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Titolo: Astronomia e Fisica tensoria. (Scienza per tutti.-01-)

La materia che costituisce l'Universo può subire quattro tipi di interazioni fondamentali: 
l'interazione gravitazionale regolata sia dalla legge di attrazione di Newton, sia dalla 
teoria della Relatività Generale di Einstein; l'interazione elettromagnetica, descritta 
dalle equazioni di Maxwell, legata a fenomeni elettrici e magnetici; l'interazione 
nucleare forte responsabile delle forze che assicurano la coesione di protoni e neutroni 
nel nucleo atomico; l'interazione debole causa principale del decadimento radioattivo di 
particelle come i muoni e coinvolta nelle reazioni implicanti neutrini. Le prime due 
interazioni possono agire a lunga distanza, le ultime due si manifestano solo su scala 
atomica o nucleare. In questo breve articolo ci occuperemo di alcuni effetti connessi 
all'interazione gravitazionale.
Per gravità intendiamo la risultante delle accelerazioni esercitate sulle diverse parti di 
un corpo a riposo posto sulla superficie di un astro. Il campo gravitazionale è un vettore 
chiamato g* definito in ogni punto e tale che il peso P di un oggetto in quel punto 
risulta essere il prodotto della massa di questo corpo per g ovvero P = gm. L'intensità di 
gravità, in un luogo, corrisponde al modulo g del campo gravitazionale g. L'accelerazione 
di gravità risulta pari a g ed interessa tutti i corpi posti in uno stesso punto e 
sottoposti al loro peso. La gravitazione è, come illustrato sopra, una delle quattro 
interazioni fondamentali della fisica e si manifesta mediante forze di tipo attrattivo fra 
corpi dotati di massa. Due oggetti idealmente puntiformi aventi massa m e m' collocati ad 
una distanza r l'uno dall'altro, si attraggono con una forza diretta lungo la retta che li 
unisce secondo la legge:
  F = k m m' / r² ( k costante di gravitazione )
Il campo gravitazionale g in un punto dello spazio si definisce prendendo in esame la 
forza esercitata su una massa m posta nel punto medesimo:
F = mg
Il valore di g deriverà dall'insieme delle masse che agiscono su m e dalle loro distanze 
rispetto al punto considerato. L'intensità dell'attrazione gravitazionale diminuisce col 
quadrato della distanza, perciò due corpi, supponiamo sferici, aventi eguale massa ma 
raggi diversi, eserciteranno forze diverse su oggetti identici situati alla loro 
superficie. La Terra, ad esempio, possiede una massa 81 volte superiore a quella della 
Luna, quindi il suo campo gravitazionale è 81 volte maggiore di quello lunare. Il raggio 
terrestre è 3,66 volte piu' grande di quello della Luna perciò, operando un banale 
calcolo, si scopre che la gravità superficiale terrestre risulta essere appena sei volte 
quella lunare. La velocità minima che un punto materiale deve superare per sottrarsi al 
campo di attrazione di un astro di massa m e raggio r è detta velocità di fuga:
Vf = ( 2 k m / r )½
Gli effetti della gravità talvolta sono spettacolari come nel caso degli anelli di 
Saturno. Questi traggono origine da fenomeni spiegabili tramite la teoria delle maree. 
Siano M, R e D massa, raggio e densità di un pianeta, M', R', D' quelli di un suo 
satellite, infine sia r la distanza tra i due corpi. Si può allora dimostrare che il 
satellite è sottoposto ad una forza distruttiva mareale pari a:
4 k M R' / r³
Una relativa stabilità gravitazionale presuppone che la forza di gravità superi quella 
mareale, ossia:
4 a M R' / r³ £ M' / R'²
ove a è una costante che differisce poco dall'unità ( il simbolo £ significa minore od 
uguale ). Dopo brevi passaggi ricaviamo la seguente espressione:
2,45 ( D / D' )¹/³ £ r / R
Nell'ipotesi che D = D', il satellite eviterà la disintegrazione ad una distanza r 
maggiore di 2,45 R. Evidentemente ciò non si è verificato per il corpo celeste che ha 
originato gli anelli di Saturno.
Un altro stimolante interrogativo concerne l'espansione dell'Universo: questo processo 
continuerà indefinitamente oppure esiste sufficiente materia perchè l'attrazione 
gravitazionale risultante possa arrestare l'espansione provocando una contrazione? La 
soluzione dell'enigma è legata alla densità media della materia del Cosmo. Se l'Universo è 
spazialmente finito e destinato a contrarsi, la densità cosmica deve superare la 
cosiddetta densità critica. Per chiarire il concetto, consideriamo una sfera di galassie 
di raggio R. La massa di questa sfera sarà il prodotto del suo volume per la densità di 
massa cosmica D:
M = 4/3 p R³ D
La teoria della gravitazione di Newton fornisce l'energia potenziale di ogni galassia ( di 
massa m ) alla superficie della sfera:
Ep = - m M k / R
La sua velocità radiale è contemplata dalla nota legge di Hubble:
V = H R
dove H è la costante di Hubble. L'energia cinetica sarà dunque:
Ec = 1/2 m V² = 1/2 m H² R²
Operando una semplice somma ricaviamo l'energia totale della galassia:
E = Ep + Ec = m R² [ 1/2 H² - 4/3 p D k ]
La condizione necessaria affinchè la galassia abbia una velocità pari a quella di fuga:
1/2 H² = 4/3 p D k
Da tutto ciò si evince che la densità critica deve avere la seguente valore:
Dc = 3 H² /8 p k
All'inizio dello scorso secolo, l'astronomo J.Jeans esegui' un calcolo per stimare quanta 
materia doveva essere concentrata in un addensamento perchè le forze gravitazionali 
fossero superiori all'energia termica interna. L'energia potenziale gravitazionale di un 
addensamento di materia di raggio r e massa M risulta:
Ep = - k M² / r
L'energia interna per unità di volume è proporzionale alla pressione p: Ei a p r³
L'addensamento gravitazionale dovrebbe essere favorito se: p r³ << k M² / r
Data una certa densità D possiamo scrivere: M = 4/3 p r³ D
Utilizzando le ultime formule ricaviamo infine: k M² >> p ( D / M)¯¾
In alternativa, se poniamo Mj ( massa di Jeans ) = p³/² / k³/² D² giungiamo alla 
conclusione che:  M >> Mj
Nell'ipotesi che Ms indichi la massa del Sole, otteniamo:  Mj = 1,6 x 100.000 Ms
Un addensamento che contenga tale massa può dunque essere tenuto assieme dalle forze 
gravitazionali interne.
La teoria della gravitazione sviluppata da A.Einstein nel decennio 1910-1916 prende il 
nome di Relatività Generale. La gravitazione è pensata come effetto della curvatura del 
continuum spazio-temporale. In sostanza, l'interazione gravitazionale si può descrivere 
come una curvatura dello spazio indotta dalla presenza fisica di masse. Una variazione 
nella distribuzione delle masse, secondo la teoria della Relatività Generale, genera onde 
gravitazionali che si propagano alla velocità della luce. Il quanto di energia ( 
particella associata ad una determinata onda ) delle onde gravitazionali è denominato 
gravitone. Le equazioni del campo gravitazionale, dette anche equazioni di Einstein, sono:
                                                    Rik - 1/2 gik R = 8 p k Tik / (c²)²
Il formalismo matematico in esse contenuto è complesso quantunque rappresentino un sistema 
di equazioni differenziali alle derivate parziali del secondo ordine. Il membro di 
sinistra contiene informazioni sulla natura geometrica della gravità, l'altro membro 
designa la sorgente della gravità stessa. Rik si chiama tensore di curvatura o tensore di 
Ricci, gik è un tensore metrico, R una grandezza scalare e Tik un tensore energia-impulso 
della materia. Ovviamente c indica la velocità della luce nel vuoto. L'equazione del campo 
gravitazionale in meccanica non relativistica assume la forma:
D j = 4 p k µ
dove il termine µ = c² / 2 ( Tik - 1/2 gik T ) e k costante gravitazionale. La soluzione 
dell'equazione fornisce: j = k ò µ dV / r
Abbiamo cosi' una formula che esprime il potenziale del campo gravitazionale di qualsiasi 
distribuzione di massa. In dettaglio, nell'ipotesi si tratti di una particella di massa m, 
otteniamo: j = k m / r
Da ciò si deduce che la forza F agente in tale campo su un'altra particella di massa m' è 
palesemente: F = k m m' / r²
ovvero la legge d'attrazione di Newton.
Nel corso del 1916, l'astrofisico K.Schwarzschild cercò una soluzione delle equazioni di 
Einstein nel caso di un campo gravitazionale a simmetria centrale. Un simile campo può 
essere generato da ogni distribuzione a simmetria centrale della massa: pianeti e stelle 
costituiscono esempi comuni. Nella legge di Newton la forza attrattiva aumenta 
indefinitamente sino a divenire, in teoria, infinita toccando la massa che la causa:
  r à 0 => F à +oo
La soluzione trovata da Schwarzschild porta a conclusioni differenti: la deformazione 
indotta da una massa m sullo spazio-tempo tende a crescere al punto da invalidare la 
fisica tradizionale ad una distanza limite detta raggio gravitazionale:
rg = 2 k m / c²
Se ad esempio il raggio di una massa gassosa sferica diviene eguale o inferiore a rg, 
nessuna forza fisica conosciuta potrà opporsi al collasso gravitazionale del sistema in 
questione. Rispetto ad un osservatore esterno, il processo di compressione verso il raggio 
gravitazionale è accompagnato da un "autoisolamento" del corpo celeste. Il tempo di 
propagazione dei segnali emessi dal sistema tenderà ad infinito. Infatti, se con t 
indichiamo il tempo dell'osservatore, abbiamo:
c D t = ro - r + rg ln ( ro - rg / r - rg )
con ro > r ed osservando che D t à +oo per r à rg. La frequenza della riga spettrale 
emessa dal corpo tenderà ad annullarsi:
w = cost. ( 1 - rg / r )
Il sistema "congelato" non è in grado di emettere alcun segnale nello spazio circostante 
ed interagisce con il mondo esterno unicamente con il proprio campo gravitazionale 
statico. Questo può comunque curvare sensibilmente i raggi luminosi che transitano nelle 
sue vicinanze. Se chiamiamo d la distanza tra la massa m di un astro e un raggio luminoso, 
è abbastanza facile desumere una relazione che leghi le due grandezze al valore della 
curvatura:
C = c m / 2 p d
dove c = 8 p k / c². In base a ciò, un raggio di luce che passa nelle vicinanze del Sole 
subisce una deflessione di pochi secondi d'arco.
Sopra abbiamo accennato al fatto che un corpo in moto irraggia onde gravitazionali. Questo 
fenomeno causa una modesta dissipazione di energia emessa in tutte le direzioni:
- dE / dt = k d³/dt³(Dab)² / 45 c²c³
Il termine Dab è denominato tensore del momento di quadrupolo della masse e viene derivato 
tre volte rispetto al tempo. Si rileva che la radiazione totale delle onde gravitazionali 
produce un effetto del quinto ordine in 1/c. Essendo inoltre k una grandezza 
infinitesimale, tale effetto non può che essere insignificante. Due corpi con masse m1 ed 
m2 che si attraggono secondo la legge di Newton e descrivono orbite circolari, irradiano 
energia con intensità media I:
I = 32 (k²)² ( m1 m2 )² ( m1 + m2 ) / 5 c²c² r²r³
se con r denotiamo la distanza tra le masse pensate come puntiformi. Assumendo che m1 sia 
la massa solare ed m2 quella terrestre, l'intensità ammonta ad appena 6,07 watt.
* Le lettere in neretto indicano grandezze vettoriali GRAZIE:
Saluti sinceri a voi tutti amici miei
 speriamo di conoscerci e di andare a farci una bella mangiata

 F = mg
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Non oso spifferare il locus donde lei ha arpionato, a prestito, codeste
esposizioni; tuttavia, se lo desidera, potrei invitarLa a darmi, a mio
immenso piacere e favore, una dimostrazione pratica di questa arcana
dimostrazione che lei saviamente adombra nell'indirizzo:
8========================D     soc'mele'en-punta(at)cock
Se permette, io dubito come farebbe un inquisitore del molto giusto Santo
Uffizio; ergo La invito a mettere in pratica la su nominata formula,
possibilmente restando io in piedi a osservare l'esposizione alla lavagna.
Eliseo, Montagna Pistoiese
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