ursprünglich besetzte Position zurückkehrt? In diesem Zusammenhang führte Euler die Notation formula_116 ein, um die Anzahl der Permutationen der formula_83 Buchstaben formula_115 darzustellen, bei denen keiner seine ursprüngliche Position wieder einnimmt. Eine solche Permutation wird heute als fixpunktfreie Permutation bezeichnet.


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text: Mit einem einfachen Argument bewies Euler mehrere Rekursionsformeln für formula_116, darunter die doppelte Rekursionsformel Er gab auch die explizite Formel an, die beweist, dass der Quotient aus fixpunktfreien Permutationen und "allen" formula_122 Permutationen rapide gegen die Zahl formula_123 konvergiert.


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text: Ebenfalls auf Euler geht der Pentagonalzahlensatz zurück, er zeigte ihn 1750. Daraus lässt sich eine Rekursionsformel für die Partitionen herleiten. Diese wurde von Percy Alexander MacMahon dazu verwendet, die Werte der Partitionsfunktion formula_125 bis formula_126 zu berechnen. Dabei zählt die Funktion formula_127, auf wie viele Arten und Weisen sich formula_128 als Summe natürlicher Zahlen schreiben lässt. Zum Beispiel ist formula_129, denn formula_130. Es gilt formula_131. Der Pentagonalzahlensatz ist zudem ein Eckpfeiler zwischen der Kombinatorik und der Theorie der Modulformen.


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text: Euler verknüpfte die Natur der Primzahlverteilung mit Ideen aus der Analysis. Zum Beispiel bewies er, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen divergiert. Dabei fand er die Verbindung zwischen der Riemannschen Zeta-Funktion und den Primzahlen; seine Entdeckung ist heute als Euler-Produkt-Formel für die Riemannsche Zeta-Funktion bekannt: wobei sich das Produkt über alle Primzahlen erstreckt. Wie sich später herausstellte, hat diese Identität weitreichende Konsequenzen für Aussagen über die Verteilung der Primzahlen. Eulers Arbeiten auf diesem Gebiet führten zur Entwicklung des Primzahlsatzes.


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text: Auf der Grundlage früherer Arbeiten seiner Vorgänger begann Euler seine Forschungen zu Kettenbrüchen und veröffentlichte 1737 in einer Arbeit mit dem Titel "De Fractionibus Continuis" viele neue Ideen und Ergebnisse. Er bewies auch, dass jede rationale Zahl durch einen endlichen Kettenbruch dargestellt werden kann und fand eine unendliche Kettenbruch-Darstellung für die Zahl formula_7 in folgender Form: Daraus (und aus einer ebenfalls unendlichen Darstellung als Kettenbruch für formula_135) folgerte Euler die Irrationalität von formula_136 und formula_137. Er gab nicht-reguläre Kettenbrüche (also ohne ausschließlich Einsen in den Zählern der neuen Brüche) für die Kreiszahl formula_26, wie in etwa Er bewies zusätzlich ein Theorem, das besagt, dass die Lösung einer quadratischen Gleichung dann und nur dann reell ist, wenn sie eine periodische Kettenbruchentwicklung hat.


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text: Euler entdeckte 1734 (möglicherweise früher) zuerst einen Zusammenhang zwischen dem Wachstum natürlicher Logarithmen und der harmonischen Folge. Obwohl die Terme formula_140 für größer werdende Werte formula_83 gegen 0 streben, gilt Also ist die Summe der Kehrwerte aller natürlichen Zahlen unbeschränkt. Zieht man jedoch von der harmonischen Folge formula_143 jeweils den Term formula_144 ab, so wird das unbeschränkte Wachstum weggehoben und die Differenz konvergiert gegen einen Wert, der heute Euler-Mascheroni-Konstante oder "Eulersche Konstante" genannt wird: Trotz dieser fundamentalen Definition sind die algebraischen Eigenschaften von formula_146 bis heute weitgehend ungeklärt. Es wird vermutet, dass formula_147 irrational ist, jedoch wurde bisher kein Beweis dafür gefunden. Im Jahr 1736 hatte er die Zahl formula_148 in seiner Arbeit E47 bereits auf 15 Stellen berechnet.


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text: Die Mehrzahl seiner Entdeckungen in der Geometrie gelangen Euler durch die Anwendung algebraischer und analytischer Methoden. Das Lehrgebäude sowohl der ebenen wie auch der sphärischen Trigonometrie verdankt seine heutige Form – einschließlich der Notationsweise – Leonhard Euler. Seine – von Johann Bernoulli angeregten – Studien über geodätische Linien auf einer Fläche waren richtungsweisend für die später einsetzende Entwicklung der Differentialgeometrie. Von noch größerer Bedeutung waren seine Entdeckungen in der Flächentheorie, von der Gaspard Monge und andere Forscher in der Folge ausgehen sollten. In seinen späten Jahren schließlich nahm Euler seine Arbeiten über die allgemeine Theorie der Raumkurven exakt dort wieder auf, wo Clairaut 1731 aufgehört hatte – allerdings wurden sie erst postum gedruckt.


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text: In den Grundlagen der Differentialgeometrie lieferte er Beiträge für die Krümmung einer Kurve und leitete eine analytische Formel für die Radien der Schmiegekreise her. Außerdem entdeckte er die zwei Hauptnormalschnitte einer Oberfläche und die Hauptkrümmungen formula_149 und formula_150. Eines seiner Ergebnisse, die sogenannte Euler-Gleichung, ergibt die Krümmung formula_151 eines beliebigen anderen Normalenabschnitts, der einen Winkel formula_152 mit einem der Abschnitte mit der Hauptkrümmung einschließt, in der Form formula_153 Es war Euler, der sich erstmals mit abwickelbaren Oberflächen (z. B. einem Zylinder oder einem Kegel) beschäftigte, d. h. Oberflächen, die ohne Verzerrungen wie Dehnung oder Reißen in eine Ebene verformt werden können. Eine Fläche wird als Regelfläche bezeichnet (z. B. ein Zylinder, Kegel, Hyperboloid oder hyperbolisches Paraboloid), wenn sie durch die Bewegung einer geraden Linie im Raum erzeugt werden kann.


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text: Es ist bekannt, dass Euler rein mathematisch die zuerst von Jakob Bernoulli und Christiaan Huygens studierte Kreisevolvente als günstigste Profilform der Flanken bei Zahnrädern eruiert hat. Diese Kurve liefert – sinnvoll verwendet – optimale mechanische Eigenschaften bezüglich Reibungsverlust, Geräuscharmut und Kraftübertragung (technisch realisiert wurde diese Entdeckung bzw. Erfindung Eulers erst im 19. Jahrhundert mit der Evolventenverzahnung). Weniger bekannt ist, dass Euler in dieser bereits 1762 entstandenen Arbeit E330 die heute nach Felix Savary benannte Gleichung antizipiert hat. Sie dient zur Bestimmung des Krümmungsradius einer Rollkurve und ermöglicht eine elegante Konstruktion deren Krümmungszentren.


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text: Innerhalb der elementaren Geometrie beschäftige sich Euler unter anderem mit einem Vorläufer des Doppelverhältnisses und den „Möndchen“ des Hippokrates. Letzteren widmete er zwei weit auseinander liegende Arbeiten E73 und E423. In einer kurzen Abhandlung E648 aus dem Jahre 1779 löste Euler das sog. Taktionsproblem des Apollonius. Dies verlangt die (elementar stets mogliche) Konstruktion eines (vierten) Kreises, der drei beliebig gegebene Kreise in der Ebene berührt. Dieses Problem wurde jedoch bereits vor Euler von François Viète, Isaac Newton und anderen gelöst. Kurz darauf verallgemeinerte er in E733 das Problem auf den dreidimensionalen Raum und fand die Konstruktion der Berührungskugel zu vier beliebig gegebenen Kugeln. Auch diese Konstruktion führt bloß auf eine quadratische Gleichung und kann somit elementar geleistet werden.


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text: In einem Brief vom 14. November 1750 aus Berlin an Christian Goldbach nach Sankt Petersburg kündigte Euler seine Entdeckung eines fundamentalen Zusammenhangs zwischen wichtigen Größen eines konvexen Polyeders an. Seine Entdeckung war die Formel formula_154 bezüglich Anzahl der Ecken ("E"), Kanten ("K") und Flächen ("F") eines konvexen Polyeders, eines planaren Graphen. Dieser Satz wird heute als Eulerscher Polyedersatz bezeichnet.


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text: Acht Jahre nach seinem Brief, 1758, veröffentlichte er zwei Arbeiten zu dem Thema. Die erste enthielt seine Entdeckung, die zweite einen Beweisversuch. Eulers Beweis, in dem er die untersuchten Objekte in einzelne Tetraeder zerlegen wollte, enthielt jedoch nach heutigem Maßstab an Strenge einen Fehler. Diese Lücke wurde 1924 durch Henri Lebesgue hervorgehoben.


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text: Euler erhoffte sich mit seiner Arbeit alle Polyeder klassifizieren zu können, erreichte dieses Ziel jedoch nicht. Nach Veröffentlichung der beiden Arbeiten wandte er sich dem Thema nicht mehr zu.


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text: Die Konstante im Eulerschen Polyedersatz wird heute als Euler-Charakteristik des Graphen (oder eines anderen mathematischen Objekts) bezeichnet und steht mit dem mathematischen Geschlecht des Objekts direkt in Zusammenhang. Der erste lückenlose Beweis des Polyedersatzes gelang erst Adrien-Marie Legendre. Die Untersuchung und Verallgemeinerung dieser Formel, insbesondere durch Cauchy und L’Huilier, markiert den Beginn der (algebraischen) Topologie.


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text: Im Jahr 1735 (1741 veröffentlicht mit der Arbeit "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis") präsentierte Euler eine Lösung für das Königsberger Brückenproblem. Die Stadt Königsberg in Preußen lag am Fluss Pregel und umfasste zwei große Inseln, die durch sieben Brücken miteinander und mit dem Festland verbunden waren. Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob es möglich ist, einen Weg zu wählen, der jede Brücke genau einmal überquert und zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Das ist nicht möglich, weil zu mindestens einem Landstück eine ungerade Anzahl an Brücken führt. Diese Bedingung ist bereits durch die zur zentralen Insel führenden Brücken erfüllt. Das Brückenproblem ist gleichbedeutend mit der Frage, ob es für den der Stadtkarte entsprechenden Graphen einen Eulerkreis gibt.


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text: Diese Lösung gilt als der erste Satz der Graphentheorie, insbesondere der planaren Graphentheorie.


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text: Im Jahr 1732 entdeckte Euler die Formel mit den Bernoulli-Zahlen formula_156 und dem Restglied Dabei bezeichnen formula_158 Bernoulli-Polynome. Diese wurde unabhängig von ihm von Colin Maclaurin gefunden und trägt heute den Namen Euler-Maclaurin-Formel. Die Formel stellt einen Zusammenhang zwischen Summen formula_159 und dem Integral formula_160 her. Die hinteren Terme beinhalten die (höheren) Ableitungen von formula_161 an den Grenzstellen und sind bei geschickter (meist nicht zu hoher) Wahl von formula_162 meist schnell zu berechnen. Nützlich ist die Summenformel von Euler und Maclaurin dann, wenn die Summe sehr schwer, das Integral jedoch leicht zu berechnen ist. Zum Beispiel ist schwer allgemein zu berechnen, während die Rechnung deutlich einfacher zu vollziehen ist (siehe auch: Integralrechnung und Stammfunktion) – zu beachten ist, dass die Summenformel auf keine bestimmten Grenzen festgelegt ist und somit auch bei 1 statt 0 beginnen kann. Beginnt man alternativ an einem großen Startwert formula_165, ist somit formula_166 ungefähr gegeben durch Andersherum kann mit der Summenformel ein (schwer zu berechnendes) Integral über diskrete Summen angenähert werden. Dementsprechend praktischen Nutzen zog Euler aus dieser Formel, um unendliche Reihen, die langsam konvergieren, schnell numerisch anzunähern. So gab er gute Näherungen für die Werte formula_168 und formula_169 und fand formula_170 auf 20 Stellen genau: Hätte Euler stattdessen für eine solche Präzision „naiv“ die Terme formula_172 summiert, wäre der Zeitaufwand mit 20 Sekunden pro Summand bei etwa 63 Billionen Jahren gelegen. Erwiesenermaßen etablierte Eulers ursprüngliche Methode der Berechnung von formula_173 für höhere Werte von formula_83 die numerische Mathematik als ein neues Forschungsgebiet.


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text: Während des siebzehnten und achtzehnten Jahrhunderts unternahmen Mathematiker ernsthafte Versuche, gewöhnliche Differentialgleichungen in Form von elementaren Funktionen und Quadraturen zu lösen. Als diese Methoden scheiterten, lösten sie Gleichungen mit Hilfe unendlicher Reihen und mit numerischen Methoden. Im Jahre 1768 entwickelte Euler ein einfaches Finite-Differenzen-Verfahren zur numerischen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung mit der gegebenen Anfangsbedingung formula_176. Mit einer einheitlichen Schrittweite formula_177 zwischen den Punkten formula_178, konstruierte Euler die Punkte formula_179 mit formula_180, und erhielt dann die Formel Hierbei bezeichnet formula_182 die O-Notation von Landau und bedeutet in diesem Falle, dass das Fehlerrauschen jenseits formula_183 im rechten Ausdruck im Wesentlichen durch die „winzige“ Zahl formula_184 nicht überschritten wird. Falls formula_185 stetig ist, dann konvergiert die Folge der Euler-Polygonlinien gleichmäßig mit formula_186 zu der unbekannten Funktion formula_187 auf einem ausreichend kleinen geschlossenen Intervall, das formula_188 enthält.


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text: Nach ihm sind auch die bedeutenden Euler-Winkel benannt. Es handelt sich dabei um ein Tripel aus Winkeln, mit denen die Orientierung (Drehlage) eines festen Körpers im dreidimensionalen euklidischen Raum beschrieben werden kann. Eine algebraische Beschreibung, mit der die Drehlage von beliebigen Punkten berechnet werden konnte, wurde erst ab 1775 von Euler in zunehmender Tiefe formuliert. In der ersten Arbeit zeigte er, dass die neun Elemente der Abbildungsmatrix (welche die Drehung beschreiben) wegen der Längentreue einer Bewegung nicht unabhängig voneinander sind, sondern durch nur drei voneinander unabhängige Winkel festgelegt werden, der Euler-Winkel.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: In der Aerodynamik von Flugzeugen werden bis heute die Euler-Winkel verwendet. Dabei ist es Praxis, ein erdfixes Koordinatensystem zu verwenden, um die Position und Orientierung eines Flugzeugs relativ zur Erde zu beschreiben. Da es sich bei dem Koordinatensystem "nicht" um ein kartesisches System handelt, ergeben sich in der Regel aber einige Probleme bei der Formulierung der Flugzeugdynamik. Durch weitere Differenzierung kann dem begegnet werden. Während die Position des Flugzeugs am besten mittels eines erdfixen Koordinatensystems beschrieben werden kann, werden die Komponenten des Trägheitstensors in der Bewegungsgleichung am besten mittels eines Koordinatensystems beschrieben, welches das Gravizentrum des Flugzeugs als Ursprung hat. Die Orientierung eines Flugzeugs relativ zur Erde kann nun mit den sogenannten Euler-Winkeln beschrieben werden. Daher ist es notwendig, die Transformation zwischen den beiden oberen Koordinatensystemen mittels der drei Eulerwinkel-Drehungen abzuleiten.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler beschäftigte sich auch mit Lotterien. 1749 trat ein italienischer Geschäftsmann namens Roccolini an Friedrich den Großen, den damaligen König von Preußen, mit dem Vorschlag heran, ein Lotteriesystem einzuführen, bei dem fünf Zahlen von 1 bis 90 gezogen werden sollten. Der König sandte den Vorschlag an seinen wissenschaftlichen Berater Euler mit der Bitte um eine mathematische Überprüfung bezüglich der Einführung einer staatlichen Lotterie in Deutschland. Auf den königlichen Wunsch hin interessierte sich Euler sehr für die Analyse der verschiedenen Aspekte des genuesischen Lotteriesystems und entwickelte ein verbessertes Lotteriesystem, nachdem er bei der Analyse dieses Glücksspiels kombinatorische Fragen angesprochen hatte. In der Folge wurde die Berliner Lotterie 1763 in Deutschland gegründet.


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text: Im selben Jahr, in dem Preußen sein erstes Lotto veranstaltete, verlas Euler vor der Berliner Akademie eine Arbeit mit einer detaillierten und allgemeinen Analyse dieses Lottos. Eulers Arbeit wurde posthum veröffentlicht. Eines der grundlegenden Ergebnisse, die Euler erzielte, bestand darin, eine Formel für die Gewinnwahrscheinlichkeit der Wette zu finden, bei der "r" aus "t" gezogenen Zahlen bei einer Gesamtzahl von "n" richtig erraten werden müssen. Seine Formel lautete: Anhand dieser Wahrscheinlichkeitsberechnungen berechnete Euler drei praktische Szenarien für die Auszahlungen auf alle Wetten und berücksichtigte dabei die Möglichkeit, einen Gewinn für die Lotterieveranstalter zu erzielen.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Im Jahr 1907, fast 125 Jahre nach Eulers Tod, verwendete Alfred J. Lotka Eulers Arbeit "Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain" um die Euler-Lotka-Gleichung zur Berechnung von Bevölkerungswachstumsraten abzuleiten. Dabei handelt es sich um eine grundlegende Methode, die in der Populationsbiologie und -ökologie bis heute verwendet wird.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Eulers Abhandlungen zur Mechanik lassen sich, entsprechend seinem „Programm“, in folgende Bereiche einteilen: Grundlagen der Mechanik (Aufbau und Struktur der Materie, Kraft und Kraftmaß, Prinzipien der Mechanik), Mechanik materieller Punkte, Mechanik starrer, Mechanik biegsamer nicht elastischer, Mechanik elastischer, Mechanik flüssiger sowie Mechanik gasförmiger Körper. In Schriften wie "Mechanica, sive motus scientia analytica exposita" (1736), "Découverte d’un nouveau principe de mécanique" (1752) und "Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum" (1765) wandte Euler dabei die Mathematik auf Fragen der Physik an. Laut Clifford Truesdell „tragen in der Tat nur wenige Werke so viel zur Mechanik bei“ wie die zweit genannte Arbeit.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler bemerkte, dass die damals allgemein akzeptierten Prinzipien der Mechanik nicht ausreichten, um das Problem der Bewegung eines starren Körpers in voller Allgemeinheit zu lösen. Der Drehimpulssatz (um eine raumfeste Achse) findet sich – implizit formuliert – bereits in Eulers Manuskript von 1734 zu seiner "Mechanica" sowie in seiner 1738 verfassten, aber erst 1749 publizierten "Scientia navalis". Zum ersten Mal hergeleitet wurde der Drehimpulssatz (bezüglicher einer raumfesten Achse) für Systeme diskreter Massenpunkte in einer Abhandlung Eulers über die Bewegung der Mondknoten, die Euler 1744 der Berliner Akademie der Wissenschaften präsentierte und 1750 publizierte. Am 3. September 1750 las er vor der Berliner Akademie ein Mémoire, in dem er das Prinzip „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ im Kontext der "Eulerschen Gleichung der Starrkörper-Rotation" als eigene und neue Entdeckung vorstellte. Jedoch erst 1775 publizierte Euler den Drehimpulssatz in seiner allgemein gültigsten Form als unabhängiges neues mechanisches Prinzip. Aus einer Idee Johann Bernoullis in dessen Werk "Hydraulica" und aus der Anwendung eines Schnittprinzips an einem infinitesimal kleinen Volumenelement gewann Euler den Impulssatz der Mechanik, also das heute so geläufige „Kraft = Masse × Beschleunigung“, das immer Newton zugeschrieben wird, sich in dieser Form dort aber nicht findet.


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text: Historisch gesehen wurden im 18. Jahrhundert von Jean d’Alembert, Daniel Bernoulli, Alexis Clairaut und Joseph Lagrange beträchtliche Fortschritte in der theoretischen Strömungsmechanik erzielt. Unter diesen großen Mathematikern leistete Euler die grundlegendsten Beiträge zur Strömungsmechanik, indem er seine berühmten Bewegungsgleichungen, die Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik, aufstellte.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Eulers Hauptwerk auf dem Gebiet der Strömungsmechanik beruhte im Wesentlichen auf der Kontinuumshypothese und den Newtonschen Bewegungsgesetzen. Seine Arbeit bildet die Grundlage der mathematischen Theorie der Strömungsmechanik, die von seiner Entdeckung der Variationsrechnung sowie partieller Differentialgleichungen umfasst war. Er leistete grundlegende Beiträge zur Hydrostatik und Hydrodynamik in der Zeit von 1752 bis 1761 und veröffentlichte 1757 mehrere wichtige Artikel in diesen Bereichen in der "Mémories de l’Academie des Sciences de Berlin". Der erste dieser Artikel befasste sich mit den grundlegenden allgemeinen Konzepten, Prinzipien und Gleichgewichtsgleichungen von Flüssigkeiten. Die zweite und die dritte Arbeit beschäftigten sich im Wesentlichen mit der "Massenerhaltungsgleichung" (oder der Kontinuitätsgleichung) und den nichtlinearen Euler-Bewegungsgleichungen kompressibler Flüssigkeitsströmungen. Anschließend formulierte er die Bewegungsgleichungen und die Kontinuitätsgleichung für eine nichtviskose, inkompressible Flüssigkeitsströmung mit dem ersten Beweis des berühmten d’Alembertschen Paradoxons in einer nichtviskosen Flüssigkeitsströmung, die an einem starren Körper vorbeifließt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Außerdem arbeitete Leonhard Euler in der Mechanik auf den Gebieten der Turbinengleichung und der Kreiseltheorie, in der er neben den Eulerschen Gleichungen die Euler-Winkel einführte. Er gilt als der Entwickler der weltweit ersten Wasserturbine. Eine Rekonstruktion der Eulerschen Turbine zeigte, dass ihr Wirkungsgrad von 71 % nur wenig unter dem moderner Turbinen (Stand 2015) liegt. Auch das technisch realisierbare Prinzip des Flügelradantriebs und der Schiffsschraube ist Euler zu verdanken.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Die erste analytische Beschreibung der Knickung eines mit einer Druckkraft belasteten Stabes geht ebenfalls auf Euler zurück; er begründete damit die Stabilitätstheorie. Er half bei der Entwicklung der Euler-Bernoulli-Balkengleichung, die zu einem Eckpfeiler des Ingenieurwesens wurde.


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text: Abgesehen von der erfolgreichen Anwendung seiner analytischen Werkzeuge auf Probleme der klassischen Mechanik wandte Euler diese auch in der Astronomie an – diese Arbeiten wurden im Laufe seiner Karriere durch eine Reihe von Preisen der Pariser Akademie anerkannt. Zu seinen Errungenschaften gehören die genaue Bestimmung der Bahnen von Kometen und anderen Himmelskörpern, das Verständnis der Natur von Kometen und die Berechnung der Sonnenparallaxe. Seine Berechnungen trugen zur Entwicklung präziser Längengradtabellen bei.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Nach Victor J. Katz gilt es als gesichert, dass Euler der erste Mathematiker in Europa war, der das Kalkül der trigonometrischen Funktionen systematisch durchdrang. Er tat dies in Arbeiten, die ab 1739 erschienen. Die Bedeutung der trigonometrischen Funktionen wurde ihm einige Jahre später bewusst, als er anstrebte, bestimmte Differentialgleichungen zu lösen, insbesondere lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Die im Nachhinein offensichtliche Tatsache, dass die Rechnung mit trigonometrischen Funktionen ein Schlüssel zum Verständnis „periodischer Phänomene“, einschließlich der Bewegungen von Planeten und Satelliten, ist, scheint für die Astronomen vor Euler nicht offensichtlich gewesen zu sein. Euler war der erste, der sich mit der Formulierung und Lösung des Störungsproblems beschäftigte – dem Schlüsselproblem, das formuliert und gelöst werden musste, wenn das Newtonsche Gravitationsgesetz als Grundlage für die Planeten- und Mondtheorie etabliert werden sollte.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Mit dem Kalkül der trigonometrischen Funktionen in der Hand konstruierte er eine Reihe von Mondtabellen. Diese wurden 1746 in seinem "Opuscula varii argumenti" veröffentlicht. Eulers erster Versuch, mit den planetarischen Störungen fertig zu werden, erfolgte als Reaktion auf den Preiswettbewerb der Pariser Akademie von 1748. Der Preis wurde ausgeschrieben für „eine Theorie von Jupiter und Saturn, die die Ungleichheiten erklärt, die diese Planeten in ihren Bewegungen gegenseitig zu verursachen scheinen, insbesondere über den Zeitpunkt ihrer Konjunktion“. Newton hatte in seiner "Principia" von „einer Störung der Umlaufbahn des Saturn in jeder Konjunktion dieses Planeten“ geschrieben, „die so empfindlich ist, dass die Astronomen darüber ratlos sind“. Als Reaktion auf die Ankündigung des Preisausschreibens der Pariser Akademie für 1748 schrieb Euler zwei Memoiren, die beide Mitte 1747 fertiggestellt wurden. In der ersten, die Euler der Berliner Akademie vorlegte, leitete er die Differentialgleichungen für das Problem der Störungen ab. Die zweite, eine Ableitung der Störungen des Saturn durch Jupiter, wurde im Wettbewerb eingereicht und mit dem Preis ausgezeichnet, obwohl Euler es versäumte, die scheinbare Verlangsamung des Saturn oder die Beschleunigung des Jupiter zu erklären. Eulers Preisaufsatz überzeugte mit den innovativen Methoden, die er zur Bewältigung planetarischer Störungen einführte.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: In der Optik veröffentlichte er Werke zur Wellentheorie des Lichts und zur Berechnung von optischen Linsen zur Vermeidung von Farbfehlern. Er widersprach Newtons Korpuskeltheorie des Lichts in den "Opticks", die damals vorherrschend war. Seine Arbeiten zur Optik aus den 1740er Jahren trugen dazu bei, dass die von Christiaan Huygens vorgeschlagene Wellentheorie des Lichts zur vorherrschenden Denkweise wurde, zumindest bis zur Entwicklung der Quantentheorie des Lichts.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Fast die Mehrzahl von Eulers Schriften zur Optik, im ganzen sieben aus fünfzehn, sind Fragen der Dispersion gewidmet. Dabei beschäftigte ihn unter anderem wiederholt die Frage, ob Rot oder Violett die größere Frequenz hat. Euler wechselte diesbezüglich seine Ansicht dreimal, jedes Mal auf Grund einer theoretischen Betrachtung, zu der ihn ein neues Experiment, von dem er hörte, veranlasst hatte. In der "Nova theoria" hatte noch Rot die größte Frequenz, in zwei späteren Arbeiten korrigierte er diese Ansicht unter anderem auf Grund seiner Theorie der Beobachtungen von Farben dünner Schichten. Dann aber wird er durch eine Betrachtung über die Elastizität von Metalllamellen wiederum auf die erste, falsche Ansicht zurückgeführt, um dann schließlich zur richtigen zurückzukehren.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: 1745 übersetzte Euler das Werk "New principles of gunnery" des Engländers Benjamin Robins ins Deutsche. Es erschien im selben Jahr in Berlin unter dem Titel "Neue Grundsätze der Artillerie enthaltend die Bestimmung der Gewalt des Pulvers nebst einer Untersuchung über den Unterscheid"(sic)" des Wiederstands"(sic)" der Luft in schnellen und langsamen Bewegungen." Seit Galilei hatten die Artilleristen die Flugbahnen der Geschosse als Parabeln angesehen, wobei sie den Luftwiderstand für vernachlässigbar hielten. Robins hat als einer der ersten Experimente zur Ballistik ausgeführt und gezeigt, dass die Flugbahn durch den Luftwiderstand wesentlich beeinflusst wird. Somit wurde dank Robins und mit Eulers Hilfe „das erste Lehrbuch der Ballistik“ geschaffen. Es wurde zum Beispiel in Frankreich (in französischer Übersetzung) als offizielles Lehrbuch in den Militärschulen eingeführt. Napoleon Bonaparte musste es als Leutnant studieren.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Weniger bekannt sind Eulers Arbeiten zum Stabilitätskriterium von Schiffen, in denen er das bereits erworbene, aber wieder verlorengegangene Wissen von Archimedes erneuerte. Die "Scientia navalis", das bis weit ins 19. Jahrhundert vorgreifende Hauptwerk über das Schiffsingenieurwesen, erschien während der ersten Berliner Jahre.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: In der Algebra beschäftigte sich Euler unter anderem mit der expliziten Gestalt von Einheitswurzeln. Diese treten als Lösungen der Gleichungen formula_191 auf. Im 18. Jahrhundert galt es als wegweisende Problemstellung, die Lösungen dieser Gleichungen algebraisch geschlossen durch „Radikale“ auszudrücken. Auch Euler hatte in diesem Bereich Erfolge und löste die Einheitsgleichungen bis formula_192. Als technisch besonders schwierig gilt hierbei das Verfahren für formula_193, das die Lösungen in Termen von Quadrat- und Kubikwurzeln ausdrückt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler studierte intensiv Diophantische Gleichungen der Form formula_194 und formula_195, wobei formula_196 ganzzahlig sind und formula_197 keine Quadratzahl ist. In größerer Allgemeinheit untersuchte er Gleichungen des Typs bei denen die Diskriminante formula_199 keine Quadratzahl ist.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler arbeitete Näherungsmethoden für die Lösung numerischer Gleichungen aus und bearbeitete ferner – wahrscheinlich von Daniel Bernoulli angeregt – das Eliminationsproblem. So gelang ihm ein Beweis des bereits Newton bekannten Satzes, dass zwei algebraische Kurven vom Grad "m" bzw. "n" höchstens "mn" Schnittpunkte haben können. In diesem Zusammenhang gelangte er zum wichtigen Begriff der Resultante. In den beiden Abhandlungen E147 und E148 vom Jahre 1750 gab Euler eine stichhaltige Erklärung des sogenannten Cramerschen Paradoxons.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: 1770 brachte er das Buch "Vollständige Anleitung zur Algebra" heraus. Er erarbeitete eine Methode zur Lösung von quartischen Gleichungen. Euler bemerkte ebenfalls, dass sich quintische Gleichungen im Allgemeinen nicht mehr durch Radikale (also geschlossene Verkettungen von Wurzelausdrücken) auflösen lassen. Dieses Resultat wurde jedoch erst später durch Niels Henrik Abel und Évariste Galois bewiesen.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler wird auch die Verwendung geschlossener Kurven zur Veranschaulichung der syllogistischen Argumentation zugeschrieben. Diese Diagramme sind als Euler-Diagramme bekannt geworden. In den Briefen 101 bis 108 (an eine deutsche Prinzessin), die im Februar und März 1761 verfasst wurden, werden die heute als Venn-Diagramme bezeichneten Diagramme vorgestellt, obwohl das eine falsche Bezeichnung ist. Diagramme für mathematische Darstellungen in der Logik tauchten in einigen Abhandlungen des achtzehnten Jahrhunderts zu diesem Thema auf, und es ist möglich, dass Johann Heinrich Lambert sie kurz vor Eulers Briefen verwendete. In den Briefen 101 und 102 betonte Euler die Notwendigkeit einer disziplinierten Sprache bei der Darstellung allgemeiner Ideen und ihrer Erweiterung; er verwendete Kreise in Diagrammen, um verschiedene Formen von Syllogismen und hypothetischen Propositionen zu erklären.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Ein Euler-Diagramm ist ein diagrammatisches Mittel zur Darstellung von Mengen und ihren Beziehungen. Euler-Diagramme bestehen aus einfachen geschlossenen Kurven (normalerweise Kreisen oder auch Ellipsen) in der Ebene, die jeweils Mengen darstellen. Jede Eulerkurve teilt die Ebene in zwei Bereiche oder „Zonen“: den inneren Bereich, der symbolisch die Elemente der Menge einschließt und darstellt, und den äußeren Bereich, der alle Elemente darstellt, die nicht zur Menge gehören (Komplement). Die Größen oder Formen der Kurven spielen dabei kein Rolle. Das Diagramm soll lediglich veranschaulichen, wie sie sich überlappen. Die räumlichen Beziehungen zwischen den von jeder Kurve begrenzten Bereichen (Überlappung, Eingrenzung oder keines von beiden) entsprechen mengentheoretischen Beziehungen (Schnittmenge, Teilmenge und Disjunktheit). Kurven, deren innere Zonen sich nicht schneiden, stellen disjunkte Mengen dar. Zwei Kurven, deren innere Zonen sich schneiden, repräsentieren Mengen, die gemeinsame Elemente haben (nicht-leere Schnittmenge): Die Zone innerhalb beider Kurven stellt dabei die Menge der Elemente dar, die beiden Mengen gemeinsam sind. Eine Kurve, die vollständig im Bereich einer anderen enthalten ist, stellt eine Teilmenge dieser dar.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Euler-Diagramme (und die allgemeineren Venn-Diagramme) wurden ab den 1960er Jahren im Zuge der "Neuen Mathematik" als Teil des Unterrichts in der Mengenlehre aufgenommen.


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text: Großes Interesse legte Euler für astronomisch-geodätische und kartographische Fragen an den Tag, für deren Lösung bei der Petersburger Akademie der Wissenschaften auf Joseph-Nicolas Delisles Anregung eine neue wissenschaftliche Institution ins Leben gerufen wurde – das sogenannte "Geographische Departement". Euler war dort als Delisles Helfer eine Reihe von Jahren tätig. Der Einblick in verschiedene Dokumente dieses Departements, vor allem in die Protokolle, brachte viele Einzelheiten über Eulers Tätigkeit auf dem Gebiet der Geodäsie und Kartographie zutage. So konnte z. B. festgestellt werden, dass Eulers Anstellung im Geographischen Departement durchaus seinen Wünschen und wissenschaftlichen Neigungen entsprach. Eulers erste Arbeit war die vom Senat angeforderte Karte von Russlands europäischen Grenzen. Am 2. September beriet sich Euler mit Delisle darüber, wie eine solche Karte am besten zu konstruieren sei. Euler beendete die Karte der europäischen Grenzen Russlands am 6. September 1736. Erst am 14. Oktober 1736 war die von Euler und Delisle gemeinsam begonnene Karte, nach Korrekturen des Adjunkten Wassili Jewdokimowitsch Adodurow, endgültig fertiggestellt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Auch im Bereich der Musik beruhten Eulers Gedanken hauptsächlich auf der Mathematik: Er begründete eine auf mathematischen Gesetzen aufbauende Musiktheorie (unter anderem "Tentamen novae theoriae musicae," 1739, Music mathématique, Paris 1865). Sein Modell des Tonnetzes wird noch heute bei Berechnungen zur reinen Stimmung verwendet. Obwohl seine Schriften über Musiktheorie nur einen kleinen Teil seiner Arbeit ausmachen (einige hundert Seiten, bei einer Gesamtproduktion von etwa dreißigtausend Seiten), spiegeln sie dennoch ein bereits früh gewecktes Interesse wider, das ihn sein ganzes Leben lang nicht mehr verlassen hat.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Zum Verständnis von Eulers Musiktheorie muss bekannt sein, dass musikalische Intervalle in der sog. reinen Stimmung mit den Tonstufen Oktave, Quinte, Quarte und große Terz entsprechend den Frequenzverhältnissen 1:2, 2:3, 3:4 bzw. 4:5 zum Grundton aufgebaut werden. Im Gegensatz dazu steht die heute meist gebräuchliche gleichstufige Stimmung (wohltemperiert), bei der zwei Töne eines Halbtons stets das exakte Frequenzverhältnis formula_200 haben.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Der Musikwissenschaftler Martin Vogel stellt fest: „Eine durchaus brauchbare und für die Praxis geeignete Konsonanzgradberechnung wurde von Leonhard Euler aufgestellt.“ Er fährt fort, „daß ihre Ergebnisse mit den tonpsychologischen Testen weitgehend übereinstimmen. Für die praktische Arbeit des Komponierens und des Analysierens lassen sich aus ihr wichtige Folgerungen gewinnen“. „Euler geht davon aus, daß der Mensch in einer geordneten Welt leben will und daß das nicht gar zu anstrengende Erfassen dieser Ordnung sein Wohlbefinden steigert. … Euler folgerte weiter: Je einfacher ein Verhältnis sei, durch je kleinere Zahlen es ausgedrückt werde, desto deutlicher könne es wahrgenommen werden und desto angenehmer sei seine Wirkung.“ Euler versucht nun, diese Einfachheit genauer zu definieren und so in mathematische Formeln zu fassen, dass es dem Höreindruck möglichst gut entspricht. Dabei verwendet er Primzahltheorien.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Zunächst definiert Euler für Konsonanzen, d. h. Zusammenklänge, einen „Grad“. Dieser soll die „Schwierigkeit“ eines Zusammenklangs von Tönen mathematisch erfassen. Ein niedriger Grad spricht dabei für einen „annehmlichen“ – ein hoher Grad für einen „unannehmlichen“ Klang. Als Funktion verwendete Euler den "Gradus suavitatis" („Grad der Lieblichkeit, der Verträglichkeit“) formula_201, der rein abstrakt als eine zahlentheoretische Funktion interpretiert werden kann: Für eine natürliche Zahl "n" mit Primfaktorzerlegung formula_202 ist er definiert durch Der Gradus suavitatis stellt somit eine Bewertung der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen dar und ist umso größer, je größer die auftretenden Primzahlen und je größer deren Exponenten sind. Zweiklänge werden nun wie folgt gradiert: Für das Verhältnis "a":"b", wobei bereits vollständig gekürzt wurde, d. h., "a" und "b" sind teilerfremd, setzt man Euler nennt die Zahl formula_205 (das kleinste gemeinsame Vielfache von "a" und "b"), den "Exponenten" von "a":"b". Damit hat zum Beispiel die reine Quinte einen Grad von 4, denn es gilt formula_206. Dieses Prinzip lässt sich auf beliebige Akkorde erweitern, indem das kgV des Gesamtklangs verwendet wird. Für einen Dreiklang "a:b:c", wobei "a", "b" und "c" jeweils teilerfremd sind, hat man zum Beispiel formula_207. Eulers Argumente erklären zum Beispiel, warum ein Dur-Dreiklang (wie C-E-G, im Verhältnis 4:5:6) „fröhlicher“ klingt als ein Moll-Dreiklang (E-G-H, im Verhältnis 10:12:15). In seinem Schema hat der Dur-Dreiklang den neunten und der Moll-Dreiklang den vierzehnten Grad – der Moll-Dreiklang ist daher „trauriger“, weil „Freude durch die Dinge, die eine einfachere, leichter wahrnehmbare Ordnung haben, und Traurigkeit durch die Dinge, deren Ordnung komplexer und schwieriger wahrnehmbar ist“ vermittelt wird. Euler benutzte also das Prinzip des "Exponenten", um eine Ableitung des "Gradus suavitatis" von Intervallen und Akkorden aus ihren Primfaktoren vorzuschlagen – man muss sich vor Augen halten, dass er dabei zunächst nur das Quint-Terz-System, d. h. die 1, die 2 und die Primzahlen 3 und 5, berücksichtigte. Die oben erwähnte Gradusfunktion, die dieses System auf beliebig viele Primzahlen ausdehnt, wurde später vorgeschlagen.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Zu den Ergebnissen dieser Berechnungen konstatiert Vogel: „Mit den gängigen Intervallvorstellungen stimmt Eulers System nicht voll überein. Wer sich aber klar macht, wie diese Vorstellungen sich herausbildeten und wie schlecht fundiert die Theorie ist, auf die sie sich stützen, wird sich sagen, daß es eigentlich nicht anders sein kann, daß ein neuer Ansatz, der uns weiter bringen soll, nicht gleich in die alten Gleise einmünden darf. Eulers Grade entsprechen nicht durchweg den allgemeinen Vorstellungen, sie entsprechen aber recht gut dem Höreindruck.“


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text: Während die konventionelle Musiktheorie oftmals von einer klaren Grenze zwischen konsonanten und dissonanten Intervallen ausgeht, ergeben sich bei Euler nur noch graduelle Unterschiede, also feine Abstufungen zwischen verschiedenen Graden der Verschmelzung der beiden gleichzeitig erklingenden Töne. Damit nimmt er ein wichtiges Prinzip der Neuen Musik, z. B. von Schönberg, vorweg, wo die prinzipielle Grenze zwischen Konsonanz und Dissonanz nicht mehr gilt.


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Im Kapitel „Eulers Grenzen“ versucht Vogel plausibel zu machen, daß die Anwendung von Eulers Formeln auf drei- und mehrstimmige Akkorde zu keinen sinnvollen Ergebnissen führt. Dagegen betont Vogel für zweistimmige Akkorde (= Intervalle): „Im praktischen Umgang mit Intervallen erweist sich Eulers Einstufung jedoch als außerordentlich brauchbar. Diese Feststellung betont die praktische Seite. Die theoretische Begründung wäre schwierig, wenn nicht gar unmöglich.“


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text: Eulers Konsonanztheorie bedarf aber der Ergänzung durch seine Substitutionstheorie: Beim Hören von Musik, deren Intonation vom Ideal leicht abweicht, nehmen wir seiner Meinung nach in unserer inneren Vorstellung nach Möglichkeit nicht die Tonhöhen wahr, die tatsächlich erklingen, sondern diejenigen, die unserem Ideal eher entsprechen würden. „Das Ohr hört zurecht. Das Ohr hört ökonomisch. Es hört die dargebotenen Intervalle im Sinne der einfachsten Verhälntisse zurecht. Das Ohr erkennt das eigentlich gemeinte Intervall, so wie das Auge im Geometrieunterricht an der Tafel ein rechtwinkliges Dreieck hinnimmt und zurechtsieht, auch wenn sein Winkel nicht exakt ein rechter ist.“ Damit wird ein Vorwurf entkräftet, dem Eulers Konsonanzgrad-Berechnungen oftmals begegnen: „Eulers Lehre von den Schwingungsrhythmen ist oft mit dem billigen Einwand abgetan worden, daß dann eine leichte Verstimmung genüge, um aus der reinsten Konsonanz die rauheste Dissonanz werden zu lassen. Statt einer reinen Quinte 300/200 brauche man nur eine Verstimmung von 301/200 anzunehmen, um ein nicht mehr apperzipierbares Verhältnis zu erhalten. Einem solchen Einwand hat Euler, was seinen Kritikern meist nicht bekannt ist, mit seiner Substitutionstheorie vorgebeugt. Es sei genügend bewiesen, daß sich das geistig erfaßte Tonverhältnis oftmals von dem akustisch gegebenen Verhältnis unterscheide. In solchen Fällen sei die apperzipierte Proportion einfacher als die wirkliche. Die Differenz sei so klein, daß sie der Wahrnehmung entgehe. Das Ohr sei daran gewöhnt, als ein einfacheres Zahlenverhältnis gelten zu lassen, was nur wenig davon abweiche.“


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: „Eulers These vom Zurechthören im Sinne der einfachsten Verhältnisse ist aber kein Freibrief für unreines Musizieren und schlechte Intonation. Euler läßt keinen Zweifel daran, daß ein möglichst hoher Grad an Reinheit anzustreben sei. Je leichter die Intervalle erfaßbar seien, desto weniger ermüde das Ohr und desto größer sei auch der Musikgenuß.“


title: Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers

text: Das Prinzip des Zurechthörens liegt auch der Verwendung von temperierten Stimmungssystemen zugrunde, wie sie in der Musik oftmals verwendet werden, und zwar insbesondere bei Tasteninstrumenten.


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text: Ein weiterer Ansatz von Eulers Musiktheorie ist die Definition sog. „Gattungen“, d. h. von möglichen Unterteilungen einer Oktave durch die Primzahlen 3 und 5. Diese repräsentieren aufeinanderfolgende Töne, die gewissen Frequenzverhältnissen folgen, und sind demnach Tonleitern. Euler beschreibt 18 solcher Gattungen, aufbauend auf den Primzahlen 3 und 5. Dabei wird wie folgt verfahren: Jedes Produkt formula_208 beschreibt eine Folge von Vielfachen einer Grundfrequenz – dabei werden alle möglichen Teiler von formula_209 genommen. Für formula_210 hat man zum Beispiel die Verhältnisse 1:1, 1:2, 1:3, 1:5, 1:6, 1:10, 1:15, 1:30. Da die Zahl 2 jedoch (bis auf Oktave) nichts an den vorkommenden Klängen ändert (eine Frequenzverdopplung definiert einen Oktavsprung), spielt die Zweierpotenz keine Rolle für die Gattung.


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text: Euler stellte seine Gattungen in kompakten Tabellen vor, die musikalische und mathematische Notationen visuell nebeneinander stellen. Er zeigte damit, wie wichtig ihm beide waren und wie er versuchte, sie zusammenzubringen:


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text: Dieses Prinzip wurde von Adriaan Fokker weiterentwickelt. Beispielsweise lässt sich der Fall formula_211 innerhalb einer Oktave auf die folgenden Verhältnisse normieren: 1:1, 8:9, 16:21, 2:3, 4:7, 32:63.


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text: Die Gattungen 12 (bei Euler formula_212), 13 (bei Euler formula_213) und 14 (bei Euler formula_214) sind korrigierte Versionen der diatonischen, chromatischen bzw. enharmonischen Versionen aus dem Altertum. Die 18. Gattung (formula_215) ist die „diatonisch-chromatische“, „die allgemein in allen Kompositionen verwendet wird“, und die sich als identisch mit dem von Johann Mattheson beschriebenen System erweist. Euler sah später noch die Möglichkeit, Gattungen einschließlich der Primzahl 7 zu beschreiben. Euler entwickelte ein spezielles Diagramm, das "Speculum musicum", um die diatonisch-chromatische Gattung zu veranschaulichen, und erläuterte die Wege in diesem Diagramm für bestimmte Intervalle, was an sein Interesse an der Graphentheorie, im Besonderen der Sieben Brücken von Königsberg, erinnert. Das Konzept erregte erneut Interesse als Tonnetz in der Neo-Riemannschen Theorie "(Neo-Riemannian Theory)", benannt nach dem Musiktheoretiker Hugo Riemann.


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text: Besondere Bedeutung in der breiten Öffentlichkeit erlangte Eulers populärwissenschaftliche Schrift "Lettres à une princesse d’Allemagne" von 1768, in der er in Form von Briefen an die Prinzessin Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt, eine Nichte Friedrichs II., die Grundzüge der Physik, der Astronomie, der Mathematik, der Philosophie und der Theologie vermittelte. Euler begann den ersten Brief mit einer Erklärung des Begriffs „Größe“ "(la grandeur)". Ausgehend von der Definition eines Fußes definierte er die Meile und motivierte die unterschiedlichen Maße durch praktische Beispiele. So sei es besser, den Abstand zwischen Berlin und Magdeburg mit 18 Meilen (in einer Übersetzung ist von 83 "Englischen Meilen" die Rede) statt 432.000 Fuß (43,824 "feet") zu beziffern. Spätere Briefe beinhalteten Optik, Magnetismus, Elektrizität, aber auch Astronomie. Unter anderem schätzte Euler die Entfernung von Erde und Sonne auf „trente Millions de Milles“ (dreißig Millionen Meilen).


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text: Die ersten beiden Bände der 234 ursprünglich in Französisch verfassten Briefe erschienen 1768 in Sankt Petersburg und der dritte 1774 in Frankfurt. Die Briefe wurden später in Paris nachgedruckt, der erste Band 1787, der zweite 1788 und der dritte 1789. Die erste Ausgabe der 1787 in Paris veröffentlichten "Lettres" enthielt "Eloge de M. Euler", einen sechsunddreißigseitigen Nachruf verfasst von Marquis de Condorcet, der dem Leser biografische Skizzen und Höhepunkte von Eulers Karriere bot. Obwohl Euler die Briefe auf Französisch verfasst hat, gilt es als gesichert, dass Condorcet einige redaktionelle Änderungen vorgenommen hat, da der Text vom Original abweicht.