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Titolo: Giochino matematico per allietare il lunedì

Ho trovato un giochino in rete molto bello, che suona più o meno così:
In una classe di una scuola ascolana, un noto insegnante (detto "The Prof") dettò il seguente problema 
ai propri allievi, tutti bravissimi e studenti modello:
"In una torre di base rettangolare il volume è uguale a mc. 180 e, considerati solo i dati interi, la 
somma di uno dei lati della base con l'altezza è uguale circa all'età di ciascuno di voi, ovviamente 
espressa in metri. Calcolare l'area della base della torre."
Dopo circa due ore, nessuno studente aveva consegnato il compito, quando il Prof disse:
"Dovete scusarmi, ma stamattina ero sovrappensiero, perché stavo pensando alla cena del newsgroup di 
ieri a casa mia... a tavola abbiamo corso un brutto rischio.. sapete che sono molto superstizioso, ma 
per fortuna poi abbiamo trovato una soluzione. Comunque, bando alle ciance, avevo dimenticato di dirvi 
che la semisomma dell'altezza della torre con uno dei lati della base è uguale al numero di mele che 
la Proffa ha comprato ieri al mercato."
In breve tutti consegnarono il compito con la soluzione esatta: quale?
-- 
Lew Mork
ikll...@sneakemail.com
_______________________________
S A T O R
A R E P O
T E N E T
O P E R A
R O T A S


L'unica possibile mi sembra: 1 - 10 - 18
Mi sembra che rispetti i vincoli ma, dato che non erano così chiari, 
dimmi tu se è giusto.
Non era poi così difficile.....
Fra i miei 116 alunni nessuno avrebbe indovinato, ma nemmeno avrebbe 
saputo da dove incominciare. Anzi, dopo 5 minuti tutti avrebbero 
abbandonato. Anche se io ogni tanto qualche giochino glielo faccio. Ma 
non li stimola niente.
In prima non sanno fare le somme, quindi per interessarli un pò ho 
pensato di insegnargli sudoku e kakuro.
Neanche uno è capace di finire un sudoku facile.
Comincio a disperare.....
Anzi, se hai altri quiz adatti a ragazzi di prima, di logica o di 
matematica, mandameli.
-- 
TheProf

 matematica, mandameli.
ok, quando ho un po' di tempo, ti faccio un altro post.
Ciao
-- 
Lew Mork
_______________________________
S A T O R
A R E P O
T E N E T
O P E R A
R O T A S
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RISPOSTA AL GIOCHINO
Cerchiamo i dati palesi o nascosti nel testo e procediamo:
Gli allievi sono tutti bravissimi e studenti modello: può significare che sono al passo con gli studi 
e la loro età può variare fra i 18 e i 20 anni, ma (se si vuole) anche fra 17 e 21.
Sappiamo che il volume di un parallelepipedo vale S x h, con   S = area di base ed   h = altezza della 
"torre" . A sua volta:  S = a*b, con   a = lato corto   e    b = lato lungo.
Assumiamo: 0<a<b<h; (per dare al parallelepipedo l'aspetto di una torre)
Inoltre poniamo:   m = a + h;  M = b + h; (età dei ragazzi per ogni combinazione di fattori a,b,h)
Il volume 180 risulta dal prodotto di   a*b*h  e i loro valori possibili si deducono da:
180 = 1*2*2*3*3*5.
Elenchiamo quindi tutti gli a,b,h,m,M possibili:
        a     b     h              m      M
1)     1     2     90            91      92
2)     1     3     60            61      63
3)     1     4     45            46      49
4)     1     5     36            37      41
5)     1     6     30            31      36
6)     1     9     20            21      29
7)     1    10     18            19      28
8)     1    12     15            16      27
9)     2     3     30            32      33
10)    2     5     18            20      23
11)    2     6     15            17      21
12)    2     9     10            12      19
13)    3     4     15            18      19
14)    3     5     12            15      17
15)    3     6     10            13      16
16)    4     5      9            13      14
In base alle affermazioni del testo, consideriamo come valide solo le combinazioni compatibili con le 
età dei ragazzi (m ed M) e cioè le combinazioni  6,7,10,11,12,13 e 14 (se ammettiamo il campo 17-21), 
altrimenti restano valide solo le combinazioni 7,10,12 e 13.
Adesso poniamo:  n = a + h    ed    N = b + h    le somme dei lati di base con l'altezza, per ogni 
combinazione restata valida, e riportiamo i dati nella seguente tabella:
       a     b      h        n       N
6)    1     9     20       21      29
7)    1    10     18       19      28
10)   2     5     18       20      23
11)   2     6     15       17      21
12)   2     9     10       12      19
13)   3     4     15       18      19
14)   3     5     12       15      17
Ora, quando il Prof aggiunge che la Proffa ha acquistato un mumero di mele uguale alla semisomma 
dell'altezza della torre con uno dei lati della base, bisogna considerare che certamente le mele 
acquistate sono intere, cioè non ci sono mezze mele, per cui n ed N devono essere pari per essere 
accettabili.
Quindi restano valide solo le combinazioni 7, 10, 12 e 13 e le mele possibili nelle combinazioni 
rimaste sono:
7)   14
10)  10
12)   6
13)   9
Considerando almeno una mela per ogni commensale del giorno precedente, resta da scoprire quanti erano 
a tavola.
Poiché il professore è superstizioso, bisogna dedurre che erano in 13 (a tavola abbiamo corso un 
brutto rischio) e già per questo, dobbiamo scegliere 14, ma se consideriamo che in questi casi, i 
"molto" superstiziosi (come si autodefinisce il professore)  usano tenersi un invitato di riserva (un 
vero amico o parente) da aggiungere a tavola (salvo che all'ultimo momento qualcuno degli invitati non 
declini l'invito), in questo caso i commensali erano proprio 14: d'altra parte il professore afferma 
che aveva trovato una soluzione.
Quindi, poiché l'unico dato valido resta il 14, abbinato alla combinazione 7, ne deriva che:
a =  1
b = 10
S = 10

 
oops ho dimenticato di scrivere che la classe era una 5° di una scuola superiore...
:)


 ha scritto nel messaggio
ma n'e n'tiè gnende da fà'?!!! ;-))
B. 


Se mi posso permettere,
The Prof ha dato la risposta esatta comunque, considerando 1 e 10 le
dimensioni dei lati della base e 18 l'altezza della torre...

 
Contesto e rivendico di fronte a tutto il ng la giustezza della mia 
soluzione!!!
Ho adottato esattamente lo stesso (banale) ragionamento che hai fatto tu.
Ma, visto che non ci avevi specificato l'età degli alunni ho preso per 
valide tutte quelle da 14 a 19 anni (alunni di scuola superiore).
Scartando di volta in volta le terne di numeri non valide, la mia 1 - 10 
- 18 va benissimo.
Età: 19 anni
Mele comprate: 28/2
-- 
TheProf

 
Grazie Valerio!
-- 
TheProf

 
Guarda che allora ci siamo capiti male, io intendevo i numeri che hai detto come :
lato corto - lato lungo - area
In pratica stiamo dicendo la stessa cosa.
D'altronde la domanda era "Calcolare l'area della base della torre", non le sue dimensioni.
Il gioco era carino per il fattore superstizione che fa fare l'ultimo scarto.
Ora ne penso uno veramente tosto per la prossima volta.
Ciao
-- 
Lew Mork
ikll...@sneakemail.com


1)
Casini e Fini decidono di giocarsi la successione a capo della Casa della Libertà.
Giocano con due dadi non truccati.
Casini vincerá se otterà il punteggio di 7 e Fini con il punteggio di 6.
Il più anziano inizia per primo e poi lanceranno i dadi una volta ciascuno, fino alla vittoria di uno 
dei due.
Chi ha maggior probabilitá di diventare il capo della C.d.L.?
-----------------------------------
2)
10 ladri devono spartirsi il bottino di 100 lingotti d'oro conquistato nella loro ultima rapina. 
Decidono di usare questo metodo: il più giovane farà una proposta; se verrà accettata dalla 
maggioranza dei ladri si divideranno i lingotti come deciso, in caso contrario il ladro più giovane 
verrà ucciso e si ricomincerà con lo stesso metodo e 9 componenti della banda e così via.
Premesso che i ladri agiscono in modo razionale e che a parità di guadagno uccideranno chi ha avanzato 
la proposta, qual'è il numero massimo di lingotti che potrà tenere per sé il ladro più giovane?
-----------------------------------
3)
Cinque pirati e una scimmia sono naufragati su di un'isola deserta. Trascorrono il primo giorno 
raccogliendo noci di cocco.
Durante la notte, un pirata decide di prendere la sua parte. Divide le noci di cocco in cinque parti 
uguali, e ne avanza una, che da alla scimmia. Nasconde poi la sua parte e rimette assieme tutto il resto.
Gli altri pirati, a turno, nella stessa notte, fanno la stessa cosa, e a ciascuno di loro avanza una 
noce di cocco che viene data alla scimmia.
Al mattino le noci di cocco restanti vengono divise in cinque parti uguali, e non rimane niente per la 
scimmia.
Quante noci di cocco c'erano all'inizio di tutto?


 Quante noci di cocco c'erano all'inizio di tutto?
Questo che mi sembrava il + facile non l'ho risolto.
Mi prendo la notte per pensarci.
A domani.
-- 
TheProf

 A domani.
 
Qui abbandono la lotta anche io....

 
3121
Cazzo! Ho perso tutto il pomeriggio dietro a questo problema. E non ci 
sono riuscito a risolverlo anche se ho la soluzione.
Questo dimostra che non sempre l'ingegno è la cosa migliore. Stavolta ha 
vinto la forza bruta.
Ho scritto un programma che simula il comportamento dei 5 pirati!
Ciò dimostra la superiorità degli informatici sui matematici.
Ma una spiegazione matematica non ce l'ho...

>>3)
Vedi prossima risposta


 Se ho capito bene il meccanismo.
è piu complicato di quel che sembra, il ladro più giovane tiene per se addirittura 95 lingotti!!!
Segue lunga spiegazione
_________________________
Partiamo da un concetto molto importante. Il ladro più giovane, se non proponesse qualcosa di 
accettabile dalla maggioranza, morirebbe. Questo punto è molto importante perchè è sottoposto alla 
volontà di sopravvivere, cosa che si ipotizza superi il desiderio di avere una parte della spartizione.
Inoltre abbiamo premesso che i ladri agiscono in modo razionale e che a parità di guadagno uccideranno 
chi ha avanzato la proposta.
Per poter ragionare procediamo per induzione ed attribuiamo una lettera a ciascun ladro, da A a L, 
partendo dal più anziano verso il più giovane.
Per capire come si deve regolare il ladro più giovane ragioniamo quindi per esclusione, partendo 
dall'ipotesiche i ladri siano solo 2, mano a mano aumenteremo il numero di ladri.
2 LADRI (A e B)
Il più giovane è fregato perchè la sua proposta non otterrà mai la maggioranza dei voti. Qualunque 
proposta faccia l'altro voterà contro, lo ucciderà e si prenderà tutti i lingotti.
Lo scopo di B, quindi, è di non rimanere solo con A.
3 LADRI (da A a C)
Come abbiamo notato, lo scopo di B è di non far morire C, altrimenti anche lui muore. Ogni cosa che C 
proporrà lui la accetterà. A questo punto C può decidere pure di tenersi tutto e proporre per se 100 
lingotti.
A = 0 (contro)
B = 0 (favore)
C = 100 (favore)
4 LADRI (da A a D)
Il povero D ha accanto un ladro che desidera la sua morte, poichè morto D otterrebbe il massimo (vita 
e tutti i lingotti). E' sicuro quindi che C voterà contro. D ha bisogno della maggioranza, ovvero di 
entrambi i voti restanti; avendone uno solo morirà in quanto i voti sarebbero pari, ovvero niente 
maggioranza favorevole. I ladri A e B nell'ipotesi a 3 non ottengono nulla, quindi se gli venisse dato 
un lingotto a testa questi voterebbero a favore. D quindi da un lingotto ad A, uno a B e 0 a C, 
tenendosene 98 per sè.
A = 1 (favore)
B = 1 (favore)
C = 0 (contro)
D = 98 (favore)
5 LADRI (da A a E)
Analogamente alla situazione precedente, il più giovane, in questo caso E, ha il precedente ladro che 
voterà sicuramente contro in quanto desidera ottenere il massimo. D, rimanessero in 4, otterrebbe 98 
lingotti. Voterà contro, quindi, ogni proposta che gliene dia meno di 99. C, invece, voterà a favore 
semplicemente ricevendo un lingotto. A questo punto, visto che E deve arrivare a 3 voti favorevoli, 
può scegliere uno tra A e B e dargli 2 lingotti anzichè 1, ottenendo anche il suo voto favorevole. Ad 
E resteranno 97 lingotti.
A = 0 (contro) oppure 2 (favore)
B = 2 (favore) oppure 0 (contro)
C = 1 (favore)
D = 0 (contro)
E = 97 (favore)
6 LADRI (da A a F)
Come in precedenza F è sicuro del voto contrario di E e del voto favorevole di D semplicemente 
dandogli un lingotto. F deve ottenere 4 voti, gliene mancano 2. A e B non sanno chi tra loro sarebbe 
il fortunato che prenderebbe 2 lingotti nel caso F morisse, quindi, scegliendo l'eventualità migliore 
voteranno a favore purchè ricevano almeno un lingotto. F quindi può dare un lingotto a testa ad A e B 
e 0 a C, oppure darne unO ad uno di loro e 2 a C, migliorando la condizione di questi. F, però, si 
accorge che dando un lingotto a ciascuno tra A e B ottiene 2 voti semplicemente con 2 lingotti, mentre 
dandone 2 a C dovrebbe darne comunque 1 ad uno dei due ladri più anziani, spendendone 3. Ovviamente la 
condizione migliore consiste nel dare un lingotto ad A e B e 0 a C.
A = 1 (favore)
B = 1 (favore)
C = 0 (contro)
D = 1 (favore)
E = 0 (contro)
F = 97 (favore)
7 LADRI (da A a G)
F voterà contro ed E a favore con un solo lingotto. A G servono 4 voti. Anche C voterà a favore con un 
lingotto. A G non resta che scegliere una persona tra A, B e D e dargli 2 lingotti per assicurarsi il 
suo voto. Mantenerli costanti non cambierebbe la situazione e questi voterebbero contro.
Dunque abbiamo
A = 0 (contro) oppure 0 (contro) oppure 2 (favore)
B = 0 (contro) oppure 2 (favore) oppure 0 (contro)
C = 1 (favore)
D = 2 (favore) oppure 0 (contro) oppure 0 (contro)
E = 1 (favore)
F = 0 (contro)
G = 96 (favore)
8 LADRI (da A a H)
E voterà contro, mentre F a favore con un lingotto. H ha bidogno di 5 voti. A, B e D non sanno chi di 
loro riceverà 2 lingotti se voteranno contro ad H portando a 7 i ladri, quindi semplicemente con un 
lingotto voteranno a favore. Con 3 lingotti quindi otteniamo 3 voti, più quello di F e quello di H 
abbiamo tutto quello che serve.
A = 1 (favore)
B = 1 (favore)
C = 0 (contro)
D = 1 (favore)
E = 0 (contro)
F = 1 (favore)
G = 0 (contro)
H = 96 (favore)
9 LADRI (da A a I)
H voterà contro, G, E e C a favore con un lingotto a testa. I ha bisogno di 5 voti, per ora ne ha 4. 
Gli basterà alzare a 2 i lingotti ad uno tra A, B, D e F per ottenerlo.
A = 0 (contro) oppure 0 (contro) oppure 2 (favore) oppure 0 (contro)
B = 0 (contro) oppure 2 (favore) oppure 0 (contro) oppure 0 (contro)
C = 1 (favore)
D = 2 (favore) oppure 0 (contro) oppure 0 (contro) oppure 0 (contro)
E = 1 (favore)
F = 0 (contro) oppure 0 (contro) oppure 0 (contro) oppure 2 (favore)
G = 1 (favore)
H = 0 (contro)
I = 95 (favore)
10 LADRI (da A a L)
Come nelle precedenti situazioni ci sarà chi sicuramente vota contro e chi a favore. Il ladro I 
contro, H a favore con un solo lingotto. Ad L servono in tutto 6 voti. Quindi dando un solo lingotto 
ad A, B, D ed F, che non sanno se ne riceveranno 0 in caso L morisse, avrà i voti sufficienti per la 
suddivisione.
A = 1 (favore)
B = 1 (favore)
C = 0 (contro)
D = 1 (favore)
E = 0 (contro)
F = 1 (favore)
G = 0 (contro)
H = 1 (favore)
I = 0 (contro)
L = 95 (favore)


 Ma una spiegazione matematica non ce l'ho...
Questo è senz'altro il più difficile problema che ho visto finora, tanto che sono possibili varie 
spiegazioni, anche se la più accettata è quella che hai detto tu: 3.121
La spiegazione è troppo lunga per postarla, leggila qui:
http://tinyurl.com/8z8vq
Un'altra spiegazione con il risultato 15.621 la trovi qui:
http://tinyurl.com/cnyf8


 Comincio a disperare.....
Mi offro per insegnargli qualche tecnica, avanzata e no, di sudoku e kakuro,
caro The Prof...
 
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 caro The Prof...
Perchč, ci vogliono delle tecniche?
Io li ho sempre risolti come mi veniva. Sono cosě facili.... 


Esistono delle tecniche, č vero.
ma sono frutto della logica.
ti porto un libro sul sudoku alla prossim a cena prof


 
ALE'
Ho risolto il giochino più difficile!!

 ti porto un libro sul sudoku alla prossim a cena prof
Si si, 500 grazie

 
seguendo le tue indicazioni:
il primo che tira ha probabilità 5/36 di vincere.
Il secondo (1-5/36)*6/36
Iterando il procedimento, non sono riuscito a trovare una formula 
generale (è l'età, 20 anni fa ce l'avrei fatta).
Non ricordando un cavolo di probabilità condizionali ecc (l'esame di CPS 
l'ho fatto nell'85) e non provando nemmeno a ricordare il teorema di 
ricorsione (peraltro studiato ancora prima nell'84), sono ancora ricorso 
al computer (tanto oggi le dimostrazioni si fanno così - vedasi teorema 
di Fermat).
Le 2 probabilità che erano rispettivamente di 0.1388 e 0.1435 già alla 
quarta iterazione si stabiliscono su:
0.1184834 e 0.1469194
Quindi ha più probabilità di vincere il secondo.
Questo senza testare minimamente il programma e tu sai che programmare 
"al volo" senza errori....
Ma credo di non avere cannato.
Tosto anche questo!
-- 
TheProf

 Ma credo di non avere cannato.
Il risultato è giusto, ma le percentuali sbagliate
Se F = Fini, C = Casini, f = probabilità Fini, c = probabilità Casini
1° TIRO  f = 5/36
2° TIRO  c = (non vince nel 1° turno F)*c = (31/36)*(6/36) = (1-5/36)*6/36
3° TIRO  f = (non vince nel 1° turno F)*(non vince nel 2° turno C)*f = (31/36)*(30/36)*(5/36)
e così via...
da ciò ricaviamo che:
f = 5/36 + (31/36)(30/36)f
e cioè
f = 30/61 = 0.4918
--------------------
Seconda dimostrazione, ma spiegamela tu perchè non l'ho capita...
(... dati i tre esempi dei primi tiri...)
"E così via Fini vince ai turni dispari con probabilità date dalla successione geometrica 
5/36*(31/36*30/36)^i (i naturale), e Casini ai turni pari con probabilità 31/36*6/36*(31/36*30/36)^i 
(i naturale). Grazie al limite delle somme di termini di serie geometriche troviamo che Fini ha 
probabilità di vincere 30/61 e Casini probabilità 31/36."


.. per me vince prodi...
sulla matematica alzo le mani...
baciabbrazzi
middie
-- 
..IN GIRUM IMUS NOCTE ET CONSUMIMUR IGNI...
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 sulla matematica alzo le mani...
Come candidato della Casa delle Libertà?
"interessante posizione"
(cit.)


 probabilità di vincere 30/61 e Casini probabilità 31/36."
E secondo te io mi ricordo le serie geometriche o i limiti delle successioni 
convergenti???????

 sulla matematica alzo le mani...
Comincio ad aver paura di no...... (mi sto toccando le palle) 


Cazzo!
Ci ero arrivato anche algebricamente.
Poi non ho saputo risolvere l'equazione intera a 2 incognite....