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Titolo: [Equazione di Schroedinger]

Salve a tutti, ho un dubbio riguardo a quell'animale mitologico di cui
al subj. Gli orbitali sono soluzioni dell'equazione, d'accordo, psi e'
la funzione d'onda associata all'elettrone e compagnia bella. Ma
l'equazione in se' da cosa si ricava? Dati sperimentali?
Ciao
-- 
Francesco Giannici
in...@musicboom.net
www.musicboom.net

 wrote in message
200011142321299759@[194.243.81.237]...


 Ma l'equazione in se' da cosa si ricava? Dati sperimentali?
L'equazione di Schrodinger non si ricava affatto, e' un postulato.
Naturalmente questo non significa che Schrodinger se la sia sognata
di notte. In effetti nella costruzione di una nuova teoria ci sono 
due grandi vincoli che devono essere rispettati:
1) la teoria deve rendere conto dei nuovi risultati sperimentali
2) la teoria deve ridursi alla vecchie teorie nei casi particolari
   in cui i risultati sperimentali innovativi non si manifestano.
L'eq. di Schrodinger non fa eccezione e puo' essere giustificata in modo
euristico (ma non ricavata).
Per aver chiari i termini del problema l'eq. e':
  ih d|Psi>/dt = H |Psi>
dove con h intendo accatagliato e con H intendo l'operatore
hamiltoniana.
I risultati degli esperimenti (solite interferenze e cose varie)
hanno suggerito l'idea di strutturare lo spazio degli stati per un
sistema
come un particolarissimo spazio lineare (l'affinamento del formalismo
nei
decenni della "rivoluzione scientifica" ha definito per bene questa
struttura oggi nota con il nome di spazio di Hilbert, ovvero uno
spazio vettoriale, dotato di un prodotto hermitiano, dove tutte le 
successioni di Cauchy convergono ad un elemento dello spazio)
al fine di implementare il PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE.
Per conservare anche il PRINCIPIO DI CAUSALITA' (altro pilastro della
fisica)
si e' poi cercata un'espressione lineare per l'equazione che regolasse
l'evoluzione degli stati nel tempo:
Se parto da uno stato |Psi(0)> al tempo t = 0, lo stato al tempo
generico t
(qualora NON intervengano processi di misura fino al tempo t) e' cioe'
dato
da:
   |Psi(t)> = U(t)|Psi(0)>
dove U e' l'operatore di evoluzione temporale.
Per conservare la norma di t e per far si che U sia un operatore
surgettivo,
U DEVE essere un operatore unitario, ovvero deve essere invertibile e il
suo
inverso essere dato dall'operatore aggiunto di U.
Non solo, valgono evidentemente le relazioni:
U(t-t')U(t'-t") = U(t-t")
U(0) = identita'
In un intorno del tempo zero:
U(dt) = 1 - i dt O
dove -i, con i unita' immaginaria, e' stato aggiunto per convenienza
(altera al piu' la definizione di O) e O e' un operatore che
rappresenta essenzialmente la derivata di U in zero:
[dU/dt](t) = i O U(t)
Dall'unitarieta' di U possiamo dedurre qualcosa sulla natura di O:
U*(dt) = 1 + i dt O*
U U* = 1
percio', al primo ordine in dt:
 O = O*
che significa che O e' un operatore autoaggiunto o hermitiano.
Se cerchiamo un' equazione differenziale per |Psi> dobbiamo derivare
l'equazione con l'evolutore temporale e otteniamo:
[d|Psi>/dt](t) = -i O |Psi(t)>
ovvero, trascurando di indicare t per chiarezza:
i d|Psi>/dt = O |Psi>
che e' pericolosamente simile all'eq. si Schrodinger!
Se introduciamo l'operatore H definito come
    H = O / h
ritroviamo
ih d|Psi>/dt = H|Psi>
Bisogna solo giustificare il fatto che H rappresenta effettivamente
l'operatore hamiltoniana.
Qui ci si appoggia molto sul fatto che per oggetti di dimensioni
macroscopiche
l'eq. quantomeccanica debba ridursi alle equazioni classiche del moto.
In sostanza la faccenda sta in questi termini:
trasferendo la dipendenza temporale dalla funzione d'onda alle
osservabili
operatoriali (rappresentazione di Heisemberg) si trovano delle eq. del
moto
per le osservabili che sono identiche per alle corrispondenti
eq. del moto classiche dove si abbia l'accortezza di sostituire le
parentesi
di Poisson con il commutatore diviso per ih. Capita che nel posto
corrispondente nell'eq. quantistica a dove, nell'equazione classica,
compare
la funzione hamiltoniana, compaia l'operatore H definito sopra.
Esistono anche altri modi, piu' o meno eleganti, per giustificare l'eq.
di Schroedinger. Ad esempio quello proposto da Schwinger:
Si stabilisce una corrispondenza fra generatori delle trasformazioni
canoniche infinitesime in meccanica classica e generatori delle
trasformazioni
unitarie in meccanica quantistica, assieme ad un'assunzione sulla forma
dell'integrale d'azione in meccanica quantistica.
In questo modo, sulla scorta del fatto che
in meccanica classica:
 l'hamiltoniana e' il generatore delle traslazioni temporali
si definisce in meccanica quantistica:
 l'operatore hamiloniana come il generatore delle traslazioni temporali
e si scopre che, almeno per sistemi con analogo classico, l'hamiltoniana
e' uguale in forma all'hamiltoniana classica dove, in luogo delle
variabili
dinamiche, compaiono i corrispondenti commutatori.
La risoluzione dell'eq. di Schrodinger si puo' portare a termine avendo
a disposizione una completa caratterizzazione degli operatori coinvolti,
il
che equivale a conoscerne i commutatori che sono anch'essi deducibili 
tramite il "principio di Schwinger".
Comprendo di non essere stato gran che chiaro, ad ogni modo ti
consiglio di consultare la "costituzione biblica" della meccanica
quantistica, ovvero il libro di MQ di Dirac, scritto al volgere degli
anni trenta. Unico difetto: quei ladri della Bollati Boringhieri
(che fanno il paio con quei terroristi della Zanichelli) chiedono
lo sproposito di 100000 lire per un testo di un paio di centinaia 
di pagine, se lo trovi in biblioteca e' meglio.
Ciao
	Luca
-- 
Posted from 
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?????
Questa proprio non la capisco.
Che intendi?
bye


 dinamiche, compaiono i  ***corrispondenti commutatori***.
ma volevo scrivere ***corrispondenti operatori***,
inoltre ho sbagliato in piu' punti la traslitterazione del nome di
Schroedinger che, a quanto mi dicono, trasforma la o con dieresi in 
"oe" e non semplicemente in "o".
bye


per quello che mi ricordo l'hamiltoniano e' l'operatore dell'energia totale
(cinetica + potenziale) dell'elettrone, mentre il laplaciano e' quello
dell'energia cinetica.
Maurizio

 "oe" e non semplicemente in "o".
Si', la o con umlaut tedesca si traslittera con "oe", che rende la
pronuncia...
Grazie mille per la dettagliatissima spiegazione, era soltanto per
togliermi questa curiosita'. Comunque le mie poverissime conoscenze di
matematica e fisica (quello che mi viene dal liceo classico, cioe'
nulla, piu' qualche curiosita' quantistica che mi sono potuto levare per
i fatti miei) non mi hanno permesso di capire piu' dell'1% di quello che
hai scritto. :D
Un'ultima cosa: tu parlavi di "Hamiltoniana", mentre il mio professore
di chimica generale, illustrandocela, parlava di "Laplaciano" (il delta
rovesciato), al quadrato, per intendere d2/dx + d2/dy + d2/dz. Ho fatto
casino o sono la stessa cosa?
Ciao e grazie ancora


 dell'energia cinetica.
esatto (a meno di fattori moltiplicativi inessenziali).
Per completare il collegamento con il discorso che avevo
fatto prima aggiungero' come si ottiene la rappresentazione 
dell'energia cinetica come laplaciano.
L'hamiltoniana e' la trasformata di Legendre della lagrangiana
che e' a sua volta definita come la differenza fra energia cinetica
ed energia potenziale.
Nella maggior parte dei casi l'hamiltoniana coincide con l'energia del
sistema e il termine cinetico per una particella e'
  P*P / (2*m)
(almeno nel caso in cui non c'e' campo magnetico)
Questa espressione e' valida tanto classicamente che in meccanica
quantistica, solo che in quest'ultimo caso P e' un operatore.
Per poter trovare le soluzioni dell'eq. di Schroedinger dicevo che
basta conoscere i commutatori dei vari operatori coinvolti.
Il classico metodo di quantizzazione prevede di calcolare il
commutatore di due osservabili come ih per la parentesi di Poisson
delle due variabili dinamiche corrispondenti.
Per cui se vogliamo il commutatore di Xi con Pi:
[Xi,Pi] = XiPi - PiXi
(in generale gli op. NON commutano)
calcoliamo la parentesi di Poisson:
{A({qj},{pj}),B({qj},{pj})}= Somme[su j](@A/@qj @B/@pj - @A/@pj @B/@qj)
dove {qj} e' l'insieme delle coordinate lagrangiane
(ad es. le componenti dei vettori posizione delle particelle)
e {pj} e' l'insieme dei momenti coniugati.
Nel caso A = xi, B = pj:
{Xi,Pj} = delta(i,j)
percio'
[Xi,Pj] = ih delta(i,j)
Se indichiamo con |x> gli autostati dell'op. X:
X|x> = x|x>  (il primo X e' l'operatore, il secondo e' il
              valore che indicizza l'autostato, ovvero il suo
autovalore)
cerchiamo in termini di essi una rappresentazione per P
(rappresentazione delle coordinate, quella solita delle funzioni
d'onda come funzioni delle coordinate)
<x|P = ?<x|
Beh, per trovare cos'e' "?" basta calcolare in rappresentazione
delle coordinate l'azione del commutatore su di una generica funzione
d'onda e si trova che, con un'opportuna scelta di fase per le
autofunzioni
di X, la rappresentazione di P e'
  P = -ih * gradiente
Intendendo:
<x|P|Psi> = -ih * gradiente <x|Psi>
Chiaramente l'operatore P^2 diventa:
- h^2 * laplaciano 
(il laplaciano e' "gradiente scalar gradiente")


 ha scritto nel messaggio
news:200011142321299759@[194.243.81.237]...


 il Chiorboli, che parla di come si possa ricavare l'equazione.
E io invece, guarda un po', non sono d'accordo.
Salvo restando il fatto che il Chiorboli e' il miglior testo di chimica
generale che abbia mai letto, devo contestare la validita' della
*derivazione* dell'eq. di Schroedinger riportata alle pagg. 121-123
(nella mia edizione).
L'eq. di Schroedinger non ha affatto la forma dell'equazione delle
onde (vedi eq. [3-56]) dal momento che e' del primo ordine rispetto
al tempo e non del secondo e questo e' un fatto essenziale.
In particolare le formule [3-58] e [3-58'] sono del tutto false,
anche per onde piane libere (Epot uniforme e costante).
L'unica equazione valida e' la [3-59] che NON e' equivalente 
(per fortuna) alle precedenti ed esprime a modo suo il fatto che
l'operatore en. cinetica, in rapp. delle coordinate, e' 
-h*h/(2*m) * delquadro.
La cosiddetta "eq. di Schrodinger indipendente dal tempo" non dice 
nulla sull'evoluzione dello stato, in particolare non dice che le 
autofunzioni di H (qualora H sia indipendente dal tempo) sono
soluzioni stazionarie.
Il passaggio per il campo E.M. e' del tutto fuor di luogo per delle
ragioni che trascendono la pretesa ed errata *derivazione* di cui
sopra:
1) La necessita' di una nuova meccanica (agli inizi del secolo) e' 
   stata evidenziata ANCHE dallo "strano" comportamento della luce
   (radiazione di corpo nero ed effetto fotoelettrico per primi)
   ma la meccanica ondulatoria non relativistica che ha preso forma
   in seguito (eq. di Scroedinger, 1926, Annalen der Physik) NON
   ha spiegato il comportamento del campo E.M. 
   Si e' dovuta aspettare la quantizzazione dei campi nella 
   formulazione dell'elettrodinamica quantistica (Q.E.D. di Feynman,
   Tomonaga e Schwinger: post seconda guerra mondiale) per vedere 
   risolti tutti i problemi del primo quarto di secolo.
 
2) I campi elettromagnetici, nella formulazione quantizzata, NON
   sono la funzione di stato della radiazione bensi' il valore
   d'aspettazione di particolarissimi operatori sullo stato di
   radiazione. Quindi il parallelo tra radiazione e materia mette
   su piani equivalenti campi e osservabili (energia, momento, ecc.)
   e NON campi e funzione d'onda.
Con tutto cio' ribadico che considero il Chiorboli il miglior libro
di chimica generale in circolazione. Quando ero al primo anno me lo
sono letto in meno di due settimane (sono piu' di 1000 pagine;
naturalmente non basta limitarsi a leggerlo per essere preparati)
accattivato dalla lapidaria introduzione (se fosse un manifesto
la sottoscriverei), dalla scrittura divina, dall'assenza di colori
(spesso se ne usano a sproposito), dall'opacita' della carta (odio
le pagine che sembrano specchi), dalla raffinatezza del formato di
testo, dal rigore (spesso) dell'esposizione, dalla chiarezza e 
profondita' con cui affronta gli argomenti.
Il paragrafo che ho criticato nasconde in se il buon proposito
che permea l'intera opera: quello di rendere l'esposizione
consequenziale e di partire dai principi fisici.
...
Non sempre riesce bene...
Dall'introduzione alla prima edizione:
"[La metodologia seguita nella trattazione] e' stata suggerita dal 
convincimento [...] che fin dall'inizio dell'insegnamento della
chimica, l'impostazione e lo sviluppo dei suoi temi piu' significativi
debbono essere improntati ai criteri rigorosi della chimica fisica,
i soli che possono abituare ad una organizzazione razionale del 
pensiero nello studio dei fatti molteplici di interesse chimico, 
risonoscendo alla chimica fisica il ruolo primario di struttura portante
della cultura chimica di base, piuttosto che quello di un prezioso
ma non indispensabile ornamento per iniziati sofisticati.
La chimica e' cresciuta da tempo alla piena maturita' di scienza esatta
proprio perche', facendo suoi i metodi sperimentali e teorici della
fisica, e' diventata chimica fisica: fin dall'inizio deve percio' essere
presentata con questo suo volto, senza il timore che esso possa
apparire,
appena alla soglia degli studi universitari, di tratto troppo duro o
poco
comunicativo, tanto piu' che per l'approfondimento di qualsiasi tema
appena oltre i suoi aspetti generici e piu' elementari si han da
affrontare
teorie e metodi di elaborazione sempre meno semplici, sorretti spesso
da un apparato fisico-matematico ignoto alla scienza chimica
tradizionale."
Ciao


 ha scritto nel messaggio
news:200011142321299759@[194.243.81.237]...
