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Titolo: TEMPERAMENTO 6 Pitagora

Lasciamo perdere chi era Pitagora di Samo (560-470 a.C.) dato che tutti
sappiamo che dopo un giro in Oriente e in Egitto, si era stabilito a
Crotone, nella Magna Grecia dove aveva messo su una scuola con regole
piuttosto severe. Non staro' a dire delle sue ricerche sui fenomeni
acustici: i rapporti numerici che sono alla base degli intervalli musicali
sono divenuti per lui il modello per scoprire le leggi che governano i
movimenti dell'intero universo.
Pare sia giunto a questi risultati in modo sperimentale, usando un
monocordo da lui stesso inventato. 
Altra versione: un certo Ippaso di Metaponto, allievo e collaboratore di
Pitagora (noto per aver divulgato i numeri irrazionali e per questo
cacciato dalla scuola) aveva "costruito in bronzo quattro dischi di uguale
diametro ma di diverso spessore (che' lo spessore del primo era i 4/3 di
quello del secondo, i 3/2 di quello del terzo e il doppio di quello del
quarto), e producendo questi dischi, quand'erano battuti suoni armonici...
ecc.'"
Secondo Giambelico, invece,  lo stesso Pitagora "avrebbe riconosciuto i
rapporti numerici degli intervalli in questo modo: passo' davanti
all'officina di un
fabbro e, per sorte in certo senso divina, ebbe a udire dei martelli che
battevano il ferro sull'incudine e davano suoni tutti in perfetto accordo
reciproco, tranne una coppia (...) entro' nell'officina e grazie a svariate
prove capì che la differenza nell'altezza dei suoni dipendeva dal peso dei
martelli e non dalla forza con cui si batteva, ne' dalla forma dei martelli
medesimi, ne' dalla posizione del ferro battuto".
Riassumendo: i pitagorici hanno studiato i suoni e sono rimasti colpiti dal
fatto che proprio i suoni che l'orecchio percepisce armoniosi si possono
spiegare tramite rapporti numerici. Hanno poi esteso il concetto a tutto il
cosmo, concludendo che tutto è numero e quindi tutto suona, e che le sfere
celesti devono produrre musica celestiale. Aristotele nel “De caelo” dice
che "i pitagorici credono che i rapporti della velocita' degli astri in
relazione alle distanze siano i medesimi degli accordi musicali, e percio'
dicono che e' armonico il suono degli astri". 
Nonostante le critiche di Platone e di Aristotele (nego' il suono reale
degli 
astri  per mancanza di attrito nell'universo),  quest'idea di armonia
universale riuscì ad
affascinare uomini come Keplero e Leibniz. Sull' Atlante di Musica
(Sperling & Kupfer – indispensabile!) a pag. 258 si trova il sistema solare
con le orbite dei pianeti. Non ci ho capito molto, ma sembra che i rapporti
nascano tra afelio e perielio oltre che tra divergenze e convergenze non
meglio definite. Il risultato e' che Saturno rappresenta la terza magg.,
Marte la quinta, la Terra il semitono e via dicendo.
Tornando coi piedi per terra, direi che e' ora di prendere in mano un
tabella vuota (ne abbiamo parlato in temperamento 5) per visualizzare il
temperamento pitagorico.
Ormai anche i sassi sanno che Pitagora punta tutto sul rapporto di quinta
(3/2). Questa quinta pura vale 701,955 cents., un pelo piu' alta della
temperata (700 cents). Seguiamo le antiche usanze per l'accordatura e
quindi, partendo dal DO, procediamo in salita, segnando il SOL a 1,955, il
RE         3,910
LA         5,865
MI         7,820
SI          9,775
FA#     11.730
DO#    13,685 
SOL#  15,640
RE#    17,595
Fermiamoci qui e tornando al DO iniziale scendiamo segnando i punti del 
FA     - 1,955
SIb    - 3,910
MIb   - 5,865
Congiungendo tutti i punti dovremmo ottenere una retta in salita.
Come e' facile constatare il RE# e il Mib (identici nel nostro sistema)
distano qui (17,595 + 5,865) 23,46 cents, l'ormai noto Comma Pitagorico.
Se volessimo chiudere il giro delle quinte, dovremmo riportare il Mib sotto
il RE# e tracciare un segmento che unisca il SOL# (Lab) col Mib. Abbiamo
una differenza di (15,64 + 5,865) 21,505 centes, il Comma Sintonico.
Questa quinta così stretta e' la famigerata “quinta del lupo”, di cui si e'
gia' parlato in passato.
Per quanto riguarda le terze, notiamo che risultano quasi pure quelle sul
SI, FA#, DO# e SOL#. 
Es. SI = 9,775  +  Mib = -5,865     =  15,365   (pura = 13,687)
Tutte le altre sono paurosamente crescenti. 
Es.  MI = + 7,85, cioe' 407,85 cents.    Il MI terza pura di DO si trova
invece a –13,687 cioe' 386,313 cents.  Cresce quindi di 21,537, Comma
Sintonico. E così tutte le altre terze.
Neanche a farlo apposta, le terze “buone” si trovano su gradi poco
utilizzabili. A cio' ha posto rimedio Arnout van ZWOLLE (meta' del 1400)
spostando la 'quinta di lupo' tra il SI e il FA#. In questo modo le terze
quasi pure diventano quelle su RE LA MI SI.
Per chi volesse calcolarsi da solo tutti i rapporti e le frequenze della
scala pitagorica, la cosa e' semplicissima con un foglio di calcolo.
nota    frazione    rapporto  frequenze    fattore    frequenze
                                         assolute    d'ottava      DO3
…..       …….          .......       …….          ……        ……..
LAb        16/81      0.19753      51.5043        x  8     412.03 
MIb         8/27       0.2963        77.2565        x 4      309.03
SIb         4/9         0.4444        115.8848      x  4     463.54
FA          2/3         0.6666        173.8272      x  2     347.65 
DO          1/1          1               260.74           1      260.74
SOL        3/2          1.5            391.1111        1      391.11
RE          9/4         2.25           586.6666       :2      293.33
LA          27/8       3.375          880.             : 2      440
MI          81/16      5.0625        1320             :4      330
SI         243/32     7.59375       1980             :4      495
……      ……        ……..          ……..           ….     …..
Continuando da una parte e dall'altra arriveremo al FAb  e al SI#.
Applicando il corretto fattore d'ottave dovremmo ottenere frequenze
contenute tra il DO 260,74 Hz e il DO 521,48 Hz.
Così anche il piu' pignolo fra di noi potra' assaporarsi la differenza tra
il DOb e il SI  e scoprire che il DOb e' piu' basso del SI.
Questo temperamento ha tenuto banco fino a tutto il '500. Dopo di che, le
esigenze dell'armonia si sono fatte maggiormente sentire, dando luogo al
TONO MEDIO o MESOTONICO ( Meantone per gli inglesi).
Sara' per la prossima, dopo la festa dei lavoratori. 
Ciao
Giacomo

con le orbite dei pianeti.
Se hai uno scanner mi farebbe molto piacere se mi inviassi una copia
di questo grafico, oppure se la spedissi su it.binari.file. 
Mi interesserebbe davvero non poco!
Per quel che ne so a riguardo della scala pitagorica, le indicazioni
necessarie alla sua costruzione sono fornite da Platone nel  Timeo. Il
Demiurgo, il fantomatico plasmatore del mondo, avrebbe creato gli
elementi a partire da due triangoli: il triangolo isoscele rettangolo
ed il triangolo scaleno rettangolo, quest'ultimo con il cateto minore
di misura pari alla metà dell'ipotenusa.
Con siffatti triangoli il Demiurgo costruì i primi quattro solidi
'platonici': con il triangolo isoscele rettangolo costruì il Cubo,
forma costitutiva dell'elemento Terra; con il triangolo rettangolo
scaleno costruì invece il Tetraedro, forma costitutiva del fuoco;
l'Ottaedro, forma dell'aria; e l'Icosaedro, forma dell'acqua.
Il quinto solido platonico, il Dodecaedro, che plausibilmente doveva
essere considerato la forma costitutiva dell'etere, viene
semplicemente accennato da Platone, né è possibile costruirlo a
partire da i due triangoli che il Demiurgo adoperò come mattoni
essenziali per edificare il mondo intero.
Ad ogni modo, in questa edificazione, l'armonia delle proporzioni del
mondo, che è naturalmente armonia musicale, fu dettata appunto dai
rapporti tra le misure dello stesso  triangolo rettangolo scaleno,
chiave d'accesso dunque agli stessi intervalli musicali della scala
pitagorica:
si prenda un lunghezza e ci si costruisca un triangolo rettangolo
scaleno in modo tale che quella stessa lunghezza ne sia l'ipotenusa.
Ricordo che il triangolo rettangolo scaleno è, per il Demiurgo, quello
che ha il cateto minore pari alla metà dell'ipotenusa. La nostra non
meglio definita lunghezza di partenza potrebbe benissimo rappresentare
una corda musicale!
Se dall'angolo retto tracciamo l'altezza del triangolo, questa
interseca l'ipotenusa in un punto che individua sulla corda un
segmento pari ai tre quarti della sua lunghezza. Evidenziamo questo
punto e chiamiamolo FA.
Il punto al vertice compreso tra la corda ed il cateto minore del
nostro triangolo lo chiamiamo invece DO.    
A partire dal punto DO costruiamo un secondo triangolo rettangolo
scaleno, più piccolo del primo, tale che in corrispondenza con questo
ci sia il primo vertice tra l'ipotenusa, che giace su parte della
corda, e il cateto maggiore, e tale che il vertice rettangolo giaccia
sull'altezza del primo triangolo.
Il terzo vertice del secondo triangolo stacca sulla corda un punto che
chiamiamo SOL.
Tracciamo poi un terzo triangolo rettangolo scaleno che abbia il
vertice tra l'ipotenusa ed il cateto maggiore coincidente con quello
del primo triangolo, e la cui intersezione tra l'altezza tracciata dal
suo vertice rettangolo e l'ipotenusa coincida con il punto SOL.   
Il terzo vertice del terzo triangolo intercetta sulla corda un punto
che chiamiamo RE.
Iterando il procedimento, il punto RE sarà il vertice tra ipotenusa e
cateto maggiore di un quarto triangolo rettangolo scaleno che avrà il
vertice rettangolo giacente sull'altezza del terzo triangolo. Il terzo
vertice di questo quarto triangolo segnerà sulla corda il punto che,
non è più una sorpresa, chiameremo LA.
Il quinto triangolo rettangolo scaleno sarà allora costruito in modo
tale che il punto LA sia intersezione tra l'altezza tracciata dal
vertice rettangolo e l'ipotenusa, e che il vertice tra ipotenusa e
cateto maggiore coincida con quello del primo e del terzo triangolo.
Il terzo vertice del quinto triangolo intercetterà sulla corda il
punto cui daremo nome MI.
Infine, il punto MI sarà il vertice tra cateto maggiore e ipotenusa di
un sesto triangolo rettangolo scaleno il cui vertice rettangolo sarà
un punto dell'altezza del quinto triangolo. Il terzo vertice di questo
sesto ed ultimo triangolo cadrà su quel punto della corda che
chiameremo SI.   
Ecco adunque venir fuori dal triangolo magico le sette note
nell'ordine delle quinte.
Sembra complesso, ma in realtà è molto semplice. 
Orsù, dunque, armatevi di carta e matita: lascio a voi il compito di
trarne tutte le considerazioni geometriche che potete e di derivare i
già noti rapporti pitagorici.
Saluti,
        Fabio Capuano
"Se l'occhio non fosse solare
  come potremmo veder la luce?
  Se non vivesse in noi la forza propria di Dio,
  come potrebbe estasiarci il divino?"
                                    (W.Goethe)
 

 Marte la quinta, la Terra il semitono e via dicendo.
Keplero credeva tanto fortemente in queste cose, che la scoperta
dell'"armonia delle sfere" fu da lui portata a sostegno dell'ipotesi che
le orbite dei pianeti fossero ellittiche!
Nel suo "Harmonices Mundi" egli inizia postulando che all'interno
dell'ottava esistano solo otto consonanze, da lui associate ai rapporti
1/1, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 3/5 e 5/8.
Il buon Keplero cerca poi di ritrovare queste consonanze nel moto dei
pianeti. Sorprendentemente, le trova non nella forma delle orbite ma nei
rapporti tra le velocita' angolari dei pianeti al perielio e all'afelio,
velocita' che si possono ricavare usando proprio le sue leggi per il
moto dei pianeti.
Esempio: per Saturno la velocita' all'afelio e' 106 (in secondi d'arco
al giorno) e al perielio 135. Il rapporto 106/135 e' molto vicino a 4/5,
quindi per Keplero il moto di Giove corrisponde ad una consonanza di
terza maggiore. Notare che la leggera discrepanza era da Keplero
attribuita ad una imperfezione nelle sue leggi, tanto era sicuro che i
rapporti di consonanza dovessero essere esatti!
Nel caso di Venere e Terra egli ottiene i rapporti di 3/5 e 5/8,
stavolta combinando la velocita' all'afelio di un pianeta con la
velocita' al perielio dell'altro.
Saluti.
M.
-- 
Per rispondere: sostituire "nobody" con "frigeni" nell'indirizzo email.

 terza maggiore.               ^^^^^
Scusate, ovviamente intendevo dire Saturno, non Giove.