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Titolo: massa ridotta mol. poliatom.

Vabbe' se' capito che la mia nuova fissa č la spettroscopia...
Stavolta volevo proporre un piccolo esercizio.
Consideriamo una molecola, per esempio CHIF2.
conosco la costante di
forza per modo normale di stiramento C-I.
Calcolare la sua frequenza di vibrazione (o di assorbimento
-emissione).
ora, la frequenza č v = (1/2*Pi)*sqrt(k/mu)
dove k e' la costante di forza e mu e' la massa ridotta.
Non ho capito bene se nel calcolo della massa ridotta devo
considerare il gruppo CHF2 come rigido e quindi:
mu = (m_I*m_CHF2)/(m_I+m_CHF2)
oppure devo considerare ogni modo di vibrazione indipendente
dagli altri e porre:
mu = (m_I*m_C)/(m_I+m_C)
Grazie.

 mu = (m_I*m_C)/(m_I+m_C)
Cominciamo col dire che questo in realta' e' in problema di meccanica:
capitolo piccole vibrazioni, modi normali.
Il mio imbarazzo e' che non so dove stai studiando queste cose, come
ti vengono insegnate...
Perche' la mia risposta sarebbe "nessuna delle due".
A rigore non so neppure che cosa significhino in un problema del genere
i termini "costante di forza" e "massa ridotta"...
Potrebbe darsi che per quella particolare molecola sia lecita una
qualche approssimazione, per es. perche' la massa di I e' parecchio
maggiore delle altre. Ma non ne sono sicuro.
-- 
Elio Fabri

Elio Fabri

Ti do solo uno spunto per trovare le coordinate normali, lascio a te
l'approfondimento e la soluzione dell'esercizio (il caso di CIHF2 come
punto di partenza non è il massimo, meglio partire dal caso più semplice
triatomico)
Un metodo per trovare le coordinate normali è il seguente:
1. stabilire un set di coordinate iniziali, per esempio le coordinate
cartesiane di ogni atomo
2. costruire l'hamiltoniana del sistema, H = T + V =
Sum{i}[1/2m(i)(dx(i)/dt)^2] + Sum{i,j}[1/2H(i,j)x(i)x(j)], dove H(i,j) è
la matrice hessiana del potenziale: H(i,j) = d^2V/dx(i)dx(j)
3. passare a un nuovo sistema di coordinate q(i), pesate per la massa, in
modo da eliminare le m(i) dall'espressione per l'hamiltoniana: q(i) =
x(i)*sqrt(m(i))
4. diagonalizzare l'hessiana: si troveranno gli autovettori (le coordinate
normali, definite come combinazioni lineari delle coordinate pesate per la
massa) e gli autovalori (le costanti di forza dei modi normali). Siccome
abbiamo già pesato le coordinate per le masse nel passaggio precedente, la
relazione tra le costanti di forza e le frequenza sarà v(i) = sqrt(k(i)).
Essendo partiti da 3N coordinate, 6 autovalori saranno uguali a zero,
quelli che corrisponderanno alle coordinate che definiscono il moto
traslazionale e il moto rotazionale (se la molecola è lineare gli
autovalori uguali a zero saranno solo 5, 3 per il moto traslazionale e 2
per quello rotazionale). 
L'ultimo punto può essere affrontato con notevoli vantaggi sfruttando la
teoria dei gruppi. 
Scopo della diagonalizzazione dell'hessiana è trovare un sistema di
coordinate tali che il sistema possa essere visto come un insieme di
oscillatori armonici indipendenti. A quel punto la soluzione del problema
sarà semplificata: la funzione d'onda per il moto vibrazionale della
molecola sarà il prodotto di funzioni monodimensionali, ognuna dipendente
da una coordinata normale; l'energia vibrazionale sarà la somma
dell'energia dei singoli modi normali. Ovviamente il tutto operando
nell'ambito dell'approssimazione armonica.
-- 
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 ...
Ora ho capito: a te interessava i problema generale dei modi normali.
E ora di risposte ne hai avute a sufficienza.
Invece io mi ero spaventato, perche' pensavo che ti servisse la
risposta per quella particolare molecola (difluoroiodometano, dico
giusto?) e con qualche schematizzazione valida solo in quel caso...
 
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Elio Fabri