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Titolo: distribuzione di Boltzmann

Buongiorno a tutti!
La distribuzione di B., leggo, pu� descrivere, ad esempio, la concentrazione
delle molecole d'aria in funzione dell'altitudine, la frazione di molecole
con una certa energia cinetica, con una certa velocit�, ecc. ecc. .
La sua forma dovrebbe essere N/N_0 = e^(-E/kT),
con N il numero delle particelle aventi energia E+delta.E (cinetica e/o
potenziale gravitazionale e/o potenziale elettrica, ecc.), N_0 il numero
totale di particelle.
N/N_0 potendosi intendere anche come una probabilit�.
Mi domando, ma delta.E dove sta nella formula? O, meglio, quali sono le
espressioni corrette di questa equazione quando E varia con continuit� (e
quindi bisognerebbe parlare di *densit�* di probabilit�) e quando invece lo
fa in maniera discreta (e quindi si pu� parlare di N/N_0 come probabilit�
effettiva e di N come effettivo numero di particelle)?
Grazie,
MM 

 MM

popolazione.
Dovrei aver fatto dei passi avanti, vediamo...
N_1 = N_0*e^-[E_1/kT]
N_1 � il numero di particelle con energia maggiore o uguale a E_1
N_0 � il numero di particelle con energia maggiore o uguale a zero (la 
totalit� delle particelle), quindi la relazione di sopra sarebbe:
N_1 = N_0*e^-[(E_1-0)/kT]
Quindi nell'esponente c'� una differenza tra due valori di energia, come 
dici tu e quello con N_0= numero totale di particelle � un caso limite, 
quello con E_0=0
Pi� in generale:
N_1 = N_0*e^-[(E_1-E_0)/kT]
con N_0 il numero di particelle con energia maggiore o uguale a E_0 (che pu� 
benissimo essere diverso da zero, essendo per� sempre lo stato energetico 
inferiore rispetto E_1, come dici tu ed il tuo testo).
Tuttavia, se E_1-E_0=0, N_1=N_0, pertanto N_1 va inteso come il numero di 
particelle, entro N_0 particelle (in questo senso N_0 � sempre il totale), 
con energia maggiore o uguale a E_1.
Cio�: se ho N_0=1000 particelle in tutto (E_0=0), avr� ad esempio 500 
particelle con energia maggiore o uguale a 20. Ma se scelgo di prendere come 
N_0 la popolazione delle particelle con energia maggiore o uguale a E_0 = 5, 
N_1 non sar� pi� 500, ma un numero inferiore a 500! N_0 �un po' il valore di 
partenza da cui poi crolla esponenzialmente N_1 col crescere di E_1 (pensa 
alla scarica diun condensatore, ecc.).
Dimmi sei sei d'accordo fin qui... che poi procedo con la seconda parte.
Grazie del'aiuto.

 inferiore a 500!
No, ovviamente il numero di particelle con energia >= E_1
non dipende dalla scelta del livello 0, ma solo dal numero
totale di particelle fissata la temperatura.
Rifaccio il tuo esempio (uso unita' opportune):
Se E_0 = 0, E_1 = 20, N_0 = 1000, N_1 = 500, si ha:
E_1 = 500 = N_0 * exp(-20/(KT)) = 1000 * exp(-20/(KT))
=> KT = 20 / lg(2),
se pongo E_0' = 5 allora ottengo:
N_0' = N_0 * exp(-5/(KT)) = 1000 * exp(-log(2)/4) =
1000 * 2^(-1/4), se adesso chiamo 0 il livello che prima
chiamavo 0' ottengo per la popolazione del livello 1:
E_1 = N_0 * exp(-(20-5)/(KT)) =
1000 * 2^(-1/4) * exp(-3lg(2)/4) = 500 CVD.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 chiamavo 0' ottengo per la popolazione del livello 1:
Intendi correttamente:
"ottengo per il numero di particelle
con energia >= E_1:".
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Rifaccio il tuo esempio (uso unita' opportune):
A questi ci ero poi arrivato riflettendo un po'. Avevo pensato che il
numero di 
particelle con energia superiore a E_1, cio� N_1 dovesse essere lo stesso 
indipendentemente dal livello 0, sebbene avesse rappresentato una
"porzione" 
diversa di N_0 a seconda del valore di quest'ultimo, ad esempio:
N_1 = N_0*e^[-(E_1-E_0)/kT],
N_1 = N_0'*e^[-(E_1-E_2)/kT],
e quindi:
N_0*e^[-(E_1-E_0)/kT] = N_0'*e^[-(E_1-E_2)/kT],
Il mio errore era questo: se non sepcifico il numero di particelle totali, 
l'equazione come lo fa a "sapere"? Mi pare di aver capito che specificando 
il numero di particelle con energia uguale o maggiore ad un dato livello, 
sia sufficiente a conoscere il numero delle particelle con energia uguale
o 
maggiore a qualunque altro livello (e quindi anche il numero totale di 
particelle del sistema, ponendo un livello nullo di energia): � corretto?
Inoltre, mi pare di capire,
N_1/N_2, essendo uguale a (N_1/N_tot)/(N_2/N_tot), pu� essere sempre 
considerato come il rapporto tra la probabilit� di trovare una particella 
con energia >= di E_1 e la probabilit� di trovarne con energia >= di E_2.
N_1/N_tot � quindi la probabilit� che, scelta una particella a caso, questa
abbia energia >=E_1.
Ora, per�, vorrei chiederti una seconda cosa in riferimento alla 
distribuzione di particelle nel campo gravitazionle.
A parit� di energia cinetica, mi domando quante siano le particelle con 
energia potenziale >=  E_1, ponendo come E_0 la quota 0.
Dovrei avere:
N_1 = N_0*e^[-(E_1-E_0)/kT],
come al solito! Ma questa volta l'energia potenziale gravitazionale varia 
linearmente con la quota. Quindi la relazione di sopra significa: quante 
sono le particelle che si trovano nella porzione di colonna che va da h1
in 
su (essendo N_0 il numero di particelle che si trovano in tutta la
infinita 
colonna, da zero all'infinito). Fin qui mi trovo. Se parliamo in termini
di 
pressione, anche, perch� questa dipende dal peso della colonna sopra una 
certa quota, ad es. h1,e quindi dal numero di particelle (proporzionale
alla massa gassosa) presenti da h1 in su.
In termini di probabilit� N_1/N_0 � la probabilit� che, scelta una
particella a caso, questa abbia energia >= E_1 o, equivalentemente, che si
trovi ad una quota >= h_1.
Il mio problema � solo uno: non riesco a capire come concludere, sulla
base della distribuzione di Boltzmann come varia con la quota la densit�
(la concentrazione, diciamo)delle particelle. Riesco a dedurlo
indirettamente: visto che la pressione esercitata dalla colonna gassosa
alla quota h_i � quella che mi da la distribuzione di B., se immagino di
prendere un volumetto V alla quota H_i, avr� una densit� d_i calcolabile
con l'equazione di stato dei gas. 
Ma vorrei un modo pi� immediato ed intuitivo per affermare che la densit�
delle particelle varia come predetto dalla legge di B. (esponenzialmente)
con la quota.
Ovvio che lo stesso ragionamento si possa fare con una soluzione di ioni
sottoposta ad un campo elettrico: le particelle si distribuiranno lungo la
direzione del campo secondo quanto stabilito dalla distribuzione di B.
Insomma io vorrei predire dalla distr. di B. la funzione della densit� di
particelle rispetto ad una direzione dello spazio quando le mie particelle
sono soggette ad un campo di forze (elettrico, gravitazionale, ecc.)
in quella direzione.
Spero di essermi spiegato e grazie ancora.
-- 
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 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 in quella direzione.
Consideriamo una colonna di gas all'equilibrio termico nel
campo di gravita'.
Per quanto detto in precedenza, la probabilita' che una
particella abbia quota maggiore di h e':
P(h) = k * exp(-a * h), con k e a costanti opportune,
quindi la probabilita' che una particella si trovi nell'intervallo
di altezza [h, h + dh] e':
P(h) - P(h + dh) ~ -dP(h)/dh * dh = a * k * exp(-a * h) * dh
quindi il numero di particelle aventi quota compresa tra h e h+dh
e' c * exp(-a * h) * dh, con c costante opportuna, e la densita'
numerica di particelle alla quota h sara' (dividendo il risultato
precedente per l'area della sezione trasversa della colonna
di gas e per dh):
c' exp(-a * h), con c' costante opportuna,
cioe' anche la densita' numerica di particelle segue la
distribuzione di Boltzmann.
Suggerimento di lettura:
The Feynman Lectures on Physics, vol. I, cap. 40.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

Vorrei concludere con alcune domande, brevi e per le quali mi andrebbe
bene una risposta asltrettanto breve:
1) la relazione che stiamo analizzando mi sembrerebbe essere il risultato
dell'integrazione di una funzione "densit� di qualcosa (di probabilit�,
certamente)": � corretto? Se i livelli energetii possibili non variassero,
per�, con continuit�, ma fossero una infinit� numerabile o un numero
finito di valori, la relazione sarebbe ugualmente valida? Ad esempio per
soli due valori di E_i varrebbe ancora quanto detto quando E_1 e E_2 erano
soltanto gli estremi di un intervallo di R?
2) Se prendessimo degli ioni in una soluzione sottoposta ad un campo
elettrico (lungo una sola direzione, x), avremmo una distribuzione delle
particelle analoga a quella vista per le particelle atmosferiche (ovvio
che io mi riferisco sempre e solo a sistemi "termalizzati",
all'equilibrio)?
3)se volessi calcolare, nel caso di energia che varia con continuit�, il
numero di particelle tra due livelli, come dovrei comportarmi? Alla fine
il risultato sarebbe comunque lo stesso che avrei facendo una differenza
tra N_1=N_0*exp.. ed N_2= N_0*exp...(per il tratto h_2-h_1, ad es.), o no?
La stessa cosa varebbe per soli due livelli discreti di E?
4) quando ottengo la relazione esponenziale che mi descrive la densit�
delle particelle ad ogni quoota o, meglio, per ogni valore di energia
cinetica, potenziale elettrica, ecc., posso intendere quella densit� di
particelle anche come una densit� di probabilit� di trovare una data
particella?
5) quando specifico il valore di E_i, posso riferirmi anche alla somma di
due "tipi" di energia? Es: Ec+EPgr. (energia cinetica + energia potenziale
gravitazionale? Deduco che quando applico la formula specificando solo ad
es. l'energia potenziale gravitazionale, suppongo impliciamente che le
altre forme di energia abbiano lo stesso valore (ad es.: se considero
l'energia pot. gravitazionale e calcolo la prob. che la mia particella sia
da h_1 in su, sto pensando al fatto che ad esempio la sua energia cinetica
debba essere la stessa che ad h_0, e cmq a qualunque h_i): giusto?
6) Infine: qual � il significato fisico di tutto ci�? Perch� gli stati a
maggior energia sono meno probabili e, soprattutto, perch� la probabilit�
varia con l'energia in maniera esponenziale? Riguardo alla prima parte di
questa domanda mi verrebbe da dire che riguardo all'energia cinetica �
meno probabile che ci sia una "combinazione" di urti tale da produrre
particelle ad elevata energia cinetica. Riguardo all'energia potenziale mi
viebe da pensare che queste particelle per acquistare molta energia
potenziale devono muoversi contro una qualche forza e che quindi � meno
probabile che esse possano, in seguito ad urti e percosi tanto "azzeccati"
quanto improbabili, andare contro questa forza incrementando la loro
energia potenziale. Se tuttavia non avessimo l'agitazione termica, tutte
le particelle starebbero a quota h_0!
Grazie mille di tutto.


Mi scuso per il fatto che arrivo un po' tardi, ma vorrei dire che
l'interpretazione che state dando, come "numero di particelle con
energia uguale o maggiore ad un dato livello" non e' corretta, anche
se in casi particolari (v. dopo) puo' dare risultati giusti.
Per interpretare correttamente la distr. di B. conviene anzitutto
tenere distinti i casi di energia con livelli discreti o con spettro
continuo.
Nel primo caso, detti E_0, E_1, ... E_n, ... i livelli di energia, la
formula dice
N_n = A g_n exp(-E_n/kT)
dove N_n e' il numero di particelle che si trovano nel livello E_n, A
e' una costante di normalizzazione, che serve ad assicurare che la
somma degli N_n dia il numero totale di particelle; g_n e' il grado di
degenerazione del livello n-mo.
Esempio: per l'atomo d'idrogeno abbiamo E_n = -Rhc/n_2 (R costante di
Rydberg), g_n = n^2. Quindi
N_n = A n^2 exp(Rhc/(n^2 kT)).
Nel caso di livelli continui, come in pratica accade per la distr.
di velocita' di un gas, o per la distr. della densita' numerica con la
quota in presenza di gravita', la formula va scritta:
N(E) dE = A rho(E) exp(-E/kT) dE  (1)
e sta a indicare il n. di particelle che si trovano tra le energie E
ed E+dE.
Qui interviene un concetto piu' delicato: rho(E) che e' la "densita'
degli stati nello spazio delle fasi".
Significa che dobbiamo in pratica prendere lo spazio delle fasi
(coordinate x,y,z,px,py,pz) e calcolare il volume di tale spazio (in 6
dimensioni) compreso tra le ipersuperfici E(x,y,z,px,py,pz) = E e
E(x,y,z,px,py,pz) = E+dE. Questo volume e' indicato con "rho dE".
Vediamo come funziona su due esempi.
1. Distr. delle velocita'.
In questo caso l'energia e' solo cinetica:
E = (px^2 + py^2 + pz^2)/(2m).
Dato che E non dipende da x,y,z, l'integrazione su queste coordinate
dara' semplicemente il volume del recipiente, e possiamo assorbire
questa costante nella A di normalizzazione.
Quanto alle px,py,pz si vede che 2mE e' uguale alla somma dei quadrati
delle componenti dell'impulso, ossia l'energia dipende solo dal modulo
dell'impulso.
La superficie E=cost. e' dunque una sfera di area 4*pi*p^2; il volume
tra E ed E+dE e' il volume del guscio sferico tra p e p+dp, dove
p = sqrt(2mE), dp = 2m dE/sqrt(2mE).
Il detto volume vale
4 pi p^2 dp = 4 pi (2mE) 2m dE/sqrt(2mE)
ossia, a parte fattori costanti: sqrt(E) dE.
Dunque
N(E) dE = A sqrt(E) exp(-E/kT) dE.
Se vogliamo la distr. N'(v) delle velocita' dovremo usare E = mv^2/2,
dE = mv dv  e scriveremo
N'(v) dv = N(E) dE = A' v^2 exp(-mv^2/(2kT)) dv
che e' la ben nota equazione di Maxwell.
2. Distribuzione della densita' con la quota.
In questo caso interessa la dipendenza da z, mentre non interessano
le componenti dell'impulso.
L'energia si scrive
E = p^2/2m + mgz
e quindi l'esponenziale si fattorizza: un fattore dipende solo da z,
l'altro delle componenti di p.
Quindi integreremo la (1) su px,py,pz ottenendo una costante
moltiplicativa che si assorbe in A, mentre la dipendenza da z ci dice
dE = mg dz. Dunque rho e' costante, e la (1) si riduce semplicemente a
N(z) dz = A" exp(-mgz/kT) dz.
E' questo un caso in cui l'interpretazione "energia maggiore o uguale
a" da' lo stesso risultato: questo accade perche' la funzione rho(E)
e' costante. Invece nel caso precedente si sarebbe ottenuto un
risultato sbagliato.
Lo stesso capita coi livelli discreti: l'interpretazione "energia
maggiore o uguale a" dara' il risultato corretto solo se i livelli
sono equidistanti e non degeneri: il solo caso che s'incontra in
pratica e' l'oscillatore armonico unidimensionale.
-- 
Elio Fabri

 particelle starebbero a quota h_0!
Mi sembra sensato.
PS non prendere per oro colato quanto ho scritto, perche'
ormai siamo arrivati ai limiti di quanto ricordo, magari altri
correggieranno i miei errori...
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 correggieranno i miei errori...
Questa e' bella, mi ricorda il famoso discorso
inaugurale di Giovanni Paolo II, sara' meglio che vada
a dormire...
PS per gli errori di merito vedo che ha gia' provveduto
il Prof. Fabri :-)
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

degenerazione del livello n-mo.
Cosa � esattamente il grado di degenerazione? Diciamo che io voglia
conoscere la distribuzione di S particelle all'equilibrio tra due soli
stati possibili E_n ed E_m: in questo caso che significa g_n?
Per la situazione appena descritta dovrei avere: 
N_n + N_m = S (e questo dovrebbe dipendere da A, anche se non ho capio
come).
N_n = A g_n exp(-E_n/kT)
N_m = A g_m exp(-E_m/kT)
N_n/S � la probabilit� che una qualunque delle S particelle abbia energia
E_n (vale per qualunque tipo di energia: cinetica, potenziale, ecc.?).
Volendo rapportare le due probabilit�, avrei:
N_m/N_n = (g_m/g_n)*exp[-(E_m-E_n)/kT]
� giusto fin qui?
Se s�, la mia domanda �:
perch� la probabilit� che una particella abbia energia uguale ad E_i va
con l'esponenziale negativa di E_i? Parlo in termini fisico-probabilistici!
La trattazione che hai fatto del caso continuo � troppo complessa per me.
Cos� cercher� di elaborare un paio di domande precise e direttamente utili
ai fini del mio studio.
Per ora ti sarei grato se potessi rispondermi ai quesiti sopra riportati.
MM
PS: grazie a giorgio per le sue risposte


mar malp ha scritto:
Ecco il mio secondo quesito: spero sia chiaro, di meglio non so fare.
Riguardo al caso ad energie "discrete", nell'ambito della fisica classica,
quando ci� si verifica? Mi spiego. Penso al caso di una molecola che pu�
assumere due stati conformazionali (beh...forse non � l'esempio che meglio
si addice alla mia richiesta di lasciar fuori le MQ, ma non so...). 
Bene, ma non esiste uno spettro continuo di energie tra i due stati?
Mentre la conformazione varia ci saranno energie intermedie, no? Ancora...
Il mio testo ricorre alla relazione per stati discreti per derivare la
relazione di Nernst. Parte con l'affermare che al rapporto tra probabilit�
(o numero di particelle nei due stati) si pu� sostituire la
concentrazione: se i due stati energetici sono due valori di potenziale
elettrico, ecco che sbuca fuori la relazione di N. 
Il punto � che il testo spiega la relazione di N. come quella che ci d� il
rapporto tra le concentrazioni che lo ione deve avere ai due lati di una
membrana ad esso permeabile, affinch� il flusso netto dello ione sia nullo
(ossia si eguaglino il flusso promosso dalla differenza di concentrazione
con quello legato alla differenza di potenziale). 
Ora, per�, non � che il potenziale salti da un valore all'altro
attraversando la membrana: esso varia continuamente entro la membrana
stessa. Stessa cosa dicasi per la concentrazione. 
Allora mi � venuta questa idea malsana: non � che alla fine si possano
prendere solo due estremi di un intervallo continuo ed applicare la
relazione per energie discrete? Se non � cos�, come si spiega l'approccio
del mio testo che fa esplicito riferimento alla formula per stati discreti?
grazie
MM


 del mio testo che fa esplicito riferimento alla formula per stati discreti?
In realta' la risposta alla tua domanda era gia' scritta nella parte
che hai detto essere troppo difficile :)
Detto piu' in breve, non stai calcolando il numero di particelle in
stati discreti, ma la *densita'*, ossia il numero di particelle per
unita' di volume.
E questo e' giusto in generale: non t'interessa l'effetto dell'energia
cinetica, perche' accetti tutte le en. cinetiche possibili, e quindi
di quello che avevo chiamato "spazio delle fasi" ti resta appunto
l'ordinario volume.
Funziona anche se il potenzial varia in modo continuo, come funziona
nel caso dell'atmosfera nel potenziale gravitazionale: in ogni caso il
rapporto delle densita' (concentrazioni) in due punti e' dato da
rho_2 / rho_1 = exp((V_1-V_2)/kT).
 
-- 
Elio Fabri

Ho postato solo oggi perchè ho cercato, prima di postare, di comprendere 
bene da me il più possibile.
Il mio libro di testo (di Biofisica, scritto da un fisico*), utilizza 
spessissimo questa relazione:
a_2/a_1 = exp(-E/kT),  (1)
con a_i il numero di particelle o la densità numerca di esse (o grandezze a 
queste correlate: pressione, concentrazione, ecc.) La formula viene 
applicata a più casi:
- reazioni chimiche
A<->B    [B]/[A] = exp(delta.G°/RT), potendo B essere anche lo stato di 
"transizione" di una reazione del tipo:
A<->B<->C (in tal caso si usa l'enegia libera di attivazione);
- variazioni di conformazione molecolare (in questo caso A e B sono due 
forme geometricamente distinte della stessa molecola, e vale comunque quanto 
detto sopra);
- densità numerica di particelle dell'atmosfera al variare della quota:
d_2/d_1 = exp(-(Egr_2-Egr_1)/kT);
- densità numerica/concentrazione di ioni in una soluzione posta sotto 
l'azione di un campo elettrico, con dE/dx = k:
d_2/d_1 = exp(-(V_2-V_1)/kT), V_i essendo il potenziale elettrico (mi sembra 
un caso estremamente sovrapponibile al pecedente, solo che anzichè variare 
l'energia potenziale gravitazionale con z, varia il potenziale elettrico con 
x);
- ecc.
In questo thread ho appreso che esistono due relazioni, da cui - 
evidentemente -, deriva la (1):
- N_n = A*g_n*exp(-E_n/kT) (2),
per i casi ad energie discrete -> N_n è il _numero_ di particelle con 
energia E_n
- N(E)dE = A rho(E) exp(-E/kT)dE (3),
per gli spettri continui ->N(E) è la _densità_ numerica di particelle con 
energia E. Integrando questa relazione posso ottenere il _numero_ di 
particelle *solo* se definisco un intervallo di energie E+delta.E.
Nel caso della densità numerica di particelle al variare della quota, ad 
esempio, la relazione precedente diventa:
N(z)dz = A*rho(mgz)*exp(-mgz/kT)dz,
in quanto l'energia potenziale gravitazionale varia lineramente con z. 
N(z)dz è il _numero_ di particelle con energia compresa tra mgz e mg(z+dz), 
mentre N(z) ha le dimensioni di una densità numerica - particelle per unità 
di volume: se integro N(z) lungo z ottengo il numero di particelle nel 
volume che ha una base di superficie unitaria nel paino xy e una altezza 
compresa tra gli estremi di integrazione (le dimensioni fisiche di N(z)dz 
essendo l^(-2), l = lunghezza).
Se quanto ho scritto sopra è corretto, come credo, sarà ormai chiaro come a 
me interessi capire ora come dalle relazioni 2) e 3) si arrivi alla 1), che 
come si nota non ha alcun dei fattori preesponenziali delle altre. La prima 
cosa che mi sembrerebbe giusto affermeare è che la 1) sia il rapporto tra 
due formule del tipo 2) o del tipo 3), aventi i medesimi fattori 
preesponenziali (che così si elidono). La prima cosa da fare per capire se 
siamo davanti al caso ad energie discrete o continue, è vedere se il 
rapporto a_2/a_1 dei singoli casi citati dal mio testo sia un rapporto tra 
_densità numeriche_ o tra _numeri_ di particelle. Sulla base di questo 
criterio, mi verrebbe da dire che laddove figurano concentrazioni di 
reagenti all'equilibrio chimico (un recipiente con A e B che si trasformano 
vicendevolmente), essendo lecito moltiplicare direttamente [A} e [B] per il 
volume del recipiente ed essendo possibile così ottenre il _numero_ di 
molecole A e di molecole B, sia anche lecito parlare di caso ad energie 
discrete (il contrario in caso di palesi densità numeriche). A tal 
proposito, quindi, mi sorgono le seguenti domande:
- *perchè le trasformazioni chimiche possono essere trattate con la distr. 
per livelli discreti? Io pensavo che ci fossero variazioni continue di 
energia lungo la "coordinata di reazione"*.
- affinchè g_i = cost (devono elidersi), come devono definrsi i livelli: 
equidistanti? ugualmente degeneri? Io propenderei per la seconda.
- "A" cosa è esattamente? Il numero di tutte le particelle?? E nei casi ad 
energie continue?
- come si vede ho messo da parte l'interpretazione "energia maggiore o 
uguale a": per ritirarla in ballo è importante che i livelli siano come? 
Basta che g_i = cost (ugualmente degeneri) o è necessario che i livelli 
siano equidistanti, g_i = 0? E nei casi ad energie continue?
- quale proprietà di E fa si chè rho(E) sia costante? E quando Rho(E_i) = 
cost (in modo da semplificarla nel rapportare le due relazioni (3)?
- rho_2 / rho_1 = exp((V_1-V_2)/kT)... questa non l'ho capita!
Insomma, è evidente che non sapendo fino in fondo cosa siano A, rho(E) e 
g_n, abbia una certa confusione in testa!
Grazie mille,
Marcello
*purtroppo non riesco ad imparare a memoria la 1) (in tutte le applicazioni 
che ne fa il mio testo), senza capire almeno qualcosina sulla distribuzione 
di Boltzmann in generale, spero che questa mia necessità appaia legittima e 
non velleitaria a chi legge.

 necessità appaia legittima e non velleitaria a chi legge.
Complimenti vivissimi, specie considerando che studi biologia. :-)
Se ne hai la possibilita' e il tempo potrebbe magari interessarti
consultare un manuale elementare di Meccanica Statistica, ad es.
come questo libretto (non recente ma di facile e gradevole lettura):
http://books.google.it/books?hl=it&lr=&id=5sd9SAoRjgQC&oi=fnd&pg=PA1&dq=kittel+statistical+mechanics&ots=3mP9n1l0OU&sig=eaEqjyeho2BouqqcI8O6CWRoV8U#v=onepage&q=kittel%20statistical%20mechanics&f=true
PS ho risposto per quanto mi e' in grado, ma spero che
potrai avere anche risposte piu' chiare e complete.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 Complimenti vivissimi, specie considerando che studi biologia. :-)
Grazie, ma � una lotta impari: ci vorrebbe un personal trainer per no 
impazzire ogni volta :-) !!!
Grazie infinite,
Marcello

 Neanche io ho capito cosa intendi ;-)
Non avevo capito che la formula era quella scritta dal Prof. Fabri
in precedenza, allora rho_1 e' la densita' numerica di molecole
all'altezza h_1 e V_1 l'energia potenziale gravitazionale di una
molecola all'altezza h_1, analogamente per rho_2 e V_2, quindi
la formula e' la solita formula barometrica.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 la formula e' la solita formula barometrica.
OK, Giorgio, grazie.
Vorrei chiederti solo un ultimo consiglio. Quel po' di cose "in più" che ho 
capito grazie ad Elio ed a te, sono comunque preziose per me, se non altro 
per intravvedere la complessità che c'è dietro alla mia banale formula
a_2/a_1 = exp(-(E_2-E_1)/kT) (1).
Ma all'esame (ed il consiglio che ti chiedo riguarda la correttezza di 
questa affermazione) dirò che la 1) ci dice semplicemente il rapporto tra la 
probabilità (o la concentrazione o il numero, a seconda delle necessità e 
dei casi) di trovare una delle N particelle (in equilibrio) con energia E_2 
e la probabilità di trovarla, invece, con energia E_1, a prescindere dal 
fatto che ci siano livelli discreti o continui di energia. La cosa non è 
correttissima quando invece ci sono "densità" nel mio rapporto, ma tuttavia 
è come dire che la probabilità di trovare una particella sulla vetta 
dell'Everest è 1/3 di quella di trovarla alla superficie del mare: è ovvio 
che non sto riferendomi alla probabilità di trovare una particella ad una 
specifica quota, ma piuttosto alla probabilità di trovarla in un volumetto 
di aria "attorno" a quella quota: più piccolo è il volumentto e più il 
rapporto tra le due densità di probabilità e quello tra le due probabilità 
divengono simili.
In altre parole l'assenza nella 1) di informazioni sulla normalizzazione 
fatta per a_1 e a_2, mi permette, sia che le energie siano discrete, sia che 
siano continue, di trattare indifferentemente a_i sia come numero o 
probabilità che come densità di tali grandezze.
Può andar bene?
Grazie,
M. 

 continui di energia.
Finora avrei detto di si', nell'ipotesi che le degenerazioni dei
livelli 1 e 2 siano uguali per livelli discreti, o che le densita'
degli stati di energie 1 e 2 siano uguali per livelli continui,
pero' a pensarci mi e' venuto il dubbio che non sempre,
anche essendo soddisfatte quelle ipotesi, il rapporto tra
le probabilita' sia uguale a quello delle concentrazioni...
Per il momento preferisco non aggiungere altro, e auspico
(per te, ma altrettanto per me) un parere da chi ne sa di piu' ;-)
...
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 (per te, ma altrettanto per me) un parere da chi ne sa di piu' ;-)
Va bene. Facciamo così e tagliamo la testa al toro.
a_2/a_1 = exp(-(E_2-E_1)/kT) (1)
Posso affermare che è sempre vero che (se g_i=cost e rho(E)=cost e le N 
particelle totali sono in equilibrio):
a) se i livelli sono discreti, a_2/a_1 è certamente _almeno_ il rapporto tra 
il _numero_ di paricelle con energia E_2 ed il numero con energia E_1 (e 
quindi anche un rapporto tra probabilità o tra concentrazioni).
b) se i livelli sono continui, a_2/a_1 è certamente _almeno_ il rapporto tra 
due densità numeriche (per unità di energia o di altra grandezza linearmente 
correlate con questa, come la quota per l'energia gravitazionale): in tal 
caso è anche il rapporto tra densità di probabilità e tra concentrazioni 
(penso alla densità di particelle alla quota h).
Grazie,
Marcello 

 ha scritto nel messaggio 
news:Vtqpn.141812$813....@tornado.fastwebnet.it...
Faccio un esempio:
a) ho un volume V con N particelle in equilibrio. So che ci sono n livelli 
discreti di energia e so che la 1) � applicabile e voglio sapere quale � il 
rapporto tra il numero di particelle con E_2 e quello con E_1:
a_2/a_1 = exp(-(E_2-E_1)/kT) = 5
Ora, posso dire che se prendo una particella qualunque, � 5 volte pi� 
probabile che essa abbia energia E_2, in quanto:
a_2/a_1 = (a_2/N)/(a_1/N) = rapporto tra probabilit�.
E posso anche dire che l e particelle con energia E_2 sono 5 volte pi� 
concentrate, in quanto:
(a_2/V)/(a_1/V)=rapporto tra concentrazioni
b) Ho una colonna d�'aria in equilibrio, con la base sulla terra e il tetto 
a quota h. La base � unitaria ed il volume V. So che la 1) � applicabile 
(quindi rho(E)= cost, ecc.), posso dire che:
a_2/a_1 � il rapporto tra due densit� numeriche (ossia particelle per unit� 
di energia), in questo caso particelle per unit� di volume (e quindi 
concentrazione ad una data quota/energia). Evidentemente � anche il rapporto 
tra densit� di probabilit� (probabilit� per unit� di Volume).
Grazie,
Marcello 

 di Volume).
Si'.
IMHO.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 valga anche per la concentrazione puntuale nelle varie posizioni.
Certo. Quando in questo caso, infatti, pensavo ad un recipiente con reagenti 
e prodotti (idue stati), senza variazioni di energia con la posizione.
Grazie 

> valga anche per la concentrazione puntuale nelle varie posizioni.
Sai solo cosa mi lascia perplesso? Quando abbiamo a che fare con densità 
numeriche o concentrazioni e vogliamo calcolare il nmero di particelle in un 
volumetto di aria di base unitaria ed altezza dz, quanto è lecito fare 
a_i*dz? A parità di ampiezza di dz potremmo avere un risultato più 
verosimile ad una data quota ed uno molto distante dalla realtà ad un altra 
quota. magari nel caso della distribuzione delle molecole d'aria nel campo 
gravitazionale ciò può non avvenire, anche se dz è molto piccolo!
Ma se ci trovassimo dinanzi ad un campo di forze diverso, con "picchi" e 
"buche" di energia potenziale, non credi che un dx non idoneo potrebbe 
avvicinarci alla realtà (reale numero di particelle nello spessore dx) in 
una certa posizione e allontanarcene in un'altra? Ovvio che parlo di dx come 
di uno spessore piccolo a piacere, ma finito, se no non si potrebbe parlare 
di _numero_ di particelle. Cmq suppongo che potendo scegliere un dx piccolo 
a piacere (ma pur sempre finito), tale errore possa essere ridotto 
altrettanto a piacere. E' vero?
Grazie 

 altrettanto a piacere. E' vero?
Si'.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani