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Titolo: [Controlli Automatici]: Strana approssimazione in bassa frequenza!

Salve,
sono ore che cerco di capire come possa essere stata fatta
la seguente approssimazione :
 
			1 + 4.16s + 8.89s^2
G(s)=-----------------------------------------------------------------------------------------
	(1+0.3s)(1+2s)(1+10s)(1+3.6s+6.48s^2)(1+5s+12.5s^2)
Diventa semplicemente :
			1
Ga(s)=----------------------------------------------------------------
		1 + 16.74s + 87.83s^2
Traduco dal testo in inglese originale :
Al denominatore di G(s) è presente un termine di secondo
ordine dominante, che può essere approssimato secondo la
seguente relazione (espansione di Taylor) :
 
			1
1+sTa+(sTb)^2=-----------------------------------
		1-sTa+s^2(Ta^2-Tb^2)
Le mie domande sono :
 Qual è il termine dominante e quali sono i passaggi
intermedi (a grandi linee) effettuati?
Qualche suggerrimento?
Grazie mille a tutti quelli che interverranno.

 
(1+5s+12.5s^2)=1/(1-5s + s^2 (5^2 - 12.5) + O(s^3)) =
= 1/(1- 5 s + 12.5 s^2 + O(s^3) )
Semplificando si ottiene
Ga(s) = (1 + 4.16s + 8.89s^2) * (1- 5 s + 12.5 s^2 + O(s^3) )
        -----------------------------------------------
            (1+0.3s)(1+2s)(1+10s)(1+3.6s+6.48s^2)
=    1 - 0.84 s + 0.59 s^2 + O(s^3)
   -------------------------------------------------------------
   38.88*s^5 + 174.52 s^4 + 170.66*s^3 + 74.36*s^2 + 15.9*s + 1
Dividendo la serie di potenze
si ottiene
= 1 - 64.74 s + 192.396 s^2 + O(s^3)
che e' l'inverso di (senza il termine O(s^3))
 >
 > 			1
 > Ga(s)=----------------------------------------------------------------
 > 		1 + 16.74s + 87.83s^2
 >
Giorgio


[cut]
Ho postato qui per sbaglio!!!
Ed è proprio qui che trovo la soluzione!!
Per una volta il destino è stato benevolo!!:))
Grazie infinite ! Le avevo provate tutte!
Non avevo pensato minimamente a dividere la serie di
potenze!!
Grazie mille!
-- 
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 serigrafia on line

= 1 - 64.74 s + 192.396 s^2 + O(s^3)
Come hai effettuato tale divisione? 


Abbiamo da fare la divisione
(Sum_i a_i x^i) / (Sum_i b_i x^i) = Sum_i c_i x^i
dove c_i rappresentano i coefficienti della serie di
potenze del risultato
porti b dall'altra parte
<=>
(Sum_i a_i x^i) = (Sum_i b_i x^i) * (Sum_i c_i x^i)
<=> { moltiplicazione di serie }
Sum_i a_i x^i = Sum_i [ Sum_(j=0..i) (b_j*c_(i-j)) ] x^i
<=>
Per ogni i
a_i = Sum_(j=0..i) (b_j*c_(i-j))
quindi visto che i c_i sono il risultato
si imposta il sistema
a_0 = b_0 c_0 => c_0 = a_0 / b_0
a_1 = b_0 c_1 + b_1 c_0 => c_1 = a_1 - b_1 c_0 / b_0
=> c_1 = a_1 - b_1 a_0 / b_0^2
a_2 = b_0 c_2 + b_1 c_1 + b_2 c_0 =>
c_2 = a_2 - ( b_1 c_1 + b_2 c_0 ) / b_0 {*} =>
c_2 = a_2 - ( b_1 a_1 - b_1^2 a_0 / b_0^2 +
+ b_2 a_0 / b_0 ) / b_0
[se non ho fatto errori sostituendo]
e cosi` via fino all'ordine desiderato
se c'e' un O(x^3) quindi ci fermiamo al 3o termine
Premesso che ovviamente poi nelle implementazioni
NON si calcolano cosi` ma con la FFT (cosi` bisogna
fare n^2 operazioni moltiplicative)
nel tuo caso abbiamo
(facciamo l'inverso per ottenere direttamente
il risultato proposto a cui volgiamo arrivare)
a=(1,15.9,74.36,170.66,174.52,38.88)
b=(1,-.84,.59,O(x^3))
tiriamoci fuori i c_i
c_0 = a_0 / b_0 = 1
c_1 = a_1 - b_1 a_0 / b_0^2 = 15.9 + .84*1/1 = 16.74
c_2 = [..{*}..] = 74.36 - ( (-.84)(16.74) + (.59)1 )/1 =
= 87.8316
Gli altri vengono *mangiati* da O(s^3)
Ciao
Giorgio