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Titolo: UNA DOMANDA..SEMPLICE SEMPLICE

 Sin da Pitagora, l'uomo ha dovuto fare i conti con la " sezione aurea ", il
numero misterioso 1,618, ed altre " stranezze " come quelle introdotte dal
monaco Pisano Fibonacci con la sua successione di numeri dove ogni cifra e'
data dalla somma delle due precendenti, che a partire dal settimo numero
riprende di nuovo e all'infinito il rapporto 1,618.
Tale enigmatico rapporto esiste anche in natura ed e' ben noto ai botanici
che lo hanno riscontrato -pare sempre- nelle misure delle foglie e
addirittura nella spirale logaritmica con la quale sono " sistemati " i semi
di girasole sulla pianta, per non dire nella costruzione della cattedrali (
ed anche del Nuraghe di Barumini  ben antecedente alle cattedrali ed allo
stesso Pitagora !!! ).
La domanda semplice semplice che faccio...sono tre ( com la rigorosa premessa 
che io non conosco NULLA della scrittura musicale) :
- Esiste tale rapporto anche nella musica ed e' possibile
esprimerlo,spiegarlo a 
profani come me?
-Se esiste,puo' tale rapporto essere la chiave per l'armonia e l'equilibrio
supremi che nella musica riscontriamo ? (quando dico armonia parlo sempre da
profano,attenti, forse sarebbe meglio dire armoniosita' )
-Tale rapporto e conseguente  armonioso equilibrio e' ancora presente nella
musica contemporanea ? ( Se non lo fosse potrebbe essere chiaro come il sole
perche' la musica " disarmonica " non ci piace o ci e' difficile da
accettare, semplicemente perche' e' contro natura. Ma non voglio anticipare
un thread che potrebbe essere interessante ).
Cesare Simonetti
DALLA GENOVA PROFONDA
--
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musica contemporanea ? 
Penso di si'.
Ciao
Giulio Peruginelli
lone...@sysnet.it
"Al cospetto di questa meravigliosa opera d'arte
dimentico ogni altra cosa e mi elevo al di sopra di
me stesso per contemplarla come le si conviene."
J.J.Winckelmann
Se volete scrivermi in privato rimuovete i numeri 5
dall'indirizzo e-mail.

 La domanda semplice semplice che faccio...sono tre
Le risposte alle tre domande:
1) Boh?
2) Boh?
3) Boh?
Chiaro, no?
(battutacce a parte, son curioso anch'io...)
--
Ciao !
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Marco Marcelli - Genova
E@mail1: 
marco.m...@elsag.it
 (ufficio)
E@mail2: 
marc...@money.it
   (casa)
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 profano,attenti, forse sarebbe meglio dire armoniosita' )
Esiste, esiste! E dato che prima di capirlo ero un profano anch’io, non
vedo perchè non debbano capirlo anche gli altri.
Nella musica, come in architettura e in generale in tutte le creazioni
artistiche, è *costantemente* presente.
Ne  troviamo a ogni piè sospinto appena ci accingiamo nell’analisi di un
brano musicale visto nel suo svolgersi nel tempo.
Qui, dagli esempi più minuti fino ad abbracciare le composizioni più
grandiose, c’è da rimanere stupefatti nel riscontrare la sovrana presenza
di questa “divina proportione” come la chiamavano i rinascimentali o
“Goldener Schnitt” = sezione aurea, come la battezzò nell’800 il matematico
tedesco Ohm.
In pratica succede che le sezioni in cui è suddiviso un brano corrispondono
ai rapporti della sez. aurea o, ancora, che i punti culminanti di un brano
cadono sulla sez. aurea.
Esempio: Bach, Ciaccona. Sono 256 battute in tutto, di cui le prime 8
occupate dal tema. Come suddivide Bach le 248 battute successive? Abbiamo
tre sezioni ben delimitate caratterizzate dalla successione minore -
maggiore - minore (A - B - C ) di 124 - 76 - 48 misure.
Ora, la sezione aurea si presenta con queste semplici relazioni: A = B + C 
e  A : B = B = C .
124 = 76 + 48
 A   =  B +  C
124 : 76 = 76 : 48
  A  :  B =  B :  C
76 : 124 = 0,612   (-0,006)
 B :   A      
48 : 76 = 0,631     (+0,013)
 C :  B
124:200 = 0,620    (+0,002)
 A : A+B
Come potete osservare da questi ultimi tre risultati, il valore esatto
0,618 è raggiunto con una precisione incredibile. 
Breve inciso. Anche il formato fotografico 24 x 36 si avvicina alla divina
proporzione. Porte e finestre del rinascimento sono la dimostrazione
vivente di questo rapporto.
Piero Rattalino, nel suo libro “Il linguaggio della musica - Una guida per
i non esperti - Garzanti - (ben 45.000 lire ma con CD accluso con tutti gli
esempi musicali riportati nel testo), ne parla a proposito della prima
invenzione a due voci, trovando un’infinità di corrispondenze tra sez.
aurea e momenti di maggior tensione (all’apparizione del *diabolus*, per
es.).
Ho voluto per conto mio analizzare un paio di cose: Quinta sinfonia - primo
tempo - 502 battute. Il punto cruciale si dovrebbe trovare alla 310
(502:1,618 = 310 oppure 502 x 0,618 = 310). Vado a vedere e .... delusione!
Ci troviamo alla riesposizione del secondo tema, un punto inoffensivo...
Poi, illuminazione improvvisa: l’esposizione viene ripetuta 2 volte!! Sono
124 battute che si ripetono! Allora: 502 + 124 = 626
626 x 0,618 = 387. Noo!! Non ci posso credere! E’ il punto (almeno per me)
più emozionante di questo incandescente primo tempo. Tutta l’orchestra in
ff ha appena finito di sotterrarti sotto un implacabile tempesta di note,
nel silenzio improvviso, clarinetti, fagotti e corni emettono il fatidico
ta-ta-ta-ta’ con l’ultimo ta’ rivolto in sù,  a mo’ di implorante
interrogativo; una pausa, come si suol dire, densa di tensione, e poi la
spietata, feroce risposta di tutta l’orchestra, il “crudele destino” che ti
schiaccia senza pietà.
Incoraggiato da questo risultato, prendo in mano la partitura della nona.
Anche qui, primo tempo: sono 547 battute. Il punto critico dovrebbe
trovarsi alla battuta 338. Qui invece siamo alla fine di quell’altro
momento epico che è la ripresa (batt. 301) quando l’introduzione viene
ripresentata con tutta la potenza dell’orchestra in fortissimo e col rullo
dei timpani che rendono questo momento uno dei più drammatici che io
conosca (dopo infiniti ascolti, benchè possa definirmi un ascoltatore
piuttosto cerebrale, qui mi vengono i brividi alla schiena). Poi provo a
eliminare quella specie di marcia funebre che ci porta al finale: siamo
alla battuta 513. 
Ora i conti mi danno 317: siamo proprio al clou di questa ripresa, quando
(siamo sempre in questo fortissimo orchestrale) il tema emerge possente in
REm.
Ho guardato il secondo tempo della settima: le prime 100 battute del
sublime allegretto si impennano verso i tre quarti, mentre è sempre verso i
tre quarti di tutto il tempo che abbiamo il ritorno del tema in fortissimo.
Che dire? Non sempre i conti tornano con la massima precisione, come è
successo con Bach, ma è certo che (io credo inconsciamente) ogni artista
disponesse le cose in modo da raggiungere il climax proprio in
corrispondenza della sezione aurea.
Se qualcuno fosse in vena di calcoli, mi faccia sapere.
Ciao
Giacomo
PS. Ho misurato un flauto contralto: testa 188 mm - corpo + piede 285 mm  -
tot. 473 mm 
473 : 285 = 1,659   (+ 0,041)
285 : 188 = 1,515   (- 0,103)
Con un po’ di buona volontà troveremo la sezione aurea anche nella ricetta
per la polenta taragna. Infatti (prendete nota) 1000 g di farina - 618 g di
formaggio - 382 g di burro.!!! 
(1000 : 618 = 618 : 382) Buon appetito!!

La sezione aurea non e' 1.618, ma 0.618.
E' la stessa cosa :-) Infatti 1/1.618 = 0.618
Infatti la sezione aurea e' il risultato dell'equazione:
1/x = x - 1
ovvero x = (rq(5)+1)/2 = 1.618.....
E' molto usata in pittura, molto meno nella musica. Non ha a che fare
niente con l'armonia.
Sono molti i numeri "fondamentali" e quello aureo e' uno dei piu'
antichi. Se non ricordo male venne fuori ai tempi in cui si tentava di
"quadrare" il cerchio. Prima cioe' che vennero formalizzati i numeri
irrazionali.
Questi numeri (pigreco, e, rapporto aureo, feigembaum, ecc. ecc. ecc.)
hanno da sempre indotto molto interesse in coloro che tentarono (o che
tentano tutt'ora) di oggettivizzare la bellezza e l'arte. Questa ansia
di "voler dimostrare" la bellezza della natura e' la stessa che animava
gli alchimisti nella ricerca del rimedio di tutti i mali e i numeri
"magici" sono quello che per loro era la pietra filosofale.
E' un bellissimo modo di passare il tempo ma, come la musica di Mozart,
non serve a nulla :-)))))
Upetepepete
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Vinicio Matteucci
Pistoia, Italy
vi...@sirius.pisa.it
-----
Conta solo non essere coinvolti
e trascinati via da cio' che si dice:
e si potra' poi dormire tranquilli.

Le tue osservazioni sono tutte interessantissime ma la domanda sorge
spontanea:
Negli esempi musicali che tu citi la sezione aurea capita per caso (o
per forza naturale) oppure Bach (o Wagner nel preludio del Lohengrin)
hanno sistemato le cose proprio in virtu' della sezione aurea?
Io credo molto nella seconda ipotesi.
Quando studiavo disegno a scuola il mio professore voleva che si
riquadrasse il foglio in rapporto aureo. Inoltre consigliava sempre di
dimensionare le forme presenti nel disegno all'interno di rettangoli
aurei. Questa cosa mi ha profondamente segnato e ancora adesso, ogni
volta che devo "inventarmi" un rettangolo, cerco sempre di farlo aureo.
Le presentazioni commerciali che io faccio per la mia societa' sono
un'apoteosi di sezioni auree.
Secondo me se mi avessero detto che la bellezza era in rapporto 1.414
invece che 1.618 avrei agito di conseguenza.
ciao



Solo grazie alle faccine finali non ti e' ancora successo nulla...:-)
--
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Marco Marcelli - Genova
E-mail1: 
marc...@money.it
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marco.m...@elsag.it
 (ufficio)
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spontanea:
eccetera eccetera eccetera
Ieri sera fra amici si discuteva di arti divinatorie. Leggendo il
bellissimo racconto di Andreola mi sono ritornate in mente le
considerazioni che abbiamo fatto. Abbiamo fatto i tarocchi ed io ho
tirato una carta che mi ha dato una risposta di un certo tipo. Subito
dopo abbiamo fatto le Rune, preziosamenete fatte a mano dal nostro
ospite e "miracolo" la runa che ho tirato su dava risposte pressoche'
coincidenti con quelle che mi aveva dato la carta dei tarocchi. 
Non mancava, naturalmente, l'amica scettica e rigorosamente matematica
che sosteneva che ognuna delle risposte dei tarocchi e delle rune si
sarebbe naturalmente potuta adattare a ciascuno di noi. 
Sono vere, naturalmente, entrambe le cose. 
Ecco perche' non sono daccordo con te quando scrivi che secondo te i
musicisti lo facevano "necessariamente" apposta. Io sono propenso a
credere che anche tu, molte volte ti accorgi di avere fatto le sezioni
auree nelle tue presentazioni anche dopo averle fatte. Diciamo.
appunto che sono vere entrambe le possibilita'.
Giov.Diemme
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Va', vecchio John, va
va per la tua via.
Verdi-Boito: Falstaff atto III, parte II
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Giovanni De Merulis
deme...@sun.iss.it

 
Uhmmmmm.... tu pensi veramente che uno stia li' a comporre e si metta a
contare le battute per "piazzare" il pathos all'altezza della sezione
aurea? (E che, implicitamente, gia' conosca la durata totale per poter
posizionare le cose secondo regola?).
Non sara' forse piu' semplice l'ipotesi secondo cui certe durate, certe
proporzioni (tanto nello spazio che nel tempo) sono piu' naturali e
spontanee di altre e che sia l'autore che l'esecutore le concepiscano
senza una consapevolezza vera e propria?  
Ciao
Giorgio
-- 
Giorgio Capuani
Dipartimento di Chimica   -   Universita' "La Sapienza"
Piazzale Aldo Moro, 5     -   00185 Roma
voice: ++39-6-4991 ext. 3708/3576   fax: ++39-6-4455278 
E-mail: 
cap...@axrma.uniroma1.it
 
man...@nmrserv.chem.uniroma1.it

ovvero x = (rq(5)+1)/2 = 1.618.....
No. Ovvero: x=(sqrt(5)-1)/2 = 0.618.
Altrimenti come spieghi il fatto che la sezione aurea sia presa
considerando un segmento di lunghezza unitaria 1??


A differenza di pittori, architetti e scultori,
le cui opere hanno estensioni spaziali;
compositori, musicanti e affini
praticano un’arte che sviluppa le sue trame in senso per lo più
temporale.
Le misure di spazio sono nella pratica molto più semplici di quelle di
tempo, sia perché lo strumento orologio è molto più complesso del
righello, sia perché il tempo in musica è squisitamente ‘ritmico’,
dotato cioè di scansioni temporali regolari. Questa scansione avviene,
in modo alquanto istintivo, per intervalli temporali che i matematici
moderni chiamano ‘razionali’. Un numero ‘razionale’ è un numero
ottenibile come rapporto tra due numeri ‘interi’ (…-3,-2,-1,0,1,2,3…).
Dal vocabolo greco antico ‘arithmos’(numero), che ha etimo assonante ed
intimamente correlato a ‘rythmos’(ritmo, cadenza),  deriva il termine
‘Aritmetica’ che è appunto la scienza dei numeri ‘interi’ e dei loro
rapporti, ovvero dei ‘razionali’.
Sta di fatto che il numero Radicalcinquemenounofrattodue, il numero cioè
che esprime il rapporto aureo, è un numero ‘reale’, non ‘razionale’, e
dunque non contemplato nel campo dell’aritmetica, né tantomeno è un
numero ritmico, non essendo cadenzabile.
Tutto ciò ha comportato che mentre nelle arti visive, quelle che hanno
estensioni spaziali, si è potuto giocare a piacimento con  rapporti
‘reali’ quale la sezione aurea, e infilarla un po’ dappertutto come
prezzemolo fresco; nella musica non si è trovato di meglio che qualche
imbarazzante e approssimato compromesso che ha portato ad una
suddivisione piuttosto imprecisa delle battute di uno spartito in
sezioni solo lontanamente ammiccanti  ai rapporti voluti.
E non poteva non essere così per il fatto che il numero delle battute di
un qualsiasi spartito è per forza di cose intero o al più semiintero,
mentre il rapporto aureo non è in nessun modo ottenibile come rapporto
di interi o semiinteri.
A mio parere queste argomentazioni sono sufficienti ad asserire che la
‘divina proporzione’ non è un punto di cruciale importanza  nell’armonia
musicale! Lo è certamente nell’architettura, nella pittura,
nell’astrologia e nella antropologia.
In un certo senso è però possibile attribuire alla musica una sua
spazialità: possiamo infatti stabilire una corrispondenza biunivoca tra
le note prodotte dalle porzioni poste in libera oscillazione di una
corda di tensione e sezione costante, e le lunghezze di queste porzioni
(Giacomo Andreola non ne avrà a male se parlo di corde perché sa
benissimo che un discorso analogo può esser fatto per qualsiasi oggetto
che si estenda longitudinalmente e che abbia la capacità di vibrare
perpendicolarmente alla direzione longitudinale, dunque anche la colonna
d’aria all’interno di un flauto). Questo è vero perché la corda vibrante
sarà fissa agli estremi, ragion per cui la vibrazione non potrà avere
qualsiasi lunghezza d’onda, ma le sole lunghezze d’onda possibili
saranno quelle che agli estremi prevedono dei nodi. La lunghezza d’onda
fondamentale, cioè la maggiore consentita,  avrà valore esattamente
doppio rispetto alla lunghezza della corda, e contraddistinguerà
tonalità e altezza della Nota prodotta.
E a questo punto si ritorna all’annoso discorso sui temperamenti:
non so se sia mai stato formulato un particolare temperamento in cui un
intervallo corrisponda un rapporto ‘aureo’ di lunghezze d’onda (pari al
rapporto inverso tra le frequenze), che dovrebbe suonare più o meno come
una quinta aumentata un po’ crescente.
Se non è stato ancora fatto, nulla vieta l’amico Cesare, o chi per lui,
a sbizzarrirsi  nel reimpostare le fondamenta dell’armonia musicale
sulla base di un più onnivalentemente ‘naturale’ rapporto aureo.
Sono certo che ne verrebbe fuori qualcosa di molto interessante.
Ciao,
         Fabio
P.S.
Quand’è che inizia il thread sui temperamenti ?

senza una consapevolezza vera e propria?  =
Vorrei avere il tempo per studiare il fenomeno. Se ce l'avessi studierei
l'arte prima della sezione aurea. L'arte egiziana, quella precolombiana,
quella cinese, quella greca e altre ancora. Le studierei per ricercare
l'occorrenza del rapporto aureo. Il mignolo mi dice che troverei poco
materiale statisticamente significativo a "favore" della sezione aurea.
Altra considerazione: se il rapporto tra le durate dei segmenti musicali
ante e post "climax" fosse cosi' importante per la "bellezza oggettiva"
del brano, mi potete spiegare perche' il 99% delle composizioni non ne
tiene conto? Insomma, per ogni brano "aureo" ne trovo cento "non aurei".
Ciao


Caro Giacomo, sei come la nonna di ACE
( la nuova, presumibilmente quella materna,
poiché quella che c’era una volta, suppongo la paterna, è morta!):
da te c’è sempre da imparare!!!
                    ;-)))
Peccato che tu non abbia la malsana abitudine di rovistare in quella
putrescente pestifera pattumiera che è la televisione!!!
Ciao,
         Fabio

Mannaggia all'ignoranza!! Che diavolo e' il feigembaum ???????
Beh, e' forse il numero piu' "magico" di tutti perche' si ripresenta
costantemente nei fenomeni fisici. Ha ovviamente una spiegazione
matematica ma non deriva da speculazioni matematiche, e' fortemente
legato all'osservazione della natura.
Il numero di Feigembaum compare costantemente nei meccanismi di
transizione al caos di sistemi fisici. Quando un sistema ordinato viene
stressato per portarlo in turbolenza la transizione verso il caos
avviene attraverso un insieme infinito di soglie in progressione
geometrica. Il rapporto degli intervalli vale sempre 2,6.... che e' il
numero di Feigembaum, cosi' chiamato dal nome del fisico che lo scopri'
negli anni settanta.
La cosa affascinante e' che questo numero ricorre in tutti i fenomeni
fisici di turbolenza. L'acqua che bolle, la fibrillazione cardiaca, la
turbolenza idrodinamica, i macrosistemi socioeconomici, e cosi' via.
Il mio correlatore, a Pisa, che era un appassionato di musica e si
divertiva con la musica (strettamente) atonale, ha anche composto dei
brani musicali che effettuavano transizioni verso la turbolenza.
Erano di una bruttezza stupefacente. Potevi metterci tutte le sezioni
auree che volevi, potevi anche infilarci il pigreco e lo "e". Ma brutte
come il peccato rimanevano.
Upetepepete


 posizionare le cose secondo regola?).
Giorgio, sono perfettamente d'accordo con te.
Mentre il dubbio potrebbe - per dirla alla Lubrano - sorgere spontaneo in
Bach, per il quale la musica aveva ANCHE una valenza di rigore matematico,
io escluderei nel modo piu' assoluto che il quasi "romantico" Beethoven
avesse questo pensiero.
Ma ce lo vedete Ludwig Van a fare calcoli cerebrali, lui, che quando doveva
insegnare la tecnica pianistica all'allievo di turno non diceva ne AH ne'
BAH se questi sbagliava un accordo, ma si incavolava come una jena se con
ci metteva il pathos giusto?
Uno cosi' a fare dei conti aritmetici???
Li faceva, certo, ma solo per licenziare la domestica di turno!!!
Chiedo scusa a Giacomo Andreola, che ha raccontato la sua scoperta della
sezione aurea nelle partiture con un brio degno di un grande letterato
(dico sul serio, ha una prosa avvincente), ma secondo me il tutto ha la
stessa importanza di un quesito con la Susy. Volendo si puo' far tornare
qualunque conto.


avesse questo pensiero.
Posso fare una domanda allora?
Potete citarmi per favore le composizioni di Beethoven in cui interviene
la sezione aurea? Sono curioso di vedere se e' un numero statisticamente
significativo.
grazie


considerando un segmento di lunghezza unitaria 1??
Mi arrendo. 
Mi sembra quella dell'omone alto e dell'omino basso. Quello alto e' alto
il doppio di quello basso dice vinix. No dice Julius, e' quello basso
che e' la meta' di quello alto.
Upetepepete


 significativo.
Approfitto della pausa del caffe' per raccogliere la sfida e andarmi a
calcolare la sezione aurea di un paio di cosette beethoveniane che adoro.
(Ripeto, sono un ascoltatore cerebrale, la musica di Bach mi da' un piacere
incomparabile, quanto una geniale combinazione scacchistica, ma Beethoven
in certi momenti riesce a intaccare la mia dura scorza e farmi commuovere).
Terza sinfonia, secondo tempo: so gia' dove vorrei arrivare... la' dove i
violini enunciano il tema, ma solo il primo inciso,  interrotto da due
sospiri (sib-sol  re-si), poi, isolato, il lab acuto dei soli violini a cui
risponde, tremendo, il lab all'unisono dei celli e dei bassi, a cui segue
il fortissimo di tutta l'orchestra con trombe e corni che squillano uno
spettrale ritmo di marcia (un punto questo, molto simile a quello  - citato
nel precedente post - dell'inizio della ripresa nel primo tempo della nona.
Inutile dirvi che proprio li'  (247 battute x 0.618 = 152) cade la sezione
aurea.
Arietta della 111 (tra parentesi, non ho ancora sentito qualcosa di piu'
sublime).
Come sapete meglio di me, il punto piu' emozionante del brano (e forse di
tutta la musica) e' la' dove, per usare le parole di Thomas Mann nel Doctor
Faustus, " I trilli a catena!... Vi prego di ascoltare come la melodia sia
sopraffatta dal peso degli accordi... diventa statica... il grande
distacco fra il basso e il canto, fra la mano destra e la sinistra, e c'e'
un momento, una situazione estrema in cui sembra che quel povero motivo
rimanga sospeso, abbandonato sopra un abisso vertiginoso - un istante di
pallida elevazione cui segue subito una paurosa umiliazione, quasi un
trepido sgomento per il fatto che una cosa simile abbia potuto accadere."
Inutile che vi dica che li', proprio li' cade la sezione aurea!!! 
(177battute totali x 0,168 = 109).
Nona, ultimo tempo, questa volta. 940 battute: il punto dovrebbe trovarsi
alla 580. Che c'e' li'? Delusione! Siamo quasi alla fine dell'episodio
"Alla marcia". Per me il clou è il "Seid umschlungen, Millionen" e ancor
piu', come il Sancta Sanctorum del Tempio, l'Adagio ma non troppo, ma
divoto "Ihr stürzt nieder, Millionen". 
Altra illuminazione: è sbagliato calcolare le battute, dal momento che il
 metronomo è molto vario: occorre calcolare tutto in base alla durata  
dell'esecuzione! Prendo la prima che mi
capita tra le mani: Abbado, total time del IV tempo: 23'56 (=1436'' x 0,618
= 887"") = 14' quasi 15' . Ficco il discchetto nel cdpalyer, pause, faccio
scorrere fino a 14 minuti .... SEID UMSCHLUNGEN, MILLIONEN !!!! Coro e
tromboni mi sommergono, e al quindicesimo minuto arriva l'Adagio divoto....
Mia moglie è emozionata fino alle lacrime.
ciao
Giacomo

 
Non mi sembra che si sia in disaccordo, tutto sommato. Se qualcuno
(architetto piramologo, compositore musicante o cuoco polentofilo che
sia) ha un senso delle prorporzioni diciamo "innato" e' facile che
progetti la propria opera tenendo conto, consapevolmente o solo
intuitivamente, della sezione aurea (o di qualsiasi altro rapporto
naturale, magari, ivi incluso radicaldue). Questo fatto non e' soggetto
a leggi statistiche, ben venga il tuo 99%.


in certi momenti riesce a intaccare la mia dura scorza e farmi commuovere).
Vabbe', mi arrendo.
La mia deformazione nasce dall'essere fisico e dalla attenzione che
riverso sul significato dei numeri e sulle dimostrazioni.
A questo punto voglio proprio godermela fino in fondo questa sezione
aurea e ne terro' conto la prossima volta che mi divertiro' con mia
moglie. Sara' una apoteosi di momenti culminanti sistemati nei punti
giusti.
Speriamo solo di non dover stare costantemente a consultare l'orologio!


 divoto "Ihr stürzt nieder, Millionen".
Ma vedi che allora sei TU che, in un modo o nell'altro, vuoi far tornare i
conti???
Per me, ad esempio, il culmine dell'Inno alla Gioia e' proprio nell'episodio
della marcia.
Il che dovrebbe dimostrarti che hai ragione, e invece no: dimostra solo che tu,
per far cadere il punto sublime in corrispondenza della sezione aurea, crei un
ragionamento dal nulla.
No-no-no, la realta' dei fatti, secondo me, e' che il numero 0.618 e' MOOOLTO
vicino al numero 0.666 che costituisce il risultato di 2 diviso 3.
E la "divisione in terzi" e' una regola empirica praticata in ben altri campi.
Per esempio (e qui chiedo aiuto a Dedo) una delle norme per una buona
fotografia e' quella per cui il soggetto e lo sfondo devono spartirsi uno i 2/3
dell'inquadratura, l'altro 1/3.
E' noto che il fotografo dovrebbe dividere mentalmente l'area inquadrata in 9
rettangolini (3x3) e calcolare il soggetto o lo sfondo su 6 rettangolini su 9.
Questo per dire che se e' vero com'e' vero che il numero 3 ha sempre avuto un
valore talvolta mistico, talvolta religioso, il numero 2 e' in noi: abbiamo 2
braccia, 2 gambe, 2 occhi.......
Quindi tutte le combinazioni che coinvolgano rapporti fra 1,2 o 3 sono insite
nella nostra cultura, senza scomodare sezioni auree, equazioni e, soprattutto,
l'idea un po' comica di un Beethoven che prima di scrivere l'Inno alla Gioia,
al quale tra l'altro pensava da tanti anni, abbia fatto conti di questo
tipo!!!!!!!
Scusa la critica, ovviamente e' molto benevola e amichevole.


senza una consapevolezza vera e propria?  =
Devo dire che penso che il rapporto aureo sia pericolosamente vicino
al numero che rappresenta 2/3 (la differenza e' meno del 5%,
decisamente trascurabile). 
D'altra parte la forma sonata ha una struttura decisamente tripartita
(esposizione, sviluppo, ripresa); mi sembra molto facile che la
ripresa (o la frase che introduce la ripresa) inizi circa ad un terzo
dalla fine, battuta piu', battuta meno. 
Devo anche aggiungere che, secondo me, si dovrebbe prendere come
riferimento non tanto il numero di battute delle varie sezioni ma la
loro durata temporale; e qui il problema si sposta dal compositore
all'esecutore, perche' notoriamente la durata temporale delle varie
sezioni dipende dall'interpretazione e non e' funzione lineare del
numero di battute. 
Per concludere, facendo un esempio, forse la IX diretta da
Furtwaengler piace tanto a Marcelli (e' quella o un'altra?) perche' il
direttore la esegue in modo da rispettare il rapporto aureo nella
durata temporale del brano piu' di altri direttori. Chissa'!
Diego
Meglio tacere e dare l'impressione di essere uno sciocco,
piuttosto che aprire la bocca e togliere ogni dubbio.


Naaaaaa !!!!!!
Ho gia' detto cosa penso di questa faccenda.
Il rapporto di 2/3, che anche tu hai citato, e' in qualche modo parte di
noi.
Tutto qui.


>No. Ovvero: x=(sqrt(5)-1)/2 = 0.618.
E a che punto entrano i piatti? (;-D
Scherzi a parte, se la discussione verte sul fatto che si sia usata o no
la sezione aurea nella musica classica non credete che ci dovrebbe
essere qualche trattato di composizione dell' epoca che ne parla?
ciao.
Roberto
E' meglio un uovo oggi e una gallina domani. (anonimo)

transizione al caos di sistemi fisici. 
<cut>
Secondo me ci prende di nuovo per il culo. Ho controllato
sull'enciclopedia (Treccani) e non c'e'. 
Domani lo chiedo al mio prof. di Fisica, e se non lo sa lui sono
cazzotti dietro le orecchie.
Ciao
Giulio Peruginelli
lone...@sysnet.it
'Ille hic est Raphael, timuit quo sospite vinci
Rerum magna parens et moriente mori.'
Pietro Bembo


Mi arrendo. 
Perche'? Prova almeno a spiegarmelo, no?


scorrere fino a 14 minuti .... SEID UMSCHLUNGEN, MILLIONEN !!!! 
No, questa proprio no! Se le altre indicazioni possono andare bene (ma
devo ancora controllare, se permetti) a questa mi rifiuto
categoricamente. Secondo te Beethoven aveva in mente questa cosa????
Ciao


tipo!!!!!!!
Scusa ma, se anche sono d'accordo con te sul discorso sul rapporto
aureo, non lo sono su questo punto. La tua mi sembra una visione molto
romantica del lavoro creativo, come se questo avvenisse perche'
qualcosa esce da una mente come il vapore da una pentola a pressione.
Raramente la *creazione* avviene senza un lavoro preparatorio di
organizzazione delle idee e della struttura stessa dell'opera
(letteraria, musicale, poetica, architettonica); banalizzando, questo
lavoro preparatorio equivale alla famosa *scaletta* che ci facevano
fare a scuola per organizzare le idee nel tema di italiano. 
La *scaletta* deve AMMA prevedere quali saranno i punti critici e
quale sara' il rapporto tra loro, nonche' come l'ascoltatore o il
lettore passeranno (o verranno condotti) da un momento all'altro.
Lo si puo' vedere - ed e' stato fatto - studiando le minute dei
romanzieri e dei musicisti (tra parentesi, Umberto Eco osservava che
l'avvento dei word processor impedira' in futuro di studiare la genesi
artistica degli autori moderni). Un'eccezione significativa era - se
ricordo bene - proprio Mozart, che scriveva di getto senza quasi
correzioni successive.
Per quanto concerne il rapporto aureo, ho il sospetto che la
discussione sia viziata dall'origine, in sostanza che ci sia un
paradosso.
Il rapporto aureo ha un significato comunicativo laddove l'osservatore
percepisce la parte e l'insieme *contemporaneamente*, come avviene in
un ramo, in una conchiglia, in un portale, etc.
In musica, questa percezione contemporanea della parte e del tutto non
avviene; nel momento in cui cantano "Seid umschlungen", per esempio,
noi non abbiamo coscienza dell'intero, cioe' della fine del movimento,
quindi non possiamo percepire che quel punto sia in rapporto aureo con
la durata di un brano che ...  non e' ancora terminato!
E' questo il paradosso a cui mi riferivo.


tipo!!!!!!!
Ci mancherebbe! Proprio perche' è un artista, certe cose penso gli
venissero del tutto spontanee. Siamo noi a posteriori che ci dilettiamo a
scoprire corrispondenze numeriche, affascinati per il fatto di  ritrovarle
nelle espressioni umane e naturali piu' diverse.
Ciao
Giacomo


Devo essermi espresso male. Certo non volevo dire che ogni musicista, se tale,
butti di getto la musica sullo spartito. In effetti solo Mozart e il primo Rossini
facevano cosi'.
Beethoven in particolare era meticolosissimo, quasi maniacale nelle correzioni, e
i suoi quaderni di conversazione lo dimostrano ampiamente.
Io critico - e su questo, in base a quanto dici di seguito, sembriamo essere
d'accordo - l'immissione forzata del concetto di sezione aurea nella musica di un
autore che, pur essendo meticoloso e preciso nel suo lavoro, non aveva certo in
mente un vincolo cosi' etereo ed impalpabile come questo. Non poteva essere nelle
sue corde di pre-romantico un concetto cosi' razionale.
Ciao


cazzotti dietro le orecchie.
Beh, qui sono nel mio campo, visto che ho fatto la tesi proprio sulle
transizioni al caos di sistemi fisici.
Ti assicuro che Feigembaum esiste (cosi' come il suo numero). L'ho pure
incontrato di persona alla Normale di Pisa. E' probabile che la Treccani
non lo citi, questo si. Non stiamo parlando di gente che ha dato
contributi fondamentali alla fisica spettacolo.
Comunque, caro Julius, gli aspetti matematici delle transizioni al caos
sono enormemente affascinanti. Visto che anche tu sei un appassionato di
numeri ne possiamo parlare. Vedrai che ci sono applicazioni carine anche
in campo musicale. Anzi, se tu, o qualcun'altro del gruppo, conosci la
codifica MIDI potrei riesumare i ragionamenti (semplici) che portarono,
a suo tempo, il mio correlatore a comporre musica "turbolente". E magari
inviare i risultati sul gruppo. Mi servirebbe insomma sapere come
scrivere un file MIDI attraverso un programma di composizione musicale.
E con questo chiuderemmo definitivamente il capitolo della "bellezza
matematica" nella musica.
ciao


nelle espressioni umane e naturali piu' diverse.
Bravissimo! Hai colto il punto. O per lo meno dici cio' che io penso. I
numeri sono una schematizzazione della realtà o, se si vuole,
un'astrazione della realta'. Ma non sono la realtà. Sembre banale questo
concetto, ma l'identificazione della rappresentazione con la realta' e'
stato lo scoglio piu' grosso da superare nel pensiero scientifico
moderno. E ancora adesso siamo lontani dalla meta.


transizioni al caos di sistemi fisici.
Cioe', vuoi dire che hai fatto la tesi su te stesso???!!
bella forza.....
============================
Cioran's son
Luca F.Palmieri
ned...@iperbole.bologna.it
============================
"Quando l'Idea si cercava un rifugio doveva essere tarlata se ha trovato soltanto l'ospitalita' del cervello"
(Emil Michael Cioran)
-------------------------

 Uhmmmmm....
Che la stirpe Capuana si costituisca tendenzialmente per cause
squisitamente genetiche di persone cocciute e di testa dura è oramai
noto e probabilmente sarà stato anche dimostrato con analisi
dinamometriche.
Che i chimici siano gente poco raccomandabile, sempre in equilibrio
instabile, barcollante quanto eterno, tra le orbitaliche ineffabili
quanto-astrazioni, che sfuggono vaporose e viscide come saturnaliche
anguille persino all’immaginazione delle menti più fervide,
e la reità più concreta della materna materia, i cui segreti si ostinano
a voler carpire con Edipica tragica tensione,
è anche notoriamente risaputo e, pare, sperimentalmente dimostrato.
Si provi dunque a coinvogliare queste due tremende qualità (la Capuanità
e la chimicofilia) in un unico individuo, se ne otterrà certamente un
pericolosissimo miscuglio infernale la cui frequentazione sconsiglierei
a chiunque.
Eppure la malvagità della Natura ha voluto che di questi mostruosi
obbrobri (nessuno si offenda) ne compaiano in giro nella loro
promiscuità mefistofelica addirittura  plurali epifanie.
Ordunque, mio caro omonimo collega, cosa di tanto irragionevole si
presenta al cospetto delle tue meningi nell’ipotesi secondo cui qualche
emerita elevatissima mente musicale dei secoli trascorsi abbia voluto
intenzionalmente condire l’armonia se non ancora perfetta certo non
ulteriormente perfettibile della sua musica con una meta-armonia avulsa
dal contesto prettamente musicale e ispirata da più generici a
significanti Archetipi ?
Queste tendenze erano piuttosto comuni nelle edificazioni artistiche e
sapienziali dei tempi in cui il “Bello e Sublime”, inteso come trasporto
dell’animo, non era altro per l’uomo che un richiamo divino alla divina
bellezza. Dunque il rapporto aureo, divina proporzione, elemento
archetipico  dell’Uomo-creatura-divina, poteva ben essere volutamente
usato per condire e ‘armonicizzare’ un’opera artistica e conferirgli una
solennità particolare.
E sta di fatto che prima delle rivoluzioni degli elettricisti il
rapporto aureo era assolutamente elemento archetipico di congiunzione
tra l’umano e il divino, a prescindere da quanto si possa oggi non
condividere un tale punto di vista a causa della nauseabonda prosaicità
che infetta e contagia il pianeta.
La sezione aurea è armonia pentagonale e il Pentagono e il numero Cinque
in generale sono Archetipi essenziali dell’Uomo (da ciò le proporzioni
dell’Uomo di Leonardo). Il Cinque è dato dalla fusione del Due e del
Tre,
il Due era considerato un numero planare, numero terrestre;
il Tre era invece un numero curvo, a volta, numero celeste :
                   *                una curva che interseca questi
Tre:        *          *        tre punti rappresenta la volta celeste
Due:         *       *       la retta congiungente i due punti
                                  rappresenta il piano terrestre
La loro somma crea il Cinque, la loro congiunzione il Pentagono.
Nel mito Esiodeo della Teogonia la copula tra Ouranos (Cielo) e Gaia
(=Gea -> geo…, Terra) genera tutte le creature dell’universo. Nella
sistematica numerica di Pitagora il dieci è il numero divino; la sua
metà, il cinque, è il numero umano. E così via dicendo ci sarebbero
migliaia di altri esempi che nemmeno conosco, molti dei quali sono già
stati illustrati in questo stesso thread.
Ora, affinché non mi si dica ancora una volta, parafrasando
parafrasatori Danteschi, -“…ma, tornando alla domanda…”- questa volta lo
faccio senza solleciti concludendo questo mio lungo papiello :
caro omonimo collega, cosa ti rende così perplesso nell’ipotizzare che
Geni del calibro di  GioanSebastiano Bach, costantemente rapiti in
estasi di contemplazione divina, possano aver voluto di proposito
demiurgicamente plasmare le loro opere conferendo loro le stesse
proporzioni che il nostro Plasmatore a Noi stessi ha conferito
e renderle in tal modo, oltre che innegabilmente belle, anche
magicamente consimili a Uomini in Preghiera ?

 venissero del tutto spontanee.
Eh eh, ora siamo perfettamente d'accordo.
Ritengo comunque sensato che, a livello di istinto, un certo prevalere del
rapporto 2/3 rispetto ad altri possibili esista.


stesso Pitagora !!! ).
Come mi pare che anche tu abbia capito, la sezione aurea e' una
categoria estetica, e' una componente del pricipio del bello,
dell'armonia. E' presente in ogni atto creativo, a volte anche in modo
non del tutto cosciente. Cosi' come lo e' la simmetria.
Non e' detto che tutto quanto si crea ne debba essere soggetto. Ma il
nostro gusto tende a privilegiare questo tipo di asimmetria, con
queste proporzioni.
Questo vale per esempio anche per i film, per le opere teatrali, nelle
quali il culmine di solito viene a cadere in quel punto (se cadesse in
un punto diverso ci farebbe sentire che manca qualche cosa), ma anche
per gli oggetti d'uso. Qualcuno, giustamente, citava le dimensioni
dello schermo televisivo, o di quello cinematografico, le dimensioni
di un tavolo, etc.
Probabilmente si tratta solo di una delle categorie della nostra
cultura, che tuttavia e' entrata nel gusto, e che noi definiamo come
armonia delle proporzioni.
Ciao
Rudy
Rodolfo Canaletti
 
lil...@ns.altrimedia.it
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If the doors of perception were cleansed everything would appear to man as it is: infinite.
                                                                             William Blake
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