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Titolo: [OT mirmecomatematico]Per distrarsi qualche minuto con le formiche

Alla faccia di quelli che non sopportano gli OT, pubblico un simpatico
quesito matematico per distrarsi.
Tracciamo una riga per terra lunga un metro.
Mettiamo una formica a metà della riga.
Distribuiamo quindi casualmente sul resto della riga altre dieci
formiche (non in groppa l'una all'altra) con probabilita' uniforme
lungo la riga.
Ad un certo istante tutte e undici le formiche iniziano a muoversi
lungo la riga. Ogni formica decide verso dove muoversi (50% destra,
50% sinistra) e mantiene quella direzione sino a quando non incontra
un'altra formica. All'incontro con un'altra formica, entrambe
invertono direzione. Se una formica arriva a fine riga, inverte la
propria direzione per non uscire dalla riga.
Le formiche camminano a 1 metro al minuto.
Con quale probabilità la formica che avevamo messo al centro della
riga dopo un minuto si ritrova esattamente dove era partita, cioe' al
centro della riga ?
La probabilità e' 0 < p < 1.
mirmecoWentu

 quesito matematico per distrarsi.
Allora, ho fatto l'esame di statistica settimana scorsa, e praticamente 
ogni 10 minuti 10 controllo se sono usciti i voti (ebbene si, alla 
prossima mi regalano il tostapane...) e tu esci con questo "simpatico" 
quesito? Roba da matti :-P
Ciao

 La probabilità e' 0 < p < 1.
Ma no! :-) che altri valori potrebbe assumere p?



0 oppure 1 :)
..e con questo non starei piu' tranquillo per l'esame !
... scherzo.. anzi, in bocca al lupo !
Wentu

 ... scherzo.. anzi, in bocca al lupo !
Sperem!
Ciao

,
 j_wentu@QUESTAMAILLACONTROLLODIRADOESSENDOUNOSPECCHIETTOPERALLODOLE-POR
 TATEPAZIENZAyahoo.it (Johannes Wentu) wrote:

scusate, divido il ragionamento a punti, anche se a pensarlo a mente (e 
come altrimenti?) viene piu' naturale giungere alla conclusione:
1) visto che le formiche invertono la rotta quando si incontrano, e' 
come se (considerando le formiche come indistinguibili) non 
interagissero e passassero una attraverso l'altra. Questo dal punto di 
vista puramente cinetico.
2) quindi per una formica che parta dal punto A di coordinata x,  dato 
che la velocita' delle formiche e' pari alla lunghezza della riga in un 
minuto, alla fine del minuto vi sara' una formica nel corrispondente 
punto speculare A' = 1 - x (non necessariamente la medesima, ma per ora 
sono indistinguibili).
3) ne consegue che per una configurazione iniziale di coordinate x = A1, 
A2... 1/2 .... An dopo un minuto la configurazione sara' (1 - An) .... 
1/2... (1 - A2), (1-A1). In altre parole la configurazione sara' 
trasformata nella sua speculare. [il famoso teorema di PT...]
4) visto che le formiche sono distinte ed impenetrabili l'ordine delle 
formiche sulla linea non cambia mai. Per esempio la seconda formica 
sara' sempre la seconda.
5) ne consegue che la formica al centro si ritrovera' al centro solo se 
la configurazione iniziale e' numericamente pari, cioe' uguale numero di 
formiche a sinistra ed a destra. Piu' in dettaglio: se all'inizio la 
formica in posizione 1/2 aveva m formiche alla sua sinistra, alla fine 
la formica (in principio distinta) in posizione 1/2 avra'  10 - m 
formiche alla sua sinistra. Visto il punto (4), affinche' questa sia la 
medesima formica, e' necessario che:
m = 10 - m, cioe' che m = 5.
ora azzardo la probabilita'  di una tale distribuzione come:
   10!
________     che mi pare sia uguale a 63/256
5! 5! 2^10 
questo deriva da:
1/2^10 = probabilita' delle configurazioni con le prime 5 formiche a 
sinistra e le altre a destra (ignorando l'ordine fra di esse)
moltiplicato per le permutazioni fra tutte le formiche = 10!
diviso per le permutazioni fra le prime 5 e le permutazioni fra le 
ultime 5 (5! e 5!), visto che gia' avevamo ignorato l'ordine nel quale 
si trovavano nei rispettivi segmenti.
Il fatto che il risultato sia (2^6 -1)/2^8 mi fa pensare che ci possa 
essere un metodo piu' semplice...
g

 essere un metodo piu' semplice...
ma che boiata scusate, nel caso generale non si riduce a forma cosi' 
semplice.
Credo che per N grande (dove N e' il numero di formiche aggiunte a 
quella al centro) vada come
sqrt( 2/(pi N) )
(per N pari, sottolineo: e' zero per N dispari)
Sono OT? Ma sento tutti dire che la musica e' numeri (balle!) e poi 
c'era quell'episodio di Tom & Jerry dove le note sullo spartito si 
riorganizzavano rapidamente perche' in realta' erano formiche!
g

5! 5! 2^10 
Perfetto ! io l'ho espresso come le combinazioni di 10 oggetti presi a
5 a 5 diviso per la somma delle combinazioni di 10 oggetti presi a 1
a1, a 2 a 2,..., a10 a 10, (quindi 2^10)  che e' proprio quello che
hai scritto tu.
MirmeComplimenti !
Wentu

 quesito matematico per distrarsi.
Associazione d'idee mirmecomatematiche, giusto per ritornare (quasi)
IT.
Un giorno, tanto tempo fa, in un'aula del Conservatorio, il mio
insegnante di composizione stava esaminando il compito che avevo
svolto a casa (ricordo che si trattava dell'armonizzazione di un basso
di Chapuis). Alzņ d'un tratto gli occhi dal mio lavoro e mi sottopose
ex abrupto il quesito che riporto qui appresso (faceva sovente cose di
questo genere, il maestro buonanima).
Sopra un lapis ci sono dieci formiche; nove muoiono di freddo, la
decima no: perché?
j.

 ... scherzo.. anzi, in bocca al lupo !
Giusto per la cronaca, ho preso 19 in statistica.....e visto le volte 
che l'avevo provata, vale come un 30! :-)
Ciao