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Titolo: L' eterna corsa di Achille e la tartaruga

La domanda che pongo puo' forse apparire provocatoria, ma in realta'
e' una domanda posta seriamente.
Ho l' impressione che i paradossi di Zenone, presentati  in bella
evidenza in tutti i testi scolastici di filosofia, siano piu' discussi
che capiti, e vorrei formulare una domanda in proposito.
Ormai e' noto a tutti che mettendo in moto l' opportuno apparato
matematico, si puo' *dimostrare* che Achille raggiunge la tartaruga (e
anche gli altri due paradossi, quello dello stadio e quello della
freccia trovano soluzione): basta sommare una serie geometrica di data
ragione - et voila'.
Questa soluzione non era pero' utilizzabile da Zenone, in quanto per
l'approccio matematico di cui sopra, come e' noto, si e' dovuto
aspettare un altro pochino, cosa che forse tende a sfuggire ad alcuni
tardi commentatori che si sono affrettati a deporre i paradossi nella
pila delle questioni risolte.
A Zenone e ai suoi contemporanei era altresi' noto il fatto che
Achille poteva superare la tartaruga come e quando voleva, e cosi'
velocemente da far girare la testa.
Quale e' stato a vostro parere il senso dei tre paradossi di Zenone
*al momento della loro formulazione*?
Ciao
Daniele

 matematico, si puo' *dimostrare* che Achille raggiunge la tartaruga
Cosa intendi per "l"opportuno apparato matematico"?
Fammi sapere, Alberto
p.s. mi sarebbe piaciuto di + vedere questo post su it.cultura.filosofia cmq
non importa...
'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
Alberto Grinza
EMAIL: 
gri...@inrete.it
 / 
lat...@studenti.it
WWW: 
http://fly.to/labo
ICQ: 19087556
'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

non importa...
Al contrario, sarebbe bello che su ICCL ci fosse più filosofia; in
fondo il rapporto di esso con it.cultura.filosofia dovrebbe essere,
per quanto riguarda il mondo classico, quello di genus a species.
Luca

Daniele
Ebbi studiato (parecchi anni or sono, ormai) che il senso è quello di
mostrare come l'accettazione della realtà del movimento, accolta per
assurdo da Zenone, porti a delle aporie ancora maggiori di quelle
insite nella teoria parmenidea dell'Ente unico (Calogero).
Zenone pare affermare: "Dici che il movimento esiste? La realtà dei
fatti vuole che chi viaggia a una velocità costante percorra l'unità
di lunghezza in un tempo finito? Ma come si può percorrere in un tempo
finito un numero infinito di intervalli di spazio? Forse il movimento
di cui tu parli (e la molteplicità, e il mondo che ti sembra di
vedere) è solo apparenza..."
La risoluzione matematica posteriore fornita dalla teoria del limite
non diminuisce per nulla la grandezza di questa riduzione all'assurdo
che inaugurò un metodo generale usato fino ad oggi (anche da
Aristotele, che pure liquidò Zenone in due parole).
P. Zellini nel suo "Breve storia dell'infinito" ricorda (questo ti
piacerà) che simili argomenti sono usati da Nagarjuna nelle Madhyamaka
karika (Non so cosa siano, ma pare roba orientale).
Ma qualcosa mi dice che ponendo la domanda hai già una tua risposta...

 wrote in message
news:38949406...@news.tin.it...

sono d'accordo
ipazia

*al momento della loro formulazione*?
Se ben ricordo, i paradossi sono formulati da Zenone per rispondere a chi
ridicolizzava gli argomenti parmenidei mostrando come anche l'ammissione del
moto (una delle forme, forse la piu' immediata del divenire) presentasse
aspetti contraddittori e... al limite... ridicoli.
Iperboreo

...

Lo sono perfettamente anche io.
Lucia

Daniele
Proprio ieri mi č capitato tra le mani un vecchio numero della rivista "Le
Scienze" (Gennaio 1995). C'era un interessante articolo in proposito.
Se non lo trovi in biblioteca o su internet, posso provare a
scannerizzartelo.
Ciao
Lucia

*al momento della loro formulazione*?
Rispondo un po' in ritardo sia perche' la questa settimana non ho
avuto molto tempo libero, sia perche' volevo leggere i paradossi di
Zenone. Mi sembrava di ricordare che i paradossi fossero stati esposti
in qualche dialogo platonico, e con sorpresa ho scoperto che sono
esposti nella "Fisica" di Aristotele (libro VI, capitolo 9). Ecco un
problema: sono i paradossi "di Zenone" o "di Aristotele *e* Zenone"?
Per i matematici i paradossi di Zenone sono considerati soprattutto
una critica alla concezione monadica della matematica (dei Pitagorici)
di cui vogliono essere una riduzione all'assurdo. 
Per gli storici del pensiero, invece, i paradossi di Zenone erano tesi
innanzitutto a mostrare come il movimento fosse una illusione.
Esistono fondati motivi, tuttavia, per ritenere che Zenone intendesse
confutare il pensiero comune (per il VI secolo a.C.) sulla realta`
fisica che ammetteva il pluralismo (= l'esistenza di piu` sostanze) e
il movimento. IMHO il termine "paradosso" puo' essere attribuito solo
a questi ultimi aspetti, dal momento che il senso comune ci mostra che
il movimento esiste. Si narra che Diogene, dopo aver ascoltato i
paradossi per bocca dello stesso Zenone, si sia alzato in piedi e si
sia messo a camminare.
Il terzo paradosso di Zenone (la freccia) viene definito
ecplicitamente paradossale da Aristotele. Infatti per lo Stagirita una
freccia, scagliata dall'arco, dovrebbe cadere subito a terra, non
essendo evidente alcuna forza che la spinga (Aristotele non conosceva
naturalmente il principio di inerzia). La spiegazione aristotelica e`
che la punta della freccia sposta l'aria, creando cosi' un *vuoto*; il
quale vuoto deve essere riempito immediatamente da altra aria che,
precipitandosi, spinge in tal modo la freccia evitando che cada. La
teoria dell'impetus nasce apparentemente dalla confutazione di
quest'ultimo paradosso.
Ciao
Ferdinando

Scienze" (Gennaio 1995). C'era un interessante articolo in proposito.
Ho ritrovato l'articolo da te citato, di cui avevo dimenticato
l'esistenza. Vi si afferma che i paradossi di Zenone sul moto possono
essere risolti *non* attraverso l'analisi standard (limiti, sommatorie
infinite, ecc.), ma per mezzo di una teoria matematica, detta
"internal set theory", che prevede l'esistenza di particolari numeri
"infinitesimi", ossia numeri maggiori di 0 ma minori di qualsiasi
numero, per quanto piccolo, si possa pensare di scrivere.
E` un articolo di matematica, OT per ICCl. Le mie conoscenze di
matematica sono molto scadenti e ho sfogliato pertanto anche il volume
di Jean Dieudonne', "L'arte dei numeri", per ricordare qualcosa sulla
diatriba degli infinitesimi a cui accennava l'articolo delle Scienze.
E mi sono allora reso conto che questi problemi erano gia` stati
affrontati in eta` classica: il concetto di "infinitesimo", infatti,
era stato importante in meccanica e in geometria fin dai tempi di
Archimede. Nell'analisi tradizionale (analisi "standard") un numero
maggiore di 0 ma infinitamente piccolo appare autocontraddittorio.
Infatti, un numero diverso da 0 per quanto piccolo possa essere
diventera` arbitrariamente grande se viene aggiunto a se' stesso un
numero sufficiente di volte; questa proprieta` fu scoperta per
l'appunto da Archimede.
Ciao
Ferdinando


di Zenone. Aristotele ha proprio il problema di superarli.
ipazia

di cui vogliono essere una riduzione all'assurdo. 
In che senso?
Luca

In che senso?
Non c'e` alcun senso recondito. Il ragionamento per assurdo e` quel
procedimento che dimostra la falsita` di una proposizione mediante la
manifesta falsita` d'una conseguenza. Tale procedimento e` stato
impiegato da Zenone d'Elea per confutare la veduta matematica del
mondo, connessa con la teoria monadica della materia, dei Pitagorici.
Come e` noto, per i Pitagorici la monade (= punto materiale esteso)
era l'elemento costitutivo non solo dei corpi materiali, ma delle
stesse figure geometriche.
Non ho piu` dimestichezza con i testi scolastici. Ma quanto ho detto
dovrebbe essere esposto in qualsiasi manuale di filosofia o di
matematica. Nel "Compendio di storia del pensiero scientifico" di
Federigo Enriques e Giorgio de Santillana, Zanichelli, I ed. 1936,
ristampa 1973, la teoria dei Pitagorici viene esposta nelle pagg.
39-41, i paradossi di Zenone nelle pagg. 50-55.
Spero di aver chiarito i tuoi dubbi, 
Ferdinando


Quello che non ho capito è come il paradosso di Zenone confuta questa
veduta monadica. Io l'ho sempre conosciuto come paradosso contro il
movimento.
Luca

orientale).
La roba orientale :-)  e' nientepopodimenoche' le "Stanze del Cammino di 
Mezzo" e Nagarjuna, Buddhista della scuola del Grande Veicolo, 
contemporaneo di Ipparco e' uno dei piu' grandi pensatori di tutta l' 
India - eo ipso uno dei piu' grandi pensatori in assoluto.
La citazione di Nagarjuna in questo contesto fatto di paradossi e' 
particolarmente appropriato nonche' Borgesiana.
Per chi abbia non resistibili curiosita' le Stanze del Cammino di mezzo 
sono state tradotte dai bravi ragazzi della UTET in "Testi buddhisti in 
sanscrito" a cura di Raniero Gnoli
[OT?] C' era un periodo (fine 800 - inizio 900) in cui l' Italiano 
era l' unica lingua occidentale in cui veninvano tradotti alcuni capolavori
delle altre culture. In Italia Pizzi si era preso la briga di tradurre 
gli otto - dicesi otto - volumi dello ShaNamah, il libro dei Re, poema 
nazionale persiano, scritto da Firdusi. Deve essere successo qualcosa, 
dopo, qui da noi.
Ciao
Daniele

veduta monadica. 
Se la linea e` composta di punti, aventi una lunghezza elementare, sia
pur piccola, /epsilon, Achille per raggiungere la tartaruga deve
percorrere infiniti intervalli, ciascuno dei quali e` almeno uguale a
quel minimo di lunghezza /epsilon, e pertanto lo spazio percorso
risulta maggiore di qualsiasi lunghezza assegnata. Cio` e`
contraddittorio. Si conclude quindi che e` falsa l'ipotesi del punto
esteso, mentre al contrario si dimostra la continuita` della linea.
(Vedi il citato "Compendio" di Enriques e de Santillana a pag. 52).
Ciao
Ferdinando

Chiodo> ma delle stesse figure geometriche.
Sono un po' perplesso perchè se Zenone è contro il continuo allora
vuole lo spazio composto da un numero finito di punti, e quindi non
dovrebbe essere contro la teoria monadica della materia basata su un
punto materiale esteso.
Ciao

punto materiale esteso.
Su un punto sono stato precipitoso: nella affermazione un po' pomposa 
(sono piuttosto contrito...) che Zenone si schiera a favore dell' atomismo.
Questo in realta' e' un salto logico.
La mie affermazioni, ridotte all' osso sono: 
a- i paradossi di Zenone non hanno alcun senso *al momento della loro 
formulazione* se non vengono inquadrati nel contesto della polemica tra 
sostenitori del continuo e sostenitori della teoria atomistica della
materia.
b-in questo contesto i paradossi di Zenone configurano una critica assai
efficace della teoria del continuo.
Ciao.
Daniele

efficace della teoria del continuo.
Esistono delle interpretazioni moderne a favore di questa tesi? Se non
sono caduto in un equivoco, di opinione opposta erano non solo
Federigo Enriques, che ho citato nei messaggi precedenti, ma anche
Bertrand Russell. Russell ha dedicato all'esame dei paradossi di
Zenone due interi capitoli de "I principi della matematica", il 42 e
il 43 ("La filosofia del continuo" e "La filosofia dell'infinito",
pp.374-398 dei Grandi tascabili economici Newton, 1989, lire 4900).
Non posso naturalmente riassumere gli argomenti di Russell. Mi limito
solo a un paio di brevi citazioni:
"Malgrado abbia inventato quattro argomentazioni tutte smisuratamente
sottili e profonde, la stupidita` dei filosofi a lui successivi
proclamo` che Zenone non era altro che un ingegnoso giocoliere e le
sue argomentazioni erano tutte sofismi, Dopo 2000 anni di continua
confutazione, questi sofismi sono stati nuovamente enunciati e
formarono la base di una rinascita della matematica [...] Wierstrass,
col bandire rigorosamente tutti gli infinitesimali, ha finalmente
dimostrato che noi viviamo immutabile e che la freccia, in ogni
singolo istante del volo, e` realmente in quiete" (I principi della
matematica, §327, p. 375).
"Abbiamo visto nei paragrafi precedenti che gli argomenti di Zenone,
anche se provano molte cose, *non* provano che il continuo, nella
forma nella quale siamo giunti a concepirlo, contenga una qualsiasi
contraddizione". Segue poi l'esposizione della nozione di continuo di
Cantor (op.cit. §335, p. 381).
Ciao
Ferdinando

Daniele

contraddizione". 
Il punto e' proprio: nella forma nella quale siamo giunti a concepirlo.
Ossia noi moderni. 
Russell valuta i paradossi di Zenone dando per acquisiti secoli di
risultati matematici.
La tua citazione di Enriquez e' molto opportuna perche' potrebbe richiamare
alla mente un motivo in piu' per avvalorare il fatto che Zenone stesse
ragionando 
(forse in modo doloroso ...)  sulla problematicita' del concetto di
continuo.
Dobbiamo tornare a Parmenide.
Se l' interpretazione data da Enriquez e De Santillana sono giuste, la
nozione di continuo 
che e' uno degli assiomi su cui si basa la nozione di spazio euclideo
tridimensionale, e' uno 
dei tre cardini su cui si articola il Poema della Natura:
"Infatti l' Essere non si divide dalla sua connessione con l' Essere, ne se
disperso per disposizione per ogni dove, ne se reso compatto" Fr. 4
"Ne e' separato, perche' e' tutto uguale, e in nessun luogo vi e' un di
piu' che gli 
impedisca di essere continuo, o un di meno, ma e' tutto pieno di Essere. 
Per cui e' tutto continuo: l' Essere infatti aderisce all' Essere" Fr. 8
"Ne mai fu, ne sara', perche' esso esiste ora, tutto insieme, un unico
continuo" Fr. 8
La traduzione e' quella riportata in "Fato antico e Fato moderno" di De
Santillana, 
Piccola Biblioteca Adelphi n. 180.
Se non sto dicendo una montagna di fesserie, l' interpretazione di Enriquez
crea 
un interessante motivo di continuita' tra il poema di Parmenide e le
riflessioni di Zenone.
Per concludere. Non voglio sostenere la tesi che ho enunciato a qualunque
costo, non ho
alcun interesse nel merito. Voglio solo portarmi in uno stato di minima
energia. Le 
spiegazioni date dai paradossi di Zenone che ho visto fin qui non mi
soddisfano affatto 
perche':
-assumono che Zenone facesse stupidi giochini dialettici;
-oppure pensasse come Lebesgue, Weierstrass o come un piccolo Gauss.
Sinceramente benvenuta ogni spiegazione migliore.
Ciao
Daniele