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Titolo: [faq?] quersto messaggio mente

**repost**
[NB i teoremi di Godel sono forse i piu` importanti teoremi della matematica
dell`ultimo secolo quindi le prossime 20 righe hanno lo scopo di dare una
vaga idea del problema e della sua soluzione non pretendono assolutamente di
esaurire il problema, e il suo contenuto e` errato :-)]
[q]
Cosa e` il teorema di Godel (o dell'incompletezza dell`aritmetica)
[a]
Il primo teorema di Godel si pu` riassumere nella frase "l'insieme degli
enunciati dimostrabili e' diverso dall'insieme deglie enunciati falsi". Il
pTdG cercava di risolvere l`antica antinomia del mentitore che nei secoli e`
stata esemplificata in molte forme.
Epimenide (il cretese)
"Tutti i cretesi sono mentitori"
(questo in realta' non e' un vero paradosso)
Russel
"Barbiere fa la barba a tutti quelli che non se la fanno da se"
Russel(2)
"L'Insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi contiene se
stesso?"
Quine
"La parola *eterelogoga* e` eterologa o autologa? Se con Eterologa si
intende una parola che non parla di se stessa e con autologa una che lo fa"
Godel prende invece la frase (la formula in realta):
S = "questa frase non e` dimostrabile in F"
Dove F e` un sistema formale.
Ebbene Godel sostiene che S e` vera in F, ma non e` dimostrabile proprio
perche` e` vera.
"Un sistema formale corretto (o consistente) abbastanza potente non puo`
essere completo"
Dove
Corretto == tutto cio` che dimostra e` vero.
Consistente == tutto cio` che dimostra non e` in contraddizione con
null`altro che dimostri.
Abbastanza potente == [vedi nota di Fermat]
Completo == che dimostra tutto cio` che e` vero
Ovvero , detto in altro modo, solo un sistema incosistente puo`
dimostare tutte le verita`, solo che un sistema incosistente e`
inutile.
--
Roberto Corda,

 perche` e` vera.
[cut]
Godel (meglio il suo teorema), non "sostengono" niente. Il TdG si limita ad
utilizzare una ingegnosa costruzione per assegnare ad ogni formula
aritmetica un numero, tale che la corrispondenza "formula <-> numero" sia
biunivoca. Questo permette all'aritmetica di parlare di se stessa, e dunque
di costruire frasi come quella da te riportata. Ma Godel non "dice" che la
frase e' vera, perche' la frase *deve* per forza essere vera: se fosse falsa
affermerebbe di essere dimostrabile e quindi di essere vera, creando cosi'
una contraddizione in F. Se invece e' vera, allora viene immolato
sull'altare della coerenza la proprieta' della completezza. Il merito del
TdG e' stato quindi non di creare il paradosso, che in quanto tale esisteva
gia' da secoli, ma di mostrare come, in una qualsiasi teoria
sufficientemente potente da poter parlare di se stessa, le proprieta' della
coerenza e della completezza fossero incompatibili, e inoltre di dimostrare
come questo ragionamento si potesse applicare ai Principia di Russell e
Whitehead.
Ciao,
     Stefano
--
 [spazio in affitto, per informazioni contattare 
iks...@infinito.it
]

 Godel (meglio il suo teorema), non "sostengono" niente.
??? il verbo sostenere non va bene con il soggetto teorema?
Non ho capito.
 Quanto segue e' ottimo approfondimento, cambio qualche parola
qui' e la.
---
Il TdG  utilizza una ingegnosa costruzione per assegnare ad ogni formula
aritmetica un numero, tale che la corrispondenza "formula <-> numero" sia
biunivoca. Questo permette all'aritmetica di parlare di se stessa, e dunque
di costruire frasi come quelle riportatate.
----
Ma Godel non "dice" che la
frase e' vera, perche' la frase *deve* per forza essere vera: se fosse falsa
affermerebbe di essere dimostrabile e quindi di essere vera, creando cosi'
una contraddizione in F.
scusami ma il concetto e' [con tutte le semplificazioni del caso] che F
deve essere vera in un sistema consistente, ma nulla ci vieta di costruire
un sistema informale inconsistente in cui F sia falsa.
In pratica invece che scegliere un sistema consistente ma incompleto
[mancante di qualche verita'] si potrebbe scegliere un sistema completo
ma inconsistente [con qualche falsita, o per meglio dire con almeno una
falsita']
Se invece e' vera, allora viene immolato
sull'altare della coerenza la proprieta' della completezza.
Appunto. Evidentemente l'ho scritto male.
 Il merito del
TdG e' stato quindi non di creare il paradosso, che in quanto tale esisteva
gia' da secoli, ma di mostrare come, in una qualsiasi teoria
sufficientemente potente da poter parlare di se stessa, le proprieta' della
coerenza e della completezza fossero incompatibili, e inoltre di dimostrare
come questo ragionamento si potesse applicare ai Principia di Russell e
Whitehead.
*risolvendo* il problema a modo suo, cioe' dicendo che era impossibile
dimostrare la verita' o la falsita' di quelle affermazioni. Come avevo
scritto..
o no?
Ciao

 o no?
Dipende :-)
In realta' credo solo di aver fatto precisazioni per alcuni termini che
interpretavo come sbagliati, ma che magari non lo erano per come li
intendevi tu.
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