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Titolo: gamma = Cp / Cv

ciao a tutti,
tramite un'esperienza di lab. mi è stato chiesto di calcolare il rapporto Cp
/Cv nel seguente modo:
Cp/Cv= (lnP1 - lnP2) / (ln P1 - ln P3)
ma questa formula da dove esce?
sull'Atkins, mio libro di riferimento non ho trovato niente di utile e
neanche in rete...
cmq P1, P2, P3 venivano determinate nel seguente modo:
si inserisce in un recipiente una certa quantità di gas, si arriva alla
cosiddetta "pressione di pericolo", si chiude il gas, il recipiente è
collegato ad un trasduttore di pressione e ad un voltmentro, dopo aver
chiuso il gas si attende che il dato si stabilizzi e si rileva il primo dato
che opportunamente trasformato rappresenta P1. Si apre e si chiude
velocemente una valvola ( cioè si simula un'espansione reversibile immagino)
e si prende come P2 il valore più piccolo osservato sul voltmetro, si
attende che il dato si stabilizzi e si prende P3.
ciao e grazie

 attende che il dato si stabilizzi e si prende P3.
Adesso il gas acquista calore dall'ambiente e raggiunge lo stato finale con i valori
P3 e Ta di pressione e temperatura, quindi applicando l'equazione di stato del
gas perfetto si ottiene:
2)  P2 / P3 = T2 / Ta
Mettendo a sistema le equazioni che si ottengono dopo aver preso il logaritmo
di entrambi i membri di 1) e 2), si ha:
[lg(P1) - lg(P2)] * (1 - g) / g = lg(P2) - lg(P3)
e quindi isolando g:
g = [lg(P1) - lg(P2)] / [lg(P1) - lg(P3)]
Visto che si tratta di un'esperienza reale, mi piacerebbe conoscere i valori misurati
delle pressioni e la composizione chimica del gas, puoi postarli?
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
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tra nome e cognome

 delle pressioni e la composizione chimica del gas, puoi postarli?
per ora ho solo i dati in mV , non ho ancora avuto voglia di convertirli in
pressioni, con i mV le gamma si avvicinano abbastanza a quelle teoriche,
convertendo in pressione mi hanno detto che vengono valori di un bel po'
inferiori ma non ho ancora provato.
i gas erano Argon e anidride carbonica.
questi sono i dati di taratura del trasduttore per fare la conversione:
Patm = 777 mmHg         mV = 2.411
Vuoto= 0 mmHg          mV= - 81.820
Dati per l'argon
     1a misura
     2a misura
     3a misura
     4a misura
      P1 (mV)
     9.043
     8.870
     9.328
      P2
     2.514
     2.579
     2.520
     2.515
      P3
     4.190
     4.140
     4.230
       ?
     1.64
     1.63
     1.65
     1.66
       ?  medio
     1.645
Dati per la CO2:
     1a misura
     2a misura
     3a misura
     4a misura
     5a misura
      P1
     8.700
     9.342
     9.380
     9.265
     9.091
      P2
     2.519
     2.516
     2.515
     2.485
     2.503
      P3
     3.726
     3.847
     3.860
     3.817
     3.801
       ?
     1.46
     1.48
     1.48
     1.48
     1.48
       ?  medio
     1.476
 ho fatto copia-incolla da excel, spero compaiano i dati, altrimenti li
riposterò prossimamente, magari già convertiti,
ciao
romina
ah, gamma teorica per l'argon è 1.67, per CO2 1.42
riciao

 e dato che PV = cost
[cut]
Cosa? Questa trasformazione non e' isoterma e PV non e' costante!
Invece sostituiamo nella ultima equazione V = nRT/P, e abbiamo:
Cv ln (T2/T1) = -nR ln (T2/T1) + nR ln (P2/P1), da cui
(Cv + nR) ln (T2/T1) = nR ln (P2/P1)
dividendo i due membri per nR = Cp - Cv, si ha:
[Cv/(Cp - Cv) + 1] ln (T2/T1) = ln (P2/P1), cioe'
gamma / (gamma - 1) ln (T2/T1) = ln (P2/P1), e facendo l'esponenziale
dei due membri:
(T2/T1)^[gamma / (gamma - 1)] = P2/P1, cioe':
P1 * T1^[gamma / (1 - gamma )]  = P2 * T2^[gamma / (1 - gamma )]
che e' l'equazione 1) cercata.
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Se il trasduttore e' lineare, ottengo con i tuoi dati
(per Ar ne manca qualcuno) valori di gamma dell'ordine
di 1.35 per Ar e 1.25 per CO2, inferiori a quelli teorici.
Riguardo ad Ar concordo con il valore gamma teorico = 5/3 = 1.67,
per CO2 la questione e' un po' piu' complicata perche' bisogna, nel calcolo
dei calori specifici, tenere conto anche dei gradi di liberta' vibrazionali che a
temperatura ambiente sono parzialmente "scongelati", e il gamma teorico
dovrebbe essere dell'ordine di 9/7 = 1.3 (2 g.d.l. vibrazionali "scongelati"),
quindi sembra che l'accordo tra teoria ed esperimento sia con questi dati
sperimentali migliore per CO2 che per Ar.
Per quale ragione i valori sperimentali di gamma risultano inferiori a quelli teorici?
Non lo so, provo ad *azzardare* un tentativo di spiegazione:
visto che l'espansione adiabatica reale e' irreversibile, il lavoro eseguito
sull'ambiente esterno durante l'espansione sarà minore di quello massimo teorico
(a causa degli attriti ecc.), quindi alla fine dell'espansione l'energia interna, la temperatura
e la pressione P2 del gas saranno maggiori di quelle teoriche, dalla formula
gamma = (lnP1 - lnP2) / (ln P1 - ln P3), vediamo che al crescere di P2
gamma diminuisce, quindi se effettivamente il valore di P2 misurato sperimentalmente
e' maggiore di quello teorico, si spiega come gamma sperimentale risulti minore
di quella teorica.
Ma perche' la discrepanza e' minore nel caso di CO2 che nel caso di Ar?
Forse perche' CO2 dovrebbe piu' propriamente essere trattato come un
gas di Van der Waals che come un gas perfetto, e nell'espansione adiabatica
le forze attrattive tra le molecole di CO2 esercitano un lavoro negativo,
di conseguenza la pressione finale del gas e' minore di quella teorica,
e cio' compensa parzialmente l'effetto precedente.
Ripeto, le precedenti sono solo "elucubrazioni" di fantasia e andrebbero verificate...
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