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Titolo: Il Futuro (era RE: Indipendentemente Dipendenti)

pescartela nel futuro. Visto che li' non c'era, deve per forza stare da
un'altra parte.
COSA?!?
STIAMO SCHERZANDO, VERO?
Questo equivale a negare la Statistica!
(scusa se prima ho urlato, ma non sono riuscito a trattenermi! :) )
Cosa significa che "se manca qualcosa nel passato devo andare a cercarla nel
futuro"?
Supponiamo che io giochi, per una quarantina di estrazioni, al Lotto,
cercando di indovinare un singolo estratto; se per queste quaranta
estrazioni non vinco (e invece avrei dovuto vincere almeno un paio di volte,
vista la probabilita' di 1/18 di indovinare un estratto), significa che
nelle prossime vincero' sicuramente?
E allora mi conviene giocare 1000 lire ogni volta sperando di _non_ vincere
e poi, quando ho accumulato un bel po' di "sconfitte", comincio a giocare
somme consistenti (100.000 lire) perche' tanto so che vincero'! :-)
Se lo Stato Italiano dicesse "Fra un mese il Lotto verra' sospeso
definitivamente", tu pensi che nelle nove o dieci estrazioni rimanenti i
numeri ritardatari si "diano da fare" per uscire e mettersi in pari (come
frequenza di sortita) con i numeri piu' frequenti?
Qual e' la probabilita' che ci sia il 6 al SuperEnalotto? Considerando una
media di circa 125 milioni di combinazioni ( _diverse!_ ) giocate, la
probabilita' e' di 125 / 622 = 20% (abbastanza approssimativo, pero' serve a
rendere l'idea).
Significa che, sabato prossimo (se il numero di giocate si assesta su questi
livelli, cioe' 125 milioni di giocate *differenti*), la probabilita' che non
ci sia (almeno) un 6 e' dell'80% (forse un po' meno, vista la febbre del
gioco...).
E questo indipendentemente dal fatto che nelle ultime nove estrazioni non ci
sia stato il 6.
Io potrei tranquillamente scommettere (alla pari) che nelle prossime 3
estrazioni nessuno fara' 6 (ferme restando le condizioni e le probabilita'
indicate sopra): infatti ho P=0,8 che non ci sia il 6 in una estrazione, e
P=0,8^3=0,512 che non ci sia il 6 nelle prossime 3 estrazioni.
Anche se mi colpisce il fatto che nelle ultime 9 estrazioni nessuno abbia
fatto 6, niente puo' influenzarmi rispetto alle mie aspettative future
(poiche' questi sono eventi indipendenti fra loro).
Se veramente il passato puo' influenzare il futuro, significa che:
 - le palline estratte dall'urna hanno "memoria", cioe' ricordano se sono
state estratte tante o poche volte, e si comportano di conseguenza: questo
equivale a negare le Leggi della Fisica!
 - e' possibile prevedere il futuro, basandosi sui calcoli probabilistici e
sulla conoscenza del passato: questo equivale a legittimare tutta la schiera
di Maghi e Fattucchiere che pretendono di poter predire il futuro!
Ti (vi) lascio con un piccolo quesito, che da' da pensare.
Supponiamo che ci sia un'urna con 5 palline, e dentro ognuna ci sono 5
lenzuolini (!) con i numeri da 1 a 5.
Vengono effettuate 5 estrazioni e i risultati siano questi:
Estraz.  Numero
   1            3
   2            3
   3            3
   4            3
   5            3
Ohibo!
E' uscito sempre il numero 3!
Come mai?
La cosa potrebbe apparire alquanto strana, pero' potrei aggiungere una
postilla... >:->
In realta' le 5 palline non sono indistinguibili fra loro: ognuna ha
impresso una piccola lettera, da A ad E, che la distingue.
Ad ogni estrazione, un ipotetico notaio (!!!) apre tutte le palline, le
controlla minuziosamente, e poi inserisce i lenzuolini dentro a queste
palline... peccato, pero', che ogni volta la corrispondenza
pallina-lenzuolino sia diversa!
Esaminando le 5 estrazioni, otteniamo queste corrispondenze
pallina-lenzuolino:
Estraz.  Corrispondenze
   1          A=1, B=2, C=3, D=4, E=5
   2          A=2, B=3, C=4, D=5, E=1
   3          A=3, B=4, C=5, D=1, E=2
   4          A=4, B=5, C=1, D=2, E=3
   5          A=5, B=1, C=2, D=3, E=4
Alla luce dei fatti, possiamo riportare le estrazioni delle PALLINE anziche'
dei NUMERI:
Estraz.  Pallina
   1            C
   2            B
   3            A
   4            E
   5            D
Ogni pallina (A, B, C, D o E) e' uscita una volta (cosi' come vogliono le
regole probabilistiche); ogni lenzuolino e' stato dentro ogni pallina (e
quindi non ci sono stati "favoritismi").
Il risultato inizale (numero 3 estratto tutte e 5 le volte, in presenza
delle 5 corrispondenze pallina-lenzuolino, e con la richiesta che vengano
estratte tutte e 5 le palline) appare ancora cosi' "anomalo", oppure si puo'
tirare un (seppur piccolo) sospiro di sollievo? ;-)
Daniele (
dmar...@racine.ra.it
)

Il risultato inizale (numero 3 estratto tutte e 5 le volte, in presenza
delle 5 corrispondenze pallina-lenzuolino, e con la richiesta che vengano
estratte tutte e 5 le palline) appare ancora cosi' "anomalo", oppure si puo'
tirare un (seppur piccolo) sospiro di sollievo? ;-)
La risposta e': si', si puo' tirare un sospiro di sollievo.
La probabilita' che esca il numero 3 tutte e 5 le volte (senza badare al
discorso delle palline con le lettere) e' pari a (1/5)^5, cioe' 1/3125 =
0,032%.
Introducendo le palline con le lettere, otteniamo 120 possibili
corrispondenze pallina-lenzuolino (sono le permutazioni di 5 elementi, cioe'
5!).
Il problema ora si pone in questi termini:
"Date le 5 corrispondenze pallina-lenzuolino (scelte arbitrariamente fra le
120 possibili), e stabilito che devono uscire tutte le palline A-B-C-D-E,
calcolare la probabilita' che venga estratto sempre il lenzuolino numero 3".
Infatti le 5 corrispondenze le conosco (e' il "notaio" che le assembla), e
il fatto che escano tutte le palline A-B-C-D-E l'ho richiesto come ipotesi
(al fine di tranquillizzare gli animi :)).
L'estrazione delle palline A-B-C-D-E puo' avvenire in 120 modi diversi:
  A-B-C-D-E
  A-B-C-E-D
  A-B-D-C-E
  A-B-D-E-C
  ...
  E-D-C-B-A
Sono (ancora) le permutazioni di 5 elementi, e quindi 5! = 120.
Pero' la probabilita' che esca sempre il numero 3 avviene solo con
l'estrazione C-B-A-E-D, la cui probabilita' e' pari a 1/120 = 0,83% >
0,0032%.
Tutto questo e' valido (e lo ripeto) solo se pongo fissate le 5
corrispondenze pallina-lenzuolino e richiedo l'estrazione di tutte e 5 le
palline.
Questo esempio serve a far riflettere sul fatto che ci possono essere eventi
"nascosti" che "mitigano" eventuali risultati anomali.
Noi non conosciamo, nelle 3000 e passa estrazioni del lotto, come si sono
succedute le estrazioni delle 90 palline (attenzione: non dei 90
lenzuolini!): queste palline (con dentro ogni volta un lenzuolino diverso)
possono essere state estratte tutte 1/90 di volte.
Sempre con questo non voglio negare o mettere in dubbio i calcoli
probabilistici effettuati solo sui "lenzuolini", anzi: a lungo andare, la
frequenza di uscita del lenzuolini tendera' a avvicinarsi sempre piu' alla
frequenza teorica (che per ogni lenzuolino, con o senza "differenziazione"
delle palline, rimane sempre 1/90).
Pero' moooooolto "a lungo andare"!
Se prima avevamo solo 90 numeri, adesso ne abbiamo 90!, poiche' ad ogni
lenzuolino puo' corrispondere una pallina diversa.
Uno spazio campionario di poco piu' di 3000 estrazioni, se puo' essere
abbastanza buono per 90 numeri, e' assolutamente scarso per 90! numeri.
Di "eventi sommersi" se ne possono trovare moltissimi (va be', facciamo
molti... :)), e ognuno di questi da' il suo "contributo" ad ogni estrazione,
anche se noi non ce ne accorgiamo.
Meditate, gente, meditate...
Daniele (
dmar...@racine.ra.it
)

anche se noi non ce ne accorgiamo.
Spero di avere capito bene il concetto, pero' mi sembra che la
possibilita' di ragionare su 90! numeri non sia molto corretta. Non
conosco, personalmente, il meccanismo con cui vengono messi i
lenzuolini nelle palline o il modo in cui le palline vengono poi
caricate nell'urna, ma da quanto appreso da questo NG, le palline
vengono riempite con lenzuolini numerati in ordine crescente e poi
messe nell'urna. Quando viene estratto il numero 34 significa che e'
estratta la pallina messa nell'urna per 34esima  e quindi c'e'
corrispondenza tra numero del lenzuolino e numero d'ordine della
pallina... e questo e' valido sempre, ad ogni estrazione.
Il fatto che la pallina che contiene il 34 non sia sempre la stessa mi
sembra del tutto ininfluente ai fini del numero dei numeri su cui
ragionare.
Ciao
Renzo


Infatti su questo non ho nulla da obiettare: il nr. 34 ha probabilita' 1/90
di essere estratto, cosi' come tutti gli altri numeri.
Quello che volevo mettere in evidenza e' che se seguiamo una serie di
estrazioni in cui il 34 esce molte volte (oppure poche volte), in realta'
questa distribuzione un po' "anomala" potrebbe non esserlo se si guarda da
un altro punto di vista (in questo caso, la pallina in cui viene messo il
lenzuolino).
I fattori che condizionano un'estrazione sono tanti: la probabilita' di un
numero di essere estratto e' si' pari a 1/90, ma questo e' il risultato di
numerose componenti che interagiscono tra di loro (nel mio esempio, la
sommatoria, per tutte le 90 palline, della probabilita' di un lenzuolino di
capitare in quella pallina moltiplicata per la probabilita' di estrazione di
quella pallina).
Il fatto che ci siano tutti questi eventi fa si' che, ad esempio, la
presenza di un numero ritardatario appare piu' "fisiologica" di quanto in
realta' non sia.
La probabilita' che quel numero ritardasse e' la stessa (e ci mancherebbe
altro!), pero' e' (o, almeno, potrebbe essere) il risultato di una serie di
eventi che, presi singolarmente, non sono abbastanza "nella media".
Riprendendo l'esempio delle 5 palline in cui esce sempre il numero 3, si
puo' fare una variante (abbastanza esplicativa).
La probabilita' che vengano estratti tutti e 5 i numeri (1, 2, 3, 4 e 5, in
qualsiasi ordine) e' (5!)/(5^5) = 3,48%.
Se pero' chiedo la probabilita', date quelle certe condizioni (cioe' che
vengano estratte tutte e 5 le palline e che le corrispondenze
pallina-lenzuolino siano quelle indicate), di estrarre tutti e 5 i numeri
(sempre in qualsiasi ordine), ottengo che questa probabilita' e'... un po'
piu' difficile da calcolare! :-P
Bisogna calcolarla per tentativi: per ogni pallina bisogna costruire un
albero delle possibili uscite.
Alla fine si trovano 15 estrazioni possibili:
A1-B3-C5-D2-E4  ;  A1-C4-E2-B5-D3  ;  A1-D5-B4-E3-C2
B2-C4-D1-E3-A5  ;  B2-D5-A3-C1-E4  ;  B2-E1-C5-A4-D3
C3-A2-D1-B5-E4  ;  C3-D5-E2-A4-B1  ;  C3-E1-B4-D2-A5
D4-A2-C5-E3-B1  ;  D4-B3-E2-C1-A5  ;  D4-E1-A3-B5-C2
E5-A2-B4-C1-D3  ;  E5-B3-D1-A4-C2  ;  E5-C4-A3-D2-B1
Su 120 possibili estrazioni (in cui vengono estratte tutte e 5 le palline),
solo 15 soddisfano la mia condizione (cioe', che vengano estratti tutti e 5
i lenzuolini): P = 15/120 = 12,5%.
La probabilita' che vengano estratti tutti e 5 i numeri, come visto prima,
e' 3,48%; questa e' data dalla moltiplicazione di 12,5% per P(x), dove 12,5%
e' la probabilita' calcolata tre righe fa, e P(x) e' la probabilita' che si
verifichi l'evento che io ho preso come dato (cioe', quella data
corrispondenza pallina-lenzuolino e la condizione che vengano estratte tutte
e 5 le palline).
E' un andare oltre al calcolo delle probabilita' a cui siamo abituati... ed
e' anche forse un complicarsi di piu' la vita! :-)
Un evento (e poi concludo) con probabilita' P=0,09 puo' essere il risultato
di due eventi abbastanza probabili (0,30 * 0,30) oppure di un evento molto
probabile e di un evento molto improbabile (0,90 * 0,10), o una qualsiasi
combinazione che dia 0,09 come prodotto.
Il fatto e' che noi non ci rendiamo conto di molti "eventi sommersi", ma
solo di quegli eventi che sono facilmente visibili (e che sono i risultati
di molte componenti).
Daniele
(
dmar...@racine.ra.it
)