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Titolo: stato e configurazione

spero di disturbarvi per l'ultima volta con domande su questo esame..
l'altra volta,il prof mi chiese cos'è uno stato e io ho risposto che è una
combinazione lineare di orbitali molecolari..disse che è una definizione
ambigua,non basta.
io l'unica definizione di stato che ho trovato sui libri è quella,e avrei
anche detto che la configurazione è una combinazione lineare di stati,ma a
questo punto dubito che sia così.
un aiutino che mi schiarisca la mente come le altre volte me lo date? thanks


wrote:

Ti faccio un discorso piuttosto generale, spero di poterti soddisfare.
Bisogna prima distinguere tra la descrizione classica e quella
quantistica. In meccanica classica uno stato è definito al tempo t
dalle coordinate e dai momenti di ogni particella che lo compone.
Quindi bisogna definire, in uno spazio tridimensionale, 6N grandezze
(dove N è il numero delle particelle). 
Per conoscere lo stato al tempo t + Dt si dovrà conoscere il
potenziale a cui è soggetto il sistema e risolvere le equazioni del
moto (Newton o Hamilton).
In meccanica quantistica lo stato del sistema al tempo t è definito
dalla funzione d'onda Psi(r,t) e la sua evoluzione nel tempo è
determinata dall'equazione di Schrödinger 
ih×dPsi(r,t)/dt = HPsi(r,t)    h in realtà è h tagliato ossia h/2pi
Se il potenziale è indipendente dal tempo allora la funzione d'onda è
data da
Psi(r,t) = psi(r)×exp(iEt/h)   anche qui h è h/2pi
e psi(r) è la soluzione dell'equazione stazionaria
H psi(r) = E psi(r)
Per l'atomo di idrogeno, se non si introducono nell'Hamiltoniano gli
effetti magnetici (accoppiamento spin-orbita), l'equazione può essere
risolta esattamente. Essendoci un unico elettrone le soluzioni saranno
funzioni monoelettroniche, che vengono chiamati orbitali. Se definiamo
quale di questi orbitali è occupato dall'elettrone quel che facciamo è
definire la sua configurazione elettronica. Per esempio nello stato
fondamentale per l'idrogeno sarà 1s1.
Ora introduciamo l'accoppiamento spin-orbita e definiamo lo stato del
momento angolare totale, il momento angolare orbitale e lo spin
totale. Per l'idrogeno è piuttosto semplice perchè vi è un solo
elettrone. S = 1/2 per ogni configurazione. Mentre il numero quantico
del momento angolare orbitale sarà uguale al numero quantico l
dell'orbitale occupato. Per definire il numero quantico totale dovrai
far ricorso alla serie di Clebesh-Gordan. Vediamo qualche esempio.
Per 1s1 S = 1/2  L = 0  J = 1/2
La configurazione elettronica genera un unico termine, che viene
esepresso in genere nel modo seguente
<sup>2S+1</sup>X<sub>J</sub>
<sup> </sup> lo uso per indicare gli apici
<sub> </sub> lo uso per indicare i pedici
X è il valore di L che però non viene espresso con un numero, ma con
una lettera, si usa la seguente convenzione, che ha ragioni storiche:
L = 0       S
L = 1       P
L = 2       D
L = 3       F
etc.
insomma è come per gli orbitali solo che qui sono maiuscole.
Per lo spin non viene riportato il valore del numero quantioco, ma la
sua moltiplicità (2S+1).
Quindi tornando all'idrogeno 1s1 l'unico termine è
<sup>2</sup>S<sub>1/2</sub>
Per ogni valore di J ve ne sono (2J+1) di Mj lo stato del sistema è
definito completamente se si determinano S, L, J e Mj che sono i
numeri quantici che definiscono gli autovalori degli operatori che
commutano con H. Per questo termine vi sono due possibili valori di
Mj, +1/2 e -1/2 quindi due stati. In assenza di campo magnetico questi
due stati sono degeneri.
Prendiamo ora la configurazione elettronica 2p1
S = 1/2    L = 1
J può assumere due valori, 3/2 e 1/2
i termini generati dalla configurazione sono dunque 
<sup>2</sup>P<sub>1/2</sub>  -> 2stati
<sup>2</sup>P<sub>3/2<sub>    -> 4stati
Per prevedere l'ordine delle energie si possono usare le regole di
Hund, in questo caso il termine a maggior energia è quello con J=3/2
I due termini hanno energie differenti in virtù dell'accoppiamento
spin-orbita. 
Se passiamo a un sistema multielettronico, il modo più semplice per
affrontarlo è fare l'approssimazione orbitalica. Ossia si assume che
la psi(r) sia data da un prodotto di funzioni monoelettroniche. Per
rispettare il principio di Pauli si provvede poi ad antisimmetrizzare
il prodotto. Il modo sistematico per farlo è costruire un determinante
di Slater. 
Operando all'interno di questa approssimazione, per definire lo stato
di un atomo si dovrà specificare sia la configurazione elettronica che
i valori di S, L , J e Mj in analogia con quanto fatto con l'idrogeno.
Questa volta si dovrà stare attenti che i termini generati siano tutti
coerenti con il principio di esclusione di Pauli. Seguendo le regole
dell'accoppiamento LS si otterranno i termini e quindi anche gli
stati. Tanto per fare un esempio, l'azoto, configurazione elettronica
fondamentale 1s2 2s2 2p3 genera i termini 4S, 2D e 2P. Lo stato
fondamentale è il <sup>4</sup>S<sub>3/2</sub> che ha degenerazione 4.
Per le molecole si può continuare a usare l'approssimazione
orbitalica, la determinazione dello stato diviene via via più
complessa e si farà ricorso alla teoria dei gruppi. Comunque ciò che
importa è che lo stato è definito dalla funzione d'onda e che se la
rappresentiamo in maniera approssimata sarà utile, per diversi motivi,
esplicitarne alcune caratteristiche che la contraddistinguono.
ciao