Newsgroup: it.arti.musica.classica
Titolo: TEMPERAMENTO

TEMPERAMENTO 1
Prefazio: ai tre amici interessati alla questione, suggerirei di stamparsi
diligentemente la spatafiata che segue per poter tenere sott'occhio tutto
quanto, numeri e tabelle comprese, senza dover saltabeccare qua e là alla
ricerca del dato sfuggito di mente.
 
“Clavicembalo ben temperato”: alzi la mano chi, sentendo per la prima volta
questa espressione, non è riandato ai bei tempi della scuola elementare,
quando, per sgranchirsi un po' le gambe, si ricorreva al trucco di andare
al cestino per temperare la matita spuntata di proposito (nel caso la
maestra avesse voluto controllare...).
Profumo di cedro, fragili festoni di legno, polvere di grafite che anneriva
le dita: questo era il “temperamento”.
Ora, per entrare nella giusta prospettiva, dobbiamo abituarci ad associare
al termine TEMPERAMENTO concetti quali TEMPERANZA (quarta virtu' teologale)
e CONTEMPERARE (esigenze opposte), riferiti a un problema pratico: la
costruzione di una scala musicale da applicare all'accordatura di uno
strumento.
Clavicembalo “ben temperato” significa quindi clavicembalo accordato
secondo i migliori compromessi, senza esagerare (temperanza!) nel rendere
troppo belli (puri) alcuni intervalli a scapito di altri; insomma,
accordato “temperando” gli eccessi, aggiustando i vari intervalli senza
privilegiare nessuno.
Sorgono spontanee alcune domande: ma perchè occorre temperare? Che c'e' che
non va negli intervalli?
Non si potrebbero avere tutti quanti “belli”?
Se per intervalli “belli” intendiamo PURI, NATURALI, la mia entusiastica
risposta e' NO!
Prima di entrare in medias res propongo, a chi di temperamenti fosse del
tutto digiuno, questa similitudine per dare un'idea del problema sul quale
si sono rotta la testa generazioni intere di matematici-musici.
Pensate se in mondo dei numeri si basasse su queste due incontrovertibili
verità: 4 x 5 = 20  e 
4+4+4+4+4= 19.  Roba da passar le notti in bianco per cercare di venirne a
capo. Alla fine qualcuno (Pitagora) terrà buono il primo risultato,
infischiandosene del secondo, qualcun altro  optera' per il secondo: alla
fine si metteranno tutti d'accordo sul 19, 5 
In queste chiacchierate vorrei partire dalla costruzione della scala
naturale, per poi analizzare i temperamenti di Pitagora, Zarlino, il
mesotonico,  un paio di temperamenti in uso al tempo di Bach, temperamento
equabile.
SCALA NATURALE
Per proseguire, darei per scontato il significato di suono, altezza,
intensita', timbro, frequenza, teoria degli intervalli mentre vorrei
chiarire quello di ARMONICO.
Dicesi armonico... lasciamo perdere le definizioni e facciamo invece alcuni
semplici esperimenti: 
1.	Suoniamo con vigore una nota piuttosto bassa, per esempio un DO1
(ricordo che DO3 è il DO centrale della tastiera del pianoforte), su un
piano o, meglio ancora su un cembalo o una spinetta. Se tendiamo l'orecchio
(la cosa va fatta alle 2.40 di notte, nel silenzio più fitto), man mano che
il suono fondamentale andra' spegnendosi, potremo avvertire altri suoni, o
per lo meno dovremmo sentir emergere un altro suono che non e' il DO.
Dovrebbe essere il SOL2. 
2.	Prendiamo un trombone, o un bombardino, o una tromba e suoniamo senza
toccare i pistoni. Dalla (con rispetto parlando) scorreggia che ne uscira'
soffiando con la massima rilassatezza, noteremo che premendo e serrando
sempre più energicamente il labbro contro il (sempre con rispetto parlando)
bocchino e aumentando la pressione del fiato, usciranno suoni sempre piu'
acuti. Quando da paonazzi state diventando indaco-viola e le vene del collo
vi stanno per scoppiare e' meglio smettere e accontentarsi  dei sette o
otto suoni che siete riusciti a produrre.
Questi suoni ottenuti uno dopo l'altro non sono altro che gli armonici del
primo, quello fondamentale. Con la tromba possiamo sentirli anche uno dopo
l'altro; la corda pizzicata ce li da' tutti insieme, naturalmente con
intensita' molto diversa: la fondamentale in ff, le armoniche in pp, ma non
tutte egualmente pp. E' proprio dalla diversa intensità delle armoniche che
nasce il timbro, cioe' il diverso colore che ha il suono prodotto da
strumenti diversi. Ogni strumento, a causa della sua forma e dei materiali
di cui e' fatto esalta certe armoniche a scapito di altre, e questo crea
appunto il timbro.
Se misuriamo la frequenza di questi suoni saremmo felicemente colpiti dal
fatto di osservare una bella serie di numeri tondi, multipli uno
dell'altro. Poniamo che il primo suono, quello fondamentale (e primo
armonico) abbia una frequenza di 100 Hz e che questo, per semplificare il
discorso, corrisponda al DO (in verita' un DO2 ha una frequenza di circa
132 Hz). La sequenza delle note ottenute (armonici) e relativa frequenza e'
la seguente:
1.	   100	DO1
2.	   200	DO2
3.	   300	SOL2	
4.	   400	DO3
5.	   500	MI3
6.	   600	SOL3
7.	   700	SIb (calante)
8.	   800	DO4
9.	   900	RE4
10.	 1000	MI4
ecc. ecc..
Questo e' quanto ci fornisce madre natura: noi, figli degeneri, da due
secoli teniamo per buono un solo rapporto: quello di ottava, che oggi come
da che mondo e' mondo, si raddoppia di volta in volta.
Ora, ragionando sui dati che abbiamo, possiamo ricavare alcune interessanti
osservazioni.
1.	Tra le prime 10 armoniche mancano tre note della scala diatonica. Dire
quali e perche'.(…) Il perche' non lo so, ma mi preoccupa l'assenza del FA,
del LA e del SI. (Un FA di molto calante sbuca fuori alla 21° armonica, il
LA alla 27°, il SI alla 15° )
2.	Alcune sono calanti (o, cambiando accidente, crescenti). Ma rispetto a
cosa? L'ho appena detto che le uniche che si salvano sono i DO. Rispetto al
nostro sistema temperato tutte le altre sono fuori. Appena parleremo dei
Cents, vedremo di quanto. Quella indicata calante è fuori da ogni sistema.
3.	La 4°, la 5° e la 6° armonica formano la triade perfetta dell'accordo
maggiore. Ecco la risposta a chi  si chiedeva l'origine di certi accordi
definiti “piacevoli” .
4.	Con le frequenze fittizie che ho usato, anche il debolino in aritmetica
riuscira' a cavare i rapporti esistenti tra i vari intervalli.
DO2   : DO1 =   200 :  100 =    2:1 = rapp. di ottava 
SOL2 : DO2 =   300 :  200 =    3:2 = rapp. di quinta
MI 3   : DO3 =   500 :  400 =    5:4 = rapp. di terza magg.
RE4   : DO4 =  900  :  800 =    9:8 = rapp. di seconda magg.
Con questi dati in mano potremmo provare a costruire una scala, basata sui
suoni maturali. Con un po' di fantasia la chiameremo SCALA NATURALE.
nota	fraz.	rapp.	Hz
DO	1	1	200
RE 	9/8	1,125	225
MI	5/4	1,25	250
FA
SOL	3/2	1,5	300
LA
SI
DO	2/1	2	400
Ci dovremo convincere che queste sono le note “giuste”, dal momento che
questi suoni e relative frequenze sono “prodotti naturali”. Dobbiamo
partire da questi dati se vogliamo completare la nostra scala.
Prima pero' di trovare il FA e il LA e il SI, diamo una controllatina a
quello che gia' abbiamo a disposizione: non mancheranno le sorprese!
Osserviamo DO-RE = 9/8 =1,125 e rifacciamo i conti: 200 x 1,125 = 225. OK.
Rifacciamo lo stesso con RE-MI:  225 x 1,125 = 253,125
O bella! Ma il MI non era a 225 Hz precisi?
Questo MI risulta piu' alto del MI “vero”. Dobbiamo concludere che in
questa scala non tutti i toni sono uguali: esistono i TONI  GRANDI (DO-RE)
e i TONI PICCOLI (RE-MI) e che il rapporto del tono piccolo e' 
250 : 225 = 1,11111… periodico. 
Proseguiamo pure, ma intanto un dubbio comincia a roderci dentro: non tutto
va liscio in questa scala cosiddetta “naturale”.
Intervallo di terza: quello maggiore e' gia' lì; quello minore lo troviamo
subito: SOL / MI  =  300/250 = 6/5 = 1,2
Intervallo di quarta: DO/SOL = 400/300 = 4/3 = 1,3333… periodico (vedo gia'
Pitagora sull'orlo di una crisi isterica, lui che pensava che tutto si
potesse rappresentare con un numero…).
Anche la quarta SOL/RE si basa su questo rapporto? Vediamo:  300/225 =
1,3333… Va bene.
Dobbiamo trovare le tre note mancanti: FA, LA e SI.
Ammaestrati dall'esperienza precedente, ci converra' procedere circospetti.
Sì, perche' il FA non e' solo la terza min. di RE, ma anche la quarta di
DO, quinta discendente di DO e la seconda di SOL nonche' la terza magg. di
LA e altro ancora.
Lasciamo da parte quest'ultimo caso, visto che non abbiamo il LA e proviamo
con gli altri:
FA  terza min. di RE      225 x 1,2     =  270
FA  quarta di DO           200 x 1,333 =  266,666..
FA  seconda di SOL      300 : 1,125  =  266,666… (tono grande)
FA  seconda di SOL      300 : 1,111..=  270        (tono piccolo)
FA  quinta di DO           400 : 1,5      =  266,666..
Quale vogliamo tenere per buono? Vince il 266,666… per 3 a 2. Un momento,
pero': come la mettiamo con FA terza min. di RE? Se il FA vale 266,666…
allora il rapporto di terza minore non e' piu' 1,2 bensì 
266,666… : 225 = 1,185 periodico. Come si spiega cio'? Sentiamo Giulio.
-Il fatto e' – signor maestro - che tra SOL e MI c'e' il tono grande
FA-SOL, mentre tra RE e FA si intrufola il tono piccolo RE-MI -.
- Bravo! 7+  
Per oggi basta. Mettete via e per compito trovatemi le frequenze del LA e
del SI, seguendo l'esempio del FA che abbiamo fatto alla lavagna.
 
Buon lavoro.
Giacomo
 
 

 potesse rappresentare con un numero).
Be', Pitagora sarebbe contento: lui amava i rapporti razionali (cioe' le
frazioni). Quello che non sopportava sono i numeri irrazionali (ad es.
radice di 2); visti come numeri decimali, questi NON sono periodici.
Quindi, il temperamento equabile NON sarebbe decisamente piaciuto a
Pitagora!
Saluti.
M.
-- 
Per rispondere: sostituire "nobody" con "frigeni" nell'indirizzo email.

del SI, seguendo l'esempio del FA che abbiamo fatto alla lavagna.
LA  terza magg. di FA   266,666… x 1,25 = 333.333…(tono piccolo)
           oppure                            270 x 1,25 =  337,5
(tono grande)
LA  quinta di RE                         225 x 1,5 =  337,5
LA  seconda di SOL               300 x 1,125  =  337,5       (tono
grande)
LA  seconda di SOL               300 x 1,111..= 333.333…(tono piccolo)
Se accettiamo per buona la freq. 337,5  , allora il rapporto
caratteristico della sesta sarà 27/16; cioè il LA rispetto al DO sarà
il prodotto del LA rispetto al RE (quinta) e del RE rispetto al DO:
prima per quinta = sesta:
 9/8  x    3/2        =  27/16 = 1.6875
infatti 337,5 : 1,6875 = 200 (freq. Attribuita al DO)
Per quanto riguarda il SI:
SI  terza magg. di SOL     300 x 1,25              =  375
SI  seconda di LA             337,5 x 1,125         =  379,6875… (tono
grande)
         oppure                      337.5 x 1,111…     = 375
(tono medio) ?
         oppure                      333,333…x 1,125   = 375
(tono medio) ?
         oppure                     333,333…x 1,111…= 370,370per…(tono
piccolo)
SI  quinta di  MI              250 x 1,5                  =  375
E qui come la mettiamo?
 
Ciao e grazie,
            Fabio Capuano

suoni maturali. Con un po' di fantasia la chiameremo SCALA NATURALE.
Riferendosi ai dati delle armoniche generate dal Do1.
Mi e' sorta una domanda; la scala Naturale quando e' nata?
Sono andato a controllare sul DEUMM alla voce Armonici, ed ho letto
che la dimostrazione dell'esistenza dei suoni armonici e' stata
provata da un fisico nel 1701, tale J.Saveur. Devo quindi dedurre che
tale scala e' nata dopo questa data? E per quale scopo e uso?
Le scale precedenti a questa scoperta non usavano gli armonici per la
determinazione dei suoni; a cosa si basavano allora? 
Sono sempre piu' impaziente di conoscere il resto del discorso....
Ciao
Giulio Peruginelli
lone...@sysnet.it
"Al cospetto di questa meravigliosa opera d'arte
dimentico ogni altra cosa e mi elevo al di sopra di
me stesso per contemplarla come le si conviene."
J.J.Winckelmann
Se volete scrivermi in privato rimuovete i numeri 5
dall'indirizzo e-mail.


Senti, ma perche' invece di tutti questi rapporti approssimati non
usiamo una formula matematica per calcolare la frequenza delle note?
freq1 = freq0 x (2^(semitoni/12)) 
dove freq1 e' la frequenza della nota da calcolare, freq0 e' la
frequenza della nota di riferimento, il segno ^ indica l'elevazione a
potenza e "semitoni" indica la distanza in semitoni fra le due note.
Ad esempio, se ci riferiamo al La a 440 Hz, e vogliamo la frequenza
del Do che sta 3 semitoni sopra:
Do = 440 x (2^(3/12)) =  523,25
Oppure, applicando la formula alla tua tabella (e mantenendo per
semplicita' il Do a 200 Hz) otterremmo:
nota	fraz.	rapp.	Hz
DO	 	 	200
RE 	 		224,4924096619
MI	 	 	251,984209979
FA			266,967970834
SOL	 	 	299,
6614153753
LA			356,3594872561
SI			377,5497250727
DO	 	 	400
Sei d'accordo?
Ciao,
Mauro

determinazione dei suoni; a cosa si basavano allora? 
A mio parere, anche se come al solito il mio parere non ha nessun
riscontro oggettivo, se la dimostrazione dell'esistenza degli armonici
data nel 1701 da questo tale Saveur è stata la prima ad essere
'storicamente' registrata, ciò non significa che sia stata in assoluto
la prima: popolazioni antichissime o meno avevano tutti gli strumenti
a disposizione per essere a conoscenza degli armonici, anche se magari
con una diversa tipologia cognitiva: dei plausibili armonici atavici 
con molte probabilità non presupponevano il concetto di 'frequenza di
vibrazione'.
Se dovessimo davvero prestar cieca fiducia a quello che dicono
enciclopedie e libri di storia, dovremmo credere che fin quando
Keplero, Copernico e Galileo non dimostrarono il contrario, tutti 
erano convinti che il nostro pianeta fosse oltremodo 'piatto', più o
meno a forma di disco, e che il Sole e gli altri astri gli ruotassero
attorno.
Eppure gli antichi conosevano benissimo la struttura cosmica, anche
meglio di noi (loro non avevano i nostri lampioni, e passavano intere
nottate a contemplare il cielo), e solo nella Grecia antica, prima di
Tolomeo e del periodo Alessandrino, Esiodo, Platone e moltissimi altri
accennarono alla 'sfericità' della Terra, e descrissero la struttura
del cosmo in maniera 'diversa', più mitologica e meno
sperimentalistica, e soprattuto con un fine ermeneutico differente,
ma il disegno che tracciavano era assolutamente 'esatto' al pari di
quello che ne tracciamo noi oggi.
Inoltre dubito fortemente che popoli come gli Egizi, i Fenici, gli
Indiani e poi un po' più tardi gli Arabi (popoli dei quali purtroppo
ho conoscenze molto più ridotte di quelle che dispongo a riguardo
della cultura Greca, ma so che dai primi tre i Greci attinsero molto)
fossero ignoranti come noi, tanto in materia astrologica quanto in
campo musicologico.
Sono convinto che anche sugli armonici costoro la sapessero davvero
lunga!
Ciao, 
	Fabio Capuano

provata da un fisico nel 1701, tale J.Saveur.
Saveur e' stato il fondatore dell'acustica musicale. Il bello e' che
Saveur era sordomuto, eppure dopo l'ammissione all'Academie decise di
circoscrivere il proprio campo di studio esclusivamente alla musica!
Visto che sei interessato ai libri di teoria musicale scritti da
direttori d'orchestra, ti segnalo "Vom Wesen der Musik" (1. volume di
"Das moderne Musikempfinden") di Hermann Scherchen. Il libro e' diviso in
tre parti, la prima dedicata a Saveur. Scherchen vi parla anche di alcuni
precursori, a partire dal "Compendium Musicae" di Cartesio (1618). Quindi
tratta in dettaglio tutte le pubblicazioni di Saveur, e infine l'influsso
di Saveur su Rameau e il suo "Traite' de l'Harmonie".
Saveur e' anche autore di un "Méthode générale pour former des systèmes
tempérés de Musique, et de celui qu'on doit suivre". Una trattazione
matematica, e una valutazione dettagliata di 3 sistemi temperati, basati
su una divisione dell'ottava in 31, 43 e 55 intervalli. Il sistema con 31
era gia' allora considerato desueto, quello con 55 era il sistema in uso
nel 1700, quello di 43 era la proposta di Saveur. Il temperamento
equabile viene liquidato come "favorito dai musicisti piu' mediocri a
causa della sua semplicita', ma rigettato da tutti i buoni musicisti"
(fra cui Scherchen!).
Giovanni C

tempérés de Musique, et de celui qu'on doit suivre". 
Ma tutti questi libri che mi segnali cosi' gentilmente, si trovano
solo in biblioteca? Esistono versioni tradotte in Italiano o no? Vedo
sempre che mi dai il titolo originale...


vibrazione'.
Secondo me proprio l'esistenza degli armonici e' alla base della
natura tonale della musica nei secoli scorsi.
Mi ha sempre meravigliato molto il fatto che una nota generi fra i
suoi armonici anche note estranee alla scala maggiore che parte dalla
nota stessa . Ad esempio un Do ha fra i suoi armonici il Sib.
Una nota cioe' contiene in se' il diverso da se'. E questo innesca la
spinta modulativa per cui una tonalita' e' attratta dalle tonalita'
vicine, in un gioco di tensioni e riposi che e' alla base del
linguaggio musicale.
Ve la immaginate una musica basate su note i cui armonici non
contengono note estranee alla tonalita'? Una musica senza desiderio di
cambiamento ne' attrazione per cio' che e' diverso sarebbe di una noia
mortale.
So che e' assurdo, ma mi piace pensare che la musica possa anche avere
un valore di metafora, di allusione ai desideri e alle pulsioni che
rendono interessante la vita. Oppure che sia bello ascoltarla proprio
per questa analogia.
Ciao,
Mauro
Mauro Montanari --- email: 
Mauro.M...@spiderlink.it
-------------------------------------------------------------
Good musicians never die, they just modulate away

sempre che mi dai il titolo originale...
Ho il libro di Scherchen, e tutto ciò che so di Saveur proviene da quel
libro (compresi i titoli delle sue pubblicazioni, che Scherchen cita nel
testo originale).
Per ev. traduzioni, mi spiace, ma devi cercartele in biblioteca: se
avessi altre informazioni le scriverei.
Buona fortuna! (temo che te ne occorrera' parecchia...)
Ciao
Giovanni C

 freq1 = freq0 x (2^(semitoni/12)) 
Temo tu non abbia capito bene come funzionano le cose.
La scala naturale e' quello che il nostro orecchio VORREBBE sentire e si
basa su rapporti che sono frazioni semplici. Tu stai parlando invece del
temperamento equabile (cioe' il sistema usato oggi quasi sempre), che
sacrifica quei rapporti semplici per motivi che Giacomo spieghera' nelle
prossime puntate.


 Sono sempre piu' impaziente di conoscere il resto del discorso....
Per fortuna il nostro orecchio non ha bisogno di nessuna dimostrazione
per riconoscere gli armonici, non piu' di quanto occorra conoscere
l'esistenza del DNA per fare figli...:-)
Quindi la scala naturale e' nata con gli uomini primitivi, ed e' ancora
dentro di noi.


basa su rapporti che sono frazioni semplici.
Come si fa ad arrivare a questa conclusione?
Forse misurando le frequenze degli armonici? Pitagora poteva fare
questo?
Usando queste frazioni semplici, abbiamo visto nel primo messaggio di
qesto thread che a volte c'e' incertezza nel determinare la frequenza
di certe note.
Forse questo ci porta a concludere che ogni nota genera (coi suoi
armonici) una scala le cui note non coincidono esattamente con le note
di identico nome generate da fondamentali diverse?
E' questo il "guaio" (o il bello) del temperamento non equabile?

>


basa su rapporti che sono frazioni semplici.
Usando queste frazioni semplici, abbiamo visto nel primo messaggio di
qesto thread che a volte c'e' incertezza nel determinare la frequenza
di certe note.
Forse questo ci porta a concludere che ogni nota genera (coi suoi
armonici) una scala le cui note non coincidono esattamente con le note
di identico nome generate da fondamentali diverse?
E' questo il "guaio" (o il bello) del temperamento non equabile?
Oppure non sto capendo niente di quello che Andreola sta cercando di
spiegarci con tanto impegno? :-)
Ciao,
Mauro
------------------------------------------------------------------
http://pb.yahoo.com/Entertainment/Music/Theory/Tuning_Conventions/