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Titolo: QUATTUORDECAFONIA

QUATTUORDECAFONIA
Qualcuno tra gli indefessi studiosi di storia musicale che frequentano
il newsgroup
potrebbe confermare o negare su basi attendibili l’ipotesi secondo cui
i primordi della musica araba, prima della contaminazione occidentale,
videro in uso una scala di quattordici tonalitą ?
Vi sembra un’ipotesi plausibile o č del tutto sballata ?
Grazie,
 Fabio Capuano



Da quel che mi risulta, la musica araba è musica di mentalità e trasmissione
orale, quindi non dovrebbero esservi trattati di teoria musicale araba.
L'uso di un sistema basato su 14 tonalità è possibile ma non codificato
(sempre stando a quanto mi risulta).
Mi sembra però che tu confonda il numero di tonalità con quello di
suddiviosni dell'ottava. Per intenderci: il sistema occidentale scritto è
basato sulla ripartizione in dodici parti uguali dell'ottava (sistema
temperato). Probabilmente quello arabo è un sistema in cui l'ottava è divisa
in 14 parti non uguali.
Questo è più che probabile

 orale, quindi non dovrebbero esservi trattati di teoria musicale araba.
Non e' esattamente cosi': dal X secolo al Congresso del Cairo del 1932 si
sono accapigliati fior di teorici, matemetici e filosofi su come fissare i
gradi lella scala. La questione e' complicatissima e forse non e' questa la
sede per entrare in dettagli noiosi (immagino) per la gran parte di noi. In
sintesi si puo' dire che nel X sec. la successione degli intervalli seguiva
il sistema pitagorico con Limma di 90 cents (il semitono) e Apotome di 114
cents (il tono) creando cosi' una scla di 12 suoni, piu' o meno come la
nostra. 
Nel XIV sec. Safi Al-din, nell'intento di rispettare certi cromatismi
presenti nel canto  teorizza una scala di 17 gradi. Al Congresso del Cairo
si stabilisce in 24 il numero dei gradi della scala cromatica araba
moderna.In quella sede illustri studiosi presentarono scale diverse che
proponevano anche  30  intervalli. 
Per chi volesse approfondire l'argomento, a parte l'estesa monografia  sul
DEUMM, segnalo il libretto (60 pgg.) "Gli intervalli musicali e la musica
dai sistemi antichi ai nostri giorni" di Righini - Ed. Zanibon Padova.
Ciao
Giacomo
 
 

 dai sistemi antichi ai nostri giorni" di Righini - Ed. Zanibon Padova.
Grazie per la dritta,
Ciao,
Antonio
_______________________________________________________________________________
	     a n t o n i o   	      s i d o t i 
 
	     e-mail	              
sid...@science.unitn.it
	     www   		      
http://science.unitn.it/~sidoti/
_______________________________________________________________________________
 


Non e' cosi'!   :-) 
Per i bisogni dell'arte musicale e' stata costruita una scala detta
temperata, a modifica della scala naturale, in cui con una leggera
alterazione degli intervalli originari, si effettuava una divisione
dell'ottava in dodici intervalli esattamente uguali.
Cosi' allo stesso modo le scale di cui parla Giacomo Andreola sono pur
esse temperate per esigenze musicali. La inderogabilita' del raddoppio
della frequenza all'ottava successiva (il termine ottava e' improprio,
ma chiarisce!) determina matematicamente la ragione x della
progressione (cioe' l' intervallo tra due note vicine) secondo la
espressione:
     x=RADICEDODICESIMA(2)             per la scala dodecafonica
     x=RADICEDICIASSETTESIMA(2)    per la quatuordecafonica
     x=RADICEVENTESIMA(2)              per la scala icofonica
     ecc....
Saluti
G.Giamberduca
giamber AT tin DOT it

 l'ottava in 12 gradi. La motivazione e` quindi *anche* matematica. 
Bisogna vedere che cosa si intende per "errore minore".
Il criterio migliore, a mio avviso, e' quello di avere delle quinte il
piu' possibile "giuste". Dal punto di vista matematico, questo equivale
a trovare una buona approssimazione razionale per ln(3)/ln(2).
Il problema puo' essere risolto usando le frazioni continue semplici,
che forniscono le approssimazioni "ottimali" agli irrazionali.
Sviluppando ln(3)/ln(2) in frazione continua, le prime troncate sono:
            8/5,   19/12   e   65/41.
La seconda frazione corrisponde alla scala che noi usiamo (ottava divisa
in 12 intervalli uguali e ottava+quinta=19 intervalli).
Per fare meglio occorrerebbe andare ad un'ottava divisa in 41 intervalli
uguali (!) con ottava+quinta=65 intervalli.
Ricordo pero' un seminario in cui si diceva che anche 19 (o 17? - non mi
ricordo...) intervalli darebbero delle quinte passabili.
Saluti.
M.
-- 
Per rispondere: sostituire "nobody" con "frigeni" nell'indirizzo email.

 ricordo...) intervalli darebbero delle quinte passabili.
Scusa l'ingenuita', ma se il problema e' solo quello delle quinte, il
temperameto pitagorico te le scodella tutte belle pure e naturali come
mamma le ha fatte!
Tant'e' vero che finche' non s'e' posto il problema della polifonia,
nessuno (neanche gli arabi) aveva messo in discussione Pitagora, se non van
Zwolle che nella seconda meta' del '400 interviene con una piccola modifica
(sposta la quinta di lupo tra il SI e il FA# invece che tra il SOL# e il
MIb) ottenendo cosě anche 4 buone terze su note di maggior uso (RE, LA, MI
e SI).
Se qualcuno fosse interessato a una discussione piu' generale sui
temperamenti (o Giulio, com'e' che temperi il tuo violino? Non col
coltellino, spero...) me lo faccia sapere: sarebbe per me una sfida in cui
dovrei dar fondo a tutte le mie qualita' maieutiche (affinate - o logorate
- in piu' di quattro lustri di insegnamento) per rendere la materia meno
arida e ostica possibile.
Ciao
Giacomo

 arida e ostica possibile.
In effetti, a quel che so i violinisti accordano le corde sulle
risonanze (o sbaglio?) e quindi hanno quinte perfette ma... stonate per
il TE!
Comunque un paio di curiosita' le avrei, soprattutto su come venivano
temperati in epoca barocca strumenti come i flauti (e chi meglio di te
potrebbe rispondere? ;-), i liuti e le viole da gamba.
Be', ti ho dato il la ;-)) ora puoi scatenarti!


> Se qualcuno fosse interessato a una discussione piu' generale sui temperamenti...
Io ! E' un argomento che mi ha sempre incuriosito, e di cui, a dire il vero, non ho mai capito
granchè ;)))
---
Alberto Caporro - 
a.ca...@usa.net
                - 
a.ca...@pratesi.it

me lo faccia sapere: 
Ti lancio la sfida! (:-)))
Perche' non apri un thread (come gia' un altro da tempo doveva
fare...(:-))) sui temperamenti? Perche' e' stato scelto proprio il
sistema temperato? Quali sono le varie relazioni matematiche di ogni
sistema?
Per esempio si dice che nel sistema temperato (quello attualmente
utilizzato) l'ottava e' divisa in 12 parti uguali; ma cosa si intende
per "uguali"? Vuol dire che la differenza tra la frequenza di una nota
e quella successiva e' costante? Ma questo sappiamo tutti che non e'
vero, perche' le note, o meglio le frequenze dei suoni relativi, sono
in progressione geometrica di ragione "RadiceDodicesima(2)". E allora
perche' si usa il termine uguale? E' forse un errato luogo comune?
Ciao
'Ragazzi siamo morti.'
'Peccato, ero un tipo simpatico.'
da Capricorn One
Se volete scrivermi in privato rimuovete i numeri 5 
dall'indirizzo e-mail.

perche' si usa il termine uguale? E' forse un errato luogo comune?
Non uguale in termini assoluti, ma di rapporto con la nota precedente: a
qualsiasi altezza della tastiera, due note in rapporto di ottava (do-do)
saranno sempre anche in rapporto matematico di 2:1, cioè la più acuta vibra
a frequenza doppia della più grave. Poi è ovvio che nelle regioni basse la
differenza assoluta sia minore. Per esempio, se prendiamo il la sotto al la
centrale, avrè frequenza 220, e la sua ottava sarà 440, con una differenza
di 220, ma già il la centrale avrà con il la dell'ottava superiore una
differenza di 440 (infatti il la4 è 880Hz). Similmente succede per tutti i
rapporti: il rapporto 'teorico' di quinta è 5:4, il rapporto di tono è 9:8,
quali che siano i toni e le altezze interessate. Il valore numerico poi
ovviamente cambia, ma quello che è uguale è il rapporto fra i suoni
(altrimenti non si potrebbe più trasporre, come non si può -entro certi
limiti- con i temperamenti ineguali).
Domenico

e SI).
Debbo assolutamente andare a comprare il libro da te suggerito!
Mi hai incuriosito non poco. Mi puoi anticipare cosa sono le quinte di
lupo?
Grazie, saluti


 Giacomo
Ti assicuro di essere molto interessato all'argomento, che se non
sbaglio già da tempo avrebbe dovuto dar vita ad un thread intitolato
'Temperamenti & Accordature', come da qualcuno era stato suggerito. Da
un paio di anni ho intrapreso uno studio molto personale sulle
evoluzioni delle strutture e dei sistemi musicali e sul loro
significato, studio che in realtà procede molto a rilento per carenza di
riferimenti bibliografici (non ho il D.E.U.M.M., e a dire il vero fino a
un paio di mesi fa non sapevo neanche cos’era, e la mia biblioteca
domestica è piuttosto povera di testi musicologici, ma ho già provveduto
almeno a prenotare in libreria il libercolo di Righini sugli intervalli
da te suggerito), e di confronti con persone competenti.
Sono inoltre mostruosamente ignorante di storia della musica, e testi
validi che non siano elementari sono piuttosto costosi.
Ho provato nelle ultime settimane a buttar giù qualche riga su alcune
simbologie musicali che mi sono sembrate molto plausibili per proporle
alla discussione sul NG, ma ho ancora le idee troppo confuse e
disconnesse. Se davvero vuoi testare le tue impolverate facoltà
maieutiche sono pronto a farti da cavia.
A proposito, io il mio violino lo tempero con l’orecchio (non tanto a
farcelo entrare, quanto a girarcelo dentro non sai che strazio!:-).
In realtà mi chiedo quale temperamento segua il mio orecchio, se si sia
avvezzo all’ormai onnipresente equabile, o se ne segua qualcuno più
naturale, anche se meno simmetrico.
E per quale motivo poi dei rapporti semplici di frequenza dovrebbero
risultare particolarmente ‘consonanti’ e di piacevole ascolto mi sembra
un irresolubile arcano.
Il fatto che le tracce di onde che abbiano frequenze in un semplice
rapporto reciproco sovrappongano spesso e periodicamente i loro nodi e i
loro ventri non mi sembra che dica molto! Che c’entra col senso del
bello? Mi sembra anzi addirittura più armoniosa, e dunque più
associabile in qualche modo al senso del bello, la scala pitagorica, con
il caratteristico ricorrere di quadrati e di cubi, che non quella
naturale.
Comunque mi fermo qui perché avverto come il sentore di aver detto
qualche corbelleria.
Saluti,
   Fabio Capuano

 Mi puoi anticipare cosa sono le quinte di lupo
E' la quinta che si crea fra MIb e SOL# quando per costruire gli intervalli
si procede di quinta in quinta  partendo  dal DO (salendo da una parte fino
al SOL# e scendendo dall'altra fino al MIb).
Nella scala temperata questa quinta e' uguale a tutte le altre, ma usando
altri temperamenti in cui si usano quinte piu' strette o piu' larghe, al
momento di congiungere l'anello ci si trovera' di fronte a una quinta
stonatissima, che per gli antichi assomigliava all'ululato del lupo a causa
dei tremendi battimenti che suscitava. Mi fermo qui perche' per  maggior
chiarezza dovrei parlare di armoniche, battimenti e cents, ma, come
promesso. cerchero' di farlo senza mettere troppa carne al fuoco.
ciao
Giacomo

 e quella successiva e' costante?
Non la differenza; il rapporto!
-- 
Antonella Gentile       oOo      oOo       Nicolo' Zen
 
gen...@unive.it
      O   O    O   O      
nz...@leonardo.math.unipd.it
                       O   (o)(o)   O    
          Venezia       OoO  oo  OoO       DorsoDuro 3300

e quella successiva e' costante? 
No. E' costante il rapporto. E' il rapporto tra le frequenze
fondamentali (e pertanto delle armoniche) che interviene nell'armonia.
ciao
-----
Vinicio Matteucci
Pistoia, Italy
vi...@sirius.torredipisa.it
(abbattete la torre)
-----
Trovarsi insicuri
Questa la rassicurante qualita' della gioia.

Ora, noi tutti sappiamo che il rapporto di quinta e' 3:2
Chiedo scusa a tutti, soprattutto a quelli che avevano preso per buono il
rapporto che avevo dato hanno magari perso ore per far quadrare l'ottava. Ci
sarebbe una spiegazione dell'errore (era notte, ero morto di sonno,
eccetera) ma la verità è che non ho riletto la stupidaggine che avevo
scritto.
Saluti,
Domenico

perche' si usa il termine uguale? E' forse un errato luogo comune?
La mia domanda era rivolta a capire perche' si dicesse "ottava divisa
in 12 parti uguali". Se prendo un segmento di 10 cm e lo divido in 10
parti uguali, vuol dire che ogni parte e' uguale all'altra (ognuna e'
lunga 1 cm.)
Questo NON accade nell'ottava musicale, come ho detto **IO**. E allora
perche' si dice cosi'????
Ciao
p.s. E poi ve la prendete se mi arrabbio.....(:-)))


qualche corbelleria.
Spero di averti risposto qua sopra.
Ciao


al SOL# e scendendo dall'altra fino al MIb).
Non ho capito il procedimento. 
Ma Mib-Sol# non e' una Terza eccedente?


 Ma Mib-Sol# non e' una Terza eccedente?
Se a qualcuno e' gia' successo di aver digitato 50 righe dense di scienza e
di humor e all'atto di spedirle qualcuno di la'  accende il forno da 2 kw
mentre la lavatrice e qualche altro non ben identificato elettrodomestico
ne stanno divorando altrettanti provocando un irreparabile blackout,
capira' il mio presente stato d'animo...
Ricapitolando: non vorrei far trascorrere notti insonni al buon Giulio,
anche se preferirei non disperdermi in anticipazioni forzatamente
sintetiche e un po' criptiche (come questa che ha originato dei
fraintendimenti) visto che ho preso l'impegno di trattare l'argomento nel
modo piu' chiaro possibile.
Qui mi limiterň a sciogliere il dubbio, e abbiate pazienza se daro' per
scontato terminologia e concetti.
Il procedimento e' il seguente: Parto dal DO e trovo il SOL salendo di una
quinta (quinta pura, o naturale, o pitagorica di 702 cents. Per i pignoli
701, 955 cents, contro i 700 della scala temperata). Dal SOL il RE, poi il
LA, MI, SI, FA#, DO#, SOL#. Riprendo il DO iniziale e ora scendo di una
quinta, trovando cosi' il FA, poi il SIb e infine il Měb. Abbiamo ottenuto
tutte le note della scala cromatica con una successione di quinte naturali,
dal MIb al SOL#. La quinta di lupo e' quella che dovrebbe chiudere l'anello
e dal MIb SCENDERE al LAb (=SOL#, nel temperamento equabile). Capite che se
ogni quinta ha aggiunto circa 2 cents, alla fine del giro ne avro'
totalizzato 21,5 (che in un altro contesto rappresenta il Comma Sintonico o
di Didimo). Se pensiamo che il semitono misura 100 cents, l'ascolto di una
quinta cosi' larga fara' storcere le orecchie anche a un sordo.
En passant possiamo anche notare il grave problema che si pone se vogliamo
concludere la successione delle quinte. 
Dopo un ciclo di 12 quinte pure otteniamo 7 ottave, ma lo scarto ottenuto
e' di ben 23,46 cents (Comma Pitagorico).
Non mi dilungo, rimandando tutto ai prossimi giorni e abbiatemi per
iscusato se non rispondero' ad altre richieste di chiarimenti.
Ciao
Giacomo

bisognerebbe dividere l'ottava in 41 parti.
Alla fine di questo scritto io farò ancora meglio:
Prometto di trovare un temperamento equabile
(cioe' fatto dividendo l'ottava IN ‘intervalli semitonali’ ‘UGUALI’, e
scrivo ‘intervalli’ per accontentare anche la pignuoleria di Giulio
Peruginelli) che abbia delle quinte addirittura ‘perfette’!!!!!!!
E gli intervalli in questione saranno ancora dodici.
“ Sim salabìm ?”
Quale magico artifizio, quali mirabolanti effetti speciali mi
condurranno ad un così ardito obbiettivo molti di voi lo sapranno già
molto bene. Forse anche lo stesso Maurizio Frigeni, che continuo a
ringraziare per averci messo a disposizione alcuni mesi fa un
interessantissimo documento proprio sui temperamenti.
Spero però di aver catalizzato in tal modo almeno la sua attenzione e di
essermi così garantito per lo meno un lettore!
Dunque:
tenterò di spiegare in modo molto semplice come si può arrivare a
codificare i parametri di un temperamento equabile (per lo meno come ci
sono arrivato io).
                                                   PREMESSA
Anche se comunemente un suono viene caratterizzato dalla sua frequenza,
io preferirò caratterizzarlo mediante la sua lunghezza d’onda. Il
discorso sarà assolutamente analogo, con la differenza che i risultati
che si otterranno saranno esattamente l’inverso di quelli comunemente
conosciuti, ciò per la proporzionalità inversa vigente tra frequenza
fondamentale e lunghezza d’onda fondamentale di un’onda. Al fine di non
appesantire il discorso pur garantendo il necessario rigore matematico,
una breve ma noiosa dimostrazione di ciò la porrò come postilla per i
più pignuoli e i miscredenti.
Il motivo di questa mia preferenza sta tutto in una sorta di rispetto
metodologico nei confronti delle motivazioni che mi portano ad
affrontare un determinato studio, nonché dell’evoluzione storica
dell’argomento che mi accingo a studiare.
Per farla breve, il concetto di frequenza di un’onda è un concetto
relativamente recente, e in un certo qual modo troppo freddo e a mio
avviso troppo lontano dallo spirito che guidò gli antichi codificatori
dei sistemi musicali a realizzarli.
Sta di fatto che una ‘corda’ vibrante, fissa agli estremi, così come la
corda di una chitarra o di un liuto, o di un violino, vibra con
lunghezza d’onda fondamentale pari al doppio della lunghezza della corda
stessa.
Ciò è ovvio se si considera che gli estremi, essendo fissi, dovranno per
forza coincidere con due nodi dell’onda, cioè con due punti di stasi
della corda vibrante. La maggiore lunghezza d’onda possibile per una
vibrazione che presenti dei nodi giusto in corrispondenza degli estremi
della corda deve appunto essere di misura esattamente doppia a quella
della lunghezza della corda.
Tento qui di fare un disegno esemplificativo:
                     _    -    _
          _ --                        -- _
 _--                                          --_
*--------------------------------------*_
_*
                                                        --
_                                   _ --
         -- _                   _  --
--   __   --
La linea rappresenta la corda.
L’onda tratteggiata è un ‘istantanea’ dell’onda, prolungata per il
doppio della lunghezza della corda.
Gli asterischi rappresentano i nodi.
  < --------------------------------- >   L = lunghezza della corda
                                                        2L = l =
lunghezza d’onda fond.
  < ---------------------------------
*--------------------------------------->
I primi due asterischi coincidono con gli estremi della corda.
Dato che in un discorso sui temperamenti  si dovranno trattare
essenzialmente rapporti di lunghezze d’onda fondamentali, questi
rapporti saranno perfettamente uguali ai rapporti delle lunghezze delle
corde che generano suoni di siffatte lunghezze d’onda, essendo la
lunghezza d’onda fondamentale il doppio della lunghezza di corda.
Per questo motivo, d’ora in avanti non parlerò più di ‘lunghezza d’onda
fondamentale’, né di ‘lunghezza di una corda’, ma semplicemente di
‘lunghezza’, salvaguardando una certa ambiguità – sovrapposizione tra i
due concetti che non influirà affatto sugli esiti del discorso; e che ci
avvicinerà ad un’idea più concreta, geometrica, visiva e armoniosa di
musica, un’idea suppongo abbastanza prossima a quella che potevano avere
coloro che per primi ragionarono di queste cose, nonostante gli
strumenti matematici si siano modificati nei secoli.
Immagineremo che ogni nota abbia una sua ‘lunghezza’.
Spero che mi perdonerete questa mia intransigenza, anche se comporta una
maggiore perdita di tempo. Ma sono certo della sua efficacia.
Andiamo dunque ad incominciare:
immaginiamo di dover costruire una chitarra. Siamo alla tastiera, e
dobbiamo decidere dove incollare gli stuzzicadenti che delimiteranno i
tasti.
Vogliamo che le dodici note in cui suddividiamo un’ottava siano tali che
ogni intervallo sia caratterizzato da un unico particolare valore che
esprima il rapporto tra le ‘lunghezze’ delle due note dell’intervallo.
Tutti gli intervalli di quinta saranno caratterizzati cioè da un unico
valore, a prescindere dalla quinta che scegliamo, sia questa ad esempio
Do-Sol, oppure Re-La, o Mi-Si, etc…
Così anche tutti gli altri intervalli presenteranno un unico valore per
un tale rapporto, quelli di terza mostreranno il loro valore
caratteristico, quelli di quarta avranno il loro, ed in particolare
quelli semitonali anche avranno il loro proprio valore.
Un temperamento così congegnato è chiamato ‘equabile’, ed ha la
caratteristica per la quale gli strumenti che ne fanno uso possono
traslare un qualsiasi brano in una qualsiasi tonalità senza variare
minimamente la ‘geometria’ musicale, ovvero i rapporti di ‘lunghezze’
che esistono appunto nei vari intervalli che sviluppano il brano stesso.
Abbiamo detto che, come tutti gli altri, in particolare gli intervalli
semitonali mostrano tutti un eguale valore per il rapporto delle
‘lunghezze’ delle note.
Chiamiamo x questo valore, e chiamiamo con il nome di ciascuna nota le
rispettive ‘lunghezze’.
Do , ad esempio, è il simbolo che rappresenta la ‘lunghezza’ del do.
Limitiamo il discorso ad una sola ottava, per estensione potremo poi
derivare i parametri delle altre ottave. Suddividendo quest’ottava nelle
dodici notorie tonalità, e indicando con Do2 la ‘lunghezza’ del do
dell’ottava immediatamente superiore a quella che stiamo considerando,
possiamo allora scrivere dodici equazioni:
I :           Do / Do#   =  x
II :          Do# / Re   =  x
III :         Re /  Re#  =  x
IV :         Re# / Mi  =  x
V :          Mi / Fa     =  x
VI :        Fa / Fa#    =  x
VII :       Fa# / Sol  =  x
VIII :      Sol / Sol# =  x
IX :         Sol# / La  =  x
X :          La / La#  =  x
XI :         La# / Si  =  x
XII :        Si / Do2 = x
L’insieme di queste equazioni costituisce un sistema lineare di dodici
equazioni del primo grado in tredici incognite!
Le incognite sono le dodici ‘lunghezze’ corrispondenti alle note
dell’ottava considerata, più Do2, ‘lunghezza’ del do dell’ottava
successiva.
Sapere a quanto ammontano queste ‘lunghezze’ significa poterci poi
derivare dove andare ad incollare gli stuzzicadenti sulla tastiera del
nostro prototipo di chitarra.
Ma, ahimè, è noto che un sistema di n equazioni in m incognite ammette
una soluzione, che naturalmente sarà unica, solo se n = m, se cioè il
numero delle equazioni è pari a quello delle incognite. Questo è un
fatto abbastanza ovvio, dato che un’equazione è sostanzialmente
un’informazione quantitativa e relazionale sulle incognite.
Se vogliamo che le incognite cessino di essere tali e si rivelino,
abbiamo bisogno di un numero di informazioni pari al loro numero,
ciascuna che caratterizzi e dunque che definisca in qualche modo una
delle incognite.
Se abbiamo un numero di informazioni minore ci sarà qualche incognita
non caratterizzata, e dato che le informazioni date dalle equazioni sono
di tipo relazionale, nessuna delle incognite potrà essere definita!
Se invece dovessimo disporre di un numero di informazioni maggiore di
quello delle incognite, rischieremmo di avere caratterizzazioni
incongruenti tra loro, cioè due informazioni diverse potrebbero
caratterizzare in modo differente per una stessa incognita, cosa che ci
impedirebbe di raggiungere una soluzione del sistema, ovvero un insieme
ordinato di valori, uno per ogni incognita.
Non è però il nostro caso: noi abbiamo dodici equazioni, cioè dodici
informazioni, e tredici incognite. Abbiamo bisogno perciò di una
ulteriore informazione, mutuata da una nuova equazione, che ci faccia
quadrare il cerchio e chiudere i conti.
Il temperamento equabile classico considera il rapporto tra le
‘lunghezze’ delle note di un qualsivoglia intervallo di ottava pari a
1 / 2 .
Cioè stabilisce che ad esempio la ‘lunghezza’ Do sia esattamente il
doppio della ‘lunghezza’ Do2.
Lo stesso per tutti gli intervalli di ottava.
Quest’informazione che caratterizza una relazione tra le incognite Do e
Do2  si traduce nell’equazione Do = 2 * Do2, scrivibile anche nella
forma  Do / Do2  = 2.
È questa appunto la tredicesima equazione che cercavamo.
Possiamo allora scrivere il seguente sistema di tredici equazioni in
tredici incognite:
I :           Do / Do#   =  x
II :          Do# / Re   =  x
III :         Re /  Re#  =  x
IV :         Re# / Mi  =  x
V :          Mi / Fa     =  x
VI :        Fa / Fa#    =  x
VII :       Fa# / Sol  =  x
VIII :      Sol / Sol# =  x
IX :         Sol# / La  =  x
X :          La / La#   =  x
XI :         La# / Si   =  x
XII :        Si / Do2  = x
XIII :      Do / Do2 = 2
La risoluzione di questo sistema è immediata:
moltiplichiamo tra loro i membri di sinistra delle prime dodici
equazioni, ed eguagliamo il prodotto a quello tra tutti i membri di
destra delle stesse.
I*II*III*IV*V*VI*VII*VIII*IX*X*XI*XII  =   ( x )^ 12
Per cui:    (Do / Do# )*(Do# / Re)*(Re /  Re#)*(Re# / Mi)*
               *(Mi / Fa)*(Fa / Fa#)*(Fa# / Sol)*(Sol / Sol#)*
              *(Sol# / La)*(La / La#)*(La# / Si)*(Si / Do2)  =  ( x )^
12
In questo bel prodotto sulla sinistra si nota che tutte le incognite
tranne Do e DO2 compaiono una volta al numeratore e una volta al
denominatore delle frazioni moltiplicande.
Do compare invece solo al numeratore del primo moltiplicando, mentre Do2
compare solo al denominatore dell’ultimo moltiplicando. Ragion per cui
tutte le incognite ad eccezione di Do e di Do2 sono semplificabili per
ovvia divisione.
Il prodotto è dunque il semplice rapporto Do / Do2 ,    per cui:
Do / Do2  =  ( x )^ 12
Qui entra in ballo la tredicesima equazione, secondo la quale:
Do / Do2  =  2
Un banale sillogismo ci suggerisce che
( x )^ 12 = 2
ovvero, elevando entrambi i membri all’esponente (1/12),
x  = ( 2 ) ^ (1/12)
cioè, il rapporto tra le ‘lunghezze’ delle note di un qualsiasi
intervallo semitonale ha valore
Radicedodicesimadidue.
Il rapporto tra le frequenze di due note di un intervallo semitonale,
che è pari all’inverso del rapporto tra le ‘lunghezze’ delle stesse
note, corrisponde al noto valore Radicedodicesimadiunmezzo
(1/2) ^ (1/12).
Il valore x ci indica quante volte la ‘lunghezza’ di una nota deve
essere maggiore di quella che risuona un semitono più in alto.
Nella costruzione della nostra chitarra, utilizzando un temperamento
equabile classico, se la lunghezza intera di una corda è L, il primo
stuzzicadenti lo andremo a posizionare sulla tastiera ad  una distanza
dal ponticello pari a L / x , cioè la ‘lunghezza’ della seconda nota
dovrà essere x volte minore della prima.
Il secondo stuzzicadenti dovrà invece esser incollato ad una distanza
dal ponticello ancora x volte più piccola di quella precedente, ovvero
( L / x ) / x  , cioè  L / (x ^ 2 ).
Il terzo stuzzicadenti lo metteremo invece alla distanza  (( L / x ) /
x) / x  , cioè   L /  ( x  ^ 3 ) .
IL quarto lo metteremo distante dal ponticello una lunghezza pari a    L
/ ( x ^ 4 ).
E così via.
Il dodicesimo stuzzicadenti sarà incollato alla distanza dal ponticello
L / ( x ^ 12 ) , ovvero L/2, la metà della corda iniziale, coerentemente
a quanto asseriva l’informazione espressa con la tredicesima equazione.
Eccoci pronti per suonare un bel flamenco!!!
Ed eccoci arrivati tra l’altro anche a trovare come è possibile aver un
temperamento equabile con quinte perfette: basta … ehm…rinunciare alla
perfezione dell’ottava!
Come tredicesima equazione abbiamo scelto quella che traduce
l’informazione per cui l’intervallo di ottava è l’unico perfetto, ed è
caratterizzato da un valore del rapporto di ‘lunghezze’ pari a 2.
Se sostituiamo questa equazione con quella che traduce l’informazione
secondo cui  l’intervallo perfetto – che dovrà essere unico per non
sovradimensionare il sistema, per non far comparire cioè una
scomodissima e imbarazzante quattordicesima equazione – è appunto la
quinta, il cui valore del rapporto di ‘lunghezze’ è pari a 2 / 3 ,
avremo un’equabile non di ottava, ma di quinta!
All’ equazione     Do / Do2  =  2   sostituiamo perciò l’equazione
Do / Sol = 3 / 2
 Il sistema di equazioni differirà per la tredicesima equazione:
I :           Do / Do#   =  x
II :          Do# / Re   =  x
III :         Re /  Re#  =  x
IV :         Re# / Mi  =  x
V :          Mi / Fa     =  x
VI :        Fa / Fa#    =  x
VII :       Fa# / Sol  =  x
VIII :      Sol / Sol# =  x
IX :         Sol# / La  =  x
X :          La / La#   =  x
XI :         La# / Si   =  x
XII :        Si / Do2  = x
XIII :      Do / Sol = 3 / 2
A questo punto possiamo moltiplicare i primi sette membri di sinistra ed
uguagliarli ai primi sette membri di destra.
Risulterà, in maniera simile ai calcoli precedenti,
Do / Sol  = x ^ 7
Dato che
Do / Sol  =  3 / 2
Allora:
x ^ 7 = 3 / 2
ovvero, elevando ambo i membri all’esponente (1/7),
x  =   ( 3 / 2 ) ^ (1/7).
Calcolatrice alla mano, confrontiamo il passo dell’equabile di ottava
con quello dell’equabile di quinta:
Per l’equabile di ottava
x = 2 ^ (1/12) = ( pigiando il tasto ‘eval’) = 1.05946309436
Per l’equabile di quinta
x = ( 3 / 2 ) ^ (1/7) = 1.05963402267
con una differenza sulla quarta cifra decimale.
Lo scarto percentuale è dei decimillesimi!
Saluti a tutti, e grazie per la pazienza di avermi seguito sin qui,
  Fabio Capuano
                                  POSTILLA
Per i pignuoli che esigano un discorso matematico rigoroso; e i
miscredenti che vogliano testare con mano la veridicità di quanto ho
asserito nella mia premessa, ed io sono a tal punto pignuolo e
miscredente  che non credo mai nemmeno a una parola di quanto io stesso
dico; pongo di seguito un breve accenno sulla liceità ad usare, come
parametro caratteristico di un suono, la lunghezza d’onda fondamentale
della vibrazione che lo produce, in luogo della comunque valida e
comunemente usata frequenza fondamntale.
La frequenza fondamentale e lunghezza d’onda fondamentale sono i
parametri che definiscono univocamente un’onda, nel nostro caso un’onda
sonora. Il prodotto tra questi due parametri indica la velocità di
propagazione dell’onda. In generale possiamo definire costante tale
velocità, per cui i due parametri risultano inversamente proporzionali.
Ragion per cui il rapporto tra due diversi valori di frequenza è pari al
rapporto inverso tra i corrispondenti valori di lunghezza d’onda.
Dato che una trattazione matematica di un temperamento non riguarda in
genere le frequenze delle note, quanto i rapporti tra le frequenze;
posso validamente impostare una trattazione considerando, invece delle
frequenze delle note, le lunghezze d’onda. I risultati finali saranno
semplicemente l’inverso di quelli che vengono comunemente considerati in
simili trattazioni.
Parlando per simboli è più semplice:
se indico con ‘f’ la frequenza fondamentale e con ‘l’ la lunghezza
d’onda fondamentale di un’onda la cui velocità di propagazione indico
con ‘v’, posso scrivere:
  f  *  l = v
ovvero:            f = v / l
relazione, quest’ultima, che esprime appunto l’inversa proporzionalità
tra i due parametri.
Se  f’ è la frequenza di una nota, ad esempio un Do, ed f” è invece la
frequenza di un’altra nota, ad esempio il Sol della medesima ottava,
allora la lunghezza d’onda del Do la posso chiamare    l’, e la
lunghezza d’onda del Sol posso indicarla con    l”.
Allora:
            f’= v’ / l’    e     f” = v” / l”
in queste formule v’ rappresenta la velocità di propagazione del Do e v”
rappresenta la velocità di propagazione del Sol.
Dato che la velocità di propagazione di un suono può essere considerata
costante, ovvero indipendente dalla frequenza e dalla lunghezza d’onda
del suono, quindi indipendente dal suono stesso, allora la velocità di
propagazione del Do è uguale alla velocità di propagazione del Sol.
Chiamiamo v questa velocità. Dunque:
   v’ = v” = v
per cui:           f’ = v / l’    e      f” = v / l”
Il rapporto tra la  frequenza fondamentale del Sol e quella del Do,
rapporto caratteristico di tutti gli intervalli di quinta in un
temperamento equabile, sarà espresso da:
           f” / f’ = (v / l”) /  (v / l’) = l’ / l”
ovvero sarà pari al rapporto inverso delle lunghezze d’onda delle stesse
note.
C.V.D.
Ciao a tutti,
         Fabio Capuano



lupo?
Forse non dovrei intervenire, ma credo che le "Quinte di Lupo" siano
un nuovo taglio di pasta prodotto dalla Barilla, serie Oro (come i
Perciatelli, le Nastrine, i Saccottini e gli Occhi di Lupo).
Le Quinte di Lupo hanno la forma di piccoli siparii ondulati, ma con
due orecchie nei lati in alto.
Schillogeno
------------------
"Well, i'm the slime from your video
 Oozin' along on your living room floor
 I am the slime from your video
 can't stop the slime, people, look it me go"
 Frank Zappa, 1973

p.s. E poi ve la prendete se mi arrabbio.....(:-)))
P.S. E chi si arrabbia. :-)))


 Sim salaběm ?
Come scherzo e' *quasi* divertente ;-) Il problema principale del tuo
schema e' che (contrariamente a quanto asserisci qua sopra) non dividi
in parti uguali l'OTTAVA, ma la QUINTA; questo significa che l'errore
sulle ottave successive aumenta: se sul DO2 l'errore e' piccolo (circa
3,35 cents), questo diventa il doppio sul D03, il triplo sul DO4 e cosi'
via... e siccome il nostro orecchio e' MOLTO sensibile alle ottave, temo
che la cosa diventi presto intollerabile.
Comunque tu insisti e vedrai che prima o poi qualche folle che usera' il
tuo temperamento lo trovi... Dopotutto ho visto nel web notizie di un
tipo che ha riscoperto un temperamento basato su pi greco (!!) ideato
nel 700 da un inglese un po' tocco, ed ha pure costruito una chitarra
per suonarlo!!!
Temo pero' che le tue esternazioni possano annebbiare ancor piu' le idee
a chi gia' le ha confuse (e dai messaggi che leggo, ahime', sono molti).


		[......]
 Seguono 436 righe di cui solo 20 di citazione..
Kaz簣, Fabio, ma non si poteva proprio dire in meno?
Ci ho provato a seguirti, ma... non son + allenato alla maratona...
==========================================
LUX LUCIS		e-mail:
pere...@comm2000.it
lucio...@rcm.inet.it
Se avessi avuto piu' tempo, sarei stato piu' breve (Goethe)

 “ Sim salaběm ?”
Caro Fabio, ho letto con attenzione il tuo scritto, sorvolando sui passaggi
che richiedevano una conoscenza dei numeri superiore al programma di quinta
elementare (io fin li' sono arrivato),  ma sono rimasto con un po' di amaro
in bocca quando mi sono accorto che il gioco di prestigio non e' riuscito
del tutto. Ma come? Tu ti appelli agli antichi e poi mi vai a profanare
l'ottava che in tutte le civilta', dai greci ai pigmei, dalla Lapponia
all'isola di Bali, era ed e' il caposaldo di ogni scala musicale?
L'ottava e' sacra, perdio, scherza coi fanti, ma lascia stare i santi
(=allarga o stringi terze  o quinte, ma lascia star l'ottava).
A parte gli scherzi, complimenti per il tuo sforzo, ma qui, come per il
moto perpetuo o la quadratura del cerchio, mi sa che dovremo rassegnarci al
compromesso.
Ci risentiamo
Giacomo


Et voila'! :-)))
Si,  la tua equabile di quinta mi sembra ragionevole dal punto di
vista matematico. Dal punto di vista musicale non riesco a valutare
l'effetto dello shift di frequenza ad ogni ottava. Io ritengo che la
consonanza di quinta sia importante dal punto di vista armonico,
quanto la preservazione del rapporto di multiplo intero, ma non sono
esperto ne' di storia della musica, ne' di temperamento, per
cui...bene! Sta diventando un thrilling!
Anzi, vorrei aggiungere una provocazione esponendo conclusioni a cui
sono arrivato,  attingendo a reminiscenze di Fisica Tecnica, dopo il
primo post di Giacomo Andreola su quest'argomento.
La scala armonica e' basata su presupposti fisici di relazioni intere
o razionali tra le varie frequenze: cio' corrisponde a possibilita' di
oscillazione della tua corda, CONCOMITANTI a quella fondamentale, che
vengono percepite armonicamente (giuro di non sapere perche', mi
appello al principio di simmetria).
Cosi' a partire dal la di riferimento (440Hz) costruisco il la-
(440*0,5=220) il si (440*0,55=242), il do (440*0,6=264), il re
(440*0,7=308), il mi (440*0,75=330), il fa (440*0,8=352), il sol
(440*0,9=396), fine.
Ho costruito una bella scala endecafonica in cui ogni intervallo e' di
22 Hz costante, e' preservata la condizione del multiplo di frequenza
ad ogni ottava, e per 4 su 7 la condizione di rapporto 3/2 con la
quinta superiore. 
Perche' dunque la scala dodecafonica? Chi ha deciso!!!???
Mi pare che stiamo facendo di tutto per turbare il tempo libero di
Giacomo il provocatore! 
 
Saluti


 Spero di averti risposto qua sopra.
ti ringrazio per la fiducia.
Ciao,
ù
Fabio Capuano

Santa Puttana!
Ho creato un mostro:
non solo l’articolo che ho scritto è talmente lungo e noioso che non
riesco a rileggerlo neppure io che ne sono l’autore,
ma il ‘disegno esplicativo’, che avrebbe dovuto illustrare come la
lunghezza d’onda fondamentale nella vibrazione di una corda fissa agli
estremi fosse pari al doppio della lunghezza della corda stessa, pare si
sia confuso nei labirinti della formattazione.
Per quanto dubito che siano in molti a lagnarsene, tento di seguito di
riparare con un disegno più compatto.
         _
  _-         -_
-_________-__________
                     - _         _-
                          -  _ -
  _________
lunghezza della corda ( L )
  ____________________
lunghezza d’onda fondamentale ( l = 2*L )
pari al doppio della lunghezza della corda.

a chi gia' le ha confuse (e dai messaggi che leggo, ahime', sono molti).
Esiste un modo molto facile e veloce per accordare gli strumenti ad arco,
che riesce facilmente anche ai principianti piu' stonati: basta ricavare
le quinte dai primi suoni flautati di ogni corda. In questo modo si
accorda lo strumento proprio per quinte naturali!
Quindi suppongo che di "folli" che accordano per quinte ne esistano
parecchi...
Certo una cosa e' accordare in questo modo le quattro corde di un
violino, e altro sarebbe accordare l'intera estensione di un pianoforte
da concerto!
Giovanni C

 --   __   --
peccato che il disegno sia stato wrappato; dovresti controllare che il
tuo software non wrappi automaticamente mentre spedisce, ed
eventualmente stare al di sotto del numero di caratteri per riga
impostato (spesso e' 72 mi pare).


in parti uguali l'OTTAVA, ma la QUINTA; . 
Questo non è affatto vero: se guardi meglio ti accorgerai che sia
quello che ho chiamato 'equabil di quinta', ovvero un temperamento
equabile in cui l'unico intervallo esatto è la quinta, sia il classico
'equabil d'ottava', in cui l'unico intervallo giusto è appunto
l'ottava, suddividono un'ottava in dodici 'intervalli monotonali'
uguali, ed entrambi suddividono una quinta in sette 'intervalli
monotonali' uguali.
Proprio come avevo promesso!!!!!!
La tua perplessità sull'effettiva utilità di un temperamento che
rinunci alla 'giustezza' dell'ottava la accetto e la condivido,
ma la tua diffidenza sulla 'esattezza' matematica di un equabil di
quinta è del tutto infondata.
Se nutri ancora dei dubbi ragioniamoci assieme:
Innanzitutto facciamo una precisazione terminologica: 
volevamo ottenere un temperamento equabile, ovvero un temperamento che
divida un'ottava in 'parti' uguali.  
Giulio Peruginelli ci avvertiva giustamente che parlare di
suddivisione di un'ottava in 'parti' uguali  ingenera confusione se
non si definisce in cosa consistono queste 'parti'.
Dato che un'ottava è un intervallo tra note, le 'parti' in cui
vogliamo dividerla saranno presumibilmente intervalli.
Cominciamo allora a caratterizzare ogni intervallo mediante un
particolare parametro, ovvero il valore del rapporto tra le
'lunghezze' delle note  dell'intervallo considerato (rapporto inverso
delle frequenze fondamentali).
Nel caso di intervalli semitonali, chiamiamo  'passo  x' questo
parametro, che in un temperamento equabile sarà uguale per tutti, e
dunque suddividiamo l'ottava in dodici 'intervalli semitonali' uguali,
o meglio ancora 'equivalenti', in quanto hanno passo uguale.
Un temperamento 'EQUABILE' è tale appunto perché in esso ogni tipo di
intervallo ha un suo proprio caratteristico valore per il rapporto tra
le 'lunghezze' delle note che lo costituiscono.
Tutti gli intervalli semitonali saranno tra loro UGUALI in passo,
ovvero avranno come parametro caratteristico il passo x, e anche tutte
le quinte  saranno equivalenti tra loro, e tutte le terze, e tutte le
quarte, le seste, le ottave…  
E questo è vero se il temperamento è equabile, questo è proprio il
significato di 'equabile', a prescindere dal tipo di equabile che
stiamo considerando, vuoi equabil d'ottava, vuoi equabil di quinta, o
vuoi qualsiasi altro equabile.
Difatti questa è proprio l'assunzione che facciamo quando formuliamo
le prime dodici equazioni del sistema:
I :           Do / Do#   =  x      
II :          Do# / Re   =  x
III :         Re /  Re#  =  x 
IV :         Re# / Mi  =  x
V :          Mi / Fa     =  x 
VI :        Fa / Fa#    =  x 
VII :       Fa# / Sol  =  x
VIII :      Sol / Sol# =  x
IX :         Sol# / La  =  x
X :          La / La#   =  x
XI :         La# / Si   =  x
XII :        Si / Do2  = x
Queste equazioni sono valide sia nell'equabil d'ottava che in quello
di quinta, che in ogni altro equabile; e infatti ho usato le stesse
dodici sia per la derivazione dell'equabil d'ottava che per la
derivazione dell'equabil di quinta.
È immediato che gli 'intervalli semitonali' in cui è suddivisa
l'ottava sono tutti uguali.  Infatti è palesemente scritto che
ciascuno di essi è uguale ad x.
Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza dovranno allora esser
tutti uguali tra di loro!
In effetti anche tutti gli altri intervalli saranno uguali tra loro,
ad esempio tutte le quinte:
si moltiplichino tra loro i membri di sinistra delle equazioni da I a
VII, quelli da II a VIII, quelli da III a IX, quelli da IV a X, e così
via. Tali prodotti esprimeranno i rapporti tra le 'lunghezze' delle
note di diversi intervalli di quinta. Si noterà immediatamente che i
prodotti dei corrispettivi membri di destra saranno tutti uguali a x^7
, parametro caratteristico dell'intervallo di quinta.
Di nuovo la transitività dell'uguaglianza sarà garante
dell'equivalenza di tutti gli intervalli di quinta. 
Allo stesso modo tutti gli intervalli di terza saranno caratterizzati
dal parametro caratteristico x^4; quelli di quarta dal parametro x^5,
et cetera. Tutte le terze saranno perciò tra loro equivalenti, e così
tutte le quarte, et cetera et cetera ceteratque…
E finora non ci siamo ancora espressi sul 'tipo' di equabile che
stiamo considerando.
Sarà la tredicesima equazione che sceglieremo a stabilire quale
equabile andremo a formulare:
l'equazione
Do / Do2 = 2
Codifica un classico equabile di ottava;
l'equazione
Do / Sol = 3/2
Codifica invece un equabile di quinta;
mentre l'equazione
Do / Fa = 4/3
Potrebbe ancora codificare un equabile di quarta!
Il passo x sarà pari a Radicedodicesimadidue nell'equabil d'ottava; a
Radicesettimaditremezzi nell'equabil di quinta; a
Radicequintadiquattroterzi nell'equabil di quarta. 
In tutti questi equabili l'ottava sarà sempre divisa in dodici
'intervalli semitonali' equivalenti.
Questo per definizione di 'equabile', o, se vogliamo, per le prime
dodici equazioni del nostro sistema.
La tredicesima equazione ci dirà poi a quanto ammonta il passo x. 
Mediante le prime dodici equazioni stabiliamo che un'ottava dovrà
essere suddivisa in dodici intervalli semitonali tra loro equivalenti,
cosa che implica anche che tutti gli altri intervalli omologhi siano
tra loro equivalenti.
La tredicesima equazione stabilisce invece quanto debbano differire
intervalli diversi, differenza di cui rende conto il valore del passo
x.
Con la tredicesima equazione scegliamo il passo x opportuno per
'giustificare' le ottave, oppure le quinte, oppure le quarte…
Non possiamo 'giustificare' più di un intervallo:
avevamo a che fare con un sistema di dodici equazioni in tredici
incognite, ed abbiamo aggiunto al sistema una tredicesima equazione
che non contenesse incognite nuove per il sistema.
Questa tredicesima equazione è quella 'giustificatrice', quella cioè
che stabilisce quale intervallo del nostro temperamento debba essere
l'unico intervallo 'giusto', esatto.
Non possiamo aggiungere altre equazioni 'giustificatrici' di altri
intervalli, altrimenti avremmo un sistema sovradimensionato che non
ammetterebbe soluzione.
In definitiva, l'aggettivo equabile sintetizza le prime dodici
equazioni; il complemento qualitativo 'di ottava' specifica invece la
tredicesima equazione. 
Un saluto circolare,
                           Fabio Capuano

 L'ottava e' sacra, perdio, scherza coi fanti, ma lascia stare i santi
   Mi costringi a riproclamare la mia purtroppo abissale ignoranza  in
istoria. Il mio è sostanzialmente un rispetto ‘metodologico’, ma
concordo col fatto che per avvicinarsi il più possibile alle idee degli
antichi formulatori dei sistemi musicali che ancora oggi sono usati è
bene rispettare ciò che per loro era ‘sacro’.
Per quel poco che so e che riesco ad intuire, però, non sono del tutto
sicuro che fino al Medio Evo la quinta non fosse considerata almeno
altrettanto ‘sacra’ quanto l’ottava, ed ho molti motivi per nutrire un
tal dubbio. Questo naturalmente nel nostro vecchio Occidente, ma
suppongo che anche per i Lapponi e i Pigmei, come per gli abitanti di
Bali, la quinta fosse sacra quanto l’ottava.
Ripeto che non ne so molto, e forse sono in errore.
Quel che è certo è che l’avvento dei temperamenti mesotonici e del
temperamento equabile non fu accolto con molto entusiasmo; e, fino ad
allora, ‘corrompere’ una quinta doveva sembrare pressappoco un’eresia
del tipo di quella che a te è parsa la ‘corruzione’ dell’ottava
nell’equabile di quinta.
È vero però che quell’avvento, segno dei tempi che cambiavano, fu
qualcosa di portata veramente rivoluzionaria che portò ad un diverso
modo di intendere la musica, un modo più estetico e meno sacrale, cui si
accosta molto la moderna idea di musica; mentre l’equabile di quinta non
è altro che una semplice provocazione, un inoffensivo esperimento per
osservare sotto nuove prospettive la natura incredibilmente complessa
dell’Armonia.
Non sostengo affatto che bisognerebbe rinunciare all’equabile d’ottava
per assumere l’equabile di quinta, in nome di una implausimile
superiorità dell’intervallo di quinta rispetto a quello di ottava! Né
esiste alcuna semplificazione che potrebbe indurci a tale sostituzione.
Il mio stesso prototipo di chitarra l’ho costruito con un equabile
d’ottava.
Inoltre sospetto che le prime a ribellarsi all’effettivo uso di un
equabile di quinta sarebbero le nostre stesse orecchie, anche se la
differenza comincerebbe a farsi sentire solo suonando note che si
trovino tra di loro a distanza maggiore di un paio di ottave!
Maurizio addirittura sostiene che esperimenti del genere non facciano
altro che confonderci ancor più le idee.
Io invece non ne sono per niente convinto: penso che sia oltremodo
salutare aprirsi nuove prospettive nell’analisi anche solamente teorica
di nuove forme da fare assumere all’oggetto delle nostre ricerche,
sorgono in tal modo nuove idee e nuovi interrogativi,  tutto viene
costantemente rimesso in discussione, anche, e questo è un bene, non un
male, la stessa ‘sacralità’ dell’ottava:
da un punto di vista squisitamente matematico tutti i temperamenti
equabili sono assolutamente simili, equipollenti, dato che dipendono
esclusivamente dalla ‘forma’ che diamo alla nostra tredicesima equazione
del sistema.
Dunque è matematicamente evidente che l’intervallo di ottava è un
intervallo come tutti quanti gli altri, e ha lo stesso valore
dell’intervallo di prima, di quello di settima, e di tutti gli
intervalli più ‘insignificanti’.
Ancora più evidente è che però, dal punto di vista acustico, l’ottava
non è affatto un intervallo qualunque, né tantomeno la quinta, alla cui
‘giustezza’ però l’equabile di ottava rinuncia senza troppi complimenti!
Quegli intervalli che le nostre orecchie giudicherebbero ‘giusti’ non
hanno motivi matematici per esserlo più di altri.
La domanda che sorge spontanea alla luce di queste considerazioni è:
cos’è che rende ‘giusto’ un intervallo?
La relazione che vige tra la matematica e i ‘motivi’ del nostro animo
non sembrerebbero diretti!
Cosa dunque li media?


 Di dove sei? A che punto sei degli studi del violino?
Giulio, ma allora sei distratto!L’ho scritto già in altri articoli che
suono molto male da due anni, con immenso rammarico e profonda
costrizione di tutti i residenti alla via Santa Maria del Rovo della
ormai non più ridente cittadina di Cava de’Tirreni, abbarbicata come una
pulce nell’interstizio ascellare tra la Costiera Amalfitana e il
restante fusto dello Stivale.
Cerca di stare un po’ più attento la prossima volta!!!
(>8:-))  <---<
Ciao,
ù
Fabio Capuano

 e' di ben 23,46 cents (Comma Pitagorico).
ma visto che siamo a 7 ottave di distanza, questo scarto da' veramente
fastidio? Si sente chiaramente che non sono ottave giuste?
Qualcuno di voi ha provato ad accordare un pianoforte cosi' e a
suonarlo? E' sgradevole?


 Una coincidenza? 
E' la quarta volta che rileggo questa frase: forse sono un po' stanco.
Intendi dire che la consonanza non e' un effetto bensi' una definizione?


all'isola di Bali, era ed e' il caposaldo di ogni scala musicale?
Ha ragione Fabio: non si puo' avere la botte piena e la moglie
ubriaca, cari miei.


E poi non eri tu che dicevi che Bach e' un musicista matematico? :-)))
Appunto. E tu non eri quello che disdegnavi la matematica in Bach?
(:-))


 parecchi...
Questo e' un altro discorso, a cui accennavo in un post precedente: i
violinisti accordano lo strumento sfruttando gli armonici della corda
precedente (non conoscevo il termine "suoni flautati"). Per la
precisione, toccando una corda ad 1/3 della sua lunghezza si sopprime la
nota fondamentale e il primo armonico (ottava), facendo risaltare il
secondo armonico, a frequenza tripla della fondamentale. Poiche' il
rapporto di quinta e' 3/2, questa nota corrisponde alla quinta naturale
dell'ottava successiva alla fondamentale.
Naturalmente pero' i violinisti prendono poi anche le ottave giuste! La
cosa buffa e' che le quinte naturali cosi' ottenute sono, a rigor di
logica, "stonate" dal punto do vista del temperamento equabile... in
pratica la differenza e' pero' troppo piccola per essere notata.


intervalli più ‘insignificanti’.
Non vorrei scoraggiarti, ma la trattazione matematica fatta da Eulero nel
suo <Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis
dilucide expositae> mi sembra piu' illuminante della tua.
Conosci i "Fondamenti della musica" di Ernest Ansermet? Nella 5a riga
dell'introduzione definisce il rapporto di ottava. Nella 7a riga ha gia'
dimostrato che l'orecchio non percepisce i rapporti di frequenza, ma
bensi' il loro logaritmo e comincia immediatamente una trattazione basata
sui logaritmi. Quindi non ci si sorprende quando a pagina 174, dopo avere
trovato (matematicamente) la differenza fra l'ottava e Dio, puo' gia'
iniziare il capitolo "La fenomenologia di Dio".
Hai voglia a corrergli dietro con la tua tredicesima equazione...
Giovanni C

(:-))
Disdegno la matematica in Bach cosi' come disdegno l'intelligenza in
Sharon Stone. 
Si sa che la suddetta e' intelligentissima (e' nel club degli over 160)
ma dire che "Sharon Stone e' intelligentissima"rischia di porla in una
prospettiva di giudizio sbagliata.
Sharon Stone e' decisamente piu' "interessante" ad esempio di Margarita
Hack, pur avendone probabilmente l'intelligenza. Sharon Stone ha
qualcosa in piu', cosi' come Bach. E come succede con Bach, anche per
Sharon Stone, sembrerebbe facile dire cosa ha di straordinario, ma se
poi ci si pensa bene si scopre che non e' per niente semplice.
ciao
-----
Vinicio Matteucci
Pistoia, Italy
vi...@sirius.pisa.it
-----
Conta solo non essere coinvolti
e trascinati via da cio' che si dice:
e si potra' poi dormire tranquilli.

 cos’è che rende ‘giusto’ un intervallo?
Avevo giurato astinenza assoluta fino a che non avrei riversato il
contenuto che ho in testa in un breve post suddiviso in 48 capitoli
intitolato "Il temperamento",  ma  questo breve appunto me lo voglio
concedere.
Gioseffo Zarlino direbbe che sono quelli che corrispondono ai rapporti
semplici.
Tutti quelli che non scrivevano di musica, ma dovevano accordare uno
strumento, si basavano sugli armonici.
Se pensiano che i primi armonici di DO1 sono DO2 SOL2 DO3 MI3 SOL3 ecco
spiegato perche' suona grato all'orecchio una simil sovrapposizione di
note: sono gia' contenute "in natura" dalla fondamentale e vibrano d'amore
e d'accordo, sanza battimento alcuno.
Per quei due che vorrebbero delucidazioni su "battimenti" e "armonici",
prego di pazientare. Non si direbbe, ma anco il liutaio e' un po' preso dal
lavoro in questo periodo.
Ciao
Giacomo

 Proprio come avevo promesso!!!!!!
Qui non ci capiamo:
equabile di quinta: 
   (3/2)^(12/7) = 2,0038754738   che e' DIVERSO da 2;
equabile d'ottava:      
       2^(7/12) = 1,49830707688  che e' DIVERSO da 3/2.
Quindi AMMA dire che il tuo sistema divide l'ottava in parti uguali e'
tanto sbagliato quanto dire che l'equabile d'ottava divide la quinta in
parti uguali.


Cerca di stare un po’ più attento la prossima volta!!!
Per penitenza andro' a sorbirmi un po' di Doors....


Intendi dire che la consonanza non e' un effetto bensi' una definizione?
Esatto, hai centrato il problema. La consonanza di un intervallo e'
stata nei secoli molto discussa. Diciamo che la consonanza e' "la
definizione di un effetto". (:-)))
Secondo alcuni trattati anonimi del XIII secolo (fonte DEUMM)
l'intervallo di quarto e' passato da essere definito dissonante a
consonante.
Sempre dal DEUMM si legge:
"I termini Conson. e Disson. [...] servono al fine di una valutazione
*qualitativa* degli intervalli e degli accordi, nonche' della loro
classificazione. Quest'ultima viene determinata dulla base di
considerazioni matematiche (grado di complessita' dei rapporti
numerici), fisiche (suoni armonici, battimenti, suoni di
combinazione), fisiologiche (armoniche soggettive [lo sapevate che il
nostro orecchio *crea* degli armonici che non appartengono alla fonte
sonora?], ascolto ad orecchie separate), e psicologiche (sentimento di
fusione, piacevolezza all'orecchio); [...] E' dunque il sistema
musicale utilizzato - risultante della tradizione e dall'abitudine - a
imporre una distinzione tra esse."
Quindi la definizione di consonanza poteva *anche* essere data in base
a riscontri matematici-fisici dell'intervallo considerato, ma anche e
sopratutto a seconda del momento storico: con l'avvento della musica
polifonica si rivoluziono' il concetto di consonanza di un accordo,
perche' con questo tipo di musica entrarono molti altri fattori, che
non solo il rapporto semplice; e poi molto era dovuto anche al tipo di
temperamento utilizzato.
I greci davano la loro definizione di consonanza in base a
considerazioni aritmetiche, come si e' gia' detto.
Ogni teorico musicale cerco' di dare la sua definizione di Consonanza
e Dissonanza (sul DEUMM c'e' una tabella sulla classificazione delle
consonanze : ben  37 trattati che spaziano dal IX al XVI secolo).
Il nostro orecchio si e' poi abituato a sentire come dissonanti certi
intervalli.
Ovviamente intervalli come la Seconda e la Settima sono sempre (a
quanto vedo) considerati dissonanti.
Altra piccola curiosita': nel Duecento l'Anonimo XIII (sono stati
numerati!!) bandi' le ottave e le quinte consecutive perche'
considerati intervalli troppo "perfetti" da poter essere usati in
successione.
Per darti un'idea all'esame di Teoria e Solfeggio mi chiesero: 
"Oggi l'intervallo di sesta minore e' considerato dissonante o
consonante?"


precedente (non conoscevo il termine "suoni flautati").
Non so se veramente lo usano tutti. Io sul violoncello a volte lo usavo
per comodita', ma il maestro lo disapprovava. Mi aveva insegnato a
suonare la quinta in quarta posizione (precisa, perche' la mano vi ha un
appoggio) e accordare in modo da eliminare i battimenti. 
Ma in fondo sugli strumenti ad arco l'importante e' accordare sempre
nello stesso modo e avere orecchio. Tanto non si suona mai sulle corde
vuote!
Giovanni C

Hai voglia a corrergli dietro con la tua tredicesima equazione...
Comincerò a correre non appena mi avrai passato il testimone!
Intanto se trovi il fiato spiega cosa significa trovare la differenza
matematica tra l'ottava e Dio.
E qual è la differenza tra la quinta e Dio?
Questa differenza, o forse Dio in persona, se dovesse mai avere una
persona, sarebbe dunque la mediazione tra la matematica e i 'motivi
motori' del nostro animo? 
Spiegati meglio, di grazia!
Fabio Capuano

poi ci si pensa bene si scopre che non e' per niente semplice.
Ma perche' vuoi negare (o disdegnare) l'aspetto razionale della musica
di Bach? Conosci certamente meglio di me l'Offerta Musicale; e allora
come fai a negare che cio' che lui ha scritto non sia frutto della
ragione? Un canone scritto utilizzando il pezzo sia normalmente che
specularmente con uno specchio: non ti sembra qualcosa che debba
ringraziare l'intelligenza? O secondo te e' piovuto dal cielo?


costrizione di tutti i residenti alla via Santa Maria del Rovo della
Cosa si studia al secondo anno di violino? Su quali libri studi? Studi
da solo? Non viene la voglia di mollare tutto? 
Non e' un'intrusione nel tuo privato, ma piuttosto...nel mio, da
sempre appassionato di tale strumento! Grazie..


consonanze : ben  37 trattati che spaziano dal IX al XVI secolo).
Siamo in pieno ...medio evo!!! 
..........................................:-)


Scusa Fabio, ma perche' ti alzi sempre in piedi quando e' il tuo
turno? :-)))))))
Saluti!


sempre appassionato di tale strumento! Grazie..
Io studio privatamente, comunque se davvero ti interessa lo strumento
perché non ne acquisti uno?
Quelli cinesi li puoi trovare anche a centomilalire (io lo pagai
novantamilalire qualche anno fa) e non suonano poi tanto male!!!
Se la tua è una passione, anche se tardiva, darà buoni frutti.
Se non lo è, avrai investito un Caravaggio per l'acquisto di un
oggetto che, anche se non lo farai suonare, è di una bellezza anche
solo estetica veramente eccezzionale, oltre che di un fascino tutto
particolare!!!
Pensa che quando lo comprai, non sapendo assolutamente come si
suonasse, passavo il mio tempo ad annusarlo.
Comunque la voglia di mollare tutto non mi è mai venuta.
Ciao e buona fortuna,
			Fabio Capuano

 vuote!
Forse oggi insegnano cosi', ma a quel che so io i musicisti del barocco
spesso cercavano ad arte l'effetto "corda vuota".


qualcosa in piu', cosi' come Bach.
Non a caso JSB ebbe ben 18 figli!
Leggi ha proposito il saggio " Priapo ed Anna Magdalena" di Hans
Annelore Krieckstein.
Schillogeno
------------------
"Well, i'm the slime from your video
 Oozin' along on your living room floor
 I am the slime from your video
 can't stop the slime, people, look it me go"
 Frank Zappa, 1973

Santa Puttana!
Per dirla con Fassbinder: "Attenzione alla puttana santa".


matematica tra l'ottava e Dio.
Questo lo spiega Ansermet, non io. In "Les fondements de la musique"
(Neuchatel, La Baconniere 1961). Tanto per invogliarti alla lettura:
Ansermet trova anche modo di confutare la teoria della relativita'! 
Probabilmente Celibidache (altro appassionato di matematica e filosofia)
gli invidiava di aver scritto quel libro...
E, per rispondere anche a Giulio. ecco l'editore - postumo - di Eulero:
Typographia Academiae Scientiarum, S. Pietroburgo, 1739.
Giovanni C


E vai!!


ringraziare l'intelligenza? O secondo te e' piovuto dal cielo?
Certamente Bach e' intelligente. Ma non e' certamente l'unico che si e'
dilettato nella scrittura canonica. Molti altri si sono cimentati
davanti allo specchio in quel periodo. Tutti ottimi matematici. Ma Bach
era un musicista. E si sente.


Non a caso JSB ebbe ben 18 figli!
Proprio quello che desidererei dalla Stone.
Comunque avevo letto che ne ha avuti piu' di venti. Splendida
performance per uno spirito matematico.



Mi risultano 21.....
Pero', la matematica, cosa sa fare, altro che lo zabaione!!!
--
Ciao !
=======================================================
Marco Marcelli - Genova
E@mail1: 
marco.m...@elsag.it
 (ufficio)
E@mail2: 
marc...@money.it
   (casa)
=======================================================

 wrote:
visti che siamo in tema di mostri, mi togliete una curiosita'?
quanti di voi riescono a vedere correttamente le virgolette (presumo)
che circondano il ->disegno esplicativo<- contenuto nel soggetto del
messaggio?


 Non so se veramente lo usano tutti.
Da dove sbuca questo discorso?? Non stavi rispondendo a Giulio? Forse il
mio HD sta' fondendo.



Io.


era un musicista. E si sente.
Appunto! Bach e' riuscito attraverso la razionalita' (matematica) ad
esprimere sentimenti, a fare Musica. E' in questo che secondo me
consiste il suo genio; e proprio per questo non vorrei che si
dimenticasse l'aspetto razionale della Fuga.
Ciao
Giulio Peruginelli
lone...@sysnet.it
"Al cospetto di questa meravigliosa opera d'arte
dimentico ogni altra cosa e mi elevo al di sopra di
me stesso per contemplarla come le si conviene."
J.J.Winckelmann


abbagliare da un particolare aspetto e di trascurarne altri.
Incredibile...si rischia di giudicarla "solo" per il suo QI
insomma??!...   con la Stone questo rischio non mi ha mai neppure
sfiorato.
Tu sei malato Vinicio, e' da piu' di un anno che te lo ripeto.
hullo.
============================
Cioran's son
Luca F.Palmieri
ned...@iperbole.bologna.it
============================
"Se Noe' avesse avuto il dono della preveggenza
 non c'e' alcun dubbio che si sarebbe colato a picco"
(Emil Michael Cioran)
-------------------------


!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!??????????????????????
Ho detto " malato"???
Pazzo furibondo, dovevo dire!!!
Tu desideri 18 figli da Sharon Stone???
Santiddio, legatelo prima che diventi violento.....


Tu desideri 18 figli da Sharon Stone???
Veramente lo scopo principale della mia vita e' convincere la Stone a
desiderare 18 figli da me.



vi...@sirius.pisa.it
Gon guella faccia? Ma non mi faccia ridere. 
(Antonio De Curtis Porfirogenito Comneno di Bisanzio)



Io no!
Questo č quanto m'apparě sul monitor
?ISO-8859-1?Q?=91disegno?=


Gon guella faccia? Ma non mi faccia ridere. 
Ammetto che per adesso l'iniziativa non sta ottenendo un successo
travolgente.
-----
Vinicio Matteucci
Pistoia, Italy
vi...@sirius.pisa.it


anni o a 40 o a 60...?
Penso e soprattutto spero che il vincolo dell'età non sia categorico:
io stesso ho cominciato  a suonare il violino a ventun anni.
Comunque è vero che la differenza tra esecuzione pianistica ed
esecuzione violinistica è abissale: io penso che il pianoforte sia uno
strumento 'maschio', mentre il violino sia indiscutibilmente
'femmina': il pianoforte è un amico fedele, puoi confidargli le tue
angosce,  lui urlerà il tuo strazio con tutta la sua potenza, o
sussurrerà con la più soave delicatezza il tuo pianto silente; 
e puoi rivelargli le tue gioie, lui intonerà con te le note più
allegre e gioviali ! 
Il violino è una amante passionale: non lo suoni con le sole dita, con
la sola mente, col solo cuore, ma con tutto il corpo; e quando il
mignolo scivola veloce sulla corda del mi tesa come un roseo clitoride
ansimante di voluttà, e raggiunge intrepido i più arditi armonici,
lei, vibrante di piacere, geme e sospira con grazia muliebre il suo
gaudente amore, la sua coinvolgente passione nella quali ti sperdi e
poi ti ritrovi, dopo un attimo, o forse dopo un'eternità, sudato,
esausto e ancora sbrodolante in incontenibili orgasmi fatali !!!
Sapessi com'è difficile imparare ad amare !
Ciao,
      Fabio Capuano

parti uguali.
No!
L'equabile di quinta divide di fatto un'ottava, anche se imperfetta,
in otto intervalli semitonali uguali; come l'equabile di ottava di
fatto ha sempre diviso una quinta, anche se imperfetta, in cinque
intervalli semitonali uguali.
Proprio cosě.
Piuttosto, cosa intendi per AMMA ?
Ciao,
     Fabio Capuano





Chiedo scusa a tutti, ma davvero non so come funziona questo coso!
Comunque con Frre Agent la rielaborazione del mostro si vede quasi
bene, anche se virgolette, puntini sospensivi ed altri accidenti non
vengono riconosciuti.
Con Netscape Collabra invece il mostro è ancora in vita, mentre gli
accidenti sono leggibili.
Comunque il mostro non è nulla di importante: si può vivere benissimo
facendone a meno!
Ciao a tutti, e scusatemi ancora.
Fabio Capuano
non si capisce niente.

sempre il solito sadomasochista!
Dai, dai, le gocce di Cioran e DiNicola hanno fatto il loro deleterio
effetto.
Ciao
Giulio Peruginelli
lone...@sysnet.it
"Al cospetto di questa meravigliosa opera d'arte
dimentico ogni altra cosa e mi elevo al di sopra di
me stesso per contemplarla come le si conviene."
J.J.Winckelmann
Se volete scrivermi in privato rimuovete i numeri 5
dall'indirizzo e-mail.

esausto e ancora sbrodolante in incontenibili orgasmi fatali !!!
Che vivida oratoria! 
Da ora in poi, se mai mi capitera' di avere un violino tra le
mani,...faro' attenzione che non ci siano bambini in giro! 


 Piuttosto, cosa intendi per AMMA ?
A Mio Modesto Avviso.
Saluti.
M.
