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Titolo: "temperamento equabile": help!!!

Eeeehmmm....pardon,avrei bisogno di un aiutino,da chi puņ veramente farlo
(ovviamente)....da molto tempo insegno in scuole private e ogni volta si
ripresenta l'occasione di spiegare il "temperamento equabile "ad allievi che
reagiscono come di fronte a qualcosa di mostruosamente complesso da
concepire...un pņ come trovarsi di fronte ad un u.f.o. o
quant'altro!!Qulcuno puņ segnalarmi qualche trattato,riguardo l' argomento,
o altre idee....Graaaazieeee....

 ha scritto nel messaggio
news:bkrfea$gvv$1...@attila.bofh.it...

se parli francese:
http://bailhache.humana.univ-nantes.fr/thmusique/temperaments.html
in inglese:
http://www.tip.net.au/~apurdam/tempers.html
http://pages.globetrotter.net/roule/temper.htm
sul clavicembalo ben temperato
http://ha.kellner.bei.t-online.de/
Z.

bisognerebbe dividere l'ottava in 41 parti.
Alla fine di questo scritto io farò ancora meglio:
Prometto di trovare un temperamento equabile
(cioe' fatto dividendo l'ottava IN 'intervalli semitonali' 'UGUALI', e
scrivo 'intervalli' per accontentare anche la pignuoleria di Giulio
Peruginelli) che abbia delle quinte addirittura 'perfette'!!!!!!!
E gli intervalli in questione saranno ancora dodici.
" Sim salabìm ?"
Quale magico artifizio, quali mirabolanti effetti speciali mi
condurranno ad un così ardito obbiettivo molti di voi lo sapranno già
molto bene. Forse anche lo stesso Maurizio Frigeni, che continuo a
ringraziare per averci messo a disposizione alcuni mesi fa un
interessantissimo documento proprio sui temperamenti.
Spero però di aver catalizzato in tal modo almeno la sua attenzione e
di
essermi così garantito per lo meno un lettore!
Dunque:
tenterò di spiegare in modo molto semplice come si può arrivare a
codificare i parametri di un temperamento equabile (per lo meno come
ci
sono arrivato io).
                                                   PREMESSA
Anche se comunemente un suono viene caratterizzato dalla sua
frequenza,
io preferirò caratterizzarlo mediante la sua lunghezza d'onda. Il
discorso sarà assolutamente analogo, con la differenza che i risultati
che si otterranno saranno esattamente l'inverso di quelli comunemente
conosciuti, ciò per la proporzionalità inversa vigente tra frequenza
fondamentale e lunghezza d'onda fondamentale di un'onda. Al fine di
non
appesantire il discorso pur garantendo il necessario rigore
matematico,
una breve ma noiosa dimostrazione di ciò la porrò come postilla per i
più pignuoli e i miscredenti.
Il motivo di questa mia preferenza sta tutto in una sorta di rispetto
metodologico nei confronti delle motivazioni che mi portano ad
affrontare un determinato studio, nonché dell'evoluzione storica
dell'argomento che mi accingo a studiare.
Per farla breve, il concetto di frequenza di un'onda è un concetto
relativamente recente, e in un certo qual modo troppo freddo e a mio
avviso troppo lontano dallo spirito che guidò gli antichi codificatori
dei sistemi musicali a realizzarli.
Sta di fatto che una 'corda' vibrante, fissa agli estremi, così come
la
corda di una chitarra o di un liuto, o di un violino, vibra con
lunghezza d'onda fondamentale pari al doppio della lunghezza della
corda
stessa.
Ciò è ovvio se si considera che gli estremi, essendo fissi, dovranno
per
forza coincidere con due nodi dell'onda, cioè con due punti di stasi
della corda vibrante. La maggiore lunghezza d'onda possibile per una
vibrazione che presenti dei nodi giusto in corrispondenza degli
estremi
della corda deve appunto essere di misura esattamente doppia a quella
della lunghezza della corda.
Tento qui di fare un disegno esemplificativo:
                     _    -    _
          _ --                        -- _
 _--                                          --_
*--------------------------------------*_
_*
                                                        --
_                                   _ --
         -- _                   _  --
--   __   --
La linea rappresenta la corda.
L'onda tratteggiata è un 'istantanea' dell'onda, prolungata per il
doppio della lunghezza della corda.
Gli asterischi rappresentano i nodi.
  < --------------------------------- >   L = lunghezza della corda
                                                        2L = l =
lunghezza d'onda fond.
  < ---------------------------------
*--------------------------------------->
I primi due asterischi coincidono con gli estremi della corda.
Dato che in un discorso sui temperamenti  si dovranno trattare
essenzialmente rapporti di lunghezze d'onda fondamentali, questi
rapporti saranno perfettamente uguali ai rapporti delle lunghezze
delle
corde che generano suoni di siffatte lunghezze d'onda, essendo la
lunghezza d'onda fondamentale il doppio della lunghezza di corda.
Per questo motivo, d'ora in avanti non parlerò più di 'lunghezza
d'onda
fondamentale', né di 'lunghezza di una corda', ma semplicemente di
'lunghezza', salvaguardando una certa ambiguità - sovrapposizione tra
i
due concetti che non influirà affatto sugli esiti del discorso; e che
ci
avvicinerà ad un'idea più concreta, geometrica, visiva e armoniosa di
musica, un'idea suppongo abbastanza prossima a quella che potevano
avere
coloro che per primi ragionarono di queste cose, nonostante gli
strumenti matematici si siano modificati nei secoli.
Immagineremo che ogni nota abbia una sua 'lunghezza'.
Spero che mi perdonerete questa mia intransigenza, anche se comporta
una
maggiore perdita di tempo. Ma sono certo della sua efficacia.
Andiamo dunque ad incominciare:
immaginiamo di dover costruire una chitarra. Siamo alla tastiera, e
dobbiamo decidere dove incollare gli stuzzicadenti che delimiteranno i
tasti.
Vogliamo che le dodici note in cui suddividiamo un'ottava siano tali
che
ogni intervallo sia caratterizzato da un unico particolare valore che
esprima il rapporto tra le 'lunghezze' delle due note dell'intervallo.
Tutti gli intervalli di quinta saranno caratterizzati cioè da un unico
valore, a prescindere dalla quinta che scegliamo, sia questa ad
esempio
Do-Sol, oppure Re-La, o Mi-Si, etc…
Così anche tutti gli altri intervalli presenteranno un unico valore
per
un tale rapporto, quelli di terza mostreranno il loro valore
caratteristico, quelli di quarta avranno il loro, ed in particolare
quelli semitonali anche avranno il loro proprio valore.
Un temperamento così congegnato è chiamato 'equabile', ed ha la
caratteristica per la quale gli strumenti che ne fanno uso possono
traslare un qualsiasi brano in una qualsiasi tonalità senza variare
minimamente la 'geometria' musicale, ovvero i rapporti di 'lunghezze'
che esistono appunto nei vari intervalli che sviluppano il brano
stesso.
Abbiamo detto che, come tutti gli altri, in particolare gli intervalli
semitonali mostrano tutti un eguale valore per il rapporto delle
'lunghezze' delle note.
Chiamiamo x questo valore, e chiamiamo con il nome di ciascuna nota le
rispettive 'lunghezze'.
Do , ad esempio, è il simbolo che rappresenta la 'lunghezza' del do.
Limitiamo il discorso ad una sola ottava, per estensione potremo poi
derivare i parametri delle altre ottave. Suddividendo quest'ottava
nelle
dodici notorie tonalità, e indicando con Do2 la 'lunghezza' del do
dell'ottava immediatamente superiore a quella che stiamo considerando,
possiamo allora scrivere dodici equazioni:
I :           Do / Do#   =  x
II :          Do# / Re   =  x
III :         Re /  Re#  =  x
IV :         Re# / Mi  =  x
V :          Mi / Fa     =  x
VI :        Fa / Fa#    =  x
VII :       Fa# / Sol  =  x
VIII :      Sol / Sol# =  x
IX :         Sol# / La  =  x
X :          La / La#  =  x
XI :         La# / Si  =  x
XII :        Si / Do2 = x
L'insieme di queste equazioni costituisce un sistema lineare di dodici
equazioni del primo grado in tredici incognite!
Le incognite sono le dodici 'lunghezze' corrispondenti alle note
dell'ottava considerata, più Do2, 'lunghezza' del do dell'ottava
successiva.
Sapere a quanto ammontano queste 'lunghezze' significa poterci poi
derivare dove andare ad incollare gli stuzzicadenti sulla tastiera del
nostro prototipo di chitarra.
Ma, ahimè, è noto che un sistema di n equazioni in m incognite ammette
una soluzione, che naturalmente sarà unica, solo se n = m, se cioè il
numero delle equazioni è pari a quello delle incognite. Questo è un
fatto abbastanza ovvio, dato che un'equazione è sostanzialmente
un'informazione quantitativa e relazionale sulle incognite.
Se vogliamo che le incognite cessino di essere tali e si rivelino,
abbiamo bisogno di un numero di informazioni pari al loro numero,
ciascuna che caratterizzi e dunque che definisca in qualche modo una
delle incognite.
Se abbiamo un numero di informazioni minore ci sarà qualche incognita
non caratterizzata, e dato che le informazioni date dalle equazioni
sono
di tipo relazionale, nessuna delle incognite potrà essere definita!
Se invece dovessimo disporre di un numero di informazioni maggiore di
quello delle incognite, rischieremmo di avere caratterizzazioni
incongruenti tra loro, cioè due informazioni diverse potrebbero
caratterizzare in modo differente per una stessa incognita, cosa che
ci
impedirebbe di raggiungere una soluzione del sistema, ovvero un
insieme
ordinato di valori, uno per ogni incognita.
Non è però il nostro caso: noi abbiamo dodici equazioni, cioè dodici
informazioni, e tredici incognite. Abbiamo bisogno perciò di una
ulteriore informazione, mutuata da una nuova equazione, che ci faccia
quadrare il cerchio e chiudere i conti.
Il temperamento equabile classico considera il rapporto tra le
'lunghezze' delle note di un qualsivoglia intervallo di ottava pari a
1 / 2 .
Cioè stabilisce che ad esempio la 'lunghezza' Do sia esattamente il
doppio della 'lunghezza' Do2.
Lo stesso per tutti gli intervalli di ottava.
Quest'informazione che caratterizza una relazione tra le incognite Do
e
Do2  si traduce nell'equazione Do = 2 * Do2, scrivibile anche nella
forma  Do / Do2  = 2.
È questa appunto la tredicesima equazione che cercavamo.
Possiamo allora scrivere il seguente sistema di tredici equazioni in
tredici incognite:
I :           Do / Do#   =  x
II :          Do# / Re   =  x
III :         Re /  Re#  =  x
IV :         Re# / Mi  =  x
V :          Mi / Fa     =  x
VI :        Fa / Fa#    =  x
VII :       Fa# / Sol  =  x
VIII :      Sol / Sol# =  x
IX :         Sol# / La  =  x
X :          La / La#   =  x
XI :         La# / Si   =  x
XII :        Si / Do2  = x
XIII :      Do / Do2 = 2
La risoluzione di questo sistema è immediata:
moltiplichiamo tra loro i membri di sinistra delle prime dodici
equazioni, ed eguagliamo il prodotto a quello tra tutti i membri di
destra delle stesse.
I*II*III*IV*V*VI*VII*VIII*IX*X*XI*XII  =   ( x )^ 12
Per cui:    (Do / Do# )*(Do# / Re)*(Re /  Re#)*(Re# / Mi)*
               *(Mi / Fa)*(Fa / Fa#)*(Fa# / Sol)*(Sol / Sol#)*
              *(Sol# / La)*(La / La#)*(La# / Si)*(Si / Do2)  =  ( x )^
12
In questo bel prodotto sulla sinistra si nota che tutte le incognite
tranne Do e DO2 compaiono una volta al numeratore e una volta al
denominatore delle frazioni moltiplicande.
Do compare invece solo al numeratore del primo moltiplicando, mentre
Do2
compare solo al denominatore dell'ultimo moltiplicando. Ragion per cui
tutte le incognite ad eccezione di Do e di Do2 sono semplificabili per
ovvia divisione.
Il prodotto è dunque il semplice rapporto Do / Do2 ,    per cui:
Do / Do2  =  ( x )^ 12
Qui entra in ballo la tredicesima equazione, secondo la quale:
Do / Do2  =  2
Un banale sillogismo ci suggerisce che
( x )^ 12 = 2
ovvero, elevando entrambi i membri all'esponente (1/12),
x  = ( 2 ) ^ (1/12)
cioè, il rapporto tra le 'lunghezze' delle note di un qualsiasi
intervallo semitonale ha valore
Radicedodicesimadidue.
Il rapporto tra le frequenze di due note di un intervallo semitonale,
che è pari all'inverso del rapporto tra le 'lunghezze' delle stesse
note, corrisponde al noto valore Radicedodicesimadiunmezzo
(1/2) ^ (1/12).
Il valore x ci indica quante volte la 'lunghezza' di una nota deve
essere maggiore di quella che risuona un semitono più in alto.
Nella costruzione della nostra chitarra, utilizzando un temperamento
equabile classico, se la lunghezza intera di una corda è L, il primo
stuzzicadenti lo andremo a posizionare sulla tastiera ad  una distanza
dal ponticello pari a L / x , cioè la 'lunghezza' della seconda nota
dovrà essere x volte minore della prima.
Il secondo stuzzicadenti dovrà invece esser incollato ad una distanza
dal ponticello ancora x volte più piccola di quella precedente, ovvero
( L / x ) / x  , cioè  L / (x ^ 2 ).
Il terzo stuzzicadenti lo metteremo invece alla distanza  (( L / x ) /
x) / x  , cioè   L /  ( x  ^ 3 ) .
IL quarto lo metteremo distante dal ponticello una lunghezza pari a
L
/ ( x ^ 4 ).
E così via.
Il dodicesimo stuzzicadenti sarà incollato alla distanza dal
ponticello
L / ( x ^ 12 ) , ovvero L/2, la metà della corda iniziale,
coerentemente
a quanto asseriva l'informazione espressa con la tredicesima
equazione.
Eccoci pronti per suonare un bel flamenco!!!
Ed eccoci arrivati tra l'altro anche a trovare come è possibile aver
un
temperamento equabile con quinte perfette: basta … ehm…rinunciare alla
perfezione dell'ottava!
Come tredicesima equazione abbiamo scelto quella che traduce
l'informazione per cui l'intervallo di ottava è l'unico perfetto, ed è
caratterizzato da un valore del rapporto di 'lunghezze' pari a 2.
Se sostituiamo questa equazione con quella che traduce l'informazione
secondo cui  l'intervallo perfetto - che dovrà essere unico per non
sovradimensionare il sistema, per non far comparire cioè una
scomodissima e imbarazzante quattordicesima equazione - è appunto la
quinta, il cui valore del rapporto di 'lunghezze' è pari a 2 / 3 ,
avremo un'equabile non di ottava, ma di quinta!
All' equazione     Do / Do2  =  2   sostituiamo perciò l'equazione
Do / Sol = 3 / 2
 Il sistema di equazioni differirà per la tredicesima equazione:
I :           Do / Do#   =  x
II :          Do# / Re   =  x
III :         Re /  Re#  =  x
IV :         Re# / Mi  =  x
V :          Mi / Fa     =  x
VI :        Fa / Fa#    =  x
VII :       Fa# / Sol  =  x
VIII :      Sol / Sol# =  x
IX :         Sol# / La  =  x
X :          La / La#   =  x
XI :         La# / Si   =  x
XII :        Si / Do2  = x
XIII :      Do / Sol = 3 / 2
A questo punto possiamo moltiplicare i primi sette membri di sinistra
ed
uguagliarli ai primi sette membri di destra.
Risulterà, in maniera simile ai calcoli precedenti,
Do / Sol  = x ^ 7
Dato che
Do / Sol  =  3 / 2
Allora:
x ^ 7 = 3 / 2
ovvero, elevando ambo i membri all'esponente (1/7),
x  =   ( 3 / 2 ) ^ (1/7).
Calcolatrice alla mano, confrontiamo il passo dell'equabile di ottava
con quello dell'equabile di quinta:
Per l'equabile di ottava
x = 2 ^ (1/12) = ( pigiando il tasto 'eval') = 1.05946309436
Per l'equabile di quinta
x = ( 3 / 2 ) ^ (1/7) = 1.05963402267
con una differenza sulla quarta cifra decimale.
Lo scarto percentuale è dei decimillesimi!
Saluti a tutti, e grazie per la pazienza di avermi seguito sin qui,
  Fabio Capuano
                                  POSTILLA
Per i pignuoli che esigano un discorso matematico rigoroso; e i
miscredenti che vogliano testare con mano la veridicità di quanto ho
asserito nella mia premessa, ed io sono a tal punto pignuolo e
miscredente  che non credo mai nemmeno a una parola di quanto io
stesso
dico; pongo di seguito un breve accenno sulla liceità ad usare, come
parametro caratteristico di un suono, la lunghezza d'onda fondamentale
della vibrazione che lo produce, in luogo della comunque valida e
comunemente usata frequenza fondamntale.
La frequenza fondamentale e lunghezza d'onda fondamentale sono i
parametri che definiscono univocamente un'onda, nel nostro caso
un'onda
sonora. Il prodotto tra questi due parametri indica la velocità di
propagazione dell'onda. In generale possiamo definire costante tale
velocità, per cui i due parametri risultano inversamente
proporzionali.
Ragion per cui il rapporto tra due diversi valori di frequenza è pari
al
rapporto inverso tra i corrispondenti valori di lunghezza d'onda.
Dato che una trattazione matematica di un temperamento non riguarda in
genere le frequenze delle note, quanto i rapporti tra le frequenze;
posso validamente impostare una trattazione considerando, invece delle
frequenze delle note, le lunghezze d'onda. I risultati finali saranno
semplicemente l'inverso di quelli che vengono comunemente considerati
in
simili trattazioni.
Parlando per simboli è più semplice:
se indico con 'f' la frequenza fondamentale e con 'l' la lunghezza
d'onda fondamentale di un'onda la cui velocità di propagazione indico
con 'v', posso scrivere:
  f  *  l = v
ovvero:            f = v / l
relazione, quest'ultima, che esprime appunto l'inversa proporzionalità
tra i due parametri.
Se  f' è la frequenza di una nota, ad esempio un Do, ed f" è invece la
frequenza di un'altra nota, ad esempio il Sol della medesima ottava,
allora la lunghezza d'onda del Do la posso chiamare    l', e la
lunghezza d'onda del Sol posso indicarla con    l".
Allora:
            f'= v' / l'    e     f" = v" / l"
in queste formule v' rappresenta la velocità di propagazione del Do e
v"
rappresenta la velocità di propagazione del Sol.
Dato che la velocità di propagazione di un suono può essere
considerata
costante, ovvero indipendente dalla frequenza e dalla lunghezza d'onda
del suono, quindi indipendente dal suono stesso, allora la velocità di
propagazione del Do è uguale alla velocità di propagazione del Sol.
Chiamiamo v questa velocità. Dunque:
   v' = v" = v
per cui:           f' = v / l'    e      f" = v / l"
Il rapporto tra la  frequenza fondamentale del Sol e quella del Do,
rapporto caratteristico di tutti gli intervalli di quinta in un
temperamento equabile, sarà espresso da:
           f" / f' = (v / l") /  (v / l') = l' / l"
ovvero sarà pari al rapporto inverso delle lunghezze d'onda delle
stesse
note.
C.V.D.
Ciao a tutti,
         Fabio Capuano

 perfezione dell'ottava!
ecco il punto.
Non è possibile rinunciare alla perfezione dell'ottava, imho.
Detto ciò e posto che tutto questo è interessantissimo, occorre, dal punto di
vista pratico (da quello teorico qualsiasi speculazione è lecita, finchè non
si scontra con la pratica), individuare di quale strumento si sta parlando.
Posto, appunto, che l'intonazione di alcuni intervalli avrà ripercussione su
quella di altri. (ma anche senza fare questioni di strumento, come si può
accettare un'ottava crescente????)
Z.

 o altre idee....Graaaazieeee....
Alle segnalazioni degli altri aggiungo una curiosità: i primi esempi di
temperamento equabile risalgono a due raccolte di musica per liuto. La prima
è il "Libro de intabulatura di liuto nel quale si contengano Vinti quatro
passa mezi Dodeci per be molle et dodoeci per be quadro sopra dodeci
chiaue..." (1567) di Giacomo Gorzanis che contiene una serie di dittici
Passamezzo-Saltarello in tutte le tonalità maggiori e minori; il secondo è
il "Fronimo dialogo" (1568) di Vincenzo Galilei (1533 ca - 1591) che
contiene ventiquattro ricercari in tutti i toni maggiori e minori.
E.

 Passamezzo-Saltarello in tutte le tonalità maggiori e minori; il secondo è
io, quando ancora facevo lettere all'università, su Gorzanis avevo fatto una
tesina ...
se a qualcuno interessa chiedete.
Marco Redaelli


 se a qualcuno interessa chiedete.
Certo!
:-)
E.

 > io, quando ancora facevo lettere all'università, su Gorzanis avevo fatto
