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Titolo: FIBONACCI

Ciao a tutti
stavo studiando la relazione della serie di numeri di Fibonacci applicata
alla musica.
Cìè qualcuno che ci capisce?
Leonardo Fibonacci matematico del 1200
scopri rapporti tra i numeri che vanno sotto il nome di serie di Fibonacci
e anche sezione aurea
probabilmente era a conoscenza della Kabala e delle conoscenze matematiche
degli Egizi degli Arabi oltre che dei Greci
la serie di numeri di Fibonacci si ritrova in natura e anche in musica
Sto cominciando ora lo studio per quanto riguarda la musica
Se qualcuno è gia esperto dellìargomento e vuole postare grazie
ciao

 Cěč qualcuno che ci capisce?
Se ci fossero matematici potrebbero aiutarti loro... ma di matematici qui 
non ce ne č neanche uno :)))
eheheh
ciao

 non ce ne è neanche uno :)))
ci sono io di turno.
pero' di musica non ci capisco un h :)
maw
a, vn

 wrote:

Non conosco nulla che mi rapporti la serie di Fibonacci alla musica. Se
hai scoperto qualche cosa di interessante, mi piacerebbe saperlo.
Per quanto concerne la sezione aurea, che non e' stata scoperta da
Fibonacci, ma era gia' nota ai matematici dell'antica Grecia, essa, per
quanto ne so, viene usata come forma di equilibrio nelle macrostrutture
(musicali, figurative, etc.). Ad esempio, nel preludio del Lohengrin, il
cumine non avviene a meta', ma e' spostato verso la fine, seguito poi
dal calando con il quale si conclude. Il culmine potrebbe essere situato
a due terzi oppure alla sezione aurea del segmento temporale che va
dall'inizio alla fine, e che e' costituito in due sottosegmenti,
dall'inzio al culmine e dal culmine alla fine. Misurare la lunghezza dei
due segmenti e vedere se c'e' un rapporto sul tipo della sezione aurea.
Un'altra forma matematica che sarebbe interessante cercare nella musica
sarebbero i frattali: macrostrutture costitutita da strutture piu'
piccole della stessa forma, a loro volta costituite da strutture ancora
piu' piccole, sempre della stessa forma, e cosi' via.
Esistono esempi? Sarebbe interessante.
Ciao
Rudy
==================================================== 
If the doors of perception were cleansed every 
thing would appear  to man as it is: infinite.
William Blake
====================================================

 wrote in message
NY3r8.60791$S52.2...@news2.tin.it...


La serie di fibonacci ha una definizione abbastanza semplice:
x_0 = 0
x_1 = 1
x_n = x_(n-1) + x_(n-2)
ogni elemento della successione e' ottenuto come somma dei due elementi 
che lo precedono
cio' vuole dire
x_0=0
x_1=1
x_2 = x_0 + x_1 = 1
x_3 = x_1 + x_2 = 2
x_4 = x_3 + x_2 = 3
la successione e' quindi:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ......
ciao

la serie di numeri di Fibonacci si ritrova in natura e anche in musica
beh, la musica fa parte della natura :-) quindi non mi stupisce
affatto che i suoni, ad esempio gli armonici, possano rispettare
questa serie, come si vede ad es. qui:
http://www.sectioaurea.com/sectioaurea/sectio_aurea2.htm#MUSICA
la sezione aurea, N : Y = Y : X  (dove N=X+Y ) invece è un rapporto di
proporzioni, scoperto già anticamente da Euclide che venne usato -
scultura greca ad es - per la sensazione di perfezione che ispira
quando si usi per dosare le proporzioni, ad es degli arti rispetto al
corpo o della massa muscolare, basta guardare il retro della moneta da
un euro della zecca italiana, che rappresenta l'Uomo Vitruviano di
Leonardo:
http://www.hermescuole.na.it/scuole/napvemanuele/proporzioni/arte.htm
il legame tra Fibonacci e Sezione Aurea (circa 1.618) deriva appunto
dal fatto che essa è il limite del rapporto tra due numeri consecutivi
della serie di Fibonacci per N che tende ad infinito
partendo da molto lontano : 
2 : 3 darebbe un rapporto = 1 : 1.5
5 : 8 darebbe un rapporto = 1 : 1.6
man mano che N cresce il rapporto tra due coppie consecutive tende ad
uguagliarsi e a convergere sul valore della Sezione Aurea, ad esempio:
987 : 1597 darebbe un rapporto = 1 : 1.618034
ma anche (approssimando sempre al sesto decimale)
1597 : 2584  darebbe un rapporto = 1 : 1.618034
per cui, con questa approssimazione si può scrivere
987 : 1597 = 1597 : 2584
che è appunto il rapporto di sezione aurea (approx)
(ricordando che 987+1597=2584)
Per quanto riguarda la musica, J.S.Bach usò spesso la sezione aurea
per posizionare il punto di massima tensione: numerando le battute da
1 a N=(X+Y) egli poneva tale punto di massima tensione in posizione Y
(vedi la formula precedente) per cui la lunghezza della parte
precedente il punto di massima tensione risulta in proporzione alla
parte seguente così come la lunghezza totale si rapporta alla
lunghezza della parte precedente.
 
http://www.sectioaurea.com/sdg/klavier%C3%BCbungIIIteil.htm
Ivi si dice anche che la "sectio aurea" è la formula matematica del
Simbolo Niceno ovvero «Dio da Dio, luce da luce, Dio vero da Dio vero»
che costituisce l'essenza del Credo cristiano.
Non ho capito in che modo le due cose siano correlate
se qualcuno lo sa ...
in ogni modo, Gog save the Google ...
. a l l E g r i .
__________________________________________________________
Bocca che bacia
   d'un altra bocca il bacio
         ridondamore
__________________________________________________________

 Cми qualcuno che ci capisce?
Io no, quindi vai qui:
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html#music

appunto in quella pagina dice che anche alla mmusica è applicata la sua
serie di Fibonacci
questo e iinteressante
perchè mi sorge il dubbio che molti compositori ne tenessero conto
perche per spiegare la bellezza di certa musica bisogna andare a scoprire
certi segreti........
stessa cosa vale per i pittori del rinascimento
e mi domando se non c'entri pure Dante visto che è dello stesso periodo
molto molto interessante ......c'è da studiare parecchio
heheheh
ciao

J.S.BACH : "CLAVIER ÜBUNG
L'elemento dato affascinante è dato dalla passibilità di osservare che le
proporzioni formali, così come quelle numeriche, sono esattamente come nella
progressione di Fibonacci: dunque la "sectio aurea" che è la formula
matematica del Simbolo Niceno; con questa significativa formula, Bach
intende esprimere l'idea trinitaria
è una vita che studio musica e queste cose non le sapevo
continuo nei miei studi e vi faccio sapere

 hai scoperto qualche cosa di interessante, mi piacerebbe saperlo.
la notazione , gli accordi, le frequenze sono basati sulla serie di
Fibonacci e quidi sulla Sezione Aurea
detta anche Divina Proporzione
perchè?
approfondisco poi faccio sapere
ciao

membro,
il numero 14 è la somma dei numeri cardinali associati alle lettere
del suo cognome: B=2 + A=1 + C=3 + H=8 
c'è anche il 41 che è la somma ottenuta usando "JS Bach" ed è un 14
letto al contrario (però la I e la J vengono contate come equivalenti
entrambe a 9, quindi J=9 + S=18 + BACH=14) 
non ti dico a cosa corrisponde Johann Sebastian :-)
 
http://www.geocities.com/conniesunday/bachjk.html
Helga Thoene ha scoperto altre notizie come queste e Cristoph Poppen
ne ha ricavato un CD con The Hilliard Ensemble: guarda qui
 
http://www.classical.net/music/recs/reviews/e/ecm61895a.html
tutto materiale stimolante, ma imho esageratamente ingenuo, poiché con
un po' di furbizia si riuscirebbe a dimostrare praticamente qualsiasi
relazione "gematrica" (parola che non so come tradurre)


Nel 1738 Lorenz Christoph Mizler (1711-1778) [1] , dilettante di musica ed
allievo privato di Bach, fondò a Lipsia la Correspondierende Societät der
Musikalischen Wissenschaften, cui più tardi fecero parte tra gli altri
Telemann, Graun, Stölze e Leopold Mozart. Nel 1746 Haendel ne divenne socio
onorario; nel 1747, quale quattordicesimo membro, vi aderì anche Bach.
guarda guarda c'erano un po tutti
 hehehehhhhhhhhhhhh


Ottimo, ma non esaurisce la questione musicale. Premettiamo che
     x_n
   -------  tende ad un rapposto ben definito per n -> infinito,
   x_(n-1)
e questo rapporto e' il numero phi = (1+sqrt(5))/2 = 1.618... ecc ec
Questo numero gode di innumerevoli proprieta', tra cui   1/(phi-1)=phi.
phi, o a volte 1/phi = phi-1 viene chiamato il rapporto aureo e
il punto in cui un dato intervallo viene diviso in parti proporzionali
a 1 e phi viene chiamato la sezione aurea.
Non solo, ma i rapporti sopra scritti convergono MOLTO velocemente
a phi.
Fondamentalmente, si nota che se le sezioni di un pezzo musicale sono di
lunghezze grosso modo in rapporto phi, ovvero la prima e' phi volte
piu' lunga della seconda, e il punto di "unione" corrisponde ad un
culmine o ad un momento comunque cruciale nella costruzione del pezzo,
(quindi si trova nella sezione aurea) allora si avverte un senso di
equilibrio.  Non solo, ma in virtu' del rapporto
   phi : 1 = 1 : (phi-1)
possiamo accostare o inscatolare piu' sezioni di lunghezze che stanno
in questo rapporto, ottenendo altri rapporti di lunghezze legate allo
stesso numero.
Ora, siccome  phi  e' un numero irrazionale, mentre la musica e'
normalmente scritta a partire da elementi "discreti", le cui durate
stanno tra di loro in rapporti razionali (anche se poi cambi di tempo
e rubati stravolgono questi rapporti), detto numero  phi  *deve* essere
approssimato con frazioni.  quindi posso dividere una sezione di
un pezzo in due unita' di, diciamo 21 e 13 battute, ma non 21.012...
e 12.987... battute.  21 e 13 sono numeri consecutivi della succesisone
di Fibonacci e i rapporti tra due termini consecutivi approssimano molto
bene il numero phi come ho detto sopra.
un esempio di inscatolamento puo' essere
   (13 8)  (8 5)
la prima sezione e' divisa in due e anche la seconda. puo' essere
usato per una forma in due tempi nelal quale si vuole dare armoniosamente
una sensazione di accelerazione.
Senza inscatolamento, si possono usare durate proporzionali a
   34 21 13 8
anche se forse e' un caso estremo.  Ligeti, ad esempio, ha mitigato
l'effetto sommando un valore costante, ad esempio, partendo da
21 13 8 5 e sommando sempre 5 abbiamo
   26 18 13 10
che, appunto, non e' piu' una successione di Fibonacci.
L'intera struttura di Continuum per clavicembalo e' basata sull'unione
insiemistica di numerose successioni numeriche ottenute in modo simile.
Rapporti simili sono stati usati, vuoi coscientemente, vuoi per istinto, da
molti altri compositori molto tempo prima.  Si ritrovano in Bach, Mahler,
Bartok.  In Beethoven sono chiaramente istintivi (i taccuini di Beethoven
mostrano che, in effetti, non sapeva fare bene di conto, quindi non ce lo
vedo a fare studi matematici di proporzioni, ma potrei anche sbagliarmi...)
Un autore che ne fatto uno dei fondamenti della propria arte e' il danese
Per Noergaard. In effetti, forse, nessuno  ha usato la proporzione aurea
e le successioni di Fibonacci in modo pervasivo ed efficace quanto Noergaard,
a parte Horatio Radulescu.  Entrambi hanno anche esplorato i giochi combinatori
tra serie di armonici e seuccessioni di Fibonacci.
Altri hanno postato in questo thread dei link che possono permettere
di approfondire ulteriormente la materia, che ho a malapena scalfito.
ciao
  Roberto
-- 
_/  Roberto Maria Avanzi Mocenigo  <><
/  Institut fuer Experimentelle Mathematik / Uni Essen

 
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html#music
mi viene quasi da piangere : apprendo ora che la mia teoria della sezione
aurea in Schubert (ricordate Tito e Pit la discussione sul climax 
della sonata in la maggiore davanti a una pizza in viale Piave ?)
ha un avallo ufficiale, nientemeno che dal Schubert Institute ... 
... ho proprio sbagliato mestiere (:-)
ciao
c.

Fibonacci scopri la sua serie di numeri ponendosi questo problema?
Un contadino chiuse nella sua conigliera una coppia di conigli per avviare
un allevamento. La coppia prese a prolificare dopo il secondo mese generando
una nuova coppia di conigli. Nei mesi che seguirono la coppia capostipite
continuo' a generare regolarmente una coppia al mese, e altrettanto fece
ciascuna delle coppie generate, ciascuna a partire dal secondo mese della
propria nascita. Quante coppie di conigli popolarono la conigliera dopo il
decimo mese se nel frattempo non mori' nessun coniglio?
questa la soluzione
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377...
I termini sono individuati dalla funzione sopra. Se si fa il rapporto tra
due termini consecutivi ci si accorge che al crescere di n il rapporto tende
al valore della sezione aurea:
3/2=1.5
5/3=1.666666
8/5=1.6
13/8=1.625
21/13=1.615
34/21=1.619
fino al valore di 1.61803... che e' la sezione aurea
Dai primi rapporti della serie di Fibonacci possiamo scoprire interessanti
relazioni tra la sezione aurea e l'armonia.
Il rapporto tra 1/1 ci da' la corda intera, l'unisono, (Es. Do1)
il rapporto tra 2/1 ci da' la sua ottava, (Do2 un ottava superiore)
il rapporto tra 3/2 di da la quinta giusta, (nella musica greca la diapente)
(Do, sol)
il rapporto tra 5/3 e' il valore della sesta maggiore (Do La)
D'altra parte, l'intervallo di si sesta minore (tra Mi e Do2), complementare
all'intervallo di terza maggiore (tra Do1 e Mi), ha per misura 5/8, il
termine successivo alla serie di Fibonacci.
.

 del suo cognome: B=2 + A=1 + C=3 + H=8 
Senza contare che l'anno stesso di iscrizione contiene un bel 14.
Ciao,
Paolo
-- 
Paolo Tramannoni
Porto Recanati, Italy

Senza contare che l'anno stesso di iscrizione contiene un bel 14.
beh, a questo punto ne contiene due!
ciao,
florestano

 beh, a questo punto ne contiene due!
Orpo, č vero. Non avevo considerato i due 7 di 1747.


 ... ho proprio sbagliato mestiere (:-)
Carlo, vedo solo oggi questo messaggio.
Ricordo la discussione ma non il dettaglio: di quale movimento si parlava? e
dove collochi il climax?
Bye
Pit

Pit - Pietro Lonati ha scritto nel messaggio ...

parlo (parlavo) del secondo movimento, andantino, che è uno
dei tormentoni che mi perseguitano ... è un movimento abbastanza
atipico, caratterizzato com'è dall'alternanza (in forma ABA) di
una ipnotica tristissima barcarola in fa # minore, che
dopo una ripetizione con raddoppio in ottava lascia il posto
ad una specie di preludio/toccata/rapsodia con aumento
graduale della tensione fino alla sparata di quattro accordi
in fortissimo (due in do # min, due in re maggiore).
Poi, in qualche modo, tutto si appiana, i due caratteri maschile
e femminile vengono a patti ;-) (in un modo che mi
ricorda il tempo lento del 4° concerto di LvB), e la barcarola
iniziale si ripete, con l'aggiunta di un singhiozzo ... va bè
mi rendo conto che bisogna ascoltarla. (vedi PS)
Il climax è raggiunto più o meno poco prima dei due terzi
del pezzo, cosa che ha mi fatto collegare questa caratteristica
con la sezione aurea, che dovrebbe appunto valere poco
 più di 0,6. Tutto qui.
ciao
c.
PS: A proposito, a chi decidesse di ascoltare la sonata
in La maggiore D959 di Schubert su CD consiglio la
versione di Radu Lupu, o se esiste quella di Krystian
Zimerman : lo sentii dal vivo parecchi anni fa e me ne ricordo ancora.
Quella di Wilhelm Kempff, purtroppo non rende assolutamente
il clima di questo monumento : almeno, a me non piace.

 significativo.
Approfitto della pausa del caffe' per raccogliere la sfida e andarmi a
calcolare la sezione aurea di un paio di cosette beethoveniane che adoro.
(Ripeto, sono un ascoltatore cerebrale, la musica di Bach mi da' un piacere
incomparabile, quanto una geniale combinazione scacchistica, ma Beethoven
in certi momenti riesce a intaccare la mia dura scorza e farmi commuovere).
Terza sinfonia, secondo tempo: so gia' dove vorrei arrivare... la' dove i
violini enunciano il tema, ma solo il primo inciso,  interrotto da due
sospiri (sib-sol  re-si), poi, isolato, il lab acuto dei soli violini a cui
risponde, tremendo, il lab all'unisono dei celli e dei bassi, a cui segue
il fortissimo di tutta l'orchestra con trombe e corni che squillano uno
spettrale ritmo di marcia (un punto questo, molto simile a quello  - citato
nel precedente post - dell'inizio della ripresa nel primo tempo della nona.
Inutile dirvi che proprio li'  (247 battute x 0.618 = 152) cade la sezione
aurea.
Arietta della 111. Come sapete meglio di me, il punto piu' emozionante del brano (e
forse di
tutta la musica) e' la' dove, per usare le parole di Thomas Mann nel Doctor
Faustus, " I trilli a catena!... Vi prego di ascoltare come la melodia sia
sopraffatta dal peso degli accordi... diventa statica... il grande
distacco fra il basso e il canto, fra la mano destra e la sinistra, e c'e'
un momento, una situazione estrema in cui sembra che quel povero motivo
rimanga sospeso, abbandonato sopra un abisso vertiginoso - un istante di
pallida elevazione cui segue subito una paurosa umiliazione, quasi un
trepido sgomento per il fatto che una cosa simile abbia potuto accadere."
Inutile che vi dica che li', proprio li' cade la sezione aurea!!!
(177 battute totali x 0,168 = 109).
Nona, ultimo tempo, questa volta. 940 battute: il punto dovrebbe trovarsi
alla 580. Che c'e' li'? Delusione! Siamo quasi alla fine dell'episodio
"Alla marcia". Per me il clou è il "Seid umschlungen, Millionen" e ancor
piu', come il Sancta Sanctorum del Tempio, l'Adagio ma non troppo, ma
divoto: "Ihr stürzt nieder, Millionen".
Altra illuminazione: è sbagliato calcolare le battute, dal momento che il
 metronomo è molto vario: occorre calcolare tutto in base alla durata
dell'esecuzione! Prendo la prima che mi
capita tra le mani: Abbado, total time del IV tempo: 23'56 (=1436'' x 0,618
= 887"") = 14' quasi 15' . Ficco il discchetto nel cdpalyer, pause, faccio
scorrere fino a 14 minuti .... SEID UMSCHLUNGEN, MILLIONEN !!!! Coro e
tromboni mi sommergono, e al quindicesimo minuto arriva l'Adagio divoto....
Mia moglie è emozionata fino alle lacrime.
ciao
Giacomo

Mi sembra che una volta a Radio 3 abbiano detto che qualcuno aveva
scoperto relazioni con la serie di Fibonacci nel terzo movimento della
sonata per due pianoforti e percussioni di Bartòk (e addirittura in
una canzone dei Genesis...)
di più non saprei
CIAO,
Giulio


 il clima di questo monumento : almeno, a me non piace.
RIguardo al secondo movimento, Pollini ci mette un minuto di più, ma con
questo tempo più lento la prima parte, coi suoi fa# ripetuti, diventa
incantatoria (del tutto arbitrariamente, mi fa un pò l'effetto de La
cathédrale engloutie). Invece Lupu usa pochissimo pedale e con un tempo più
veloce fa percepire già tutta la tensione che esploderà. L'ultimo movimento
mi sembra troppo un tema da lied. Ma non ho trovato nessun riferimento (a
parte che l'aveva già usato nella D537).
Ciao    Mr Duffy

belle queste spiegazioni
io sono sicuro che anche Beethoven conoscesse benissimo la progressione di
Fibonacci
anche se sembra non fosse molto forte in matematica
credo che facesse parte del bagaglio di ogni musicista anche magari senza
conoscere chi fosse Fibonacci
in pratica la matematica fa da base alle principali arti cioe Musica
Architettura, Pittura ecc,
queste basi risalgono alle conoscenze degli antichi Egizi, della Kabala,
roba per iniziati
continuerň i miei studi
grazie
ciao

Mia moglie è emozionata fino alle lacrime.
Come e' bello ritrovare parte delle proprie memorie!
Grazie
Giamber
giamber AT lombardiacom DOT it
punto e virgola trattino chiusa parentesi

 dei tormentoni che mi perseguitano
Adesso mi ricordo tutto. Hai ragione, quello č il punto di massima tensione,
un grido davvero angosciante.
Quanto alle esecuzione, non bisogna perdere quella di Rudolf Serkin,
dovrebbe circolare in esdizione economica.
Un bacio alle bimbe.
Bye
Pit

Se qualcuno fosse in vena di calcoli, mi faccia sapere.
Oltre agli esempi che hai citato in Beethoven, guarda caso l'ultimo
Beethoven, aggiungerei qualcosa che riguarda le 33 Variazioni su un
valzer di Diabelli (a proposito che ne è del progetto che hai lanciato
su IAMC qualche tempo fa?). L'arcana Variazione XX, che è punto di
volta delle Variazioni, è disposta proprio in modo da formare una
sezione aurea. Considerando il valzer iniziale abbiamo infatti:
34 : 21 ~ 21 : 13
E questo è un fatto. Invece sono d'accordo con te che si tratta
(probabilmente) di processi inconsci, o addirittura casuali. Beethoven
era attentissimo all'aspetto "organizzativo", e le Variazioni Diabelli
sono una vetta di organizzazione musicale; ma in che senso lo era? In
senso architettonico, in cui la forma è struttura, oppure logico, in
cui la forma si crea nel tempo, come processo? L'esoterismo
beethoveniano, che è comunque presente in parecchia sua musica, è
molto lontano da quello bachiano e, almeno per quello che riesco a
comprendere io, molto meno decifrabile (ma più affascinante).
Poi si può anche giocare con i numeri e per esempio notare - i fan
beethoveniani di Tolkien l'avranno ovviamente già sgamato - che "la
festa a lungo attesa" con cui ha inizio La Compagnia dell'Anello,
momento in cui simbolicamente avviene il passaggio di consegne da
Bilbo a Frodo, accade quando il primo compie 111 anni e il secondo 33.
Ora, lo dico citando il Kinderman, l'Arietta con variazioni
dell'op.111, influenzata dal progetto delle Diabelli, diventa a sua
volta il modello per l'ultima delle variazioni sul valzer di Diabelli.
Ultima di una serie di allusioni, questa variazione si proclama in
modo autoreferenziale punto di convergenza di un capolavoro la cui
portata spazia dall'ironica caricatura alla sublime trasformazione di
un banale valzer. Insomma, anche qui un passaggio di consegne.
Ecco, qualche parola in libertà... :-)
ciao,
hg

sonata per due pianoforti e percussioni di Bartňk 
piů che altro, sistematicamente (e significativamente) in tutte le sue
composizioni maggiori.
il testo di riferimento principale č un articolo di Lendvai (tradotto
sulla "nuova RIVISTA MUSICALE ITALIANA", 1982)
ciao
T