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Titolo: TEMPERAMENTO 2

queste quadrano con le previsioni di Pitagora?
Capisco le perplessita' di chi accenna alla scoperta e misurazione (li
hanno proprio misurati) degli armonici avvenuta nel '700 trovando
difficolta' a collegare questa scala con quelle antiche.
Il fatto è che per motivi didattici (vi ho gia' detto che la mia aritmetica
non supera quella della quinta elementare...) ho preferito presentare la
scala usando le frequenze: i rapporti risultano chiari.
Agli stessi risultati (naturalmente ignorando armonici e frequenze
relative) erano giunti anche Pitagora e soci. Il loro metodo si basava
sulla lunghezza della corda vibrante. Col monocordo, un ponticello mobile 
e qualche tacca nel posto giusto, avevano calcolato con esattezza gli
stessi rapporti di cui ci stiamo occupando. Al termine illustrero' la cosa
con un esempio pratico.
Encomio solenne per Fabio Capuano, per la diligenza e l'impegno dimostrato
nella risoluzione dei compiti assegnati.
Per quanto riguarda il LA c'e' ben poco d'aggiungere: avevamo scartato il
FA di 270 Hz. Per far pendere la bilancia a favore del LA a 333,333...
possiamo considerarlo anche come terza minore di DO:
400 : 1,2        = 333,333...    e quarta di MI
250 x 1,333... = 333,333..
In questo modo rimarra' penalizzata la quinta RE-LA, ma questo non sara'
certo l'unico scotto da pagare sull'altare della natura a tutti i costi.
Vedremo meglio a scala ultimata i pro e i contro di questa sistemazione.
Per il SI non ci sono dubbi: 375 Hz senza discussioni, anche perche' lo
troviamo tra i primi armonici (la volta scorsa mi ero sadicamente fermato
al decimo)
10.	1000	MI
11.	1100	FA# calante
12.	1200	SOL
13.	1300	LAb calante
14.	1400	SIb  calante
15.	1500	SI
16.	1600	DO
Oltretutto ci appare chiaro anche il rapporto di settima magg. (15/8 =
1,875) e di seconda min. (16/15 = 1,06666...)
Per finire, come promesso, mettendo a frutto le conoscenze acquisite,
possiamo costruire un monocordo (o un manico di chitarra o di viola da
gamba) accordato secondo la scala naturale. Corda da 90 cm (stesso motivo
per cui i gradi sono 360).
DO	90 : 1		= 90
RE	90 : 1,125	= 80
MI	90 : 1,25	= 72	
FA	90 : 1,3...	= 67,5
SOL	90 : 1,5		= 60
LA	90 : 1,6....	= 54
SI	90 : 1,875	= 48
DO	90 : 2		= 45
Beh? Non da' soddisfazione  vedere che con questi rapporti (e col 90) si
ottengono delle belle misure tonde tonde?
Provate con le radici dodicesime di due della temperata....
Ci sentiamo al TEMPERAMENTO 3
Ciao
Giacomo

basa su rapporti che sono frazioni semplici.
Usando queste frazioni semplici, abbiamo visto nel primo messaggio di
qesto thread che a volte c'e' incertezza nel determinare la frequenza
di certe note.
Forse questo ci porta a concludere che ogni nota genera (coi suoi
armonici) una scala le cui note non coincidono esattamente con le note
di identico nome generate da fondamentali diverse?
E' questo il "guaio" (o il bello) del temperamento non equabile?
Oppure non sto capendo niente di quello che Andreola sta cercando di
spiegarci con tanto impegno? :-)
Ciao,
Mauro

di identico nome generate da fondamentali diverse?
Mmmh, direi che non e' cosi'. 
Se prendi la 2° armonica del La2 (che poniamo per comodita' di conti a
440Hz), cioe' il Mi4, trovi che questa nota ha frequenza pari a
1320Hz. Bene, se suoni il Mi4 sul pianoforte, cioe' il Mi4 del
temperamento equabile trovi che questo ha frequenza pari a 1318,51 Hz.
I due suoni non coincidono. 
Schematizzando:
La2=440Hz  nota fondamentale
La3=440Hz*2=880Hz  prima armonica
Mi4=440Hz*3=1320Hz seconda armonica
Questo perche' gli armonici vengono generati come multipli naturali
della frequenza della nota fondamentale; questo, come ha detto
Andreola, e' cio' che ci offre Madre Natura.
Invece per il temperamento equabile:
Mi4=La3*(2^(1/12))^19=1318.51
Questa e' la formula del temperamento equabile, gia' illustrata da te
stesso. 2^(1/12) e' la ragione della progressione geometrica della
scala equalizzata e 19 il numero di semitoni tra La3 e Mi4.
In questo caso la differenza puo' sembrare minima, pero' puoi trovare
da te esempi in cui la differenza di scarto e' piu' accentuata.
Cio' che e' importante precisare e' che il temperamento equabile ha
conservato della Scala Naturale (di cui non mi avete ancora spiegato
la provenienza) solo il rapporto di 2:1 dell'intervallo di ottava.
Giusto Giacomo?
Ciao
Giulio Peruginelli
lone...@sysnet.it
"Al cospetto di questa meravigliosa opera d'arte
dimentico ogni altra cosa e mi elevo al di sopra di
me stesso per contemplarla come le si conviene."
J.J.Winckelmann
Se volete scrivermi in privato rimuovete i numeri 5
dall'indirizzo e-mail.


Si, ci sei. E' proprio cosi'! La scala naturale non e' trasponibile.
Saluti!
G.Giamberduca
giamber AT tin DOT it

la provenienza) solo il rapporto di 2:1 dell'intervallo di ottava.
Il tuo esempio dice solo che la scala naturale e quella costruita con
un temperamento equabile prevedono frequenze diverse per le note (a
parte le ottave).
Ovviamente questo e' un dato di fatto che non si puo' mettere in
discussione.
Ma il temperamento equabile e' stato adottato per ovviare a un
problema insito nella scala naturale.
E qui si stava appunto cercando di capire/spiegare questo inghippo :-)
Ciao,
Mauro

Si, ci sei. E' proprio cosi'! La scala naturale non e' trasponibile.
E non ti stupisce il fatto che la natura, sempre cosi' attenta ai
dettagli, sempre cosi' maniaca della perfezione, questa volta e' come
se avesse per un momento cambiato stile?
Hai qualche teoria che possa "salvare" la scala naturale, togliendole
quell'alone di imperfezione, che magari e' solo apparente?
Ciao,
Mauro

E' proprio cosi'! La scala naturale non e' trasponibile.
Cercando sul web ho trovato alcuni documenti che parlano di scala
naturale e temperamento.
Un altro modo di esprimere il problema con la scala naturale potrebbe
essere il seguente:
If you tune a circle of pure fifths (c - g - d - a - e - b - f# - c# -
g# - d# - a# - f - c), the c you end up at is not exactly in tune with
the one you started with.
Cioe', se costruiamo un circolo delle quinte partendo da Do arriviamo
a un Do che non e' intonato col primo.
Infatti, a forza di moltiplicare per 3/2 la frequenza della
fondamentale che genera la quinta si arriva ad un Do che ha una
frequenza di  129,7463378906 volte il Do iniziale.
Seguendo invece la via delle ottave, raddoppiando di ottava in ottava
la frequenza del Do, il Do finale ha una frequenza di 128 volte il Do
iniziale.
A questo punto mi domando: siamo proprio sicuri che quel bel rapporto
tondo tondo di 3\2 fra la frequenza del Sol e il Do che lo ha generato
fra i suoi armonici sia corretto?
Voglio dire, qualcuno con qualche diavoleria tecnologica si e' preso
la briga di misurare con la massima esattezza la frequenza degli
armonici?
Un saluto al NG,
Mauro

E qui si stava appunto cercando di capire/spiegare questo inghippo :-)
E' cio' che voglio sapere anche io!
Comunque avevo frainteso la tua domanda.


La domanda e' esistenziale: una teoria ce l'ho, ma ti deludero'.
Il mio punto di vista sull'ordine in natura e' improntato a
grandissima umilta' di pensiero. Tante volte la scienza e la filosofia
hanno cercato di mettere etichette di leggi che la stessa scienza e
filosofia hanno poi smentito.  E' che  i nostri mezzi di indagine sono
infima cosa a confronto dei fenomeni dell'universo.
Mi piacerebbe che fosse come tu dici ma l'evidenza quotidiana parla di
caos. La nostra grande musica, che definiamo divina nei nostri
giustificati entusiasmi, e' un fenomeno frutto del caso, della nostra
crescita in un ambiente provvisto di atmosfera, della conformazione
del nostro orecchio. 
E poi mi chiedo: Ma perche' Giove Olimpo lassu' ha aspettato fino al
1700 per potere sentire il Messiah o il Requiem o la Nona?
Mi piacerebbe pensare che quella musica e' sempre esistita...ma, come
la mettiamo con Elio e Storie Tese? 



          -=> PGP key v2.6.3i available <=-

la provenienza) solo il rapporto di 2:1 dell'intervallo di ottava.
Il tuo esempio dice solo che la scala naturale e quella costruita con
un temperamento equabile prevedono frequenze diverse per le note (a
parte le ottave).
Ovviamente questo e' un dato di fatto che non si puo' mettere in
discussione.
Ma il temperamento equabile e' stato adottato per ovviare a un
problema insito nella scala naturale.
E qui si stava appunto cercando di capire/spiegare questo inghippo :-)
Ciao,
Mauro

>


 sommano o sottraggono alla intensita' della fondamentale.
Ecco, estrapolo questo passo perche' mi sembra significativo.
Io son convinto che tutto il problema stia nella periodicita'.
Infatti la somma di oscillazioni semplici con periodi (o frequenze) che
stanno tra loro in rapporto razionale genera un suono periodico, cioe'
che si ripete dopo un intervallo di tempo prefissato. 
Per qualche strano motivo che mi e' ignoto, ma che forse i fisiologi
conosceranno benissimo, l'orecchio umano percepisce come suono
"piacevole" un suono periodico, e come suono spiacevole un suono non
periodico.
Gia' che ci sono, voglio ricordare che la serie armonica del suono
prodotto, ad esempio, da un timpano o un tamburo o da una campana, non
e' formato dai multipli della frequenza fondamentale come nel caso della
corda vibrante, cosa che non viene quasi mai citata. In particolare, il
suono di un tamburo o di una qualsiasi membrana non rettangolare non e'
periodico. E infatti l'altezza del suono non e' perfettamente definita,
a meno che la tecnica di costruzione (ad esempio delle campane) non
riesca a simulare la serie di armoniche della corda vibrante.
Possibile che non ci sia un fisiologo o un biologo che ci possa spiegare
come avviene la percezione del suono?
_____________________Isidoro____________________________________________
Isidoro Ferrante            
ferr...@mailbox.difi.unipi.it
Dipartimento di Fisica      
ferr...@galileo.pi.infn.it
Universita' di Pisa         Tel +39 50 880284 (INFN Pisa)
INFN sezione di Pisa        Fax +39 50 880317 (INFN Pisa)

 ha
% scritto:
% 
% >Qui mi limito a rispondere agli interrogativi suscitati dalla prima e a
% >correggere i compiti...
% 
% Basandomi sui soli armonici, ottengo i seguenti rapporti rispetto a
% una nota di riferimento:
Ma perche` non usi i subarmonici?
.mau.

 fra i suoi armonici sia corretto?
Credo che, per quanto ci si possa avvicinare al modello teorico
scegliendo corde sempre piu' "sciolte", non si potra' mai misurare con
esattezza quel 3/2; ma non mi sembra una questione determinante.
Tutto sta nell'accettare che il modello sia piu' bello della realta' e
che, visto che lo scarto si puo' ridurre a piacere, sia piu' divertente
considerare che il modello e la natura siano la stessa cosa.
saluti
-- 
Antonella Gentile       oOo      oOo       Nicolo' Zen
 
gen...@unive.it
      O   O    O   O      
nz...@leonardo.math.unipd.it
                       O   (o)(o)   O    
          Venezia       OoO  oo  OoO       DorsoDuro 3300


Non mi ero mai occupato di questi problemi prima che in questo ng se
ne destasse l'interesse, quindi per essermi posto di recente le stesse
domande, sono vicino alle tue perplessita'.
Il punto e' che noi pensiamo il rapporto di ottava intangibile perche'
fa vibrare... la stessa corda. E su questo non ci piove. Poi sappiamo
che il tono di quinta fa altresi' vibrare la stessa corda e pensiamo
che anche questo rapporto debba essere intangibile.
Ecco qui ci piove. Perche' tutte le tonalita' superiori alla
fondamentale di ordine 3/2, 5/4, 9/8, e via cosi fino ad arrivare a
quello sconvolgente 129,74/128 sono prodotti accidentali causati da
asimmetrie nel sistema sonoro, da imperfezione dei materiali, o se
vuoi, in forma piu retorica, dal modo di presentarsi della natura in
tutta la sua globalita' senza quelle schermatizzazioni che
semplificano il nostro modo di impostare e pensare gli argomenti. 
Il suono puro e' un'astrazione, quanto un colore puro, o una linea
retta, o un percorso senza attriti. Per fortuna!!


considerare che il modello e la natura siano la stessa cosa.
Che il modello (la scala costruita a tavolino in base a una certa
logica) e la natura (la scala naturale contenuta negli armonici di una
nota) coincidano o meno, non e' una questione di "divertimento" e non
puo' neppure dipendere da una nostra scelta.
O vuoi spostare il discorso su un piano filosofico, mettendo
addirittura in discussione il valore del metodo sperimentale per
conoscere il mondo? :-)
Ciao,
Mauro
P.S. La colpa di questa discussione e' tutta di Andreola, che getta il
sasso nello stagno e poi ritira la mano. Lui che sa la soluzione non
ci lasci ancora a lungo nel dubbio :-)

Ma perche` non usi i subarmonici?
Ho cercato di evitarne l'uso perché, a quanto ne so, non esiste una
dimostrazione fisica della loro esistenza in natura. Rameau ne dà per
scontata l'esistenza per legittimare la naturalità del modo minore.


 e quinta io lo guardo con molto sospetto.
PerBacco! ma quello ancora piu' tondo di 2/1 non ti insospettisce
nemmeno un po'?
Per quanto riguarda l'analisi strumentale, dobbiamo o no misurare una
realta' fisica che, in quanto tale, perfetta certo non e'?
Ma allora tanto vale accontentarsi di imperfette misure di imperfette
realta' e dire che trattasi di errori di misurazione di un modello
perfetto!
P.S. come sta il tuo amico indiano dell'india?


 states:
% >Ma perche` non usi i subarmonici?
% 
% Ho cercato di evitarne l'uso perché, a quanto ne so, non esiste una
% dimostrazione fisica della loro esistenza in natura.
Come ho scritto in TEMPERAMENTO 3, l'uso pragmatico c'e` :-)
.mau.

Isidoro Ferrante (
ferr...@mailbox.difi.unipi.it
) wrote:
: Ecco, estrapolo questo passo perche' mi sembra significativo.
: Io son convinto che tutto il problema stia nella periodicita'.
: Infatti la somma di oscillazioni semplici con periodi (o frequenze) che
: stanno tra loro in rapporto razionale genera un suono periodico, cioe'
: che si ripete dopo un intervallo di tempo prefissato. 
: Per qualche strano motivo che mi e' ignoto, ma che forse i fisiologi
: conosceranno benissimo, l'orecchio umano percepisce come suono
: "piacevole" un suono periodico, e come suono spiacevole un suono non
: periodico.
Non dipende dalla periodicita`, ma dalla distribuzione delle armoniche
nello spettro.  Esistono dei fenomeni fisiologici che fanno si' che
due suoni puri che cadono ad una distanza inferiore ad una `soglia
critica' (che dipende dalla frequenza assoluta dei suoni) creino una
senzazione sgradevole.
: Gia' che ci sono, voglio ricordare che la serie armonica del suono
: prodotto, ad esempio, da un timpano o un tamburo o da una campana, non
: e' formato dai multipli della frequenza fondamentale come nel caso della
: corda vibrante, cosa che non viene quasi mai citata. In particolare, il
: suono di un tamburo o di una qualsiasi membrana non rettangolare non e'
: periodico. E infatti l'altezza del suono non e' perfettamente definita,
: a meno che la tecnica di costruzione (ad esempio delle campane) non
: riesca a simulare la serie di armoniche della corda vibrante.
Le campane hanno delle forti parziali non armoniche, che a volte
portano a valutare l'altezza in modo scorretto. 
: Possibile che non ci sia un fisiologo o un biologo che ci possa spiegare
: come avviene la percezione del suono?
Non sono ne fisiologo, ne biologo.  Quello che so, lo ho appreso
leggendo l'ottimo libro `La Scienza del Suono', di John Pierce,
ed. Zanichelli. (35.000 lire nel '92).
Questo libro tratta sia l'acustica tradizionale che l'acustica da un
punto di vista fisiologico e musicale.
Il libro e` scritto in un modo accessibile a tutti.  A te che sei un
fisico sembrera` un po' pallos^H^H^H^H^Helementare, Comunque seguendo
la bibliografia potrai approfondire quello che ti interessa
maggiormente.
Ciao,
Pierpaolo

P.S. come sta il tuo amico indiano dell'india?
Still farting! :-)

Isidoro Ferrante (
ferr...@mailbox.difi.unipi.it
) wrote:
: Io son convinto che tutto il problema stia nella periodicita'.
: Infatti la somma di oscillazioni semplici con periodi (o frequenze) che
: stanno tra loro in rapporto razionale genera un suono periodico, cioe'
: che si ripete dopo un intervallo di tempo prefissato. 
: Per qualche strano motivo che mi e' ignoto, ma che forse i fisiologi
: conosceranno benissimo, l'orecchio umano percepisce come suono
: "piacevole" un suono periodico, e come suono spiacevole un suono non
: periodico.
Non dipende dalla periodicita`, ma dalla distribuzione delle armoniche
nello spettro.  Esiste un fenomeno fisiologico che fa si` che due
suoni puri che cadano a ad una distanza inferiore ad una `soglia
critica' creino una senzazione sgradevole.  L'ampiezza di questa banda
critica dipende dalla frequenza assoluta dei suoni.
Per fare un esempio: una quinta stonata da` una senzazione sgradevole
perche` la terza armonica della nota bassa invece di coincidere con la
seconda della nota superiore differisce da questa per un intervallo
inferiore all'ampiezza della banda critica.
: Possibile che non ci sia un fisiologo o un biologo che ci possa spiegare
: come avviene la percezione del suono?
Io non sono ne` un fisiiologo ne un biologo.  Il poco che so
sull'argomento lo ho trovato nell'ottimo libro `La Scienza del Suono',
di John Pierce, ed. Zanichelli (35.000 lire nel '92).
Questo libro tratta sia di acustica tradizionale che di psicoacustica
e acustica musicale.  E' un libro scritto per essere comprensibile a
tutti, quindi tu che sei un fisico lo troverai elementare.  Pero` ci
sono due pagine di bibliografia che consentono di approfondire gli
argomenti a cui uno potrebbe essere piu` interessato.
Ciao,
Pierpaolo
: _____________________Isidoro____________________________________________




nello spettro. 
E' la stessa cosa, come aveva appunto spiegato Isidoro.
-----
Vinicio Matteucci
Pistoia, Italy
vi...@sirius.pisa.it
-----
Di fronte al cambiamento
la maggior parte degli uomini si chiede perche'.
Io mi domando perche' no.

v i n i x Š (
vi...@sirius.pisa.it
) wrote:
: 
bern...@cli.di.unipi.it
 (Pierpaolo Bernardi) wrote:
: >Non dipende dalla periodicita`, ma dalla distribuzione delle armoniche
: >nello spettro. 
: E' la stessa cosa, come aveva appunto spiegato Isidoro.
Siccome solo ora vedo gran parte degli articoli in questo thread,
avevo gia risposto a Vinicio via email che non e` per niente la stessa
cosa.  
Se interessa, posso fare un piccolo riassunto sulla fisiologia
dell'udito come spiegato nel libro che ho gia` consigliato.  Certo,
che se ci fosse qualche fisiologo che potesse farlo, sarebbe meglio...
Ciao,
Pierpaolo


Ceeeerto che interessa! Ben trovato!
giamber