平均

平均（粵拼：ping4 gwan1）喺概念上係指將兩個或者更多嘅數「拉勻去計」。喺統計學上，平均可以細分做平均數、中位數同眾數呢三種計法，當中日常生活講嘅「平均」多數都係指平均數。

點計平均值
喺科學觀測或者社會調查度攞到嘅數據，通常會攞算術平均嚟做代表值。但係，要諗清楚下算術平均係咪真係幫到你反映數據特徵，有時可能未必。通常如果數據係正態分佈，咁你用算術平均同標準差就啱晒啦。但係，如果數據唔係正態分佈，咁算術平均就可能唔係咁啱用，未必反映到大家普遍嘅情況。
舉個例，諗下香港人嘅收入。根據2023年嘅數據，香港打工仔每個月嘅中位數收入係$19,800，但平均收入就有$36,583。呢個咁大嘅差距其實係因為一小撮高收入人士拉高咗個數。結果就係，現實中好少家庭收入真係啱啱中晒呢個平均數。所以喺呢個情況下，數據唔係跟正態分佈。如果真係想睇到一般家庭收入，中位數或者最常見值會準啲。
仲有，由於97%至99%嘅收入對數係跟對數正態分佈，咁用收入嘅幾何平均值嚟代表可能仲更啱。
如果數據分佈唔係對稱嘅，或者有啲極端數據值（即係啲離譜嘅數），你可以諗下用刈除平均，即係剔除最大同最細值，再計返個平均數。如果平均同中位數、最常見值、中點值有段距離，可能要諗下唔好用平均數，用啲第啲方法嚟表達數據會好啲。

統計學
講開統計學呢樣嘢，講「平均值」通常講緊算術平均，講白啲就係平均數啦。呢個係用啲數據計出嚟嘅統計指標值嚟㗎。

阿媽平均同細路平均
統計學入面有阿媽平均同細路平均之分。阿媽平均就係將成揪嘢平均，即係全部數據加埋嘅平均啦。細路平均就係喺抽返啲數出嚟嘅（即係抽樣）嘅平均數。啲學者慣常用 μ 嚟代表阿媽平均，用 m 嚟代表細路平均。

算術平均
内文：算術平均
又叫算術平均，英文：arithmetic mean。
算術平均嗰條數就係咁㗎：
即係話，將成堆數加埋，再擘開嚟計。你都可以咁樣寫：
呢啲數嘅算術平均可以用  嚟寫。
算術平均啱用喺有得加有得乘嘅數，譬如實數、複數、向量噉。

加權平均
如果啲數據有唔同嘅權重，咁就唔可以淨係攞算術平均，而係要考慮埋權重嚟計平均值。當每個數據 xi 係有自己嘅權重 wi 嘅時候，呢個加權平均（權重平均）就係咁計：
如果所有數據嘅權重都一樣，咁呢個加權平均就係一般嘅算術平均。
舉個例：喺權重最小二乘法裡面，我哋會比誤差細嘅數據更大嘅權重，然後最小化呢啲殘差嘅加權平均，咁樣就可以最大化似然。而喺優先抽樣入面，我哋喺用蒙地卡羅估計期望值嘅時候，會用求得嘅期望值嘅機率密度同樣本嘅機率密度比值作為權重，再攞加權平均嚟做估計量。
至於幾何平均嘅加權平均定義如下：
不過呢度嘅 。

連續分布嘅算術平均
睇埋：函數嘅平均
如果數據 x(t) 喺區間 [a, b] 裏面連續分布，咁佢嘅算術平均就係積分
呢個積分係將離散分布嘅算術平均推廣到無限個平均值嘅極限形式。

對數平均
内文：對數平均
如果 x(t) 係指數函數，咁佢嘅算術平均可以用端點嘅函數值 x(a), x(b) 嚟計算，
呢個結果叫做對數平均，喺對數平均溫度差等應用中用得上。

向量平均
算術平均同加權平均都可以擴展到向量情況，向量平均同物理學入面嘅質心概念有關。幾何平均同調和平均就冇辦法定義。

算術平均
對於向量 x1, …, xn，佢哋嘅（算術）平均定義為：
如果 n = 3，咁 x1, x2, x3 嘅平均就係呢三點所形成嘅三角形嘅重心。呢個結果可以推廣到 n 個向量嘅情況， x1, …, xn 嘅平均就係呢 n 點所形成嘅n單體嘅重心。

加權平均
加權平均都可以同樣擴展到向量情況，定義為：
m次方平均同一般化平均係按標量定義為：
呢度嘅 ・ 係向量嘅範數。當 m = 2 嘅時候，x2}} 同內積  相等，所以當 m = 2 嘅時候，m次方平均同一般化平均特別重要。例如物理學中速率嘅平均值（均方根速度）有時會用 m = 2 嘅一般化平均。
對於向量加權平均嘅概念，我哋可以賦予其物理意義。假設質點 P1, …, Pn 分別喺位置 x1, …, xn，佢哋嘅質量分別係 m1, …, mn，咁加權平均
就係系統嘅重心。

算術幾何平均
内文：算術幾何平均
假設a0, b0 係兩個滿足a0 > b0嘅非負實數。然後我哋定義a1, a2, …; b1, b2, …如下：
咁
就係a0同b0嘅算術幾何平均。

移動平均
想知多啲：移動平均
時間序列嘅數據會平滑化。呢個手法唔單止用喺數碼信號處理，例如圖像同聲音，仲用喺技術分析等金融領域，仲有氣象、水象等測量領域。

幾何平均（相乘平均）
内文：幾何平均
幾何平均（有時叫相乘平均）係咁搞㗎：
講普通啲，就係將成班數撈埋，然後開 n 次方根。呢個幾何平均同相乘平均其實係同一碟餸。
再講多次：
如果玩對數：
即係幾何平均其實係對數嘅算術平均，再整返個指數出嚟。或者你諗下，幾何平均嘅對數其實係啲對數嘅算術平均啫。
如果你啲數有零，幾何平均就變零。如果成堆數乘埋一齊係負嘅，咁幾何平均就唔喺實數度。如果你玩複數，就算你啲數全部都係實數，幾何平均都可能唔係得一個。
幾何平均啱用喺啲有得乘有得開根嘅數，譬如實數或者複數咁。

調和平均
内文：調和平均
調和平均咁樣計：
或者
調和平均其實係逆數嘅算術平均嘅逆數。反過嚟講，逆數嘅算術平均就係調和平均嘅逆數。
如果你啲數有零，照原本嘅講法，調和平均就冇得計，但係如果當零係個極限，調和平均就會變零（即係  嘅時候 ）。就算你啲數有負嘅，調和平均都計得出，但如果正負數撈埋一舊，逆數加埋可能變零，咁極限就會甩轆。

一般化平均
内文：赫爾德平均
算術平均、幾何平均、同調和平均都可以用呢個公式嚟講：
或者
呢個係對應實數 p 嘅值，呢個平均數叫 p 一般化平均。
當 p = 1 就係算術平均，p = −1 就係調和平均，而 p → 0 嘅極限就係幾何平均。仲有，p = 2 嘅時候，就係二乘平均平方根 (RMS)，喺物理同工程度成日見。p → ∞ 嘅極限係最大值，而 p → −∞ 嘅極限就係最細值。
一般化平均其實係將條數  嘅 p範數除以  嘅結果。
啲數嘅 p 次方平均，或者話，一般化平均嘅 p 次方：
叫做 p 次方平均。
呢個 p 次方平均、一般化平均喺統計學度都有用，譬如用喺方差同標準偏差。偏差（啲數減咗平均數之後嘅值）嘅2 次方平均就係方差。
一般化平均仲可以再玩多啲，例如用全射函數 f 嚟講：
譬如，f(x) = x 就係相加平均，f(x) = 1/x 就係調和平均，f(x) = log x 就係幾何平均。

咩數先計得
講 p 一般化平均呢樣嘢，通常啲數要係正數先得㗎，因為要開p 次方根（即係冪函數），負數唔畀咁計。但係算術平均同調和平均（即係 p = ±1）就唔怕負數。除咗呢兩個之外，負數可能會整到一般化平均計唔到實數，就算計到都唔知點解釋好。
如果 p < 0 ，你啲數有零，咁就冇得用一般化平均嗰條數，但係可以學調和平均咁搞，當零係個極限，咁一般化平均就會變零。幾何平均（即係 0 一般化平均）都係咁，所以 p ≤ 0 嘅時候，一般化平均通常當係零。

實際啲嘅例子
幾何平均
** 譬如話1978年經濟飆升20%，1979年再升80%，咁呢兩年平均起咗幾多呢？就係 ，即係差唔多47%啦。
調和平均
** 假設你去嘅時候每個鐘行60公里，返嘅時候每個鐘行90公里，咁成程平均行幾快呢？就係 。
 ** 調和平均仲可以用嚟計並聯電阻有幾大（例如喺串聯電路同並聯電路度計）。

算術平均≧幾何平均≧調和平均
如果你有 n 個正數，咁一定係：
算術平均 ≥ 幾何平均 ≥ 調和平均
要等號成立，就要：
。
左邊嗰個不等式可以用對兩邊取對數，再用log嘅凸性（即係延森不等式）嚟證（都有人用數學歸納法嚟證）。右邊嗰個不等式就係用調和平均係逆數嘅算術平均嘅逆數呢個特性，再用返左邊嗰個不等式嚟證。
呢個不等式仲可以擴到 p 嘅一般化平均度。