Newsgroup: it.arti.musica.classica
Titolo: Diabolus : cosa ne sapete ?

E perchè era vietato ?
.. perche' e' *dicono* di difficile intonazione.
Ma possibile che nessuno degli *imparati* possa dire qualcosa di piu'?
Diego
Meglio tacere e dare l'impressione di essere uno sciocco,
piuttosto che aprire la bocca e togliere ogni dubbio.

Nasce soprattutto dai passaggi fa-sib.... 
Orrore, che cosa mi e' sfuggito: il Diabolus in Musica e' l'intervallo
fa-si (senza il bemolle!!!)


Ma possibile che nessuno degli *imparati* possa dire qualcosa di piu'?
Azzardiamo ? Cosi' come lintervallo di quinta e' diventato
in epoca barocca talmente consueto da finire per far
credere di essere piu' naturale della natura stessa e
di discendenza divina, cosi' il tritono non poteva non
venire considerato con sospetto in un'epoca ( quella
prebachiana ) che costruiva solo terze e quinte o terze
e seste consonanti a fondamento dell'edificio armonico.
Il tritono, naturalmente, esisteva, ma veniva mascherato
con salti melodici ( fa4-mi4-do5-si4, per esempio )
in modo che non avesse evidenza troppo esplicita per 
l'orecchio.
In ogni caso, ti puoi accontentare di "sentire" la quarta
diminuita e la quinta eccedente come intervalli dalla
particolarissima tensione espressiva, a prescindere dalle
loro origini: valutali tu, fidandoti in primis del tuo orecchio
prima che degli storici, in funzione del contesto e dell'epoca 
di utilizzo.
:) rd

 di utilizzo.
C'e` anche il problema del sistema di temperamento.  I temperamenti in
voga nel '600 davano le terze maggiori "importanti" piu` consonanti di
quelle di oggi (o addirittura esatte, a 5/4), a spese di altri
intervalli come proprio il "diabolus in musica", che veniva ad essere
davvero brutto, sia armonicamente che melodicamente.
Abbiamo nel newsgroup un esperto di temperamento che ci puo`
illuminare? 
-- 
        Massimo Campostrini, 
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Pisa.
Discografia SQLC: 
http://www.difi.unipi.it/~campo/SQLC.html

Ma possibile che nessuno degli *imparati* possa dire qualcosa di piu'?
mmmh, io non sono fra gli imparati, ma ricordo che era vietato nella
musica sacra prebarocca e, soprattutto rinascimentale, per due
ragioni:
1) era utilizzato solo nella musica popolare, soprattutto nelle danze
e, quindi, considerato profano e non consono alla Chiesa.
2) per quello che era lo sviluppo della teoria musicale del tempo, il
tritono appariva fortemente dissonante, e furono appunto i teologi
della controriforma ad adombrare il fatto che si trattasse di un
simbolo satanico, e a chiamarlo diabolus in musica, proibendone
l'inserimento nelle opere liturgiche.
mi limito a osservare, incidentalmente, come le epoche musicalmente
piu' vitali conducevano al trapasso di elementi tratti dalla musica
popolare nelle forme considerate "dotte", mentre nelle epoche meno
vivaci, accade esattamente il contrario, come e' avvenuto per la
"canzonetta", che ha corrotto e volgarizzato la romanza o il lied.
ciao.
============================
Cioran's son
Luca F.Palmieri
ned...@iperbole.bologna.it
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"Quando l'Idea si cercava un rifugio doveva essere tarlata se ha trovato soltanto l'ospitalita' del cervello"
(Emil Michael Cioran)
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Dell’espressione “diabolus in musica” non esistono fonti medievali dirette,
sicchè ci si basa sulla formuletta di Fux (1725) che recita: Mi contra FA
est diabolus in musica” ove il Mi, nel sistema della solmisazione è il Mi
mobile del sistema di mutazione che corrisponde al SI nell’exachordum
durum.
Il tritono riscorre spesso nella musica tradizionale rumena e slovacca, di
tribù centroafricane e degli indiani Salish ma nella nostra musica
occidentale è stato esclusi dal tardo ellenico Gaudenzio e in seguito da
Guido d’Arezzo e da Hieronymus de Moravia sia come intervallo melodico che
armonico. 
Nonostante i divieti ne troviamo esempi in Machaut e in Binchois.
Monteverdi (aspre e selvagge = sol  / do#  / re \ sol  - dove / sale e \
scende) e Gesualdo lo usano intenzionalmente proprio per sottolineare
parole che indicano angoscia, turbamento o morte. Bach lo usa spesso nei
recitativi sulle parole Tod o sterben (des Todes Bitterkeit = do \ fa# /sol
/ la \ mib).
Molti esempi nel Don Giovanni (Ch’io son per mia disgrazia uom di buon
cuore - Lascerò straziarmi il crine - Don Ottavio, son morta -
Disingannarla voglio o vendicarla) ma anche nella Tosca (Fa il confessore e
il boia)
o in Gnomus dei Quadri, nel Mephisto-Walzer o nel Sigfrido: sempre in
corrispondenza di personaggi infernali e diabolici o situazioni turbamento.
Interessante è l’uso che ne fa Debussy nel Prèlude à l’apres-midi d’un
faune dove per esprimere il vago e l’indefinito di un pomeriggio assolato
fa oscillare la melodia su e giù nell’ambito del tritono senza mai
risolvere. A questo punto si può quasi pensare che il tritono, invece che
un elemento disturbante ed estraneo stia diventando la base di un nuovo
ordine, un “fulcro di un equilibrio in sospensione” (G.Stefani - Gli
intervalli musicali). Stesso uso ne fa Bartòk, dove nel V Quartetto si nota
come il tritono si ponga esattamente al centro dell’ottava (infatti ci sono
6 semitoni per parte).
Altro esempio celebre: Bernstein - West side story - Maria (do /fa# / sol)
con quell’appoggio sul fa# che si interpone creando tensione, prima di
poter scivolare sul sol risolutivo.
Il Willems (L’orecchio musicale) ha elaborato una tabella che presenta
tutti gli intervalli descritti e organizzati secondo tre categorie:
sensoriale, affettiva, intellettiva. Orbene, la quarta aumentata e la
quinta diminuita  vengono descritte nei seguenti termini: frattura,
agitazione - sdegno inquietudine - pretesa, dubbio.
Roberto Dicorato parlava di terze e quinte o terze e seste consonanti a
fondamento dell’edificio armonico.
Fosse stato davvero così, non avremmo avuto secoli di diatribe sul
temperamento e non ci saremmo ridotti oggi a suonare su strumenti (parlo di
quelli a suono fisso: pianoforte, cembalo, organo, ecc) completamente
stonati (a parte le ottave) rispetto agli intervalli naturali.
Provate un brano di Morley, o di Sweelinck, o di Gibbons o di uno qualsiasi
del Fitzwilliam Virginal Book messo insieme nella prima metà del ‘600 su
una tastiera accordata col temperamento mesotonico (detto in due parole:
che privilegia le terze a scapito delle quinte) e poi risuonatelo su uno
Stenway: c’è da inorridire!
Voi sapete che già Pitagora s’era dannato l’anima quando si accorse che i
conti non tornavano: i numeri, queste entità che secondo lui dovevano e
potevano rappresentare tutto, cominciavano a far cilecca. Già era rimasto
malissimo quando si era accorto che il rapporto tra raggio e circonferenza
non era un numero un po’ strano (come pure la diagonale del quadrato
rispetto al lato) ma ora, alle prese con la scala musicale che si mostrava
del tutto insofferente a una logica numerica, si chiuse in un profondissimo
silenzio, impedendo anche ai suoi adepti di parlarne.
In poche parole, dopo l’ottava, aveva scoperto che l’intervallo più
semplice era quello di quinta: non conosceva la storia degli armonici, ma
questi confermano per altra che era nel giusto. Ora viene il bello:
sovrapponendo una quinta naturale a un’altra (il valore è 3/2 cioè 1,5)
dovremmo alla fine arrivare da dove siamo partiti (il famoso circolo dlle
quinte). Questo giochetto sui nostri pianoforti riesce, ma solo perchè
tutte le nostre quinte sono stonate (calanti rispetto all’intervallo
naturale).
Prendete una calcolatrice e fate la prova: ammettiamo di partire da un
ipotetico DO di 16 Hz. Il SOL sarà a (16x1,5)= 24. Il RE (24x1,5)=36, il LA
54, il MI 81 e così via fino ad arrivare di nuovo al DO (SI# per
l’esattezza). Cos’avete ottenuto? 2075,941406? La vostra calcolatrice
funziona bene, non così un temperamento basato sulle quinte (come quello
pitagorico) perchè è subito evidente che di ottava in ottava il nostro DO
di 16 Hz arriverà esattamente a 2048 Hz e non 2075 eccetera. 
Quando ho scoperto questa cosa, anch’io come Pitagora, non volevo darmi per
vinto: possibile che la cosa che più amo si basi su dei fondamenti
sbagliati in partenza, che con gli intervalli naturali non si possa
costruir nessuna scala accettabile, che insomma, da Machaut a Beethoven,
tutto sia macchiata da questo inestirpabile peccato originale? E questa è
solo la prima lampante contraddizione in cui si dibatte la materia prima di
cui ci nutriamo quotidianamente...
Ho passato un’intera estate, anni fa, per venire a capo di questa faccenda,
complicata per di più da testi zeppi di errori e contraddizioni.
Se c’è qualcuno che non sa rassegnarsi alla soluzione (?) di Pitagora, me
lo faccia sapere. La storia del temperamento è più appassionante di un
giallo (solo che qui, come col sergente Colombo, si sa già chi è
l’assassino: la natura stessa!).
ciau
Giacomo

 musica sacra prebarocca e......
Lucaaaa, ma quanti anni hai??? Non sarai mica il Diab... in persona!
-- 
                        OO   
Antonella Gentile      O  O  (o)(o)       Nicolo' Zen
gen...@unive.it
        O       oo         
nz...@leonardo.math.unipd.it
                        O ooo  <>  ooo 

 l’assassino: la natura stessa!).
l'hai degradato da tenente perche' non ha risolto completamente il caso, non
capendo il movente del delitto?
E se non fosse perche' si sta usando un certo tipo di aritmetica anziche'
un'altra? Il postulato di partenza e' che comunque la natura segua
l'aritmetica nostra, o la fisica o la geometria nostre (inteso quelle che
l'uomo trova empiricamente, e che reggono fintantoche riesce ad applicarle
alla misurazione della natura, poi quando non ce la fa piu' cambia l'uomo
apporta alcune modifiche e zacchete dice che la natura ora segue queste nuove
leggi). Magari prima o poi il mistero si risolve scoprendo quali sono la
fisica, l'aritmetica, la geometria della Natura, che sicuramente non sono
quelle che l'uomo oggi conosce.
Tra il serio, il folle e il faceto
Ezio Ferdeghini

l’assassino: la natura stessa!).
ma che ti ha fatto peter Falk?
Lo hai clamorosamente degradato!


 di 16 Hz arriverà esattamente a 2048 Hz e non 2075 eccetera.
Palese dimostrazione, se ho capito bene, che quanti parlano di
intonazione come concetto assoluto e matematicamente determinato parlano
di una inesistente entita'. Quindi, non e' vero che uno strumento o e'
intonato o e' stonato, ma piuttosto appartiene a un determinato sistema
(e in quell'ambito puo' essere intonato o stonato) o a un altro.
E allora l'apprezzamento degli strumenti antichi comporta
inevitabilmente l'adeguamento dell'orecchio a un temperamento diverso da
quello per noi standard.
La conclusione di tutto cio' e' che se vogliamo apprezzare dulciane e
bombarde, arciliuti e flauti Hotteterre dobbiamo anche noi fare un
passetto nella loro direzione, e non pretendere che, nella loro
diversita', essi cerchino di assomigliare a fagotti, chitarre e tubi del
gas - pardon, flauti traversi.
Ehm, mi permetto di ricordare che noi tutti siamo ancora in trepida
attesa della terza puntata della storia del pezzo di bosso. ALLORA? SI
BATTE LA FIACCA? :)
R.
-- 
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Riccardo Domenichini
Istituto Universitario di Architettura di Venezia
Archivio Progetti - Centro di Servizi Interdipartimentali
S. Marta, Dorsoduro 2196 - 30123 Venezia               tel (0)41.2571014
                                                       fax (0)41.715788
                                         mailto:
r...@ofelia.iuav.unive.it
 
 
http://oberon.iuav.unive.it
 
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"A ragionare con una segreteria telefonica si diventa risponditori 
automatici. Non ne vale la pena" [Voltaire]    
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l'aritmetica nostra, o la fisica o la geometria nostre 
Xche', non e' forse cosi'?  :-))
Non sono state inventate - la fisica e la geometria - partendo dalla
natura?


 malapena riesco a infilare le mie letterine dove mi sembra giusto...).
Vuoi dire che la terza puntata e' gia' uscita? E dov'e'? Non e' piu'
sotto il thread Lluteria? Sono l'unico a non averla trovata? Eppure
ormai faccio ricontri incrociati di IAMC su tre server diversi (quando
si dice la filologia...).
Fatemi sapere, vi prego,



beh, non so.
Certo quando andavo a ubriacarmi con Willaert e Binchois, si
spettegolava un sacco su Okhegem, un vecchio bacucco...quelli si' che
erano tempi! Con Perotin e Leonin, invece, mi sono sempre divertito
pochissimo.


pochissimo.
Perotin mi confidava che tu non lo degnavi di considerazione perche'
non era un minore...



Vedi che sono stato maieutico? Mi piaccio quando ci riesco.:))))
Ezio

non era un minore...
Ahhh, c'eri anche tu dunque?!!
Ma non sarai stato quel tipo che parlottava sempre con Oswald Von
Wolkenstein, per caso?
Era talmente invidioso di Hans Sachs che gli e' venuta quella
malformazione all'occhio dalla rabbia...allora non si sapeva, ma si
tratta di patologie psicosomatiche.......


<P>Chiedo venia per 
.... il settaggio del tuo newsreader!!  :-))
Per favore, sistema il tuo newsreader, altrimenti non si riesce a
leggere cio' che scrivi e che sembra interessante, da quel poco che
riesco a capire.


Caro flautaio,
[...]
Non scrivere in HTML e non usare le accentate.
Grazie.
-- 
La luna ha disarcionato il sole, poiche',oggi, quella desidera 
svegliare al lavoro gli uomini, questo condurli al sonno notturno. 
Cosi', la mia anima non comprende piu'la luce e le tenebre: 
quella e'diventata un abisso, queste hanno fatto luce sulla mia anima.
(W.Shakespeare - o chi per lui)

Salve a tutti,
consapevole del mio enorme imbarazzo nell'uso di queste diaboliche
macchinette telematiche, dato
che neanch'io so cosa ho combinato nel messaggio che inviai pochi giorni
or sono e che, a quanto
pare, non e' stato ricevuto in forme leggibili, ho prontamente seguito i
vostri consigli, nella speranza
che finalmente la mia ferma intenzione di partecipare alla discussione
abbia questa volta la meglio
sulla mia maldestra imperizia.
Incrociando tosto le dita, per quanto cio' mi ha non poco  inibito nella
prassi digitatoria di revisione
del mio scritto, ho eliminato gli accenti sulle vocali sostituendole con
vocali apostrofate (a quali
barbarie letterarie ci siamo ridotti !), e spero di avere eliminato ogni
cosa che potesse avere a che
fare con il formato 'html' .
Ho cosi' ricopiato il vecchio messaggio, formalmente intestato al
pifferaio magico Giacomino
Andreola, ma in pratica rivolto a tutti coloro che hanno contribuito
allo sviluppo del primo tema di
discussione che ho arditamente lanciato.
A chiunque sappia dirmi qualcosa sulle domande poste in coda al
messaggio va il mio ringraziamento
particolare.
Speriamo bene!
Ecco il testo del messaggio corretto :
               Caro flautaio,
          in questo sterminato minestrone telematico nel quale,
essendone purtroppo ancora
          poco esperto, perdo troppo spesso l’orientamento, fa davvero
molto piacere imbattersi
          nel piu’ degno rampollo, nella inconfondibile progenie di
qualcuno che si conosce e si
          ammira da  tempo.
          In realta’  il tuo avo, giacche’ non vi e’ dubbio che di un
tuo avo si tratti, non l’ho
          conosciuto di persona, non ho avuto questo privilegio di cui
in vero pochi hanno potuto
          godere, ma ne ho sentito molto parlare, e ho letto molto della
sua vita, delle sue gesta,
          della sua abilita’ nell’ammaliare con la musica del suo
piffero topi e fanciulli con la stessa
          sapiente perizia con cui tu hai incantato i frequentatori di
questa piazza virtuale,
          edocendoci sull’opificio del piu’ magico tra gli strumenti.
          E un altro tuo avo molto noto deve essere quel grande poeta
italiano che visse, a sua
          detta suo malgrado, un paio di secoli or sono, e che sembra ti
abbia tramandato oltre al
          nome, Giacomino, anche la sua idea sulla Natura ingannatrice e
assassina.
          Ma forse non ha torto Ezio Federghini quando, errando tra il
folle, il serio ed il faceto, ci
          avverte che spesso i nostri strumenti di misura, i nostri
metri di giudizio hanno dimensioni
          troppo umanamente umane per poter aspirare a comprendere cio’
che invece ci e’ dato
          solo di annusare, perche’ se e’ vero che proprio Natura ci ha
vincolati a questo nostro
          essere “umani troppo umani”, inesorabilmente racchiusi entro i
limiti delle nostre
          dimensioni, vietandoci dunque di accedere al segreto dei
misteri piu’ vitali (quale, tra gli
          altri, il mistero delle proporzioni) e’ vero anche che ci ha
donato la facolta’ di sentirne il
          profumo, sia che esali dalle armonie di rapporti geometrici,
sia che si sprigioni dai fiori
          piu’ freschi delle tessiture musicali, che altro non sono che
geometrie temporali .
          E della musica e’ questo cio’ che conta : sentirne il profumo
piu’ che possederne i
          misteri.
          Eppure il sogno Prometeico di rubare agli Dei il segreto della
loro Deita’  ha sempre
          ossessionato le nostre notti mai tranquille, e il magico
fascino dei Numeri e’ sempre
          stato una tentazione irresistibile per la nostra maniacale
voglia di giocare con tutto, di
          maneggiare ogni cosa che possano toccare le nostre mani
curiose di scimmie, perche’
          se mai siamo stati scimmie lo siamo certamente rimasti .
          E fu cosi’  che Pitagora noto’ con grande disappunto che la
sua teoria dei Numeri, che
          li poneva a fondamento dell’universo, cigolava come un dondolo
da cortile male oleato
          quando cercava di trovare un divisore comune alle misure del
lato e della diagonale di
          un Quadrato. Questo almeno e’ cio’ che tramandano i suoi pochi
ed inclementi biografi.
          E in generale il mondo Arcadico sembrava a tutti i suoi
fortunati e barbuti abitatori un
          po’ meno idillico e perfetto se il lato del Quadrato non
voleva saperne di
          commensurarsi con la diagonale, e non si riusciva proprio a
trovare un segmentino che
          potesse essere contenuto un numero intero di volte da
entrambi.
          Figuriamoci come ci sarebbero rimasti i barbuti se avessero
usato un temperamento di
          Ottava (non so se si chiama proprio cosi’ , ma e’ l’unico
temperamento che conosco,
          quello cioe’ attualmente utilizzato, e che vede come unico
intervallo naturale quello di
          Ottava) e si fossero accorti, giacche’ erano acuti
osservatori, che suonando sopra uno
          dei loro amati monocordi un intervallo tritonale maggiore,
quello che poi sara’  chiamato
          ‘Diabolus’ e bandito dalle esecuzioni ufficiali, il rapporto
tra le lunghezze imposte alla
          corda per ottenere un tale intervallo (rapporto pari tra
l’altro al rapporto inverso delle
          loro frequenze fondamentali, ma dubito che i Greci
ragionassero in termini di frequenze)
          e’, in tale temperamento, proprio pari al rapporto esistente
tra la diagonale ed il lato di
          un Quadrato!
          Se si piantano cioe’ quattro chiodi su una cassa armonica
nelle esatte  posizioni dei
          quattro vertici di un Quadrato, e ci si tende sopra una corda
in modo tale da disegnare
          un Quadrato con almeno una delle diagonali, assicurandosi che
la corda abbia sezione e
          tensione costante, e se infine si pizzica la corda su di un
lato e sulla diagonale, si avra’ ,
          con grande stupore dei neo-Pitagorici, un perfetto quanto
dissonante e diabolico tritono
          maggiore.
               Chiedo venia per la mia logorroica prolissita’  e chiedo
altresi’  delucidazioni a
          riguardo di :
               1) Temperamento equabile
               2) Temperamento mesotonico
               3) Il tardo ellenico Gaudenzio.
          Immagino che molti temperamenti possano ottenersi in maniera
simile a quello oggi
          generalmente adottato imponendo come unico intervallo
naturale  “Razionale” non
          quello di Ottava, ma ad esempio quello di Quinta (si
privilegiano cosi’  le Quinte), e
          derivando poi tutte le altre frequenze imponendo tra loro un
eguale intervallo semitonale.
          E’ proprio cosi’  ?
          Ad esempio il temperamento mesotonico, che hai detto che
privilegia le Terze,
          determina le frequenze delle varie Note imponendo l’intervallo
di Terza (5/4) come
          unico Razionale ?
          Quanti e quali altri temperamenti esistono ?
          Ciao,
                       Fabio

ed il lato di un Quadrato!
Sono andato a controllare: e' vero! 
La ragione della progressione geometrica delle frequenze delle note
musicali del temperamento equabile (considerando la scala cromatica)
e' radice dodicesima di 2 (se qualcuno sa come si scrive mi fa un
piacere...). 
Siccome i semitoni in una quarta aumentata (o tritono che dir si
voglia) sono sei, si ha che 
(radice dodicesima di 2)^6=radice(2)
Che e' proprio la diagonale del quadrato. 
Queste cose mi hanno sempre fatto impazzire!Secondo voi sono
coincidenze o cosa???
Lascio le rispote sui temperamenti a gente piu' esperta di me.
Ciao
Giulio Peruginelli
lone...@sysnet.it
"Al cospetto di questa meravigliosa opera d'arte
dimentico ogni altra cosa e mi elevo al di sopra di
me stesso per contemplarla come le si conviene."
J.J.Winckelmann
Se volete scrivermi in privato rimuovete i numeri 5
dall'indirizzo e-mail.

           ammira da  tempo.
Sembra una poesia di Zanzotto. Metti a posto il wordwrap (va bene a 74).
No, non e'che l'abbiamo con te...


coincidenze o cosa???
Caro lupo solitario, perché dici ‘ “solo” una coincidenza’  e non ‘
“addirittura” una coincidenza’ ?
La CO-incidenza è una incidenza di più intenti verso un’unica meta, è
l’unificazione o RI-unificazoine delle infinite direzioni, nate come
opposte tensioni e trovatesi all’improvviso a vibrare all’unisono,
mettendo così in risonanza anche quelle corde ben tese del nostro
Spirito che sono in grado di oscillare con quelle stesse frequenze
rapendoci  in un estatico orgasmo che trasuda gocce di tripudiante
godimento, come notti calde di sposi novelli.
Se allora la ‘Ragione’ del quadrato la puoi anche suonare ed ascoltare è
perché gli stessi armonici rapporti che dominano le forme spaziali delle
figure geometriche, delle immagini dei dipinti, dei muscoli tesi e
freddi dei marmi scultorei e di quelli morbidi e caldi di una bella
donna, delle intricate diramazioni di un albero e degli infiniti
spettacoli che la Natura dona al nostro cospetto  ordinano sovrani anche
le forme temporali della musica, della poesia, del canto e presiedono
finalmente alle risonanti forme iperuraniche delle nostre intestine
proporzioni.
E’ una bellissima, magica, co-involgente co-incidenza, e per Bacco! Lo è
“addirittura”, non “soltanto”!
Almeno fin quando dura, calda, la notte.
Ciao,
 Fabio

 Almeno fin quando dura, calda, la notte.
Caro Fabio, 
la tua poetica prosa è affascinante quanto il contenuto.
Io, molto più terra terra, mi sono arrabattato per un certo periodo per
veder chiaro nel mondo dei temperamenti venendone a capo dopo aver
consultato diversi autori. (Ora, se non altro, riesco ad accordare il mio
virginale con cognizione di causa).
Dico ciò perchè se qualcuno fosse interessato a un approfondimento sui
temperamenti, potrei tentare di rendere meno ostica la materia intavolando
una chiacchierata con gli amici più comprensivi.
Ciao a tutti
Giacomo

                3) Il tardo ellenico Gaudenzio.
Tempo fa ho preso da rec.music.early un lungo post in cui si spiegano i
punti 1) e 2) (invece sul 3) gradirei anch'io maggiori info). Se
interessa posso mandartelo via email, oppure spedirlo al NG sa la cosa
interessa anche altri. Tenete presente pero' che e' in inglese.
Saluti.
M.
-- 
Per rispondere: sostituire "nobody" con "frigeni" nell'indirizzo email.

, ma forse la questione interessa molti altri.
Grazie,
            Fabio

una chiacchierata con gli amici piů comprensivi.
Parti pure. Magari inaugura un thread apposta, intitolato
"Temperamenti & Company" (:-)


Almeno fin quando dura, calda, la notte.
??


Per Fabio e tutti gli altri eventualmente interessati, questo e' lo scritto a
cui alludevo nel mio post precedente, comparso tempo fa su rec.music.early. 
E' forse un po' prolisso, ma abbastanza chiaro. Spero che possa aiutare chi
vuole saperne di piu' sull'argomento.
Saluti.
M.
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TUNING AND TEMPERAMENT - An Overview with Some Real Numbers
Neil Midkiff (
mid...@btr.com
)
6/11/92
This document is intended for musicians who wish to understand some of the 
mathematical details involved in commonly-encountered systems of tuning 
keyboard instruments.  It does not purport to give a complete historical 
picture of temperament, nor does it replace tuning recipes based on beats.  
Non-Western tunings and tunings with more than 12 notes per octave are also 
specifically excluded from consideration.
This information should be especially useful with electronic tuning aids 
which are calibrated in cents of deviation from the equal-tempered scale.  
With some additional information it can be used to generate beat charts for 
tuning by ear, or to compute the data for microtuning of synthesizers such as 
the Yamaha TG77/SY77 and -99 which allow the user to specify individual note 
pitches.  (Contact me at the address above if more information is desired.)
As always, I'd appreciate comments and corrections if any of this is unclear 
or inaccurate.  I'm sure that others will be able to help flesh out the bits 
of historical data I include.  There may be a little repetition since this 
was assembled from a set of individual documents created from Microsoft Excel 
spreadsheets.  (Spreadsheets turn out to be useful "calculators" for this 
sort of work!)  I hope, however, that others will find this as useful as I 
would have found it several months ago before I began tracking all this down 
to put it into one place.
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Let's start with a few definitions.  Engineers and scientists deal with 
musical tones in terms of frequency, with the units of hertz (Hz), equivalent 
to vibrations per second.  Musicians also have agreed (well, mostly) on a 
standard frequency of 440 Hz for the A above middle C.  But because our sense 
of pitch is related to the logarithm of frequency, it's easier to deal with 
these logarithmic numbers in discussing tuning.  This allows us to add and 
subtract intervals, rather than multiplying and dividing ratios of 
frequencies, and has the advantage that musical intervals like octaves have 
the same size in pitch units, no matter where they are on the keyboard (how 
high or low the pitch, that is).
Musicians usually talk about tuning in units of cents, or hundredths of an 
equal-temperament semitone.  An octave is a 2:1 frequency ratio, and is 
divided in equal temperament into 12 semitones, or 1200 cents.  Cents are 
computed by taking 1200 times the logarithm (base 2) of the frequency ratio.
EQUAL TEMPERAMENT
Equal temperament, the system used today for keyboard instruments, makes all 
semitones equal in size; the frequency ratio is the twelfth root of 2 (about 
1.0594631), or 100 cents.
      Hz        cents   adjustment from A=440 equal temperament (cents)
C4    523.25   1200.00   0.00   
B3    493.88   1100.00   0.00   
A#3   466.16   1000.00   0.00   
A3    440.00    900.00   0.00   
G#3   415.30    800.00   0.00   
G3    392.00    700.00   0.00   
F#3   369.99    600.00   0.00   
F3    349.23    500.00   0.00   Note: Because I originally computed these
E3    329.63    400.00   0.00   tables for use on a MIDI synthesizer, the
D#3   311.13    300.00   0.00   note names use the Yamaha octave numbers 
D3    293.66    200.00   0.00   so that C3 equals middle C, and C4 is one
C#3   277.18    100.00   0.00   octave above it.
C3    261.63      0.00   0.00   
The "problem" with equal temperament is that it is only an approximation of 
the ideal intervals our ears hear as pure.  We tend to hear consonances 
between frequencies whose ratios are equal to the ratio of small integers.  
Thus the octave is 2:1, the fifth is 3:2, the fourth is 4:3, the major third 
is 5:4, the minor third is 6:5 and so on.  The trouble is that these 
intervals can't be combined in ways that "come out even" with the scales we 
see on our keyboards.
The Pythagorean Comma
To take the simplest example, start at the lowest C on the piano and go 
upward by fifths to G, D, A, and so forth.  When you come back to C after 
twelve fifths, you'll have covered the seven complete octaves on the 
keyboard.  But this is only possible because we've agreed to use equally-
tempered intervals on the piano, where a fifth is 700 cents, or 7/12 of an 
octave.  A pure 3:2 fifth turns out to be 1200*log2(3/2), or 701.96 cents.  
That is, we make fifths on the piano about 2 cents flatter (narrower) than 
pure, so that twelve of them equal seven octaves.  The total discrepancy if 
we used pure fifths would be (3/2)**12/2**7, or about 23.46 cents.  This 
interval is called the Pythagorean comma, and the amount by which equal-
tempered fifths are flattened is one-twelfth of it.
The following table of intervals may look a little redundant since all the 
lines are the same.  But I'm using it here to prepare for the discussion of 
other tunings.  The note names at the left refer to the lower note of an 
interval.  So the first entry means that the minor second from B3 up to C4 is 
100 cents, which is 4.96 cents flat with respect to a 17:16 frequency ratio.  
(This is one of several choices of integer ratios for the minor second, but 
I'll use it throughout for consistency).
    minor 2nd   wrt 17:16  major 2nd   wrt 9:8  minor 3rd   wrt 6:5     
B3    100.00      -4.96      200.00      -3.91   300.00      -15.64
A#3   100.00      -4.96      200.00      -3.91   300.00      -15.64
A3    100.00      -4.96      200.00      -3.91   300.00      -15.64
G#3   100.00      -4.96      200.00      -3.91   300.00      -15.64
G3    100.00      -4.96      200.00      -3.91   300.00      -15.64
F#3   100.00      -4.96      200.00      -3.91   300.00      -15.64
F3    100.00      -4.96      200.00      -3.91   300.00      -15.64
E3    100.00      -4.96      200.00      -3.91   300.00      -15.64
D#3   100.00      -4.96      200.00      -3.91   300.00      -15.64
D3    100.00      -4.96      200.00      -3.91   300.00      -15.64
C#3   100.00      -4.96      200.00      -3.91   300.00      -15.64
C3    100.00      -4.96      200.00      -3.91   300.00      -15.64
   major 3rd    wrt 5:4     fourth    wrt 4:3    fifth      wrt 3:2
B3    400.00      13.69      500.00      1.96    700.00      -1.96
A#3   400.00      13.69      500.00      1.96    700.00      -1.96
A3    400.00      13.69      500.00      1.96    700.00      -1.96
G#3   400.00      13.69      500.00      1.96    700.00      -1.96
G3    400.00      13.69      500.00      1.96    700.00      -1.96
F#3   400.00      13.69      500.00      1.96    700.00      -1.96
F3    400.00      13.69      500.00      1.96    700.00      -1.96
E3    400.00      13.69      500.00      1.96    700.00      -1.96
D#3   400.00      13.69      500.00      1.96    700.00      -1.96
D3    400.00      13.69      500.00      1.96    700.00      -1.96
C#3   400.00      13.69      500.00      1.96    700.00      -1.96
C3    400.00      13.69      500.00      1.96    700.00      -1.96
As the table makes evident, fourths and fifths are not badly compromised by 
equal temperament, but major and minor thirds are much farther out of pure 
tuning.
We have learned to accept these slightly dissonant thirds as the price we 
have to pay for a tuning system which allows modulating into different keys 
without encountering even worse out-of-tuneness.  Historically, other 
tradeoffs have been made in an attempt to have greater consonance in the key 
of C and those "near" it (with few sharps or flats in the key signature), at 
the expense of unusable intervals in remote keys.  The so-called "wolf" 
interval is found between G# and Eb in the tunings described below, though 
another place around the circle of fifths could equally well be chosen.
The Syntonic Comma
Before we describe some of the tunings, we need to define another kind of 
comma, the syntonic comma.  It's most quickly defined in the key of C as the 
difference between the major 2nd between F and G and the major 2nd between Eb 
and F.  That is, it's (fifth - fourth) minus (fourth - minor 3rd).  In 
frequency terms it's ((3/2)/(4/3)) divided by ((4/3)/(6/5)), or 9/8 divided 
by 10/9.  And this ratio is the key to its real definition, and to its 
importance.
In the harmonic series based on the C three octaves below middle C (that is, 
C0 on my synthesizer), C1 (one octave up) is twice the fundamental frequency, 
G1 is close to three times the fundamental, C2 is four times, E2 is close to 
five times, G2 is close to 6 times, A#2 is about seven times, C3 is eight 
times, D3 is close to 9 times, and E3 is close to 10 times.  If we tuned pure 
intervals based on C, then we'd make all the "close to" intervals exact.  
Then the major second from C3 to D3 would be 9:8, and the major second from 
D3 to E3 would be 10:9, and the difference is once again the syntonic comma.  
9/8 divided by 10/9 is 81/80; in pitch this works out to about 21.51 cents.
MEANTONE TUNINGS
The various varieties of meantone tunings are attempts to average out the 
differences in these major seconds.
In a quarter-comma meantone, all but one of the fifths are flattened from the 
pure 3:2 ratio of 701.96 cents by one-fourth of the syntonic comma, or 5.38 
cents.
So fifths are tuned to 696.58 cents, except for the wolf which must be seven 
octaves minus eleven flattened fifths, or 737.64 cents.  Here the wolf is 
shown inverted as the fourth of 462.36 cents, between G# and Eb.  All other 
fourths are 503.42 cents.
     Hz         cents     adjustments from A=440 equal temperament (cents)
C4   526.36    1200.00     10.26
B3   491.93    1082.89     -6.84
A#3  470.79    1006.84     17.11
A3   440.00     889.74      0.00
G#3  411.22     772.63    -17.11
G3   393.55     696.58      6.84
F#3  367.81     579.47    -10.26
F3   352.00     503.42     13.69
E3   328.98     386.31     -3.42
D#3  314.84     310.26     20.53
D3   294.25     193.16      3.42
C#3  275.00      76.05    -13.69
C3   263.18       0.00     10.26
  minor 2nd wrt 17:16 major 2nd  wrt 9:8  minor 3rd   wrt 6:5
B3   117.11    12.15    193.16    -10.75    310.26     -5.38
A#3   76.05   -28.91    193.16    -10.75    269.21    -46.43
A3   117.11    12.15    193.16    -10.75    310.26     -5.38
G#3  117.11    12.15    234.22     30.31    310.26     -5.38
G3    76.05   -28.91    193.16    -10.75    310.26     -5.38
F#3  117.11    12.15    193.16    -10.75    310.26     -5.38
F3    76.05   -28.91    193.16    -10.75    269.21    -46.43
E3   117.11    12.15    193.16    -10.75    310.26     -5.38
D#3   76.05   -28.91    193.16    -10.75    269.21    -46.43
D3   117.11    12.15    193.16    -10.75    310.26     -5.38
C#3  117.11    12.15    234.22     30.31    310.26     -5.38
C3    76.05   -28.91    193.16    -10.75    310.26     -5.38
   major 3rd  wrt 5:4  fourth    wrt 4:3    fifth     wrt 3:2
B3   427.37    41.06    503.42      5.38    696.58     -5.38
A#3  386.31     0.00    503.42      5.38    696.58     -5.38
A3   386.31     0.00    503.42      5.38    696.58     -5.38
G#3  427.37    41.06    503.42      5.38    737.64     35.68
G3   386.31     0.00    503.42      5.38    696.58     -5.38
F#3  427.37    41.06    503.42      5.38    696.58     -5.38
F3   386.31     0.00    503.42      5.38    696.58     -5.38
E3   386.31     0.00    503.42      5.38    696.58     -5.38
D#3  386.31     0.00    462.36    -35.68    696.58     -5.38
D3   386.31     0.00    503.42      5.38    696.58     -5.38
C#3  427.37    41.06    503.42      5.38    696.58     -5.38
C3   386.31     0.00    503.42      5.38    696.58     -5.38
In summary: Quarter-comma meantone gives pure major thirds in most cases 
(except for four wide ones) and evens out the major seconds (except for two 
wide ones from C# to D# and G# to A#) as half the pure major third.  This is 
accomplished at the expense of minor seconds of two widely different sizes, a 
very sour "wolf" fifth, and even worse mistunings for the wide major thirds 
and three narrow minor thirds.
Usually when "meantone" is mentioned without further specifics, this is the 
variety that is meant.
In a fifth-comma meantone, the fifths are flattened from the pure 3:2 ratio 
of 701.96 cents by one-fifth of the syntonic comma, or 4.30 cents.
So fifths are tuned to 697.65 cents, except for the wolf which must be 725.81 
cents.  Here the wolf is shown inverted as the fourth of 474.19 cents, 
between G# and Eb. All other fourths are 502.35 cents.
     Hz          cents   adjustments from A=440 equal temperament (cents)
C4   525.38     1200.00     7.04
B3   492.55     1088.27    -4.69
A#3  469.33     1004.69    11.73
A3   440.00      892.96     0.00
G#3  412.50      781.23   -11.73
G3   393.06      697.65     4.69
F#3  368.49      585.92    -7.04
F3   351.13      502.35     9.39
E3   329.18      390.61    -2.35
D#3  313.67      307.04    14.08
D3   294.06      195.31     2.35
C#3  275.68       83.58    -9.39
C3   262.69        0.00     7.04
  minor 2nd wrt 17:16 major 2nd  wrt 9:8  minor 3rd   wrt 6:5
B3   111.73      6.78    195.31    -8.60    307.04     -8.60
A#3   83.58    -21.38    195.31    -8.60    278.88    -36.76
A3   111.73      6.78    195.31    -8.60    307.04     -8.60
G#3  111.73      6.78    223.46    19.55    307.04     -8.60
G3    83.58    -21.38    195.31    -8.60    307.04     -8.60
F#3  111.73      6.78    195.31    -8.60    307.04     -8.60
F3    83.58    -21.38    195.31    -8.60    278.88    -36.76
E3   111.73      6.78    195.31    -8.60    307.04     -8.60
D#3   83.58    -21.38    195.31    -8.60    278.88    -36.76
D3   111.73      6.78    195.31    -8.60    307.04     -8.60
C#3  111.73      6.78    223.46    19.55    307.04     -8.60
C3    83.58    -21.38    195.31    -8.60    307.04     -8.60
   major 3rd  wrt 5:4  fourth    wrt 4:3    fifth     wrt 3:2
B3   418.77    32.46    502.35      4.30    697.65    -4.30
A#3  390.61     4.30    502.35      4.30    697.65    -4.30
A3   390.61     4.30    502.35      4.30    697.65    -4.30
G#3  418.77    32.46    502.35      4.30    725.81    23.85
G3   390.61     4.30    502.35      4.30    697.65    -4.30
F#3  418.77    32.46    502.35      4.30    697.65    -4.30
F3   390.61     4.30    502.35      4.30    697.65    -4.30
E3   390.61     4.30    502.35      4.30    697.65    -4.30
D#3  390.61     4.30    474.19    -23.85    697.65    -4.30
D3   390.61     4.30    502.35      4.30    697.65    -4.30
C#3  418.77    32.46    502.35      4.30    697.65    -4.30
C3   390.61     4.30    502.35      4.30    697.65    -4.30
Once again, we have achieved major seconds that are half the size of the 
major thirds in most cases, so this is also a meantone tuning.  The 
difference is that we've allowed the "nice" major thirds to expand from pure 
to one-fifth comma wider than pure.  This reduces most of the other 
deviations from pure intervals; only the "nice" minor thirds are a little 
farther from pure than in quarter-comma.  The wolves are howling less loudly!
In a sixth-comma meantone, the fifths are flattened from the pure 3:2 ratio 
of 701.96 cents by one-sixth of the syntonic comma, or 3.58 cents.  So fifths 
are tuned to 698.37 cents, except for the wolf which must be 717.92 cents.  
Here the wolf is shown inverted as the fourth of 482.08 cents between G# and 
Eb.  All other fourths are  501.63 cents.
     Hz            cents   adjustments from A=440 equal temperament (cents)
C4   524.73       1200.00        4.89   
B3   492.95       1091.85       -3.26   
A#3  468.36       1003.26        8.15   
A3   440.00        895.11        0.00   
G#3  413.35        786.96       -8.15   
G3   392.73        698.37        3.26   
F#3  368.95        590.22       -4.89   
F3   350.55        501.63        6.52   
E3   329.32        393.48       -1.63   
D#3  312.89        304.89        9.78   
D3   293.94        196.74        1.63   
C#3  276.14         88.59       -6.52   
C3   262.37          0.00        4.89   
  minor 2nd   wrt 17:16    major 2nd     wrt 9:8    minor 3rd      wrt 6:5
B3   108.15         3.19       196.74       -7.17       304.89       -10.75
A#3   88.59       -16.36       196.74       -7.17       285.34       -30.30
A3   108.15         3.19       196.74       -7.17       304.89       -10.75
G#3  108.15         3.19       216.29       12.38       304.89       -10.75
G3    88.59       -16.36       196.74       -7.17       304.89       -10.75
F#3  108.15         3.19       196.74       -7.17       304.89       -10.75
F3    88.59       -16.36       196.74       -7.17       285.34       -30.30
E3   108.15         3.19       196.74       -7.17       304.89       -10.75
D#3   88.59       -16.36       196.74       -7.17       285.34       -30.30
D3   108.15         3.19       196.74       -7.17       304.89       -10.75
C#3  108.15         3.19       216.29       12.38       304.89       -10.75
C3    88.59       -16.36       196.74       -7.17       304.89       -10.75
   major 3rd   wrt 5:4       fourth      wrt 4:3        fifth      wrt 3:2
B3   413.04       26.73       501.63         3.58       698.37       -3.58
A#3  393.48        7.17       501.63         3.58       698.37       -3.58
A3   393.48        7.17       501.63         3.58       698.37       -3.58
G#3  413.04       26.73       501.63         3.58       717.92       15.97
G3   393.48        7.17       501.63         3.58       698.37       -3.58
F#3  413.04       26.73       501.63         3.58       698.37       -3.58
F3   393.48        7.17       501.63         3.58       698.37       -3.58
E3   393.48        7.17       501.63         3.58       698.37       -3.58
D#3  393.48        7.17       482.08       -15.97       698.37       -3.58
D3   393.48        7.17       501.63         3.58       698.37       -3.58
C#3  413.04       26.73       501.63         3.58       698.37       -3.58
C3   393.48        7.17       501.63         3.58       698.37       -3.58
By this point, I think the trend should be clear.  The wolves are almost 
tamed; the major thirds aren't too wide, but they're getting farther off, and 
the minor thirds are going flat.
The logical extension of this trend is a one-twelfth (Pythagorean, not 
syntonic) comma meantone, which is precisely equal temperament.
WELL-TEMPERED TUNINGS
Other systems of tuning, which get lumped under the heading of "well-
tempered" tunings, don't follow the meantone pattern of having a single wolf 
fifth.  Instead, they distribute the discrepancies more-or-less evenly 
through some of the remote-from-C-major intervals.  In this way, they attempt 
to preserve the consonances of purer intervals in the usual keys, while 
smoothing over the consequences of modulating into remote keys.  All keys are 
usable, but the sizes of the intervals between various degrees of the scale 
are not exactly the same in each key.  This is often thought of as an 
advantage, since it lends a distinctive character to the different keys.  The 
tuning Bach had in mind for Das Wohltemperierte Klavier was almost certainly 
*not* equal temperament (though it had been invented prior to Bach's time) 
but one of the many forms of well-tempered tunings.
Werckmeister III
A well-tempered tuning adopted for organs in the time of Bach is known as 
Werckmeister III.  In this tuning, the fifths C-G-D-A and B-F# are each 
tempered by 1/4 of the Pythagorean comma, or 5.87 cents.
Pure fifths of 3:2 are 701.96 cents; the tempered ones are then 696.09 cents.  
Pure fourths of 4:3 are 498.04 cents; the tempered ones are then 503.91 
cents.
       Hz        cents  adjustment from A=440 equal temperament (cents)
C4   526.81     1200.00     11.73
B3   495.00     1092.18      3.91
A#3  468.27      996.09      7.82
A3   440.00      888.27      0.00
G#3  416.24      792.18      3.91
G3   393.77      696.09      7.82
F#3  369.99      588.27      0.00
F3   351.21      498.04      9.78
E3   330.00      390.22      1.96
D#3  312.18      294.13      5.87  (Yes, it's true: F# and A are the same
D3   294.33      192.18      3.91   as in equal temperament, and the others
C#3  277.50       90.22      1.96   are all *sharper*.  This is a coincidence
C3   263.40        0.00     11.73   due to using A=440 as a standard pitch.)
  minor 2nd wrt 17:16  major 2nd  wrt 9:8  minor 3rd  wrt 6:5
B3   107.82      2.86    198.04     -5.87    300.00    -15.64
A#3   96.09     -8.87    203.91      0.00    294.13    -21.51
A3   107.82      2.86    203.91      0.00    311.73     -3.91
G#3   96.09     -8.87    203.91      0.00    300.00    -15.64
G3    96.09     -8.87    192.18    -11.73    300.00    -15.64
F#3  107.82      2.86    203.91      0.00    300.00    -15.64
F3    90.22    -14.73    198.04     -5.87    294.13    -21.51
E3   107.82      2.86    198.04     -5.87    305.87     -9.77
D#3   96.09     -8.87    203.91      0.00    294.13    -21.51
D3   101.96     -3.00    198.04     -5.87    305.87     -9.77
C#3  101.96     -3.00    203.91      0.00    300.00    -15.64
C3    90.22    -14.73    192.18    -11.73    294.13    -21.51
  major 3rd  wrt 5:4   fourth  wrt 4:3    fifth    wrt 3:2
B3   401.96    15.65    498.04    0.00    696.09    -5.87
A#3  396.09     9.78    498.04    0.00    701.96     0.00
A3   401.96    15.65    503.91    5.87    701.96     0.00
G#3  407.82    21.51    498.04    0.00    701.96     0.00
G3   396.09     9.78    503.91    5.87    696.09    -5.87
F#3  407.82    21.51    503.91    5.87    701.96     0.00
F3   390.22     3.91    498.04    0.00    701.96     0.00
E3   401.96    15.65    498.04    0.00    701.96     0.00
D#3  401.96    15.65    498.04    0.00    701.96     0.00
D3   396.09     9.78    503.91    5.87    696.09    -5.87
C#3  407.82    21.51    498.04    0.00    701.96     0.00
C3   390.22     3.91    498.04    0.00    696.09    -5.87
 
The result is that major thirds are stretched by 2, 5, 8, or 11/12 of the 
Pythagorean comma, and minor thirds flattened by 2, 5, 8, or 11/12 of it.
                                      2          5          8         11
Pure major third is 386.31 cents    390.22     396.09     401.96     407.82
Pure minor third is 315.64 cents    311.73     305.87     300.00     294.13
Vallotti
Another popular well-tempered tuning is the Vallotti tuning, historically 
accurate for music of Mozart's time.  In the Vallotti tuning, the fifths F-C-
G-D-A-E-B are each tempered by 1/6 of the Pythagorean comma, or 3.91 cents.  
Pure fifths of 3:2 are 701.96 cents; the tempered ones are then 698.04 cents.  
Pure fourths of 4:3 are 498.04 cents; the tempered ones are then 501.96 
cents.
     Hz         cents  adjustment from A=440 equal temperament (cents)
C4   525.03    1200.00     5.87
B3   492.77    1090.22    -3.91
A#3  467.75    1000.00     5.87
A3   440.00     894.13     0.00
G#3  415.77     796.09     1.96
G3   392.88     698.04     3.91
F#3  369.58     592.18    -1.96
F3   350.81     501.96     7.82
E3   329.26     392.18    -1.96
D#3  311.83     298.04     3.91
D3   294.00     196.09     1.96
C#3  277.18      94.13     0.00
C3   262.51       0.00     5.87
  minor 2nd wrt 17:16  major 2nd  wrt 9:8  minor 3rd  wrt 6:5
B3   109.78      4.82    203.91     0.00    305.87     -9.77
A#3   90.22    -14.73    200.00    -3.91    294.13    -21.51
A3   105.87      0.91    196.09    -7.82    305.87     -9.77
G#3   98.04     -6.91    203.91     0.00    294.13    -21.51
G3    98.04     -6.91    196.09    -7.82    301.96    -13.68
F#3  105.87      0.91    203.91     0.00    301.96    -13.68
F3    90.22    -14.73    196.09    -7.82    294.13    -21.51
E3   109.78      4.82    200.00    -3.91    305.87     -9.77
D#3   94.13    -10.82    203.91     0.00    294.13    -21.51
D3   101.96     -3.00    196.09    -7.82    305.87     -9.77
C#3  101.96     -3.00    203.91     0.00    298.04    -17.60
C3    94.13    -10.82    196.09    -7.82    298.04    -17.60
  major 3rd  wrt 5:4    fourth   wrt 4:3    fifth     wrt 3:2
B3   407.82     21.51    501.96     3.91    701.96      0.00
A#3  396.09      9.78    498.04     0.00    701.96      0.00
A3   400.00     13.69    501.96     3.91    698.04     -3.91
G#3  403.91     17.60    498.04     0.00    701.96      0.00
G3   392.18      5.87    501.96     3.91    698.04     -3.91
F#3  407.82     21.51    498.04     0.00    701.96      0.00
F3   392.18      5.87    498.04     0.00    698.04     -3.91
E3   403.91     17.60    501.96     3.91    698.04     -3.91
D#3  400.00     13.69    498.04     0.00    701.96      0.00
D3   396.09      9.78    501.96     3.91    698.04     -3.91
C#3  407.82     21.51    498.04     0.00    701.96      0.00
C3   392.18      5.87    501.96     3.91    698.04     -3.91
The result is that major thirds are stretched by 3, 5, 7, 9, or 11/12 of the 
Pythagorean comma, and minor thirds flattened by 5, 7, 9, or 11/12 of it.
                                    3       5       7       9      11
Pure major third is 386.31 cents  392.18  396.09  400.00  403.91  407.82
Pure minor third is 315.64 cents          305.87  301.96  298.05  294.14
The Fisk-Vogel tunings at Stanford
Finally, a pair of tunings which have gotten some discussion on the net:  the 
tunings devised by Charles Fisk and Harald Vogel for the Fisk organ in 
Memorial Church at Stanford University, which can be switched by a lever 
above the music desk from mean-tone to well-tempered; the lever activates an 
alternate set of tracker mechanisms for the sharp keys, so that there are 17 
pipes per octave.
Stanford's Fisk organ uses a modified meantone tuning which shares the 
natural keys with the well-tempered tuning.  This means that the six 
intervals F-C-G-D-A-E-B are identical in both systems; they're flattened by 
one-fifth the Pythagorean comma, or 4.69 cents.  The five intervals F-Bb-Eb 
and G#-C#-F#-B are flattened by one-fourth the syntonic comma, or 5.38 cents.
So natural fifths are tuned to 697.26 cents and "other" fifths are tuned to 
696.58 cents, except the wolf which must be seven octaves minus six natural 
fifths minus five accidental fifths, or 733.53 cents.  Here the wolf is shown 
inverted as the fourth of 466.47 cents, between G# and Eb.  All natural 
fourths are 502.74 cents, and "other" fourths are 503.42 cents.
     Hz        cents     adjustment from A=440 equal temperament (cents)
C4    525.74    1200.00      8.21
B3    492.32    1086.31     -5.47
A#3   470.05    1006.16     14.37
A3    440.00     891.79      0.00
G#3   411.55     776.05    -15.74
G3    393.24     697.26      5.47
F#3   368.10     582.89     -8.90
F3    351.44     502.74     10.95
E3    329.11     389.05     -2.74
D#3   314.34     309.58     17.79
D3    294.13     194.53      2.74
C#3   275.22      79.47    -12.32
C3    262.87       0.00      8.21
  minor 2nd wrt 17:16  major 2nd  wrt 9:8  minor 3rd  wrt 6:5
B3    113.69      8.73    193.16    -10.75    308.21     -7.43
A#3    80.16    -24.80    193.84    -10.07    273.31    -42.33
A3    114.37      9.41    194.53     -9.38    308.21     -7.43
G#3   115.74     10.78    230.11     26.20    310.26     -5.38
G3     78.79    -26.17    194.53     -9.38    308.90     -6.74
F#3   114.37      9.41    193.16    -10.75    308.90     -6.74
F3     80.16    -24.80    194.53     -9.38    273.31    -42.33
E3    113.69      8.73    193.84    -10.07    308.21     -7.43
D#3    79.47    -25.48    193.16    -10.75    273.31    -42.33
D3    115.05     10.10    194.53     -9.38    308.21     -7.43
C#3   115.05     10.10    230.11     26.20    309.58     -6.06
C3     79.47    -25.48    194.53     -9.38    309.58     -6.06
  major 3rd  wrt 5:4    fourth   wrt 4:3    fifth    wrt 3:2
B3    423.27    36.96    502.74      4.69    696.58    -5.38
A#3   388.37     2.06    503.42      5.38    696.58    -5.38
A3    387.68     1.37    502.74      4.69    697.26    -4.69
G#3   423.95    37.64    503.42      5.38    733.53    31.57
G3    389.05     2.74    502.74      4.69    697.26    -4.69
F#3   423.27    36.96    503.42      5.38    696.58    -5.38
F3    389.05     2.74    503.42      5.38    697.26    -4.69
E3    387.00     0.69    502.74      4.69    697.26    -4.69
D#3   387.68     1.37    466.47    -31.57    696.58    -5.38
D3    388.37     2.06    502.74      4.69    697.26    -4.69
C#3   423.27    36.96    503.42      5.38    696.58    -5.38
C3    389.05     2.74    502.74      4.69    697.26    -4.69
These should be compared with quarter-comma meantone; the differences are 
hardly ever more than a couple of cents.  The nifty thing is that by 
switching only the sharps, you get the well-tempered tuning described next.
Stanford's Fisk organ uses a well-tempered tuning which shares the natural 
keys with the modified meantone tuning.  This means that the six intervals F-
C-G-D-A-E-B are identical in both systems; they're flattened by one-fifth the 
Pythagorean comma.  G#-C# is similarly flattened in the well-tempered tuning.  
The three intervals Bb-Eb-G# and F#-B are pure; the two intervals F-Bb and 
C#-F# are sharpened (widened) by one-fifth Pythagorean comma.
So natural fifths are tuned to 697.26 cents, and wide fifths are tuned to 
706.65 cents, compared with pure fifths of 701.96 cents.  All natural fourths 
are 502.74 cents, and wide fourths are 493.35 cents, compared with pure 
fourths of 498.04 cents.
      Hz          cents     adjustment from A=440 equal temperament (cents)
C4    525.74      1200.00       8.21
B3    492.32      1086.31      -5.47
A#3   467.32       996.09       4.30
A3    440.00       891.79       0.00
G#3   415.40       792.18       0.39
G3    393.24       697.26       5.47
F#3   369.24       588.27      -3.52
F3    351.44       502.74      10.95
E3    329.11       389.05      -2.74
D#3   311.55       294.13       2.35
D3    294.13       194.53       2.74
C#3   277.68        94.92       3.13
C3    262.87         0.00       8.21
  minor 2nd  wrt 17:16   major 2nd  wrt 9:8   minor 3rd   wrt 6:5
B3    113.69       8.73     208.60      4.69     308.21      -7.43
A#3    90.22     -14.73     203.91      0.00     298.83     -16.81
A3    104.30      -0.65     194.53     -9.38     308.21      -7.43
G#3    99.61      -5.35     203.91      0.00     294.13     -21.51
G3     94.92     -10.04     194.53     -9.38     298.83     -16.81
F#3   108.99       4.04     203.91      0.00     303.52     -12.12
F3     85.53     -19.42     194.53     -9.38     289.44     -26.20
E3    113.69       8.73     199.22     -4.69     308.21      -7.43
D#3    94.92     -10.04     208.60      4.69     294.13     -21.51
D3     99.61      -5.35     194.53     -9.38     308.21      -7.43
C#3    99.61      -5.35     199.22     -4.69     294.13     -21.51
C3     94.92     -10.04     194.53     -9.38     294.13     -21.51
  major 3rd   wrt 5:4     fourth    wrt 4:3     fifth     wrt 3:2
B3    407.82     21.51     502.74      4.69     701.96      0.00
A#3   398.44     12.13     498.04      0.00     706.65      4.69
A3    403.13     16.82     502.74      4.69     697.26     -4.69
G#3   407.82     21.51     502.74      4.69     701.96      0.00
G3    389.05      2.74     502.74      4.69     697.26     -4.69
F#3   407.82     21.51     498.04      0.00     706.65      4.69
F3    389.05      2.74     493.35     -4.69     697.26     -4.69
E3    403.13     16.82     502.74      4.69     697.26     -4.69
D#3   403.13     16.82     498.04      0.00     701.96      0.00
D3    393.74      7.43     502.74      4.69     697.26     -4.69
C#3   407.82     21.51     493.35     -4.69     697.26     -4.69
C3    389.05      2.74     502.74      4.69     697.26     -4.69
-------------------------------------------------------------------------
version 1.0 (C) Copyright 1992 by Neil Midkiff.  This document may be freely 
distributed for educational or other non-profit use; please retain this 
notice and do not distribute it in altered form.  Commercial use or 
publication in whole or part requires my consent.  In other words, it's 
freeware, but not public domain.

 No, non e'che l'abbiamo con te...
Io non vedo neppure gli apostrofi, su alcune tastiere ce ne sono due,
forse l'altro andrebbe meglio...
questo lo vedete? -->'<--
e le virgolette?  -->"<--
e queste?       -->טאילשע<--  beh queste forse no.
Il mio newsreader quando metto dei caratteri non ASCII mi avverte
-- 
                        OO   
Antonella Gentile      O  O  (o)(o)        Nicolo' Zen
 
gen...@unive.it
      O       oo          
nz...@leonardo.math.unipd.it
            venezia     O ooo  <>  ooo   dorsoduro 3300

 Il mio newsreader quando metto dei caratteri non ASCII mi avverte
Il mio, quando li uso, diventa molto malinconico. ;)
Per le accentate, virgole ed il resto, prova a configurare il programma per
usare il set di caratteri ISO-8859-1.


 interessa anche altri. Tenete presente pero' che e' in inglese.
ci interessa :)


 Vabbe', se lo dici tu.....pero' non mi hai tanto convinto....
-"Peggio per te!"-disse l'amante alla sposa,
quando lei gli negò l'amore.
Fu quella una notte gelida.

usare il set di caratteri ISO-8859-1.
Come, come?? Ma allora avete capito tutto!!!
Ditemi, vi prego: come si fa?
Che vuol dire? Qual programma: il Newsreader o WIN 95'
E come si fa? Dove lo trovo il set ISO-8859????
======================================================
LUX LUCIS		e-mail:
pere...@comm2000.it
lucio...@rcm.inet.it
La fortuna è cieca, ma la sfortuna invece ci vede benissimo (Enzo
Biagi, 8.1.1996)

 E come si fa? Dove lo trovo il set ISO-8859????
E'una codifica interna, e'solo necessario che il news reader sappia che tu
vuoi usarla. 
-- 
Venga tu dall'inferno o dal cielo, che importa,
Bellezza, mostro immane, mostro candido e fosco,
se il tuo piede, il tuo sguardo, il tuo riso la porta
m'aprono a un Infinito che amo e non conosco?
(Charles Baudelaire, Inno alla bellezza)

Fu quella una notte gelida.
Ma sei sempre cosi' "poetico"?? 
Per curiosita': che lavoro fai?
Ciao
Giulio Peruginelli
lone...@sysnet.it
'Ille hic est Raphael, timuit quo sospite vinci
Rerum magna parens et moriente mori.'
Pietro Bembo


 usare il set di caratteri ISO-8859-1.
Anch'io vedo tutto in genere ma cio' non toglie che misteriosamente i
messaggi di alcuni di voi siano talvolta disseminati di caratteri
bislacchi!


 bislacchi!
Fonti clandestine mi dicono che Windows utilizza di default un set di
caratteri proprietario. Basta cambiarlo.


vuoi usarla. 
Kazç°%, Di Nicola, speravo tanto, ma sono andato a controllare ed ho
proprio il set ISO.8859.1 (Codepage 1252)!! Eppure problemi di
accentate li ho anch' io...
8:-(((((



Nessuno, e spero di cominciare il più tardi possibile!
Sono studente universitario di Chimica, ma l’idea di fare lo
sciacquaprovette non mi ha mai allettato.
Così da un anno e qualcosa ho cominciato a prendere lezioni di violino,
con la speranza di riuscire a produrre un giorno qualcosa di decente, in
modo da racimolare almeno qualche spicciolo suonando nelle strade e
nelle piazze del mondo.
Hai in mente “Vita di un perdigiorno” di Hoffenbach ?
--mi pare si chiami così, fu un romantico tedesco del secolo scorso.
Questo suo idillico libercolo è pubblicato dalla Newton per mille lire--
Ciao,
          Fabio

 caratteri proprietario. Basta cambiarlo.
Ho un vecchio mac per fortuna e, da qualche giorno riesco pure ad
ascoltare i files midi; a proposito sai se in questo periodo ne sono
stati messi sul NG? magari in qualche thread che mi sono perso?



Se vai su 
http://www.prs.net
, ne trovi a josa!!! :-))
--
Ciao !
=======================================================
Marco Marcelli - Genova
E@mail1: 
marco.m...@elsag.it
 (ufficio)
E@mail2: 
marc...@money.it
   (casa)
=======================================================

stati messi sul NG? magari in qualche thread che mi sono perso?
Mi sembra che qualcosa l'abbia postata Sid Vinicious alcune settimane fa.
Ti conviene fare una ricerca con il buon vecchio 
www.dejanews.com
 (o .org? boh).
-- 
*********************************
*Pubblicita'Progresso:          *
*Leggete it.arti.musica.classica*
*********************************
Ciao, Alessandro
Email: 
a.din...@flashnet.it

Mi sembra che qualcosa l'abbia postata Sid Vinicious alcune settimane fa.
Carino! Vinicius de Morales me l'avevano detto in tanti, Sid Vinicious
no.
Comunque, per chi e' interessato, posto su it.binari.file la fuga BWV951
"su un tema di Albinoni". Secondo me e' bellissima.
Questa e tanta altra roba la potete trovare sul sito di Pierre Schwobb
http://www.prs.net
ciao
-----
Vinicio Matteucci
Pistoia, Italy
vi...@sirius.pisa.it
-----
Conta solo non essere coinvolti
e trascinati via da cio' che si dice:
e si potra' poi dormire tranquilli.

no.
Vicious De Morales andrebbe bene lo stesso?
E vieni alla crapula, adesso.
Schillogeno
------------------
"Well, i'm the slime from your video
 Oozin' along on your living room floor
 I am the slime from your video
 can't stop the slime, people, look it me go"
 Frank Zappa, 1973

 E vieni alla crapula, adesso.
Il fratello minore di Cristobal De Morales?
:-))))
Ezio